离散数学(一阶逻辑等值演算与推理)

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实例
将下面命题用两种形式符号化, 例1 将下面命题用两种形式符号化 并证明 两者等值: 两者等值 (1) 没有不犯错误的人 是人, 犯错误. 解 令F(x):x是人,G(x):x犯错误 : 是人 : 犯错误 x(F(x)∧ ∧G(x)) 或 ∧ x(F(x)→G(x)) → x(F(x)∧ ∧G(x)) ∧ ∧G(x)) x(F(x)∧ ∧ x(F(x)∨G(x)) ∨ x(F(x)→G(x)) → 量词否定等值式 置换 置换
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基本等值式
(2) 量词否定等值式 xA(x) xA(x) ① xA(x) xA(x) ②
例
设论域为人, 来上课, 设论域为人,P(x): x来上课,P(x): x没来上课 来上课 没来上课 xP(x):所有人都来上课 所有人都来上课 xP(x):不是所有人都来上课 不是所有人都来上课 xP(x): 有人没来上课 xP(x):有人来上课 有人来上课 xP(x):没有人来上课 没有人来上课 xP(x): 所有人都没来上课
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① x(A(x)∨B) xA(x)∨B的证明 ∨ ∨ 的证明
的一个解释. 设I是A(x)和B的一个解释.若x(A(x)∨B)在 是 和 的一个解释 ∨ 在 I下取 值,则在 下,对任意 ∈D,A(x)∨B 下取1值 则在I下 对任意x∈ , 下取 ∨ 都是真命题. 是真命题, 都是真命题.若B是真命题,则xA(x)∨B是 是真命题 ∨ 是 真命题; 是假命题, 真命题;若B是假命题,则必然是对每个 是假命题 x∈D,A(x)都是真命题,故xA(x)取1值. 都是真命题, xA(x)取1值 ∈D,A(x)都是真命题 所以 下取1值 所以xA(x)∨B在I下取 值. ∨ 在 下取 下取0值 则必有一个x 若x(A(x)∨B)在I下取 值,则必有一个 0∈D, ∨ 在 下取 , 下取0值 为假命题, 使A(x0) ∨B在I下取 值.故A(x0)为假命题, 在 下取 为假命题 并且B为假命题 所以 为假命题. 并且 为假命题.所以xA(x)取0值.从而 取 值 下取0值 xA(x)∨B在I下取 值. ∨ 在 下取
的一个解释. 设I是A(x)和B的一个解释.若x(A(x)∨B)在I 是 和 的一个解释 ∨ 在 下取1值 则在I下 存在x 下取 值,则在 下,存在 0 ∈D,A(x0)∨B是 , ∨ 是 真命题. 是真命题, 真命题.若B是真命题,则xA(x)∨B是真命 是真命题 ∨ 是真命 是假命题, 是真命题, 题;若B是假命题,则必然有 是假命题 则必然有A(x0) 是真命题, 下取1值 故xA(x)取1值.所以xA(x)∨B在I下取 值. 取 值 ∨ 在 下取 若x(A(x)∨B)在I下取 值,则在I下对任意的 ∨ 在 下取0值 则在 下对任意的 下取 x∈D,使A(x)∨B在I下取 值.故A(x)和B都 下取0值 ∈ , ∨ 在 下取 和 都 为假命题, 下取0值 为假命题,所以xA(x)∨B在I下取 值. ∨ 在 下取
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基本等值式
(4) 量词分配等值式 ∧xB(x) ① x(A(x)∧B(x)) xA(x)∧ ∧ ∧ ∨xB(x) ② x(A(x)∨B(x)) xA(x)∨ ∨ ∨ 注意: 注意:对∨,对∧无分配律
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∧xB(x) ① x(A(x)∧B(x)) xA(x)∧ ∧ ∧
的一个解释. 设I是A(x)和B(x)的一个解释.若 是 和 的一个解释 ∧xB(x)在I下取 值,则在解释 下, 下取1值 则在解释I下 xA(x)∧ ∧ 在 下取 对任意x∈ , 都是真命题, 对任意 ∈D,A(x),B(x)都是真命题,所以 , 都是真命题 A(x)∧B(x)是真命题,即对任意 ∈D, 是真命题, ∧ 是真命题 即对任意x∈ , A(x)∧B(x)是真命题,所以x(A(x)∧B(x))在I 是真命题, ∧ 是真命题 所以 ∧ 在 下取1值 下取 值. ∧xB(x)在I下取 值,则xA(x)为 下取0值 若xA(x)∧ ∧ 在 下取 为 为假, 为假, 假,或xB(x)为假,若xA(x)为假,必有一 为假 为假 个x0∈D,使A(x0) 在I下取 值,所以A(x0) , 下取0值 所以 下取 为假命题, ∧B(x0)为假命题,所以x(A(x)∧B(x))在I下 为假命题 所以 ∧ 在下 为假, 取0值.若xB(x)为假,同理可证. 值 为假 同理可证.
