{3套试卷汇总}2018-2019东莞市中考数学阶段模拟试题

中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．下列各式：①a0=1 ②a2·a3=a5 ③ 2–2= –1
4
④–(3－5)＋(–2)4÷8×(–1)=0⑤x2+x2=2x2，其中正确的是( )
A．①②③B．①③⑤C．②③④D．②④⑤
【答案】D
【解析】根据实数的运算法则即可一一判断求解.
【详解】①有理数的0次幂，当a=0时，a0=0；②为同底数幂相乘，底数不变，指数相加，正确；③中
2–2= 1
4
，原式错误；④为有理数的混合运算，正确；⑤为合并同类项，正确．
故选D.
2．如图，小颖为测量学校旗杆AB的高度，她在E处放置一块镜子，然后退到C处站立，刚好从镜子中看到旗杆的顶部B．已知小颖的眼睛D离地面的高度CD＝1.5m，她离镜子的水平距离CE＝0.5m，镜子E离旗杆的底部A处的距离AE＝2m，且A、C、E三点在同一水平直线上，则旗杆AB的高度为（）
A．4.5m B．4.8m C．5.5m D．6 m
【答案】D
【解析】根据题意得出△ABE∽△CDE，进而利用相似三角形的性质得出答案．
【详解】解：由题意可得：AE＝2m，CE＝0.5m，DC＝1.5m，
∵△ABC∽△EDC，
∴，
即，
解得：AB＝6，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，根据题意得出△ABE∽△CDE是解答此题的关键．
3．若0＜m＜2，则关于x的一元二次方程﹣（x+m）（x+3m）＝3mx+37根的情况是（）
A．无实数根
B ．有两个正根
C ．有两个根，且都大于﹣3m
D ．有两个根，其中一根大于﹣m
【答案】A
【解析】先整理为一般形式，用含m 的式子表示出根的判别式△，再结合已知条件判断△的取值范围即可.
【详解】方程整理为22x 7mx 3m 370+++=，
△()()22249m 43m 3737m 4=-+=-，
∵0m 2<<，
∴2m 40-<，
∴△0<，
∴方程没有实数根，
故选A ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
4．已知二次函数y ＝ax 1+bx+c+1的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc ＞0；②b 1﹣4ac ＝0；③a ＞1；④ax 1+bx+c ＝﹣1的根为x 1＝x 1＝﹣1；⑤若点B （﹣14
，y 1）、C （﹣12，y 1）为函数图象上的两点，则y 1＞y 1．其中正确的个数是（ ）
A ．1
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】D 【解析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【详解】解：①由抛物线的对称轴可知：02b a
-
<， ∴0ab >，
由抛物线与y 轴的交点可知：22c +>，
∴0c >，
∴0abc >，故①正确；
②抛物线与x 轴只有一个交点，
∴0∆=，
∴240b ac -=，故②正确；
③令1x =-，
∴20y a b c =-++=， ∵12b a -=-，
∴2b a =，
∴220a a c -++=，
∴2a c =+，
∵22c +>，
∴2a >，故③正确；
④由图象可知：令0y =，
即202ax bx c =+++的解为121x x ==-,
∴22ax bx c ++=-的根为121x x ==-，故④正确；
⑤∵1
1
124-<-<-，
∴12y y >，故⑤正确；
故选D ．
【点睛】
考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用数形结合的思想.
5．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°, BE 平分∠ABC ，ED 垂直平分AB 于D ，若AC=9，则AE 的值是
（ ）
A ．3
B ．3
C ．6
D ．4
【答案】C
【解析】由角平分线的定义得到∠CBE=∠ABE，再根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，则∠A=∠ABE，可得∠CBE=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得到BE=2EC，即AE=2EC，由AE+EC=AC=9，即可求出AC．
【详解】解：∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠ABE，
∵ED垂直平分AB于D，
∴EA=EB，
∴∠A=∠ABE，
∴∠CBE=30°，
∴BE=2EC，即AE=2EC，
而AE+EC=AC=9，
∴AE=1．
故选C．
6．在同一直角坐标系中，函数y=kx-k与
k
y
x
=(k≠0)的图象大致是（）
A．B．C．D．【答案】D
【解析】根据k值的正负性分别判断一次函数y=kx-k与反比例函数
k
y
x
=(k≠0)所经过象限，即可得出答案.
【详解】解：有两种情况，
当k>0是时，一次函数y=kx-k的图象经过一、三、四象限，反比例函数
k
y
x
=(k≠0)的图象经过一、三象限；
当k<0时，一次函数y=kx-k的图象经过一、二、四象限，反比例函数
k
y
x
=(k≠0)的图象经过二、四象限；
根据选项可知，D选项满足条件. 故选D.
