四年级上册奥数讲义 第三积商的变化规律 冀教版 无答案
【四年级奥数】商的变化规律
一、知识点分析（1）重点、考点：发现并运用商的变化规律。
（2）难点、易错点：商的变化规律的探究策略。
（3）教学目标1、让学生探索并掌握一个被除数不变，另一个除数乘（或除以）几，商也乘（或除以）几的变化规律；能将这规律恰当地运用于实际计算和解决简单的实际问题。
2、使学生经历商的变化规律的发现过程，初步获得探索和发现数学规律的基本方法和经验。
二、同步教学：商的变化规律【知识点梳理】商的变化规律1、如果两个数相除，如果被除数乘几，除数不变，则商就乘几。
2、如果两个数相除，如果被除数除以几，除数不变，则商就除以几。
3、两个数相除，如果被除数不变，除数乘几，则商就除以几。
4、两个数相除，如果被除数不变，除数除以几，则商就乘几。
【例题详解】例1在除法算式128÷4中，如果被除数乘2，除数不变，商有什么变化？拓展1 在除法算式128÷4中，如果被除数不变，除数乘8，商有什么变化？拓展2 在除法算式128÷4中，如果被除数乘4，除数乘2，商有什么变化？拓展3在除法算式128÷4中，如果被除数乘3，除数乘6，商有什么变化？拓展4 在除法算式144÷12中，被除数乘6，除数除以3，商有什么变化？拓展5在除法算式128÷4中，被除数除以4，除数乘2，商有什么变化？拓展6 在除法算式128÷4中，被除数除以8，除数除以4，商有什么变化？例2两个数相除，商是210，如果被除数乘3，除数不变，新的商是多少？拓展1 两个数相除，商是210，如果被除数不变，除数乘3，新的商是多少？拓展2 两个数相除，商是210，如果被除数乘3，除数乘6，新的商是多少？例3两个数相除，商是7，余数是8。
如果被除数和除数同时乘10，商是多少？余数是多少？例4凡凡在做一道除法算式题时，将被除数乘5，除数乘6，得到的商是80，正确的商应该是多少？【课堂练习】1、贝贝在做一道除法算式题时，将被除数乘3，除数乘4，得到的商是150，正确的商应该是多少？2、兰兰在做一道整数除法算式题时，将被除数末尾的一个“0”漏写了，结果得到的商是20，正确的商应该是多少？3、小美在做一道整数除法算式题时，给被除数末尾多写了一个“0”，结果得到的商是250，正确的商应该是多少？4、两个数相除，商是450，如果被除数乘5，除数不变，新的商多少？5、两个数相除，商是8，余数是3，如果被除数和除数同时乘20，那么商是多少？余数是多少？6、两个数相除，商是7，余数是3，如果被除数和除数同时乘120，那么商是多少？余数是多少？7、两个数相除，商是8，余数是600，如果被除数和除数同时除以100，那么商是多少？余数是多少？【课堂小结】今天我们学习了什么内容，先由学生总结，再由老师补充。
四年级积商的变化规律5条
四年级积商的变化规律5条一、积的变化规律。
1. 一个因数不变，另一个因数乘几，积也乘几。
- 例如：在算式3×5 = 15中，如果3不变，5变为5×2 = 10，那么积就变为3×10=30，15×2 = 30，积也乘了2。
- 在实际解决问题时，比如一个长方形的长不变，宽扩大到原来的3倍，根据长方形面积公式S =长×宽，面积也会扩大到原来的3倍。
2. 一个因数不变，另一个因数除以几（0除外），积也除以几。
- 例如：4×6 = 24，如果4不变，6变为6÷2 = 3，那么积就变为4×3 = 12，24÷2=12，积也除以了2。
- 假设每箱苹果的个数不变，箱数减少为原来的一半，那么苹果的总个数也会减少为原来的一半。
3. 两个因数同时乘一个数（0除外），积乘这个数的平方。
- 例如：2×3 = 6，如果2变为2×2 = 4，3变为3×2 = 6，那么新的积为4×6 = 24，而6×2^2=6×4 = 24。
- 在计算长方形面积时，如果长和宽都扩大到原来的2倍，那么面积就会扩大到原来的2×2 = 4倍。
4. 两个因数同时除以一个数（0除外），积除以这个数的平方。
- 例如：12×8 = 96，如果12变为12÷2 = 6，8变为8÷2 = 4，新的积为6×4 = 24，而96÷2^2 = 96÷4 = 24。
- 像把一个长方形的长和宽都缩小为原来的一半，面积就会缩小为原来的(1)/(4)。
二、商的变化规律。
1. 被除数不变，除数乘几（0除外），商就除以几。
- 例如：12÷3 = 4，如果被除数12不变，除数3变为3×2 = 6，那么商变为12÷6 = 2，4÷2 = 2，商除以了2。
四年级数学上册『积和商的变化规律』知识点解析
解析：被除数和除数同时缩小2倍，商不变。
268800÷56=（4800）
解析：被除数扩大50倍，除数不变，商扩大50倍。
5376÷14=（384）
解析：被除数不变，除数缩小4倍，商反而扩大4倍。
5376÷5600=（0.96）
解析：被除数不变，除数扩大100倍，商反而缩小100倍。
除数缩小多少倍，商反而扩大相同的倍数。
3.除数不变，被除数扩大多少倍，商扩大相同的倍数。
被除数缩小多少倍，商缩小相同的倍数。
根据5376÷56=96，直接写出下面各式的商。
537600÷56=（9600）
解析：被除数扩大100倍，除数不变，商扩大100倍。
5376÷112=（48）
