求极限的方法及例题总结[免费专享]
求极限的12种方法总结及例题
求极限的12种方法总结及例题求极限的12种方法总结及例题1. 引言在数学学习中，求极限是一个重要的概念，也是许多数学题解的基础。
在学习求极限的过程中，有许多不同的方法可以帮助我们理解和解决问题。
本文将总结12种方法，帮助我们更全面地理解求极限的概念，并提供相应的例题进行演示。
2. 利用极限的定义我们可以利用极限的定义来求解问题。
根据定义，当x趋向于a时，函数f(x)的极限为L，即对于任意的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε。
利用这个定义，可以求得一些简单的极限，如lim(x→0) sinx/x=1。
3. 利用夹逼准则夹逼准则是求极限常用的方法之一。
当我们无法直接求出某个函数的极限时，可以利用夹逼准则来找到该函数的极限值。
要求lim(x→0) xsin(1/x)的极限，可以通过夹逼准则来解决。
4. 利用极限的四则运算极限的四则运算法则是求解复杂函数极限的基本方法之一。
利用这个法则，我们可以将复杂的函数分解成简单的部分，再进行求解。
要求lim(x→0) (3x^2+2x-1)/(x+1)，可以利用极限的四则运算法则来求解。
5. 利用洛必达法则当我们遇到不定型的极限时，可以利用洛必达法则来求解。
洛必达法则可以帮助我们求出不定型极限的值，例如0/0、∞/∞、0*∞等形式。
通过洛必达法则，我们可以将求解不定型极限的过程转化为求解导数的问题，从而得到极限的值。
6. 利用泰勒展开泰勒展开是求解复杂函数极限的有效方法之一。
当我们遇到无法直接求解的函数极限时，可以利用泰勒展开将其转化为无穷级数的形式，然后再进行求解。
通过泰勒展开，我们可以将复杂函数近似为一个多项式，从而求得函数的极限值。
7. 利用换元法换元法是求解复杂函数极限的常用方法之一。
通过适当的变量替换，可以将复杂的函数转化为简单的形式，然后再进行求解。
对于lim(x→∞) (1+1/x)^x，可以通过换元法将其转化为e的极限形式来求解。
极限的求法总结
n2
11 lim (1 )
n2 n
1 2
.
例ln i m (1 133 15 ...4 n 1 2 1 )
拆 项 :4 n 2 1 1 ( 2 n 1 ) 1 ( 2 n 1 ) 1 2 (2 n 1 1 2 n 1 1 )
lim( 1 1 ... 1 )
n 13 35
4n2 1
x 0
x
e e e e. 11 lim 1x x 0 2x
x lim1x x 02x
lim 1 x 02(1x)
1 2
14. 将数列极限转化成函数极限求解
例：求极限
lim
n
n
sin
1 n
n2
【说明】这是 1 形式的极限，由于数列极限不能使用
解： 当0x1时，（积分不容易计算）
01xnssiinn33xx xn
故 01xnsin 3xd x1 xnd xxn 11, 01 sin 3x 0 n 10n 1
因为 lim0lim 1 0 x xn1
所以
lim 1xnsin3xdx0
x 01sin3x
10. 用等价无穷小量代换求极限
limx2( x2+93)3 x0 x2( x2+42) 2
9.利用夹逼准则（两边夹法）则求极限
说明：两边夹法则需要放大和缩小不等式，常用的方法 是都换成最大的和最小的。
例 求 li(m 11 1). n n 2 1 n 2 2 n 2 n
解
n1 1n, n 2 nn 2 1 n 2 nn 2 1
(n1,2,3,)
（1）证明
lim
n
xn
存在；
（2）求
lim
(完整word版)高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)
高等数学求极限的14 种方法一、极限的定义1. 极限的保号性很重要：设limf (x)A ，x x 0（ i ）若 A 0 ，则有0 ，使适当 0 | x x 0 |时， f (x) 0 ； （ ii ）如有0, 使适当 0 | x x 0 |时， f (x)0,则A0 。
2. 极限分为函数极限、数列极限，此中函数极限又分为限能否存在在：x时函数的极限和 xx 0 的极限。
要特别注意判断极（ i ）数列 x n 收敛于 a 的充要条件 是它的全部子数列均收敛于 a 。
常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ”（ ii ）limf (x)Alimf ( x)limAxxx(iii)lim f ( x)AlimlimAx xx x 0x x 0(iv) 单一有界准则 （ v ）两边夹挤准则（夹逼定理 / 夹逼原理） （ vi ） 柯 西 收 敛 准 则 （ 不 需 要 掌 握 ）。
极 限 limf ( x) 存 在 的 充 分 必 要 条 件 是 ：x x 00,0, 使适当 x 1、 x 2U o ( x 0 )时，恒有 | f ( x 1 ) f ( x 2 ) |二．解决极限的方法以下：1. 等价无量小代换。
只好在乘除 时候使用。
例题略。
．．2. 洛必达（ L ’ho spital ）法例（大题目有时会有示意要你使用这个方法）它的使用有严格的使用前提。
第一一定是X 趋近，而不是 N 趋近，因此面对数列极限时候先要转变为求 x 趋近状况下的极限，数列极限的n 自然是趋近于正无量的，不行能是负无量。
其次 , 一定是函数的导数要存在，假如告诉 f （x ）、g （x ）, 没告诉能否可导， 不行直接用洛必达法例。
此外，一定是 “0 比 0”或“无量大比无量大” ,而且注意导数分母不可以为 0。
洛必达法例分为 3 种状况：（i ）“ 0”“”时候直接用(ii) “0? ”“”，应为无量大和无量小成倒数的关系，因此无量多数写成了无量小的倒数形式了。
极限的求法总结
8.分子（母）有理化求极限
【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。
例 求极限 lim ( x2 + 3 − x2 +1) x→+
lim (
x→+
x2 + 3 −
x2 +1) = lim ( x2 + 3 − x2 +1)( x2 + 3 +
x→+
x2 + 3 + x2 +1
= lim
− −
1) 1)
= lim x + 1 = 1 . x→1 x + 3 2
(消去零因子法)
4.无穷小因子分出法求极限
例
求
lim
x→
2x3 7x3
+ +
3x2 4x2
+ −
5 1
.
