您的位置：360文档中心› 切线性质与判定练习题

切线性质与判定练习题

合集下载

切线的性质与判定

切线的性质与判定

P 图1切线的性质与判定直线与圆相切是直线与圆的特殊位置关系，有关的性质与判定也是圆中重点知识，现举例说明，供大家参考．一、切线性质的应用例1如图1，AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于A ，OP 交⊙O 于C ，连BC ．若∠P=30º，求∠B 的度数．分析：要求∠B 周角的2倍”，因此∠AOC=2∠B ，所以只要求出∠AOC 的度数，而PA 是⊙O 切线，根据圆的切线性质知△PAO 是直角三角形，而∠P 知，这样根据“直角三角形两锐角互余”即可求出∠B 的度数． 解：因为PA 切⊙O 于A ，AB 是⊙O 的直径，所以OA ⊥PA ，即∠PAO=90º．因为∠P=30º，所以∠AOC =90º－∠P=90º－30º=60º．又因为∠AOC=2∠B ，所以∠B=30º．点评：“圆的切线垂直于经过切点的半径”，这一性质在求角的度数和线段长度中有着广泛的应用．二、切线的判定例2（兴义）如图2，AB 是⊙O 的直径，点P 在BA ∠BPC=30°．求证：PC 是⊙O 的切线．分析：由于题目中没有明确直线PC 与⊙O 因为∠BPC=30°，所以OD=12OP ．因为AP=12AB AP=OA=12OP ．所以OD= OA ，即圆心O 到直线PC O 的切线．点评：圆的切线的判定常见方法有两种类型：一当已知条件中已明确给出直线与圆的公共点时，常采用连接这点和圆心这条辅助线，去证明这个半径垂直于已知直线．这种方法简称“连半径，证垂直”．二当已知条件中没有明确给出直线与圆的公共点时，常采用过圆心作直线的垂线段这条辅助线，去证明垂线段的长度等于圆的半径长．这种方法简称“作垂直，证半径”．本例属于第二种类型．。

天津市中考数学一轮专题复习 切线的性质与判定-人教版初中九年级全册数学试题

天津市中考数学一轮专题复习 切线的性质与判定-人教版初中九年级全册数学试题

切线的性质与判定一选择题：1.如图，P是⊙O直径AB延长线上的一点，PC与⊙O相切于点C，若∠P=20°，则∠A的度数为（）°°°°2.如图,△ABC中，AB=5,BC=3,AC=4,以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半径为（）3.如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上一点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E 等于（）°°°°4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=4cm，以点C为圆心，以2cm的长为半径作圆，则⊙C与AB 的位置关系是( )5.如图,PA,PB是⊙O的切线,A，B是切点,点C是劣弧AB上的一个点,若∠P=40°,则∠ACB度数是( )A．80° B．110° C．120° D．140°6.已知如图, AB 是半圆 O 的直径,弦. AD 、 BC 相交于点 P ,那么等于∠ BPD 的（）A．正弦 B．余弦 C．正切 D．以上都不对7.如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F，已知∠A=100°，∠C=30°，则∠DFE度数是（）A．55° B．60° C．65° D．70°8.如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点．若PB切⊙O于点B，则PB的最小值是（）A． B． C．3 D．29.如图，△ABC中AB=AC=5，BC=6，点P在边AB上，以P为圆心的⊙P分别与边AC、BC相切于点E、F，则⊙P 的半径PE的长为( )A． B．2 C． D．⊙O的直径，点P是AB延长线上的一个动点，过P作⊙O的切线，切点为C，∠APC的平分线交AC于点D，若∠CPD=20°，则∠CAP等于（）°°°°°角的扇形纸片如图所示的方式分别剪得一个正方形，如果所剪得的两个正方形边长都是1，那么圆形纸片和扇形纸片的面积比是（）A.4：5B.2：5C.：2D.：12.如图，点A、B分别在x轴、y轴上（）,以AB为直径的圆经过原点O,C是的中点，连结AC，BC．下列结论：①; ②若4,OB =2，则△ABC的面积等于5; ③若,则点C的坐标是（2，），其中正确的结论有（）13.一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于 ( )A．21 B．20 C．19 D．1814.如图，A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线l，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB=60°，设OP=x，则△PAB的面积y关于x的函数图象大致是（）A. B. C. D.15.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°，AC=4，BC=3，O是△ABC的内心,以O为圆心,r为半径的圆与线段AB有交点，则r的取值X围是（）A．r≥1 B．1≤r≤C．1≤r≤D．1≤r≤416.如下图，已知⊙O的直径为AB，AC⊥AB于点A，BC与⊙O相交于点D，在AC上取一点E，使得ED=EA.下面四个结论：①ED是⊙O的切线；②BC=2OE；③△BOD为等边三角形；④△EOD∽△CAD.正确的是（）A．①② B．②④ C．①②④ D．①②③④17.如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（）B. C. D.18.如图,在平面直角坐标系中，直线经过、，的半径为2（为坐标原点），点是直线上的一动点，过点作的一条切线，为切点，则切线长最小值为( )A. C. D.19.如图,在△ABC中,AB=10,AC =8,BC=6,经过点C且与边相切的动圆与CA,CB分别相交于点P,Q,则线段PQ 长度的最小值是（）A. B. C. D．20.如图,在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点,顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA=2，OC=1，矩形对角线AC、OB相交于E，过点E的直线与边OA、BC分别相交于点G、H，以O为圆心，OC为半径的圆弧交OA于D，若直线GH与弧CD所在的圆相切于矩形内一点F，则下列结论：①AG=CH；②GH=；③直线GH的函数关系式；④梯形ABHG的内部有一点P，当⊙P与HG、GA、AB都相切时，⊙P的半径为.其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二填空题:21.如图,点D为AC上一点,点O为AB上一点.AD=DO,以O为圆心,OD长为半径作圆，交AC于另一点E,交AB于点F，G，连接EF，若∠BAC=220，则∠EFG的大小为(度)22.如图，⊙O是以数轴原点O为圆心，半径为3的圆，与坐标轴的正半轴分别交于A、C两点，OB平分∠AOC，点P在数轴上运动，过点P且与OB平行的直线与⊙O有公共点，则线段OP的取值X围是．⊙O等高，如图放置，⊙O与BC相切于点C，⊙O与AC相交于点E，则CE的长为cm．24.如图，直线y=x﹣2与x轴、y轴分别交于M、N两点，现有半径为1的动圆圆心位于原点处，并以每秒1个单位的速度向右作平移运动．已知动圆在移动过程中与直线MN有公共点产生，当第一次出现公共点到最后一次出现公共点，这样一次过程中该动圆一共移动秒．25.如图,在△ABC中,∠BAC=60°,∠ABC=45°,AB=2,D是线段BC上的一个动点,以AD为直径画⊙O分别交AB、AC于E、F,连接EF,则线段EF长度的最小值是.26.如图，点P在双曲线y=（x＞0）上，⊙P与两坐标轴都相切，点E为y轴负半轴上的一点，过点P作PF ⊥PE交x轴于点F，若OF-OE=8，则k的值是．27.如图，在正方形ABCD中，以AB为直径作半圆，点P是CD中点，BP与半圆交于点Q，连结DQ．给出如下结论：①DQ与半圆O相切；②；③∠ADQ=2∠CBP；④cos∠CDQ=．其中正确的是（请将正确结论的序号填在横线上）．28.如图，扇形OAB的半径为4，∠AOB=90°，P是半径OB上一动点，Q是弧AB上的一动点．（1）当P是OB中点，且PQ∥OA时（如图1），弧AQ的长为；（2）将扇形OAB沿PQ对折，使折叠后的弧QB′恰好与半径OA相切于C点（如图2）．若OP=3，则O到折痕PQ 的距离为．29.如图，平面直角坐标系中，分别以点A（﹣2，3），B（3，4）为圆心，以1、2为半径作⊙A、⊙B，M、N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值等于．30.如图,正方形ABCD的边长为2，将长为2的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动.如果点Q从点A 出发，沿图中所示方向按A→B→C→D→A滑动到点A为止,同时点F从点B出发,沿图中所示方向按B→C→D→A →B滑动到点B为止，那么在这个过程中，线段QF的中点M所经过路线围成的图形面积为．三简答题:31.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,O是AB上一点,以O为圆心,OA为半径的⊙O经过点D．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BD=5，DC=3，求AC的长．32.如图，已知AB是⊙的直径，AC是弦，点P是BA延长线上一点，连接PC，BC．∠PCA=∠B （1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若PC=6，PA=4，求直径AB的长．33.如图，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于点P，过点B的直线交OP的延长线于点C，且CP=CB．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为，OP=1，求BC的长34.如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于E点，D为BC的中点．求证：DE与⊙O相切．35.如图，AB切⊙O于点B，AD交⊙O于点C和点D，点E为的中点，连接OE交CD于点F，连接BE交CD于点G．（1）求证：AB=AG；（2）若DG=DE，求证：GB2=GC•GA；（3）在（2）的条件下，若tanD=，EG=，求⊙O的半径．36.如图，在⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，在AB的延长线上有点E，且EF＝ED.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若OF∶OB＝1∶3，⊙O的半径为3，求的值．37.如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE垂直于PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E．（1）求证：AB=BE；（2）若PA=2，cosB=，求⊙O半径的长．38.如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且AC=CF，∠CBF=∠CFB．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若点D，点E分别是弧AB的三等分点，当AD=5时，求BF的长和扇形DOE的面积；（3）填空：在（2）的条件下，如果以点C为圆心，r为半径的圆上总存在不同的两点到点O的距离为5，则r 的取值X围为．39.如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED=∠C．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）求证：ED平分∠BEP；（3）若⊙O的半径为5，CF=2EF，求PD的长．40.如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC 于点F．（1）试说明DF是⊙O的切线；（2）若AC=3AE，求tanC．参考答案5.B6.B7.C．8.B．9.A【解答】解：连结CP，作AH⊥BC于H，如图，设⊙P的半径为r，∵AB=AC=5，∴BH=CH=BC=3，∴AH==4，∵以P为圆心的⊙P分别与边AC、BC相切于点E、F，∴PE⊥BC，PF⊥AC，∵S△ABC=S△PAC+S△PBC，∴BC×AH=BC×PE+AC×PF，即6×4=6r+5r，∴r=．故选A．13.C17.B解：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，如图，∵⊙P的圆心坐标是（3，a），∴OC=3，PC=a，把x=3代入y=x得y=3，∴D点坐标为（3，3），∴CD=3，∴△OCD为等腰直角三角形，∴△PED也为等腰直角三角形，∵PE⊥AB，∴AE=BE=AB=×4=2，在Rt△PBE中，PB=3，∴PE=，∴PD=PE=，∴a=3+．故选：B．20.D．试题分析：①∵四边形OABC是矩形，∴OE=BE，BC∥OA，OA=BC，∴∠HBE=∠GOE，∵在△BHE和△OGE中，∠HBE=∠GOE，OE=BE，∠HEB=∠GEO，∴△BHE≌△OGE（ASA），∴BH=OG，∴AG=CH．④如图2，连接BG，∵在△OCH和△BAG中，CH=AG，∠HCO=∠GAB，OC=AB，∴△OCH≌△BAG（SAS），∴∠CHO=∠AGB．∵∠HCO=90°，∴HC切⊙O于C，HG切⊙O于F，∴OH平分∠CHF，∴∠CHO=∠FHO=∠BGA．∵△CHE≌△AGE，∴HE=GE．∵在△HOE和△GBE中，HE=GE，∠HEO=∠GEB，OE=BE，∴△HOE≌△GBE（SAS），∴∠OHE=∠BGE．∵∠CHO=∠FHO=∠BGA，∴∠BGA=∠BGE，即BG平分∠FGA．∵⊙P与HG、GA、AB都相切，∴圆心P必在BG上．过P做PN⊥GA，垂足为N，则△GPN∽△GBA，∴，设半径为r，则，解得r=．故选D．0 22.0＜OP≤3 23. 3 cm． 24.2 25.26.1627.①③【解答】解：①如图1连接DO，OQ，在正方形ABCD中，AB∥CD，AB═CD，∵P是CD中点，O是AB中点，∴DP∥OB，DP═OB，∴四边形OBDP是平行四边形，∴OD∥BP，∴∠1=∠OBQ，∠2=∠3，又∵OQ=OB，∴∠3=∠OBQ，∴∠1=∠2，在△AOD和△QOD中，，∴△AOD≌△QOD，∴∠OQD=∠A=90°，∴DQ与半圆O相切，①正确；②如图2连接AQ，可得：∠AQB=90°，在正方形ABCD中，AB∥CD，∴∠ABQ=∠BPC，设正方形边长为x，则CP=x，由勾股定理可求：BP=，∴cos∠BPC=，cos∠ABQ=，∴=，又AB=x，可求，BQ=x，PQ=x，∴=，②不对；③如图3连接AQ，OQ，由①知，∠OQD=90°，又∠OAD=90°，可求∠ADQ+∠AOQ=180°，∵∠3+∠AOQ=180°，∴∠3=∠ADQ，由②知，∠1+∠4=90°，又∠4+∠CBP=90°，∴∠CBP=∠1，∵OA=OQ，∴∠1=∠2，又∵∠3=∠1+∠2，∴∠3=2∠CBP，∴∠ADQ=2∠CBP，故③正确；④如图4，过点Q作QH⊥CD，易证QH∥BC，设正方形边长为x，由②知：PQ=x，cos∠BPC=，可求：PH=x，HQ=x，∴DH=DP+PH=x，由勾股定理可求：DQ=x，∴cos∠CDQ==，故④不正确．综上所述：正确的有①③．28.（1）π；（2）．【解答】解：（1）如图1，连接OQ，∵扇形OAB的半径为4且P是OB中点，∴OP=2，OQ=4，∵PQ∥OA，∴∠BPQ=∠AOB=90°，∴∠1=30°，∴∠2=∠1=30°，由弧AQ的长==π，故答案为：π；（2）如图2，找点O关于PQ的对称点O′，连接OO′、O′B、O′C、O′P，则OM=O′M，OO′⊥PQ，O′P=OP=3，点O′是所在圆的圆心，∴O′C=OB=4，∵折叠后的弧QB′恰好与半径OA相切于C点，∴O′C⊥AO，∴O′C∥OB，∴四边形OCO′B是矩形，在Rt△O′BP中，O′B==2，在Rt△OBO′K，OO′==2，∴OM=OO′=×2=，即O到折痕PQ的距离为，故答案为：．29.﹣330.4－π31.（1）证明：连接OD；∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠3．∵OA=OD，∴∠1=∠2．∴∠2=∠3．∴OD∥AC．∴∠ODB=∠ACB=90°．∴OD⊥BC．∴BC是⊙O切线．（2）解：过点D作DE⊥AB，∵AD是∠BAC的平分线，∴CD=DE=3．在Rt△BDE中，∠BED=90°，由勾股定理得：，在Rt△AED和Rt△ACD中，，∴Rt△AED ≌ Rt△ACD∴AC=AE，设AC=x，则AE=x，AB=x+4，在Rt△ABC中，即，解得x=6，∴AC=6．32.1）证明：连接OC，如图所示：∵AB是⊙的直径，∴∠ACB=90°，即∠1+∠2=90°，∵OB=OC，∴∠2=∠B，又∵∠PCA=∠B，∴∠PCA=∠2，∴∠1+∠PCA=90°，即PC⊥OC，∴PC是⊙O的切线；（2）解：∵PC是⊙O的切线，∴PC2=PA•PB，∴62=4×PB，解得：PB=9，∴AB=PB﹣PA=9﹣4=5．33.1）证明略（3分）（2）BC=234【解答】解：连接OD，OE，∵O，D分别是AB，BC中点，∴OD∥AC，∴∠2=∠A，∠3=∠1，∵OA=OE，∴∠A=∠3，∴∠1=∠2，在△OED和△OBD中，，∴△OED≌△OBD，∴∠OED=∠ABC=90°，∴DE⊥OE，∵点D在⊙O上，∴DE与⊙O相切．35.（1）证明：如图，连接OB．∵AB为⊙O切线，∴OB⊥AB，∴∠ABG+∠OBG=90°，∵点E为的中点，∴OE⊥CD，∴∠OEG+∠FGE=90°，又∵OB=OE，∴∠OBG=∠OEG，∴∠ABG=∠FGE，∵∠BGA=∠FGE，∴∠ABG=∠BGA，∴AB=AG；（2）证明：连接BC，∵DG=DE，∴∠DGE=∠DEG，由（1）得∠ABG=∠BGA，又∵∠BGA=∠DGE，∴∠A=∠D，∵∠GBC=∠D，∴∠GBC=∠A，∵∠BGC=∠AGB，∴△GBC∽△GAB，∴，∴GB2=GC•GA；（3）连接OD，在Rt△DEF中，tanD=，∴设EF=3x，则DF=4x，由勾股定理得DE=5x，∵DG=DE，∴DG=5x，∴GF=DG﹣DF=x．在Rt△EFG中，由勾股定理得GF2+EF2=EG2，即（3x）2+x2=（）2，解得x=1，设⊙O半径为r，在Rt△ODF中，OD=r，OF=r﹣3x=r﹣3，DF=4x=4，由勾股定理得：OF2+FD2=OD2，即（r﹣3）2+（4）2=r2，解得r=，∴⊙O的半径为．36.解：(1)连接OD，∵EF＝ED，∴∠EFD＝∠EDF，∵∠EFD＝∠CFO，∴∠CFO＝∠EDF，∵OC⊥OF，∴∠OCF＋∠CFO＝90°，而OC＝OD，∴∠OCF＝∠ODF，∴∠ODC＋∠EDF＝90°，即∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线(2)∵OF∶OB＝1∶3，∴OF＝1，BF＝2，设BE＝x，则DE＝EF＝x＋2，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADO＝∠BDE，而∠ADO＝∠A，∴∠BDE＝∠A，又∠BED＝∠DEA，∴△EBD∽△EDA，∴＝＝，即＝＝，∴x＝2，∴＝＝37.（1）证明：连接OD，∵PD切⊙O于点D，∴OD⊥PD，∵BE⊥PC，∴OD∥BE，∴∠ADO=∠E，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∴∠OAD=∠E，∴AB=BE；（2）有（1）知，OD∥BE，∴∠POD=∠B，∴cos∠POD=cosB=，在Rt△POD中，cos∠POD=，∵OD=OA，PO=PA+OA=2+OA，∴,∴OA=3，∴⊙O半径为3．38.（1）证明见解析；（2），；（3）＜r＜．（1）∵∠CBF=∠CFB，∴CB=CF，又∵AC=CF，∴CB=AF，∴△ABF是直角三角形，∴∠ABF=90°，∴直线BF是⊙O的切线；（2）连接DO，EO，∵点D，点E分别是弧AB的三等分点，∴∠AOD=60°，又∵OA=OD，∴△AOD是等边三角形，∴∠OAD=60°，又∵∠ABF=90°，AD=5，∴AB=10，∴BF=；扇形DOE的面积==；（3）连接OC，则圆心距OC=，由题意得，＜r＜，故答案为：＜r＜．39.（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析；（3）．（2）∵AB、CD为⊙O的直径，∴∠AEB=∠CED=90°，∴∠3=∠4（同角的余角相等），又∵∠PED=∠1，∴∠PED=∠4，即ED平分∠BEP；（3）设EF=x，则CF=2x，∵⊙O的半径为5，∴OF=2x﹣5，在RT△OEF中，，即，解得x=4，∴EF=4，∴BE=2EF=8，CF=2EF=8，∴DF=CD﹣CF=10﹣8=2，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∵AB=10，BE=8，∴AE=6，∵∠BEP=∠A，∠EFP=∠AEB=90°，∴△AEB∽△EFP，∴，即，∴PF=，∴PD=PF﹣DF==．40.（1）证明见试题解析；（2）．试题解析：（1）连接OD，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切线；（2）连接BE，∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∵AB=AC，AC=3AE，∴AB=3AE，CE=4AE，∴BE==AE，在RT△BEC中，tanC==．。

圆的切线的性质和判定-练习题-含答案.doc

圆的切线的性质和判定-练习题-含答案.doc

D.不能确定的切线的性质与判定副标题 题号 * 总分 得分一、选择题（本大题共2小题，共6.0分）1.己知半径为5的圆，其圆心到直线的距离是3,此时直线和圆的位置关系为（） A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定【答案】C 【解析】解：半径r = 5,圆心到直线的距离d=3,v 5 > 3, BPr > d,二直线和圆相交，故选C.由直线和圆的位置关系：r>d,可知：直线和圆相交.本题考查了直线和圆的位置关系，判断的依据是半径和直线到圆心的距离的大小关系： 设。

的半径为厂，圆心。

到直线/的距离为丈 ①直线/和0。

相交②直线 /和。

相切od=r ；③直线/和。

0相离^d>r.2. 在中，zC= 90°, BC=3cm, AC=4cm,以点 C 为圆心，以2.5cm 为半径画圆，则。

C 与直线AB 的位置关系是（） A,相交 B.相切 C.相离 【答案】A 【解析】解：过C 作CD LAB 于。

，如图所示： A ABC 中，L.C — 90, AC= 4, BC = 3, ・・・AB =、泌=5,7 A ABC^Jm=^-ACxBC=预8x CD, 2 2・•. 3 X 4 = 5 CD ,CD= 2.4<2.5, 即』< r, .••以2.5为半径的。

C 与直线AB 的关系是相交； 故选A.过C 作CD LAB 于C,根据勾股定理求出AB,根据三角形的面积公式求出CD,得出 d<r,根据直线和圆的位置关系即可得出结论.本题考查了直线和圆的位置关系，用到的知识点是勾股定理，三角形的面积公式；解此 题的关键是能正确作出辅助线，并进一步求出CO 的长，注意：直线和圆的位置关系有: 相离，相切，相交.二、填空题（本大题共3小题，共9.0分）3, 如图，已知。

