求极限方法总结-全
求极限的12种方法总结及例题
求极限的12种方法总结及例题求极限的12种方法总结及例题1. 引言在数学学习中，求极限是一个重要的概念，也是许多数学题解的基础。
在学习求极限的过程中，有许多不同的方法可以帮助我们理解和解决问题。
本文将总结12种方法，帮助我们更全面地理解求极限的概念，并提供相应的例题进行演示。
2. 利用极限的定义我们可以利用极限的定义来求解问题。
根据定义，当x趋向于a时，函数f(x)的极限为L，即对于任意的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε。
利用这个定义，可以求得一些简单的极限，如lim(x→0) sinx/x=1。
3. 利用夹逼准则夹逼准则是求极限常用的方法之一。
当我们无法直接求出某个函数的极限时，可以利用夹逼准则来找到该函数的极限值。
要求lim(x→0) xsin(1/x)的极限，可以通过夹逼准则来解决。
4. 利用极限的四则运算极限的四则运算法则是求解复杂函数极限的基本方法之一。
利用这个法则，我们可以将复杂的函数分解成简单的部分，再进行求解。
要求lim(x→0) (3x^2+2x-1)/(x+1)，可以利用极限的四则运算法则来求解。
5. 利用洛必达法则当我们遇到不定型的极限时，可以利用洛必达法则来求解。
洛必达法则可以帮助我们求出不定型极限的值，例如0/0、∞/∞、0*∞等形式。
通过洛必达法则，我们可以将求解不定型极限的过程转化为求解导数的问题，从而得到极限的值。
6. 利用泰勒展开泰勒展开是求解复杂函数极限的有效方法之一。
当我们遇到无法直接求解的函数极限时，可以利用泰勒展开将其转化为无穷级数的形式，然后再进行求解。
通过泰勒展开，我们可以将复杂函数近似为一个多项式，从而求得函数的极限值。
7. 利用换元法换元法是求解复杂函数极限的常用方法之一。
通过适当的变量替换，可以将复杂的函数转化为简单的形式，然后再进行求解。
对于lim(x→∞) (1+1/x)^x，可以通过换元法将其转化为e的极限形式来求解。
求极限的方法,(自己总结的)
求极限的常用方法1.直接代入法:对于初等函数f( )的极限, , 若f( )在0处的函数值f( 0)存在, 即。
直接代入法的本质就是只要将= 0代入函数表达式, 若有意义, 其极限就是该函数值（称为“能代则代”）。
例I: 求极限（1）（2）（3）解: （1）（2）（3）2.变型法（包括两个重要极限）通俗地说代入后无意义的极限称为不定式, （如0/0,∞/∞,∞-∞等）此时若极限存在往往要变形后才可看出。
例I: 求极限（1）（2）解: （1）（2）两个重要极限是和, 第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。
主要考第二个重要极限。
例I: 求极限解:例II: 求极限【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１, 再凑, 最后凑指数部分。
解:3.利用连续性定义。
例I: 求解：y= 可看作由y= 与复合而成。
因为= , 而函数y= 在点u= 连续, 所以=例II: 求解: =例III: 求解：因为 利用定理３及极限的运算法则, 便有4.利用无穷小、无穷大的关系【说明】(1)常见等价无穷小有:当0→x 时,~)1ln(~arctan ~arcsin ~tan ~sin ~x x x x x x +1e x -, ()abx ax x x b ~11,21~cos 12-+- 例1: 求极限解 002ln(1)lim lim 211cos 2x x x x x x x x →→+⋅==- 例2: 求极限 解x x x x 30tan sin lim -→613lim 31cos lim sin lim 222102030-=-==-=-=→→→xx x x x x x x x x 例3因式代替规则x x x x 3sin tan lim 0-→x x x x 30)1cos 1(sin lim -=→212lim 330==→x x x 5.利用极限的性质法（如四则运算）利用极限的4则运算法则, , ,例1: 求解：先用 除分子和分母, 然后求极限, 得52123lim 232+---∞→x x x x x 020512123lim 332==+---=∞→x x x x x x 例2: 求解, 因为分母的极限 , 不能应用商的极限的运算法则, 但因 所以∞=+--→4532lim 21x x x x6.洛必达法则（求不定式极限）定理一 设（1） 当x 时, f(x)及F （x ）都趋向于零；（2） 在点a 的某一去心领域内, f ’(x)及F ’(x)都存在且F ’(x)≠o ；（3） )(')('lim x F x f a x →存在（或为无穷大）； 那么 )(')('lim )()(lim x F x f x F x f a x a x →→=定理二 设（1） 当x 时，∞→函数f(x)及F(x)都趋向于零；（2） 当；）都存在，且与时0('F )(')('x ≠>x x F x f N （3） 或为无穷大），存在()(')('lim x F x f x ∞→ 那么 ）x F x f x F x f x (')('lim )()(lim x ∞→∞→= 例1: 求解: 原式=例2: 求 >0)解: 原式=例3: 求解: 原式=7.积分法积分求极限法:例一: 求 。
高数中求极限的16种方法
