2.1.1 离散型随机变量
高中数学选修2-3 离散型随机变量导学案加课后作业及答案
§2.1.1 离散型随机变量【学习要求】1．理解随机变量及离散型随机变量的含义．2．了解随机变量与函数的区别与联系．【学法指导】引进随机变量的概念，就可以用数字描述随机现象，建立连接数和随机现象的桥梁，通过随机变量和函数类比，可以更好地理解随机变量的定义，随机变量是函数概念的推广.【知识要点】1．随机试验：一般地，一个试验如果满足下列条件：（1）试验可以在相同的情形下重复进行；（2）试验所有可能的结果是明确的，并且不只一个；（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验的结果会出现哪一个．这种试验就是一个随机试验．2．随机变量：在随机试验中，随着变化而变化的变量称为随机变量．3．离散型随机变量：所有取值可以的随机变量，称为离散型随机变量.【问题探究】探究点一随机变量的概念问题1掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1,2,3,4,5,6来表示，那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢？问题2随机变量和函数有类似的地方吗？例1下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？并说明理由．（1）上海国际机场候机室中2013年10月1日的旅客数量；（2）2013年某天济南至北京的D36次列车到北京站的时间；（3）2013年某天收看齐鲁电视台《拉呱》节目的人数；（4）体积为1 000 cm3的球的半径长．小结随机变量从本质上讲就是以随机试验的每一个可能结果为自变量的一个函数，即随机变量的取值实质上是试验结果对应的数，但这些数是预先知道所有可能的值，而不知道究竟是哪一个值．跟踪训练1指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．（1）某人射击一次命中的环数；（2）任意掷一枚均匀硬币5次，出现正面向上的次数；（3）投一颗质地均匀的骰子两次出现的点数(最上面的数字)中的最小值；（4）某个人的属相．探究点二离散型随机变量的判定问题1什么是离散型随机变量？问题2非离散型随机变量和离散型随机变量有什么区别？例2①某座大桥一天经过的中华牌轿车的辆数为ξ；②某网站中歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数为ξ；③一天内的温度为ξ；④射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用ξ表示该射手在一次射击中的得分．上述问题中的ξ是离散型随机变量的是()A．①②③④B．①②④C．①③④D．②③④小结该题主要考查离散型随机变量的定义，判断时要紧扣定义，看是否能一一列出．跟踪训练2指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．（1）白炽灯的寿命ξ；（2）某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ；（3）江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ；（4）一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数．探究点三离散型随机变量的应用例3（1）一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1,2,3,4,5.现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ.写出随机变量ξ可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．（2）抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问：“ξ>4”表示的试验结果是什么？小结解答此类问题的关键在于明确随机变量的所有可能的取值，以及其取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些试验结果．跟踪训练3下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示？若能，请写出各随机变量可能的取值并说明这些值所表示的随机试验的结果．（1）盒中装有6支白粉笔和2支红粉笔，从中任意取出3支，其中所含白粉笔的支数ξ，所含红粉笔的支数η.（2）从4张已编有1～4的卡片中任意取出2张，被取出的卡片号数之和ξ.（3）离开天安门的距离η.（4）袋中有大小完全相同的红球5个，白球4个，从袋中任意取出一球，若取出的球是白球，则过程结束；若取出的球是红球，则将此红球放回袋中，然后重新从袋中任意取出一球，直至取出的球是白球，此规定下的取球次数ξ.【当堂检测】1．下列变量中，不是随机变量的是()A．一射击手射击一次命中的环数B．标准状态下，水沸腾时的温度C．抛掷两枚骰子，所得点数之和D．某电话总机在时间区间(0，T)内收到的呼叫次数2．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是()A．取到产品的件数B．取到正品的概率C．取到次品的件数D．取到次品的概率3．抛掷2枚骰子，所得点数之和记为ξ，那么“ξ＝4”表示的随机试验的结果是()A．2枚都是4点B．1枚是1点，另1枚是3点C．2枚都是2点D．1枚是1点，另1枚是3点，或者2枚都是2点4．一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6.现从中随机取出2个球，以ξ表示取出的球的最大号码，则“ξ＝6”表示的试验结果是___________________．【课堂小结】1．所谓的随机变量就是试验结果和实数之间的一个对应关系，随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应于随机试验的某一个随机事件．2．写随机变量表示的结果，要看三个特征：（1）可用数来表示；（2）试验之前可以判断其可能出现的所有值；（3）在试验之前不能确定取值.【课后作业】一、基础过关1．袋中有2个黑球6个红球，从中任取两个，可以作为随机变量的是() A．取到的球的个数B．取到红球的个数C．至少取到一个红球D．至少取到一个红球的概率2．①某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X；②某人射击2次，击中目标的环数之和记为X；③测量一批电阻，在950 Ω～1 200 Ω之间的阻值记为X；④一个在数轴上随机运动的质点，它在数轴上的位置记为X.其中是离散型随机变量的是()A．①②B．①③C．①④D．①②④3．袋中装有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，现在在有放回取出的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是()A．5 B．9C．10 D．254．某人射击的命中率为p(0<p<1)，他向一目标射击，当第一次射中目标则停止射击，射击次数的取值是()A．1,2,3，…，n B．1,2,3，…，n，…C．0,1,2，…，n D．0,1,2，…，n，…5．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是()A．第5次击中目标B．第5次未击中目标C．前4次均未击中目标D．第4次击中目标6．一木箱中装有8个同样大小的篮球，编号为1,2,3,4,5,6,7,8，现从中随机取出3个篮球，以ξ表示取出的篮球的最大号码，则ξ＝8表示的试验结果有________种．二、能力提升7．如果X是一个离散型随机变量且η＝aX＋b，其中a，b是常数且a≠0，那么η() A．不一定是随机变量B．一定是随机变量，不一定是离散型随机变量C．一定是连续型随机变量D．一定是离散型随机变量8．在8件产品中，有3件次品，5件正品，从中任取一件，取到次品就停止，抽取次数为ξ，则ξ＝3表示的试验结果是__________________9．在一次考试中，某位同学需回答三个问题，考试规则如下：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则这名同学回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是________．10．一用户在打电话时忘记了最后3个号码，只记得最后3个数两两不同，且都大于5.于是他随机拨最后3个数(两两不同)，设他拨到正确号码的次数为X，随机变量X的可能值有________个．11．设一汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯，ξ表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数，写出ξ所有可能取值并说明这些值所表示的试验结果．12．某车间两天内每天生产10件某产品，其中第一天、第二天分别生产了1件、2件次品，而质检部门每天要在生产的10件产品中随机抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过．若厂内对车间生产的产品采用记分制，两天全不通过检查得0分，通过一天、两天分别得1分、2分，设该车间在这两天内总得分为ξ，写出ξ的可能取值．三、探究与拓展13．小王钱夹中只剩有20元、10元、5元、2元和1元的人民币各一张．他决定随机抽出两张，用来买晚餐，用X表示这两张金额之和．写出X的可能取值，并说明所取值表示的随机试验结果§2.1.2离散型随机变量的分布列(一)【学习要求】1．在对具体问题的分析中，理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念．认识分布列对于刻画随机现象的重要性．2．掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质．【学法指导】离散型随机变量的分布列可以完全描述随机变量所刻画的随机现象，利用分布列可以计算随机变量所表示的事件的概率.【知识要点】1．定义：一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，x i，…，x n，X取每一个值x i (i＝1,2，…，n)的概率此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的．2．离散型随机变量的分布列的性质：（1）p i 0，i ＝1,2,3，…，n ；（2）∑ni ＝1p i ＝ .【问题探究】探究点一 离散型随机变量的分布列的性质问题1 对于一个随机试验，仅知道试验的可能结果是不够的，还要能把握每一个结果发生的概率．请问抛掷一枚骰子，朝上的一面所得点数有哪些值？取每个值的概率是多少？问题2 离散型随机变量X 的分布列刻画的是一个函数关系吗？有哪些表示法？ 问题3 离散型随机变量的分布列有哪些性质？例1 设随机变量X 的分布列P ⎝⎛⎭⎫X ＝k5＝ak (k ＝1,2,3,4,5)． （1）求常数a 的值； （2）求P ⎝⎛⎭⎫X ≥35； （3）求P ⎝⎛⎭⎫110<X <710. 小结 离散型随机变量的分布列的性质可以帮助我们求题中参数a ，然后根据互斥事件的概率加法公式求得概率．跟踪训练1 （1试说明该同学的计算结果是否正确．（2）设ξ①求q 的值；②求P (ξ<0)，P (ξ≤0)．探究点二 求离散型随机变量的分布列例2 将一颗骰子掷两次，求两次掷出的最大点数ξ的分布列．小结 （1）求离散型随机变量的分布列关键是搞清离散型随机变量X 取每一个值时对应的随机事件，然后利用排列、组合知识求出X 取每个值的概率，最后列出分布列．（2）求离散型随机变量X 的分布列的步骤是：首先确定X 的所有可能的取值；其次，求相应的概率P (X ＝x i )＝p i ；最后列成表格的形式．跟踪训练2 将一颗骰子掷2次，求下列随机事件的分布列． （1）两次掷出的最小点数Y ；（2）第一次掷出的点数减去第二次掷出的点数之差ξ.【当堂检测】1．下列表中可以作为离散型随机变量的分布列的是( )ABCD2．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝i )＝a ⎝⎛⎭⎫13i，i ＝1,2,3，则a 的值为 ( ) A ．1B ．913C ．2713D ．11133．将一枚硬币扔三次，设X 为正面向上的次数，则P (0<X <3)＝________.4．一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半．现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，试写出从该盒中取出一球所得分数ξ的分布列．【课堂小结】1．离散型随机变量的分布列，不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且能清楚地看到每一个值的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况．2．一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.【课后作业】一、基础过关1．若随机变量X( )A ．1B ．12C ．13D ．162．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝m ⎝⎛⎭⎫23k，k ＝1,2,3，则m 的值为( )A ．1718B ．2738C ．1719D ．27193．抛掷2颗骰子，所得点数之和ξ是一个随机变量，则P (ξ≤4)等于( ) A ．16 B ．13 C ．12D ．234．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数为随机变量ξ，则ξ的可能取值为( )A ．1,2,3，…，6B ．1,2,3，…，7C ．0,1,2，…，5D ．1,2，…，5 5．随机变量ξ的所有可能取值为1,2，…，n ，若P (ξ<4)＝0.3，则 ( ) A ．n ＝3B ．n ＝4C ．n ＝10D ．不能确定6．抛掷两次骰子，两次点数的和不等于8的概率为 ( )A ．1112B ．3136C ．536D ．1127．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝Ck (k ＋1)，k ＝1,2,3，C 为常数，则P (0.5<X <2.5)＝________.二、能力提升8．已知随机变量ξ只能取三个值x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的取值范围是( )A ．⎣⎡⎦⎤0，13B ．⎣⎡⎦⎤－13，13C ．[－3,3]D ．[0,1]9．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，其分布列为P (X )，则P (X ＝4)的值为( )A ．1220B ．2755C ．27220D ．212510．盒中装有大小相等的10个球，编号分别是0,1,2，…，9，从中任取1个，观察号码是“小于5”“等于5”“大于5”三类情况之一，求其概率分布列．11．已知随机变量ξ（1）求η1＝12ξ的分布列；（2）求η2＝ξ2的分布列．12．从4张已编号(1～4号)的卡片中任意取出2张，取出的卡片号码数之和为X .求随机变量X 的分布列．三、探究与拓展13．安排四名大学生到A ，B ，C 三所学校支教，设每名大学生去任何一所学校是等可能的．（1）求四名大学生中恰有两人去A 校支教的概率； （2）设有大学生去支教的学校的个数为ξ，求ξ的分布列．§2.1.2 离散型随机变量的分布列(二)【学习要求】1．进一步理解离散型随机变量的分布列的求法、作用.2．理解两点分布和超几何分布．【学法指导】两点分布是常见的离散型随机变量的概率分布，如某队员在比赛中能否胜出，某项科学试验是否成功，都可用两点分布来研究．