2018年高考理科数学模拟试卷1

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2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学

绝密★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（一）本试题卷共2页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．[2018·晋城一模]已知集合(){},2M x y x y =+=，(){},2N x y x y =-=，则集合M N = （）A ．{}0,2B ．()2,0C ．(){}0,2D ．(){}2,0【答案】D【解析】解方程组22x y x y +=-=⎧⎨⎩，得20x y =⎧⎨=⎩．故(){}2,0M N = ．选D ．2．[2018·台州期末]（i 为虚数单位）班级姓名准考证号考场号座位号此卷只装订不密封A ．2B ．1C ．12D．2【答案】C11i 22z ∴=-=，选C ． 3．[2018·德州期末]如图所示的阴影部分是由x 轴及曲线sin y x =围成，在矩形区域OABC 内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率是（）A ．2πB ．12C ．1πD ．3π【答案】A【解析】由题意，得矩形区域OABC 的面积为1π1πS =⨯=，阴影部分的面积为OABC 内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为212πS P S ==．故选A ． 4．[2018·滁州期末]A ．4-B ．4C．13-D ．13【答案】C【解析】sin 2costan 2ααα-=-⇒=，C ．5．[2018·陕西一模]《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为（）A ．2 B．4+ C．4+D．4+【答案】C【解析】根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，底面是一个直角三2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，∴几C ．6．[2018·天津期末]已知实数x ，y 满足2210x y x y +-⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≥，若z x my =+的最大值为10，则m =（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】作出可行域，如图ABC △内部（含边界），其中()2,4A ，()2,1B ，()1,1C -，若A 是最优解，则2410m +=，2m =，检验符合题意；若B 是最优解，则210m +=，8m =，检验不符合题意，若8m =，则z 最大值为34；若C 是最优解，则110m -+=，11m =，检验不符合题意；所以2m =，故选B ．7．[2018·蚌埠一模]已知()201720162018201721f x x x x =++++，下列程序框图设计的是求()0f x 的值，在“ ”中应填的执行语句是（）A ．2018n i =-B ．2017n i =-C ．2018n i =+D ．2017n i =+【答案】A【解析】不妨设01x =，要计算()120182017201621f =+++++ ，首先201812018S =⨯=，下一个应该加2017，再接着是加2016，故应填2018n i =-．8．[2018·达州期末]若函数()24x f x a =--存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则a 的取值范围为（） A ．()0,4 B ．()0,+∞C ．()3,4D ．()3,+∞【答案】C【解析】如图，若()24x f x a =--存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则()34a ∈，，故选C ．9．[2018·朝阳期末]阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 与A ，B 当P ，A ，B 不共线时，PAB △面积的最大值是（）开始i =1,n =2018结束i ≤2017？是否输入x 0S =2018输出SS =Sx 0S =S+ni =i +1A．BC．3D．3【答案】A【解析】如图，以经过A ，B 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系；则：()10A -，，()10B ，，设()P x y ，，两边平方并整理得：()222261038x y x x y +-+=⇒-+=．∴PAB △面积的最大值是122⨯⨯=A ．10．[2018·郴州一中]双曲线2222:1(0,0)xy C a b a b -=>>的离心率3e =，右焦点为F ，点A 是双曲线C 的一条渐近线上位于第一象限内的点，AOFOAF ∠=∠，AOF △的面积为，则双曲线C 的方程为（）A ．2213612x y -= B ．221186x y -= C ．22193x y -= D ．2213x y -=【答案】C【解析】由点A 所在的渐近线为0,bx ay -=三个该渐近线的倾斜角为α，则，AOF OAF ∠=∠ ，所以直线AF 的倾斜角为2α，2222tan 2tan21tan aba bααα==--，与0bx ay -=联立解得122AOFab S cab c ∴=⨯⨯==△，因为双曲线的离心率3e =b a ∴=，与ab =联立得3a =，b =22193x y -=．故选C ．11．[2018·昆明一中]设锐角ABC △的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1c =，2A C =，则ABC △周长的取值范围为（） A．(0,2 B．(0,3C．(2+ D．(2+【答案】C【解析】因为ABC △为锐角三角形，所以cos 2C <<；又因为2A C =，所以sin 2sin cos A C C =，又因为1c =，所以2cos a C =；由sin sin b cB C=，即2sin sin34cos 1sin sin c B Cb C C C ===-，所以24cos 2cos a b c C C ++=+，令cos t C =，则(,22t ∈⎭，又因为函数242y t t =+在( ,22⎭上单调递增，所以函数值域为(2，故选：C ．12．[2018·济南期末]若关于x 的方程e 0e e xx xx m x ++=+有三个不相等的实数解1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<<，其中m ∈R ，e 2.71828= 为自然对数的底数，则3122312111e e e x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（） A ．1 B ．e C ．1m - D ．1m +【答案】A【解析】101t m t ++=+，()()2110t m t m ∴++++=，由韦达定理可得()1a b t t m +=-+，1a b t t m ⋅=+，()()3131131111x x x x t t e e ⎛⎫⎛⎫∴++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()1313=+1=11+1=1t t t t m m ++-+++，可得：31223121111e e e x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即3122312111e e e x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为1，故选A ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2018年全国普通高等学校高考高三数学模拟试卷及解析高三理科数学(一)