【点睛】
本题考查了一次函数、反比例函数的图象.正确这两种图象所经过的象限是解题的关键.
7．□ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（）
A．BE=DF B．AE=CF C．AF//CE D．∠BAE=∠DCF
【答案】B
【解析】根据平行线的判定方法结合已知条件逐项进行分析即可得.
【详解】A、如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，
∵BE=DF，∴OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意；
B、如图所示，AE=CF，不能得到四边形AECF是平行四边形，故符合题意；
C、如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，
∵AF//CE，∴∠FAO=∠ECO，
又∵∠AOF=∠COE，∴△AOF≌△COE，∴AF=CE，
∴AF//CE，∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意；
D、如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB//CD，
∴∠ABE=∠CDF，
又∵∠BAE=∠DCF，∴△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，∴∠AEO=∠CFO，
∴AE//CF，
∴AE//CF，∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意，
故选B.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的判定定理与性质定理是解题的关键.
8．把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】由（1）得x ＞-1，由（2）得x≤1，所以-1＜x≤1．故选B ．
9．如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长度为（ ）
A ．3
B ．2
C ．23
D ．()
123+ 【答案】C 【解析】过O 作OC ⊥AB ，交圆O 于点D ，连接OA ，由垂径定理得到C 为AB 的中点，再由折叠得到CD=OC ，求出OC 的长，在直角三角形AOC 中，利用勾股定理求出AC 的长，即可确定出AB 的长．
【详解】过O 作OC ⊥AB ，交圆O 于点D ，连接OA ，
由折叠得到CD=OC=12
OD=1cm ， 在Rt △AOC 中，根据勾股定理得：AC 2+OC 2=OA 2，
即AC 2+1=4，
解得：AC=3cm ，
则AB=2AC=23cm ．
故选C ．
【点睛】
此题考查了垂径定理，勾股定理，以及翻折的性质，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．
10．函数2y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】根据a 、b 的符号，针对二次函数、一次函数的图象位置，开口方向，分类讨论，逐一排除．
【详解】当a ＞0时，二次函数的图象开口向上，
一次函数的图象经过一、三或一、二、三或一、三、四象限，
故A 、D 不正确；
由B 、C 中二次函数的图象可知，对称轴x=-2b a ＞0，且a ＞0，则b ＜0， 但B 中，一次函数a ＞0，b ＞0，排除B ．
故选C ． 二、填空题（本题包括8个小题）
11．已知方程x 2﹣5x+2=0的两个解分别为x 1、x 2，则x 1+x 2﹣x 1•x 2的值为______．
【答案】1
【解析】解：根据题意可得x 1+x 2=b a -=5，x 1x 2=c a
=2，∴x 1+x 2﹣x 1x 2=5﹣2=1．故答案为：1． 点睛：本题主要考查了根据与系数的关系，利用一元二次方程的两个根x 1、
x 2具有这样的关系：x 1+x 2=b a -，x 1x 2=c a
是解题的关键． 12．若a m =5，a n =6，则a m+n =________．
【答案】1．
【解析】根据同底数幂乘法性质a m ·
a n =a m+n ,即可解题. 【详解】解：a m+n = a m ·
a n =5×6=1. 【点睛】
本题考查了同底数幂乘法计算,属于简单题,熟悉法则是解题关键.
13．如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，DE ∥AC ，若S △BDE ：S △CDE =1：3，则BE ：BC 的值为_________．
【答案】1：4
【解析】由S △BDE ：S △CDE =1：3，得到
BE 1CE 3=，于是得到 41BE BC =． 【详解】解：:1:3BDE CDE S S ，= 两个三角形同高，底边之比等于面积比.
13
BE CE ∴=， :1:4.BE BC ∴=
故答案为1:4.
【点睛】
本题考查了三角形的面积，比例的性质等知识，知道等高不同底的三角形的面积的比等于底的比是解题的关键．
14．如图,在△ABC 中,AB≠AC ．D,E 分别为边AB,AC 上的点.AC=3AD,AB=3AE,点F 为BC 边上一点,添加一个条件:______,可以使得△FDB 与△ADE 相似.(只需写出一个)
【答案】//DF AC 或BFD A ∠=∠
【解析】因为3AC AD =，3AB AE =,A A ∠=∠ ，所以ADE ∆ACB ~∆ ,欲使FDB ∆与ADE ∆相似，只需要FDB ∆与ACB ∆相似即可，则可以添加的条件有：∠A=∠BDF ，或者∠C=∠BDF,等等，答案不唯一.