是MBC 的内切圆，切点为。

、E 、 尸，如果AE=2, CD= 1, BF= 3,则内切圆的半 径『= .BD【答案】1【解析】解：・.・。

人教版九年级上《24.2.3切线的判定和性质》同步练习（含答案）

人教版九年级上《24.2.3切线的判定和性质》同步练习（含答案）

2022-2023人教版数学九年级上册同步练习24.2.3 切线的判定和性质一．选择题（共15小题）1．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切，切点为C，若大圆的半径是13，AB=24，则小圆的半径是（）A．4B．5C．6D．72．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别为P、C、D，若AB=5，AC=3，则BD的长是（）A．1.5B．2C．2.5D．33．如图，⊙O中，CD是切线，切点是D，直线CO交⊙O于B、A，∠A=20°，则∠C的度数是（）A．25°B．65°C．50°D．75°4．如图，直线AB与⊙O相切于点A，⊙O的半径为1，若∠OBA=30°，则OB长为（）A．1B．2C．D．25．如图，∠NAM=30°，O为边AN上一点，以点O为圆心，2为半径作⊙O，交AN边于D、E两点，则当⊙O与AM相切时，AD等于（）A．4B．3C．2D．16．如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A、D、G三点的圆O与边AB、CD 分别交于点E、点F，给出下列说法：（1）AC与BD的交点是圆O的圆心；（2）AF与DE的交点是圆O的圆心；（3）BC与圆O相切，其中正确说法的个数是（）A．0B．1C．2D．37．已知⊙O的半径为5，直线EF经过⊙O上一点P（点E，F在点P的两旁），下列条件能判定直线EF与⊙O相切的是（）A．OP=5B．OE=OFC．O到直线EF的距离是4D．OP⊥EF8．如图，网格中的每个小正方形的边长是1，点M，N，O均为格点，点N在⊙O上，若过点M作⊙O的一条切线MK，切点为K，则MK=（）A．3B．2C．5D．9．如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，连接BC，PA．若∠P=40°，当∠B等于（）时，PA与⊙O相切．A．20°B．25°C．30°D．40°10．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将圆P沿x轴的正方向平移，使得圆P与y轴相切，则平移的距离为（）A．1B．3C．5D．1或511．如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A=60°，∠D=110°，的度数是70°，直线l与⊙O相切于点A．在没有滑动的情况下，将⊙O沿l向右滚动，使O点向右移动70π，则此时⊙O与直线l相切的切点所在的劣弧是（）A．B．C．D．12．如图，在等边△ABC中，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC 相交于点D、E、F是AC上的点，判断下列说法错误的是（）A．若EF⊥AC，则EF是⊙O的切线B．若EF是⊙O的切线，则EF⊥ACC．若BE=EC，则AC是⊙O的切线D．若BE=EC，则AC是⊙O的切线13．如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D 是⊙O上一点，连接PD．已知PC=PD=BC．下列结论：（1）PD与⊙O相切；（2）四边形PCBD是菱形；（3）PO=CD；（4）弧AC=弧AD．其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个14．如图，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B．直线MN与l1相交于M；与l2相交于N，⊙O的半径为1，∠1=60°，直线MN从如图位置向右平移，下列结论①l1和l2的距离为2 ②MN=③当直线MN与⊙O相切时，∠MON=90°④当AM+BN=时，直线MN与⊙O相切．正确的个数是（）A．1B．2C．3D．415．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD=30°，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B 的方向移动，那么（）秒钟后⊙P与直线CD相切．A．4B．8C．4或6D．4或8二．填空题（共6小题）16．在平面直角坐标系中，点P的坐标为（﹣4，0），半径为1的动圆⊙P沿x 轴正方向运动，若运动后⊙P与y轴相切，则点P的运动距离为．17．如图，直线PA是⊙O的切线，AB是过切点A的直径，连接PO交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC=25°，则∠P的度数为．18．如图，已知PA、PB是⊙O的切线，A、B分别为切点，∠OAB=30°．（1）∠APB=；（2）当OA=2时，AP=．19．如图所示，直线y=x﹣2与x轴、y轴分别交于M，N两点，⊙O的半径为1，将⊙O以每秒1个单位的速度向右作平移运动，当移动s时，直线MN 恰好与圆O相切．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向以0.5个单位/秒的速度平移，使⊙P与y轴相切，则平移的时间为秒．21．已知，如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD交AB于E，连接OD、PC、BC，∠AOD=2∠ABC，∠P=∠D，过E作弦GF⊥BC交圆于G、F两点，连接CF、BG．则下列结论：①CD⊥AB；②PC是⊙O的切线；③OD∥GF；④弦CF的弦心距等于BG．则其中正确的是（只需填序号）三．解答题（共9小题）22．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上的一点，CF切半圆O于点C，BD ⊥CF于为点D，BD与半圆O交于点E．（1）求证：BC平分∠ABD．（2）若DC=8，BE=4，求圆的直径．23．如图，一圆与平面直角坐标系中的x轴切于点A（8，0），与y轴交于点B （0，4），C（0，16），求该圆的直径．24．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连结DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连结EP、CP、OP．（1）BD=DC吗？说明理由；（2）求∠BOP的度数；（3）求证：CP是⊙O的切线．25．如图，▱ABCD中，⊙O过点A、C、D，交BC于E，连接AE，∠BAE=∠ACE．（1）求证：AE=CD；（2）求证：直线AB是⊙O的切线．26．已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．（1）如图①，若∠P=35°，求∠ABP的度数；（2）如图②，若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．27．如图（1），在△ABC中，∠ACB=90°，以AB为直径作⊙O；过点C作直线CD交AB的延长线于点D，且BD=OB，CD=CA．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）如图（2），过点C作CE⊥AB于点E，若⊙O的半径为8，∠A=30°，求线段BE．28．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BE交AC于点E，过点E作直线BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）过点E作EH⊥AB于点H，求证：EF平分∠AEH；（3）求证：CD=HF．29．如图，已知A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于点B，OC=BC，AC=OB．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若∠ACD=45°，OC=2，求弦CD的长．30．如图，AB是半径为2的⊙O的直径，直线m与AB所在直线垂直，垂足为C，OC=3，点P是⊙O上异于A、B的动点，直线AP、BP分别交m于M、N两点．（1）当点C为MN中点时，连接OP，PC，判断直线PC与⊙O是否相切并说明理由．（2）点P是⊙O上异于A、B的动点，以MN为直径的动圆是否经过一个定点，若是，请确定该定点的位置；若不是，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．【解答】解：∵AB=24，OB=OA=13，∴BC=12；在Rt△OCB中，∴OC==5．故选：B．2．【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线，∴AC=AP，∵BP、BD为⊙O的切线，∴BP=BD，∴BD=PB=AB﹣AP=5﹣3=2．故选：B．3．【解答】解：连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴∠ODC=90°，∠COD=2∠A=40°，∴∠C=90°﹣40°=50°，故选：C．4．【解答】解：∵直线AB与⊙O相切于点A，连接OA则∠OAB=90°．∵OA=1，∴OB=．故选：B．5．【解答】解：设直线AM与⊙O相切于点K，连接OK．∵AM是⊙O的切线，∴OK⊥AK，∴∠AKO=90°∵∠A=30°，∴AO=2OK=4，∵OD=2，∴AD=OA﹣OD=2，故选：C．6．【解答】解：连接DG、AG，作GH⊥AD于H，连接OD，如图，∵G是BC的中点，∴AG=DG，∴GH垂直平分AD，∴点O在HG上，∵AD∥BC，∴HG⊥BC，∴BC与圆O相切；∵OG=OD，∴点O不是HG的中点，∴圆心O不是AC与BD的交点；而四边形AEFD为⊙O的内接矩形，∴AF与DE的交点是圆O的圆心；∴（1）错误，（2）（3）正确．故选：C．7．【解答】解：∵点P在⊙O上，∴只需要OP⊥EF即可，故选：D．8．【解答】解：如图所示：MK=，故选：B．9．【解答】解：∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO=90°，∴∠AOP=90°﹣∠P=50°，∵OB=OC，∴∠AOP=2∠B，∴∠B=∠AOP=25°，故选：B．10．【解答】解：当圆P在y轴的左侧与y轴相切时，平移的距离为3﹣2=1，当圆P在y轴的右侧与y轴相切时，平移的距离为3+2=5，故选：D．11．【解答】解：连结OC、OD、OA，如图，∵∠D=110°，∴∠B=180°﹣∠D=70°，∴∠AOC=2∠B=140°，∵∠A=60°，∴∠BOD=120°，∵的度数是70°，∴∠COD=70°，∴∠AOD=70°，∠BOC=50°，∴AD弧的长度==π，∴BC弧的长度==π，∵70π=6π•12﹣2π，而2π＞π，∴向右移动了70π，此时与直线l相切的弧为．故选：C．12．【解答】解：A、如图1，连接OE，则OB=OE，∵∠B=60°∴∠BOE=60°，∵∠BAC=60°，∴∠BOE=∠BAC，∴OE∥AC，∵EF⊥AC，∴OE⊥EF，∴EF是⊙O的切线∴A选项正确；B、∵EF是⊙O的切线，∴OE⊥EF，由A知：OE∥AC，∴AC⊥EF，∴B选项正确；C、∵∠B=60°，OB=OE，∴BE=OB，∵BE=CE，∴BC=AB=2BO，∴AO=OB，如图2，过O作OH⊥AC于H，∵∠BAC=60°，∴OH=AO≠OB，∴C选项错误；D、如图2，∵BE=EC，∴CE=BE，∵AB=BC，BO=BE，∴AO=CE=OB，∴OH=AO=OB，∴AC是⊙O的切线，∴D选项正确．故选：C．13．【解答】解：（1）连接CO，DO，∵PC与⊙O相切，切点为C，∴∠PCO=90°，在△PCO和△PDO中，，∴△PCO≌△PDO（SSS），∴∠PCO=∠PDO=90°，∴PD与⊙O相切，故（1）正确；（2）由（1）得：∠CPB=∠BPD，在△CPB和△DPB中，，∴△CPB≌△DPB（SAS），∴BC=BD，∴PC=PD=BC=BD，∴四边形PCBD是菱形，故（2）正确；（3）连接AC，∵PC=CB，∴∠CPB=∠CBP，∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=90°，在△PCO和△BCA中，，∴△PCO≌△BCA（ASA），∴AC=CO，∴AC=CO=AO，∴∠COA=60°，∴∠CPO=30°，∴CO=PO=AB，∴PO=AB，∵AB是⊙O的直径，CD不是直径，∴AB≠CD，∴PO≠DC，故（3）错误；（4）由（2）证得四边形PCBD是菱形，∴∠ABC=∠ABD，∴弧AC=弧AD，故（4）正确；故选：C．14．【解答】解：如图1，∵⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B，∴OA⊥l1，OB⊥l2，∵l1∥l2，∴点A、B、O共线，∴l1和l2的距离=AB=2，所以①正确；作NH⊥AM，如图1，则四边形ABNH为矩形，∴NH=AB=2，在Rt△MNH中，∵∠1=60°，∴MH=NH=，∴MN=2MH=，所以②正确；当直线MN与⊙O相切时，如图2，∠1=∠2，∠3=∠4，∵l1∥l2，∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴∠1+∠3=90°，∴∠MON=90°，所以③正确；过点O作OC⊥MN于C，如图2，=S△OAM+S△OMN+S△OBN，∵S四边形ABNM∴•1•AM+•1•BN+MN•OC=（BN+AM）•2，即（AM+BN）+MN•OC=AM+BN，∵AM+BN=，MN=，∴OC=1，而OC⊥MN，∴直线MN与⊙O相切，所以④正确．故选：D．15．【解答】解：由题意CD与圆P1相切于点E，点P1只能在直线CD的左侧，∴P1E⊥CD又∵∠AOD=30°，r=1cm∴在△OEP1中OP1=2cm又∵OP=6cm∴P1P=4cm∴圆P到达圆P1需要时间为：4÷1=4（秒），或P1P=8cm∴圆P到达圆P1需要时间为：8÷1=8（秒），∴⊙P与直线CD相切时，时间为4或8秒．故选：D．二．填空题（共6小题）16．【解答】解：若运动后⊙P与y轴相切，则点P到y轴的距离为1，此时P点坐标为（﹣1，0）或（1，0），而﹣1﹣（﹣4）=3，1﹣（﹣4）=5，所以点P的运动距离为3或5．故答案为3或5．17．【解答】解：由圆周角定理得，∠AOP=2∠ABC=50°，∵PA是⊙O的切线，AB是过切点A的直径，∴∠PAO=90°，∴∠P=90°﹣∠AOP=40°，故答案为：40°．18．【解答】解：（1）∵在△ABO中，OA=OB，∠OAB=30°，∴∠AOB=180°﹣2×30°=120°，∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°，∴在四边形OAPB中，∠APB=360°﹣120°﹣90°﹣90°=60°，故答案为：60°．（2）如图，连接OP；∵PA、PB是⊙O的切线，∴PO平分∠APB，即∠APO=∠APB=30°，又∵在Rt△OAP中，OA=3，∠APO=30°，∴AP===2，故答案为：2．19．【解答】解：作EF平行于MN，且与⊙O切，交x轴于点E，交y轴于点F，如图所示．设直线EF的解析式为y=x+b，即x﹣y+b=0，∵EF与⊙O相切，且⊙O的半径为1，∴b2=×1×|b|，解得：b=或b=﹣，∴直线EF的解析式为y=x+或y=x﹣，∴点E的坐标为（，0）或（﹣，0）．令y=x﹣2中y=0，则x=2，∴点M（2，0）．∵根据运动的相对性，且⊙O以每秒1个单位的速度向右作平移运动，∴移动的时间为2﹣秒或2+秒．故答案为：2﹣或2+．20．【解答】解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5．故答案为2或1021．【解答】解：连接BD、OC、AG，过O作OQ⊥CF于Q，OZ⊥BG于Z，∵OD=OB，∴∠ABD=∠ODB，∵∠AOD=∠OBD+∠ODB=2∠OBD，∵∠AOD=2∠ABC，∴∠ABC=∠ABD，∴弧AC=弧AD，∵AB是直径，∴CD⊥AB，∴①正确；∵CD⊥AB，∴∠P+∠PCD=90°，∵OD=OC，∴∠OCD=∠ODC=∠P，∴∠PCD+∠OCD=90°，∴∠PCO=90°，∴PC是切线，∴②正确；假设OD∥GF，则∠AOD=∠FEB=2∠ABC，∴3∠ABC=90°，∴∠ABC=30°，已知没有给出∠B=30°，∴③错误；∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵EF⊥BC，∴AC∥EF，∴弧CF=弧AG，∴AG=CF，∵OQ⊥CF，OZ⊥BG，∴CQ=AG，OZ=AG，BZ=BG，∴OZ=CQ，∵OC=OB，∠OQC=∠OZB=90°，∴△OCQ≌△BOZ，∴OQ=BZ=BG，∴④正确．故答案为：①②④．三．解答题（共9小题）22．【解答】（1）证明：连结OC，如图，∵CD为切线，∴OC⊥CD，∵BD⊥DF，∴OC∥BD，∴∠1=∠3，∵OB=OC，∴∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴BC平分∠ABD；（2）解：连结AE交OC于G，如图，∵AB为直径，∴∠AEB=90°，∵OC∥BD，∴OC⊥CD，∴AG=EG，易得四边形CDEG为矩形，∴GE=CD=8，∴AE=2EG=16，在Rt△ABE中，AB==4，即圆的直径为4．23．【解答】解：过圆心O′作y轴的垂线，垂足为D，连接O′A，∵O′D⊥BC，∴D为BC中点，∴BC=16﹣4=12，OD=6+4=10，∵⊙O′与x轴相切，∴O′A⊥x轴，∴四边形OAO′D为矩形，半径O′A=OD=10，24．【解答】解：（1）BD=DC．理由如下：连接AD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=DC；（2）∵AD是等腰△ABC底边上的中线，∴∠BAD=∠CAD，∴，∴BD=DE．∴BD=DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，△ABC中，AB=AC，∠A=30°，∴∠DCE=∠ABC=（180°﹣30°）=75°，∴∠DEC=75°，∴∠EDC=180°﹣75°﹣75°=30°，∵BP∥DE，∴∠PBC=∠EDC=30°，∴∠ABP=∠ABC﹣∠PBC=75°﹣30°=45°，∵OB=OP，∴∠OBP=∠OPB=45°，∴∠BOP=90°；（3）设OP交AC于点G，如图，则∠AOG=∠BOP=90°，在Rt△AOG中，∠OAG=30°，∴=，又∵==，∴=，∴=，又∵∠AGO=∠CGP，∴△AOG∽△CPG，∴∠GPC=∠AOG=90°，∴OP⊥PC，∴CP是⊙O的切线；25．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD，∠B=∠ADC∵四边形ADCE是⊙O内接四边形∴∠ADC+∠AEC=180°∵∠AEC+∠AEB=180°∴∠ADC=∠AEB∴∠B=∠AEB∴AE=CD（2）如图：连接AO，并延长AO交⊙O交于点F，连接EF．∵AF是直径∴∠AEF=90°∴∠AFE+∠EAF=90°∵∠BAE=∠ECA，∠AFE=∠ACE∴∠AFE=∠BAE∴∠BAE+∠EAF=90°∴∠BAF=90°且AO是半径∴直线AB是⊙O的切线26．【解答】（1）解：∵AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，∴AB⊥AP，∴∠BAP=90°；又∵∠P=35°，∴∠AB=90°﹣35°=55°．（2）证明：如图，连接OC，OD、AC．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），∴∠ACP=90°；又∵D为AP的中点，∴AD=CD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）；在△OAD和△OCD中，，∴△OAD≌△OCD（SSS），∴∠OAD=∠OCD（全等三角形的对应角相等）；又∵AP是⊙O的切线，A是切点，∴AB⊥AP，∴∠OAD=90°，∴∠OCD=90°，即直线CD是⊙O的切线．27．【解答】（1）证明：如图1，连结OC，∵点O为直角三角形斜边AB的中点，∴OC=OA=OB．∴点C在⊙O上，∵BD=OB，∴AB=DO，∵CD=CA，∴∠A=∠D，∴△ACB≌△DCO，∴∠DCO=∠ACB=90°，∴CD是⊙O的切线；（2）解：如图2，在Rt△ABC中，BC=ABsin∠A=2×8×sin30°=8，∵∠ABC=90°﹣∠A=90°﹣30°=60°，∴BE=BCcos60°=8×=4．28．【解答】（1）证明：（1）如图，连接OE．∵BE⊥EF，∴∠BEF=90°，∴BF是圆O的直径，∴OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠OBE，∴∠OEB=∠CBE，∴OE∥BC，∴∠AEO=∠C=90°，∴AC是⊙O的切线；（2）证明：∵∠C=∠BHE=90°，∠EBC=∠EBA，∴BEC=∠BEH，∵BF是⊙O是直径，∴∠BEF=90°，∴∠FEH+∠BEH=90°，∠AEF+∠BEC=90°，∴∠FEH=∠FEA，∴FE平分∠AEH．（3）证明：如图，连结DE．∵BE是∠ABC的平分线，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，∴EC=EH．∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°，∴∠CDE=∠HFE，∵∠C=∠EHF=90°，∴△CDE≌△HFE（AAS），∴CD=HF，29．【解答】解：（1）如图，连接OA；∵OC=BC，AC=OB，∴OC=BC=AC=OA．∴△ACO是等边三角形．∴∠O=∠OCA=60°，∵AC=BC，∴∠CAB=∠B，又∠OCA为△ACB的外角，∴∠OCA=∠CAB+∠B=2∠B，∴∠B=30°，又∠OAC=60°，∴∠OAB=90°，∴AB是⊙O的切线；（2）解：作AE⊥CD于点E，∵∠O=60°，∴∠D=30°．∵∠ACD=45°，AC=OC=2，∴在Rt△ACE中，CE=AE=；∵∠D=30°，∴AD=2，∴DE=AE=，∴CD=DE+CE=+．30．【解答】解：（1）直线PC与⊙O相切，理由是：如图1，∵AC⊥MN，∴∠ACM=90°，∴∠A+∠AMC=90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠APB=∠NPM=90°，∴∠PNM+∠AMC=90°=∠A+∠ABP，∴∠ABP=∠AMC，∵OP=OB，∴∠ABP=∠OPB，Rt△PMN中，C为MN的中点，∴PC=CN，∴∠PNM=∠NPC，∴∠OPC=∠OPB+∠NPC=∠ABP+∠PNM=∠AMC+∠PNM=90°，即OP⊥PC，∴直线PC与⊙O相切；（2）如图2，设该圆与AC的交点为D，连接DM、DN，∵MN为直径，∴∠MDN=90°，则∠MDC+∠NDC=90°，∵∠DCM=∠DCN=90°，∴∠MDC+∠DMC=90°，∴∠NDC=∠DMC，则△MDC∽△DNC，∴，即DC2=MC•NC∵∠ACM=∠NCB=90°，∠A=∠BNC，∴△ACM∽△NCB，∴，即MC•NC=AC•BC；即AC•BC=DC2，∵AC=AO+OC=2+3=5，BC=3﹣2=1，∴DC2=5，∴DC=，∵MN⊥DD'，∴D'C=DC=，∴以MN为直径的一系列圆经过两个定点D和D'，此定点在C的距离都是．。

切线判定练习题

切线判定练习题

切线判定练习题切线判定练习题在微积分中，切线是一个重要的概念。

它是曲线上某一点处与曲线相切的直线。

切线的判定是微积分中的基础知识之一，对于理解和应用微积分具有重要意义。

本文将介绍一些切线判定的练习题，帮助读者加深对切线判定的理解。

题目一：判定曲线的切线方程给定曲线方程 $y = x^3 - 2x^2 + x + 1$，求曲线上点 $(2,3)$ 处的切线方程。

解析：首先，我们需要求出曲线上点 $(2,3)$ 处的切线斜率。

切线斜率可以通过求曲线方程的导数得到。

对于给定的曲线方程 $y = x^3 - 2x^2 + x + 1$，求导得到 $y' = 3x^2 - 4x + 1$。

将点 $(2,3)$ 的横坐标 $x = 2$ 代入导数方程，得到切线斜率 $m = 3(2)^2 - 4(2) + 1 = 9$。

接下来，我们可以利用点斜式来确定切线方程。

点斜式的一般形式为 $y - y_1= m(x - x_1)$，其中 $(x_1, y_1)$ 是切线上的一点，$m$ 是切线的斜率。

将点$(2,3)$ 和斜率 $m = 9$ 代入点斜式，得到切线方程 $y - 3 = 9(x - 2)$。

题目二：判定曲线的切线是否与直线平行给定曲线方程 $y = 2x^2 - 3x + 1$，判断曲线上的点 $(1,0)$ 处的切线是否与直线 $y = 3x - 1$ 平行。

解析：要判断两条直线是否平行，我们需要比较它们的斜率。

对于曲线方程 $y = 2x^2 - 3x + 1$，求导得到 $y' = 4x - 3$。

将点 $(1,0)$ 的横坐标 $x = 1$ 代入导数方程，得到切线斜率 $m = 4(1) - 3 = 1$。

直线 $y = 3x - 1$ 的斜率为 $m = 3$。

由于切线的斜率 $m = 1$ 不等于直线的斜率 $m = 3$，所以切线与直线不平行。

题目三：判定曲线的切线是否与直线垂直给定曲线方程 $y = \sqrt{x}$，判断曲线上的点 $(4,2)$ 处的切线是否与直线 $y = -\frac{1}{2}x + 3$ 垂直。

(完整版)切线的性质和判定练习题

(完整版)切线的性质和判定练习题

例1、已知：如图，同心圆0,大圆的弦AB=CD，且AB是小圆的切线，切点为E.求证：CD是小圆的切线.切线的性质与判定练习题班级姓名例4、如图，已知AB是O O的直径，AC是弦，CD切O O于点C,例2、_已知如图所示，AB为O 0的直径，C、两点，且忑=丽，过D作DEI AC于点E,求证: D是直径AB同侧圆周上DE是O0的切线.例3、如图所示，△ ABC内接于O 0,如果过点A的直线AE和AC所成的角/ EAC2 B,求证EA是O 0的切线.DA E C2例5、如图所示，AB为O O的直径，BC CD为O O的切线,求证：AD// OC.例6如图，在RtAABC 中，/ B=90°,E为AB上一点，DE=DC，以D为圆心,求证：(1) AC是O D的切线；(2) AB+EB=AC。

/ A的平分线交BC于D，交AB的延长线于点D，/ ACD=120 °, BD=10 .(1)求证：CA=CD ; (2)求O 0的半径.1例7、如图，AB为O 0的直径，BC切O 0于B ,AC交O 0于P,CE=BE,E在BC上. 求证：PE是O 0的切线.例9、如图，P为OO外一点，P0交O O于C,aO O上一点A作弦AB丄P0于E,若/ EAC= / CAP,求证：PA是O0的切线.例8、已知：如图,在Rt△ ABC中,/ ACB=90 ,以AC为直径的O0交AB1.已知，AB为O 0的直径，0C平行于弦AD , DC是O 0的切线, 求证：BC是圆的切线.于点D,过点D作O O的切线DE交BC于点E. 练习题:BA22、如图，BC是OO的直径，A是弦BD延长线上一点，切线DE平分AC于E.求证：AC是O O的切线.4、如图，AB是圆O的直径，AC是弦，/ BAC的平分线AD 交圆O 于点D, DE丄AC且交AC的延长线于点E.3、如图，PA、PB为O O的切线，AC为经过切点A的直径. 求证：BC// PO.5、如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，O为AB上一点，以O为圆心、OB长为半径的圆交BC于D，DE丄AC交AC于E. 求证：DE是O O的切线.A 求证: DE是圆O的切线.E36如图，已知：AB是OO的直径，AC是切线，A为切点，BC交OO 于点D，切线DE交AC于点E.求证：AE=EC .8、如图，已知AB=AC，以AB为直径的圆O交边BC于点D，过点D作DE丄AC,垂足为点E .(1)求证：(2)如果/7、已知AB是O O的直径，O O过BC的中点求证：DE是O O的切线.AB为O O的弦，若OA丄OD且CD=BD .BD是O O的切线DE是圆O的切线;BAC=120，求证：DE=9、如图,求证:D，且DE 丄AC .-BC .46如图，AB是半圆O的直径，AD为弦，/DBCMA.(1)求证：BC是半圆O的切线；(2)若OC // AD , OC 交BD 于E, BD=6 ,5。

初三数学晚自习练习题

初三数学晚自习练习题

初三数学晚自习练习题：切线的性质与判定一、填空题1、直角三角形两直角边为3、4，则内切圆半径为 ，外接圆半径为2、如图1，PA ，PB 切⊙O 于A ，B,点 C 、E 分别在PA 、PB 上，且CE 切⊙O 于D ，若PA=5cm ，则ΔPCE 周长为 ；若∠P=50°，∠COE=3、正三角形的内切圆半径为R ，则正三角形边长为4、如图2，⊙O 切ΔABC 三边于D 、E 、F ，∠A=40°，则∠FDE=5、如图3，AB 、AC 切⊙O 于B 、C ，∠A=50 °，点P 是⊙O 上异于B 、C 的一个动点，∠BPC=二、选择题1．已知：如图，PA ，PB 分别与⊙O 相切于A ，B 点，C 为⊙O 上一点，∠ACB =65°，则∠APB 等于( )． A ．65° B ．50° C ．45° D ．40°2．如图，AB 是⊙O 的直径，直线EC 切⊙O 于B 点，若∠DBC =α，则( )．A ．∠A =90°－αB ．∠A = αC ．∠ABD = αD ．∠α2190o-=ABD3．如图，△ABC 中，∠A =60°，BC =6，它的周长为16．若⊙O 与BC ，AC ，AB 三边分别切于E ，F ，D 点，则DF 的长为( )． A ．2 B ．3C ．4D ．64．等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比是( )． A ．3:2:1 B ．3:2:1C ．2:3:1D ．1∶2∶3三、证明题1、已知：如图，AB 是⊙O 的直径，P 是⊙O 外一点，PA ⊥AB ，•弦BC ∥OP ，求证：PC 为⊙O 的切线2、 已知：AB 为⊙O 的直径，AC 为弦，D 为AB 上一点，过D 点作AB 的垂线DE 交AC 于F ，EF=EC 。

求证：EC 与⊙O 相切。

3、已知：如图，在△ABC 中，D 是AB 边上一点，⊙O 过D 、B 、C 三点，∠DOC ＝2∠ACD ＝90°． （1）求证：直线AC 是⊙O 的切线；（2）如果∠ACB ＝75°，⊙O 的半径为2，求BD 的长．AABCDO。

课题：切线的性质与判定及切线长定理专题

课题：切线的性质与判定及切线长定理专题

切线的性质与判定、切线长定理专题班级：姓名：1、切线的性质例1：（1）AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C；连接BC，若∠P=40°，则∠B等于 . （2）．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=10，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E、F、G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，且点为N，则DM的长为（）A． B．8 C． D．2（1）（2）练习：1、如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=115°，过D点的切线PD与射线BA交于点P，则∠ADP的度数为；2．如图，AB是⊙的直径，CD是∠ACB的平分线交⊙O于点D，过D作⊙O的切线交CB的延长线于点E．若AB=4，∠E=75°，则CD的长为；3．如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞0），半径是2，与y轴相切于点C，直线y=x被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（）A． B． C． D．（1）（2）（3）4．如图，在矩形ABCD中，AD=8，E是边AB上一点，且AE=AB．⊙O经过点E，与边CD所在直线相切于点G（∠GEB为锐角），与边AB所在直线交于另一点F，且EG：EF=：2．当⊙O与边BC所在的直线与相切时，则AB的长是．5．如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ的最小值（） A．5 B．4 C．4.75 D．4.82、切线的判定例2：(1)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE=DC，以D 为圆心，DB长为半径作⊙D，AB=10，EB=6．（1）求证：AC是⊙D的切线；（2）求线段AC的长．(2)如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C 作CD⊥PA，垂足为D．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度．练习：1．已知：如图，四边形ABCD为菱形，△ABD的外接圆⊙O与CD相切于点D，交AC于点E．（1）判断⊙O与BC的位置关系，并说明理由；（2）若CE=2，求⊙O的半径r．3、切线长定理例3：（P102，第11题）若AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G 三点，且AB∥CD，BO=6,CO=8.(1)求∠BOC的度数；（2）求BC的长；（3）求半径OF的长；（4）E、O、G共线吗？说明理由.(5)连接G、F,求证OB∥FG(6)连接EF 、GF 分别交OB 于P ，交OC 于Q,求证：四边形OPFQ 为矩形.(7)若延长CO 交⊙O 于点M ，过点M 作MN ∥OB 交CD 于点N ，求MN 的长．变式1．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°，AB=12cm ，AD=8cm ，BC=22cm ，AB 为⊙O 的直径，动点P 从点A 开始沿AD 边向点D 以1cm/s 的速度运动，动点Q 从点C 开始沿CB 边向点B 以2cm/s 的速度运动．P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t （s ）．（1）当t 为何值时，四边形PQCD 为平行四边形？（2）当t 为何值时，PQ 与⊙O 相切？变式2．如图，四边形ABCD 中，AD 平行BC ，∠ABC=90°，AD=2，AB=6，以AB 为直径的半⊙O 切CD 于点E ，F 为弧BE 上一动点，过F 点的直线MN 为半⊙O 的切线，MN 交BC 于M ，交CD 于N ，则△MCN 的周长为（ ）A ．9B ．10C ．3D ．2（变式2） （变式3） （变式4） （变式5） 变式3．如图，正方形ABCD 边长为4cm ，以正方形的一边BC 为直径在正方形ABCD 内作半圆，过A 作半圆的切线，与半圆相切于F 点，与DC 相交于E 点，则△ADE 的面积（ ）A ．12B ．24C ．8D ．6变式4．如图，PA 、PB 、分别切⊙O 于A 、B 两点，∠P=40°，则∠C 的度数为 ;变式5．如图，PA 、PB 、CD 分别切⊙O 于A 、B 、E ，CD 交PA 、PB 于C 、D 两点，若∠P=40°，则∠PAE+∠PBE 的度数为PQ变式6．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A（6，0）、B（0，6），⊙O的半径为2（O为坐标原点），点P是直线AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（）A．B．3 C．3 D．（变式6） (例4)4、动态问题例4：如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=30°，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm，如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么⊙P与直线CD相切时运动时间是 s.练习：1．如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC所在直线平移后与⊙O相切，则平移的距离是 cm.(1题) (2题)2．如图，∠AOB=60°，点M是射线OB上的点，OM=4，以点M为圆心，2cm为半径作圆．若OA绕点O按逆时针方向旋转，当OA和⊙M相切时，OA旋转的角度是．变式：如2题图，已知∠AOB=60°，M为OB边上一点，以M为圆心、2cm为半径作⊙M．若⊙M在OB边上运动，则当OM= cm时，⊙M与OA相切．3．如图，P为正比例函数y=x图象上的一个动点，⊙P的半径为3，设点P的坐标为（x，y）．则⊙P与直线x=2相切时点P的坐标为．4．如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y=﹣1上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为．。

