离散数学1-3节

起来，接着把灯打开。这时，那两个应试者看到商人头上戴的是一顶
红帽子，其中一个人便喊道：“我戴的是黑帽子。”
2013年8月6日星期二2 时55分29秒
离散数学
第一章：命题逻辑
请问这个人说得对吗？他是怎么推导出来的呢？ 要回答这样的问题，实际上就是看由一些诸如“商人 戴的是红帽子”这样的前提能否推出“猜出答案的应 试者戴的是黑帽子”这样的结论来。 这又需要经历如下过程： (1) 什么是前提？有哪些前提？ (2) 结论是什么？ (3) 根据什么进行推理？ (4) 怎么进行推理？ 学习命题逻辑将回答这几个问题。
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第一章：命题逻辑
4.命题符号化
对命题和它的真值的首次抽象，就是将命题和真值符号化。
表示命题的符号称作命题标识符。 一般用大写字母P、Q、R、A、B等表示命题。 例：P：今天下雨。 （“：”翻译成表示）
Q：天津有一条美丽的津河。
R：张红是三好学生。
对于命题真值来说，F或0表示假，T或1表示真。
由析取的定义可知， ∨表示可兼或。
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第一章：命题逻辑
例1： 如果p，q分别表示“今晚我看书”和“今晚我看电视”，
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第一章：命题逻辑
五、命题常元
若用P、Q、R、A、B等表示确定的命题，则称P、Q、 R、A、B等为命题常元。 例：P: 2+2=4 P为命题常元
*六、命题变元
若用P、Q、R等泛指任一命题（即没有用具体的命题取
代 P、Q、R等）则称P、Q、R等为命题变元。此时，P、
Q、R等没有确定的真值，但是值域为{T,F}。 例：Q: x+y=4 Q为命题变元（命题变元不是命题）
***1.2节：联接词
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第一章：命题逻辑
一.否定 ┐ 1.De1-2.1:令P为一命题，则P的否定是一个新的命题,记作┐P。 若P为T， ┐P为F，若P为F ， ┐P为 T 。 即： P为T当且仅当 ┐P为F ┐P的读法：非P。 ┐的写法是：横长，竖短。 ┐代表汉语中的非、没有、不等。 ┐的意义和命题┐ p的真值状况可由表1-2.1来刻划。
练习1：设 P:今天是周三。 则 ┐P表示什么？ 练习2：设 Q:所有的自然数都是偶数。 则 ┐Q表示什么？
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第一章：命题逻辑
二.合取 1.De1-2.2:令P、Q为两个命题，则P Q是一个复合命题,读作P 合取 Q，当且仅当P、Q均为真时，P Q为真，否则 P Q为假。
例4： 1.如果我有1000万，我就给你100万。
2.玫瑰花是红色的，并且紫罗兰是蓝色的。
3.他富有，但不快乐。 4.他读每日新报和足球报，但不读文摘报。
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第一章：命题逻辑
所以复合命题是由若干个简单命题和
若干个连接词构成的。 下面，我们的任务就是将复合命题中的 所有原子命题均分别符号化，并从第2节 开始，将连接词也符号化。
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第一章：命题逻辑
3.命题的分类
观察例2和例3，我们将命题分2类： 简单命题或原子命题（atoms）：由最简单陈 述句构成的命题（他们只有一个主语，一个 谓语，因此不能分解为更简单的陈述句了）。 复合命题（compositive propositions）：由原 子命题、逻辑联结词和标点共同组成的命题。
例3:带连接词的命题：
1）并非2是无理数。(T) 2） 4是偶数且4也是素数。(F) 3）2或4是素数。(T) 4）如果2是素数，则3也是素数。(T) 5）2是素数当且仅当3也是素数。 (T) 这几个命题的真值不仅依赖于这两个组成它 的命题，而且还依赖于这些联结词的意义。 像这样的联结词称为逻辑联结词（logical connectives）。
例2:考虑下列命题的真值：
（1）雪是白的。(T) （2）2+2=5 (F) （3）2是素数。 (T) （4）北京是中国的首都。 (T) 上述命题都是简单陈述 句，他们都不能分解为 更简单的陈述句了，称 这样的命题为简单命题 或原子命题（atoms）。
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第一章：命题逻辑 把由原子命题和逻 辑联结词共同组成 的命题称为复合命 题（compositive propositions）。
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第一章：命题逻辑
例1:考虑下列语句是否为命题：
（1）雪是白的。(是命题) （2）2+2=5 (是命题) （3）如果明天天气好，我去公园散步 (是命题) （4）第29届奥林匹克运动会开幕时北京天晴。 (是命题) （5）大于2的偶数均可分解为两个质数的和(哥德巴赫猜想）。
(是命题)
（6）真舒服啊！ (不是命题) （7）您去学校吗？ (不是命题) （8）我正在说谎。 (由真推出假，由假推出真的陈述句称 为悖论,悖论不是命题) （9）x+y <0 (不是命题,因为x,y的值不确定.)