解析：被除数不变，除数扩大2倍，商反而缩小2倍。
16×8=（128）
解析：32缩小2倍，16缩小2倍，积缩小2×2=4倍。
0.32×16=（5.12）
解析：32缩小100倍，积缩小100倍。
四年级数学上册『积和商的变化规律』知识点解析（或缩小）相同的倍数（0除外），商不变。
2.被除数不变，除数扩大多少倍，商反而缩小相同的倍数。
根据32×16=512，直接写出下面各式的积。
320×160=（51200）
解析：两个因数同时扩大10倍，积扩大10×10=100倍。
320×1600=（512000）
解析：积扩大10×100=1000倍。
32×160=（5120）
解析：积扩大10倍。
1600×160=（256000）
解析：32扩大50倍，16扩大10倍，积扩大50×10=500倍。
四年级数学上册『积和商的变化规律』知识点解析
小学数学冀教版四年级上册 2.3商不变规律 教案
商的变化规律教学内容:翼教版四年级上册第二单元《除数是两位数的除法》商的变化规律。
教学目标1、让学生结合具体情境，通过计算、观察、比较、发现商随除数（或被除数）变化而变化的规律。
2、培养学生初步的抽象概况能力和运用数学语言表达数学结论的能力,渗透合情推理思想。
教学重难点通过观察、比较、探讨发现及验证商的变化规律。
教学过程一、铺垫练习师：学们，前段时间我们在乘法算式中研究了积的变化规律，今天我们就在除法算式中研究商的变化规律（板书课题）。
问题一：有16个苹果，平均分给8个小朋友，每人分得几个苹果？有160个苹果，平均分给8个小朋友，每人分得几个苹果？有32021果，平均分给8个小朋友，每人分得几个苹果？师：请同学们快速读题，说出算式并口算出结果。
【设计意图：情境创设的目的就是让学生在列式计算的过程中初步感知被除数、除数和商的变化规律，帮助学生理解“为什么被除数扩大，除数不变，商变大”的道理。
】二、探究新知1商随被除数变化而变化的规律。
师：同学们的回答真是又快又准，那我们来观察一下这三个算式。
师：这三个算式什么都没有变，什么和什么发生变化了？生：除数都没有变，被除数和商发生了变化。
师：先对比①②两个算式，除数不变，被除数由16变成160乘了几？商由2变成2021了几？对比②③,被除数由160变成32021几？商由202140乘了几？再对比①③，被除数由16变成32021几？商由2变成40乘了几？师：根据刚才的对比，你有什么发现？和你的小组成员交流一下。
生：我发现，除数不变，被除数乘几，商也乘几。
师：刚才我们是从上往下看的，如果我们从下往上看又有什么发现？生：我发现，除数不变，被除数除以几，商也除以几。
师：那谁能用一句话把刚才的两个发现归纳成一句话？生：除数不变，被除数乘（或除以）几，商也乘（或除以）几。
（板书）师：真棒，那被除数乘或除以的数可以是0吗？这句话应该加上什么？生：不可以，因为0不能做除数，要加上0除外师：大家一起尝试完整的说一次。
小学奥数之积、商的变化规律
积、商的变化规律同学们好，在上一讲我们研究了和、差的变化规律，今天这一讲我们来研究，积、商的变化规律。
请同学们填出下表，说出什么发生了变化，积、商有没有发生变化，如果有变化是怎样变的，你能从中得出什么结论吗？规律：两个因数相乘，被乘数乘以（或除以）一个不为0的数，乘数不变，积也乘以（或除以）同一个数。
两个因数相乘，被乘数不变，乘数乘以（或除以）一个不为0的数，积也乘以（或除以）同一个数。
两个因数相乘，被乘数乘以（或除以）一个不为0的数，乘数同时除以（或乘以）同一个数，积不变。
规律：在除法里被除数乘以（或除以）一个不为0的数，除数不变，商也乘以（或除以）同一个数。
被除数不变，除数乘以（或除以）一个不为0的数，商反而除以（或乘以）同一个数。
被除数乘以（或除以）一个不为0的数，除数同时乘以（或除以）相同的一个数，商不变。
例1. 2584⨯=⨯⨯÷=⨯=()()254844100212100分析与解答：根据积的变化规律，一个因数扩大多少倍，另一个因数反而缩小相同的倍数，积不变的规律，使25×4，使84÷4，转化为100×21，这就很快计算出结果是2100。
例2. 12588⨯=⨯⨯÷=⨯=()()125888810001111000例3. 2250125÷=⨯÷⨯=÷=()()22508125818000100018分析与解答：根据商的变化规律，被除数和除数同时乘以或除以一个数（不为0）商不变的规律，可以使2250×8，使125×8，转化为18000÷1000，这样就能很快算出结果是18。
【模拟试题】（答题时间：45分钟）（一）尝试体验 1. 填一填1272244⨯⨯⨯⨯⨯⎫⎬⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪=÷÷÷÷÷⎫⎬⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪=()()()()()()()()()()()()()()()()()() 完成上面两组题后，每组后面的4个题与第一算式比较各部分是怎样变化的，才保证了使它们的和、差、积、商没发生变化？ 2. 利用积、商变化规律，计算下面各题。