解
x
→
时,
分子,分母的极限都是无穷大.(
型
)
先用x3去除分子分母,分出无穷小,再求极限.
35
lim
x→
2x3 7x3
+ +
练习4
lim
x→
(2x
+1)4 (x −1)78 (x +1)82
=
lim
x→
x4
(2
+
1 x
)4
x 78
(1 −
x82
(1 +
)1 82
x
1 x
)78
= 24
= 16
5.先变形再求极限
(利用求和化简，拆项技巧，合并化简等)
例
求
1
lim(
高等数学 求极限方法小结及举例
11
x = f ′( t ) d2y 例 12 . f ′′( t ) ≠ 0 求 . 2 dx y = t f ′( t ) − f ( t ) d y y′( t ) f ′( t ) + t f ′′( t ) − f ′( t ) 解. = = =t d x x′( t ) f ′′( t )
2
t =π − x −1 2 t ========= lim t →0 cot t
tan t = − lim = −1 . t →0 t
"∞" ∞
例 7 . lim ( x ⋅ cot x )
x →0
x = lim =1. x →0 tan x
( 有界量乘无穷小 )
"0⋅ ∞"
lim x cos 1 = 0 . x x →0
4 . "∞ ± ∞" 型 ,
1 ± 1 = f ( x ) ± g( x ) . f ( x ) g( x ) f ( x ) ⋅ g( x )
5 . " ( 1 ± 0 ) ∞ " 型 , 0 " "0 型, u( x ) v ( x ) = e v ( x )⋅ln u( x ) 6. (指数型) " ∞0 " 型 , 7. lim [v ( x )⋅ln u( x ) ] v( x )
n x n −1 sin 1 − x n − 2 cos 1 x>0 x x f ′( x ) = 0 x=0 n x n −1 x<0 ′( x ) = lim n x n −1 sin 1 − x n − 2 cos 1 lim f x x x → +0 x →+0
高等数学求极限的17种常用方法(附例题和详解)
(iii)
(iv)单调有界准则
（v）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）
（vi）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 存在的充分必要条件是：
二．解决极限的方法如下：
1.等价无穷小代换。只能在乘除时候使用。例题略。
2.洛必达（L’hospital）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）
它的使用有严格的使用前提。首先必须是X趋近，而不是N趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f（x）、g（x）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：
；
cos=
ln（1+x）=x-
(1+x) =
以上公式对题目简化有很好帮助
4.两多项式相除:设 ，
P（x）= ,
(i) （ii）若 ，则
5.无穷小与有界函数的处理办法。例题略。
面对复杂函数时候，尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了。
（i）“ ”“ ”时候直接用
(ii)“ ”“ ”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后，就能变成(i)中的形式了。即 ；
(iii)“ ”“ ”“ ”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即 ，这样就能把幂上的函数移下来了，变成“ ”型未定式。
3.泰勒公式(含有 的时候，含有正余弦的加减的时候）
例1已知A=｛x -2≤x<3｝，B=｛x -1<x≤5｝，求A B，A B
(完整word版)求极限的13种方法
求极限的13种方法（简叙）龘龖龍极限概念与求极限的运算贯穿了高等数学课程的始终，极限思想亦是高等数学的核心与基础，因此，全面掌握求极限的方法与技巧是高等数学的基本要求。
本篇较为全面地介绍了求数列极限与函数极限的各种方法，供同学参考。
一、利用恒等变形求极限利用恒等变形求极限是最基础的一种方法，但恒等变形灵活多变，令人难以琢磨。
常用的的恒等变形有：分式的分解、分子或分母有理化、三角函数的恒等变形、某些求和公式与求积公式的利用等。
例1、求极限)1...()1)(1(22lim na aa n +++∞→ ，其中1<a分析 由于积的极限等于极限的积这一法则只对有限个因子成立，因此，应先对其进行恒等变形。
解 因为)1...()1)(1(22na a a +++ =)1...()1)(1)(1(1122na a a a a +++-- =)1...()1)(1(11222na a a a ++-- =)1(1112+--n a a当∞→n 时，,21∞→+n 而1<a ，故从而,012→+n a)1...()1)(1(22lim naa a n +++∞→=a-11 二、利用变量代换求极限利用变量代换求极限的主要目的是化简原表达式，从而减少运算量，提高运算效率。
常用的变量代换有倒代换、整体代换、三角代换等。
例2、求极限11lim 1--→nmx x x ，其中m,n 为正整数。
分析 这是含根式的（00）型未定式，应先将其利用变量代换进行化简，再进一步计算极限。
解 令11,1→→=t x x t mn时，则当原式=mnt t t t t t t t t t t t m m n n m m n n t m n t =++++++=+++-+++-=----------→→1...1...)1...)(1()1...)(1(lim 11lim 2121212111 三、利用对数转换求极限利用对数转换求极限主要是通过公式,ln v u v e u ⋅=进行恒等变形，特别的情形，在（∞1）型未定式时可直接运用v u v e u ⋅-=)1( 例3、求极限ox →lim xx 2csc )(cos解 原式=ox →lim 21sin sin 21lim csc )1(cos 2202---==→ee e xx xx x四、利用夹逼准则求极限利用夹逼准则求极限主要应用于表达式易于放缩的情形。
求极限的方法及例题总结
求极限的方法及例题总结1,定义,义明,;1,一些最义义的列或函的限;限义可以义察得到,都可以用上面数数极极的限义格定义义明～例如,～极;2,在后面求限义～;极1,中提到的义义限作义已知义果直接用～而不极运需再用限义格定义义明。
极利用义的定义求限数极义义方法要求熟义的掌握义的定义。
数2,限算法义极运定理1 已知～都存在～限义分义义极A～B～义下面限都存在～且有 ;极1, ;2,;3,义明,限下面的限义程是一致的～同义注意法义成立的件～件不极号极条当条义足义～不能用。
. 利用限的四义算法求限极运极义义方法主要义用于求一些义义函的和、乘、义、商的限。
通常情下～要使用义数极况些法义～往往需要根据具情先义函做某些恒等义形或化义。
体况数8.用初等方法义形后～再利用限算法义求限极运极例1解,原式= 。
注,本义也可以用洛比法义。
达例2解,原式= 。
例3解,原式。
3,重要限两个极;1, ;2, ～义明,不义要能义用义重要限本身～义义能义熟义用义的义形形式～运两个极运它例如,～～～等等。
利用重要限求限两个极极例5解,原式= 。
注,本义也可以用洛比法义。
达例61解,原式= 。
例7解,原式= 。
4,等价无义小定理2 无义小有界函的乘义仍然是无义小;限是与数即极0,。
