二元一次不等式(组)与简单线性规划问题_PPT课件

x，y∈N
略)可得当 x＝4，y＝4 时，zmax＝2 800.
数形结合思想在解决线性规划问题中的应用
(2013·高考北京卷)已知点 A(1，－1)，B(3，0)， C(2，1)．若平面区域 D 由所有满足A→P＝λA→B＋μA→C(1≤λ≤2， 0≤μ≤1)的点 P 组成，则 D 的面积为____3____．
求目标函数的最值(范围)
(1)(2013·高考课标全国卷Ⅱ)设 x，y 满足约束条件
x－y＋1≥0， x＋y－1≥0，则 z＝2x－3y 的最小值是( B ) x≤3，
A．－7
B．－6
C．－5
D．－3
(2)已知变量
x，y
x－2y＋1≤0 满足约束条件2x－y≥0 ，则
x≤1
z＝xy＋＋11的
取值范围为( B )
Байду номын сангаас
D.－∞，－23∪53，＋∞
(2)(2014·浙江温州市适应性测试)若变量 x，y 满足不等式 x－y－1≥0，则 x2＋y2 的最小值为____5____； y≥1
(3)(2014·陕西省质量检测)若点 P(m，n)在由不等式组
x＋y－7≤0 x－2y＋5≤0所确定的区域内，则 n－m 的最大值为 2x－y＋1≥0
0≤x≤2 1．(2014·山东聊城调研)设不等式组0≤y≤3 所表示的平
x＋2y－2≥0
面区域为 S，若 A、B 为区域 S 内的两个动点，则|AB|的最
大值为( B )
A．2 5
B. 13
C．3
D. 5
【解析】画出可行域，如图所示．
由图可知，位于该可行域内的两个动点中，其间的距离最远 的两个点是(0，3)和(2，0)，因此|AB|的最大值为 13.
____3____．
【解析】(1)直线 3x－5y＋6＝0 和直线 2x＋3y－15＝0 的斜 率分别为 k1＝35，k2＝－23.作出可行域如图所示，当且仅当直 线 z＝ax＋y 经过点(3，3)时，z 取得最大值，则直线 z＝ax ＋y 的斜率－a 满足－23<－a<35，解得－35<a<23.
线性规划的实际应用
(2013·高考湖北卷)某旅行社租用A，B两种型 号 的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别 为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行 社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆， 则租金最少为(C ) A．31 200元 B．36 000元 C．36 800元 D．38 400元 [课堂笔记]
A．[1，2]
B．[1，32]
C．[－1，12]
D．[12，32]
(3)(2013·高考课标全国卷Ⅱ)已知 a>0，x，y 满足约束条件
x≥1， x＋y≤3，
若 z＝2x＋y 的最小值为 1，则 a＝( B )
y≥a（x－3）.
1
1
A.4
B.2
C．1 [课堂笔记]
D．2
【解析】(1)作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．
(3)作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)． 易知直线 z＝2x＋y 过交点 A 时，z 取最小值， 由xy＝＝a1（，x－3）， 得xy＝＝－1，2a， ∴zmin＝2－2a＝1，
解得 a＝12.
(1)求目标函数最值的步骤： ①作出可行域； ②找到目标函数对应最优解的对应点； ③代入目标函数求最值． (2)常见的目标函数： ①形如 z＝ax＋by 的截距型． ②形如 z＝yx－－ab的斜率型． ③形如 z＝(x－a)2＋(y－b)2 的距离型． (3)线性目标函数的最值点，一般在可行域的顶点或边界上
不超过 12 千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、
乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( C )
A．1 800 元
B．2 400 元
C．2 800 元
D．3 100 元
【解析】 设甲产品，乙产品分别生产 x，y 桶，则线性约束
0≤x＋2y≤12 条件为0≤2x＋y≤12，目标函数为 z＝300x＋400y，作图(图
温馨提醒：线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可 行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有 无数多个，也可能没有．
1．不等式x－2y＋6<0表示的区域在直线x－2y＋6＝0的
(C)
A．右上方
B．右下方
C．左上方
D．左下方
2．如图所示，阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组 表示的是( A )
4．(2014·江苏扬州模拟)点(－2，t)在直 线2x－3y＋6＝0的 上
方，则t的取值范围是_____(_23_，_＋___∞_)_____． 5．(2013·高考陕西卷)若点(x，y)位于曲 线y＝|x－1|与y＝ 2 所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为__－__4____．
二元一次不等式(组)表示的平面区域
易知直线 z＝2x－3y 过点 C 时，z 取得最小值． 由xx＝－3y＋，1＝0，得xy＝＝34，， ∴zmin＝2×3－3×4＝－6，故选 B.
