离散数学—第二章一阶逻辑
离散数学第2章一阶逻辑
2.1 一 阶 逻 辑 基 本 概 念
综上，有如下结论： (1)谓词中个体词的顺序不能随意变更。 (2)一元谓词用以描述一个个体的某种特性， 而n元谓词则用以描述n个个体之间的关系。 (3)0元谓词就是一般命题。 (4)具体命题的谓词表示形式和n元谓词是不同的， 前者是有真值的，而后者不是命题，它的 真值是不确定的。 (5)一个n元谓词不是一个命题，但将n元谓词中的 个体变项都用个体域中某个具体的个体取代后， 就成为一个命题。而且，个体变项在不同的个体域 中取不同的值对是否成为命题及命题的真值有很大 的影响。
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2.2.1 一阶逻辑公式的语言翻译 2.1 一 阶 逻 辑 基 本 概 念
例2.2.1 用一阶逻辑符号化下述语句. (1)天下乌鸦一般黑。 (2)没有人登上过木星。 (3)在美国留学的学生未必都是亚洲人。 (4)每个实数都存在比它大的另外的实数。 (5)尽管有人很聪明，但未必一切人都聪明 (6)对任意给定的ε >0，必存在着δ >0，使 得对任意的x，只要|x-a|<δ ，就有 |f(x)-f(a)|<ε 成立。
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2.1 一 阶 逻 辑 基 本 概 念
解： (1)设F(x):x是乌鸦；G(x,y):x与y一般黑 (x)(y)(F(x)F(y)G(x,y)) 或者 (x)(y)(F(x)F(y)G(x,y)) (2)设H(x):x是人；M(x):x登上过木星。 (x)(H(x)M(x)) 或 (x)(H(x) M(x)) (3)设H(x)：是亚洲人；A(x):是在美国留学的学生。 (x)(A(x) H(x)); 或者： (x)(A(x) H(x)) (4)设R(x):x是实数；L(x,y):x小于y (x)(R(x) (y)(R(y) L(x,y))); (5)设M(x):x是人；C(x):x很聪明 (x)(M(x)C(x)) (x)((M(x) C(x)); (6)对任意给定的ε >0，必存在着δ >0，使得对任意的x，只 要|x-a|<δ ，就有|f(x)-f(a)|<ε 成立。 (ε )((ε >0)(δ )((δ >0) (x)(( |x-a|<δ (|f(x)-f(a)|<ε )))) 28
离散数学第二章一阶逻辑知识点总结
离散数学第二章一阶逻辑知识点总结数理逻辑部分第2章一阶逻辑2.1 一阶逻辑基本概念个体词（个体）: 所研究对象中能够独立存在的具体或抽象的客体个体常项：具体的事物，用a, b, c表示个体变项：抽象的事物，用x, y, z表示个体域: 个体变项的取值范围有限个体域，如{a, b, c}, {1, 2}无限个体域，如N, Z, R, …全总个体域: 宇宙间一切事物组成谓词: 表示个体词性质或相互之间关系的词谓词常项：F(a)：a是人谓词变项：F(x)：x具有性质F一元谓词: 表示事物的性质多元谓词(n元谓词, n2): 表示事物之间的关系如L(x,y)：x与y有关系L，L(x,y)：x y，…0元谓词: 别含个体变项的谓词, 即命题常项或命题变项量词: 表示数量的词全称量词: 表示任意的, 所有的, 一切的等如x 表示对个体域中所有的x存在量词: 表示存在, 有的, 至少有一具等如x表示在个体域中存在x一阶逻辑中命题符号化例1 用0元谓词将命题符号化要求：先将它们在命题逻辑中符号化，再在一阶逻辑中符号化(1) 墨西哥位于南美洲在命题逻辑中, 设p:墨西哥位于南美洲符号化为p, 这是真命题在一阶逻辑中, 设a：墨西哥，F(x)：x位于南美洲符号化为F(a)例2 在一阶逻辑中将下面命题符号化(1) 人都爱美; (2) 有人用左手写字分不取(a) D为人类集合, (b) D为全总个体域.解：(a) (1) 设G(x)：x爱美, 符号化为x G(x)(2) 设G(x)：x用左手写字, 符号化为x G(x)(b) 设F(x)：x为人，G(x)：同(a)中(1) x (F(x)G(x))(2) x (F(x)G(x))这是两个基本公式, 注意这两个基本公式的使用.例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化(1) 正数都大于负数(2) 有的无理数大于有的有理数解注意: 题目中没给个体域, 一律用全总个体域(1) 令F(x): x为正数, G(y): y为负数, L(x,y): x>y x(F(x)y(G(y)L(x,y))) 或x y(F(x)G(y)L(x,y)) 两者等值(2) 令F(x): x是无理数, G(y): y是有理数,L(x,y)：x>yx(F(x)y(G(y)L(x,y)))或x y(F(x)G(y)L(x,y)) 两者等值几点注意：1元谓词与多元谓词的区分无特殊要求，用全总个体域量词顺序普通别能随便颠倒否定式的使用考虑：①没有别呼吸的人②别是所有的人都喜爱吃糖③别是所有的火车都比所有的汽车快以上命题应怎么符号化？2.2 一阶逻辑合式公式及解释字母表定义字母表包含下述符号：(1) 个体常项：a, b, c, …, a i, b i, c i, …, i1(2) 个体变项：x, y, z, …, x i, y i, z i, …, i 1(3) 函数符号：f, g, h, …, f i, g i, h i, …, i1(4) 谓词符号：F, G, H, …, F i, G i, H i, …, i1(5) 量词符号：,(6) 联结词符号：, , , ,(7) 括号与逗号：(, ), ，定义项的定义如下：(1) 个体常项和个体变项是项.(2) 若(x1, x2, …, x n)是任意的n元函数，t1,t2,…,t n是任意的n个项，则(t1, t2, …, t n) 是项.(3) 所有的项基本上有限次使用(1), (2) 得到的.个体常项、变项是项，由它们构成的n元函数和复合函数依然项定义设R(x1, x2, …, x n)是任意的n元谓词，t1,t2,…, t n 是任意的n个项，则称R(t1, t2, …, t n)是原子公式.原子公式是由项组成的n元谓词.例如，F(x,y), F(f(x1,x2),g(x3,x4))等均为原子公式定义合式公式（简称公式）定义如下：(1) 原子公式是合式公式.(2) 若A是合式公式，则(A)也是合式公式(3) 若A, B是合式公式，则(A B), (A B), (A B),(A B)也是合式公式(4) 若A是合式公式，则xA, xA也是合式公式(5) 惟独有限次地应用(1)~(4)形成的符号串是合式公式.请举出几个合式公式的例子.定义在公式xA和xA中，称x为指导变元，A为相应量词的辖域. 