定理3 当数即极义～下列函都是无义小;限是0,～且相互等价～有,即,,,,,, 。
义明,上面每函中的自义量当个数x义成义;,～仍有上面的等价义系成立～例如,义～ , ～ , 。
当定理4 如果函都是义的无义小～且,～,～义存在义～也存在且等于～数当即=。
利用等价无义小代义;定理4,求限极例9解,,～,～原式= 。
例10解,原式= 。
注,下面的解法是义义的,原式= 。
正如下面例义解法义义一义,。
例11解,～所以～原式= 。
;最后一步用到定理2,五、利用无义小的性义求限极有限无义小的和是无义小～有界函无义小乘义是无义小。
用等价无义小替义求个数与极限常常行之有效。
例 1. 2. 5,洛比法义达定理5 假义自义量当x义近于某一定义;或无义大,义～函和义足,;数1,和的极限都是0或都是无义大～;2,和都可义～且的义不义数0～;3,存在;或是无义大,～义限也一定存在～且等于～极即= 。
高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)
高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)高等数学中求极限是一项重要的数学技巧，它在数学分析、微积分和其他数学领域中都有广泛应用。
本文将介绍一些常用的求极限的方法，并给出相应的例题和详解。
一、直接代入法直接代入法是求极限的最基本方法之一。
当函数在某一点连续时，可以直接将该点代入函数中来求极限。
例题1：求函数f(x) = x^2在x=2处的极限。
解：直接将x=2代入函数中，得到f(2) = 2^2 = 4。
因此，f(x)在x=2处的极限为4。
二、夹逼法夹逼法（也称为夹挤准则）是求解一些复杂极限的常用方法。
它基于一个简单的想法：如果函数g(x)和h(x)在某一点p附近夹住函数f(x)，并且g(x)和h(x)的极限都相等，那么f(x)的极限也等于这个相等的极限。
例题2：求极限lim(x→∞) [(x+1)/x]。
解：我们可以用夹逼法来求解这个极限。
首先，我们可以注意到1 ≤ [(x+1)/x] ≤ [x/x] = 1（其中[x]表示取整函数）。
因此，我们可以将极限表达式两侧夹逼：lim(x→∞) 1 ≤ lim(x→∞) [(x+1)/x] ≤ lim(x→∞) 1。
根据夹逼准则，当lim(x→∞) 1 = 1时，极限lim(x→∞) [(x+1)/x]存在且等于1。
三、极限的四则运算法则在求解复杂函数的极限时，可以利用极限的四则运算法则。
该法则规定，如果函数f(x)和g(x)在某点p处的极限存在，则函数h(x) = f(x) ± g(x)、h'(x) = f(x) * g(x)、和h''(x) = f(x) / g(x)在点p的极限也存在，并满足相应的运算法则。
例题3：求极限lim(x→0) (sinx/x)。
解：我们可以利用极限的四则运算法则来求解这个极限。
首先，观察到当x→0时，分子sinx和分母x都趋向于0，因此这个极限是一个未定式。
根据极限的四则运算法则，我们可以将lim(x→0) (sinx/x)转化为lim(x→0) sinx / lim(x→0) x。
求极限方法总结全
求极限方法总结全 Document number：BGCG-0857-BTDO-0089-2022极限求解总结1、极限运算法则设limn→∞a a=a,limn→∞a a=a,则(1)limn→∞(a a±a a)=limn→∞a a±limn→∞a a=a±a;(2)limn→∞a a a a=limn→∞a a limn→∞a a=aa;(3)limn→∞a aa a=limn→∞a alimn→∞a a=aa(a≠0).2、函数极限与数列极限的关系如果极限limx→a0a(a)存在，{a a}为函数a(a)的定义域内任一收敛于a0的数列，且满足:a a≠a0(a∈a+)，那么相应的函数值数列{a(a)}必收敛，且lima→∞a(a a)=lima→a0a(a)3、定理（1）有限个无穷小的和也是无穷小；（2）有界函数与无穷小的乘积是无穷小；4、推论（1）常数与无穷小的乘积是无穷小；（2）有限个无穷小的乘积也是无穷小；（3）如果lim a(a)存在，而c为常数，则lim[aa(a)]=a lim a(a)（4）如果lim a(a)存在，而n是正整数，则lim[a(a)]a= [lim a(a)]a5、复合函数的极限运算法则设函数y=a[a(a)]是由函数u=a(a)与函数y=a(a)复合而成的，y=a[a(a)]在点a0的某去心领域内有定义，若lima→a0a(a)=a0，lima→a0a(a)=a，且存在a0>0，当x∈U(a0,a0)时，有a(a)≠a0，则lima→a0a[a(a)]=lima→a0a(a)=a6、夹逼准则如果(1)当x∈U(a,a)(或|a|>M)时,g(x)≤a(a)≤h(x)(2)lima→a0(a→∞)a(a)=a,lima→a0(a→∞)a(a)=a那么lima→a0(a→∞)a(a)存在，且等于A 7、两个重要极限（1）lima→0sin aa=1（2）limx→∞(1+1x)x=a8、求解极限的方法（1）提取因式法例题1、求极限lima→0a a+a−a−2a2解：lima→0a a+a−a−2a2=lima→0a−a(a2a−2a a+1)a2=lima→0a−a(a a−1a)2=1例题2、求极限lima→0a a2−a a2(a a−a a)2(a≠a,a.a>0)解：lima→0a a2−a a2(a a−a a)2=lima→0a a2[(aa)a2−1]a2a[(aa)a−1]2=lima→0a a2−2aa2ln aa(a ln aa)2=1lnaa例题3、求极限lima→+∞a a(a1a−a1a+1)(a>0,a≠1)解：lima→+∞a a a1a+1(a1a(a+1)−1)=lima→+∞a a a1a+11a(a+1)ln a=lim a→+∞a aa(a+1)a1a+1ln a=lima→+∞a a−21+1aa1a+1ln a=（2）变量替换法（将不一般的变化趋势转化为普通的变化趋势）例题1、lima→a sin(aa) sin(aa)解：令x=y+πlim a→a sin(aa)sin(aa)=lima→0sin(aa+aa)sin(aa+aa)=(−1)a−a lima→0sin aasin aa =(−1)a−aaa例题2、lima→1a1a−1 a1a−1解：令x=y+1lim a→1a1a−1a1a−1=lima→1(1+a)1a−1(1+a)1a−1=aa例题3、lima→+∞a2√a2+a−√a3+a23解：令y=1alim a →+∞a2√a 2+a −√a 3+a 23=lim a →0+√1a 2+1a−√1a3+1a 23=lim a →0+√1+a −√1+a3a =16（3）等价无穷小替换法x →0 sin a ~a ~sin −1a tan a ~a ~tan −1a a a −1~a ~ln (1+a ) a a −1~a ln a 1−cos a ~a 22(1+a )a −1~aa注：若原函数与x 互为等价无穷小，则反函数也与x 互为等价无穷小 例题1、lim a →0(a a +a a2)1a(a .a >0)解：lim a →0(a a +a a2)1a=a lim a →01alna a +a a 2=alim a →01aln (1+a a +a a −22)=alima →0(a a −1)+(a a −1)2a =√aa例题2、lim a →+∞ln (1+a aa )ln (1+ba)(a >0)解：lim a →+∞ln (1+a aa )ln (1+b a)=lim a →+∞ln (1+a aa )a a=lim a →+∞aa ln [a aa (a −aa +1)]=lima →+∞aa[ln a aa +ln (a −aa +1)]=lima →+∞aa[aa +ln (a−aa+1)]=aa +lima →+∞a ln (a −aa +1)a=aa例题3、lim a →0ln ((sin a )2+a a )−a ln (a 2+a 2a )−2a解：lim a →0ln ((sin a )2+a a )−a ln (a 2+a 2a )−2a=lima →0ln ((sin a )2+a a )−a ln (a 2+a 2a )−2a=lima →0ln ((sin a )2a a +1)ln (a 2a 2a+1)=lima →0(sin a )2a 2aa 2a a=1例题4、lim a →0a a −a sin aa −sin a解：lima →0a a −a sin aa −sin a=lima →0a sin a (a a −sin a −1)a −sin a=lima →0a sin a (a −sin a )a −sin a=1例题5、lim a →1a a −1a −1解：lima →1a a −1a −1=lima →1a a ln a −1a −1=lima →1a ln aa −1令y=x-1 原式=lima →0(a +1)ln (a +1)a=1例题6、lim a →a21−(sin a )a +a(()a )(()a )(a .a >0)解：令y =1−sin alim a →a21−(sin a )a +a√(())(())=lim a →0+1−(1−a )a +a√[()][()]=lim a →0+a (a +a )√aaaa=a +a√aa（a）a ∞型求极限例题1、lim a →a 4(tan a )tan 2a 解：解法一（等价无穷小）： lim a →a 4(tan a )tan 2a=alim a →a 4(tan 2a )ln (tan a )=alim a →a 4(tan 2a )ln [1+(tan a −1)]=a lim a →a 4(tan 2a )(tan a −1)=alim a →a42tan a1−(tan a )2(tan a −1)=alim a →a 4−2tan a 1+tan a =a −1解法二（重要极限）：lim a →a 4(tan a )tan 2a=lim a →a 4[1+(tan a −1)]1tan a −1tan 2a (tan a −1)=a lim a →a 4(tan 2a )(tan a −1)=alim a →a42tan a1−(tan a )2(tan a −1)=alim a →a 4−2tan a1+tan a =a −1（5）夹逼定理（主要适用于数列） 例题1、lim a →∞(1a+2a+3a+4a )1a解：4a ≤1a +2a +3a +4a ≤4×4a 所以lim a →∞(1a+2a+3a+4a )1a=4推广：a a >0 a =1,2,3……mlim a →∞(a 1a+a 2a+a 3a+⋯+a aa )1a=max 1≤a ≤a{a a }例题2、lim a →0a [1a]解：1a−1≤[1a]≤1a1)x >0 1−x ≤x [1a ]≤1所以x →0+ lim a →0a [1a]=12)x <0 1−x ≥x [1a]≥1所以x →0− lim a →0a [1a]=1例题3、lim a →∞32×55×78×?×2a +13a −1解：2a +13a −1≤2(a +1)3a(a ≥2)0≤32×55×78×?×2a +13a −1≤32×66×89×?×2(a +1)3a =a +12(23)a −2lim a →∞a +12(23)a −2=0所以lima→∞32×55×78×?×2a+13a−1=0例题4、lima→∞∑√a (a+1)2a=a2lim a→∞∑1√a(a+1)2a=a2=lima→∞[1√a+1√a1+1√()] 2a+2()≤a a≤2a+2√a所以lima→∞a a=2例题5、lima→∞∑(a a+1)−1a aa=1解：a a≤a a+1≤(a+1)a a≤(a a+1)1a≤a+11 a+1≤(a a+1)−1a≤1a所以aa+1≤∑(a a+1)−1aaa=1≤aalima→∞∑(a a+1)−1aaa=1=1（6）单调有界定理例题1、lima→∞32×55×78×?×2a+13a−1解：a a=a a−1×2a+13a−1≤a a−1???(∗){aa }单调递减0≤aa极限存在，记为A由（*）a→∞求极限得：A=23A所以A=0例题2、a0=1a a+1=√2a a求lima→∞a a解：a a+1−a a=√2a a−√2a a−1=2(a2a a2a a−1a1−a0=√2−1>0 {aa}单调递增a a+1=√2a a<√2a a+1所以(a a+1)2−2a a+1<00<a a+1<2极限存在，记为La→∞时L=√2a a=2例题3、a1>0a a+1=a(1+a a)a+a a(a>1)求极限lima→∞a a解：a a+1−a a=a(1+a a)a+a a −a(1+a a−1)a+a a−1=(a2−a)(a a−a a−1)(a+a a)(a+a a−1)a2−a1=a−a12 a+a1当a1>√a a2−a1<0a a↓ 当0<a1≤√a a a↑所以0<a a+1=a(1+a a)a+a a <a(a+a a)a+a a=a极限存在a→∞时L=a(1+a)a+aa=√a 注：a a单调性有时依赖于a1的选取例题4、a1>1a a+1=11+a a 求极限lima→∞a a解：a a+1−a a=a a−1−a a(1+a a)(1+a a−1)（整体无单调性）a2a+1−a2a−1=11+a2a−11+a2a−2=a2a−2−a2a(1+a2a)(1+a2a−2) =a2a−1−a2a−3(1+a2a)(1+a2a−2)(1+a2a−1)(1+a2a−3)a3−a1=11+a2−a1<0所以{a2a+1}单调递减，同理，{a2a}单调递增有因为0<a a<1(a≥2)故lima→∞a2a+1和lima→∞a2a均存在，分别记为A,Ba2a+1=11+a2aa2a=11+a2a−1即A=11+B B=11+A解得 A=B=√5−12所以lima→∞a a=√5−12（7）泰勒公式法例题1、设f有n阶连续导数(a≥2)a(a)(a0)=0(a=1,2,?,a−1)a(a)(a0)≠0 ?a∈aa(a0+a)−a(a0)=aa′(a0+aa)(0<a=a(a)<1)证明：lima→0a(a)=a11−a证明：a′(a0+aa)=a′(a0)+a"(a0)(aa)+a3(a0)2!(aa)2+??+a(a−1)(a0)(a−2)!(aa)a−2+a(a)(a)(a−1)!(aa)a−1即a′(a0+aa)=a (a)(a)(a−1)!(aa)a−1a<a<a0+aaa(a0+a)=a(a0)+a(a)(a)a!a aa(a0+a)−a(a0)=a a a(a)(a)a!a0<a<a0+aa(a)(a)a!a a=a(a)(a)(−)!aa−1aa a−1θ=√a(a)(a) a(a)(a)a−11a1 a−1a→0lima→0a(a)=√a(a)(a)a(a)(a)a−1a11−a=lima→0a(a)=a11−a （8）洛必达法则例题1、求lima→1a3−3a+2 a3−a2−a+1解：lima→1a3−3a+2a3−a2−a+1=lima→13a2−33a2−2a−1=lima→16a6a−2=32例题2、求lima→+∞a2−tan−1a1a解：lima→+∞a2−tan−1a1a=lima→+∞−11+x2−1a2=lima→+∞a21+a2=1例题3、求lima→+∞a aa aa(a为正整数，a>0)解：lima→+∞a aa aa=lima→+∞aa a−1aa aa=lima→+∞a(a−1)a a−2a2a aa=?=lima→+∞a!a a a aa=例题4、求lima→0+a a ln a(a>0)解：lima→0+a a ln a=lima→0+ln aa−=lima→0+1a−aa−−=lima→0+(−a aa)=0（9）利用函数的图像通过对求解极限方法的研究，我们对极限有了进一步的了解。
