高等数学极限计算方法总结
高等数学极限求法总结
适用范围广：适用于多种类型的函数和极 限问题。
03
02
精度高：泰勒公式法可以求得较高精度的近 似值。
04 缺点
计算量大：需要计算高阶导数和多项式的 系数，计算量较大。
05
06
收敛性问题：泰勒公式法在某些情况下可 能不收敛或收敛速度较慢。
06 极限求法之夹逼定理法
夹逼定理基本思想
通过两个有相同极限的数列或函数，将所求 极限的数列或函数“夹”在中间，由此得到 所求极限的值。
洛必达法则
适用于0/0型、∞/∞型未定式极限，通过求 导简化计算。
等价无穷小替换
适用于含有某些特定函数的极限，可将复杂 函数替换为简单函数进行计算。
泰勒公式
适用于含有三角函数、指数函数等复杂函数 的极限，通过泰勒展开进行近似计算。
方法选择策略探讨
观察函数类型
根据函数类型选择合适的求解方法，如多项式、分式函数可选择代 数法，复杂函数可选择泰勒公式等。
利用公式法
针对一些特殊的多项式形式，可以直接套用已知 的因式分解公式进行分解。
优缺点分析
优点
因式分解法能够将复杂的多项式函数简 化为更易于处理的形式，从而方便求解 极限。同时，该方法具有通用性，适用 于多种类型的多项式函数。
VS
缺点
对于某些复杂的多项式函数，因式分解可 能需要较高的数学技巧和计算能力。此外 ，当多项式函数的次数较高时，因式分解 可能会变得非常繁琐和困难。
高等数学极限求法总结
高等数学极限求法总结
高等数学极限求法总结
极限的判断定义是:单调递增有上界则有极限,单调递减有下界则有极限。下面是小编整理的高等数学极限求法总结，希望对你有帮助！
函数极限可以分成而运用ε-δ定义更多的见诸于已知的极极限值的证明题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。限为例，f(x) 在点以A为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数，使得当x满足不等式时，对应的f(x)函数值都满足不等式：，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x时的极限。
1.利用极限的四则运算法则：
极限四则运算法则的条件是充分而非必要的，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件，满足条件者。方能利用极限四则运算法则进行求之。不满足条件者，不能直接利用极限四则运算法则求之。但是，井非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则求之。而对函数进行恒等变形时，通常运用一些技巧如拆项、分子分母同时约去零因子、分子分母有理化、通分、变量替换等等。例 1 求 lim( x 2 3x + 5).
x→ 2
解： lim( x 2 3x + 5) = lim x 2 lim 3x + lim 5
= (lim x) 2 3 lim x + lim 5
= 2 2 3 2 + 5 = 3.
x→2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2
2.利用洛必达法则
洛必达(L Hopital)法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.简单讲就是，在求一个含分式的函数的极限时，分别对分子和分母求导，在求极限，和原函数的极限是一样的。一般用在求导后为零比零或无穷比无穷的类型。
高等数学求极限的常用方法 (附例题和详解)
高等数学求极限的14种方法
一、极限的定义
1.极限的保号性很重要：设，
（i）若A，则有，使得当时，；
（ii）若有使得当时，。
2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为时函数的极限和
的极限。要特别注意判定极限是否存在在：
（i）数列是它的所有子数列均收敛于a。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a”
（ii）
(iii)
(iv)单调有界准则
（v）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）
（vi）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限存在的充分必要条件是：二．解决极限的方法如下：
1.等价无穷小代换。只能在乘除时候使用。例题略。
2.洛必达（L’hospital）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个
方法）
它的使用有严格的使用前提。首先必须是X趋近，而不是N趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f（x）、g（x）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：
（i）“”“”时候直接用
(ii)“”“”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后，就能变成(i)中的形式了。即；