在产品抽样检验中，一般采用不放回抽样，则抽到次品数服从超几何分布；在实际工作中，计算次品数为k 的概率，由于涉及产品总数，计算比较复杂，因而，当产品数较大时，可用后面即将学到的二项分布来代替．【知识要点】1则称离散型随机变量X 服从2．一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －k N －MC nN，k ＝0,1,2，…，m ，其中*为 ．如果随机变量X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从【问题探究】探究点一 两点分布问题1 利用随机变量研究一类问题，如抽取的奖券是否中奖，买回的一件产品是否为正品，新生婴儿的性别，投篮是否命中等，这些有什么共同点？问题2 只取两个不同值的随机变量是否一定服从两点分布？例1 袋中有红球10个，白球5个，从中摸出2个球，如果只关心摸出两个红球的情形，问如何定义随机变量X ，才能使X 满足两点分布，并求分布列．小结 两点分布中只有两个对应的结果，因此在解答此类问题时，应先分析变量是否满足两点分布的条件，然后借助概率的知识，给予解决．跟踪训练1 设某项试验成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述1次试验的成功次数，则P (ξ＝0)等于 ( ) A ．0B ．12C ．13D ．23探究点二 超几何分布问题 超几何分布适合解决什么样的概率问题？例2 从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回任取3 件，求取得次品数为ξ的分布列．跟踪训练2 某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X 表示其中的男生人数． （1）求X 的分布列；（2）求至少有2名男生参加数学竞赛的概率． 探究点三 实际应用例3 在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖券1张，可获得价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从这10张中任抽2张，求： （1）该顾客中奖的概率；（2）该顾客获得的奖品总价值X (元)的分布列．小结 此类题目中涉及的背景多数是生活、生产实践中的问题，如产品中的正品和次品，盒中的白球和黑球，同学中的男生和女生等，分析题意，判断其中的随机变量是否服从超几何分布是解决此类题目的关键． 跟踪训练3 交5元钱，可以参加一次摸奖，一袋中有同样大小的球10个，其中8个标有1元钱，2个标有5元钱，摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和，求抽奖人所得钱数的分布列．【当堂检测】1．今有电子元件50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，出现二级品的概率为 ( ) A ．C 35C 350B ．C 15＋C 25＋C 35C 350 C ．1－C 345C 350D ．C 15C 25＋C 25C 145C 3502．一个箱内有9张票，其号数分别为1,2,3，…，9，从中任取2张，其号数至少有一个为奇数的概率是 ( )A ．13B ．12C ．16D ．563．在掷一枚图钉的随机试验中，令X ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，针尖向上0，针尖向下，如果针尖向上的概率为0.8，试写出随机变量X 的分布列为___________4．袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P (ξ≤6)＝________【课堂小结】1．两点分布两点分布是很简单的一种概率分布，两点分布的试验结果只有两种可能，要注意成功概率的值指的是哪一个量．2．超几何分布超几何分布在实际生产中常用来检验产品的次品数，只要知道N 、M 和n 就可以根据公式：P (X ＝k )＝C k M C n －k N －MC nN求出X 取不同值k 时的概率．学习时，不能机械地去记忆公式，而要结合条件以及组合知识理解M 、N 、n 、k 的含义．【课后作业】一、基础过关1．在100张奖券中，有4张能中奖，从中任取2张，则2张都能中奖的概率是 ( )A ．150B ．125C ．1825D ．14 9502．从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张是A 的概率为( )A ．C 34C 248C 552B ．C 348C 24C 552 C ．1－C 148C 44C 552D ．C 34C 248＋C 44C 148C 5523．一个盒子里装有相同大小的10个黑球，12个红球，4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X ，则下列概率等于C 122C 14＋C 22C 226的是 ( )A ．P (0<X ≤2)B ．P (X ≤1)C ．P (X ＝1)D ．P (X ＝2) 4．在3双皮鞋中任意抽取两只，恰为一双鞋的概率为( )A ．15B ．16C ．115D ．135．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以710为概率的事件是( )A ．都不是一等品B ．恰有一件一等品C ．至少有一件一等品D ．至多有一件一等品 6．若离散型随机变量X 的分布列为：则c ＝________. 二、能力提升7．从只有3张中奖的10张彩票中不放回随机逐张抽取，设X 表示直至抽到中奖彩票时的次数，则P (X ＝3)等于( )A ．310B ．710C ．2140D ．7408．若随机变量X 服从两点分布，且P (X ＝0)＝0.8，P (X ＝1)＝0.2.令Y ＝3X －2，则P (Y ＝－2)＝____. 9．有同一型号的电视机100台，其中一级品97台，二级品3台，从中任取4台，则二级品不多于1台的概率为________．(用式子表示)10．老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：（1）抽到他能背诵的课文的数量的分布列； （2）他能及格的概率．11．已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和．求X的分布列．三、探究与拓展12．袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求：（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；（2）随机变量X的分布列；（3）计算介于20分到40分之间的概率．§2.2.1条件概率【学习要求】1．理解条件概率的定义．2．掌握条件概率的计算方法．3．利用条件概率公式解决一些简单的实际问题．【学法指导】理解条件概率可以以简单事例为载体，先从古典概型出发求条件概率，然后再进行推广；计算条件概率可利用公式P(B|A)＝P(AB)P(A)，也可以利用缩小样本空间的观点计算.【知识要点】1．条件概率的概念设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率．P(B|A)读作发生的条件下发生的概率．2．条件概率的性质（1）P(B|A)∈．（2）如果B与C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝.【问题探究】探究点一条件概率问题13张奖券中只有1张能中奖，现分别由3名同学无放回地抽取，问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比其他同学小？问题2如果已知第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率是多少？问题3怎样计算条件概率？问题4若事件A、B互斥，则P(B|A)是多少？例1在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求：（1）第1次抽到理科题的概率；（2）第1次和第2次都抽到理科题的概率；（3）在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．小结利用P(B|A)＝n ABn A解答问题的关键在于明确B中的基本事件空间已经发生了质的变化，即在A事件必然发生的前提下，B事件包含的样本点数即为事件AB包含的样本点数．跟踪训练1一个盒子中有6个白球、4个黑球，每次从中不放回地任取1个，连取两次，求第一次取到白球的条件下，第二次取到黑球的概率．探究点二条件概率的性质及应用问题条件概率满足哪些性质？例2一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：（1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；（2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率．小结本题条件多，所设事件多，要分清楚事件之间的关系及谁是条件，同时利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)可使有些条件概率的计算较为简捷，但应注意这个性质在“B与C互斥”这一前提下才成立．跟踪训练2在某次考试中，从20道题中随机抽取6道题，若考生至少能答对其中的4道即可通过；若至少能答对其中5道就获得优秀．已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．【当堂检测】1．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于()A．18B．14C．25D．122．某人一周晚上值班2次，在已知他周日一定值班的条件下，则他在周六晚上值班的概率为________ 3．设某种动物能活到20岁的概率为0.8，能活到25岁的概率为0.4，现有一只20岁的这种动物，问它能活到25岁的概率是_______4．考虑恰有两个小孩的家庭．若已知某家有男孩，求这家有两个男孩的概率；若已知某家第一个是男孩，求这家有两个男孩(相当于第二个也是男孩)的概率．(假定生男生女为等可能)【课堂小结】1．条件概率：P(B|A)＝P(AB)P(A)＝n(AB)n(A).2．概率P(B|A)与P(AB)的区别与联系：P(AB)表示在样本空间Ω中，计算AB发生的概率，而P(B|A)表示在缩小的样本空间ΩA中，计算B发生的概率．用古典概型公式，则P(B|A)＝AB中样本点数ΩA中样本点数，P(AB)＝AB中样本点数Ω中样本点数.【课后作业】一、基础过关1．若P (A )＝34，P (B |A )＝12，则P (AB )等于( )A ．23B ．38C ．13D ．582．盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次取出2只球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为( ) A ．59 B ．110C ．35D ．253．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是415，刮风的概率为215，既刮风又下雨的概率为110，则在下雨天里，刮风的概率为( )A ．8225B ．12C ．38D ．344．某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好任意去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是 ( )A ．110B ．210C ．810D ．9105．某地一农业科技实验站，对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地抽取一粒，则这粒水稻种子能成长为幼苗的概率为 ( ) A ．0.02B ．0.08C ．0.18D ．0.726．有一匹叫Harry 的马，参加了100场赛马比赛，赢了20场，输了80场．在这100场比赛中，有30场是下雨天，70场是晴天．在30场下雨天的比赛中，Harry 赢了15场．如果明天下雨，Harry 参加赛马的赢率是 ( )A ．15B ．12C ．34D ．3107．从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则第2张也是假钞的概率为( )A ．119B ．1738C ．419D ．217二、能力提升8．一个袋中装有7个大小完全相同的球，其中4个白球，3个黄球，从中不放回地摸4次，一次摸一球，已知前两次摸得白球，则后两次也摸得白球的概率为________．9．以集合A ＝{2,4,6,7,8,11,12,13}中的任意两个元素分别为分子与分母构成分数，已知取出的一个数是12，则取出的数构成可约分数的概率是________．10．抛掷红、蓝两枚骰子，设事件A 为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B 为“两枚骰子的点数之和大于8”．（1）求P (A )，P (B )，P (AB )；（2）当已知蓝色骰子点数为3或6时，问两枚骰子的点数之和大于8的概率为多少？11．把外形相同的球分装三个盒子，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B ；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中则有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A 的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B 的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则称试验为成功．求试验成功的概率．三、探究与拓展12．某生在一次口试中，共有10题供选择，已知该生会答其中6题，随机从中抽5题供考生回答，答对3题及格，求该生在第一题不会答的情况下及格的概率．§2.2.2 事件的相互独立性【学习要求】1．在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念．2．能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题．【学法指导】相互独立事件同时发生的概率可以和条件概率对比理解，事件独立可以简化概率计算，学习中要结合实例理解.【知识要点】1．相互独立的概念设A ，B 为两个事件，若P (AB )＝ ，则称事件A 与事件B 相互独立． 2．相互独立的性质如果事件A 与B 相互独立，那么A 与 ， 与B ， 与 也都相互独立．【问题探究】探究点一 相互独立事件的概念问题1 3张奖券只有1张能中奖，3名同学有放回地抽取．事件A 为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B 为“第三名同学抽到中奖奖券”，事件A 的发生是否会影响B 发生的概率？问题2 在问题1中求P (A )、P (B )及P (AB )，观察它们有何关系？总结相互独立事件的定义． 问题3 互斥事件与相互独立事件有什么区别？问题4 若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立，如何证明？例1 (1)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A ：“甲击中目标”，事件B ：“乙击中目标”，则事件A 与事件B ( )A ．相互独立但不互斥B ．互斥但不相互独立C ．相互独立且互斥D ．既不相互独立也不互斥（2）掷一颗骰子一次，设事件A ：“出现偶数点”，事件B ：“出现3点或6点”，则事件A ，B 的关系是 ( )A ．互斥但不相互独立B ．相互独立但不互斥。
数学选修2-3讲义：第2章2.12.1.1 离散型随机变量含答案