专题切线的判定与性质的综合运用(共30题)(基础题提升题压轴题)(原卷版)

专题切线的判定与性质的综合运用(共30题)(基础题提升题压轴题)(原卷版)

（苏科版）九年级上册数学《第2章对称图形圆》专题切线的性质与判定的综合运用（共30题）（基础题＆提升题＆压轴题）1．（2022秋•斗门区期末）如图，AB为⊙O的直径，P在BA的延长线上，C为圆上一点，且∠ACP＝∠OBC．（1）求证：PC与⊙O相切；（2）若P A＝4，PC＝BC，求⊙O的半径．2．（2023•太平区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BD为直径的半圆交BC于点F，点E是边AC和半圆的公共点，且满足DE＝EF．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若∠A＝30°，AB＝9，求BF的长度．3．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，△ABC的外角平分线BD交⊙O于D，DE∥AC交CB的延长线于E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若∠A＝30°，BD＝3，求BC的长．4．（2023•东港区校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点E，点D在AB 上，且以AD为直径的⊙O经过点E．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）当AD＝3BD，且BE＝4时，求⊙O的半径．5．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6．以BC为直径的⊙O交AC于D，E是AB的中点，连接ED并延长交BC的延长线于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）求DB的长．6．（2023•鲁山县一模）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D是AB延长线上的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，CF⊥AB于点F，且CE＝CF．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB＝8，BD＝4，求AE的长．7．（2022秋•嘉祥县校级期末）已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB＝AD，AE是⊙O的弦，∠AEC＝30°．（1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为10，求AE的长．8．（2023•莱芜区模拟）如图，在△ADC中，AC＝CD，∠D＝30°，点B是AD上一点，∠ACB的角平分线CE交以AB为直径的⊙O于点E，过点B作BF⊥EC，垂足为F，⊙O恰好过点C．（1）求证：CD是⊙O切线；（2）若AC=4√3，求CF的长．9．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上的一点，点D为BĈ的中点，DE⊥AC于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AE＝8，DE＝4，求⊙O的半径．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为边AC上的点，以AD为直径作⊙O，连接BD并延长交⊙O 于点E，连接CE．（1）若CE＝BC，求证：CE是⊙O的切线．（2）在（1）的条件下，若CD＝2，BC＝4，求⊙O的半径．11．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CD，AD交⊙O于E点，BĈ=CÊ，F为⊙O上一点，AF∥CD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）AC＝5，AF＝6，求⊙O的半径．12．如图，已知，BE是⊙O的直径，BC切⊙O于B，弦DE∥OC，连接CD并延长交BE的延长线于点A．（1）证明：CD是⊙O的切线；（2）若AD＝2，AE＝1，求CD的长．13．（2023•鞍山二模）如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O，⊙O恰好经过点C，点D为半圆AB中点，连接CD，过D作DE∥AB交AC延长线于点E．（1）求证：DE为⊙O切线：（2）若AC＝4，CD=√2，求⊙O的半径长．14．（2023•新余一模）⊙O是△ABC的外接圆，OC∥AB，延长OC至D点．（1）如图1，若OC＝CD，且B为弧AC的中点，求证：BD是⊙O的切线；（2）如图2，若BD是⊙O的切线，且BD＝3，CD＝1，求圆的半径及弦AB的长．15．（2023•云梦县校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，在AC上取一点D，以AD为直径作⊙O，与AB相交于点E，作线段BE的垂直平分线MN交BC于点N，连接EN．（1）求证：EN是⊙O的切线；（2）若AC＝3，BC＝4，⊙O的半径为1，求线段EN的长．16．（2023•榆阳区一模）如图，BP为⊙O的直径，点A为PB延长线上一点，点C是⊙O上一点，过点C 作CE⊥BO交BO于点D，交⊙O于点E，连接OE，CB，∠ACB＝∠ECB．（1）求证：AC为⊙O的切线；（2）若AB＝3，BD＝1，求CE的长度．17．（2023•乌鲁木齐一模）如图，AB是⊙O的直径，AD和CD分别切⊙O于A、E两点，BC与⊙O有公共点B，且EC＝BC．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若AB＝12，AD＝8，求BC的长．18．（2022秋•同心县期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，以点D为圆心、AD的长为半径的⊙D与AB相切于点A，与AC相交于点E．（1）求证：BC是⊙D的切线；（2）若AB＝5，BC＝13，求AC和AD的长．19．（2022秋•蔡甸区期末）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D为斜边BC的中点，以AD为直径作⊙O，分别与边AB、AC交于点E、F，过点E作EG⊥BC，垂足为G．（1）求证：EG是⊙O的切线；（2）已知⊙O的半径为6，若AF＝8，求BE的长．20．（2023•鱼峰区模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC边于点D、F．过点D作DE⊥CF于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O半径为5，且AF﹣DE＝2，求EF的长．21．（2023•漳平市一模）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CF⊥AF于点F，且CF＝CE．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若∠D＝30°，AB＝10，求CD的长．22．（2023•怀远县校级模拟）AB是△ABC的外接圆⊙O的直径，P是半径OB上一点，PE⊥AB交BC于F，交AC的延长线于E，D是EF的中点，连接CD；（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）连OD交BC于G，若G为OD的中点，AC＝6，求CE的长．23．（2023•桑植县模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C是劣弧BD中点，AC与BD相交于点E．连接BC，∠BCF＝∠BAC，CF与AB的延长线相交于点F．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）求证：∠ACD＝∠F；（3）若AB＝10，BC＝6，求AD的长．24．如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线AO与⊙O于点E和点D，OB与⊙O交于点F，连接DF，DC．已知OA＝OB，CA＝CB，DE＝10，DF＝6．（1）求证：①直线AB是⊙O的切线；②∠EDC＝∠FDC；（2）求CD的长．25．（2022秋•华容区期末）如图1，AB为⊙O直径，CB与⊙O相切于点B，D为⊙O上一点，连接AD、OC，若AD∥OC．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）如图2，过点A作AE⊥AB交CD延长线于点E，连接BD交OC于点F，若AB＝3AE＝12，求BF 的长．26．（2023•高青县二模）如图，△ABC内接于⊙O，BC为⊙O的直径，点A是弧MC的中点，CD交⊙O 于M，CD交AB于E，DB＝DE．（1）求证：DB是⊙O的切线；（2）求证：∠D＝2∠ACD；（3）若DB＝6，DC＝10，求ME的长．27．如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线AO与⊙O交于点E和点D，OB与⊙O交于点F连接DF、DC．已知OA＝OB，CA＝CB．（1）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）求证：∠FDC＝∠EDC；（3）已知：DE＝10，DF＝8，求CD的长．28．如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，AB与CD交于点E，点P是CD延长线上的一点，AP ＝AC，且∠B＝2∠P．（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）若PD=√3，求⊙O的直径；（3）在（2）的条件下，若点B等分半圆CD，求DE的长．29．（2023•南海区校级模拟）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE ⊥PO交PO延长线于点E，连接OC，PB，已知PB＝6，DB＝8，∠EDB＝∠EPB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径．（3）连接BE，求BE的长．30．已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，作OF∥AB交BC于点F，连接EF．（1）求证：OF⊥CE（2）求证：EF是⊙O的切线；（3）若⊙O的半径为3，∠EAC＝60°，求AD的长．。

初三切线的判定练习题

初三切线的判定练习题

初三切线的判定练习题切线是几何学中重要的概念，初三学生需要掌握切线的判定方法。

下面是一些初三切线的判定练习题，帮助同学们巩固知识。

题目一：已知圆O的半径为r，点P是圆O外的一点，且OP的长度大于r。

要判断点P到圆O的切线的存在性，请写出判断条件和步骤。

解答：判断条件：点P到圆心O的距离等于圆O的半径r。

步骤：1. 计算点P到圆心O的距离PO。

2. 比较PO和r的大小关系：a) 如果PO > r，则点P到圆O有两条切线。

b) 如果PO = r，则点P到圆O有一条切线。

c) 如果PO < r，则点P到圆O没有切线。

题目二：已知圆C1和C2相交于点A和点B，且A、B不重合。

若点X是圆C1上的一点，并且直线BX与圆C2相切于点Y，请写出判断BX与圆C1的切线的存在性的条件和步骤。

解答：判断条件：直线BX与圆C1相切的条件是点X到圆C1的圆心距离等于圆C1的半径。

步骤：1. 计算点X到圆C1圆心的距离CX。

2. 比较CX和C1的半径的关系：a) 如果CX = C1的半径，则直线BX与圆C1有一条切线。

b) 如果CX ≠ C1的半径，则直线BX与圆C1没有切线。

题目三：已知一个半径为r的圆O以点A为圆心，点P在圆O的外部。

从点P引两条切线分别与圆O相交于点B和点C，请写出判断角BAC是否为直角的条件和步骤。

解答：判断条件：角BAC为直角的条件是角BAC的对边BC的斜率等于-1。

步骤：1. 计算点B和点C的坐标。

2. 计算直线BC的斜率。

3. 比较直线BC的斜率与-1的关系：a) 如果直线BC的斜率为-1，则角BAC为直角。

b) 如果直线BC的斜率不为-1，则角BAC不是直角。

通过以上三组判断题的练习，相信同学们已经掌握了切线的判定方法。

在实际问题中，切线的判断能够帮助我们解决许多几何问题，加深对几何学知识的理解。

本文旨在帮助初三学生巩固切线的判定方法，并提供实际练习题。

希望同学们通过练习，能够熟练掌握切线的判定条件和步骤，进一步提高几何学的解题能力。

切线的判定与性质及答案

切线的判定与性质及答案

圆的切线的判定与性质1．（2014•三明）已知AB是半圆O的直径，点C是半圆O上的动点，点D是线段AB延长线上的动点，在运动过程中，保持CD=OA．（1）当直线CD与半圆O相切时（如图①），求∠ODC的度数；（2）当直线CD与半圆O相交时（如图②），设另一交点为E，连接AE，若AE∥OC，①AE与OD的大小有什么关系？为什么？②求∠ODC的度数．2．（2014•黄冈）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E．（1）求证：EB=EC；（2）若以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形，试判断△ABC的形状，并说明理由．3．（2014•长沙）如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点恰好为BC的中点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．（1）求证：DE⊥AC；（2）若AB=3DE，求tan∠ACB的值．4．（2014•咸宁）如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AD⊥CD于点D．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若点E为的中点，AD=，AC=8，求AB和CE的长．5．（2014•潍坊）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，以AB为直径作⊙O，恰与另一腰CD相切于点E，连接OD、OC、BE．（1）求证：OD∥BE；（2）若梯形ABCD的面积是48，设OD=x，OC=y，且x+y=14，求CD的长．6．（2014•常德）如图，已知⊙O的直径为AB，AC⊥AB于点A，BC与⊙O相交于点D，在AC上取一点E，使得ED=EA．（1）求证：ED是⊙O的切线．（2）当OA=3，AE=4时，求BC的长度．7．（2014•宁夏）在等边△ABC中，以BC为直径的⊙O与AB交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）计算．8．（2014•新疆）如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且==，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D，垂足为D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若CD=2，求⊙O的半径．9．（2014•宜宾）如图，在△ABC中，以AC为直径作⊙O交BC于点D，交AB于点G，且D是BC中点，DE⊥AB，垂足为E，交AC的延长线于点F．（1）求证：直线EF是⊙O的切线；（2）若CF=5，cos∠A=，求BE的长．10．（2014•营口）如图，在⊙O中，直径AB平分弦CD，AB与CD相交于点E，连接AC、BC，点F是BA延长线上的一点，且∠FCA=∠B．（1）求证：CF是⊙O的切线．（2）若AC=4，tan∠ACD=，求⊙O的半径．11．（2014•梅州）如图，在△ABO中，OA=OB，C是边AB的中点，以O为圆心的圆过点C．（1）求证：AB与⊙O相切；（2）若∠AOB=120°，AB=4，求⊙O的面积．12．（2014•铜仁）如图所示，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上一点，连接DC，且AC=DC，BC=BD．（2）作CD的平行线AE交⊙O于点E，已知DC=10，求圆心O到AE的距离．13．（2014•宿迁）如图，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于点P，过点B的直线交OP的延长线于点C，且CP=CB．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为，OP=1，求BC的长．14．（2014•铁岭）如图，⊙O是△ABC外接圆，AB是⊙O的直径，弦DE⊥AB于点H，DE与AC相交于点G，DE、BC的延长线交于点F，P是GF的中点，连接PC．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径是1，=，∠ABC=45°，求OH的长．15．（2014•毕节地区）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D点，连接CD．（1）求证：∠A=∠BCD；（2）若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由．16．（2014•威海）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，（1）求证：AC是⊙O的切线．（2）过点E作EH⊥AB于点H，求证：CD=HF．1.（2014•三明）已知AB是半圆O的直径，点C是半圆O上的动点，点D是线段AB延长线上的动点，在运动过程中，保持CD=OA．（1）当直线CD与半圆O相切时（如图①），求∠ODC的度数；（2）当直线CD与半圆O相交时（如图②），设另一交点为E，连接AE，若AE∥OC，①AE与OD的大小有什么关系？为什么？②求∠ODC的度数．2．（2014•黄冈）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E．（1）求证：EB=EC；（2）若以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形，试判断△ABC的形状，并说明理由．切线交AC于点E．（1）求证：DE⊥AC；（2）若AB=3DE，求tan∠ACB的值．∴∴x=ACB=（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若点E为的中点，AD=，AC=8，求AB和CE的长．∴BC=为OE=OA=AB=5AE==5∴∴AF=4EF=3，CF=AF=4CE=CF+EF=7．5．（2014•潍坊）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，以AB为直径作⊙O，恰与另一腰CD相切于点E，连接OD、OC、BE．（1）求证：OD∥BE；（2）若梯形ABCD的面积是48，设OD=x，OC=y，且x+y=14，求CD的长．∠ABE=COB=∠==（1）求证：ED是⊙O的切线．（2）当OA=3，AE=4时，求BC的长度．∴=．7．（2014•宁夏）在等边△ABC中，以BC为直径的⊙O与AB交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）计算．AD=BD=ABAE=AD=AC∴8．（2014•新疆）如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且==，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D，垂足为D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若CD=2，求⊙O的半径．∵，∵=，×CD=2AC=2CD=4，AC=×垂足为E，交AC的延长线于点F．（1）求证：直线EF是⊙O的切线；（2）若CF=5，cos∠A=，求BE的长．FOD==，，则，R=AB=2OD=．A===AE=﹣=2上的一点，且∠FCA=∠B．（1）求证：CF是⊙O的切线．（2）若AC=4，tan∠ACD=，求⊙O的半径．∴，ACD=ACD=，∴，==411．（2014•梅州）如图，在△ABO中，OA=OB，C是边AB的中点，以O为圆心的圆过点C．（1）求证：AB与⊙O相切；（2）若∠AOB=120°，AB=4，求⊙O的面积．AB=4AC=AB=2A=2×=2BC=BD．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）作CD的平行线AE交⊙O于点E，已知DC=10，求圆心O到AE的距离．CD=10×=5（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为，OP=1，求BC的长．，（BC的延长线交于点F，P是GF的中点，连接PC．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径是1，=，∠ABC=45°，求OH的长．∴∵，∴OM=，∵，OH=OM=（1）求证：∠A=∠BCD；（2）若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由．16．（2014•威海）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线．（2）过点E作EH⊥AB于点H，求证：CD=HF．。

(完整版)圆的切线综合练习题与答案(2018)

(完整版)圆的切线综合练习题与答案(2018)

切线的判定与性质练习题一、选择题（答案唯一，每小题3分）1．下列说法中，正确的是( )A．与圆有公共点的直线是圆的切线 B．经过半径外端的直线是圆的切线C．经过切点的直线是圆的切线 D．圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线2. 如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于A，BC交⊙O于点D，若∠C＝70°，则∠AOD的度数为( )A．70° B．35° C．20° D．40°第2题第3题第4题第5题3. 如图，线段AB是⊙O的直径，点C，D为⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠E＝50°，则∠CDB等于( )A．20° B．25° C．30° D．40°4.如图，等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝8，O为BC的中点，以O为圆心作半圆，使它与AB，AC都相切，切点分别为D，E，则⊙O的半径为( )A．8 B．6 C．5 D．45.如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G，直线EF与⊙O相切于点D，则下列结论中不一定正确的是( )A．AG＝BG B．AB∥EF C．AD∥BC D．∠ABC＝∠ADC二．填空题（每小题3分）6．如图，在⊙O中，弦AB＝OA，P是半径OB的延长线上一点，且PB＝OB，则PA与⊙O的位置关系是_________．第6题第7题第8题7.如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为________________．8.如图，AB 是⊙O 的直径，O 是圆心，BC 与⊙O 切于点B ，CO 交⊙O 于点D ，且BC ＝8，CD ＝4，那么⊙O 的半径是______．9. 如图，若以平行四边形一边AB 为直径的圆恰好与对边CD 相切于点D ，则∠C＝_______度．第9题 第10题 第11题10. 如图，AB 为⊙O 的直径，直线l 与⊙O 相切于点C ，AD⊥l ，垂足为D ，AD 交⊙O 于点E ，连接OC ，BE.若AE ＝6，OA ＝5，则线段DC 的长为______．11．如图，已知△ABC 内接于⊙O，BC 是⊙O 的直径，MN 与⊙O 相切，切点为A ，若∠MAB＝30°，则∠B＝________度．三、解答题（写出详细解答或论证过程）12.（7分）如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，BD 是角平分线，点O 在AB 上，以点O 为圆心，OB 为半径的圆经过点D ，交BC 于点E.求证：AC 是⊙O的切线．第12题 第13题 第14题13.（7分）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，CD 与⊙O 相切于点D ，CE⊥AD，交AD 的延长线于点E.求证：∠BDC＝∠A.14.（7分）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于D ，以D 为圆心，DB 长为半径作⊙D，求证：AC 与⊙D 相切．15.（10分）如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，交AB 的延长线于点D ，且∠D＝2∠CAD.(1)求∠D 的度数；(2)若CD ＝2，求BD的长．第15题 第16题g se16．（12分）已知△ABC 内接于⊙O，过点A 作直线EF.(1)如图①，若AB 为⊙O 的直径，要使EF 成为⊙O 的切线，还需要添加的一个条件是(至少说出两种)：__________________________或者_______________________；(2)如图②，如果AB 是不过圆心O 的弦，且∠CAE＝∠B，那么EF 是⊙O 的切线吗？试证明你的判断．17.（12分）如图，已知直线PA 交⊙O 于A ，B 两点，AE 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，且AC 平分∠PAE，过C 作CD⊥PA，垂足为D.(1)求证：CD 为⊙O 的切线；(2)若DC ＋DA ＝6，⊙O 的直径为10，求AB 的长．答案：DDADC 6. 相切 7. ∠ABC＝90°不排除等效答案 8. 6 9. 45 10. 4 11. 6012. 解：连接OD ，∵BD 为∠ABC 平分线，∴∠OBD＝∠CBD，∵OB＝OD ，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠CBD＝∠ODB，∴OD∥BC，∵∠C＝90°，∴∠ODA＝90°，则AC 为⊙O 的切线13. 解：连接OD ，∵CD 是⊙O 的切线，∴∠ODC＝90°，∴∠ODB＋∠BDC＝90°，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°，即∠ODB＋∠ADO＝90°，∴∠BDC＝∠ADO，∵OA＝OD ，∴∠ADO＝∠A，∴∠BDC＝∠A 14. 解：过D 作DH⊥AC 于H ，由角平分线的性质可证DB ＝DH ，∴AC 与⊙D 相切15. 解：(1)∵∠COD＝2∠CAD，∠D＝2∠CAD，∴∠D＝∠COD.∵PD 与⊙O 相切于点C ，∴OC⊥PD，即∠OCD＝90°，∴∠D＝45°(2)由(1)可知△OCD 是等腰直角三角形，∴OC＝CD ＝2，由勾股定理，得OD ＝＝2，∴BD＝OD －OB ＝2－222＋222216. (1) ∠BAE＝90° ∠EAC＝∠ABC (2) (2)EF 是⊙O 的切线．证明：作直径AM ，连接CM ，则∠ACM＝90°，∠M＝∠B，∴∠M＋∠CAM＝∠B＋∠CAM＝90°，∵∠CAE＝∠B，∴∠CAM＋∠CAE＝90°，∴AE⊥AM，∵AM 为直径，∴EF 是⊙O 的切线17. 解：(1)连接OC ，证∠DAC＝∠CAO＝∠ACO，∴PA∥CO，又∵CD⊥PA，∴CO⊥CD，∴CD 为⊙O 的切线(2)过O 作OF⊥AB，垂足为F ，∴四边形OCDF 为矩形．∵DC＋DA ＝6，设AD ＝x ，则OF ＝CD ＝6－x ，AF ＝5－x ，在Rt △AOF 中，有AF 2＋OF 2＝OA 2，即(5－x)2＋(6－x)2＝25，解得x 1＝2，x 2＝9，由AD ＜DF 知0＜x ＜5，故x ＝2，从而AD ＝2，AF ＝5－2＝3，由垂径定理得AB ＝2AF ＝6。

初中数学圆中切线的判定与性质综合应用专项练习题3(附答案详解)

初中数学圆中切线的判定与性质综合应用专项练习题3(附答案详解)