【教案】四年级上册商的变化规律详解
四年级上册商的变化规律详解商是小学数学中一个非常重要的概念，它是数学中的基础。
在小学四年级上册数学中，我们主要学习商的概念、商的大小比较和商的变化规律等内容。
其中，学习商的变化规律是非常重要的一环，下面我们就来详细了解一下四年级上册商的变化规律。
一、商的概念商是指一个数除以另一个数所得到的结果。
例如，4 ÷ 2 = 2，这里的2就是4和2的商。
当一个数被除数比除数大时，商一定小于1；当除数比被除数大时，商一定大于1；当被除数和除数相等时，商等于1。
二、商的大小比较在小学四年级上册数学中，我们学习商的大小比较，这是商的学习中非常重要的一个环节。
商的大小比较需要我们掌握两个原则：1. 同除数比较，除数越小，商越大；除数越大，商越小。
例如：10 ÷ 4 与10 ÷ 5 进行比较。
被除数相同， 10，除数4的商是2.5，除数5的商是2，10 ÷ 4 > 10 ÷ 5。
2. 同被除数比较，除数越小，商越小；除数越大，商越大。
例如：16 ÷ 3 与16 ÷ 4 进行比较。
除数相同，3的商是5.33，4的商是4，16 ÷ 3 > 16 ÷ 4。
三、商的变化规律商的变化规律是小学四年级上册数学中需要我们注意掌握的内容。
常见的商的变化规律有以下几种：1. 倍数关系当被除数不变时，除数逐渐增加，商也相应地逐渐减小，它们之间有着一种倍数的关系。
例如：30 ÷ 2 = 15，30 ÷ 3 = 10，30 ÷ 4 = 7.5，30 ÷ 5 = 6，30 ÷ 6 = 5。
2. 倒数关系当除数不变时，被除数逐渐增加，商则逐渐增大，它们之间有着一种倒数的关系。
例如：2 ÷ 10 = 0.2，3 ÷ 10 = 0.3，4 ÷ 10 = 0.4，5 ÷ 10 = 0.5，6 ÷ 10 = 0.6。
冀教版四年级数学上册《商不变规律》
《商不变规律》“商不变的规律”是小学数学中的重要基础知识，它是进行除法简便运算的依据，也是今后学习小数乘除法、分数、比的基本性质等知识的基础。
教材通过实例的分析、比较，使学生掌握商不变时被除数、除数的变化规律，从而抽象概括出商不变的规律。
本节课内容“商不变的规律”是在学生已较好地掌握了多位数除法的计算方法的基础上学习的，因而对于学生来说，要学好这部分知识，发现和探索出商不变的规律难度不是很大，但利用商不变的规律解决生活中的实际问题有一定的难度。
教师要引导学生从身边最熟悉的事例入手，探索怎样利用商不变的规律用类推的数学方法来解决问题。
【知识与能力目标】探索商、发现商不变的规律，能运用商不变的规律，进行一些除法的简便计算。
【过程与方法目标】在探索规律的过程中，获得探索和发现数学规律的基本方法和经验。
【情感态度价值观目标】在探究活动中感受“变”与“不变”的辩证唯物主义思想，培养初步的数学应用意识，唤起学数学的兴趣。
【教学重点】探究商不变的规律和运用规律进行一些除法简算。
【教学难点】自主思考、探究、发现、归纳商不变的规律。
（一）创设情境课件出示2道口算题。
（1）36÷12＝（2）36000÷12000＝师：你能口算出这两个算式的结果吗？第一题对于学生无难度，第2题学生可能会说出不同结果。
师：请你仔细观察，第2题与第1题有什么关系？生：被除数乘1000，除数也乘了1000。
师：被除数、除数都乘1000，商又会有什么变化呢？这节课我们就来研究这个问题。
（二）探究新知出示课本上的第（1）组题。
师：先口算出各题的商。
师：认真观察被除数、除数和商，你发现了什么？生1：商都是3。
师：每个算式的商都是3，可以说商不变。
生2：被除数、除数变了，商没变。
师：再观察这组算式中的第二个算式和第一个算式，说一说被除数怎样变化的，除数又是怎样变化的？学生可能回答：●第二个算式与第一个算式比，被除数由6变成了60，除数由2变成了20。
(苏教版)四年级上册数学讲义-第三讲商的变化规律(含答案)
四年级上商的变化规律辅导讲义商的变化规律一．商的变化规律．被除数不变，除数和商的变化正好相反，即除数扩大（或缩小），商就缩小（或扩大），除数乘（或除以）几（0除外），商就除以（或乘）几；除数不变，被除数和商的变化相同，即商随被除数的扩大（或缩小）而扩大（或缩小），被除数乘（或除以）几（0除外），商也乘（或除以）几．二．商不变规律．被除数和除数同时乘（或除以）相同的数（0除外），商不变．三．根据商不变规律可以进行一些简便计算．没有余数的除法中，有，．但要特别注意：在有余数的除法中，余数会发生与被除数、除数相同的变化．四．根据商不变规律计算被除数和除数末尾都有0的除法会更简便．被除数和除数的末尾同时去掉相同个数的0，商不变，但余数发生了变化，去掉几个0，余数的末尾就要加上几个0．重点：通过计算、填表、观察、比较，发现商的变化规律，渗透函数思想．难点：理解和掌握商的变化规律，并能运用这一规律进行口算．易错点：根据商不变规律计算有余数的除法时，余数易出错．题模一：商随除数（或被除数）的变化而变化的规律例2.1.1 在算式125÷5中，除数5不变，被除数增加（），商就增加1．A．125B．1C．5【答案】C【解析】1×5＝5除数5不变，被除数增加5，商就增加1．题模二：商不变规律例2.2.1 文具店中2支自动铅笔的售价是7元，3支钢笔的售价是14元。