求极限的方法及例题总结解读
求极限的方法及例题总结解读第一篇：求极限的方法及例题总结解读1．定义：说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；x→2lim(3x-1)=5 （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。
利用导数的定义求极限这种方法要求熟练的掌握导数的定义。
2．极限运算法则定理1 已知limf(x)，limg(x)都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有（1）lim[f(x)±g(x)]=A±B（2）limf(x)⋅g(x)=A⋅B （3）limf(x)A=,(此时需B≠0成立)g(x)B说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。
.利用极限的四则运算法求极限这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。
通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。
8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限limx→1例1 3x+1-2x-1(3x+1)2-223x-33lim=lim=x→1(x-1)(3x+1+2)x→1(x-1)(3x+1+2 )4解：原式=。
注：本题也可以用洛比达法则。
例2 limn(n+2-n-1)n→∞nn[(n+2)-(n-1)]分子分母同除以lim=n→∞n+2+n-1limn→∞31+21+1-nn=32解：原式=(-1)n+3nlimnn例3 n→∞2+3。
上下同除以3n=解：原式1(-)n+1lim3=1n→∞2n()+13。
3．两个重要极限sinx=1x→0x（1）lim（2）x→0lim(1+x)=e1xlim(1+1)x=ex；x→∞说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，sin3x3lim=1lim(1-2x)-2x=elim(1+)3=ex例如：x→03x，x→0，x→∞；等等。
高等数学极限求解方法（共7篇）
高等数学极限求解方法（共7篇）以下是网友分享的关于高等数学极限求解方法的资料7篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。
高等数学求极限的方法篇1对于求解极限的方法可以归结为以下几类: (1)常用等价无穷小记住以下常用等价无穷小-例1 求极限limx →0x (1-cos x ) 【解】原式=x →0 =x →0=x →01==x →02例2 求下列极限1+cos x 2x() -1x (I)w =lim (II ) w =limx →0x →0ln(1+2x 3)4(2)等价无穷小的性质定理：有限个无穷小的代数和仍为无穷小. 定理：有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论：常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论：有限个无穷小的乘积也是无穷小.1【解】lim =0 , lim sin 为有界量，∴原式=0x →0x →0x【注】本题也可以利用常用的等价无穷小公式.(3)常用的极限sin x x sin x x lim =lim =1 lim =0 lim 极限不存在x →0x →0x →∞x →∞x sin x x sin x11x ln(1+x )lim(1+) =lim(1+x ) x =e lim =1x →∞x →0x →0x xlim =1 lim =1n →∞n →∞11例4 求w=lim(+2x ) xx →∞x(4)极限存在的两个准则(1)夹逼准则如果数列{x n },{y n }及{z n }满足下列条件:(1)y n ≤x n ≤z n (n =1, 2,3,...) ;(2)li m y n =lim z n =a , 那么数列{x n }的极限存在，且lim x n =a .n →∞n →∞n →∞(2)单调有界准则单调有界数列必有极限.(5)极限的定义(6)洛必达法则【解】(7)变量替换11方法2 w =lim(+2x ) x =e A ，而x →∞x01t1(t +2-1) x =1/t 0A =lim(+2x -1) −−−→lim −−→lim(1+2t ln 2) =1+l n 2, x →∞x t →0t →0t 故w =e 1+ln 2=2e(8)泰勒公式高等数学中极限的求解方法篇2龙源期刊网高等数学中极限的求解方法作者：曲波来源：《速读下旬》2014年第05期摘要：本文介绍了利用两个重要极限、无穷小量代换、洛比达法则、等求极限的方法，并结合具体的例子，指出了在解题过程中常遇见的一些问题。
高等数学求极限的17种常用方法（附例题和详解）
⾼等数学求极限的17种常⽤⽅法（附例题和详解）⾼等数学求极限的14种⽅法⼀、极限的定义1.极限的保号性很重要：设A x f x x =→)(lim 0，（i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ；（ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。
2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限⼜分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。
要特别注意判定极限是否存在在：（i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有⼦数列均收敛于a 。
常⽤的是其推论，即“⼀个数列收敛于a 的充要条件是其奇⼦列和偶⼦列都收敛于a ”（ii ）A x x f x A x f x =+∞→=-∞→?=∞→limlimlim)()((iii)A x x x x A x f x x =→=→?=→+-lim lim lim 0)((iv)单调有界准则（v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）（vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。
极限)(lim 0x f x x →存在的充分必要条件是：εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当⼆．解决极限的⽅法如下：1.等价⽆穷⼩代换。
只能在乘除．．时候使⽤。
例题略。
2.洛必达（L’ho spital ）法则（⼤题⽬有时候会有暗⽰要你使⽤这个⽅法）它的使⽤有严格的使⽤前提。
⾸先必须是X 趋近，⽽不是N 趋近，所以⾯对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正⽆穷的，不可能是负⽆穷。
其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接⽤洛必达法则。