2018年全国普通高等学校高考数学模拟理科数学试题及解析一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知集合A＝{x|﹣x2＋4x≥0},,C＝{x|x＝2n,n∈N},则(A∪B)∩C＝()A.{2,4}B.{0,2}C.{0,2,4}D.{x|x＝2n,n∈N}2.(5分)设i是虚数单位,若,x,y∈R,则复数x＋yi的共轭复数是()A.2﹣iB.﹣2﹣iC.2＋iD.﹣2＋i3.(5分)已知等差数列{a n}的前n项和是S n,且a4＋a5＋a6＋a7＝18,则下列命题正确的是()A.a5是常数B.S5是常数C.a10是常数D.S10是常数4.(5分)七巧板是我们祖先的一项创造,被誉为“东方魔板”,它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点,则此点取自黑色部分的概率是()A. B. C. D.5.(5分)已知点F为双曲线C：(a＞0,b＞0)的右焦点,直线x＝a与双曲线的渐近线在第一象限的交点为A,若AF的中点在双曲线上,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.6.(5分)已知函数则()A.2＋πB.C.D.7.(5分)执行如图所示的程序框图,则输出的S的值为()A. B. C. D.8.(5分)已知函数(ω＞0)的相邻两个零点差的绝对值为,则函数f(x)的图象()A.可由函数g(x)＝cos4x的图象向左平移个单位而得B.可由函数g(x)＝cos4x的图象向右平移个单位而得C.可由函数g(x)＝cos4x的图象向右平移个单位而得D.可由函数g(x)＝cos4x的图象向右平移个单位而得9.(5分)的展开式中剔除常数项后的各项系数和为()A.﹣73B.﹣61C.﹣55D.﹣6310.(5分)某几何体的三视图如图所示,其中俯视图中六边形ABCDEF是边长为1的正六边形,点G为AF的中点,则该几何体的外接球的表面积是()A. B. C. D.11.(5分)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F,过点F分别作两条直线l1,l2,直线l1与抛物线C交于A、B两点,直线l2与抛物线C交于D、E两点,若l1与l2的斜率的平方和为1,则|AB|＋|DE|的最小值为()A.16B.20C.24D.3212.(5分)若函数y＝f(x),x∈M,对于给定的非零实数a,总存在非零常数T,使得定义域M内的任意实数x,都有af(x)＝f(x＋T)恒成立,此时T为f(x)的类周期,函数y＝f(x)是M上的a级类周期函数.若函数y＝f(x)是定义在区间[0,＋∞)内的2级类周期函数,且T＝2,当x∈[0,2)时,函数.若∃x1∈[6,8],∃x2∈(0,＋∞),使g(x2)﹣f(x1)≤0成立,则实数m的取值范围是()A. B. C. D.二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.(5分)已知向量,,且,则＝.14.(5分)已知x,y满足约束条件则目标函数的最小值为.15.(5分)在等比数列{a n}中,a2•a3＝2a1,且a4与2a7的等差中项为17,设b n＝a2n﹣1﹣a2n,n∈N*,则数列{b n}的前2n项和为.16.(5分)如图,在直角梯形ABCD中,AB⊥BC,AD∥BC,,点E是线段CD 上异于点C,D的动点,EF⊥AD于点F,将△DEF沿EF折起到△PEF的位置,并使PF ⊥AF,则五棱锥P﹣ABCEF的体积的取值范围为.三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(12分)已知△ABC的内角A,B,C的对边a,b,c分别满足c＝2b＝2,2bcosA＋acosC ＋ccosA＝0,又点D满足.(1)求a及角A的大小；(2)求的值.B1C1D1中,底面ABCD是正方形,且,∠18.(12分)在四棱柱ABCD﹣AA1AB＝∠A1AD＝60°.(1)求证：BD⊥CC1；(2)若动点E在棱C1D1上,试确定点E的位置,使得直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为.19.(12分)“过大年,吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2018年春节前夕,A 市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺,检测其某项质量指标,(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)①由直方图可以认为,速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),利用该正态分布,求Z落在(14.55,38.45)内的概率；②将频率视为概率,若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺,记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X,求X的分布列和数学期望.附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；②若,则P(μ﹣σ＜Z≤μ＋σ)＝0.6826,P(μ﹣2σ＜Z≤μ＋2σ)＝0.9544.20.(12分)已知椭圆C：的离心率为,且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：y＝kx＋2与椭圆C相交于A,B两点,在y轴上是否存在点D,使直线AD与BD的斜率之和k AD＋k BD为定值？若存在,求出点D坐标及该定值,若不存在,试说明理由.21.(12分)已知函数f(x)＝e x﹣2(a﹣1)x﹣b,其中e为自然对数的底数.(1)若函数f(x)在区间[0,1]上是单调函数,试求实数a的取值范围；(2)已知函数g(x)＝e x﹣(a﹣1)x2﹣bx﹣1,且g(1)＝0,若函数g(x)在区间[0,1]上恰有3个零点,求实数a的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,圆C1的参数方程为(θ为参数,a 是大于0的常数).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C2的极坐标方程为.(1)求圆C1的极坐标方程和圆C2的直角坐标方程；(2)分别记直线l：,ρ∈R与圆C1、圆C2的异于原点的焦点为A,B,若圆C1与圆C2外切,试求实数a的值及线段AB的长.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数f(x)＝|2x＋1|.(1)求不等式f(x)≤10﹣|x﹣3|的解集；(2)若正数m,n满足m＋2n＝mn,求证：f(m)＋f(﹣2n)≥16.2018年全国普通高等学校高考数学模拟理科数学试题及解析(一)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知集合A＝{x|﹣x2＋4x≥0},,C＝{x|x＝2n,n∈N},则(A∪B)∩C＝()A.{2,4}B.{0,2}C.{0,2,4}D.{x|x＝2n,n∈N}【试题解答】解：A＝{x|﹣x2＋4x≥0}＝{x|0≤x≤4},＝{x|3﹣4＜3x＜33}＝{x|﹣4＜x＜3},则A∪B＝{x|﹣4＜x≤4},C＝{x|x＝2n,n∈N},可得(A∪B)∩C＝{0,2,4},故选C.2.(5分)设i是虚数单位,若,x,y∈R,则复数x＋yi的共轭复数是()A.2﹣iB.﹣2﹣iC.2＋iD.﹣2＋i【试题解答】解：由,得x＋yi＝＝2＋i,∴复数x＋yi的共轭复数是2﹣i.故选：A.3.(5分)已知等差数列{a n}的前n项和是S n,且a4＋a5＋a6＋a7＝18,则下列命题正确的是()A.a5是常数B.S5是常数C.a10是常数D.S10是常数【试题解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和是S n,且a4＋a5＋a6＋a7＝18,∴a4＋a5＋a6＋a7＝2(a1＋a10)＝18,∴a1＋a10＝9,∴＝45.故选：D.4.(5分)七巧板是我们祖先的一项创造,被誉为“东方魔板”,它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点,则此点取自黑色部分的概率是()A. B. C. D.【试题解答】解：设AB＝2,则BC＝CD＝DE＝EF＝1,∴S＝××＝,△BCIS平行四边形EFGH＝2S△BCI＝2×＝,∴所求的概率为P＝＝＝.故选：A.5.(5分)已知点F为双曲线C：(a＞0,b＞0)的右焦点,直线x＝a与双曲线的渐近线在第一象限的交点为A,若AF的中点在双曲线上,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.【试题解答】解：设双曲线C：的右焦点F(c,0),双曲线的渐近线方程为y＝x,由x＝a代入渐近线方程可得y＝b,则A(a,b),可得AF的中点为(,b),代入双曲线的方程可得﹣＝1,可得4a2﹣2ac﹣c2＝0,由e＝,可得e2＋2e﹣4＝0,解得e＝﹣1(﹣1﹣舍去),故选：D.6.(5分)已知函数则()A.2＋πB.C.D.【试题解答】解：∵,＝∫cos2tdt＝＝＝,∴＝()＋(﹣cosx)＝﹣2.故选：D.7.(5分)执行如图所示的程序框图,则输出的S的值为()A. B. C. D.【试题解答】解：第1次循环后,S＝,不满足退出循环的条件,k＝2；第2次循环后,S＝,不满足退出循环的条件,k＝3；第3次循环后,S＝＝2,不满足退出循环的条件,k＝4；…第n次循环后,S＝,不满足退出循环的条件,k＝n＋1；…第2018次循环后,S＝,不满足退出循环的条件,k＝2019第2019次循环后,S＝＝2,满足退出循环的条件,故输出的S值为2,故选：C8.(5分)已知函数(ω＞0)的相邻两个零点差的绝对值为,则函数f(x)的图象()A.可由函数g(x)＝cos4x的图象向左平移个单位而得B.可由函数g(x)＝cos4x的图象向右平移个单位而得C.可由函数g(x)＝cos4x的图象向右平移个单位而得D.可由函数g(x)＝cos4x的图象向右平移个单位而得【试题解答】解：函数＝sin(2ωx)﹣•＋＝sin(2ωx﹣)(ω＞0)的相邻两个零点差的绝对值为,∴•＝,∴ω＝2,f(x)＝sin(4x﹣)＝cos[(4x﹣)﹣]＝cos(4x﹣).故把函数g(x)＝cos4x的图象向右平移个单位,可得f(x)的图象,故选：B.9.(5分)的展开式中剔除常数项后的各项系数和为()A.﹣73B.﹣61C.﹣55D.﹣63【试题解答】解：展开式中所有各项系数和为(2﹣3)(1＋1)6＝﹣64；＝(2x﹣3)(1＋＋＋…),其展开式中的常数项为﹣3＋12＝9,∴所求展开式中剔除常数项后的各项系数和为﹣64﹣9＝﹣73.故选：A.10.(5分)某几何体的三视图如图所示,其中俯视图中六边形ABCDEF是边长为1的正六边形,点G为AF的中点,则该几何体的外接球的表面积是()A. B. C. D.【试题解答】解：如图,可得该几何体是六棱锥P﹣ABCDEF,底面是正六边形,有一PAF侧面垂直底面,且P在底面的投影为AF中点,过底面中心N作底面垂线,过侧面PAF的外心M作面PAF的垂线,两垂线的交点即为球心O,设△PAF的外接圆半径为r,,解得r＝,∴,则该几何体的外接球的半径R＝,∴表面积是则该几何体的外接球的表面积是S＝4πR2＝.故选：C.11.(5分)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F,过点F分别作两条直线l1,l2,直线l1与抛物线C交于A、B两点,直线l2与抛物线C交于D、E两点,若l1与l2的斜率的平方和为1,则|AB|＋|DE|的最小值为()A.16B.20C.24D.32【试题解答】解：抛物线C：y2＝4x的焦点F(1,0),设直线l1：y＝k1(x﹣1),直线l2：y＝k2(x﹣1),由题意可知,则,联立,整理得：k12x2﹣(2k12＋4)x＋k12＝0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1＋x2＝,设D(x3,y3),E(x4,y4),同理可得：x3＋x4＝2＋,由抛物线的性质可得：丨AB丨＝x1＋x2＋p＝4＋,丨DE丨＝x3＋x4＋p＝4＋,∴|AB|＋|DE|＝8＋＝＝,当且仅当＝时,上式“＝”成立.∴|AB|＋|DE|的最小值24,故选：C.12.(5分)若函数y＝f(x),x∈M,对于给定的非零实数a,总存在非零常数T,使得定义域M内的任意实数x,都有af(x)＝f(x＋T)恒成立,此时T为f(x)的类周期,函数y＝f(x)是M上的a级类周期函数.若函数y＝f(x)是定义在区间[0,＋∞)内的2级类周期函数,且T＝2,当x∈[0,2)时,函数.若∃x1∈[6,8],∃x2∈(0,＋∞),使g(x2)﹣f(x1)≤0成立,则实数m的取值范围是()A. B. C. D.【试题解答】解：根据题意,对于函数f(x),当x∈[0,2)时,,分析可得：当0≤x≤1时,f(x)＝﹣2x2,有最大值f(0)＝,最小值f(1)＝﹣,当1＜x＜2时,f(x)＝f(2﹣x),函数f(x)的图象关于直线x＝1对称,则此时有﹣＜f(x)＜,又由函数y＝f(x)是定义在区间[0,＋∞)内的2级类周期函数,且T＝2；则在∈[6,8)上,f(x)＝23•f(x﹣6),则有﹣12≤f(x)≤4,则f(8)＝2f(6)＝4f(4)＝8f(2)＝16f(0)＝8,则函数f(x)在区间[6,8]上的最大值为8,最小值为﹣12；对于函数,有g′(x)＝﹣＋x＋1＝＝,分析可得：在(0,1)上,g′(x)＜0,函数g(x)为减函数,在(1,＋∞)上,g′(x)＞0,函数g(x)为增函数,则函数g(x)在(0,＋∞)上,由最小值f(1)＝＋m,若∃x1∈[6,8],∃x2∈(0,＋∞),使g(x2)﹣f(x1)≤0成立,必有g(x)min≤f(x)max,即＋m≤8,解可得m≤,即m的取值范围为(﹣∞,]；故选：B.二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.(5分)已知向量,,且,则＝.【试题解答】解：根据题意,向量,,若,则•＝2sinα﹣cosα＝0,则有tanα＝,又由sin2α＋cos2α＝1,则有或,则＝(,)或(﹣,﹣),则||＝,则＝2＋2﹣2•＝；故答案为：14.(5分)已知x,y满足约束条件则目标函数的最小值为.【试题解答】解：由约束条件作出可行域如图,联立,解得A(2,4),＝,令t＝5x﹣3y,化为y＝,由图可知,当直线y＝过A时,直线在y轴上的截距最大,t有最小值为﹣2.∴目标函数的最小值为.故答案为：.15.(5分)在等比数列{a n}中,a2•a3＝2a1,且a4与2a7的等差中项为17,设b n＝a2n﹣1﹣a2n,n∈N*,则数列{b n}的前2n项和为.【试题解答】解：等比数列{a n}中,a2•a3＝2a1,且a4与2a7的等差中项为17,设首项为a1,公比为q,则：,整理得：,解得：.则：,﹣a2n＝＝﹣22n﹣4,所以：b n＝a2n﹣1则：T 2n ＝＝.故答案为：.16.(5分)如图,在直角梯形ABCD 中,AB ⊥BC,AD ∥BC,,点E 是线段CD上异于点C,D 的动点,EF ⊥AD 于点F,将△DEF 沿EF 折起到△PEF 的位置,并使PF ⊥AF,则五棱锥P ﹣ABCEF 的体积的取值范围为 (0,) .【试题解答】解：∵PF ⊥AF,PF ⊥EF,AF ∩EF ＝F, ∴PF ⊥平面ABCD.设PF ＝x,则0＜x ＜1,且EF ＝DF ＝x.∴五边形ABCEF 的面积为S ＝S 梯形ABCD ﹣S △DEF ＝×(1＋2)×1﹣x 2＝(3﹣x 2).∴五棱锥P ﹣ABCEF 的体积V ＝(3﹣x 2)x ＝(3x ﹣x 3),设f(x)＝(3x ﹣x 3),则f′(x)＝(3﹣3x 2)＝(1﹣x 2), ∴当0＜x ＜1时,f′(x)＞0,∴f(x)在(0,1)上单调递增,又f(0)＝0,f(1)＝. ∴五棱锥P ﹣ABCEF 的体积的范围是(0,). 故答案为：.三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(12分)已知△ABC 的内角A,B,C 的对边a,b,c 分别满足c ＝2b ＝2,2bcosA ＋acosC＋ccosA＝0,又点D满足.(1)求a及角A的大小；(2)求的值.【试题解答】解：(1)由2bcosA＋acosC＋ccosA＝0及正弦定理得﹣2sinBcosA＝sinAcosC＋cosAsinC,即﹣2sinBcosA＝sin(A＋C)＝sinB,在△ABC中,sinB＞0,所以.又A∈(0,π),所以.在△ABC中,c＝2b＝2,由余弦定理得a2＝b2＋c2﹣2bccosA＝b2＋c2＋bc＝7,所以.(2)由,得＝,所以.18.(12分)在四棱柱ABCD﹣AB1C1D1中,底面ABCD是正方形,且,∠A1AB＝∠A1AD＝60°.(1)求证：BD⊥CC1；(2)若动点E在棱C1D1上,试确定点E的位置,使得直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为.【试题解答】解：(1)连接A1B,A1D,AC,因为AB＝AA1＝AD,∠A1AB＝∠A1AD＝60°,所以△A1AB和△A1AD均为正三角形,于是A1B＝A1D.设AC与BD的交点为O,连接A1O,则A1O⊥BD,又四边形ABCD是正方形,所以AC⊥BD,而A1O∩AC＝O,所以BD⊥平面A1AC.又AA1⊂平面A1AC,所以BD⊥AA1,又CC1∥AA1,所以BD⊥CC1.(2)由,及,知A 1B⊥A1D,于是,从而A1O⊥AO,结合A1O⊥BD,AO∩AC＝O,得A1O⊥底面ABCD,所以OA、OB、OA1两两垂直.如图,以点O为坐标原点,的方向为x轴的正方向,建立空间直角坐标系O﹣xyz,则A(1,0,0),B(0,1,0),D(0,﹣1,0),A1(0,0,1),C(﹣1,0,0),,,,由,得D1(﹣1,﹣1,1).设(λ∈[0,1]),则(x E＋1,y E＋1,z E﹣1)＝λ(﹣1,1,0),即E(﹣λ﹣1,λ﹣1,1),所以.设平面B 1BD的一个法向量为,由得令x＝1,得,设直线DE与平面BDB1所成角为θ,则,解得或(舍去),所以当E为D1C1的中点时,直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为.19.(12分)“过大年,吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2018年春节前夕,A 市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺,检测其某项质量指标,(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)①由直方图可以认为,速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),利用该正态分布,求Z落在(14.55,38.45)内的概率；②将频率视为概率,若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺,记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X,求X的分布列和数学期望.附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；②若,则P(μ﹣σ＜Z≤μ＋σ)＝0.6826,P(μ﹣2σ＜Z≤μ＋2σ)＝0.9544.【试题解答】解：(1)所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为.(2)①∵Z 服从正态分布N(μ,σ2),且μ＝26.5,σ≈11.95,∴P(14.55＜Z ＜38.45)＝P(26.5﹣11.95＜Z ＜26.5＋11.95)＝0.6826, ∴Z 落在(14.55,38.45)内的概率是0.6826.②根据题意得X ～B(4,),；；；；.∴X 的分布列为∴.20.(12分)已知椭圆C ：的离心率为,且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与椭圆C 相交于A,B 两点,在y 轴上是否存在点D,使直线AD 与BD 的斜率之和k AD ＋k BD 为定值？若存在,求出点D 坐标及该定值,若不存在,试说明理由.【试题解答】解：(1)由已知可得解得a2＝2,b2＝c2＝1,所求椭圆方程为.(2)由得(1＋2k2)x2＋8kx＋6＝0,则△＝64k2﹣24(1＋2k2)＝16k2﹣24＞0,解得或.设A(x1,y1),B(x2,y2),则,,设存在点D(0,m),则,,所以＝＝.要使k AD＋k BD为定值,只需6k﹣4k(2﹣m)＝6k﹣8k＋4mk＝2(2m﹣1),k与参数k无关,故2m﹣1＝0,解得,当时,k AD＋k BD＝0.综上所述,存在点,使得k AD＋k BD为定值,且定值为0.21.(12分)已知函数f(x)＝e x﹣2(a﹣1)x﹣b,其中e为自然对数的底数.(1)若函数f(x)在区间[0,1]上是单调函数,试求实数a的取值范围；(2)已知函数g(x)＝e x﹣(a﹣1)x2﹣bx﹣1,且g(1)＝0,若函数g(x)在区间[0,1]上恰有3个零点,求实数a的取值范围.【试题解答】解：(1)根据题意,函数f(x)＝e2﹣2(a﹣1)x﹣b,其导数为f'(x)＝e x﹣2(a﹣1),当函数f(x)在区间[0,1]上单调递增时,f'(x)＝e x﹣2(a﹣1)≥0在区间[0,1]上恒成立,∴2(a﹣1)≤(e x)min＝1(其中x∈[0,1]),解得；当函数f(x)在区间[0,1]单调递减时,f'(x)＝e x﹣2(a﹣1)≤0在区间[0,1]上恒成立,∴2(a﹣1)≥(e x)max＝e(其中x∈[0,1]),解得.综上所述,实数a的取值范围是.(2)函数g(x)＝e x﹣(a﹣1)x2﹣bx﹣1,则g'(x)＝e x﹣2(a﹣1)x﹣b,分析可得f(x)＝g'(x).由g(0)＝g(1)＝0,知g(x)在区间(0,1)内恰有一个零点,设该零点为x0,则g(x)在区间(0,x0)内不单调,所以f(x)在区间(0,x0)内存在零点x1,同理,f(x)在区间(x0,1)内存在零点x2,所以f(x)在区间(0,1)内恰有两个零点.由(1)知,当时,f(x)在区间[0,1]上单调递增,故f(x)在区间(0,1)内至多有一个零点,不合题意.当时,f(x)在区间[0,1]上单调递减,故f(x)在(0,1)内至多有一个零点,不合题意；所以.令f'(x)＝0,得x＝ln(2a﹣2)∈(0,1),所以函数f(x)在区间[0,ln(2a﹣2)]上单调递减,在区间(ln(2a﹣2),1]上单调递增.记f(x)的两个零点为x1,x2(x1＜x2),因此x1∈(0,ln(2a﹣2)],x2∈(ln(2a﹣2),1),必有f(0)＝1﹣b＞0,f(1)＝e﹣2a＋2﹣b＞0.由g(1)＝0,得a＋b＝e,所以,又f(0)＝a﹣e＋1＞0,f(1)＝2﹣a＞0,所以e﹣1＜a＜2.综上所述,实数a的取值范围为(e﹣1,2).请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,圆C1的参数方程为(θ为参数,a 是大于0的常数).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C2的极坐标方程为.(1)求圆C1的极坐标方程和圆C2的直角坐标方程；(2)分别记直线l：,ρ∈R与圆C1、圆C2的异于原点的焦点为A,B,若圆C1与圆C2外切,试求实数a的值及线段AB的长.【试题解答】解：(1)圆C1：(θ是参数)消去参数θ,得其普通方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝a2,将x＝ρcosθ,y＝ρsinθ代入上式并化简,得圆C1的极坐标方程,由圆C2的极坐标方程,得ρ2＝2ρcosθ＋2ρsinθ.将x＝ρcosθ,y＝ρsinθ,x2＋y2＝ρ2代入上式,得圆C2的直角坐标方程为(x﹣1)2＋(y﹣1)2＝2.(2)由(1)知圆C1的圆心C1(﹣1,﹣1),半径r1＝a；圆C 2的圆心C2(1,1),半径,,∵圆C1与圆C2外切,∴,解得,即圆C1的极坐标方程为.将代入C1,得,得；将代入C2,得,得；故.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数f(x)＝|2x＋1|.(1)求不等式f(x)≤10﹣|x﹣3|的解集；(2)若正数m,n满足m＋2n＝mn,求证：f(m)＋f(﹣2n)≥16.【试题解答】解：(1)此不等式等价于或或解得或或3＜x≤4.即不等式的解集为.(2)证明：∵m＞0,n＞0,m＋2n＝mn,,即m＋2n≥8,当且仅当即时取等号.∴f(m)＋f(﹣2n)＝|2m＋1|＋|﹣4n＋1|≥|(2m＋1)﹣(﹣4n＋1)|＝|2m＋4n|＝2(m＋2n)≥16,当且仅当﹣4n＋1≤0,即时,取等号.∴f(m)＋f(﹣2n)≥16.。

泄露天机2018高考押题卷理科数学(一)

泄露天机2018高考押题卷理科数学(一) 2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（一）注意事项：1.在答题卡上填写姓名和准考证号。

2.选择题用铅笔在答题卡上标记选项，非选择题在答题卡上作答。

3.考试结束后将试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

1.复数z=a+ai(a∈R)的共轭复数为z，满足z=1，则复数z 为（）A。

2+iB。

2-iC。

1+iD。

i解析】根据题意可得，z=a-ai，所以z^2=a^2+1=1，解得a=0，所以复数z=i。

2.集合A={θ|0＜θ＜π/2.2＜sinθ≤1}，B={φ|4/5＜φ＜1}，则集合AB={θ|π/4＜θ＜π/2.4/5＜sinθ≤1}。

解析】A可以化为{θ|π/6＜θ＜π/2}，所以AB为{θ|π/4＜θ＜π/2.4/5＜sinθ≤1}。

3.从有2对不同表征的小鼠（白色斑块和短鼻子野生小鼠各一对）的实验箱中每次拿出一只，不放回地拿出2只，则拿出的野生小鼠不是同一表征的概率为3/4.解析】分别设一对白色斑块的野生小鼠为A，a，另一对短鼻子野生小鼠为B，b，从2对野生小鼠中不放回地随机拿出2只，所求基本事件总数为4×3=12种，拿出的野生小鼠不是同一表征的事件为(A,a)，(a,A)，(B,b)，(b,B)，所以概率为3/4.1.将函数f(x)=2sin(ωx+ϕ)的图像向左平移π/6个单位长度后得到函数y=sin2x+3cos2x的图像，求ϕ的可能值。

解析：将函数y=sin2x+3cos2x=2sin(2x+π/3)的图像向右平移π/6个单位长度，得到函数y=2sin2x的图像。

因此，ϕ=π/6.2.在XXX墓中发掘出堆积如山的“汉五铢”铜钱，假设把2000余缗铜钱放在一起码成一堆，摆放规则如下：底部并排码放70缗，然后一层一层往上码，每层递减一缗，最上面一层为31缗，则这一堆铜钱的数量为多少？解析：构成一个以首项为70缗，末项为31缗，项数为40层，公差为1的等差数列，则和为S=40×(70+31)=2020缗，这一堆铜钱的数量为2020×1000=2.02×106枚。

山东省淄博市2018届高三下学期第一次模拟考试数学(理)

山东省淄博市2018届高三下学期第一次模拟考试数学(理)淄博市2017-2018学年度高三模拟考试试题理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若集合 $A=\{x\in N|2x\leq 8\},B=\{0,1,2,3,4\}$，则$A\cap B=$A。

$\{0,1,2,3\}$B。

$\{1,2,3\}$C。

$\{0,1,2\}$D。

$\{0,1,2,3,4\}$2.在复平面内，复数 $z$ 满足 $z(1+i)=1-2i$，则 $z$ 对应的点位于A。

第一象限B。

第二象限C。

第三象限D。

第四象限3.若 $0.43a=3,b=0.4,c=\log_{0.4}3$，则A。

$b<a<c$B。

$c<a<b$XXX<c<b$D。

$c<b<a$4.若 $\sin2\alpha=\frac{\sin(\alpha-\pi/2)}{2\cos(\alpha+\pi/2)}$，则 $\sin\alpha$ 的值为A。

