合情推理与演绎推理(1)灵中学案

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高中数学 2.1《合情推理与演绎推理》测试(1) 新人教B版选修2-2

合情推理与演绎推理一、归纳推理例1．（1）观察圆周上n 个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，你由此可以归纳出什么规律？变式1.设平面内有n 条直线)3(≥n ，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用)(n f 表示这n 条直线交点的个数，则)4(f =____________；当4>n 时，=)(n f ．（用n 表示）变式2.在圆内画一条线段,将圆分成两部分;画两条线段,彼此最多分割成4条线段,同时将圆分割成4部分;画三条线段,彼此最多分割成9条线段,同时将圆分割成7部分.那么 (1)在圆内画四条线段,彼此最多分割成条线段?同时将圆分割成部分?(2)猜想:圆内两两相交的n (n ≥2)条线段,彼此最多分割成条线段?同时将圆分割成部分?强化训练1.某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，○○○●●○○○●●○○○…，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是 .2.由107＞85,119＞108,2513＞219,…若a ＞b ＞0,m ＞0，则m a m b ++与a b 之间的大小关系为 .3.下列推理是归纳推理的是（填序号）.①A ，B 为定点，动点P 满足|PA |+|PB |=2a ＞|AB |，得P 的轨迹为椭圆 ②由a 1=1，a n =3n -1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式 ③由圆x 2+y 2=r 2的面积πr 2，猜想出椭圆2222b y a x +=1的面积S =πab④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇4.已知整数的数对列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…则第60个数对是 .二、类比推理（一）数列中的类比例1.在等差数列{}n a 中，若010=a ，则有等式n a a a +⋅⋅⋅++21),19(1921+-∈<+⋅⋅⋅++=N n n a a a n 成立，类比上述性质，相应地：在等比数列{}n b 中，若19=b ，则有等式成立.强化练习1.定义“等和数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。

2.1《合情推理与演绎证明》(第1课时)

1+3+„+(2n－1)=n2．
归纳推理的一般步骤：
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳整理； ⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想； ⑶ 检验猜想。
探索新知
火星上是否有生命？
我国古代工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,发明了锯；人们仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发明了潜水艇. 仿生学中许多发明的最初构想都是类比生物机制得到的.
练习2：类比平面内直角三角形的勾股定理, 试给出空间中四面体性质的猜想．
直角三角形
∠C＝90° 3个边的长度a，b，c 2条直角边a，b和1条斜边c
3个面两两垂直的四面体
∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°
4个面的面积S1，S2，S3和S 3个“直角面” S1，S2，S3 和 1个“斜面” S
思考：这个结论是正确的吗？
例如：磨擦双手（S ）能产生热（P），敲击石头（S ）能产生热（P），锤击铁块（S ）能产生热（P），磨擦双手、敲击石头、锤击铁块都是物质运动；所以，物质运动能产生热。
1
2 3
例:观察下图,可以发现 1+3=4=22， 1+3+5=9=32， 1+3+5+7=16=42， 1+3+5+7+9=25=52 ， „„
等差数列中项
等比数列
任意实数a、b都有等当且仅当a、b同号时才差中项，为 a b 有等比中项，为 ab
2
下标等差,项等差 n+m=p+q时, am+an= ap+aq
性质
下标等差,项等比 n+m=p+q时, aman= apaq

2.1.1合情推理---归纳推理类比推理演绎推理学案

12.1.1 合情推理（1）---归纳推理学习目标1. 结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；2. 能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.学习过程学习探究探究任务一：考察下列示例中的推理问题1:.1．哥德巴赫猜想：哥德巴赫观察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 14=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……,50=13+37, ……1000=29+971，, …… 猜测：问题2：铜、铁、铝、金、银等金属能导电，归纳出：问题3：因为三角形的内角和是180(32)︒⨯-，四边形的内角和是180(42)︒⨯-，五边形的内角和是180(52)︒⨯-……归纳出n 边形的内角和是新知1归纳推理：有某类事物的部分对象具有的特征，推出该类事物的叫做归纳推理。

简言之：，归纳推理是的推理归纳推理的一般步骤1 通过观察个别情况发现某些相同的性质。

2 从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）。

典型例题例1观察下列等式：1+3=4=22，1+3+5=9=23， 1+3+5+7=16=24，1+3+5+7+9=25=25， ……你能猜想到一个怎样的结论？变式1 观察下列等式：1=11+8=9，1+8+27=36，1+8+27+64=100， …… 你能猜想到一个怎样的结论？例2.已知数列{}n a 的第一项11a =，且nnn a a a +=+11(1,2,3...)n =，试归纳出这个数列的通项公式例3.在学习等差数列时，我们是怎么样推导首项为1a ，公差为d 的等差数列{a n }的通项公式的？例4.设2()41,f n n n n N +=++∈计算(1),(2),(3,)...(10)f f f f 的值，同时作出归纳推理，并用n=40验证猜想是否正确。

动手试试练1..练2. 观察圆周上n个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，由此可以归纳出什么规律？三、总结提升学习小结1．归纳推理的定义.2. 归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同的性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）.知识拓展四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑判断，完成证明.当堂检测1.下列关于归纳推理的说法错误的是（）.A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程C.归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能2. 已知2()(1),(1)1()2f xf x ff x+==+*x N∈（），猜想(f x）的表达式为（）.A.4()22xf x=+B.2()1f xx=+C.1()1f xx=+D.2()21f xx=+课后作业1.已知1+2=3,1+2+3=6,1+2+3+4=10,……1+2+3+……+n=(1)2n n+，观察下列立方和：13，13+23，13+23+33，13+23+33+43，……试归纳出上述求和的一般公式。

合情推理与演绎推理

合情推理与演绎推理一、知识讲解推理：由一个或几个事实（或假设）得出一个判断的思维方式前提为真，结论可能为真的推理称为合情推理.⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩归纳推理合情推理推理类比推理演绎推理（1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征,或者由个别事实概括出一般性的结论,这样的推理称为归纳推理(简称归纳).特征：从特殊现象到一般现象归纳推理的一般步骤：已知条件观察归纳大胆猜想检验猜想（2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比). 归纳推理和类比推理的过程：从具体问题出发观察、分析、比较、联想归纳、类比提出猜想检验猜想（3）演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．说明：１．演绎推理是由一般到特殊的推理；２．“三段论”是演绎推理的一般模式；包括⑴大前提---已知的一般原理；⑵小前提---所研究的特殊情况；⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．三段论可表示为：大前提：M 是P小前提：S 是M结论：S 是P二、典型例题例根据图中5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图形中有个点.例根据给出的数塔猜测123456×9+7等于1×9+2=1112×9+3=111123×9+4=11111234×9+5=11111……例证明函数f (x )=-x 2+2x 在(-∞,1]上是增函数.三：小结思考设(),(),22x x x xa a a a f x g x --+-== 其中 0,1a a >≠且（1）5=2+3，请你推测(5)f 能否用(2),2(3),(3)f g f g （）,来表示；（2）如果（1）中获得一个结论，请你推测能否将其推广.。

合情推理与演绎推理

合情推理与演绎推理1、归纳推理把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。

归纳推理的一般步骤：∙通过观察个别情况发现某些相同的性质∙从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）∙证明2、类比推理由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．类比推理是由特殊到特殊的推理．类比推理的一般步骤：∙找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；∙ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；∙检验猜想。

3、演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．演绎推理是由一般到特殊的推理；“三段论”是演绎推理的一般模式，包括∙大前提---已知的一般原理；∙小前提---所研究的特殊情况；∙结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．题型一用归纳推理发现规律例1：通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。