【方法点睛】在解决本题目，直接处理FDB ∆与ADE ∆，无从下手，没有公共边或者公共角，稍作转化，通过ADE ∆ACB ~∆，FDB ∆得与ACB ∆相似.这时，柳暗花明，迎刃而解.
15．二次函数y=（a-1）x 2-x+a 2-1 的图象经过原点，则a 的值为______．
【答案】-1
【解析】将（2，2）代入y=（a-1）x 2-x+a 2-1 即可得出a 的值．
【详解】解：∵二次函数y=（a-1）x 2-x+a 2-1 的图象经过原点，
∴a 2-1=2，
∴a=±1，
∵a-1≠2，
∴a≠1，
∴a 的值为-1．
故答案为-1．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，图象过原点，可得出x=2时，y=2．
16．如图，在扇形AOB 中，∠AOB=90°，正方形CDEF 的顶点C 是弧AB 的中点，点D 在OB 上，点E 在OB 的延长线上，当正方形CDEF 的边长为4时，阴影部分的面积为_____．
【答案】4π﹣1
【解析】分析：连结OC ，根据勾股定理可求OC 的长，根据题意可得出阴影部分的面积=扇形BOC 的面积
-三角形ODC 的面积，依此列式计算即可求解．
详解：
连接OC ∵在扇形AOB 中∠AOB=90°，正方形CDEF 的顶点C 是AB 的中点，
∴∠COD=45°，
∴OC=2CD=42，
∴阴影部分的面积=扇形BOC 的面积-三角形ODC 的面积
=22451(42)43602
π⨯⨯-⨯=4π-1． 故答案是：4π-1.
点睛：考查了正方形的性质和扇形面积的计算，解题的关键是得到扇形半径的长度．
17．如图，在边长为9的正三角形ABC 中，BD=3，∠ADE=60°，则AE 的长为 ．
【答案】7
【解析】试题分析：∵△ABC 是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=BC ．
∴CD=BC －BD=9－3=6，；∠BAD+∠ADB=120°．
∵∠ADE=60°，∴∠ADB+∠EDC=120°．∴∠DAB=∠EDC ．
又∵∠B=∠C=60°，∴△ABD ∽△DCE ．
∴AB DC BD CE =，即96CE 23CE
=⇒=． ∴AE AC CE 927=-=-=．
18．如图，已知等腰直角三角形 ABC 的直角边长为 1，以 Rt △ABC 的斜边 AC 为直角 边，画第二个等腰直角三角形 ACD ，再以 Rt △ACD 的斜边 AD 为直角边，画第三个等腰直 角三角形 ADE……依此类推，直到第五个等腰直角三角形 AFG ，则由这五个等腰直角三角
形所构成的图形的面积为__________．
【答案】12.2
【解析】∵△ABC 是边长为1的等腰直角三角形，∴S △ABC =
12×1×1=12=11-1；
，
，∴S △ACD
=12
1-1 ∴第n 个等腰直角三角形的面积是1n-1．∴S △AEF =14-1=4，S △AFG =12-1=8， 由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为
12+1+1+4+8=12.2．故答案为12.2． 三、解答题（本题包括8个小题）
19．现有一次函数y ＝mx+n 和二次函数y ＝mx 2+nx+1，其中m≠0，若二次函数y ＝mx 2+nx+1经过点（2，0），（3，1），试分别求出两个函数的解析式．若一次函数y ＝mx+n 经过点（2，0），且图象经过第一、三象限．二次函数y ＝mx 2+nx+1经过点（a ，y 1）和（a+1，y 2），且y 1＞y 2，请求出a 的取值范围．若二次函数y ＝mx 2+nx+1的顶点坐标为A （h ，k ）（h≠0），同时二次函数y ＝x 2+x+1也经过A 点，已知﹣1＜h ＜1，请求出m 的取值范围．
【答案】（1）y ＝x ﹣2，y=12-x 2+32+1；（2）a ＜12
；（3）m ＜﹣2或m ＞1． 【解析】（1）直接将点代入函数解析式，用待定系数法即可求解函数解析式；
（2）点（2，1）代入一次函数解析式，得到n ＝−2m ，利用m 与n 的关系能求出二次函数对称轴x ＝1，由一次函数经过一、三象限可得m ＞1，确定二次函数开口向上，此时当 y 1＞y 2，只需让a 到对称轴的距离比a ＋1到对称轴的距离大即可求a 的范围．
（3）将A （h ，k ）分别代入两个二次函数解析式，再结合对称抽得h ＝n 2m
-，将得到的三个关系联立即可得到11
h m =-+，再由题中已知−1＜h ＜1，利用h 的范围求出m 的范围． 【详解】（1）将点（2，1），（3，1），代入一次函数y ＝mx+n 中，
