一元二次不等式的解法课时作业

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一元二次不等式的解法含参不等式恒成立问题及根的分布

范围是
.
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题型与解法
（四）一元二次方程根的分布问题
例3 分别求使方程x2-mx-m+3=0的两根满足下列条
件的m值的集合：
(1)两根都大于0;
x=m/2
(2)一个根大于0,另一个根小于0;
(3)两根都小于1.
x1
x2
解：令f(x)=x2-mx-m+3且图像与x轴相交
则△＝m2-4(-m+3)＝(m+6)(m-2)≥0
.
3.已知关于 x 的方程 x2 (m 2)x 1 0 无正根,
求 m 的取值范围.
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题型与解法
（三）逆向问题
例2.已知不等式 ax2 bx 2 0 的解集为 ( 1 , 1), 求a-b 的值.
23
[思路分析] 由不等式 ax2 bx 2 0 对应的方程 ax2 bx 2 0 的两根为 1 , 1 , 可利用二次方程
两个根都在（k1 , k2 )内
x1<k1 < k2 <x2
y
y
k1 o k2 x
ok1 k2
x
0
k1
b 2a
k2
f
(k1 )
0
f (k2 ) 0
f f
(k1 ) (k2 )
0 0
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题型与解法
（四）一元二次方程根的分布问题 1.已知方程 x2 2mx m 12 0 .
(A) x 3a或x 4a (B) 3a x 4a
(C) 4a x 3a (D) 3a x 4a
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课堂练习
3.（1）不等式ax2+bx+2＞0的解集是

一元二次不等式及其解法(习题课)

∴原不等式解集为x|x<－12或x>13. 答案：A
2．若集合 A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝x|x－x 2≤0，则 A∩B＝(
)
A．{x|－1≤x<0}
B．{x|0<x≤1}
C．{x|0≤x≤2}
D．{x|0≤x≤1}
解析：∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0<x≤2}，
∴A∩B＝{x|0<x≤1}．
即
m>－16. 3
－ b ＝－2m>2 2a 2
m<－2
解得－16<m≤－4. 3
总结：
设关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)对应的二次函数为： f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，结合二次函数的图象的开口方向、对称轴位置，以及区间端点函数值的正负，可以得到以下几类方程根的分布问题(此时Δ＝b2－4ac)．
∴7m－6<0，解得 m<67. ∴0<m<6.
7
∴m<0.
综上所述，m
的取值范围为
－∞，6 7
.
探究二不等式中的恒成立问题
[典例 2] 设函数 f(x)＝mx2－mx－1.
(2)对于 x∈[1,3]，f(x)<－m＋5 恒成立，求 m 的取值范围．
法二：f(x)<－m＋5 恒成立，即 m(x2－x＋1)－6<0 恒成立．
Δ≥0， (1)方程 f(x)＝0 在区间(k，＋∞)内有两个实根的条件是－ fk2ba>>0k. ，
(2)方程 f(x)＝0 有一根大于 k，另一根小于 k 的条件是 f(k)<0.
(3) 方程 f(x) ＝ 0 在区间 (k1 ， k2) 内有两个实根的条件是

课时作业一元二次不等式及其解法

[
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知集合A＝{x∈R|3x＋2>0}，B＝{x∈R|(x＋1)(x－3)>0}，则A∩B等于来自)A．(－∞，－1) B.
C. D．(3，＋∞)
2．函数y＝的定义域为()
A．[－7,1]
B．(－7,1)
C．(－∞，－7]∪[1，＋∞)
D．(－∞，－7)∪(1，＋∞)
3．设集合A＝{x|(x－1)2<3x＋7，x∈R}，则集合A∩Z中元素的个数是()
A．4 B．5
C．6 D．7
4．若函数f(x)＝的定义域为R，则常数k的取值范围是()
A．(0,4) B．[0,4]
C．[0,4) D．(0,4]
5．如果ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x<－2或x>4}，那么对于函数f(x)＝ax2＋bx＋c，应有()
(1)求a，b的值；
(2)解不等式ax2－(a＋b)x＋b<0.
10．解关于x的不等式：x2＋(1－a)x－a<0.
11．已知2a＋1<0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2>0的解集是()
A．{x|x<5a或x>－a}
B．{x|x>5a或x<－a}
C．{x|－a<x<5a}
D．{x|5a<x<－a}
A．f(5)<f(2)<f(－1) B．f(2)<f(5)<f(－1)
C．f(－1)<f(2)<f(5) D．f(2)<f(－1)<f(5)
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．不等式1＋2x＋x2≤0的解集为________．

2020版高考数学一轮复习第七章不等式第2讲一元二次不等式的解法配套课时作业(理)(含解析)新人教A版

第2讲一元二次不等式的解法配套课时作业1．(2019·潍坊模拟)函数f (x )＝1ln －x 2＋4x －3的定义域是( )A ．(－∞，1)∪(3，＋∞)B ．(1,3)C ．(－∞，2)∪(2，＋∞)D ．(1,2)∪(2,3)答案 D解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x －3>0，－x 2＋4x －3≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧1<x <3，x ≠2，故函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2,3)．故选D.2．若集合A ＝{x |x 2－x <0}，B ＝{x |(x －a )(x ＋1)<0}，则“a >1”是“A ∩B ≠∅”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析若A ∩B ≠∅，则只需要满足条件a >0即可， ∴“a >1”是“A ∩B ≠∅”的充分不必要条件．3．关于x 的不等式x 2＋px －2<0的解集是(q,1)，则p ＋q 的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2答案 B解析依题意得q,1是方程x 2＋px －2＝0的两根，q ＋1＝－p ，即p ＋q ＝－1.故选B. 4．(2019·郑州模拟)已知关于x 的不等式ax －1x ＋1>0的解集是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，则a 的值为( )A ．－1B ．12C ．1D ．2答案 D解析由题意可得a ≠0且不等式等价于a (x ＋1)( x － ⎭⎪⎫1a>0，由解集的特点可得a >0且1a ＝12，故a ＝2.故选D. 5．(2019·江西九江模拟)不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集是空集，则实数a 的范围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－2，65 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，65 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，65 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，65∪{2} 答案 B解析当a ＝－2时，不等式解集为空集；当a ≠－2时，不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集是空集，即(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1<0恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4<0，Δ＝a ＋22＋4a 2－4<0，解得－2<a <65综上可知a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，65.故选B. 6．若关于x 的不等式x 2－ax ＋1≤0的解集中只有一个整数，且该整数为1，则a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，52B.⎝ ⎛⎦⎥⎤2，52C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52 答案 A解析令f (x )＝x 2－ax ＋1，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f1≤0，f 2＞0，解得2≤a ＜52.7．(2019·黄冈模拟)若函数f (x )＝(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3的图象恒在x 轴上方，则a 的取值范围是( )A ．[1,19]B ．(1,19)C ．[1,19)D ．(1,19]答案 C解析函数图象恒在x 轴上方，即不等式(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3>0对于一切x ∈R 恒成立．当a 2＋4a －5＝0时，有a ＝－5或a ＝1.若a ＝－5，不等式化为24x ＋3>0，不满足题意；若a ＝1，不等式化为3>0，满足题意．当a 2＋4a －5≠0时，应有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4a －5>0，16a －12－12a 2＋4a －5<0，解得1<a <19.综上1≤a ＜19.故选C.8．设实数a ∈(1,2)，关于x 的一元二次不等式x 2－(a 2＋3a ＋2)x ＋3a (a 2＋2)<0的解集为( )A ．(3a ，a 2＋2) B ．(a 2＋2,3a ) C ．(3,4) D ．(3,6)答案 B解析由x 2－(a 2＋3a ＋2)x ＋3a (a 2＋2)<0，得(x －3a )(x －a 2－2)<0，∵a ∈(1,2)，∴3a >a 2＋2，∴关于x 的一元二次不等式x 2－(a 2＋3a ＋2)x ＋3a (a 2＋2)<0的解集为(a 2＋2,3a )．故选B.9．(2019·云南模拟)若关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是( )A ．[－4,1]B ．[－4,3]C ．[1,3]D ．[－1,3]答案 B解析原不等式等价于(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3.综上可得－4≤a ≤3.故选B.10．(2019·山东临沂模拟)关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B ．(1,3)C ．(－1,3)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞) 答案 C解析 ∵关于x 的不等式ax －b <0的解集为(1，＋∞)，∴a <0且ba＝1，即a ＝b ，∴不等式(ax ＋b )(x －3)>0可转化为(x ＋1)(x －3)<0.解得－1<x <3，故选C.11．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a <0的解集是( )A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 答案 A解析依题意，－12与－13是方程ax 2－bx －1＝0的两根，则⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－12－13，－1a ＝－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，即⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－56，1a ＝－16，又a <0，不等式x 2－bx －a <0可化为1a x 2－b a x －1>0，即－16x 2＋56x －1>0，即x 2－5x ＋6<0，解得2<x <3.故选A.12．(2019·广西陆川中学月考)关于x 的不等式ax 2－2x ＋1 <0的解集非空的一个必要不充分条件是( )A ．a <1B ．a ≤1C ．0<a <1D ．a <0答案 B解析由题意得，当a ＝0时，原不等式化为－2x ＋1<0，原不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x >12；当a >0时，要使得关于x 的不等式的解集非空，则Δ＝4－4a >0⇒a <1，即0<a <1；当a <0时，不等式的解集非空恒成立．所以关于x 的不等式ax 2－2x ＋1<0的解集非空时，实数a 的取值范围是a <1.所以关于x 的不等式ax 2－2x ＋1<0的解集非空的一个必要不充分条件是a ≤1，故选B.13．若不等式x 2＋ax －2<0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是________．答案 (－∞，1)解析不等式x 2＋ax －2<0在区间[1,5]上有解，a <2x －x ，x ∈[1,5]有解，显然g (x )＝2x－x 在[1,5]上递减，g max (x )＝g (1)＝1，∴a <1.14．若关于x 的不等式－12x 2＋2x >mx 的解集是{x |0<x <2}，则实数m 的值是________．答案 1解析将原不等式化为12x 2＋(m －2)x <0，即x (x ＋2m －4)<0，故0,2是对应方程x (x ＋2m －4)＝0的两个根，代入得m ＝1.15．若不等式x 2＋ax ＋4≥0对一切x ∈(0,1]恒成立，则a 的取值范围是________．答案 [－5，＋∞)解析由题意得，a ≥－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4x ，设f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ，x ∈(0,1]，则只要a ≥[f (x )]max ，由于函数f (x )在(0,1]上单调递增，所以[f (x )]max ＝f (1)＝－5，故a ≥－5.16．关于x的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，2x 2＋2k ＋5x ＋5k <0的整数解的集合为{－2}，则实数k的取值范围是________．答案 [－3,2)解析由x 2－x －2>0，可得x >2或x <－1，又由2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0，可得(2x ＋5)(x ＋k )<0，如图所示，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧－k >－52，－2<－k ≤3，解得－3≤k <2.17．(2019·日照模拟)已知x 1和x 2是方程x 2－mx －2＝0的两个实根，不等式a 2－5a －3≥|x 1－x 2|对任意实数m ∈[－1,1]恒成立，且关于x 的不等式ax 2＋2x －1>0 有解，求实数a 的取值范围．解 ∵x 1，x 2是方程x 2－mx －2＝0的两个实根， ∴x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝－2， ∴|x 1－x 2|＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝m 2＋8，∴当m ∈[－1,1]时，|x 1－x 2|max ＝3.由不等式a 2－5a －3≥|x 1－x 2|对任意实数m ∈[－1,1]恒成立，可得a 2－5a －3≥3，∴a ≥6或a ≤－1.① 又不等式ax 2＋2x －1>0有解，则当a >0时，ax 2＋2x －1>0显然有解；当a ＝0时，ax 2＋2x －1>0有解；当a <0时，由Δ＝4＋4a >0，得－1<a <0. ∴不等式ax 2＋2x －1>0有解时a >－1，② 由①②可得实数a 的取值范围为[6，＋∞)． 18．解关于x 的不等式：ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )．解原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1.②当a >0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0，解得x ≥2a或x ≤－1.③当a <0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.当2a >－1，即a <－2时，解得－1≤x ≤2a；当2a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1；当2a<－1，即a >－2，解得2a≤x ≤－1.综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}；当a >0时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥2a 或x ≤－1；当－2<a <0时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2a ≤x ≤－1；当a ＝－2时，不等式的解集为{x |x ＝－1}；当a <－2时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤2a . 19．已知关于x 的不等式2x －1>m (x 2－1)．(1)是否存在实数m ，使不等式对任意x ∈R 恒成立？并说明理由； (2)若对于m ∈[－2,2]不等式恒成立，求实数x 的取值范围．解 (1)原不等式等价于mx 2－2x ＋(1－m )<0，若对于任意实数x 恒成立，当且仅当m <0且Δ＝4－4m (1－m )<0，不等式解集为∅，所以不存在实数m ，使不等式恒成立． (2)设f (m )＝(x 2－1)m －(2x －1)，当m ∈[－2,2]时，f (m )<0恒成立．而f (m )在m ∈[－2,2]时表示线段，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧f 2<0，f－2<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－2x －1<0，①－2x 2－2x ＋3<0.②由①，得1－32<x <1＋32.由②，得x <－1－72或x >－1＋72.取交集，得－1＋72<x <1＋32.所以x 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1＋72<x <1＋32. 20．(2019·兰州模拟)已如函数f (x )＝mx 2－mx －1. (1)若对于x ∈R ，f (x )<0恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于x ∈[1,3]，f (x )<5－m 恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)由题意，可得m ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇔m ＝0或－4<m <0⇔－4<m ≤0，故m 的取值范围是(－4,0]．(2)解法一：要使f (x )<5－m 在[1,3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6<0，所以m <67，则0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6<0，所以m <6，则m <0.综上所述，m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <67.解法二：因为f (x )<5－m ⇔m (x 2－x ＋1)<6，又因为x 2－x ＋1>0，所以m <6x 2－x ＋1对于x ∈[1,3]恒成立．只需求6x 2－x ＋1的最小值，记g (x )＝6x 2－x ＋1，x ∈[1,3]，记h (x )＝x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34，h (x )在x ∈[1,3]上为增函数，则g (x )在[1,3]上为减函数，所以g (x )min ＝g (3)＝67，所以m <67，即m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，67.。