23135sin 75sin 15sin 020202=++；23150sin 90sin 30sin 020202=++；23165sin 105sin 45sin 020202=++；23180sin 120sin 60sin 020202=++ 题型二用类比推理猜想新的命题例2：已知正三角形内切圆的半径是高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是______.题型三利用“三段论”进行推理例3 某校对文明班的评选设计了e d c b a ,,,,五个方面的多元评价指标，并通过经验公式样ed c b a S 1++=来计算各班的综合得分，S 的值越高则评价效果越好，若某班在自测过程中各项指标显示出a be d c <<<<<0，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S 的值增加最多，那么该指标应为．（填入e d c b a ,,,,中的某个字母）3.已知 0(1,2,,)i a i n >= ，考察下列式子：111()1i a a ⋅≥；121211()()()4ii a a a a ++≥； 123123111()()()9iii a a a a a a ++++≥. 我们可以归纳出，对12,,,n a a a 也成立的类似不等式为?4.现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为24a ．类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为5.已知ABC ∆的三边长为c b a ,,，内切圆半径为r （用的面积表示ABC S ABC ∆∆），则ABC S ∆)(21c b a r ++=；类比这一结论有：若三棱锥BCD A -的内切球半径为R ，则三棱锥体积=-BCD A V6.在平面直角坐标系中，直线一般方程为0=++C By Ax ，圆心在),(00y x 的圆的一般方程为22020)()(r y y x x =-+-；则类似的，在空间直角坐标系中，平面的一般方程为________________,球心在),,(000z y x 的球的一般方程为_______________________.7.（1）已知等差数列的定义为:在一个数列中，从第二项起,如果每一项与它的前一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．类比等差数列的定义给出“等和数列”的定义：；（2）已知数列n a 是等和数列，且21=a ，公和为5，那么18a 的值为____________．8. 对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解方式：2213=+ 23135=++ 241357=+++3235=+ 337911=++ 3413151719=+++根据上述分解规律，则2513579=++++, 若3*()m m N ∈的分解中最小的数是73，则m 的值为。

高中数学 2.1《合情推理与演绎推理》课件(1) 新人教A版选修2-2

思考2 思考2：科学家们发现火星具有一些与地球类似的特征，球类似的特征，如火星也是围绕太阳运绕轴自转的行星，也有大气层，行、绕轴自转的行星，也有大气层，在一年中也有季节的变更，一年中也有季节的变更，而且火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存，等等.运用类比推理，物的生存，等等.运用类比推理，你有什么猜想？其推理过程是怎样形成的？么猜想？其推理过程是怎样形成的？猜想：火星上也可能有生命存在. 猜想：火星上也可能有生命存在.
不能！不能！
思考6 对于等式：1·2＋2·3＋思考6：对于等式：1·2＋2·3＋3·4 n(n＋1)＝ 3n＋ n=1，＋…＋n(n＋1)＝3n2－3n＋2，当n=1，时等式成立吗？ 2，3时等式成立吗？能否由此断定这个等式对所有正整数n都成立？等式对所有正整数n都成立？思考7：应用归纳推理可以发现一般结思考7 其不足之处是什么？论，其不足之处是什么？由归纳推理得出的结论不一定正确，由归纳推理得出的结论不一定正确，其真实性有待进一步证明. 真实性有待进一步证明.
圆的概念和性质圆的周长圆的面积球的类似概念和性质球的面积球的体积
圆心与弦（非直径）中点球心与截面（非大圆）圆心的球心与截面（非大圆）圆心与弦（非直径）连线垂直于截面的连线垂直于弦与圆心距离相等的两弦相等，与圆心距离不等的两弦不等，弦不等，距圆心较近的弦较长. 较长. 圆的方程为：圆的方程为： (x－ (y－ (x－x0)2＋(y－y0)2＝r2 与球心距离相等的两截面积相等，与球心距离不等的两截面积不等，积不等，距球心较近的截面积较大. 较大球的方程
如图所示，例1 如图所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片，按下列规则，上的若干金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上. 从一根针上全部移到另一根针上. 每次只能移动1个金属片；（1）每次只能移动1个金属片；（2）较大的金属片不能放在较小的金属片上面. 片上面. 试推测：个金属片从1 试推测：把n个金属片从1号针移到3号个金属片从号针移到3 最少需要移动多少次？针，最少需要移动多少次？

