具有学习效应和遗忘效应的间歇批生产的单机排序问题

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极小化两种目标函数的具有学习效应的单机排序问题

最优性．
［关键词］排序；间歇批生产；学习效应；单机排序
［中图分类号］０２２３［文献标识码］Ａ［文章编号】１７２９（０１００２０６２— ５０２１）６— 序问题受到了国内外许多学者的广泛关注．在经典的排序理论中，工件的加工时间通常都被看做是一个固定的常数．然而，在许多现实情况中，如机器或工人反复或连续
２１批与批之间没有学习效应的传递．
被安排在日中的第ｒ个位置上加工的实际的加工时间表示为Ｐ＝ ∞ ＋．ｐ（）因此，Ｂ在若
第３卷第６期３
２１０１年１月１
泰山学院学报
ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＩＳＮ＇ＨＡＵＮⅣ ＥＩＹＡＩＲＳＴ
Ｖｏ．３ＮＯ．１３６
Ｎ０．２１ｖＯ１
极／、两种目标函数的具有堂＞Ｊ化－－４－ｇ效应的单机排序问题
１符号表示
ｍ表示批的个数，２ｍ≥ ；表示第ｉ，＝，，ｍ；批ｉ１２ …，ｎ表示第ｉ批的工件个数，＝，，ｍ；ｉ１２ …，ｔＩ表示工件的总个数，１＋… ＋ＩｔＩ＋２ｔｔＩ＝；表示第ｉ批中的第．『个工件 √ １２ … ，；＝，，
ｍ
∑∑ｃ为所有工件的总完工时间．所有几个工件被分成ｍ批放在一台机器上进行加工，并且所有工件在０时刻都是准备就绪的．如果工件被安排在第一批的第一个位置上进行加工，那么它的实际加工时间就是它的正常加工时间．由于学习效应的存在，被加工的工件越往后，它所需要的加工时间就越少．为描述方便，我们用ＬＥ表示学习效应；Ｂ表示间歇的批生产问题．定义Ｐ＝（鲫＋）其中，，Ｊ，口均为常数，Ｂ且满足 ≥ ，Ｏ＋Ｏ ≥ ，

配送时间有学习效应的单机排序问题

王成飞（９３）男，１８一，山东临沂人，曲阜师范大学运筹与管理学院博士研究生．研究方向：运筹学与控制论．
第３期把７中ｒ ’ 和
王淑青，：等配送时间有学习效应的单机排序问题的位置调换，持其他工件的位置不变，保把排序方案７变成仃．ｒ
第ｌ第３期３卷
２１００年７月
’
西安文理学院学报：自然科学版
Ｖ０．３Ｎｏ３１１．
ＪｕｎｌｆｉｎＵｉｒｉｆｒｏｒａｏＸ ’ ｎｖｓｙｏｔＳｉｃ（ａＳｉｄａｅｔＡｓ＆ｃｎｅＮｔｃＥ）ｅ
∑Ａ ‘ 一∑ ‘“ ＝Ｂ ‘ Ｂ‘
Ａｉ＇（０Ｂ＋ ‘ ‘ 一Ａ ‘ ‘ ’ ‘ 一 ‘ ‘ ’ ’＝
５
（ｉ一，）ｌ一）Ａ ‘ Ａ ‘方案仃也是最优方案，次调整下去，到调整到某一方案仃：于任意的，，要依直。对＿只『
Ａｉ＇’≤ Ａ ‘ ‘。ｒ
ｆ
，
就有Ｂ‘ ｊ，样的排序只有两种：一种是｛由小到大排序，｝。≥曰‘ 这第Ａ｝｛由大到小排
序；第二种是｛｝由大到小排序，｝｛由小到大排序．理得证．定定理１定理２分别考虑加工时间相同配送时间不同、和配送时间相同加工时间不同的配送有学习
中图分类号：２３０２文献标识码：Ａ
０引言
排序论是组合优化的一个分支，带配送的排序问题是排序论与供应链管理的一座桥梁．我们考虑这样一种排序问题：ｎ个工件要在一台机器上加工，有记这／个工件分别为．，，，机器在同一时刻７，， … ．，。，只能加工一个工件，加工过程不允许中断，个工件完工后都要被配送，每这里假设配送的工具足够多，使得每个工件在完工后能立刻被配送．设Ｐ＂假ｉ分别为工件的标准加工时间和标准配送时间．，ｑ用三参数ＯＩ ’表示一个排序问题，中Ｏ、ｙ分别表示机器环境、件特性、ｌ，Ｉ其ｌ、工目标函数．比如１ｐ＝，ｉＩｐｑ＝ｑ ∑Ｄ表示单台机器、工时间都等于Ｐ配送时间为ｑ＝ｑｒ、Ｉｒ加、ｉ目标是极小化总配送

带学习效应的单机成组排序问题

题给出了多项式时间算法。Ｋｕｅ — ｎ将学习效应模型ｏＷｎＨｕｇ
二
Ｐ，（十ｌ２＋…… ＋＿）：（＋ｉ１ｌ＋】ｒ】ｌ１
ｋ＝ｌ
★），）
推广到具有安装时间的单机成组排序问题。这里考虑在工件具有学习效应的条件下，学习效应模型为ｐ，＝，，
第２期
苑丽华等
带学习效应的单机成组排序问题
示原来排序中工件的标准加工时间；
表示工件排在第ｆ的第，个位置的实际加工时间；组
】
表示在第，组排在第ｋ个位置的工件 … 的标准加工时间，ｋ＝１２ … …，ｉｋ表示在第组排在第ｋ，，ｎ； … 个位置的工件舭】的实际加工时间；表示第ｉ中工件的学习效应因子，０＜ｌ，ｆ， …，；组，＝１…
表工的工间表所工的大工间示件完时；示有件最完时；∑ 表所工的完时。示有件总工间
这里所考虑的的学习效应模型为：＝，，记该模型为Ｌ，Ｇ表示必须满足成组技术要求，Ｅ
在经典的排序理论中，工件的加工时间通常是一个常数，而在一些实际排序问题中，由于机器或工
人反复加工相同或类似的工件，他们的操作越来越熟练，使得在加工顺序中排在后面加工的工件的加工
时间缩短，这类问题被称为具有学习效应的排序问题。学习效应在生产中的影响最早是由Ｗｒｈ出ｉｔ提ｇ的。Ｂｓｕ提出一种学习效应模型：ｐ，＝，，＝１… …，（中ｉｐｋ，，，其因子；，为正常加工时间，０，口为常数，是学习效应