高数中求极限的16种方法——好东西首先对极限的总结如下:极限的保号性很重要，就是说在一定区间内，函数的正负与极限一致一、极限分为一般极限，还有数列极限，（区别在于数列极限发散，是一般极限的一种）二、求极限的方法如下：1 .等价无穷小的转化，（一般只能在乘除时候使用，在加减时候用必须证明拆分后极限依然存在） e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。
全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小）2.罗比达法则（大题目有时候会有暗示,要你使用这个方法）首先他的使用有严格的使用前提，必须是 X趋近而不是N趋近！所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！必须是函数的导数要存在！必须是 0比0 无穷大比无穷大！当然还要注意分母不能为0注意：罗比达法则分为3种情况0比0，无穷比无穷的时候直接用；0乘以无穷，无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通项之后这样就能变成1中的形式了；0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方;对于（指数幂数）方程,方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了,（这就是为什么只有3种形式的原因， LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候LNX趋近于0）3.泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余弦的加减的时候要特别注意！！！！）E的x展开，sina 展开，cos 展开，ln1+x展开，对题目简化有很好帮助4.面对无穷大比上无穷大形式的解决办法取大头原则，最大项除分子分母！！！！！！！！！！！5.无穷小于有界函数的处理办法面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。
面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了！！！6.夹逼定理（主要对付数列极限！）这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。
极限的求法总结
8.分子（母）有理化求极限
【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。
例 求极限 lim ( x2 + 3 − x2 +1) x→+
lim (
x→+
x2 + 3 −
x2 +1) = lim ( x2 + 3 − x2 +1)( x2 + 3 +
x→+
x2 + 3 + x2 +1
= lim
− −
1) 1)
= lim x + 1 = 1 . x→1 x + 3 2
(消去零因子法)
4.无穷小因子分出法求极限
例
求
lim
x→
2x3 7x3
+ +
3x2 4x2
+ −
5 1
.
解
x
→
时,
分子,分母的极限都是无穷大.(
型
)
先用x3去除分子分母,分出无穷小,再求极限.
35
lim
x→
2x3 7x3
+ +
练习4
lim
x→
(2x
+1)4 (x −1)78 (x +1)82
=
lim
x→
x4
(2
+
1 x
)4
x 78
(1 −
x82
(1 +
)1 82
x
1 x
)78
= 24
= 16
5.先变形再求极限
(利用求和化简，拆项技巧，合并化简等)
例
求
1
lim(
高数求极限的方法总结
高数求极限的方法总结
1、利用定义求极限。
2、利用柯西准则来求。
柯西准则：必须并使{xn}存有音速的充要条件官任给ε>0,存有自然数n，使当n>n 时，对于
任意的自然数m有|xn-xm|<ε.
3、利用音速的运算性质及未知的音速xi。
如：lim(x+x^0.5)^0.5/(x+1)^0.5
=lim(x^0.5)(1+1/x^0.5)^0.5/(x^0.5)(1+1/x)^0.5
=1.
4、利用不等式即为：夹挤定理。
5、利用变量替换求极限。
比如lim (x^1/m-1)/(x^1/n-1)
可令x=y^mn
得：＝n/
6、利用两个重要极限来求极限。
（1）lim sinx/x=1
x->0
(2)lim (1+1/n)^n=e
n->∞
7、利用单调有界必存有音速xi。
8、利用函数连续得性质求极限。
9、用洛必达法则谋，这就是改得最少的。
10、用泰勒公式来求，这用得也很经常。
高等数学中求极限方法总结
高等数学中求极限方法总结高等数学第一章在整个高等数学的学习中都占有相当重要的地位，特别是极限，原因就是后续章节本质上都是极限。
一个经典的形容就是假如高等数学是棵树木的话，那么极限就是它的根，函数就是它的皮。
树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见极限的重要性。
故在这里总结了10种常用的求极限的方法并举例说明。
1、利用等价无穷小的转化求极限例：求极限x x x x 1cossin lim 20→。
解：x x x x 1cossin lim 20→x x x x 1cos lim 20→=xx x 1cos lim 0→=＝2注：通常在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用，但是前提是必须证明拆分后极限依然存在，要记住常用的等价无穷小，例如当0→x 时，).(0~sin ,21~sin ,~3x x x x x tgx x tgx −−。