2021_2022学年高中数学第3章不等式3.2.1一元二次不等式及其解法作业

课时分层作业(十八) 一元二次不等式及其解法(建议用时：40分钟)一、选择题1．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( ) A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－13 B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－13≤x ≤13 C ．∅ D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝－13 D [(3x ＋1)2≤0， ∴3x ＋1＝0，∴x ＝－13.]2．若集合A ＝{x |(2x ＋1)(x －3)<0}，B ＝{x |x ∈N *，x ≤5}，则A ∩B 等于( ) A ．{1，2，3} B ．{1，2}C ．{4，5}D ．{1，2，3，4，5} B [(2x ＋1)(x －3)<0，∴－12<x <3，又x ∈N *且x ≤5，则x ＝1，2.]3．若0<t <1，则不等式(x －t )⎝⎛⎭⎫x －1t <0的解集为( ) A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1t<x <t B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >1t或x <t C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <1t或x >t D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪t <x <1t D [t ∈(0，1)时，t <1t ，∴解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪t <x <1t .] 4．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为－2，3，a <0，那么ax 2＋bx ＋c >0的解集为( ) A ．{x |x >3或x <－2} B ．{x |x >2或x <－3} C ．{x |－2<x <3}D ．{x |－3<x <2}C [由题意知，－2＋3＝－b a ，－2×3＝ca ，∴b ＝－a ，c ＝－6a ，∴ax 2＋bx ＋c ＝ax 2－ax －6a >0， ∵a <0，∴x 2－x －6<0， ∴(x －3)(x ＋2)<0，∴－2<x <3.]5．在R 上定义运算“⊙”：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( )A ．(0，2)B ．(－2，1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1，2)B [根据给出的定义得，x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2＝(x ＋2)(x －1)，又x ⊙(x －2)<0，则(x ＋2)(x －1)<0，故不等式的解集是(－2，1).]二、填空题6．不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为．(用区间表示) (－4，1) [由－x 2－3x ＋4>0得x 2＋3x －4<0，解得－4<x <1.]7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是．(－3，1)∪(3，＋∞) [f (1)＝12－4×1＋6＝3，当x ≥0时，x 2－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1；当x <0时，x ＋6>3，解得－3<x <0.所以f (x )>f (1)的解集是(－3，1)∪(3，＋∞).]8．关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，2x 2＋（2k ＋5）x ＋5k ＜0的整数解的集合为{－2}，则实数k 的取值范围是________．[－3，2) [由x 2－x －2＞0，解得x ＞2或x ＜－1，又由2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k ＜0可得，(2x ＋5)(x ＋k )＜0，如图所示，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＞－52，－2＜－k ≤3，解得－3≤k ＜2.]三、解答题9．求下列不等式的解集： (1)x 2－5x ＋6>0；(2)－12x 2＋3x －5>0.[解] (1)方程x 2－5x ＋6＝0有两个不等实数根x 1＝2，x 2＝3，又因为函数y ＝x 2－5x ＋6的图象是开口向上的抛物线，且抛物线与x 轴有两个交点，分别为(2，0)和(3，0)，其图象如图(1).根据图象可得不等式的解集为{x |x >3或x <2}．(2)原不等式可化为x 2－6x ＋10<0，对于方程x 2－6x ＋10＝0，因为Δ＝(－6)2－40<0，所以方程无解，又因为函数y ＝x 2－6x ＋10的图象是开口向上的抛物线，且与x 轴没有交点，其图象如图(2).根据图象可得不等式的解集为∅.10．解关于x 的不等式x 2－(3a －1)x ＋(2a 2－2)>0. [解] 原不等式可化为 [x －(a ＋1)][x －2(a －1)]>0，讨论a ＋1与2(a －1)的大小(1)当a ＋1>2(a －1)，即a <3时，x >a ＋1或x <2(a －1). (2)当a ＋1＝2(a －1)，即a ＝3时，x ≠a ＋1.(3)当a ＋1<2(a －1)，即a >3时，x >2(a －1)或x <a ＋1，综上：当a <3时，解集为{x |x >a ＋1或x <2(a －1)}，当a ＝3时，解集为{x |x ≠a ＋1}，当a >3时，解集为{x |x >2(a －1)或x <a ＋1}．1．不等式mx 2－ax －1>0(m >0)的解集可能是( ) A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1或x >14 B ．R C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－13<x <32D ．∅A [因为Δ＝a 2＋4m >0，所以函数y ＝mx 2－ax －1的图象与x 轴有两个交点，又m >0，所以原不等式的解集不可能是B 、C 、D ，故选A.]2．关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则关于x 的不等式bx 2－ax －2>0的解集为( )A ．{x |－2<x <1}B ．{x |x >2或x <－1}C ．{x |x >1或x <－2}D ．{x |x <－1或x >1}C [∵ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}， ∴⎩⎨⎧2a ＝－2，－b a＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，∴bx 2－ax －2>0，即x 2＋x －2>0，解得x >1或x <－2.]3．不等式2x 2－x ＜4的解集为． {x |－1＜x ＜2} [∵2x 2－x ＜4， ∴2x 2－x ＜22，∴x 2－x ＜2，即x 2－x －2＜0， ∴－1＜x ＜2.]4．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．{x |－7＜x ＜3} [当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x <5的解集为[0，5).又f (x )为偶函数，所以f (x )<5的解集为(－5，5)，所以－5<x ＋2<5，故所求解集为{x |－7＜x ＜3}．]5．已知M 是关于x 的不等式2x 2＋(3a －7)x ＋3＋a －2a 2<0的解集，且M 中的一个元素是0，求实数a 的取值范围，并用a 表示出该不等式的解集．[解] 原不等式可化为(2x －a －1)(x ＋2a －3)<0，由x ＝0适合不等式得(a ＋1)(2a －3)>0，所以a <－1或a >32.若a <－1，则－2a ＋3－a ＋12＝52(－a ＋1)>5，所以3－2a >a ＋12，此时不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪a ＋12<x <3－2a ；若a >32，由－2a ＋3－a ＋12＝52(－a ＋1)<－54，所以3－2a <a ＋12，此时不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪3－2a <x <a ＋12. 综上，当a <－1时，原不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫a ＋12，3－2a ，当a >32时，原不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫3－2a ，a ＋12.。

课时作业：一元二次不等式及其解法

§1.5 一元二次不等式及其解法课时精练1．已知集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |x 2＋3x <0}，则A ∩B 等于( )A ．(0,2)B ．(－1,0)C ．(－3,2)D ．(－1,3) 答案 B解析 A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |－3<x <0}，∴A ∩B ＝(－1,0)．故选B.2．若0<t <1，则关于x 的不等式(t －x )⎝⎛⎭⎫x －1t >0的解集为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1t <x <t B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >1t 或x <t C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <1t或x >t D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ t <x <1t 答案 D解析原不等式可化为(x －t )⎝⎛⎭⎫x －1t <0， ∵0<t <1，∴t <1t， ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪t <x <1t . 3．(2020·廊坊调研)已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，如果不等式f (x )>0的解集为(－1,3)，那么不等式f (－2x )<0的解集为( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－32，12 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞D.⎝⎛⎭⎫－12，32 答案 A解析由f (x )＝(ax －1)(x ＋b )>0的解集是(－1,3)，则a <0，故1a＝－1，－b ＝3，即a ＝－1，b ＝－3.∴f (x )＝－x 2＋2x ＋3，∴f (－2x )＝－4x 2－4x ＋3，由－4x 2－4x ＋3<0，解得x >12或x <－32，故不等式f (－2x )<0的解集是⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 4．已知某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2，x ∈(0,240)．若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台答案 C解析由题设，产量为x 台时，总售价为25x ；欲使生产者不亏本，必须满足总售价大于等于总成本，即25x ≥3 000＋20x －0.1x 2，即0.1x 2＋5x －3 000≥0，x 2＋50x －30 000≥0，解得x ≥150或x ≤－200(舍去)．故欲使生产者不亏本，最低产量是150台．5．(多选)满足关于x 的不等式(ax －b )(x －2)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <2，则满足条件的一组有序实数对(a ，b )的值可以是( )A ．(－2，－1)B ．(－3，－6)C ．(2,4)D.⎝⎛⎭⎫－3，－32 答案 AD解析不等式(ax －b )(x －2)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <2， ∴方程(ax －b )(x －2)＝0的实数根为12和2，且⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b a ＝12，即a ＝2b <0，故选AD.6．(多选)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a >0)有且只有一个零点，则( )A ．a 2－b 2≤4B ．a 2＋1b≥4 C ．若不等式x 2＋ax －b <0的解集为(x 1，x 2)，则x 1x 2>0D ．若不等式x 2＋ax ＋b <c 的解集为(x 1，x 2)，且|x 1－x 2|＝4，则c ＝4答案 ABD解析因为f (x )＝x 2＋ax ＋b (a >0)有且只有一个零点，故可得Δ＝a 2－4b ＝0，即a 2＝4b >0. 对于A ，a 2－b 2≤4等价于b 2－4b ＋4≥0，显然(b －2)2≥0，故A 正确；对于B ，a 2＋1b ＝4b ＋1b ≥24b ×1b ＝4，当且仅当4b ＝1b >0，即b ＝12时，等号成立，故B 正确；对于C ，因为不等式x 2＋ax －b <0的解集为(x 1，x 2)，故x 1x 2＝－b <0，故C 错误；对于D ，因为不等式x 2＋ax ＋b <c 的解集为(x 1，x 2)，且|x 1－x 2|＝4，则方程x 2＋ax ＋b －c ＝0的两根为x 1，x 2，故可得(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝a 2－4(b －c )＝4c ＝2c ＝4，故可得c ＝4.7．不等式x ＋2x －1>2的解集为________．答案 {x |1<x <4}解析原不等式可化为x ＋2x －1－2>0，即(x ＋2)－2(x －1)x －1>0，即4－x x －1>0，即(x －1)(x －4)<0，解得1<x <4，∴原不等式的解集为{x |1<x <4}．8．一元二次方程x 2－(k －2)x ＋k ＋1＝0有一正一负实数根，则k 的取值范围是________．答案 (－∞，－1)解析依题意⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(k －2)2－4(k ＋1)>0，k ＋1<0，解得k <－1.9．若对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，则x 的取值范围是________．答案 (－∞，1)∪(3，＋∞)解析 f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4.令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4，由题意知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零，∴⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)＝(x －2)(－1)＋x 2－4x ＋4>0，g (1)＝(x －2)×1＋x 2－4x ＋4>0 ⇒x <1或x >3.10．关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中恰有两个整数，则实数a 的取值范围是________．答案 [－2，－1)∪(3,4]解析不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0，可化为(x －1)(x －a )<0，当a ＝1时，不等式为(x －1)2<0，解集为∅，舍去，当a >1时，不等式的解集为{x |1<x <a }，则3<a ≤4，当a <1时，不等式的解集为{x |a <x <1}，则－2≤a <－1，综上有－2≤a <－1或3<a ≤4.11．已知关于x 的不等式－x 2＋ax ＋b >0.(1)若该不等式的解集为(－4,2)，求a ，b 的值；(2)若b ＝a ＋1，求此不等式的解集．解 (1)根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧2－4＝a ，2×(－4)＝－b ，解得a ＝－2，b ＝8.(2)当b ＝a ＋1时，－x 2＋ax ＋b >0⇔x 2－ax －(a ＋1)<0，即[x －(a ＋1)](x ＋1)<0.当a ＋1＝－1，即a ＝－2时，原不等式的解集为∅；当a ＋1<－1，即a <－2时，原不等式的解集为(a ＋1，－1)；当a ＋1>－1，即a >－2时，原不等式的解集为(－1，a ＋1)．综上，当a <－2时，不等式的解集为(a ＋1，－1)；当a ＝－2时，不等式的解集为∅；当a >－2时，不等式的解集为(－1，a ＋1)．12．某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价． (1)设该商店一天的营业额为y 元，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域；(2)若要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围．解 (1)由题意得，y ＝100⎝⎛⎭⎫1－x 10·100⎝⎛⎭⎫1＋850x . 因为售价不能低于成本价，所以100⎝⎛⎭⎫1－x 10－80≥0，解得0≤x ≤2.所以y ＝f (x )＝40(10－x )(25＋4x )，定义域为{x |0≤x ≤2}．(2)由题意得40(10－x )(25＋4x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0，解得12≤x ≤134. 所以x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，2.13．已知a ，b ，c ，d 都是常数，a >b ，c >d .若f (x )＝2 021－(x －a )(x －b )的零点为c ，d ，则下列不等式正确的是( )A ．a >c >b >dB ．a >b >c >dC ．c >d >a >bD ．c >a >b >d答案 D解析 f (x )＝2 021－(x －a )(x －b )＝－x 2＋(a ＋b )x －ab ＋2 021，又f (a )＝f (b )＝2 021，c ，d 为函数f (x )的零点，且a >b ，c >d ，所以可在平面直角坐标系中作出函数f (x )的大致图象，如图所示，由图可知c >a >b >d ，故选D.14．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤－235，1 C ．(1，＋∞)D.⎝⎛⎦⎤－∞，－235 答案 A解析由Δ＝a 2＋8>0知方程恒有两个不等实根，又因为x 1x 2＝－2<0，所以方程必有一正根，一负根，对应二次函数图象的示意图如图．所以不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)>0，解得a >－235.15．已知二次函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3，不等式f (x )≥m 的解集的区间长度为6(规定：闭区间[a ，b ]的长度为b －a )，则实数m 的值是________．答案－5解析不等式f (x )≥m 可化为x 2－2x －3＋m ≤0，令x 2－2x －3＋m ≤0的解集为{x |x 1≤x ≤x 2}，则x 2－x 1＝6，∵⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝m －3，又∵(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝36，∴4－4(m －3)＝36，即m ＝－5.16．已知f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0,5)．(1)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f (x )>0，f (x ＋k )<0的正整数解只有一个，求实数k 的取值范围； (2)若对于任意x ∈[－1,1]，不等式t ·f (x )≤2恒成立，求t 的取值范围．解 (1)因为不等式f (x )<0的解集是(0,5)，所以0,5是一元二次方程2x 2＋bx ＋c ＝0的两个实数根，可得⎩⎨⎧0＋5＝－b 2，0×5＝c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－10，c ＝0. 所以f (x )＝2x 2－10x . 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )>0，f (x ＋k )<0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－10x >0，2(x 2＋2kx ＋k 2)－10(x ＋k )<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x <0或x >5，－k <x <5－k ，因为不等式组的正整数解只有一个，可得该正整数解为6，可得6<5－k ≤7，解得－2≤k <－1，所以k 的取值范围是[－2，－1)．(2)tf (x )≤2，即t (2x 2－10x )≤2，即tx 2－5tx －1≤0，当t ＝0时显然成立，当t >0时，有⎩⎪⎨⎪⎧ t ·1－5t ·(－1)－1≤0，t ·1－5t ·1－1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧t ＋5t －1≤0，t －5t －1≤0，解得－14≤t ≤16，所以0<t ≤16；当t <0时，函数y ＝tx 2－5tx －1在[－1,1]上单调递增，所以只要其最大值满足条件即可，所以t －5t －1≤0，解得t ≥－14，即－14≤t <0，综上，t 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－14，16.。