$\frac{5}{7}$B。

$\frac{5}{3}$C。

$-\frac{3}{5}$D。

$-\frac{5}{3}$5.已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A。

$\frac{2}{3}$B。

$\frac{5}{6}$C。

$1$D。

$2$6.设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量 $X$，且$X\sim N(800,502)$。

记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过 $2X\sim N(\mu,\sigma^2)$ 的概率为 $p$，则 $p$ 的值为（参考数据：若 $P(\mu-\sigma<X\leq\mu+\sigma)=0.6826$，$P(\mu-2\sigma<X\leq\mu+2\sigma)=0.9544$，$P(\mu-3\sigma<X\leq\mu+3\sigma)=0.9974$）A。

2018年高考数学模拟试卷(理科)带答案精讲

2018年高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．）1．（5分）已知复数z1=2+i，z2=a﹣i，z1•z2是实数，则实数a=（）A．2 B．3 C．4 D．52．（5分）若集合A={0，1，2，3}，集合B={x|x∈A且1﹣x∉A}，则集合B的元素的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．43．（5分）一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，则这个几何体的俯视图一定不是（）A．B．C．D．4．（5分）从编号为001，002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007，032，则样本中最大的编号应该为（）A．480 B．481 C．482 D．4835．（5分）函数f（x）的导函数f′（x）的图象是如图所示的一条直线l，l与x轴交点的坐标为（1，0），则f（0）和f（3）的大小关系为（）A．f（0）＜f（3）B．f（0）＞f（3）C．f（0）=f（3）D．不能确定6．（5分）一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有（）A．13项B．12项C．11项D．10项7．（5分）当0＜x＜1时，f（x）=，则下列大小关系正确的是（）A．f2（x）＜f（x）＜f（x2）B．f（x2）＜f2（x）＜f（x）C．f（x）＜f（x2）＜f2（x）D．f2（x）＜f（x2）＜f（x）8．（5分）如图所示计算机程序的打印结果为（）A．B．C．D．9．（5分）如图，已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=4，P是双曲线右支上的一点，F2P与y轴交于点A，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|=1，则双曲线的离心率是（）A．3 B．2 C．D．10．（5分）已知函数f（x）的导函数的图象如图所示，a、b、c分为△ABC的边且3a2+3b2﹣c2=4ab，则一定成立的是（）A．f（sinA）≤f（cosB）B．f（sinA）≥f（cosB）C．f（sinA）≥f（sinB）D．f（cosA）≤f（cosB）二、填空题（本大题共4小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.）（一）必做题（11-14题）11．（5分）某天上午要排物理，化学，生物和两节自习课共5节，如果第一节不排自习课，那么不同的排法共有种（用数字作答）．12．（5分）已知点P（t，2）在不等式组所表示的平面区域内运动，l 为过点P和坐标原点O的直线，则l的斜率的最大值为．13．（5分）某一物体在某种介质中作直线运动，已知t时刻，它的速度为v，位移为s，且它在该介质中所受到的阻力F与速度v的平方成正比，比例系数为k，若已知s=t2，则该物体由位移s=0移动到位移s=a时克服阻力所作的功为．（注：变力F做功W=∫F（s）ds，结果用k，a表示）14．（5分）已知椭圆+=1（a＞b＞0），P（x，y），Q（x′，y′）是椭圆上异于顶点的两点，有下列四个不等式①a2+b2≥（x+y）2；②+≥（+）2；③4（）2≤（）2；④+≤1．其中不等式恒成立的序号是．（填所有正确命题的序号）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，如果全选，则按第15题作答结果计分.）15．（5分）（几何证明选讲选做题）如图，半径为2的⊙O中，∠AOB=90°，D 为OB的中点，AD的延长线交⊙O于点E，则线段DE的长为．16．设直线l1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系得另一直线l2的方程为ρsinθ﹣3ρcosθ+4=0，若直线l1与l2间的距离为，则实数a的值为．三、解答题（本大题共6小题，前4题每题12分，21题13分，22题14分）17．（12分）已知向量=（，sinx），=（cos2x，﹣cosx），x∈R，设函数f （x）=•（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及在区间[0，π]上的单调区间；（Ⅱ）若f（θ）=1，求cos2（﹣θ）+sinθcosθ的值．18．（12分）已知函数f（x）=4x，数列{a n}中，2a n+1﹣2a n+a n+1a n=0，a1=1且a n ≠0，若数列{b n}中，b1=2且b n=f（）（n≥2）．（Ⅰ）求证：数列{}是等差数列，并求出数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和T n．19．（12分）如图1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E、F分别为边AD和BC上的点，且EF∥AB，AD=2AE=2AB=4FC=4．将四边形EFCD沿EF折起成如图2的位置，使AD=AE．（1）求证：AF∥平面CBD；（2）求平面CBD与平面DAE所成锐角的余弦值．20．（12分）由于雾霾日趋严重，政府号召市民乘公交出行．但公交车的数量太多会造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求．为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中进行随机抽样，共抽取10人进行调查反馈，所选乘客情况如下表所示：（1）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（2）现从这10人中随机取3人，求至少有一人来自第二组的概率；（3）现从这10人中随机抽取3人进行问卷调查，设这3个人共来自X个组，求X的分布列及数学期望．21．（13分）若椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e为，且椭圆C的一个焦点与抛物线y2=﹣12x的焦点重合．（1）求椭圆C的方程；（2）设点M（2，0），点Q是椭圆上一点，当|MQ|最小时，试求点Q的坐标；（3）设P（m，0）为椭圆C长轴（含端点）上的一个动点，过P点斜率为k的直线l交椭圆与A，B两点，若|PA|2+|PB|2的值仅依赖于k而与m无关，求k的值．22．（14分）已知函数f（x）=x﹣xlnx，g（x）=f（x）﹣xf′（a），其中f′（a）表示函数f（x）在x=a处的导数，a为正常数．（1）求g（x）的单调区间；（2）对任意的正实数x1，x2，且x1＜x2，证明：（x2﹣x1）f′（x2）＜f（x2）﹣f （x1）＜（x2﹣x1）f′（x1）；（3）对任意的n∈N*，且n≥2，证明：．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．）1．（5分）已知复数z1=2+i，z2=a﹣i，z1•z2是实数，则实数a=（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】利用复数的运算法则和复数为实数的充要条件即可得出．【解答】解：∵z1•z2=（2+i）（a﹣i）=2a+1+（a﹣2）i为实数，∴a﹣2=0，解得a=2．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则和复数为实数的充要条件，属于基础题．2．（5分）若集合A={0，1，2，3}，集合B={x|x∈A且1﹣x∉A}，则集合B的元素的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据已知中集合A={0，1，2，3}，集合B={x|x∈A且1﹣x∉A}，逐一分析集合A中的元素是否满足B中元素的条件，进而得到答案．【解答】解：∵集合A={0，1，2，3}，集合B={x|x∈A且1﹣x∉A}，当x=0时，不满足B中元素的条件；当x=1时，不满足B中元素的条件；当x=2时，满足B中元素的条件；当x=3时，满足B中元素的条件；故B={2，3}，则集合B的元素的个数为2，故选：B．【点评】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，正确理解集合B={x|x ∈A且1﹣x∉A}中元素所满足的条件，是解答的关键．3．（5分）一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，则这个几何体的俯视图一定不是（）A．B．C．D．【分析】四个图形的高均可取1，A可以是三棱柱，B可是三分之一圆柱，C可以是正方体，D从俯视图看出正方体去掉四分之一圆锥后的几何体．【解答】解：A中几何体的侧视图是左侧面在过里面侧棱和中心高线确定面上的正投影，能满足和正视图侧视图为边长为1的正方形；满足题目的要求，正确；B的俯视图是一扇形，是三分之一圆柱，从正视图与侧视图的高为1的线段，正视图的长度大于1，不满足要求．C可以是正方体，以其正视图和侧视图也可是边长为1的正方形．满足题目的要求，正确；选项D从俯视图看出正方体去掉四分之一圆锥后的几何体．故其正视图与侧视图是边长为1的正方形．满足题目的要求，正确；故选：B．【点评】本题考查三视图的理解与应用，解决三视图问题，要掌握视图原则，关键是图形在与目光视线垂直面上的正投影．4．（5分）从编号为001，002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007，032，则样本中最大的编号应该为（）A．480 B．481 C．482 D．483【分析】根据系统抽样的定义得到，编号之间的关系，即可得到结论．【解答】解：∵样本中编号最小的两个编号分别为007，032，∴样本数据组距为32﹣07=25，则样本容量为，则对应的号码数x=7+25（n﹣1），当n=20时，x取得最大值为x=7+25×19=482，故选：C．【点评】本题主要考查系统抽样的应用，根据条件确定组距是解决本题的关键，比较基础．5．（5分）函数f（x）的导函数f′（x）的图象是如图所示的一条直线l，l与x轴交点的坐标为（1，0），则f（0）和f（3）的大小关系为（）A．f（0）＜f（3）B．f（0）＞f（3）C．f（0）=f（3）D．不能确定【分析】根据导函数的图象，写出函数f（x）的单调区间，由导函数图象是一条直线知原函数是二次函数，对称轴是x=1，从而将f（0），f（3）转换到单调区间，就能比较大小了．【解答】解：由导函数f′（x）的图象可知：函数f（x）的增区间为（﹣∞，1），减区间为（1，+∞），又导函数f′（x）的图象是一条直线l，∴原函数是二次项系数小于0的二次函数，其图象的对称轴是x=1．∴f（x）=f（2﹣x），∴f（0）=f（2），由函数f（x）在（1，+∞）上是减函数，得f（2）＞f（3），即f（0）＞f（3）．故选B．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的性质：单调性，进而比较两数大小，解题时应注意导函数的图象与原函数的关系是解决问题的关键．6．（5分）一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有（）A．13项B．12项C．11项D．10项【分析】先设数列的通项公式为a1q n﹣1，则前三项之积：a13q3=2，后三项之积：a13q3n﹣6=4两式相乘得即a12q n﹣1=2，又根据所有项的积为64，进而求出n．【解答】解析：设数列的通项公式为a1q n﹣1则前三项分别为a1，a1q，a1q2，后三项分别为a1q n﹣3，a1q n﹣2，a1q n﹣1．∴前三项之积：a13q3=2，后三项之积：a13q3n﹣6=4两式相乘得：a16q3（n﹣1）=8，即a12q n﹣1=2又a1•a1q•a1q2…a1q n﹣1=64，∴=64，即（a12q n﹣1）n=642，∴2n=642，∴n=12故选B【点评】本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．7．（5分）当0＜x＜1时，f（x）=，则下列大小关系正确的是（）A．f2（x）＜f（x）＜f（x2）B．f（x2）＜f2（x）＜f（x）C．f（x）＜f（x2）＜f2（x）D．f2（x）＜f（x2）＜f（x）【分析】根据不等式的性质，以及函数单调性和导致之间的关系判断函数f（x）的单调性即可得到结论．【解答】解：根据三角函数线的定义知|sinx|≤|x|，∴≤1，∵0＜x＜1，∴0＜＜1成立，即0＜f（x）＜1，则f2（x）＜f（x），∵f（x）=，∴f′（x）=，设g（x）=xcosx﹣sinx，则g′（x）=﹣xsinx＜0，（0＜x＜1），∴g（x）在0＜x＜1上单调递减，则g（x）＜g（0）=0，∴f′（x）=＜0，即在0＜x＜1上f（x）单调递减，∵此时x＞x2，∴f2（x）＜f（x）＜f（x2），故选：A．【点评】本题主要考查函数的值的大小比较，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．8．（5分）如图所示计算机程序的打印结果为（）A．B．C．D．【分析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到不满足条件z≤30，计算输出的值．【解答】解：由程序框图知：x=1，y=1，z=2，第一次循环x=1，y=2，z=1+2=3；第二次循环x=2，y=3，z=2+3=5；第三次循环x=3，y=5，z=3+5=8；第四次循环x=5，y=8，z=5+8=13；第五次循环x=8，y=13，z=8+13=21；第六次循环x=13，y=21，z=34．不满足条件z≤30，跳出循环体，输出=．故选：C．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用方法．9．（5分）如图，已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=4，P是双曲线右支上的一点，F2P与y轴交于点A，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|=1，则双曲线的离心率是（）A．3 B．2 C．D．【分析】由|PQ|=1，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，根据切线长定理，可得|PF1|﹣|PF2|=2，结合|F1F2|=4，即可得出结论．【解答】解：由题意，∵|PQ|=1，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，∴根据切线长定理可得AM=AN，F1M=F1Q，PN=PQ，∵|AF1|=|AF2|，∴AM+F1M=AN+PN+NF2，∴F1M=PN+NF2=PQ+PF2∴|PF1|﹣|PF2|=F1Q+PQ﹣PF2=F1M+PQ﹣PF2=PQ+PF2+PQ﹣PF2=2PQ=2，∵|F1F2|=4，∴双曲线的离心率是e==2．故选：B．【点评】本题考查双曲线的离心率，考查三角形内切圆的性质，考查切线长定理，考查学生的计算能力，属于基础题．10．（5分）已知函数f（x）的导函数的图象如图所示，a、b、c分为△ABC的边且3a2+3b2﹣c2=4ab，则一定成立的是（）A．f（sinA）≤f（cosB）B．f（sinA）≥f（cosB）C．f（sinA）≥f（sinB）D．f（cosA）≤f（cosB）【分析】根据函数f（x）的导函数f′（x）的图象可知f（x）在（0，+∞）上是增函数，然后判定sinA与cosB的大小，根据单调性的定义进行判定即可．【解答】解：根据函数f（x）的导函数f′（x）的图象可知f（x）在（0，+∞）上是增函数，又当3a2+3b2﹣c2=4ab时，cosC==，∴C≥90°，∴A+B≤90°，∴A≤90°﹣B，∴sinA≤sin（90°﹣B）=cosB，从而f（sinA）≤f（cosB）故选A．【点评】本题主要考查了函数的单调性与导数的关系，以及导函数图象与原函数的性质的关系，属于基础题．二、填空题（本大题共4小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.）（一）必做题（11-14题）11．（5分）某天上午要排物理，化学，生物和两节自习课共5节，如果第一节不排自习课，那么不同的排法共有36种（用数字作答）．【分析】分两步进行，先排第一节课，再排其它四节，注意两节自习课只有一种顺序，进而由分步乘法公式计算可得答案【解答】解：先排第一节，从物理，化学，生物任选一科，有，剩下的四节从剩下的科目中任意排，有，而两节自习课只有一种顺序，不同的排法共有=36种．故答案为：36．【点评】本题考查分步计数原理的运用，要优先处理特殊的元素，即有特殊要求或受到限制的元素．12．（5分）已知点P（t，2）在不等式组所表示的平面区域内运动，l 为过点P和坐标原点O的直线，则l的斜率的最大值为2．【分析】由不等式组可得所表示的可行域，即可得到：当取点P（1，2）时，直线l的斜率取得最大值．【解答】解：由不等式组可得所表示的可行域，由图可知：当取点P（1，2）时，直线l的斜率的取得最大值，k==2．故答案为：2．【点评】本题考查了线性规划的可行域、斜率的计算公式，属于中档题．13．（5分）某一物体在某种介质中作直线运动，已知t时刻，它的速度为v，位移为s，且它在该介质中所受到的阻力F与速度v的平方成正比，比例系数为k，若已知s=t2，则该物体由位移s=0移动到位移s=a时克服阻力所作的功为ka2．（注：变力F做功W=∫F（s）ds，结果用k，a表示）【分析】将变力F用s表示出来，根据变力F做功的公式进行计算即可得到结论．【解答】解：∵在该介质中所受到的阻力F与速度v的平方成正比，比例系数为k，∴F=kv2，∵t时刻，它的速度为v，位移为s，∴s=t2，s′（t）=t，即v=s′（t）=t，∴s=t2=v2，即v2=2s，即F=kv2=2ks，则由W=∫F（s）ds得W=∫=ks2|=ka2，故答案为：ka2【点评】本题主要考查积分的物理意义，要求熟练掌握积分的公式．14．（5分）已知椭圆+=1（a＞b＞0），P（x，y），Q（x′，y′）是椭圆上异于顶点的两点，有下列四个不等式①a2+b2≥（x+y）2；②+≥（+）2；③4（）2≤（）2；④+≤1．其中不等式恒成立的序号是①②③④．（填所有正确命题的序号）【分析】利用三角换元，即可得出结论．【解答】解：设x=asinα，y=bcosα，则x+y=sin（α+θ），∴a2+b2≥（x+y）2，即①正确；（+）a2b2=（+）a2b2=（sin2α+cos2α）（+）≥（a+b）2，∴+≥（+）2，即②正确；=4b2sin2αcos2α=b2sin22α≤b2，即③正确；设x′=acosβ，y′=bsinβ，∴+=sin（α+β）≤1，即④正确．故答案为：①②③④．【点评】本题考查椭圆方程，考查三角函数知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，如果全选，则按第15题作答结果计分.）15．（5分）（几何证明选讲选做题）如图，半径为2的⊙O中，∠AOB=90°，D为OB的中点，AD的延长线交⊙O于点E，则线段DE的长为．【分析】延长BO交⊙O与点C，我们根据已知中⊙O的半径为2，∠AOB=90°，D为OB的中点，我们易得，代入相交弦定理，我们即可求出线段DE的长．【解答】解：延长BO交⊙O与点C，由题设知：，又由相交弦定理知AD•DE=BD•DC，得故答案为：【点评】本题考查的知识是与圆有关的比例线段，其中延长B0交圆于另一点C，从而构造相交弦的模型是解答本题的关键．16．设直线l1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系得另一直线l2的方程为ρsinθ﹣3ρcosθ+4=0，若直线l1与l2间的距离为，则实数a的值为a=9或a=﹣11．【分析】先利用直线l1的参数方程化为普通方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系，进行代换将直线l2的方程化为直角坐标方程．最后利用两平行线的距离公式即可求得实数a的值．【解答】解：将直线l1的方程化为普通方程得3x﹣y+a﹣3=0，将直线l2的方程化为直角坐标方程得3x﹣y﹣4=0，由两平行线的距离公式得⇒a=9或a=﹣11．故答案为：a=9或a=﹣11．【点评】本题考查直线的参数方程、直线的极坐标和直角坐标的互化、两平行线的距离公式等知识，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．三、解答题（本大题共6小题，前4题每题12分，21题13分，22题14分）17．（12分）已知向量=（，sinx），=（cos2x，﹣cosx），x∈R，设函数f （x）=•（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及在区间[0，π]上的单调区间；（Ⅱ）若f（θ）=1，求cos2（﹣θ）+sinθcosθ的值．【分析】（Ⅰ）利用向量积的知识，求得f（x）的解析式，进而化简，利用三角函数的图象和性质求得函数的最小正周期T和在区间[0，π]上的单调区间．（Ⅱ）通过f（θ）=1，求得cos（2θ+）的值，代入原式求得答案．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=•=cos2x﹣sinxcosx=cos2x﹣sin2x=cos（2x+），∴T==π，当，即时，函数单调增，∵x∈[0，π]∴f（x）在区间[0，π]上的单调减区间为，单调增区间为．（Ⅱ）∵f（θ）=1，∴∴=．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象和性质．18．（12分）已知函数f（x）=4x，数列{a n}中，2a n+1﹣2a n+a n+1a n=0，a1=1且a n ≠0，若数列{b n}中，b1=2且b n=f（）（n≥2）．（Ⅰ）求证：数列{}是等差数列，并求出数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n 项和T n ．【分析】（Ⅰ）由2a n +1﹣2a n +a n +1a n =0，得，，由此能证明数列{}是首项为1，公差为的等差数列，从而能求出．（Ⅱ）b 1=2，当n ≥2时，==2n ，从而得到，由此利用错位相减法能求出数列{}的前n 项和T n ．【解答】解：（Ⅰ）由2a n +1﹣2a n +a n +1a n =0，两边同时除以2a n +1a n ，得，，∴数列{}是首项为1，公差为的等差数列，（3分）∴， ∴．（6分）（Ⅱ）b 1=2，当n ≥2时==2n当n=1时b 1=2也符合 ∴b n =2n （n ∈N *） ∴（8分）+4×22+…+（n +1）×2n ﹣1①2T n =2×21+3×22+…+n ×2n ﹣1+（n +1）×2n ②（10分） ①﹣②得∴（12分）【点评】本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n 项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．19．（12分）如图1，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°，E 、F 分别为边AD和BC上的点，且EF∥AB，AD=2AE=2AB=4FC=4．将四边形EFCD沿EF折起成如图2的位置，使AD=AE．（1）求证：AF∥平面CBD；（2）求平面CBD与平面DAE所成锐角的余弦值．【分析】（1）取DE的中点G，连结FG，AG，CG，由已知条件推导出FG∥CD，AG∥BC，从而得到平面AFG∥平面CBD，由此能证明AF∥平面CBD．（2）如图以AE中点为原点，AE为x轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出面CBD与面DAE所面角的余弦值．【解答】（1）证明：取DE的中点G，连结FG，AG，CG，∵翻折前E、F分别为边AD和BC上的点，且EF∥AB，AD=2AE=2AB=4FC=4，∴翻折后AD=AE=2CF，∴CF DG，CG AB，∴FG∥CD，AG∥BC，∴平面AFG∥平面CBD，∴AF∥平面CBD．（2）如图以AE中点为原点，AE为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则由题意知A（﹣1，0，0），D（0，0，），B（﹣1，﹣2，0），E（1，0，0），∴DE的中点坐标为（），∵，∴C（），∵是平面ADE的一个法向量，即，设平面BCD的一个法向量为，∵，，∴，令x=2，则y=2，z=﹣2，∴，∴cos＜＞==，∴面CBD与面DAE所面角的余弦值为．【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．（12分）由于雾霾日趋严重，政府号召市民乘公交出行．但公交车的数量太多会造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求．为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中进行随机抽样，共抽取10人进行调查反馈，所选乘客情况如下表所示：（1）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（2）现从这10人中随机取3人，求至少有一人来自第二组的概率；（3）现从这10人中随机抽取3人进行问卷调查，设这3个人共来自X个组，求X的分布列及数学期望．【分析】（1）根据15名乘客中候车时间少于10分钟频数和为6，可估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（2）利用对立事件的概率公式，可求至少有一人来自第二组的概率；（3）X的可能值为1，2，3，求出相应的概率，即可求出求X的分布列及数学期望．【解答】解：（1）候车时间少于10分钟的人数为人；…（3分）（2）设“至少有一人来自第二组为事件A”…（7分）（3）X的可能值为1，2，3，，…（10分）所以X的分布列为…（13分）【点评】本题考查的知识点是频率分布直方表，古典概型概率公式，考查随机变量的分布列及数学期望，正确求概率是关键．21．（13分）若椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e为，且椭圆C的一个焦点与抛物线y2=﹣12x的焦点重合．（1）求椭圆C的方程；（2）设点M（2，0），点Q是椭圆上一点，当|MQ|最小时，试求点Q的坐标；（3）设P（m，0）为椭圆C长轴（含端点）上的一个动点，过P点斜率为k的直线l交椭圆与A，B两点，若|PA|2+|PB|2的值仅依赖于k而与m无关，求k 的值．【分析】（1）先求出焦点的坐标，再由离心率求得半长轴的长，从而得到短半轴长，即可写出椭圆的标准方程；（2）用坐标表示出|MQ|2，利用配方法可得结论；（3）设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，表示出|PA|2+|PB|2，根据|PA|2+|PB|2的值仅依赖于k而与m无关，可得等式，从而可求k的值．【解答】解：（1）由题意可得：抛物线y2=﹣12x的焦点（﹣3，0），∵=，∴a=5，∴=4∴椭圆C的方程为；（2）设Q（x，y），﹣5≤x≤5∴|MQ|2=（x﹣2）2+y2=∵对称轴为x=＞5，∴x=5时，|MQ|2取得最小值∴当|MQ|最小时，点Q的坐标为（5，0）；（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l：y=k（x﹣m）直线代入椭圆方程，消去y可得（25k2+16）x2﹣50mk2x+25m2k2﹣400=0∴x1+x2=，x1x2=∴y1+y2=k（x1+x2）﹣2km=﹣，y1y2=∴|PA|2+|PB|2=+=（k2+1）•∵|PA|2+|PB|2的值仅依赖于k而与m无关，∴512﹣800k2=0，解得k=．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查配方法的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，正确运用韦达定理是关键．22．（14分）已知函数f（x）=x﹣xlnx，g（x）=f（x）﹣xf′（a），其中f′（a）表示函数f（x）在x=a处的导数，a为正常数．（1）求g（x）的单调区间；（2）对任意的正实数x1，x2，且x1＜x2，证明：（x2﹣x1）f′（x2）＜f（x2）﹣f （x1）＜（x2﹣x1）f′（x1）；（3）对任意的n∈N*，且n≥2，证明：．【分析】（1）求导函数，利用导数的正负，可确定函数的单调区间；（2）先证明f（x2）﹣f（x1）＜（x2﹣x1）f'（x1），f（x2）﹣f（x1）＞（x2﹣x1）f'（x2），即可得（x2﹣x1）f'（x2）＜f（x2）﹣f（x1）＜（x2﹣x1）f'（x1）；（3）构造函数φ（x）=，确定φ（x）在（1，+∞）上单调递减，从而可得，即ln2lnn≤ln（2+k）ln（n﹣k），再利用放缩法，即可证得结论．【解答】（1）解：f'（x）=﹣lnx，g（x）=x﹣xlnx+xlna，g'（x）=f'（x）﹣f'（a）=﹣lnx+lna=ln．所以，x∈（0，a）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增；x∈（a，+∞）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减．所以，g（x）的单调递增区间为（0，a]，单调递减区间为[a，+∞）．（2）证明：∵f′（x）=﹣lnx，∴f′（x）在（0，+∞）上是一个减函数，对任意的正实数x1，x2，且x1＜x2，由拉格朗日中值定理，可知，存在b∈（x1，x2），使得，∴x1＜b＜x2，又f′（x）在（0，+∞）上是一个减函数，∴f′（x2）＜f′（b）＜f′（x1），∴f′（x2）＜＜f′（x1），∴（x2﹣x1）f′（x2）＜f（x2）﹣f（x1）＜（x2﹣x1）f′（x1）．（3）证明：对k=1，2，…，n﹣2，令φ（x）=，则φ′（x）=，显然1＜x＜x+k，0＜lnx＜ln（x+k），所以xlnx＜（x+k）ln（x+k），所以φ′（x）＜0，φ（x）在（1，+∞）上单调递减．由n﹣k≥2，得φ（n﹣k）≤φ（2），即．所以ln2lnn≤ln（2+k）ln（n﹣k），k=1，2，…，n﹣2．所以=≤=2又由（2）知f（n+1）﹣f（n）＜f′（n）=﹣lnn，所以lnn＜f（n）﹣f（n+1）．∴ln1+ln2+…+lnn＜f（1）﹣f（2）+f（2）﹣f（3）+…+f（n）﹣f（n+1）=f（1）﹣f（n+1）=1﹣f（n+1）．所以，．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，考查放缩法的运用，综合性强，难度较大．。