(iii)“”“”“”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即，这样就能把幂上的函数移下来了，变成“”型未定式。
3.泰勒公式(含有的时候，含有正余弦的加减的时候）
高等数学求极限的14种方法
高等数学求极限的14种方法(总
4页)
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高等数学求极限的14种方法
一、极限的定义
1.极限的保号性很重要：设
A x f x x =→)(lim 0
，
（1）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （2）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。
2. 极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。 要特别注意判定极限是否存在在：
（1）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ”
（2）A x x f x A x f x =+∞
→=-∞
→⇔=∞
→lim lim lim )()(
(3) A x x x x A x f x x =→=→⇔
=→+
-
lim lim lim 0
)(
(4) 单调有界准则
（5）两边夹挤准 （夹逼定理/夹逼原理） (6) 柯西收敛准则（不需要掌握）。极限
)(lim 0
x f x x →存在的充分必要条件。是：
εδεδ<-∈>∃>∀|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当
二．解决极限的方法如下：
1.等价无穷小代换。只能在乘除．．
时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）
它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：
函数极限的求法及技巧总结
函数极限的求法及技巧总结
函数极限是高等数学的一个重要概念，它在微积分、实分析等许多领域都有着广泛的应用。在计算函数极限时，需要掌握一些求法和技巧。本篇文章将对此进行总结。
1. 直接代入法
直接代入法是最基本也是最简单的一种方法，它适用于可以直接将自变量代入函数中计算得到结果的情况。
例如，当求函数f(x) = x² + 3x + 2在x = 1处的极限时，我们可以直接将x = 1代入函数中，得到f(1) = 1² + 3×1 + 2 = 6。因此，f(x)在x = 1处的极限为6。
2. 分式化简法
分式化简法是一种常用的求极限的方法，它适用于形如“分式”的函数。
3. 夹逼定理
夹逼定理是一种常用的求极限的方法，它适用于当我们无法通过代入或化简等方法直接求出函数极限时。
夹逼定理的思想是：若存在函数g(x)和h(x)，满足 g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)且limx→a g(x) = limx→a h(x) = L，那么limx→a f(x) = L。
4. 洛必达法则
其中，f'(x)和g'(x)分别表示f(x)和g(x)的导数。
例如，当求函数f(x) = (e^x - 1) / x在x = 0处的极限时，我们可以将f(x)表达为g(x) / h(x)的形式，即g(x) = e^x - 1，h(x) = x，然后计算g'(x)和h'(x)，得到 g'(x) = e^x，h'(x) = 1。因此，根据洛必达法则，我们得到limx→0 f(x) = limx→0 [e^x / 1] = 1。
5. 泰勒展开法
极限的公式总结
极限的公式总结
极限是高等数学中的重要概念，它在数学、物理和工程等领域中都有着广泛的应用。极限的公式可以帮助我们求解一些复杂的问题和优化计算。在本文中，我们将总结一些常见的极限公式，包括函数极限、无穷极限和级数极限等。
一、函数极限公式
1. 一次函数极限：
若 f(x) = ax + b（a≠0），则当x→a 时，f(x) 的极限为
f(a)=a*a+b。
2. 二次函数极限：
若 f(x) = ax² + bx + c（a≠0），则当x→a 时，f(x) 的极限为f(a)=a*a²+b*a+c。
3. 幂函数极限：
若 f(x) = x^a（a为实数），则当x→∞ 或x→-∞ 时，f(x) 的极限为：
- 若 a > 0，则极限为∞ 或 -∞，具体取决于 x 的正负；
- 若 a = 0，则极限为 1；
- 若 a < 0，则极限为 0。
4. 指数函数极限：
α 为常数，若f(x) = α^x，则当x→∞ 或x→-∞ 时，f(x) 的极限为：
- 若α > 1，则极限为∞ 或 0，具体取决于 x 的正负；
- 若0 < α < 1，则极限为 0 或∞，具体取决于 x 的正负； - 若α = 1，则极限为 1。
5. 对数函数极限：
若f(x) = logₐ(x)（a>0 且a≠1），则当x→0 或x→∞ 时，f(x) 的极限为：
- 当 a > 1 时，极限为 -∞ 或∞，具体取决于 x 的趋势；
- 当 0 < a < 1 时，极限为∞ 或 -∞，具体取决于 x 的趋势。
高数中求极限的16种方法
千里之行，始于足下。
高数中求极限的16种方法