0213m n m n
=+⎧⎨=+⎩， 解得12m n =⎧⎨=-⎩
， ∴一次函数的解析式是y ＝x ﹣2，
再将点（2，1），（3，1），代入二次函数y ＝mx 2+nx+1，
04211931m n m n =++⎧⎨=++⎩
， 解得1232m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，
∴二次函数的解析式是213122
y x =-++． （2）∵一次函数y ＝mx+n 经过点（2，1），
∴n ＝﹣2m ，
∵二次函数y ＝mx 2+nx+1的对称轴是x ＝n 2m -
， ∴对称轴为x ＝1，
又∵一次函数y ＝mx+n 图象经过第一、三象限，
∴m ＞1，
∵y 1＞y 2，
∴1﹣a ＞1+a ﹣1，
∴a ＜12
． （3）∵y ＝mx 2+nx+1的顶点坐标为A （h ，k ），
∴k ＝mh 2+nh+1，且h ＝n 2m
-， 又∵二次函数y ＝x 2+x+1也经过A 点，
∴k ＝h 2+h+1，
∴mh 2+nh+1＝h 2+h+1， ∴11
h m =-+， 又∵﹣1＜h ＜1，
∴m ＜﹣2或m ＞1．
【点睛】
本题考点：点与函数的关系；二次函数的对称轴与函数值关系；待定系数法求函数解析式；不等式的解法；数形结合思想是解决二次函数问题的有效方法．
20．已知抛物线y ＝ax 2﹣bx ．若此抛物线与直线y ＝x 只有一个公共点，且向右平移1个单位长度后，刚好过点（3，1）．
①求此抛物线的解析式；
②以y 轴上的点P （1，n ）为中心，作该抛物线关于点P 对称的抛物线y'，若这两条抛物线有公共点，求n 的取值范围；若a ＞1，将此抛物线向上平移c 个单位（c ＞1），当x ＝c 时，y ＝1；当1＜x ＜c 时，y ＞1．试比较ac 与1的大小，并说明理由．
【答案】（1）①212
y x x =-+；②n≤1；（2）ac≤1，见解析. 【解析】（1）①△＝1求解b ＝1，将点（3，1）代入平移后解析式，即可；
②顶点为（1，1
2
）关于P（1，n）对称点的坐标是（﹣1，2n﹣
1
2
），关于点P中心对称的新抛物线y'＝
1
2
（x+1）2+2n﹣
1
2
＝
1
2
x2+x+2n，联立方程组即可求n的范围；
（2）将点（c，1）代入y＝ax2﹣bx+c得到ac﹣b+1＝1，b＝ac+1，当1＜x＜c时，y＞1.
b
2a
≥c，b≥2ac，ac+1≥2ac，ac≥1；
【详解】解：（1）①ax2﹣bx＝x，ax2﹣（b+1）x＝1，
△＝（b+1）2＝1，b＝﹣1，
平移后的抛物线y＝a（x﹣1）2﹣b（x﹣1）过点（3，1），
∴4a﹣2b＝1，
∴a＝﹣1
2
，b＝﹣1，
原抛物线：y＝﹣
1
2
x2+x，
②其顶点为（1，
1
2
）关于P（1，n）对称点的坐标是（﹣1，2n﹣
1
2
），
∴关于点P中心对称的新抛物线y'＝1
2
（x+1）2+2n﹣
1
2
＝
1
2
x2+x+2n．
由
2
2
1
y=x+x+2n
2
1
y=-x+x
2
⎧
⎪⎪
⎨
⎪
⎪⎩
得：x2+2n＝1有解，所以n≤1．
（2）由题知：a＞1，将此抛物线y＝ax2﹣bx向上平移c个单位（c＞1），
其解析式为：y＝ax2﹣bx+c过点（c，1），
∴ac2﹣bc+c＝1 （c＞1），
∴ac﹣b+1＝1，b＝ac+1，
且当x＝1时，y＝c，
对称轴：x＝
b
2a
，抛物线开口向上，画草图如右所示．
由题知，当1＜x＜c时，y＞1．
∴b
2a
≥c，b≥2ac，
∴ac+1≥2ac，ac≤1；
【点睛】
本题考查二次函数的图象及性质；掌握二次函数图象平移时改变位置，而a的值不变是解题的关键．21．我们已经知道一些特殊的勾股数，如三连续正整数中的勾股数：3、4、5；三个连续的偶数中的勾股数6、8、10；事实上，勾股数的正整数倍仍然是勾股数．另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派提出的公式：a＝2n+1，b＝2n2+2n，c＝2n2+2n+1(n为正整数)是一组勾股数，请证明满足以上公式的a、b、c的数是一组勾股数．然而，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国
古代的着名数学着作《九章算术》中，书中提到：当a＝1
2
(m2﹣n2)，b＝mn，c＝
1
2
(m2+n2)(m、n为正整
数，m＞n时，a、b、c构成一组勾股数；利用上述结论，解决如下问题：已知某直角三角形的边长满足上述勾股数，其中一边长为37，且n＝5，求该直角三角形另两边的长．