2、罗比达法则例：求极限∫→x x tdtx 020arctan 1lim 解：∫→x x tdt x 020arctan 1lim 21211lim 2arctan lim 200=+==→→x x t x x 例：求极限⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−→11ln 1lim 1x x x 解：x x x x x x x x ln )1(ln 1lim 11ln 1lim 11−−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−→→21111lim 1ln 11lim 2211=+=−+−=→→xx x x x x x x x …注：使用罗比达法则必须满足使用条件，要注意分母不能为零，导数存在。
罗比达法则分为三种情况（1）0比0和无穷比无穷时候直接分子分母求导；（2）0乘以无穷，无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通项之后这样就能变成1的形式；（3）0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方，对于（指数幂数）方程，方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，）3、利用2个重要极限求极限例：求极限2)11(lim 22x x x x +−∞→解：211(lim 22x x x x +−∞→2)121(lim 2x x x +−+=∞→12212222])121[(lim +−−+∞→+−+=x x x x x 12lim 22+−∞→=x x x e 2−=e 。
求极限方法总结-全
极限求解总结1、极限运算法则设,,则(1)(2)(3)2、函数极限与数列极限的关系如果极限存在，为函数的定义域内任一收敛于的数列，且满足:，那么相应的函数值数列必收敛，且3、定理（1）有限个无穷小的和也是无穷小；（2）有界函数与无穷小的乘积是无穷小；4、推论（1）常数与无穷小的乘积是无穷小；（2）有限个无穷小的乘积也是无穷小；（3）如果存在，而c为常数，则（4）如果存在，而n是正整数，则5、复合函数的极限运算法则设函数是由函数与函数复合而成的，在点的某去心领域内有定义，若，且存在，当时，有，则6、夹逼准则如果(1)当(或>M)时,(2)那么存在，且等于A7、两个重要极限（1）（2）8、求解极限的方法（1）提取因式法例题1、求极限解：例题2、求极限解：例题3、求极限解：（2）变量替换法（将不一般的变化趋势转化为普通的变化趋势）例题1、解：令例题2、解：令x=y+1=例题3、解：令y==（3）等价无穷小替换法注：若原函数与x互为等价无穷小，则反函数也与x互为等价无穷小例题1、解：例题2、解：例题3、解：例题4、解：例题5、解：令y=x-1原式=例题6、解：令型求极限例题1、解：解法一（等价无穷小）：解法二（重要极限）：（5）夹逼定理（主要适用于数列）例题1、解：所以推广：例题2、解：1)所以2)所以例题3、解：所以例题4、所以例题5、解：所以（6）单调有界定理例题1、解：单调递减极限存在，记为A由（*）求极限得：A=A所以A=0例题2、求解：单调递增所以极限存在，记为L 时例题3、求极限解：当当所以极限存在时注：单调性有时依赖于的选取例题4、求极限解：（整体无单调性）所以单调递减，同理，单调递增有因为故和均存在，分别记为A,B即解得 A=B=所以（7）泰勒公式法例题1、设f有n阶连续导数证明：证明：即（8）洛必达法则例题1、求解：例题2、求解：例题3、求解：例题4、求解：（9）利用函数的图像通过对求解极限方法的研究，我们对极限有了进一步的了解。
求极限的21个方法总结
求极限的21个方法总结1. 直接代入法：将变量的值代入极限表达式中，计算极限的值。
2. 分子分母同除以最高次项的方法：可以使得分子和分母的最高次项的系数为1，简化计算。
3. 消去法：利用性质将某些项消去，使得表达式更容易计算。
4. 因式分解法：将极限表达式中的因式进行分解，简化计算。
5. 分数分解法：将极限表达式中的分数进行分解，简化计算。
6. 奇偶性性质：利用函数的奇偶性质，简化计算。
7. 倍角、半角、和差公式：利用三角函数的相关公式，简化计算。
8. 幂函数性质：利用幂函数的性质，简化计算。
9. 对数函数性质：利用对数函数的性质，简化计算。
10. 指数函数性质：利用指数函数的性质，简化计算。
11. 三角函数性质：利用三角函数的性质，简化计算。
12. 极坐标法：将极限表达式转化为极坐标形式，简化计算。
13. 无穷小代换法：将极限表达式中的变量代换为无穷小量，简化计算。
14. 夹逼定理：利用夹逼定理确定极限的值。
15. L'Hopital法则：当计算的极限为0/0或者∞/∞形式时，可以利用L'Hopital 法则进行计算。
16. 泰勒展开法：将极限表达式进行泰勒展开，取较低阶项进行计算。
17. 递推法：将极限表达式中的各项逐步推导出来，从而得到极限的值。
18. 积分法：将极限表达式转化为积分形式，利用积分的性质计算极限的值。
19. 微分法：将极限表达式转化为微分形式，利用微分的性质计算极限的值。
20. 反函数法：将极限表达式中的函数进行反函数变换，简化计算。
21. 几何法：利用几何图形的性质计算极限的值。
求极限方法的总结与归纳
6．用罗必塔法则求极限
ln cos 2 x ln(1 sin 2 x) 例 9：求极限 lim x 0 x2
【说明】
0 或 型的极限,可通过罗必塔法则来求。 0
2 sin 2 x sin 2 x ln cos 2 x ln(1 sin 2 x) 1 sin 2 x lim cos 2 x 【解】 lim 2 x 0 x 0 2x x
求极限方法的总结与归纳