张老师准备为同学们购买10支自动铅笔和21支钢笔，一共需要花多少钱？【答案】7×（10÷2）+14×（21÷3）=133（元）【解析】7×（10÷2）+14×（21÷3）=133（元）例2.2.2 下面（）算法是对的．A．400÷25=400÷（25×4）=400÷100=4B．400÷25=（400×5）÷（25×4）=2000÷100=20C．400÷25=（400×4）÷（25×4）=1600÷100=16【答案】C【解析】A、400÷25=16，400÷（25×4）=400÷100=4，所以400÷25=400÷（25×4）=400÷100=4计算错误；B、400÷25=16，（400×5）÷（25×4）=2000÷100=20，所以400÷25=（400×5）÷（25×4）=2000÷100=20计算错误；C、400÷25=16，（400×4）÷（25×4）=1600÷100=16，即被除数和除数同时扩大4倍，商不变，所以400÷25=（400×4）÷（25×4）=1600÷100=16计算正确；例2.2.3 下面（）算式的商与96÷8的商相等．A．960÷800B．9600÷800C．48÷8【答案】B【解析】根据商不变的性质可知，与96÷8的商相等的算式是9600÷800．例2.2.4 15000÷300=15÷3________．【答案】错误【解析】被除数15000变为15，即缩小了1000倍，除数300变为3，缩小了100倍，被除数和除数缩小的倍数不一致，所以，15000÷300=15÷3不成立；例2.2.5 在480÷120=4中，被除数扩大4倍，除数也扩大4倍，商不变．________．【答案】√【解析】根据商不变的性质可知，在480÷120=4中，被除数扩大4倍，除数也扩大4倍，商不变．例2.2.6 280÷70=（280×5）÷（70÷5）________．【答案】错误【解析】根据商不变性质可得：280÷70=（280×5）÷（70÷5），计算错误，应为280÷70=（280×5）÷（70×5）；例2.2.7 根据56÷4=14，请试一试运用商不变规律写出两道除法算式．________．【分析】在除法算式中，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），商不变；据此解答即可．【答案】560÷40=14，5600÷400=14【解析】根据商不变的性质可知，56÷4=14，则560÷40=14，5600÷400=14．例2.2.8 如果两个数的商是25，当被除数和除数都缩小5倍时，商________；如果被除数扩大5倍，要使商不变，除数应该________．【答案】不变，扩大5倍【解析】如果两个数的商是25，当被除数和除数都缩小5倍时，商不变；如果被除数扩大5倍，要使商不变，除数应该扩大5倍；例2.2.9 3000÷250＝300÷25＝1200÷100＝12应用了（）．A．乘法分配律B．商不变的规律C．乘法结合律【答案】B【解析】B例2.2.10 如果A÷B＝64，则（A×2）÷（B×2）＝1（）．A．32B．64C．256【答案】B【解析】B例2.2.11 当速度不变时，路程越长，所用时间就越长．（）2．计算4300÷200，根据商不变的规律，可看作43÷2，商是21，余数是1．（）3．三位数除以两位数，商可能是一位数，也可能是两位数．（）4．被除数末尾有几个0，商的末尾也有几个0．（）5．被除数和除数同时减去10，商不变．（）【答案】√ × √ × ×【解析】√ × √ × ×例2.2.12 被除数和除数同时减去10，商不变．（）【答案】×【解析】×例2.2.13 判断．（对的打“√”，错的打“×”）被除数扩大，除数也随着扩大，则商不变．（）【答案】×【解析】×例2.2.14 判断．（对的打“√”，错的打“×”）被除数和除数同时乘或除以相同的数，商不变．（）【答案】×【解析】×例2.2.15 下面的算式中，哪个算式的商与378÷21＝18的得数相同，请在算式后面的括号里打“√”．378÷21＝18（1）（378÷2）÷（21÷3）（）（2）（378÷2）÷（21×2）（）（3）（378×2）÷（21×2）（）（4）（378÷30）÷（21÷3）（）（5）（378÷3）÷（21÷3）（）（6）（378＋8）÷（21＋8）（）【答案】（3）（5）√【解析】（3）（5）√题模三：利用商不变进行简便计算例2.3.1 计算下面各组题，你发现了什么？480÷（4×3）＝480÷4÷3＝640÷（8×2）＝640÷84÷2＝我发现：________【答案】40 40；40 40 发现略【解析】40 40；40 40 发现略例2.3.2 在（）里填上适当的数，使计算简便．【答案】略【解析】略例2.3.3 仔细观察，找出规律，再填数．111111111÷9＝12345679222222222÷18＝12345679333333333÷27＝12345679（）÷36＝12345679555555555÷（）＝12345679777777777÷（）＝12345679（）÷（）＝12345679【答案】444444444 45 63 888888888 72（后两空答案不唯一）【解析】444444444 45 63 888888888 72（后两空答案不唯一）题模四：利用商不变进行简便计算时余数的变化例2.4.1 480÷80＝6，480乘10，80除以10，商（）。