2018年高考数学模拟试卷(衡水中学理科)

2018年衡水中学高考数学全真模拟试卷（理科）第1卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分•在每个小题给出的四个选项中, 有一项是符合题目要求的•）21. ( 5 分)(2018?衡中模拟)已知集合A={x|x v 1}, B={y|y=|x|} ，则A A B=A . ? B. ( 0 , 1) C . [0 , 1) D .2. （5分）（2018?衡中模拟）设随机变量2E-N (3 ,c ),若P (E>4) =0.2 ,)0.8 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2x B. y= ± 「；x C . y= ± x D . y=35. （5分）（2018?衡中模拟）将半径为1的圆分割成面积之比为 1 : 2: 3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径依次为r1 ,「2,「3,那么门+「2+「3的值为（）等差数列{a n}中，a 3=7 , a5=11，若 b n= .3 ii 1D. 54A . 2B . 3C .126. （5分）（2018?衡中模拟）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（）的前8项和为（732B.[0, 1](3 VE（5分）（2018?衡中模拟）已知复数z=3（i为虚数单位），则r =1 B.—1 C.D.（5分）（2018?衡中模拟）过双曲线b2=1 (a >0, b >0)的一个焦点F作两渐近线的垂线，垂足分别为P、Q，若/ PFQ=n,则双曲线的渐近线方程为（A. y= ±7. （5分）（2018?衡中模拟），则数列{b n}10 2& （ 5 分）（2018?衡中模拟）已知（x - 3） =a °+a i （x+1 ） +a 2 （x+1 ） + …+a 10 （x+1 ）10，则 a 8=（）A . 45B . 180C .- 180D . 7209. （ 5分）（2018?衡中模拟）如图为三棱锥值范围（）A . （11，25 ）B . （12，22 ）C . （12，17）D . （14，20）S- ABC 的三视图，其表面积为（A . 16B . 8 丨，+6 工C . 16 一， 10 . （5分）（2018?衡中模拟）已知椭圆 F （- 3, 0）,P 为椭圆上一动点，椭圆内部点 M （- 1，3）满足PF+PM 的最大值为率为（）A.— B •阻 | C .丄 D .2V3 2方 3 3In （號+1）（掘>0）（x ）=，若函数 y=f （x ）- kx 恒（e x -l GKO ）有一个零点，贝U k 的取值范围为（）A . k w 0B . k w 0 或 k > 1C . k < 0 或 k > eD . k < 0 或 k12. （5分）（2018?衡中模拟）已知数列｛a n ｝的通项公式为 a n = - 2n+p ，数列｛b n ｝的通项公，若在数列｛c n ｝中C 6< C n （n € N , n 丰6）,则p 的取D . 16+6丨・（a >b >0）的左焦点17,则椭圆的离心11 . （ 5分）（2018?衡中模拟）已知式为b n =2、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分•把答案填在题中的横线上.)13 •(5分)(2018?衡中模拟)若平面向量1、卜满足| i|=2|［上的投影为________ •14 • (5分)(2018?衡中模拟)若数列｛a n｝满足a i=a 2=1 ,a +2, n=2k_1 (k G N*)、,a n+2 = ，则数列｛a n｝前2n项和S2n = _______ •.2斗，n=2k(kG N*)y^4>015 • (5分)(2018 ?衡中模拟)若直线ax+ (a - 2) y+4 - a=0把区域' 3x4-y<^9 分成jt十面积相等的两部分，则一的最大值为z+4a16. (5 分)(2018 ?衡中模拟)已知函数f (x) = ( a+1 ) Inx+' ' x2( a v- 1 )对3任意的X1、X2> 0,恒有|f ( X1 ) - f (X2) | > 4|x 1 - X2|，则a的取值范围为 _________________ •三、解答题(本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17 • (12分)(2018?衡中模拟)在厶ABC中，角A , B, C所对的边分别为a , b , c，满足c=1，且cosBsinC+ (a - sinB) cos (A+B ) =0(1 )求C的大小；(2)求a2+b2的最大值，并求取得最大值时角 A , B的值.18 . （12分）（2018?衡中模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，侧棱PA丄底面ABCD , AD //BC，/ ABC=90 ° , PA=AB=BC=2 , AD=1 , M 是棱PB 中点.（I）求证：平面PBC丄平面PCD ;（n）设点N是线段CD上一动点，且I -■!=入：当直线MN与平面PAB所成的角最大时, 求入的值.19 . （12分）（2018?衡中模拟）如图是两个独立的转盘（ A ）、（B）,在两个图中三个扇形区域的圆心角分别为60 °、120 °、180。