高中数学第二章等式与不等式 2.2.3 一元二次不等式的解法练习(含解析)新人教B版必修第一册-

2.2.3 一元二次不等式的解法最新课程标准：从函数观点看一元二次不等式．①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．②借助一元二次函数的图像，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.知识点二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系Δ>0Δ＝0Δ<0y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}{x|x≠－b2a}Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅状元随笔一元二次不等式的解法：(1)图像法：一般地，当a>0时，解形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步：①确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；②画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图像简图；③由图像得出不等式的解集．对于a<0的一元二次不等式，可以直接采取类似a>0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当p<q时，若(x－p)(x－q)>0，则x>q或x<p；若(x－p)(x－q)<0，则p<x<q.有口诀如下“大于取两边，小于取中间”．[基础自测]1．下列不等式中是一元二次不等式的是( )A．a2x2＋2≥0 B.1x2<3C．－x2＋x－m≤0 D．x3－2x＋1>0解析：选项A中，a2＝0时不符合；选项B是分式不等式；选项D中，最高次数为三次；只有选项C符合．答案：C2．不等式x(x＋1)≤0的解集为( )A．[－1，＋∞) B．[－1,0)C．(－∞，－1] D．[－1,0]解析：解不等式得－1≤x≤0，故选D.答案：D3．函数y＝17－6x－x2的定义域为( )A．[－7,1]B．(－7,1)C．(－∞，－7]∪[1，＋∞)D．(－∞，－7)∪(1，＋∞)解析：由7－6x－x2>0，得x2＋6x－7<0，即(x＋7)(x－1)<0，所以－7<x<1，故选B. 答案：B4．不等式1＋2x＋x2≤0的解集为________．解析：不等式1＋2x＋x2≤0化为(x＋1)2≤0，解得x＝－1.答案：{－1}题型一解不含参数的一元二次不等式[教材P65例1 P66例3、例4]例1 (1)求不等式x2－x－2>0的解集．(2)求不等式x2－6x－1≤0的解集．(3)求不等式－x2＋2x－1<0的解集．【解析】(1)因为x2－x－2＝(x＋1)(x－2)，所以原不等式等价于(x＋1)(x－2)>0，因此所求解集为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．(2)因为x2－6x－1＝x2－6x＋9－9－1＝(x－3)2－10，所以原不等式可化为(x－3)2－10≤0，即(x－3)2≤10，两边开平方得|x－3|≤10，从而可知－10≤x－3≤10，因此3－10≤x≤3＋10，所以不等式的解集为[3－10，3＋10]．(3)原不等式可化为x2－2x＋1>0，又因为x2－2x＋1＝(x－1)2，所以上述不等式可化为(x－1)2>0.注意到只要x≠1，上述不等式就成立，所以不等式的解集为(－∞，1)∪(1，＋∞).教材反思我们以求解可化成ax2＋bx＋c>0(a>0)形式的不等式为例，用框图表示其求解过程．跟踪训练1 解下列不等式： (1)x 2－7x ＋12>0； (2)－x 2－2x ＋3≥0； (3)x 2－2x ＋1<0； (4)－2x 2＋3x －2<0.解析：(1)因为Δ＝1＞0，所以方程x 2－7x ＋12＝0有两个不等实根x 1＝3，x 2＝4.再根据函数y ＝x 2－7x ＋12的图像开口向上，可得不等式x 2－7x ＋12＞0的解集是{x |x ＜3或x ＞4}．(2)不等式两边同乘－1，原不等式可化为x 2＋2x －3≤0.因为Δ＝16＞0，所以方程x 2＋2x －3＝0有两个不等实根x 1＝－3，x 2＝1.再根据函数y ＝x 2＋2x －3的图像开口向上，可得不等式－x 2－2x ＋3≥0的解集是{x |－3≤x ≤1}．(3)因为Δ＝0，所以方程x 2－2x ＋1＝0有两个相等的实根x 1＝x 2＝1.再根据函数y ＝x 2－2x ＋1的图像开口向上，可得不等式x 2－2x ＋1＜0的解集为∅.(4)原不等式可化为2x 2－3x ＋2＞0，因此Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x 2－3x ＋2＝0无实根，又二次函数y ＝2x 2－3x ＋2的图像开口向上，所以原不等式的解集为R .状元随笔化二次项系数为正―→计算相应方程的判别式Δ及两根x 1，x 2――→函数图像结果题型二三个“二次”之间的关系[经典例题]例2 已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}，求关于x 的不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．【解析】方法一由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}可知，a <0，且2和3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，由根与系数的关系可知b a ＝－5，c a ＝6.由a <0知c <0，b c ＝－56，故不等式cx 2＋bx ＋a <0，即x 2＋b c x ＋a c >0，即x 2－56x ＋16>0，解得x <13或x >12，所以不等式cx2＋bx ＋a <0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 方法二由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}可知，a <0，且2和3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，所以ax 2＋bx ＋c ＝a (x －2)(x －3)＝ax 2－5ax ＋6a ⇒b ＝－5a ，c ＝6a ，故不等式cx 2＋bx ＋a <0，即6ax 2－5ax ＋a <0⇒6a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<0，故原不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 状元随笔由给定不等式的解集形式→确定a<0及关于a ，b ，c 的方程组→ 用a 表示b ，c →代入所求不等式→求解cx 2＋bx ＋a<0的解集方法归纳一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．(1)若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系．(2)若一元二次不等式的解集为R 或∅，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图像与x 轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的X 围．跟踪训练2 已知一元二次不等式x 2＋px ＋q <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <13，求不等式qx 2＋px ＋1>0的解集．解析：因为x2＋px ＋q <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <13，所以x 1＝－12与x 2＝13是方程x 2＋px ＋q ＝0的两个实数根，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧13－12＝－p ，13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝q ，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝16，q ＝－16.所以不等式qx 2＋px ＋1>0即为－16x 2＋16x ＋1>0，整理得x 2－x －6<0，解得－2<x <3.即不等式qx 2＋px ＋1>0的解集为{x |－2<x <3}．状元随笔观察给定不等式的解集形式→由根与系数的关系得p ，q 的方程组→确定p ，q 的值→求不等式qx 2＋px ＋1>0的解集题型三含参数的一元二次不等式的解法[经典例题] 例3 解关于x 的不等式2x 2＋ax ＋2>0.【解析】对于方程2x 2＋ax ＋2＝0，其判别式Δ＝a 2－16＝(a ＋4)(a －4)．①当a >4或a <－4时，Δ>0，方程2x 2＋ax ＋2＝0的两根为x 1＝14(－a －a 2－16)，x 2＝14(－a ＋a 2－16)．∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <14(－a －a 2－16)或x >14(－a ＋a 2－16). ②当a ＝4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x 1＝x 2＝－1， ∴原不等式的解集为{x |x ≠－1}．③当a ＝－4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x 1＝x 2＝1， ∴原不等式的解集为{x |x ≠1}．④当－4<a <4时，Δ<0，方程无实根，∴原不等式的解集为R .状元随笔二次项系数为2，Δ＝a 2－16不是一个完全平方式，故不能确定根的个数，因此需对判别式Δ的符号进行讨论，确定根的个数.方法归纳含参数一元二次不等式求解步骤(1)讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图像的开口方向； (2)讨论判别式的符号，即相应二次函数图像与x 轴交点的个数； (3)当Δ>0时，讨论相应一元二次方程两根的大小；(4)最后按照系数中的参数取值X 围，写出一元二次不等式的解集．跟踪训练3 解关于x 的不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0.解析：原不等式可变形为(x －a )·(x －a 2)>0，则方程(x －a )(x －a 2)＝0的两个根为x 1＝a ，x 2＝a 2，(1)当a <0时，有a <a 2，∴x <a 或x >a 2，此时原不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}； (2)当0<a <1时，有a >a 2，即x <a 2或x >a ，此时原不等式的解集为{x |x <a 2或x >a }； (3)当a >1时，有a 2>a ，即x <a 或x >a 2，此时原不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}； (4)当a ＝0时，有x ≠0；∴原不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}； (5)当a ＝1时，有x ≠1，此时原不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠1}；综上可知：当a <0或a >1时，原不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}；当0<a <1时，原不等式的解集为{x |x <a 2或x >a }；当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；当a ＝1时，原不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠1}．状元随笔不等式左边分解因式→讨论a 的X 围→ 比较a 与a 2的大小→写出不等式的解集题型四一元二次不等式的实际应用[经典例题]例4 某工厂的固定成本为3万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元，设生产该产品x (百台)，其总成本为g (x )万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，并且销售收入r (x )满足r (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.5x 2＋7x －10.5，0≤x ≤7，13.5，x ＞7.假定该产品产销平衡，根据上述统计规律求： (1)要使工厂有盈利，产品数量x 应控制在什么X 围？(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？【解析】 (1)依题意得g (x )＝x ＋3，设利润函数为f (x )，则f (x )＝r (x )－g (x )，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.5x 2＋6x －13.5，0≤x ≤7，10.5－x ，x ＞7，要使工厂有盈利，则有f (x )>0，因为f (x )>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤7，－0.5x 2＋6x －13.5＞0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞7，10.5－x ＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤7，x 2－12x ＋27＜0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞7，10.5－x ＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤7，3＜x ＜9或⎩⎪⎨⎪⎧x >7，x <10.5.则3＜x ≤7或7＜x ＜10.5，即3＜x ＜10.5，所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于300台小于1 050台的X 围内．(2)当3＜x ≤7时，f (x )＝－0.5(x －6)2＋4.5，故当x ＝6时，f (x )有最大值4.5，而当x ＞7时，f (x )＜10.5－7＝3.5，所以当工厂生产600台产品时盈利最大.(1)求利润函数f(x)⇒解不等式f(x)>0⇒回答实际问题． (2)根据第(1)题所求X 围，分类讨论求函数最值⇒回答实际问题．方法归纳解不等式应用题的四步骤(1)审：认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系． (2)设：引进数学符号，用不等式表示不等关系． (3)求：解不等式． (4)答：回答实际问题．特别提醒：确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．跟踪训练4 某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a 万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x (x ≠0)个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点．(1)写出税收y (万元)与x 的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值X 围．解析：(1)降低税率后的税率为(10－x )%，农产品的收购量为a (1＋2x %)万担，收购总金额为200a (1＋2x %)依题意得，y ＝200a (1＋2x %)(10－x )% ＝150a (100＋2x )(10－x )(0<x <10)． (2)原计划税收为200a ·10%＝20a (万元)．依题意得，150a (100＋2x )(10－x )≥20a ×83.2%，化简得x 2＋40x －84≤0， ∴－42≤x ≤2.又∵0＜x ＜10，∴0＜x ≤2. ∴x 的取值X 围是{x |0＜x ≤2}．状元随笔根据题意，列出各数量之间的关系表，如下：原计划降税后价格(元/担)200 200税率 10% (10－x)%(0<x<10)收购量(万担) a a(1＋2x%) 收购总金额(万元) 200a 200·a(1＋2x%) 税收y(万元)200a·10%200·a(1＋2x%)(10－x)%课时作业 12一、选择题1．不等式3x 2－2x ＋1>0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1<x <13 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13<x <1C ．∅D ．R解析：因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝－8<0，所以抛物线y ＝3x 2－2x ＋1开口向上，与x 轴无交点，故3x 2－2x ＋1>0恒成立，即不等式3x 2－2x ＋1>0的解集为R .答案：D2．设m ＋n >0，则关于x 的不等式(m －x )(n ＋x )>0的解集是( ) A ．{x |x <－n 或x >m } B ．{x |－n <x <m } C ．{x |x <－m 或x >n } D ．{x |－m <x <n }解析：不等式(m －x )(n ＋x )>0可化为(x －m )(x ＋n )<0，方程(x －m )(x ＋n )＝0的两根为x 1＝m ，x 2＝－n .由m ＋n >0，得m >－n ，则不等式(x －m )(x ＋n )<0的解集是{x |－n <x <m }，故选B.答案：B 3．不等式ax2＋5x ＋c >0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13<x <12，则a ，c 的值分别为( ) A ．a ＝6，c ＝1 B ．a ＝－6，c ＝－1 C ．a ＝1，c ＝1 D ．a ＝－1，c ＝－6解析：由题意知，方程ax 2＋5x ＋c ＝0的两根为x 1＝13，x 2＝12，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝13＋12＝－5a ，x 1·x 2＝13×12＝ca.解得a ＝－6，c ＝－1.答案：B4．若不等式x 2＋mx ＋m2>0的解集为R ，则实数m 的取值X 围是( )A ．(2，＋∞) B．(－∞，2) C ．(－∞，0)∪(2，＋∞) D．(0,2)解析：由题意知原不等式对应方程的Δ<0，即m 2－4×1×m2<0，即m 2－2m <0，解得0<m <2，故答案为D.答案：D 二、填空题5．不等式(2x －5)(x ＋3)<0的解集为________．解析：方程(2x －5)(x ＋3)＝0的两根为x 1＝52，x 2＝－3，函数y ＝(2x －5)(x ＋3)的图像与x 轴的交点坐标为(－3,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，所以不等式(2x －5)(x ＋3)<0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－3<x <52.答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －3<x <52 6．不等式2x －12x ＋1<0的解集为________．解析：原不等式可以化为(2x －1)(2x ＋1)<0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<0，故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －12<x <12. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －12<x <12 7．用一根长为100 m 的绳子能围成一个面积大于600 m 2的矩形吗？若“能”，当长＝________ m ，宽＝________ m 时，所围成的矩形的面积最大．解析：设矩形一边的长为x m ，则另一边的长为(50－x )m,0<x <50.由题意，得x (50－x )>600，即x 2－50x ＋600<0，解得20<x <30.所以，当矩形一边的长在(20,30)的X 围内取值时，能围成一个面积大于600 m 2的矩形．用S 表示矩形的面积，则S ＝x (50－x )＝－(x －25)2＋625(0<x <50)．当x ＝25时，S 取得最大值，此时50－x ＝25.即当矩形的长、宽都为25 m 时，所围成的矩形的面积最大．答案：25 25三、解答题8．解下列不等式：(1)x 2＋2x －15>0；(2)x 2－3x ＋5>0；(3)4(2x 2－2x ＋1)>x (4－x )．解析：(1)x 2＋2x －15>0⇔(x ＋5)(x －3)>0⇔x <－5或x >3，所以不等式的解集是{x |x <－5或x >3}．(2)因为Δ＝(－3)2－4×1×5＝－11<0，再根据函数y ＝x 2－3x ＋5图像的开口方向，所以原不等式的解集为R .(3)由原不等式得8x 2－8x ＋4>4x －x 2.∴原不等式等价于9x 2－12x ＋4>0.解方程9x 2－12x ＋4＝0，得x 1＝x 2＝23.结合二次函数y ＝9x 2－12x ＋4的图像知，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠23. 9．若关于x的一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <13或x >12，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a >0的解集．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，13＋12＝－b a ，13×12＝c a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，b ＝－56a >0，c ＝16a <0，代入不等式cx 2－bx ＋a >0中得16ax 2＋56ax ＋a >0(a <0)．即16x 2＋56x ＋1<0，化简得x 2＋5x ＋6<0，所以所求不等式的解集为{x |－3<x <－2}． [尖子生题库] 10．解关于x 的不等式x 2－ax －2a 2<0.解析：方程x 2－ax －2a 2＝0的判断式Δ＝a 2＋8a 2＝9a 2≥0，得方程两根x 1＝2a ，x 2＝－a .(1)若a >0，则－a <x <2a ，此时不等式的解集为{x |－a <x <2a }；(2)若a <0，则2a <x <－a ，此时不等式的解集为{x |2a <x <－a }；(3)若a ＝0，则原不等式即为x 2<0，此时解集为∅.综上所述，原不等式的解集为：当a >0时，{x |－a <x <2a }；当a <0时，{x |2a <x <－a }；当a ＝0时，∅.。