另外，必须是“0⽐0”或“⽆穷⼤⽐⽆穷⼤”,并且注意导数分母不能为0。
高等数学求极限的常用方法附例题和详解
高等数学求极限的常用方法附例题和详解内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）高等数学求极限的14种方法一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设A x f x x =→)(lim 0，（i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。
2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。
要特别注意判定极限是否存在在：（i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。
常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ”（ii ）A x x f x A x f x =+∞→=-∞→⇔=∞→limlimlim)()((iii)A x x x x A x f x x =→=→⇔=→+-lim lim lim 0)((iv)单调有界准则（v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）（vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。
极限)(lim 0x f x x →存在的充分必要条件是：εδεδ<-∈>∃>∀|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当二．解决极限的方法如下：1.等价无穷小代换。
只能在乘除．．时候使用。
例题略。
2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。
首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。
其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。
(完整版)极限的解法与技巧_汇总
极限的求法与技巧极限是解决数学问题的一种有效的工具。
以下列举种方法，并附有例题。
1.运用极限的定义 例：用极限定义证明:1223lim 22=-+-→x x x x 证: 由244122322-+-=--+-x x x x x x ()2222-=--=x x x0>∀ε 取εδ= 则当δ<-<20x 时,就有ε<--+-12232x x x由函数极限δε-定义有:1223lim 22=-+-→x x x x 2.利用单调有界准则求极限预备知识：若数列{}n a 收敛，则{}n a 为有界数列，即存在正数M ，使得对一切正整数n ，有 M a n ≤.此方法的解题程序为：1、直接对通项进行分析或用数学归纳验证数列{}n a 单调有界；2、设{}n a 的极限存在，记为A a n n =∞→lim 代入给定的表达式中，则该式变为A 的代数方程，解之即得该数列的极限。
例：若序列{}n a 的项满足)0(1>>a a a 且),2,1(,211Λ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+n a a a a n n n ,试证{}n a 有极限并求此极限。
解 由 a a >1a a aa a a a a a a a =>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=12112111222121 用数学归纳法证明 a a k > 需注意a a a a a a a a a a a k k k kk k k =>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2222121. 又 022121>-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--n nn n n n a a a a a a a a ∴ {}n a 为单调减函数且有下界。
令其极限为A 由 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+n n n a a a a 211有： ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+∞→n n n n a a a a 21lim 1即 ⎪⎭⎫⎝⎛+=A a A A 21∴ a A =2∴ a A = )0(>A从而 a a n n =∞→lim. 3.利用等价无穷小替换 常用的等价无穷小关系：,~arctan ~arcsin ,~tan ,~sin ,0x x xx x x x x x → ,~1x e x -,ln ~1a x a x -,ln ~)1(log a x x a+,1~11x nx n-+等价无穷小代换法设'',,,ββαα 都是同一极限过程中的无穷小量，且有： ''~,~ββαα，''lim βα 存在， 则 βαlim 也存在，且有βαlim = ''lim βα例:求极限2220sin cos 1lim x x x x -→ 解: ,~sin 22x x 2)(~cos 1222x x -∴ 2220sin cos 1lim x x x x -→=212)(2222=x x x 注： 在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换，若以和、差出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的“阶数” 4．利用极限的四则运算法则 极限的四则运算法则叙述如下：若 A x f x x =→)(lim 0B x g xx =→)(lim 0(I)[]=±→)()(lim 0x g x f x x )(lim 0x f x x →±B A x g xx ±=→)(lim 0(II)[]B A x g x f x g x f xx x x x x ⋅=⋅=⋅→→→)(lim )(lim )()(lim 0(III)若 B≠0 则：BAx g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim )(lim )()(lim 000 ,~)1ln(x x +,21~11x x -+,~1)1(x x αα-+（IV ）cA x f c x f c xx x x =⋅=⋅→→)(lim )(lim 0（c 为常数）上述性质对于时也同样成立-∞→+∞→∞→x x x ,,总的说来，就是函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。
求极限的方法及例题总结
1．定义：说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；5)13(lim 2=-→x x（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。
利用导数的定义求极限这种方法要求熟练的掌握导数的定义。
2．极限运算法则定理1 已知)(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有（1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ⋅=⋅)()(lim （3）)0(,)()(lim成立此时需≠=B B Ax g x f说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。