具有学习效应且加工时间可控的单机排序问题

具有学习效应且加工时间可控的单机排序问题王方;赵传立【摘要】讨论一类加工时间可控的单机排序问题.在这一问题的模型中,机器具有学习效应,工件的实际加工时间为同时依赖于所排位置和所分配的资源量的资源消耗函数,其中资源消耗函数又分为线性资源消耗函数和凸资源消耗函数这两种函数.考虑共同工期分派方法和松弛工期分派方法这两种工期分派方法.极小化一个包含加权总误工数的费用、工期分派的费用、最大完工时间的费用和总资源消耗的费用的目标函数.对于工件加工时间的两种资源消耗函数与工期分派方法的不同组合,算法复杂性为O(n4)的多项式时间算法相应地被给出.创新之处是:在Shabtay研究的基础上增加考虑了学习效应后,计算相关问题的算法复杂性仍保持不变.【期刊名称】《沈阳师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2013(031)004【总页数】5页(P471-475)【关键词】单机;排序;学习效应;资源分配;指派问题【作者】王方;赵传立【作者单位】沈阳师范大学数学与系统科学学院,沈阳110034;沈阳师范大学数学与系统科学学院,沈阳110034【正文语种】中文【中图分类】O223带有可控加工时间的排序问题［1－10］，自1980年以来备受关注，并取得了许多研究成果。

本文将学习效应与可控加工时间相结合，拓展了文献［7］的主要结果。

问题可描述如下。

设有n个相互独立的工件的集合，记为｛J1，J2，…，Jn｝，工件在0时都已到达，且加工过程中中断不被允许。

工件J［j］的正常加工时间为P［j］，需要确定工件的加工顺序、划分、工期和资源分配量，极小化一个包含加权总误工数、工期分派、最大完工时间，和总资源消耗的费用函数。

即目标函数为以下形式：其中，Cj是工件Jj的完工时间是最大完工时间。

Uj 是工件Jj 的延误指示变量，即当Cj＞dj时，置Uj＝1；否则，置Uj＝0，dj≥0是工件Jj的工期。

αj是工件Jj的延误费用，非负参数α和β分别表示工期的单位费用和最大完工时间的费用。

工期可指派且机器具有学习效应的单机成组排序问题

工期可指派且机器具有学习效应的单机成组排序问题
任慧敏
【期刊名称】《曲阜师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2012(038)001
【摘要】研究了工期可指派且机器具有学习效应的单机成组排序问题.机器具有与位置和工件都有关学习效应.同一个组的所有工件在机器上连续加工且每个组在加工之前都有一个组安装时间.工件有两种工期指派规则分别是FML-CON和FML-SLK.目标是确定所有组的加工顺序以及每个组内工件的加工顺序,再对每个工件指派最优工期使所有工件的工期指派费用,提前、延误费用以及总流程时间之和达到最小.本文分别对两种工期指派下的问题做了详细的分析,并给出多项式时间最优算法.另外,对一种具有特殊的学习效应模型的问题,给出O( nlog n)时间最优算法.【总页数】8页(P5-12)
【作者】任慧敏
【作者单位】曲阜师范大学管理学院,276826,山东省日照市
【正文语种】中文
【中图分类】O224
【相关文献】
1.具有学习效应且交货期可指派的单机排序问题 [J], 任慧敏
2.同时具有学习和恶化效应的单机成组排序问题 [J], 杨士梅;闻振卫
3.具有学习效应的单机成组排序问题 [J], 石国春
4.具有共同窗口指派的单机成组排序问题 [J], 胡杨;于文汐;霍旭;赵妍楠;张斯雯;王怡丹;王吉波
5.具有共同窗口指派的单机成组排序问题 [J], 胡杨;于文汐;霍旭;赵妍楠;张斯雯;王怡丹;王吉波
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具有学习效应且交货期可指派的单机排序问题