四年级寒假班教案第3次课------积、商的变化规律
积、商的变化规律知识要点1、积的变化规律（1）一个因数不变，另一个因数扩大（缩小）到原数的a倍，积就扩大（缩小）到原数的a 倍。
（2）一个因数扩大（缩小）到原数的a倍，另一个因数缩小（扩大）到原数的a倍，积不变。
（3）一个因数扩大（缩小）到原数的a倍，另一个因数扩大（缩小）到原数的b倍，积就扩大到原数的a×b倍。
扩展：一个因数扩大到原数的a倍，另一个因数缩小到原数的b倍，当a＞b时，积就扩大a ÷b倍；当a＜b时，积就缩小到原数的b÷a倍。
2、商的变化规律：（1）被除数和除数同时扩大（缩小）到原数的a倍，商不变。
（2）被除数和商同时扩大（缩小）到原数的a倍，除数不变。
（3）除数扩大（缩小）到原数的a倍，商缩小（扩大）到原数的a倍，被除数不变。
扩展：被除数扩大到原数的a倍，除数缩小到原数的b倍，商就扩大到原数的a×b倍。
被除数缩小到原数的a倍，除数扩大到原数的b倍，商就缩小到原数的a×b倍。
3、周长与面积公式（1）长方形：周长＝（长＋宽）×2 面积＝长×宽（2）正方形：周长＝边长×4 面积＝边长×边长经典例题【例1】根据已知算式，直接写出下面各题的得数。
105×45=4725 18×24=432（105÷5）×（45×5）= （18×3）×（24×2）=（105×2）×（45÷6）= （18×6）×（24÷2）=【练习1】24×75＝1800 36×104＝3744（24○6）×（75×6）＝1800 （36×4）×（104○4）＝3744 （24○3）×（75○□）＝1800 （36○□）×（104○□）＝374415×24=36015×72=（）60×12=（）5×72=（）30×6=（）15×（24×）=3600 15×（24÷10）=（）【例2】（1）18 ÷6=3 （2）4800÷10=480 （18×2）÷（6×2）= （4800 ÷2）÷（10 ÷2）= （18×3）÷（6÷3）= （4800÷10）÷（10×2）=（1）24÷8＝（24×2）÷（8×）（2）360÷60=（360÷10）÷（10）（3）96÷6＝（）÷（）【例3】1、两个因数的积是100，把其中一个因数扩大到原来的3倍，另一个因数不变，积是（）2、两个因数的积是100，把其中一个因数扩大到原来的3倍，另一个因数也扩大到原来的3倍，积是（）3、两数相除,被除数扩大3倍,除数缩小6倍,商( )4、小明在计算除法时，把除数末尾的0漏写了，结果得到的商是500，正确的商是（）5、两个因数的积是100，把其中一个因数扩大到原来的3倍，另一个因数也缩小到原来的3倍，积是（）6、一个因数不变，把其中另一个因数扩大到原来的3倍，积是90，原来两个因数的积是（）【练习3】1、一个因数扩大到原来的3倍，另一个因数也扩大到原来的3倍，积是90，原来两个因数的积是（）2、610×5＝3050，把610缩小3倍，把5扩大倍15倍，那么积是（）。
冀教版四年级数学上册课件 商不变规律
授课教师：
精品教学课件
四年级数学上册（JJ） 教学课件
第二单元 三位数除以两位数
第 6 课时 商不变规律
探究新知
观察下面每组中几个算式的被除数、除数和商。
（1） 6÷2＝3
你发现了什么？
（2） 800÷40＝20
60÷20＝3
400÷20＝20
120÷40＝3
200÷10＝20
被除数和除数 同时除以相同 的数……
在除法里，被除数和除数同时乘（或除以）相同的数（0除外），商不变。 这是商不变的规律。
探究新知
利用商不变的规律，可以简化整十、整百的数 除以整十数的计算。如：
650÷40＝ 1…6 … 10
把除数和被除数 同时除以10……
16 40 6 5 0
4 25 24
余数是1，还是10？
240÷80＝3
80÷4＝20
每组中4道题的 商都相等。
被除数和除 数都变了， 商不变。
探究新知
从上往下看， 被除数和除数
同时…
8÷2=4 80 ÷20=4 800 ÷200=4 8000 ÷2000=4
从下往上看， 被除数和除数
同ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ…
探究新知 议一议 被除数和除数是怎样变化的？
被除数和除数同时 乘相同的数……
1
课堂小结 商不变规律
在除法里，被除数和除数同时乘（或除以）相同的 数（0除外），商不变。
感谢聆听
冀教版四年级数学积的变化规律
·四年级数学上册第三单元《积的变化规律》教学设计教材分析：《积的变化规律》是小学四年级上册第三单元的内容，它是学生在掌握乘法运算的基本技能的基础上利用乘法运算，培养学生的推理能力，特别是合情的推理能力，是本单元教学的重要任务。
教材以两组乘法算式为载体，引导学生探索当一个因数不变时，另一个因数与积的变化情况，从中归纳出积的变化规律。
通过这个过程的探索，不但让学生理解两数相乘时，积的变化随其中一个因数的变化而变化，同时体会事物间是密切相关的，受到辩证思想的启蒙教育。