在高等数学中，求极限是一个格外重要的技巧和考点。为了解决各种极限
问题，数学家们总结出了很多方法和技巧。以下是高数中求极限的16种方法：
1.代换法：将极限中的变量进行代换，使其变成简洁计算的形式。
2.夹逼准则：当函数处于两个已知函数之间时，可以通过比较已知函数的
极限来确定未知函数的极限。
3.无穷小量比较法：比较两个函数的无穷小量的大小，以确定它们的极限。
4.利用函数性质：利用函数的对称性、奇偶性等性质来计算极限。
5.利用恒等变形：将极限式子进行恒等变形，以将其转化为简洁计算的形式。
6.利用泰勒开放：将函数开放成无穷级数的形式，以求出极限。
7.利用洛必达法则：对于某些不定型的极限，可以利用洛必达法则将其转
化为可计算的形式。
8.利用级数或累次求和：将极限式子转化为级数或累次求和的形式，以求
出极限。
9.利用积分计算：将极限式子进行积分计算，以求出极限。
10.利用微分方程：将极限问题转化为求解微分方程的问题，以求出极限。
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锲而不舍，金石可镂。
11.利用积素等价：将极限式子进行积素等价，以求出极限。
12.利用无穷增减变异法：通过凑出一个等价变形，将极限问题转化为比较某些函数值的大小。
13.利用不等式：通过找到合适的不等式，对函数进行估量，以求得极限。
14.利用递推公式：对于递归定义的函数，可以通过递推公式求出极限。
15.利用导数性质：利用函数的导数性质，对极限进行计算。
16.利用对数和指数函数的性质：利用对数和指数函数的特性，求出极限。
除了上述方法外，还有很多其他的方法和技巧，可以依据具体问题来选择使用。这些方法和技巧的使用需要机敏把握，通过大量的练习和思考，可以在求解极限问题中得到娴熟应用。
高等数学极限的公式总结
高等数学极限的公式总结
在高等数学中，极限的公式是非常重要的概念，这些公式能够帮助我们理解函数的极限，并进行极限的运算。以下是一些常见的高等数学极限的公式总结：
1. 极限的四则运算性质：
lim(a+b) = lim a + lim b
lim(a-b) = lim a - lim b
lim(ab) = lim a lim b (假设lim a 和 lim b都存在)
lim(a/b) = lim a / lim b (假设lim b 不等于0)
2. 极限的常数性质：
lim a = a (当a是一个常数)
3. 极限的单调性：
lim(f(x0+delta x) - f(x0)) / delta x = f'(x0) (当delta x -> 0)
4. 连续函数的性质：
如果f(x)在x0处连续，那么lim f(x) = f(x0) 当 x -> x0
5. 无穷小量与无穷大量：
当x -> 0时，x是无穷小量，1/x是无穷大量。
6. 洛必达法则：
如果lim (f'(x)/g'(x))存在，那么lim (f(x)/g(x)) = lim (f'(x)/g'(x)) (当x->a时)。
7. 泰勒公式：
对于任何n阶可导函数f(x)，存在一个多项式Pn(x)，使得对于所有-∞ < x < ∞，有f(x) = Pn(x) + o(x^n)，其中o(x^n)是高阶无穷小。
8. 夹逼准则：
如果存在一个区间或闭区间[a, b]，满足f(a) <= g(a), f(b) >= g(b)，并且lim f(x) = lim g(x)，则lim g(x)存在，并且lim g(x) = lim f(x)。
高等数学求极限的17种常用方法(附例题和详解)
=
9.利用 极限相同求极限。例如：
（1）已知 ，且已知 存在，求该极限值。
解:设 =A，（显然A ）则 ，即 ，解得结果并舍去负值得A=1+
（2）利用单调有界的性质。利用这种方法时一定要先证明单调性和有界性。例如
设
解：（i）显然 （ii）假设 则 ，即 。所以， 是单调递增数列，且有上界，收敛。设 ，（显然 则 ，即 。解方程并舍去负值得A=2.即
例:设 存在，求
解：原式=
=
导数
微分学
微分
微积分
不定积分
积分学
定积分
无穷级数
第一章函数及其特性
1.1集合
一、定义：由具有共同特性的个体（元素）组成。
二、表达方式：集合A，B，C……（大写字母）
元素a，b，c……（小写字母）
A=｛a，b，c｝
元素的排列无重复，无顺序。
a属于A记作a A，1不属于A记作1 A或1 A
6.夹逼定理：主要是应用于数列极限，常应用放缩和扩大不等式的技巧。以下面几个题目为例：（1）设 ， ，求
解：由于 ，由夹逼定理可知
（2）求
解：由 ，以及 可知，原式=0
(3)求
解：由 ,以及 得，原式=1
7.数列极限中等比等差数列公式应用（等比数列的公比q绝对值要小于1）。例如：
高等数学中求极限方法总结
高等数学中求极限方法总结
高等数学第一章在整个高等数学的学习中都占有相当重要的地位，特别是极限，原因就是后续章节本质上都是极限。一个经典的形容就是假如高等数学是棵树木的话，那么极限就是它的根，函数就是它的皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见极限的重要性。故在这里总结了10种常用的求极限的方法并举例说明。
1、利用等价无穷小的转化求极限例：求极限x x x x 1cos
sin lim 20→。解：x x x x 1cos
