2020-2021中考数学相似-经典压轴题及详细答案

2020-2021中考数学相似-经典压轴题及详细答案一、相似1．如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为（10，0），抛物线y=ax2+bx+4过点B，C两点，且与x轴的一个交点为D（﹣2，0），点P是线段CB上的动点，设CP=t （0＜t＜10）．（1）请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式；（2）过点P作PE⊥BC，交抛物线于点E，连接BE，当t为何值时，∠PBE=∠OCD？（3）点Q是x轴上的动点，过点P作PM∥BQ，交CQ于点M，作PN∥CQ，交BQ于点N，当四边形PMQN为正方形时，请求出t的值．【答案】（1）解：在y＝ax2＋bx＋4中，令x＝0可得y＝4，∴C（0，4），∵四边形OABC为矩形，且A（10，0），∴B（10，4），把B、D坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y＝ x2＋ x＋4；（2）解：由题意可设P（t，4），则E（t， t2＋ t＋4），∴PB＝10﹣t，PE＝ t2＋ t＋4﹣4＝ t2＋ t，∵∠BPE＝∠COD＝90°，当∠PBE＝∠OCD时，则△PBE∽△OCD，∴，即BP•OD＝CO•PE，∴2（10﹣t）＝4（ t2＋ t），解得t＝3或t＝10（不合题意，舍去），∴当t＝3时，∠PBE＝∠OCD；当∠PBE＝∠CDO时，则△PBE∽△ODC，∴，即BP•OC＝DO•PE，∴4（10﹣t）＝2（ t2＋ t），解得t＝12或t＝10（均不合题意，舍去）综上所述∴当t＝3时，∠PBE＝∠OCD（3）解：当四边形PMQN为正方形时，则∠PMC＝∠PNB＝∠CQB＝90°，PM＝PN，∴∠CQO＋∠AQB＝90°，∵∠CQO＋∠OCQ＝90°，∴∠OCQ＝∠AQB，∴Rt△COQ∽Rt△QAB，∴，即OQ•AQ＝CO•AB，设OQ＝m，则AQ＝10﹣m，∴m（10﹣m）＝4×4，解得m＝2或m＝8，①当m＝2时，CQ＝＝，BQ＝＝，∴sin∠BCQ＝＝，sin∠CBQ＝＝，∴PM＝PC•sin∠PCQ＝ t，PN＝PB•sin∠CBQ＝（10﹣t），∴ t ＝（10﹣t），解得t＝，②当m＝8时，同理可求得t＝，∴当四边形PMQN为正方形时，t的值为或【解析】【分析】（1）先求出抛物线与y轴的交点C的坐标，再根据矩形ABCO及点A的坐标为（10，0），求出点B的坐标，然后利用待定系数法，将点B、D的坐标分别代入函数解析式求出二次函数解析式。

（2）设P（t，4），利用抛物线的解析式表示出点E的坐标，可求出PB、PE的长，再分情况讨论：当∠PBE＝∠OCD时，可证△PBE∽△OCD，利用相似三角形的性质，的长BP•OD＝CO•PE，建立关于t的方程，求出符合题意的t的值；当∠PBE＝∠CDO时，可得△PBE∽△ODC，利用相似三角形的性质得出BP•OC＝DO•PE，建立关于t的方程，求出t 的值，综上所述就可得出符合题意的t的值。

（3）当四边形PMQN为正方形时，则∠PMC＝∠PNB＝∠CQB＝90°，PM＝PN，再证明Rt△COQ∽Rt△QAB，利用相似三角形的性质得出OQ•AQ＝CO•AB，设OQ＝m，则AQ＝10﹣m，建立关于m的方程，求出m的值，再分别根据m的值求出CQ、BQ的长，再利用解直角三角形用含t的代数式分别表示出PM、PN的长，由PM=PN可得出关于t的方程，再解方程，就可求出符合题意的t的值。