具有学习效应且交货期可指派的单机排序问题任慧敏【摘要】This paper considers the problems of scheduling a single machine with position -dependent learning effects and CON/SLK due date assignment to minimize costs for due date assignment,earliness and penalties of tardy jobs. If the number of non- tardy jobs is fixed,the problems considered can be for- mulated as assignment problems. The assignment problem is solved in O（n3） time and different number of non- tardy jobs is at most n,so the problems can be solved in polynomial time and present optimal al- gorithms. Finally,basing on the scheduling deteriorating jobs with CON/SLK due date assignment,we consider the scheduling with learning effects simultaneously and present polynomial - time optimal algo- rithms to solve the problems.%探讨了工件具有CON／SLK交货期指派且机器具有与位置有关的学习效应目标为极小化交货期指派费用、无误工工件的提前费用以及误工工件的惩罚费用之和排序问题．所探讨的问题在无误工工件数确定的情况下可以转化为指派问题，由于误工工件数最多有n种可能且指派问题能在0（n^3）时间内解决，故排序问题是多项式时间可解的，并给出最优算法；在恶化工件具有CON／sLK交货期指派的基础上同时考虑了机器具有学习效应的排序，并给出了两种问题的多项式时间最优算法．【期刊名称】《滨州学院学报》【年(卷),期】2011(027)006【总页数】8页(P42-49)【关键词】排序;学习效应;交货期指派【作者】任慧敏【作者单位】曲阜师范大学管理学院,山东日照276826【正文语种】中文【中图分类】O2240 引言在经典的排序理论中，工件的加工时间通常是固定的常数，而在一些实际排序问题中，由于机器或工人反复加工相同或类似的工件，他们的操作越来越熟练，使得加工顺序中排在后面加工的工件的加工时间缩短，这类问题被称为具有学习效应的排序问题.学习效应在生产中的影响最早是由Wright［1］提出.Biskup［2］提出一种与位置有关的学习效应模型：pjr＝pjra，j，r＝1，…，n（其中a≤0为常数，是学习效应因子；pj和pjr分别为工件的基本加工时间和实际加工时间；r为工件的加工位置），并证明了目标为极小化共同交货期偏差和总完工时间的带学习效应的单机排序问题，是多项式时间可解的.在传统的排序模型中通常假设工件的交货期是给定的，而在实际的加工中，工件的交货期是可以通过制造商和客户协商来确定的，为了避免提前、延误惩罚以及失去顾客的可能性，制造商综合考虑自己的生产能力，选定合适的交货期.很多文献开始将交货期的指派作为排序的一部分，并且研究如何更好地提高系统的性能.最早研究交货期指派的是Panwalkar等［3］和Seidmann等［4］.Panwalkar等研究了所有工件必须指派相同的交货期的排序问题，Seidmann等则研究了每个工件可以指派不同的交货期的排序问题.Gordon等［5］给出了所有工件指派相同交货期的排序问题的一个综述.Shabtay和Steiner［6］研究了单机情况下两个交货期指派的排序问题，证明了一般问题为强NP－难的，并对几种特殊情形给出了多项式时间算法.Shabtay和Steiner［7］还研究了平行机上交货期可指派的排序问题，分析了大量问题的复杂性，并且给出了相应的算法.Gordon和Strusevich［8］研究了交货期可指派且工件加工时间与位置有关的单机排序问题，并给出两种交货期指派下对应问题的多项式时间动态规划算法.Li等［9］研究了交货期可指派且工件加工时间依赖于开工时间的单机排序问题，对所考虑的问题给出了多项式时间算法.本文考虑交货期可指派且机器具有学习效应的单机排序问题，目标为极小化交货期指派费用、提前费用和误工费用之和.由于在无误工工件个数确定的情况下，排序问题可以转化成指派问题，而指派问题是多项式时间可解的，本文证明两种交货期指派下的排序问题都是多项式时间可解的.在本文中指派问题可以理解为：有n个工件可以在机器的n个不同的位置上加工，机器不同位置加工同一个工件所用的时间不同；机器同一位置同一时刻只能加工一个工件，同一个工件同一时刻只能在机器的一个位置上加工；如何安排这n个工件的加工位置，使得总费用最小.而一般的指派问题能在O（n3）时间内最优地解决，故本文的指派问题也能在O（n3）时间内解决.1 问题描述有n个独立的、不可中断加工的工件J1，J2，…，Jn要在一台处理机上加工，所有工件在零时刻可得.机器具有与加工位置和工件都有关的学习效应，该学习效应模型为pj＝aj·rαj，其中aj和pj分别为工件Jj的基本加工时间和实际加工时间，r 为工件加工的位置，αj＜0为常数，是与工件Jj有关的学习因子.每个工件Jj（j＝1，2，…，n）有一个相应的交货期dj，由CON或SLK交货期指派方法确定.CON （common due date）：指所有的工件指派相同的交货期；SLK（equal slack）：指所有的工件有一个相同的等待时间q，工件的交货期等于工件的实际加工时间加上q.下面对于给定的排序π，给出本文中要用到的符号和表达式：pj＝aj·rαj：工件Jj在第r个位置加工的实际加工时间；d：CON交货期指派方法下所有工件具有的相同交货期，即dj＝d；q：SLK交货期指派方法下所有工件允许有相同的slk时间q，即每个工件的工期dj＝pj＋q；Cj：工件Jj的完工时间；Ej＝max｛0，dj－Cj｝：工件Jj的提前时间；E＝｛Jj：Cj≤dj｝：无误工工件的集合（包括提前和按时完工的工件）；T＝J＼E＝｛Jj：Cj＞dj｝：误工工件的集合；γj：工件Jj（Jj∈T）的误工惩罚费用；π（j）：排序π中第j个位置加工的工件；F：CON交货期指派方法下的总费用函数，其中，β＞0为常数，θj≥0是与位置有关的常数，表示单位提前费用；F（q，πSLK交货期指派方法下的总费用函数，其中，β＞0为常数，θj≥0是与位置有关的常数，表示单位提前费用.本文所考虑的问题是对所有的工件排序并指派最优的交货期，使得总费用F（d，π）（CON交货期指派）和F（q，π）（SLK交货期指派）分别达到最小.用经典的三元组表示法，所研究的排序问题可表示为和2 CON交货期指派考虑CON交货期指派下的排序问题（1），极小化目标函数对于目标为正则函数的排序，目标值随着工件完工时间的增大而增大，故机器在加工过程中不存在空闲.但由于目标（3）是非正则函数，所以由下面的引理证明了该问题中机器也不存在空闲.引理1 机器在加工过程中不存在空闲.证明（反证法）若否，对给定的最优序π，假设机器在Jj的完工时间Cj之后存在空闲时间Δ.分3种情形讨论：（ⅰ）d≤Cj，（ⅱ）Cj＜d＜Cj＋Δ，（ⅲ）d≥Cj ＋Δ.对这3种情形，都去掉空闲时间Δ，且对（ⅱ）令d′＝Cj，对（ⅲ）令d′＝d －Δ，分别构成3个新的排序π′.显然3种情形下排序π′的目标值均小于排序π的目标值，这与π为最优序矛盾.结论得证.引理2 问题（1）存在最优序，满足所有工件的交货期d等于E中某个工件的完工时间或d＝0.证明（反证法）若否，对给定的最优序σ，如果存在j（1≤j≤n－1）使得Cj＜d ＜Cj＋1，那么，令d＝Cj时，误工工件不变，但所有工件的交货期和不误工工件的提前时间都减少，故目标值减少，这与σ为最优序矛盾，故d为某个工件的完工时间，证毕.由引理1可知只需考虑机器不存在空闲的排序.对任何一个给定的排序π＝（Jπ（1），Jπ（2），…，Jπ（n）），如果无误工工件集E给定且｜E｜＝m，那么可以令所有工件的交货期d＝Cπ（m）.一般地，对于一个给定的排序π，可令m 和F（d，π，m）分别表示无误工工件数和相应的目标函数.引理3 若问题（1）的排序π＝（Jπ（1），Jπ（2），…，Jπ（n））确定，且m ＝｜E｜已知，那么目标函数（3）可表示为证明设π为任意给定的排序，由引理1和引理2，假设机器不存在空闲且所有工件的交货期对且由于，故证毕.定理1 如果无误工工件数确定，那么问题（1）可转化为一个指派问题.证明假设E中的工件数m（1≤m≤n）确定.无误工工件在机器的前m个位置上加工，误工工件以任意顺序在剩下的n－m个位置加工.由引理3，可定义为工件Jj（j＝1，2，…，n）指派到第r（r＝1，2，…，n）个位置上加工的排序费用.定义变量该排序问题可转化为如下的指派问题AP（m）：证毕.总结上面的分析得出问题的最优算法.算法1Step1：对m＝0，计算并令所有工件的交货期d＝0.Step2：对1≤m≤n，解指派问题AP（m），计算相应的目标值F（m），且令所有工件的交货期为第m个工件的完工时间.Step3：目标函数（1）的最优值为min｛F（m）：0≤m≤n｝.对应的排序和交货期分别是最优排序和最优交货期.定理2 算法1能在O（n4）时间内最优地解决问题（1）.