2018年全国普通高等学校高考数学模拟试卷(理科)(一)及答案

2018年全国普通高等学校高考数学模拟试卷（理科）（一）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|﹣x2+4x≥0}，，C={x|x=2n，n∈N}，则（A∪B）∩C=（）A．{2，4}B．{0，2}C．{0，2，4}D．{x|x=2n，n∈N}2．（5分）设i是虚数单位，若，x，y∈R，则复数x+yi的共轭复数是（）A．2﹣i B．﹣2﹣i C．2+i D．﹣2+i3．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和是S n，且a4+a5+a6+a7=18，则下列命题正确的是（）A．a5是常数B．S5是常数C．a10是常数D．S10是常数4．（5分）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）已知点F为双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点，直线x=a与双曲线的渐近线在第一象限的交点为A，若AF的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．6．（5分）已知函数则（）A．2+πB．C．D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）A．B．C．D．8．（5分）已知函数（ω＞0）的相邻两个零点差的绝对值为，则函数f（x）的图象（）A．可由函数g（x）=cos4x的图象向左平移个单位而得B．可由函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位而得C．可由函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位而得D．可由函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位而得9．（5分）的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（）A．﹣73 B．﹣61 C．﹣55 D．﹣6310．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形ABCDEF是边长为1的正六边形，点G为AF的中点，则该几何体的外接球的表面积是（）A．B．C．D．11．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F分别作两条直线l1，l2，直线l1与抛物线C交于A、B两点，直线l2与抛物线C交于D、E两点，若l1与l2的斜率的平方和为1，则|AB|+|DE|的最小值为（）A．16 B．20 C．24 D．3212．（5分）若函数y=f（x），x∈M，对于给定的非零实数a，总存在非零常数T，使得定义域M内的任意实数x，都有af（x）=f（x+T）恒成立，此时T为f（x）的类周期，函数y=f（x）是M上的a级类周期函数．若函数y=f（x）是定义在区间[0，+∞）内的2级类周期函数，且T=2，当x∈[0，2）时，函数．若∃x1∈[6，8]，∃x2∈（0，+∞），使g（x2）﹣f（x1）≤0成立，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知向量，，且，则=．14．（5分）已知x，y满足约束条件则目标函数的最小值为．15．（5分）在等比数列{a n}中，a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为17，设b n=a2n ﹣a2n，n∈N*，则数列{b n}的前2n项和为．﹣116．（5分）如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，，点E是线段CD上异于点C，D的动点，EF⊥AD于点F，将△DEF沿EF折起到△PEF 的位置，并使PF⊥AF，则五棱锥P﹣ABCEF的体积的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边a，b，c分别满足c=2b=2，2bcosA+acosC+ccosA=0，又点D满足．（1）求a及角A的大小；（2）求的值．18．（12分）在四棱柱ABCD﹣A 1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，且，∠A1AB=∠A1AD=60°．（1）求证：BD⊥CC1；（2）若动点E在棱C1D1上，试确定点E的位置，使得直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为．19．（12分）“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），利用该正态分布，求Z落在（14.55，38.45）内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于（10，30）内的包数为X，求X的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；②若，则P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）=0.9544．20．（12分）已知椭圆C：的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：y=kx+2与椭圆C相交于A，B两点，在y轴上是否存在点D，使直线AD与BD的斜率之和k AD+k BD为定值？若存在，求出点D坐标及该定值，若不存在，试说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣2（a﹣1）x﹣b，其中e为自然对数的底数．（1）若函数f（x）在区间[0，1]上是单调函数，试求实数a的取值范围；（2）已知函数g（x）=e x﹣（a﹣1）x2﹣bx﹣1，且g（1）=0，若函数g（x）在区间[0，1]上恰有3个零点，求实数a的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，圆C1的参数方程为（θ为参数，a是大于0的常数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为．（1）求圆C1的极坐标方程和圆C2的直角坐标方程；（2）分别记直线l：，ρ∈R与圆C1、圆C2的异于原点的交点为A，B，若圆C1与圆C2外切，试求实数a的值及线段AB的长．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x+1|．（1）求不等式f（x）≤10﹣|x﹣3|的解集；（2）若正数m，n满足m+2n=mn，求证：f（m）+f（﹣2n）≥16．2018年全国普通高等学校高考数学模拟试卷（理科）（一）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|﹣x2+4x≥0}，，C={x|x=2n，n∈N}，则（A∪B）∩C=（）A．{2，4}B．{0，2}C．{0，2，4}D．{x|x=2n，n∈N}【解答】解：A={x|﹣x2+4x≥0}={x|0≤x≤4}，={x|3﹣4＜3x＜33}={x|﹣4＜x＜3}，则A∪B={x|﹣4＜x≤4}，C={x|x=2n，n∈N}，可得（A∪B）∩C={0，2，4}，故选：C．2．（5分）设i是虚数单位，若，x，y∈R，则复数x+yi的共轭复数是（）A．2﹣i B．﹣2﹣i C．2+i D．﹣2+i【解答】解：由，得x+yi==2+i，∴复数x+yi的共轭复数是2﹣i．故选：A．3．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和是S n，且a4+a5+a6+a7=18，则下列命题正确的是（）A．a5是常数B．S5是常数C．a10是常数D．S10是常数【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和是S n，且a4+a5+a6+a7=18，∴a4+a5+a6+a7=2（a1+a10）=18，∴a1+a10=9，∴=45．故选：D．4．（5分）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：设AB=2，则BC=CD=DE=EF=1，∴S=××=，△BCIS平行四边形EFGH=2S△BCI=2×=，∴所求的概率为P===．故选：A．5．（5分）已知点F为双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点，直线x=a 与双曲线的渐近线在第一象限的交点为A，若AF的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设双曲线C：的右焦点F（c，0），双曲线的渐近线方程为y=x，由x=a代入渐近线方程可得y=b，则A（a，b），可得AF的中点为（，b），代入双曲线的方程可得﹣=1，可得4a2﹣2ac﹣c2=0，由e=，可得e2+2e﹣4=0，解得e=﹣1（﹣1﹣舍去），故选：D．6．（5分）已知函数则（）A．2+πB．C．D．【解答】解：∵，=∫cos2tdt===，∴=（）+（﹣cosx）=﹣2．故选：D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）A．B．C．D．【解答】解：第1次循环后，S=，不满足退出循环的条件，k=2；第2次循环后，S=，不满足退出循环的条件，k=3；第3次循环后，S==2，不满足退出循环的条件，k=4；…第n次循环后，S=，不满足退出循环的条件，k=n+1；…第2018次循环后，S=，不满足退出循环的条件，k=2019第2019次循环后，S==2，满足退出循环的条件，故输出的S值为2，故选：C．8．（5分）已知函数（ω＞0）的相邻两个零点差的绝对值为，则函数f（x）的图象（）A．可由函数g（x）=cos4x的图象向左平移个单位而得B．可由函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位而得C．可由函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位而得D．可由函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位而得【解答】解：函数=sin（2ωx）﹣•+=sin（2ωx﹣）（ω＞0）的相邻两个零点差的绝对值为，∴•=，∴ω=2，f（x）=sin（4x﹣）=cos[（4x﹣）﹣]=cos（4x ﹣）．故把函数g（x）=cos4x的图象向右平移个单位，可得f（x）的图象，故选：B．9．（5分）的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（）A．﹣73 B．﹣61 C．﹣55 D．﹣63【解答】解：展开式中所有各项系数和为（2﹣3）（1+1）6=﹣64；=（2x﹣3）（1+++…），其展开式中的常数项为﹣3+12=9，∴所求展开式中剔除常数项后的各项系数和为﹣64﹣9=﹣73．故选：A．10．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形ABCDEF是边长为1的正六边形，点G为AF的中点，则该几何体的外接球的表面积是（）A．B．C．D．【解答】解：如图，可得该几何体是六棱锥P﹣ABCDEF，底面是正六边形，有一PAF侧面垂直底面，且P在底面的投影为AF中点，过底面中心N作底面垂线，过侧面PAF的外心M作面PAF的垂线，两垂线的交点即为球心O，设△PAF的外接圆半径为r，，解得r=，∴，则该几何体的外接球的半径R=，∴表面积是则该几何体的外接球的表面积是S=4πR2=．故选：C．11．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F分别作两条直线l1，l2，直线l1与抛物线C交于A、B两点，直线l2与抛物线C交于D、E两点，若l1与l2的斜率的平方和为1，则|AB|+|DE|的最小值为（）A．16 B．20 C．24 D．32【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点F（1，0），设直线l1：y=k1（x﹣1），直线l2：y=k2（x﹣1），由题意可知，则，联立，整理得：k12x2﹣（2k12+4）x+k12=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，设D（x3，y3），E（x4，y4），同理可得：x3+x4=2+，由抛物线的性质可得：丨AB丨=x1+x2+p=4+，丨DE丨=x3+x4+p=4+，∴|AB|+|DE|=8+==，当且仅当=时，上式“=”成立．∴|AB|+|DE|的最小值24，故选：C．12．（5分）若函数y=f（x），x∈M，对于给定的非零实数a，总存在非零常数T，使得定义域M内的任意实数x，都有af（x）=f（x+T）恒成立，此时T为f（x）的类周期，函数y=f（x）是M上的a级类周期函数．若函数y=f（x）是定义在区间[0，+∞）内的2级类周期函数，且T=2，当x∈[0，2）时，函数．若∃x1∈[6，8]，∃x2∈（0，+∞），使g（x2）﹣f（x1）≤0成立，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，对于函数f（x），当x∈[0，2）时，，分析可得：当0≤x≤1时，f（x）=﹣2x2，有最大值f（0）=，最小值f（1）=﹣，当1＜x＜2时，f（x）=f（2﹣x），函数f（x）的图象关于直线x=1对称，则此时有﹣＜f（x）＜，又由函数y=f（x）是定义在区间[0，+∞）内的2级类周期函数，且T=2；则在∈[6，8）上，f（x）=23•f（x﹣6），则有﹣12≤f（x）≤4，则f（8）=2f（6）=4f（4）=8f（2）=16f（0）=8，则函数f（x）在区间[6，8]上的最大值为8，最小值为﹣12；对于函数，有g′（x）=﹣+x+1==，分析可得：在（0，1）上，g′（x）＜0，函数g（x）为减函数，在（1，+∞）上，g′（x）＞0，函数g（x）为增函数，则函数g（x）在（0，+∞）上，由最小值f（1）=+m，若∃x1∈[6，8]，∃x2∈（0，+∞），使g（x2）﹣f（x1）≤0成立，必有g（x）min≤f（x）max，即+m≤8，解可得m≤，即m的取值范围为（﹣∞，]；故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知向量，，且，则=．【解答】解：根据题意，向量，，若，则•=2sinα﹣cosα=0，则有tanα=，又由sin2α+cos2α=1，则有或，则=（，）或（﹣，﹣），则||=，则=2+2﹣2•=；故答案为：14．（5分）已知x，y满足约束条件则目标函数的最小值为．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，4），=，令t=5x﹣3y，化为y=，由图可知，当直线y=过A时，直线在y轴上的截距最大，t有最小值为﹣2．∴目标函数的最小值为．故答案为：．15．（5分）在等比数列{a n}中，a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为17，设b n=a2n﹣a2n，n∈N*，则数列{b n}的前2n项和为．﹣1【解答】解：等比数列{a n}中，a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为17，设首项为a1，公比为q，则：，整理得：，解得：．则：，所以：b n=a2n﹣1﹣a2n==﹣22n﹣4，则：T 2n ==．故答案为：．16．（5分）如图，在直角梯形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ∥BC ，，点E 是线段CD 上异于点C ，D 的动点，EF ⊥AD 于点F ，将△DEF 沿EF 折起到△PEF 的位置，并使PF ⊥AF ，则五棱锥P ﹣ABCEF 的体积的取值范围为（0，）．【解答】解：∵PF ⊥AF ，PF ⊥EF ，AF ∩EF=F ， ∴PF ⊥平面ABCD ．设PF=x ，则0＜x ＜1，且EF=DF=x ．∴五边形ABCEF 的面积为S=S 梯形ABCD ﹣S △DEF =×（1+2）×1﹣x 2=（3﹣x 2）． ∴五棱锥P ﹣ABCEF 的体积V=（3﹣x 2）x=（3x ﹣x 3），设f （x ）=（3x ﹣x 3），则f′（x ）=（3﹣3x 2）=（1﹣x 2）， ∴当0＜x ＜1时，f′（x ）＞0，∴f （x ）在（0，1）上单调递增，又f （0）=0，f （1）=． ∴五棱锥P ﹣ABCEF 的体积的范围是（0，）．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 分别满足c=2b=2，2bcosA+acosC+ccosA=0，又点D满足．（1）求a及角A的大小；（2）求的值．【解答】解：（1）由2bcosA+acosC+ccosA=0及正弦定理得﹣2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC，即﹣2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，在△ABC中，sinB＞0，所以．又A∈（0，π），所以．在△ABC中，c=2b=2，由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2+bc=7，所以．（2）由，得=，所以．18．（12分）在四棱柱ABCD﹣A 1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，且，∠A1AB=∠A1AD=60°．（1）求证：BD⊥CC1；（2）若动点E在棱C1D1上，试确定点E的位置，使得直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为．【解答】解：（1）连接A1B，A1D，AC，因为AB=AA1=AD，∠A1AB=∠A1AD=60°，所以△A1AB和△A1AD均为正三角形，于是A1B=A1D．设AC与BD的交点为O，连接A1O，则A1O⊥BD，又四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，而A1O∩AC=O，所以BD⊥平面A1AC．又AA1⊂平面A1AC，所以BD⊥AA1，又CC1∥AA1，所以BD⊥CC1．（2）由，及，知A 1B⊥A1D，于是，从而A1O⊥AO，结合A1O⊥BD，A1∩AC=O，得A1O⊥底面ABCD，所以OA、OB、OA1两两垂直．如图，以点O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系O ﹣xyz，则A（1，0，0），B（0，1，0），D（0，﹣1，0），A1（0，0，1），C（﹣1，0，0），，，，由，得D1（﹣1，﹣1，1）．设（λ∈[0，1]），则（x E+1，y E+1，z E﹣1）=λ（﹣1，1，0），即E（﹣λ﹣1，λ﹣1，1），所以．设平面B 1BD的一个法向量为，由得令x=1，得，设直线DE与平面BDB1所成角为θ，则，解得或（舍去），所以当E为D1C1的中点时，直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为．19．（12分）“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），利用该正态分布，求Z落在（14.55，38.45）内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于（10，30）内的包数为X，求X的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；②若，则P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）=0.9544．【解答】解：（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为．（2）①∵Z服从正态分布N（μ，σ2），且μ=26.5，σ≈11.95，∴P（14.55＜Z＜38.45）=P（26.5﹣11.95＜Z＜26.5+11.95）=0.6826，∴Z落在（14.55，38.45）内的概率是0.6826．②根据题意得X～B（4，），；；；；．∴X的分布列为∴．20．（12分）已知椭圆C：的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：y=kx+2与椭圆C相交于A，B两点，在y轴上是否存在点D，使直线AD与BD的斜率之和k AD+k BD为定值？若存在，求出点D坐标及该定值，若不存在，试说明理由．【解答】解：（1）由已知可得解得a2=2，b2=c2=1，所求椭圆方程为．（2）由得（1+2k2）x2+8kx+6=0，则△=64k2﹣24（1+2k2）=16k2﹣24＞0，解得或．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，设存在点D（0，m），则，，所以==．要使k AD+k BD为定值，只需6k﹣4k（2﹣m）=6k﹣8k+4mk=2（2m﹣1），k与参数k无关，故2m﹣1=0，解得，当时，k AD+k BD=0．综上所述，存在点，使得k AD+k BD为定值，且定值为0．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣2（a﹣1）x﹣b，其中e为自然对数的底数．（1）若函数f（x）在区间[0，1]上是单调函数，试求实数a的取值范围；（2）已知函数g（x）=e x﹣（a﹣1）x2﹣bx﹣1，且g（1）=0，若函数g（x）在区间[0，1]上恰有3个零点，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）=e x﹣2（a﹣1）x﹣b，其导数为f'（x）=e x﹣2（a﹣1），当函数f（x）在区间[0，1]上单调递增时，f'（x）=e x﹣2（a﹣1）≥0在区间[0，1]上恒成立，∴2（a﹣1）≤（e x）min=1（其中x∈[0，1]），解得；当函数f（x）在区间[0，1]单调递减时，f'（x）=e x﹣2（a﹣1）≤0在区间[0，1]上恒成立，∴2（a﹣1）≥（e x）max=e（其中x∈[0，1]），解得．综上所述，实数a的取值范围是．（2）函数g（x）=e x﹣（a﹣1）x2﹣bx﹣1，则g'（x）=e x﹣2（a﹣1）x﹣b，分析可得f（x）=g'（x）．由g（0）=g（1）=0，知g（x）在区间（0，1）内恰有一个零点，设该零点为x0，则g（x）在区间（0，x0）内不单调，所以f（x）在区间（0，x0）内存在零点x1，同理，f（x）在区间（x0，1）内存在零点x2，所以f（x）在区间（0，1）内恰有两个零点．由（1）知，当时，f（x）在区间[0，1]上单调递增，故f（x）在区间（0，1）内至多有一个零点，不合题意．当时，f（x）在区间[0，1]上单调递减，故f（x）在（0，1）内至多有一个零点，不合题意；所以．令f'（x）=0，得x=ln（2a﹣2）∈（0，1），所以函数f（x）在区间[0，ln（2a﹣2）]上单调递减，在区间（ln（2a﹣2），1]上单调递增．记f（x）的两个零点为x1，x2（x1＜x2），因此x1∈（0，ln（2a﹣2）]，x2∈（ln（2a﹣2），1），必有f（0）=1﹣b＞0，f （1）=e﹣2a+2﹣b＞0．由g（1）=0，得a+b=e，所以，又f（0）=a﹣e+1＞0，f（1）=2﹣a＞0，所以e﹣1＜a＜2．综上所述，实数a的取值范围为（e﹣1，2）．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，圆C1的参数方程为（θ为参数，a是大于0的常数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为．（1）求圆C1的极坐标方程和圆C2的直角坐标方程；（2）分别记直线l：，ρ∈R与圆C1、圆C2的异于原点的交点为A，B，若圆C1与圆C2外切，试求实数a的值及线段AB的长．【解答】解：（1）圆C1：（θ是参数）消去参数θ，得其普通方程为（x+1）2+（y+1）2=a2，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式并化简，得圆C1的极坐标方程，由圆C2的极坐标方程，得ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ．将x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2代入上式，得圆C2的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．（2）由（1）知圆C1的圆心C1（﹣1，﹣1），半径r1=a；圆C 2的圆心C2（1，1），半径，，∵圆C1与圆C2外切，∴，解得，即圆C1的极坐标方程为．将代入C1，得，得；将代入C2，得，得；故．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x+1|．（1）求不等式f（x）≤10﹣|x﹣3|的解集；（2）若正数m，n满足m+2n=mn，求证：f（m）+f（﹣2n）≥16．【解答】解：（1）此不等式等价于或或解得或或3＜x≤4．即不等式的解集为．（2）证明：∵m＞0，n＞0，m+2n=mn，，即m+2n ≥8，当且仅当即时取等号．∴f（m）+f（﹣2n）=|2m+1|+|﹣4n+1|≥|（2m+1）﹣（﹣4n+1）|=|2m+4n|=2（m+2n）≥16，当且仅当﹣4n+1≤0，即时，取等号．∴f（m）+f（﹣2n）≥16．。