高三数学第一轮复习课时作业(33)一元二次不等式的解法

课时作业(三十三) 第33讲一元二次不等式的解法时间：35分钟分值：80分基础热身1．2011·长沙雅礼中学月考 x 2>－x 的解集为( ) A ．(－1，＋∞) B ．(－1,0)C ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)D ．(－∞，0)2．2011·湛江一中模拟不等式－x 2＋3x －2>0的解集是( ) A ．{x |x <－2或x >－1} B ．{x |x <1或x >2} C ．{x |1<x <2} D ．{x |－2<x <－1}3．设集合M ＝{x |(x ＋3)(x －2)<0}，N ＝{x |1≤x ≤3}，则M ∩N ＝( ) A ．1,2) B ．1,2 C ．(2,3 D ．2,34．2011·吉安二模已知全集U 为实数集R ，集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x ＋1x －m >0，集合∁U A ＝{y |y ＝x 13，x ∈－1,8}，则实数m 的值为( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1 能力提升5．2011·合肥八中月考设不等式x 2－x ≤0的解集为M ，函数f (x )＝ln(1－x )的定义域为N ，则M ∩N 为( )A ．0,1)B ．(0,1)C ．0,1D ．(－1,06．2011·九江三联已知p ：存在x ∈R ，mx 2＋1≤0；q ：对任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0，若p 或q 为假，则实数m 的取值范围为( )A ．m ≤－2B ．m ≥2C ．m ≥2或m ≤－2D ．－2≤m ≤27．不等式x 2－4>3|x |的解集是( ) A ．(－∞，－4)∪(4，＋∞) B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞) C ．(－∞，－4)∪(1，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)8．2011·济宁一模已知函数f (x )＝9x －m ·3x＋m ＋1对x ∈(0，＋∞)的图像恒在x 轴上方，则m 的取值范围是( )A ．2－22＜m ＜2＋2 2B ．m ＜2C ．m ＜2＋2 2D ．m ≥2＋2 29．(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解集是R ，则实数a 的取值范围是________． 10．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －2(x >2)，－x 2－x ＋4(x ≤2)，则不等式f (x )≤2的解集是________．11．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________．12．行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s (m)与汽车的车速v (kmh)满足下列关系：s ＝nv100＋v2400(n 为常数，且n∈N )，做了两次刹车试验，有关试验数据如图K33－1所示，其中⎩⎨⎧6<s 1<8，14<s 2<17.(1)求n 的值；(2)要使刹车距离不超过12.6 m ，则行驶的最大速度是多少？难点突破13．2011·淮南一模已知f (x )是R 上的单调函数，且对任意的实数a ∈R ，有f (－a )＋f (a )＝0成立，若f (－3)＝2.(1)试判断f (x )在R 上的单调性，并说明理由；(2)解关于x 的不等式：f ⎝⎛⎭⎫m －x x ＋f (m )<0，其中m ∈R 且m >0.课时作业(三十三)【基础热身】1．C 解析即不等式x 2＋x >0，即x (x ＋1)>0，解得x <－1或x >0.2．C 解析即不等式x 2－3x ＋2<0，即(x －1)(x －2)<0，解得1<x <2.3．A 【解析】由解不等式知识知M ＝{x |－3＜x ＜2}，又N ＝{x |1≤x ≤3}，所以M ∩N ＝{x |1≤x ＜2}．4.A 解析集合∁U A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＝x 13，x ∈[－1，8]＝－1,2，故不等式x ＋1x －m >0，即不等式(x ＋1)(x －m )>0的解集为(－∞，－1)∪(m ，＋∞)，所以m ＝2.【能力提升】5．A 解析不等式x 2－x ≤0的解区间为0,1，函数f (x )＝ln(1－x )的定义域为(－∞，1)，故M ∩N ＝0,1)．6．B 解析命题p 为真时m <0，命题q 为真时m 2－4<0，即－2<m <2.故命题p 或q 为假时，p ，q 均为假，即“m ≥0”且“m ≤－2或m ≥2”，即m ≥2.7．A 解析若x >0，则x 2－3x －4>0，解得x >4；若x ≤0，则x 2＋3x －4>0，解得x <－4.8．C 解析法1：令t ＝3x ，则问题转化为函数f (t )＝t 2－mt ＋m ＋1对t ∈(1，＋∞)的图像恒在x 轴的上方，即Δ＝(－m )2－4(m ＋1)＜0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，m2，1－m ＋1＋m >0，解得m ＜2＋2 2.法2：问题转化为m ＜t 2＋1t －1t ∈(1，＋∞)，即m 比函数y ＝t 2＋1t －1，t ∈(1，＋∞)的最小值还小．又y ＝t 2＋1t －1＝t －1＋2t －1＋2≥2(t －1)×2t －1＋2＝2＋22，所以m ＜2＋22，选C. 9.⎝⎛⎦⎤－35，1 解析 a ＝1显然适合；若a 2<1，由Δ＝(a －1)2＋4(a 2－1)<0，∴－35<a <1；综合知－35<a ≤1.10．(－∞，－2∪1,2∪⎣⎡⎭⎫52解析依题意得⎩⎪⎨⎪⎧1x －2≤2，x >2，或⎩⎨⎧－x 2－x ＋4≤2，x ≤2.解得x ∈(－∞，－2∪1,2∪⎣⎡⎭⎫52，＋∞.11．m ≤－5 解析当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立⇔m <－x 2－4x，当x ∈(1,2)时恒成立⇔m <－⎝⎛⎭⎫x ＋4x ，当x ∈(1,2)时恒成立．令g (x )＝－⎝⎛⎭⎫x ＋4x ，x ∈(1,2)，则g (x )mix ＝g (1)＝－5， ∴m ≤－5.12．解答 (1)依题意得⎩⎨⎧6<40n 1001600400<8，14<70n 100＋4900400<17，解得⎩⎪⎨⎪⎧5<n <10，52<n <9514，又n ∈N ，所以n ＝6.(2)s ＝3v 50＋v 2400≤12.6⇒v 2＋24v －5040≤0⇒－84≤v ≤60，因为v ≥0，所以0≤v ≤60，所以行驶的最大速度为60 kmh.【难点突破】13．解答 (1)f (x )为R 上的减函数，理由如下： ∵对任意的实数a ∈R ，有f (－a )＋f (a )＝0成立，∴f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0.又因为f (x )是R 上的单调函数，由f (－3)＝2，f (0)<f (－3)，所以f (x )为R 上的减函数．(2)由f ⎝⎛⎭⎫m －x x ＋f (m )<0，得f ⎝⎛⎭⎫m －x x <－f (m )＝f (－m )，结合(1)得m －x x >－m ，整理得(1－m )x －mx<0. 当m >1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x >0或x <m1－m；当m ＝1时，解集为{x |x >0}；当0<m <1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪0<x <m1－m .。

18-19 课时分层作业18 一元二次不等式及其解法

课时分层作业(十八)　一元二次不等式及其解法(建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题1．下面所给关于x的几个不等式：①3x＋4<0；②x2＋mx－1>0；③ax2＋4x－7>0；④x2<0.其中一定为一元二次不等式的有( )【导学号：12232305】A．1个 B．2个C．3个 D．4个B　[一元二次不等式的形式为ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．故②④为一元二次不等式．]2．二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为全体实数的条件是( )A. B．C. D．D　[二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为全体实数等价于二次函数y＝ax2＋bx ＋c的图象全部在x轴下方，需要开口向下，且与x轴无交点，故需要.] 3．已知不等式ax2＋3x－2>0的解集为{x|1<x<b}，则a，b的值等于( )【导学号：12232306】A．a＝1，b＝－2 B．a＝2，b＝－1C．a＝－1，b＝2 D．a＝－2，b＝1C　[由题知解得]4．若0<t<1，则不等式(x－t)<0的解集为( )A. B．C. D．D　[∵0<t<1，∴>1，∴t<.∴(x－t)<0⇔t<x<.]5．不等式mx2－ax－1>0(m>0)的解集可能是( )A.B．RC.D．∅A　[因为”＝a2＋4m>0，所以函数y＝mx2－ax－1的图象与x轴有两个交点，又m>0，所以原不等式的解集不可能是B、C、D，故选A.]二、填空题6．不等式－x2－3x＋4>0的解集为________．(用区间表示)(－4,1)　[由－x2－3x＋4>0得x2＋3x－4<0，解得－4<x<1.]7．函数y＝的定义域为________．【导学号：12232308】(－∞，－2]∪[4，＋∞)　[要使函数有意义，只需x2－2x－8≥0，解得x≥4或x≤－2.]8．方程x2＋(m－3)x＋m＝0的两根都是负数，则m的取值范围为________．[9，＋∞)　[∵∴m≥9.]三、解答题9．解关于x的不等式x2－(2m＋1)x＋m2＋m<0.[解]　∵原不等式等价于(x－m)(x－m－1)<0，∴方程x2－(2m＋1)x＋m2＋m＝0的两根分别为m与m＋1.又∵m<m＋1.∴原不等式的解集为{x|m<x<m＋1}．10．求函数f(x)＝＋log3(3＋2x－x2)的定义域.【导学号：12232309】[解]　由函数f(x)的解析式有意义得即⇒因此1≤x<3，所求函数的定义域是[1,3)．[冲A挑战练]1．若关于x的方程x2＋(a2－1)x＋a－2＝0的一根比1小且另一根比1大，则a 的取值范围是( )A．(－1,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－2,1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C　[令f(x)＝x2＋(a2－1)x＋a－2，依题意得f(1)<0，即1＋a2－1＋a－2<0，∴a2＋a－2<0，∴－2<a<1.]2．若不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为( )A．(－3,0) B．[－3,0)C．[－3,0] D．(－3,0]D　[当k＝0时，显然成立；当k≠0时，即一元二次不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立，则解得－3＜k＜0.综上，满足不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立的k的取值范围是(－3,0]．]3．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式x2－bx－a<0的解集是________．(2,3)　[由题意，知－，－是方程ax2－bx－1＝0的两根，所以由根与系数的关系，得－＋(－)＝，－×＝－，解得a＝－6，b＝5.不等式x2－bx－a<0，即x2－5x＋6<0，其解集为(2,3)．]4．不等式2<4的解集为________．【导学号：12232311】{x|－1<x<2}　[∵2<4，∴2<22，∴x2－x<2，即x2－x－2<0，∴－1<x<2.]5．设函数f(x)＝mx2－mx－6＋m.(1)若对于m∈[－2,2]，f(x)＜0恒成立，求实数x的取值范围；(2)若对于x∈[1,3]，f(x)＜0恒成立，求实数m的取值范围．[解]　(1)设g(m)＝mx2－mx－6＋m＝(x2－x＋1)m－6，则g(m)是关于m的一次函数，且一次项系数为x2－x＋1.因为x2－x＋1＝＋＞0，所以g(m)在[－2,2]上递增，所以g(m)＜0等价于g(2)＝2(x2－x＋1)－6＜0，所以所求x的取值范围是－1＜x＜2.(2)法一：因为f(x)＝m＋m－6＜0在x∈[1,3]上恒成立，所以或或解得m＜.法二：要使f(x)＝m(x2－x＋1)－6＜0在x∈[1,3]上恒成立，则有m＜在x ∈[1,3]上恒成立．而当x∈[1,3]时，＝≥＝，所以m＜.。

