近年来中考数学压轴题大集合

近年来中考数学压轴题大集合

【一】函数与几何综合的压轴题

1.〔2004安徽芜湖〕如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上；

(2) 假如有一抛物线通过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程.

(3) 假如AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，如今AD 与BC 相交于E ′点，

如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式.

[解]〔1〕

〔本小题介绍二种方法，供参考〕 方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴,EO DO EO BO AB DB CD DB

'

'''== 又∵DO ′+BO ′=DB ∴1EO EO AB DC

'

'

+= ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵DO EO DB AB '

'=，∴2

316

EO DO DB AB ''=⨯=⨯= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上 方法二：由D 〔1，0〕，A 〔-2，-6〕，得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B 〔-2，0〕，C 〔1，-3〕，得BC 直线方程：y =-x -2② 联立①②得

2

x y =⎧⎨

=-⎩

∴E 点坐标〔0，-2〕，即E 点在y 轴上

〔2〕设抛物线的方程y =ax 2+bx +c (a ≠0)过A 〔-2，-6〕，C 〔1，-3〕 E 〔0，-2〕三点，得方程组426

32a b c a b c c -+=-⎧⎪

++=-⎨⎪=-⎩

解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2-2 〔3〕〔本小题给出三种方法，供参考〕

由〔1〕当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。 同〔1〕可得：1E F

E F

AB DC

''+=得：E ′F =2 图①

方法一：又∵E ′F ∥AB

E F DF AB DB '⇒=，∴1

3

DF DB

= S △AE ′C =S △ADC -S △E ′DC =1

1122223

DC DB DC DF DC DB ∙-∙=∙ =1

3

DC DB

∙=DB=3+k

S=3+k 为所求函数解析式

方法二：∵BA ∥DC ，∴S △BCA =S △BDA ∴S △AE ′C =S △BDE ′

()11

32322

BD E F k k '=∙=+⨯=+

∴S =3+k 为所求函数解析式.

证法三：S △DE ′C ∶S △AE ′C =DE ′∶AE ′=DC ∶AB =1∶2

同理：S △DE ′C ∶S △DE ′B =1∶2,又∵S △DE ′C ∶S △ABE ′=DC 2∶AB 2

=1∶4 ∴

()221

3992

AE C

ABCD S S AB CD BD k '∆==⨯+∙=+梯形 ∴S =3+k 为所求函数解析式.

2.〔2004广东茂名〕：如图，在直线坐标系中，以点M 〔1，0〕为圆心、直径AC 为22的圆与y 轴交于A 、D 两点.

〔1〕求点A 的坐标； 〔2〕设过点A 的直线y ＝x ＋b 与x 轴交于点B.探究：直线AB 是否⊙M 的切线？并对你的结论加以证明；

〔3〕连接BC ，记△ABC 的外接圆面积为S 1、⊙M 面积为S 2，假设

4

21h S S =，抛物线 y ＝ax 2

＋bx ＋c 通过B 、M 两点，且它的顶点到x 轴的距离为h .求这条抛物线的解析式.

[解]〔1〕解：由AM ＝2，OM ＝1，

在Rt △AOM 中，AO ＝

1

22=-OM AM ，

∴点A 的坐标为A 〔0，1〕

〔2〕证：∵直线y ＝x ＋b 过点A 〔0，1〕∴1＝0＋b 即b ＝1∴y ＝x ＋1 令y ＝0那么x ＝－1∴B 〔—1，0〕， AB ＝2

112222=

+=+AO BO

在△ABM 中，AB ＝2，AM ＝2，BM ＝2

222224)2()2(BM AM AB ==+=+

∴△ABM 是直角三角形，∠BAM ＝90° ∴直线AB 是⊙M 的切线

〔3〕解法一：由⑵得∠BAC ＝90°，AB ＝2，AC ＝22， ∴BC ＝

10)22()2(2222=+=+AC AB

∵∠BAC ＝90°∴△ABC 的外接圆的直径为BC ，

∴π

ππ2

5)210()2(221=∙=∙=BC S

而

πππ2)2

22()2(

2

22=∙=∙=AC S 4

21h S S = ，5,4225=∴=h h

即 ππ 设通过点B 〔—1，0〕、M 〔1，0〕的抛物线的解析式为：

y ＝a 〔＋1〕〔x －1〕，〔a ≠0〕即y ＝ax 2

－a ，∴－a ＝±5，∴a ＝±5

∴抛物线的解析式为y ＝5x 2－5或y ＝－5x 2

＋5 解法二：〔接上〕求得∴h ＝5 由所求抛物线通过点B 〔—1，0〕、M 〔1、0〕，那么抛物线的对称轴是y 轴，由题意得抛物

线的顶点坐标为〔0，±5〕

∴抛物线的解析式为y ＝a 〔x －0〕2±5

又B 〔－1,0〕、M 〔1,0〕在抛物线上，∴a ±5＝0，a ＝±5

∴抛物线的解析式为y ＝5x 2－5或y ＝－5x 2＋5 解法三：〔接上〕求得∴h ＝5

因为抛物线的方程为y ＝ax 2＋bx ＋c 〔a ≠0〕 由得

⎪⎩⎪⎨⎧-===⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧

±=-=+-=++5

055c 0b 5544002c b a a a

b a

c c b a c b a 或 ＝－ 解得

∴抛物线的解析式为y ＝5x 2－5或y ＝－5x 2＋5.

3.(2004湖北荆门)如图，在直角坐标系中，以点P 〔1，－1〕为圆心，2为半径作圆，交x 轴于A 、B 两点，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 过点A 、B ，且顶点C 在⊙P 上. (1)求⊙P 上劣弧

⌒

AB

的长；

(2)求抛物线的解析式；

(3)在抛物线上是否存在一点D ，使线段OC 与PD 互相平分？假设存在，求出点D 的坐标；

假设不