求极限方法总结全

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求极限的12种方法总结及例题

求极限的12种方法总结及例题求极限的12种方法总结及例题1. 引言在数学学习中，求极限是一个重要的概念，也是许多数学题解的基础。

在学习求极限的过程中，有许多不同的方法可以帮助我们理解和解决问题。

本文将总结12种方法，帮助我们更全面地理解求极限的概念，并提供相应的例题进行演示。

2. 利用极限的定义我们可以利用极限的定义来求解问题。

根据定义，当x趋向于a时，函数f(x)的极限为L，即对于任意的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε。

利用这个定义，可以求得一些简单的极限，如lim(x→0) sinx/x=1。

3. 利用夹逼准则夹逼准则是求极限常用的方法之一。

当我们无法直接求出某个函数的极限时，可以利用夹逼准则来找到该函数的极限值。

要求lim(x→0) xsin(1/x)的极限，可以通过夹逼准则来解决。

4. 利用极限的四则运算极限的四则运算法则是求解复杂函数极限的基本方法之一。

利用这个法则，我们可以将复杂的函数分解成简单的部分，再进行求解。

要求lim(x→0) (3x^2+2x-1)/(x+1)，可以利用极限的四则运算法则来求解。

5. 利用洛必达法则当我们遇到不定型的极限时，可以利用洛必达法则来求解。

洛必达法则可以帮助我们求出不定型极限的值，例如0/0、∞/∞、0*∞等形式。

通过洛必达法则，我们可以将求解不定型极限的过程转化为求解导数的问题，从而得到极限的值。

6. 利用泰勒展开泰勒展开是求解复杂函数极限的有效方法之一。

当我们遇到无法直接求解的函数极限时，可以利用泰勒展开将其转化为无穷级数的形式，然后再进行求解。

通过泰勒展开，我们可以将复杂函数近似为一个多项式，从而求得函数的极限值。

7. 利用换元法换元法是求解复杂函数极限的常用方法之一。

通过适当的变量替换，可以将复杂的函数转化为简单的形式，然后再进行求解。

对于lim(x→∞) (1+1/x)^x，可以通过换元法将其转化为e的极限形式来求解。

求函数的极限值的方法总结

求函数的极限值的方法总结在数学中，函数的极限值是指函数在某一特定区间上取得的最大值或最小值。

求解函数的极限值是数学分析中经常遇到的问题之一，下面将总结一些常用的方法来求解函数的极限值。

一、导数法对于给定的函数，可以通过求导数来判断函数在某一点附近的单调性和极值情况。

导数表示了函数在某一点处的变化率，通过求导数可以获得函数的驻点（导数为零的点）以及极值点。

一般来说，当函数从单调递增变为单调递减时，即导数由正变负，函数的极大值出现；当函数从单调递减变为单调递增时，即导数由负变正，函数的极小值出现。

所以，通过求导数可以找到函数的极值点，然后通过比较极值点和边界点的函数值，即可确定函数的极限值。

二、二阶导数法在某些特殊情况下，求函数的二阶导数可以提供更加准确的信息来确定函数的极限值。

当函数的二阶导数恒为正时，表示函数处于凸型，此时函数可能有极小值但没有极大值；当函数的二阶导数恒为负时，表示函数处于凹型，此时函数可能有极大值但没有极小值。

通过对二阶导数进行符号判断，可以帮助确定函数的极限值。

三、极限值存在性判定对于一些特殊的函数，通过判定函数的极限值是否存在可以快速确定函数的极限值。

当函数在某一区间上连续且存在最大最小值时，函数的极限值也会存在。

因此，可以通过求解函数在区间端点的函数值，并比较这些函数值来确定函数的极限值。

四、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是一种通过引入约束条件来求解极值的方法，特别适用于求解带有约束条件的函数的极值。

通过构造拉格朗日函数，将原始问题转化为无约束的极值问题，然后通过求解极值问题来确定函数的极限值。

五、切线法切线法是一种直观而有效的求解函数极值的方法。

通过观察函数图像，在极值附近找到一条切线，使得切线与函数图像的接触点的函数值最大或最小。

通过近似切线与函数图像的接触点，可以获得函数的极值的近似值。

六、数值法数值法是一种通过计算机进行数值逼近的方法来求解函数的极限值。

通过将函数离散化，并在离散点上进行计算，可以得到函数在这些离散点上的函数值，然后通过比较这些函数值来确定函数的极限值。

求极限的方法,(自己总结的)

求极限的常用方法1.直接代入法:对于初等函数f( )的极限, , 若f( )在0处的函数值f( 0)存在, 即。

直接代入法的本质就是只要将= 0代入函数表达式, 若有意义, 其极限就是该函数值（称为“能代则代”）。

例I: 求极限（1）（2）（3）解: （1）（2）（3）2.变型法（包括两个重要极限）通俗地说代入后无意义的极限称为不定式, （如0/0,∞/∞,∞-∞等）此时若极限存在往往要变形后才可看出。

例I: 求极限（1）（2）解: （1）（2）两个重要极限是和, 第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。

