人教A版高中数学必修第二册学案：9章末复习提升课

合集下载

人教A版高中数学必修二第9章章末检测(含答案)

第九章章末检测(时间：120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．)1．某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层随机抽样的方法抽取样本．某中学共有学生2 000名，从中抽取了一个样本量为200的样本，其中男生103名，则该中学共有女生为( )A ．1 030名B ．97名C ．950名D ．970名【答案】D 【解析】由题意，知该中学共有女生2 000×200－103200＝970(名)．故选D ．2．(2020年北京期末)艺术体操比赛共有7位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分.5个有效评分与7个原始评分相比，不变的数字特征是( )A ．中位数B ．平均数C ．方差D ．极差【答案】A 【解析】根据题意，从7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分，与7个原始评分相比，不变的中位数．故选A ．3．(2020年河北月考)已知某校高一、高二年级学生人数均为600人，参加社团的高一和高二的人数比为2∶3，现从参加社团的同学中按分层抽样的方式抽取45人，则抽取的高二学生人数为( )A ．9B ．18C ．27D ．36【答案】C 【解析】由分层抽样的性质可得，抽取的高二学生人数为45×32＋3＝27.故选C ．4．(2020年永州月考)在样本频率分布直方图中，共有5个小长方形，已知中间小长方形的面积是其余4个小长方形面积之和的13，且中间一组的频数为10，则这个样本量是( )A ．20B ．30C ．40D ．50【答案】C 【解析】所有长方形的面积和为1，因为中间小长方形的面积是其余4个小长方形面积之和的13，所以中间的面积为14，又中间一组的频数为10，所以样本容量为10÷14＝40.故选C ．5．(2019年惠州期末)某地区连续六天的最低气温(单位：℃)为：9,8,7,6,5,7，则该六天最低气温的平均数和方差分别为( )A ．7和53B ．8和83C ．7和1D ．8和23【答案】A 【解析】由题意，六天最低气温的平均数x ＝16×(9＋8＋7＋6＋5＋7)＝7，方差s 2＝16×[(9－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(6－7)2＋(5－7)2＋(7－7)2]＝53.故选A ．6．假设从高一年级全体同学(500人)中随机抽出60人参加一项活动，利用随机数法抽取样本时，先将500名同学按000,001，…，499进行编号，如果从随机数表第8行第11列的数开始，按三位数连续向右读取，最先抽出的4名同学的号码是(下面摘取了此随机数表第7行和第8行)( )84421 75331 57245 50688 77047 44767 21763 35025 63016 37859 16955 56719 98105 07175 12867 35807 A ．455 068 047 447 B ．169 105 071 286 C ．050 358 074 439 D ．447 176 335 025【答案】B 【解析】由随机数表法的随机抽样的过程可知最先抽出的4名同学的号码为169,105,071,286.7．(2020年阜阳期末)某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支(单位：万元)如图2所示，则去年的水费开支占总开支的百分比为( )图1图2A ．6.25%B ．7.5%C ．10.25%D ．31.25%【答案】A 【解析】由拆线图知去年水、电、交通支出占总支出的百分比为20%，由条形图得去年水、电、交通支出合计为250＋450＋100＝800(万元)，其中水费支出250(万元)，∴去年的水费开支占总开支的百分比为250800×20%＝6.25%.故选A ．8．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是( )A ．甲地：总体均值为3，中位数为4B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0C ．丙地：中位数为2，众数为3D ．丁地：总体均值为2，总体方差为3【答案】D 【解析】A 中，中位数为4，可能存在大于7的数；同理，在C 中也有可能；B 中的总体方差大于0，叙述不明确，如果方差太大，也有可能存在大于7的数；D 中，因为平均数为2，根据方差公式，如果有大于7的数存在，那么方差不可能为3.故选D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．下列叙述正确的是( )A ．极差与方差都反映了数据的集中程度B ．方差是没有单位的统计量C ．标准差比较小时，数据比较分散D ．只有两个数据时，极差是标准差的2倍【答案】AD 【解析】由极差与方差的定义可知A 正确；方差是有单位的，其单位是原始数据单位的平方，B 错误；标准差较小时，数据比较集中，C 错误；只有两个数据x 1，x 2时，极差等于|x 2－x 1|，平均数为x 1＋x 22，所以方差s 2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－x 1＋x 222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－x 1＋x 222＝14(x 1－x 2)2，则标准差s 2＝12|x 2－x 1|，D 正确．故选AD ．10．某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个样本量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60)元的学生有60人，则下列说法正确的是( )A ．样本中支出在[50,60)元的频率为0.03B ．样本中支出不少于40元的人数有132C ．n 的值为200D ．若该校有2 000名学生，则一定有600人支出在[50,60)元【答案】BC 【解析】A 中，样本中支出在[50,60)元的频率为1－(0.01＋0.024＋0.036)×10＝0.3，故A 错误；B 中，样本中支出不少于40元的人数有0.0360.03×60＋60＝132，故B 正确；C 中，n ＝600.3＝200，故C 正确；D 中，若该校有2 000名学生，则可能有600人支出在[50,60)元，故D 错误．故选BC ．11．某地某所高中2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考升学情况，得到如下柱状图：则下列结论正确的是()A．与2016年相比，2019年一本达线人数有所增加B．与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.5倍C．与2016年相比，2019年艺体达线人数相同D．与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加【答案】AD【解析】依题意，设2016年高考考生人数为x，则2019年高考考生人数为1.5x，由24%·1.5x－28%·x＝8%·x＞0，故选项A正确；由(40%·1.5x－32%·x)÷32%·x ＝0.875，故选项B不正确；由8%·1.5x－8%·x＝4%·x＞0，故选项C不正确；由28%·1.5x －32%·x＝10%·x＞0，故选项D正确．故选AD．12．给出三幅统计图如图所示：A．从折线统计图能看出世界人口的变化情况B．2050年非洲人口将达到大约15亿C ．2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多D ．从1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢【答案】AC 【解析】从折线统计图能看出世界人口的变化情况，故A 正确；从条形统计图中可知2050年非洲人口大约将大于15亿，故B 错误；从扇形统计图中可知2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，故C 正确；由题中三幅统计图并不能得出从1957年到2050年中哪个洲人口增长速度最慢，故D 错误．故选AC ．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上) 13．一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个样本量为21的样本，则抽取男运动员的人数为________．【答案】12 【解析】抽取的男运动员的人数为2148＋36×48＝12. 14．将样本量为100的某个样本数据拆分为10组，若前七组的频率之和为0.79，而剩下的三组的频率依次相差0.05，则剩下的三组中频率最高的一组的频率为________．【答案】0.12 【解析】设剩下的三组中频率最高的一组的频率为x ，则另两组的频率分别为x －0.05，x －0.1.因为频率总和为1，所以0.79＋(x －0.05)＋(x －0.1)＋x ＝1，解得x ＝0.12.15．12,13,25,26,28,31,32,40的25%分位数为________．【答案】19 【解析】因为8×25%＝2,8×80%＝6.4，所以25%分位数为x 2＋x 32＝13＋252＝19.16．下图是根据某中学为地震灾区捐款的情况而制作的统计图，已知该校共有学生3 000人，由统计图可得该校共捐款为________元．【答案】37 770 【解析】由扇形统计图可知，该中学高一、高二、高三分别有学生960人、990人、1 050人．由条形统计图知，该中学高一、高二、高三人均捐款分别为15元、13元、10元，所以共捐款15×960＋13×990＋10×1 050＝37 770(元)．四、解答题(本大题共6小题，17题10分，其余小题为12分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．为调查某班学生的平均身高，从50名学生中抽取110，应如何抽样？若知道男生、女生的身高显著不同(男生30人，女生20人)，应如何抽样？解：从50名学生中抽取110，即抽取5人，采用简单随机抽样法(抽签法或随机数法)．若知道男生、女生的身高显著不同，则采用分层抽样法，按照男生与女生的人数比为30∶20＝3∶2进行抽样，则男生抽取3人，女生抽取2人．18．(2020年辽宁学业考试)某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)．已知上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．(1)求直方图中x的值；(2)如果上学所需时间在[60,100]的学生可申请在学校住宿，请估计该校800名新生中有多少名学生可以申请住宿．解：(1)由直方图可得到20x＋0.025×20＋0.006 5×20＋0.003×2×20＝1，解得x＝0.012 5.(2)由直方图可知，新生上学所需时间在[60,100]的频率为0.003×2×20＝0.12，所以800×0.12＝96(名)．所以800名新生中估计有96名学生可以申请住宿．19．某汽车制造厂分别从A，B两种轮胎中各随机抽取了8个进行测试，列出了每一个轮胎行驶的最远里程数(单位：1 000 km)：轮胎A96112971081001038698轮胎B10810194105969397106(1)分别计算(2)分别计算A，B两种轮胎行驶的最远里程的极差、方差；(3)根据以上数据，你认为哪种型号轮胎的性能更加稳定？解：(1)A 轮胎行驶的最远里程的平均数为18×(96＋112＋97＋108＋100＋103＋86＋98)＝100，中位数为12×(100＋98)＝99.B 轮胎行驶的最远里程的平均数为18×(108＋101＋94＋105＋96＋93＋97＋106)＝100，中位数为12×(101＋97)＝99.(2)A 轮胎行驶的最远里程的极差为112－86＝26，方差为18×[(－4)2＋122＋(－3)2＋82＋02＋32＋(－14)2＋(－2)2]＝55.25，B 轮胎行驶的最远里程的极差为108－93＝15，方差为18×[82＋12＋(－6)2＋52＋(－4)2＋(－7)2＋(－3)2＋62]＝29.5，(3)根据以上数据，A 轮胎和B 轮胎的最远行驶里程的平均数相同，但B 轮胎行驶的最远里程的极差和方差相对于A 轮胎较小，所以B 轮胎性能更加稳定．20．某幼儿园根据部分同年龄段女童的身高数据绘制了频率分布直方图，其中身高的变化范围是[96,106](单位：厘米)，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]．(1)求出x 的值；(2)已知样本中身高小于100厘米的人数是36，求出总样本量N 的数值；(3)根据频率分布直方图提供的数据及(2)中的条件，求出样本中身高位于[98,104)的人数．解：(1)由题意(0.050＋0.100＋0.150＋0.125＋x )×2＝1，解得x ＝0.075. (2)设样本中身高小于100厘米的频率为p 1，则p 1＝(0.050＋0.100)×2＝0.300. 而p 1＝36N ，∴N ＝36p 1＝360.300＝120.(3)样本中身高位于[98,104)的频率p 2＝(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.750，∴身高位于[98,104)的人数n ＝p 2N ＝0.750×120＝90.21．为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次环保知识竞赛，共有900名学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分取正整数，满分为100分)进行统计．请你根据下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图，解答下列问题：组号分组频数频率 1 [50,60) 4 0.08 2 [60,70) 8 0.16 3 [70,80) 10 0.20 4 [80,90) 16 0.32 5 [90,100] 合计—(1)填充频率分布表中的空格；(2)如图，不具体计算频率组距，补全频率分布直方图；(3)估计这900名学生竞赛的平均成绩(结果保留整数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．解：(1)40.08＝50，即样本量为50.第5组的频数为50－4－8－10－16＝12，从而第5组的频率为1250＝0.24.又各小组频率之和为1，所以频率分布表中的四个空格应分别填12,0.24,50,1.(2)设第一个小长方形的高为h 1，第二个小长方形的高为h 2，第五个小长方形的高为h 5，则h 1h 2＝48＝12，h 1h 5＝412＝13. 补全的频率分布直方图如图所示．(3)50名学生竞赛的平均成绩为x ＝4×55＋8×65＋10×75＋16×85＋12×9550＝79.8≈80(分)．所以估计这900名学生竞赛的平均成绩约为80分．22．共享单车入驻泉州一周年以来，因其“绿色出行，低碳环保”的理念而备受人们的喜爱，值此周年之际，某机构为了了解共享单车使用者的年龄段、使用频率、满意度等三个方面的信息，在全市范围内发放5 000份调查问卷，回收到有效问卷3 125份，现从中随机抽取80份，分别对使用者的年龄段、26～35岁使用者的使用频率、26～35岁使用者的满意度进行汇总，得到如下三个表格：表(一)使用者年龄段25岁以下26岁～35岁36岁～45岁45岁以上人数2040 1010表(二)使用频率 0～6次/月7～14次/月15～22次/月23～31次/月人数510 205表(三)满意度非常满意(9～10)满意(8～9)一般(7～8)不满意(6～7)人数1510105(1)依据上述表格完成下列三个统计图形：(2)某城区现有常住人口30万，请用样本估计总体的思想，试估计年龄在26岁～35岁之间，每月使用共享单车在7～14次的人数．解：(1)(2)由表(一)可知年龄在26岁～35岁之间的有40人，占总抽取人数的12，所以30万人口中年龄在26岁～35岁之间的约有30×12＝15(万人)．由表(二)可知，年龄在26岁～35岁之间每月使用共享单车在7～14次之间的有10人，占总抽取人数的14，所以年龄在26岁～35岁之间的15万人中，每月使用共享单车在7～14次之间的约有15×14＝154(万人)．。