1．约去零因子求极限 例 1：求极限 lim
x 1
x4 1 x 1
【说明】 x 1 表明 x与1 无限接近，但 x 1 ，所以 x 1 这一零因子可以约去。 【解】 lim
( x 1)( x 1)( x 2 1) lim ( x 1)( x 2 1) 6 =4 x 1 x 1 x 1
x
0
例 4：求极限 lim
x 0
1 tan x 1 sin x x3
【解】 lim
x 0
1 tan x 1 sin x tan x sin x lim 3 3 x 0 x x 1 tan x 1 sin x
lim
x 0
1 tan x sin x 1 tan x sin x 1 lim lim 3 2 x0 4 x x3 1 tan x 1 sin x x0
n
)
x xn2 （Ⅱ）计算 lim n 1 . n xn
【分析】 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在. 【详解】 （Ⅰ）因为 0 x1 ，则 0 x2 sin x1 1 . 可推得
1
0 xn 1 sin xn 1 , n 1, 2,
求极限的方法总结
求极限的几种常用方法一、 约去零因子求极限例如求极限limx→1x 4−1x−1，本例中当x →1时，x −1→0，表明x 与1无限接近，但x ≠1,所以x −1这一因子可以约去。
二、 分子分母同除求极限求极限lim x→∞x 3−x 23x 3+1∞∞型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。
lim x→∞x 3−x 23x 3+1=lim x→∞1−1x 3+1x3=13三、 分子(母)有理化求极限例:求极限lim x→∞(√x 3+3−√x 2+1)分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。
()()()()131313lim13lim22222222+++++++-+=+-++∞→+∞→x xx xx xxxx x132lim22=+++=+∞→x x x例：求极限limx→0√1+tanx−√1+sinxx 330sin 1tan 1lim x x x x +-+→=()x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim30+++-→ =300sin tan lim sin 1tan 11limx x x x x x x -+++→→=41sin tan lim 2130=-→x x x x 本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键。
四、 应用两个重要极限求极限两个重要的极限(1)limx→0sinx x=1(2)lim x→∞(1+1x)x=lim x→0(1+x)1x=e在这一类型题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可以利用公式。
例：求极限lim x→∞(x+1x−1)x第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出1，再凑1+1x ，最后凑指数部分。
lim x→∞(x +1x −1)x =lim x→∞(1+2x −1)x =lim x→∞[(1+1x −12)2x−1(1+2x −1)12]2=e 2五、 利用无穷小量的性质求极限无穷小量的性质：无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量。
求极限方法总结
求极限的方法横向总结：
1带根式的分式或简单根式加减法求极限：1）根式相加减或只有分子带根式：
用平方差公式，凑平方（有分式又同时出现未知数的不同次幂：
将未知数全部化到分子或分母的位置上）2）分子分母都带根式：
将分母分子同时乘以不同的对应分式凑成完全平方式（常用到
2分子分母都是有界变量与无穷大量加和求极限：
分子与分母同时除以该无穷大量凑出无穷小量与有界变量的乘积结果还是无穷小量。
3等差数列与等比数列和求极限：
用求和公式。
4分母是乘积分子是相同常数的n项的和求极限：
列项求和
5分子分母都是未知数的不同次幂求极限：
看未知数的幂数，分子大为无穷大，分子小为无穷小或须先通分。
6运用重要极限求极限（基本）。
7乘除法中用等价无穷小量求极限。
8函数在一点处连续时，函数的极限等于极限的函数。
9常数比0型求极限：
先求倒数的极限。
10根号套根号型：
约分，注意别约错了。
11三角函数的加减求极限：
用三角函数公式，将sin化cos
二，求极限的方法纵向总结：
1未知数趋近于一个常数求极限：
分子分母凑出（x-常数）的形式，然后约分（因为x不等于该常数所以可以约分）最后将该常数带入其他式子。
2未知数趋近于0或无穷：1）将x放在相同的位置
2）用无穷小量与有界变量的乘积
3）2个重要极限
4）分式解法（上述）。
求极限方法总结
求极限方法总结求极限方法总结一，求极限的方法横向总结：1带根式的分式或简单根式加减法求极限：1）根式相加减或只有分子带根式：用平方差公式，凑平方（有分式又同时出现未知数的不同次幂：将未知数全部化到分子或分母的位置上）2）分子分母都带根式：将分母分子同时乘以不同的对应分式凑成完全平方式（常用到2分子分母都是有界变量与无穷大量加和求极限：分子与分母同时除以该无穷大量凑出无穷小量与有界变量的乘积结果还是无穷小量。
3等差数列与等比数列和求极限：用求和公式。
4分母是乘积分子是相同常数的n项的和求极限：列项求和5分子分母都是未知数的不同次幂求极限：看未知数的幂数，分子大为无穷大，分子小为无穷小或须先通分。