证明算法1的正确性源于定理1的正确性.由于Step1能在O（n）时间内完成；Step2需要计算n个指派问题，且每个指派问题能在O（n3）时间内完成，因此算法1的时间复杂性为O（n4）.证毕3 SLK交货期指派现研究SLK交货期指派下的排序问题（2），每个工件的交货期为工件的实际加工时间加上相同的q.极小化目标下面给出问题（2）的最优性质.引理4 对问题（2）存在满足如下性质的最优序：（ⅰ）所有不误工工件在误工工件之前加工；（ⅱ）机器零时刻开始加工，直到最后一个工件加工完，中间不存在空闲.（ⅲ）只有E中最后一个工件是按时完工的工件，且q等于按时完工工件之前所有工件的实际加工时间之和.证明见Li等［9］引理4.1和Gordon等［8］引理2.由引理4只需考虑机器不存在空闲的排序.q依赖于按时完工之前的工件而与按时完工工件本身无关，且至少有一个工件是按时完工的，即｜E｜≥1.故对给定的排序π＝（Jπ（1），Jπ（2），…，Jπ（n）），如果E中工件数h（1≤h≤n）已知，那么工件Jπ（h）是按时完工的工件，且下面，对于给定的排序π，可令h和F（q，π，h）分别表示无误工工件数和相应的目标函数.引理5 对于问题（2），如果排序π给定，且h＝｜E｜（1≤h≤n）已知，那么目标函数（4）可表示为证明设π为任意给定的排序，由引理4可假设机器不存在空闲且所有工件的交货期对且由于故证毕.定理3 如果无误工工件数确定，那么问题（2）可转化为一个指派问题.证明假设E中的工件数h（1≤h≤n）确定.无误工工件在机器的前h个位置上加工，误工工件以任意顺序在剩下的n－h个位置加工.由引理5可定义为工件Jj（j＝1，2，…，n）指派到第r（r＝1，2，…，n）个位置上加工的排序费用.定义变量该排序问题可转化为如下的指派问题AP（h）：证毕.定理4 问题（2）能在O（n4）时间内最优地解决.证明当无误工工件数固定时，问题（2）可以转化为指派问题，而每个指派问题AP（h）（1≤h≤n）能在O（n3）时间内最优地解决.解这n个指派问题，并从中找出目标值最小的一个，对应的排序即为问题（2）的最优序，相应的可得到每个工件的最优交货期.故问题（2）能在O（n4）时间内最优地解决.证毕.4 同时考虑学习效应和恶化效应在Li等［9］的基础上，考虑机器具有学习效应，即同时考虑学习效应和恶化效应.工件Jj的实际加工时间pj＝（aj＋bt）·rα，其中aj为工件Jj的基本加工时间，t 为工件Jj的开工时刻，所有工件具有相同的恶化率b（b＞0），r为工件Jj加工的位置，α＜0为学习因子.所研究的问题用经典的三元组表示法，可表示为和那么第j个位置加工的工件的实际加工时间为：引理6 若问题（5）的排序π＝（Jπ（1），Jπ（2），…，Jπ（n））确定，且m ＝｜E｜已知，那么它的目标函数可表示为其中，而ωj，j＝1，2，…，n，可由引理6的表达式中的m增加到n即可.如果将ωj，j ＝1，2，…，n看作是位置j的权重，那么将所有工件按基本加工时间不减的顺序排在ωj（j＝1，2，…，n）不增的位置上加工，可使目标值（7）达到最小，而这个过程能在O（nlgn）时间内完成，故结论成立.证毕定理5 如果无误工工件数确定，那么问题（5）可转化为一个指派问题.证明过程类似于定理1，只是为位置r（r＝1，2，…，m）的权重，证明过程类似引理3.推论1 对于问题（5），如果所有的工件都不误工，那么能在O（nlgn）时间内找到最优序.证明在这种情形下，m＝n.由引理6目标函数可写为其中ωr，r＝1，2，…，m的值由引理6的表达式计算可得.下面给出问题（5）的最优算法.算法2Step1：对m＝0，计算并令所有工件的交货期d＝0.Step2：对1≤m≤n＋1，解指派问题AP（m），计算相应的目标值F（m），且令所有工件的交货期为第m个工件的完工时间.Step3：对m＝n，可由推论1得到最优序，且令d为最后一个工件的完工时间. Step4：目标函数（1）的最优值为min｛F（m）：0≤m≤n｝.对应的排序和交货期分别是最优排序和最优交货期.定理6 算法2能在O（n4）时间内最优地解决问题P3.证明算法2的正确性主要在于推论1和定理5的正确性.算法的Step1能在O（n）时间内完成；Step2需要计算n－1个指派问题，而每个指派问题能在O（n3）时间内完成，Step3能在O（nlgn）时间内完成，因此算法2的总的时间复杂性为O（n4）.证毕.引理7 对于问题P4，如果排序π给定，且h＝｜E｜（1≤h≤n）已知，那么其目标函数可表示为其中ωj，j＝1，2，…，n－1的表达式同引理7.如果将ωj，j＝1，2，…，n－1看作是位置j的权重，那么将剩余的n－1个工件按基本加工时间不减的顺序排在ωj（j＝1，2，…，n－1）不增的位置上加工，可使目标值（8）达到最小，而这个过程能在O（nlgn）时间内完成，而按时完工的工件有n个可能，故总的时间复杂性为O（n2lgn）.证毕定理7 如果无误工工件数确定，那么问题（6）可转化为一个指派问题.证明过程类似于定理3，只是其中ωj，j＝1，2，…，h－1与引理6中的表达形式一样，只是表达式中的ωj＝β＋jθ，j＝1，2，…，h－1.证明过程类似引理5，此处从略.推论2 对于问题（6），如果所有的工件都不误工，那么能在O（n2lgn）时间内找到最优序.证明在这种情形下h＝n，由引理4可将每个工件作为按时完工的工件，然后找剩下n－1个工件的最优序.由引理7，目标函数可表示为其中ωr，r＝1，2，…，h－1的值由引理6的表达式计算可得.当无误工工件数h（1≤h≤n－1）确定时，问题（6）可转化为一个指派问题.每个指派问题需要O（n3）时间求解，而h的可能的取值最多为n－1个，所以解这n －1个指派问题，得到目标函数（8）的n－1个最优值.当h＝n时，由推论2得到目标函数（8）的n个最优值.从所有的2n－1个目标值中找一个最小的，对应的排序即为问题（6）的最优序，相应的交货期为每个工件的最优交货期.整个过程最多需要O（n4）时间来完成，故有下面的定理成立.定理8 问题（6）能在O（n4）时间内最优地解决.5 结束语本文研究了交货期可指派且机器具有与工件和位置都有关的学习效应的单机排序问题，目标为极小化交货期指派费用、提前和误工惩罚费用.在两种交货期指派（CON／SLK）下，问题都是多项式时间可解的.在文献［9］研究的基础上考虑了机器具有学习效应，得到两种交货期指派下的问题仍然是多项式时间可解的.参考文献：［1］ Wright T P.Factors affecting the cost of airplanes［J］.Journal of Aeronautical Sciences，1936，3：122－128.［2］ Biskup D.Single－machine scheduling with learning considerations ［J］.European Journal of Operational Research，1999，115：173－178. ［3］ Panwalkar S S，Smith M L，Seidmann mon due date assignment to minimize total penalty for the one machine scheduling problem［J］.Operations Research，1982，30：391－399.［4］ Seidmann A，Panwalkar S S，Smith M L.Optimal assignment of due dates for a single processor scheduling problem［J］.International Journal of Production Research，1981，19：393－399.［5］ Gordon V S，Proth J M，Chu C B.A survey of the state－of－the－art of common due date assignment and scheduling research［J］.European Journal of Operational Research，2002，139：1－25.［6］ Shabtay D，Steiner G.Two due date assignment problems inscheduling a single machine［J］.Operations Research Letters，2005，34（6）：683－691.［7］ Shabtay D，Steiner G.Optimal due date assignment in multi－machine scheduling environments［J］.Journal of Scheduling，2008，11：217－228.［8］ Gordon V S，Strusevich V A.Single machine scheduling and due date assignment with positionally dependent processing times［J］.European Journal of Operational Research，2009，198：57－62.［9］ Li S S，Ng C T，Yuan J J.Scheduling deteriorating jobs with CON／SLK due date assignment on a single machine［J］.Int.J.Production Economics，2011，131：747－751.。