在x和x的辖域中，x的所有浮现都称为约束浮现，A中别是约束浮现的其他变项均称为是自由浮现的.例如, 在公式x(F(x,y)G(x,z)) 中,A=(F(x,y)G(x,z))为x的辖域，x为指导变元, A中x的两次浮现均为约束浮现，y与z均为自由浮现.闭式: 别含自由浮现的个体变项的公式.给定公式A=x(F(x)G(x))成真解释: 个体域N, F(x): x>2, G(x): x>1代入得A=x(x>2x>1) 真命题成假解释: 个体域N, F(x): x>1, G(x): x>2 代入得A=x(x>1x>2) 假命题咨询: xF(x)x F(x) 有成真解释吗？xF(x)x F(x) 有成假解释吗？被解释的公式别一定全部包含解释中的4部分.闭式在任何解释下基本上命题，注意别是闭式的公式在某些解释下也也许是命题.永真式（逻辑有效式）：无成假赋值矛盾式（永假式）：无成真赋值可满脚式：至少有一具成真赋值几点讲明：永真式为可满脚式，但反之别真谓词公式的可满脚性（永真性,永假性)是别可判定的利用代换实例可判某些公式的类型定义设A0是含命题变项p1, p2, …,p n的命题公式，A1,A2,…,A n是n个谓词公式，用A i处处代替A0中的p i (1i n)，所得公式A称为A0的代换实例.例如:F(x)G(x), xF(x)yG(y) 等基本上p q的换实例，x(F(x)G(x)) 等别是p q 的代换实例.定理重言式的代换实例基本上永真式，矛盾式的代换实例基本上矛盾式.2.3 一阶逻辑等值式等值式定义若A B为逻辑有效式，则称A与B是等值的，记作A B，并称A B 为等值式.基本等值式:命题逻辑中16组基本等值式的代换实例如，xF(x)yG(y) xF(x)yG(y)(xF(x)yG(y)) xF(x)yG(y) 等消去量词等值式设D={a1,a2,…,a n} xA(x)A(a1)A(a2)…A(a n)xA(x)A(a1)A(a2)…A(a n)量词否定等值式设A(x)是含x自由浮现的公式xA(x)x A(x)xA(x)x A(x)量词分配等值式x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)注意：对无分配律，对无分配律例将下面命题用两种形式符号化(1) 没有别犯错误的人(2) 别是所有的人都爱看电影解(1) 令F(x)：x是人，G(x)：x犯错误.x(F(x)G(x))x(F(x)G(x))请给出演算过程，并讲明理由.(2) 令F(x)：x是人，G(x)：爱看电影.x(F(x)G(x))x(F(x)G(x))给出演算过程，并讲明理由.前束范式定义设A为一具一阶逻辑公式, 若A具有如下形式Q1x1Q2x2…Q k x k B, 则称A为前束范式, 其中Q i(1i k)为或，B为别含量词的公式.例如，x y(F(x)(G(y)H(x,y)))x(F(x)G(x))是前束范式, 而x(F(x)y(G(y)H(x,y)))x(F(x)G(x))别是前束范式.定理（前束范式存在定理）一阶逻辑中的任何公式都存在与之等值的前束范式注意:公式的前束范式别惟一求公式的前束范式的办法: 利用重要等值式、置换规则、换名规则、代替规则举行等值演算.换名规则: 将量词辖域中浮现的某个约束浮现的个体变项及对应的指导变项，改成其他辖域中未曾浮现过的个体变项符号，公式中其余部分别变，则所得公式与原来的公式等值.代替规则: 对某自由浮现的个体变项用与原公式中所有个体变项符号别同的符号去代替，则所得公式与原来的公式等值.例求下列公式的前束范式(1) x(M(x)F(x))解x(M(x)F(x))x(M(x)F(x)) （量词否定等值式）x(M(x)F(x))两步结果基本上前束范式，讲明前束范式别惟一.(2) xF(x)xG(x)解xF(x)xG(x)xF(x)x G(x) （量词否定等值式）x(F(x)G(x)) （量词分配等值式）另有一种形式xF(x)xG(x)xF(x)x G(x)xF(x)y G(y) ( 换名规则) x y(F(x)G(y)) ( 量词辖域扩张) 两种形式是等值的(3) xF(x)xG(x)解xF(x)xG(x)xF(x)x G(x)x(F(x)G(x)) （为啥？）或x y(F(x)G(y)) （为啥？）(4) xF(x)y(G(x,y)H(y))解xF(x)y(G(x,y)H(y))zF(z)y(G(x,y)H(y)) （换名规则）z y(F(z)(G(x,y)H(y))) （为啥？）或xF(x)y(G(z,y)H(y)) （代替规则）x y(F(x)(G(z,y)H(y)))(5) x(F(x,y)y(G(x,y)H(x,z)))解用换名规则, 也可用代替规则, 这个地方用代替规则 x(F(x,y)y(G(x,y)H(x,z)))x(F(x,u)y(G(x,y)H(x,z)))x y(F(x,u)G(x,y)H(x,z)))注意：x与y别能颠倒。
第2章_一阶逻辑[离散数学离散数学(第四版)清华出版社]
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Table2两个变量的量词
描述 xyP(x,y) yxP(x,y) xyP(x,y) xyP(x,y) 真 假 对于任意一组x和y， 存在一组x和y，使 P(x,y)为真 得P(x,y)为假 对于任意x，存在y， 存在x，对于任意y， 使得P(x,y)为真 P(x,y)为假 存在x，对于任意y， 对于任意x，存在y， P(x,y)为真 使得P(x,y)为假
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一阶逻辑基本概念
EXAMPLE 5
设P(x) 表示语句“x2<10.”，个体 域为不大于4的所有正整数。则x P(x)的真值是多少?
x P(x)=P(1)∧P(2)∧P(3)∧P(4) = 0
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一阶逻辑基本概念
DEFINITION 3.
谓 词 P(x) 的 存 在 量 化 (existential quantification)是一个按如下规则确定真值的命题：如果
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一阶逻辑基本概念
为了进一步讨论命题函数P(x)的真值情况， 首先需要指定个体变量x的取值范围，即个体 域(universe of discourse, or domain)。每 一个个体变量x都有自己的个体域。如果没有 特别指定的个体域，则缺省为一个全个体域 (total universe of discourse) 即任意个体 均可以作为常量对x代入。
DEFINITION 4.