. 利用极限的四则运算法求极限这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。
通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。
8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限例11213lim1--+→x x x解：原式=43)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。
注：本题也可以用洛比达法则。
例2)12(lim --+∞→n n n n解：原式=2311213lim12)]1()2[(lim=-++=-++--+∞→∞→nn n n n n n n nn 分子分母同除以。
例3 nn n n n 323)1(lim ++-∞→解：原式11)32(1)31(lim 3=++-=∞→nn n n上下同除以。
3．两个重要极限（1）1sin lim0=→x xx（2）ex xx =+→1)1(lim ；ex x x =+∞→)11(lim说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，例如：133sin lim0=→x xx ，e x xx =--→21)21(lim ，e x xx =+∞→3)31(lim ；等等。
大学数学经典求极限方法(最全)
求极限的各种方法1．约去零因子求极限例1：求极限11lim 41--→x x x【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。
【解】6)1)(1(lim 1)1)(1)(1(lim2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限例2：求极限13lim 323+-∞→x x x x【说明】∞∞型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。
【解】3131lim 13lim 311323=+-=+-∞→∞→x xx x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方；(2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=<∞>=++++++----∞→nm b a n m n m b x b x b a x a x a n nm m m m n n n n x 0lim 011011ΛΛ3．分子(母)有理化求极限例3：求极限)13(lim 22+-++∞→x x x【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。
【解】13)13)(13(lim)13(lim 22222222+++++++-+=+-++∞→+∞→x x x x x x x x x x0132lim22=+++=+∞→x x x例4：求极限3sin 1tan 1limxxx x +-+→ 【解】xx x xx x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim3030+-+-=+-+→→ 41sin tan lim 21sin tan limsin 1tan 11lim30300=-=-+++=→→→x x x x x x xx x x x 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键4．应用两个重要极限求极限两个重要极限是1sin lim 0=→xxx 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→10)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。
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1．定义：说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；5)13(lim 2=-→x x（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。
利用导数的定义求极限这种方法要求熟练的掌握导数的定义。
2．极限运算法则 定理1 已知)(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有（1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ⋅=⋅)()(lim（3）)0(,)()(lim成立此时需≠=B B Ax g x f说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。
. 利用极限的四则运算法求极限这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。
通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。
8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限例11213lim1--+→x x x解：原式=43)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。
注：本题也可以用洛比达法则。
例2)12(lim --+∞→n n n n解：原式=2311213lim12)]1()2[(lim=-++=-++--+∞→∞→nn n n n n n n nn 分子分母同除以。
例3 nn n n n 323)1(lim ++-∞→解：原式11)32(1)31(lim 3=++-=∞→nn n n上下同除以 。
3．两个重要极限（1） 1sin lim0=→x x x（2）ex xx =+→1)1(lim ； ex x x =+∞→)11(lim说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，例如：133sin lim 0=→x x x ，e x x x =--→210)21(lim ，e x xx =+∞→3)31(lim ；等等。
利用两个重要极限求极限例5 203cos 1limx xx -→解：原式=61)2(122sin 2lim 32sin 2lim220220=⋅=→→x xx x x x 。
注：本题也可以用洛比达法则。
例6xx x 2)sin 31(lim -→解：原式=6sin 6sin 31sin 6sin 310])sin 31[(lim )sin 31(lim ---→-⋅-→=-=-e x x xx xx xxx x 。
例7nn n n )12(lim +-∞→解：原式=313311331])131[(lim )131(lim -+--+∞→+-⋅-+∞→=+-+=+-+e n n n nn n n nn n 。
4．等价无穷小定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。
定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-xe 。