sin lim 20→x x x x 1cos lim 20→=x
x x 1cos lim 0→=＝2注：通常在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用，但是前提是必须证明拆分后极限依然存在，要记住常用的等价无穷小，例如当0→x 时，).(0~sin ,21~
sin ,~3x x x x x tgx x tgx −−。2、罗比达法则例：求极限∫→x x tdt
x 020arctan 1lim 解：∫→x x tdt x 020arctan 1lim 2
1211
lim 2arctan lim 200=+==→→x x t x x 例：求极限⎟⎠⎞⎜⎝
⎛−−→11ln 1lim 1x x x 解：x x x x x x x x ln )1(ln 1lim 11ln 1lim 11−−−=⎟⎠⎞⎜⎝
⎛−−→→21111lim 1ln 11lim 2211=+=−+−=→→x
x x x x x x x x …注：使用罗比达法则必须满足使用条件，要注意分母不能为零，导数存在。罗比达法则分为三种情况（1）0比0和无穷比无穷时候直接分子分母求导；（2）0乘以无穷，无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1的形式；（3）0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方，对于（指数幂数）方程，方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，）
高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)
高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)
高等数学中求极限是一项重要的数学技巧，它在数学分析、微积
分和其他数学领域中都有广泛应用。本文将介绍一些常用的求极限的
方法，并给出相应的例题和详解。
一、直接代入法
直接代入法是求极限的最基本方法之一。当函数在某一点连续时，可
以直接将该点代入函数中来求极限。
例题1：求函数f(x) = x^2在x=2处的极限。
解：直接将x=2代入函数中，得到f(2) = 2^2 = 4。因此，f(x)在x=2处的极限为4。
二、夹逼法
夹逼法（也称为夹挤准则）是求解一些复杂极限的常用方法。它基于
一个简单的想法：如果函数g(x)和h(x)在某一点p附近夹住函数f(x)，并且g(x)和h(x)的极限都相等，那么f(x)的极限也等于这个相等的极限。
例题2：求极限lim(x→∞) [(x+1)/x]。
解：我们可以用夹逼法来求解这个极限。首先，我们可以注意到
1 ≤ [(x+1)/x] ≤ [x/x] = 1（其中[x]表示取整函数）。因此，我
们可以将极限表达式两侧夹逼：
lim(x→∞) 1 ≤ lim(x→∞) [(x+1)/x] ≤ lim(x→∞) 1。
根据夹逼准则，当lim(x→∞) 1 = 1时，极限lim(x→∞) [(x+1)/x]存在且等于1。
三、极限的四则运算法则
在求解复杂函数的极限时，可以利用极限的四则运算法则。该法则规定，如果函数f(x)和g(x)在某点p处的极限存在，则函数h(x) = f(x) ± g(x)、h'(x) = f(x) * g(x)、和h''(x) = f(x) / g(x)在点p的
高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)
初等数学求极限的14种办法之邯郸勺丸创作
一、极限的定义
1.极限的保号性很重要：设
A x f x x =→)(lim
,
（i ）若A 0>,则有0>δ,使得当δ<-<||00x x 时,0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时,0A ,0)(≥≥则x f .
2.极限分为函数极限、数列极限,其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限.要特别注意判定极限是否存在在： （i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a.经常
使用的是其推论,即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a”
（ii ）A x x f x A x f x =+∞→=
-∞
→⇔=∞
→lim
lim
lim )()(
(iii)A x x x x A x f x x =→=
→⇔
=→+
-
lim
lim
lim
)(
(iv)单调有界准则
（v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）
（vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）.极限)(lim 0
x f x x →存在的充分需
要条件是：
εδεδ<-∈>∃>∀|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o
时，恒有、使得当
二．解决极限的办法如下：
1.等价无穷小代换.只能在乘除时候使用.例题略.