一阶逻辑公式及解释
谓词公式定义为：
(1)n元谓词是一个谓词公式； (2)若A是谓词公式，则(﹁A)也是谓词公式； (3)若A,B是谓词公式，则(A∧B)、(A∨B)、(A→B)、 (A↔B)也是谓词公式；
(4)若A是谓词公式，则xA，xA也是谓词公式。
(5)有限次地使用(1)~(4)所得到的也是谓词公式。
离散数学第二章一阶逻辑知识点总结
数理逻辑部分第2章一阶逻辑2.1 一阶逻辑基本概念个体词（个体）: 所研究对象中可以独立存在的具体或抽象的客体个体常项：具体的事物，用a, b, c表示个体变项：抽象的事物，用x, y, z表示个体域: 个体变项的取值范围有限个体域，如{a, b, c}, {1, 2}无限个体域，如N, Z, R, …全总个体域: 宇宙间一切事物组成谓词: 表示个体词性质或相互之间关系的词谓词常项：F(a)：a是人谓词变项：F(x)：x具有性质F一元谓词: 表示事物的性质多元谓词(n元谓词, n2): 表示事物之间的关系如L(x,y)：x与y有关系L，L(x,y)：x y，…0元谓词: 不含个体变项的谓词, 即命题常项或命题变项量词: 表示数量的词全称量词: 表示任意的, 所有的, 一切的等如x 表示对个体域中所有的x存在量词: 表示存在, 有的, 至少有一个等如x表示在个体域中存在x一阶逻辑中命题符号化例1 用0元谓词将命题符号化要求：先将它们在命题逻辑中符号化，再在一阶逻辑中符号化(1) 墨西哥位于南美洲在命题逻辑中, 设p:墨西哥位于南美洲符号化为p, 这是真命题在一阶逻辑中, 设a：墨西哥，F(x)：x位于南美洲符号化为F(a)例2 在一阶逻辑中将下面命题符号化(1) 人都爱美; (2) 有人用左手写字分别取(a) D为人类集合, (b) D为全总个体域.解：(a) (1) 设G(x)：x爱美, 符号化为x G(x)(2) 设G(x)：x用左手写字, 符号化为x G(x)(b) 设F(x)：x为人，G(x)：同(a)中(1) x (F(x)G(x))(2) x (F(x)G(x))这是两个基本公式, 注意这两个基本公式的使用.例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化(1) 正数都大于负数(2) 有的无理数大于有的有理数解注意: 题目中没给个体域, 一律用全总个体域(1) 令F(x): x为正数, G(y): y为负数, L(x,y): x>yx(F(x)y(G(y)L(x,y))) 或x y(F(x)G(y)L(x,y)) 两者等值(2) 令F(x): x是无理数, G(y): y是有理数,L(x,y)：x>yx(F(x)y(G(y)L(x,y)))或x y(F(x)G(y)L(x,y)) 两者等值几点注意：1元谓词与多元谓词的区分无特别要求，用全总个体域量词顺序一般不能随便颠倒否定式的使用思考：①没有不呼吸的人②不是所有的人都喜欢吃糖③不是所有的火车都比所有的汽车快以上命题应如何符号化？2.2 一阶逻辑合式公式及解释字母表定义字母表包含下述符号：(1) 个体常项：a, b, c, …, a i, b i, c i, …, i1(2) 个体变项：x, y, z, …, x i, y i, z i, …, i 1(3) 函数符号：f, g, h, …, f i, g i, h i, …, i1(4) 谓词符号：F, G, H, …, F i, G i, H i, …, i1(5) 量词符号：,(6) 联结词符号：, , , ,(7) 括号与逗号：(, ), ，定义项的定义如下：(1) 个体常项和个体变项是项.(2) 若(x1, x2, …, x n)是任意的n元函数，t1,t2,…,t n是任意的n个项，则(t1, t2, …, t n) 是项.(3) 所有的项都是有限次使用(1), (2) 得到的.个体常项、变项是项，由它们构成的n元函数和复合函数还是项定义设R(x1, x2, …, x n)是任意的n元谓词，t1,t2,…, t n是任意的n个项，则称R(t1, t2, …, t n)是原子公式.原子公式是由项组成的n元谓词.例如，F(x,y), F(f(x1,x2),g(x3,x4))等均为原子公式定义合式公式（简称公式）定义如下：(1) 原子公式是合式公式.(2) 若A是合式公式，则(A)也是合式公式(3) 若A, B是合式公式，则(A B), (A B), (A B),(A B)也是合式公式(4) 若A是合式公式，则xA, xA也是合式公式(5) 只有有限次地应用(1)~(4)形成的符号串是合式公式.请举出几个合式公式的例子.定义在公式xA和xA中，称x为指导变元，A为相应量词的辖域. 在x和x的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，A中不是约束出现的其他变项均称为是自由出现的.例如, 在公式x(F(x,y)G(x,z)) 中,A=(F(x,y)G(x,z))为x的辖域，x为指导变元, A中x的两次出现均为约束出现，y与z均为自由出现.闭式: 不含自由出现的个体变项的公式.给定公式A=x(F(x)G(x))成真解释: 个体域N, F(x): x>2, G(x): x>1代入得A=x(x>2x>1) 真命题成假解释: 个体域N, F(x): x>1, G(x): x>2代入得A=x(x>1x>2) 假命题问: xF(x)x F(x) 有成真解释吗？xF(x)x F(x) 有成假解释吗？被解释的公式不一定全部包含解释中的4部分.闭式在任何解释下都是命题，注意不是闭式的公式在某些解释下也可能是命题.永真式（逻辑有效式）：无成假赋值矛盾式（永假式）：无成真赋值可满足式：至少有一个成真赋值几点说明：永真式为可满足式，但反之不真谓词公式的可满足性（永真性,永假性)是不可判定的利用代换实例可判某些公式的类型定义设A0是含命题变项p1, p2, …,p n的命题公式，A1,A2,…,A n是n个谓词公式，用A i处处代替A0中的p i (1i n)，所得公式A称为A0的代换实例.例如:F(x)G(x), xF(x)yG(y) 等都是p q的换实例，x(F(x)G(x)) 等不是p q 的代换实例.定理重言式的代换实例都是永真式，矛盾式的代换实例都是矛盾式.2.3 一阶逻辑等值式等值式定义若A B为逻辑有效式，则称A与B是等值的，记作A B，并称A B为等值式.基本等值式:命题逻辑中16组基本等值式的代换实例如，xF(x)yG(y) xF(x)yG(y)(xF(x)yG(y)) xF(x)yG(y) 等消去量词等值式设D={a1,a2,…,a n}xA(x)A(a1)A(a2)…A(a n)xA(x)A(a1)A(a2)…A(a n)量词否定等值式设A(x)是含x自由出现的公式xA(x)x A(x)xA(x)x A(x)量词分配等值式x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)注意：对无分配律，对无分配律例将下面命题用两种形式符号化(1) 没有不犯错误的人(2) 不是所有的人都爱看电影解(1) 令F(x)：x是人，G(x)：x犯错误.x(F(x)G(x))x(F(x)G(x))请给出演算过程，并说明理由.(2) 令F(x)：x是人，G(x)：爱看电影.x(F(x)G(x))x(F(x)G(x))给出演算过程，并说明理由.前束范式定义设A为一个一阶逻辑公式, 若A具有如下形式Q1x1Q2x2…Q k x k B, 则称A为前束范式, 其中Q i(1i k)为或，B为不含量词的公式.例如，x y(F(x)(G(y)H(x,y)))x(F(x)G(x))是前束范式, 而x(F(x)y(G(y)H(x,y)))x(F(x)G(x))不是前束范式.定理（前束范式存在定理）一阶逻辑中的任何公式都存在与之等值的前束范式注意:公式的前束范式不惟一求公式的前束范式的方法: 利用重要等值式、置换规则、换名规则、代替规则进行等值演算.换名规则: 将量词辖域中出现的某个约束出现的个体变项及对应的指导变项，改成其他辖域中未曾出现过的个体变项符号，公式中其余部分不变，则所得公式与原来的公式等值.代替规则: 对某自由出现的个体变项用与原公式中所有个体变项符号不同的符号去代替，则所得公式与原来的公式等值.例求下列公式的前束范式(1) x(M(x)F(x))解x(M(x)F(x))x(M(x)F(x)) （量词否定等值式）x(M(x)F(x))两步结果都是前束范式，说明前束范式不惟一.(2) xF(x)xG(x)解xF(x)xG(x)xF(x)x G(x) （量词否定等值式）x(F(x)G(x)) （量词分配等值式）另有一种形式xF(x)xG(x)xF(x)x G(x)xF(x)y G(y) ( 换名规则) x y(F(x)G(y)) ( 量词辖域扩张)两种形式是等值的(3) xF(x)xG(x)解xF(x)xG(x)xF(x)x G(x)x(F(x)G(x)) （为什么？）或x y(F(x)G(y)) （为什么？）(4) xF(x)y(G(x,y)H(y))解xF(x)y(G(x,y)H(y))zF(z)y(G(x,y)H(y)) （换名规则）z y(F(z)(G(x,y)H(y))) （为什么？）或xF(x)y(G(z,y)H(y)) （代替规则）x y(F(x)(G(z,y)H(y)))(5) x(F(x,y)y(G(x,y)H(x,z)))解用换名规则, 也可用代替规则, 这里用代替规则x(F(x,y)y(G(x,y)H(x,z)))x(F(x,u)y(G(x,y)H(x,z)))x y(F(x,u)G(x,y)H(x,z)))注意：x与y不能颠倒。
《离散数学》一阶逻辑
关于存在量词的:
x(A(x)B)xA(x)B x(A(x)B)xA(x)B
x(A(x)B)xA(x)B
x(BA(x))BxA(x)
注意量词的变化
注意量词的变化
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证明:设D={a1,a2,…,an}
（1）x(A(x)∨B) (A(a1)∨B) ∧(A(a2)∨B)∧… ∧(A(an)∨B) (A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an)) ∨B xA(x)∨B
设D={a1,a2,…,an} xA(x)A(a1)A(a2)…A(an) xA(x)A(a1)A(a2)…A(an)
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量词否定等值式
❖定理2.1 量词否定等值式
▪ xA(x) xA(x)
▪ xA(x) xA(x)
❖证明:设D={a1,a2,…,an}
▪
xA(x)
A(a(A1)(∨a1)∧AA(a(a2)2∨)∧……∨∧AA(a(na)n))
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明确个体域
例2.（1） 凡人都要死的。（ 2） 有人活百岁以上
❖ 考虑个体域D为人类集合
▪ F(x)： x是要死的。 x F(x)
个体域不同，符号化不同
▪ G(x)： x活百岁以上。 x G(x)
❖ 考虑个体域为全总个体域
▪ 对于所有个体而言，如果它是人，则它是要死的。引入新谓词 M(x): x是人。
(此点以后再讨论)； ❖ 当个体域为有限集时，如果D={a1,a2,…an},由量词的意义可以看出，对于
任意的谓词A(x), 都有：
▪ xA(x) A(a1)∧A (a2) ∧…∧A (an); ▪ xA(x) A (a1)∨A (a2) ∨…∨A (an).