主要考第二个重要极限。

例I: 求极限解:例II: 求极限【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１, 再凑, 最后凑指数部分。

解:3.利用连续性定义。

例I: 求解：y= 可看作由y= 与复合而成。

因为= , 而函数y= 在点u= 连续, 所以=例II: 求解: =例III: 求解：因为利用定理３及极限的运算法则, 便有4.利用无穷小、无穷大的关系【说明】(1)常见等价无穷小有:当0→x 时,~)1ln(~arctan ~arcsin ~tan ~sin ~x x x x x x +1e x -, ()abx ax x x b ~11,21~cos 12-+- 例1: 求极限解 002ln(1)lim lim 211cos 2x x x x x x x x →→+⋅==- 例2: 求极限解x x x x 30tan sin lim -→613lim 31cos lim sin lim 222102030-=-==-=-=→→→xx x x x x x x x x 例3因式代替规则x x x x 3sin tan lim 0-→x x x x 30)1cos 1(sin lim -=→212lim 330==→x x x 5.利用极限的性质法（如四则运算）利用极限的4则运算法则, , ,例1: 求解：先用除分子和分母, 然后求极限, 得52123lim 232+---∞→x x x x x 020512123lim 332==+---=∞→x x x x x x 例2: 求解, 因为分母的极限 , 不能应用商的极限的运算法则, 但因所以∞=+--→4532lim 21x x x x6.洛必达法则（求不定式极限）定理一设（1）当x 时, f(x)及F （x ）都趋向于零；（2）在点a 的某一去心领域内, f ’(x)及F ’(x)都存在且F ’(x)≠o ；（3） )(')('lim x F x f a x →存在（或为无穷大）；那么 )(')('lim )()(lim x F x f x F x f a x a x →→=定理二设（1）当x 时，∞→函数f(x)及F(x)都趋向于零；（2）当；）都存在，且与时0('F )(')('x ≠>x x F x f N （3）或为无穷大），存在()(')('lim x F x f x ∞→ 那么）x F x f x F x f x (')('lim )()(lim x ∞→∞→= 例1: 求解: 原式=例2: 求 >0)解: 原式=例3: 求解: 原式=7.积分法积分求极限法:例一: 求。

求极限方法总结

求极限方法总结求极限方法总结第一篇1、等价无穷小的转化，〔只能在乘除时候使用，但是不是说肯定在加减时候不能用,前提是必需证明拆分后极限依旧存在,e的X次方-1或者〔1+x〕的a次方-1等价于Ax等等。

全部熟记〔x趋近无穷的时候还原成无穷小〕。

2、洛必达法则〔大题目有时候会有示意要你使用这个方法〕。

首先他的使用有严格的使用前提！必需是X趋近而不是N趋近！〔所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近状况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种状况而已，是必要条件〔还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不行能是负无穷！〕必需是函数的导数要存在！〔假如告知你g〔x〕,没告知你是否可导，直接用，无疑于找死！！〕必需是0比0无穷大比无穷大！当然还要留意分母不能为0。

洛必达法则分为3种状况：0比0无穷比无穷时候直接用；0乘以无穷，无穷减去无穷〔应为无穷大于无穷小成倒数的关系〕所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。

通项之后这样就能变成第一种的形式了；0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。

对于〔指数幂数〕方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的'函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，〔这就是为什么只有3种形式的缘由，LNx 两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候，LNX趋近于0〕。

3、泰勒公式(含有e的x次方的时候,尤其是含有正余弦的加减的时候要特变留意！〕E的x展开sina，展开cosa,展开ln1+x,对题目简化有很好帮助。

4、面对无穷大比上无穷大形式的解决方法,取大头原则最大项除分子分母！！！看上去冗杂,处理很简洁！5、无穷小于有界函数的处理方法,面对冗杂函数时候,尤其是正余弦的冗杂函数与其他函数相乘的时候,肯定要留意这个方法。

面对特别冗杂的函数，可能只需要知道它的范围结果就出来了！6、夹逼定理〔主要对付的是数列极限！〕这个主要是观察极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。

高数中求极限的16种方法

高数中求极限的16种方法——好东西首先对极限的总结如下:极限的保号性很重要，就是说在一定区间内，函数的正负与极限一致一、极限分为一般极限，还有数列极限，（区别在于数列极限发散，是一般极限的一种）二、求极限的方法如下：1 .等价无穷小的转化，（一般只能在乘除时候使用，在加减时候用必须证明拆分后极限依然存在） e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。

全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小）2.罗比达法则（大题目有时候会有暗示,要你使用这个方法）首先他的使用有严格的使用前提，必须是 X趋近而不是N趋近！所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！必须是函数的导数要存在！必须是 0比0 无穷大比无穷大！当然还要注意分母不能为0注意：罗比达法则分为3种情况0比0，无穷比无穷的时候直接用；0乘以无穷，无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。