课时作业14：第1课时　一元二次不等式及其解法

§3.3 一元二次不等式及其解法第1课时一元二次不等式及其解法一、选择题1.一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为2，－1，则当a <0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为( )A.{x |x <－1或x >2}B.{x |x ≤－1或x ≥2}C.{x |－1<x <2}D.{x |－1≤x ≤2} 答案 D解析由题意知，－b a ＝1，c a＝－2， ∴b ＝－a ，c ＝－2a ，又∵a <0，∴x 2－x －2≤0，∴－1≤x ≤2.2.若0<t <1，则关于x 的不等式(t －x )⎝⎛⎭⎫x －1t >0的解集是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1t <x <t B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >1t 或x <t C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <1t 或x >t D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |t <x <1t 答案 D解析 ∵0<t <1，∴1t >1，∴1t>t . ∴(t －x )⎝⎛⎭⎫x －1t >0⇔(x －t )⎝⎛⎭⎫x －1t <0⇔t <x <1t. 3.若不等式ax 2＋8ax ＋21<0的解集是{x |－7<x <－1}，那么a 的值是( )A.1B.2C.3D.4答案 C解析由题意可知－7和－1为方程ax 2＋8ax ＋21＝0的两个根.∴－7×(－1)＝21a，故a ＝3. 4.已知f (x )＝(x －a )(x －b )＋2(a ＜b )，且α，β(α＜β)是方程f (x )＝0的两根，则α，β，a ，b 的大小关系是( )A.a ＜α＜β＜bB.a ＜α＜b ＜βC.α＜a ＜b ＜βD.α＜a ＜β＜b答案 A解析设g (x )＝(x －a )(x －b )，则g (x )向上平移2个单位长度得到f (x )的图象，如图易知a ＜α＜β＜b .5.若不等式mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x 的解集为R ，则实数m 的取值范围是( )A.(－2，2)B.(－2，2]C.(－∞，－2)∪[2，＋∞)D.(－∞，2) 答案 B解析 ∵mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x ，∴(2－m )x 2＋(4－2m )x ＋4>0.当m ＝2时，4>0，不等式的解集为R ，满足题意；当m <2时，Δ＝(4－2m )2－16(2－m )<0，解得－2<m <2.此时，不等式的解集为R ，满足题意.综上所述，－2<m ≤2.6.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6， x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( ) A.(－3，1)∪(3，＋∞)B.(－3，1)∪(2，＋∞)C.(－1，1)∪(3，＋∞)D.(－∞，－3)∪(1，3)答案 A解析 f (1)＝12－4×1＋6＝3，当x ≥0时，x 2－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1；当x <0时，x ＋6>3，解得－3<x <0.所以f (x )>f (1)的解集是(－3，1)∪(3，＋∞).7.设集合A ＝{x |x 2＋2x －3>0}，B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a >0}.若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，34B.⎣⎡⎭⎫34，43C.⎣⎡⎭⎫34，＋∞ D.()1，＋∞答案 B解析 A ＝{x |x 2＋2x －3>0}＝{x |x >1或x <－3}，因为函数y ＝f (x )＝x 2－2ax －1的对称轴为x ＝a >0.f (－3)＝6a ＋8>0.根据对称性可知，要使A ∩B 中恰含有一个整数，则这个整数解为2，所以有f (2)≤0且f (3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4－4a －1≤0，9－6a －1>0，所以⎩⎨⎧ a ≥34，a <43，即34≤a <43. 二、填空题8.不等式－1<x 2＋2x －1≤2的解集是 .答案 {x |－3≤x <－2或0<x ≤1}解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3≤0，x 2＋2x >0， ∴－3≤x <－2或0<x ≤1.9.若不等式x 2＋mx ＋1>0的解集为R ，则m 的取值范围是 .答案 (－2，2)解析由题意知，不等式x 2＋mx ＋1>0对应的函数的图象在x 轴的上方，所以Δ＝m 2－4×1×1<0，所以－2<m <2.10.已知x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，则k 的取值范围是 . 答案 (－∞，2]∪[4，＋∞)解析 x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，把x ＝1代入不等式得k 2－6k ＋8≥0，解得k ≥4或k ≤2.11.不等式x 2－3|x |＋2≤0的解集为 .答案 {x |－2≤x ≤－1或1≤x ≤2}解析原不等式等价于|x |2－3|x |＋2≤0，即1≤|x |≤2.当x ≥0时，1≤x ≤2；当x <0时，－2≤x ≤－1.所以原不等式的解集为{x |－2≤x ≤－1或1≤x ≤2}.12.若不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13≤x ≤2，则关于x 的不等式cx 2－bx ＋a <0的解集为 .答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <3 解析由ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13≤x ≤2，知a <0，且关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根分别为－13，2，∴⎩⎨⎧ －13＋2＝－b a ，－13×2＝c a ，∴b ＝－53a ，c ＝－23a ， ∴不等式cx 2－bx ＋a <0可变形为⎝⎛⎭⎫－23a x 2－⎝⎛⎭⎫－53a x ＋a <0，即2ax 2－5ax －3a >0. 又∵a <0，∴2x 2－5x －3<0，解得－12＜x ＜3， ∴所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <3. 三、解答题13.解关于x 的不等式：x 2＋(1－a )x －a <0.解方程x 2＋(1－a )x －a ＝0的解为x 1＝－1，x 2＝a .因为函数y ＝x 2＋(1－a )x －a 的图象开口向上，所以①当a <－1时，原不等式的解集为{x |a <x <－1}；②当a ＝－1时，原不等式的解集为∅；③当a >－1时，原不等式的解集为{x |－1<x <a }.四、探究与拓展14.对于实数x ，当且仅当n ≤x ＜n ＋1(n ∈N ＋)时，[x ]＝n ，则关于x 的不等式4[x ]2－36[x ]＋45<0的解集为 .答案 [2，8)解析由4[x ]2－36[x ]＋45<0，得32<[x ]<152，又当且仅当n ≤x ＜n ＋1(n ∈N ＋)时，[x ]＝n ，所以[x ]＝2，3，4，5，6，7，所以所求不等式的解集为[2，8).15.已知M 是关于x 的不等式2x 2＋(3a －7)x ＋3＋a －2a 2<0的解集，且M 中的一个元素是0，则实数a 的取值范围是 .答案 (－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞ 解析原不等式可化为(2x －a －1)(x ＋2a －3)<0，由x ＝0适合不等式，得(a ＋1)(2a －3)>0，所以a <－1或a >32.。

高中数学第三章不等式 3.2.1 一元二次不等式的解法课时作业(含解析)新人教A版必修5-新人教

课时作业20 一元二次不等式的解法时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．下列不等式中是一元二次不等式的是(C)A．a2x2＋2≥0 B．1x2＋x<3 C．－x2＋x－m≤0 D．x3－2x＋1>0 解析：选项A中，a2＝0时不符合；选项B是分式不等式；选项D中，最高次数为三次；只有选项C符合．故选C．2．不等式6－x－2x2<0的解集是(D)解析：不等式变形为2x2＋x－6>0，又方程2x2＋x－6＝0的两根为x1＝32，x2＝－2，所以不等式的解集为．故选D．3．设关于x的不等式(ax－1)(x＋1)<0(a∈R)的解集为{x|－1<x<1}，则a的值是(D) A．－2 B．－1C．0 D．1解析：根据题意可得，－1,1是方程(ax－1)(x＋1)＝0的两根，代入解得a＝1.4．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足：x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值X 围为( B )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)解析：x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋x －2<0⇒x 2＋x －2<0⇒－2<x <1. 5．不等式x 2－|x |－2<0的解集是( A ) A ．{x |－2<x <2} B ．{x |x <－2或x >2} C ．{x |－1<x <1} D ．{x |x <－1或x >1}解析：令t ＝|x |，则原不等式可化为t 2－t －2<0，即(t －2)(t ＋1)<0.∵t ＝|x |≥0.∴t －2<0.∴t <2. ∴|x |<2，得－2<x <2.6．已知方程2x 2－(m ＋1)x ＋m ＝0有两个不等正实根，则实数m 的取值X 围是( C ) A ．{m |0<m ≤3－22或m ≥3＋22} B ．{m |m <3－22或m >3＋22} C ．{m |0<m <3－22或m >3＋22} D ．{m |m ≤3－22或m ≥3＋22}解析：∵方程2x 2－(m ＋1)x ＋m ＝0有两个不等正实根，∴Δ＝(－m －1)2－8m >0，即m 2－6m ＋1>0，解得m <3－22或m >3＋2 2.再根据两根之和为m ＋12>0，且两根之积为m 2>0，解得m >0.综上可得，0<m <3－22或m >3＋2 2.二、填空题7．函数f (x )＝log 2(－x 2＋x ＋12)的定义域为(－3,4)．解析：由－x 2＋x ＋12>0，得x 2－x －12<0，解得－3<x <4，所以定义域为(－3,4)．8．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋x －2≥0，4x 2－15x ＋9>0的解集是{x |x >3或x ≤－1}．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋x －2≥0，4x 2－15x ＋9>0，得⎩⎨⎧x ≥23或x ≤－1，x >3或x <34，即x >3或x ≤－1，故不等式组的解集为{x |x >3或x ≤－1}．9．若关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －1>a 2，x －4<2a 解集不是空集，则实数a 的取值X 围是－1<a <3.解析：依题意有⎩⎪⎨⎪⎧x >1＋a 2，x <4＋2a ，要使不等式组的解集不是空集，应有a 2＋1<4＋2a ，即a 2－2a －3<0，解得－1<a <3.三、解答题10．求下列不等式的解集． (1)－2x 2＋x ＋12<0；(2)3x 2＋5≤3x ； (3)9x 2－6x ＋1>0.解：(1)原不等式可以化为2x 2－x －12>0.∵方程2x 2－x －12＝0的解是：x 1＝1－54，x 2＝1＋54，∴原不等式的解集是{x |x <1－54或x >1＋54}．(2)原不等式变形为3x 2－3x ＋5≤0. ∵Δ<0，∴方程3x 2－3x ＋5＝0无解． ∴不等式3x 2－3x ＋5≤0的解集是∅.∴原不等式的解集是∅.(3)∵Δ＝0，∴方程9x 2－6x ＋1＝0有两个相等实根x 1＝x 2＝13，∴不等式9x 2－6x ＋1>0的解集为{x |x ≠13}．11．已知f (x )＝x 2－⎝⎛⎭⎫a ＋1a x ＋1，(1)当a ＝12时，解不等式f (x )≤0；(2)若a >0，解关于x 的不等式f (x )≤0.解：(1)当a ＝12时，不等式为f (x )＝x 2－52x ＋1≤0，∴⎝⎛⎭⎫x －12(x －2)≤0， ∴不等式的解集为(2)∵f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －1a (x －a )≤0，当0<a <1时，有1a>a ，∴不等式的解集为当a >1时，有1a<a ，∴不等式的解集为当a ＝1时，不等式的解集为{x |x ＝1}．——能力提升类——12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，则不等式f (a 2－4)>f (3a )的解集为( B )A ．(2,6)B ．(－1,4)C ．(1,4)D ．(－3,5)解析：作出函数f (x )的图象，如右图所示，则函数f (x )在R 上是单调递减的．由f (a 2－4)>f (3a )，可得a 2－4<3a ，整理得a 2－3a －4<0，即(a ＋1)(a －4)<0，解得－1<a <4.所以不等式的解集为(－1,4)．13．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( A ) A ．52B ．72C ．154D ．152解析：由条件知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2. 由(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152，解得a ＝52.14．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是(－3,1)∪(3，＋∞)．解析：f (1)＝12－4×1＋6＝3，不等式即为f (x )>3.①当x ≥0时，不等式即为⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6>3，x ≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x >3或x <1，x ≥0，即x >3或0≤x <1；②当x <0时，不等式即为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋6>3，x <0，解得－3<x <0.综上，原不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)． 15．已知函数y ＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R . (1)求a 的取值X 围． (2)若函数的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0. 解：(1)因为函数y ＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，所以ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立．当a ＝0时，1≥0，不等式恒成立；当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4a 2－4a ≤0，解得0<a ≤1. 综上，0≤a ≤1. (2)因为函数的最小值为22，所以y ＝ax 2＋2ax ＋1的最小值为12，因此4a －4a 24a ＝12(a ≠0)，解得a ＝12.于是不等式可化为x 2－x －34<0，即4x 2－4x －3<0，解得－12<x <32.故不等式x 2－x －a 2－a <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <32.。

高考数学一轮总复习课时作业38 一元二次不等式及其解法(含解析)苏教版-苏教版高三全册数学试题

课时作业38 一元二次不等式及其解法一、选择题1．已知集合A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |(x ＋1)(x －5)<0}，则A ∩B 等于( B ) A ．[－1,4) B ．[0,5)C ．[1,4]D ．[－4，－1)∪[4,5)解析：由题意得B ＝{x |－1<x <5}，故A ∩B ＝{x |x ≥0}∩{x |－1<x <5}＝[0,5)．故选B. 2．不等式1－x2＋x ≥1的解集为( B )A.⎣⎡⎦⎤－2，－12 B.⎝⎛⎦⎤－2，－12 C ．(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ D ．(－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ 解析：1－x 2＋x≥1⇔1－x 2＋x－1≥0⇔1－x －2－x 2＋x≥0⇔－2x －12＋x≥0⇔2x ＋1x ＋2≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧(2x ＋1)(x ＋2)≤0，x ＋2≠0⇔－2<x ≤－12.故选B.3．使不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分不必要条件是( C ) A ．x ≥0 B ．x <0或x >2 C ．x ∈{－1,3,5}D ．x ≤－12或x ≥3解析：不等式2x 2－5x －3≥0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥3或x ≤－12，由题意，选项中x 的X 围应该是上述解集的真子集，只有C 满足．故选C.4．关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( C )A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B ．(1,3)C ．(－1,3)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：关于x 的不等式ax －b <0即ax 0可化为(x ＋1)(x －3)<0，解得－1<x <3，∴所求不等式的解集是(－1,3)．5．若不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a >0的解集为( A )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <－1或x >12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1<x <12 C ．{x |－2<x <1} D ．{x |x <－2或x >1}解析：∵不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，∴ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－1,2，且a <0，即－1＋2＝－b a ，(－1)×2＝2a ，解得a ＝－1，b ＝1，则所求不等式可化为2x 2＋x －1>0，解得x <－1或x >12，故选A.6．若一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值X 围为( A )A ．(－3,0)B ．[－3,0]C ．[－3,0)D ．(－3,0]解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝k 2－4×2k ×⎝⎛⎭⎫－38<0，解得－3<k <0.7．若存在实数x ∈[2,4]，使x 2－2x ＋5－m <0成立，则m 的取值X 围为( B ) A ．(13，＋∞) B ．(5，＋∞) C ．(4，＋∞)D ．(－∞，13)解析：m >x 2－2x ＋5，设f (x )＝x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4，x ∈[2,4]，当x ＝2时，f (x )min ＝5，∃x ∈[2,4]使x 2－2x ＋5－m <0成立，即m >f (x )min ，∴m >5.故选B.8．在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中至多包含1个整数，则a 的取值X 围是( C )A ．(－3,5)B ．(－2,4)C ．[－1,3]D ．[－2,4]解析：因为关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0可化为(x －1)(x －a )<0，当a >1时，不等式的解集为{x |1<x <a }，当a <1时，不等式的解集为{x |a <x <1}，当a ＝1时，不等式的解集为∅.要使得解集中至多包含1个整数，则a ＝1或1<a ≤3或1>a ≥－1，所以实数a 的取值X 围是a ∈[－1,3]，故选C.二、填空题9．规定记号“⊙”表示一种运算，定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)，若1⊙k 2<3，则k 的取值X 围是(－1,1)．解析：由题意知k 2＋1＋k 2<3，化为(|k |＋2)(|k |－1)<0，所以|k |<1，所以－1<k <1.10．若0<a <1，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎫x －1a >0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪a <x <1a . 解析：原不等式为(x －a )⎝⎛⎭⎫x －1a <0，由0<a <1得a <1a ，∴a <x <1a. 11．若不等式x 2＋ax ＋4≥0对一切x ∈(0,1]恒成立，则a 的取值X 围为[－5，＋∞)．解析：由题意，分离参数后得，a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋4x . 设f (x )＝－⎝⎛⎭⎫x ＋4x ，x ∈(0,1]，则只要a ≥[f (x )]max 即可．由于函数f (x )在区间(0,1]上单调递增，所以[f (x )]max ＝f (1)＝－5，故a ≥－5.12．已知对于任意的x ∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x 2－2(a －2)x ＋a >0，则实数a 的取值X 围是(1,5]．解析：设f (x )＝x 2－2(a －2)x ＋a ，当Δ＝4(a －2)2－4a <0时，即1<a <4时，f (x )>0对x ∈R 恒成立；当a ＝1时，f (－1)＝0，不合题意；当a ＝4时，f (2)＝0，符合题意；当Δ>0时，由⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，1<a －2<5，f (1)≥0，f (5)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <1或a >4，3<a <7，a ≤5，a ≤5，即4<a ≤5.综上所述，实数a 的取值X 围是(1,5]．三、解答题13．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，某某数a ，b 的值．解：(1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3>0，即a 2－6a －3<0，解得3－23<a <3＋2 3. ∴原不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}． (2)∵f (x )>b 的解集为(－1,3)，∴方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝a (6－a )3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3±3，b ＝－3.14．已知f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0,5)．(1)求f (x )的解析式；(2)若对于任意的x ∈[－1,1]，不等式f (x )＋t ≤2恒成立，求t 的取值X 围．解：(1)∵f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0,5)，∴0和5是方程2x 2＋bx ＋c ＝0的两个根，由根与系数的关系知，－b 2＝5，c2＝0，∴b ＝－10，c ＝0，f (x )＝2x 2－10x .(2)对任意的x ∈[－1,1]，f (x )＋t ≤2恒成立等价于对任意的x ∈[－1,1]，2x 2－10x ＋t －2≤0恒成立，∴2x 2－10x ＋t －2的最大值小于或等于0. 设g (x )＝2x 2－10x ＋t －2，则由二次函数的图象可知g (x )＝2x 2－10x ＋t －2在区间[－1，1]上为减函数， ∴g (x )max ＝g (－1)＝10＋t ，∴10＋t ≤0，即t ≤－10. ∴t 的取值X 围为(－∞，－10]．15．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为9.解析：由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋b －a 24. 因为f (x )的值域为[0，＋∞)，所以b －a 24＝0，即b ＝a 24.所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22.又f (x )<c ，所以⎝⎛⎭⎫x ＋a22<c ，即－a 2－c <x <－a2＋c .所以⎩⎨⎧－a2－c ＝m ①，－a2＋c ＝m ＋6 ②.②－①，得2c ＝6，所以c ＝9.16．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R . (1)求a 的取值X 围； (2)若函数f (x )的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0. 解：(1)∵函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，∴ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立，当a ＝0时，1≥0恒成立．当a ≠0时，需满足题意，则需⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝(2a )2－4a ≤0，解得0<a ≤1，综上可知，a 的取值X 围是[0,1]． (2)f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝a (x ＋1)2＋1－a ，由题意及(1)可知0<a ≤1， ∴当x ＝－1时，f (x )min ＝1－a ，由题意得，1－a ＝22，∴a ＝12， ∴不等式x 2－x －a 2－a <0可化为x 2－x －34<0.解得－12<x <32，∴不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－12，32.。