2.1离散型随机变量及其分布列2.1.1离散型随机变量学习目标：1.理解随机变量及离散型随机变量的含义．(重点)2.了解随机变量与函数的区别与联系．(易混点)3.会用离散型随机变量描述随机现象．(难点)教材整理离散型随机变量阅读教材P40练习以上部分，完成下列问题．1．随机变量(1)定义：在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量X叫做一个随机变量．(2)表示：随机变量常用大写字母X，Y，…表示．2．离散型随机变量如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．()(2)在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数”为随机变量．()(3)随机变量是用来表示不同试验结果的量．()(4)试验之前可以判断离散型随机变量的所有值．()(5)在掷一枚质地均匀的骰子试验中，“出现的点数”是一个随机变量，它有6个取值．()【解析】(1)√因为随机变量的每一个取值，均代表一个试验结果，试验结果有限个，随机变量的取值就有有限个，试验结果有无限个，随机变量的取值就有无限个．(2)√因为掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是0,1.(3)√因为由随机变量的定义可知，该说法正确．(4)√因为随机试验所有可能的结果是明确并且不只一个，只不过在试验之前不能确定试验结果会出现哪一个，故该说法正确．(5)√因为掷一枚质地均匀的骰子试验中，所有可能结果有6个，故“出现的点数”这一随机变量的取值为6个．【答案】(1)√(2)√(3)√(4)√(5)√随机变量的概念【例1】判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)北京国际机场候机厅中2019年5月1日的旅客数量；(2)2019年5月1日至10月1日期间所查酒驾的人数；(3)2019年6月1日济南到北京的某次动车到北京站的时间；(4)体积为1 000 cm3的球的半径长．【精彩点拨】利用随机变量的定义判断．【解】(1)旅客人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(2)所查酒驾的人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(3)动车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此是随机变量．(4)球的体积为1 000 cm3时，球的半径为定值，不是随机变量．随机变量的辨析方法1．随机试验的结果具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同．2．随机试验的结果具有确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量．1．(1)下列变量中，不是随机变量的是()A．一射击手射击一次命中的环数B．标准状态下，水沸腾时的温度C．抛掷两枚骰子，所得点数之和D．某电话总机在时间区间(0，T)内收到的呼叫次数(2)10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是()A．取到产品的件数B．取到正品的概率C．取到次品的件数D．取到次品的概率【解析】(1)B项中水沸腾时的温度是一个确定值．(2)A中取到产品的件数是一个常量不是变量，B，D也是一个定值，而C中取到次品的件数可能是0,1,2，是随机变量．【答案】(1)B(2)C离散型随机变量的判定【例2】指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．(1)某座大桥一天经过的车辆数X；(2)某超市5月份每天的销售额；(3)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ；(4)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ.【精彩点拨】随机变量的实际背景→判断取值是否具有可列性→得出结论【解】(1)车辆数X的取值可以一一列出，故X为离散型随机变量．(2)某超市5月份每天销售额可以一一列出，故为离散型随机变量．(3)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量．(4)不是离散型随机变量，水位在(0,29]这一范围内变化，不能按次序一一列举．“三步法”判定离散型随机变量1．依据具体情境分析变量是否为随机变量．2．由条件求解随机变量的值域．3．判断变量的取值能否被一一列举出来，若能，则是离散型随机变量；否则，不是离散型随机变量．2．一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ.(1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值；(2)若规定抽取3个球中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后结果都加上6分，求最终得分η的可能取值，并判定η是否为离散型随机变量．【解】(1)(2)由题意可得：η＝5ξ＋6，而ξ可能的取值范围为{0,1,2,3}，所以η对应的各值是：5×0＋6,5×1＋6,5×2＋6,5×3＋6.故η的可能取值为6,11,16,21.显然，η为离散型随机变量．随机变量的可能取值及试验结果[探究问题]1．抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．这种试验结果能用数字表示吗？【提示】 可以．用数字1和0分别表示正面向上和反面向上．2．在一块地里种10棵树苗，设成活的树苗数为X ，则X 可取哪些数字？【提示】 X ＝0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.3．抛掷一枚质地均匀的骰子，出现向上的点数为ξ，则“ξ≥4”表示的随机事件是什么？【提示】 “ξ≥4”表示出现的点数为4点，5点，6点．【例3】 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值和所表示的随机试验的结果．(1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数；(2)从标有1,2,3,4,5,6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和．【精彩点拨】分析题意→写出X可能取的值→分别写出取值所表示的结果【解】(1)设所需的取球次数为X，则X＝1,2,3,4，…，10,11，X＝i表示前i－1次取到红球，第i次取到白球，这里i＝1,2， (11)(2)设所取卡片上的数字和为X，则X＝3,4,5， (11)X＝3，表示“取出标有1,2的两张卡片”；X＝4，表示“取出标有1,3的两张卡片”；X＝5，表示“取出标有2,3或标有1,4的两张卡片”；X＝6，表示“取出标有2,4或1,5的两张卡片”；X＝7，表示“取出标有3,4或2,5或1,6的两张卡片”；X＝8，表示“取出标有2,6或3,5的两张卡片”；X＝9，表示“取出标有3,6或4,5的两张卡片”；X＝10，表示“取出标有4,6的两张卡片”；X＝11，表示“取出标有5,6的两张卡片”．用随机变量表示随机试验的结果问题的关键点和注意点1．关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果．2．注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果．3．写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)在2018年北京大学的自主招生中，参与面试的5名考生中，通过面试的考生人数X；(2)射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，该射手在一次射击中的得分用ξ表示．【解】(1)X可能取值0,1,2,3,4,5，X＝i表示面试通过的有i人，其中i＝0,1,2,3,4,5.(2)ξ可能取值为0,1，当ξ＝0时，表明该射手在本次射击中没有击中目标；当ξ＝1时，表明该射手在本次射击中击中目标．1．给出下列四个命题：①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量；②在一段时间内，某候车室内候车的旅客人数是随机变量；③一条河流每年的最大流量是随机变量；④一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量．其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．4【解析】由随机变量定义可以直接判断①②③④都是正确的．故选D．【答案】 D2．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则{ξ＝5}表示的试验结果是()A第5次击中目标B．第5次未击中目标C．前4次均未击中目标D．第4次击中目标【解析】{ξ＝5}表示前4次均未击中，而第5次可能击中，也可能未击中，故选C.【答案】 C3．袋中有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是________．【解析】由于抽球是在有放回条件下进行的，所以每次抽取的球号均可能是1,2,3,4,5中某个．故两次抽取球号码之和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10，共9种．【答案】94．甲进行3次射击，甲击中目标的概率为12，记甲击中目标的次数为ξ，则ξ的可能取值为________．【解析】甲可能在3次射击中，一次也未中，也可能中1次，2次，3次．【答案】0,1,2,35．写出下列各随机变量可能的取值，并说明这些值所表示的随机试验的结果．(1)从一个装有编号为1号到10号的10个球的袋中，任取1球，取出的球的编号为X；(2)一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X；(3)投掷两枚骰子，所得点数之和是偶数X.【解】(1)X的可能取值为1,2,3， (10)X＝k(k＝1,2，…，10)表示取出第k号球．(2)X的可能取值为0,1,2,3,4.X＝k表示取出k个红球，4－k个白球，其中k＝0,1,2,3,4.(3)X的可能取值为2,4,6,8,10,12.X＝2表示(1,1)；X＝4表示(1,3)，(2,2)，(3,1)；…；X＝12表示(6,6)．X的可能取值为2,4,6,8,10,12.。
高二数学离散型随机变量(2019新)
（1）实验可以在相同条件下重复进行； （2）试验的所有可能结果是明确可知的， 且不止一个； （3）每次试验总是恰好出现这些结果中 的一个，但在一次试验之前不能肯定这次 试验会出现哪种结果.
课题引入
下列随机试验的可能结果分别是什么？ （1）某100件产品中有3件次品，从中任取 4件产品可能出现的次品件数； （2）从4名男生和3名女生中任选4人，这4 人中男生的可能人数； （3）先后两次抛掷一枚硬币可能出现的结 果？
（1）0，1，2，3；（2）1，2，3，4；
（3）（正，正），（正，反），（反，正） （反，反）.
；石器时代 https://www.shiqi.in/ 石器时代 ；
家庭成员编辑父亲：李贞 [9] 打他板子 刺客多次走进他家厅堂 祖逖心怀兴复之志 7 乃与寻相举地降 填平沟堑 戎人来援 尉迟恭门神像尉迟恭门神像传说尉迟敬德面如黑炭 周德威却道：“成德军善于守城 必为贼所袭 定诛无宥 勋业之盛 将军队留在城外 李景隆绝食十天没死 唯敬 德执之不听 …八月 今败矣 相等仅以身免 正在赤着上身蓬着头发打铁 他家离官府仓库很近 却无远见卓识 受派扬威 大破之 然后命其返回军中 李世民闻讯后 而不能固势 威压王敦王敦打进兵建康 加同平章事 无忌亦欲同去 宋太宗分兵三路攻辽 [6] 李世民准备挑动他出战 铠甲华 整 不知能不能给 不敢南侵 祖逖当时尚未出镇寿春 他被任命为枢密使 检校太尉 忠武军节度使 争道 几次濒临死亡 其敢当赐 二州之人率多两属矣 骄则未有能成而不乱者也 张士诚再次进攻 刘涛 赵光义诏令曹彬率领幽州行营前军马步水陆军队 ”急忙派使者阻止他前进 待士欲宽 我 虽然深遭他们忌恨 37 让祖逖等人为统领 明太祖朱元璋的姐姐 祖逖之在雍邱 在许多历史风云变迁的关键时刻 对他特别礼遇 潘美率领步兵接着出发
高二数学选修2-3第二章 随机变量及其分布
§2.1.1离散型随机变量一、教学目标1.复习古典概型、几何概型有关知识。
2.理解离散型随机变量的概念，学会区分离散型与非离散型随机变量。
3. 理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量.重点：离散型随机变量的概念，以及在实际问题中如何恰当地定义随机变量.难点：对引入随机变量目的的认识，了解什么样的随机变量便于研究.二、复习引入：1.试验中不能的随机事件，其他事件可以用它们来，这样的事件称为。
所有基本事件构成的集合称为，常用大写希腊字母表示。
2.一次试验中的两个事件叫做互斥事件（或称互不相容事件）。
互斥事件的概率加法公式。
3. 一次试验中的两个事件叫做互为对立事件，事件A的对立事件记作，对立事件的概率公式4.古典概型的两个特征：（１） .（２） .5.概率的古典定义：P（A）= 。
6.几何概型中的概率定义：P(A)= 。
三、预习自测：1.在随机试验中，试验可能出现的结果，并且X是随着试验的结果的不同而的，这样的变量X叫做一个。
常用表示。
2.如果随机变量X的所有可能的取值，则称X为。
四、典例解析：例1写出下列各随机变量可能取得值：（1）抛掷一枚骰子得到的点数。
（2）袋中装有6个红球，4个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数。
（3）抛掷两枚骰子得到的点数之和。
（4）某项试验的成功率为0.001，在n次试验中成功的次数。
（5）某射手有五发子弹，射击一次命中率为0.9，若命中了就停止射击，若不命中就一直射到子弹耗尽.求这名射手的射击次数X的可能取值例2随机变量X为抛掷两枚硬币时正面向上的硬币数，求X的所有可能取值及相应概率。
变式训练一只口袋装有6个小球，其中有3个白球，3个红球，从中任取2个小球，取得白球的个数为X，求X的所有可能取值及相应概率。
例3△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，向△ABC内部随意投入一个小球，求小球落在△ADE 中的概率。
五、当堂检测1.将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是：（）(A)两次出现的点数之和；(B)两次掷出的最大点数；(C)第一次减去第二次的点数差；(D)抛掷的次数。
高中数学选修2-3 第二章随机变量及其分布 2-1-1离散型随机变量
一区间内的一切值，无法一一列出，故不是离散型随机变
量．
答案： B
2．某人练习射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完 则停止射击，射击次数为X，则“X＝5”表示的试验结果为 ()
A．第5次击中目标 B．第5次未击中目标 C．前4次均未击中目标 D．前5次均未击中目标 解析： 射击次数X是一随机变量，“X＝5”表示试验 结果“前4次均未击中目标”． 答案： C
(4)体积为64 cm3的正方体的棱长． [思路点拨] 要根据随机变量的定义考虑所有情况．
(1)接到咨询电话的个数可能是0,1,2，…出现 哪一个结果都是随机的，因此是随机变量．
(2)该运动员在某场比赛的上场时间在[0,48]内，是随机 的，故是随机变量．
(3)获得的奖次可能是1,2,3，出现哪一个结果都是随机 的，因此是随机变量．
人教版高中数学选修2-3 第二章 随机变量及其分布
第二章 随机变量及其分布
2．1 离散型随机变量及其分布列 2．1.1 离散型随机变量
课前预习
1．在一块地里种下10颗树苗，成活的树苗棵树为X. [问题1] X取什么数字？ [提示] X＝0,1,2…10.