【答案】(1)证明见解析；(2)当n＝5时，一边长为37的直角三角形另两边的长分别为12，1．
【解析】（1）根据题意只需要证明a2+b2＝c2，即可解答
（2）根据题意将n＝5代入得到a＝1
2
(m2﹣52)，b＝5m，c＝
1
2
(m2+25)，再将直角三角形的一边长为
37，分别分三种情况代入a＝1
2
(m2﹣52)，b＝5m，c＝
1
2
(m2+25)，即可解答
【详解】(1)∵a2+b2＝(2n+1)2+(2n2+2n)2＝4n2+4n+1+4n4+8n3+4n2＝4n4+8n3+8n2+4n+1，c2＝(2n2+2n+1)2＝4n4+8n3+8n2+4n+1，
∴a2+b2＝c2，
∵n为正整数，
∴a、b、c是一组勾股数；
(2)解：∵n＝5
∴a＝1
2
(m2﹣52)，b＝5m，c＝
1
2
(m2+25)，
∵直角三角形的一边长为37，∴分三种情况讨论，
①当a＝37时，1
2
(m2﹣52)＝37，
解得m＝(不合题意，舍去) ②当y＝37时，5m＝37，
解得m＝37
5
(不合题意舍去)；
③当z＝37时，37＝1
2
(m2+n2)，
解得m＝±7，
∵m＞n＞0，m、n是互质的奇数，
∴m＝7，
把m＝7代入①②得，x＝12，y＝1．
综上所述：当n＝5时，一边长为37的直角三角形另两边的长分别为12，1．【点睛】
此题考查了勾股数和勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键
22．解不等式组
20 {5121
1
23
x
x x
->
+-
+≥
①
②，并把解集在数轴上表示出
来．
【答案】﹣1≤x＜1．
【解析】求不等式组的解集首先要分别解出两个不等式的解集，然后利用口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（”确定不等式组解集的公共部分.
【详解】解不等式①，得
x＜1，
解不等式②，得x≥﹣1，
∴不等式组的解集是﹣1≤x＜1．
不等式组的解集在数轴上表示如下：
23．甲乙两名同学做摸球游戏，他们把三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中．求从袋中随机摸出一球，标号是1的概率；从袋中随机摸出一球后放回，摇匀后再随机摸出一球，若两次摸出的球的标号之和为偶数时，则甲胜；若两次摸出的球的标号之和为奇数时，则乙胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由．
【答案】（1）
1
3
；（2）这个游戏不公平，理由见解析.
【解析】（1）由把三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中，直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲胜，乙胜的情况，即可求得求概率，比较大小，即可知这个游戏是否公平．
【详解】解：（1）由于三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中，故从袋中随机摸出一球，标号是1的概率为：
1
3
；
（2）这个游戏不公平．
画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两次摸出的球的标号之和为偶数的有5种情况，两次摸出的球的标号之和为奇数的有4种情况，
∴P（甲胜）=5
9，P（乙胜）=
4
9
．
∴P（甲胜）≠P（乙胜），
故这个游戏不公平．
【点睛】
本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
24．《九章算术》中有这样一道题，原文如下：
今有甲乙二人持钱不知其数.甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十.问甲、乙持钱各几何？大意为：
今有甲、乙二人，不知其钱包里有多少钱.若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；若甲把其2
3
的钱给
乙，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？请解答上述问题.
【答案】甲有钱75
2
，乙有钱25.
【解析】设甲有钱x，乙有钱y，根据相等关系：甲的钱数+乙钱数的一半=50，甲的钱数的三分之二+乙的钱数=50列出二元一次方程组求解即可．
【详解】解：设甲有钱x，乙有钱y.