人教A版高中同步学案数学必修第二册精品课件第9章统计总体取值规律的估计总体百分位数的估计

分组
频数累计
(2)根据频率分布表中的有关信息画出频率分布直方图及折线图,如图所示.
(3)从频率分布表中可知,这100名考生的数学成绩在[100,120)分的频率为
0.24+0.15+0.12+0.09=0.60,据此估计该省考生数学成绩在[100,120)分的比
例为60%.
规律方法绘制频率分布直方图的关注点
组距
为高,画成小长方形,各小长方形的面积表示相应各组的频率,这样得到的
直方图就是频率分布直方图.
所有小长方形的面积和为1
名师点睛
列出一组样本数据的频率分布表的基本步骤:第一步,求极差.第二步,决定
组距与组数.第三步,将数据分组.第四步,列频率分布表.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
于中国文化的节目.为了了解学生喜欢的节目是什么,抽取若干名学生进行
问卷调查(每人只选一项内容),整理调查结果,绘制统计图如图所示.
请根据统计图提供的信息回答以下问题:
(1)求抽取的学生数;
(2)若该校有3 000名学生,估计喜欢收听《三国演义》的学生人数;
(3)估计该校喜欢收听《红楼梦》的女学生人数约占全校学生人数的百分
重难探究·能力素养全提升
探究点一
频率分布直方图
角度1 频率分布直方图的绘制
【例1】某省为了了解和掌握某年高考考生的实际答卷情况,随机地取出了100
名考生的数学成绩,数据如下:(单位:分)
135
100
102
97
111
129
104
121
121
116
102
126
102
98
103

金版学案高中数学(人教A版,必修二)同步辅导与检测课件：2.2.2《直线与平面平行的性质》

金品质•高追求我们让你更放心！
返回
◆数学•必修2•(配人教A版)◆
解析：∵A∉a，∴A、a可确定一个平面，设为β. ∵B∈a，∴B∈β. 又A∈β，∴AB⊂β. 同理AC⊂β，AD⊂β. ∵点A与直线a在α的异侧， ∴β与α相交． ∴平面ABD与平面α相交，设交线为EG.
∵BD∥α，BD⊂平面BAD，而平面BAD∩α＝EG， ∴BD∥EG.∴△AEG∽△ABD.
又∵BB1⊂平面BB1E1E，平面BB1E1E∩平面DD1C1C＝EE1，
∴BB1∥EE1.
金品质•高追求我们让你更放心！
返回
◆数学•必修2•(配人教A版)◆
线面平行性质的综合应用已知E，F，G，H为空间四边形ABCD的边AB， BC，CD，DA上的点，且EH∥FG.求证：EH∥BD.
证明：EH⊄平面BCD FG⊂平面BCD
解析：∵PA∥平面EFGH，PA⊂平面PAB，平面
PAB∩平面EFGH＝EH，
∴PA∥EH，同理，PA∥FG，BC∥EF，BC∥HG；
金品质•高追求我们让你更放心！
返回
◆数学•必修2•(配人教A版)◆
∴BECF＝AABE， EF＝AEA·BBC; FAGP＝CCFA＝BBAE， FG＝BEB·AAP.
②若a∥α，b⊂α，则a∥b；
③若a∥b，b⊂α，则a∥α；
④若a∥b，b∥α，则a∥α.
A．0
B．1
C．2
D．4
解析：①②③④都不正确．答案：A
金品质•高追求我们让你更放心！
返回
◆数学•必修2•(配人教A版)◆
金品质•高追求我们让你更放心！
返回
◆数学•必修2•(配人教A版)◆
1．直线和平面平行的性质定理揭示了线面平行中蕴涵着线线平行，通过线面平行可得线线平行，也给出了作平行线的重要方法．