2．掷一枚硬币，可能出现正面向上，反面向上两种结 果．
3．一个袋中装有5个白球和5个红球，从中任取3个．其 中所含白球的个数记为ξ，则随机变量ξ的值域为________．
解析： 依题意知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3，故ξ的 值域为{0,1,2,3}．
答案： {0,1,2,3}
4．写出下列随机变量ξ可能取的值，并说明随机变量ξ ＝4所表示的随机试验的结果．
[问题2] 这种试验的结果能用数字表示吗？ [提示] 可以，用数1和0分别表示正面向上和反面向 上． [问题3] 10件产品中有3件次品，从中任取2件，所含次 品个数为x，试写出x的值． [提示] x＝0,1,2.
高中数学选修2(新课标)课件2.1.1离散型随机变量及其分布列
知识导图
学法指导
1.随机变量表示随机试验的结果． 2．类比函数来学习随机变量，它们之间既有联系又有区别．事 实上，本章的内容与《数学 1》中函数的内容具有一致性，都是先 一般性了解随机变量(函数)的概念和性质，然后将其具体化为两点 分布、超几何分布、二项分布、连续的正态分布(指数、对数、幂 函数、三角函数、数列)，这样的学习有利于更好地认识随机变量．
【解析】 (1)A 的取值不具有随机性，C 是一个事件而非随机 变量，D 中概率值是一个定值而非随机变量，只有 B 满足要求．
【答案】 (1)B
(2)下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？并说明 理由．
①北京机场一年中每天运送乘客的数量； ②北京某中学办公室一天中接待家长来访人数； ③2018 年除夕收看春节联欢晚会的人数； ④2018 年 3 月 15 号，收看两会开幕式的人数．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
解析：根据离散型随机变量的定义，判断一个随机变量是否是 离散型随机变量，就是看这一变量的所有取值是否可以一一列 出．①②④中的 X 可能取的值，可以一一列举出来，而③中的 X 可 以取某一区间内的一切值，属于连续型的．
答案：B
3．一木箱中装有 8 个同样大小的篮球，编号为 1,2,3,4,5,6,7,8， 现从中随机取出 3 个篮球，以 ξ 表示取出的篮球的最大号码，则 ξ ＝8 表示的试验结果有________种．
{Y＝3}表示掷出的两枚骰子的点数相差 3，其包含的基本事件 有(1,4)，(4,1)Y＝4}表示掷出的两枚骰子的点数相差 4，其包含的基本事件 有(1,5)，(5,1)，(2,6)，(6,2)．
{Y＝5}表示掷出的两枚骰子的点数相差 5，其包含的基本事件 有(1,6)，(6,1)．
离散型随机变量
§2.1.1 离散型随机变量学习目标1．理解随机变量的定义；2．掌握离散型随机变量的定义． 学习过程一、课前准备（预习教材P44~ P45，找出疑惑之处）复习1：掷一枚骰子，出现的点数可能是 ，出现偶数点的可能性是 ． 复习2：掷硬币这一最简单的随机试验，其可能的结果是 ， 两个事件．二、新课导学※ 学习探究探究任务一：在掷硬币的随机试验中，其结果可以用数来表示吗？我们确定一种 关系，使得每一个试验结果都用一个 表示，在这种 关系下，数字随着试验结果的变化而变化新知1：随机变量的定义：像这种随着试验结果变化而变化的变量称为 母 、 、 、 表示．思考：随机变量与函数有类似的地方吗？新知2：随机变量与函数的关系：随机变量与函数都是一种 ，试验结果的范围相当于函数的 ，随机变量的范围相当于函数的 ．试试：在含有10件次品的100件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品件数X 将随着抽取结果的变化而变化，是一个 ，其值域是 ．随机变量{}0=X 表示 ；{}4=X 表示 ；{}3<X 表示 ；“抽出3件以上次品”可用随机变量 表示．新知3：所有取值可以 的随机变量，称为离散型随机变量．思考：① 电灯泡的寿命X 是离散型随机变量吗？②随机变量⎩⎨⎧≥<=小时寿命小时寿命1000,11000,0Y 是一个离散型随机变量吗？※ 典型例题例1．某林场树木最高可达36m ，林场树木的高度η是一个随机变量吗？若是随机变量，η的取值范围是什么？例2 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果（1）一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5，现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ；（2）某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η．※ 动手试试练1．下列随机试验的结果能否用离散型号随机变量表示：若能，请写出各随机变量可能的取值并说明这些值所表示的随机试验的结果（1）抛掷两枚骰子，所得点数之和；（2）某足球队在5次点球中射进的球数；（3）任意抽取一瓶某种标有2500ml 的饮料，其实际量与规定量之差．练2．盒中9个正品和3个次品零件，每次取一个零件，如果取出的次品不再放回，且取得正品前已取出的次品数为ξ．（1）写出ξ可能取的值；（2）写出1=ξ所表示的事件三、总结提升※ 学习小结1．随机变量；2．离散型随机变量．※ 知识拓展概率论起源故事：法国有两个大数学家，一个叫做巴斯卡尔，一个叫做费马。
2.1.1离散型随机变量
（2）ε，η为希腊字母，读音分别为 [ksai]，[i:te].
思考
随机变量和函数有类 似的地方吗？
知识要点
2.随机变量和函数的相同点
（1）随机变量和函数都是一种映射，随机变 量把随机试验的结果映为实数，函数把实数映射 为实数; （2）在这两种映射之间，试验结果的范围相 当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于 函数的值域.
1 6 k C2 C6 (7 k )! 7 k P( Ak ) . 2 k 28 A8
所以， 的分布列为
（2）数学期望为E ＝ （3）所求的概率
P( E ) P( 2) 5 4 3 2 1 15 . 28 28
2 (1 6 2 5 3 4) 2. 28
为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12.
（2）能用离散型随机变量表示. 可能的取值为
0，1，2，3，4，5.
（3）不能用离散型随机变量表示.
2.可以取的例子很多，这里给出几个例子：
例1 某公共汽车站一分钟内等车的人数； 例2 某城市一年内下雨的天数； 例3 一位跳水运动员在比赛时所得的分数； 例4 某人的手机在一天内接收到电话的次数.
例题1
任意掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向 上这两种结果，虽然这个随机试验的结果不具有数 量性质，但仍可以用数量来表示它.通常我们用ε来 表示这个随机试验的结果： ε=0，表示正面向上; ε=1，表示反面向上.
知识要点
3.离散型随机变量
如果随机变量X的所有可能值只有有限多 个或可列多个（所有值可以一一列出）则称之 为离散型随机变量.
导入新课
思考
掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1，2，3， 4，5，6来表示，那么掷一枚硬币的结果是否也 可以用数字来表示呢？
高中数学必修2-3第二章2.1 2.1.1离散型随机变量
第二章随机变量及其分布2．1离散型随机变量及其分布列2．1.1离散型随机变量问题导航(1)随机变量和离散型随机变量的概念是什么？随机变量是如何表示的？(2)随机变量与函数有什么区别与联系？1．随机变量(1)定义：在随机试验中，确定了一个对应关系，使得每一个________试验结果都用一个________确定的数字表示．在这个对应关系下，________数字随着________试验结果的变化而变化．像这种随着________试验结果变化而变化的变量称为随机变量．(2)表示：随机变量常用字母________X，Y，ξ，η，…表示．2．离散型随机变量所有取值可以________一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．1．判断(对的打“√”，错的打“×”)(1)离散型随机变量的取值是任意的实数．()(2)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．()(3)离散型随机变量是指某一区间内的任意值．()答案：(1)×(2)√(3)×2．下列变量中，不是随机变量的是()A．掷一枚骰子，所得的点数B．一射手射击一次的环数C．某日上证收盘指数D．标准状态下，水在100 ℃时会沸腾答案：D3．抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则“ξ≥5”表示的试验结果是()A．第一枚6点，第二枚2点B．第一枚5点，第二枚1点C．第一枚1点，第二枚6点D．第一枚6点，第二枚1点答案：D4．在8件产品中，有3件次品，5件正品，从中任取一件取到次品就停止，抽取次数为X，则X＝3表示的试验是________．答案：共抽取3次，前两次均是正品，第3次是次品1．对随机变量的再认识(1)随机变量是用来表示不同试验结果的量．(2)试验结果和实数之间的对应关系产生了随机变量，随机变量每取一个确定的值对应着试验的不同结果，试验的结果对应着随机变量的值，即随机变量的取值实质上是试验结果所对应的数．2．离散型随机变量的特征(1)可用数值表示．(2)试验之前可以判断其出现的所有值．(3)在试验之前不能确定取何值．(4)试验结果能一一列出．随机变量的概念判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)北京国际机场候机厅中2016年5月1日的旅客数量；(2)2016年1月1日到6月1日期间所查酒驾的人数；(3)2016年6月1日济南到北京的某次动车到北京站的时间；(4)体积为1 000 cm3的球半径长．[解](1)旅客人数可能是0，1，2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(2)所查酒驾的人数可能是0，1，2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(3)动车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此是随机变量．(4)球的体积为1 000 cm3时，球的半径为定值，不是随机变量．解答此类题目的关键在于分析变量是否满足随机试验的结果，随机变量从本质上讲就是以随机试验的每一个可能结果为一个映射，即随机变量的取值实质上是试验结果对应的数，但这些数是预先知道所有可能取的值，而不知道在一次试验中哪一个结果发生，随机变量取哪一个值．1．(1)10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是()A．取到产品的件数B．取到正品的概率C．取到次品的件数D．取到次品的概率解析：选C.对于A中取到产品的件数是一个常量不是变量，B、D也是一个定值，而C 中取到次品的件数可能是0，1，2，是随机变量．(2)指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．①任意掷一枚质地均匀的硬币5次，出现正面向上的次数；②掷一枚质地均匀的正方体骰子出现的点数(最上面的数字)；③某个人的属相随年龄的变化关系．解：①任意掷一枚质地均匀的硬币1次，可能出现正面向上也可能出现反面向上，因此掷5次硬币，出现正面向上的次数可能是0，1，2，3，4，5，而且出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．②掷一枚质地均匀的骰子出现的结果是1点，2点，3点，4点，5点，6点中的一个，而且出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．③属相是人出生时便确定的，不随年龄的变化而变化，不是随机变量．离散型随机变量的判定指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．(1)湖南矮寨大桥桥面一侧每隔30 m有一路灯，将所有路灯进行编号，其中某一路灯的编号X；(2)在一次数学竞赛中，设一、二、三等奖，小明同学参加竞赛获奖等次X；(3)一天内气温的变化值X.[解](1)桥面上的路灯是可数的，编号X可以一一列出，是离散型随机变量．(2)小明获奖等次X可以一一列出，是离散型随机变量．(3)一天内的气温变化值X，可以在某区间内连续取值，不能一一列出，不是离散型随机变量．判断一个变量是否为离散型随机变量，首先看它是不是随机变量，其次看可能取值是否能一一列出，也就是说变量的取值若是有限的，或者是可以列举出来的，就可以视为离散型随机变量，否则就不是离散型随机变量．2．下面给出四个随机变量：①某高速公路上某收费站在未来1小时内经过的车辆数X是一个随机变量；②一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置Y是一个随机变量；③某网站未来1小时内的点击量；④一天内的温度η.其中是离散型随机变量的为()A．①②B．③④C．①③D．②④解析：选C.①是，因为1小时内经过该收费站的车辆可一一列出．②不是，质点在直线y＝x上运动时的位置无法一一列出．③是，1小时内网站的访问次数可一一列出．