由题意得：
1
50
2
2
50
3
x y
x y
⎧
+=
⎪⎪
⎨
⎪+=
⎪⎩
，
解方程组得：
75
2
25
x
y
⎧
⎪⎪
=
⎨
⎪
⎪=
⎩
，
答：甲有钱75
2
，乙有钱25.
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意正确的找出两个相等关系是解决此题的关键．25．如图，AB为⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD=60°，P为AB延长线上的点，∠APD=30°．
求证：DP 是⊙O 的切线；若⊙O 的半径为3cm ，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）2933()22
cm . 【解析】（1）连接OD ，求出∠AOD ，求出∠DOB ，求出∠ODP ，根据切线判定推出即可．
（2）求出OP 、DP 长，分别求出扇形DOB 和△ODP 面积，即可求出答案．
【详解】解：（1）证明：连接OD ，
∵∠ACD=60°，
∴由圆周角定理得：∠AOD=2∠ACD=120°．
∴∠DOP=180°﹣120°=60°．
∵∠APD=30°，
∴∠ODP=180°﹣30°﹣60°=90°． ∴OD ⊥DP ．
∵OD 为半径，
∴DP 是⊙O 切线．
（2）∵∠ODP=90°，∠P=30°，OD=3cm ，
∴OP=6cm ，由勾股定理得：3． ∴图中阴影部分的面积221603933333()236022
ODP DOB S S S cm 扇形 26．用你发现的规律解答下列问题．
111122
=-⨯ 1112323
=-⨯ 1113434=-⨯ ┅┅计算111111223344556
++++=⨯⨯⨯⨯⨯ ．探究
1111......122334(1)
n n ++++=⨯⨯⨯+ ．（用含有n 的式子表示）若1111......133557(21)(21)n n ++++⨯⨯⨯-+的值为1735
，求n 的值． 【答案】解：（1）56；（2）n n 1
+；（3）n=17. 【解析】（1）、根据给出的式子将各式进行拆开，然后得出答案；（2）、根据给出的式子得出规律，然后根据规律进行计算；（3）、根据题意将式子进行展开，然后列出关于n 的一元一次方程，从而得出n 的值.
【详解】(1)原式=1−
12+12−13+13−14+14−15+15−16=1−16=56. 故答案为56
； (2)原式=1−12+12−13+13−14+…+1n −1n 1+=1−1n 1+=n n 1
+ 故答案为n n 1
+； (3)113⨯ +135⨯+157⨯+…+1n n （2-1）（2+1）
=12 (1−13+13−15+15−17+…+12n 1-−12n 1+) =12(1−12n 1
+) =n 2n 1
+ =1735
解得：n=17.
考点：规律题.
中考数学模拟试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．已知a为整数，且3<a<5，则a等于()
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】直接利用3，5接近的整数是1，进而得出答案．
【详解】∵a为整数，且3<a<5，
∴a=1．
故选：B．
【点睛】
考查了估算无理数大小，正确得出无理数接近的有理数是解题关键．
2．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（）
A．84 B．336 C．510 D．1326
【答案】C
【解析】由题意满七进一，可得该图示为七进制数，化为十进制数为：1×73+3×72+2×7+6=510，
故选：C．
点睛：本题考查记数的方法，注意运用七进制转化为十进制，考查运算能力，属于基础题.