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1.1节：命题及其表示法
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第一章：命题逻辑
1.命题：一个能辨别真假的陈述句。
命题只有两个结果，或为真或为假，
不能不真又不假，也不能又真又假。
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第一章：命题逻辑
例1:考虑下列语句是否为命题：
（1）雪是白的。 （2）2+2=5 （3）如果明天天气好，我去公园散步 （4）第29届奥林匹克运动会开幕时北京天晴。 （5）大于2的偶数均可分解为两个质数的和(哥德巴赫猜想）。 （6）真舒服啊！ （7）您去学校吗？ （8）我正在说谎。 （9）x+y <0
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第一章：命题逻辑
七、对命题变元进行真值指派
当命题变元用一个特定的命题取代时，命题变元变 成命题。因此有确定的真值，这称做对命题变元进行 真值指派。 例：Q: x+y=4 令x=1,y=1 则Q: 1+1=4 令x=1,y=3 则Q: 1+3=4 (F) (T)
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重点、难点：
命题公式与翻译
主析取范式、主合取范式的求解方法 命题逻辑推理理论，各种推理方法 相应题目的证明。
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离散数学 引言
先看著名物理学家爱因斯坦出过的一道题：
第一章：命题逻辑
一个土耳其商人想找一个十分聪明的助手协助他经商，有两人前来
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第一章：命题逻辑
基本要求
1.基本概念
命题及表示法，真值，联接词，翻译，命题公式；
关于一个公式的真值表、重言式、矛盾式、可满足式； 关于两个公式的等价，蕴含，对偶；
2.基本运算
1)公式判断(真值表,等价变换) 2)两个公式等价、蕴含
3)求析取、合取范式
3.推理 命题的推理(直推,反推,cp规则)
判断给定句子是否为命题的步骤: 1. 首先判定它是否为陈述句 2. 判断它是否有唯一的真值.
疑问句、祈使句、感叹句和悖论等都不是命题。 悖论：由真推出假又由假推出真的陈述句称为悖 论。即自相矛盾的句子。
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第一章：命题逻辑
2.命题的真值
作为命题的陈述句所表达的判断结果称为命题的真值, 真值只有2个:真或假。用T , F或1 , 0表示。 当判断正确或符合客观实际时，称该命题真（true），否则称 该命题假（false）。任何命题的真值都是唯一的.
P 0 1
表1-2.1
┐P 1 0
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第一章：命题逻辑
注: 1. ┐是一元联接词 2. ┐的含义是否定原命题的全部,而不是一部分. 例4 p ：我们都是好学生
┐p表示“并非我们都是好学生”
或“我们不都是好学生”，
而不是“我们都不是好学生”。
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第一章：命题逻辑
例1. 如果P表示命题“你去了学校”,Q表示命题“我去了工厂”，
那么P∧Q表示命题”你去了学校并且我去了工厂“。
P∧Q为真，当且仅当你、我分别去了学校和工厂。
注:使用合取联结词时，不要求两命题间一定有任何关系。
例2：P :今天下雨了 Q :教室里有120把椅子。 则,P∧Q：今天下雨了且教室里有120把椅子。
例2:考虑下列命题的真值：
（1）雪是白的。 （2）2+2=5 （3）2是素数。 （4）北京是中国的首都。
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第一章：命题逻辑
2.命题的真值
作为命题的陈述句所表达的判断结果称为命题的真值, 真值只有2个:真或假。用T , F或1 , 0表示。 当判断正确或符合客观实际时，称该命题为真(true)，否则称 该命题为假(false)。任何命题的真值都是唯一的.