初中数学圆中切线的判定与性质综合应用专项练习题3（附答案详解）1．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且BD=BC，延长AD到E，且有∠EBD=∠CAB．⑴求证：BE是⊙O的切线；⑵若BC=3，AC=5，求圆的直径AD的长．2．如图，AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，∠A=2∠BDE，点C在AB的延长线上，∠C=∠ABD．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径长为5，BF=2，求EF的长．⊥，垂足为点,E DA 3．如图，四边形ABCD内接于O，BD是O的直径，AE CD∠．平分BDE（1）AE是O的切线吗？请说明理由；AE=求BC的长．（2）若4,4．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，边AC与x轴交于点D，AE平分∠BAC交边BC于点E，经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上，⊙F与y轴相交于另一点G．（1）求证：BC是⊙F的切线；（2）若点A、D的坐标分别为A（0，﹣1），D（2，0），求⊙F的半径；（3）试探究线段AG 、AD 、CD 三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．5．如图，A 是半径为12cm 的O 上的定点，动点P 从A 出发，以2πcm/s 的速度沿圆周逆时针运动，当点P 回到A 地立即停止运动．（1）如果90POA ∠=，求点P 运动的时间；（2）如果点P 是OA 延长线上的一点，AB OA =，那么当点P 运动的时间为2s 时，判断直线OA 与O 的位置关系，并说明理由．6．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为圆外一点，AC 交⊙O 于点D ，BC 2=CD•CA ，弦ED=弦BD ，BE 交AC 于F.(1)求证：BC 为⊙O 切线；(2)判断△BCF 的形状并说明理由；(3)已知BC=15，CD=9，求tan ∠ADE 的值.7．如图，AB 是⊙O 的直径， BC 交⊙O 于点D ，E 是BD 的中点，连接AE 交BC 于点F ，∠ACB =2∠EAB ．（1）判断直线AC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若3cos4C=，8AC=，求BF的长．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F．（1）求证：D E是⊙O的切线；（2）若CF=2，DF=4，求⊙O直径的长．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．∠ABC的平分线交AC于点O，以点O为圆心，OC为半径．在△ABC同侧作半圆O．（1）求证：AB与⊙O相切；（2）若AB＝5，AC＝4，求⊙O的半径．10．如图，AB是⊙O的直径，BM切⊙O于点B，点P是⊙O上的一个动点（点P不与A，B两点重合），连接AP，过点O作OQ∥AP交BM于点Q，过点P作PE⊥AB于点C，交QO的延长线于点E，连接PQ，OP，AE．（1）求证：直线PQ为⊙O的切线；（2）若直径AB的长为4．①当PE＝时，四边形BOPQ为正方形；②当PE＝时，四边形AEOP为菱形．11．如图，在三角形ABC中，AB＝10，AC＝BC＝13，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，直线DF⊥AC，于点F，交CB的延长线于点E．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）求cos∠ADF的值．12．如图，线段AB经过⊙O的圆心O，交⊙O于A、C两点，BC＝1，AD为⊙O的弦，连结BD，∠BAD＝∠ABD＝30°．（1）求证：直线BD是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径长．13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，tan∠A＝43，点O是线段AC上一动点（不与点A，点C重合），以OC为半径的⊙O与线段BC的另一个交点为D，作DE⊥AB于E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）当⊙O与AB相切于点F时，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，连接OB交DE于点M，点G在线段EF上，连接GO．若∠GOM ＝45°，求DM和FG的长．14．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，C、E是⊙O上的两点，CE=CB，∠BCD=∠CAE，延长AE交BC的延长线于点F．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）求证：CE=CF；（3）若BD=1，CD=2，求弦AC的长．15．已知：△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF．（1）如图甲，AB为直径，要使EF为⊙O的切线，还需添加的条件是（写出两种情况，不需要证明）：①或②；（2）如图乙，AB是非直径的弦，若∠CAF=∠B，求证：EF是⊙O的切线．（3）如图乙，若EF是⊙O的切线，CA平分∠BAF，求证：OC⊥AB．16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G．(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)求证：2=⋅；AD AB AF(3)若BE=8，sinB=513，求AD的长，17．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BF＝6，⊙O的半径为5，求CE的长．18．已知：如图，AB是⊙O直径，OD⊥弦BC于点F，且交⊙O于点E，若∠AEC＝∠ODB．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）当AB＝10，BC＝8时，求BD的长．19．如图，在O中，AB为直径，点C、D都在O上，且BD平分ABC∠，过点D作DE BC⊥，交BC的延长线于点E．（1）求证：DE是O的切线；（2）若3BC =，1CE =，求O 的直径．20．如图，在三角形ABC 中，10AB =，13AC BC ==，以BC 为直径作O 交AB 于点D ，交AC 于点G ，直线DF AC ⊥于点F ，交CB 的延长线于点E ．（1）求证：DF 是O 的切线；（2）求cos ADF ∠的值．21．如图，已知△ABC 内接于⊙O ，过点B 作直线EF ∥AC ，又知∠ACB ＝∠BDC ＝60°，AC ＝3cm ．（1）请探究EF 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）求⊙O 的周长．22．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 外，∠ABC 的平分线与⊙O 交于点D ，∠C ＝90°．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若∠CDB ＝60°，AB ＝18，求AD 的长．23．如图，在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，作BAC ∠的角平分线交BC 于点O ，以O 为圆心，OB 为半径作圆．（1）依据题意补充完整图形；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）求证：O与直线AC相切；（3）在（2）的条件下，若O与直线AC相切的切点为D，O与BC相交于点F，连接BD，DF；其中CD23=，2CF=，求AB的长．24．如图，在△ABC中，AB = BC，以BC为直径作⊙ O交AC于点E，过点E作AB 的垂线交AB于点F，交CB的延长线于点G．（1）求证： EG是⊙O的切线；（2）若BG=OB，AC=6，求BF的长．25．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AC平分∠DAB，直线DC与AB的延长线相交于点P，AD与PC延长线垂直，垂足为点D，CE平分∠ACB，交AB于点F，交€€⊙O于点E．（1）求证：PC与⊙O相切；（2）求证：PC=PF；（3）若AC=8，tan∠ABC=43，求线段BE的长．26．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，AC=FC．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知圆的半径R=5，EF=3，求DF 的长．27．如图①，已知点C 是以AB 为直径的圆O 上一点，直线AC 与过B 点的切线相交于点D ，E 是BD 的中点，连接CE ．（1）求证：CE 是圆O 的切线；（2）如图②，CF AB ⊥，垂足为F ，若O 的半径为3，4BE =，求CF 的长； （3）如图③，连接AE 交CF 于点H ，求证：点H 是CF 的中点．28．定义：当点P 在射线OA 上时，把OP OA 的的值叫做点P 在射线OA 上的射影值；当点P 不在射线OA 上时，把射线OA 上与点P 最近点的射影值，叫做点P 在射线OA 上的射影值．例如：如图1，△OAB 三个顶点均在格点上，BP 是OA 边上的高，则点P 和点B 在射线OA 上的射影值均为OP OA ＝13．（1）在△OAB 中，①点B 在射线OA 上的射影值小于1时，则△OAB 是锐角三角形；②点B 在射线OA 上的射影值等于1时，则△OAB 是直角三角形；③点B 在射线OA 上的射影值大于1时，则△OAB 是钝角三角形． 其中真命题有 ．A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③（2）已知：点C 是射线OA 上一点，CA ＝OA ＝1，以〇为圆心，OA 为半径画圆，点B 是⊙O 上任意点．①如图2，若点B 在射线OA 上的射影值为12．求证：直线BC 是⊙O 的切线； ②如图3，已知D 为线段BC 的中点，设点D 在射线OA 上的射影值为x ，点D 在射线OB 上的射影值为y ，直接写出y 与x 之间的函数关系式为 ．29．如图，ABC ∆内接于O ，BC 是O 的直径，弦AF 交BC 于点E ，延长BC 到点D ，连接OA ， AD ，使得FAC AOD ∠=∠，D BAF ∠=∠（1）求证：AD 是O 的切线； （2）若O 的半径为5，2CE =，求EF 的长.参考答案1．（1）详见解析；（2）6【解析】【分析】（1）先根据等弦所对的劣弧相等，再结合∠EBD=∠CAB从而得到∠BAD=∠EBD，最后用直径所对的圆周角为直角即可；（2）利用三角形的中位线先求出OM，再用勾股定理求出半径r，最后得到直径的长．【详解】解：⑴证明：连接OB,CD,OB、CD交于点M∵BC=BD，∴∠CAB=∠BAD.∵OA=OB,∴∠BAD=∠OBA.∴∠CAB=∠OBA.∴OB∥AC.又AD是直径,∴∠ABD=∠ACD =90°，又∠EBD=∠CAB, ∠CAB=∠OBA.∴∠OBE=90°，即OB⊥BE.又OB是半径,∴BE是⊙O的切线．⑵∵ OB∥AC, OA=OD,AC=5,.∴ OM=2.5 ,BM=OB-2.5,OB⊥CD设⊙O的半径为r，则在Rt△OMD中：MD2=r2-2.52;在Rt△BMD中：MD2=BD2-(r-2.5)2 ,BD=BC=3.∴r1=3 ,r2=-0.5(舍).∴圆的直径AD的长是6．【点睛】此题是切线的判定，主要考查了圆周角的性质，切线的判定，勾股定理等，解本题的关键是作出辅助线．2．（1）证明见解析；（2）EF10【解析】【分析】（1）连接OE，易得∠ADB=90°，证明∠BOE=∠A，联立∠C=∠ABD可求证．（2）连接BE，根据同弧所对的圆周角先证明△BEF∽△BOE，根据相似三角形的性质求出EF的长度．【详解】解：（1）连接OE，∵AB是o的直径，∴∠ADB=90°，∴∠A+∠ABD=90°，由图可知∠BOE=2∠BDE又∵∠A=2∠BDE∴∠A=∠BOE∵∠C=∠ABD∴∠BOE+∠C=90°∴OE⊥EC∴CE是⊙O的切线．（2）连接BE，有图可知∠BED=∠A=∠BOE，∴△BEF∽△BOE∴BE BF EF BO BE OE==∵OB=OE=5,BF=2∴BE=EF∴EF2=OE·BF=1010故答案为：（1）证明见解析；（2）EF10=【点睛】本题考查了圆的相关知识、相似三角形的判定及性质，解题的关键在于合理作出辅助线转化求解．3．（1）AE是O的切线，理由见解析；（2）8．【解析】【分析】（1）连接AO，由AO=DO，得∠OAD=∠ODA，由DA平分∠BDE，得∠ADE=∠ODA，则∠ADE=∠OAD，证明AO∥ED，得OA⊥AE；（2）延长AO交BC于点F，由∠C=∠FAE=∠AEC=90°，可证四边形AECF为矩形，则CF=AE=4，由垂径定理得BF=FC=4．【详解】()1AE是O的切线．连接AO，OA OD=，,OAD ODA∴∠=∠ADE ADB∠=∠，OAD ADE∴∠=∠//AO CE∴AE CD⊥AE AO∴⊥AE∴是O的切线．()2延长AO交BC于点F．∵BD是⊙O的直径，∴∠C=90°．∴∠C=∠FAE=∠AEC=90°．∴四边形AECF为矩形，CF=AE=4．∵AF⊥BC，且AF过圆心，∴BC=2CF=8．【点睛】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，垂径定理的运用．关键是连接AO并延长，证明直角和矩形．4．（1）证明见解析；（2）52；（3）AG=AD+2CD．【解析】【分析】（1）连接EF，根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到∠FEA=∠EAC，得到FE∥AC，根据平行线的性质得到∠FEB=∠C=90°，证明结论；（2）连接FD，设⊙F的半径为r，根据勾股定理列出方程，解方程即可；（3）作FR⊥AD于R，得到四边形RCEF是矩形，得到EF=RC=RD+CD，根据垂径定理解答即可．【详解】（1）证明：连接EF，∵AE平分∠BAC，∴∠FAE=∠CAE，∵FA=FE，∴∠FAE=∠FEA，∴∠FEA=∠EAC，∴FE∥AC，∴∠FEB=∠C=90°，即BC是⊙F的切线；（2）解：连接FD，设⊙F的半径为r，则r2=（r﹣1）2+22，解得，r=52，即⊙F的半径为52；（3）解：AG=AD+2CD．证明：作FR⊥AD于R，则∠FRC=90°，又∠FEC=∠C=90°，∴四边形RCEF是矩形，∴EF=RC=RD+CD，∵FR⊥AD，∴AR=RD，∴EF=RD+CD=12AD+CD，∴AG=2FE=AD+2CD．考点：圆的综合题；探究型．5．（1）3s或9s（2）直线BP与O相切，理由见解析【解析】【分析】（1）当∠POA=90°时，点P运动的路程为⊙O周长的14或34，所以分两种情况进行分析；（2）直线BP与⊙O的位置关系是相切，根据已知可证得OP⊥BP，即直线BP与⊙O相切．【详解】解：（1）当∠POA=90°时，根据弧长公式可知点P运动的路程为⊙O周长的14或34，设点P运动的时间为ts；当点P运动的路程为⊙O周长的14时，2π•t=14•2π•12，解得t=3；当点P运动的路程为⊙O周长的34时，2π•t=34•2π•12，解得t=9；∴当∠POA=90°时，点P运动的时间为3s或9s．（2）如图，当点P运动的时间为2s时，直线BP与⊙O相切理由如下：当点P运动的时间为2s时，点P运动的路程为4πcm，连接OP，PA；∵半径AO=12cm，∴⊙O的周长为24πcm，∴AP的长为⊙O周长的16，∴∠POA=60°；∵OP=OA，∴△OAP是等边三角形，∴OP=OA=AP，∠OAP=60°；∵AB=OA，∴AP=AB，∵∠OAP=∠APB+∠B，∴∠APB=∠B=30°，∴∠OPB=∠OPA+∠APB=90°，∴OP⊥BP，∴直线BP与⊙O相切．【点睛】本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．6．（1）证明见解析；（2）△BCF为等腰三角形．证明见解析；（3）7 24【解析】【分析】（1）由BC2=CD•CA，根据三角形相似的判定得到△CBD∽△CAB，根据三角形相似的性质得到∠CBD=∠BAC，而AB为⊙O的直径，根据圆周角定理的推论得∠ADB=90°，易证得∠ABD+∠CBD=90°，根据切线的判定即可得到答案；（2）由DE BD，根据圆周角定理得∠DAE=∠BAC，由（1）得∠BAC=∠CBD，则∠CBD=∠DAE，根据同弧所对的圆周角相等得∠DAE=∠DBF，所以∠DBF=∠CBD，而∠BDF=90°，根据等腰三角形三线的判定即可得到△BCF为等腰三角形；（3）由BC2=CD•CA，BC=15，CD=9，可计算出CA=25，根据等腰三角形的性质有BF=BC=15，DF=DC=9，利用勾股定理计算出BD=12，得到AF=7，再根据等积可求出AE=71228 155⨯=，然后利用Rt△AEF∽Rt△BDF，通过相似比可计算出EF，则可得到BE，而∠ADE=∠ABE，最后利用三角函数的性质可计算出tan∠ADE的值．【详解】（1）证明：∵BC2=CD•CA，∴BC：CA=CD：BC，∵∠C=∠C，∴△CBD∽△CAB，∴∠CBD=∠BAC，又∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠BAC+∠ABD=90°，∴∠ABD+∠CBD=90°，即AB⊥BC，∴BC为⊙O切线；（2）△BCF为等腰三角形．证明如下：∵DE BD=，∴∠DAE=∠BAC，又∵△CBD∽△CAB，∴∠BAC=∠CBD，∴∠CBD=∠DAE，∵∠DAE=∠DBF，∴∠DBF=∠CBD，∵∠BDF=90°，∴∠DBC=∠BDF=90°∵BD=BD∴△BDF≌△BDC∴BF=BC∴△BCF 为等腰三角形；（3）解：∵BC 2=CD•CA ，BC=15，CD=9，∴CA=25，BF=BC=15，DF=DC=9，∴=12，∴AF=25-18=7，∴S △ABF =12•AE•BF=12•AF•BD ， ∴AE=71228155⨯=， 易证Rt △AEF ∽Rt △BDF ，∴EF ：DF=AF ：BF ，即EF ：9=7：15，∴EF=215， ∴BE=15+215=965， ∵∠ADE=∠ABE ，∴tan ∠ADE=tan ∠ABE 287596245=． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了圆周角定理及其推论以及三角形相似的判定与性质． 7．（1）AC 是⊙O 的切线，见解析；（2）83BF =【解析】【分析】（1）首先证明∠ACB =∠BAD ，然后根据圆周角定理的推论得出∠ACB +∠CAD=90°，则有∠BAD+∠CAD=90°，所以BA ⊥AC ，则可证明AC 是⊙O 的切线；（2）过点F 做FH ⊥AB 于点H ．首先通过角平分线的性质得出FH=FD ，且FH ∥AC ，然后利用锐角三角函数求出CD,BD 的长度，然后设 DF=x ，则FH=x ，143BF x =-，最后利用3cos 4FH BFH BF ∠==建立关于x 的方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：（1）AC是⊙O的切线理由:如图，连接AD．∵ E是BD中点，∴BE DE=．∴∠DAE=∠EAB．∵∠ACB =2∠EAB，∴∠ACB =∠BAD．∵ AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠ADC=90°，∴∠ACB +∠CAD=90°，∴∠BAD+∠CAD=90°．即BA⊥AC．∴ AC是⊙O的切线．（2）解：如图，过点F做FH⊥AB于点H．∵ AD⊥BD，FH⊥AB，∠DAE=∠EAB，∴ FH=FD，且FH∥AC．在Rt△ADC中，∵3cos4C=，8AC=，∴ CD=6．同理，在Rt△BAC中，可求得32 3BC=．∴143BD=．设DF=x，则FH=x，143BF x=-．∵ FH∥AC，∴∠BFH=∠ACB．∴3cos4FHBFHBF∠==．即31443xx=-．解得x=2，经检验，x=2是原分式方程的解，∴83BF=．【点睛】本题主要考查切线的判定及性质，圆周角定理的推论，解直角三角形，掌握切线的判定及性质，圆周角定理的推论，锐角三角函数，分式方程的解法是解题的关键．8．（1）证明见解析；（2）6．【解析】试题分析：（1）连接OD、CD，由AC为⊙O的直径知△BCD是直角三角形，结合E为BC 的中点知∠CDE=∠DCE，由∠ODC=∠OCD且∠OCD+∠DCE=90°可得答案；（2）设⊙O的半径为r，由OD2+DF2=OF2，即r2+42=（r+2）2可得r=3，即可得出答案．试题解析：（1）如图，连接OD、CD．∵AC为⊙O的直径，∴△BCD是直角三角形，∵E 为BC的中点，∴BE=CE=DE，∴∠CDE=∠DCE，∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∵∠ACB=90°，∴∠OCD+∠DCE=90°，∴∠ODC+∠CDE=90°，即OD⊥DE，∴DE是⊙O 的切线；（2）设⊙O 的半径为r ，∵∠ODF=90°，∴OD 2+DF 2=OF 2，即r 2+42=（r+2）2，解得：r=3，∴⊙O 的直径为6．考点：切线的判定与性质．9．（1）见解析；（2）⊙O 的半径长是32． 【解析】【分析】（1）过O 作OH ⊥AB 于H ，得到∠BHO=∠BCO=90°，根据角平分线的定义得到∠CBO=∠HBO ，根据全等三角形的性质得到OH=OC ，于是得到AB 与⊙O 相切； （2）求得BC 的长，然后证明BC 是切线，利用切线长定理求得BH 的长，证明△OAH ∽△BAC ，利用相似三角形的性质求解．【详解】（1）证明：如图，过O 作OH ⊥AB 于H ，∠ACB ＝90°∴∠BHO ＝∠BCO ＝90°，∵BO 平分∠ABC ，∴∠CBO ＝∠HBO ，∵BO ＝BO ，∴△CBO ≌△HBO （AAS ），∴OH ＝OC ，∴AB 与⊙O 相切；（2）解：∵在直角△ABC 中，AB ＝5，AC ＝4，∴BC 2222543,AB AC -=-=∵∠ACB ＝90°，即BC ⊥AC ，∴BC 是半圆的切线，又∵AB 与半圆相切，∴BH ＝BC ＝3，AH ＝AB ﹣BH ＝5﹣3＝2．