【高三数学试题精选】2018年高考理科数学一模考试试题(带答案)

在中，为中点，故--------------------------3分
∵平面，平面，平面；---4分
（其它证法，请参照给分）
（2）依题意知且
∴平面
∵平面，∴，------------------5分
∵为中点，∴
结合，知四边形是平行四边形
∴，----------------------------------------------------7分
∵，
∴--------------------------------11分
2018年高考理科数学一模考试试题（带答案）
5绝密★启用前
揭阳市--2分
从而，，-----------------------------------------------4分
∵，∴；--------------------------------------------------------------6分
把代入并去绝对值整理，
或者
前式显然不恒成立；而要使得后式对任意的恒成立
则，解得；----------------------------------------------------------------------12分
②当直线斜率不存在时，其方程为和，---------------------------13分
而，∴∴，即-----8分
又∴平面，
∵平面，∴------------------------------------------------9分
（3）解法一如图，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系
设，则
易知平面的一个法向量为，-----------10分
设平面的一个法向量为，则

2018年全国一般高等学校招生高考数学模拟试卷理科一及答案

2018年全国一般高等学校招生高考数学模拟试卷（理科）（一）一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|2﹣x＞0}，B={x|（）x＜1}，那么（）A．A∩B={x|0＜x≤2} B．A∩B={x|x＜0} C．A∪B={x|x＜2} D．A∪B=R2．（5分）已知i为虚数单位，a为实数，复数z知足z+3i=a+ai，假设复数z 是纯虚数，那么（）A．a=3 B．a=0 C．a≠0 D．a＜03．（5分）我国数学家邹元治利用如图证明勾股定理，该图顶用勾（a）和股（b）别离表示直角三角形的两条直角边，用弦（c）表示斜边，现已知该图中勾为3，股为4，假设从图中随机取一点，那么此点不落在中间小正方形中的概率是（）A． B．C．D．4．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S9=6π，那么tan a5=（）A． B．C．﹣D．﹣5．（5分）已知函数f（x）=x+（a∈R），那么以下结论正确的选项是（）A．∀a∈R，f（x）在区间（0，+∞）内单调递增B．∃a∈R，f（x）在区间（0，+∞）内单调递减C．∃a∈R，f（x）是偶函数D．∃a∈R，f（x）是奇函数，且f（x）在区间（0，+∞）内单调递增6．（5分）（1+x）（2﹣x）4的展开式中x项的系数为（）A．﹣16 B．16 C．48 D．﹣487．（5分）如图是某个几何体的三视图，那么那个几何体的表面积是（）A．π+4+4 B．2π+4+4 C．2π+4+2 D．2π+2+4 8．（5分）假设a＞1，0＜c＜b＜1，那么以下不等式不正确的选项是（）A．log2018a＞log2018b B．log b a＜log c aC．（a﹣c）a c＞（a﹣c）a b D．（c﹣b）a c＞（c﹣b）a b9．（5分）执行如下图的程序框图，假设输出的n值为11，那么判定框中的条件能够是（）A．S＜1022？B．S＜2018？C．S＜4095？D．S＞4095？10．（5分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的部份图象如下图，将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象与函数y=g （x）的图象重合，那么（）A．g（x）=2sin（2x+）B．g（x）=2sin（2x+）C．g（x）=2sin2x D．g（x）=2sin（2x﹣）11．（5分）已知抛物线C：y2=4x的核心为F，过点F作斜率为1的直线l交抛物线C与P、Q两点，那么+的值为（）A．B．C．1 D．212．（5分）已知数列{an }中，a1=2，n（an+1﹣an）=an+1，n∈N*，假设关于任意的a∈[﹣2，2]，n∈N*，不等式＜2t2+at﹣1恒成立，那么实数t的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D．[﹣2，2]二、填空题（每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知向量=（1，λ），=（3，1），假设向量2﹣与=（1，2）共线，那么向量在向量方向上的投影为．14．（5分）假设实数x，y知足，那么z=x﹣3y+1的最大值是．15．（5分）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的下核心F1作y轴的垂线，交双曲线于A，B两点，假设以AB为直径的圆恰好于其上核心F2，那么双曲线的离心率为．16．（5分）一底面为正方形的长方体各棱长之和为24，那么当该长方体体积最大时，其外接球的体积为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤.）17．（12分）如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边别离为a，b，c，假设2acosA=bcosC+ccosB．（1）求角A的大小；（2）假设点D在边AC上，且BD是∠ABC的平分线，AB=2，BC=4，求AD的长．18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱CC1⊥地面ABC，且CC1=2AC=2BC，AC⊥BC，D是AB的中点，点M在侧棱CC1上运动．（1）当M是棱CC1的中点时，求证：CD∥平面MAB1；（2）当直线AM与平面ABC所成的角的正切值为时，求二面角A﹣MB1﹣C1的余弦值．19．（12分）第一届“一带一路”国际合作顶峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行，这是2017年我国重要的主场外交活动，对推动国际和地域合作具有重要意义．某高中政教处为了调查学生对“一带一路”的关注情形，在全校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测试，并从中随机抽取了12份问卷，取得其测试成绩（百分制），如茎叶图所示．（1）写出该样本的众数、中位数，假设该校共有3000名学生，试估量该校测试成绩在70分以上的人数；（2）从所抽取的70分以上的学生中再随机选取1人．①记X表示选取4人的成绩的平均数，求P（X≥87）；②记ξ表示测试成绩在80分以上的人数，求ξ的散布和数学期望．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右核心为F1，F2，离心率为，点P在椭圆C上，且△PF1F2的面积的最大值为2．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：y=kx+2（k≠0）与椭圆C交于不同的两点M，N，假设在x轴上存在点G，使得|GM|=|GN|，求点G的横坐标的取值范围．21．（12分）设函数f（x）=e x﹣2a﹣ln（x+a），a∈R，e为自然对数的底数．（1）假设a＞0，且函数f（x）在区间[0，+∞）内单调递增，求实数a的取值范围；（2）假设0＜a＜，试判定函数f（x）的零点个数．请考生在2二、23两题中任选一题作答，若是多做，那么按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为+=1，以O 为极点，x轴的非负半轴为极轴，取相同的长度单位成立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=3．（1）求直线l的直角坐标方程和椭圆C的参数方程；（2）设M（x，y）为椭圆C上任意一点，求|2x+y﹣1|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣2|．（1）求不等式f（x）+f（2+x）≤4的解集；（2）假设g（x）=f（x）﹣f（2﹣x）的最大值为m，对任意不相等的正实数a，b，证明：af（b）+bf（a）≥m|a﹣b|．2018年全国一般高等学校招生高考数学模拟试卷（理科）（一）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|2﹣x＞0}，B={x|（）x＜1}，那么（）A．A∩B={x|0＜x≤2} B．A∩B={x|x＜0} C．A∪B={x|x＜2} D．A∪B=R【解答】解：集合A={x|2﹣x＞0}={x|x＜2}，B={x|（）x＜1}={x|x＞0}，那么A∩B={x|0＜x＜2}，A∪B=R．应选：D．2．（5分）已知i为虚数单位，a为实数，复数z知足z+3i=a+ai，假设复数z 是纯虚数，那么（）A．a=3 B．a=0 C．a≠0 D．a＜0【解答】解：由z+3i=a+ai，得z=a+（a﹣3）i，又∵复数z是纯虚数，∴，解得a=0．应选：B．3．（5分）我国数学家邹元治利用如图证明勾股定理，该图顶用勾（a）和股（b）别离表示直角三角形的两条直角边，用弦（c）表示斜边，现已知该图中勾为3，股为4，假设从图中随机取一点，那么此点不落在中间小正方形中的概率是（）A． B． C．D．【解答】解：设直角三角形的长直角边为a=4，短直角边为b=3，由题意c=5，∵大方形的边长为a+b=3+4=7，小方形的边长为c=5，那么大正方形的面积为49，小正方形的面积为25，∴知足题意的概率值为：1﹣=．应选：B．4．（5分）已知等差数列{an }的前n项和为Sn，且S9=6π，那么tan a5=（）A． B．C．﹣D．﹣【解答】解：由等差数列的性质可得：S9=6π==9a5，∴a=．5=tan=﹣．那么tan a5应选：C．5．（5分）已知函数f（x）=x+（a∈R），那么以下结论正确的选项是（）A．∀a∈R，f（x）在区间（0，+∞）内单调递增B．∃a∈R，f（x）在区间（0，+∞）内单调递减C．∃a∈R，f（x）是偶函数D．∃a∈R，f（x）是奇函数，且f（x）在区间（0，+∞）内单调递增【解答】解：当a≤0时，函数f（x）=x+在区间（0，+∞）内单调递增，当a＞0时，函数f（x）=x+在区间（0，]上单调递减，在[，+∞）内单调递增，故A，B均错误，∀a∈R，f（﹣x）=﹣f（x）均成立，故f（x）是奇函数，故C错误，应选：D．6．（5分）（1+x）（2﹣x）4的展开式中x项的系数为（）A．﹣16 B．16 C．48 D．﹣48【解答】解：∵（2﹣x）4展开式的通项公式为 T=•24﹣r（﹣x）r，r+1∴（1+x）（2﹣x）4的展开式中x项的系数为﹣•23+24=﹣16，应选：A．7．（5分）如图是某个几何体的三视图，那么那个几何体的表面积是（）A．π+4+4 B．2π+4+4 C．2π+4+2 D．2π+2+4【解答】解：由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体．其直观图如下所示：其表面积S=2×π•12+2××2×1++﹣2×1=2π+4+4，应选：B8．（5分）假设a＞1，0＜c＜b＜1，那么以下不等式不正确的选项是（）A．log2018a＞log2018b B．logba＜logcaC．（a﹣c）a c＞（a﹣c）a b D．（c﹣b）a c＞（c﹣b）a b【解答】解：依照对数函数的单调性可得log2018a＞log2018b正确，logba＜logca正确，∵a＞1，0＜c＜b＜1，∴a c＜a b，a﹣c＞0，∴（a﹣c）a c＜（a﹣c）a b，故C不正确，∵c﹣b＜0，∴（c﹣b）a c＞（c﹣b）a b正确，应选：C．9．（5分）执行如下图的程序框图，假设输出的n值为11，那么判定框中的条件能够是（）A．S＜1022？B．S＜2018？C．S＜4095？D．S＞4095？【解答】解：第1次执行循环体，S=3，应不知足输出的条件，n=2，第2次执行循环体，S=7，应不知足输出的条件，n=3，第3次执行循环体，S=15，应不知足输出的条件，n=4，第4次执行循环体，S=31，应不知足输出的条件，n=5，第5次执行循环体，S=63，应不知足输出的条件，n=6，第6次执行循环体，S=127，应不知足输出的条件，n=7，第7次执行循环体，S=255，应不知足输出的条件，n=8，第8次执行循环体，S=511，应不知足输出的条件，n=9，第9次执行循环体，S=1023，应不知足输出的条件，n=10，第10次执行循环体，S=2047，应不知足输出的条件，n=11第11次执行循环体，S=4095，应知足输出的条件，故判定框中的条件能够是S＜4095？，应选：C．10．（5分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的部份图象如下图，将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象与函数y=g （x）的图象重合，那么（）A．g（x）=2sin（2x+）B．g（x）=2sin（2x+）C．g（x）=2sin2x D．g（x）=2sin（2x﹣）【解答】解：依照函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的部份图象，可得==+，∴ω=2，依照+φ=2•（﹣）+φ=0，∴φ=，故f（x）=2sin（2x+）．将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象与函数y=g（x）的图象重合，故g（x）=2sin（2x++）=2sin（2x+）．应选：A．11．（5分）已知抛物线C：y2=4x的核心为F，过点F作斜率为1的直线l交抛物线C与P、Q两点，那么+的值为（）A．B．C．1 D．2【解答】解：抛物线C：y2=4x的核心为F（1，0），过点F作斜率为1的直线l：y=x﹣1，可得，消去y可得：x2﹣6x+1=0，可得xP +xQ=6，xPxQ=1，|PF|=xP +1，|QF|=xQ+1，|PF||QF|=xQ +xP+xPxQ+1=6+1+1=8，则+===1．应选：C．12．（5分）已知数列{an }中，a1=2，n（an+1﹣an）=an+1，n∈N*，假设关于任意的a∈[﹣2，2]，n∈N*，不等式＜2t2+at﹣1恒成立，那么实数t的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D．[﹣2，2]【解答】解：依照题意，数列{a n }中，n （a n+1﹣a n ）=a n +1，即na n+1﹣（n+1）a n =1，那么有﹣==﹣，那么有=（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（a 2﹣a 1）+a 1=（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（1﹣）+2=3﹣＜3，＜2t 2+at ﹣1即3﹣＜2t 2+at ﹣1，∵关于任意的a ∈[﹣2，2]，n ∈N *，不等式＜2t 2+at ﹣1恒成立，∴2t 2+at ﹣1≥3，化为：2t 2+at ﹣4≥0，设f （a ）=2t 2+at ﹣4，a ∈[﹣2，2]，可得f （2）≥0且f （﹣2）≥0，即有即，可得t ≥2或t ≤﹣2，那么实数t 的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．应选：A ．二、填空题（每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知向量=（1，λ），=（3，1），假设向量2﹣与=（1，2）共线，那么向量在向量方向上的投影为0 ．【解答】解：向量=（1，λ），=（3，1），向量2﹣=（﹣1，2λ﹣1），∵向量2﹣与=（1，2）共线，∴2λ﹣1=﹣2，即λ=．∴向量=（1，﹣），∴向量在向量方向上的投影为||•cos＜，＞===0．故答案为：0．14．（5分）假设实数x，y知足，那么z=x﹣3y+1的最大值是．【解答】解：实数x，y知足，对应的可行域如图：线段AB，z=x﹣3y+1化为：y=，若是z最大，那么直线y=在y轴上的截距最小，作直线l：y=，平移直线y=至B点时，z=x﹣3y+1取得最大值，联立，解得B（，）．因此z=x﹣3y+1的最大值是：．故答案为：﹣．15．（5分）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的下核心F作y轴的垂线，交1，那么双曲线的双曲线于A，B两点，假设以AB为直径的圆恰好于其上核心F2离心率为．作y轴的垂线，【解答】解：过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的下核心F1交双曲线于A，B两点，那么|AB|=，，以AB为直径的圆恰好于其上核心F2可得：，∴c2﹣a2﹣2ac=0，可得e2﹣2e﹣1=0，解得e=1+，e=1﹣舍去．故答案为：1+．16．（5分）一底面为正方形的长方体各棱长之和为24，那么当该长方体体积最大时，其外接球的体积为4．【解答】解：设该项长方体底面边长为x米，由题意知其高是：=6﹣2x，（0＜x＜3）那么长方体的体积V（x）=x2（6﹣2x），（0＜x＜3），V′（x）=12x﹣6x2=6x（2﹣x），由V′（x）=0，得x=2，且当0＜x＜2时，V′（x）＞0，V（x）单调递增；当2＜x＜3时，V′（x）＜0，V（x）单调递减．∴体积函数V（x）在x=2处取得唯一的极大值，即为最大值，现在长方体的高为6﹣2x=2，∴其外接球的直径2R==2，∴R=，∴其外接球的体积V==4．故答案为：4．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤.）17．（12分）如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边别离为a，b，c，假设2acosA=bcosC+ccosB．（1）求角A的大小；（2）假设点D在边AC上，且BD是∠ABC的平分线，AB=2，BC=4，求AD的长．【解答】解：（1）∵2acosA=bcosC+ccosB，∴2sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA，∵sinA≠0，∴cosA=，∴A=．（2）在△ABC中，由余弦定理的cosA==，解得AC=1+或AC=1﹣（舍）．∵BD是∠ABC的平分线，∴=，∴AD=AC=．18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱CC1⊥地面ABC，且CC1=2AC=2BC，AC⊥BC，D是AB的中点，点M在侧棱CC1上运动．（1）当M是棱CC1的中点时，求证：CD∥平面MAB1；（2）当直线AM与平面ABC所成的角的正切值为时，求二面角A﹣MB1﹣C1的余弦值．【解答】证明：（1）取线段AB的中点E，连接DE，EM．∵AD=DB，AE=EB，∴DE∥BB1，ED=，又M为CC1的中点，∴．∴四边形CDEM是平行四边形．∴CD∥EM，又EM⊂MAB1，CD⊄MAB1∴CD∥平面MAB1；解（2）∵CA，CB，CC1两两垂直，∴以C为原点，CA，CB，CC1所在直线别离为x、y、z轴成立空间直角坐标系．∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱CC1⊥地面ABC，可得∠MAC为直线AM与平面ABC所成的角，设AC=1，tan，得CM=∴C（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），B1（0，1，2），M（0，0，）设AMB1的法向量为，可取又平面B1C1CB的法向量为．cos==．∵二面角A﹣MB1﹣C1为钝角，∴二面角A﹣MB1﹣C1的余弦值为﹣．19．（12分）第一届“一带一路”国际合作顶峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行，这是2017年我国重要的主场外交活动，对推动国际和地域合作具有重要意义．某高中政教处为了调查学生对“一带一路”的关注情形，在全校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测试，并从中随机抽取了12份问卷，取得其测试成绩（百分制），如茎叶图所示．（1）写出该样本的众数、中位数，假设该校共有3000名学生，试估量该校测试成绩在70分以上的人数；（2）从所抽取的70分以上的学生中再随机选取1人．①记X表示选取4人的成绩的平均数，求P（X≥87）；②记ξ表示测试成绩在80分以上的人数，求ξ的散布和数学期望．【解答】解：（1）众数为76，中位数为76，抽取的12人中，70分以下的有4人，不低于70分的有8人，故从该校学生中任选1人，那个人测试成绩在70分以上的概率为=，∴该校这次测试成绩在70分以上的约有：3000×=2000人．（2）①由题意知70分以上的有72，76，76，76，82，88，93，94，当所选取的四个人的成绩的平均分大于87分时，有两类：一类是：82，88，93，94，共1种；另一类是：76，88，93，94，共3种．∴P（X≥87）==．②由题意得ξ的可能取值为0，1，2，3，4，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，P（ξ=4）==，∴ξ的散布列为：ξ 0 1 2 3 4P∴E（ξ）==2．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右核心为F1，F2，离心率为，点P在椭圆C上，且△PF1F2的面积的最大值为2．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：y=kx+2（k≠0）与椭圆C交于不同的两点M，N，假设在x轴上存在点G，使得|GM|=|GN|，求点G的横坐标的取值范围．【解答】解：（1）显然当点P位于短轴端点时，△PF1F2的面积取得最大值，∴，解得，∴椭圆的方程为=1．（2）联立方程组，消元得（8+9k2）x2+36kx﹣36=0，∵直线l恒过点（0，2），∴直线l与椭圆始终有两个交点，设M（x1，y1），N（x2，y2），那么x1+x2=，设MN的中点为E（x0，y），那么x=，y=kx+2=．∵|GM|=|GN|，∴GE⊥MN，设G（m，0），那么kGE==﹣，∴m==，当k＞0时，9k+≥2=12．当且仅当9k=，即k=时取等号；∴﹣≤m＜0，当k＜0时，9k+≤﹣2=﹣12，当且仅当9k=，即k=﹣时取等号；∴0＜m≤．∴点G的横坐标的取值范围是[﹣，0）∪（0，]．21．（12分）设函数f（x）=e x﹣2a﹣ln（x+a），a∈R，e为自然对数的底数．（1）假设a＞0，且函数f（x）在区间[0，+∞）内单调递增，求实数a的取值范围；（2）假设0＜a＜，试判定函数f（x）的零点个数．【解答】解：（1）∵函数f（x）在区间[0，+∞）内单调递增，∴f′（x）=e x﹣≥0在区间[0，+∞）恒成立，即a≥e﹣x﹣x在[0，+∞）恒成立，记g（x）=e﹣x﹣x，那么g′（x）=﹣e﹣x﹣1＜0恒成立，故g（x）在[0，+∞）递减，故g（x）≤g（0）=1，a≥1，故实数a的范围是[1，+∞）；（2）∵0＜a＜，f′（x）=e x﹣，记h（x）=f′（x），那么h′（x）=e x+＞0，知f′（x）在区间（﹣a，+∞）递增，又∵f′（0）=1﹣＜0，f′（1）=e﹣＞0，，∴f′（x）在区间（﹣a，+∞）内存在唯一的零点x即f′（x）=﹣=0，于是x0=﹣ln（x+a），当﹣a＜x＜x时，f′（x）＜0，f（x）递减，当x＞x时，f′（x）＞0，f（x）递增，故f（x）min =f（x）=﹣2a﹣ln（x+a）=x+a+﹣3a≥2﹣3a，当且仅当x+a=1时取“=”，由0＜a＜得2﹣3a＞0，∴f（x）min =f（x）＞0，即函数f（x）无零点．请考生在2二、23两题中任选一题作答，若是多做，那么按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为+=1，以O 为极点，x轴的非负半轴为极轴，取相同的长度单位成立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=3．（1）求直线l的直角坐标方程和椭圆C的参数方程；（2）设M（x，y）为椭圆C上任意一点，求|2x+y﹣1|的最大值．【解答】解：（1）依照题意，椭圆C的方程为+=1，那么其参数方程为，（α为参数）；直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=3，变形可得ρsinθcos+ρcosθsin =3，即ρsinθ+ρcosθ=3，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得x+y﹣6=0，即直线l的一般方程为x+y﹣6=0；（2）依照题意，M（x，y）为椭圆一点，那么设M（2cosθ，4sinθ），|2x+y﹣1|=|4cosθ+4sinθ﹣1|=|8sin（θ+）﹣1|，分析可得，当sin（θ+）=﹣1时，|2x+y﹣1|取得最大值9．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣2|．（1）求不等式f（x）+f（2+x）≤4的解集；（2）假设g（x）=f（x）﹣f（2﹣x）的最大值为m，对任意不相等的正实数a，b，证明：af（b）+bf（a）≥m|a﹣b|．【解答】（1）解：不等式f（x）+f（2+x）≤4，即为|x﹣2|+|x|≤4，当x≥2时，2x﹣2≤4，即x≤3，那么2≤x≤3；当0＜x＜2时，2﹣x+x≤4，即2≤4，那么0＜x＜2；当x≤0时，2﹣x﹣x≤4，即x≥﹣1，那么﹣1≤x≤0．综上可得，不等式的解集为{x|﹣1≤x≤3}；（2）证明：g（x）=f（x）﹣f（2﹣x）=|x﹣2|﹣|x|，由|x﹣2|﹣|x|≤|x﹣2﹣x|=2，当且仅当x≤0时，取得等号，即g（x）≤2，那么m=2，任意不相等的正实数a，b，可得af（b）+bf（a）=a|b﹣2|+b|a﹣2|=|ab﹣2a|+|ab﹣2b|≥|ab﹣2a﹣ab+2b|=|2a﹣2b|=2|a﹣b|=m|a﹣b|，当且仅当（a﹣2）（b﹣2）≤0时，取得等号，即af（b）+bf（a）≥m|a﹣b|．。