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实例
设个体域D={a,b,c}, 消去下述公式中的量 例3 设个体域 词: (1) xy(F(x)→G(y)) (2) xyF(x,y) → 解 xy(F(x)→G(y)) → (y(F(a)→G(y)))∧(y(F(b)→G(y))) → ∧ → ∧(y(F(c)→G(y))) → ((F(a)→G(a))∨(F(a)→G(b))∨(F(a)→G(c))) → ∨ → ∨ → ∧((F(b)→G(a))∨(F(b)→G(b))∨(F(b)→G(c))) → ∨ → ∨ → ∧((F(c)→G(a))∨(F(c)→G(b))∨(F(c)→G(c))) → ∨ → ∨ →
xA(x)
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基本等值式
(3) 量词辖域收缩与扩张等值式 量词辖域收缩与扩张等值式. A(x) 是含 x 自由出现的公式,B 中不含 x 的 自由出现的公式, 自由出现 关于全称量词的: 关于全称量词的: ① x(A(x)∨B) xA(x)∨B ∨ ∨ ② x(A(x)∧B) xA(x)∧B ∧ ∧ ③ x(A(x)→B) xA(x)→B → → →xA(x) ④ x(B→A(x)) B→ → →
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实例
(2) 不是所有的人都爱吃面包 是人, 解 令F(x):x是人,G(x):爱吃面包 : 是人 :爱吃面包. x(F(x)→G(x)) 或 x(F(x)∧ ∧G(x)) → ∧ x(F(x)→G(x)) → x(F(x)→G(x)) → x(F(x)∨G(x)) ∨ ∧G(x)) x(F(x)∧ ∧ 量词否定等值式 置换 置换
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基本等值式
关于存在量词的: 关于存在量词的: ① x(A(x)∨B) xA(x)∨B ∨ ∨ ② x(A(x)∧B) xA(x)∧B ∧ ∧ ③ x(A(x)→B) xA(x)→B → → →xA(x) ④ x(B→A(x)) B→ → →
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① x(A(x)∨B) xA(x)∨B的证明 ∨ ∨ 的证明
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置换规则,换名规则, 置换规则,换名规则,代替规则
1. 置换规则:设Φ(A)是含 的公式 那么 若 置换规则: 是含A的公式 是含 的公式, 那么, AB, 则Φ(A)Φ(B). 2. 换名规则:设A为一公式,将A中某量词辖 换名规则: 为一公式, 为一公式 中某量词辖 域中个体变项的所有约束出现及相应的指导 变元换成该量词辖域中未曾出现过的个体变 项符号,其余部分不变,设所得公式为A′ 项符号,其余部分不变,设所得公式为 ′, ′A. 则A′ ′ 3. 代替规则:设A为一公式,将A中某个个体 代替规则: 为一公式, 为一公式 中某个个体 变项的所有自由出现用A中未曾出现过的个 变项的所有自由出现用 中未曾出现过的个 体变项符号代替,其余部分不变, 体变项符号代替,其余部分不变,设所得 公式为A′ ′A. 公式为 ′,则A′ ′
第五章 一阶逻辑等值演算与推理
一阶逻辑等值式与基本的等值式 置换规则,换名规则, 置换规则,换名规则,代替规则 前束范式 自然推理系统N 自然推理系统 L及其推理规则
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5.1 一阶逻辑等值式与置换规则
定义5.1 设A, B是两个谓词公式 如果 B 是两个谓词公式, 定义 是两个谓词公式 如果A 是永真式, 则称A与 等值 记作A 等值, 是永真式 则称 与B等值 记作 B, 并称 AB是等值式 是等值式. 由定义显然可以看出:公式A, 等值的充 由定义显然可以看出:公式 ,B等值的充 要条件是:对A,B的任意解释 ,A,B在I 要条件是: , 的任意解释I, , 在 的任意解释 下的真值相同. 下的真值相同. 因为对任意公式A, ,在解释I下 因为对任意公式 ,B,在解释 下,A,B就 , 就 是两个命题, 是两个命题,所以命题逻辑中给出的基本等 价式,在谓词逻辑中仍然成立. 价式,在谓词逻辑中仍然成立.