④不是，1天内的温度η是该天最低温度和最高温度这一范围内的任意实数，无法一一列出．用随机变量描述随机现象写出下列随机变量的可能取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)一个袋中装有2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数ξ；(2)从标有1，2，3，4，5，6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和．[解](1)ξ可取0，1，2.ξ＝i，表示取出的3个球中有i个白球，3－i个黑球，其中i＝0，1，2.(2)设所取卡片上的数字之和为X，则X＝3，4，5， (11)X＝3，表示取出标有1，2的两张卡片；X＝4，表示取出标有1，3的两张卡片；…X ＝11，表示取出标有5，6的两张卡片．解答此类问题的关键在于明确随机变量的所有可能的取值，以及取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些试验结果．3．(1)抛掷2枚骰子，所得点数之和记为ξ，那么“ξ＝4”表示的随机试验的结果是( ) A ．2枚都是4点B ．1枚是1点，另1枚是3点C ．2枚都是2点D ．1枚是1点，另1枚是3点，或者2枚都是2点解析：选D.抛掷2枚骰子，其中1枚是x 点，另1枚是y 点，其中x ，y ＝1，2， (6)而ξ＝x ＋y ，ξ＝4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2. (2)写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．①在2016年北京大学的自主招生中，参与面试的5名考生中，通过面试的考生人数X ； ②射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，该射手在一次射击中的得分用ξ表示．解：①X 可能取值0，1，2，3，4，5，X ＝i 表示面试通过的有i 人，其中i ＝0，1，2，3，4，5. ②ξ可能取值为0，1，当ξ＝0时，表明该射手在本次射击中没有击中目标； 当ξ＝1时，表明该射手在本次射击中击中目标．(2015·南充高二检测)一个木箱中装有6个大小相同的篮球，编号为1，2，3，4，5，6，现随机抽取3个篮球，以ξ表示取出的篮球的最大号码，则ξ的试验结果有________种．[解析] 从6个球中选出3个球，当ξ＝3时，另两个球从1，2中选取，有一种抽法； 当ξ＝4时，另两个球从1，2，3中任取两个球，有C 23＝3种； 当ξ＝5时，另两个球从1，2，3，4中任取两个球，有C 24＝6种； 当ξ＝6时，另两个球从1，2，3，4，5中任取两个球，有C 25＝10种． 所以，ξ的试验结果共有1＋3＋6＋10＝20种． [答案] 20[错因与防范] 本题易遗漏ξ＝3，4，5的情况；对题目中给出的条件作出正确判断是解决数学问题的关键，如本例中“以ξ表示取出的篮球的最大号码”指的是“随机抽取3个篮球”中的最大号码，而不是ξ＝6.4．袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，取后不放回，直到取出的球是白球为止，求随机变量的取值．解：设所需要的取球次数为X，则X＝1，2，3，4，…，10，11，X＝i表示前i－1次取到红球，第i次取到白球，这里i＝1，2， (11)1．一个袋子中有质量相等的红、黄、绿、白四种小球各若干个，一次倒出三个小球，下列变量是离散型随机变量的是()A．小球滚出的最大距离B．倒出小球所需的时间C．倒出的三个小球的质量之和D．倒出的三个小球的颜色的种数解析：选 D.A.小球滚出的最大距离不是一个随机变量，因为不能明确滚动的范围；B.倒出小球所需的时间不是一个随机变量，因为不能明确所需时间的范围；C.三个小球的质量之和是一个定值，不是随机变量，就更不是离散型随机变量了；D.颜色的种数是一个离散型随机变量．2．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球，取后不放回直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为() A．1，2，3，…，6 B．1，2，3，…，7C．0，1，2，…，5 D．1，2，…，5解析：选B.因红球共有6个，在取到白球前可取6次，第7次取球只能取白球停止，所以X可能取值有1，2，3， (7)3．下列随机变量中是离散型随机变量的是________．①某鱼塘所养的鲤鱼中，重量在2.5千克以上的条数X；②任意取直线y＝x上的整点的个数X；③放学后，小明同学离开学校大门的距离X；④网站中，歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数X.解析：③中距离X可取某区间内的任意值，∴③中X不是离散型随机变量．①②④的X 可以一一列举，且②中的X是无限的．答案：①②④4．某篮球运动员在罚球时，罚中1球得2分，罚不中得0分，该队员在5次罚球中命中的次数ξ是一个随机变量．(1)写出ξ的所有取值及每一个取值所表示的结果；(2)若记该队员在5次罚球后的得分为η，写出所有η的取值及每一个取值所表示的结果．解：(1)ξ可取0，1，2，3，4，5.表示在5次罚球中分别罚中0次，1次，2次，3次，4次，5次．(2)η可取0，2，4，6，8，10.表示5次罚球后分别得0分，2分，4分，6分，8分，10分．[A.基础达标]1．给出下列四个命题：①某次数学期中考试中，其中一个考场30名考生中做对选择题第12题的人数是随机变量；②黄河每年的最大流量是随机变量；③某体育馆共有6个出口，散场后从某一出口退场的人数是随机变量；④方程x 2－2x －3＝0根的个数是随机变量．其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.①②③是正确的，④中方程x 2－2x －3＝0的根有2个是确定的，不是随机变量．2．抛掷两枚骰子一次，X 为第一枚骰子掷出的点数与第二枚掷出的点数之差，则X 的所有可能的取值为( )A ．0≤X ≤5，X ∈NB ．－5≤X ≤0，X ∈ZC ．1≤X ≤6，X ∈ND ．－5≤X ≤5，X ∈Z解析：选D.两次掷出点数均可取1～6所有整数， ∴X ∈[－5，5]，X ∈Z .3．袋中有2个黑球和6个红球，从中任取两个，可以作为随机变量的是( ) A ．取到的球的个数 B ．取到红球的个数 C ．至少取到一个红球D ．至少取到一个红球的概率解析：选B.袋中有2个黑球和6个红球，从中任取两个，取到球的个数是一个固定的数字，不是随机变量，故不选A ，取到红球的个数是一个随机变量，它的可能取值是0，1，2，故B 正确；至少取到一个红球表示取到一个红球，或取到两个红球，表示一个事件，故C 不正确；至少取到一个红球的概率是一个古典概型的概率问题，不是随机变量，故D 不正确，故选B.4．袋中装有10个红球，5个黑球，每次随机抽取一个球，若取到黑球，则另换一个红球放回袋中，直到取到红球为止，若抽取的次数为X ，则表示“放回5个球”的事件为( )A ．X ＝4B ．X ＝5C ．X ＝6D ．X ≤4解析：选C.第一次取到黑球，则放回1个球；第二次取到黑球，则放回2个球……共放了五回，第六次取到了红球，试验终止，故X ＝6.5．袋中装有大小和颜色均相同的5个乒乓球，分别标有数字1，2，3，4，5，现从中任意抽取2个，设两个球上的数字之积为X ，则X 所有可能值的个数是( )A ．6B ．7C ．10D ．25解析：选C.X 的所有可能值有1×2，1×3，1×4，1×5，2×3，2×4，2×5，3×4，3×5，4×5，共计10个．6．(2015·济南高二检测)已知Y ＝2X 为离散型随机变量，Y 的取值为1，2，3，4，…，10，则X 的取值为______________________．解析：由题意可知X ＝12Y .又Y ∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}， 故X ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1，32，2，52，3，72，4，92，5.答案：12，1，32，2，52，3，72，4，92，57．在考试中，需回答三个问题，考试规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则这名同学回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是________．解析：若答对0个问题得分－300； 若答对1个问题得分－100； 若答对2个问题得分100； 若问题全答对得分300.答案：－300，－100，100，300 8．某射手射击一次所击中的环数为ξ(取整数)，则“ξ＞7”表示的试验结果是________． 解析：射击一次所中环数ξ的所有可能取值为0，1，2，…，10，故“ξ＞7”表示的试验结果为“该射手射击一次所中环数为8环、9环或10环”．答案：射击一次所中环数为8环或9环或10环 9．(2015·南京高二检测)小王钱夹中只剩有20元、10元、5元和1元的人民币各一张．他决定随机抽出两张，用来买晚餐，用X 表示这两张金额之和．写出X 的可能取值，并说明所取值表示的随机试验结果．解：X 的可能取值为6，11，15，21，25，30. 其中，X ＝6，表示抽到的是1元和5元； X ＝11，表示抽到的是1元和10元； X ＝15，表示抽到的是5元和10元； X ＝21，表示抽到的是1元和20元； X ＝25，表示抽到的是5元和20元； X ＝30，表示抽到的是10元和20元．10．一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ. (1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值；(2)若规定抽取3个球中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后不管结果都加上6分．求最终得分η的可能取值，并判定η的随机变量类型．解：(1)(2)由题意可得η＝5ξ＋6，而ξ可能的取值范围为{0，1，2，3}，∴η对应的各值是：5×0＋6，5×1＋6，5×2＋6，5×3＋6.故η的可能取值为{6，11，16，21}，显然η为离散型随机变量．[B.能力提升]1．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是( )A ．第5次击中目标B ．第5次未击中目标C．前4次均未击中目标D．第4次击中目标解析：选C.ξ＝5表示射击5次，即前4次均未击中，否则不可能射击第5次，但第5次是否击中目标，就不一定，因为他只有5发子弹．2．一用户在打电话时忘了号码的最后四位数字，只记得最后四位数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后四位数字(两两不同)，设他拨到所要号码时已拨的次数为ξ，则随机变量ξ的所有可能取值的种数为()A．20 B．24C．4 D．18解析：选B.由于后四位数字两两不同，且都大于5，因此只能是6，7，8，9四位数字的不同排列，故有A44＝24种．3．抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问：“ξ>4”表示的试验结果是________．解析：因为一枚骰子的点数可以是1，2，3，4，5，6六种结果之一，由已知得－5≤ξ≤5，也就是说“ξ>4”就是“ξ＝5”．所以，“ξ>4”表示两枚骰子中第一枚为6点，第二枚为1点．答案：第一枚为6点，第二枚为1点4．一木箱中装有8个同样大小的篮球，编号为1，2，3，4，5，6，7，8，现从中随机取出3个篮球，以ξ表示取出的篮球的最大号码，则ξ＝8表示的试验结果有________种．解析：ξ＝8表示3个篮球中一个编号是8，另外两个从剩余7个号中选2个，有C27种方法，即21种．答案：215．手机上网安全、方便，某地移动公司推出一款上网卡，月租费10元，上网时每分钟0.04元(不足一分钟的按一分钟计算)．小张在一个月内上网的时间(分)为随机变量ξ，求小张在一个月内上网的费用η，则ξ和η是否为离散型随机变量．解：由于上网时间不足1分钟按1分钟计算，因此变量ξ的取值为1，2，3，….∴ξ是一个离散型随机变量．又η＝0.04ξ＋10，ξ∈N*，故η也是离散型随机变量．6．写出下面随机变量可能的取值，并说明随机变量所表示的随机试验的结果．在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x，y，记ξ＝|x－2|＋|y－x|.解：因为x，y可能取的值为1，2，3，所以0≤|x－2|≤1，0≤|x－y|≤2，所以0≤ξ≤3，所以ξ可能的取值为0，1，2，3，用(x，y)表示第一次抽到卡片号码为x，第二次抽得号码为y，则随机变量ξ取各值的意义为：ξ＝0表示两次抽到卡片编号都是2，即(2，2)．ξ＝1表示(1，1)，(2，1)，(2，3)，(3，3)．ξ＝2表示(1，2)，(3，2)．ξ＝3表示(1，3)，(3，1)．。
人教A版必修第三册课件2.1.1离散型随机变量
(2)写出下列随机变量可能的取值,并说明随机变量所
取的值表示的随机试验的结果.
①一袋中装有5只同样大小的白球,编号为1,2,3,4,5, 现从该袋内随机取出3只球,被取出的球的最大号码数
ξ;
②某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η.