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嵌套量词
❖多个量词同时出现时，不能随意颠倒他们的顺序。 ❖对任意的x，存在着y，使得 x+y=5.
离散数学课件第二章 一阶逻辑
§2.1
一阶逻辑的基本概念
原因：命题逻辑不考虑命题之间的内在联系
和数量关系。
要反映这种内在联系，就要对命题逻 辑进行分析 , 分析出其中的个体词、谓词和 量词，再研究它们之间的逻辑关系，总结出 正确的推理形式和规则，这就是一阶(谓词) 逻辑的研究内容。 办法：将命题再次细分。
解决这个问题的方法： 在表示命题时，既表示出主语，也表示 出谓语，就可以解决上述问题。这就提出了 谓词的概念(谓词是用来刻划个体词的性质 或事物之间的关系的词,谓词S(x)相当于一 个函数).
§2.1 一阶逻辑的基本概念
2.1.1 个体、谓词和命题函数 在谓词逻辑中，将原子命题分解为谓词和个体两部分。
主语 谓语 宾语
讨论对象 对象的性质或关系
讨论对象
个体词（组）
谓词
个体词（组）
1、定义：在原子命题中，所描述的对象称为个体；用 以描述个体的性质或个体间关系的部分，称为谓词。
例2.1：分析下列个命题中的个体和谓词
如何表示？
2.1.3 命题函数 谓词本身并不是命题，只有谓词的括号内填入足够 的个体，才变成命题。 设 H(x) 是谓词 表示 x “能够到达山顶” ， l 表示个体李四， t 表示老虎， c 表示汽车， 那么H（l）， H（t）， H（c），等分别表示各 个不同的命题：但它们有一个共同的形式， 即 H（x） 当 x 分别取 l、 t、 c 时 就表示“李四能够到达山顶”，“老虎能够到达山 顶”，“汽车能够到达山顶”。
Discrete Mathematics
刘师少
Tel： 86613747（h） E-mail： lss@
授课:
51学时
教学目标:
知识、能力、素质
第二章 一阶逻辑
离散数学第二章
5
3 量词的有关概念
1. 全称量词： “所有的”，“任何一个”，“每 全称量词： 所有的” 任何一个” 一个” 凡是” 一切” 一个”，“凡是”，“一切”表示个体域中每一 表示，称为全称量词。 用符号“ 个，用符号“∀”表示，称为全称量词。
如，所有的人都要呼吸。 所有的人都要呼吸。
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常用一阶逻辑中的基本等值式
1. 有限个体域 有限个体域D={a1, a2, … ,an }中消去量词 中消去量词 等值式: 等值式
1) ∀xA( x) ⇔ A(a1 ) ∧ A(a2 ) ∧⋯∧ A(an );
2) ∃xA( x ) ⇔ A(a1 ) ∨ A(a2 ) ∨ ⋯ ∨ A(an ).
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指导变项（ 指导变项（元）等概念
在合式公式∀ 和 在合式公式∀xA和∃xA中，称x是指导变元，称A为相应量词 中 是指导变元， 为相应量词 作用域或辖域。 的作用域或辖域。 在辖域中x的出现称为 在公式 中的约束出现 在辖域中 的出现称为x在公式 中的约束出现； 的出现称为 在公式A中的约束出现； 公式A中不是约束出现的其它变元称为该变元的自由出现. 中不是约束出现的其它变元称为该变元的自由出现 公式 中不是约束出现的其它变元称为该变元的自由出现 例1 指出下列公式中的指导变项、量词的辖域、个体变项的 指出下列公式中的指导变项、量词的辖域、 自由出现和约束出现. 自由出现和约束出现 1) 2) ∀xF(x,y)→∃x(G(x) ∧¬ ∀zP(x,z)) → ∀x ∃ y(A(x,y)→∃z(B(x) ∧P(x,z))) →
永假式 如果 在任何解释下均为假 称A为矛盾 如果A在任何解释下均为假 解释下均为假,称 为 或称永假式 式(或称永假式 ； 或称永假式)； 如果存在一个解释使A为真 则称A为 为真,则称 可满足式 如果存在一个解释使 为真 则称 为 可满足式； 可满足式；
《离散数学》第二章一阶逻辑
定义谓词F(x)：x是亚洲人。 x(M ( x) F ( x))
x(M ( x) F ( x))
真值： T
2013-7-29
离散数学
27
例：将下列命题符号化。 (1) 兔子比乌龟跑得快.