具有截断控制参数学习效应及退化效应加工时间依赖于资源的单机排序问题

具有截断控制参数学习效应及退化效应加工时间依赖于资源的单机排序问题翟雯瑾;罗成新【摘要】讨论具有截断控制参数学习效应和退化效应且工件的加工时间依赖于资源分配的单机排序问题.在凸资源消费函数条件下研究问题,每个任务有一个松弛工期窗口,任务的实际加工时间依赖于截断控制参数、工件的开始加工时间.分别考虑了在工件的提前惩罚、延误惩罚等费用受限的前提下,最小化资源费用;资源消耗总费受限的前提下,使带有提前、延误、交货期开始时间、交货期大小、最大完工时间及总完工时间加权和最小的单机排序问题.将问题转化为指派问题,证明了该问题是在多项式时间内可解的,并分别给出了两个多项式时间的最优算法,并给出了一个算例.【期刊名称】《沈阳航空航天大学学报》【年(卷),期】2017(034)005【总页数】6页(P86-91)【关键词】排序;资源分配;截断控制参数;退化效应;指派问题【作者】翟雯瑾;罗成新【作者单位】沈阳师范大学数学与系统科学学院,沈阳110034;沈阳师范大学数学与系统科学学院,沈阳110034【正文语种】中文【中图分类】Q221.7经典排序中，任务的加工时间是固定的常数，但在实际生产中，任务等待或机器等原因都会引起任务加工时间的增长，即任务的实际加工时间与该任务的开始加工时间有关。

然而考虑到学习效应、退化效应、资源分配等情况，任务的加工时间不再是固定不变的。

通常情况下，给任务分配一定额度资源，任务的加工时间变小。

文献[2]讨论了带有学习和退化效应的单机排序问题，目标函数包括提前、延误和工期的总费用。

由于实际生产活动中的需要，带有资源分配的问题逐渐引起关注，文献[3-5]研究了关于资源分配的单机排序问题。

文献[6]在工件的加工时间与学习指数相关的凸函数下，研究了工件提前、延迟的工期指派问题。

文献[8-13]讨论了带有提前、延误的工期指派问题。

文献[14]研究了具有截断控制参数学习效应和退化效应且工件的加工时间依赖于资源分配的单机排序问题，并求得最大加工时间与总完工时间最小值时的最优算法，本文与文献[14]的差别在于目标函数不同。