∵AB 是切线，∴OH ⊥AB ，∴∠OHA ＝∠BCA ，又∵∠A ＝∠A ，∴△OAH ∽△BAC ， ∴,OH AH BC AC =即2,34OH = 解得OH ＝32．即⊙O 的半径长是32． 【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识是解题的关键．10．（1）见解析；（2）①2；②【解析】【分析】（1）根据切线的性质得∠OBQ ＝90°，根据平行线的性质得∠APO ＝∠POQ ，∠OAP ＝∠BOQ ，加上∠OPA ＝∠OAP ，则∠POQ ＝∠BOQ ，于是根据“SAS”可判断△BOQ ≌△POQ ，得到∠OPQ ＝∠OBQ ＝90°，根据切线的判定即可得证；（2）①由（1）得到∠OPQ ＝∠OBQ ＝90°，由于OB ＝OP ，所以当∠BOP ＝90°，四边形OPQB 为正方形，此时点C 、点E 与点O 重合，于是PE ＝PO ＝2；②根据菱形的判定，当OC ＝AC ，PC ＝EC ，四边形AEOP 为菱形，则OC ＝12OA ＝1，然后利用勾股定理计算出PC ，从而得到PE 的长．【详解】（1）证明：∵OQ ∥AP ，∴∠BOQ ＝∠OAP ，∠POQ ＝∠APO ，又∵OP ＝OA ，∴∠APO ＝∠OAP ，∴∠POQ ＝∠BOQ ，在△BOQ 与△POQ 中，=OB OP BOQ POQ OQ OQ =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩，∴△BOQ ≌△POQ （SAS ），∴∠OPQ ＝∠OBQ ＝90°，∵点P 在⊙O 上，∴PQ 是⊙O 的切线；（2）解：①∵∠OBQ ＝∠OPQ ＝90°，∴当∠BOP ＝90°，四边形OPQB 为矩形，而OB ＝OP ，则四边形OPQB 为正方形，此时点C 、点E 与点O 重合，PE ＝PO ＝12AB ＝2； ②∵PE ⊥AB ，∴当OC ＝AC ，PC ＝EC ，四边形AEOP 为菱形，∵OC ＝12OA ＝1，∴PC =，∴PE ＝2PC ＝．故答案为：2；．【点睛】本题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质和菱形、正方形的判定方法；综合应用所学知识是解答本题的关键．11．（1）证明见解析；（2）1213【解析】【分析】（1）连接OD 和CD ，根据圆周角定理求出∠BDC＝90°，根据等腰三角形的性质求出AD ＝BD ，根据三角形的中位线求出OD∥AC，求出OD⊥EF，根据切线的判定得出即可；（2）根据余角的性质得到∠ADF＝∠ODC，等量代换得到∠ADF＝∠ODC，根据勾股定理得到CD ＝12，根据三角函数的定义即可得到结论．【详解】（1）证明：连接OD ，CD ，∵BC 为⊙O 的直径，∴∠BDC＝90°，即CD⊥AB，∵AC＝BC ，AB ＝10，∴AD＝BD ＝5，∵O 为BC 中点，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥EF，∵OD 过O ，∴直线DF 是⊙O 的切线；（2）∵∠ADC＝∠BDC＝90°，∠ODF＝90°，∴∠ADF＝∠ODC，∴OD＝OC ，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠ADF＝∠ODC，∵BD＝5，BC ＝13，∴CD＝12，∴cos ADF ∠＝cos BCD ∠＝1213CD BC =．【点睛】本题考查了切线的判定，求一个角的三角函数值，（1）要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可；（2）求一个角的三角函数值，要把这个角放入直角三角形中或作垂直，也可以根据等角的三角函数值相等进行转化． 12．（1）见解析；（2）1【解析】【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ADO＝30°，求出∠DOB＝60°，求出∠ODB＝90°，根据切线的判定推出即可；(2)根据直角三角形的性质得到OD＝12OB，于是得到结论．【详解】(1)证明：连接OD，∵OA＝OD，∠A＝∠ABD＝30°，∴∠A＝∠ADO＝30°，∴∠DOB＝2∠A＝60°，∴∠ODB＝180°﹣∠DOB﹣∠B＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴BD是⊙O的切线；(2)解：∵∠ODB＝90°，∠DBC＝30°，∴OD＝12 OB，∵OC＝OD，∴BC＝OC＝1，∴⊙O的半径OD的长为1．【点睛】本题主要考查的是圆的综合应用，掌握等腰三角形的性质以及圆切线的判定是解题的关键．13．（1）见解析；（2）r＝409；（3）DM＝8027，FG=89【解析】【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形判断出∠ABC＝∠ACB，进而得到OD∥AB即可得到求证；（2）连接OF，根据切线得到△AOF是直角三角形，根据tan∠A＝43，设半径OF=OC=r,则可表示出AF=34r，AO=10-r，勾股定理求出半径即可得到结果；（3）现根据题意证出ODEF是正方形，求出BE,再根据△BEM∽△ODM，即可得到MD；在EF延长线上截取FT＝DM，证明出OT=OM，再证明△OGT≌△OGM，则GM＝GT＝GF＋FT＝GF＋DM，设出GF＝a，根据勾股定理求解即可．【详解】解：（1）证明：连接OD∵OC，OD均为⊙O的半径，∴OC＝OD，∴∠DCO＝∠CDO又∵在△ABC中，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB∴∠ABC＝∠CDO，∴OD∥AB∵DE⊥AB，∴DE⊥OD∴DE是⊙O的切线．（2）解：连接OF，设⊙O的半径为r，则OF＝r，OC＝r∵⊙O与AB相切于点F，∴AB⊥OF，∴∠OF A＝90°，在Rt△AOF中，∠OF A＝90°，OF＝r，tan∠A＝4 3∴AF＝34r，∴AO＝5 4 r又∵AO＝AC－OC＝10－r，∴54r＝10－r∴ r＝409．（3）由（2）知r＝409，∴AF＝34r＝103∵∠ODE＝∠DEF＝∠OFE＝90°，∴四边形ODEF是矩形∵OF＝OD，∴矩形ODEF是正方形，∴DE＝EF＝OF＝40 9∴BE＝AB－AF－EF＝10－103-409＝209∵∠BME＝∠OMD，∠BEM＝∠ODM＝90°∴△BEM∽△ODM，∴EM BE DM OD即409DMDM＝209409，解得DM＝8027在EF延长线上截取FT＝DM∵四边形ODEF是正方形，∴∠OFT＝∠ODM＝90°，OF＝OD ∴△OFT≌△ODM，∴∠2＝∠1，OT＝OM∵∠DOF＝90°，∠GOM＝45°，∴∠GOF＋∠1＝45°，∴∠GOF＋∠2＝45°即∠GOT＝45°，∴∠GOT＝∠GOM又OG＝OG，∴△OGT≌△OGM，∴GM＝GT＝GF＋FT＝GF＋DM设GF＝a，则EG＝409－a，GM＝8027＋a，且EM＝DE－DM＝409－8027＝4027在Rt△EMG中，EM2＋EG2＝GM2，即(4027)2＋(409－a)2＝(8027＋a)2，解得a＝89∴FG的长为89．【点睛】此题考查圆与特殊四边形的知识：切线的判定及性质，特殊四边形的证明，勾股定理等，难度较大，需要做辅助线．14．（1）见解析；（2）见解析；（3）3【解析】【分析】（1）连接OC，可证得∠CAD=∠BCD，由∠CAD+∠ABC=90°，可得出∠OCD=90°，即结论得证；（2）证明△ABC≌△AFC可得CB=CF，又CB=CE，则CE=CF；（3）证明△DCB∽△DAC，可求出DA的长，求出AB长，设BC=a，AC=2a，则由勾股定理可得AC的长．【详解】解：（1）连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAD+∠ABC=90°，∵CE=CB，∴∠CAE=∠CAB，∵∠BCD=∠CAE，∴∠CAB=∠BCD，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠OCB+∠BCD=90°，∴∠OCD=90°，∴CD是⊙O的切线；（2）∵∠BAC=∠CAE，∠ACB=∠ACF=90°，AC=AC，∴△ABC≌△AFC（ASA），∴CB=CF，又∵CB=CE，∴CE=CF；（3）∵∠BCD=∠CAD，∠ADC=∠CDB，∴△DCB ∽△DAC ， ∴CD AD AC BD CD BC==，∴1=， ∴DA =2，∴AB =AD ﹣BD =2﹣1=1，设BC =a ，AC a ，由勾股定理可得：222)1a +=，解得：a =3，∴3AC =. 【点睛】本题主要考查了切线的判刑、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，学会添加辅助线和灵活运用所学知识是解题的关键.15．（1）①OA ⊥EF ；②∠FAC=∠B ；（2）见解析；（3）见解析．【解析】【分析】(1) 添加条件是:①OA ⊥EF 或∠FAC=∠B 根据切线的判定和圆周角定理推出即可．(2) 作直径AM,连接CM ，推出∠M=∠B=∠EAC ，求出∠FAC+∠CAM=90°，根据切线的判定推出即可．(3)由同圆的半径相等得到OA=OB ，所以点O 在AB 的垂直平分线上，根据∠FAC=∠B ，∠ BAC=∠FAC ，等量代换得到∠BAC=∠B ，所以点C 在AB 的垂直平分线上，得到OC 垂直平分AB ．【详解】（1）①OA ⊥EF ②∠FAC=∠B ，理由是：①∵OA ⊥EF ，OA 是半径，∴EF 是⊙O 切线，②∵AB 是⊙0直径，∴∠C=90°，∴∠B+∠BAC=90°，∵∠FAC=∠B，∴∠BAC+∠FAC=90°，∴OA⊥EF，∵OA是半径，∴EF是⊙O切线，故答案为：OA⊥EF或∠FAC=∠B，（2）作直径AM，连接CM，即∠B=∠M（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），∵∠FAC=∠B，∴∠FAC=∠M，∵AM是⊙O的直径，∴∠ACM=90°，∴∠CAM+∠M=90°，∴∠FAC+∠CAM=90°，∴EF⊥AM，∵OA是半径，∴EF是⊙O的切线．（3）∵OA=OB，∴点O在AB的垂直平分线上，∵∠FAC=∠B，∠BAC=∠FAC，∴∠BAC=∠B，∴点C在AB的垂直平分线上，∴OC垂直平分AB，∴OC⊥AB．【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，三角形的内角和定理等知识点，注意:经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线，直径所对的圆周角是直角．16．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）AD13【解析】【分析】（1）连接OD，由AD为角平分线得到一对角相等，再由等边对等角得到一对角相等，等量代换得到内错角相等，进而得到OD与AC平行，得到OD与BC垂直，即可得证；（2）连接DF，证明△ABD∽△ADF，，由相似三角形的性质即可证得结论；（3）连接EF，设圆的半径为r，由sinB的值，利用锐角三角函数定义求出r的值，由直径所对的圆周角为直角，得到EF与BC平行，得到sin∠AEF=sinB，进而求出AF的长，再根据（2）的结论即可求得AD的长．【详解】（1）如图，连接OD，∵AD为∠BAC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD，∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD，∴∠ODA=∠CAD，∴OD∥AC，∵∠C=90°，∴∠ODC=90°，∴OD⊥BC，∴BC为圆O的切线；（2）连接DF，由（1）知BC为圆O的切线，∴∠FDC=∠DAF，∴∠CDA=∠CFD，∴∠AFD=∠ADB，∵∠BAD=∠DAF，∴△ABD∽△ADF，∴AB AD AD AF=，即AD2=AB•AF；(3)连接EF，在Rt△BOD中，sinB=513 ODOB=，设圆的半径为r，可得5813 rr=+，解得：r=5，∴AE=10，AB=18，∵AE是直径，∴∠AFE=∠C=90°，∴EF∥BC，∴∠AEF=∠B，∴sin∠AEF=513 AFAE=，∴AF=AE•sin∠AEF=10×513=50 13，∵AD2=AB•AF∴5013181313AB AF⋅=⨯=．【点睛】本题是圆的综合题，考查的知识点有切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义以及平行线的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．17．（1）详见解析；（2）4【解析】【分析】（1）首先利用等腰三角形的性质和角平分线的定义得出∠EBC＝∠OEB，然后得出OE∥BC，则有∠OEA＝∠ACB=90°，则结论可证．（2）连接OE、OF，过点O作OH⊥BF交BF于H，首先证明四边形OHCE是矩形，则有 ，然后利用等腰三角形的性质求出BH的长度，再利用勾股定理即可求出OH的OH CE长度，则答案可求．【详解】（1）证明：连接OE．∵OE＝OB，∴∠OBE＝∠OEB．∵BE平分∠ABC，∴∠OBE＝∠EBC，∴∠EBC＝∠OEB，∴OE∥BC，∴∠OEA＝∠ACB．∵∠ACB＝90°，∴∠OEA＝90°∴AC是⊙O的切线；（2）解：连接OE、OF，过点O作OH⊥BF交BF于H，∵OH ⊥BF ，90OHC ∴=︒ ．90OHC ACB OEC =∠=∠=︒∴四边形OECH 为矩形，∴OH ＝CE ．∵,OB OF OH BF =⊥，BF ＝6，∴BH ＝3．在Rt △BHO 中，OB ＝5，∴OH 2253-4，∴CE ＝4．【点睛】本题主要考查切线的判定，等腰三角形的性质，矩形的性质，勾股定理，掌握切线的判定，等腰三角形的性质，矩形的性质，勾股定理是解题的关键．18．（1）见解析；（2）203【解析】【分析】（1）从切线的判定为目标，来求BD ⊥AB ，连接AC 通过相似来证得；（2）通过已知条件和第一步求得的三角形相似求得BD 的长度．【详解】（1）证明：连接AC ，∵AB 是⊙O 的直径∴∠ACB ＝90°又∵OD ⊥BC∴AC∥OE∴∠CAB＝∠EOB由AC对的圆周角相等∴∠AEC＝∠ABC又∵∠AEC＝∠ODB∴∠ODB＝∠OBC∴△DBF∽△OBD∴∠OBD＝90°即BD⊥AB又∵AB是直径∴BD是⊙O的切线．（2）∵OD⊥弦BC于点F，且点O圆心，∴BF＝FC∴BF＝4由题意OB是半径即为5∴在直角三角形OBF中OF为3由以上（1）得到△DBF∽△OBD∴BD OB BF OF=即得BD＝203．【点睛】本题考查了切线的判定及其应用，通过三角形相似求得，本题思路很好，是一道不错的题．19．（1）见解析；（232【解析】【分析】（1）连接OD ，证//OD BC ，则OD DE ⊥，即可证明DE 是O 的切线；（2）连AD 、CD ，作DF AB ⊥，证明Rt Rt BDF BDE ∆∆≌，Rt Rt ADF CDE ∆∆≌，从而求出AB 长，即为O 直径. 【详解】解：（1）连OD ，∵OB OD =，∴ODB OBD ∠=∠，∵BD 平分ABC ∠，∴OBD CBD ∠=∠，∴ODB CBD ∠=∠，∴//OD BC ，∵DE BC ⊥，∴90E ∠=︒，∴90ODE ∠=︒，即OD DE ⊥，∴DE 是O 的切线；（2）连AD 、CD ，作DF AB ⊥，∵在O 中，ABD CBD ∠=∠，∴AD CD =，又∵OD DE ⊥，DF AB ⊥，∴DE DF =，在Rt △BDE 和Rt △BDF 中BD=BD DE=DF ⎧⎨⎩∴Rt Rt BDF BDE ∆∆≌（HL ），在Rt △ADF 和Rt △CDE 中AD=DC DF=DE ⎧⎨⎩∴Rt Rt ADF CDE ∆∆≌（HL ），∴1BF BE ==，1AF CE ==，∴32AB =+，即O 的直径为32+．【点睛】本题是对圆知识的综合考查，熟练掌握圆的性质定理是解决本题的关键.20．（1）证明见解析；（2）12cos 13ADF ∠=． 【解析】【分析】(1)连接OD 和CD ，根据圆周角定理求出∠BDC=90°，根据等腰三角形的性质求出AD=BD ，根据三角形的中位线求出OD ∥AC ，求出OD ⊥EF ，根据切线的判定得出即可；(2)根据余角的性质得到∠ADF=∠ODC ，等量代换得到∠ADF=∠OCD ，根据勾股定理得到CD=12，根据三角函数的定义即可得到结论．【详解】（1）证明：如图，连接OD ，CD ，∵BC 为⊙O 的直径，∴∠BDC=90°（直径所对的圆周角是90°），即CD ⊥AB ，∵AC=BC ，AB=10，∴AD=BD=5，∵O 为BC 中点，∴OD ∥AC ，∵DF ⊥AC ，∴∠DFC=90°，∴∠FDO=180°-90°=90°（两直线平行，同旁内角互补），∴OD ⊥EF ，又∵OD 过圆心O 点，∴直线DF 是⊙O 的切线；（2）∵∠ADC=∠BDC=90°，∠ODF=90°，∴∠ADF=∠ODC ，又∵OD=OC ，∴∠ODC=∠OCD ，∴∠ADF=∠OCD （等量替换），∵BD=5，BC=13，∴（勾股定理），12cos cos 13ADF BCD ∠=∠=； 【点睛】 本题主要考查了切线的判断、等腰三角形的性质、解直角三角形、圆周角定理、勾股定理的知识点，能综合运用知识点进行求解是解题的关键．21．（1）EF 与⊙O 相切．理由见解析；（2）⊙O 的周长为2πcm ．【解析】【分析】（1）延长BO 交AC 于H ，如图，先证明△ABC 为等边三角形，利用点O 为△ABC 的外心得到BH ⊥AC ，由于AC ∥EF ，所以BH ⊥EF ，于是根据切线的判定定理即可得到EF 为⊙O 的切线；（2）连结OA ，如图，根据等边三角形的性质得∠OAH ＝30°，AH ＝CH ＝12AC ＝2，再在Rt △AOH 中，利用三角函数和计算出OA ＝1，然后根据圆的周长公式计算．【详解】（1）EF 与⊙O 相切．理由如下：延长BO 交AC 于H ，如图，∵∠BAC ＝∠BDC ＝60°，而∠ACB ＝60°，∴△ABC 为等边三角形，∵点O 为△ABC 的外心，∴BH ⊥AC ，∵AC ∥EF ，∴BH ⊥EF ，∴EF 为⊙O 的切线；（2）连结OA ，如图，∵△ABC 为等边三角形，∴OA 平分∠ABC ，∴∠OAH ＝30°，∵OH ⊥AC ，∴AH ＝CH ＝12AC 在Rt △AOH 中，∵cos ∠OAH ＝AH OA，∴OA 1， ∴⊙O 的周长＝2π×1＝2π（cm ）．【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了等边三角形的判定与性质．22．（1）见解析；（2）3π．【解析】【分析】（1）连接OD，求出OD//BC，求出OD⊥DC，根据切线的判定得出即可；（2）求出∠CBD=30°，求出∠AOD=∠ABC=60°，求出半径OA，根据弧长公式求出即可．【详解】（1）连接OD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠OBD，∴∠CBD＝∠ODB，∴OD//BC，∴∠C+∠ODC＝180°，∵∠C＝90°．∴∠ODC＝90°，即OD⊥DC，∵OD过O，∴CD是⊙O的切线；（2）∵∠CDB＝60°，∠C＝90°，∴∠CBD＝30°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝60°，∵OD//BC，∴∠AOD＝∠ABC＝60°，∵直径AB＝18，∴半径OA＝9，∴弧AD的长是609180π⨯＝3π．【点睛】本题考查了切线的判定，平行线的性质，等腰三角形的性质，弧长公式等知识点，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键．23．（1）见解析；（2）见解析；（3）AB=【解析】【分析】（1）根据尺规作图的规则作图即可．（2）根据角平分线证明边和角，再根据切线长定理求证即可．（3）先在（2）的前提下，根据三角形相似，求出圆的半径，再根据△ODC∽△ABC求出AB即可．【详解】（1）作图如下：（2）证明：过点O 作OD ⊥AC ，垂足为D ．∵∠ABC=90°，∴OB ⊥AB ，∵AO 平分∠BAC 且OB ⊥AB ，OD ⊥AC ，∴OB=OD ，∴⊙O 与直线AC 相切．（2）由（1）可知，∠ODC=90°，∵BF 为直径∴∠BDF=90°，∴∠ODC=∠BDF ，∴∠BDO=∠CDF ，∵OB=OD ，∴∠BDO=∠DBO ，∴CDF=∠DBO ，且∠DCF=∠BCD ，∴△DCF ∽△BCD ，∴2CD CF BC =⋅，∵CD23=，CF=2，∴BC=6，∴OB=OF=2，∴OC=4，OD=2，∵△ODC∽△ABC，∴OD CDAB BC=，OD=2，CD23=∴23AB=．【点睛】此题考查尺规作图的方法，切线长定理及三角形相似，知识面较广，难度较难．24．（1）见解析；（2）3【解析】【分析】（1）由AB=BC，可得△ABC是等腰三角形，且BE⊥AC可得AE=CE，根据中位线定理可得OE∥AB，且AB⊥EG可得OE⊥EG，即可证EG是⊙O的切线（2）易证得△OBE是等边三角形，根据三角函数求BE，CE的长，再根据三角形的中位线的性质即可求得BF的长．【详解】（1）如图：连接OE，BE，∵AB=BC，∴∠C=∠A，∵BC是直径，∴∠CEB=90°，且AB=BC，∴CE=AE ，且CO=OB ，∴OE ∥AB ，∵GE ⊥AB ，∴EG ⊥OE ，且OE 是半径，∴EG 是⊙O 的切线；(2) ∵BG = OB ，OE ⊥EG ，∴BE= 12OG=OB=OE ， ∴△OBE 为等边三角形，∴∠CBE = 60°， ∵AC = 6，∴CЕ = 3，BЕ =3tan 60 ，∴∵ОB = BG ，OE//AB ，∴BF= 12 【点睛】本题考查了切线的性质和判定，等腰三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，解直角三角形等，关键是灵活运用切线的判定解决问题．25．（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）连接OC ，根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到∠DAC=∠OCA ，得到OC ∥AD ，根据平行线的性质得到OC ⊥PD ，根据切线的判定定理证明结论；（2）根据圆周角定理、三角形的外角的性质证明∠PFC=∠PCF ，根据等腰三角形的判定定理证明；（3）连接AE ，根据正切的定义求出BC ，根据勾股定理求出AB ，根据等腰直角三角形的性质计算即可．【详解】。