2018年高三数学(理科)模拟考试试题及答案

2018年高三数学试卷（理科）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间为120分钟.2．本试卷分试题卷和答题卷，第Ⅰ卷（选择题）的答案应填在答题卷卷首相应的空格内，做在第Ⅰ卷的无效.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题５分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合21A x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，{}(2)(1)0B x x x =+->，则AB 等于（）A ．(0,2)B ．(1,2)C ．(2,2)-D ．(,2)(0,)-∞-+∞2．设(12)i x x yi +=+，其中是实数，则yi x=+（） A ．BCD3．下面框图的S 的输出值为（） A ．5 B ．6 C ．8 D ．134．已知随机变量X 服从正态分布2(2,)N σ且(4)0.88P x ≤=，则(04)P x <<=（） A ．0.88B ．0.76C ．0.24D ．0.125．在各项不为零的等差数列{}n a 中，2201720182019220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且20182018b a =，则220172019log ()b b 的值为（）y x ,1A ．1B ．2 C. 4 D ．86．下列命题正确的个数是（）（1）函数22cos sin y ax ax =-的最小正周期为π”的充分不必要条件是“1a =”.（2）设1{1,1,,3}2a ∈-，则使函数a y x =的定义域为R 且为奇函数的所有a 的值为1,1,3-.（3）已知函数()2ln f x x a x =+在定义域上为增函数，则0a ≥.A ．1B ．2C ．3D ．07．已知向量2(,2),(3,1),(1,3)a x x b c =+=--=，若//a b ，则a 与c 夹角为（）A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线所画出的是某几何体的三视图，则该几何体的各条棱中最长的棱长为（）A.52B.24C.6D.349．若关于x 的不等式a x a a sin )6(2<-+无解，则=a （） A.3- B.2- C.2 D.310．若()()()11221,2,,,,A B x y C x y 是抛物线24y x =上不同的点，且AB BC ⊥，则2y 的取值范围是（）A ．∞⋃∞（-,-6）[10,+) B ．∞⋃∞（-,-6](8,+) C ．∞⋃∞（-,-5][8,+) D ．∞⋃∞（-,-5][10,+)11．已知动点),(y x P 满足：2402323x y y x x y x --+≤⎧⎪≥⎨⎪+≥+⎩，则22+4x y y +的最小值为（）AB 4C ． 1-D ．2-12．已知函数()f x ＝20540.x ee x x x x ⎧⎪≥⎨⎪+<⎩，，+，（e 为自然对数的底数），则函数(())()y f f x f x =-的零点的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5第II 卷（非选择题共90分）二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 13．3)12)(1(xx x x -+的展开式中的常数项为 . 14．已知F 1、F 2为双曲线的焦点，过F 2作垂直于实轴的直线交双曲线于A 、B 两点，BF 1交y 轴于点C ，若AC ⊥BF 1，则双曲线的离心率为 .15．已知矩形ABCD 的两边长分别为3=AB ，4=BC ，O 是对角线BD 的中点，E 是AD 边上一点，沿BE 将ABE ∆折起，使得A 点在平面BDC 上的投影恰为O （如右图所示），则此时三棱锥BCD A -的外接球的表面积是 . 16．在ABC ∆中，内角A,B,C 所对的边分别是,,a b c ，sin 1cos ,2sin cos A b Ab a C B-==，则有如下结论：（1）1c =;（2）ABC S ∆的最大值为14; （3）当ABC S ∆取最大值时，b =则上述说法正确的结论的序号为 .三、解答题：共70分。

2018年普通高等学校招生第一次统一模拟考试理科数学答案

且点 P 在椭圆 C 上 . 所以 ( x1 x2) 2 ( y1 y2 )2 1
4
3
其中 x1 x2
3
8km 4k 2
，
y1
代入 (x1 x2 )2 ( y1 y 2 )2
4
3
y2 k( x1 x2) 可得 4m2 3
1
6m 2m 3 4k 2 4k2 .
AB
1 k 2 x1 x 2
1
k2 4
33 3
------------------------------------------12
分
20．（本小题满分 12 分）如图，在平面直角坐标系
距为 2．
xOy 中，椭圆
C
:
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的离心率为 1 ，焦 2
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（ Ⅱ ）记斜率为 k 的直线 l 交椭圆 C 于 A, B 两点，椭圆 C 上存在点 p 满足
的第一题计分。 22. [ 选修 4-4 ：坐标系与参数方程 ] （本小题满分 10 分）
x 1 t cos
在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为
1
（ t 为参数），以坐
y
t sin
2
标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为
2
4 4sin 2 cos2
.
2018 年普通高等学校招生第一次统一模拟考试理科数学参考答案及评分标准
一. 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号 1

高三数学全真模拟考试试题(一)理(含解析)

荆州中学2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(模拟一)选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合,则Ａ、 B、C、 D、【答案】D【解析】【分析】分别求出集合,,再利用交集定义就可求出结果【详解】则故选【点睛】本题主要考查了集合的交集及其运算,属于基础题、2、欧拉公式(为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里特别重要,被誉为“数学中的天桥"、依照欧拉公式可知,表示的复数位于复平面中的A、第一象限 B。

第二象限 C、第三象限 D、第四象限【答案】Ｂ【解析】【分析】由欧拉公式(为虚数单位)可得:,再利用诱导公式化简,即可得到答案【详解】由欧拉公式(为虚数单位)可得:表示的复数对应的点为,此点位于第二象限故选【点睛】本题主要考查的是欧拉公式的应用,诱导公式,复数与平面内的点的一一对应关系,考查了学生的运算能力,转化能力。

3、要得到函数的图象,只需将函数的图象Ａ。

向左平移个周期Ｂ、向右平移个周期Ｃ、向左平移个周期D、向右平移个周期【答案】D【解析】【分析】利用函数的图象变换规律,三角函数的周期性,得出结果【详解】将函数的图象向右平移个单位,可得的图象,即向右平移个周期故选【点睛】本题考查了三角函数图像的平移,运用诱导公式进行化简成同名函数,然后运用图形平移求出结果,本题较为基础。