通项之后这样就能变成1中的形式了；0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方;对于（指数幂数）方程,方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了,（这就是为什么只有3种形式的原因， LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候LNX趋近于0）3.泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余弦的加减的时候要特别注意！！！！）E的x展开，sina 展开，cos 展开，ln1+x展开，对题目简化有很好帮助4.面对无穷大比上无穷大形式的解决办法取大头原则，最大项除分子分母！！！！！！！！！！！5.无穷小于有界函数的处理办法面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。

面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了！！！6.夹逼定理（主要对付数列极限！）这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。

高数中求极限的16种方法

千里之行，始于足下。

高数中求极限的16种方法在高等数学中，求极限是一个格外重要的技巧和考点。

为了解决各种极限问题，数学家们总结出了很多方法和技巧。

以下是高数中求极限的16种方法：1.代换法：将极限中的变量进行代换，使其变成简洁计算的形式。

2.夹逼准则：当函数处于两个已知函数之间时，可以通过比较已知函数的极限来确定未知函数的极限。

3.无穷小量比较法：比较两个函数的无穷小量的大小，以确定它们的极限。

4.利用函数性质：利用函数的对称性、奇偶性等性质来计算极限。

5.利用恒等变形：将极限式子进行恒等变形，以将其转化为简洁计算的形式。

6.利用泰勒开放：将函数开放成无穷级数的形式，以求出极限。

7.利用洛必达法则：对于某些不定型的极限，可以利用洛必达法则将其转化为可计算的形式。

8.利用级数或累次求和：将极限式子转化为级数或累次求和的形式，以求出极限。

9.利用积分计算：将极限式子进行积分计算，以求出极限。

10.利用微分方程：将极限问题转化为求解微分方程的问题，以求出极限。

第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。

11.利用积素等价：将极限式子进行积素等价，以求出极限。

12.利用无穷增减变异法：通过凑出一个等价变形，将极限问题转化为比较某些函数值的大小。

13.利用不等式：通过找到合适的不等式，对函数进行估量，以求得极限。

14.利用递推公式：对于递归定义的函数，可以通过递推公式求出极限。

15.利用导数性质：利用函数的导数性质，对极限进行计算。

16.利用对数和指数函数的性质：利用对数和指数函数的特性，求出极限。

除了上述方法外，还有很多其他的方法和技巧，可以依据具体问题来选择使用。

这些方法和技巧的使用需要机敏把握，通过大量的练习和思考，可以在求解极限问题中得到娴熟应用。

大学数学经典求极限方法(最全)

求极限的各种方法1．约去零因子求极限例1：求极限11lim 41--→x x x【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。

【解】6)1)(1(lim 1)1)(1)(1(lim2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限例2：求极限13lim 323+-∞→x x x x【说明】∞∞型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。

【解】3131lim 13lim 311323=+-=+-∞→∞→x xx x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方；(2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=<∞>=++++++----∞→nm b a n m n m b x b x b a x a x a n nm m m m n n n n x 0lim 0110113．分子(母)有理化求极限例3：求极限)13(lim 22+-++∞→x x x【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。

【解】13)13)(13(lim)13(lim 22222222+++++++-+=+-++∞→+∞→x x x x x x x x x x0132lim22=+++=+∞→x x x例4：求极限3sin 1tan 1limxxx x +-+→ 【解】xx x xx x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim3030+-+-=+-+→→ 41sin tan lim 21sin tan limsin 1tan 11lim30300=-=-+++=→→→x x x x x x xx x x x 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键4．应用两个重要极限求极限两个重要极限是1sin lim 0=→xxx 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→10)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。

求极限的16个方法总结

求极限的16个方法总结求极限的16个方法总结首先对极限的总结如下。

极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致。

1、极限分为一般极限，还有个数列极限(区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种)。

2、解决极限的方法如下1)等价无穷小的转化，(只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在)e的X 次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等。

全部熟记。

(x趋近无穷的时候还原成无穷小)2)洛必达法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)首先他的使用有严格的使用前提。

必须是X趋近而不是N趋近。

(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n 趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件。

还有一点数列极限的n 当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!(假如告诉你g(x),没告诉你是否可导，直接用无疑是死路一条)必须是0比0无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0。

洛必达法则分为三种情况1)0比0无穷比无穷时候直接用2)0乘以无穷无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。

通项之后这样就能变成1中的形式了3)0的0次方1的无穷次方无穷的0次方对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，(这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0当他的幂移下来趋近于无穷的时候LNX趋近于0)3、泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意!)e的'x展开sina展开cos展开ln1+x展开对题目简化有很好帮助4、面对无穷大比上无穷大形式的解决办法。