例:
x(P( y) ∧ R(x, y)) x(P(z) ∧ R(x, z))
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实例
将公式化成等值的不含既有约束出现, 例2 将公式化成等值的不含既有约束出现, 又有自由出现的个体变项: 又有自由出现的个体变项 →yG(x,y,z)) x(F(x,y,z)→ → →yG(x,y,z)) 解 x(F(x,y,z)→ → →tG(x,t,z)) 换名规则 x(F(x,y,z)→ → xt(F(x,y,z)→G(x,t,z)) 辖域扩张等值式 → 或者 →yG(x,y,z)) x(F(x,y,z)→ → →yG(x,y,z)) 代替规则 x(F(x,u,z)→ → xy(F(x,u,z)→G(x,y,z)) 辖域扩张等值式 →
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量词否定等值式( 量词否定等值式(续)
设个体域中的客体变元为a 设个体域中的客体变元为 1,a2,…,an,则
( A(a1) ∧∧ A(an )) A(a1 ) ∨∨ A(an )
xA(x)
xA(x) xA ) (x
( A(a1 ) ∨∨ A(an )) A(a1 ) ∧∧ A(an )
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基本等值式
命题逻辑中16组基本等值式的代换 第一组 命题逻辑中 组基本等值式的代换 实例 例如,xF(x) xF(x), 例如, →yG(y) xF(x)∨ ∨yG(y) 等 xF(x)→ → ∨ 判断下列公式的类型: 判断下列公式的类型: (1)xP(x) →(xyQ(x,y) → xP(x)) 永真式 ) (2)xP(x) →(xP(x) ∨ yG(y)) ) 永真式 (3) (P(x,y) →Q(x,y)) ∧ Q(x,y) ) 矛盾式
例:
x(P(x) → R(x, y)) ∧ Q(x, y) z(P(z) → R(z, y)) ∧ Q(x, y) y(P( y) → R( y, y)) ∧ Q(x, y) z(P(z) → R(x, y)) ∧ Q(x, y)
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自由变元的代替
自由变元代替的规则: 自由变元代替的规则: 1) 对该自由变元每一处进行代替 对该自由变元每一处进行代替. 2) 代替的变元与原公式中所有变元名称不能 相同. 相同
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约束变元的换名
约束变元的换名规则: 约束变元的换名规则: 1) 换名范围 量词中的指导变元和作用域中出 换名范围:量词中的指导变元和作用域中出 现的该变元.公式中其余部分不变 公式中其余部分不变. 现的该变元 公式中其余部分不变 2) 要换成作用域中没有出现的变元名称 要换成作用域中没有出现的变元名称.
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xA(x) xA(x)的证明 ① 的证明
对于任意给定的解释I, 使xA( x)为真, 为真, 对于任意给定的解释 ,若I使 为真 为假. 则I使xA(x)为假.则必有某一个 0∈D, 使 为假 则必有某一个x , A(x0) 是假命题,于是A(x0) 是真命题,即 是假命题,于是 是真命题, 下是真命题, 使 为真. xA(x)在I下是真命题,故I使xA(x)为真. 在 下是真命题 为真 为假, 使 为真. 若I使 使xA(x)为假,则I使xA(x)为真.即 为假 为真 对任意的x∈ , 是真命题. 对任意的 ∈D,有A(x)是真命题.也就是对 是真命题 任意的x∈ , 是假命题, 任意的 ∈D,A(x)是假命题,于是xA(x) 是假命题 于是 是假命题, 使 为假. 是假命题,故I使xA(x)为假. 为假
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源自文库本等值式
第二组 (1) 消去量词等值式 设D ={a1, a2, … , an} ① xA(x) A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an) ∧ ∧ ∧ ② xA(x) A(a1)∨A(a2)∨…∨A(an) ∨ ∨ ∨
例 设个体域 A={a,b}, 公式
(x)P(x) ∧(x)S(x)在A上消去量词后应为 上消去量词后应为: 在 上消去量词后应为 P(a)∧P(b)∧(S(a)∨S(b)) ∧ ∧ ∨