说明：当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时（0)(→x g ），仍有上面的等价关系成立，例如：当0→x 时， 13-x e ～ x 3 ；)1ln(2x - ～ 2x -。
定理4如果函数)(),(),(),(11x g x f x g x f 都是0x x →时的无穷小，且)(x f ～)(1x f ，)(x g ～)(1x g ，则当)()(lim110x g x f x x →存在时，)()(limx g x f x x →也存在且等于)(x f )()(lim 110x g x f x x →，即)()(lim0x g x f x x →=)()(lim 110x g x f x x →。
利用等价无穷小代换（定理4）求极限例9)arctan()31ln(lim20x x x x +→解：)31ln(0x x +→时， ～x 3，)arctan(2x ～2x ，∴ 原式=33lim2=⋅→x xx x 。
例10 x x e e xx x sin limsin 0--→解：原式=1sin )sin (lim sin )1(lim sin 0sin sin 0=--=--→-→x x x x e x x e e x x x x x x 。
注：下面的解法是错误的：原式=1sin sin lim sin )1()1(lim 0sin 0=--=----→→x x x x x x e e x x x x 。
正如下面例题解法错误一样：0lim sin tan lim3030=-=-→→x xx x x x x x 。
例11 x x x x sin )1sin tan(lim20→解：等价与是无穷小，时，当x x x x x x x 1sin )1sin tan(1sin0222∴→ ，所以， 原式=01sin lim 1sinlim 020==→→x x x x x x x 。
（最后一步用到定理2）五、利用无穷小的性质求极限有限个无穷小的和是无穷小，有界函数与无穷小乘积是无穷小。
用等价无穷小替换求极限常常行之有效。
例 1. )11sin 1(lim 2--+→x x e x x 2. x x x ln )1sin(sin lim 0-→5．洛比达法则 定理5假设当自变量x 趋近于某一定值（或无穷大）时，函数)(x f 和)(x g 满足：（1）)(x f 和)(x g 的极限都是0或都是无穷大；（2）)(x f 和)(x g 都可导，且)(x g 的导数不为0；（3）)()(limx g x f ''存在（或是无穷大）；则极限)()(lim x g x f 也一定存在，且等于)()(lim x g x f ''，即)()(lim x g x f =)()(limx g x f '' 。
说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。
特别要注意条件（1）是否满足，即验证所求极限是否为“00”型或“∞∞”型；条件（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完毕后可以知道是否满足。
另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。
利用洛比达法则求极限说明：当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。
同时，洛比达法则还可以连续使用。
例12 203cos 1limx xx -→（例4）解：原式=616sin lim 0=→x x x 。
（最后一步用到了重要极限） 例1312coslim1-→x xx π解：原式=212sin2lim1πππ-=-→xx 。
例1430sin limx x x x -→解：原式=203cos 1limx x x -→=616sin lim 0=→x x x 。
（连续用洛比达法则，最后用重要极限） 例15 x x xx x x sin cos sin lim20-→ 解：313sin lim 3)sin (cos cos limcos sin lim202020==--=⋅-=→→→x x x x x x x x x x x x x x x x 原式例18])1ln(11[lim 0x x x +-→ 解：错误解法：原式=0]11[lim 0=-→x x x 。
正确解法：。
原式21)1(2lim 2111lim )1ln(lim)1ln()1ln(lim0000=+=-+=⋅-+=+-+=→→→→x x x x x x x xx x x x x x x x x 应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。
例19x x x x x cos 3sin 2lim+-∞→解：易见：该极限是“00”型，但用洛比达法则后得到：x x x sin 3cos 21lim--∞→，此极限不存在，而原来极限却是存在的。
正确做法如下：原式=x xx x x cos 3sin 21lim+-∞→ （分子、分母同时除以x ） =31（利用定理1和定理2）定理6一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果x 是函数)(x f 的定义去间内的一点，则有)()(lim 00x f x f x x =→ 。
利用函数的连续性（定理6）求极限例4xx ex 122lim →解：因为20=x 是函数xe x xf 12)(=的一个连续点，所以 原式=e e 42212= 。
7．极限存在准则定理7（准则1） 单调有界数列必有极限。
四、利用单调有界准则求极限首先常用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性，再求解方程可求出极限。
例1. 设0>a ，),2,1(,,,1121 =+=+=+==+n x a x x a a a x a x n n求极限n n x∞→lim 。
定理8（准则2） 已知}{,}{,}{n n n z y x 为三个数列，且满足：（1）),3,2,1(, =≤≤n z x y n n n （2）ay n n =∞→lim ，az n n =∞→lim则极限∞→n nx lim 一定存在，且极限值也是a ，即ax n n =∞→lim 。
利用极限存在准则求极限 例20 已知),2,1(,2,211 =+==+n x x x n n ，求nn x ∞→lim解：易证：数列}{n x 单调递增，且有界（0<nx <2），由准则1极限nn x ∞→lim 存在，设ax n n =∞→lim 。
对已知的递推公式nn x x +=+21两边求极限，得：a a +=2，解得：2=a 或1-=a （不合题意，舍去）所以2lim =∞→n n x 。
例21)12111(lim 222n n n n n ++++++∞→ 解： 易见：11211122222+<++++++<+n n nn n n n n n因为1lim2=+∞→nn n n ，11lim2=+∞→n n n所以由准则2得：1)12111(lim 222=++++++∞→nn n n n 。
9. 洛必达法则与等价无穷小替换结合法对于一些函数求极限问题，洛必达法则和等价无穷小结合御用，往往能化简运算，收到奇效。
11. 泰勒展开法12. 利用定积分的定义求极限法积分本质上是和式的极限，所以一些和式的极限问题可以转化为求定积分的问题。
8. 利用复合函数求极限十、利用级数收敛的必要条件求极限级数收敛的必要条件是：若级数∑∞=1n nu收敛，则0lim =∞→n n u ，故对某些极限)(lim n f n ∞→，可将函数)(n f 作为级数∑∞=1)(n n f 的一般项，只须证明此技术收敛，便有0)(lim =∞→n f n 。