高中数学人教A版圆周角定理章末复习课

章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．圆心角与圆周角的定理的关注点(1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等，但并不是“圆心角等于它所对的弧”；(2)“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”．2．正确运用切线的判定定理在运用切线的判定定理时，要分清定理运用的前提和结论，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．专题一　与圆有关的角的计算与证明与圆有关角的问题主要包括两类：一是计算角的大小，二是证明角之间的相等关系．解决此类问题的常用定理有：圆周角定理及其推论、弦切角定理及其推论、圆内接四边形的性质、三角形的外角定理等，灵活掌握各种角之间的相互转化和综合应用是解决问题的关键．另外，注意等腰三角形、全等三角形、相似三角形等几何模型在解题中的应用．[例1]　已知：如图所示，△ABC 内接于⊙O ，AB 为直径，∠CBA 的平分线交AC 于点F ，交⊙O 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，且交AC 于点P ，连接AD .(1)求证：∠DAC ＝∠DBA .(2)求证：P 是线段AF 的中点．(3)若⊙O 的半径为5，AF ＝，求tan ∠ABF 的值． 152(1)证明：因为BD 平分∠CBA ，所以∠CBD ＝∠DBA .因为∠DAC 与∠CBD 都是弧CD 所对的圆周角，所以∠DAC ＝∠CBD ，所以∠DAC ＝∠DBA .(2)证明：因为AB 为直径，所以∠ADB ＝90°，因为DE ⊥AB 于E ，所以∠DEB ＝90°，所以∠ADE ＋∠EDB ＝∠ABD ＋∠EDB ＝90°，所以∠ADE ＝∠ABD ＝∠DAP ，所以PD ＝PA ，因为∠DFA ＋∠DAC ＝∠ADE ＋∠PDF ＝90°，所以∠PDF ＝∠PFD ，所以PD ＝PF ，所以PA ＝PF ，即P 是AF 的中点．(3)解：因为∠DAF ＝∠DBA ，∠ADB ＝∠FDA ＝90°，所以△FDA ∽△ADB ，所以＝， AD DB AF BA由题意可知圆的半径为5，所以AB ＝10，所以＝＝＝. AD BD AF BA 1521034所以在Rt △ABD 中，tan ∠ABD ＝＝， AD DB 34即tan ∠ABF ＝. 34[变式训练]　如图所示，AE 是圆O 的切线，A 是切点，AD ⊥OE 于点D ，割线EC 交圆O 于B ，C 两点．(1)证明：O ，D ，B ，C 四点共圆；(2)设∠DBC ＝50°，∠ODC ＝30°，求∠OEC 的大小．(1)证明：连接OA ，OC (如图)，则OA ⊥EA .由射影定理得EA 2＝ED ·EO .由切割线定理得EA 2＝EB ·EC ，故ED ·EO ＝EB ·EC .即＝. ED EB EC EO又∠OEC ＝∠OEC ，所以△BDE ∽△OCE ，所以∠EDB ＝∠OCE .因此O ，D ，B ，C 四点共圆．(2)解：连接OB .因为∠OEC ＋∠OCB ＋∠COE ＝180°，结合(1)得∠OEC ＝180°－∠OCB －∠COE ＝180°－∠OBC －∠DBE ＝ 180°－∠OBC －(180°－∠DBC )＝∠DBC －∠ODC ＝20°.专题二　与圆有关的线段的计算与证明与圆有关的线段问题主要包括三类：一是线段的计算问题，二是证明线段相等，三是证明线段的比例式或等积式．通常线段的计算问题有以下几种解题策略：(1)将所求线段化归到特殊三角形中(如等腰三角形、直角三角形等)进行求解；(2)构造所在线段的相似三角形，利用相似三角形的性质求解；(3)借助相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理进行求解．证明线段相等的方法有：(1)转化为等腰三角形的问题，利用“等角对等边”或等腰三角形的“三线合一定理”进行证明；(2)转化为全等三角形问题，利用全等三角形的性质证明；(3)转化为相似三角形的问题，利用相似三角形性质列出比例式或等积式，从而找到相等关系；(4)利用第三个几何量进行等价转化．证明线段的比例式或等积式的主要途径是构造相似三角形，利用相似三角形的性质证明，要注意与圆有关的比例式．[例2]　如图所示，在△ABC 中，CD 是∠ACB 的平分线，△ADC 的外接圆交线段BC 于点E ，BE ＝3AD.(1)求证：AB ＝3AC ；(2)当AC ＝4，AD ＝3时，求CD 的长．(1)证明：因为四边形ACED 为圆内接四边形，所以∠BDE ＝∠BCA .又∠DBE ＝∠CBA ，所以△BDE ∽△BCA .则＝. BE BA DE CA在圆内接四边形ACED 中，CD 是∠ACE 的平分线，所以DE ＝AD ，＝. BE BA AD CA而BE ＝3AD ，所以BA ＝3CA ，即AB ＝3AC .(2)解：由(1)得AB ＝3AC ＝12.而AD ＝3，所以DE ＝3，BD ＝9，BE ＝3AD ＝9.根据割线定理得BD ·BA ＝BE ·BC ，所以BC ＝12，EC ＝BC －BE ＝3.在圆内接四边形ACED 中，由于AD ＝EC ，所以∠ACD ＝∠EDC ，DE ∥AC .在等腰梯形ACED 中，易求得CD ＝.21[变式训练]　如图所示，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 为垂直BE 交圆于点D .(1)证明：DB ＝DC .(2)设圆的半径为1，BC ＝，延长CE 交AB 于点F ，求△BCF 3外接圆的半径．(1)证明：连接DE (如图)，交BC 于点G .由弦切角定理得，∠ABE ＝∠BCE .而∠ABE ＝∠CBE ，故∠CBE ＝∠BCE ，BE ＝CE .又因为DB ⊥BE ，所以DE 为直径，∠DCE ＝90°，由勾股定理可得DB ＝DC .(2)解：由(1)知，∠CDE ＝∠BDE ，DB ＝DC ，故DG 是BC 的中垂线，所以BE ＝.32设DE 的中点为O ，连接BO ，则∠BOE ＝60°.从而∠ABE ＝∠BCE ＝∠CBE ＝30°，∠BFC ＝180°－∠CBF －∠BCF ＝90°，所以CF ⊥BF ，故Rt △BCF 外接圆的半径等于.32专题三　分类讨论思想分类讨论就是把研究的问题按照某种标准分成若干种情况，然后一一解决，从而使整个问题得到解决．在与圆有关的问题中，有时需要确定点与圆的位置关系或弦与圆心的位置关系．如圆心与圆周角存在三种位置关系，即圆心在圆周角的一条边上、圆心在圆周角的内部和圆心在圆周角的外部，这就需要在运用圆周角定理时从不同情况去考虑与分析．应重视分类讨论思想在解决圆有关问题中的应用．[例3]　已知A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，若AB 与CD 所在的直线交于点E ，且，分别是120°，40°，求∠AED 的大小． AD ︵ BC ︵解：符合题意的点E 有两种位置．①当点E 在圆内时，如图所示，连接AC，根据圆周角定理可得：∠BAC ＝×40°＝20°，∠ACD ＝×120°＝60°. 1212因为∠AED ＝∠ACD ＋∠BAC ，所以∠AED ＝60°＋20°＝80°.②当点E 在圆外时，如图所示，连接BD ，根据圆周角定理可得：∠BDC ＝×40°＝20°， 12∠ABD ＝×120°＝60°， 12因为∠AED ＝∠ABD －∠BDC ，所以∠AED ＝60°－20°＝40°.综上所述，∠AED ＝40°或80°.[变式训练]　已知⊙O 的直径AB ＝2 cm ，过A 点的两条弦AC ＝ cm ，AD ＝ cm ，求∠CAD 所夹圆内部分的面积S .23解：符合题设条件的∠CAD 有两种情况．　图① 图②①当圆心在∠CAD 内部时，如图①所示，连接OC ，OD ，过O 作OE ⊥AD 于E .因为OA ＝OC ＝1 cm ，AC ＝ cm ，2所以OC ⊥AB ，因为OA ＝1 cm ，AE ＝AD ＝ cm ， 1232所以OE ＝ cm ，所以∠OAE ＝30°， 12所以∠BOD ＝2∠OAE ＝60°.所以S ＝S △AOC ＋S 扇形BOC ＋S △AOD ＋S 扇形BOD ＝×1×1＋π·12＋××＋·12＝＋π＋＋π＝12141231260π36012143416＋(cm 2)． 2＋345π12②当圆心在∠CAD 外部时，如图②所示，连接OC .由①知S △AOC ＝cm 2，S △AOD ＝ cm 2， 1234S 扇形BOC ＝π cm 2，S 扇形BOD ＝π cm 2， 1416所以S ＝S △AOC ＋S 扇形BOC －S △AOD －S 扇形BOD ＝＋π－－π12143416＝＋(cm 2)． 2－34π12所以∠CAD 所夹圆内部分的面积为cm 2或 cm 2. (2＋34＋5π12)(2－34＋π12)专题四　方程的思想方程思想就是利用式子的条件有意识地将其转化成方程，或者说从方程的角度对式子加以认识与应用的思想．由于圆中涉及数量关系的式子很多，并且可以转化成数量关系的式子也很多，所以方程思想在有关圆的问题中得到了广泛的应用．[例4]　如图所示，D ，E 分别为△ABC 的边AB ，AC 上的点，且不与△ABC 的顶点重合．已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程x 2－14x ＋mn ＝0的两个根．(1)证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；(2)若∠A ＝90°，且m ＝4，n ＝6.求C ，B ，D ，E 所在圆的半径．(1)证明：连接DE (如图)，根据题意在△ADE 和△ACB 中，AD ·AB ＝mn ＝AE ·AC ，即＝.又∠DAE ＝∠CAB ， AD AC AE AB所以△ADE ∽△ACB ，所以∠ADE ＝∠ACB ，所以C ，B ，D ，E 四点共圆．(2)解：当m ＝4，n ＝6时，方程x 2－14x ＋mn ＝0的两根为x 1＝2，x 2＝12.故AD ＝2，AB ＝12.取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连接DH .因为C ，B ，D ，E 四点共圆，所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH .因为∠A ＝90°，所以GH ∥AB ，HF ∥AC .所以HF ＝AG ＝5，DF ＝×(12－2)＝5. 12HD ＝＝5，HF 2＋DF 22所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的半径为5.2[变式训练]　如图所示，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，O 是AB 上一点，以O 为圆心，以OB 为半径作圆交AC 于E ，F ，交AB 于D .若E 是的中点，且AE ∶EF ＝3∶1，FC ＝4，求∠CBF 的正弦D F ︵值及BC 的长．解：如图所示，连接OE ，DF ，OF ，因为E 为的中点，所以∠DOE ＝∠DBF ，所以OE ∥BF ，所DF ︵以AO ∶OB ＝AE ∶EF ＝3∶1.所以OE ∶BF ＝3∶4.设OB ＝r ，则AO ＝3r ，BF ＝r .43所以AD ＝AO －DO ＝AO －OB ＝3r －r ＝2r . 又由割线定理得AE ·AF ＝AD ·AB . 所以AE ·AF ＝2r ·4r ，即3EF ·4EF ＝8r 2，所以EF ＝r .63又由割线定理，得BC 2＝CF ·CE ＝4(4＋EF )＝4.(4＋63r )在Rt △ABC 中，AB 2＋BC 2＝AC 2，即(4r )2＋4＝(4EF ＋4)2＝，(4＋63r )(436r ＋4)2解得r ＝，所以BC ＝. 74630又因为∠CBF ＝∠BDF ，在Rt △DFB 中，sin ∠BDF ＝＝， FB BD 23所以sin ∠CBF ＝. 23。