加工时间具有学习效应的链约束单机排序问题

，Ｉ。＝，＋ｌ
ｎｉ
兀（一ｂ）非增排列可得最优排序。１］证明假设在某个最优排序７中，厶排在的前面，ｒ链而下面的不等式成立
ｎｉｎｉｎｉｎｌ
口（一口。一６磊（６））
Ｏ引言
在经典排序问题中，工件的加工时间通常为常数，但在许多实际问题中，我们经常会遇到工件的加工时间是非恒定的情形。比如，对于长期从事相同或相似工作的人们，他们获得了经验，这就表明工件的加工时间会随着开工时间的推迟而缩短。这类问题称为具有学习效应的排序问题。ＢｓｕＤｉｐ …最早讨论了与位置ｋ有关的学习效应的单机排序问题，他考虑了工件的加工时间是位置的递减函数时，对于目标函数为极小化共同工期偏差和极小化总完工时间是多项式可解的。Ｍｓｈｉｖ２研究了加工时间更为一般的具有学习效应ｏｓｅ『ｏ的单机排序问题和平行机排序问题。文献［］５研究了更为复杂的加工时间与位置有关的学习效应的４和［］排序问题。本文讨论了具有学习效应的线性加工时间的链约束单机排序问题。
。
（ｂ）一（６）１一ｉ１— ｃｋ
口（一ｔ＋１ｂ［ ‰ （— ＋１６ｔ一１ｂ（一ｏ０婴。６（— ］ｋ））１））
口
。
（—＊一（— ［（一ｌ＋Ｉ１ｂｔ＝１６卫１６口））１ｂ（一ｏ］ｋ１）－）
要：究了工件的加工时间具有学习效应的链约束单机排序问题，研在链可中断和不可中断两种情况下，均给出

同时具有学习效应和恶化效应的机器可用限制性排序问题

２１００年ｌＯ月
枣庄学院学报
ＪＲＮＦＺＺＯＵＡＬＯＡＯＨＵＡＮＩＥＲＩＹＮＧＵＶＳＴ
０ｃ．００ｔ２１
第２７卷
第５期
Ｖｏ．７ＮＯ．１２５
同时具有学习效应和恶化效应的机器可用限制性排序问题
问可解，计算量比经典问题要大．献［但文５］中扩大了研究范围，释了在生产加工过程解
ｆ一一工件的习效应比其他工件的学习效应快的可能性，明了具有一般学习效应的ｌ些｛学证极小化最大完工时间及总完工时间的单机问题、期指派问题和极小化总完工时间的平工行机问题都为多项式时问可解．样，有研究表明，备的长时间使用会导致其生产能力下降，得后；：２工件也设使ＤＩ的Ｉ３＿比其前面ｆｔ件需要更长的加工时间，种现象被称为工件加１时Ｉ的 ”恶化效应 ”．０工这３ＬＮ文献［６］中假设工件的加工时间是其开工时问的线性函数，于单机极小化最大完工时Ｉ、对Ｎ
束的．最近，些工业的研究表明由于＿厂反复加＿＿多同样的产品，而获得经验与知 …一－３２－许１５从

具有学习与退化效应的单机排序问题

在研究问题之前我们先给出一个引理：引理１设厂）是可微的凸函数，０ ≤ ≤孙则且 ≤ 。２ｆｘ）－Ｃ１厂（１（２ｘ）１＜２，（２ｆｘ））ｘ－１＜１）＝ｆｘ厂）厂（（３）一１＝ｆ（－≤厂（．）证明：用Ｌｇａｇ利ａｒｎｅ中值定理及Ｘ）２Ｉ和的关系即可得证．３）１＜３，一１＜）
维普资讯
第２６卷第４期
２０年４月０８
河
南科
学
Ｖｏ．６１Ｎｏ４２．Ａｐ．０８ｒ２０
ＨＥＮＡＮＳＥＮＣＥＣＩ
文章编号：０４３１（０８０－３８０１０ — ９８２０）４０９ — ３
１最大完工时间问题
定理２对于Ｉｌｔｐａ，ｒ，ｐｒｉ（￣Ｃ问题，，＝ｔｌ））工件按非减顺序排列可以得到最优排序（ＳＴ．即Ｐ序）
证明：假设Ｓ，＿．）＝『７是满足Ｐ≥ Ｊ，，ｒｉｐ的最优排序，其中．和．表示部分序列．设工件排在第ｒ７７ｒｒ个
与退化现象（退化因子为开工时间ｔ的线性函数）的单机和流水机环境下有关时间表长、（总加权）完工时间和最大延迟问题并给出了多项式时间解法．
设有ｎ个工件．，２… ，，，Ｊ，工件的权重和基本加工时间分别为和ｐ，ｌｆ工件的完工时间为，有所工件在０时刻到达．ｒ示工件在排序中的位置，表示工件的开工时间．记退化因子为ａ（，习因表ｔｔ学）子为ｎ ≤０．ｗａ（）ｎ出了实际加工时间为【ｒ】＝（＋时目标函数为总完工时间和总完工时间平方和ｔ一）

具有学习效应且工件可拒绝单机排序问题探讨_余英

m 1
r 1
p[A i ] pi 1 (1 k 1 p[ k ] )，
m 1
其中 p[ k ] 表示已加工工件中排在第 k 个位置的工件的正常
加工时间， p[i ] 表示已加工工件中排在第 i 个位置的工件的实际加工时间。当拒绝加工 i 1 时， Gi 1,m Gi ,m ei 1 。综合以上两种情况有：
具有学习效应的排序问题首先由Biskup提出，他假设工件的加工时间随着熟练程度的提高而越来越短，即工件越往后加工，所需的时间将减少。随后，Mosheiov 和Sidney、Biskup和Simons、Koulamas和Kyparisis等进行了相关的研究。更多相关研究可参考文献[5]至参考文献[9]。王吉波研究了工件的加工时间与已加工工件有关的学习效应的排序问题，并指出最小化最大完工时间、完工时间和以及完工时间平方和是多项式时间可求解的，而最小化加权完工时间和、最大延误在一定条件下是多项式时间可求解的。工件可拒绝的排序模型首先由Y.Bartal等提出，他们分别研究了离线情形和在线情形下的 pm | rej | Cmax TP 的排序模型。S.S.Selden等探讨了极小化总拒绝费用和最大完工时间之和的可中断平行机模型。Y.He和X.Min研究了两台同类机以及三台同类机可拒绝的排序的一个特殊情形。D.Engels等证明了 1 | rej | j 1 w jC j TP 是NP-困难的，并给出了伪多项式时间的动态规划算法和FPTAS算
该问题的最优值为 z min{Gn ,k ,0 k n} 。在这个动态规划算法中，我们需要计算 n(n 1) 个
*
Gi ,m 的值，其中计算每个值需要 O (1) 的时间，所以这个