2．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于A（－3，0），B （1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）点Q是直线AC上方的抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于轴，垂足为E．是否存在点Q，使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；【答案】（1）解：由抛物线过点A（－3，0），B（1，0），则解得∴二次函数的关系解析式（2）解：连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N．设点P坐标为（m，n），则．PM = ，，AO=3．当时，＝2．∴OC=2．＝＝＝．∵＝－1＜0，∴当时，函数有最大值．此时＝．∴存在点，使△ACP的面积最大．（3）解：存在点Q，坐标为：，．分△BQE∽△AOC，△EBQ∽△AOC，△QEB∽△AOC三种情况讨论可得出【解析】【分析】（1）由题意知抛物线过点A（－3，0），B（1，0），所以用待定系数法即可求解；（2）因为三角形ACP是任意三角形，所以可做辅助线，连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N．则三角形ACP的面积=三角形APM的面积+矩形PMON的面积-三角形AOC 的面积-三角形PCN的面积。

于是可设点P的横坐标为m，则纵坐标可用含m的代数式表示出来，即M（m,−−m + 2）,则三角形ACP的面积可用含m的代数式表示，整理可得是一个二次函数，利用二次函数的性质即可求解；（3）根据对应顶点的不同分三种情况（△BQE∽△AOC，△EBQ∽△AOC，△QEB∽△AOC）讨论即可求解。

3．已知直线m∥n，点C是直线m上一点，点D是直线n上一点，CD与直线m、n不垂直，点P为线段CD的中点．（1）操作发现：直线l⊥m，l⊥n，垂足分别为A、B，当点A与点C重合时（如图①所示），连接PB，请直接写出线段PA与PB的数量关系：________．（2）猜想证明：在图①的情况下，把直线l向上平移到如图②的位置，试问（1）中的PA与PB的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）延伸探究：在图②的情况下，把直线l绕点A旋转，使得∠APB=90°（如图③所示），若两平行线m、n之间的距离为2k．求证：PA•PB=k•AB．【答案】（1）PA=PB（2）解：把直线l向上平移到如图②的位置，PA=PB仍然成立，理由如下：如图②，过C作CE⊥n于点E，连接PE，，∵三角形CED是直角三角形，点P为线段CD的中点，∴PD=PE，∴PC=PE；∵PD=PE，∴∠CDE=∠PEB，∵直线m∥n，∴∠CDE=∠PCA，∴∠PCA=∠PEB，又∵直线l⊥m，l⊥n，CE⊥m，CE⊥n，∴l∥CE，∴AC=BE，在△PAC和△PBE中，∴△PAC∽△PBE，∴PA=PB（3）解：如图③，延长AP交直线n于点F，作AE⊥BD于点E，，∵直线m∥n，∴，∴AP=PF，∵∠APB=90°，∴BP⊥AF，又∵AP=PF，∴BF=AB；在△AEF和△BPF中，∴△AEF∽△BPF，∴，∴AF•BP=AE•BF，∵AF=2PA，AE=2k，BF=AB，∴2PA•PB=2k．AB，∴PA•PB=k•AB．【解析】【解答】解：（1）∵l⊥n，∴BC⊥BD，∴三角形CBD是直角三角形，又∵点P 为线段CD的中点，∴PA=PB．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半；（2）把直线l向上平移到如图②的位置，PA=PB仍然成立，理由如下：如图②，过C作CE⊥n于点E，连接PE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半得出PD=PE=PC，根据等边对等角得出∠CDE=∠PEB，根据二直线平行，内错角相等得出∠CDE=∠PCA，故∠PCA=∠PEB，根据夹在两平行线间的平行线相等得出AC=BE，然后利用SAS判断出△PAC∽△PBE，根据全等三角形的对应边相等得出PA=PB；（3）如图③，延长AP交直线n于点F，作AE⊥BD于点E，根据平行线分线段成比例定理得出AP=PF，根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出BF=AB；然后判断出△AEF∽△BPF，根据相似三角形的对应边成比例即可得出AF•BP=AE•BF，根据等量代换得出2PA•PB=2k．AB，即PA•PB=k•AB．4．已知在矩形ABCD中，AB=2，AD=4．P是对角线BD上的一个动点（点P不与点B、D 重合），过点P作PF⊥BD，交射线BC于点F．联结AP，画∠FPE=∠BAP，PE交BF于点E．设PD=x，EF=y．（1）当点A、P、F在一条直线上时，求△ABF的面积；（2）如图1，当点F在边BC上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；（3）联结PC，若∠FPC=∠BPE，请直接写出PD的长．【答案】（1）解：如图，∵矩形ABCD ，∴，∴，∵A、P、F在一条直线上，且PF⊥BD，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：∵PF⊥BP ，∴，∴，∵，∴，∴，又∵∠BAP =∠FPE，∴∽，∴，∵AD//BC ，∴，∴，即，∵，∴，∴，∴（3）解：∠CPF=∠BPE，①如图所示，当点F在CE上时，∵∠BPF=∠FPD=90°，∴∠DPC=∠FPE，∵∠FPE=∠BAP，∴∠DPC=∠BAP，∵AB//CD，∴∠ABD=∠CDB，∴△PAB∽△CPD，∴PB：CD=AB：PD，∴PB·PD=CD·AB，∴x（）=2×2，∴x= ；②如图所示，当点F在EC延长线上时，过点P作PN⊥CD于点N，在CD上取一点M，连接PM，使∠MPF=∠CPF，则有PC：PM=CH：MH，∵∠BPF=∠DPF=90°，∴∠BPC=∠DPM，∵∠BPE=∠CPF，∴∠BPE=∠EPF，∵∠BAP=∠FPE，∴∠BAP=∠DPM，∵∠ABD=∠BDC，∴△PAB∽△MPD，∴PB：MD=AB：PD，由PD=x，tan∠PDM=tan∠PFC=2，易得：DN= ，PN= ，CN=2- ，PH=2x，FH= ，CH=2- x，由PB：MD=AB：PD可得MD= ，从而可得MN，在Rt△PCN中利用勾股定理可得PC，由PC：PM=CH：MH可得PM，在在Rt△PMN中利用勾股定理可得关于x 的方程，解得x= ，综上：PD的长为：或【解析】【分析】（1）要求三角形ABF的面积，由题意只须求出BF的长即可。