2.洛必达（L’hospital）法例（大题目有时候会有暗示要你使用这个办法）
它的使用有严格的使用前提.首先必须是X 趋近,而不是N 趋近,所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限,数列极限的n 当然是趋近于正无穷的,不成能是负无穷.其次,必须是函数的导数要存在,假如告知f （x ）、g （x ）,没告知是否可导,不成直接用洛必达法例.另外,必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不克不及为0.洛必达法例分为3种情况：
高等数学求极限的各种方法
求极限的各种方法
1.约去零因子求极限
例1:求极限1
1
lim 41--→x x x
【说明】1→x 表明1与x 无限接近,但1≠x ,所以1-x 这一零因子可以约去。
【解】6)1)(1(lim 1
)
1)(1)(1(lim
2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2.分子分母同除求极限
例2:求极限1
3lim 32
3+-∞→x x x x
【说明】
∞
∞
型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3
11323=
+-=+-∞→∞→x x
x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方;
(2) ⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧
=<∞>=++++++----∞→n
m b a n m n m b x b x b a x a x a n n
m m m m n n n n x 0lim 01101
1ΛΛ 3.分子(母)有理化求极限
例3:求极限)13(lim 22+-++∞
→x x x
【说明】分子或分母有理化求极限,就是通过有理化化去无理式。 【解】1
3)
13)(13(lim
)13(lim 2
2
22222
2
+++++++-+=+-++∞
→+∞
→x x x x x x x x x x
01
32lim
2
2
=+++=+∞
→x x x
例4:求极限3
sin 1tan 1lim
x
x
x x +-+→
【解】x
x x x
x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim
sin 1tan 1lim
3030
+-+-=+-+→→ 41
sin tan lim 21sin tan lim
高等数学求极限的常用方法附例题和详解
高等数学求极限的14种方法
一、极限的定义
1.极限的保号性很重要：设
A x f x x =→)(lim 0
，
（i ）若A 0>，则有0>δ
，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ；
（ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。
2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在：
（i ）数列{}
的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ”
（ii ）A x x f x A x f x =+∞
→=
-∞
→⇔
=∞
→lim
lim
lim
)()(
(iii)
A x x x x A x f x x =→=→⇔=→+
-
lim lim lim 0
)(
(iv)单调有界准则
（v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）
（vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限
)
(lim 0
x f x x →存在的充分必要条件是：
εδεδ<-∈>∃>∀|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当
二．解决极限的方法如下：
1.等价无穷小代换。只能在乘除．．
时候使用。例题略。
2.洛必达（L’ho spital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）
??它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：
高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)
高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)
高等数学是高等教育中的重要课程之一，其涵盖的内容
非常广泛，包括微积分、数理方程和变换等方面。其中求极限是微积分中的核心内容之一，也是数学建模和应用中常用的方法之一。本文将介绍求极限的常用方法，并提供相应的例题和详解。
一、用夹逼定理求极限
夹逼定理是求极限中常用的方法之一，其思路是通过一
个比较大小的框架，来判断所求极限的范围和趋势。具体而言，假设存在两个函数 f(x) 和 g(x)，满足以下条件：
1. 对于 x 属于某个区间 [a, b]，有 f(x) <= g(x)。
2. 在区间 [a, b] 内，f(x) 和 g(x) 的极限均存在，
即 lim[f(x)] = A，lim[g(x)] = A。
3. 在区间 [a, b] 内，除有限个点外，f(x) = g(x)。
则可以得到 lim[f(x)] = lim[g(x)] = A。
下面是一个例子：
例1：求极限 lim[(x^2 - 4x + 3) / (x - 3)]。
解法：可以将原式改写成 (x - 1)(x - 3) / (x - 3)，
即 (x - 1)。则对于x ∈ (3,∞)，有 0 <= x - 1 <= x - 3，因此：
0 <= (x^2 - 4x + 3) / (x - 3) - (x - 1) <= x - 3，
而 lim[x - 3] = ∞，因此可用夹逼定理得到所求极限
为 lim[(x^2 - 4x + 3) / (x - 3)] = lim[(x - 1)] = 2。
二、用洛必达法则求极限
大一高数求极限的方法总结
大一高数求极限的方法总结
大一高等数学中，求极限是一个非常重要的概念和技巧。在学习求极
限的过程中，我们需要掌握一些基本的方法和技巧。下面是对一些常用的
求极限方法进行总结。
一、无穷小量代换法
当我们在求一个函数的极限时，可以将函数中的无穷小量用一个新的
无穷小量来代替，从而简化计算。例如，当求极限lim(x->0)(sinx)/x时，可以将sinx用x来代替，即lim(x->0)x/x=1
二、夹逼定理
夹逼定理是一种非常常用的求极限方法。当我们无法直接计算一个函
数的极限时，可以通过找到两个已知的函数，使它们的极限分别为L和L’，并且夹在待求函数的极限值周围时，我们可以得出待求函数的极限