例题的设计分为三个层次：研究问题——归纳规律——验证规律，通过学习，使学生不但发现了积的变化规律，而且学会研究问题的一般方法。
《积的变化规律》是引导学生学会从一般现象中寻找规律，为学生今后学习相关内容提供必要的思维模式。
设计理念：新课程标准提出要让学生“经历、体验、探索”。
因此在教学《积的变化规律》这节课中，我注重开发利用身边的生活资源，创造性地使用教材，将教材中的两组算式调整为一组乘法算式，但是，这一组算式是以能够体现我们课本所要传达的信息与知识，引导学生通过这一组算式去发现问题从而去经历发现规律——总结规律——验证规律——运用规律这四个层次的学习。
在这四个层次的学习中，学生将会通过观察、探索、交流、归纳等方式经历积的变化规律的探索过程，初步获得探索规律的一般方法和经验，体验发现规律是一件很愉快的事情，从而增强学习数学的自信心。
教学内容：人教版小学数学第七册第58页例4以及练习九。
教学目标：1、让学生探索并掌握当一个因数不变，另一个因数乘（或除以）几，积也要随着乘（或除以）几的变化规律；能将这规律恰当地运用于实际计算和解决简单的实际问题中。
2、使学生经历积的变化规律的发现过程，感受发现数学中的规律是一件十分有趣的事情。
3、尝试用简洁的语言表达积的变化规律，培养初步的概括和表达能力。
教学重点、难点：引导学生自己发现规律，概括规律，进而运用规律。
四年级上册奥数讲义 第三积商的变化规律 冀教版 无答案
第一讲四年级奥数-----积与商的变化规律一、积的变化规律1、一个乘数不变，另一个乘数变。
25 × 4 = 10050 × 4 = 200 25 × 4 = 10025 × 2 = 50总结：两个乘数相乘，如果一个乘数不变，另一个乘数 扩大到原来的a 倍，那么积就扩大到原来的a 倍。
2、两个乘数都扩大。
25 × 4 = 100 50 × 12 = 60总结：两个乘数相乘，如果一个乘数扩大到原来的a 倍， 另一个乘数扩大到原来的b 倍，那么积就扩大到 原来的a ×b 倍。
3、两个乘数都缩小。
25 × 4 = 100 5 × 2 = 10总结：两个乘数相乘，如果一个乘数缩小到原来的a1（a ≠0)， 另一个乘数缩小到到原来的b1（b ≠0)，积就缩小到原来 的ba 1。
4、一个乘数扩大，一个乘数缩小。
25 × 4 = 100不变 50 × 2 = 10025 × 4 = 100100 × 2 = 20025 × 4 = 100×2×2 ÷2 ÷2×2 ×3 ×6 ÷5 ÷2 ÷10 ×2 ÷2 ×4 ÷2×2 ×2 ÷4 ÷250 × 1 = 50总结：两个乘数相乘，如果一个乘数扩大到原来的a 倍， 另一个乘数缩小到到原来的b1（b ≠0)，积就是原来 的ba（b ≠0)。
练习：1.填空。
在乘法算式中，一个乘数不变，另一个乘数扩大到它的2倍，积（ ）； 一个乘法不变，另一个乘数缩小到它的31，积（ ）；一个乘数扩大到 它的4倍，另一个乘数扩到到它的3倍，积（ ）；一个乘数缩小 到它的21，另一个乘数扩大到它的8倍，积（ ）。
四年级上册数学课件-商的变化_冀教版
÷10 300 ×10
2 2
6000
3000
2
被除数扩大
除数扩大
商不变
经过同学们的帮助，哈利 波特顺利找到了魔法石，并用 它唤醒了小伙伴们。
那么，同学们。这些规律 你们都掌握了吗？让我们做一 些练习题来巩固一下吧！
120÷40= 3 240÷80= 3 360÷60= 6 440÷20= 11
150÷30= 5 450÷50= 9 810÷90= 9 7200÷90= 80
1.被除数不变，除数乘以3，那么商也乘以3。 被除数不变，除数乘以几，商反而除以几（ ✘ ）
2.被除数扩大6倍，除数不变，商也扩大6倍。 除数不变，被除数乘以几，商也乘几 （ ✔ ）
3.被除数乘以20，要使商不变，除数应除以20 。 被除数和除数都乘以或除以相同的数， （ ✘ ） 商不变
200
2
÷10
×10
÷
20
÷2
××2
40
100
×10
÷10
= 10 ×2
÷2
5
被除数不变
除数扩大
商缩小
6÷3 60÷30 600÷300 6000÷3000
总结：被除数和除数乘以（除以）相同的数， 商不变
÷10 6
×1
3
÷10
×10
2
÷10 60
0 ×10
÷÷10 30
×10
=
÷10 600 ×10
商的变化规律
郭珊
在这三个式子中，我们能发现什么规律吗？
16÷8
160÷8
320÷8
16
÷10
×10
2
÷10
×10
160
四年级上册数学积和商的变化规律
四年级上册数学积和商的变化规律一、积的变化规律。
1. 规律内容。
- 一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘几或除以几。
- 例如：- 在3×5 = 15这个算式中，如果3不变，5乘2变为10，那么积3×10 = 30，15也乘2得到30；如果3不变，5除以5变为1，那么积3×1 = 3，15也除以5得到3。
2. 应用示例。
- 已知12×15 = 180，如果12不变，15扩大3倍变为45，那么积也扩大3倍，12×45 = 12×15×3=180×3 = 540。