6运用重要极限求极限（基本）。
7乘除法中用等价无穷小量求极限。
8函数在一点处连续时，函数的极限等于极限的函数。
9常数比0型求极限：先求倒数的极限。
10根号套根号型：约分，注意别约错了。
11三角函数的加减求极限：用三角函数公式，将sin化cos二，求极限的方法纵向总结：1未知数趋近于一个常数求极限：分子分母凑出（x-常数）的形式，然后约分（因为x不等于该常数所以可以约分）最后将该常数带入其他式子。
2未知数趋近于0或无穷：1）将x放在相同的位置2）用无穷小量与有界变量的乘积3）2个重要极限4）分式解法（上述）高数解题技巧。
高数（上册）期末复习要点高数（上册）期末复习要点第一章：1、极限2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型）第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续2、求导法则（背）3、求导公式也可以是微分公式第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节）2、洛必达法则3、泰勒公式拉格朗日中值定理4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习）5、曲率公式曲率半径第四章、第五章：积分不定积分：1、两类换元法 2、分部积分法（注意加C ）定积分： 1、定义 2、反常积分第六章：定积分的应用主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长第七章：向量问题不会有很难1、方向余弦2、向量积3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程） 3、空间平面4、空间旋转面（柱面）高数解题技巧。
考研数学：求极限的16个方法总结
考研数学：求极限的16个方法总结极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致。
1、极限分为一般极限，还有个数列极限(区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种)。
2、解决极限的方法如下1)等价无穷小的转化，(只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在)e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等。
全部熟记。
(x趋近无穷的时候还原成无穷小)2)洛必达法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)首先他的使用有严格的使用前提。
必须是X趋近而不是N趋近。
(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件。
还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!(假如告诉你g(x),没告诉你是否可导，直接用无疑是死路一条)必须是0比0无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0。
洛必达法则分为三种情况1)0比0无穷比无穷时候直接用2)0乘以无穷无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通项之后这样就能变成1中的形式了3)0的0次方1的无穷次方无穷的0次方对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，(这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0当他的幂移下来趋近于无穷的时候LNX趋近于0)3、泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意!)e 的x展开sina展开cos展开ln1+x展开对题目简化有很好帮助4、面对无穷大比上无穷大形式的解决办法。
取大头原则最大项除分子分母!看上去复杂处理很简单。
5、无穷小于有界函数的处理办法面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。
面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了!6、夹逼定理(主要对付的是数列极限!)这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。
求极限方法总结全
极限求解总结1、极限运算法则设limn→∞a n=a,limn→∞b n=b,则(1)limn→∞(a n±b n)=limn→∞a n±limn→∞b n=a±b;(2)limn→∞a n b n=limn→∞a n limn→∞b n=ab;(3)limn→∞a nb n=limn→∞a nlimn→∞b n=ab(b≠0).2、函数极限与数列极限的关系如果极限limx→x0f(x)存在，{x n}为函数f(x)的定义域内任一收敛于x0的数列，且满足:x n≠x0(n∈N+)，那么相应的函数值数列{f(x)}必收敛，且limn→∞f(x n)=limx→x0f(x)3、定理（1）有限个无穷小的和也是无穷小；（2）有界函数与无穷小的乘积是无穷小；4、推论（1）常数与无穷小的乘积是无穷小；（2）有限个无穷小的乘积也是无穷小；（3）如果lim f(x)存在，而c为常数，则lim[cf(x)]=c lim f(x)（4）如果lim