人教A版高中数学必修第二册全册学案

人教A版高中数学必修第二册全册学案人教A版高中数学必修第二册全册学案一、学案概述本学案是以人教A版高中数学必修第二册全册教材为基础，为学生提供全面的学习指导。

旨在帮助学生更好地掌握教材中的知识点，提高学习效率和学习成绩。

二、知识梳理本学案按照教材章节顺序，对各章节知识点进行了梳理。

对于每个知识点，学案提供了相关例题和解析，以便学生加深对知识点的理解和掌握。

第一章集合与函数1.1 集合及其表示方法 1.2 集合之间的关系 1.3 函数及其表示方法 1.4 函数的性质第二章三角函数2.1 正弦、余弦、正切函数的定义与性质 2.2 三角函数的图像及变换方法 2.3 三角函数的应用第三章数列3.1 数列的概念与分类 3.2 等差数列和等比数列的通项公式 3.3 数列的前n项和公式 3.4 数列的应用第四章平面几何4.1 点、线、面的基本概念和性质 4.2 三角形、四边形的性质和判定方法 4.3 多边形、圆、扇形、弓形的性质和面积计算方法 4.4 几何图形的作图方法第五章概率与统计5.1 概率的基本概念和计算方法 5.2 统计的基本概念和方法 5.3 中心极限定理的应用三、学习建议1、学生应根据个人学习情况，制定合理的学习计划，逐步掌握各章节知识点。

2、对于每个知识点，学生应通过多种方式进行练习，例如课堂练习、课后作业、自主解题等，加深对知识点的理解和掌握。

3、学生应注意知识点的归纳和总结，形成自己的知识体系。

4、学生应积极参加课堂讨论和提问，与老师和同学交流学习心得，提高学习效果。

四、总结归纳本学案对人教A版高中数学必修第二册全册教材进行了全面的知识梳理和学习指导，旨在帮助学生更好地掌握教材中的知识点，提高学习效率和学习成绩。

学生应根据个人学习情况，制定合理的学习计划，通过多种方式进行练习，注意知识点的归纳和总结，积极参加课堂讨论和提问，提高学习效果。

外研版高中英语必修3全册学案版本外研版高中英语必修3全册学案版本外语教学与研究出版社出版的《高中英语必修3》是一本针对高中英语教学的教材，旨在帮助学生掌握英语语言知识，提高英语应用能力。

2020学年新教材高中数学第九章统计章末综合检测(九)新人教A版必修第二册(最新整理)

2019-2020学年新教材高中数学第九章统计章末综合检测（九）新人教A 版必修第二册编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019-2020学年新教材高中数学第九章统计章末综合检测（九）新人教A版必修第二册）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2019-2020学年新教材高中数学第九章统计章末综合检测（九）新人教A版必修第二册的全部内容。

章末综合检测(九)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某公司生产A，B,C三种不同型号的轿车，其产量之比为2∶3∶4,为检验该公司的产品质量,用分层随机抽样的方法抽取一个容量为n的样本,若样本中A种型号的轿车比B种型号的轿车少8辆，则n＝（)A．96 B．72C．48 D．36解析：选B。

由题意得错误!n－错误!n＝8，所以n＝72。

故选B.2．从某一总体中抽取一个个体数为200的样本，得到分组与频数如下：[10，15),6;［15，20），8；［20,25),13；［25，30)，35；［30，35），46;[35,40)，34；［40,45），28；［45，50),15；[50，55)，10；［55，60],5。

则样本在［35,60]上的频率是( )A．0。

69 B．0.46C．1 D．不存在解析：选B.由题可知,样本在［35，60]上的频率应为(34＋28＋15＋10＋5)÷200＝0。

46.3．2019年高考某题的得分情况如下:得分(分）01234百分率(%)37.08。

高中数学第六章平面向量及其应用章末复习提升课学案新人教A版必修第二册

章末复习提升课平面向量的线性运算(1)(2018·高考全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( )A.34AB →－14AC →B.14AB →－34AC →C.34AB →＋14AC →D.14AB →＋34AC →(2)如图所示，在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC →＝λAM →＋μBD →，则λ＋μ＝( ) A.43 B.53 C.158D.2【解析】 (1)法一：如图所示，EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →)＝34AB →－14AC →，故选A .法二：EB →＝AB →－AE →＝AB →－12AD →＝AB →－12×12(AB →＋AC →)＝34AB →－14AC →，故选A .(2)因为AC →＝λAM →＋μBD →＝λ(AB →＋BM →)＋μ(BA →＋AD →)＝λ(AB →＋12AD →)＋μ(－AB →＋AD →)＝(λ－μ)错误！未定义书签。

＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ＋μAD →，且AC →＝AB →＋AD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝1，12λ＋μ＝1得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝43，μ＝13，所以λ＋μ＝53，故选B .【答案】 (1)A (2)B向量线性运算的基本原则向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算，向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面．已知平面向量a ＝(2，－1)，b ＝(1，1)，c ＝(－5，1)．若(a ＋k b )∥c ，则实数k 的值为( )A ．2B ．12C ．114D ．－114解析：选B.由题意知，a ＋k b ＝(2，－1)＋k (1，1)＝(k ＋2，k －1)，由(a ＋k b )∥c ，得－5(k －1)＝k ＋2，解得k ＝12，故选B.平面向量数量积的运算如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1.若点E 为边CD 上的动点，则AE →·BE →的最小值为( )A.2116B.32C.2516D.3【解析】以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立如图的平面直角坐标系，因为在平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝1，∠BAD ＝120°，所以A (0，0)，B (1，0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，设C (1，m )，E (x ，y )，所以DC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，m －32，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，因为AD ⊥CD ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫32，m －32·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32＝0，即32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫m －32＝0，解得m ＝3，即C (1，3)，因为E 在CD 上，所以32≤y ≤3，由CE →∥DC →，得(x －1)⎝⎛⎭⎪⎫3－32＝32(y －3)，即x ＝3y －2，因为AE →＝(x ，y )，BE →＝(x －1，y )，所以AE →·BE →＝(x ，y )·(x －1，y )＝x 2－x ＋y 2＝(3y －2)2－3y ＋2＋y 2＝4y 2－53y ＋6，令f (y )＝4y 2－53y ＋6，y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3.因为函数f (y )＝4y 2－53y ＋6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，538上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤538，3上单调递增，所以f (y )min ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫5382－53×538＋6＝2116.所以AE →·BE →的最小值为2116，故选A.【答案】 A向量数量积的两种计算方法(1)当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b ＝|a ||b |cos θ. (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.1．已知向量a ，b 的夹角为3π4，|a |＝2，|b |＝2，则a ·(a －2b )＝________．解析：a ·(a －2b )＝a 2－2a ·b ＝2－2×2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝6. 答案：62．设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →等于________．解析：AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋34AD →，NM →＝CM →－CN →＝－14AD →＋13AB →，所以AM →·NM →＝14(4AB →＋3AD →)·112(4AB →－3AD →)＝148(16AB →2－9AD →2)＝148(16×62－9×42)＝9.答案：9向量的夹角及垂直问题(1)已知向量m ＝(λ＋1，1)，n ＝(λ＋2，2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( ) A ．－4 B ．－3 C ．－2D ．－1(2)已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝19，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．以上都不对【解析】 (1)因为m ＋n ＝(2λ＋3，3)，m －n ＝(－1，－1)，(m ＋n )⊥(m －n )，所以(m ＋n )·(m －n )＝(2λ＋3，3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3. (2)设向量a 与b 的夹角为θ，因为a ＋b ＋c ＝0，所以c ＝－(a ＋b )，所以c 2＝(a ＋b )2，即|c |2＝|a |2＋|b |2＋2|a ||b |cos θ，所以19＝4＋9＋12cos θ，所以cos θ＝12，又0°≤θ≤180°，所以a 与b 的夹角为60°.【答案】 (1)B (2)C解决两个向量垂直问题，其关键在于将问题转化为它们的数量积为零，与求夹角一样．若向量能用坐标表示(或能建立适当的直角坐标系)，将它转化为“x 1x 2＋y 1y 2＝0”较为简单．1．设向量a ＝(1，0)，b ＝(－1，m )．若a ⊥(m a －b )，则m ＝________．解析：因为a ＝(1，0)，b ＝(－1，m )，所以m a －b ＝(m ＋1，－m )．由a ⊥(m a －b )得a ·(m a －b )＝0，即m ＋1＝0，得m ＝－1.答案：－12．(2019·东北三省三校检测)已知非零向量a ，b 满足|a －b |＝|a |，a ·(a －b )＝0，则a －b 与b 夹角的大小为________．解析：因为非零向量a ，b 满足a ·(a －b )＝0，所以a 2＝a ·b ，由|a －b |＝|a |可得a 2－2a ·b ＋b 2＝a 2，解得|b |＝2|a |，设a －b 与b 的夹角为θ，则cos θ＝（a －b ）·b |a －b ||b |＝a ·b －|b |2|a ||b |＝|a |2－2|a |22|a |2＝－22，又0°≤θ≤180°，所以θ＝135°. 答案：135°向量的长度(模)与距离的问题已知平面向量a ，b 的夹角为π6，且|a |＝3，|b |＝2，在△ABC 中，AB →＝2a ＋2b ，AC →＝2a －6b ，D 为BC 的中点，则|AD →|等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8【解析】因为AD →＝12(AB →＋AC →)＝12(2a ＋2b ＋2a －6b )＝2a －2b ，所以|AD →|2＝4(a －b )2＝4(a 2－2b·a ＋b 2)＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2×2×3×cos π6＋4＝4，则|AD →|＝2.【答案】 A解决向量模的问题常用的策略(1)应用公式：|a |＝x 2＋y 2(其中a ＝(x ，y ))． (2)应用三角形法则或平行四边形法则．(3)应用向量不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |. (4)研究模的平方|a ±b |2＝(a ±b )2.(2019·河南八市重点高中质检)已知平面向量a ，b 的夹角为2π3，且a ·(a －b )＝8，|a |＝2，则|b |等于( )A ． 3B ．2 3C ．3D ．4解析：选D.因为a ·(a －b )＝8，所以a·a －a·b ＝8，即|a |2－|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝8，所以4＋2|b |×12＝8，解得|b |＝4.利用正、余弦定理解三角形已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sinB .(1)求角B 的大小；(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c .【解】 (1)由正弦定理得a 2＋c 2－2ac ＝b 2. 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . 故cos B ＝22，所以B ＝45°. (2)因为sin A ＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°·sin 45°＝2＋64. 故a ＝b sin Asin B＝1＋ 3. 又C ＝180°－45°－75°＝60°，所以c ＝b sin C sin B ＝2×sin 60°sin 45°＝ 6.解三角形的一般方法(1)已知两角和一边，如已知A ，B 和c ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，由正弦定理求a ，b . (2)已知两边和这两边的夹角，如已知a ，b 和C ，应先用余弦定理求c ，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A ＋B ＋C ＝π，求另一角．(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a ，b 和A ，应先用正弦定理求B ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c ，要注意解可能有多种情况．(4)已知三边a ，b ，c ，可应用余弦定理求A ，B ，C .1．(2018·高考全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( )A.π2B.π3 C.π4D.π6解析：选C.根据题意及三角形的面积公式知12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24，所以sin C ＝a 2＋b 2－c22ab ＝cos C ，所以在△ABC 中，C ＝π4.2．(2019·高考全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .设(sin B －sin C )2＝sin 2A －sinB sinC .(1)求A ；(2)若2a ＋b ＝2c ，求sin C .解：(1)由已知得sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sinB sinC ，故由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为0°＜A ＜180°，所以A ＝60°.(2)由(1)知B ＝120°－C ，由题设及正弦定理得2sin A ＋sin(120°－C )＝2sin C ，即62＋32cos C ＋12sin C ＝2sin C ，可得cos(C ＋60°)＝－22. 因为0°＜C ＜120°，所以sin(C ＋60°)＝22，故 sin C ＝sin(C ＋60°－60°)＝sin(C ＋60°)cos 60°－cos(C ＋60°)sin 60° ＝6＋24.判断三角形的形状在△ABC 中，若已知b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cosC ，试判断三角形的形状．【解】由正弦定理的推论，得a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，则已知条件转化为4R 2sin 2B sin 2C ＋4R 2sin 2C sin 2B ＝8R 2sin B sin C cos B cos C . 因为sin B sin C ≠0，所以sin B sin C ＝cos B cos C ，所以cos(B ＋C )＝0.因为0°<B ＋C <180°，所以B ＋C ＝90°，所以A ＝90°，所以△ABC 为直角三角形．判定三角形形状的两种途径(1)通过正弦定理和余弦定理化边为角，如a ＝2R sin A ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C 等，再利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断，此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如sin A ＝sin B ⇔A ＝B ，sin(A －B )＝0⇔A ＝B ，sin 2A ＝sin 2B ⇔A ＝B 或A ＋B ＝π2等．(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A ＝a 2R ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断．(2019·福建省闽侯二中五校教学联合体高二上学期期中)在△ABC 中，若lg sin A －lg cos B －lg sin C ＝lg 2，则该三角形的形状是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选A.因为lg sin A －lg cos B －lg sin C ＝lg 2，所以sin Acos B ·sin C＝2，由正弦定理可得a sin A ＝c sin C ，所以sin A sin C ＝ac ，所以cos B ＝a 2c ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a2c，整理得c 2＝b 2，c ＝b ，所以△ABC 的形状是等腰三角形，故选A.正、余弦定理的实际应用已知海岛A 周围8海里内有暗礁，有一货轮由西向东航行，望见岛A 在北偏东75°，航行202海里后，见此岛在北偏东30°，若货轮不改变航向继续前进，有无触礁危险？【解】如图所示，在△ABC 中，依题意得BC ＝202海里， ∠ABC ＝90°－75°＝15°， ∠BAC ＝60°－∠ABC ＝45°. 由正弦定理，得AC sin 15°＝BCsin 45°，所以AC ＝202sin 15°sin 45°＝10(6－2)(海里)．过点A 作AD ⊥BC .故A到航线的距离为AD＝AC sin 60°＝10(6－2)×32＝(152－56)(海里)．因为152－56>8，所以货轮无触礁危险．正、余弦定理在实际应用中应注意的问题(1)分析题意，弄清已知元素和未知元素，根据题意画出示意图．(2)明确题目中的一些名词、术语的意义，如仰角、俯角、方向角、方位角等．(3)将实际问题中的数量关系归结为数学问题，利用学过的几何知识，作出辅助线，将已知与未知元素归结到同一个三角形中，然后解此三角形．(4)在选择关系时，一是力求简便，二是要尽可能使用题目中的原有数据，尽量减少计算中误差的积累．(5)按照题目中已有的精确度计算，并根据题目要求的精确度确定答案并注明单位．1．某运动会上举行升旗仪式，在坡角为15°的看台上，同一列上的第一排B处和最后一排C处测得旗杆顶部P处的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10 6 m(如图所示)，则旗杆的高度为( )A．10 m B．30 mC．10 3 m D．10 6 m解析：选 B.依题意可知∠PCB＝45°，∠PBC＝180°－60°－15°＝105°，所以∠CPB＝180°－45°－105°＝30°.在△PBC中，由正弦定理可得BP＝CBsin∠CPB·sin∠PCB＝203(m)，所以在Rt△BOP中，OP＝PB·sin∠PBO＝203×32＝30(m)，即旗杆的高度为30 m.2．如图，A，C两岛之间有一片暗礁，一艘小船于某日上午8时从A岛出发，以10海里/小时的速度，沿北偏东75°方向直线航行，下午1时到达B处，然后以同样的速度，沿北偏东15°方向直线航行，下午4时到达C岛．(1)求A，C两岛之间的直线距离；(2)求∠BAC的正弦值．解：(1)在△ABC中，由已知，AB＝10×5＝50，BC＝10×3＝30，∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°.