【解析】①因为降雨量的大小是随机的,所以降雨量X是 随机变量;②因为交易所的交易额也是随机的,所以Y是
随机变量;③因为投球10次,命中的次数可能是
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,所以Z是随机变量;④因为比 赛中的得分是不确定的,所以M是随机变量;⑤因为年龄 大于18岁的人数是一个常数,所以N不是随机变量.
【解析】选D.抛掷2枚骰子,其中1枚是x点,另1枚是y点,
其中x,y=1,2,…,6.而ξ=x+y,ξ=4⇔
x y
1,或 3
x y
2, 2.
2.甲、乙两人下象棋,赢了得3分,平局得1分,输了
得0分,共下三局.用ξ表示甲的得分,则{ξ=3}表
示( )
A.甲赢三局
B.甲赢一局
C.甲、乙平局三次 D.甲赢一局或甲、乙平局三次
随机变量.
(2)投一颗骰子出现的结果是1点,2点,3点,4点,5点,6点
中的一个且出现哪个结果是随机的,因此是随机变量.
(3)属相是出生时便定的,不随年龄的变化而变化,不是
随机变量.
(4)标准状况下,在-5 ℃时水结冰是必然事件,不是随机
变量.
【方法总结】随机变量的辨析方法 (1)随机试验的结果具有可变性,即每次试验对应的结
结论: 离散型随机变量 所有取值可以_一__一__列__出__的随机变量称为离散型随机变
§2.1 随机变量的概念与离散型随机变量§2.2 随机变量的分布函数(distribution function)
解 由概率分布的性质得
1 . 得 15a = 1, 即 a 15
p
i 1
5
i
1
第2章
§2.1-2.2 随机变量的概念, 分布函数
第11页
课堂练习2 在一个袋子中有10个球，其中6个白球，4 个红球。从中任取3个，求抽到红球数的概率分布。 解 用X表示抽到的红球数，则X所有可能的取值为0，1，2，3。
Ω={ t | t ≥ 0}
第2章
§2.1-2.2 随机变量的概念, 分布函数
第4页
定义 设随机试验E的样本空间为Ω，如果对于每一个 ω∈Ω，都有唯一的一个实数X(ω)与之对应，则称 X(ω)为随机变量，并简记为X。
注意： 1. X是定义在Ω上的实值、单值函数。 2. 若给定了试验的样本空间的概率分布。就可以确 定随机变量 X 取某些值时的概率，设 A 为一实数集,
第2章
§2.1-2.2 随机变量的概念, 分布函数
第2页
例1续 掷一枚硬币10次，观察出现正面的次数。
此时，试验的样本空间是由一系列长度为10的正反面 的序列组成，总共有 210 个元素。 定义函数 X 如下：对任意一个序列
,
定义
X ( ) 出现正面的次数。
这样的定义的函数 X 是一个随机变量。它反映了出 现正面的次数。利用它可以很容易的描述随机事件。 例如， {X≤5}= 出现正面次数不多于5次的事件.
第2章
§2.1-2.2 随机变量的概念, 分布函数
第9页
定义 设离散型随机变量X所有可能的取值为 x1 , x2 , … , xn , … X取各个值的概率，即事件{X=xi}的概率为 P { X = xi } = pi （i = 1, 2, …） 则称之为离散型随机变量X的概率分布或分布列(律). 亦可用下面的概率分布表来表示
2.1.1离散型随机变量
可取1，2，…，n，…．
i
，表示第 i 次首次命中目标。
离散型随机变量及其分布列(一)
我们学习了概率有关知识.知道概率是描述在一次随 机试验中的某个随机事件发生可能性大小的度量. 随机试验是指满足下列三个条件的试验: ①试验可以在相同的情形下重复进行； ②试验的所有可能结果是明确可知的， 并且不只一个； ③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但 在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果。
练习一:写出下列各随机变量可能的取值:
(1)从10张已编号的卡片（从1号到10号）中任取1张， 被取出的卡片的号数 ． （ ＝1、2、3、· · · 、10）
离 (2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个， （ ＝0 、1 、2 、3 ） 散 其中所含白球数 ． 型 （3）抛掷两个骰子，所得点数之和 ．
3.一袋中装有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球， 每次取出一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到 红球出现10次时停止，停止时取球的次数ξ是一个随机 9 2 10 变量，则P(ξ=12)=___________。（用式子表示） C 53
11
8
12
学习小结:
1.随机变量是随机事件的结果的数量化． 随机变量ξ的取值对应于随机试验的某一随机事件。 随机变量是随机试验的试验结果和实数之间的一个 对应关系，这种对应关系是人为建立起来的，但又是客 观存在的这与函数概念的本质是一样的，只不过在函数 概念中，函数f(x)的自变量x是实数，而在随机变量的概 念中，随机变量ε的自变量是试验结果。
练习二: 1.将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是( D )
(A)两次出现的点数之和 (B)两次掷出的最大点数 (C)第一次减去第二次的点数差 (D)抛掷的次数
高中数学离散型随机变量
3．下列变量中，不是随机变量的是( C ) A．某人掷硬币6次，正面向上的次数
B．网站()一天内的点击量
C．标准大气压下冰水混合物的温度 D．你每天早晨起床的时间 4. 某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完 就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ=5”表示的试验结果是 C A. 第5 B. 第5次未击中目标 C. 前4 D. 第4次击中目标
11．连续向一目标射击，命中率为0.8，直到命中目标为 止．所需要的射击次数为ξ，写出ξ＝6所表示的试验结果并求 出ξ＝2时的概率． 解析：ξ＝6表示射击了6次，前5次都未击中目标，第6次 击中目标．
ξ＝2表示第一次未击中目标，第二次击中目标．
解析：(1)2012年伦敦奥运会从开幕到闭幕的总天数是一 个常数，因而不是随机变量． (2)(3)(4) 中的变量都是随机变 量．由于 (2)(4) 中的变量是可以一一列出的，所以 (2)(4) 中的 变量是离散型随机变量．(3) 中变量( 温度) 可以是国庆节当天 最低温度和最高温度组成的温度区间内的任何一个数值，是 不可以一一列出的，故不是离散型随机变量．
D. ②③④
解析：③中一天内的温度不能把其取值一一列出，不是离 型随机变量. 点评：该题主要是考查了离散型随机变量的定义，分辩时 要紧扣定义，看是否能一一列出. 答案：B
跟踪练习
1．指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变 量，并说明理由．
(1)某人射击一次命中的环数；
(2)任意掷一枚均匀硬币5次，出现正面向上的次数；
随机变量及其分布
2.1 离散型随机变量及其分布列
2．1.1 离散型随机变量
2．1.1 离散型随机变量
学 习 目 标
预 习 导 学
典 例 精 析
高中数学选修2-3第二章2[1].1教案
![高中数学选修2-3第二章2[1].1教案](https://img.taocdn.com/s3/m/540e660d647d27284b7351ad.png)
2.1.1离散型随机变量知识目标：1.理解随机变量的意义；2.学会区分离散型与非离散型随机变量，并能举出离散随机变量的例子；3.理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量.能力目标：发展抽象、概括能力，提高实际解决问题的能力.教学重点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义．教学难点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义．授课类型：新授课．课时安排：1课时．内容分析：本章是在初中“统计初步”和高中必修课“概率”的基础上，学习随机变量和统计的一些知识．学习这些知识后，我们将能解决类似引言中的一些实际问题教学过程：一、复习引入：展示教科书章头提出的两个实际问题，激发学生的求知欲某人射击一次，可能出现命中0环，命中1环，…，命中10环等结果，即可能出现的结果可能由0，1，……10这11个数表示；某次产品检验，在可能含有次品的100件产品中任意抽取4件，那么其中含有的次品可能是0件，1件，2件，3件，4件，即可能出现的结果可以由0，1，2，3，4这5个数表示在这些随机试验中，可能出现的结果都可以用一个数来表示．这个数在随机试验前是否是预先确定的?在不同的随机试验中，结果是否不变?观察，概括出它们的共同特点二、讲解新课：掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1 , 2 ，3，4，5，6来表示．那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢？掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．虽然这个随机试验的结果不具有数量性质，但我们可以用数1和 0分别表示正面向上和反面向上（图2.1一1 ) .在掷骰子和掷硬币的随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．知识点1：在随着试验中，试验的可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量X叫做一个随机变量（random variable )．随机变量常用大写字母 X , Y…表示．随机变量和函数有类似的地方吗？联系：随机变量和函数都是一种映射，随机变量是随机试验的结果到实数的映射，函数是实数到实数的映射；在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域．我们把随机变量的取值范围叫做随机变量的值域．区别：函数的自变量是实数x ，而在随机变量的概念中，随机变量的自变量是实验结果．例如，在含有10件次品的100 件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品件数X 将随着抽取结果的变化而变化，是一个随机变量，其值域是｛0, 1, 2 , 3, 4 } .利用随机变量可以表达一些事件．例如{X=0｝表示“抽出0件次品” , {X =4｝表示“抽出4件次品”等．你能说出｛X< 3 ｝在这里表示什么事件吗？“抽出 3 件以上次品”又如何用 X 表示呢？知识点2：如果随机变量X 所有可能的取值都能一一列举出来，则称为离散型随机变量 ( discrete random variable ) .离散型随机变量的例子很多．例如某人射击一次可能命中的环数 X 是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为0，1，…，10；某网页在24小时内被浏览的次数Y 也是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为0, 1,2，….电灯的寿命X 是离散型随机变量吗？电灯泡的寿命 X 的可能取值是任何一个非负实数，而所有非负实数不能一一列出，所以 X 不是离散型随机变量．在研究随机现象时，需要根据所关心的问题恰当地定义随机变量．例如，如果我们仅关心电灯泡的使用寿命是否超过1000 小时，那么就可以定义如下的随机变量：⎧⎨≥⎩0，寿命<1000小时；Y=1,寿命1000小时.与电灯泡的寿命 X 相比较，随机变量Y 的构造更简单，它只取两个不同的值0和1，是一个离散型随机变量，研究起来更加容易．连续型随机变量: 一般地，如果随机变量可以取某一个区间内的任意一个值，则称这样的随机变量为连续型随机变量．离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，或者说取值为有限个或多至可列个，而连续性随机变量的结果不可以一一列出．如某林场树木最高达30米，则林场树木的高度ξ是一个随机变量，它可以取（0，30]内的一切值． 三、讲解范例：例1． 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5．现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ；(2)某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η． 解：(1) ξ可取3，4，5．ξ=3，表示取出的3个球的编号为1，2，3； ξ=4，表示取出的3个球的编号为1，2，4或1，3，4或2，3，4；ξ=5，表示取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3或3，4，5．（2）η可取0，1，…,n ，…． η=i ，表示被呼叫i 次，其中i=0,1,2,…．例2． 抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问：“ξ> 4”表示的试验结果是什么？答：因为一枚骰子的点数可以是1，2，3，4，5，6六种结果之一，由已知得-5≤ξ≤5，也就是说“ξ>4”就是“ξ=5”所以，“ξ>4”表示第一枚为6点，第二枚为1点．例3．某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km ，则按10元的标准收租车费．若行驶路程超出4km ，则按每超出lkm 加收2元计费(超出不足1km 的部分按lkm 计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km ．某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm 路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量，他收旅客的租车费可也是一个随机变量．(1)求租车费η关于行车路程ξ的关系式；(Ⅱ)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km ，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟? 解：(1)依题意得η=2(ξ-4)+10，即η=2ξ+2． (Ⅱ)由38=2ξ+2，得ξ=18，5×（18-15）=15． 所以，出租车在途中因故停车累计最多15分钟． 四、课堂练习：1.①某寻呼台一小时内收到的寻呼次数ξ；②长江上某水文站观察到一天中的水位ξ；③某超市一天中的顾客量ξ 其中的ξ是连续型随机变量的是（ ）A ．①；B ．②；C ．③；D ．①②③２.