f(x)存在，而n是正整数，则lim[f(x)]n= [lim f(x)]n5、复合函数的极限运算法则设函数y=f[g(x)]是由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合而成的，y=f[g(x)]在点x0的某去心领域内有定义，若lim x→x0g(x)=u0，limu→u0f(u)=A，且存在δ0>0，当x∈U(x0,δ0)时，有g(x)≠u0，则limx→x0f[g(x)]=limu→u0f(u)=A6、夹逼准则如果(1)当x∈U(x0,r)(或|x|>M)时,g(x)≤f(x)≤h(x)(2)limx→x0(x→∞)g(x)=A,limx→x0(x→∞)ℎ(x)=A那么limx→x0(x→∞)f(x)存在，且等于A 7、两个重要极限（1）limx→0sin xx=1（2）limx→∞(1+1x)x=e8、求解极限的方法（1）提取因式法例题1、求极限limx→0e x+e−x−2x2解：limx→0e x+e−x−2x2=limx→0e−x(e2x−2e x+1)x2=lim x→0e−x(e x−1x)2=1例题2、求极限limx→0a x2−b x2(a x−b x)2(a≠b,a.b>0)解：limx→0a x2−b x2(a x−b x)2=limx→0b x2[(ab)x2−1]b2x[(ab)x−1]2=limx→0b x2−2x x2ln ab(x ln ab)2=1ln ab例题3、求极限limx→+∞x p(a1x−a1x+1)(a>0,a≠1)解：limx→+∞x p a1x+1(a1x(x+1)−1)=limx→+∞x p a1x+11x(x+1)ln a=lim x→+∞x px(x+1)a1x+1ln a=limx→+∞x p−21+1xa1x+1ln a=（2）变量替换法（将不一般的变化趋势转化为普通的变化趋势）例题1、limx→πsin(mx) sin(nx)解：令x=y+πlim x→πsin(mx)sin(nx)=limy→0sin(my+mπ)sin(ny+nπ)=(−1)m−n limy→0sin mysin ny=(−1)m−nmn例题2、limx→1x1m−1 x1n−1解：令x=y+1lim x→1x1m−1x1n−1=limx→1(1+y)1m−1(1+y)1n−1=nm例题3、limx→+∞x2√x2+x−√x3+x23解：令y=1xlim x→+∞x2√x2+x−√x3+x23=limy→0+√1y2+1y−√1 y3+1y23=limy→0+√1+y−√1+y3y=16（3）等价无穷小替换法x→0sin x~x~sin−1x tan x~x~tan−1xe x−1~x~ln(1+x)a x−1~x ln a1−cos x~x 22(1+x)α−1~αx注：若原函数与x互为等价无穷小，则反函数也与x互为等价无穷小例题1、lim x→0(a x +b x2)1x(a.b >0)解：lim x→0(a x +b x2)1x=elim x→01xlna x +b x 2=elim x→01xln(1+a x +b x −22)=elimx→0(a x −1)+(b x −1)2x =√ab例题2、lim x→+∞ln (1+e ax )ln (1+bx )(a >0)解：lim x→+∞ln (1+e ax )ln (1+b x )=lim x→+∞ln (1+e ax )bx =lim x→+∞bx ln [e ax (e −ax +1)]=limx→+∞bx[ln e ax +ln (e −ax +1)]=limx→+∞bx[ax +ln (e−ax+1)]=ab +limx→+∞b ln (e −ax +1)x=ab例题3、lim x→0ln ((sin x )2+e x )−xln (x 2+e 2x )−2x解：limx→0ln ((sin x )2+e x )−xln (x 2+e 2x )−2x =limx→0ln ((sin x )2+e x )−xln (x 2+e 2x )−2x=limx→0ln((sin x )2e x +1)ln(x 2e2x +1)=limx→0(sin x )2e 2xx 2e x=1例题4、lim x→0e x −e sin xx−sin x解：limx→0e x −e sin xx−sin x =lim x→0e sin x (e x−sin x −1)x−sin x=limx→0e sin x (x−sin x )x−sin x=1例题5、lim x→1x x −1x−1解：limx→1x x −1x−1=limx→1e x ln x −1x−1=limx→1x ln xx−1令y=x-1 原式=limy→0(y+1)ln (y+1)y=1例题6、lim x→π2α+β√(1−(sin x )α)(1−(sin x )β)α.