根据同角的余角相等可得∠BAF=∠ADB，所以tan∠PBF=tan∠ADB=,结合已知即可求得BF的长，三角形ABF的面积=AB BF；（2）要求y与x之间的函数关系式，由题意只须证得ΔBAP∽ΔFPE，从而得出比例式;,现在需求出PF的长，代入比例式即可得y与x的关系式。

（3）由已知条件过点P作PF⊥BD，交射线BC于点F可知，点F可能在线段CE上，也可在CE的延长线上，所以分两种情况求解即可。

5．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx-5与x轴交于A(-1，0)，B(5，0)两点，与y轴交与点C.（1）求抛物线的函数表达式;（2）若点D是y轴上的点，且以B、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标; （3）如图2，CE//x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H 且与y轴平行的直线与BC、CE分别相交于点F，G，试探求当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积.【答案】（1）解：把A(-1，0)，B(5，0)代入y=ax2+bx-5可得，解得二次函数的解析式为y=x2-4x-5.（2）解：如图1,令x=0，则y=−5，∴C(0,−5)，∴OC=OB，∴∠OBC=∠OCB=45°，∴AB=6,BC=5 ，要使以B,C,D为顶点的三角形与△ABC相似,则有或，当时，CD=AB=6，∴D(0,1)，当时，∴，∴CD= ，∴D(0, )，即：D的坐标为(0,1)或(0, )；（3）解：设H(t，t2-4t-5)∥x轴，，又因为点E在抛物线上，即，解得（舍去）∴BC所在直线解析式为y=x-5,∴则，而CE是定值，∴当HF的值最大时，四边形CHEF有最大面积。