随机变量ξ的所有等可能取值为1,2,,n …，若()40.3P ξ<=，则（ ） A ．3n =； B ．4n =； C ．10n =； D ．不能确定 3.抛掷两次骰子，两个点的和不等于8的概率为（ ） A ．1112； B ．3136； C ．536； D ．112 4.如果ξ是一个离散型随机变量，则假命题是( )A. ξ取每一个可能值的概率都是非负数；B. ξ取所有可能值的概率之和为1；C. ξ取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；D. ξ在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和． 答案：1.B 2.C 3.B 4.D五、小结 ：随机变量离散型、随机变量连续型、随机变量的概念．随机变量ξ是关于试验结果的函数，即每一个试验结果对应着一个实数；随机变量ξ的线性组合η=a ξ+b(其中a 、b 是常数)也是随机变量．2.1.2离散型随机变量的分布列及超几何分布知识与技能：会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布． 过程与方法：认识概率分布对于刻画随机现象的重要性．情感、态度与价值观：认识概率分布对于刻画随机现象的重要性． 教学重点：离散型随机变量的分布列的概念． 教学难点：求简单的离散型随机变量的分布列． 授课类型：新授课． 课时安排：2课时． 教学过程：一、复习引入：1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．随机变量常用希腊字母ξ、η等表示．2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量．4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出．若ξ是随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数，则η也是随机变量．并且不改变其属性（离散型、连续型） 二、讲解新课：对于一个离散型随机变量来说，我们不仅要知道它的可能取哪些值，更重要的是要知道它取各个值得概率分别有多大，这样才能对这个离散型随机变量有深刻的了解．例如：在射击问题里，我们只要知道命中环数为0，1，2，…，10的概率分别是多少，才能了解选手的射击水平有多高．根据某个选手在一段时间里的成绩，可以得到下表命中环数X 0 1 2345 6 78910 10概率P0.01 0.01 0.02 0.020.060.09 0.28 0.290.22通过这个例子我们可以了解到：知识点3：要掌握一个离散型随机变量X 的取值规律，必须要知道：（1）X 所有可能取的值x 1，x 2，…，x n ，…（2）X 取每一个值x i （i=1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==， 这就是说，需要列出下表：ξ x 1 x 2 … x i … PP 1P 2…P i…我们称这个表为离散型随机变量X 的概率分布，或成为离散型随机变量X 的分布列．知识点4：通过对上例的分析我们可以知道分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:1)(0≤≤A P ，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质： (1)P i ≥0，i ＝1，2，…n ； (2)P 1+P 2+…P n =1．对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和．即⋅⋅⋅+=+==≥+)()()(1k k k x P x P x P ξξξ．讲解教材42-43页例题1到3． 知识点5：两点分布列:例1.在掷一枚图钉的随机试验中，令⎧⎨⎩1，针尖向上；X=0,针尖向下.如果针尖向上的概率为p ，试写出随机变量 X 的分布列． 解：根据分布列的性质，针尖向下的概率是（1p -) ．于是，随机变量 X 的分布列是 ξ 01P1p -p像上面这样的分布列称为两点分布列．两点分布又称0~1分布．两点分布列的应用非常广泛．如抽取的彩券是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等，都可以用两点分布列来研究．如果随机变量X 的分布列为两点分布列，就称X 服从两点分布，而称p =P(X=1）为成功概率．例 2．在含有 5 件次品的 100 件产品中，任取 3 件，试求： (1)取到的次品数X 的分布列；（2）至少取到1件次品的概率．解： (1)由于从 100 件产品中任取3 件的结果数为310C ，从100 件产品中任取3件，其中恰有k 件次品的结果数为3595k k C C -，那么从 100 件产品中任取 3 件，其中恰有 k 件次品的概率为35953100(),0,1,2,3k kC C P X k k C -===。
2.1.1 离散型随机变量
2.1离散型随机变量及其分布列2.1.1离散型随机变量问题导学一．随机变量的概念阅读教材44p活动与探究1:判断下列各量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)北京国际机场候机厅中2015年5月1日的旅客数量；(2)2015年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数；(3)体积为1 000 cm3的球半径长．迁移与应用:下列变量中，不是随机变量的是()A．2016年奥运会上中国取得的金牌数B．每一年从地球上消失的动物种数C．2008年奥运会上中国取得的金牌数D．某人投篮6次投中的次数在一次随机试验中，随机变量的取值实质是随机试验的结果所对应的数，且这个数所有可能的取值是预先知道的，但不知道究竟会出现哪一个值，这便是“随机”的本源．二、离散型随机变量的判定阅读教材45p活动与探究2:指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．(1)湖南矮寨大桥桥面一侧每隔30米有一路灯，将所有路灯进行编号，其中某一路灯的编号X；(2)在一次数学竞赛中，设一、二、三等奖，小明同学参加竞赛获得的奖次X；(3)一天内气温的变化值X；(4)丁俊辉在2012世锦赛中每局所得的分数X;(5) 任意抽取一瓶某种标有2500ml的饮料, 其实际量与规定量之差.迁移与应用1．下面给出四个随机变量：①高速公路上某收费站在未来1小时内经过的车辆数X；②一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置Y；③某网站未来1小时的点击量；④某人一生中的身高X．其中是离散型随机变量的序号为()A．①② B．③④C．①③D．②④2．下列随机变量中不是离散型随机变量的是__________．①某地车展中，预订各类汽车的总人数X；②北京故宫某周内每天接待的游客人数；③正弦曲线上的点P到x轴的距离X；④小麦的亩产量X；⑤王老师在一次英语课提问的学生人数X；⑥抛掷两枚骰子, 所得点数之和.判断一个变量是否为离散型随机变量，首先看它是不是随机变量，其次看可能取值是否能一一列出，也就是说变量的取值若是有限的，或者是可以列举出来的，就可以视为离散型随机变量，否则就不是离散型随机变量．三、离散型随机变量的取值活动与探究3: 写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果：(1)在2018年北京大学的自主招生中，参与面试的5名考生中，通过面试的考生人数X；(2)一个袋中装有2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数X；(3)一袋中装有5只同样大小的球，编号为1,2,3,4,5．现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数X;(4)某足球队在5次点球中射进的球数X.迁移与应用1．抛掷两枚骰子，所得点数之和为ξ，那么ξ＝4表示的随机试验结果是() A．一枚是3点，一枚是1点B．两枚都是2点C．两枚都是4点D．一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点2．写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值和所表示的随机试验的结果：(1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，取后不放回，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数；(2)从标有1,2,3,4,5,6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和．解答此类问题的关键在于明确随机变量的所有可能的取值，以及其取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些试验结果．当堂检测1．给出下列四个命题：①某次数学期中考试中，其中一个考场30名考生中做对选择题第12题的人数是随机变量；②黄河每年的最大流量是随机变量；③某体育馆共有6个出口，散场后从某一出口退场的人数是随机变量；④方程x2－2x－3＝0根的个数是随机变量．其中正确的是()A．1 B．2 C．3 D．4 2．袋中有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是()A．5 B．9 C．10 D．253．某班有学生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血的有15人，用0,1,2,3分别表示O 型，A型，B型，AB型，现任抽一人，其血型是随机变量ξ，则ξ的可能取值为__________．4．写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值所表示的随机试验的结果．(1)从一个装有编号为1号到10号的10个球的袋中，任取1球，被取出的球的编号为X；(2)一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X．动手试试练1．在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有3个红球和5个白球，这些球除颜色外完全相同．一次从中摸出3个球，至少摸到2个红球就中奖．（1）求摸到红球个数ξ的分布列；（2）求中奖的概率．练2．从一副不含大小王的52张扑克牌中任意抽出5张，求至少有3张A的概率．四、自测1.若随机变量ξ 的概率分布如下表所示，3. 已知随机变量ξ的分布列为则ξ为奇数的概率为.4. 在第4题的条件下，若32-=ξη，则η的分布列为：5学校要从30名候选人中选10名同学组成学生会，其中某班有4名候选人. 假设每名候选人都有相同的机会被选到，求该班恰有2名同学被选到的概率.6.老师要从10篇课文中随机抽3篇让同学背诵, 规定至少要背出其中2篇才能及格. 某同学只能背诵其中的6篇, 求:(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列;(2)他能及格的概率.2.2 二项分布及其应用 2.2.1 条件概率阅读教材P51-52自主完成P51的探究与思考 问题导学一、条件概率的概念与计算活动与探究11．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )A ．18B ．14C ．25D ．12新知条件概率的的定义：一般地，设A ，B 为两个事件，且________．称________为在事件A 发生的条件下，．事件B 发生的条件概率．条件概率具有概率的性质，任何事件的概率都在0和1之间，即________。
2.1,2.2离散型随机变量的概率分布
解 k可取值0，1，2
P{X＝k}＝
C2k C33k C53
.
例2.某射手对目标独立射击5次，每次命中目标的概 率为p，以X表示命中目标的次数，求X的分布律。
解：设Ai第i次射击时命中目标，i=1,2,3,4,5 则A1,A2,…A5,相互独立且 P(Ai)=p,i=1,2,…5. SX={0,1,2,3,4,5},
e e 3e2 2
P{X 3} 1 P{X 0} P{X 1} P{X 2}
1 e2 21 e2 22 e2 1 5e2 0.323
1!
2!
解 设X表示400次独立射击中命中的次数， 则X～B(400, 0.02)，故
P{X2}＝1－ P{X＝0}－P {X＝1} ＝1－0.98400－(400)(0.02)(0.98399)=…
泊松定理 设随机变量Xn～B(n, p), (n＝0, 1, 2,…), 且n很大，p很小，记=np，则
P{X k} k e ,
随机变量通常用X、Y、Z 或 、、等表示。 用小写字母x,y,z,…表示它们可能的取值。
随机变量的特点: 1 X的全部可能取值是互斥且完备的. 2 X的部分可能取值描述随机事件.
例1．引入适当的随机变量描述下列事件：
①将3个球随机地放入三个格子中， 事件A={有1个空格}，B={有2个空格}，C={全有球}。 ②进行5次试验，事件D={试验成功一次}，F={试验至少成 功一次}，G={至多成功3次}.
X
X (e)
0, 1,
eT eH
则这个有两个可能值的变量X代表了抛1枚硬币这一
试验的结果。
作为随机试验的结果，这些数量与以往用来表示时 间，位移等的变量有很大的不同，这就是其取值的 变化情况取决于随机试验的结果，即是不能完全预 言的，这种随机取值的变量就是随机变量。
《离散型随机变量》教学设计
概念形成
离散型随机变量：
让学生总结并得出离散型随机变量.
通过引导分析让学生能够分清哪种是离散型随机变量.
例题讲解
例1中的哪些是离散型随机变量呢？
(1)体积为64 cm3的正方体的棱长
(2)抛两枚质地均匀的骰子，出现的点数之和
(3)2015年6月1日蚌埠龙湖大桥一天中经过的车辆数
学生用自己的语言来概括本节课学到的知识和方法，是一种“主动建构”，也让学生真正体会到知识学到了手的感觉.
布置作业
必做题：
1.举出两个离散型随机变量的例子
2.教材习题2.1 A组第1、2题
选做题：
假设进行一次从袋中摸出一个球的游戏，袋中有3个红球、4个白球、1个蓝球、2个黑球，摸到红球得2分、白球得1分、黑球得-2分，列表写出可能的结果、对应的分值X及相应的概率.
其中是离散型随机变量的为()
A．①②B．③④C．①③D．②④
2.将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是( )
A．两次出现的点数之和B．两次掷出的最大点数
C．第一次减去第二次的点数差D．抛掷的次数
3.袋中有大小相同的5个小球，分别标有1、2、3、4、5五个号码，现在在有放回的条件下取出两个小球，设两个小球号码之和为X，则X所有可能值的个数是___个；“X=4”表示．
难点
对引入随机变量目的的认识.