- 已知20×30 = 600，如果20缩小为原来的(1)/(10)变为2，30不变，那么积也缩小为原来的(1)/(10)，2×30 = 60。
3. 拓展。
- 两个因数同时变化时：- 两个因数都乘一个数（0除外），积就乘这两个数的乘积。
例如2×3 = 6，如果2乘2变为4，3乘3变为9，那么4×9 = 36，6乘2×3 = 6得到36。
- 两个因数都除以一个数（0除外），积就除以这两个数的乘积。
例如16×20 = 320，如果16除以2变为8，20除以4变为5，那么8×5 = 40，320除以(2×4)=8得到40。
- 一个因数乘一个数，另一个因数除以相同的数（0除外），积不变。
例如4×9 = 36，如果4乘3变为12，9除以3变为3，那么12×3 = 36，积不变。
二、商的变化规律。
1. 规律内容。
- 被除数不变，除数乘几或除以几（0除外），商就除以几或乘几。
- 例如：- 在12÷3 = 4这个算式中，如果12不变，3乘2变为6，那么商12÷6 = 2，4除以2得到2；如果12不变，3除以3变为1，那么商12÷1 = 12，4乘3得到12。
四年级上册积和商的变化规律
四年级上册积和商的变化规律
在四年级上册，学生开始学习关于积和商的变化规律。
积是指两个或多个数相乘得到的结果，而商则是指一个数被另一个数除后得到的结果。
当学生开始学习乘法时，他们会逐渐掌握乘法表，并了解基本的乘法规律。
例如，当乘数为0时，无论被乘数是多少，积都为0。
当乘数为1时，积等于被乘数本身。
当乘数为10的倍数时，积具有特殊的规律，只需在被乘数末尾添加相应数量的0即可。
随着学生学习进程的推进，他们开始接触更复杂的乘法运算，并学习如何使用分配律、结合律和交换律来简化计算过程。
他们还会学习如何将大数进行估算以及如何使用近似值来计算积。
在商的部分，学生会学习如何用除法来计算两个数之间的商。
他们会学习长除法的方法，并逐步理解如何进行整数除法和小数除法。
学生也会学习如何将分数转化为小数，并通过除法运算来完成这一过程。
总之，在四年级上册，学生会逐步掌握积和商的变化规律，并学会运用这些规律来解决实际问题。
2017秋青岛版数学四年级上册第三单元积的转变规律word
积的转变规律教案教学内容：教材41~42页相关链接及自主练习教学目标：一、探索并掌握积的转变规律，能将这一规律适当的运用于计算和解决简单的实际问题中。
二、经历积的转变规律的探讨进程，初步取得探索和发觉数学规律的大体方式和经验。
3、通过学习活动的参与，使学生取得成功的乐趣，增强学习的兴趣和信心。
教学重难点：重点：引导学生自己发觉规律，归纳规律，进而运用积的转变规律。
难点：灵活运用规律。
教学预备：多媒体课件教学进程一、创设情境，提供素材。
课件出示：礼拜天，小明和妈妈一路去超市购物，妈妈预备买一些大米回家，大米每包8元，妈妈买2包，一共多少元？生：8×2=16课件出示：若是买20包，一共多少元？生：8×20=160课件出示：若是买200包，一共多少元？生：8×200=1600课件出示：24×2= 12×2= 6×2=学生汇报结果，教师板书。
一、研究素材，猜想规律一、独立试探。
师：观察这两组算式，你有什么发觉？把你的发觉写在练习本上学生独立试探，教师巡视。
二、小组交流。
师：把你的发觉和小组的同窗说一说，小组长作好记录。
小组交流，教师参与到小组学习。
3、组间交流。
师：哪个小组说一说你们的发觉？预设：咱们发觉一个因数不变，另一个因数扩大到原来的几倍，积就扩大到原来的几倍。
教师结合学生叙述，完成板书。
师：那个小组说明了发觉了什么，而且还说明了是如何发觉的，超级好。
哪个小组也发觉了那个规律？还有不同的发觉吗？三、讨论交流，验证规律。
一、提出疑问师：通过这组算式，咱们发觉一个因数不变，另一个因数扩大到原来的几倍，积就扩大到原来的几倍。
一个因数不变，另一个因数缩小到原来的几倍，积就缩小到原来的几倍。
师：研究数学问题不要慌忙下结论，是不是适合所有的算式呢？适才大家发觉的规律是不是具有普遍性呢？该怎么办呢？二、举例验证生：举几个例子验证一下。
师：请同窗们自己先写一道乘法算式，然后把一个因数不变，另一个因数扩大或缩小到原来的几倍，再算一算乘积。
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第一讲
四年级奥数-----积与商的变化规律
一、积的变化规律
1、一个乘数不变，另一个乘数变。
25 × 4 = 100
50 × 4 = 200 25 × 4 = 100
25 × 2 = 50
总结：两个乘数相乘，如果一个乘数不变，另一个乘数 扩大到原来的a 倍，那么积就扩大到原来的a 倍。
2、两个乘数都扩大。
25 × 4 = 100 50 × 12 = 60
总结：两个乘数相乘，如果一个乘数扩大到原来的a 倍， 另一个乘数扩大到原来的b 倍，那么积就扩大到 原来的a ×b 倍。
3、两个乘数都缩小。
25 × 4 = 100 5 × 2 = 10
总结：两个乘数相乘，如果一个乘数缩小到原来的a
1
（a ≠0)， 另一个乘数缩小到到原来的b
1