教学设计1：章末复习与测试

章末复习与测试教学目标1．知识与技能目标(1)帮助学生进一步加深对合情推理和演绎推理的理解，力争使学生做到规范的应用这两种推理方法去解决相关问题；(2)掌握两种证明方法的思维过程和特点，并熟练掌握两种证明方法的操作流程；(3)进一步理解数学归纳法的基本原理、步骤，通过证明数学命题巩固对数学归纳法原理的再认识．2．过程与方法目标通过本章的学习，理解推理与证明的原理与方法，培养和提高学生的合情推理或演绎推理的能力，感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，培养学生由具体到抽象的思维方法，提高学生的理性思维能力．3．情感、态度与价值观通过本章的学习，培养学生言之有理、论证有据的习惯，并能在今后的学习中有意识地使用这些推理与证明的方法．重点难点重点：(1)能利用归纳、类比、“三段论”进行简单推理；(2)了解综合法、分析法和反证法的思考过程与特点；(3)了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数n有关的数学命题．难点：(1)根据归纳、类比、“三段论”推理的结构和特点，进行简单推理(2)根据问题的特点，选择适当的证明方法或把不同的证明方法综合使用；(3)理解数学归纳法的思想实质，了解第二个步骤的作用，并且能够根据归纳假设作出证明．教学过程形成网络1．本章的知识结构图：2．本章基本知识点：(1)合情推理与演绎推理：①归纳推理的概念：根据一类事物的______对象具有某种性质，推出该类事物的____对象都具有这种性质的推理，或有____事实概括出________的推理，称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳推理是由______到________，由______到______的推理．②类比推理的定义：这种由两个(两类)对象具有__________和其中一类对象的某些__________，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．简言之，类比推理是由______到________的推理．③合情推理的定义：根据已有的事实，经过__________、__________、__________、__________，再进行__________、__________，然后提出猜想的推理，我们把它统称为合情推理．④演绎推理的定义：从____出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．演绎推理是由______到______的推理．“三段论”是演绎推理的一般模式；包括(ⅰ)大前提——____________；(ⅱ)小前提——____________；(ⅲ)结论——______________.(2)直接证明与间接证明：①综合法定义：一般地，利用____________等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．②分析法定义：一般地，从______出发，逐步寻求使它成立的__________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理)，这种证明方法叫做分析法．③反证法定义：假设__________不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明________，从而证明了__________，这样的证明方法叫做反证法．④数学归纳法定义：一般地，证明一个与正整数n有关的命题P(n)，可按下列步骤进行：(ⅰ)(归纳奠基)证明当______时命题成立；(ⅱ)(归纳递推)假设________命题成立，证明当____也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．提出问题：1.请同学们独立完成知识填空．2．在完成知识填空的同时，回想一下本章主要有哪些基本题型，解决这些基本题型的方法和步骤分别是什么？活动设计：学生独立完成基本知识填空，然后让几位同学口答填空答案，教师借助多媒体投影出知识填空的答案，适当的规范学生的表述，回忆旧知识，并思考、讨论回答所提出的问题．学情预测：学生在前面几节学习的基础上，能够顺利的完成基本知识填空，但在准确、规范表达上会存在着一定的差距；题型和方法的总结更是五花八门．活动结果：知识填空答案：(1)合情推理与演绎推理：①部分全部个别一般结论部分整体个别一般②某些类似特征已知特征特殊特殊③观察分析比较联想归纳类比④一般性的原理一般特殊已知的一般原理所研究的特殊情况据一般原理，对特殊情况作出的判断(2)直接证明与间接证明：①已知条件和某些数学定义、公理、定理②要证明的结论充分条件③原命题假设错误原命题正确④(ⅰ)n取第一个值n0(n0∈N*)(ⅱ)n＝k(k≥n0，k∈N*)时当n＝k＋1时命题设计意图全面系统地梳理基础知识，帮助学生巩固基础，加深对概念、公式、定理的理解，教师利用下一环节“典型示例”和同学们一块总结本章的重点题型和方法．典型示例类型一：归纳推理例1 观察圆周上n 个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，你由此可以归纳出什么规律？思路分析：归纳推理的一般步骤是：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质，(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)．解：设f (n )为n 个点可连的弦的条数，则f (2)＝1，f (3)＝3，f (4)＝6，…，猜想：f (n )＝n (n －1)2. 点评：归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．巩固练习1．下列推理是归纳推理的是( )A ．A 、B 为定点，若动点P 满足︱P A ︱＋︱PB ︱＝2a ＞︱AB ︱，则点P 的轨迹是椭圆B ．由a 1＝1，a n ＋1＝3a n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的通项a n 和S n 的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝1的面积S ＝πr 2，猜想出椭圆的面积S ＝πabD ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇2．如下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色的？( )A ．白色B ．黑色C ．白色可能性大D ．黑色可能性大【答案】1.B 2.A类型二：类比推理例2 在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n ＜19，n ∈N *)成立．类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则有等式______成立．思路分析：找出两类对象之间可以准确表述的相似特征；然后，由一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而做出一个猜想．解：在等差数列{a n}中，若a10＝0，则a1＋a19＝a2＋a18＝…＝a n＋a20－n＝2a10＝0，所以a1＋a2＋…＋a n＋…＋a19＝0，即a1＋a2＋…＋a n＝－a19－a18－…－a n＋1＝a1＋a2＋…＋a19－n.相似地，在等比数列{b n}中，若b9＝1，则有等式b1·b2·…·b n＝b1·b2·…·b17－n(n＜17，n∈N*)成立．点评：本题主要考查观察分析能力，抽象概括能力，考查运用类比的思想方法，由等差数列{a n}满足的一般结论，而得到等比数列{b n}所满足的一般结论．巩固练习平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行．类似地写出空间的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件．充要条件①________________.充要条件②________________.答案：①底面是平行四边形②两组相对侧面分别平行类型三：演绎推理例3 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分别为棱AB，BC的中点．证明：平面MNB1⊥平面BDD1B1.思路分析：本题所依据的大前提是面面垂直的判定定理，小前提是平面MNB1与平面BDD1B1之间所满足的证明面面垂直所需要的条件，这是证明本题的关键．证明：在正方体ABCD—A1B1C1D1中，∵BB1⊥平面ABCD，MN⊂平面ABCD，∴BB1⊥MN.∵MN∥AC，AC⊥BD，∴MN⊥BD.又BD∩BB1＝B，∴MN⊥平面BDD1B1.∵MN⊂平面MNB1，∴平面MNB1⊥平面BDD1B1.点评：“三段论”中，第一个判断称为大前提，它提供了一个一般原理，第二判断叫小前提，指出了一个特殊情况，这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断结论，演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提和结论之间有蕴含关系，因而，只要前提是真的，推理的形式是正确的，那么结论必然是真的，但错误的前提可导致错误的结论．巩固练习如果函数f (x ＋1)是偶函数，那么函数y ＝f (2x )的图象的一条对称轴是直线…( )A ．x ＝－1B ．x ＝1C ．x ＝－12D ．x ＝12 【答案】D类型四：直接证明例4 已知a ，b ，c 为正实数，a ＋b ＋c ＝1.求证：a 2＋b 2＋c 2≥13. 思路分析：这是一个条件不等式的证明问题，要注意观察不等式的结构特点和已知条件的合理应用，从而选择出适当的证明方法．证明：(法一)：a 2＋b 2＋c 2－13＝13(3a 2＋3b 2＋3c 2－1)＝13[3a 2＋3b 2＋3c 2－(a ＋b ＋c )2]＝13(3a 2＋3b 2＋3c 2－a 2－b 2－c 2－2ab －2ac －2bc )＝13[(a －b )2＋(b －c )2＋(a －c )2]≥0， ∴a 2＋b 2＋c 2≥13. (法二)：(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ≤a 2＋b 2＋c 2＋a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2，∴3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a ＋b ＋c )2＝1.∴a 2＋b 2＋c 2≥13. (法三)：设a ＝13＋α，b ＝13＋β，c ＝13＋γ.∵a ＋b ＋c ＝1，∴α＋β＋γ＝0. ∴a 2＋b 2＋c 2＝(13＋α)2＋(13＋β)2＋(13＋γ)2＝13＋23(α＋β＋γ)＋α2＋β2＋γ2＝13＋α2＋β2＋γ2≥13.∴a 2＋b 2＋c 2≥13. 点评：充分利用“1”的代换是本题化简证明的关键．巩固练习已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－a n －(12)n －1＋2(n 为正整数)，令b n ＝2n a n ，求证：数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式．解：(1)由S n ＝－a n －(12)n －1＋2得a 1＝－a 1＋1a 1＝12，并且a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝－a n ＋1－(12)n ＋2－[－a n －(12)n －1＋2]＝a n －a n ＋1＋(12)n ，得到a n ＋1＝12a n ＋12n ＋1.于是b n ＋1＝2n ＋1a n ＋1＝2n a n ＋1＝b n ＋1. ∴数列{b n }是以1为首项，1为公差的等差数列．∵b n ＝b 1＋(n －1)d ，∴b n ＝n .又∵b n ＝2n a n ，∴a n ＝n 2n . 类型五：间接证明例5 已知a ，b ，c ∈(0,1)，求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能同时大于14. 思路分析：这是否定性命题，条件比较简单，直接证明比较难入手，可考虑用反证法．解：假设三式同时大于14，即(1－a )b >14，(1－b )c >14，(1－c )a >14，三式同向相乘，得(1－a )a (1－b )b (1－c )c >164.① 又(1－a )a ≤(1－a ＋a 2)2＝14，同理，(1－b )b ≤14，(1－c )c ≤14. 所以(1－a )a (1－b )b (1－c )c ≤164，与①式矛盾，即假设前提不成立，故结论正确．点评：反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题，也常用反证法．巩固练习已知：ac ≥2(b ＋d )．求证：方程x 2＋ax ＋b ＝0与方程x 2＋cx ＋d ＝0中至少有一个方程有实数根．证明：假设两方程都没有实数根，则Δ1＝a 2－4b <0与Δ2＝c 2－4d <0，有a 2＋c 2<4(b ＋d )，而a 2＋c 2≥2ac ，从而有4(b ＋d )>2ac ，即ac <2(b ＋d )，与已知矛盾，故原命题成立．类型六：数学归纳法例6 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r (b >0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图象上．(1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N *)，证明对任意的n ∈N *，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n >n ＋1成立．解：(1)因为对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r 的图象上，所以得S n ＝b n ＋r .当n ＝1时，a 1＝S 1＝b ＋r ；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝b n ＋r －(b n －1＋r )＝b n －b n －1＝(b －1)b n －1.又因为{a n }为等比数列，所以r ＝－1，公比为b ，a n ＝(b －1)b n －1.(2)证明：当b ＝2时，a n ＝(b －1)b n －1＝2n －1，b n ＝2(log 2a n ＋1)＝2(log 22n －1＋1)＝2n ，则b n ＋1b n ＝2n ＋12n ，所以b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32·54·76·…·2n ＋12n . 下面用数学归纳法证明不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32·54·76·…·2n ＋12n >n ＋1成立． ①当n ＝1时，左边＝32，右边＝2，因为32>2，所以不等式成立． ②假设当n ＝k 时不等式成立，即b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b k ＋1b k ＝32·54·76·…·2k ＋12k >k ＋1成立．则当n ＝k ＋1时，左边＝b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b k ＋1b k ·b k ＋1＋1b k ＋1＝32·54·76·…·2k ＋12k ·2k ＋32k ＋2>k ＋1·2k ＋32k ＋2＝(2k ＋3)24(k ＋1) ＝4(k ＋1)2＋4(k ＋1)＋14(k ＋1)＝(k ＋1)＋1＋14(k ＋1)>(k ＋1)＋1. 所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由①、②可得不等式对任意的n ∈N *都成立．巩固练习1．用数学归纳法证明对n 为正偶数时某命题成立，若已假设n ＝k (k ≥2偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( )A ．n ＝k ＋1时等式成立B ．n ＝k ＋2时等式成立C ．n ＝2k ＋2时等式成立D ．n ＝2(k ＋2)时等式成立2．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是( )A ．若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立B ．若f (5)≥25成立，则当k ≤5时，均有f (k )≥k 2成立C ．若f (7)<49成立，则当k ≥8时，均有f (k )<k 2成立D ．若f (4)＝25成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立【答案】1.B 2.D拓展实例例已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)．(1)证明函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数；(2)用反证法证明f (x )＝0没有负数根．思路分析：(1)直接利用函数单调性的定义证明即可．(2)合理利用第(1)问提供的结论，当f (x )＝0有负数根时，利用函数与方程的关系，找到与已知矛盾的结论即可．证明：(1)任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，ax 2－x 1>1，且ax 1>0，所以ax 2－ax 1＝ax 1(ax 2－x 1－1)>0.又因为x 1＋1>0，x 2＋1>0，所以x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝(x 2－2)(x 1＋1)－(x 1－2)(x 2＋1)(x 2＋1)(x 1＋1)＝3(x 2－x 1)(x 2＋1)(x 1＋1)>0，于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0，故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)设存在x 0<0(x 0≠－1)，满足f (x 0)＝0，则ax 0＝－x 0－2x 0＋1，又0<ax 0<1，所以0<－x 0－2x 0＋1<1，即12<x 0<2与x 0<0(x 0≠－1)假设矛盾．故f (x 0)＝0没有负数根．点评：掌握综合法、分析法和反证法的思考过程、特点；根据问题的特点，选择适当的证明方法或把不同的证明方法综合使用．变练演编例用数学归纳法证明当n ∈N *时，1·n ＋2·(n －1)＋3·(n －2)＋…＋(n －2)·3＋(n －1)·2＋n ·1＝16n (n ＋1)(n ＋2)．思路分析：与正整数有关的数学命题，可以用数学归纳法进行证明，故只需严格按照数学归纳法的步骤证明即可．证明：(1)当n ＝1时，1＝16·1·2·3，结论成立． (2)假设n ＝k 时结论成立，即1·k ＋2·(k －1)＋3·(k －2)＋…＋(k －2)·3＋(k －1)·2＋k ·1＝16k (k ＋1)(k ＋2)．当n ＝k ＋1时，则1·(k ＋1)＋2·k ＋3·(k －1)＋…＋(k －1)·3＋k ·2＋(k ＋1)·1＝1·k ＋2·(k －1)＋…＋(k －1)·2＋k ·1＋[1＋2＋3＋…＋k ＋(k ＋1)]＝16k (k ＋1)(k ＋2)＋12(k ＋1)(k ＋2)＝16(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)，即当n ＝k ＋1时结论也成立．综合上述，可知结论对一切n ∈N *都成立．点评：一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，有如下步骤：(1)证明当n 取第一个值n 0时命题成立；(2)假设当n ＝k (k ≥n 0，k 为自然数)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立．提出问题：是否存在常数a ，b 使等式1·n ＋2·(n －1)＋3·(n －2)＋…＋(n －2)·3＋(n －1)·2＋n ·1＝16n (n ＋a )(n ＋b )对一切自然数n 都成立，并证明你的结论．活动设计：引导学生适当改变题目的条件和结论，进行一题多变，学生自己设计题目进行研究，对于数学归纳法不应只满足于证明现成的结论，更应当认真思考结论是如何得到的；归纳推理常起到重要的作用是：“归纳—猜想—证明”是由特殊到一般的重要思维方法．活动结果：令n ＝1，得1＝16(1＋a )(1＋b )，令n ＝2，得4＝26(2＋a )(2＋b )，整理得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋a ＋b ＝5，ab ＋2(a ＋b )＝8.解得a ＝1，b ＝2. 数学归纳法证明过程见“变练演编”中的例题．设计意图通过本题发现，探索性命题的解题思路是：从给出的条件出发，通过观察、实验、归纳、猜想，探索出结论，然后再对归纳猜想的结论进行证明．达标检测1．下面说法正确的个数有( )①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论一定是正确的；③演绎推理的一般形式是“三段论”形式；④演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式无关．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．若a ，b ，c 是不全相等的实数，求证：a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ca .证明过程如下：∵a ，b ，c ∈R ，∴a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，又∵a ，b ，c 不全相等，∴以上三式至少有一个“＝”不成立，∴将以上三式相加得2(a 2＋b 2＋c 2)>2(ab ＋bc ＋ac )，∴a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ca .此证法是( )A ．分析法B ．综合法C ．分析法与综合法并用D ．反证法3．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n (2n 2＋1)3时，由n ＝k 的假设到证明n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是( )A ．(k ＋1)2＋2k 2B ．(k ＋1)2＋k 2C ．(k ＋1)2 D. 13(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1] 【答案】1.B 2.B 3.B课堂小结1．知识收获：(1)合情推理与演绎推理；(2)直接证明与间接证明；(3)数学归纳法．2．方法收获：(1)推理的三种基本方法：归纳推理、类比推理、演绎推理；(2)证明问题的三种基本方法：综合法、分析法、反证法；(3)用数学归纳法证明与自然数有关的命题．3．思维收获：学会使用日常学习和生活中经常使用的思维方法，感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，并养成言之有理，论证有据的好习惯．布置作业本章复习参考题A 组第5题、第7题．补充练习基础练习1．如果数列{a n }是等差数列，则( )A ．a 1＋a 8<a 4＋a 5B ．a 1＋a 8＝a 4＋a 5C ．a 1＋a 8>a 4＋a 5D ．a 1a 8＝a 4a 52．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2 007(x )等于( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x3．设a ，b ，c 大于0，则3个数：a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a的值( ) A ．都大于2B ．至少有一个不大于2C ．都小于2D ．至少有一个不小于24．已知f (x ＋1)＝2f (x )f (x )＋2，f (1)＝1(x ∈N *)，猜想f (x )的表达式为( ) A ．f (x )＝42x ＋2 B ．f (x )＝2x ＋1C ．f (x )＝1x ＋1D ．f (x )＝22x ＋1【答案】1.B 2.D 3.D 4.B拓展练习5．已知数列{a n }满足S n ＋a n ＝2n ＋1，(1)写出a 1，a 2，a 3，并推测a n 的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论．解：(1)a 1＝32，a 2＝74，a 3＝158，猜测a n ＝2－12n . (2)①由(1)已得当n ＝1时，命题成立；②假设n ＝k 时，命题成立，即a k ＝2－12k ，当n ＝k ＋1时，a 1＋a 2＋…＋a k ＋a k ＋1＋a k ＋1＝2(k ＋1)＋1，且a 1＋a 2＋…＋a k ＝2k ＋1－a k ，∴2k ＋1－a k ＋2a k ＋1＝2(k ＋1)＋1＝2k ＋3.∴2a k ＋1＝2＋2－12k ，a k ＋1＝2－12k ＋1，即当n ＝k ＋1时，命题成立．根据①②得n ∈N *，a n ＝2－12n 成立．设计说明设计思想：通过基础知识填空，帮助学生回顾基本概念、定理和相关结论，通过典型示例总结本章的基本题型和方法；通过练习和作业加深对概念的理解和应用的熟练性．设计意图：由于本章概念多、理论性较强，通过基础知识填空，帮助学生准确记忆相关概念，并形成本章的知识网络；通过典型示例教学总结题型和方法，熟练相关题型的解题步骤和准确规范的表述；教学中不要急于求成，而应在后续的教学中经常借助这些概念表达、阐述和分析．设计特点：从学生的认知基础出发结合具体的题型和方法，加深概念理解的同时，熟练相关方法的应用，同时在应用新知的过程中，将所学的知识条理化，使自己的认知结构更趋合理．。