也为L。
三、洛必达法则
洛必达法则是一种非常常用的求导法则，它可以用来求解一些不定型
的极限。当我们在计算一个函数的极限时，如果得到的结果为0/0或者
∞/∞的形式，那么我们可以使用洛必达法则来求解极限。具体做法是对
分子和分母同时求导，并再次计算极限，直到得到一个有限的值。
四、泰勒展开法
当我们计算一些函数在一点的极限时，可以使用泰勒展开来逼近函数
的值。泰勒展开是将一个函数表示为无限项的级数，通过截取有限项来逼
近函数的值。这样可以大大简化我们的计算过程。
五、换元法
有时候我们可以通过进行一些变量的替换来改变函数的形式，从而更
容易求解极限。例如，当我们计算lim(x->0)(3^(2x)-2^x)时，可以令
y=2^x，然后再进行计算，就可以得到较为简单的表达式。
六、分数的极限
当我们计算一个函数的极限时，如果得到的结果为一个分数形式，可
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极限计算方法总结
《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一，极限是《高等数学》的重要组成部分。求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。
一、极限定义、运算法则和一些结果
1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。
说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可
以用上面的极限严格定义证明，例如：
)0,(0lim
≠=∞→a b a an
b
n 为常数且；
5
)13(lim 2
=-→x x ；
⎩⎨⎧≥<=∞→时当不存在，
时
当，1||1||0lim q q q n
n ；等等 （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运
用，而不需再用极限严格定义证明。
2．极限运算法则
定理1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有 （1）B A x g x f ±=±)]()(lim[
（2）B A x g x f ⋅=⋅)()(lim （3）)0(,)()(lim
成立此时需≠=B B
A
x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条
件不满足时，不能用。
3．两个重要极限 （1） 1sin lim
0=→x
x
x
（2） e x x
x =+→10
)
1(lim ； e x x
x =+∞
→)11(lim
说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，
作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。 例如：133sin lim
0=→x
x
x ，e x x
x =--→21
0)
21(lim ，e
x
x
x =+
∞
→3
)31(lim ；等等。 4．等价无穷小
定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。
定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：
x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-x
e 。
说明：当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时（0)(→x g ），仍有上面的
等价
关系成立，例如：当0→x 时，
13-x e ～ x 3 ；)1ln(2x - ～ 2x -。
定理4 如果函数)(),(),(),(11x g x f x g x f 都是0x x →时的无穷小，且
)(x f ～)(1x f ，)(x g ～)(1x g ，则当)
()(lim 110
x g x f x
x →存在时，)()
(lim 0x g x f x x →也存在且等于)(x f )()(lim 110
x g x f x
x →，即)()
(lim 0x g x f x x →=)
()(lim 110x g x f x x →。
5．洛比达法则
定理5 假设当自变量x 趋近于某一定值（或无穷大）时，函数)(x f 和)(x g 满
足：（1）)(x f 和)(x g 的极限都是0或都是无穷大；
（2）)(x f 和)(x g 都可导，且)(x g 的导数不为0；
（3）)
()
(lim x g x f ''存在（或是无穷大）；
则极限)()(lim x g x f 也一定存在，且等于)()(lim x g x f ''，即)()(lim x g x f =)
()
(lim x g x f '' 。
说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只
要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件（1）是否满足，即验证所求极限是否为“
00”型或“∞
∞
”型；条件（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完毕后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。
6．连续性
定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果0x 是函数)(x f 的
定义去间内的一点，则有)()(lim 00
x f x f x x =→ 。
7．极限存在准则
定理7（准则1） 单调有界数列必有极限。
定理8（准则2） 已知}{,}{,}{n n n z y x 为三个数列，且满足：
（1） ),3,2,1(,Λ=≤≤n z x y n n n
（2） a y n n =∞
→lim ，a z n n =∞
→lim
则极限∞
→n n x lim 一定存在，且极限值也是a ，即a x n n =∞
→lim 。
二、求极限方法举例
1． 用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限 例1 1
2
13lim 1
--+→x x x
解：原式=4
3
)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。 注：本题也可以用洛比达法则。 例2 )12(lim --+∞
→n n n n
解：
原
式
=2
3
11213lim
1
2)]1()2[(lim
=
-++
=
-++--+∞
→∞
→n
n n n n n n n n
n 分子分母同除以
。