取大头原则最大项除分子分母!看上去复杂处理很简单。

5、无穷小于有界函数的处理办法面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。

求极限方法总结-全

极限求解总结1、极限运算法则设,,则(1)(2)(3)2、函数极限与数列极限的关系如果极限存在，为函数的定义域内任一收敛于的数列，且满足:，那么相应的函数值数列必收敛，且3、定理（1）有限个无穷小的和也是无穷小；（2）有界函数与无穷小的乘积是无穷小；4、推论（1）常数与无穷小的乘积是无穷小；（2）有限个无穷小的乘积也是无穷小；（3）如果存在，而c为常数，则（4）如果存在，而n是正整数，则5、复合函数的极限运算法则设函数是由函数与函数复合而成的，在点的某去心领域内有定义，若，且存在，当时，有，则6、夹逼准则如果(1)当(或>M)时,(2)那么存在，且等于A7、两个重要极限（1）（2）8、求解极限的方法（1）提取因式法例题1、求极限解：例题2、求极限解：例题3、求极限解：（2）变量替换法（将不一般的变化趋势转化为普通的变化趋势）例题1、解：令例题2、解：令x=y+1=例题3、解：令y==（3）等价无穷小替换法注：若原函数与x互为等价无穷小，则反函数也与x互为等价无穷小例题1、解：例题2、解：例题3、解：例题4、解：例题5、解：令y=x-1原式=例题6、解：令型求极限例题1、解：解法一（等价无穷小）：解法二（重要极限）：（5）夹逼定理（主要适用于数列）例题1、解：所以推广：例题2、解：1)所以2)所以例题3、解：所以例题4、所以例题5、解：所以（6）单调有界定理例题1、解：单调递减极限存在，记为A由（*）求极限得：A=A所以A=0例题2、求解：单调递增所以极限存在，记为L 时例题3、求极限解：当当所以极限存在时注：单调性有时依赖于的选取例题4、求极限解：（整体无单调性）所以单调递减，同理，单调递增有因为故和均存在，分别记为A,B即解得 A=B=所以（7）泰勒公式法例题1、设f有n阶连续导数证明：证明：即（8）洛必达法则例题1、求解：例题2、求解：例题3、求解：例题4、求解：（9）利用函数的图像通过对求解极限方法的研究，我们对极限有了进一步的了解。

求极限的21个方法总结

求极限的21个方法总结1. 直接代入法：将变量的值代入极限表达式中，计算极限的值。

2. 分子分母同除以最高次项的方法：可以使得分子和分母的最高次项的系数为1，简化计算。

3. 消去法：利用性质将某些项消去，使得表达式更容易计算。

4. 因式分解法：将极限表达式中的因式进行分解，简化计算。

5. 分数分解法：将极限表达式中的分数进行分解，简化计算。

6. 奇偶性性质：利用函数的奇偶性质，简化计算。

7. 倍角、半角、和差公式：利用三角函数的相关公式，简化计算。

8. 幂函数性质：利用幂函数的性质，简化计算。

9. 对数函数性质：利用对数函数的性质，简化计算。

10. 指数函数性质：利用指数函数的性质，简化计算。

11. 三角函数性质：利用三角函数的性质，简化计算。

12. 极坐标法：将极限表达式转化为极坐标形式，简化计算。

13. 无穷小代换法：将极限表达式中的变量代换为无穷小量，简化计算。

14. 夹逼定理：利用夹逼定理确定极限的值。

15. L'Hopital法则：当计算的极限为0/0或者∞/∞形式时，可以利用L'Hopital 法则进行计算。

16. 泰勒展开法：将极限表达式进行泰勒展开，取较低阶项进行计算。

17. 递推法：将极限表达式中的各项逐步推导出来，从而得到极限的值。

18. 积分法：将极限表达式转化为积分形式，利用积分的性质计算极限的值。

19. 微分法：将极限表达式转化为微分形式，利用微分的性质计算极限的值。

20. 反函数法：将极限表达式中的函数进行反函数变换，简化计算。

21. 几何法：利用几何图形的性质计算极限的值。

求极限方法的总结与归纳

6．用罗必塔法则求极限
ln cos 2 x ln(1 sin 2 x) 例 9：求极限 lim x 0 x2
【说明】
0 或型的极限,可通过罗必塔法则来求。 0
2 sin 2 x sin 2 x ln cos 2 x ln(1 sin 2 x) 1 sin 2 x lim cos 2 x 【解】 lim 2 x 0 x 0 2x x
求极限方法的总结与归纳
1．约去零因子求极限例 1：求极限 lim
x 1
x4 1 x 1
【说明】 x 1 表明 x与1 无限接近，但 x 1 ，所以 x 1 这一零因子可以约去。【解】 lim
( x 1)( x 1)( x 2 1) lim ( x 1)( x 2 1) 6 =4 x 1 x 1 x 1
x
0
例 4：求极限 lim
x 0
1 tan x 1 sin x x3
【解】 lim
x 0
1 tan x 1 sin x tan x sin x lim 3 3 x 0 x x 1 tan x 1 sin x
lim
x 0
1 tan x sin x 1 tan x sin x 1 lim lim 3 2 x0 4 x x3 1 tan x 1 sin x x0
n
)
x xn2 （Ⅱ）计算 lim n 1 . n xn
【分析】一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在. 【详解】（Ⅰ）因为 0 x1 ，则 0 x2 sin x1 1 . 可推得
1
0 xn 1 sin xn 1 , n 1, 2,