高中数学选修《合情推理与演绎推理》教案

高中数学选修《合情推理与演绎推理》教案第一章：合情推理概述1.1 推理的定义与分类引导学生理解推理的定义介绍合情推理与演绎推理的区别与联系举例说明合情推理在数学中的应用1.2 合情推理的方法介绍归纳推理、类比推理、归纳猜想等合情推理方法通过具体例子讲解各种合情推理方法的步骤与特点引导学生掌握合情推理的方法并能够运用到实际问题中第二章：演绎推理的基本形式2.1 演绎推理的定义与特点引导学生理解演绎推理的定义与特点强调演绎推理的逻辑严密性与结论的必然性2.2 演绎推理的基本形式介绍演绎推理的三段论形式及其结构引导学生理解假言推理、选言推理等演绎推理的基本形式通过例题讲解各种演绎推理形式的应用与解题步骤第三章：演绎推理的应用3.1 演绎推理在数学证明中的应用引导学生理解演绎推理在数学证明中的重要性通过具体例子讲解演绎推理在证明题中的应用与步骤3.2 演绎推理在解决实际问题中的应用介绍演绎推理在解决实际问题中的应用范围与方法通过具体例子讲解演绎推理在实际问题解决中的步骤与技巧第四章：合情推理与演绎推理的综合应用4.1 合情推理与演绎推理的综合案例分析提供综合案例，要求学生运用合情推理与演绎推理的方法进行分析与解答引导学生理解合情推理与演绎推理在不同情境下的作用与重要性4.2 合情推理与演绎推理的综合练习提供综合练习题目，要求学生运用合情推理与演绎推理的方法进行解答引导学生通过练习巩固合情推理与演绎推理的知识与技能第五章：推理能力培养5.1 推理能力的培养方法介绍推理能力的培养方法与技巧引导学生掌握推理能力的培养方法并能够运用到实际学习中5.2 推理能力的学习与应用提供推理能力的学习与应用题目，要求学生进行练习与解答引导学生通过练习与应用提高自己的推理能力并能够运用到实际问题中第六章：数学归纳法与合情推理6.1 数学归纳法的概念与步骤介绍数学归纳法的定义与基本步骤通过具体例子讲解数学归纳法的应用与解题技巧6.2 数学归纳法在合情推理中的应用引导学生理解数学归纳法在合情推理中的作用与重要性提供合情推理题目，要求学生运用数学归纳法进行解答与证明第七章：演绎推理与数学证明7.1 演绎推理在数学证明中的作用强调演绎推理在数学证明中的重要性通过具体例子讲解演绎推理在数学证明中的应用与步骤7.2 演绎推理在证明题中的综合应用提供证明题目，要求学生运用演绎推理的方法进行解答与证明引导学生通过练习巩固演绎推理在数学证明中的知识与技能第八章：逻辑推理与演绎推理8.1 逻辑推理的基本概念介绍逻辑推理的定义与基本概念强调逻辑推理在演绎推理中的重要性8.2 逻辑推理在演绎推理中的应用提供演绎推理题目，要求学生运用逻辑推理的方法进行解答与证明引导学生通过练习与应用提高逻辑推理在演绎推理中的能力第九章：演绎推理与问题解决9.1 演绎推理在问题解决中的作用强调演绎推理在问题解决中的重要性通过具体例子讲解演绎推理在问题解决中的应用与步骤9.2 演绎推理在实际问题解决中的综合应用提供实际问题题目，要求学生运用演绎推理的方法进行解答与解决引导学生通过练习与应用提高演绎推理在问题解决中的能力第十章：总结与提高10.1 合情推理与演绎推理的总结对本课程的合情推理与演绎推理进行总结与回顾强调合情推理与演绎推理在数学学习与问题解决中的重要性10.2 推理能力的进一步提高提供推理能力提高的练习与题目，要求学生进行解答与实践引导学生通过练习与实践不断提高自己的推理能力，并能够运用到实际学习中。