带有学习效应和加工时间可控的排序问题

带有学习效应和加工时间可控的排序问题范雁鹏;赵传立【摘要】考虑了带有学习效应和加工时间可控的交货期窗口的单机排序问题.工件的加工时间是关于所分配资源的线性函数或凸函数.其中每一个工件均有一个交货期窗口且窗口大小相同,若工件在窗口之前或之后完工则会产生相应的惩罚,若工件在窗口中完工则无惩罚,目标是通过极小化包括提前,误工工件数、窗口的开始时间、窗口大小和资源消耗的总惩罚函数确定工件的最优排序、最优加工时间和最优资源分配量.在加工时间是线性资源函数的情况下,通过将问题转化为一系列指派问题,构造一个多项式时间算法;在加工时间是凸资源函数的情况下,构造了一个在多项式时间内可解的动态规划算法.【期刊名称】《沈阳师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(032)002【总页数】5页(P192-196)【关键词】排序;学习效应;加工时间可控;交货期窗口;动态规划算法排序【作者】范雁鹏;赵传立【作者单位】沈阳师范大学数学与系统科学学院,沈阳 110034;沈阳师范大学数学与系统科学学院,沈阳 110034【正文语种】中文【中图分类】O223在现实生活中，工件的加工时间会由于学习效应现象或增加一些额外的资源而发生变化［1－7］。

Vickson［4］首先提出了关于加工时间可控的排序模型。

Choia等［5］研究了带有可控加工时间和可控释放时间的单机排序问题。

Wang等［6］介绍了带有恶化工件的加工时间可控的排序问题。

Shabtay等［7］提供了一个关于带有可控加工时间的排序问题的综述。

关于工期指派的排序问题受到了许多研究者的关注［8－11］。

在一些近期的文献中，关于交货期窗口的排序问题备受关注。

Meng等［12］研究了带有恶化工件的交货期窗口问题。

Mosheiov等［13］提出了每个工件均有一个不同的交货期窗口的单机排序问题。

Mor等［14］在此基础上增加了一次维修活动，对3种不同的维修情况分别作了详细分析。

具有学习效应的单机成组排序问题

具有学习效应的单机成组排序问题摘要本文研究了一类加工时间依赖工件位置的成组排序问题。

各工件的加工时间具有与位置有关的学习效应,同组工件必须连续加工且无等待时间,组间存在与顺序无关的安装时间,证明了目标函数为极小化最大完工时间和总完工时间是多项式可解的。

关键词排序;单机;学习效应;成组排序;最大完工时间;总完工时间中图分类号 o221.1 文献标识码 a文章编号1674-6708(2010)19-0019-02the single machine group scheduling problems with learning effectsshi guochundepartment of basic sciences, lanzhou polytechnical college,lanzhou 730050,chinaabstract in the paper,we discuss a class of group scheduling with position-dependent processing time. the same group of jobs are processed continuously without waiting and thedifferent groups have installation time that is nothing to do with the order.it is proved that makespan and total completion time problems is polynomial solvable.keywords scheduling; single machine; learning effect; group scheduling makespan; the total completion time0 引言.biskupd[1]最早讨论了与位置有关的学习效应的单机排序问题,他考虑了工件的加工时间是位置的递减函数时,对于目标函数为极小化共同工期偏差和极小化总完工时间是多项式可解的.mossheiov[2-3]研究了加工时间更为一般的具有学习效应的单机排序问题和平行机排序问题。

带学习效应和资源依赖的单机排序模型

带学习效应和资源依赖的单机排序模型余英;程明宝【摘要】在工业生产中,随着员工操作技能的熟练程度的增加,对于相同的任务越往后加工,所花的时间将会减少.同时,为了尽早完工,管理者也会考虑给加工工件分配一定量的额外资源来缩短工件加工时间.本文基于以上实例,讨论了工件的实际加工时间既具有学习效应又依赖所分配资源的单机排序问题.在问题中,假设工件的学习效应是之前已加工工件正常加工时间和的指数函数.同时随着分配给工件资源量的增加,工件的实际加工时间呈线性减少,所需费用呈线性增加.对这一排序模型,主要探讨以下五个目标函数:最小化最大完工时间与资源消耗量总费用的和;最小化总完工时间与资源消耗量总费用的和;最小化加权总完工时间与资源消耗量总费用的和;最小化总提前、总延误、总共同交货期与资源消耗量总费用的和以及最小化总提前、总延误、总松弛交货期与资源消耗量总费用的和.本文对前三个目标函数相应的排序问题给出了多项式时间可求解的算法.对后两个目标函数所涉及的排序问题借助于指派问题分别给出了时间复杂性为O(n3)的算法.%In industrial manufactures,the time spent on the same task will be reduced as the skill level of the staff increases.At the same time,the manager will consider allocating a certain amount of additional resources to shorten the job processing time.In this paper,we consider single machine scheduling problems in which the actual processing time of a job is of learning effect and of resource-dependence based on the above case.In the problem,it is assumed that the actual processing time of a job is an exponential function of the total normal processing time of jobs already processed before it.At the same time,the actual processing time of a job linear decreases and thetotal resource consumption costs linear increases as the resource distributed to the job increases.For such a scheduling problem,we introduce five objective functions:the sum of makespan and total resource consumption costs;the sum of the total completion time and total resource consumption costs;the sum of the total weighted completion time andtotal resource consumption costs;the sum of the total earliness、tardi-ness、common due date and total resource consumption costs and the sum of the total earliness、tardiness、slack due date and total resource consumption costs.For the scheduling problems corresponding to the first three func-tions,we present polynomial time solvable algorithms respectively.We give time solvable algorithms for the scheduling problems corresponding to the last two functions respectively by using assignment problem.【期刊名称】《运筹与管理》【年(卷),期】2018(027)001【总页数】6页(P53-58)【关键词】单机排序;学习效应;资源依赖;指派问题【作者】余英;程明宝【作者单位】俄罗斯人民友谊大学理学院,俄罗斯莫斯科;凯里学院理学院,凯里贵州;广东工业大学管理学院,广东广州【正文语种】中文【中图分类】O2230 引言具有学习效应的排序问题是近30年来研究的热点领域。