4。

某地区空气质量监测表明,一天的空气质量为优良的概率是,连续两天为优良的概率是,已知某天的空气质量为优良,则随后一天空气质量为优良的概率是A。

B。

C、 D、【答案】A【解析】试题分析:记“一天的空气质量为优良”,“第二天空气质量也为优良”,由题意可知,因此,故选Ａ、考点:条件概率。

视频5、如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体各面中直角三角形的个数是A、 2 B。

2018年理科数学高考模拟试卷

高考模拟数学试卷（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}252140A x x x =-+-<，{}36B x Z x =∈-<<，则()U C A B I 的元素的个数为（） A.3B.4C.5D.62.若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”.已知() 12az bi a b R i=+∈-，为“理想复数”，则（） A.350a b +=B.350a b -=C.50a b +=D.50a b -=3.已知角α的终边经过点(3 m m ，，若73πα=，则m 的值为（） A.27B.127C.9D.194.已知()f x 为奇函数，当0x <时，()()2log f x a x x =++-，其中()4 5a ∈-，，则()40f >的概率为（）A.13B.49C.59D.235.若直线22py x =+与抛物线()220x py p =>相交于 A B ，两点，则AB 等于（） A.5pB.10pC.11pD.12p6.《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即222222142c a b S c a ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦现有周长为225ABC △满足))sin :sin :sin 21521A B C =，试用以上给出的公式求得ABC △的面积为（） 33 5 5 7.某程序框图如图所示，其中t Z ∈，该程序运行后输出的2k =，则t 的最大值为（）A.11B.2057C.2058D.20598.已知函数()sin432sin23xf xxππ⎛⎫+⎪⎝⎭=⎛⎫+⎪⎝⎭的图象与()g x的图象关于直线12xπ=对称，则()g x的图象的一个对称中心可以为（）A. 06π⎛⎫⎪⎝⎭， B. 03π⎛⎫⎪⎝⎭， C. 04π⎛⎫⎪⎝⎭， D. 02π⎛⎫⎪⎝⎭，9.设0a>，若关于x y，的不等式组202020ax yx yx-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，表示的可行域与圆()2229x y-+=存在公共点，则2z x y=+的最大值的取值范围为（）A.[]8 10， B.()6 +∞， C.(]6 8， D.[)8 +∞，10.过双曲线()2222:10 0x yC a ba b-=>>，的右焦点F作x轴的垂直，交双曲线C于M N，两点.A为左顶点，设MANθ∠=，双曲线C的离心率为()fθ，则233f fππ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭等于（）A.23B.3C.3D.611.某几何体的三视图如图所示，已知三视图中的圆的半径均为2，则该几何体的体积为（）A.203πB.12πC.443πD.16π12.若函数()()12ln x f x a x e x x=-++在()0 2，上存在两个极值点，则a 的取值范围是（）A.21 4e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，B.()21 1 4e e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭U ，，C.1 e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，D.2111 4e e e ⎛⎫⎛⎫-∞--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ，，第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.在()()54123x x ---的展开式中，常数项为．14.某设备的使用年数x 与所支出的维修总费用y 的统计数据如下表：根据上表可得回归直线方程为$1.3y x a =+.若该设备维修总费用超过12万元就报废，据此模型预测该设备最多可使用年．15.设向量 a b r r ，满足3a b +=r r ，2a b -=r r，则aa b⋅r r r 的取值范围为． 16.在底面是菱形的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，120BAD ∠=︒，点E 为棱PB 的中点，点F 在棱AD 上，平面CEF 与PA 交于点K ，且3PA AB ==，2AF =，则点K 到平面PBD 的距离为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列，且233 5a a ==，.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设3n n n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.以下是新兵训练时，某炮兵连8周中炮弹对同一目标的命中情况的柱状图：（1）计算该炮兵连这8周中总的命中频率0p ，并确定第几周的命中频率最高；（2）以（1）中的0p 作为该炮兵连炮兵甲对同一目标的命中率，若每次发射相互独立，且炮兵甲发射3次，记命中的次数为X ，求X 的数学期望；（3）以（1）中的0p 作为该炮兵连炮兵对同一目标的命中率，试问至少要用多少枚这样的炮弹同时对该目标发射一次，才能使目标被击中的概率超过0.99？（取lg0.40.398=-） 19.如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAB ⊥底面ABCD ，PAB △为正三角形，AB AD ⊥，CD AD ⊥，点E ，M 分别为线段BC 、AD 的中点，F 、G 分别为线段PA 、AE 上一点，且2AB AD ==，2PF FA =.（1）确定点G 的位置，使得FG ∥平面PCD ；（2）试问：直线CD 上是否存在一点Q ，使得平面PAB 与平面PMQ 所成锐二面角的大小为30︒，若存在，求DQ 的长；若不存在，请说明理由.20.已知焦距为2的椭圆()2222:10x y W a b a b +=>>的左、右顶点分别为12 A A ，，上、下顶点分别为12 B B ，.点()00 M x y ，为椭圆W 上不在坐标轴上的任意一点，且四条直线1212 MA MA MB MB ，，，的斜率之积为14.（1）求椭圆W 的标准方程；（2）如图所示，点 A D ，是椭圆W 上两点，点A 与点B 关于原点对称，AD AB ⊥，点C 在x 轴上，且AC 与x 轴垂直，求证： B C D ，，三点共线.21.已知函数221284x m f x x m ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，()()22112cos 2g x x mx a x x x m =-++++-.（1）若曲线()y f x =仅在两个不同的点()()11 A x f x ，，()()22 B x f x ，处的切线都经过点()2 t ，，求证：38t m =-，或2212273t m m m =-+-；（2）当[]0 1x ∈，时，若()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为23815y x x =+-+-（1）写出曲线C 的一个参数方程；（2）在曲线C 上取一点P ，过点P 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为 A B ，，求矩形OAPB 的周长的取值范围.23.已知函数()252f x x x x =+--+. （1）求不等式()0f x <的解集；（2）若关于x 的不等式()f x m ≤的整数解仅有11个，求m 的取值范围.高三数学试卷参考答案（理科）一、选择题1.C ∵()(){}()14150 5 4A x x x ⎛⎫=--<=-∞+∞ ⎪⎝⎭U ，，，∴1 54R C A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，，∴(){}1 2 3 4 5R C A B =I ，，，，. 2.A ∵()12212555a i a a a z bi bi b i i +⎛⎫=+=+=++ ⎪-⎝⎭，∴2055a a b ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，∴350a b +=. 3.B∵1113267tan 3m m π--===，16m -=，∴6127m -==，∴127m =. 4.D ∵()244log 42f a a -=-+=-，∴()()44202f f a a =--=->⇒<，故由几何概型可知所求概率为()()242543--=--. 5.B 联立22py x =+与22x py =得2240x px p --=，设()11 A x y ，，()22 B x y ，，则124x x p +=，∴12249y y p p p +=⨯+=，又直线22py x =+过抛物线的焦点，∴1210AB y y p p =++=. 6.A因为))sin :sin :sin 11A B C =，所以由正弦定理得))::11a b c =+，又a b c ++=所以1a =，b =1c =，则211ac =-=，222651c a b +-=-=，故S ==.7.C 10k =，1S =，8k =；3S =，6k =；11S =，4k =，2059S =，2k =，由于输出的2k =，故计算结束，所以t 的最大值为2058.8.C ∵()sin 4sin 4332sin 2 662sin 2cos 2626x x k f x x x k Z x x ππππππππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭===+≠+∈ ⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，∴()2sin 22cos 2 6662k g x f x x x x k Z ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=≠-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，的图象的一个对称中心为 04π⎛⎫⎪⎝⎭，.9.D 作出不等式组大致表示的可行域，当直线20ax y-+=经过点()2 3，时，12a=，数形结合可得12a≥，当直线2z x y=+经过点()2 22A a+，时，z取得最大值46a+，∵12a≥，∴8z≥.10.A ∵22bMNa=，AF c a=+，∴()()22212tan12MN b c a c aeAF a c a a c a aθ--=====-++，∴()tan12e fθθ==+，∴232331133f fππ⎫⎛⎫⎛⎫-=-=⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.11.B 由三视图可知，该几何体由半径为2的球的34及两个14圆柱组成，它的直观图如图所示，故其体积32341222212434Vπππ=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=.12.D ()()()2211'11x xxf x a x e x aex x-⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭，令()'0f x=，得1x=或21xax e=-，设()21xg xx e=-，则()()()2222'xxe x xg xx e+=，当0x>时，()'0g x>，∴()g x在()0 2，上递增，当0x→时，()g x∞→-，又()2124ge=-，∴()214g xe⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭，，∴214ae<-，又()1a g≠，∴1ae≠-，∴21114ae e e⎛⎫⎛⎫∈-∞---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U，，.二、填空题13.27-，因为()523x -的展开式中4x 的系数为()3353270C -=-，所以()()54123x x ---的展开式中常数项为()5270327024327---=-+=-.14.9，∵ 4 5x y ==，，∴$5 1.34a =⨯+，∴$0.2a=-，∴$ 1.30.2y x =-，由$12y ≤得5913x ≤. 15.2 25⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，∵224945a b a b a b +--=⋅=-=r r r r r r ，∴54a b ⋅=r r .∵[][]23 2 32 1 5a a b a b =++-∈-+=r r r r r ，，，∴15 22a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦r ，，∴2 25a a b ⎡⎤∈⎢⎥⋅⎣⎦r r r ，. 16.95，延长CF 交BA 的延长线于点Q ，连接QE 交PA 于点K ，设QA x =，由AD BC ∥得QBC QAF △∽△，则233x x =+，∴6x =，取AB 的中点M ，则PA EM ∥，∴QAK QME △∽△，则323662AK =+，∴65AK =，∴633535PK PA -==，设BD AC O =I ，连接PO ，过A 作AH PO ⊥于H ，易证AH ⊥平面PBD ，在菱形ABCD 中，120BAD ∠=︒，3AB =，则32AO =，故2233352332AH ⨯==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴点K 到平面PBD 的距离为3955AH =.三、解答题17.解：（1）∵32132S S -=， ∵11353132a a +++-=，∴11a =， ()111nS n n n=+-⨯=，∴2n S n =，∴()1212n n n a S S n n -=-=-≥，∵11a =，∴21n a n =-. （2）∵()213n n b n =-⋅，∴()21333213n n T n =⨯+⨯++-⋅…， ∴()23131333213n n T n +=⨯+⨯++-⋅…，∴()()231332333213n n n n T T n +-=+⨯+++--⋅…，即()()()2111133323221336123223613n n n n n n T n n n ++++-⨯-=+⨯--⋅=-+-⋅=-⋅--，故()1133n n T n +=-⋅+.18.解：（1）这8周总命中炮数为4045464947495352381+++++++=，总未命中炮数为3234303235333028254+++++++＝， ∴03810.6381254p ==+.∵52532830>，∴根据表中数据易知第8周的命中频率最高. （2）由题意可知()3 0.6X B ～，，则X 的数学期望为()30.6 1.8E X =⨯=.（3）由()0110.99np -->即10.40.99n ->得0.40.01n <， ∴0.4lg0.0122log 0.01 5.025lg0.4lg0.40.398n >==-=≈，故至少要用6枚这样的炮弹同时对该目标发射一次，才能使目标被击中的概率超过0.99. 19.解：（1）G 为线段AE 的靠近E 的三等分点.在线段AD 上取一点N ，使得2DN AN =，因为2PF FA =，∴FN PD ∥，因为M 为AD 中点，∴23AN AM =，当G 为线段AE 靠近E 的三等分点时，即23AG AE =，NG AE ∥，又易知ME CD ∥，∴NG CD ∥.又FN NG N =I ，所以平面FNG ∥平面PCD ，因为FG ⊂平面FNG ，所以FG ∥平面PCD .（2）取AB中点O，连接PO，因为PAB△为正三角形，所以PO AB⊥，又侧面PAB⊥底面ABCD，所以PO⊥底面ABCD，以OA为x轴，AB的中垂线为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系O xyz-，如图所示，则(0 0 3P，，，()1 1 0M，，，设()2 0Q t，，，则(1 1 3PM=u u u u r，，，( 2 3PQ t=u u u r，，，设平面PMQ的法向量为()n x y z=r，，，则0PM n PQ n⋅=⋅=u u u u r r u u u r r，即3230x y z tx y z+=+=，令3x=PMQ的一个法向量为))3 31 2n t t=--r，，.易得平面PAB的一个法向量为()0 1 0m=u r，，，所以()()22313cos cos303312tm nt t-<>==︒=+-+-u r r，，解得3t=，故存在点Q，且312DQ=-=.20.解：（1）由题可得22c=，∴1c=，∴221a b-=，∵点()00M x y，为椭圆W上不在坐标轴上任意一点，∴2200221x ya b+=，∴()2222002by a xa=-，()2222002ax b yb=-，∴1212222000000222000000MA MA MB MBy y y b y b y y bk k k kx a x a x x x a x-+-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅+--()()222222202022222200214b a x y b b a a x a a b y b -⎛⎫-=⋅== ⎪-⎝⎭-，∴222a b =. 又221a b -=，∴22a =，21b =，故椭圆W 的标准方程为2212x y +=.（2）证明：设()11 A x y ，，()22 D x y ，，则()11 B x y --，，()1 0C x ，， ∵A ，D 都在M 上，∴221122222222x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， ∴()()()()1212121220x x x x y y y y -++-+=，即()121212122y y x xx x y y -+=--+，又AB AD ⊥，∴1AB AD k k ⋅=-，即1121121y y y x x x -⋅=--，∴()11211212y x xx y y +⋅=+， ∴()1211122y y y x x x +=+，又1211212121121202BD BC y y y y y y y k k x x x x x x x +++-=-=-=+++，∴BD BC k k =，∴ B C D ，，三点共线.21.（1）证明：∵321284x m f x x m ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，∴()32f x x mx m =-+-，∴()2'32f x x mx =-+，则曲线()y f x =在 A B ，两点处的切线的方程分别为：()()()3221111132y x mx m x mx x x --+-=-+-， ()()()3222222232y x mx m x mx x x --+-=-+-.将()2 t ，代入两条切线方程，得 ()()()32211111322t x mx m x mx x --+-=-+-， ()()()32222222322t x mx m x mx x --+-=-+-.由题可得方程()()()322322t x mx m x mx x --+-=-+-即()32264t x m x mx m =-++-有且仅有两个不相等的两个实根.设()()32264h x x m x mx m =-++-，()()()()2'6264232h x x m x m x m x =-++=--.①当6m =时，()()2'620h x x =-≥，∴()h x 单调递增，显然不成立. ②当6m ≠时，()'0h x =，解得2x =或3m x =. ∴()h x 的极值分别为()238h m =-，32123273m h m m m ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭.要使得关于x 的方程()32264t x m x mx m =-++-有且仅有两个不相等的实根，则38t m =-或3212273t m m m =-+-. （2）解：()()()312cos 2x f x g x a x x x -=-+--212cos 2x x a x ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭，设()22cos 2x G x x =+，则()'2sin G x x x =-，记()2sin H x x x =-，则()'12cos H x x =-，当[]0 1x ∈，时，()'0H x <，于是()'G x 在[]0 1，上是减函数，从而当[]0 1x ∈，时，()()''00G x G ≤=，故()G x 在[]0 1，上是减函数，于是()()02G x G ≤=，从而()13a G x a ++≤+，所以当30a +≤时，()()0f x g x -≥. 所以，当3a ≤-时，()()f x g x ≥在[]0 1，上恒成立，因此，a 的取值范围是(] 3-∞-，.22.解：（1）由3y =()()()223143y x y -=--≥，即()()()224313x y y -+-=≥，故曲线C 的一个参数方程为4cos 3sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数，且[]0 θπ∈，）. （2）由（1）可知点P 的坐标为()4cos 3sin θθ++，，[]0 θπ∈，，则矩形OAPB 的周长为()24cos 3sin 144C πθθθ⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭，∵[]0 θπ∈，，∴5 444πππθ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，，∴sin 14πθ⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，，∴12 C ⎡∈⎣，.23.解：（1）()2223 02 3 057 5x x f x x x x x x ⎧-≤⎪=+-<<⎨⎪+≥⎩，，，，由不等式()0f x <，得2300x x ⎧-<⎨≤⎩或223005x x x ⎧+-<⎨<<⎩或2705x x ⎧+<⎨≥⎩，即0x ≤或01x <<或x ∈∅，故不等式()0f x <的解集为()1，.（2）由（1）知()22222 3 3 02 3 012 3 157 5x x x x f x x x x x x x x x ⎧-≤⎪-<≤⎪⎪=--+<<⎨⎪+-≤<⎪⎪+≥⎩，，，，，，当()532m f ==时，不等式()f x m ≤的整数解为5-，4-，…，4，5共有11个，当33m =时，不等式()f x m ≤的整数解为6-，5-，…，4，5共有12个，故[)32 33m ∈，.。