切线的判定与性质精选题22道

切线的判定与性质精选题22道

切线的判定与性质精选题22道一．选择题（共6小题）1．如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是⊙O上一点，连接PD．已知PC＝PD＝BC．下列结论：（1）PD与⊙O相切；（2）四边形PCBD是菱形；（3）PO＝AB；（4）∠PDB＝120°．其中正确的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个2．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A'B'CD'的边A'B'与⊙O相切，切点为E，边CD'与⊙O相交于点F，则CF的长为（）A．2.5B．1.5C．3D．43．如图，在矩形ABCD中AB＝10，BC＝8，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A1B1C1D1的边A1B1与⊙O相切于点E，则BB1的长为（）A．B．2C．D．4．如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB＝8，∠CBA＝30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F，下列结论：①CE ＝CF；②线段EF的最小值为2；③当AD＝2时，EF与半圆相切；④若点F恰好落在弧BC上，则AD＝2．其中正确结论的序号是（）A．①③B．②③C．①②③D．①②③④5．已知半圆O的直径AB＝8，沿弦EF折叠，当折叠后的圆弧与直径AB相切时，折痕EF 的长度m为（）A．m＝4B．m＝4C．4≤m≤4D．4≤m≤4 6．如图，圆心P（﹣5，0），⊙P的半径为3，将⊙P沿x轴的正方向平移，使得⊙P与y轴相切，则平移的距离为（）A．2B．8C．3或8D．2或8二．填空题（共8小题）7．如图，直线y＝﹣x﹣3交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是．8．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，sin A＝，AC＝8，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，P为线段A′B′上的动点，以点P为圆心，P A′长为半径作⊙P，当⊙P与△ABC的边相切时，⊙P的半径为．9．如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB＝10，∠CBA＝30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．有下列结论：①CE＝CF；②线段EF的最小值为5；③当AD＝3时，EF与半圆相切；④若点F恰好落在弧BC上，则AD＝5；⑤当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是25，其中正确结论的序号是．10．如图，已知AC为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，且BC＝AC，连接线段AB，与⊙O 交于点D，若AC＝4cm，则阴影部分的面积为．11．判断对错（在题后的小括号里，对的打√，错的打×）．（1）两个半圆是等弧；（2）过圆心的线段是半径；（3）一个三角形有唯一的一个外接圆；（4）相等的圆心角所对的弧相等；（5）长度相等的两条弧是等弧；（6）顶点在圆上的角是圆周角；（7）圆周角是圆心角的一半；（8）圆的切线只有一条；（9）直线a上一点到圆心的距离等于半径，则a和圆有公共点；（10）若直线与圆有一个公共点，则直线是圆的切线；（11）经过半径外端的直线是圆的切线；（12）能完全重合的两个图形成中心对称；（13）直径所对的角是直角；（14）抛物线y＝﹣（x﹣2）2与y轴不相交；（15）二次函数y＝2x2+4x﹣1的最小函数值是﹣3 ．12．如图，已知扇形AOB的半径为6，圆心角为90°，E是半径OA上一点，F是弧AB上一点．将扇形AOB沿EF对折，使得折叠后的圆弧A′F恰好与半径OB相切于点G，若OE＝5，则折痕EF的长为．13．如图，直线l：y＝﹣x+1与坐标轴交于A，B两点，点M（m，0）是x轴上一动点，以点M为圆心，2个单位长度为半径作⊙M，当⊙M与直线l相切时，则m的值为．14．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝12，BC＝14，AD＝9，点P为线段BC上的一动点，连接DP，以DP为直径的圆M，当圆M与直角梯形ABCD的边相切时，线段BP的最小值为．三．解答题（共8小题）15．如图，在△ABC，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC 的延长线上，且∠CBF＝∠CAB．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若AB＝5，sin∠CBF＝，求BC和BF的长．16．如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．过点A作⊙O的切线与OD 的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若∠ABC＝60°，AB＝10，求线段CF的长．17．如图，M，N是以AB为直径的⊙O上的点，且＝，弦MN交AB于点C，BM平分∠ABD，MF⊥BD于点F．（1）求证：MF是⊙O的切线；（2）若CN＝3，BN＝4，求CM的长．18．如图，AB是⊙O的直径，点D在直径AB上（D与A，B不重合），CD⊥AB，且CD＝AB，连接CB，与⊙O交于点F，在CD上取一点E，使EF＝EC．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若D是OA的中点，AB＝4，求CF的长．19．如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE＝∠C．（1）求证：AE与⊙O相切于点A；（2）若AE∥BC，BC＝2，AC＝2，求AD的长．20．已知：如图，在△ABC中，AB＝BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F．（1）求证：AC与⊙O相切；（2）当BD＝6，sin C＝时，求⊙O的半径．21．如图，已知直线P A交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC 平分∠P AE，过C作CD⊥P A，垂足为D．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若DC+DA＝6，⊙O的直径为10，求AB的长度．22．如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D为AC上一点，以CD为直径的⊙O交AB于点E，连接CE，且CE平分∠ACB．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）连接DE，若∠A＝30°，求．切线的判定与性质精选题22道参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是⊙O上一点，连接PD．已知PC＝PD＝BC．下列结论：（1）PD与⊙O相切；（2）四边形PCBD是菱形；（3）PO＝AB；（4）∠PDB＝120°．其中正确的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】（1）利用切线的性质得出∠PCO＝90°，进而得出△PCO≌△PDO（SSS），即可得出∠PCO＝∠PDO＝90°，得出答案即可；（2）利用（1）所求得出：∠CPB＝∠BPD，进而求出△CPB≌△DPB（SAS），即可得出答案；（3）利用全等三角形的判定得出△PCO≌△BCA（ASA），进而得出答案；（4）利用四边形PCBD是菱形，∠CPO＝30°，则DP＝DB，则∠DPB＝∠DBP＝30°，求出即可．【解答】解：（1）连接CO，DO，∵PC与⊙O相切，切点为C，∴∠PCO＝90°，在△PCO和△PDO中，，∴△PCO≌△PDO（SSS），∴∠PCO＝∠PDO＝90°，∴PD与⊙O相切，故（1）正确；（2）由（1）得：∠CPB＝∠BPD，在△CPB和△DPB中，，∴△CPB≌△DPB（SAS），∴BC＝BD，∴PC＝PD＝BC＝BD，∴四边形PCBD是菱形，故（2）正确；（3）连接AC，∵PC＝CB，∴∠CPB＝∠CBP，∵AB是⊙O直径，∴∠ACB＝90°，在△PCO和△BCA中，，∴△PCO≌△BCA（ASA），∴PO＝AB，故（3）正确；（4）∵四边形PCBD是菱形，∠CPO＝30°，∴DP＝DB，则∠DPB＝∠DBP＝30°，∴∠PDB＝120°，故（4）正确；正确个数有4个，故选：A．【点评】此题主要考查了切线的判定与性质和全等三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质等知识，熟练利用全等三角形的判定与性质是解题关键．2．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A'B'CD'的边A'B'与⊙O相切，切点为E，边CD'与⊙O相交于点F，则CF的长为（）A．2.5B．1.5C．3D．4【分析】连接OE并延长交CF于点H，可证四边形EB′CH是矩形，再根据勾股定理和垂径定理即可求得CF的长．【解答】解：如图，连接OE并延长交CF于点H，∵矩形ABCD绕点C旋转得矩形A'B'C'D'，∴∠B′＝∠B′CD′＝90°，A′B′∥CD′，BC＝B′C＝4，∵边A'B'与⊙O相切，切点为E，∴OE⊥A′B′，∴四边形EB′CH是矩形，∴EH＝B′C＝4，OH⊥CF，∵AB＝5，∴OE＝OC＝AB＝，∴OH＝EH﹣OE＝，在Rt△OCH中，根据勾股定理，得CH＝＝＝2，∴CF＝2CH＝4．故选：D．【点评】本题考查了圆中的计算问题和矩形，解决本题的关键是掌握切线的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、旋转的性质．3．如图，在矩形ABCD中AB＝10，BC＝8，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A1B1C1D1的边A1B1与⊙O相切于点E，则BB1的长为（）A．B．2C．D．【分析】连接EO并延长交线段CD1于点F，过点B1作B1G⊥BC于点G，由题意可得：四边形B1EFC为矩形，则EF＝B1C＝8，由勾股定理可求线段CF的长；由旋转的性质可得：∠OCF＝∠B1CG，则sin∠OCF＝sin∠B1CG＝，cos∠OCF＝cos∠B1CG＝；利用直角三角形的边角关系可求B1G和CG，最后利用勾股定理可得结论．【解答】解：连接EO并延长交线段CD1于点F，过点B1作B1G⊥BC于点G，如图，∵边A1B1与⊙O相切于点E，∴OE⊥A1B1．∵四边形A1B1C1D1是矩形，∴A1B1⊥B1C，B1C⊥CD1．∴四边形B1EFC为矩形．∴EF＝B1C＝8．∵CD为⊙O的直径，∴OE＝DO＝OC＝AB＝5．∴OF＝EF﹣OE＝3．∵A1B1∥CD1，OE⊥A1B1，∴OF⊥CD1．∴CF＝＝4．由旋转的性质可得：∠OCF＝∠B1CG．∴sin∠OCF＝sin∠B1CG＝，cos∠OCF＝cos∠B1CG＝．∵sin∠OCF＝，cos∠OCF＝，∴，．∴B1G＝，CG＝．∴BG＝BC﹣CG＝．∴BB1＝＝＝．故选：C．【点评】本题主要考查了矩形的判定与性质，圆的切线的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系，旋转的性质，连接EO，利用切线的性质得到OE⊥A1B1，是解决此类问题常添加的辅助线．4．如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB＝8，∠CBA＝30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F，下列结论：①CE ＝CF；②线段EF的最小值为2；③当AD＝2时，EF与半圆相切；④若点F恰好落在弧BC上，则AD＝2．其中正确结论的序号是（）A．①③B．②③C．①②③D．①②③④【分析】①连接DC，根据题意可得：CE＝CD，从而可得∠E＝∠CDE，再利用等角的余角相等可得∠F＝∠CDF，进而可得CD＝CF，即可判断；②由①可得EF＝2CD，所以当CD最小时，则EF最小，所以当CD⊥AB时，先在Rt△ABC中求出AC，再在Rt△ACD中求出CD，即可判断；③连接OC，先证明△AOC是等边三角形，从而可得∠ACO＝60°，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得∴∠ACD＝30°，进而可得∠ECA＝30°，然后再证∠OCE＝90°，即可判断；④连接AF、BF，根据题意可得DE⊥AC，从而可得DE∥BC，进而可得FH＝DH，∠BHD＝90°，从而证明BC是DF的垂直平分线，然后再利用等腰三角形的三线合一性质可得∠FBA＝60°，最后在Rt△AFB中求出BF，即可求出BD，即可判断．【解答】解：连接DC，∵点E与点D关于AC对称，∴CE＝CD，∴∠E＝∠CDE，∵DF⊥DE，∴∠EDF＝90°，∴∠E+∠F＝90°，∵∠CDE+∠CDF＝90°，∴∠F＝∠CDF，∴CD＝CF，∴CE＝CD＝CF，故①正确；∵CE＝CD＝CF，∴EF＝2CD，当CD最小时，则EF最小，∴当CD⊥AB时，CD最小，∵AB是半⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AB＝8，∠CBA＝30°，∴AC＝AB＝4，∠CAB＝90°﹣∠CBA＝60°，在Rt△ADC中，CD＝AC sin60°＝4×＝2，∴EF＝2CD＝4，∴线段EF的最小值为4，故②不正确；连接OC，∵OA＝OC，∠A＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴∠ACO＝60°，∵AD＝2，OA＝4，∴OD＝OA﹣AD＝4﹣2＝2，∴AD＝OD，∴∠ACD＝∠ACO＝30°，∵点E与点D关于AC对称，∴∠ECA＝∠ACD＝30°，∴∠OCE＝∠ECA+∠ACO＝90°，∵OC是半⊙O的半径，∴EF与半⊙O相切，∴当AD＝2时，EF与半圆相切，故③正确；当点F恰好落在弧BC上时，连接AF、BF，∵点E与点D关于AC对称，∴AC⊥DE，∴∠AGD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠AGD＝90°，∴DE∥BC，∵CF＝CE，∴FH＝DH，∵∠EDF＝90°，BC∥DE，∴∠BHD＝∠EDF＝90°，∴BC是DF的垂直平分线，∴BF＝BD，∴∠FBA＝2∠CBA＝60°，∵AB是半⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，∴FB＝AB cos60°＝8×＝4，∴BD＝BF＝4，∴AD＝AB﹣BD＝8﹣4＝4，故④不正确，所以，正确结论的序号是①③，故选：A．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，切线的判定与性质，轴对称的性质，直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，直角三角形斜边上的中线性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．5．已知半圆O的直径AB＝8，沿弦EF折叠，当折叠后的圆弧与直径AB相切时，折痕EF 的长度m为（）A．m＝4B．m＝4C．4≤m≤4D．4≤m≤4【分析】分别求得折痕EF的长的最小值与最大值可得答案．【解答】解：如图，当半圆以点B为圆心顺时针旋转90°时，折痕EF的有最小值，∵半圆O的直径AB＝8，∴OF＝O1F＝O1E＝OE＝4，在Rt△EO1F中，∴EF最小值＝＝4．如图1﹣3，当半圆沿垂直于直径AB进行折叠时，折痕EF有最大值，∴O1M＝OM＝2，∠OMF＝90°，EM＝FM，OF＝OB＝4，∴FM＝＝＝2，∴EF有最大值＝2×2＝4，∴折痕EF的长度m为：4≤m，故选：D．【点评】此题考查的是切线的判定与性质、圆周角定理、翻折的性质等知识，掌握其性质定理是解决此题的关键．6．如图，圆心P（﹣5，0），⊙P的半径为3，将⊙P沿x轴的正方向平移，使得⊙P与y轴相切，则平移的距离为（）A．2B．8C．3或8D．2或8【分析】分圆P在y轴的左侧与y轴相切、圆P在y轴的右侧与y轴相切两种情况，根据切线的判定定理解答．【解答】解：当圆P在y轴的左侧与y轴相切时，平移的距离为5﹣3＝2，当圆P在y轴的右侧与y轴相切时，平移的距离为5+3＝8，故选：D．【点评】本题考查的是切线的判定、坐标与图形的变化﹣平移问题，掌握切线的判定定理是解题的关键，解答时，注意分情况讨论思想的应用．二．填空题（共8小题）7．如图，直线y＝﹣x﹣3交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是（﹣，0）或P（﹣，0）．【分析】根据函数解析式求得A（﹣4，0），B（0．﹣3），得到OA＝4，OB＝3，根据勾股定理得到AB＝5，设⊙P与直线AB相切于D，连接PD，则PD⊥AB，PD＝1，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵直线y＝﹣x﹣3交x轴于点A，交y轴于点B，∴令x＝0，得y＝﹣3，令y＝0，得x＝﹣4，∴A（﹣4，0），B（0，﹣3），∴OA＝4，OB＝3，∴AB＝5，设⊙P与直线AB相切于D，连接PD，则PD⊥AB，PD＝1，∵∠ADP＝∠AOB＝90°，∠P AD＝∠BAO，∴△APD∽△ABO，∴＝，∴＝，∴AP＝，∴OP＝或OP＝，∴P（﹣，0）或P（﹣，0），故答案为：（﹣，0）或P（﹣，0）．【点评】本题考查了切线的判定和性质，一次函数图形上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键．8．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，sin A＝，AC＝8，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，P为线段A′B′上的动点，以点P为圆心，P A′长为半径作⊙P，当⊙P与△ABC的边相切时，⊙P的半径为或．【分析】分两种情形分别求解：如图1中，当⊙P与直线AC相切于点M时，如图2中，当⊙P与AB相切于点N时，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：∵，∴设BC＝3x，则AB＝5x，在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2，即：（5x）2＝（3x）2+82，∴x＝2，∴AB＝10，BC＝6，∴，①若⊙P与AC相切，如图1，设切点为M，连接PM，则PM⊥AC，且PM⊥P A′，∵PM⊥AC，A′C⊥AC，∴∠B′PM＝∠A′，由旋转性质可知∠A′＝∠A，∴∠B′PM＝∠A，∴，设PM＝4x，则P A′＝PM＝4x，B′P＝5x，又∵A′B′＝AB，即：4x+5x＝10，解得，∴；②若⊙P与AB相切，延长PB′交AB于点N，如图2，∵∠A′+∠B＝∠A+∠B＝90°，∵∠A′NB＝90°，即N为AB与⊙O切点，又∴A'B＝BC+A'C＝BC+AC＝14，∴A′N＝A′B•cos∠A′＝A′B•cos A，即，∴．综上，⊙P的半径为或，故答案为：或．【点评】本题考查切线的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．9．如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB＝10，∠CBA＝30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．有下列结论：①CE＝CF；②线段EF的最小值为5；③当AD＝3时，EF与半圆相切；④若点F恰好落在弧BC上，则AD＝5；⑤当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是25，其中正确结论的序号是①②④⑤．【分析】①由点E与点D关于AC对称可得CE＝CD，再根据DF⊥DE即可证到CE＝CF．②根据“点到直线之间，垂线段最短”可得CD⊥AB时CD最小，由于EF＝2CD，求出CD的最小值就可求出EF的最小值．③连接OC，易证△AOC是等边三角形，AD＝OD，根据等腰三角形的“三线合一”可求出∠ACD，进而可求出∠ECO＝90°，从而得到EF与半圆相切．④利用相似三角形的判定与性质可证到△DBF是等边三角形，只需求出BF就可求出DB，进而求出AD长．⑤首先根据对称性确定线段EF扫过的图形，然后探究出该图形与△ABC的关系，就可求出线段EF扫过的面积．【解答】解：①连接CD，如图1所示．∵点E与点D关于AC对称，∴CE＝CD．∴∠E＝∠CDE．∵DF⊥DE，∴∠EDF＝90°．∴∠E+∠F＝90°，∠CDE+∠CDF＝90°．∴∠F＝∠CDF．∴CD＝CF．∴CE＝CD＝CF．故①正确．②当CD⊥AB时，如图2所示．∵AB是半圆的直径，∴∠ACB＝90°．∵AB＝10，∠CBA＝30°，∴∠CAB＝60°，AC＝5，BC＝5．∵CD⊥AB，∠CBA＝30°，∴CD＝BC＝．根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：点D在线段AB上运动时，CD的最小值为．∵CE＝CD＝CF，∴EF＝2CD．∴线段EF的最小值为5．故②正确．③当AD＝3时，连接OC，如图3所示．∵OA＝OC，∠CAB＝60°，∴△OAC是等边三角形．∴CA＝CO，∠ACO＝60°．∵AO＝5，AD＝3，∴DO＝2．∴AD≠DO．∴∠ACD＞∠OCD≠30°．∵点E与点D关于AC对称，∴∠ECA＝∠DCA．∴∠ECA≠30°．∴∠ECO≠90°．∴OC不垂直EF．∵EF经过半径OC的外端，且OC不垂直EF，∴EF与半圆不相切．故③错误．④当点F恰好落在上时，连接FB、AF，如图4所示．∵点E与点D关于AC对称，∴ED⊥AC．∴∠AGD＝90°．∴∠AGD＝∠ACB．∴ED∥BC．∴△FHC∽△FDE．∴．∵FC＝EF，∴FH＝FD．∴FH＝DH．∵DE∥BC，∴∠FHC＝∠FDE＝90°．∴BF＝BD．∴∠FBH＝∠DBH＝30°．∴∠FBD＝60°．∵AB是半圆的直径，∴∠AFB＝90°．∴∠F AB＝30°．∴FB＝AB＝5．∴DB＝4．∴AD＝AB﹣DB＝5．故④正确．⑤∵点D与点E关于AC对称，点D与点F关于BC对称，∴当点D从点A运动到点B时，点E的运动路径AM与AB关于AC对称，点F的运动路径NB与AB关于BC对称．∴EF扫过的图形就是图5中阴影部分．∴S阴影＝2S△ABC＝2×AC•BC＝AC•BC＝5×5＝25．∴EF扫过的面积为25．故⑤正确．故答案为①②④⑤．【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、切线的判定、轴对称的性质、含30°角的直角三角形、垂线段最短等知识，熟练掌握几何图形的性质是解题的关键．10．如图，已知AC为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，且BC＝AC，连接线段AB，与⊙O 交于点D，若AC＝4cm，则阴影部分的面积为（6﹣π）cm2．【分析】由切线的性质和圆周角定理可得∠ACB＝90°，∠ADC＝90°，由等腰直角三角形的性质可得AD＝DB＝CD，AO＝CO＝DO，AC⊥OD，由面积和差关系可求解．【解答】解：如图，连接OD，CD，∵BC为⊙O的切线，AC为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∠ADC＝90°，又∵AC＝BC，∴AD＝DB＝CD，∵AO＝CO＝2cm，∴AC⊥OD，OD＝AO＝CO＝2cm，∴∠COD＝90°，∴S阴影＝S△ACB﹣S△AOD﹣S扇形COD＝×4×4﹣×2×2﹣＝（6﹣π）cm2，故答案为：（6﹣π）cm2．【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，扇形的面积公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．11．判断对错（在题后的小括号里，对的打√，错的打×）．（1）两个半圆是等弧×；（2）过圆心的线段是半径×；（3）一个三角形有唯一的一个外接圆√；（4）相等的圆心角所对的弧相等×；（5）长度相等的两条弧是等弧×；（6）顶点在圆上的角是圆周角×；（7）圆周角是圆心角的一半×；（8）圆的切线只有一条×；（9）直线a上一点到圆心的距离等于半径，则a和圆有公共点√；（10）若直线与圆有一个公共点，则直线是圆的切线×；（11）经过半径外端的直线是圆的切线×；（12）能完全重合的两个图形成中心对称×；（13）直径所对的角是直角×；（14）抛物线y＝﹣（x﹣2）2与y轴不相交×；（15）二次函数y＝2x2+4x﹣1的最小函数值是﹣3 √．【分析】根据切线的判定和性质定理，二次函数的性质，三角形的外接圆的性质进行判断即可．【解答】解：（1）两个半圆是等弧×；（2）过圆心的线段是半径×；（3）一个三角形有唯一的一个外接圆√；（4）相等的圆心角所对的弧相等×；（5）长度相等的两条弧是等弧×；（6）顶点在圆上的角是圆周角×；（7）圆周角是圆心角的一半×；（8）圆的切线只有一条×；（9）直线a上一点到圆心的距离等于半径，则a和圆有公共点√；（10）若直线与圆有一个公共点，则直线是圆的切线×；（11）经过半径外端的直线是圆的切线×；（12）能完全重合的两个图形成中心对称×；（13）直径所对的角是直角×；（14）抛物线y＝﹣（x﹣2）2与y轴不相交×；（15）二次函数y＝2x2+4x﹣1的最小函数值是﹣3√，故答案为：×、×、√、×、×、×、×、×、√、×、×、×、×、×、√．【点评】本题考查了圆的性质，切线的判定和性质定理，二次函数的性质，三角形的外接圆的性质，熟练掌握切线的判定和性质定理、三角形的外接圆的性质是解题的关键．12．如图，已知扇形AOB的半径为6，圆心角为90°，E是半径OA上一点，F是弧AB上一点．将扇形AOB沿EF对折，使得折叠后的圆弧A′F恰好与半径OB相切于点G，若OE＝5，则折痕EF的长为+．【分析】过点G作O′G⊥OB于点G，过点A作AO′⊥O′G于点O′，连接OO′交EF于H，连接OF，易证四边形AOGO′为矩形，根据题意可得OO′⊥EF，OH＝HO′，易证Rt△OEH∽Rt△OO′A，根据相似三角形的性质即可求出OH，再根据勾股定理即可求出EH和FH，进一步求EF的值即可．【解答】解：过点G作O′G⊥OB于点G，过点A作AO′⊥O′G于点O′，连接OO′交EF于H，连接OF，如图所示：∴∠AO′G＝∠O′GO＝90°，∵∠AOB＝90°，∴四边形AOGO′为矩形，∴O′G＝AO＝6，根据题意，得点O′为所在圆的圆心，∴点O与点O′关于EF对称，∴OO′⊥EF，OH＝HO′，设OH＝x，则OO′＝2x，∵∠EOH＝∠O′OA，∠OHE＝∠OAO′，∴Rt△OEH∽Rt△OO′A，∴OE：OH＝OO′：OA，∵OE＝5，OA＝6，∴5：x＝（2x）：6，解得x＝，∴OH＝，∵OE＝5，OF＝6，根据勾股定理，得EH＝，FH＝，∴EF＝+，故答案为：+．【点评】本题考查了圆的综合，涉及切线的性质，折叠的性质，相似三角形的性质与判断，勾股定理等，本题综合性较强，难度较大．13．如图，直线l：y＝﹣x+1与坐标轴交于A，B两点，点M（m，0）是x轴上一动点，以点M为圆心，2个单位长度为半径作⊙M，当⊙M与直线l相切时，则m的值为2﹣2或2+2．【分析】根据直线l：y＝﹣x+1由x轴的交点坐标A（0，1），B（2，0），得到OA＝1，OB＝2，求出AB＝；设⊙M与AB相切于C，连接MC，则MC＝2，MC⊥AB，通过△BMC∽△BAO，即可得到结果．【解答】解：在y＝﹣x+1中，令x＝0，则y＝1，令y＝0，则x＝2，∴A（0，1），B（2，0），∴AB＝；如图，设⊙M与AB相切于C，连接MC，则MC＝2，MC⊥AB，∵∠MCB＝∠AOB＝90°，∠ABO＝∠CBM，∴△BMC∽△BAO，∴＝，即＝，∴BM＝2，∴OM＝2﹣2，或OM＝2+2．∴m＝2﹣2或m＝2+2．故答案为：2﹣2或2+2．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，一次函数的性质，相似三角形的判定和性质，注意分类讨论是解题的关键．14．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝12，BC＝14，AD＝9，点P为线段BC上的一动点，连接DP，以DP为直径的圆M，当圆M与直角梯形ABCD的边相切时，线段BP的最小值为4或9．【分析】分两种情形：如图2﹣1中，当⊙M与AB相切时，连接QM．如图2﹣2中，当⊙M与BC（AD）相切时，分别求解即可．【解答】解：如图2﹣1中，当⊙M与AB相切时，连接QM．∵MQ＝MP，∴∠MQP＝∠MPQ，∵∠QPM＝∠QPB，∴∠MQP＝∠QPB，∴MQ∥PB，∵DM＝PM，∴AQ＝QB＝6，∵∠A＝∠B＝∠DQP＝90°，∴∠AQD+∠BQP＝90°，∠BQP+∠QPB＝90°，∴∠AQD＝∠BPQ，∴△DAQ∽△QBP，∴，∴，∴BP＝4．如图2﹣2中，当⊙M与BC（AD）相切时，四边形ABPD是矩形，∴BP＝AD＝9．综上所述，满足条件的BP的值为4或9．故答案为：4或9．【点评】本题属于四边形综合题，考查了直角梯形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会寻找特殊位置解决问题，属于中考压轴题．三．解答题（共8小题）15．如图，在△ABC，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC 的延长线上，且∠CBF＝∠CAB．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若AB＝5，sin∠CBF＝，求BC和BF的长．【分析】（1）连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABF＝90°．（2）利用已知条件证得△AGC∽△ABF，利用比例式求得线段的长即可．【解答】（1）证明：连接AE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠1+∠2＝90°．∵AB＝AC，∴∠1＝∠CAB．∵∠CBF＝∠CAB，∴∠1＝∠CBF∴∠CBF+∠2＝90°即∠ABF＝90°∵AB是⊙O的直径，∴直线BF是⊙O的切线．（2）解：过点C作CG⊥AB于G．∵sin∠CBF＝，∠1＝∠CBF，∴sin∠1＝，∵在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，AB＝5，∴BE＝AB•sin∠1＝，∵AB＝AC，∠AEB＝90°，∴BC＝2BE＝2，在Rt△ABE中，由勾股定理得AE＝＝2，∴sin∠2＝＝＝，cos∠2＝＝＝，在Rt△CBG中，可求得GC＝4，GB＝2，∴AG＝3，∵GC∥BF，∴△AGC∽△ABF，∴∴BF＝＝【点评】本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，角的大小及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．16．如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．过点A作⊙O的切线与OD 的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若∠ABC＝60°，AB＝10，求线段CF的长．【分析】（1）连接OC，可以证得△OAP≌△OCP，利用全等三角形的对应角相等，以及切线的性质定理可以得到：∠OCP＝90°，即OC⊥PC，即可证得；（2）先证△OBC是等边三角形得∠COB＝60°，再由（1）中所证切线可得∠OCF＝90°，结合半径OC＝5可得答案．【解答】解：（1）连接OC，∵OD⊥AC，OD经过圆心O，∴AD＝CD，∴P A＝PC，在△OAP和△OCP中，∵，∴△OAP≌△OCP（SSS），∴∠OCP＝∠OAP∵P A是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°．∴∠OCP＝90°，即OC⊥PC∴PC是⊙O的切线．（2）∵OB＝OC，∠OBC＝60°，∴△OBC是等边三角形，∴∠COB＝60°，∵AB＝10，∴OC＝5，由（1）知∠OCF＝90°，∴CF＝OC tan∠COB＝5．【点评】本题考查了切线的性质定理以及判定定理，以及直角三角形三角函数的应用，证明圆的切线的问题常用的思路是根据切线的判定定理转化成证明垂直的问题．17．如图，M，N是以AB为直径的⊙O上的点，且＝，弦MN交AB于点C，BM平分∠ABD，MF⊥BD于点F．（1）求证：MF是⊙O的切线；（2）若CN＝3，BN＝4，求CM的长．【分析】（1）根据等腰三角形的性质和角平分线的定义证得∠OMB＝∠MBF，得出OM ∥BF，即可证得OM⊥MF，即可证得结论；（2）由勾股定理可求AB的长，可得AO，BO，ON的长，由勾股定理可求CO的长，通过证明△ACN∽△MCB，可得，即可求CM的长．【解答】证明：（1）连接OM，∵OM＝OB，∴∠OMB＝∠OBM，∵BM平分∠ABD，∴∠OBM＝∠MBF，∴∠OMB＝∠MBF，∴OM∥BF，∵MF⊥BD，∴OM⊥MF，即∠OMF＝90°，∴MF是⊙O的切线；（2）方法一、如图，连接AN，ON∵＝，∴AN＝BN＝4∵AB是直径，＝，∴∠ANB＝90°，ON⊥AB∴AB＝＝4∴AO＝BO＝ON＝2∴OC＝＝＝1∴AC＝2+1，BC＝2﹣1∵∠A＝∠NMB，∠ANC＝∠MBC∴△ACN∽△MCB∴∴AC•BC＝CM•CN∴7＝3•CM∴CM＝方法二、∵，∴∠ABN＝∠BMN，∵∠BNC＝∠BNM，∴△BCN∽△MBN，∴＝，∴BN2＝NC•MN，∴MN＝，∴CM＝．【点评】本题考查了切线的性质，圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，求OC的长是本题的关键．18．如图，AB是⊙O的直径，点D在直径AB上（D与A，B不重合），CD⊥AB，且CD＝AB，连接CB，与⊙O交于点F，在CD上取一点E，使EF＝EC．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若D是OA的中点，AB＝4，求CF的长．【分析】（1）连接OF，易证∠DBC+∠C＝90°，由等腰三角形的性质得∠DBC＝∠OFB，∠C＝∠EFC，推出∠OFB+∠EFC＝90°，则∠OFE＝90°，即可得出结论；（2）连接AF，则∠AFB＝90°，求出BD＝3OD＝3，CD＝AB＝4，BC＝＝5，证明△FBA∽△DBC，得出＝，求出BF＝，由CF＝BC﹣BF即可得出结果．【解答】（1）证明：连接OF，如图1所示：∵CD⊥AB，∴∠DBC+∠C＝90°，∵OB＝OF，∴∠DBC＝∠OFB，∵EF＝EC，∴∠C＝∠EFC，∴∠OFB+∠EFC＝90°，∴∠OFE＝180°﹣90°＝90°，∴OF⊥EF，∵OF为⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：连接AF，如图2所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，∵D是OA的中点，∴OD＝DA＝OA＝AB＝×4＝1，∴BD＝3OD＝3，∵CD⊥AB，CD＝AB＝4，∴∠CDB＝90°，由勾股定理得：BC＝＝＝5，∵∠AFB＝∠CDB＝90°，∠FBA＝∠DBC，∴△FBA∽△DBC，∴＝，∴BF＝＝＝，∴CF＝BC﹣BF＝5﹣＝．【点评】本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握切线的判定和相似三角形的判定与性质是解题的关键．19．如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE＝∠C．（1）求证：AE与⊙O相切于点A；（2）若AE∥BC，BC＝2，AC＝2，求AD的长．【分析】（1）连接OA，根据同圆的半径相等可得：∠D＝∠DAO，由同弧所对的圆周角相等及已知得：∠BAE＝∠DAO，再由直径所对的圆周角是直角得：∠BAD＝90°，可得结论；（2）先证明OA⊥BC，由垂径定理得：，FB＝BC，根据勾股定理计算AF、OB、AD的长即可．【解答】证明：（1）连接OA，交BC于F，则OA＝OB，∴∠D＝∠DAO，∵∠D＝∠C，∴∠C＝∠DAO，∵∠BAE＝∠C，∴∠BAE＝∠DAO，（2分）∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，即∠DAO+∠BAO＝90°，（3分）∴∠BAE+∠BAO＝90°，即∠OAE＝90°，∴AE⊥OA，∴AE与⊙O相切于点A；（4分）（2）∵AE∥BC，AE⊥OA，∴OA⊥BC，（5分）∴，FB＝BC，∴AB＝AC，∵BC＝2，AC＝2，∴BF＝，AB＝2，在Rt△ABF中，AF＝＝1，在Rt△OFB中，OB2＝BF2+（OB﹣AF）2，∴OB＝4，（7分）∴BD＝8，∴在Rt△ABD中，AD＝＝＝＝2．（8分）【点评】本题考查了圆的切线的判定、勾股定理及垂径定理的应用，属于基础题，熟练掌握切线的判定方法是关键：有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径，证垂直”．20．已知：如图，在△ABC中，AB＝BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F．（1）求证：AC与⊙O相切；（2）当BD＝6，sin C＝时，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OE，根据等腰三角形性质求出BD⊥AC，推出∠ABE＝∠DBE和∠OBE ＝∠OEB，得出∠OEB＝∠DBE，推出OE∥BD，得出OE⊥AC，根据切线的判定定理推出即可；（2）根据sin C＝求出AB＝BC＝10，设⊙O的半径为r，则AO＝10﹣r，得出sin A＝sin C＝，根据OE⊥AC，得出sin A＝＝＝，即可求出半径．【解答】（1）证明：连接OE，∵AB＝BC且D是AC中点，∴BD⊥AC，∵BE平分∠ABD，∴∠ABE＝∠DBE，∵OB＝OE∴∠OBE＝∠OEB，∴∠OEB＝∠DBE，∴OE∥BD，∵BD⊥AC，∴OE⊥AC，∵OE为⊙O半径，∴AC与⊙O相切．（2）解：∵BD＝6，sin C＝，BD⊥AC，∴BC＝10，∴AB＝BC＝10，设⊙O的半径为r，则AO＝10﹣r，∵AB＝BC，∴∠C＝∠A，∴sin A＝sin C＝，∵AC与⊙O相切于点E，∴OE⊥AC，∴sin A＝＝＝，∴r＝，答：⊙O的半径是．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，解直角三角形，切线的性质和判定的应用，解（1）小题的关键是求出OE∥BD，解（2）小题的关键是得出关于r的方程，题型较好，难度适中，用了方程思想．21．如图，已知直线P A交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC 平分∠P AE，过C作CD⊥P A，垂足为D．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若DC+DA＝6，⊙O的直径为10，求AB的长度．【分析】（1）连接OC，根据题意可证得∠CAD+∠DCA＝90°，再根据角平分线的性质，得∠DCO＝90°，则CD为⊙O的切线；（2）过O作OF⊥AB，则∠OCD＝∠CDA＝∠OFD＝90°，得四边形OCDF为矩形，设AD＝x，在Rt△AOF中，由勾股定理得（5﹣x）2+（6﹣x）2＝25，从而求得x的值，由勾股定理得出AB的长．【解答】（1）证明：连接OC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∵AC平分∠P AE，∴∠DAC＝∠CAO，∴∠DAC＝∠OCA，∴PB∥OC，∵CD⊥P A，∴CD⊥OC，CO为⊙O半径，∴CD为⊙O的切线；（2）解：过O作OF⊥AB，垂足为F，∴∠OCD＝∠CDA＝∠OFD＝90°，∴四边形DCOF为矩形，∴OC＝FD，OF＝CD．∵DC+DA＝6，设AD＝x，则OF＝CD＝6﹣x，∵⊙O的直径为10，∴DF＝OC＝5，∴AF＝5﹣x，在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2+OF2＝OA2．即（5﹣x）2+（6﹣x）2＝25，化简得x2﹣11x+18＝0，解得x1＝2，x2＝9．∵CD＝6﹣x大于0，故x＝9舍去，∴x＝2，从而AD＝2，AF＝5﹣2＝3，∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，∴AB＝2AF＝6．【点评】本题考查了切线的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质以及垂径定理，是基础知识要熟练掌握．22．如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D为AC上一点，以CD为直径的⊙O交AB于点E，连接CE，且CE平分∠ACB．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）连接DE，若∠A＝30°，求．【分析】（1）连接OE，证明OE∥BC，得∠AEO＝∠B＝90°，即可得出结论；（2）连接DE，先证明△DCE∽△ECB，得出＝，易证∠ACB＝60°，由角平分线定义得∠DCE＝∠ACB＝×60°＝30°，由此可得的值，即可得出结果．【解答】（1）证明：连接OE，如图1所示：∵CE平分∠ACB，。