3．如图所示的几何体的俯视图是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有看到的棱都应表现在俯视图中．
【详解】从上往下看，该几何体的俯视图与选项D所示视图一致．
故选D．
【点睛】
本题考查了简单组合体三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
4．随着“中国诗词大会”节目的热播，《唐诗宋词精选》一书也随之热销．如果一次性购买10本以上，超过10本的那部分书的价格将打折，并依此得到付款金额y（单位：元）与一次性购买该书的数量x（单位：本）之间的函数关系如图所示，则下列结论错误的是（）
A．一次性购买数量不超过10本时，销售价格为20元/本
B．a＝520
C．一次性购买10本以上时，超过10本的那部分书的价格打八折
D．一次性购买20本比分两次购买且每次购买10本少花80元
【答案】D
【解析】A、根据单价＝总价÷数量，即可求出一次性购买数量不超过10本时，销售单价，A选项正确；C、根据单价＝总价÷数量结合前10本花费200元即可求出超过10本的那部分书的单价，用其÷前十本的单价即可得出C正确；B、根据总价＝200+超过10本的那部分书的数量×16即可求出a值，B正确；D，求出一次性购买20本书的总价，将其与400相减即可得出D错误．此题得解．
【详解】解：A、∵200÷10＝20（元/本），
∴一次性购买数量不超过10本时，销售价格为20元/本，A选项正确；
C、∵（840﹣200）÷（50﹣10）＝16（元/本），16÷20＝0.8，
∴一次性购买10本以上时，超过10本的那部分书的价格打八折，C选项正确；
B、∵200+16×（30﹣10）＝520（元），
∴a＝520，B选项正确；
D、∵200×2﹣200﹣16×（20﹣10）＝40（元），
∴一次性购买20本比分两次购买且每次购买10本少花40元，D选项错误．
故选D．
【点睛】
考查了一次函数的应用，根据一次函数图象结合数量关系逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
5．如图，有一张三角形纸片ABC，已知∠B＝∠C＝x°，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，可能得不到全等三角形纸片的是( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】根据全等三角形的判定定理进行判断．
【详解】解：A、由全等三角形的判定定理SAS证得图中两个小三角形全等，故本选项不符合题意；
B、由全等三角形的判定定理SAS证得图中两个小三角形全等，
故本选项不符合题意；
C、
如图1，∵∠DEC＝∠B+∠BDE，
∴x°+∠FEC＝x°+∠BDE，
∴∠FEC＝∠BDE，
所以其对应边应该是BE和CF，而已知给的是BD＝FC＝3，
所以不能判定两个小三角形全等，故本选项符合题意；
D、
如图2，∵∠DEC＝∠B+∠BDE，
∴x°+∠FEC＝x°+∠BDE，
∴∠FEC＝∠BDE，
∵BD＝EC＝2，∠B＝∠C，
∴△BDE≌△CEF，
所以能判定两个小三角形全等，故本选项不符合题意；
由于本题选择可能得不到全等三角形纸片的图形，
故选C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，注意三角形边和角的对应关系是关键．
6．完全相同的6个小矩形如图所示放置，形成了一个长、宽分别为n、m的大矩形，则图中阴影部分的周长是（）
A．6（m﹣n）B．3（m+n）C．4n D．4m
【答案】D
【解析】解：设小长方形的宽为a，长为b，则有b=n-3a，
阴影部分的周长：
2(m-b)+2(m-3a)+2n=2m-2b+2m-6a+2n=4m-2(n-3a)-6a+2n=4m-2n+6a-6a+2n=4m．
故选D．
7．□ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（）
A．BE=DF B．AE=CF C．AF//CE D．∠BAE=∠DCF
【答案】B
【解析】根据平行线的判定方法结合已知条件逐项进行分析即可得.
【详解】A、如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，
∵BE=DF，∴OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意；
B、如图所示，AE=CF，不能得到四边形AECF是平行四边形，故符合题意；
C、如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，
∵AF//CE，∴∠FAO=∠ECO，
又∵∠AOF=∠COE，∴△AOF≌△COE，∴AF=CE，
∴AF//CE，∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意；
D、如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB//CD，
∴∠ABE=∠CDF，
又∵∠BAE=∠DCF，∴△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，∴∠AEO=∠CFO，
∴AE//CF，
∴AE//CF，∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意，
故选B.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的判定定理与性质定理是解题的关键.
8．小亮家与姥姥家相距24 km，小亮8：00从家出发，骑自行车去姥姥家．妈妈8：30从家出发，乘车沿相同路线去姥姥家．在同一直角坐标系中，小亮和妈妈的行进路程s(km)与时间t(h)的函数图象如图所示．根据图象得出下列结论，其中错误的是()
A．小亮骑自行车的平均速度是12 km/h
B．妈妈比小亮提前0.5 h到达姥姥家
C．妈妈在距家12 km处追上小亮
D．9：30妈妈追上小亮
【答案】D
【解析】根据函数图象可知根据函数图象小亮去姥姥家所用时间为10﹣8=2小时，进而得到小亮骑自行车的平均速度，对应函数图象，得到妈妈到姥姥家所用的时间，根据交点坐标确定妈妈追上小亮所用时间，即可解答．
【详解】解：A、根据函数图象小亮去姥姥家所用时间为10﹣8=2小时，
∴小亮骑自行车的平均速度为：24÷2=12（km/h），故正确；
B、由图象可得，妈妈到姥姥家对应的时间t=9.5，小亮到姥姥家对应的时间t=10，10﹣9.5=0.5（小时），∴妈妈比小亮提前0.5小时到达姥姥家，故正确；
C、由图象可知，当t=9时，妈妈追上小亮，此时小亮离家的时间为9﹣8=1小时，
∴小亮走的路程为：1×12=12km，
∴妈妈在距家12km出追上小亮，故正确；
D、由图象可知，当t=9时，妈妈追上小亮，故错误；
故选D．
【点睛】
本题考查函数图像的应用，从图像中读取关键信息是解题的关键.