第2课时一元二次不等式课后作业

第2课时一元二次不等式课后作业1．若不等式组2142x a x a⎧->⎨-<⎩的解集非空，则实数a 的取值范围是（）．A ．13a -<C ．31a -<<D ．3a <-或1a >2．已知一元二次不等式()0f x <的解集为1|12x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或，则()100xf >的解集为( )A ．{}|12x x x lg <->-或 B ．{}|12x x lg -<<- C ．{}|2x x lg >- D ．{}|2x x lg <- 3．不等式(x ＋3)2＜1的解集是( ) A ．{x |x ＞－2} B ．{x |x ＜－4} C ．{x |－4＜x ＜－2}D ．{x |－4≤x ≤－2}4．对任意实数x ，不等式()()222240a x a x -+--<恒成立，则a 的取值范围是（）． A ．22a -<≤B ．22a -≤≤C ．2a <-或2a ≥D ．2a ≤-或2a ≥5．已知不等式220ax bx ++>的解集是()1,2-，则+a b 的值为（）． A ．1B ．1-C ．0D ．2-6．定义在R 上的运算：()1x y x y *=-.若不等式()()1x a x a -*+<对任意实数x 都成立，则（） A ．3122a -<对一切实数x 都成立，则实数a 的取值范围为（） A ．12a <-或12a > B ．12a >或0a < C ．12a > D ．1122a -<< 8．不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦成立，则a 的最小值为（）A ．52B ．52-C ．2D ．2-9．（多选）设集合{}220M x x x =+-≤，{}2log 1N x x =<，若实数()a M N ∈⋂，则a 的值可以是( ) A ．1 B ．2- C ．0.5 D ．1.510．（多选）设[]x 表示不小于实数x 的最小整数，则满足关于x 的不等式[][]2120x x +-≤的解可以为（）A B ．3C ．-4.5D ．-511．当x∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4＜0恒成立，则m 的取值范围是______．12．对一切R θ∈，213sin cos 2m m θθ->恒成立，则实数m 的取值范围是_______. 13．已知关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集是{2x x <-或12x >-}，求关于x 的不等式20ax bx c -+>的解集.14．已知关于x 的不等式2260(0)kx x k k -+<≠．（1）若不等式的解集是{|3x x <-或2}x >-，求k 的值．（2）若不等式的解集是1xx k ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭∣，求k 的值．（3）若不等式的解集是R ，求k 的取值范围．（4）若不等式的解集是∅，求k 的取值范围．15．已知不等式组22430680x x x x ⎧-+<⎨-+<⎩的解集M 是不等式2290x x a -+<解集的子集，求实数a 的取值范围．参考答案1．A 【解析】【分析】不等式组等价于2124x a x a ⎧>+⎨<+⎩，由不等式组解集非空得2124a a +<+，可得答案.【详解】原不等式组等价于2124x a x a ⎧>+⎨<+⎩,由题意不等式组解集非空可得22124230a a a a +<+⇒--<13a ⇒-<<，故选：A ．【点睛】本题考查不等式解集非空问题，属于基础题. 2．D 【解析】【分析】由已知条件代入解不等式组【详解】依题意知()0f x <的解集为1|12x x x⎧⎫-⎨⎬⎩⎭或， ()100x f >，则11102x<<－，解得122x lg lg <=- 故选D 【点睛】本题主要考查了函数的定义域以及复合函数，将复合部分代入求出解集，较为基础． 3．C 【解析】原不等式可化为x 2＋6x ＋8＜0，解得－4＜x ＜－2.选C.4．A 【解析】【分析】2a =时不等式恒成立，2a ≠时只能有20a -<且∆<0，由此可得．【详解】由已知得220,[2(2)]4(2)(4)0,a a a -<⎧⎨∆=---⨯-<⎩即2,22,a a <⎧⎨-<<⎩解得22a -<<．又当2a =时，原不等式可化为40-<，显然恒成立．故a 的取值范围是22a -<．故选：A ．【点睛】本题考查一元二次不等式恒成立问题，解题时要注意讨论二次项系数为0的情形，二次项系数为0时，它已经不是二次不等式了，要注意． 5．C 【解析】【分析】由一元二次不等式与一元二次方程的关系，利用韦达定理求,a b 后可得．【详解】由已知得212,12b a a-=-+=-⨯，解得1,1a b =-=，故0a b +=，故选：C ．【点睛】本题考查由一元二次不等式的解集求参数，掌握三个“二次”之间的关系是解题关键． 6．B 【解析】【分析】由题意得出2210x x a a -+-+>对任意实数x 都成立，由判别式小于0求解即可. 【详解】不等式()()1x a x a -*+<可化为()()11x a x a -⋅--<，即2210x x a a -+-+>对任意实数x 都成立，∴()21410a a ∆=-⨯-+<，解得1322a -<<.故选B. 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的恒成立问题，属于中档题. 7．C 【解析】【分析】根据题意得出0a >⎧⎨∆<⎩，由此求出a 的取值范围.【详解】解：显然a=0，不等式不恒成立，所以不等式20ax x a -+>对一切实数x 都成立，则00a >⎧⎨∆<⎩，即20140a a >⎧⎨-<⎩，解得12a >，所以实数a 的取值范围是12a >. 故选C. 【点睛】本题主要考查了利用判别式解决一元二次不等式恒成立问题，是基础题. 8．B 【解析】【分析】根据二次函数的性质求解，即记2()1=++f x xax ，由1(0)0,02f f ⎛⎫≥≥⎪⎝⎭求出不等式恒成立的必要条件，再在必要条件中验证其中的最小值也是充分的即得．【详解】记2()1=++f x x ax ，不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦成立，则必须有(0)1011110242f f a =≥⎧⎪⎨⎛⎫=++≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得52a ≥-， 52a =-时，22559()1()2416f x x x x =-+=--，在10,2⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，min 1()()02f x f ==，满足题意，∴a 的最小值是52-．故选：B ．【点睛】本题考查一元二次不等式恒成立问题，解题时可结合二次函数的性质求解． 9．AC 【解析】【分析】首先求出集合M 、N ，再根据交集的定义求出M N ⋂，从而判断可得；【详解】解：因为{}220M x x x =+-≤，{}2log 1N x x =< 所以{}21M x x =-≤≤，{}02N x x =<< 所以{}|01MN x x =<≤所以()1M N ∈，()0.5MN ∈故选：AC 【点睛】本题考查一元二次不等式、对数不等式的解法，交集的运算，以及元素与集合的关系，属于基础题. 10．BC 【解析】【分析】先利用一元二次不等式的解法，得到[]43x -≤≤，再根据[]x 表示不小于实数x 的最小整数求解. 【详解】因为不等式[][]2120x x +-≤，所以[]()[]()340x x -+≤，所以[]43x -≤≤，又因为[]x 表示不小于实数x 的最小整数，所以不等式[][]2120x x +-≤的解可以为3，-4.5.故选：BC 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法以及实数的新定义，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 11．(],5-∞- 【解析】令()24f x x mx =++，则()f x 的图像是开口向上的抛物线，要当(1,2)x ∈时，()0f x <恒成立，只需(1)140(2)4240f m f m =++≤⎧⎨=++≤⎩，解得5m ≤-.点睛：本题主要考查了二次函数的图象与性质，不等式的恒成立问题的求解，其中把不等式的恒成立问题转化为一元二次函数的图象与性质是解答的关键，对于不等式的恒成立问题常见解法分离参数法和利用函数的性质、函数的最值，平时要注意总结和积累.12．121,,3⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】求出sin cos θθ的最大值，然后解相应的不等式即可得．【详解】11sin cos sin 222θθθ=≤，由211322m m ->得13m <-或12m >．故答案为：121,,3⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题考查不等式恒成立问题，根据参数出现的位置，首先求出三角式sin cos θθ的最大值，然后只要解不等式即可得．这实质上就是不等式恒成立问题中的分离参数法，只是本题中不等式已经参变分离了． 13．122xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】由已知可得0a <，利用方程20ax bx c ++=的两根为12,2--，结合韦达定理，得到,,a b c 的关系，代入所求的不等式转化为一元二次不等式，求解即可. 【详解】关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集是{2x x <-或12x >-}， 10,2,2a ∴<--为方程20ax bx c ++=的两根，5,12b c a a ∴-=-=，即5,12b ca a==所以所求解的不等式20ax bx c -+>可等价为22510,25202x x x x ，解得122x <<. 所以20ax bx c -+>的解集为122x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题考查一元二次不等式与一元二次方程的关系，以及一元二次不等式的求解，考查数学计算能力，属于中档题.14．（1）25k =-；（2）k =（3）k <；（4）k ≥．【解析】【分析】（1）根据不等式对应方程的根与系数的关系得到答案.（2）根据题意得到24240k k <⎧⎨∆=-=⎩，解得答案. （3）根据题意得到24240k k <⎧⎨∆=-<⎩，解得答案. （4）根据题意得到24240k k >⎧⎨∆=-≤⎩，解得答案. 【详解】（1）由不等式的解集为{3xx <-∣或2}x >-可知k 0<，且3x =-与2x =-是方程2260kx x k -+=的两根，2(3)(2)k∴-+-=，解得25k =-．（2）由不等式的解集为1x x k ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭∣可知204240k k <⎧⎨∆=-=⎩，解得k =（3）依题意知20,4240,k k <⎧⎨∆=-<⎩解得k <．（4）依题意知20,4240,k k >⎧⎨∆=-≤⎩解得k ≥．【点睛】本题考查了根据不等式的解集求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力. 15．(],9-∞．【解析】【分析】先解一元二次不等式组得{}23M x x =<<，再根据题意转化为2290x x a -+<在{}23x x <<上恒成立求解即可.【详解】解：{}22(1)(3)01343023(2)(4)024680x x x x x x x x x x x x x ⎧⎧--<<<-+<⎧⎪⇒⇒⇒∈<<⎨⎨⎨--<<<-+<⎩⎪⎩⎩．所以{}23M x x =<<，由M 是2290x x a -+<解集的子集知，2290x x a -+<在{}23x x <<上恒成立．令229y x x a =-+，只需该函数在{}23x x <<上的最大值不超过0即可．因该函数的对称轴为94x =，所以max 9y a =-+，所以90a -+≤，解得9a ≤．故实数a 的取值范围是(],9-∞. 【点睛】本题考查一元二次不等式组的解法，不等式恒成立问题，是中档题.。

人教B版数学必修第一册课件一元二次不等式的解法

11．已知 x＝1 是不等式 k2x2－6kx＋8≥0 的解，则 k 的取值
范围是 k≤2 或 k≥4
.
解析：x＝1 是不等式 k2x2－6kx＋8≥0 的解，把 x＝1 代入不等式得 k2－6k＋8≥0，解得 k≥4 或 k≤2.
三、解答题共计 40 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
1≥ 36或 x－1≤－ 36.所以 x≥1＋ 36或 x≤1－ 36.所以原不等式
组的解集为(－∞，1－ 36]∪[1＋ 36，＋∞)．
(2)因为 x2－x－6＝x2－x＋(12)2－(12)2－6＝(x－12)2－245，所以原不等式可化为(x－12)2－245≤0，即(x－12)2≤245，两边开平方，得 |x－12|≤52，从而可得－52≤x－12≤52.所以－2≤x≤3.所以原不等式组的解集为[－2,3]．
6．不等式 x2－3|x|＋2≤0 的解集是( C ) A．{x|1≤x≤2} B．{x|－2≤x≤－1} C．{x|－2≤x≤－1，或 1≤x≤2} D．以上都不对
解析：(|x|－1)(|x|－2)≤0，即 1≤|x|≤2， ∴不等式的解集是{x|－2≤x≤－1 或 1≤x≤2}．
7．3x2＋5x＋3<0 的解集是( D )
C．{x|x>32或 x<－12且 x≠－3}
D．{x|x∈R 且 x≠－3}
解析：|2x|－x＋13|－| 2>0⇔|x2＋x－3≠1|>02
⇔2x≠x－－13>2或2x－1<－2
⇔x>32或x<－12， x≠－3.
4．不等式－6x2－x＋2≤0 的解集是( B ) A.x|－23≤x≤12 B.x|x≤－23或x≥12 C.x|x≤12 D.x|x≥－23 解析：∵－6x2－x＋2≤0，∴6x2＋x－2≥0， ∴(2x－1)(3x＋2)≥0.∴x≥12或 x≤－23.