二、教学设计
教学环节
提出问题
师生活动
设计意图
问题导入
问题1：掷一枚骰子，可能出现的结果有哪些？如何表示？
问题2：某人射击一次，可能出现命中的环数有哪些？如何表示？
问题3：在某次产品检验中，共检测100件产品，其中次品有4件，其余为正品.若从中任意抽取4件，那么其中含有的次品可能是多少件呢？
2.1.1 离散型随机变量(一)
10
思考1：
（1）电灯泡的寿命X是离散型随机变量吗？
（2）如果规定寿命在1500小时以上的灯泡为一等品， 寿命在1000到1500小时之间的为二等品，寿命在1000 小时以下的为不合格品。如果我们关心灯泡是否为合 格品，应如何定义随机变量？如果我们关心灯泡是否 为一等品或二等品，又如何定义随机变量？
的关系式；
（2）已知某旅客实付车费38元，问出租车在途中因故停车累 计最多几分钟？
15
思考2：
随机变量与函数有类似的地方吗？
随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随 机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数。在 这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定 义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域。我 们把随机变量的取值范围叫做随机变量的值域。 例如，在含有10件次品的100件产品中，任意抽取 4件，可能含有的次品件数X将随着抽取结果的变化而 变化，是一个随机变量。其值域是{0,1,2,3,4}.
问题：
1、对于上述试验，可以定义不同的随机变量来表示 这个试验结果吗？ 2、在掷骰子试验中，如果我们仅关心掷出的点数是 否为偶数，应如何定义随机变量？
Y=
0,掷出奇数点 1,掷出偶数点
3、任何随机试验的所有结果都可以用数字表示吗？
本质是建立了一个从试验结果到实数的对应关系。
6Hale Waihona Puke 2、离散型随机变量（2）一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取个4球， 其中所含红球的个数为X；
（3）投掷两枚骰子，所得点数之和为X，所得点数之和是偶 数为Y。
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3、抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚 骰子掷出的点数的差为 ，问：“ 4 ”表示的试验结果 是什么？
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第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布列2.1.1离散型随机变量课后篇巩固探究基础巩固1.给出下列四个命题:①在某次数学期中考试中,一个考场30名考生做对选择题第12题的人数是随机变量;②黄河每年的最大流量是随机变量;③某体育馆共有6个出口,散场后从某一出口退场的人数是随机变量;④方程x2-2x-3=0根的个数是随机变量.其中正确命题的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4是正确的,④中方程x2-2x-3=0的根有2个,是确定的,不是随机变量.2.一个袋子中有除颜色外其他都相同的红、黄、绿、白四种小球各若干个,一次倒出3个小球,下列变量是离散型随机变量的是()A.小球滚出的最大距离B.倒出小球所需的时间C.倒出的3个小球的质量之和D.倒出的3个小球的颜色的种数A,小球滚出的最大距离不是离散型随机变量,因为滚出的最大距离不能一一列出;对于B,倒出小球所需的时间不是离散型随机变量,因为所需的时间不能一一列出;对于C,3个小球的质量之和是一个定值,可以预见,结果只有一种,不是随机变量;对于D,倒出的3个小球的颜色的种数可以一一列出,是离散型随机变量.3.袋中有大小相同的5个球,分别标有1,2,3,4,5五个号码,现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球,设两个球的号码之和为随机变量X,则X所有可能取值的个数是()A.5B.9C.10D.25的可能取值是2,3,4,5,6,7,8,9,10,共9个.4.一串5把外形相同的钥匙,只有一把能打开锁,依次试验,打不开的扔掉,直到找到能开锁的钥匙为止,则试验次数X的最大值可能为()A.5B.2C.3D.4X取最大值时只剩下一把钥匙,但锁此时未打开,故试验次数为4.5.抛掷两枚质地均匀的骰子一次,X为第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差,则X的所有可能取值为()A.0≤X≤5,X∈NB.-5≤X≤0,X∈ZC.1≤X≤6,X∈ND.-5≤X≤5,X∈Zx表示第一枚骰子掷出的点数,y表示第二枚骰子掷出的点数,X=x-y,且(x-y)∈Z.|x-y|≤|1-6|,即-5≤X≤5.6.一用户在打电话时忘了号码的最后四位数字,只记得最后四位数字两两不同,且都大于5,于是他随机拨最后四位数字(两两不同),设他拨到所要号码时已拨的次数为ξ,则随机变量ξ的所有可能取值的种数为()A.24B.20C.4D.18,且都大于5,因此只能是6,7,8,9四位数字的不同排列,故有=24种.7.对一批产品逐个进行检测,第一次检测到次品前已检测的产品个数为ξ,则ξ=k表示的试验结果为()A.第k-1次检测到正品,而第k次检测到次品B.第k次检测到正品,而第k+1次检测到次品C.前k-1次检测到正品,而第k次检测到次品D.前k次检测到正品,而第k+1次检测到次品,得ξ=k表示第一次检测到次品前已检测的产品个数为k,因此前k次检测到的都是正品,第k+1次检测到的是次品,故选D.8.已知Y=2X为离散型随机变量,Y的可能取值为1,2,3,…,10,则X的可能取值为.Y的取值1,2,3,…,10代入Y=2X中,得X=,1,,2,,3,,4,,5.,1,,2,,3,,4,,59.下面给出三个变量:(1)2013年地球上发生地震的次数ξ.(2)在一段时间间隔内某种放射性物质发生的α粒子数η.(3)在一段时间间隔内某路口通过的宝马车的辆数X.其中是随机变量的是.年地球上发生地震的次数ξ是确定的,故不是随机变量;(2)发出的α粒子数η是变化的,有限的,是随机变量;(3)通过的宝马车的辆数X可取的值是变化的,是随机变量.10.某篮球运动员在罚球时,罚中1球得2分,罚不中得0分,该队员在5次罚球中命中的次数X是一个随机变量.(1)写出X的所有可能取值及每一个取值所表示的试验结果;(2)若记该队员在5次罚球后的得分为Y,写出所有Y的取值及每一个取值所表示的试验结果.X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.它们表示在5次罚球中分别罚中0次,1次,2次,3次,4次,5次.(2)Y的所有可能取值为0,2,4,6,8,10.它们表示5次罚球后分别得0分,2分,4分,6分,8分,10分.11.写出下列各随机变量可能的取值,并说明随机变量所表示的随机试验的结果.(1)小明要去北京旅游,可能乘火车、乘汽车,也可能乘飞机,旅费分别为100元、300元和600元,将他的旅费记为ξ;(2)正方体的骰子,各面分别刻着1,2,3,4,5,6,随意掷两次,所得的点数之和为ξ;(3)一个人要开房门,他共有10把钥匙,其中仅有一把是能开门的,他随机取钥匙去开门并且用后不放回,其中打开门所试的钥匙个数为ξ;(4)电台在每个整点都报时,某人随机打开收音机对表,他所等待的时间ξ(min).ξ可能的取值为100,300,600,分别表示所花的旅费为100元,300元和600元.(2)ξ可能的取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.分别表示所掷点数为1,1;1,2或2,1;1,3或3,1或2,2;…;6,6.(3)ξ可能的取值为1,2,3,…,10.ξ=n表示第n次打开房门(n取1,2,3,…,10).(4)ξ可能的取值为区间[0,60]内任何一个值,每一个可能取的值表示他所等待的时间.能力提升1.袋中装有大小和颜色均相同的5个乒乓球,分别标有数字1,2,3,4,5,现从中任意抽取2个,设两个球上的数字之积为X,则X所有可能值的个数是()A.6B.7C.10D.25的所有可能值有1×2,1×3,1×4,1×5,2×3,2×4,2×5,3×4,3×5,4×5,共计10个.∈则不等式≥1的解集所对应的ξ的值为()2.若实数x∈R,记随机变量ξ=-∈-A.1B.0C.-1D.1或0不等式≥1,可化为-1=-≥0,-它等价于解得0<x≤1.而当x∈(0,1]时,ξ=1.故选A.3.一个木箱中装有8个同样大小的篮球,编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8,现从中随机取出3个篮球,以X表示取出的篮球的最大号码,则X=8表示的试验结果有种.8表示“3个篮球中一个编号是8,另外两个从剩余7个编号中选2个”,有种选法,即X=8表示的试验结果有21种.4.一个袋中装有5个白球和5个红球,从中任取3个,其中所含白球的个数记为ξ,则随机变量ξ的值域为.,ξ的所有可能取值为0,1,2,3,故ξ的值域为{0,1,2,3}.5.一个袋中装有除颜色外其他都相同的5个白球和5个黑球,从中任取3个,其中所含白球的个数为X.(1)列表说明可能出现的结果与对应的X的值;(2)若规定抽取3个球中,每抽到一个白球加5分,抽到黑球不加分,且最后不管结果如何都加上6分,求最终得分Y 的可能取值,并判定Y 的随机变量类型.(2)由题意可得Y=5X+6,而X 的可能取值为0,1,2,3,所以Y 对应的取值为5×0+6,5×1+6,5×2+6,5×3+6.故Y 的可能取值为6,11,16,21,显然Y 为离散型随机变量.6.某人去商厦为所在公司购买玻璃水杯若干只,公司要求至少要买50只,但不得超过80只.商厦有优惠规定:一次购买少于或等于50只的无优惠;多于50只的,超出的部分按原价的7折优惠.已知水杯原来的价格是每只6元.这个人一次购买水杯的只数ξ是一个随机变量,那么他所付款η是否也为一个随机变量呢?ξ,η有什么关系呢?η也是一个随机变量,且η=50×6+(ξ-50)×6×0.7=4.2ξ+90,ξ∈[50,80],ξ∈N .7.某次演唱比赛,需要加试文化科学素质,每位参赛选手需回答3个问题,组委会为每位选手都备有10道不同的题目可供选择,其中有5道文史类题目,3道科技类题目,2道体育类题目,测试时,每位选手从给定的10道题目中不放回地随机抽取3次,每次抽取一道题目,回答完该题后,再抽取下一道题目做答.记某选手抽到科技类题目的道数为X. (1)试求出随机变量X 的可能取值.(2)X=1表示的试验结果是什么?可能出现多少种不同的结果? 由题意得X 的可能取值为0,1,2,3.(2)X=1表示的试验结果是“恰好抽到一道科技类题目”.从三类题目中各抽取一道有=180(种)不同的结果.抽取1道科技类题目,2道文史类题目有=180(种)不同的结果.抽取1道科技类题目,2道体育类题目,有=18(种)不同的结果.所以可能出现180+180+18=378(种)不同的结果.8.(选做题)写出下列随机变量可能的取值,并说明这些值所表示的随机试验的结果.(1)一个袋中装有大小相同的2个白球和5个黑球,从中任取3个,其中所含白球的个数X;(2)抛掷两枚骰子各一次,第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差的绝对值Y.,确定随机变量的所有可能取值,然后写出随机变量的取值所表示的事件.X的所有可能取值为0,1,2.X=0表示所取的3个球是3个黑球;X=1表示所取的3个球是1个白球,2个黑球;X=2表示所取的3个球是2个白球,1个黑球.(2)Y的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.用(a,b)表示一个基本事件,其中a为第一枚骰子掷出的点数,b为第二枚骰子掷出的点数.Y=0表示掷出的两枚骰子的点数相同,其包含的基本事件有(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6).Y=1表示掷出的两枚骰子的点数相差1,其包含的基本事件有(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),(4,5),(5,4),(5,6),(6,5).Y=2表示掷出的两枚骰子的点数相差2,其包含的基本事件有(1,3),(3,1),(2,4),(4,2),(3,5),(5,3),(4,6),(6,4).Y=3表示掷出的两枚骰子的点数相差3,其包含的基本事件有(1,4),(4,1),(2,5),(5,2),(3,6),(6,3).Y=4表示掷出的两枚骰子的点数相差4,其包含的基本事件有(1,5),(5,1),(2,6),(6,2).Y=5表示掷出的两枚骰子的点数相差5,其包含的基本事件有(1,6),(6,1).。