解：定义特性谓词F(x)：x是兔子。
G(y): y是乌龟。
x(M ( x) F ( x))
x(M ( x) F ( x))
考虑所有狮子都喝咖啡的情况。
左式为假，符合原句的意思。 对右式而言，设x是老虎，则右式为真。这和原 句是矛盾的。
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离散数学
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个体域对命题符号化的影响
例：将下列命题符号化。要求个体域为： （1）有理数集合；（2）实数集合；（3）全总个体域。 1. 凡是有理数均可表示成分数。 解：设P (x)：x是有理数。 Q (x)：x可以表示成分数。 （1）有理数集合：x Q(x) （2）实数集合： x (P(x) Q(x)) （3）全总个体域：x (P(x) Q(x)) 2. 有的有理数是整数。 解：设P (x)：x是有理数。 I (x)：x是整数。 （1）有理数集合： x I (x) （2）实数集合： x (P(x) I(x)) （3）全总个体域： x (P(x) I(x))
第二章 一阶逻辑
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离散数学
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所有的人都是要死的。 苏格拉底是人， 所以苏格拉底是要死的。
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离散数学
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命题逻辑的局限
符号化： P:所有的人都是要死的。 Q:苏格拉底是人， R:所以苏格拉底是要死的。 P∧Q→R 推理正确吗? 命题逻辑不能表现出简单命题中各部分的内在联系。
离散数学2 一阶逻辑
(1) 符号化为 xF ( x) F ( x) : x是要死的. 真命题
(2) 符号化为 xG( x) G( x) : x活百岁以上. 真命题
下面考虑以上两个命题的符号化
(1) 所有的人都是要死的。 (2) 有的人活百岁以上。 第二种情况：个体域D为全总个体域 (1) 对所有个体而言，如果它是人，则它是要死 的。 (2) 存在着个体，它是人并且活百岁以上。
又可符号化为：
xy M ( x) M ( y) H ( x, y) L( x, y)
例6 在一阶逻辑中将下面命题符号化
(2)每个自然数都有后继数。
x 是自然数， 解： F ( x) ：
y 是x的后继数 H ( x, y)：
x F ( x) y(F ( y) H ( x, y)
x M ( x) F ( x) x M ( x) F ( x)
例6 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 一切人都不一样高。
x 是人， H ( x, y)： x 和y不是同一个人 解：M ( x) ：
L ( x, y ) ： x 和y一样高
xy M ( x) M ( y) H ( x, y) L( x, y)
例如：判断以下推理是否正确： 凡人都是要死的， 苏格拉底是人， 所以苏格拉底是要死的。 命题逻辑的局限性： 未将 p, q, r 的内在联系反映出来 对简单命题进一步分析。
二、个体词，谓词，量词。
简 个体词 单 命 题 谓词 用来刻画个体词的
所研究对象中可以独立 存在的具体的或抽象的 客体
性质或个体词之间 关系的词
掌握在一阶逻辑中的命题符号化。
作 业
P52-53， 2.1，2.3(单)
第二节 一阶逻辑合式公式及解释
离散数学 第二章：一阶逻辑
(2) xF(x) G(x, y);
(3) xyR(x, y) L(y, z) xH(x, y).
2.闭式
定义6. 设A为任一公式,若A中无自由出现的个体变项,则称A是 封闭的合式公式,简记闭式.
例: xF(x) G(x),xyF(x) G(x, y) 闭式, 但 xF(x) G(x, y),zyL(x, y, z) 不是闭式.
(1)所有的人都要死的. (2)有的人活百岁以上.
全称量词:一切,所有,任意. 用 表示.
1.量词
x：表示对个体域中的所有个
xF(x)体：表. 示个体域中的所有个体都具有性质F.
存在量词:存在着,有一个,至少有一个. 用 表示.
x：表示存在个体域里的个体.
xF ( x)：表示存在着个体域中的个体具有性质F.
（2）xR(x) G(x), 其中 G(x): x是整数.
3) 同2).
例3. 将下面命题符号化. (1)对所有的x ,均有 x2-1=(x+1)(x-1). (2)存在x,使得 x+5=2.
要求: 1)个体域为自然数集合. 2)个体域为实数集合.
解：1) 不用引入特性谓词.
（1）xF(x), 其中 F(x): x2-1=(x+1)(x-1). 真命题
（3） xF(x) yF(y) L(x, y),
其中 F(x): x是自然数, L(x,y): y是 x的先驱数.
§2.2 一阶逻辑合式公式及解释
一、合式公式
1.字母表 定义1.字母表如下: (1)个体常项: a,b,c,… (2)个体变项: x,y,z,… (3)函数符号: f,g,h,… (4)谓词符号: F,G,H,…
离散数学 教案 第2章 复习总结
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计算机科学与技术学院
Discrete Mathematics 2. ① ② ③ ④ ⑤ 前提引入 由① ，US 由②，ES 由③，UG 由④，EG
在该推理过程中， 分析 在该推理过程中，因∃yF(z,y) 中存在自由出现的个 体变元z 因而不能使用ES规则，所以② ES规则 步错了。 体变元z，因而不能使用ES规则，所以② ～ ③步错了。
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计算机科学与技术学院
Discrete Mathematics 证明公式： xP(x)∧∃ ¬ 是永假式。 例3 证明公式：∀xP(x)∧∃y¬P(y) 是永假式。 证明：假设公式∀xP(x)∧∃ ¬ 不是永假式， 证明：假设公式∀xP(x)∧∃y¬P(y) 不是永假式， 那么至少存在一个个体域D几 上谓词的一种解 那么至少存在一个个体域 几D上谓词的一种解 xP(x)与 ¬ 同时为真。 释，使∀xP(x)与∃y¬P(y) 同时为真。 因为∀xP(x)为真，故在D中对任意个体x， 因为∀xP(x)为真，故在D中对任意个体x 为真 P(x)都为真 都为真。 ¬ 为真，则在D中 P(x)都为真。∃y¬P(y) 为真，则在 中，至少有 某个个体c，使得¬ 为真，因而在此解释下， 某个个体 ，使得¬P(c) 为真，因而在此解释下， P(c) 为假。但由∀xP(x)为真，可得 为假。但由∀xP(x)为真 可得P(c) 为真， 为真， 为真， 矛盾。 矛盾。 因此， xP(x)∧∃ ¬ 必是永假式。 因此，∀xP(x)∧∃y¬P(y) 必是永假式。
西南科技大学
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Discrete Mathematics 证明： 证明：① ∃x¬R(x) 前提引入 ¬ ② ¬R(c) 由①，ES x(Q(x)∨R ∨R(x)) 前提引入 ③ ∀x( ∨R ∨R(c) 由③，US ④ Q(c)∨R ∨R ⑤ Q(c) 由②、④ ，析取三段论 x(P(x)→¬Q(x)) 前提引入 ⑥ ∀x( → ⑦ P(c)→¬Q(c) 由⑥，US → ⑧ ¬P(c) 由⑤、 ⑦，拒取式 ⑨ ∃x¬P(x) 由⑧，EG ¬
离散数学第二章
(5) 只有有限次地应用(1)－(4)构成的符号串
才是合式公式(也称谓词公式)，简称公式。
(1) x( P( x) Q( y)) (2) x(G( x) xH ( x, y)) (3) x(y(R( x, y)) F ( x)) (4), x2 , xn )是任意 n 元谓词，
t1 , t2 ,, tn 是项，则称 R(t1 , t2 ,, tn ) 为原子公式。
4、合式公式的递归定义。
(1) 原子公式是合式公式；
(2) 若 A 是合式公式，则(A)也是合式公式；
(3)若 A, B 是合式公式，则( A B),( A B),
个体常项
用 a, b, c 表示
个体词 个体变项
用 x, y , z 表示