求极限的方法总结

求极限的几种常用方法一、约去零因子求极限例如求极限limx→1x 4−1x−1，本例中当x →1时，x −1→0，表明x 与1无限接近，但x ≠1,所以x −1这一因子可以约去。

二、分子分母同除求极限求极限lim x→∞x 3−x 23x 3+1∞∞型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。

lim x→∞x 3−x 23x 3+1=lim x→∞1−1x 3+1x3=13三、分子(母)有理化求极限例:求极限lim x→∞(√x 3+3−√x 2+1)分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。

()()()()131313lim13lim22222222+++++++-+=+-++∞→+∞→x xx xx xxxx x132lim22=+++=+∞→x x x例：求极限limx→0√1+tanx−√1+sinxx 330sin 1tan 1lim x x x x +-+→=()x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim30+++-→ =300sin tan lim sin 1tan 11limx x x x x x x -+++→→=41sin tan lim 2130=-→x x x x 本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键。

四、应用两个重要极限求极限两个重要的极限(1)limx→0sinx x=1(2)lim x→∞(1+1x)x=lim x→0(1+x)1x=e在这一类型题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可以利用公式。

例：求极限lim x→∞(x+1x−1)x第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出1，再凑1+1x ，最后凑指数部分。

lim x→∞(x +1x −1)x =lim x→∞(1+2x −1)x =lim x→∞[(1+1x −12)2x−1(1+2x −1)12]2=e 2五、利用无穷小量的性质求极限无穷小量的性质：无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量。

求极限方法总结

求极限方法总结求极限方法总结一，求极限的方法横向总结：1带根式的分式或简单根式加减法求极限：1）根式相加减或只有分子带根式：用平方差公式，凑平方（有分式又同时出现未知数的不同次幂：将未知数全部化到分子或分母的位置上）2）分子分母都带根式：将分母分子同时乘以不同的对应分式凑成完全平方式（常用到2分子分母都是有界变量与无穷大量加和求极限：分子与分母同时除以该无穷大量凑出无穷小量与有界变量的乘积结果还是无穷小量。

3等差数列与等比数列和求极限：用求和公式。

4分母是乘积分子是相同常数的n项的和求极限：列项求和5分子分母都是未知数的不同次幂求极限：看未知数的幂数，分子大为无穷大，分子小为无穷小或须先通分。

6运用重要极限求极限（基本）。

7乘除法中用等价无穷小量求极限。

8函数在一点处连续时，函数的极限等于极限的函数。

9常数比0型求极限：先求倒数的极限。

10根号套根号型：约分，注意别约错了。

11三角函数的加减求极限：用三角函数公式，将sin化cos二，求极限的方法纵向总结：1未知数趋近于一个常数求极限：分子分母凑出（x-常数）的形式，然后约分（因为x不等于该常数所以可以约分）最后将该常数带入其他式子。

2未知数趋近于0或无穷：1）将x放在相同的位置2）用无穷小量与有界变量的乘积3）2个重要极限4）分式解法（上述）高数解题技巧。

高数（上册）期末复习要点高数（上册）期末复习要点第一章：1、极限2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型）第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续2、求导法则（背）3、求导公式也可以是微分公式第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节）2、洛必达法则3、泰勒公式拉格朗日中值定理4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习）5、曲率公式曲率半径第四章、第五章：积分不定积分：1、两类换元法 2、分部积分法（注意加C ）定积分： 1、定义 2、反常积分第六章：定积分的应用主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长第七章：向量问题不会有很难1、方向余弦2、向量积3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程） 3、空间平面4、空间旋转面（柱面）高数解题技巧。