高中数学第二章推理与证明全章归纳总结新人教A版选修1-2

第二章推理与证明2.1.1 合情推理与演绎推理(1)归纳推理【要点梳理】1、从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为任何推理包括和两个部分。

是推理所依据的命题，它告诉我们是什么，是根据前提推得的命题，它告诉我们是什么。

2、从个别事实中推演车一般性的结论的推理通常称为，它的思维过程是3、归纳推理有如下特点（1）归纳推理的前提是几个已知的现象，归纳所得的结论是尚属未知的现象，该结论超越了前提所包含的范围。

（2）由归纳推理得到的结论具有的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，它作为数学证明的工具。

（填“能”或“不能”）（3）归纳推理是一种具有的推理，通过归纳法得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。

【指点迷津】1、运用归纳推理的一般步骤是什么？首先，通过观察特例发现某些相似性（特例的共性或一般规律）；然后，把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题（猜想）；然后，对所得的一般性命题进行检验。

2、在数学上，检验的标准是什么？标准是是否能进行严格的证明。

3、归纳推理的一般模式是什么？S 1具有P ；S 2具有P ；……；S n 具有P （S 1、S 2、…、S n 是A 类事件的对象）所以A 类事件具有P【典型例题】例1、设N n x f x f x f x f x f x f x x f n n ∈'='='==-),()(,),()(),()(,sin )(112010 ，则)()(2005=x fA 、x sinB 、x sin -C 、x cosD 、x cos - 【解析】：,cos )(sin )(1x x x f ='=)()()(sin )(cos )()(cos )(sin )(sin )cos ()(cos )sin ()(sin )(cos )(42615432x f x f x f x x x f x f x x x f xx x f xx x f x x x f n n ====-='==='=='-=-='-=-='=+故可猜测)(x f n 是以4为周期的函数，有x x f x f x f n n sin )(,cos )1()(2414-===++xf x f x x f n n sin )4()(cos )(4434==-=++故选C【点评】归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，是人们在日常活动和科学学习研究中经常使用的一种推理方法，必须认真学习领会，在归纳推理的过程中，应注意所探求的事物或现象的本质属性和因果关系。

合情推理与演绎推理

考点演练
10. (2010·衡水模拟)设函数f(x)= ,利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，求f(-5)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)的值.
解析：由题意知: f(x)+f(1-x)= ∴f(-5)+…+f(0)+…+f(6)=[f(-5)+f(6)]+[f(-4)+f(5)]+[f(-3)+f(4)]+[f(-2)+f(3)]+[f(-1)+f(2)]+[f(0)+f(1)]= .
举一反三
解析: ,…，猜想： .
题型二类比推理【例2】类比实数的加法和向量的加法，列出它们相似的运算性质. 分析实数的加法所具有的性质，如结合律、交换律等，都可以和向量加以比较.
从运算律的角度考虑，它们都满足交换律和结合律,
解析:（1）在空间中与定点距离等于定长的点的集合是球; （2）空间中不共面的4个点确定一个球; （3）球的表面积与体积可求; （4）在空间直角坐标系中，以点(x0,y0,z0)为球心，r为半径的球的方程为（x-x0）2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2.
（1）平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆; （2）平面内不共线的3个点确定一个圆；（3）圆的周长和面积可求; （4）在平面直角坐标系中,以点（x0,y0）为圆心，r为半径的圆的方程为（x-x0）2+(y-y0)2=r2.
解析: (1)f(5)=1+3+5+7+9+7+5+3+1=41, f(6)=1+3+5+7+9+11+9+7+5+3+1=61. (2)因为f(2)-f(1)=3+1=4,f(3)-f(2)=5+3=8, f(4)-f(3)=7+5=12,…,归纳得f(n)-f(n-1)=4(n-1),则f(n+1)-f(n)=4n. f(n)=[f(n)-f(n-1)]+[f(n-1)-f(n-2)]+…+[f(2)-f(1)]+f(1) =4[(n-1)+(n-2)+…+2+1]+1 =

人教A版高中数学选修一第二章推理与证明答案.docx

第二章合情推理与演绎推理答案 2.1.1 合情推理与演绎推理(1)1、d n a a n )1(1-+=2、B3、A4、()nn n n )1(1169411+-++-+-+Λ 5、θθθn cos 23cos 22cos 2 6、V+F —E=2 7、解：9)5(,5)4(,2)3(,0)2(====f f f f可以归纳出每增加一条直线，交点增加的个数为原有直线的条数 4)4()5(,3)3()4(,2)2()3(=-=-=-∴f f f f f f 猜测得出1)1()(-=--n n f n f 有)1(432)2()(-++++=-n f n f Λ)2)(1(21)(-+=∴n n n f 因此)2)(1(21)(,5)4(-+==n n n f f8、解：4211223⨯=432212233⨯=+44332122333⨯=++4544321223333⨯=+++()414321223333+=+++++n n Λ由此可以有求和的一般公式为()414321223333+=+++++n n Λ2.1.2合情推理与演绎推理(2)1、C2、D3、D4、类比5、（1）圆柱面（2）两个平行平面6、()()()x C x S x S 22= ()()()()()y S x C y C x S y x S +=+7、在等比数列{}n a 中，若q p n m +=+，()*,,,Nq p n m ∈，则q p n ma a a a⋅=⋅8、（1）（平面）在平行四边形中，对角线互相平分；（立体）在平行六面体中，对角线相交于同一点，且在这一点互相平分；（2）（平面）在平行四边形中，各对角线长的平方和等于各边长的平方和；（立体）在平行六面体中，各对角线长的平方和等于各棱长的平方和；（3）（平面）圆面积等于圆周长与半径之积的1/2；（立体）球体积等于球面积与半径之积的1/3；（4）（平面）正三角形外接圆半径等于内切圆半径的2倍，（立体）正四面体的外接球半径等于内切球半径的3倍。

人教版数学高二数学A版选修1-2 第二章《推理与证明》教辅资料

满足y=x 2,则log 2(22)x y +的最小值是78；④若a 、b ∈R ，则221a b ab a b +++>+。

其中正确的是（）。

(A) ①②③ (B) ①②④ (C) ②③④ (D) ①②③④解析用综合法可得应选（B ）例2 函数y ＝f （x ）在（0，2）上是增函数，函数y=f(x+2)是偶函数，则f(1),f(2.5),f(3.5)的大小关系是 .解析∵函数y ＝f （x ）在（0，2）上是增函数， ∴ 0＜x+2＜2即-2＜x ＜0∴函数y=f(x+2) 在（-2，0）上是增函数，又∵函数y=f(x+2)是偶函数，∴函数y=f(x+2) 在（0，2）上是减函数由图象可得f(2.5)>f(1)>f(3.5)故应填f(2.5)>f(1)>f(3.5)例3 已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证3>-++-++-+ccb a b bc a a a c b解析∵ a ，b ，c 全不相等∴ a b 与b a ，a c 与c a ，b c 与c b 全不相等。