9．某中学为了创建“最美校园图书屋”，新购买了一批图书，其中科普类图书平均每本书的价格是文学类图书平均每本书价格的1.2倍．已知学校用12000元购买文学类图书的本数比用这些钱购买科普类图书的本数多100本，那么学校购买文学类图书平均每本书的价格是多少元？设学校购买文学类图书平均每本书的价格是x元，则下面所列方程中正确的是（）
A．1200012000
100 1.2
x x
=
+
B．
1200012000
100
1.2
x x
=+
C．1200012000
100 1.2
x x
=
-
D．
1200012000
100
1.2
x x
=-
【答案】B
【解析】首先设文学类图书平均每本的价格为x元，则科普类图书平均每本的价格为1.2x元，根据题意可得等量关系：学校用12000元购买文学类图书的本数比用这些钱购买科普类图书的本数多100本，根据等量关系列出方程，
【详解】设学校购买文学类图书平均每本书的价格是x元，可得：1200012000
100
1.2
x x
=+
故选B．【点睛】
此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 10．不等式组325521x x +>⎧⎨-≥⎩
的解在数轴上表示为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C 【解析】先解每一个不等式，再根据结果判断数轴表示的正确方法．
【详解】解：由不等式①，得3x ＞5-2，解得x ＞1，
由不等式②，得-2x≥1-5，解得x≤2，
∴数轴表示的正确方法为C ．
故选C ．
【点睛】
考核知识点：解不等式组.
二、填空题（本题包括8个小题）
11．如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，将△ABC 沿射线BC 方向平移m 个单位得到△DEF ，顶点A ，B ，C 分别与D ，E ，F 对应，若以A ，D ，E 为顶点的三角形是等腰三角形，且AE 为腰，则m 的值是______．
【答案】258
或5或1． 【解析】根据以点A ，D ，E 为顶点的三角形是等腰三角形分类讨论即可．
【详解】解：如图
（1）当在△ADE 中，DE=5，当AD=DE=5时为等腰三角形，此时m=5.
(2)又AC=5，当平移m 个单位使得E 、C 点重合，此时AE=ED=5,平移的长度m=BC=1,
(3)可以AE 、AD 为腰使ADE 为等腰三角形，设平移了m 个单位：
则223(m-4)+AD=m ， 得：2223(m-4)=m +，得m=
258, 综上所述：m 为258
或5或1，
所以答案：
258
或5或1． 【点睛】 本题主要考查等腰三角形的性质，注意分类讨论的完整性.
12．圆锥的底面半径为2，母线长为6，则它的侧面积为_____．
【答案】12π．
【解析】试题分析：根据圆锥的底面半径为2，母线长为6，直接利用圆锥的侧面积公式求出它的侧面积．
解：根据圆锥的侧面积公式：πrl=π×2×6=12π，
故答案为12π．
考点：圆锥的计算．
13．中国古代的数学专著《九章算术》有方程组问题“五只雀，六只燕，共重1斤(等于16两)，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．”设每只雀、燕的重量各为x 两，y 两，则根据题意，可得方程组为___．
【答案】561645x y x y y x +=⎧⎨+=+⎩
【解析】设每只雀、燕的重量各为x 两，y 两，由题意得：
5616{45x y x y y x
+++＝＝ 故答案是：5616{45x y x y y x +++＝＝或5616{34x y x y
+== ． 14．在平面直角坐标系中，如果点P 坐标为（m ，n ），向量OP 可以用点P 的坐标表示为OP =（m ，n ），已知：OA =（x 1，y 1），OB =（x 2，y 2），如果x 1•x 2+y 1•y 2=0，那么OA 与OB 互相垂直，下列四组向量：
①OC =（2，1），OD =（﹣1，2）；②OE =（cos30°，tan45°），OF =（﹣1，sin60°）；③OG =﹣
，﹣2）
，OH =，12）；④OC =（π0，2），ON =（2，﹣1）．其中互相垂直的是______（填上所有正确答案的符号）．
【答案】①③④
【解析】分析：根据两个向量垂直的判定方法一一判断即可；
详解：①∵2×(−1)+1×2=0，
∴OC 与OD 垂直;
②∵3cos301tan45sin60⨯+⋅=
+= ∴OE 与OF 不垂直.。