求极限方法总结全

极限求解总结1、极限运算法则设limn→∞a n=a,limn→∞b n=b,则(1)limn→∞(a n±b n)=limn→∞a n±limn→∞b n=a±b;(2)limn→∞a n b n=limn→∞a n limn→∞b n=ab;(3)limn→∞a nb n=limn→∞a nlimn→∞b n=ab(b≠0).2、函数极限与数列极限的关系如果极限limx→x0f(x)存在，{x n}为函数f(x)的定义域内任一收敛于x0的数列，且满足:x n≠x0(n∈N+)，那么相应的函数值数列{f(x)}必收敛，且limn→∞f(x n)=limx→x0f(x)3、定理（1）有限个无穷小的和也是无穷小；（2）有界函数与无穷小的乘积是无穷小；4、推论（1）常数与无穷小的乘积是无穷小；（2）有限个无穷小的乘积也是无穷小；（3）如果lim f(x)存在，而c为常数，则lim[cf(x)]=c lim f(x)（4）如果lim f(x)存在，而n是正整数，则lim[f(x)]n= [lim f(x)]n5、复合函数的极限运算法则设函数y=f[g(x)]是由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合而成的，y=f[g(x)]在点x0的某去心领域内有定义，若lim x→x0g(x)=u0，limu→u0f(u)=A，且存在δ0>0，当x∈U(x0,δ0)时，有g(x)≠u0，则limx→x0f[g(x)]=limu→u0f(u)=A6、夹逼准则如果(1)当x∈U(x0,r)(或|x|>M)时,g(x)≤f(x)≤h(x)(2)limx→x0(x→∞)g(x)=A,limx→x0(x→∞)ℎ(x)=A那么limx→x0(x→∞)f(x)存在，且等于A 7、两个重要极限（1）limx→0sin xx=1（2）limx→∞(1+1x)x=e8、求解极限的方法（1）提取因式法例题1、求极限limx→0e x+e−x−2x2解：limx→0e x+e−x−2x2=limx→0e−x(e2x−2e x+1)x2=lim x→0e−x(e x−1x)2=1例题2、求极限limx→0a x2−b x2(a x−b x)2(a≠b,a.b>0)解：limx→0a x2−b x2(a x−b x)2=limx→0b x2[(ab)x2−1]b2x[(ab)x−1]2=limx→0b x2−2x x2ln ab(x ln ab)2=1ln ab例题3、求极限limx→+∞x p(a1x−a1x+1)(a>0,a≠1)解：limx→+∞x p a1x+1(a1x(x+1)−1)=limx→+∞x p a1x+11x(x+1)ln a=lim x→+∞x px(x+1)a1x+1ln a=limx→+∞x p−21+1xa1x+1ln a=（2）变量替换法（将不一般的变化趋势转化为普通的变化趋势）例题1、limx→πsin(mx) sin(nx)解：令x=y+πlim x→πsin(mx)sin(nx)=limy→0sin(my+mπ)sin(ny+nπ)=(−1)m−n limy→0sin mysin ny=(−1)m−nmn例题2、limx→1x1m−1 x1n−1解：令x=y+1lim x→1x1m−1x1n−1=limx→1(1+y)1m−1(1+y)1n−1=nm例题3、limx→+∞x2√x2+x−√x3+x23解：令y=1xlim x→+∞x2√x2+x−√x3+x23=limy→0+√1y2+1y−√1 y3+1y23=limy→0+√1+y−√1+y3y=16（3）等价无穷小替换法x→0sin x~x~sin−1x tan x~x~tan−1xe x−1~x~ln(1+x)a x−1~x ln a1−cos x~x 22(1+x)α−1~αx注：若原函数与x互为等价无穷小，则反函数也与x互为等价无穷小例题1、lim x→0(a x +b x2)1x(a.b >0)解：lim x→0(a x +b x2)1x=elim x→01xlna x +b x 2=elim x→01xln(1+a x +b x −22)=elimx→0(a x −1)+(b x −1)2x =√ab例题2、lim x→+∞ln (1+e ax )ln (1+bx )(a >0)解：lim x→+∞ln (1+e ax )ln (1+b x )=lim x→+∞ln (1+e ax )bx =lim x→+∞bx ln [e ax (e −ax +1)]=limx→+∞bx[ln e ax +ln (e −ax +1)]=limx→+∞bx[ax +ln (e−ax+1)]=ab +limx→+∞b ln (e −ax +1)x=ab例题3、lim x→0ln ((sin x )2+e x )−xln (x 2+e 2x )−2x解：limx→0ln ((sin x )2+e x )−xln (x 2+e 2x )−2x =limx→0ln ((sin x )2+e x )−xln (x 2+e 2x )−2x=limx→0ln((sin x )2e x +1)ln(x 2e2x +1)=limx→0(sin x )2e 2xx 2e x=1例题4、lim x→0e x −e sin xx−sin x解：limx→0e x −e sin xx−sin x =lim x→0e sin x (e x−sin x −1)x−sin x=limx→0e sin x (x−sin x )x−sin x=1例题5、lim x→1x x −1x−1解：limx→1x x −1x−1=limx→1e x ln x −1x−1=limx→1x ln xx−1令y=x-1 原式=limy→0(y+1)ln (y+1)y=1例题6、lim x→π2α+β√(1−(sin x )α)(1−(sin x )β)α.