个体域(或称论域)——个体变项取值的范围。 2、 谓词——刻画个体词的性质或 个体词之间关系的词。
谓词常项
谓词 谓词变项
都用 F , G, H 表示
n元谓词(用 F ( x1 , x2 ,, xn ) 表示) 如 F ( x, y)：x 比 y 高。
构成了公式的一个解释。
1、解释 I 由以下4部分组成： (3) D 上一些特定的函数； (4) D 上一些特定的谓词；
例1 A x( P( x) Q( x))
I : D {2,3}, P( x) : x 2, Q( x) : x 3
A x( P( x) Q( x))
性质F 1 D中至少有一个元素满足 xF ( x) : D中所有元素不满足性质 F 0
D {a1, a1,, an }
xF( x) F (a1 ) F (a2 ) F (an ) xF( x) F (a1 ) F (a2 ) F (an )
离散数学2.2
一阶逻辑合式公式及解释
例2.8 给定解释N如下： 个体域为自然数集合DN； DN中特定元素a=0； DN上特定函数f(x,y)=x+y,g(x,y)=x*y; DN上特定谓词F(x,y)为x=y。 在解释N下，求下面公式的真值。 (3)xyzF(f(x,y),z); 注意：闭式在各种解释 xyz(x+y=z),是真命题 下都是命题，不是闭式 (4)xyF(f(x,y),g(x,y)); 则不一定有此性质。 xy(x+y=x*y),是假命题 (5)F(f(x,y),f(y,z)) x+y=y+z,真值不确定，所以不是命题
第二章 一阶逻辑
2.2
一阶逻辑合式公式及解释
例2.7 给定解释I如下： 1)DI={2,3}; 2)DI中特定元素a=2； 3)函数f(x)为f(2)=3,f(3)=2; 4)谓词F(x)为F(2)=0,F(3)=1;G(x,y)为G(i,j)=1,i,j=2,3. 在解释I下，求下列各式的真值。 (1)x( F ( x) G( x, a)); (2)x( F ( f ( x)) G( x, f ( x)));
(1)x( F ( x) G( x, a));
解 设(1)中公式为A，在解释I下： A(F(2)∧G(2,2))∧(F(3)∧G(3,2)) (0∧1)∧(1∧1) 0
第二章 一阶逻辑
2.2
一阶逻辑合式公式及解释
例2.7 给定解释I如下： 1)DI={2,3}; 2)DI中特定元素a=2； 3)函数f(x)为f(2)=3,f(3)=2; 4)谓词F(x)为F(2)=0,F(3)=1;G(x,y)为G(i,j)=1,i,j=2,3. 在解释I下，求下列各式的真值。
第二章 一阶逻辑
离散数学(第二版)第2章一阶逻辑
F表示“……是学生”； G表示“……整除……”； H表示“……位于……与……之间”。
第二章 一 阶 逻 辑
这时F、G、H表示的是具体的谓词，称为谓词常元， 否则，称为谓词变元。显然，单独的一个谓词(即使是谓词 常元)并不能构成一个完整的句子，必须以个体词取代 “……”方能构成一个句子。通常我们用小写的英文字母a、 b、c(可加下标)等表示个体。这样，“小王是学生”可符号 化为F(a)，其中a表示小王。若用b表示小李，则F(b)就表示 “小李是学生”。若用c1表示2，用c2表示6，则G(c1，c2)就 表示“2整除6”。
第二章 一 阶 逻 辑
事实上，在一般的简单命题中，常有一些表示数量的词 语，诸如“所有的”、“有一些”等等，用来表示谓词中 的变量取自论域中的全体或部分个体，例如下面的两个陈 述句：
“对所有的x∈D，论断F(x)为真。” “对某些x∈D，论断F(x)为真。” 在谓词逻辑中，我们用量词把它们形式化。
x y(F(x)∧G(y)∧ H(x，y)) x(F(x)∧ y (G(y)∧ H(x，y)))
第二章 一 阶 逻 辑
(4) 本命题的意思是：对于每个x，如果x是病人，就存 在着医生y，使得x相信y。因此，本命题符号化为：
x(F(x)→ y(G(y)∧H(x，y))) 【例2.1.5】将下列命题形式化为一阶逻辑中的命题： (1) 任意一个整数x，均有另一个整数y，使得x+y等于0。 (2) 存在这样的实数x，它与任何实数y的乘积均为y。
离散数学第二章一阶逻辑
(2) ∀x∀y(x+0=y →y+0=x) 真命题 (3) ∀x∀y∃z(x+y=z) 真命题 (4) ∀x∀y(x+y=x*y) 假命题 (5)x+y=y+z,它的真值不确定,因而不是命题. 注)非闭式,在有的解释中不是命题.
定义:设A为一公式(谓词公式),如果A在任何解释下都是 真的,则称A为逻辑有效式(永真式);如果A在任何解释下 都是假的,则称A是矛盾式(永假式);若至少存在一个解 释使A为真,则称A是可满足式. 2.代换实例 设A0是含命题变项p1,p2,…,pn的命题公式,A1,A2,…,An 是n个谓词公式,用Ai(1≤i≤n)处处代换pi,所得公式A 称为A0的代换实例. 例如:F(x)→G(x),∀xF(x)→∃xG(x)等都是p→q的代换实例; 命题公式中的重言式的代换实例在谓词公式中可仍称为重言式 ,这样的重言式都是逻辑有效式. 命题公式中的矛盾式的代换实例仍为矛盾式.
例2.7 给定解释I如下: 1)DI={2,3} 2)DI中特定元素a=2 3)函数f(x)为f(2)=3,f(3)=2 4)谓词F(x)为F(2)=0,F(3)=1 G(x,y)为G(i,j)=1,i,j=2,3 L(x,y)为L(2,2)=L(3,3)=1,L(2,3)=L(3,2)=0 在解释I下,求下列各式的真值 (1) ∀ ∀x(F(x)∧G(x,a)) (2)∃x(F(f(x))∧G(x,f(x))) ∃ (3)∀x∃yL(x,y) ∀ ∃
例2.2 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1)凡有理数均可表成分数; (2)有的有理数是整数; 要求:1)个体域为有理数集合, 2)个体域为实数集合, 3)个体域为全总个体域. 解: 1)个体域为有理数集合(不用引入特性谓词): (1) 设 F(x):x可表成分数; 则命题符号化为∀xF(x). ∀ (2) 设 G(x):x是整数;则命题符号化为∃xG(x). 2)个体域为实数集合(引入特性谓词):令 R(x):x是有理数; (1) 设F(x):x可表成分数;则命题符号化为∀x(R(x)→F(x)) (2) 设G(x):x是整数;则命题符号化为∃x(R(x)∧G(x))。
离散数学第五版第二章(耿素云、屈婉玲、张立昂编著)
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2.1一阶逻辑的基本概念
（2）谓词常项是指表示具体性质或关系的谓词称为谓词
常项，通常用F，G，H，……表示。
例如：x大于y。
（3）谓词变项是表示抽象G，H，……表示。
（4）n元谓词P（x1，x2，……，xn）表示含有n（n>0）
个命题变项：当n=1时，P（x1）表示x1具有性质 P；当n>1时，表示x1，x2……xn具有关系P。
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2.1一阶逻辑的基本概念
3. 量词
（1）量词是表示个体常项或变项之间数量关系的词。
（2）全称量词是表示日常用语中“一切的”、“所有
的”、“每一个”、“任意的”、“凡是”、 “都”等词，可符号化为∀，并用∀x，∀y等表示 个体域中的所有个体，用∀xF(x)，∀yG(y)表示
个体域中的所有个体都有性质F和都有性质G。
式公式。
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2.2一阶逻辑合式公式及解释
二、与合式公式相关的概念 1. 指导变元、辖域、约束出现、自由出现（定义2.5）
在公式xA和xA中，称x为指导变元，A为相应量词的 辖域。在x和x的辖域中，x的所有出现均为约束出 现，A中不是约束出现的其它变项均称为自由出现。
21
2.2一阶逻辑合式公式及解释
17
2.2一阶逻辑合式公式及解释
2. 一阶语言的项（定义2.2）
(1)个体常项和个体变项是项 (2)若（x1,x2,……,xn）是任意的n元函数，t1,t2,……，
tn是任意的n个项，则（t1,t2,……,tn）是项。 (3)所有的项都是有限次使用（1）,（2）得到的。
例如：a,b,x,y,f(x,y)=x+y,g(x,y)=x-y,h(x,y)=x*y， f(a,g(x,y))=a+(x-y) g(h(x,y),f(a,b))=x*y-(a+b)
离散数学一阶逻辑.ppt
xA(x) A(a1)∧A(a2) ∧…∧A(an); xA(x) A(a1)∨A(a2) ∨…∨A(an).