根据余弦定理，得AC 2＝502＋302－2×50×30cos 120°＝4 900，所以AC ＝70.故A ，C 两岛之间的直线距离是70海里． (2)在△ABC 中，由正弦定理，得BC sin ∠BAC ＝ACsin ∠ABC ，所以sin ∠BAC ＝BC sin ∠ABCAC＝30sin 120°70＝3314.故∠BAC 的正弦值是3314.1．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知AB →＝(2，3)，AC →＝(3，t )，|BC →|＝1，则AB →·BC →＝( ) A ．－3 B ．－2 C ．2D ．3解析：选C.因为BC →＝AC →－AB →＝(3，t )－(2，3)＝(1，t －3)，|BC →|＝1，所以12＋（t －3）2＝1，所以t ＝3，所以BC →＝(1，0)，所以AB →·BC →＝2×1＋3×0＝2.2．已知e 1，e 2是单位向量，m ＝e 1＋2e 2，n ＝5e 1－4e 2，若m ⊥n ，则e 1与e 2的夹角为( ) A.π4 B.π3 C.2π3D.3π4解析：选B.因为m ⊥n ，|e 1|＝|e 2|＝1，所以m·n ＝(e 1＋2e 2)·(5e 1－4e 2)＝5e 21＋6e 1·e 2－8e 22＝－3＋6e 1·e 2＝0.所以e 1·e 2＝12.设e 1与e 2的夹角为θ，则cos θ＝e 1·e 2|e 1||e 2|＝12.因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3.3．在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝6，AB ＝26，则C ＝( )A.π4或3π4B.π6或5π6C.π4D.3π4解析：选C. 由正弦定理BC sin A ＝AB sin C ，得sin C ＝AB sin A BC ＝26×sinπ36＝22.又BC ＝6>AB ＝26，所以A >C ，所以C ＝π4，故选C.4．如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3 PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________．解析：由CP →＝3 PD →，得DP →＝14DC →＝14AB →，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝AP →－AB →＝AD →＋14AB →－AB→＝AD →－34AB →.因为AP →·BP →＝2，所以⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋14AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－34AB →＝2，即AD →2－12AD →·AB →－316AB →2＝2.又AD →2＝25，AB →2＝64，所以AB →·AD →＝22. 答案：225．在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，B ＝2A . (1)求cos A 的值； (2)求c 的值．解：(1)因为a ＝3，b ＝26，B ＝2A ，所以在△ABC 中，由正弦定理得3sin A ＝26sin 2A.所以2sin A cos A sin A ＝263.故cos A ＝63.(2)由(1)知cos A ＝63，所以sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为B ＝2A ，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13.所以sin B ＝1－cos 2B ＝223. 在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝539.所以c ＝a sin Csin A＝5. 6．(2019·江西省赣州教育发展联盟联考)已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C ．(1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为16sin C ，求角C 的度数．解：(1)由题意，及正弦定理，得AB ＋BC ＋AC ＝2＋1，BC ＋AC ＝2AB ，两式相减，得AB ＝1.(2)由△ABC 的面积12BC ·AC ·sin C ＝16sin C ，得BC ·AC ＝13，由余弦定理，得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC＝（AC ＋BC ）2－2AC ·BC －AB 22AC ·BC ＝12，所以C ＝60°.[A 基础达标]1．将3⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫23a －b －⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23b ＋（2b －a ）化成最简式为( ) A ．－43a ＋53bB ．－4a ＋5b C.43a －53b D ．4a －5b解析：选B.原式＝3[⎝ ⎛⎭⎪⎫23－1－1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋23＋2b ]＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫－43a ＋53b ＝－4a ＋5b . 2．设x ，y ∈R ，向量a ＝(x ，1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A. 5B.10 C ．2 5D ．10解析：选B.由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧2x －4＝0，－4－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2，故a ＋b ＝(3，－1)，|a ＋b |＝10. 3．在△ABC 中，B ＝45°，C ＝60°，c ＝1，则最短边长为( ) A.62B.63C.12D.32解析：选B.A ＝180°－(60°＋45°)＝75°，故最短边为b ，由正弦定理可得b sin B ＝csin C ，即b ＝c sin B sin C ＝1×sin 45°sin 60°＝63，故选B. 4．在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( ) A.π12B.π6C.π4D.π3解析：选D.由已知及正弦定理得2sin A sin B ＝3sin B ，因为sin B >0，所以sin A ＝32.又A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以A ＝π3.5．在△ABC 中，已知sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，且sin A ＝2sin B cos C ，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选D.由sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C 及正弦定理可知a 2＝b 2＋c 2⇒A 为直角；而由sin A ＝2sin B cos C ，可得sin(B ＋C )＝2sin B cos C, 整理得sin B cos C ＝cos B sin C ，即sin(B －C )＝0，故B ＝C .综合上述，B ＝C ＝π4，A ＝π2.即△ABC 为等腰直角三角形．6．已知非零向量a ＝(t ，0)，b ＝(－1，3)，若a ＋2b 与a 的夹角等于a ＋2b 与b 的夹角，则t ＝________．解析：由题设得（a ＋2b ）·a |a ＋2b |·|a |＝（a ＋2b ）·b |a ＋2b |·|b |，所以|b |(|a |2＋2b ·a )＝|a |(a ·b ＋2|b |2)，将a ＝(t ，0)，b ＝(－1，3)代入整理得2t 2＋t ·|t |＝8|t |＋4t ，当t >0时，3t 2＝12t ，所以t ＝4；当t <0时，t 2＝－4t ，所以t ＝－4.综上，t 的值为4或－4.答案：4或－47．在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边．若2a sin B ＝3b ，b ＋c ＝5，bc ＝6，则a ＝________．解析：因为2a sin B ＝3b ，所以2sin A sin B ＝3sin B . 所以sin A ＝32，因为△ABC 为锐角三角形，所以cos A ＝12，因为bc ＝6，b ＋c ＝5，所以b ＝2，c ＝3或b ＝3，c ＝2.所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝22＋32－2×6×12＝7，所以a ＝7. 答案：78．(2019·湖南株洲市检测)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AD →·EB →＝2，则AB →的模为________．解析：因为在平行四边形ABCD 中，EB →＝EC →＋CB →＝12DC →－BC →，又DC →＝AB →，BC →＝AD →，所以EB →＝12AB →－AD →，所以AD →·EB →＝AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →－AD →＝12AB →·AD →－AD →2＝12|AB →||AD →|cos 60°－|AD →|2＝14|AB →|－1＝2，所以|AB →|＝12.答案：129．已知向量e 1，e 2，且|e 1|＝|e 2|＝1，〈e 1，e 2〉＝π3.(1)求证：(2e 1－e 2)⊥e 2；(2)若m ＝λe 1＋e 2，n ＝3e 1－2e 2，且|m |＝|n |，求λ的值．解：(1)证明：因为|e 1|＝|e 2|＝1，〈e 1，e 2〉＝π3，所以(2e 1－e 2)·e 2＝2e 1·e 2－e 22＝2|e 1||e 2|cos π3－|e 2|2＝2×1×1×12－12＝0，所以(2e 1－e 2)⊥e 2.(2)由|m |＝|n |得(λe 1＋e 2)2＝(3e 1－2e 2)2，即(λ2－9)e 21＋(2λ＋12)e 1·e 2－3e 22＝0. 因为|e 1|＝|e 2|＝1，〈e 1，e 2〉＝π3，所以e 21＝e 22＝1，e 1·e 2＝1×1×cos π3＝12，所以(λ2－9)×1＋(2λ＋12)×12－3×1＝0，即λ2＋λ－6＝0.所以λ＝2或λ＝－3.10．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若B ＝π3，且(a －b ＋c )(a ＋b－c )＝37bc .(1)求cos C 的值；(2)若a ＝5，求△ABC 的面积．解：(1)由(a －b ＋c )(a ＋b －c )＝37bc ，得a 2－(b －c )2＝37bc ，即a 2＝b 2＋c 2－117bc ，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1114，所以sin A ＝514 3.又因为B ＝π3，所以cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝17.(2)由(1)得sin C ＝47 3.在△ABC 中，由正弦定理，得csin C ＝b sin B ＝asin A.所以c ＝a sin C sin A ＝8，所以S ＝12ac sin B ＝12×5×8×sin π3＝10 3. [B 能力提升]11．飞机沿水平方向飞行，在A 处测得正前下方地面目标C 的俯角为30°，向前飞行10 000米，到达B 处，此时测得目标C 的俯角为75°，这时飞机与地面目标C 的距离为( )A ．5 000米B ．5 0002米C ．4 000米D ．4 0002米解析：选B.如图，在△ABC 中，AB ＝10 000米，A ＝30°，C ＝75°－30°＝45°.根据正弦定理得，BC ＝AB ·sin Asin C ＝10 000×1222＝5 0002(米)．12．在△ABC 中，点D 满足BD ＝34BC ，当E 点在线段AD 上移动时，若AE →＝λAB →＋μAC →，则t ＝(λ－1)2＋μ2的最小值是( )A.31010 B.824 C.910D.418解析：选C.如图所示，存在实数m 使得AE →＝mAD →(0≤m ≤1)，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34(AC →－AB →)＝14AB →＋34AC →，所以AE →＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫14AB →＋34AC →＝m 4AB →＋3m 4AC →，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝m 4，μ＝3m4，所以t ＝(λ－1)2＋μ2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 4－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3m 42＝58m 2－m 2＋1＝58⎝ ⎛⎭⎪⎫m －252＋910，所以当m ＝25时，t ＝(λ－1)2＋μ2取得最小值910.13．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两个根，且2cos(A ＋B )＝1.则C ＝________，AB ＝________．解析：因为cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－12，所以C ＝120°.由题设，得⎩⎨⎧a ＋b ＝23，ab ＝2，所以AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab ＝(23)2－2＝10.所以AB ＝10. 答案：120°1014．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a －b )cos C ＝c cos B ，△ABC 的面积S ＝103，c ＝7.(1)求角C ； (2)求a ，b 的值．解：(1)因为(2a －b )cos C ＝c cos B ，所以(2sin A －sin B )cos C ＝sin C cos B ， 2sin A cos C －sin B cos C ＝sin C cos B ，即2sin A cos C ＝sin(B ＋C )．所以2sin A cos C ＝sin A . 因为A ∈(0，π)，所以sin A ≠0. 所以cos C ＝12.所以C ＝π3.(2)由S ＝12ab sin C ＝103，C ＝π3，得ab ＝40.①由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即c 2＝(a ＋b )2－2ab ⎝⎛⎭⎪⎫1＋cos π3，所以72＝(a ＋b )2－2×40×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12.所以a ＋b ＝13.②由①②得a ＝8，b ＝5或a ＝5，b ＝8.[C 拓展探究]15．某单位有A ，B ，C 三个工作点，需要建立一个公共无线网络发射点O ，使得发射点到三个工作点的距离相等．已知这三个工作点之间的距离分别为AB ＝80 m ，BC ＝70 m ，CA ＝50 m ．假定A ，B ，C ，O 四点在同一平面内．(1)求∠BAC 的大小； (2)求点O 到直线BC 的距离．解：(1)在△ABC 中，因为AB ＝80 m ，BC ＝70 m ，CA ＝50 m ，由余弦定理得cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22×AB ×AC ＝802＋502－7022×80×50＝12.因为∠BAC 为△ABC 的内角，所以∠BAC ＝π3.(2)法一：因为发射点O 到A ，B ，C 三个工作点的距离相等，所以点O 为△ABC 外接圆的圆心．设外接圆的半径为R ，则在△ABC 中，BCsin A ＝2R .由(1)知A ＝π3，所以sin A ＝32.所以2R ＝7032＝14033.即R ＝7033.如图，连接OB ，OC ，过点O 作边BC 的垂线，垂足为D .在△OBD 中，OB ＝R ＝7033，BD ＝BC 2＝702＝35，所以OD ＝OB 2－BD 2＝（7033）2－352＝3533. 即点O 到直线BC 的距离为3533m.法二：因为发射点O 到A ，B ，C 三个工作点的距离相等，所以点O 为△ABC 外接圆的圆心．连接OB ，OC ，过点O 作边BC 的垂线，垂足为D .由(1)知∠BAC ＝π3，所以∠BOC ＝2π3，所以∠BOD ＝π3.在Rt △BOD 中，BD ＝BC 2＝702＝35 ，所以OD ＝BDtan ∠BOD ＝35tan 60°＝3533.即点O 到直线BC 的距离为3533 m.。