β>0)解：令y =1−sin xlim x→π21−(sin x )α+β√(()α)(()β)=lim y→0+1−(1−y )α+β√[()α][()β]=lim y→0+y (α+β)√αyβy=α+β√αβ（4）1∞型求极限例题1、lim x→π4(tan x )tan 2x 解：解法一（等价无穷小）：lim x→π4(tan x )tan 2x =e lim x→π4(tan 2x )ln (tan x )=e lim x→π4(tan 2x )ln [1+(tan x−1)]=e lim x→π4(tan 2x )(tan x−1)=elim x→π42tan x1−(tan x )2(tan x−1)=elim x→π4−2tan x 1+tan x =e −1解法二（重要极限）：lim x→π4(tan x )tan 2x =lim x→π4[1+(tan x −1)]1tan x−1tan 2x (tan x−1)=elim x→π4(tan 2x )(tan x−1)=elim x→π42tan x 1−(tan x )2(tan x−1)=elim x→π4−2tan x 1+tan x =e −1（5）夹逼定理（主要适用于数列）例题1、lim n→∞(1n +2n +3n+4n )1n解：4n ≤1n +2n +3n +4n ≤4×4n 所以lim n→∞(1n+2n+3n+4n )1n=4推广：a i >0 i =1,2,3……mlim n→∞(a 1n +a 2n +a 3n+⋯+a mn )1n=max 1≤i≤m{a i }例题2、lim x→0x [1x ]解：1x −1≤[1x]≤1x1)x>0 1−x≤x[1x]≤1所以x→0+ limx→0x[1x]=12)x<0 1−x≥x[1x]≥1所以x→0− limx→0x[1x]=1例题3、limn→∞32×55×78×?×2n+13n−1解：2n+13n−1≤2(n+1)3n(n≥2)0≤32×55×78×?×2n+13n−1≤32×66×89×?×2(n+1)3n=n+12(23)n−2limn→∞n+12(23)n−2=0所以limn→∞32×55×78×?×2n+13n−1=0例题4、limn→∞∑√k (n+1)2k=n2lim n→∞∑1√k(n+1)2k=n2=limn→∞[1√n2+1√n2+1+1√(n+1)2] 2n+2√(n+1)2≤x n≤2n+2√n2所以limn→∞x n=2例题5、limn→∞∑(n k+1)−1k nk=1解：n k≤n k+1≤(n+1)kn≤(n k+1)1k≤n+11 n+1≤(n k+1)−1k≤1n所以nn+1≤∑(n k+1)−1knk=1≤nnlim n→∞∑(n k+1)−1knk=1=1（6）单调有界定理例题1、limn→∞32×55×78×?×2n+13n−1解：x n=x n−1×2n+13n−1≤x n−1???(∗){x n}单调递减0≤x n极限存在，记为A由（*）n→∞求极限得：A=23A所以A=0例题2、x0=1 x n+1=√2x n求limn→∞x n解：x n+1−x n=√2x n−√2x n−1=n n−1√2x n+√2x n−1x1−x0=√2−1>0 {x n}单调递增x n+1=√2x n<√2x n+1所以(x n+1)2−2x n+1<00<x n+1<2极限存在，记为Ln→∞时L =√2L L=2例题3、x1>0 x n+1=a(1+x n)a+x n(a>1)求极限limn→∞x n解：x n+1−x n=a(1+x n)a+x n −a(1+x n−1)a+x n−1=(a2−a)(x n−x n−1)(a+x n)(a+x n−1) x2−x1=a−x12a+x1当x1>√a x2−x1<0 x n↓当0<x1≤√a x n↑所以0<x n+1=a(1+x n)a+x n <a(a+x n)a+x n=a极限存在n→∞时L=a(1+L)a+LL=√a 注：x n单调性有时依赖于x1的选取例题4、x1>1 x n+1=11+x n 求极限limn→∞x n解：x n+1−x n=x n−1−x n(1+x n)(1+x n−1)（整体无单调性）x2n+1−x2n−1=11+x2n−11+x2n−2=x2n−2−x2n(1+x2n)(1+x2n−2)=x2n−1−x2n−3(1+x2n)(1+x2n−2)(1+x2n−1)(1+x2n−3) x3−x1=11+x2−x1<0所以{x2n+1}单调递减，同理，{x2n}单调递增有因为0<x n<1(n≥2)故limn→∞x2n+1和limn→∞x2n均存在，分别记为A,B x2n+1=11+x2nx2n=11+x2n−1即A=11+B B=11+A解得 A=B=√5−12所以limn→∞x n=√5−12（7）泰勒公式法例题1、设f有n阶连续导数(n≥2)f(k)(x0)=0 (k=1,2,?,n−1)f(n)(x0)≠0 ?n∈Rf (x 0+ℎ)−f (x 0)=ℎf ′(x 0+θℎ) (0<θ=θ(ℎ)<1)证明：lim ℎ→0θ(ℎ)=n11−n证明：f ′(x 0+θℎ)=f ′(x 0)+f "(x 0)(θℎ)+f 3(x 0)2!(θℎ)2+??+f (n−1)(x 0)(n−2)!(θℎ)n−2+f (n )(ε)(n−1)!(θℎ)n−1即f ′(x 0+θℎ)=f (n )(ε)(n−1)!(θℎ)n−1 x 0<ε<x 0+θℎf (x 0+ℎ)= f (x 0)+f (n )(μ)ℎnf (x 0+ℎ)−f (x 0)=ℎnf (n )(μ)n!x 0<μ<x 0+ℎf (n )(μ)n!ℎn =f (n )(ε)(n −1)!ℎn−1ℎθn−1θ=√f (n )(μ)f εn−11n1n−1 ℎ→0 lim ℎ→0θ(ℎ)=√f (n )(μ)()()n−1n 11−n = lim ℎ→0θ(ℎ)=n 11−n（8）洛必达法则例题1、求lim x→1x 3−3x+2x −x −x+1解：lim x→1x 3−3x+2x 3−x 2−x+1=lim x→13x 2−33x 2−2x−1=lim x→16x6x−2=32例题2、求lim x→+∞π2−tan −1x 1x解：limx→+∞π2−tan −1x 1x=limx→+∞−11+x 2−1x2=limx→+∞x 21+x 2=1例题3、求lim x→+∞x ne λx(n 为正整数，λ>0)解：limx→+∞x neλx=lim x→+∞nx n−1λe λx=limx→+∞n (n−1)x n−2λ2e λx=?=limx→+∞n!λn e λx=0例题4、求limx→0+x n ln x (n>0)解：limx→0+x n ln x=limx→0+ln xx=limx→0+1x−nx=limx→0+(−x nn)=0（9）利用函数的图像通过对求解极限方法的研究，我们对极限有了进一步的了解。