多个量词同时出现时，不能随意颠倒他们的顺序。
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例题
对任意的x，存在着y，使得 x+y=5.
H(x,y)表示x+y=5 可符号化成：x y H(x,y) 不可符号化成： y x H(x,y)
P37. 例题2.2、2.3、2.4、2.5
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第二章 一阶逻辑
第2章 一阶逻辑
2.1 一阶逻辑基本概念 2.2 一阶逻辑合式公式及解释 2.3 一阶逻辑等值式
17
2.2 一阶逻辑公式及解释
合式公式(简称公式) 个体变项的自由出现和约束出现 解释与分类
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一阶逻辑合式公式采用字母表
个体词:是可以独立存在的客体. 个体常项:用小写的英文字母
a,b,c,d…. 个体变项:用小写的英文字母
x,y,z…. 个体域:个体的取值范围. 全总个体域:指宇宙中的一切事物.
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2.谓词的相关概念
谓词: 表示个体词性质或相互之间关系的词
谓词常项：F(a)：a是人 谓词变项：F(x)：x具有性质F
在解释N下,下面那些公式为
真命题;
真?那些公式为假?
(3) x+y=y+z
(1)xF(g(x,a),x);
真值不确定,不是命题.
(2)xy(F(f(x,a),y)→F(f(y,a) ,x));
(3)F(f(x,y),f(y,z))
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公式的分类
设A为一公式(谓词公式) 如果A在任何解释下都是真的, 称A为 逻辑有效式(或永真式); 如果A在任何解释下都是假的, 称A为 矛盾式(或永假式); 若至少存在一个解释使A为真, 则称A 是可满足式(协调式).
离散数学一阶逻辑笔记
离散数学一阶逻辑笔记一、一阶逻辑基本概念。
（一）个体词。
1. 定义。
- 个体词是指所研究对象中可以独立存在的具体的或抽象的客体。
- 例如，在“小王是学生”中，“小王”就是个体词；在“3是有理数”中，“3”是个体词。
2. 分类。
- 个体常项：表示具体或特定的客体的个体词，常用a,b,c,·s表示。
“小李”可以用a表示。
- 个体变项：表示抽象或泛指的个体词，常用x,y,z,·s表示。
例如，“某个学生”可以用x表示。
（二）谓词。
1. 定义。
- 谓词是用来刻画个体词性质及个体词之间相互关系的词。
- 例如，在“小王是学生”中，“是学生”就是谓词，它刻画了“小王”的性质；在“3大于2”中，“大于”是谓词，它刻画了“3”和“2”之间的关系。
2. 分类。
- 谓词常项：表示具体性质或关系的谓词。
如“是偶数”是谓词常项。
- 谓词变项：表示抽象的、泛指的性质或关系的谓词。
- 一元谓词：与一个个体词相联系的谓词。
例如P(x)，其中P表示“是学生”，x是个体变项。
- 二元谓词：与两个个体词相联系的谓词。
例如Q(x,y)，其中Q表示“大于”，x,y是个体变项。
- n元谓词：与n个个体词相联系的谓词，一般表示为P(x_1,x_2,·s,x_n)。
（三）量词。
1. 全称量词。
- 符号表示为“∀”，表示“所有的”“任意一个”等。
- 例如，“所有的人都会呼吸”可以表示为∀ x(P(x)to Q(x))，其中P(x)表示“x是人”，Q(x)表示“x会呼吸”。
2. 存在量词。
- 符号表示为“∃”，表示“存在一个”“至少有一个”等。
- 例如，“存在一个数是偶数”可以表示为∃ x(P(x)，其中P(x)表示“x是数且x是偶数”。
二、一阶逻辑公式及其解释。
（一）一阶逻辑合式公式（谓词公式）1. 原子公式。
- 设P(x_1,x_2,·s,x_n)是n元谓词，t_1,t_2,·s,t_n是项，则P(t_1,t_2,·s,t_n)称为原子公式。
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量词否定等值式
1. 量词否定等值式
例题
1. 2是素数且是偶数. ① F(x): x是素数; ② G(x): x是偶数; ③ a:2 ④ 符号化为F(a)^G(a) 2. 如果2大于3,则2大于4. ① L(x,y): x大于y. ② a:2; b:3; c:4 ③ 符号化为L(a,b)->L(a,c)
量词
1. 量词:表示数量的词.
(1)x(F(x)∧G(x,a))
(2)x(F(f(x))∧G(x,f(x))) (3) x yL(x,y)
2. 解 (1),(2),(3)中公式分别为 A,B,C,则 ① A(F(2)∧G(2,2))∧(F(3) ∧G(3,2)) (0∧1) ∧(1 ∧1) 0 ② B(F(f(2)) ∧G(2,f(2))) ∨(F(f(3))∧G(3,f(3)) (F(3) ∧G(2,3))∨(F(2) ∧G(3,2)) (1∧1)∨(0 ∧1) 1 ③ C(L(2,2)∨L(2,3)) ∧(L(3,2) ∨L(3,3)) 1∧11
例题2.8 解释N
2. 解:在解释N下,公式分别 1. 解释N 化为: ① 个体域为自然数集合Dn; (1) x(x· 0=x) ② Dn中特定元素 a=0; 假命题; ③ Dn上特定函数 (2) xy(F(f(x,0),y) f(x,y)=x+y,g(x,y)=x· y; →F(f(y,0),x)) ④ Dn上特定谓词F(x,y)为x=y. xy(x+0=y→y+0=x) 在解释N下,下面那些公式为真? 真命题; 那些公式为假? (3) x+y=y+z (1)xF(g(x,a),x); 真值不确定,不是命题. (2)xy(F(f(x,a),y)→F(f(y,a),x)); (3)F(f(x,y),f(y,z))
例题2.9
1. 判断哪些是永真式,哪些是矛盾式?
① xF(x)→xF(x) ② xF(x)→(x yG(x,y) →xF(x))
2. 解
① 设I为任意的解释,其个体域为D。 若存在x0D,使得F(x0)为假, xF(x)为假,所以 xF(x)→xF(x)为真. 对于任意xD，F(x)为真,则xF(x), xF(x)同时为真. 所以xF(x)→xF(x)是永真式. ② p→(q→p)的代替实例,由p→(pv7q)是重言式可知, xF(x)→(x yG(x,y) →xF(x)).