∴ 2，2，2b a c a c ba b a c b c+>+>+>三式相加得6b c c a a ba ab bc c+++++>∴ (1)(1)(1)3b c c a a ba ab bc c+-++-++->即 3b c a a c b a b c a b c+-+-+-++>练习一、选择题1．如果数列{}n a 是等差数列，则（）。

（A ）1845a a a a +<+ （B ） 1845a a a a +=+ （C ）1845a a a a +>+ （D ）1845a a a a =2．在△ABC 中若b=2asinB 则A 等于( )(A)06030或 (B)06045或 (C)0012060或 (D)0015030或 3．下面的四个不等式：①ca bc ab c b a ++≥++222；②()411≤-a a ；③2≥+abb a ；④()()()22222bd ac d c b a +≥+•+.其中不成立的有（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个二、填空题4．已知 5,2==b a ，向量b a 与的夹角为0120，则a b a ．)2(-=5. 如图，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1—ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足n，n证明：如图，连接BD ，∵在△ABC 中，BE=CE DF=CF ∴E F ∥BD又BD ⊂平面ABD ∴BD ∥平面ABD7．解：∵f(x-4)=f(2-x)，∴函数的图象关于x= -1对称 ∴12-=-ab即b =2a 由③知当x = 1时,y=0，即ab +c =0；由①得 f (1)≥1，由②得 f (1)≤1. ∴f (1)=1，即a +b +c =1，又ab +c =0 ∴a =41 b =21 c =41 ，∴f (x )=4121412++x x 假设存在t ∈R ，只要x ∈[1,m ]，就有f (x +t )≤x 取x =1时，有f (t +1)≤1⇒41(t +1)2+21(t +1)+41≤1⇒-4≤t ≤0 对固定的t ∈[-4,0]，取x =m ，有f (t +m )≤m ⇒41(t +m )2+21(t +m )+41≤m ⇒2m +2(t-1)m +(t 2+2t +1)≤0 ⇒t t 41---≤m ≤t t 41-+- ∴m ≤t t 41--≤)4(4)4(1-⋅-+--=9当t = -4时，对任意的x ∈[1,9]，恒有f(x-4)≤x ⇒41(2x -10x +9)=41(x-1)(x-9)≤0∴m 的最大值为9.解法二：∵f (x -4)=f (2-x )，∴函数的图象关于x =-1对称 ∴ 12-=-abb =2a 由③知当x=1时,y=0，即a b +c =0；由①得 f (1)≥1，由②得 f (1)≤1∴f (1)=1，即a +b +c =1，a b +c =0∴a =41 b =21 c =41∴f (x )=4121412++x x =41(x +1)2由f (x +t )=41(x +t +1)2≤x 在x ∈[1,m ]上恒成立 ∴4[f (x +t )-x ]=x 2+2(t -1)x +(t +1)2≤0当x ∈[1,m ]时，恒成立令 x =1有t 2+4t ≤0⇒-4≤t ≤0令x =m 有t 2+2(m +1)t +(m -1)2≤0当t ∈[-4,0]时，恒有解令t = -4得，2m - 10m +9≤0⇒1≤m ≤9 即当t = -4时，任取x ∈[1,9]恒有f (x -4)-x =41(2x -10x +9)=41(x-1)(x-9)≤0 ∴ m max =92．2直接证明2．2．1 综合法一、选择题（1）由等差数列的性质：若m+n=p+q 则q p n m a a a a +=+可知应填（B ）。

《合情推理与演绎推理--归纳推理》【一等奖教案】 doc1

课题：合情推理（一）——归纳推理课时安排：一课时课型：新授课教学目标：1、通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理这种基本的分析问题法，认识归纳推理的基本方法与步骤，并把它们用于对问题的发现与解决中去。

2.归纳推理是从特殊到一般的推理方法，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。

教学重点：了解合情推理的含义，能利用归纳进行简单的推理。

教学难点：用归纳进行推理，做出猜想。

教学过程：一、课堂引入：从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理。

见书上的三个推理案例，回答几个推理各有什么特点？都是由“前提”和“结论”两部分组成，但是推理的结构形式上表现出不同的特点，据此可分为合情推理与演绎推理二、新课讲解：1、蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。

蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬行动物，所有的爬行动物都是用肺呼吸的。

2、三角形的内角和是180︒，凸四边形的内角和是360︒，凸五边形的内角和是540︒ 由此我们猜想：凸边形的内角和是(2)180n -⨯︒3、221222221,,,331332333+++<<<+++，由此我们猜想：a a m b b m +<+（,,a b m 均为正实数）这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理.(简称：归纳)归纳推理的一般步骤：⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳整理； ⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想； ⑶ 检验猜想。

三、例题讲解：例1已知数列{}n a 的通项公式21()(1)n a n N n +=∈+，12()(1)(1)(1)n f n a a a =--⋅⋅⋅-，试通过计算(1),(2),(3)f f f 的值，推测出()f n 的值。

归纳与技巧：合情推理与演绎推理(含解析)