学年高中数学第三章不等式.一元二次不等式及其解法第课时一元二次不等式的解法优化练习新人教A版必修

第1课时一元二次不等式的解法[课时作业][A 组根底稳固]1．设集合M ＝{x |x 2－x <0}，N ＝{x |x 2<4}，那么( )A ．M ∩N ＝∅B ．M ∩N ＝MC ．M ∪N ＝MD ．M ∪N ＝R 解析：M ＝{x |0<x <1}，N ＝{x |－2<x <2}，∴M ∩N ＝M .应选B.答案：B2．不等式x 2－2x －5>2x 的解集是( )A ．{x |x ≥5或x ≤－1}B ．{x |x >5或x <－1}C ．{x |－1<x <5}D ．{x |－1≤x ≤5} 解析：由x 2－2x －5>2x ，得x 2－4x －5>0.因为x 2－4x －5＝0的两根为－1,5，故x 2－4x －5>0的解集为{x |x <－1或x >5}．答案：B3．不等式x (2－x )＞3的解集是( )A ．{x |－1＜x ＜3}B ．{x |－3＜x ＜1}C ．{x |x ＜－3或x ＞1}D ．∅ 解析：将不等式化为标准形式x 2－2x ＋3＜0，由于对应方程的判别式Δ＜0，所以不等式x (2－x )＞3的解集为∅.答案：D4．集合M ＝{x |x 2－3x －28≤0}，N ＝{x |x 2－x －6>0}，那么M ∩N 为( )A ．{x |－4≤x <－2或3<x ≤7}B ．{x |－4<x ≤－2或3≤x <7}C ．{x |x ≤－2或x >3}D ．{x |x <－2或x ≥3}解析：∵M ＝{x |x 2－3x －28≤0}＝{x |－4≤x ≤7}， N ＝{x |x 2－x －6>0}＝{x |x <－2或x >3}，∴M ∩N ＝{x |－4≤x <－2或3<x ≤7}．答案：A5．假设0＜t ＜1，那么不等式(x －t )(x －1t)＜0的解集为( )A ．{x |1t ＜x ＜t }B ．{x |x ＞1t或x ＜t } C ．{x |x ＜1t 或x ＞t } D ．{x |t ＜x ＜1t} 解析：∵0＜t ＜1，∴1t ＞1，∴t ＜1t， ∴(x －t )(x －1t )＜0⇔t ＜x ＜1t. 答案：D6．假设不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是(－12，13)，那么a ＋b 的值是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ －12＋13＝－b a ，－12×13＝2a ，∴a ＝－12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－14.答案：－147．方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有两个实根，那么实数m 的取值范围是________．解析：由Δ＝(m －3)2－4m ≥0可得m ≥9或m ≤1.答案：m ≤1或m ≥98．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ＋6，x ≥0x ＋6，x <0，，那么不等式f (x )>f (1)的解集是________．解析：当x ≥0时，f (x )＞f (1)＝3，即x 2－4x ＋6＞3，解得0≤x ＜1或x ＞3；当x <0时，f (x )>f (1)＝3，即x ＋6>3，解得－3<x <0.故f (x )>f (1)的解集是(－3,1)∪(3，＋∞) 答案：(－3,1)∪(3，＋∞)9．解不等式0≤x 2－x －2≤4.解析：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2≥0，x 2－x －2≤4，解x 2－x －2≥0，得x ≤－1或x ≥2；解x 2－x －2≤4，得－2≤x ≤3.所以原不等式的解集为{x |－2≤x ≤－1或2≤x ≤3}．10．关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－2或x >－12，求ax 2－bx ＋c >0的解集．解析：由题意，－2，－12是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，。

高中数学必修一2.3 二次函数与一元二次方程、不等式(课时作业)

2.3二次函数与一元二次方程、不等式课程标准学科素养1．会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系．2．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的实际意义. 能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．3．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.通过对二次函数与一元二次方程、不等式的学习，提升“逻辑推理”、“数学运算”“直观想象”的核心素养.[对应学生用书P24]知识点一元二次不等式(1)一元二次不等式：一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx ＋c＜0.[微思考]不等式x2－y2＞0是一元二次不等式吗？提示：此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式．(2)二次函数的零点：一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．(3)二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集{x|x＜x1，或x＞x2}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x≠－b2a Rax 2＋bx ＋c ＜0 (a ＞0)的解集 {x |x 1＜x ＜x 2} ∅ ∅[微体验]1．不等式(1－x )(3＋x )＞0的解集是( ) A ．{x |－3＜x ＜1} B ．{x |x ＜－3或x ＞1} C ．{x |－1＜x ＜3}D ．{x |x ＜－1或x ＞3}A [不等式变为(x －1)(x ＋3)＜0，解得－3＜x ＜1.] 2．不等式x 2－2x －5＞2x 的解集是________．解析由x 2－2x －5＞2x ，得x 2－4x －5＞0，因为x 2－4x －5＝0的两根为－1,5，故x 2－4x －5＞0的解集为{x |x ＜－1或x ＞5}．答案 {x |x ＞5或x ＜－1}3．不等式－3x 2＋5x －4＞0的解集为________.解析原不等式变形为3x 2－5x ＋4＜0. 因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23＜0，所以3x 2－5x ＋4＝0无解．由函数y ＝3x 2－5x ＋4的图象可知，3x 2－5x ＋4＜0的解集为∅.答案 ∅4．二次不等式ax 2＋2x －1＜0的解集为R ，则a 的取值范围是________．解析由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜0，Δ＜0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，4＋4a ＜0⇒a ＜－1.答案 a ＜－1[对应学生用书P 25]探究一一元二次不等式的解法求不等式4x 2－4x ＋1＞0的解集．解因为Δ＝(－4)2－4×4×1＝0，所以方程4x 2－4x ＋1＝0的解是x 1＝x 2＝12，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠12. [变式探究] 将本例不等式变为：－x 2＋2x －3＞0，求解此不等式的解集．解不等式可化为x 2－2x ＋3＜0. 因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8＜0，方程x 2－2x ＋3＝0无实数解，而y ＝x 2－2x ＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集是∅. [方法总结]解一元二次不等式的一般步骤：第一步，将一元二次不等式化为一端为0的形式(习惯上二次项系数大于0)．第二步，求出相应一元二次方程的根，或判断出方程没有实根．第三步，画出相应二次函数示意草图，方程有根的将根标在图中．第四步，观察图象中位于x 轴上方或下方的部分，对比不等式中不等号的方向，写出解集．[跟踪训练1] 求下列一元二次不等式的解集． (1)x 2－5x ＞6；(2)－x 2＋7x ＞6. 解 (1)由x 2－5x ＞6，得x 2－5x －6＞0. ∵x 2－5x －6＝0的两根是x ＝－1或6， ∴原不等式的解集为{x |x ＜－1或x ＞6}． (2)由－x 2＋7x ＞6，得x 2－7x ＋6＜0. ∵x 2－7x ＋6＝0的两个根是x ＝1或6， ∴不等式x 2－7x ＋6＜0的解集为{x |1＜x ＜6}．探究二二次函数与一元二次方程、不等式间的关系已知关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为{x |1＜x ＜2}，试求关于x 的不等式bx 2＋ax ＋1＞0的解集．解由根与系数的关系，可得⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＝1＋2，b ＝1×2，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝2. ∴不等式bx 2＋ax ＋1＞0，即2x 2－3x ＋1＞0. 由2x 2－3x ＋1＞0，解得x ＜12或x ＞1.∴bx 2＋ax ＋1＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜12或x ＞1. [方法总结]应用三个“二次”之间的关系解题的思想一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，即给出了一元二次不等式的解集，则可知不等式二次项系数的符号和相应一元二次方程的根．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．[跟踪训练2] 已知不等式ax 2－bx ＋2＜0的解集为{x |1＜x ＜2}，求a ，b 的值．解方法一：由题设条件知a ＞0，且1,2是方程ax 2－bx ＋2＝0的两实根．由根与系数的关系，知⎩⎨⎧1＋2＝b a，1×2＝2a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.方法二：把x ＝1,2分别代入方程ax 2－bx ＋2＝0中，得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋2＝0，4a －2b ＋2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.探究三一元二次不等式的实际应用问题某校园内有一块长为800 m ，宽为600 m 的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．解设花卉带的宽度为x m(0＜x ＜300)，则中间草坪的长为(800－2x )m ，宽为(600－2x )m. 根据题意可得(800－2x )(600－2x )≥12×800×600，整理得x 2－700x ＋60 000≥0，即(x －600)(x －100)≥0，解得0＜x ≤100或x ≥600，x ≥600不符合题意，舍去．故所求花卉带宽度的范围为(0,100]． [方法总结]一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时要弄清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．[跟踪训练3] 在一个限速40 km /h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m. 又知甲、乙两种车型的刹车距离S m 与车速x km/h 之间分别有如下关系：S 甲＝0.1x ＋0.01x 2，S 乙＝0.05x ＋0.005x 2. 问谁超速行驶应负主要责任．解由题意列出不等式S 甲＝0.1x 甲＋0.01x 2甲＞12，解得x 甲＜－40或x 甲＞30， S 乙＝0.05x 乙＋0.005x 2乙＞10. 解得x 乙＜－50或x 乙＞40.由于x ＞0，从而得x 甲＞30 km /h ，x 乙＞40 km/h. 经比较知乙车超过限速，应负主要责任．[对应学生用书P 26]1．解一元二次不等式的常见方法(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系求解． (2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解． 2．一元二次不等式解集的记忆方法(1)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)与ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)的解集的记忆口诀：大于取两边，小于取中间．(2)当一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0与ax 2＋bx ＋c ＜0的二次项系数a ＜0时，可以转化为a ＞0.3．解一元二次不等式应用题解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x ，用x 来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解．课时作业(十) 二次函数与一元二次方程、不等式[见课时作业(十)P 145]1．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝－13 B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－13≤x ≤13 C ．∅D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13A [变形为(3x ＋1)2≤0.∴x ＝－13.]2．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－x －2＞0}，则∁R A ＝( ) A ．{x |－1＜x ＜2} B ．{x |－1≤x ≤2} C ．{x |x ＜－1}∪{x |x ＞2} D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2}B [通解：A ＝{x |(x －2)(x ＋1)＞0}＝{x |x ＜－1或x ＞2}，所以∁R A ＝{x |－1≤x ≤2}．优解：因为A ＝{x |x 2－x －2＞0}，所以∁R A ＝{x |x 2－x －2≤0}＝{x |－1≤x ≤2}．] 3．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为2，－1，则当a ＜0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为( )A ．{x |x ＜－1或x ＞2}B ．{x |x ≤－1或x ≥2}C ．{x |－1＜x ＜2}D ．{x |－1≤x ≤2}D [由题意知，－b a ＝1，ca ＝－2，∴b ＝－a ，c ＝－2a ，又∵a ＜0，∴x 2－x －2≤0，∴－1≤x ≤2.]4．在R 上定义运算“⊙”：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)＜0的实数x 的取值范围为( )A ．{x |0＜x ＜2}B ．{x |－2＜x ＜1}C ．{x | x ＜－2或x ＞1}D ．{x |－1＜x ＜2}B [根据给出的定义得，x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2＝(x ＋2)(x －1)，又x ⊙(x －2)＜0，则(x ＋2)(x －1)＜0，故不等式的解集是{x |－2＜x ＜1}．]5．若产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0＜x ＜240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台C [由条件知25x －y ＝25x －3 000－20x ＋0.1x 2＝0.1x 2＋5x －3 000≥0，即x 2＋50x －30 000≥0. ∴(x ＋200)(x －150)≥0. 解得x ≥150或x ≤－200(舍去)．∴最低产量为150台．]6．不等式ax 2＋bx ＋12＞0的解集为{x |－3＜x ＜2}，则a －b ＝________.解析由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，－3＋2＝－b a ，－3×2＝12a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－2.∴a －b ＝0. 答案 07．已知集合A ＝{x |3x －2－x 2＜0}，B ＝{x |x －a ＜0}，且B ⊆A ，则a 的取值范围为________．解析 A ＝{x |3x －2－x 2＜0}＝{x |x 2－3x ＋2＞0}＝{x |x ＜1或x ＞2}，B ＝{x |x ＜a }．若B ⊆A ，如图，则a ≤1.答案 (－∞， 1]8．若方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有两个正实根，则m 的取值范围是________．解析由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(m －3)2－4m ≥0，x 1＋x 2＝3－m ＞0，x 1x 2＝m ＞0，解得0＜m ≤1.答案 0＜m ≤19．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天能获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？解设每盏台灯售价x 元，则x ≥15，并且日销售收入为x [30－2(x －15)]，由题意知，当x ≥15时，有x [30－2(x －15)]＞400，解得：15≤x ＜20.所以为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应当制定这批台灯的销售价格为x ∈[15,20)．10．关于x 的不等式mx 2－mx －6＋m ＜0对x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围．解 ①若m ＝0，则问题等价于－6＜0对x ∈R 恒成立，显然成立．②若m ≠0，则有⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜0，Δ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，(－m )2－4m (m －6)＜0.解得m ＜0.综上所述，所求m 的取值范围是m ≤0.1．不等式mx 2－ax －1＞0(m ＞0)的解集可能是( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜－1或x ＞14 B ．R C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－13＜x ＜32 D ．∅A [因为Δ＝a 2＋4m ＞0，所以函数y ＝mx 2－ax －1的图象与x 轴有两个交点，又m ＞0，所以原不等式的解集不可能是B 、C 、D ．]2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＜0，x 2－3x ＜0的解集为( )A ．{x |－1＜x ＜1}B ．{x |0＜x ＜3}C ．{x |0＜x ＜1}D ．{x |－1＜x ＜3}C [由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－1＜0x 2－3x ＜0，得⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ＜10＜x ＜3，∴0＜x ＜1.] 3．设a ＜－1，则关于x 的不等式a (x －a )⎝⎛⎭⎫x －1a ＜0的解集为________．解析因为a ＜－1，所以a (x －a )·⎝⎛⎭⎫x －1a ＜0⇔(x －a )·⎝⎛⎭⎫x －1a ＞0.又a ＜－1，所以1a＞a ，所以x ＞1a或x ＜a .答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜a 或x ＞1a 4．某商品在最近30天内的价格f (t )与时间t (单位：天)的函数关系是f (t )＝t ＋10(0＜t ≤30，t ∈N )；销售量g (t )与时间t 的函数关系是g (t )＝－t ＋35(0＜t ≤30，t ∈N )，则使这种商品日销售金额不小于500元的t 的范围为________．解析日销售金额＝(t ＋10)(－t ＋35)，依题意有(t ＋10)(－t ＋35)≥500，解得解集为{t |10≤t ≤15，t ∈N }．答案 {t |10≤t ≤15，t ∈N }5．解关于x 的不等式(a ∈R )：x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3＞0. 解将不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3＞0变形为 (x －a )(x －a 2)＞0.当a ＜0时，有a ＜a 2，所以不等式的解集为{x |x ＜a 或x ＞a 2}；当a ＝0时，a ＝a 2＝0，所以不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠0}；当0＜a＜1时，有a＞a2，所以不等式的解集为{x|x＜a2或x＞a}；当a＝1时，a＝a2＝1，所以不等式的解集为{x|x∈R，且x≠1}；当a＞1时，有a＜a2，所以不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}．6．(拓广探索)某热带风暴中心B位于海港城市A东偏南30°的方向，与A市相距400 km.该热带风暴中心B以40 km/h的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350 km.问：从此时起，经多少时间后A市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？解如图，以A市为原点，正东方向为x轴建立直角坐标系．∵AB＝400，∠BAx＝30°，∴台风中心B的坐标为(2003，－200)，x h后台风中心B到达点P(2003，40x－200)处．由已知，A市受台风影响时，有|AP|≤350，即(2003)2＋(40x－200)2≤3502，整理得16x2－160x＋375≤0，解得，3.75≤x≤6.25，A市受台风影响的时间为6.25－3.75＝2.5.故在3.75 h后，A市会受到台风的影响，时间长达2.5 h.。