新教材高中数学第9章总体百分位数的估计学案含解析新人教A版必修第二册

新教材高中数学学案含解析新人教A版必修第二册：9.2.2 总体百分位数的估计学习任务核心素养1．结合实例，能用样本估计百分位数．(重点) 2．理解百分位数的统计含义．(重点、难点)1．通过对百分位数概念的学习，培养数学抽象素养．2．通过计算样本的百分位数，培养数学运算素养．某省数学考试结果揭晓，根据规定，0.8%的同学需要补考．问题：那么如何确定需要补考的分数线呢？1．第p百分位数的定义一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．2．计算一组n个数据的第p百分位数的步骤第1步，按从小到大排列原始数据．第2步，计算i＝n×p%．第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i 是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．3．四分位数25%,50%,75%这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数．(1) 班级人数为50的班主任老师说“90%的同学能够考取本科院校”，这里的“90%”是百分位数吗？(2)“这次数学测试成绩的第70百分位数是85分”这句话是什么意思？[提示] (1)不是．是指能够考取本科院校的同学占同学总数的百分比．(2)有70%的同学数学测试成绩小于或等于85分．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若一组样本数据各不相等，则其75%分位数大于25%分位数． ( )(2)若一组样本数据的10%分位数是23，则在这组数据中有10%的数据大于23．( )(3)若一组样本数据的24%分位数是24，则在这组数据中至少有76%的数据大于或等于24．( )[答案] (1)√ (2)× (3)√2．下列关于一组数据的第50百分位数的说法正确的是( )A ．第50百分位数就是中位数B ．总体数据中的任意一个数小于它的可能性一定是50%C ．它一定是这组数据中的一个数据D ．它适用于总体是离散型的数据A [由百分位数的意义可知选项B ，C ，D 错误．]3．数据7.0,8.4,8.4,8.4,8.6,8.7,9.0,9.1的第30百分位数是________．8.4 [因为8×30%＝2.4，故30%分位数是第三项数据8.4．]4．一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的第50百分位数为________． 1009 [样本数据低于10的比例为0.08 ＋0.32＝0.40，样本数据低于14的比例为0.40 ＋0.36＝0.76，所以此样本数据的第50百分位数在[10,14]内，估计此样本数据的第50百分位数为10＋0.10.36×4＝1009．]类型1 百分位数的计算【例1】 (对接教材P 202例2)从某珍珠公司生产的产品中，任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量(单位：g)如下：7．9,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9,7.8,8.3,8.0．(1)分别求出这组数据的第25,75,95百分位数．(2)请你找出珍珠质量较小的前15%的珍珠质量．(3)若用第25,50,95百分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格品、优等品和特优品，依照这个样本的数据，给出该公司珍珠等级的划分标准．[解] (1)将所有数据从小到大排列，得7．8,7.9,8.0,8.3,8.4,8.5,8.5,8.5,8.6,8.9,9.0,9.9，因为共有12个数据，所以12×25%＝3,12×75%＝9,12×95%＝11.4，则第25百分位数是8.0＋8.32＝8.15，第75百分位数是8.6＋8.92＝8.75，第95百分位数是第12个数据为9.9．(2)因为共有12个数据，所以12×15%＝1.8，则第15百分位数是第2个数据为7.9．即产品质量较小的前15%的产品有2个，它们的质量分别为7.8,7.9．(3)由(1)可知样本数据的第25百分位数是8.15 g ，第50百分位数为8.5 g, 第95百分位数是9.9 g ，所以质量小于或等于8.15 g 的珍珠为次品，质量大于8.15 g 且小于或等于8.5 g 的珍珠为合格品，质量大于8.5 g 且小于等于9.9 g 的珍珠为优等品，质量大于9.9 g 的珍珠为特优品．计算第p 百分位数的步骤是什么？[提示] 计算一组n 个数据的第p 百分位数的一般步骤：(1)排列：按照从小到大排列原始数据；(2)计算i ：计算i ＝n ×p %；(3)定数：若i 不是整数，大于i 的最小整数为j ，则第p 百分位数为第j 项数据；若i 是整数，则第p 百分位数为第i 项与第(i ＋1)项数据的平均数．[跟进训练]1．以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：78,70,72,86,88,79,80,81,94,84,56,98,83,90,91，则这15人成绩的第80百分位数是( )A ．90B ．90.5C ．91D ．91.5B [把成绩按从小到大的顺序排列为：56,70,72,78,79,80,81,83,84,86,88,90,91,94,98，因为15×80%＝12，所以这15人成绩的第80百分位数是90＋912＝90.5．] 类型2 百分位数的综合应用【例2】某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费．(1)求某户居民用电费用y (单位：元)关于月用电量x (单位：千瓦时)的函数解析式．(2)为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图．若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的占80%，求a ，b 的值．(3)根据(2)中求得的数据计算用电量的75%分位数．1．第p 百分位数有什么特点？[提示] 总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是p ．2．某组数据的第p 百分位数在此组数据中一定存在吗？为什么？[提示] 不一定．因为按照计算第p 百分位数的步骤，第2步计算所得的i ＝n ×p %如果是整数，则第p 百分位数为第i 项与第(i ＋1)项数据的平均数，若第i 项与第(i ＋1)项数据不相等，则第p 百分位数在此组数据中就不存在．[解] (1)当0≤x ≤200时，y ＝0.5x ；当200<x ≤400时，y ＝0.5×200＋0.8×(x －200)＝0.8x －60；当x >400时，y ＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×(x －400)＝x －140．所以y 与x 之间的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0.5x ，0≤x ≤200，0.8x －60，200<x ≤400，x －140，x >400.(2)由(1)可知，当y ＝260时，x ＝400，即用电量不超过400千瓦时的占80%，结合频率分布直方图可知⎩⎪⎨⎪⎧0.001×100＋2×100b ＋0.003×100＝0.8，100a ＋0.000 5×100＝0.2，解得a ＝0.001 5，b ＝0.002 0．(3)设75%分位数为m ，因为用电量低于300千瓦时的所占比例为(0.001＋0.002＋0.003)×100＝60%，用电量不超过400千瓦时的占80%，所以75%分位数为m 在[300,400)内，所以0.6＋(m －300)×0.002＝0.75，解得m ＝375千瓦时，即用电量的75%分位数为375千瓦时．根据例2的(2)题中求得的数据计算用电量的15%分位数．[解] 设15%分位数为x ，因为用电量低于100千瓦时的所占比例为0.001×100＝10%，用电量不超过200千瓦时的占30%，所以15%分位数为x 在[100,200)内，所以0.1＋(x －100)×0.002＝0.15，解得x ＝125千瓦时，即用电量的15%分位数为125千瓦时．根据频率分布直方图计算样本数据的百分位数，首先要理解频率分布直方图中各组数据频率的计算，其次估计百分位数在哪一组，再应用方程的思想方法，设出百分位数，解方程可得.[跟进训练]2．某市举行“中学生诗词大赛”，某校有1 000名学生参加了比赛，从中抽取100名学生，统计他们的成绩(单位：分)，并进行适当的分组(每组为左闭右开的区间)，得到的频率分布直方图如图所示，则估计该校学生成绩的80%分位数为________．122 [根据频率分布直方图可知，成绩在130分以下的学生所占比例为1－0.005 0×20＝0.9，成绩在110分以下的学生所占比例为1－(0.012 5＋0.005 0)×20＝0.65，因此80%分位数一定位于[110,130)内，由110＋20×0.8－0.650.9－0.65＝122，故可估计该校学生成绩的80%分位数为122．]1．下列一组数据的第25百分位数是( )2.1,3.0,3.2,3.8,3.4,4.0,4.2,4.4,5.3,5.6A ．3.2B ．3.0C ．4.4D ．2.5A [把这组数据按照由小到大排列，可得：2.1,3.0,3.2,3.4,3.8,4.0,4.2,4.4,5.3,5.6，由i ＝10×25%＝2.5，不是整数，则第3个数据3.2是第25百分位数．]2．已知100个数据的第75百分位数是9.3，则下列说法正确的是( )A ．这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3B ．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据C ．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数D ．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第74个数据的平均数C [因为100×75%＝75为整数，所以第75个数据和第76个数据的平均数为第75百分位数，是9.3，故选C ．] 3．2019年某学科能力测试共有12万考生参加，成绩采用15级分，测试成绩分布图如图，试估计成绩高于11级分的人数为( )A ．8 000B ．10 000C ．20 000D ．60 000B [从题图中可以看出，12级分的有2.5%左右，13级分的有3%左右，14级分的有1%左右，15级分的有1.5%左右，∴高于11级分的有8%左右，其人数约为12万的8%，即120 000×0.08＝9 600人．选项B 最接近．故选B ．]4．对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图)，但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失，则依据此图可得：(1)[25,30)年龄组对应小矩形的高度为________；(2)由频率分布直方图估计志愿者年龄的95%分位数为________岁．(1)0.04 (2)42.5 [(1)设[25,30)年龄组对应小矩形的高度为h ，则5×(0.01＋h ＋0.07＋0.06＋0.02)＝1，解得h ＝0.04．(2)由题图可知年龄小于40岁的频率为(0.01＋0.04＋0.07＋0.06)×5＝0.9，且所有志愿者的年龄都小于45岁，所以志愿者年龄的95%分位数在[40,45]内，因此志愿者年龄的95%分位数为40＋0.95－0.91－0.9×5＝42.5岁．]回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)p 百分位数的定义是什么？(2)百分位数告诉我们什么信息？。

人教A版高中同步学案数学必修第二册精品课件第九章统计分层随机抽样 9.1.3 获取数据的途径

②采用分层随机抽样,因为购买力与收入有关,社区中家庭收入层次明显,宜采用分层随
机抽样.
规律方法分层随机抽样的一个前提和遵循的两个原则
（1）前提:分层随机抽样的适用前提条件是总体可以分层,层与层之间有明显区别,
而层内个体间差异较小.
（2）遵循的两个原则:
①将相似的个体归入一类,即为一层,分层要求每层的各个个体互不交叉,即遵循不
变量值,用1 ,2 ,⋯, 表示第2层样本的各个个体的变量值,则第1层的总体平均数和
样本平均数分别为 =
1 +2 +⋯+

=
1
∑ ,
=1
=
1 +2 +⋯+

=
1
∑.
=1
第2层的总体平均数和样本平均数分别为 =
=
1 +2 +⋯+
A.110
B.125
C.95
D.105
探究点四获取数据途径的选择
【例4】 “中国天眼”为500米口径球面射电望远镜,是具有
我国自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的射电望
远镜.建造“中国天眼”的目的是( C )
A.通过调查获取数据
B.通过试验获取过查询获得数据
[解析] 建造“中国天眼”的目的主要是通过观察获取数据.