带有学习效应的加工时间可控退化工件单机排序问题

带有学习效应的加工时间可控退化工件单机排序问题隋敏;赵传立【摘要】讨论了带有学习效应、加工时间可控的退化工件的单机排序问题.工件的实际加工时间是一个关于所排位置、开始加工时间和所分配资源的函数.加工时间可控是指工件的实际加工时间是一个依赖资源分配量的函数.目标是确定工件的最优排序、最优加工时间和最优资源分配量、极小化最大完工时间、总完工时间、完工时间差和资源消耗的总费用.考虑了2种情形:学习因子与工件有关的线性资源函数;将学习效应与工件的实际加工时间、依赖开始时间结合在一起的凸资源函数.通过分析最优解的一些重要性质,将这2个问题分别转化为指派问题,给出了2个计算复杂性为O(n3)的最优算法,证明了该问题是多项式时间可解的.【期刊名称】《沈阳师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(033)004【总页数】4页(P488-491)【关键词】排序;学习效应;加工时间可控;资源分配;退化工件【作者】隋敏;赵传立【作者单位】沈阳师范大学数学与系统科学学院,沈阳110034;沈阳师范大学数学与系统科学学院,沈阳110034【正文语种】中文【中图分类】O223近年来，带有学习效应和退化工件的排序模型受到越来越多的关注［1-2］。

范雁鹏等［3］研究了加工时间可控的排序问题。

Wei等［4］首先提出了加工时间依赖开始时间和资源压缩率为常量的线性函数单机排序问题。

Wang等［5］讨论了带学习效应和加工时间可控的单机排序问题，目标函数是极小化最大完工时间、总完工时间、完工时间差和资源消耗的总费用，针对加工时间为线性资源函数和凸资源函数2种情况，给出了多项式时间算法。

基于相同的目标函数，Wang等［6］讨论了与Wei等［4］类似的问题。

在Wang等［6］的模型中，加工时间与学习因子为常量的学习效应相关并且资源压缩率与工件相关，对极小化最大完工时间、总完工时间、完工时间差和资源消耗的总费用问题给出了多项式时间算法。

具有学习效应和退化效应的单机排序问题

具有学习效应和退化效应的单机排序问题罗成新;李石【摘要】讨论同时具有截断控制参数学习效应和退化效应并带有公共交货期窗口的单机调度问题,其中工件任务的加工时间不仅依赖资源分配,而且依赖予截断控制参数和工件任务的起始加工时间.全部工件任务共同拥有同一个交货期窗口,假设工件任务若在交货期窗口期限之内完成,则不产生费用;否则,提前或延后交货都要产生一部分费用.目标是确定最优排序以及资源分配最优方案,分别考虑如下2种情况:1)限制资源总成本费用,极小化带有提前、延后、公共交货期起始时间、交货期窗口规模、总完工时间绝对差、完工时间总和值的问题;2)在限制窗口规模、完工时间总和等费用成本的情况下,极小化总资源量.将上述2种问题进一步转化为指派问题,研究并证明所述2种问题可在多项式时间内解决,并分别给出2个最优算法.【期刊名称】《沈阳师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(036)004【总页数】6页(P305-310)【关键词】排序;资源分配;截断控制参数;指派问题;交货期窗口【作者】罗成新;李石【作者单位】沈阳师范大学数学与系统科学学院,沈阳 110034;沈阳师范大学数学与系统科学学院,沈阳 110034【正文语种】中文【中图分类】O223排序理论是组合最优化学科的重要组成部分之一,具有非常重要的理论意义,广泛应用于各个学科之中。

大型复杂工作排序的好坏对工程费用大小影响很大。

在传统调度模型之下,大多数假定任务的加工时间是一个给定的常数值,但随着科学技术的迅速发展,人们发现这种假设并不能更好地贴近实际生活。

影响工件加工时间的原因多种多样,如因机器老化而造成的退化效应,或因工人反复操作提高技术而产生的学习效应,或资源分配等情况,任务的加工时间不再是固定不变的。

Liu等[1]研究了带有学习效应且加工时间依赖于资源分配的最优交货期排序问题,目标是通过获得最优交货期位置和最优排序使目标值最小;王吉波等[2]研究了同时具有学习和恶化效应的不同工期的指派问题;文献[3-4]相继研究了同时具有学习效应和退化效应的单机调度问题。

同时具有学习效应和退化效应的单机排序问题

同时具有学习效应和退化效应的单机排序问题刘洋;唐恒永;赵传立【期刊名称】《运筹与管理》【年(卷),期】2012(021)003【摘要】In this paper,we introduce a general single machine scheduling model with learning effect and deteriorating jobs simultaneously. In this model , the actual processing time of a job depends not only on its scheduling position but also on its starting time, and there is a past-sequence-dependent delivery time after each job is processed. The learning effect is a function of the scheduling position of the job in a schedule. The deterioration is a function of the starting time of the job in a schedule. We show that the makespan minimization problem and the total completion time minimization problem are polynomially solvable under the model. We also show that the total weighted completion time minimization problem and the maximum lateness minimization problem can be solved in polynomial time under certain conditions. We extend the conclusion in some of the existing literatures.%本文给出了一种同时具有一般化学习效应和退化效应的单机排序模型.在此模型中,工件的实际加工时间既与工件所在位置又与其开工时间有关,且工件在加工之后具有一个配送时间.其中学习效应是工件所在位置的函数,退化效应是工件开工时间的函数.证明了极小化最大完工时间和极小化总完工时间问题是多项式可解的,在满足一定的条件下,极小化加权总完工时间和极小化最大延误问题也是多项式可解的.推广了一些已有文献中的结论.【总页数】6页(P81-86)【作者】刘洋;唐恒永;赵传立【作者单位】沈阳师范大学数学与系统科学学院,辽宁沈阳110034;沈阳师范大学数学与系统科学学院,辽宁沈阳110034;沈阳师范大学数学与系统科学学院,辽宁沈阳110034【正文语种】中文【中图分类】O223【相关文献】1.具有学习效应和遗忘效应的单机排序问题研究 [J], 王申重;杜海龙2.具有学习与退化效应的单机排序问题 [J], 张新功;李文华3.具有截断控制参数学习效应及退化效应加工时间依赖于资源的单机排序问题 [J], 翟雯瑾;罗成新4.具有截断控制参数学习效应及退化效应加工时间依赖于资源的单机排序问题 [J], 翟雯瑾;罗成新;5.具有学习效应和退化效应的单机排序问题 [J], 罗成新;李石因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。