2022_2023学年新教材高中数学课时作业十二一元二次不等式的解法新人教A版必修第一册

课时作业(十二) 一元二次不等式的解法练基础1.设集合A ＝{}x |x 2－3x －4<0，B ＝{x |x <3}，则A ∩B ＝( )A ．{x |x <－1}B ．{x |x <4}C ．{x |－4<x <1}D ．{x |－1<x <3}2．[2022·山东滕州高一期中]关于x 的不等式－x 2＋5x ＋6<0的解集为( ) A.{x |x <－2或x >3} B ．{x |－2<x <3} C ．{x |－1<x <6} D ．{x |x <－1或x >6}3．设m ＋n >0，则关于x 的不等式(m －x )·(n ＋x )>0的解集是( ) A.{x |x <－n 或x >m } B ．{x |－n <x <m } C.{x |x <－m 或x >n } D ．{x |－m <x <n }4．已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是{x |－1<x <2}，则b －a 的值等于( ) A ．－4 B ．－2 C ．2 D ．45．(多选)已知不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集是{x |－2≤x ≤1}，则( ) A ．a <0 B ．a －b ＋c >0 C ．c >0 D ．a ＋b ＝06．若函数y ＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则不等式bx 2－ax －1>0的解集为________ .7．已知a <0，则关于x 的不等式x 2－4ax －5a 2<0的解集是________． 8．已知关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0，a >0. (1)若a ＝52，解不等式；(2)若不等式的解集为{x |x 1<x <x 2}(x 1<x 2)，且x 2－x 1≤12.求a 的取值范围．提能力9.已知b ，c ∈R ，关于x 的不等式x 2＋bx ＋c <0的解集为{x |－2<x <1}，则关于x 的不等式cx 2＋bx ＋1>0的解集为( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12<x <1B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1<x <12C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－12或x >1 D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >1210．(多选)已知集合{x |x 2＋ax ＋b ＝0，a >0}有且仅有两个子集，则下面正确的是( ) A ．a 2－b 2≤4 B ．a 2＋1b≥4C ．若不等式x 2＋ax －b <0的解集为{x |x 1<x <x 2}，则x 1x 2>0D ．若不等式x 2＋ax ＋b <c 的解集为{x |x 1<x <x 2}，且|x 1－x 2|＝4，则c ＝411．已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集是B ，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集是A ∩B ，那么a ＝________，b ＝________.12．已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≥0.(1)当a ＝－1，b ＝2，c ＝1时，求该不等式的解集；(2)从下面两个条件中任选一个，并求出此时该不等式的解集． ①a ＝1，b ＝－2－m ，c ＝2m ； ②a ＝m ，b ＝m －2，c ＝－2.培优生13.设0(ax )2的解集中的整数解恰有3个，则( ).A.－1<a <0 B ．0<a <1 C ．1<a <3 D ．3<a <5课时作业(十二) 一元二次不等式的解法1．解析：由题意可得A ＝{x |－1<x <4}，则A ∩B ＝{x |－1<x <3}，故选D. 答案：D2．解析：由－x 2＋5x ＋6＝－(x －6)(x ＋1)<0，解得x <－1或x >6.故选D. 答案：D3．解析：不等式变形为(x －m )(x ＋n )<0，方程(x －m )(x ＋n )＝0的两根为m ，－n ，显然由m ＋n >0得m >－n ，所以不等式的解为－n <x <m .故选B. 答案：B4．解析：因为不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是{x |－1<x <2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <0－b a ＝12a ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1a ＝－1，所以b －a ＝2，故选C. 答案：C5．解析：由已知得a <0，ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为－2和1， ∴－ba ＝(－2)＋1＝－1，c a＝(－2)×1＝－2， ∴b ＝a ，c ＝－2a, ∵a <0， ∴b <0，c >0，∴a －b ＋c ＝c >0，a ＋b ＝2a <0，所以ABC 正确，D 错误；故选ABC. 答案：ABC6．解析：根据题意，⎩⎪⎨⎪⎧2＋3＝a 2×3＝－b ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5b ＝－6，则不等式可化为－6x 2－5x －1>0⇒6x 2＋5x ＋1<0⇒(2x ＋1)(3x ＋1)<0⇒⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12<x <－13. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12<x <－137．解析：因为x 2－4ax －5a 2<0，所以(x －5a )(x ＋a )<0，又a <0，所以不等式x 2－4ax －5a 2<0的解集为{x |5a <x <－a }．答案：{x |5a <x <－a }8．解析：(1)由题意，x 2－5x －50<0⇒(x ＋5)(x －10)<0，则不等式的解集为{x |－5<x <10}． (2)由题意，(x ＋2a )(x －4a )<0，而a >0，则－2a <x <4a ，所以x 1＝－2a ，x 2＝4a ，于是4a ＋2a ≤12⇒a ≤2，则0<a ≤2.9．解析：因为不等式x 2＋bx ＋c <0的解集为{x |－2<x <1}，所以⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝－2＋1c ＝－2×1即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1c ＝－2，不等式cx 2＋bx ＋1>0等价于－2x 2＋x ＋1>0，解得－12<x <1.故选A.答案：A10．解析：由于集合{x |x 2＋ax ＋b ＝0，a >0}有且仅有两个子集，所以Δ＝a 2－4b ＝0，a 2＝4b ，由于a >0，所以b >0.A ，a 2－b 2＝4b －b 2＝－(b －2)2＋4≤4，当b ＝2，a ＝22时等号成立，故A 正确．B ，a 2＋1b ＝4b ＋1b≥24b ·1b ＝4，当且仅当4b ＝1b ，b ＝12，a ＝2时等号成立，故B 正确．C ，不等式x 2＋ax －b <0的解集为{x |x 1<x <x 2}，x 1x 2＝－b <0，故C 错误．D ，不等式x 2＋ax ＋b <c 的解集为{x |x 1<x <x 2}，即不等式x 2＋ax ＋b －c <0的解集为{x |x 1<x <x 2}，且|x 1－x 2|＝4，则x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝b －c ，则|x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝a 2－4(b －c )＝4c ＝16，∴c ＝4，故D 正确，故选ABD. 答案：ABD11．解析：由题意，A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－3<x <2}，A ∩B ＝{x |－1<x <2}，则不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为{x |－1<x <2}．由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2. 答案：－1 －212．解析：(1)当a ＝－1，b ＝2，c ＝1时不等式为－x 2＋2x ＋1≥0，可化为x 2－2x －1≤0，解得1－2≤x ≤1＋2，所以不等式的解集为[1－2，1＋2]. (2)若选①，a ＝1，b ＝－2－m ，c ＝2m ，不等式为x 2－(2＋m )x ＋2m ≥0，即(x －2)(x －m )≥0，当m >2时，不等式解集为{x |x ≤2或x ≥m }，当m ＝2时，不等式解集为R ，当m <2时，不等式解集为{x |x ≤m 或x ≥2}，综上所述：当m >2时，不等式解集为{x |x ≤2或x ≥m }，当m ＝2时，不等式解集为R ，当m <2时，不等式解集为{x |x ≤m 或x ≥2}．若选②a ＝m ，b ＝m －2，c ＝－2.不等式为mx 2＋(m －2)x －2≥0，若m ＝0，－2x －2≥0，不等式解集为{x |x ≤－1}，若m ≠0，不等式可化为(mx －2)(x ＋1)≥0，当m >0时，不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤－1或x ≥2m ，当m <－2时，不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x ≤2m ，当m ＝－2时，不等式解集为{x |x ＝－1}，当－2<m <0时，不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2m ≤x ≤－1，综上所述：当m <－2时，不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x ≤2m ，当m ＝－2时，不等式解集为{x |x＝－1}，当－2<m <0时，不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2m≤x ≤－1，当m ＝0时，不等式解集为{x |x ≤－1}，当m >0时，不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－1或x ≥2m .13．解析：关于x 的不等式(x －b )2>(ax )2，即(a 2－1)x 2＋2bx －b 2<0， ∵01，∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－b a －1<x <b a ＋1，又0<b a ＋1<1，∴解集中的整数为－2，－1，0. ∴－3≤－b a －1<－2，即2<ba －1≤3，∴2a －2<b ≤3a －3, ∵b <1＋a ，∴2a －2<1＋a ，解得a <3，综上，1<a <3.故选C. 答案：C。

一元二次不等式的解法含答案

课时作业16 一元二次不等式及其解法时间：45分钟满分：100分课堂训练1．不等式x 2－5x ＋6≤0的解集为( ) A ．[2,3] B ．[2,3) C ．(2,3) D ．(2,3]【答案】 A【解析】因为方程x 2－5x ＋6＝0的解为x ＝2或x ＝3，所以不等式的解集为{x |2≤x ≤3}．2．若a 2－174a ＋1<0，则不等式x 2＋ax ＋1>2x ＋a 成立的x 的围是( )A ．{x |x ≥3或x ≤1}B ．{x |x <14或x >4}C ．{x |1<x <3}D ．{x |x ≤－3或x >1}【答案】 D【解析】由a 2－174a ＋1<0，得：a ∈(14，4)．不等式x 2＋ax ＋1>2x ＋a ，可化为：(x －1)[x －(1－a )]>0， ∴x <1－a 或x >1， ∴x ≤－3或x >1.3．若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集为(1，m )，则实数m ＝________.【答案】 2【解析】 ∵x ＝1是方程ax 2－6x ＋a 2＝0的根，∴a －6＋a 2＝0，∴a ＝2或－3.当a ＝2时，不等式2x 2－6x ＋4<0的解集为(1,2)，∴m ＝2.当a ＝－3时，不等式－3x 2－6x ＋9<0的解集为(－∞，－3)∪(1，＋∞)，不合题意．4．求函数f (x )＝log 2(x 2－x ＋14)＋x 2－1的定义域．【解析】由函数的解析式有意义，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋14>0，x 2－1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠12，x ≤－1或x ≥1.因此x ≤－1或x ≥1.故所求函数的定义域为{x |x ≤－1或x ≥1}．课后作业一、选择题(每小题5分，共40分) 1．不等式2x 2－x －1>0的解集是( ) A ．(－12，1) B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－12)∪(1，＋∞)【答案】 D【解析】 ∵2x 2－x －1＝(2x ＋1)(x －1)，∴由2x 2－x －1>0得(2x ＋1)(x －1)>0，解得x >1或x <－12，∴不等式的解集为(－∞，－12)∪(1，＋∞)．故应选D.2．设集合A ＝{x |1<x <4}，集合B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，则A ∩(∁RB )＝( )A ．(1,4)B ．(3,4)C ．(1,3)D ．(1,2)∪(3,4)【答案】 B【分析】先解不等式求出集合B ，然后进行集合的相应运算．【解析】 B ＝{x |－1≤x ≤3}，A ∩(∁R B )＝{x |3<x <4}，故选B.3．函数y ＝11－x2＋lg(3x －x 2)的定义域为( ) A ．{x |－1<x <1} B ．{x |0<x <3} C ．{x |0<x <1} D ．{x |－1<x <3}【答案】 C【解析】由题意须满足⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 2>0，3x －x 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1<0，x 2－3x <0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，0<x <3，∴0<x <1. 4．不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是{x |－12<x <13}，则a －b 等于( )A ．－4B ．14C ．－10D ．10【答案】 C【解析】 ∵不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－12<x <13}，∴－12、13是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧－12＋13＝－b a－12×13＝2a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12b ＝－2.∴a －b ＝－10.5．设f (x )＝x 2＋bx ＋1，且f (－1)＝f (3)，则f (x )>0的解集为( ) A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B ．R C ．{x |x ≠1} D ．{x |x ＝1}【答案】 C【解析】 ∵f (－1)＝f (3) ∴1－b ＋1＝9＋3b ＋1 ∴b ＝－2，∴f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2， ∴f (x )>0的解集为x ≠1.6．若关于x 的不等式mx 2－(2m ＋1)x ＋m －1≥0的解集为∅，则( )A ．m <0B ．m <－18C ．－18<m <0D ．m 的值不存在【答案】 B【解析】要使不等式的解集为∅，则⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ<0，∴m <－18.7．若0<a <1，则不等式(a －x )(x －1a)>0的解集是( )A ．{x |1a<x <a }B ．{x |a <x <1a}C ．{x |x <a 或x >1a}D ．{x |x <1a或x >a }【答案】 B【解析】原不等式可化为(x －a )(x －1a)<0.又∵0<a <1，∴1a>1>a >0，∴原不等式的解集为{x |a <x <1a}．8．如果ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |x <－2或x >4}，那么对于函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 有( )A ．f (5)<f (2)<f (－1)B ．f (2)<f (5)<f (－1)C ．f (2)<f (－1)<f (5)D ．f (－1)<f (2)<f (5)【答案】 C【解析】 ∵ax 2＋bx ＋c >0的解集为x <－2或x >4. 则a >0且－2和4是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，∴－b a ＝2，ca＝－8.∴函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向上，对称轴为x ＝－b 2a＝1.∴f (5)>f (－1)>f (2)，故选C. 二、填空题(每小题10分，共20分)9．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如表：【答案】 {x |x <－2，或x >3}【解析】由图表可知a >0.且f (3)＝0，f (－2)＝0.∴ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |x <－2，或x >3}．10．若a <0，则关于x 的不等式x 2－4ax －5a 2>0的解集是________．【答案】 {x |x >－a 或x <5a }【解析】方程x 2－4ax －5a 2＝0的两根分别为－a 和5a ，且－a >5a .∴不等式的解集是{x |x >－a 或x <5a }．三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．解不等式．(1)－x 2＋2x －3>0；(2)x 2＋x >－14；(3)－2x 2＋3x －2<0.【分析】把不等式化为二次项系数为正，右边为0的形式，利用“三个二次”之间的关系求解．【解析】 (1)原不等式可化为x 2－2x ＋3<0， ∵Δ＝(－2)2－4×1×3＝－8<0，∴原不等式的解集为∅. (2)原不等式可化为x 2＋x ＋14>0.∵Δ＝12－4×1×14＝0，∴方程x 2＋x ＋14＝0有两个相等实根x 1＝x 2＝－12.∴原不等式的解集为{x |x ≠－12，x ∈R }．(3)原不等式可化为2x 2－3x ＋2>0. ∵Δ＝(－3)2－4×2×2＝－7<0， ∴原不等式的解集为R .【规律方法】一元二次不等式化为二次项系数为正的形式后，若Δ≤0，可根据二次函数的图象直接写出解集．12．解关于x 的不等式(x －2)(ax －2)>0(a ∈R )．【解析】当a ＝0时，原不等式化为x －2<0，∴x <2. 当a <0时，原不等式化为(x －2)(x －2a)<0，∴2a<x <2.当a >0时，原不等式化为(x －2)(x －2a)>0.①当0<a <1时，x >2a或x <2.②当a ＝1时，x ≠2.③当a>1时，x>2或x<2 a.综上所述，当a＝0时，原不等式的解集为{x|x<2}；当a<0时，原不等式的解集为{x|2a<x<2}；当0<a<1时，原不等式的解集为{x|x>2a或x<2}；当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠2}；当a>1时，原不等式的解集为{x|x>2或x<2a}．。