提分专练(06) 切线的性质与判定

提分专练(06) 切线的性质与判定

提分专练(六)切线的性质与判定|类型1| 切线的性质1.[2019·毕节]如图T6-1,点P在☉O外,PC是☉O的切线,C为切点,直线PO与☉O相交于点A,B.(1)若∠A=30°,求证:P A=3PB;(2)小明发现,∠A在一定范围内变化时,始终有∠BCP=1(90°-∠P)成立.请你写出推理过程.2图T6-12.[2019·贺州]如图T6-2,BD是☉O的直径,弦BC与OA相交于点E,AF与☉O相切于点A,交DB的延长线于点F,∠F=30°,∠BAC=120°,BC=8.(1)求∠ADB的度数;(2)求AC的长度.图T6-23.[2018·沈阳]如图T6-3,BE是☉O的直径,点A和点D是☉O上的两点,过点A作☉O的切线交BE的延长线于点C.(1)若∠ADE=25°,求∠C的度数;(2)若AB=AC,CE=2,求☉O的半径长.图T6-34.[2018·随州]如图T6-4,AB是☉O的直径,点C为☉O上一点,CN为☉O的切线,OM⊥AB于点O,分别交AC,CN 于D,M两点.(1)求证:MD=MC;(2)若☉O的半径为5,AC=4√5,求MC的长.图T6-4|类型2| 切线的判定5.[2019·常德]如图T6-5,☉O与△ABC的AC边相切于点C,与AB,BC边分别交于点D,E,DE∥OA,CE是☉O的直径.(1)求证:AB是☉O的切线;(2)若BD=4,CE=6,求AC的长.图T6-56.[2018·青海]如图T6-6,△ABC内接于☉O,∠B=60°,CD是☉O的直径,点P是CD延长线上一点,且AP=AC.(1)求证:P A是☉O的切线;(2)若PD=√5,求☉O的直径.图T6-67.[2019·枣庄]如图T6-7,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径作☉O,点D为☉O上一点,且CD=CB,连接DO 并延长交CB的延长线于点E.(1)判断直线CD与☉O的位置关系,并说明理由;(2)若BE=2,DE=4,求☉O的半径及AC的长.图T6-78.[2019·安顺节选]如图T6-8,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O与边BC,AC分别交于D,E两点,过点D 作DH⊥AC于点H.(1)判断DH与☉O的位置关系,并说明理由;(2)求证:点H为CE的中点.图T6-8【参考答案】1.解:(1)证明:∵AB 是直径,∴∠ACB=90°, ∵∠A=30°,∴AB=2BC.连接OC.∵PC 是☉O 的切线,∴∠OCP=90°,∴∠BCP=∠P=30°,∴PB=BC ,又∵BC=12AB ,∴P A=3PB.(2)∵点P 在☉O 外,PC 是☉O 的切线,C 为切点,直线PO 与☉O 相交于点A ,B ,∴∠BCP=∠ACO=∠A , ∵∠A +∠P +∠ACB +∠BCP=180°,且∠ACB=90°,∴2∠BCP=90°-∠P , ∴∠BCP=12(90°-∠P ).2.解:(1)∵AF 与☉O 相切于点A ,∴AF ⊥OA , ∵BD 是☉O 的直径,∴∠BAD=90°,∵∠BAC=120°,∴∠DAC=30°,∴∠DBC=∠DAC=30°, ∵∠F=30°,∴∠F=∠DBC ,∴AF ∥BC , ∴OA ⊥BC ,∴∠BOA=90°-30°=60°, ∴∠ADB=12∠AOB=30°.(2)∵OA ⊥BC ,∴BE=CE=12BC=4,∴AB=AC ,∵∠AOB=60°,OA=OB ,∴△AOB 是等边三角形,∴AB=OB , ∵∠OBE=30°,∴OE=12OB ,BE=√3OE=4, ∴OE=4√33,∴AC=AB=OB=2OE=8√33. 3.解:(1)如图,连接OA ,∵AC 为☉O 的切线,OA 是☉O 的半径, ∴OA ⊥AC. ∴∠OAC=90°. ∵∠ADE=25°,∴∠AOE=2∠ADE=50°. ∴∠C=90°-∠AOE=90°-50°=40°.(2)∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵∠AOC=2∠B,∴∠AOC=2∠C.∵∠OAC=90°,∴∠AOC+∠C=90°, ∴3∠C=90°,∠C=30°.OC.∴OA=12设☉O的半径为r,(r+2).∴r=2.∵CE=2,∴r=12∴☉O的半径为2.4.解:(1)证明:连接OC,∵CN为☉O的切线,∴OC⊥CM,∴∠OCA+∠MCD=90°.∵OM⊥AB,∴∠OAC+∠ODA=90°.∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∴∠MCD=∠ODA.又∵∠ODA=∠MDC,∴∠MCD=∠MDC,∴MD=MC.(2)依题意可知AB=5×2=10,AC=4√5, ∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°, ∴BC=√102-(4√5)2=2√5.∵∠AOD=∠ACB,∠A=∠A,∴△AOD∽△ACB,∴OD BC =AO AC ,即2√5=4√5,得OD=52.设MC=MD=x ,在Rt △OCM 中, 由勾股定理得x +522=x 2+52, 解得x=154,即MC=154.5.解:(1)证明:连接OD ,∵DE ∥OA , ∴∠AOC=∠OED ,∠AOD=∠ODE , ∵OD=OE ,∴∠OED=∠ODE , ∴∠AOC=∠AOD , 又∵OA=OA ,OD=OC ,∴△AOC ≌△AOD (SAS),∴∠ADO=∠ACO. ∵CE 是☉O 的直径,AC 为☉O 的切线, ∴OC ⊥AC ,∴∠OCA=90°, ∴∠ADO=∠OCA=90°,∴OD ⊥AB. ∵OD 为☉O 的半径, ∴AB 是☉O 的切线.(2)∵CE=6,∴OD=OC=3, ∵∠BDO=180°-∠ADO=90°, ∴BO 2=BD 2+OD 2, ∴OB=√42+32=5, ∴BC=8,∵∠BDO=∠OCA=90°,∠B=∠B , ∴△BDO ∽△BCA , ∴BD BC =ODAC , ∴48=3AC , ∴AC=6.6.解:(1)证明:连接OA,∵∠B=60°,∴∠AOC=2∠B=120°,又∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA=30°,又∵AP=AC,∴∠P=∠ACP=30°,∴∠OAP=∠AOC-∠P=90°,∴OA⊥P A,∴P A是☉O的切线.(2)在Rt△OAP中,∵∠P=30°,∴PO=OD+PD=2OA,又∵OA=OD,∴PD=OA,∵PD=√5,∴CD=2OA=2PD=2√5.∴☉O的直径为2√5.7.解:(1)直线CD与☉O相切.理由如下:连接CO.∵点D在圆上,∴OD=OB, 又∵CD=CB,CO=CO,∴△COD≌△COB(SSS).∵∠ABC=90°,∴∠ODC=∠ABC=90°,∴OD⊥DC,∴直线CD与☉O相切.(2)设☉O的半径为x,∵DE=4,∴OE=4-x.在Rt△OBE中,BE2+BO2=OE2,即22+x2=(4-x)2,解得x=1.5,∴OD=OB=1.5.AB=2OB=3.∵CB,CD是圆的切线,∴CB=CD.则设CB=CD=y,在Rt△CDE中,CD2+DE2=CE2,即y2+42=(y+2)2,解得y=3,∴BC=3.在Rt△ABC中,AC=√AB2+BC2=3√2.8.[解析](1)连接OD,AD,先利用圆周角定理得到∠ADB=90°,再根据等腰三角形的性质得BD=CD,再证明OD为△ABC的中位线得到OD∥AC,根据DH⊥AC,所以OD⊥DH,然后根据切线的判定定理可判断DH为☉O的切线.(2)连接DE,由圆内接四边形的性质得∠DEC=∠B,再证明∠DEC=∠C,然后根据等腰三角形的性质得到CH=EH.解:(1)DH与☉O相切.理由如下:连接OD,AD,如图,∵AB为直径,∴∠ADB=90°,即AD⊥BC,∵AB=AC,∴BD=CD,而AO=BO,∴OD为△ABC的中位线,∴OD∥AC,∵DH⊥AC,∴OD⊥DH,∴DH为☉O的切线.(2)证明:连接DE,如图,∵四边形ABDE为☉O的内接四边形,∴∠DEC=∠B,∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠DEC=∠C,∵DH⊥CE,∴CH=EH,即H为CE的中点.。

切线的判定和性质专题训练

切线的判定和性质专题训练

） ．
Ｂ． Ｃ＝ Ａ ＡＢ
Ｃ． ＡＣ＜ ＡＢ
Ｄ． ＡＣ＝ ＢＣ
巩 固提高（０分钟） ３
１ 如 图 ，已知 ．
＝
是 ＱＯ 的切线 ，切 点 为 ，
３ Ａ Ｏ ３ 。那 么 Ｏ ＝ ， Ｐ ＝０， Ｐ
日 Ｐ
』 ４
Ａ
Ａ
Ｐ
（ ３题 ） 第
（ ４题 ） 第
（ １题 ） 第
（ ２题 ） 第
４如图， ． 在半 径 分别 为 ５ｃ 和 ３ｃ 的两个 同 ｍ ｍ 心 圆 中 ，大 圆 的弦 Ａ Ｂ与小 圆相 切于点 Ｃ ．
则 弦 ＡＢ 的 长 为 Ｃ． ｍ
２如图， 。
是 ｏ 的 切 线 ， 点 为 Ａ，Ａ＝ ０ 切 Ｐ
２ ／ ， 、 了 ＬＡＰ ３ 。 Ｏ＝ ０ ，则 ＱＯ 的 半 径 长 为
ＡＢ 的 ｝为 （ ∈ ） ．
点 Ａ 出发 ，以 ｃ ／ ｍ ｓ的速度 在 ｏＤ上按
逆 时针 方 向运 动一 周 回到点 立 即停 止． 当点 Ｐ运 动 的 时 间 为
与ｏ０相切．
Ｓ时 ． Ｐ Ｂ
Ａ ５ ／ ｃ１ ． 、 一 ｎ
Ｂ． ｍ ５ｃ
Ｃ １＼了 ｃ ．０ ／ ｍ
Ｅ ／Ａ ， Ｅ Ｆ／ Ｂ 则 Ｆ的长度为（
） ．
美好 的生 活是 一 种 由爱 所 激 励 、 由知 识 所 指 导 的生 活 。— — 伯 特 兰 ・ 素 罗
・
； 釜・ 切线的 判定和牲质专题 训练
Ｂ． 、 ２ ／３
Ｄ． ／２ ２＼ Ｃ． ｒ ｍ ３２ ｒ ｃ Ｄ．１ ｒａ ６ｒ ｍ
Ｃ ＝ ．
Ａ．１ ５。
Ｂ． Ｏ。 ２

圆的切线综合练习题与答案

圆的切线综合练习题与答案

切线的判定与性质练习题一、选择题（答案唯一，每小题3分）1．下列说法中，正确的是( )A．与圆有公共点的直线是圆的切线 B．经过半径外端的直线是圆的切线C．经过切点的直线是圆的切线 D．圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线2. 如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于A，BC交⊙O于点D，若∠C＝70°，则∠AOD的度数为( )A．70° B．35° C．20° D．40°第2题第3题第4题第5题3. 如图，线段AB是⊙O的直径，点C，D为⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠E＝50°，则∠CDB等于( )A．20° B．25° C．30° D．40°4.如图，等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝8，O为BC的中点，以O为圆心作半圆，使它与AB，AC都相切，切点分别为D，E，则⊙O的半径为( )A．8 B．6 C．5 D．45.如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G，直线EF与⊙O相切于点D，则下列结论中不一定正确的是( )A．AG＝BG B．AB∥EF C．AD∥BC D．∠ABC＝∠ADC二．填空题（每小题3分）6．如图，在⊙O中，弦AB＝OA，P是半径OB的延长线上一点，且PB＝OB，则PA与⊙O的位置关系是_________．第6题第7题第8题7.如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为________________．8.如图，AB是⊙O的直径，O是圆心，BC与⊙O切于点B，CO交⊙O于点D，且BC＝8，CD＝4，那么⊙O的半径是______．9. 如图，若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D，则∠C＝_______度．第9题第10题第11题10. 如图，AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l，垂足为D，AD交⊙O于点E，连接OC，BE.若AE＝6，OA＝5，则线段DC的长为______．11．如图，已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，MN与⊙O相切，切点为A，若∠MAB＝30°，则∠B＝________度．三、解答题（写出详细解答或论证过程）12.（7分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E.求证：AC是⊙O的切线．第12题第13题第14题13.（7分）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E.求证：∠BDC＝∠A.14.（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，求证：AC与⊙D相切．15.（10分）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D＝2∠CAD.(1)求∠D的度数；(2)若CD＝2，求BD的长．第15题第16题16．（12分）已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF.(1)如图①，若AB为⊙O的直径，要使EF成为⊙O的切线，还需要添加的一个条件是(至少说出两种)：__________________________或者_______________________；(2)如图②，如果AB是不过圆心O的弦，且∠CAE＝∠B，那么EF是⊙O的切线吗？试证明你的判断．17.（12分）如图，已知直线PA交⊙O于A，B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D.(1)求证：CD为⊙O的切线；(2)若DC＋DA＝6，⊙O的直径为10，求AB的长．答案：DDADC 6. 相切 7. ∠ABC＝90°不排除等效答案 8. 6 9. 45 10. 4 11. 60 12. 解：连接OD，∵BD为∠ABC平分线，∴∠OBD＝∠CBD，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠CBD＝∠ODB，∴OD∥BC，∵∠C＝90°，∴∠ODA＝90°，则AC为⊙O的切线13. 解：连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴∠ODC＝90°，∴∠ODB＋∠BDC＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠ODB＋∠ADO＝90°，∴∠BDC＝∠ADO，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠A，∴∠BDC＝∠A14. 解：过D作DH⊥AC于H，由角平分线的性质可证DB＝DH，∴AC与⊙D相切15. 解：(1)∵∠COD＝2∠CAD，∠D＝2∠CAD，∴∠D＝∠COD.∵PD与⊙O相切于点C，∴OC⊥PD，即∠OCD＝90°，∴∠D＝45°(2)由(1)可知△OCD是等腰直角三角形，∴OC＝CD＝2，由勾股定理，得OD＝22＋22＝22，∴BD ＝OD－OB＝22－216. (1) ∠BAE＝90°∠EAC＝∠ABC(2) (2)EF是⊙O的切线．证明：作直径AM，连接CM，则∠ACM＝90°，∠M＝∠B，∴∠M＋∠CAM ＝∠B＋∠CAM＝90°，∵∠CAE＝∠B，∴∠CAM＋∠CAE＝90°，∴AE⊥AM，∵AM为直径，∴EF是⊙O 的切线17. 解：(1)连接OC，证∠DAC＝∠CAO＝∠ACO，∴PA∥CO，又∵CD⊥PA，∴CO⊥CD，∴CD为⊙O的切线(2)过O作OF⊥AB，垂足为F，∴四边形OCDF为矩形．∵DC＋DA＝6，设AD＝x，则OF＝CD＝6－x，AF ＝5－x，在Rt△AOF中，有AF2＋OF2＝OA2，即(5－x)2＋(6－x)2＝25，解得x1＝2，x2＝9，由AD＜DF知0＜x＜5，故x＝2，从而AD＝2，AF＝5－2＝3，由垂径定理得AB＝2AF＝6。