p 0
1 0 1
q 0
0 1 1
表1-2.3
p∨q 0
1 1 1
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第一章：命题逻辑
说明：析取∨一般代表汉语中的“或”，但汉语中的“或”是
多含义的，见下表：
或的含义 可兼或 排斥或 表示近似值的或 例子 晚会上她唱歌或跳舞 他上“昆鹏”或“实验” 小学 他休息5或10分钟 说明 二者均发生或二者之一发生 非此即彼，不可兼得 近似数，5至10分钟
(1)到(4)都是复合命题，它
们使用的联结词表面看来 各不相同，但都是合取联
结词，都应符号化为∧，(1)
到(4)分别符号化为P∧Q， P∧Q，Q∧┐P，R∧S. 在(5)中，虽然也使用了联 结词“与”，但这个联结
词“与”是联结该句主语
的，而整个句子仍是简单 陈述句，所以(5)是原子命
题，符号化为T.



合取词(conjunction)“并且”（and），用符号∧表示。 ∧代表汉语中的并且、和、也、即…又…,同时、不仅…而且、尽管… 仍然、但是等。 合取词∧的意义和命题p∧q的真值状况可由表1-2.2来刻划。
P 0 1 0 1
Q 0 0 1 1
表1-2.2
P∧Q 0 0 0 1
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第一章：命题逻辑
应聘，这个商人为了试试哪个人更聪明些，就把两个人带进一间漆黑
的屋子里，他打开灯后说：“这张桌子上有五顶帽子，两顶是红色的， 三顶是黑色的，现在，我把灯关掉，而且把帽子摆的位置弄乱，然后
我们三个人每人摸一顶帽子戴在自己头上，在我开灯后，请你们尽快
说出自己头上戴的帽子是什么颜色的。”说完后，商人将电灯关掉， 然后三人都摸了一顶帽子戴在头上，同时商人将余下的两顶帽子藏了
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第一章：命题逻辑
注： 命题常元与命题变元的关系就像 “初等数学”中的常量与变量的关系。 例：5是常量，x是变元。给 x赋什么， x就代表什么值，所以x是变化的。 在初数中，对常量和变量的处理原 则是相同的。同样，在命题逻辑的论证 中，对命题常元与命题变元的处理原则 亦是相同的，即在命题论证中不再区分 它们。
离散数学 第一章：命题逻辑 三. 析取(disjunction) 1.De1-2.3:令P、Q为两个命题，则P Q是一个复合命题,读作 P析取Q，当且仅当P、Q均为假时，P Q为假，否则P Q为 真。 即当p和q有一为真时,p∨q为真,只有当p和q均假时p∨q为假。 p∨q读作“p或者q”、“p或q”。 析取词∨的意义及复合命题p∨q的真值状况由表1-2.3描述。
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第一章：命题逻辑
对∧的说明
1. ∧是二元连接词 2. P∧Q中的P，Q可以没有内在联系（如例2） 3. ∧具有对称性， P∧Q 与Q ∧ P 的真值相同 4. P∧ ┐P=F 5. ∧可以把若干个命题连接在一起.如， P∧Q∧R∧S
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第一章：命题逻辑
补充练习:
将下列命题符号化。 (1) 吴颖既用功又聪明。 (2) 吴颖不仅用功而且聪明。 (3) 吴颖虽然聪明，但不用功。 (4) 张辉和王丽都是三好学生。 (5) 张辉与王丽是同学。 解 首先将原子命题符号化： P: 吴颖用功。 Q: 吴颖聪明。 R: 张辉是三好学生。 S: 王丽是三好学生。 T 张辉与王丽是同学。
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第一章：命题逻辑
第一篇 数理逻辑
一.什麽叫数理逻辑? 数理逻辑是以推理为研究对象,用数学方法研究推理中
前提和结论之间的形式关系的科学。所谓数学方法就是用一
套符号系统对具体事物进行抽象.所谓推理就是由一个或几个 判断推出一个新的判断的思维形式. 二.数理逻辑的作用 数理逻辑是计算机科学的基础.熟练掌握将现实生活中的
条件转化成逻辑公式,并能做适当的推理,这对程序设计等课
程是极有好处的.
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第一章：命题逻辑
数理逻辑 命题逻辑 谓词逻辑
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第一章：命题逻辑
第一章 命题逻辑
命题逻辑研究命题和命题连接词的逻辑
结构以及命题之间的推理关系。
命题逻辑:推理的基本要素是命题.
2013年8月6日星期二2 时55分29秒