⋅ .等式中含有四个量,已知
其中任意三个量,就能求出第四个量.
2.在分层随机抽样中,注意以下关系:
样本量
该层抽取的个体数
=
;
总体容量
该层的个体数
（2）总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比.
（1）
变式探究若将本例中“甲社区有驾驶员96人”改为“甲、乙社区驾驶员共99人”,则的值

人教A版高中同步学案数学必修第二册精品课件第九章统计本章总结提升 (3)

由甲、乙平均数相等,乙的方差较小,知选乙参加比赛比较合适.
规律方法
样本的数字特征可分为两大类:一类是反映样本数据集中趋势
的,包括平均数、众数、中位数;另一类是反映样本数据离散程度的,包括
样本方差及标准差.通常,在实际问题中,仅靠平均数不能完全反映问题,还
要研究方差.方差描述了数据相对平均数的离散程度,在平均数相同的情况
方法抽取一个容量为1 200的样本,三个年级学生人数之比依次为k∶6∶4.
已知高一年级共抽取了200人,则高三年级抽取的人数为
.
答案 (1)分层随机抽样,简单随机抽样
(2)400
解析 (1)由于甲、乙、丙三个地区有明显差异,所以在完成①时,需用分层
随机抽样.在甲地区有10个特大型超市代理销售该品牌的白酒,没有显著差
人数
5
8
区间界限 [142,146) [146,150)
人数
20
11
[130,134)
10
[150,154)
6
(1)列出样本的频率分布表;
(2)画出频率分布直方图;
(3)估计身高低于134 cm的人数占总人数的百分比.
[134,138)
22
[154,158]
5
[138,142)
33
解 (1)样本的频率分布表:
异,所以完成②宜采用简单随机抽样.

(2)由条件有+6+4
4
×1
2+6+4
200=400.
=
200
,解得
1 200
k=2,所以高三年级抽取的人数为
专题二
用样本的频率分布估计总体分布
【例2】如下表所示给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120

章末研究课：斐波那契数列课件-高二数学人教A版(2019)选择性必修第二册

1 3n1 2
提炼方法、聚焦高考
an2 an1 an
令an2 pan1 q(an1 pan )
an2 (q p)an1 pqan
q p pq 1
1
p1
q1
-1 5 2
1 5 2
或
p2 q2
-1- 5 2
1- 5 2
当p1
1 2
5 ，q1
1 2
5 时，
an2 p1 an1 q1 (an1 p1 an )
情景引入、概念生成
一、斐波那契数列的递推公式
情景引入、概念生成
斐波那契数列的来源：
一天，著名数学家斐波那契到外面散步，看到院子里有个男孩在喂一对小兔子。几个月后，斐波那契散步又到那里，发现院子里不再是一对小兔子，而是大大小小好多只兔子了。
斐波那契了解到：大兔子每个月都要生一对小兔子，并且小兔子出生两个月后，就能够再生小兔子了。”
探索性质、学以致用
（3）若该数列的第2024项 a2024 m , 那么该数列的2022项的和 a1 a2 a3 a2022 __m____1___
（4）那么 a12 a22 a32
a2 2021
是斐波那契数列中的______项。
a2021
探索性质、学以致用
斐波那契数列总有 an2 an1 an , 则
情景引入、概念生成
斐波那契数列：
一列数满足首项和第二项为1，从第三项起，每一项都是它的前两项的和，
即：
F F
(1) F (n 2)
(2) 1 F(n
1)
F
(n)
后人为纪念斐波那契将这个数列命名为斐波那契数列，
数列中的每一个数都被称为斐波那契数。

高中同步学案优化设计数学必修第二册人教版

一、概述在高中数学教学中，同步学案是一种常见的教学辅助材料，它能够帮助学生巩固所学知识、拓展思维、提高解题能力。

然而，当前市面上的同步学案质量良莠不齐，很多学生在使用同步学案时并不能得到有效的帮助。

在本文中我们将从数学必修第二册人教版出发，对同步学案进行优化设计，以期达到更好的教学效果。

二、目的与意义高中数学是学生学习的重要科目之一，数学必修第二册人教版是高中数学教材中的重要一部分。

通过优化设计同步学案，可以更好地贴合教材内容，针对性地辅助学生学习。

这不仅有助于学生对知识的掌握，还能够提高他们的解题能力和思维拓展能力。

本文的目的在于优化设计数学必修第二册人教版的同步学案，提高教学效果，促进学生的数学学习。

三、同步学案优化设计的原则1. 贴合教材内容：同步学案的设计应当严格围绕数学必修第二册人教版教材内容展开，避免偏离教学大纲和课程标准。

2. 难度适中：同步学案的难度应当与教材内容匹配，既不能过于简单导致学生失去学习的兴趣，也不能过于复杂使学生无法理解。

3. 强化重点：同步学案应当重点强化教材中的重要知识点和难点，帮助学生更好地掌握和理解这些内容。

4. 注重启发：同步学案设计要注重启发学生的思维，让学生在解题过程中能够灵活运用所学知识，培养他们的解题能力和逻辑思维能力。

四、同步学案优化设计的具体步骤1. 分析教材内容：首先要对数学必修第二册人教版教材内容进行深入的分析，梳理出各个章节的重点知识点和难点。

2. 设计题目：根据教材内容的分析，针对每个知识点和难点设计相应的题目，确保题目数量和类型的多样性，以满足不同学生的学习需求。

3. 难度控制：在设计题目时要控制好难度，确保题目的难度与教材内容相匹配，能够对学生的知识水平和解题能力进行有效的提升。

4. 编排结构：设计好题目之后，要进行合理的编排，确保同步学案的结构清晰、层次分明，便于学生系统地进行学习和练习。

5. 完善细节：在设计过程中要重点关注题目的完整性和规范性，确保题目的表述清晰，避免歧义，防止给学生造成困扰。

【精品课件】部编人教版高中数学必修二A版_第9章统计(章末复习提升课)

解析：选 C.由题意需要从 1 800 人中抽取 90 人，所以抽样比为 1 98000＝210.又样本中高一年级学生有 42 人，所以该校高一年级学生共有 42×20＝840(人)．故选 C.
栏目导引
第九章统计
2．(2019·陕西省西安市长安区第一中学期末考试)如图所示是一容量为 100 的样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，样本落在[5，10]内的频数为( )
栏目导引
第九章统计
与分层随机抽样有关问题的常见类型及解题策略 (1)确定抽样比．可依据各层总数与样本数之比，确定抽样比． (2)求某一层的样本数或总体个数．可依据题意求出抽样比，再由某层总体个数(或样本数)确定该层的样本(或总体)数． (3)求各层的样本数．可依据题意，求出各层的抽样比，再求出各层样本数．
栏目导引
第九章统计
1．(2019·河北省沧州市期末考试)某学校高一、高二年级共有 1 800
人，现按照分层随机抽样的方法，抽取 90 人作为样本进行某项
调查．若样本中高一年级学生有 42 人，则该校高一年级学生共
有( )
A．420 人
B．480 人
C．840 人
D．960 人
栏目导引
第九章统计
A．50 C．30
B．40 D．20
栏目导引
第九章统计
解析：选 D.第一个小矩形的面积为 0.04×5＝0.2, 所以样本落在 [5，10]内的频数为 0.2×100＝20.故选 D.
栏目导引
第九章统计
3．甲、乙两个城市某年 4 月中旬，每天的最高气温统计图如图所示，这 9 天里，气温比较稳定的是________．
栏目导引

最新新课标人教版高中数学必修2全册导学教案学案同步练习课堂巩固【附答案](可编辑)名师优秀教案

新课标人教版高中数学必修2全册导学教案学案同步练习课堂巩固【附答案]（可编辑）新课标人教版高中数学必修2全册导学教案学案同步练习课堂巩固【附答案]第一章立体几何初步一、知识结构二、重点难点重点:空间直线,平面的位置关系。

柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式。

平行、垂直的定义,判定和性质。

难点:柱、锥、台、球的结构特征的概括。

文字语言,图形语言和符号语言的转化。

平行,垂直判定与性质定理证明与应用。

第一课时棱柱、棱锥、棱台【学习导航】知识网络学习要求1.初步理解棱柱、棱锥、棱台的概念。

掌握它们的形成特点。

2.了解棱柱、棱锥、棱台中一些常用名称的含义。

3.了解棱柱、棱锥、棱台这几种几何体简单作图方法4.了解多面体的概念和分类.【课堂互动】自学评价棱柱的定义:表示法:思考:棱柱的特点:.【答】棱锥的定义:表示法:思考:棱锥的特点:.【答】3.棱台的定义:表示法:思考:棱台的特点:.【答】4.多面体的定义:5.多面体的分类:?棱柱的分类?棱锥的分类?棱台的分类【精典范例】例1:设有三个命题: 甲:有两个面平行,其余各面都是平行四边形所围体一定是棱柱; 乙:有一个面是四边形,其余各面都三角形所围成的几何体是棱锥;丙:用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥,得到的几何体叫棱台。

以上各命题中,真命题的个数是 (A)A.0B. 1C. 2D. 3 例2:画一个四棱柱和一个三棱台。

【解】四棱柱的作法:?画上四棱柱的底面----画一个四边形;?画侧棱-----从四边形的每一个顶点画平行且相等的线段;?画下底面------顺次连结这些线段的另一个端点互助参考7页例1?画一个三棱锥,在它的一条侧棱上取一点,从这点开始,顺次在各个侧面画出与底面平行的线段,将多余的线段檫去.互助参考7页例1点评:1被遮挡的线要画成虚线2画台由锥截得思维点拔:解柱、锥、台概念性问题和画图需要:1.准确地理解柱、锥、台的定义2.灵活理解柱、锥、台的特点:例如:棱锥的特点是:?两个底面是全等的多边形;?多边形的对应边互相平行;?棱柱的侧面都是平行四边形。