归纳与技巧：合情推理与演绎推理基础知识归纳一、合情推理二、演绎推理1．定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．2．特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．3．模式：三段论．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：基础题必做1．(教材习题改编)命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是()A．使用了归纳推理B ．使用了类比推理C ．使用了“三段论”，但推理形式错误D ．使用了“三段论”，但小前提错误解析：选C 由条件知使用了三段论，但推理形式是错误的． 2．数列2,5,11,20，x,47，…中的x 等于( ) A ．28 B ．32 C ．33D ．27解析：选B 由5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9. 则x －20＝12，因此x ＝32.3．(教材习题改编)给出下列三个类比结论． ①(ab )n ＝a n b n 与(a ＋b )n 类比，则有(a ＋b )n ＝a n ＋b n ；②log a (xy )＝log a x ＋log a y 与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β； ③(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2与(a ＋b )2类比，则有(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. 其中结论正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选B 只有③正确．4．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：V 1V 2＝13S 1h113S 2h 2＝⎝⎛⎭⎫S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18.答案：1∶8 5．观察下列不等式 1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74 ……照此规律，第五个不等式为___________________________________________________．解析：观察得出规律，左边为项数个连续自然数平方的倒数和，右边为项数的2倍减1的差除以项数，即1＋122＋132＋142＋152＋…＋1n 2<2n －1n(n ∈N *，n ≥2)，所以第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<116.答案：1＋122＋132＋142＋152＋162<116解题方法归纳1.合情推理主要包括归纳推理和类比推理，合情推理具有猜测和发现结论，探索和提供思路的作用．合情推理的结论可能为真，也可能为假，结论的正确性有待于进一步的证明．2．应用三段论解决问题时，应首先明确什么是大前提，什么是小前提，如果大前提、小前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的．如果大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的．归纳推理典题导入[例1]已知函数f(x)＝xx＋2(x＞0)．如下定义一列函数：f1(x)＝f(x)，f2(x)＝f(f1(x))，f3(x)＝f(f2(x))，…，f n(x)＝f(f n－1(x))，…，n∈N*，那么由归纳推理可得函数f n(x)的解析式是f n(x)＝________.[自主解答]依题意得，f1(x)＝xx＋2，f2(x)＝xx＋2xx＋2＋2＝x3x＋4＝x(22－1)x＋22，f3(x)＝x3x＋4x3x＋4＋2＝x7x＋8＝x(23－1)x＋23，…，由此归纳可得f n(x)＝x(2n－1)x＋2n(x＞0)．[答案]x(2n－1)x＋2n(x＞0)解题方法归纳1．归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围．2．归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的．[注意] 归纳推理所得结论未必正确，有待进一步证明，但对数学结论和科学的发现很有用．以题试法1．将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为( )13 5 79 11 13 15 1719 21 23 25 27 29 31… … …A ．809B ．852C ．786D ．893解析：选A 前20行共有正奇数1＋3＋5＋…＋39＝202＝400个，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是2×405－1＝809.类比推理典题导入[例2] 在平面几何里，有“若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c 内切圆半径为r ，则三角形面积为S △ABC ＝12(a ＋b ＋c )r ”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体 ABCD 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为r ，则四面体的体积为________________”．[自主解答] 三角形的面积类比为四面体的体积，三角形的边长类比为四面体四个面的面积，内切圆半径类比为内切球的半径．二维图形中12类比为三维图形中的13，得V 四面体ABCD＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r . [答案] V 四面体ABCD ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r解题方法归纳1．类比推理是由特殊到特殊的推理，命题有其特点和求解规律，可以从以下几个方面考虑类比：类比定义、类比性质、类比方法、类比结构．2．类比推理的一般步骤：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．以题试法2．若{a n }是等差数列，m 、n 、p 是互不相等的正整数，则有：(m －n )a p ＋(n －p )a m ＋(p －m )a n ＝0，类比上述性质，相应地，对等比数列{b n }，有__________________．解析：设{b n }的首项为b 1，公比为q ，则b m －n p·b n －p m ·b p －mn ＝(b 1q p －1)m －n ·(b 1q m －1)n －p ·(b 1q n －1)p－m＝b 01·q 0＝1. 答案：b m －n p·b n －p m ·b p －mn ＝1演绎推理典题导入[例3] 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ∈N *)．证明： (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .[自主解答] (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ，∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . 故S n ＋1n ＋1＝2·S nn ，(小前提)故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以2为公比，1为首项的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)， ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)．(小前提)又∵a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)解题方法归纳演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略．以题试法3.如图所示，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 上的点，∠BFD ＝∠A ，且DE ∥BA .求证：ED ＝AF (要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论，并最终把推理过程用简略的形式表示出来)．证明：(1)同位角相等，两条直线平行，(大前提) ∠BFD 与∠A 是同位角，且∠BFD ＝∠A ，(小前提) 所以DF ∥EA .(结论)(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提) DE ∥BA 且DF ∥EA ，(小前提)所以四边形AFDE 为平行四边形．(结论) (3)平行四边形的对边相等，(大前提) ED 和AF 为平行四边形的对边，(小前提) 所以ED ＝AF .(结论) 上面的证明可简略地写成：⎭⎪⎬⎪⎫∠BFD ＝∠A ⇒DF ∥EA DE ∥BA ⇒四边形AFDE 是平行四边形⇒ED ＝AF .1．推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③三角形不是矩形”中的小前提是( )A ．①B ．②C ．③D ．①和②解析：选B 由演绎推理三段论可知，①是大前提；②是小前提；③是结论．故选B. 2．正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确解析：选C 因为f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确.3．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体P －ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝( )A.18B.19C.164D.127解析：选D 正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故V 1V 2＝127.4．给出下面类比推理(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)：①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“a ，c ∈C ，则a －c ＝0⇒a ＝c ”； ②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出“a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；③“a ，b ∈R ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”； ④“若x ∈R ，则|x |＜1⇒－1＜x ＜1”类比推出“若z ∈C ，则|z |＜1⇒－1＜z ＜1”．其中类比结论正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 类比结论正确的有①②.5．观察如图所示的正方形图案，每条边(包括两个端点)有n (n ≥2，n ∈N *)个圆点，第n 个图案中圆点的总数是S n .按此规律推断出S n 与n 的关系式为( )A ．S n ＝2nB ．S n ＝4nC ．S n ＝2nD ．S n ＝4n －4解析：选D 由n ＝2，n ＝3，n ＝4的图案，推断第n 个图案是这样构成的：各个圆点排成正方形的四条边，每条边上有n 个圆点，则圆点的个数为S n ＝4n －4.6．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )A ．设数列{a n }的前n 项和为S n .由a n ＝2n －1，求出S 1＝12，S 2＝22，S 3＝32，…，推断：S n ＝n 2B ．由f (x )＝x cos x 满足f (－x )＝－f (x )对∀ x ∈R 都成立，推断：f (x )＝x cos x 为奇函数C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积S ＝πr 2，推断：椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的面积S ＝πabD ．由(1＋1)2＞21，(2＋1)2＞22，(3＋1)2＞23，…，推断：对一切n ∈N *，(n ＋1)2＞2n 解析：选A 选项A 由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{a n }是等差数列，其前n 项和等于S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2，选项D 中的推理属于归纳推理，但结论不正确．因此选A.7．设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为________．解析：由前四个式子可得，第n 个不等式的左边应当为f (2n )，右边应当为n ＋22，即可得一般的结论为f (2n )≥n ＋22.答案：f (2n )≥n ＋228 观察下列等式1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此规律，第n 个等式为________．解析：每行最左侧数分别为1、2、3、…，所以第n 行最左侧的数为n ；每行数的个数分别为1、3、5、…，则第n 行的个数为2n －1.所以第n 行数依次是n 、n ＋1、n ＋2、…、3n －2.其和为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.答案：n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)29．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O －LMN ，如果用S 1，S 2，S 3表示三个侧面面积，S 4表示截面面积，那么类比得到的结论是________．解析：将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S 21＋S 22＋S 23＝S 24.答案：S 21＋S 22＋S 23＝S 2410．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S ＝12×底×高；(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的12；……请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论．解：由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为： (1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积； (2)四面体的体积V ＝13×底面积×高；(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的14.11．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5.(1)求a 18的值；(2)求该数列的前n 项和S n .解：(1)由等和数列的定义，数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5，易知a 2n －1＝2，a 2n ＝3(n ＝1,2…)，故a 18＝3.(2)当n 为偶数时，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(a 1＋a 3＋…＋a n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a n ) ＝2＋2＋…＋2n 2个2＋3＋3＋…＋3n 2个3＝52n ；当n 为奇数时，S n ＝S n －1＋a n ＝52(n －1)＋2＝52n －12.综上所述：S n＝⎩⎨⎧52n ，n 为偶数，52n －12，n 为奇数.12．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．(1)求出f (5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式；(3)求1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1的值．解：(1)f (5)＝41.(2)因为f (2)－f (1)＝4＝4×1， f (3)－f (2)＝8＝4×2， f (4)－f (3)＝12＝4×3， f (5)－f (4)＝16＝4×4， …由上式规律，所以得出f (n ＋1)－f (n )＝4n . 因为f (n ＋1)－f (n )＝4n ，所以f (n ＋1)＝f (n )＋4n ， f (n )＝f (n －1)＋4(n －1) ＝f (n －2)＋4(n －1)＋4(n －2)＝f (n －3)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3) ＝…＝f (1)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4 ＝2n 2－2n ＋1. (3)当n ≥2时，1f (n )－1＝12n (n －1)＝12(1n －1－1n )， ∴1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1＝1＋12⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n＝1＋12⎝⎛⎭⎫1－1n ＝32－12n.1．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．199解析：选C 记a n ＋b n ＝f (n )，则f (3)＝f (1)＋f (2)＝1＋3＝4；f (4)＝f (2)＋f (3)＝3＋4＝7；f (5)＝f (3)＋f (4)＝11.通过观察不难发现f (n )＝f (n －1)＋f (n －2)(n ∈N *，n ≥3)，则f (6)＝f (4)＋f (5)＝18；f (7)＝f (5)＋f (6)＝29；f (8)＝f (6)＋f (7)＝47；f (9)＝f (7)＋f (8)＝76；f (10)＝f (8)＋f (9)＝123.所以a 10＋b 10＝123.2．对于命题：若O 是线段AB 上一点，则有|OB |·OA ＋|OA |·OB ＝0.将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，则有S △OBC ·OA ＋S △OCA ·OB ＋S △OBA ·OC ＝0，将它类比到空间情形应该是：若O 是四面体ABCD 内一点，则有________．解析：将平面中的相关结论类比到空间，通常是将平面中的图形的面积类比为空间中的几何体的体积，因此依题意可知若O 为四面体ABCD 内一点，则有V O －BCD ·OA ＋V O －ACD ·OB＋V O －ABD ·OC ＋V O －ABC ·OD ＝0.答案：V O －BCD ·OA ＋V O －ACD ·OB ＋V O －ABD ·OC ＋V O －ABC ·OD ＝03．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：(1)sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°；(2)sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°；(3)sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°；(4)sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°；(5)sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解：(1)选择(2)式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30° ＝1－14＝34. (2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34. 证明如下：法一：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α ＝34sin 2α＋34cos 2α ＝34. 法二：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos 2α2＋1＋cos (60°－2α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α) ＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.1．观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为( )A ．76B ．80C ．86D ．92解析：选B 由特殊到一般，先分别计算|x |＋|y |的值为1,2,3时，对应的(x ，y )的不同整数解的个数，再猜想|x |＋|y |＝n 时，对应的不同整数解的个数．通过观察可以发现|x |＋|y |的值为1,2,3时，对应的(x ，y )的不同整数解的个数为4,8,12，可推出当|x |＋|y |＝n 时，对应的不同整数解(x ，y )的个数为4n ，所以|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为80.2．已知如下等式：3－4＝17(32－42)， 32－3×4＋42＝17(33＋43)， 33－32×4＋3×42－43＝17(34－44)， 34－33×4＋32×42－3×43＋44＝17(35＋45)，则由上述等式可归纳得到3n －3n －1×4＋3n －2×42－…＋(－1)n 4n ＝________(n ∈N *)．解析：依题意及不完全归纳法得，3n －3n －1×4＋3n －2×42－…＋(－1)n 4n ＝17[3n ＋1－(－4)n ＋1]．答案：17[3n ＋1－(－4)n ＋1]。