（b ≠0)，积就缩小到原来 的
b
a 1。
4、一个乘数扩大，一个乘数缩小。
25 × 4 = 100
不变 50 × 2 = 100
25 × 4 = 100
100 × 2 = 200
25 × 4 = 100
×2
×2 ÷2 ÷2
×2 ×3 ×6 ÷5 ÷2 ÷10 ×2 ÷2 ×4 ÷2
×2 ×2 ÷4 ÷2
50 × 1 = 50
总结：两个乘数相乘，如果一个乘数扩大到原来的a 倍， 另一个乘数缩小到到原来的b
1
（b ≠0)，积就是原来 的
b
a
（b ≠0)。
练习：1.填空。
在乘法算式中，一个乘数不变，另一个乘数扩大到它的2倍，积（ ）； 一个乘法不变，另一个乘数缩小到它的
3
1
，积（ ）；一个乘数扩大到 它的4倍，另一个乘数扩到到它的3倍，积（ ）；一个乘数缩小 到它的
2
1
，另一个乘数扩大到它的8倍，积（ ）。
2.先判断积是扩大还是缩小，再验证。
（1）在乘法算式12×8中，如果一个乘数不变，另一个乘数扩大到它的3倍。
积有什 么变化？
（2）在乘法算式12×8中，如果一个乘数不变，另一个乘数缩小到它的
4
1。
积有什 么变化？
（3）在乘法算式12×8中，如果一个乘数扩大到它的3倍，另一个乘数扩大到它的4 倍。
积有什么变化？
（4）在乘法算式12×8中，如果一个乘数缩小到它的31，另一个乘数缩小到它的41。
积有什么变化？
（5）在乘法算式12×8中，如果一个乘数缩小到它的
6
1
，另一个乘数扩大到它的3 倍。
积有什么变化？
拓展：1.两数相乘，积是40，如果一个乘数不变，另一个乘数扩大到它的2倍，那么得到 的新的积是多少？
2.两数相乘，积是40，如果一个乘数不变，另一个乘数缩小到它的
5
1
，那么得到 的新的积是多少？
3.两数相乘，积是40，如果一个乘数扩大到它的2倍，另一个乘数扩大到到它的5 倍，那么得到的新的积是多少？
3.两数相乘，积是40，如果一个乘数缩小到它的21，另一个乘数缩小到它的5
1
，那 么得到的新的积是多少？
4.两数相乘，积是40，如果一个乘数扩大到它的5倍，另一个乘数缩小到它的5
1
， 那么得到的新的积是多少？
5.两数相乘，积是40，如果一个乘数扩大到它的10倍，另一个乘数缩小到它的5
1， 那么得到的新的积是多少？
二、商的变化规律
1、被除数变，除数不变
200 ÷ 4 = 50 200 ÷ 4 = 50
400 ÷ 4 = 100 100 ÷ 4 = 25
总结：两个数相除，如果被除数扩大到它的a 倍，除数不变，则商也扩大到原来的a 倍； 两个数相除，如果被除数缩小到原来的
a 1（a ≠0)，除数不变，则商缩小到原来的a
1 （a ≠0)。
2、被除数不变，除数变
200 ÷ 4 = 50 200 ÷ 4 = 50 200 ÷ 8 = 25 200 ÷ 2 = 100
总结：两数相除，如果被除数不变，除数扩大到它的a 倍，则商缩小到原来的a
1
（a ≠0)。
两数相除，如果被除数不变，除数缩小到原来的
a
1
（a ≠0),则商就扩大到原来的a 倍。
练习：1.填空。
在除法算式中，如果被除数扩大到它的5倍，除数不变，商（ ）；如果
被除数缩小到原来的
4
1
，除数不变，商（ ）；如果被除数不变，除数扩 大到它的6倍，商（ ）；如果被除数不变，除数缩小到原来的4
1
,商
（ ）。
2.先判断商是扩大还是缩小，再验证。
（1）在除法算式540÷12中，如果被除数扩大到它的3倍，除数不变。
商有什么变化？ （2）在除法算式540÷12中，如果被除数缩小到原来的
4
1
，除数不变。
商有什么变化？ （3）在除法算式540÷12中，如果被除数不变，除数扩大到它的4倍。
商有什么变化？ （4）在除法算式540÷12中，如果被除数不变，除数缩小到原来的
4
1。
商有什么变化？ 拓展：1.两个数相除，商是450，如果被除数扩大到它的5倍，除数不变。
新的商是多少？ 2.两个数相除，商是450，如果被除数缩小到它的
5
1
，除数不变。
新的商是多少？ 3.两个数相除，商是450，如果被除数不变，除数扩大到它的5倍。
新的商是多少？ 4.两个数相除，商是450，如果被除数不变，除数缩小到它的5
1。
新的商是多少？ 三、余数变化规律
150 ÷ 20 = 7......10 150 ÷ 20 = 7......10 不变 不变 1500 ÷ 200 = 7......100 15 ÷ 2 = 7 (1)
×2 ×2 ÷2
÷2 ÷2 ×2 ×2 ÷2
×10 ÷10 ×10 ×10 ÷10 ÷10
总结：被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变，余数跟着扩大或缩小相同的倍数。
练习：1.两个数相除，商是6，余数是7，如果被除数和除数同时扩大到原来的5倍。
商是 多少？余数是多少？
2.两个数相除，商是8，余数是3，如果被除数和除数同时扩大到原来的10倍。
商 是多少？余数是多少？
3.两个数相除，商是6，余数是70，如果被除数和除数同时缩小到原来的101。
商 是多少？余数是多少？
4.两个数相除，商是8，余数是600，如果被除数和除数同时缩小到原来的100
1。
商 是多少？余数是多少？。