切线长定理,切线的性质和判定

切线长定理,切线的性质和判定

切线的判定与性质第1题. (2007安徽芜湖课改，5分)如图，3PQ =，以PQ 为直径的圆与一个以5为半径的圆相切于点P ，正方形ABCD 的顶点A 、B 在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD 切于点Q ．则AB = ．答案：6第2题. （2007广东茂名课改，10分）如图，点A ，B ，C ，D 是直径为AB 的⊙O 上四个点，C 是劣弧BD 的中点，AC 交BD 于点E ， AE ＝2， EC ＝1． （1）求证：DEC △∽ADC △；（2）试探究四边形ABCD 是否是梯形？若是，请你给予 证明并求出它的面积；若不是，请说明理由． （3）延长AB 到H ，使BH ＝OB ． 求证：CH 是⊙O 的切线．答案：（1）证明：∵C 是劣弧BD 的中点， ∴DAC CDB ∠=∠． 而ACD ∠公共，∴DEC △∽ADC △．（2）证明：连结OD ，由⑴得DC ECAC DC=， ∵ 1.213CE AC AE EC ==+=+=，∴2313DC AC EC ==⨯= ．∴DC = ．由已知BC DC ==AB 是⊙O 的直径， ∴90ACB ∠=︒ ，∴22222312AB AC CB =+=+=．∴AB =∴OD OB BC DC ====， ∴四边形OBCD 是菱形． ∴DC AB DC AB <∥，， ∴四边形ABCD 是梯形． 法一：过C 作CF 垂直AB 于F ，连结OC ，则OB BC OC ===∴60OBC ∠=︒．∴sin 60CFBC︒=，3sin 602CF BC =︒==，∴()(113222ABCD S CF AB DC ⨯梯形＝＋＝ 法二：（接上证得四边形ABCD 是梯形）又DC AB ∥ ∴AD BC =，连结OC ，则AOD △，DOC △和OBC △ 6分∴AOD △≌DOC △≌OBC △，∴233AOD ABCD S S △梯形＝＝ （3）证明：连结OC 交BD 于G 由（2）得四边形OBCD 是菱形， ∴OC BD ⊥且OG GC =．又已知OB ＝BH ， ∴BG CH ∥．∴90OCH OGB ∠=∠=︒ ， ∴CH 是⊙O 的切线．第3题. （2007福建三明课改，12分）如图①，②，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(4，0)，以点A 为圆心，4为半径的圆与x 轴交于O ，B 两点，OC 为弦，60AOC ∠=，P 是x 轴上的一动点，连结CP ． （1）求OAC ∠的度数；（2分） （2）如图①，当CP 与A 相切时，求PO 的长；（3分） （3）如图②，当点P 在直径OB 上时，CP 的延长线与A 相交于点Q ，问PO 为何值时，OCQ △是等腰三角形？（7分）答案：解：（1）∵60AOC ∠=，AO AC =， ∴AOC △是等边三角形． ∴60OAC ∠=． （2）∵CP 与A 相切，∴90ACP ∠=． ∴9030APC OAC ∠=-∠=．又∵A （4，0），∴4AC AO ==．∴28PA AC ==． ∴844PO PA OA =-=-=．（3）①过点C 作1CP OB ⊥，垂足为1P ，延长1CP 交A 于1Q ，∵OA 是半径， ∴1OC OQ =，∴1OC OQ =， ∴1OCQ △是等腰三角形．又∵AOC △是等边三角形，∴112PO OA ==2 ． ②解法一：过A 作AD OC ⊥，垂足为D ，延长DA 交A 于2Q ，2CQ 与x 轴交于2P ，∵A 是圆心， ∴2DQ 是OC 的垂直平分线． ∴22CQ OQ =． ∴2OCQ △是等腰三角形， 过点2Q 作2Q E x ⊥轴于E ，在2Rt AQ E △中，∵21302Q AE OAD OAC ∠=∠=∠=，∴22122Q E AQ AE ===，2Q 的坐标（4+2-）． 在1Rt COP △中，∵1260POAOC =∠=，，∴1CP =C 点坐标（2，）． 设直线2CQ 的关系式为：y kx b =+，则有2(42k b k b ⎧-=++⎪⎨+⎪⎩，．解得：12k b =-⎧⎪⎨=+⎪⎩，∴2y x =-++． 当0y =时，2x =+∴22P O =+．解法二： 过A 作AD OC ⊥，垂足为D ，延长DA 交A 于2Q ，2CQ 与x 轴交于2P ，∵A 是圆心， ∴2DQ 是OC 的垂直平分线． ∴22CQ OQ =． ∴2OCQ △是等腰三角形．∵60OAC ∠=，∴21302OQ C OAC ∠=∠=．∵2DQ 平分22,OQ C AC AQ ∠=，∴2215ACQ AQ C ∠=∠=． ∵AOC △是等边三角形，1CP OA ⊥， ∴11302PCA ACO ∠=∠=．∴1212301545PCP PCA ACQ ∠=∠+∠=+=． ∴12CPP △是等腰直角三角形．∴121PP CP ==∴21122P O PO PP =+=+第4题. （2007福建厦门课改，12分）已知：如图，PA PB ，是O 的切线，A B ，是切点，连结OA ，OB ，OP ， （1）若60AOP ∠=，求OPB ∠的度数；（2）过O 作OC ，OD 分别交AP BP ，于C D ，两点， ①若COP DOP ∠=∠，求证：AC BD =；②连结CD ，设P C D △的周长为l ，若2l A P =，判断直线CD 与O 的位置关系，并说明理由．答案：（1）解：PA PB ，是O 的切线，A B ，是切点，90OAP ∴∠=．60AOP ∠=，30OPA ∴∠=． 30OPB OPA ∴∠=∠=．（2）①证明：COP DOP ∠=∠，CPO DPO ∠=∠，PO PO =， OCP ODP ∴△≌△． CP DP ∴=．PA PB ，是O 的切线，PA PB ∴=． AC BD ∴=．②证明：连结CD ．2l AP =，PA PB =， CD AC BD ∴=+．OA OB =，且90OAC OBD ∠=∠=．∴将OAC △绕点O 逆时针旋转，使点A 与B 重合．记点C 的对称点为1C ，1AC BC ∴=，1OC OC =．90OAC OBD ∠=∠=， ∴点1C 在PB 的延长线上．1OC OC =，1DC DC =，OD OD =， 1OC D OCD ∴△≌△．∴过O 作OE CD ⊥，E 是垂足．即OE 是点O 到直线CD 的距离， 11122C D OB CD OE ∴⨯⨯=⨯⨯．P1COB OE ∴=．∴直线CD 与O 相切．第5题. （2007甘肃兰州课改，5分）在Rt ABC △中，90ACB =∠，30CAB =∠，用两种方法把它分成两个三角形，且要求一个三角形是等腰三角形．答案：可参考的作法有：（1）作AC 的中线交AB 于D ，连接CD ，得等腰DAC △； （2）作B ∠的平分线交AC 于D ，得等腰DAB △；（3）作BA 上截取BD BC =，连接CD ，得等腰BCD △； （4）作AB 上截取AD AC =，连接CD ，得等腰ACD △． （每个作图2分，共4分，答语1分．其它作法正确均可得分．）第6题. （2007甘肃白银3市非课改，4分）如图，已知AB 、AC 分别是⊙O 的直径和切线，BC 交⊙O 于D ，AB ＝8，AC ＝6，则AD ＝ ．答案：4.8第7题. （2007甘肃白银3市非课改，12分）如图，AB 是⊙O 的弦，OA OC ⊥交AB 于点C ，过点B 的直线交OC 的延长线于点E ，当BE CE =时，直线BE 与⊙O 有怎样的位置关系？并证明你的结论．答案：解：BE 与⊙O 相切． 证明：如图，连接OB ． ∵ BE CE =，∴ 312∠=∠=∠． ∵ OA OC ⊥，∴ ︒=∠+∠903A ． ∴ ︒=∠+∠902A ． 又∵ OB OA =，∴ A OBC ∠=∠．∴ 290OBC ∠+∠=︒．即 ︒=∠90OBE ． ∴ BE 与⊙O 相切．第8题. （2007广东河池非课改，10分）如图1，已知正方形ABCD的边长为M 是AD 的中点，P 是线段MD 上的一动点（P 不与M ，D 重合），以AB 为直径作⊙O ，过点P 作⊙O 的切线交BC 于点F ，切点为E ．（1）除正方形ABCD 的四边和⊙O 中的半径外，图中还有哪些相等的线段（不能添加字母和辅助线）？ （2）求四边形CDPF 的周长；（3）延长CD ，FP 相交于点G ，如图2所示． 是否存在点P ，使BF FG CF OF =？如果存在，试求此时AP 的长；如果不存在，请说明理由．答案：解：（1）FB ＝FE ，PE ＝P A（2）四边形CDPF 的周长为FC ＋CD ＋DP ＋PE ＋EF ＝FC ＋CD ＋DP ＋P A ＋BF＝BF ＋FC ＋CD ＋DP ＋P A ＝BC ＋CD ＋DA ＝3＝（3）存在． 若BF FG CF OF =,则BF CFOF FG=∵ cos ∠OFB ＝BF OF ，cos ∠GFC ＝CFFG∴ ∠OFB ＝∠GFC又 ∵ ∠OFB ＝∠OFE∴ ∠OFE ＝∠OFB ＝∠GFC=60 ∴ 在Rt OFB △中 FE ＝FB ＝tan 60OB＝1∴ 在Rt GFC △中CG ＝()tan tan 60231tan 6063CF GFC CF ∠==-=- ∴ 6DG CG CD =-=-·M ·AFCO PEDB 图1·P DOGEM FB AC图2∴ tan tan 30233DP DG PGD DG =∠==-∴ ()33AP AD DP =-==第9题. （2007广西南宁课改，3分）如图，AB AC ，是圆的两条弦，AD 是圆的一条直径，且AD 平分BAC ∠，下列结论中不．一定正确．．．．的是（ ） A ．AB DB =B ．BD CD =C ．BC AD ⊥ D ．B C ∠=∠答案：A第10题. （2007广西南宁课改，10分）如图，在平面直角坐标系中，A B ，两点的坐标分别为(20)(80)A B -，，，，以AB 为直径的半圆P 与y 轴交于点M ，以AB 为一边作正方形ABCD ．（1）求C M ，两点的坐标；（2）连接CM ，试判断直线CM 是否与P 相切？说明你的理由；（3）在x 轴上是否存在一点Q ，使得QMC △的周长最小？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．答案：解：（1）(20)(80)A B -，，，，四边形ABCD10AB BC CD AD P ∴====，的半径为5 (810)C ， 连接5PM PM =，，在Rt PMO △中，4OM === (04)M ∴，（2）方法一：直线CM 是OP 的切线．证明：连接PC CM，如图12（1），B DCA在Rt EMC △中，10CM === C M C B ∴=又PM PB CP CP ==， C P M C P B ∴△≌△ 90CMP CBP CM ∴∠=∠=，是P 的切线方法二：直线CM 是P 的切线 证明：连接PC 如图12（1），在Rt PBC △中，22222510125P C P B B C =+=+=在Rt MEC △中2222286100C M C E M E ∴=+=+= 222P C C M P M ∴=+P M C ∴△是直角三角形，即90PMC ∠= ∴直线CM 与P 相切方法三：直线CM 是P 的切线证明：连接MB PM ，如图12（2），在Rt EMC △中，10CM == CM CB CBM CMB ∴=∴∠=∠PM PB PBM PMB ∴=∴∠=∠90PMB CMB PBM CBM ∴∠+∠=∠+∠=即PM MC ⊥CM ∴是P 的切线．（3）方法一：作M 点关于x 轴的对称点M '，则(04)M '-，，连接M C '，与x 轴交于点Q ，此时QM QC+的和最小，因为MC 为定值，所以QMC △的周长最小M O Q ME C ''△∽△ 4168147O Q M O O Q OQ EC M E '∴==='，，1607Q ⎛⎫∴⎪⎝⎭， 方法二：作M 点关于x 轴的对称点M '，则(04)M '-，，连接M C '，与x 轴交于点Q ，此时QM QC+的和最小，因为MC 为定值，所以QMC △的周长最小． 设直线M C '的解析式为y kx b =+把(04)M '-，和(810)C ，分别代入得40108b k b -=+⎧⎨=+⎩，解得744k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩744y x ∴=-，当0y =时，167x = 1607Q ⎛⎫∴⎪⎝⎭， 10分第11题. （2007广西玉林课改，8分）如图1，A 是直角边长等于a 的等腰直角三角形，B 是直径为a 的圆．圆2是选择基本图形A B ，用尺规画出的图案：22π4a S a =-阴影．（1）请你以图1的图形为基本图形，按给定图形的大小设计画一个新图案．．．．．，还要选择恰当的图形部分涂上阴影，并直接写出其面积（尺规作图，不写作法，保留痕迹，作直角三角形时可使用三角板）．（2）请你写出一句在解答本题的过程中体会最深且与数学有关的话．答案：解：（1）正确画出图形 3分 涂上阴影并写出阴影面积 6分 答案不唯一，参考举例：（2）写出与要求相符的话 8分答案不唯一，参考举例：①这两个图形的关系很密切，能组合设计出许多美丽的图案来装点我们的生活；②运用圆的半径可作出等腰直角三角形三边的中点；③作数学图形需要一丝不苟，否则会产生误差影响图案的美观，图2B2π16S a =- 2π8S a =- 2π8S a =-2π4S a =-22π16a S a =- 2π4a S = 2S a =第12题. 如图，某机械传动装置在静止状态时，连杆PA 与点A 运动所形成的O 交于B 点，现测得4cm PB =，5cm AB =．O 的半径 4.5cm R =，此时P 点到圆心O 的距离是 cm ．答案：7.5第13题. （2007海南课改，2分）如图，⊙B 的半径为4cm ， 60=∠MBN ，点A ，C 分别是射线BM ，BN 上的动点，且直线BN AC ⊥．当AC 平移到与⊙B 相切时，AB 的长度是（ ）A ．8cmB ．6cmC ．4cmD ．2cm答案：A第14题. （2007河北课改，2分）如图，EB 为半圆O 的直径，点A 在EB 的延长线上，AD 切半圆O 于点D ，BC ⊥AD 于点C ，AB ＝2，半圆O 的半径为2，则BC 的长为（ ）A ．2B ．1C ．1.5D ．0.5 答案：B第15题. （2007山东临沂课改，3分）如图，在ABC △中，2AB =，1AC =，以AB 为直径的圆与AC 相切，与边BC 交于点D ，则AD 的长为（）ABCD答案：A第16题. （2007河南课改，3分）如图，PA PB ，切O于点A B ，，点C 是O 上一点，且65ACB ∠=，则P ∠=度． 答案：5090C ∠=，第17题. （2007湖北荆门课改，8分）在Rt ACB △中，3AC =，4BC =，D E ，分别是边AB ，AC 的中点．O 过点D E ，且与AB相切于点D ，求O 的半径r ．PMCAN B CDBAADCOEB答案：解：连接OD OE ，．过O 作OF ED ⊥，垂足为F ．DE 是ABC △的中位线，12DE BC ∴ ∥．90AED C ∴∠=∠=． 又4BC =，2DE ∴=，1FD =． AB 切O 于D ，OD AB ∴⊥．90A ADE ODE ADE ∠+∠=∠+∠=，A ODE ∴∠=∠．Rt Rt ABC DOF ∴△∽△． OD FD AB AC ∴=，即153r =． 53r ∴=．即O 的半径为53．第18题. （2007湖北十堰课改，8分）如图，PA 是O 的切线，切点是A ，过点A 作AH OP ⊥于点H ，交O 于点B ．求证：PB 是O 的切线．答案：连结OA OB ，，（图略）PA ∵是O 的切线，90OAP ∠=∴°，OA OB AB OP =⊥∵，，AOP BOP ∠=∠∴， 又OA OB OP OP ==∵，，()AOP BOP SAS ∴△≌△，90OBP OAP ∠=∠=∴°， PB ∴是O 的切线．说明：本题也可根据垂径定理得AH BH =，通过证明AOH BOH △≌△，得AOP BOP ∠=∠．第19题. (2007湖北襄樊非课改，11分)如图-（1），ABC △内接于O ，点P 是ABC △的内切圆的圆心，AP 交边BC 于点D ，交O 于点E ，经过点E 作O 的切线分别交AB AC ，延长线于点F G ，． （1）求证：BC FG ∥；（2）探究：PE 与DE 和AE 之间的关系； （3）当图-（1）中的FE AB =时，如图-（2），若3FB =，2CG =，求AG 的长．ACOEBＦP答案：（1）证明：连结BE ．点P 是ABC △的内心，12∴∠=∠． 而FG 切O 于E ． ∴14∠=∠． 又23∠=∠，34∴∠=∠，BC FG ∴∥． （2）连结BP ， 则56∠=∠．1563BPE ∠=∠+∠=∠+∠， ∴BPE PBE ∠=∠，BE PE ∴=． 在ABE △和BDE △中，13∠=∠，BED AEB ∠=∠， ABE BDE ∴△∽△中， BE DE AE BE∴=．2BE AE DE ∴=，2PE AE DE ∴=． （3）2()FE FB FA FB FB AB ==+，而FE AB =，23(3)AB AB ∴=+，设AB x =，则2390x x --=．解之得x =AB ∴=（取正值）． 由（1），在AFG △中，BC FG ∥，AB ACBF CG∴=．213AB CG AC BF ∴===+．3AG AC CG ∴=+=+第20题. （2007湖北宜昌课改，7分）如图，某建筑工地上一钢管的横截面是圆环形．王师傅将直尺边缘紧靠内圆，直尺与外圆交于点A B ，（AB 与内圆相切于点C ，其中点A 在直尺的零刻度处）．请观察图形，写出线段AB 的长（精确到1cm ），并根据得到的数据计算该钢管的横截面积．（结果用含π的式子表示）EO B A BC 200 10 20 30 40 cm答案：解：24cm AB =； 连接OC OA ，，AB 与内圆相切与点C ，OC AB ∴⊥ 12cm AC BC ∴==∴横截面积为：2222()AO OC AO OC π-π=π-在Rt ACO △中，222AO OC AC -=∴横截面积2AC =π2144(cm )=π（注：读数不按要求精确读数错误扣1分；最后结果中无单位扣1分）第21题. （2007湖南永州课改，10分）AB 是O 的直径，D 是O 上一动点，延长AD 到C 使CD AD =，连结BC BD ，．(1)证明：当D 点与A 点不重合时，总有AB BC =． (2)设O 的半径为2，AD x =，BD y =，用含x 的式子表示y ．(3)BC 与O 是否有可能相切?若不可能相切，则说明理由；若能相切，则指出x 为何值时相切．答案：（1）AB 为O 直径，BD AC ∴⊥ 又DC AD =BD ∴是AC 的垂直平分线 A B A C ∴=（2）在Rt ABD △中，222BD AB AD =- 2224y x ∴=-即y = （3）BC 与O 有可能相切当BC 与O 相切时，BC AB ⊥A B B C=，45A ∴∠=2x AB ∴==第22题. （2007吉林课改，2分）如图，AB 为O 的切线，B 为切点．若30A ∠=，6AO =，则OB =．答案：3第23题. （2007江苏常州课改，2分）如图，在ABC △中，10AB =，8AC =，6BC =，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CA CB ，分别相交于点P Q ，，则线段PQ 长度的最小值是（ ） A ．4.75B ．4.8C ．5D．答案：B第24题. （2007江苏南京课改，2分）如图，在平面直角坐标系中，点P 在第一象限，P 与x 轴相切于点Q ，与y 轴交于(02)M ，，(08)N ，两点，则点P 的坐标是（ ） Ａ．(53)，Ｂ．(35)，Ｃ．(54)，Ｄ．(45)，答案：D第25题. （2007江苏无锡课改，6分）如图，AB 是O 的直径，PA 切O于A ，OP 交O 于C ，连BC ．若30P ∠=，求B ∠的度数．答案：解：PA 切O 于A AB ，是O 的直径，90PAO ∴∠=．30P ∠=，60AOP ∴∠=．1302B AOP ∴∠=∠=．第26题. （2007辽宁大连课改，3分）如图，AB AC ，是O 的两条切线，B C ，是切点，若70A ∠=，则BOC ∠的度数为（ ）A ．130B ．120C ．110D ．100PBAC答案：C第27题. （2007江苏扬州课改，4分）如图，AB 是O 的直径，点D 在AB 的延长线上，过点D 作O 的切线，切点为C ，若25A =∠，则D =∠______．答案：40°第28题. (2007内蒙鄂尔多斯课改，3分)如图，以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 切小圆于P ，如果4cm AB =，则图中阴影部分的面积为 2cm （结果用π表示）．答案：4π第29题. （2007内蒙呼和浩特课改，3分）如图，以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 是小圆的切线，点P 为切点，且4AB =，2OP =，连结OA 交小圆于点E ，则扇形OEP 的面积为（ ） Ａ．1π4Ｂ．1π3Ｃ．1π2Ｄ．1π8答案：C第30题. （2007山东日照课改，3分）如图，AC ⊥BC 于点C ，BC =a ，CA =b ，AB =c ，⊙O 与直线AB 、 BC 、CA 都相切，则⊙O 的半径等于 ． 答案：2a b c -+第31题. （2007山东潍坊课改，3分）如图，以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 是小圆的切线．若大圆半径为10cm ，小圆半径为6cm ，则弦AB 的长为 ．答案：16cm第32题. （2007四川德阳课改，7分）如图，已知AB 是O 的直径，AC 是弦，CD 切O 于点C ，交AB的延长线于点D ，120ACD =∠，10BD =． （1）求证：CA CD =； （2）求O 的半径．答案：解：（1）连结OC ．DC 切O 于点C ，90OCD ∴∠=．AA又120ACD ∠=，ACO ACD OCD ∴∠=∠-∠1209030=-=．OC OA =，30A ACO ∴∠=∠=60COD ∴∠=．30D ∴∠=， CA DC ∴=．（2）sin OC OC OB D OD OB BD OB BD ∠===++，1sin sin 302D ∠==， 1102OB OB ∴=+．解得10OB =．即O 的半径为10第33题. （2007四川绵阳课改，12分）如图，AB 是⊙O 的直径，∠BAC = 60︒，P 是OB 上一点，过P 作AB 的垂线与AC 的延长线交于点Q ，过点C 的切线CD 交PQ 于D ，连结OC ． （1）求证：△CDQ 是等腰三角形；（2）如果△CDQ ≌△COB ，求BP :PO 的值．答案：（1）由已知得∠ACB = 90︒，∠ABC = 30︒， ∴ ∠Q = 30︒，∠BCO = ∠ABC = 30︒． ∵ CD 是⊙O 的切线，CO 是半径， ∴ CD ⊥CO ，∴ ∠DCQ =∠BCO = 30︒，∴ ∠DCQ =∠Q ，故△CDQ 是等腰三角形．（2）设⊙O 的半径为1，则AB = 2，OC = 1，AC = AB ∕2 = 1，BC =3． ∵ 等腰三角形CDQ 与等腰三角形COB 全等，∴ CQ = BC =3． 于是 AQ = AC + CQ = 1 +3，进而 AP = AQ ∕2 =（1 +3）∕2， ∴ BP = AB －AP = 2－（1 +3）∕2 =（3－3）∕2， PO = AP －AO =（1 +3）∕2－1 =（3－1）∕2， ∴ BP :PO =3．A第34题. （2007浙江金华课改，10分）如图，AB 是O 的切线，A 为切点，AC 是O 的弦，过O 作OH AC ⊥于点H ．若2OH =，12AB =，13BO =． 求：（1）O 的半径； （2）sin OAC ∠的值；（3）弦AC 的长（结果保留两个有效数字）．答案：解：（1）AB 是O 的切线，∴90OAB ∠=，222AO OB AB ∴=-，5OA ∴=．（2）OH AC ⊥，90OHA ∴∠=，2sin 5OH OAC OA ∴∠==． （3）OH AC ⊥，222AH AO OH ∴=-，AH CH =，225421AH ∴=-=，AH ∴=29.2AC AH ∴==．第35题. （2007浙江丽水课改，12分）如图，⊙O 的直径AB =6cm ，P 是AB 延长线上的一点，过P 点作⊙O 的切线，切点为C ，连接AC ． (1) 若CPA ∠=30°，求PC 的长；(2)若点P 在AB 的延长线上运动，CPA ∠的平分线交AC 于点M ，你认为∠CMP 的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠CMP 的值．答案：解：（1）连接OC ，PC 是⊙O 的切线，∴∠OCP=Rt ∠．∵CPA ∠=30°，OC=2AB=3， ∴03tan 30PC=，即PC= （2）∠CMP 的大小不发生变化．∵PM 是∠CP A 的平分线， ∴∠CPM =∠MP A ．∵OA =OC ，∴∠A =∠ACO ．在△APC 中，∵∠A ＋∠ACP ＋∠CP A =180°，∴2∠A ＋2∠MP A =90°，∠A ＋∠MP A =45°． ∴∠CMP =∠A ＋∠MP A =45°． 即∠CMP 的大小不发生变化．第36题. (2007 浙江宁波课改，3分)如图，AB 切⊙O 于点B ，AB =4 cm ，AO =6 cm ，则⊙O 的半径为 cm ．答案：第37题. （2007浙江绍兴课改，5分）如图，P A 切⊙AB 于点A ，该圆的半径为3，P AB =5，则P A 的长等于 ．答案：4第38题. （2007甘肃庆阳课改，9分）如图EB 是O 的直径，A 是BE 的延长线上一点，过A 作O 的切线AC ，切点为D ，过B 作O 的切线BC ，交AC 于点C ，若6EB BC ==，求：AD AE ，的长．答案：解：设AE x =，连结OD ，则90ADO ∠=° 又90ABC ∠=∵°，A A ∠=∠ ADO ABC ∴△∽△AD ODAB BC=31662AD x ==+，62x AD +=又2(6)AD x x =+∵ 2(6)(6)4x x x +=+∴即：24120x x +-= 26x x ==-∴，（舍）即：2AE =，4AD ==第39题. （2007江苏盐城课改，3分）如图，O 的半径为5，PA 切O 于点A ，30APO ∠=°，则切线长PA 为 ．（结果保留根号）答案：第40题. （2007湖北孝感课改，3分）如图，AM 、AN 分别切⊙O 于M 、N 两点，点B 在⊙O 上，且∠MBN =70°，则A ∠= ．答案：40°第41题. （2007湖南益阳课改，4分）如图，直线AB 切O 于点C ，OAC OBC ∠=∠， 则下列结论错误的是（ ）A ．OC 是ABO △中AB 边上的高 B ．OC 所在直线是ABO △的对称轴 C ．OC 是AOB ∠的平分线D ．AC BC >答案：D第42题. (2007四川资阳，9分)如图-1，在等边△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，一个直径与AD 相等的圆与BC 相切于点E 、与AB 相切于点F ，连接EF ． ⑴ 判断EF 与AC 的位置关系（不必说明理由）；⑵ 如图-2，过E 作BC 的垂线，交圆于G ，连接AG ． 判断四边形ADEG 的形状，并说明理由； ⑶ 确定圆心O 的位置，并说明理由．答案：解：⑴ EF ∥AC . ⑵ 四边形ADEG 为矩形 .理由：∵EG ⊥BC ，E 为切点，∴EG 为直径，∴EG =AD .又∵AD ⊥BC ，EG ⊥BC ，∴AD ∥EG ，即四边形ADEG 为矩形 . ⑶ 圆心O 就是AC 与EG 的交点 .理由：连接FG ，由⑵可知EG 为直径，∴ FG ⊥EF ， 又由⑴可知，EF ∥AC ，∴AC ⊥FG ，又∵四边形ADEG 为矩形，∴EG ⊥AG ，则AG 是已知圆的切线 . 而AB 也是已知圆的切线，则AF =AG ，∴ AC 是FG 的垂直平分线，故AC 必过圆心， 因此，圆心O 就是AC 与EG 的交点 . 说明：也可据△AGO ≌△AFO 进行说理 .图-1 图-2第43题. (2007湖南邵阳课改，3分)如图（六）是一张电脑光盘的表面，两个圆的圆心都是点O ，大圆的弦AB 所在直线是小圆的切线，切点为C ．已知大圆的半径为5cm ，小圆的半径为1cm ，则弦AB 的长度为 cm ．答案：第44题. (2007内蒙包头非课改，10分)如图，已知AB 是O 的直径，AC 为弦，且平分BAD ∠，AD CD ⊥，垂足为D ．（1）求证：CD 是O 的切线；（5分）（2）若O 的直径为4，3AD =，试求BAC ∠的度数．（5分）答案：（1）证明：连接OC ，AC 平分BAD ∠，12∴∠=∠， 又OA OC =，13∴∠=∠， 23∴∠=∠，OC AD ∴∥， 又AD CD ⊥，OC CD ∴⊥，又OC 是O 的半径，CD ∴是O 的切线． （2）解：连接BC ，AB 是O 的直径，90ACB ∴∠=，90ACB ADC ∴∠=∠=，又12∠=∠， ACB ADC ∴△∽△， AC AB AD AC∴=，即2AC AB AD =，由43AB AD ==，，得212AC =，AC =在Rt ACB △中，cos 142AC AB ∠===， 30BAC ∴∠=．A第45题. (2007新疆课改，8分)如图，O 的直径6AB =，D 为O 上一点，30BAD ∠=，过D 点的切线交AB 的延长线于点C ．求：（1）C ∠的度数．（2）阴影部分的面积．（精确到0.01）答案：解：（1）OA OD =，30ADO BAD ∴∠=∠=CD 切O 于D ，OD CD ∴⊥，即90ODC ∠=3090120ADC ADO ODC ∴∠=∠+∠=+=1801801203030C BAD ADC ∴∠=-∠-∠=--=（2）DOC ∠是AOD △的外角，260DOC DAO ∴∠=∠=在Rt COD △中，tan 6033CD OD ==113222COD S OD CD ==⨯⨯=△22π60π33π3603602BODn R S ⨯===扇形3π 3.082COD BOD S S S ∴=-=-≈△阴影扇形．。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

百度文库-让每个人平等地提升自我《切线性质与判定》练习题一.选择题(共12小题)1. 如图，AB是O O的弦，PA是O O的切线，若/ PAB=40 °则/ AOB=( )A. 80°B. 60°C. 40°D. 20°2. 如图，AB、AC是O O的两条弦，/ A=35 °过C点的切线与OB的延长线交于点D , 则/ D的度数为( )3. 如图，AB是O O的直径, /D等于(A . 20°4. 如图,PA、则/ ACB等于占八、、D在AB的延长线上, DC切O O于点C,若/ A=25 °则B . 30°PB切O O于A、: )C . 40°B 两点，/ APB=80 °D. 50°C是O O上不同于A、B的任一点,50 °或130°产~、7l■丿/C. 100°第6题图第5题图点在第一象限，O P与x轴相切于点Q,与y轴交于M ( 2,)C. (5, 4)5. 如图，在平面直角坐标系中，0), N (0, 8)两点，则点P的坐标是(A. (5, 3) B . ( 3, 5) C. (5, 4) D . (4, 5)6. 如图，PC是O O的切线，切点为C,割线PAB过圆心O,交O O于点A、B , PC=2 , PA=1 ,则PB的长为( )A . 5B . 47. 如图，在同心圆中，大圆的弦A. 8B. 16& 如图，PA、PB、CD是O O的切线，切点分别是A、两点，若/ APB=60。

，则/ COD的度数( )A. 50°B. 60 ° C . 70°9.如图，AB是O O的直径，下列条件中不能判定直线A. AB=4 , AT=3, BT=5C. / B=55 ° / TAC=55 °C. 3AB切小圆于点C, AB=8C. 16nD . 2，则圆环的面积是(D . 8 n /E, CD分别交PA、D . 75°是O O的切线的是(B. / B=45 ° AB=ATD . / ATC= / BATOPB 于C、D百度文库-让每个人平等地提升自我11. 如图，AB是O O的直径，O O交BC的中点于D , DE丄AC于点E,连接AD，则下列结论正确的个数是（）B. 2个F.给出以下五个结论：①BD=DC ;②CF=EF;③弧AE=弧DE ;④/ A=2 / FDC ;⑤DF 是O O的切线.其中正确的有B. 4个12. 如图，在O O中，E是半径0A上一点，射线EF丄OA，交圆于B , P为EB上任一点, 射线AP交圆于C, D为射线BF上一点，且DC=DP，下列结论：①CD为O 0的切线；②PA> PC;③/ CDP=2 / A，其中正确的结论有（)A . 3个B . 2个C . 1个D. 0个二.填空题（共6小题）13. ________________ 如图，AB是O 0的切线，B为切点，A0与O 0交于点C,若/ BAO=40 °则/ OCB 的度数为_________15. ________________________________________________________________________ 如图，PA、PB、DE分别切O 0于点A、B、C,如果PA=10 ,那么△ PDE的周长是 ________________ .若/ P=50 ° 那么/ D0E= ______第7题图第8题图第9题图①AD丄BC;③0A=丄AC ;④DE是O 0的切线.12 .如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的O O交AC于E,交BC于D , DF丄AC于第10题图第11题图第12题图14.如图，PA、PB是O 0的切线，A、B为切点，C是劣弧AB上的一点，/ P=50 °第13题图第14题图第15题图16. ____________________________ 如图，O O 的直径AB 与弦AC 的夹角为30°切线CD 与AB 的延长线交于点 D ，若 O O 的半径为3，则AD 的长为 .17. _________________ 已知：如图，在△ ABC 中，CB=3 , AB=4 , AC=5，以点B 为圆心的圆与 AC 相切于点 D ，则O B 的半径为 .18. _____________________________________ 如图，AB 是O O 的切线，A 为切点，AC 是O O 的弦，过点 0作0H 丄AC 于H .若 0H=3 , AB=12 , B0=13 .则弦 AC 的长为 . 三•解答题19..如图，AE 是圆0的直径，点B 在AE 的延长线上， 点D 在圆0上，且AC 丄DC , AD 平分/ EAC 。

求证：BC 是圆0的切线.20.如图，已知△ ABC ，以AB 为直径的O 0交AC 于点F ，交BC 于点D ,且BD=CD , DF 丄AC 于点F .求证：DF 是O 0的切线；第16题图 第17题图 第18题图22 .如图，OA 、0B 是O 0的半径，0A 丄0B ，点C 是0B 延长线上一点，过点 C 作O 0 的切线，点 D 是切点，连接 AD 交0B 于点E .求证：CD=CE.23.如图,PA 切O 0于点P , AB 交O 0于C,21.如图，半径 OA 丄OB , P 是0B 延长线上一点，PA 交O O 于D ，过D 作O O 的切线CE 交P0于C点，求证：PC=CD .CB 两点，求证：/ APC= / B .24. 如图，△ ABC中，AB=AC，以AB为直径的O O交BC于点D，过D作O O的切线交AC于E,求证：DE丄AC.25. 如图，AB是O O的直径，半径0C丄AB , P是AB延长线上一点，PD切O O于点D, CD交AB于点E,判断△ PDE的形状，并说明理由.26. 已知：如图，AB是O 0的直径，O 0过BC的中点D，且DE丄AC于点E. 求证：DE是O 0的切线；27. 如图，0C是/ AOB的平分线，P是0C上一点，O P与OA相切于D,求证：0B与O P相切.28. 如图，△ OAB为等腰三角形, 求0A=0B=2 , AB=2 ■:,以0为圆心的O 0半径为1,证：AB与O 0相切.29.如图，以等腰厶ABC的腰AB为O 0的直径交底边BC于D, DE丄AC于E. 求证：(1) DB=DC ; ( 2) DE为O 0的切线.3、如图，△ ABC 为等腰三角形，AB=AC , 0是底边BC 的中点，O 0与腰AB 相切于点D , 求证：AC 与O 0相切.(1) AD // 0C ; (2) CD 是O 0的切线.2.如图，AB 是O O 的直径，BC 丄AB 于点B ,连接0C 交O O 于点E ,丨I 匸1'丨•.求证: 《切线的性质与判定》典型例题1.如图，AB 是O 0的直径，AE 是弦，EF 是O 0的切线，E 是切点，AF 丄EF ,垂足为F , 求证：AE 平分/ FAB百度文库-让每个人平等地提升自我在厶ABC 中，已知/ ABC=90 °在AB 上取一点 E ,以BE 为直径的。

0恰与AC D .若AE=2 , AD=4 .求O O 的直径BE 和线段BC 的长。

O O 与厶ABC 的三边分别相切于点 D 、E 、F ,连接OB 、OC . BOC=90。

-丄/A .22016年11月12日切线性质与判定学组卷\ 参考答案与试题解析/一 •选择题（共13小题）1. （ 2013?保定校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，OP 与x 轴相切于点Q ,与y 轴交于M （2, 0）, N （0, 8）两点，则点P 的坐标是（ ）3•如图, 相切于点4•如图,求证：/••• M ( 2, 0), N ( 0, 8), •••0M=2 , 0N=8 ••• MN=6 , •/ PH 丄 MN , ••• HM=HN= —MN=3 ,2 • OH=OM +MH=2 +3=5, •O P 与x 轴相切于点Q , PQ 丄x 轴, •四边形OQPH 为矩形, •PQ=OH=5 , •PM=PQ=5 ,•- P (4, 5). 故选D . D O2. （ 2012?合川区模拟）如图， 于点 A 、B , PC=2, PA=1，则 A . 5 B . 4 C . 3 D . 2【解答】解：连接AC , BC ,如图所示:A . (5, 3)B . (3, 5)C . ( 5, 4)D . (4, 5) 【解答】 解：作PH 丄MN 于H ，连结PQ , PM , 在 Rt △ PMH 中，PH=：— 寸扛=4, PC 是O O 的切线，切点为 C ,割线PAB 过圆心 PB 的长为（ ）•/ PC为圆0的切线，•••/ ACP= / B，又/ P=Z P,•••△ ACP CBP,PC_.APBP PC又••• PC=2,PA=1 ,PC?• BP= —=4 ./ AP故选B3. （2012?温州模拟）如图，AB是O 0的弦，PA是O 0的切线，若/ PAB=40 °则/ AOB=【解答】解：••• PA为圆0的切线,D. 20°• PA 丄A0 ,•••/ PAO=90 ° 又/ PAB=40 °•••/ BA0=90 °- 40 °50 °又••• 0A=0B ,•••/ BA0= / B=50 °则/ A0B=18O °- 50° 50°80° 故选A4. （2011?集美区校级一模）如图，已知AB为O 0的直径，PC切O 0于C交AB的延长线）A0C 中，0A=0C （O 0 的半径），（等边对等角）；【解答】解：在△•••/ 0AC= / 0CA又/ CAP=35 °•••/ OCA=35 ° / POC=70° （同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半） 又••• PC 切O O 于C, •••OC 丄 BC ,•••/ PCO=9O ° / \在Rt △ POC 中，/ CPO=90°-Z POC （直角三角形的两个锐角互余）， •••/ CPO=20 ° / \故选B .5. （ 2011?樊城区模拟）如图， AB 、AC 是O O 的两条弦，/ A=35 °过C 点的切线与 OB 的延长线交于点 D ,则/ D 的度数为（ ）A. 20° B . 30° C . 35 ° 【解答】解：连接OC ,• CD 是切线,••/ OCD=90 °• •/ A=35 °••/ COD=2 / A=70 °••/ D=90 ° - 70°20 °6. （ 2002?呼和浩特）如图， PA 、PB 切O O 于A 、B 两点，/ APB=80 ° C 是O O 上不同于 A 、B 的任一点，则/ ACB 等于（ ）A . 80°B . 50或 130°C . 100 °D . 40°【解答】解：连接AB ,由切线长定理知 AP=BP ,/ PAB= / PBA= （180°-/ P ）- 2=50 ° 、 /由弦切角定理知，/ C= / PAB=50 °若C 点在劣弧AB 上，则根据圆内接四边形的性质知，/ C=180 ° -50°=130 °D .40故选A .•••大圆中长为8的弦AB 与小圆相切,•••OC 丄 AB , AC=4 ,2 2• OA 2 - OC 2=16,• - TT OA 2 - TT OC 2= ( OA 2- OC 2) n,•圆环的面积=16 n.A . 20°B . 30°C . 40°D . 50°【解答】解：如右图所示，连接 BC ,•/ AB 是直径，• / BCA=90 °,又•••/ A=25°7. （ 2012?金塔县校级二模）如图，在同心圆中，大圆的弦 AB 切小圆于点C , AB=8，则圆16 n D . 8 n连接OA , OC ,D 在AB 的延长线上，DC 切O O 于点C ,若由选项，知只有B 符合. 故选B .【解答】 解:百度文库-让每个人平等地提升自我•••/ CBA=90。

相关文档
最新文档