高二《推理与证明》教学设计

课题：合情推理（一）归纳推理
教材：选修2-2 2.1 合情推理与演绎推理
授课教师：北京师范大学附属实验中学苏海燕
教学目标:
1．结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义.
2．能利用归纳进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用.
3．通过学生探索、归纳、总结的过程，使学生认识到数学既是演绎的科学，又是归纳的科学，合情推理有助于数学结论和数学证明的发现。

.
教学重点:利用归纳进行简单的推理
教学难点:归纳推理的基本方法，提高数学思维能力.
教学方法: 教师启发引导与学生自主探究、合作交流相结合.
教学用具: 计算机辅助教学.
教学过程:
,,猜想数列第
四边形的内角和是
，则称
这种“绝对差数列”的一些特征吗？
布置作业
、归纳推理是“由部分到整体，由个体到一般”的推理；。

202249合情推理与演绎推理一

合情推理与演绎推理( 合情推理与演绎推理(一)
数学有两个侧面，一方面，已严格地提出来的数数学有两个侧面，一方面，已严格地提出来的数学是一门系统的演绎科学，另一方面，学是一门系统的演绎科学，另一方面，在创造过程中的数学看来却象是一门实验性的归纳科学。的数学看来却象是一门实验性的归纳科学。 ──波利亚 ──波利亚甚至在数学里，甚至在数学里，发现真理的主要工具也是归纳和类比。类比。 ──拉普拉斯 ──拉普拉斯在数论中，由于意外的幸运颇为经常，所以用归在数论中，由于意外的幸运颇为经常，纳法可以萌发出极漂亮的新的真理。纳法可以萌发出极漂亮的新的真理。 ──高斯 ──高斯
歌德巴赫猜想( 歌德巴赫猜想(Goldbach Conjecture ): “任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和” 任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和” 任何一个不小于偶数＝奇质数＋即:偶数＝奇质数＋奇质数这是世界近代三大数学难题之一。这是世界近代三大数学难题之一。据说,这是哥德巴赫(德国中学教师) 据说,这是哥德巴赫(德国中学教师)无意中观察到，每个不小于6的偶数都是两个质数之和。观察到，每个不小于6的偶数都是两个质数之和。 12＝等等。公元1742 1742年如6＝3＋3，12＝5＋7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉(Euler) (Euler)，哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想: 任何一个不小于6的偶数，提出了以下的猜想: 任何一个不小于6的偶数，都可以表示成两个奇质数之和。都可以表示成两个奇质数之和。
合情推理与演绎推理( 合情推理与演绎推理(一)
名言引入哥德巴赫猜想
由著名猜想看归纳法学习并举例练习1 练习

合情推理与演绎推理推理案例

《合情推理与演绎推理》推理案例合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实践和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，其主要形式有归纳和类比．演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程．合情推理与演绎推理之间联系紧密，相辅相成，下面提供一个公式的推导过程，供同学们赏析，借此加深对两种推理的理解．例１设1()123S n n =++++，22222123S n =++++，已知1(1)()2n n S n +=，探求的一般公式．思路１：（归纳的方案）如表１所示，列举出的前几项，希望从中归纳出一般的结论．但是，从表１的数据中并没有发现明显的关系．这时我们可能会产生一个念头：与会不会有某种联系？如表2所示，进一步列举出的值，比较与，希望有所发现．观察了和的相应数据，并没有发现明显的联系．怎么办呢？尝试计算．终于在计算和的比时，发现“规律”了（表3）从表3中发现21()3S S n =，于是，猜想2(1)(21)()6n n n S n ++=． ① 公式①的正确性还需要证明．思考：上面的数学活动是由哪些环节构成的？在这个过程中提出了哪些猜想？提出猜想时使用了哪些推理方法？合情推理和演绎推理分别发挥什么作用？思路2：（演绎的方案）尝试用直接相加的方法求出自然数的平方和．（1）把中的各项表示出来，有1，2222(11)1211=+=+⨯+，2223(21)2221=+=+⨯+，2224(31)3231=+=+⨯+，22(1)2(1)1n n n =-+-+，左右两边分别相加，得2221()[()][2()2]S n S n n S n n n =-+-+，等号两边的被消去了，所以无法从中求出的值，尝试失败了！（2）从失败中汲取有用信息，进行新的尝试．前面的失败尝试还是有意义的，因为尽管我们没有求出，却求出了的表达式，即212(1)()22n n n n n S n +-+==．它启示我们：既然能用上面的方法求出，那么我们也应该可以用类似的方法求出．（3）尝试把两项和的平方公式改为两项和的立方公式．具体方法如下： 1，33322(11)131311=+=+⨯+⨯+，33323(21)232321=+=+⨯+⨯+，33324(31)333331=+=+⨯+⨯+，332(1)3(1)3(1)1n n n n =-+-+-+，左右两边分别相加，得323321()[()]3[()]3[()]S n S n n S n n S n n n =-+-+-+．由此知323212323()23(1)(21)()366n n n S n n n n n n n S n ++-++++===，终于导出了公式．思考：上面的数学活动是由哪些环节构成的？在这个过程中提出了哪些猜想？提出猜想时使用了哪些推理方法？合情推理和演绎推理分别发挥什么作用？。

【数学知识点】合情推理和演绎推理的区别

【数学知识点】合情推理和演绎推理的区别
合情推理是由特殊到一般或特殊到特殊的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理。

从推理的结论来看，合情推理的结论不一定正确有待证明；演绎推理得到的结论一定正确。

演绎推理是证明数学结论，建立数学体系的重要思维过程。

1、对应思想方法
对应是人们对两个集合因素之间的联系的一种思想方法，小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想。

如直线上的点（数轴）与表示具体的数是一一对应。

2、假设思想方法
假设是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量出现的矛盾，加以适当调整，最后找到正确答案的一种思想方法。

假设思想是一种有意义的想象思维，掌握之后可以使要解决的问题更形象、具体，从而丰富解题思路。

3、比较思想方法
比较思想是数学中常见的思想方法之一，也是促进学生思维发展的手段。

在教学分数应用题中，教师善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况，可以帮助学生较快地找到解题途径。

4、符号化思想方法
用符号化的语言（包括字母、数字、图形和各种特定的符号）来描述数学内容，这就是符号思想。

如数学中各种数量关系，量的变化及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式表达大量的信息。

如定律、公式、等。

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合情推理和演绎推理

合情推理和演绎推理
合情推理是在已有数据的基础上推断出有关行为结果的一种技能，是一种不完
全有效的推理形式，有时也称为模糊推理。

它着重于考虑其他因素的影响，以洞察个体行为的潜在诱因，并根据这些判断或找到最优解决方案。

而演绎推理是一种基于已有信息推断出结论的逻辑推理方法，通常使用这种推
理推测某事物的成因，或判断某个案例时，用这种方法洞察案例关键信息，把一切密切相关而且重要的事实综合起来，以作出正确的判断。

在现代市场竞争中，行业竞争实践者越来越重视合情推理与演绎推理的结合，
也正因此它们逐步成为竞争中一个关键的部分。

首先，合情推理帮助分析市场行为，识别消费者在某些市场上的活动，有助于情境分析，指导发展和市场定位。

其次，演绎推理帮助从现有的价值观中总结出前提和假设，从而指导发展战略，确定营销活动，精准发掘客户与市场的关系，结合行业的实际情况行动，确保行业的顺利运营。

另外，合情推理与演绎推理结合在一起，可以进一步提升竞争力，发现新型机会。

合情推理能够洞察出合理的情景模式，它能根据现实环境和关联事件推出更全面的市场状况，为企业把握发展的重点提供影响；而演绎推理能够洞察涉及的各种因素，进一步分析影响这些因素在不同市场的表现，从而了解市场发展趋势，把握投资机会。

总之，只有结合合情推理与演绎推理，企业才能有效地严格分析市场信息，把
握市场动态，建立更有效的市场细分体系，实现可持续竞争优势。

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