16种求极限的方法

16种求极限的方法 <网上找的仅供参考>首先说下我的感觉，假如高等数学是棵树木得话，那么极限就是他的根，函数就是他的皮。

树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见这一章的重要性。

为什么第一章如此重要？各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。

函数的性质表现在各个方面首先对极限的总结如下极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致1 极限分为一般极限，还有个数列极限，（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种）2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么？？？）1 等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在） e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。

全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小）2落笔他法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！必须是 X趋近而不是N趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件（还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！）必须是函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导，直接用无疑于找死！！）必须是 0比0 无穷大比无穷大！！！！！！！！！当然还要注意分母不能为0落笔他法则分为3中情况1 0比0 无穷比无穷时候直接用2 0乘以无穷无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。

通项之后这样就能变成1中的形式了3 0的0次方 1的无穷次方无穷的0次方对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因， LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0）3泰勒公式 (含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意！！！！）E的x展开 sina 展开 cos 展开 ln1+x展开对题目简化有很好帮助4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法取大头原则最大项除分子分母！！！！！！！！！！！看上去复杂处理很简单！！！！！！！！！！5无穷小于有界函数的处理办法面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。

求函数极限的方法总结

求函数极限的方法总结函数极限是微积分中的重要概念，是研究函数行为的基础。

在求解函数极限时，需要使用一系列方法和技巧。

以下是关于函数极限的常用方法总结，包括直接代入法、夹逼准则、拉'Hospital法则、无穷小代换法等。

一、直接代入法直接代入法是求解函数极限的最简单方法，适用于极限存在的情况。

该方法的基本思想是将自变量逐渐接近极限值，然后代入函数中计算极限值。

例如，求函数f(x)=x^2的极限当x趋向于2时，可以直接将x=2代入函数中计算，得到f(2)=4二、夹逼准则夹逼准则是求解函数极限的常用方法之一，适用于需要证明函数极限存在时。

该方法的基本思想是通过找到两个函数，其中一个函数的极限接近于要求的极限，另一个函数夹在这两个函数之间，然后利用夹逼定理证明函数极限存在。

例如，求函数f(x)=sinx/x的极限当x趋向于0时，可以利用夹逼准则，构造两个函数g(x)=sinx和h(x)=x，其中g(x)<=f(x)<=h(x)。

然后利用夹逼定理可以证明f(x)的极限存在且等于1三、拉'Hospital法则拉'Hospital法则是解决函数极限问题时常用的方法，适用于求导函数后的函数极限。

该方法的基本思想是对于两个函数的商的极限，如果分子和分母的导数极限存在，且分母导数不为零，那么原函数的极限等于导数上下极限的商。

例如，求函数f(x)=sinx/x的极限当x趋向于0时，可以利用拉'Hospital法则，对分子和分母求导，得到lim(x->0)sinx/x=lim(x->0)cosx/1=1四、无穷小代换法无穷小代换法是求解函数极限的一种常用方法，适用于等价无穷小的极限问题。

该方法的基本思想是将函数的极限转化为等价无穷小的极限形式，然后利用等价无穷小的性质来求解。

例如，求函数f(x)=x^2-x的极限当x趋向于无穷时，可以将x替换为1/t，得到lim(t->0)(1/t^2-1/t)=lim(t->0)(1-t)/t^2=-1五、级数收敛法级数收敛法是计算函数极限的一种常用方法，适用于将函数展开成幂级数的形式计算。

归纳总结：求极限十法

要使xn有极限的充要条件使任给0存在自然数n使得当nn时对于
1、利用定义求极限。 2、利用柯西准则来求。柯西准则：要使{xn}有极限的充要条件使任给ε>0,存在自然数N，使得当n>N时，对于任意的自然数m有|xn-xm| 3、利用极限的运算性质及已知的极限来求。如：lim(x+x^0.5)^0.5/(x+1)^0.5 =lim(x^0.5)(1+1/x^0.5)^0.5/(x^0.5)(1+1/x)^0.5 =1. 4、利用不等式即：夹挤定理。 5、利用变量替换求极限。例如lim (x^1/m-1)/(x^1/n-1) 可令x=y^mn 得：＝n/m. 6、利用两个重要极限来求极限。（1）lim sinx/x=1 x->0 (2)lim (1+1/n)^n=e n->∞ 7、利用单调有界必有极限来求。 8、利用函数连续得性质求极限。 9、用洛必达法则求，这是用得最多的。 10、用泰勒公式来求Fra bibliotek这用得也很经常。