β>0)解：令y =1−sin xlim x→π21−(sin x )α+β√(()α)(()β)=lim y→0+1−(1−y )α+β√[()α][()β]=lim y→0+y (α+β)√αyβy=α+β√αβ（4）1∞型求极限例题1、lim x→π4(tan x )tan 2x 解：解法一（等价无穷小）：lim x→π4(tan x )tan 2x =e lim x→π4(tan 2x )ln (tan x )=e lim x→π4(tan 2x )ln [1+(tan x−1)]=e lim x→π4(tan 2x )(tan x−1)=elim x→π42tan x1−(tan x )2(tan x−1)=elim x→π4−2tan x 1+tan x =e −1解法二（重要极限）：lim x→π4(tan x )tan 2x =lim x→π4[1+(tan x −1)]1tan x−1tan 2x (tan x−1)=elim x→π4(tan 2x )(tan x−1)=elim x→π42tan x 1−(tan x )2(tan x−1)=elim x→π4−2tan x 1+tan x =e −1（5）夹逼定理（主要适用于数列） 例题1、lim n→∞(1n +2n +3n+4n )1n解：4n ≤1n +2n +3n +4n ≤4×4n 所以lim n→∞(1n+2n+3n+4n )1n=4推广：a i >0 i =1,2,3……mlim n→∞(a 1n +a 2n +a 3n+⋯+a mn )1n=max 1≤i≤m{a i }例题2、lim x→0x [1x ]解：1x −1≤[1x]≤1x1)x>0 1−x≤x[1x]≤1所以x→0+ limx→0x[1x]=12)x<0 1−x≥x[1x]≥1所以x→0− limx→0x[1x]=1例题3、limn→∞32×55×78×?×2n+13n−1解：2n+13n−1≤2(n+1)3n(n≥2)0≤32×55×78×?×2n+13n−1≤32×66×89×?×2(n+1)3n=n+12(23)n−2limn→∞n+12(23)n−2=0所以limn→∞32×55×78×?×2n+13n−1=0例题4、limn→∞∑√k (n+1)2k=n2lim n→∞∑1√k(n+1)2k=n2=limn→∞[1√n2+1√n2+1+1√(n+1)2] 2n+2√(n+1)2≤x n≤2n+2√n2所以limn→∞x n=2例题5、limn→∞∑(n k+1)−1k nk=1解：n k≤n k+1≤(n+1)kn≤(n k+1)1k≤n+11 n+1≤(n k+1)−1k≤1n所以nn+1≤∑(n k+1)−1knk=1≤nnlim n→∞∑(n k+1)−1knk=1=1（6）单调有界定理例题1、limn→∞32×55×78×?×2n+13n−1解：x n=x n−1×2n+13n−1≤x n−1???(∗){x n}单调递减0≤x n极限存在，记为A由（*）n→∞求极限得：A=23A所以A=0例题2、x0=1 x n+1=√2x n求limn→∞x n解：x n+1−x n=√2x n−√2x n−1=n n−1√2x n+√2x n−1x1−x0=√2−1>0 {x n}单调递增x n+1=√2x n<√2x n+1所以(x n+1)2−2x n+1<00<x n+1<2极限存在，记为Ln→∞时L =√2L L=2例题3、x1>0 x n+1=a(1+x n)a+x n(a>1)求极限limn→∞x n解：x n+1−x n=a(1+x n)a+x n −a(1+x n−1)a+x n−1=(a2−a)(x n−x n−1)(a+x n)(a+x n−1) x2−x1=a−x12a+x1当x1>√a x2−x1<0 x n↓当0<x1≤√a x n↑所以0<x n+1=a(1+x n)a+x n <a(a+x n)a+x n=a极限存在n→∞时L=a(1+L)a+LL=√a 注：x n单调性有时依赖于x1的选取例题4、x1>1 x n+1=11+x n 求极限limn→∞x n解：x n+1−x n=x n−1−x n(1+x n)(1+x n−1)（整体无单调性）x2n+1−x2n−1=11+x2n−11+x2n−2=x2n−2−x2n(1+x2n)(1+x2n−2)=x2n−1−x2n−3(1+x2n)(1+x2n−2)(1+x2n−1)(1+x2n−3) x3−x1=11+x2−x1<0所以{x2n+1}单调递减，同理，{x2n}单调递增有因为0<x n<1(n≥2)故limn→∞x2n+1和limn→∞x2n均存在，分别记为A,B x2n+1=11+x2nx2n=11+x2n−1即A=11+B B=11+A解得 A=B=√5−12所以limn→∞x n=√5−12（7）泰勒公式法例题1、设f有n阶连续导数(n≥2)f(k)(x0)=0 (k=1,2,?,n−1)f(n)(x0)≠0 ?n∈Rf (x 0+ℎ)−f (x 0)=ℎf ′(x 0+θℎ) (0<θ=θ(ℎ)<1)证明：lim ℎ→0θ(ℎ)=n11−n证明：f ′(x 0+θℎ)=f ′(x 0)+f "(x 0)(θℎ)+f 3(x 0)2!(θℎ)2+??+f (n−1)(x 0)(n−2)!(θℎ)n−2+f (n )(ε)(n−1)!(θℎ)n−1即f ′(x 0+θℎ)=f (n )(ε)(n−1)!(θℎ)n−1 x 0<ε<x 0+θℎf (x 0+ℎ)= f (x 0)+f (n )(μ)ℎnf (x 0+ℎ)−f (x 0)=ℎnf (n )(μ)n!x 0<μ<x 0+ℎf (n )(μ)n!ℎn =f (n )(ε)(n −1)!ℎn−1ℎθn−1θ=√f (n )(μ)f εn−11n1n−1 ℎ→0 lim ℎ→0θ(ℎ)=√f (n )(μ)()()n−1n 11−n = lim ℎ→0θ(ℎ)=n 11−n（8）洛必达法则 例题1、求lim x→1x 3−3x+2x −x −x+1解：lim x→1x 3−3x+2x 3−x 2−x+1=lim x→13x 2−33x 2−2x−1=lim x→16x6x−2=32例题2、求lim x→+∞π2−tan −1x 1x解：limx→+∞π2−tan −1x 1x=limx→+∞−11+x 2−1x2=limx→+∞x 21+x 2=1例题3、求lim x→+∞x ne λx(n 为正整数，λ>0)解：limx→+∞x neλx=lim x→+∞nx n−1λe λx=limx→+∞n (n−1)x n−2λ2e λx=?=limx→+∞n!λn e λx=0例题4、求limx→0+x n ln x (n>0)解：limx→0+x n ln x=limx→0+ln xx=limx→0+1x−nx=limx→0+(−x nn)=0（9）利用函数的图像通过对求解极限方法的研究，我们对极限有了进一步的了解。