(2)作出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分所示，其 中 A(1，1)，B(1，2)，目标函数 z＝xy＋＋11的几何意义为可行 域内的点与点 P(－1，－1)连线的斜率，kPA＝1，kPB＝32.
(1)本题首先由A→P＝λA→B＋μA→C(1≤λ≤2，0≤μ≤1)转化为线性规 划问题，然后利用数形结合方法求解．
(2)有关不等式的综合问题，有时也转化为线性规划问题，利 用数形结合思想解决．
(2014·江苏南通调研)已知 0<a<1，若 loga(2x－y＋1)<loga(3y
－x＋2)，且 λ<x＋y，则 λ 的最大值为__－__2____． 【 解析 】 λ<x＋ y， 只需 λ<x＋y 的 最 小值 ， 由题 意 知，
x－y≥0 (1)若满足条件x＋y－2≤0的整点(x，y)恰有 9 个，其中
y≥a
整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数 a 的值为( C )
A．－3
B．－2
C．－1
D．0
x＋y－3≥0 (2)满足不等式组x－y＋1≤0的点(x，y)构成的区域的面积为
2≤y≤3
___1_____．
[课堂笔记]
【解析】(1)不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当 a＝0 时，只有 4 个整点(1，1)，(0，0)，(1，0)，(2，0)；当 a＝－1 时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2， －1)，(3，－1)5 个整点．
∴3≤2x－y－3≤6， 0≤2y－x＋3≤3.
作出不等式组表示的平面区域(如图阴影部分)，由图可知平 面区域 D 为平行四边形，可求出 M(4，2)，N(6，3)，故|MN|
＝ 5.又 x－2y＝0 与 x－2y－3＝0 之间的距离为 d＝ 3 ，故 5
平面区域 D 的面积为 S＝ 5× 3 ＝3. 5
温馨提醒：对于一条直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点， 若将其坐标代入Ax＋By＋C，所得实数的正负相同，因此 只 需把点的坐标代入不等式，若不等式成立，则该点在不等 式 表示的平面区域内．
3．线性规划的有关概念
名称
意义
约束条件 由变量x，y组成的___不__等__式__(_组__)___
线性约束 由x，y的___一__次___不等式(或方程)组成的不等式 条件 (组)
x＋y－1≥0 A.x－2y＋2≥0
x＋y－1≥0 C.x－2y＋2≤0
x＋y－1≤0 B.x－2y＋2≤0
x＋y－1≤0 D.x－2y＋2≥0
y≤2x， 3．(2013·高考湖南卷)若变量 x，y 满足约束条件x＋y≤1，则
y≥－1，
x＋2y 的最大值是( C )
A．－52
B．0
C.53
D.52
2x－y＋1>0， 3y－x＋2>0， 作可行区域如图 3x－4y－1>0，
所示,当(x，y)无限逼近(－1，－1) 时，x＋y 无限逼近－2，且大于－2. 从而 λ≤－2，即 λ 有最大值－2.
目标函数 关于x，y的函数__解__析__式__，如z＝x＋2y
线性目标 函数
关于x，y的__一__次____解析式
可行解 满足线性约束条件的解__(x_，__y_)__
可行域 所有_可__行__解___组成的集合
最优解 使目标函数取得__最__大__值__或__最__小__值___的可行解
线性规划 在线性约束条件下求线性目标函数的_最__大__值___ 问题 或__最__小__值__问题
(2)已知不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，而 x2＋y2 是阴影部分内的点到原点的距离的平方，显然其最小 值为点(2，1)到原点的距离的平方，故其答案为 5.
(3)作出可行域，如图中的阴影部分所示，可行域的顶点坐标 分别为(1，3)，(2，5)，(3，4)，设目标函数为 z＝y－x，则 y＝x＋z，其纵截距为 z，由图易知点 P 的坐标为(2，5)时， n－m 的最大值为 3.
【解析】设租用 A 型车 x 辆，B 型车 y 辆，目标函数为 z＝1 600x＋2 400y，则约束条件为
36x＋60y≥900，
x＋y≤21， y－x≤7， x，y∈N，
作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点(5， 12)时，有最小值 zmin＝36 800(元)．
线性规划实际应用问题中常见的错误点： (1)不能准确地理解题中条件的含义，如“不超过”、“至少”等 线性约束条件而出现失误． (2)最优解的找法由于作图不规范而不准确． (3)最大解为“整点时”不会寻找“最优整点解”． 处理此类问题时,一是要规范作图，尤其是边界实虚要分清,二 是寻找最优整点解时可记住“整点在整线上”(整线：形如x＝k 或y＝k，k∈Z)．