明确个体域
1. 考虑个体域D为人类集合
① 凡人都要死的。 xF(x), 其中F(x)：x是要死的。 ② 有人活百岁以上。 xG(x), 其中G(x)：x活百岁以上。
2. 考虑个体域为全总个体域
① 对于所有个体而言，如果它是人，则它是要死的。 引入新谓词M(x): x是人。M(x)称为特性谓词 x(M(x)→F(x)) ② 存在着个体，它是人并且活百岁以上。 x(M(x)∧G(x))
解释I
1. 定义2.7 一个解释I由下面4部分组成 ① 非空个体域D; ② D中一部分特定元素; ③ D上一些特定的函数; ④ D上一些特定的谓词; 在使用一个解释I解释一个公式A时,将A中的 个体常项用I中特定常项代替,函数和谓词用I 中的特定函数和谓词代替. 如例题2.7（见下页）
例题2.7
指导变项, 辖域, 约束出现,自由出现 定义2.5 在合式公式xA和xA中，称x为指 导变项，称A为相应量词的辖域。 在辖域中，x的所有出现称为约束 出现（即x受相应量词指导变项的 约束），A中不是约束出现的其他 变项的出现称为自由出现。
例题2.6
指出下列合式公式中指导变项，量词辖域，个 体变项的约束出现，自由出现。 x(F(x)→yH(x,y)) yH(x,y)中，y为指导变项,的辖域为 H(x,y)，其中y为约束出现，x为自由出现。 整个公式，的辖域为(F(x)→yH(x,y))， x,y为约束出现，x约束两次，y约束一次。
换名规则 1. 换名规则：将量词辖域中出现的某个 约束出现的个体变项及对应的指导变 项,改成另一个辖域中未曾出现的个体 变项符号,公式其余部分不变. 2. 如：在xF(x)∧G(x,y)中,将约束出现 的x改成z,得到的公式为: zF(z)∧G(x,y)
代替规则 1. 代替规则:对某自由出现的个体变项 用与原公式中所有个体变项符号不同 的变项符号去代替,且处处代替. 2. 如：在xF(x)∧G(x,y)中,利用代替 规则,将自由出现的x用z代替,得 xF(x)∧G(z,y)
2. 全称量词:对应日常生活中用到的“一切”，“所 有的”，“任意的”，“不存在一个…不…”等词， 用符号“”表示。x表示个体域中的所有个体。 x F(x) 表示个体域中的所有个体具有属性 F。
3. 存在量词: 对应日常生活中用到的“存在着”， “有一个”，“至少有一个”, “不是所有的…都 不…”等词，用符号“”表示。x 表示存在个体 域中的个体。 x F(x) 表示存在个体域中的个体具有属性 F。
用量词时的注意点
1. 在不同的个体域中，命题符号化的形式可能不一样； 2. 如果事先没有给出个体域，都应以全总个体域为个体 域； 3. 个体域和谓词的含义确定之后，n元谓词要转化为命 题至少需要n个量词(此点以后再讨论)； 4. 当个体域为有限集时，如果D={a1,a2,…an},由量词的 意义可以看出，对于任意的谓词A(x), 都有： ① xA(x) A(a1)∧A(a2) ∧…∧A(an); ② xA(x) A(a1)∨A(a2) ∨…∨A(an). 5. 多个量词同时出现时，不能随意颠倒他们的顺序。
一阶逻辑
——理学院数学系 仝 辉
第二章 一阶逻辑
1.一阶逻辑的基本概念
2.一阶逻辑合式公式及解释
3.一阶逻辑等值式 4.一阶逻辑推理理论
苏格拉底三段论
1. 判断下面推理的正确性 ① 凡人都是要死的。 ② 苏格拉底是人。 ③ 所以苏格拉底是要死的。 2. 用p,q,r表示三个命题，则（p∧q）→r 并 不是重言式。 3. 原因缺少命题内在的联系的反映。
第二章 一阶逻辑
1.一阶逻辑的基本概念
2.一阶逻辑合式公式及解释
3.一阶逻辑等值式 4.一阶逻辑推理理论
一阶逻辑等值式
定义2.10 设A,B是一阶逻辑中任意的两公式,若AB为逻 辑有效式,则称A与B是等值的,记作AB,称AB 为等值式. ① p p∧ p 代换实例:xA(x) xA(x)∧xA(x) ② p→q p∨q xA(x) →xB(x) ( xA(x) )∨xB(x)
个体词,谓词
简单的命题被分解成个体词与 谓词.
① 6是合数； ②王宏是程序员； ③小李比小赵高2厘米。
个体词相关的基本概念
1. 个体词:是可以独立存在的客体. 2. 个体常项:用小写的英文字母 a,b,c,d…. 3. 个体变项:用小写的英文字母 x,y,z…. 4. 个体域:个体的取值范围. 5. 全总个体域:指宇宙中的一切事物.
量词否定等值式
1. 定理2.1 量词否定等值式 ① xA(x) xA(x) ② xA(x) xA(x)
2. 证明:设D={a1,a2,…,an} ① xA(x) (A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an)) A(a1)∨ A(a2)∨…∨ A(an) xA(x) ② xA(x) (A(a1)∨A(a2)∨…∨A(an)) A(a1) ∧ A(a2)∧…∧ A(an) xA(x)
1. 解释I如下:
① D1={2,3}; ② D1中特定元素a=2; ③ 函数f(x)为f(2)=3, f(3)=2; ④ 谓词F(x)为F(2)=0,F(3)=1; G(x,y)为G(i, j) =1, i, j=2,3; L(x,y)为L(2,2)=L(3,3)=1; L(2,3)=L(3,2)=0 在解释I下,求下列各式的真值.
例题
1. 对任意的x，存在着y，使得 x+y=5. ① H(x,y)表示x+y=5 ② 可符号化成：x y H(x,y) ③ 不可符号化成： y x H(x,y)
2. P40. 例题2.2、2.3、2.4、2.5
第二章 一阶逻辑
1.一阶逻辑的基本概念
2.一阶逻辑合式Байду номын сангаас式及解释
3.一阶逻辑等值式 4.一阶逻辑推理理论
封闭的合式公式
定义2.6: 设A为任一公式，若A中无自由 出现的个体变项，则称A是封闭的合式公 式，简称闭式。 ① x(F(x)→G(x)), xy(F(x)∨G(x,y)) 是闭式。 ② x(F(x)→G(x,y)), zyL(x,y,z) 不是闭式。 ③ xF(x)vG(x) 不是闭式。
项的递归定义
定义2.2 ① 个体常项和变项是项； ② 若（x1 ,x2 , …. , xn ）是任意的n元函数， t1 ,t2 , …. , tn是项，则 （t1 ,t2 , …. , tn ）是项。 ③ 只有有限次地使用①、②生成的符号串 才是项。 a,b, x,y, f(x,y)=x+y，h(x,y)=x•y都是项。
谓词和命题的关系
通常，n元谓词不是命题，因其真值无法确定。 如： L(x,y)。并没说明其谓词的意思。 当其谓词已为常项，其还不是命题。 如： L(x,y)： x小于y 。其真值仍无法确定。 只有当其谓词为常项，且n元个体词全为常量时， L(a,b)才是命题。 如：a=2, b=3, 其真值可唯一确定。 通常，将不带个体变项的谓词叫0元谓词。此时其不 一定是命题。只有当谓词为常项时，才是命题。 命题逻辑中的联结词在一阶逻辑中均可使用。
永真式,矛盾式,可满足式 设A为一公式(谓词公式) 如果A在任何解释下都是真的, 称A为 逻辑有效式(或永真式); 如果A在任何解释下都是假的, 称A为 矛盾式(或永假式); 若至少存在一个解释使A为真, 则称A 是可满足式(协调式).
代换实例
设A0是含命题变项p1,p2,…,pn的命 题公式,A1,A2,…,An是n个谓词公式, 用Ai(1≤i≤n)处处代替pi,所得公式A 称为A0的代换实例. F(x)→G(X), xF(x) →xG(x)都 是p→q的代替实例.