求极限的方法总结
x →1
2 1 ) − 2 x −1 x −1
例2. lim
x →1
3x + 1 − 2 x −1
二、利用两个重要极限求极限 利用两个重要极限求极限，往往需要作适当的变换， 利用两个重要极限求极限，往往需要作适当的变换， 将所求极限的函数变形为重要极限或重要极限的扩展 形式， 形式，再利用重要极限的结论和极限的四则运算法则 求极限。 求极限。 (1)
sin x lim =1 x→0 x
(2)
1 x lim(1 + ) = e x→∞ x
2 x
1 − cos x 例3.lim x →0 3 x2 x+2 x ) 例5. lim( x →∞ x − 1
例4.lim(1 − 3sin x )
x →0
三、利用函数的连续性求极限 四、利用导数的定义求极限 五、利用无穷小的性质求极限 六、利用等价无穷小代换求极限 七、利用导数的定义求极限
一、利用极限四则运算法则求极限 四则运算法则指：如果两个函数都有极限， 四则运算法则指：如果两个函数都有极限，那么这 两个函数的和、 两个函数的和、差、积、商组成的函数的极限分别 等于这两个函数的极限的和、 等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除 数的函数的极限不能为零）。法则本身很简单， ）。法则本身很简单 数的函数的极限不能为零）。法则本身很简单，但 有些函数求极限往往不能直接利用法则， 有些函数求极限往往不能直接利用法则，需要先对 Байду номын сангаас数做某些变形或化简， 函数做某些变形或化简，常用的变形或化简方法主 要有分式的分子或分母分解因式、 要有分式的分子或分母分解因式、分式的约分或通 分子或分母的有理化、三角函数的恒等变形等。 分、分子或分母的有理化、三角函数的恒等变形等。
归纳总结：求极限十法
1、利用定义求极限。 2、利用柯西准则来求。 柯西准则：要使{xn}有极限的充要条件使任给ε>0,存在自然数N，使得当n>N时，对于 任意的自然数m有|xn-xm| 3、利用极限的运算性质及已知的极限来求。 如：lim(x+x^0.5)^0.5/(x+1)^0.5 =lim(x^0.5)(1+1/x^0.5)^0.5/(x^0.5)(1+1/x)^0.5 =1. 4、利用不等式即：夹挤定理。 5、利用变量替换求极限。 例如lim (x^1/m-1)/(x^1/n-1) 可令x=y^mn 得：＝n/m. 6、利用两个重要极限来求极限。 （1）lim sinx/x=1 x->0 (2)lim (1+1/n)^n=e n->∞ 7、利用单调有界必有极限来求。 8、利用函数连续得性质求极限。 9、用洛必达法则求，这是用得最多的。 10、用泰勒公式来求Fra bibliotek这用得也很经常。
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极限求解总结
1、极限运算法则
设,,则
(1)
(2)
(3)
2、函数极限与数列极限的关系
如果极限存在，为函数的定义域内任一收敛于的数列，且满足:，那么相应的函数值数列
必收敛，且
3、定理
（1）有限个无穷小的和也是无穷小；
（2）有界函数与无穷小的乘积是无穷小；
4、推论
（1）常数与无穷小的乘积是无穷小；
（2）有限个无穷小的乘积也是无穷小；
（3）如果存在，而c为常数，则
（4）如果存在，而n是正整数，则
5、复合函数的极限运算法则
设函数是由函数与函数复合而成的，在点的某去心领域内有定义，若
，且存在，当时，有，则
6、夹逼准则
如果
(1)当(或>M)时,
(2)
那么存在，且等于A
7、两个重要极限
（1）
（2）
8、求解极限的方法
（1）提取因式法
例题1、求极限
解：
例题2、求极限
解：
例题3、求极限
解：
（2）变量替换法（将不一般的变化趋势转化为普通的变化趋势）
例题1、
解：令
例题2、
解：令x=y+1
=
例题3、
解：令y=
=
（3）等价无穷小替换法
注：若原函数与x互为等价无穷小，则反函数也与x互为等价无穷小
例题1、解：
例题2、解：
例题3、解：
例题4、解：
例题5、
解：
令y=x-1
原式=
例题6、
解：令
型求极限
例题1、
解：解法一（等价无穷小）：
解法二（重要极限）：
（5）夹逼定理（主要适用于数列）例题1、
解：
所以
推广：
例题2、
解：
1)
所以
2)
所以例题3、解：
所以
例题4、
所以
例题5、解：
所以
（6）单调有界定理
例题1、
解：
单调递减
极限存在，记为A
由（*）求极限得：A=A
所以A=0
例题2、求解：
单调递增
所以
极限存在，记为L
时
例题3、
求极限
解：
当
当
所以极限存在时
注：单调性有时依赖于的选取
例题4、求极限
解：（整体无单调性）
所以单调递减，同理，单调递增
有因为
故和均存在，分别记为A,B
即
解得 A=B=
所以
（7）泰勒公式法
例题1、设f有n阶连续导数
证明：
证明：
即
（8）洛必达法则例题1、求
解：
例题2、求
解：
例题3、求
解：
例题4、求
解：
（9）利用函数的图像通过对求解极限方法的研究，我们对极限有了进一步的了解。
极限方法是研究变量的一种基本方法，在以后的学习过程中，极限仍然起着重要的作用，因此学习、掌握极限是十分必要的。
相信通过对极限的学习总结，我们在今后的学习中能更进一步。