2.1.1平面及其表示法学案【人教版】高中数学必修

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高中数学 2.1.1平面教案新人教A版必修2

第一课时平面（一）教学目标1．知识与技能（1）利用生活中的实物对平面进行描述；（2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图（3）掌握平面的基本性质及作用；（4）培养学生的空间想象能力.2．过程与方法（1）通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识；（2）让学生归纳整理本节所学知识.3．情感、态度与价值观使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣.（二）教学重点、难点重点：1、平面的概念及表示；2、平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言.难点：平面基本性质的掌握与运用.（三）教学方法师生共同讨论法）符号表示为：l P lαβ=⎧⇒⎨∈⎩ 分析：根据图形，先判断点、直线、平面之间的位置关系，然后用符号表示出来.备选例题例1 已知：a ，b ，c ，d 是不共点且两两相交的四条直线，求证：a ，b ，c ，d 共面．证明 1o 若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a ，b ，c 相交于一点A ，但A ∉d ，如图1．∴直线d 和A 确定一个平面α．又设直线d 与a ，b ，c 分别相交于E ，F ，G ，则A ，E ，F ，G ∈α．∵A ，E ∈α，A ，E ∈a ，∴a ⊂α．同理可证b ⊂α，c ⊂α． ∴a ，b ，c ，d 在同一平面α内．2o当四条直线中任何三条都不共点时，如图2． ∵这四条直线两两相交，则设相交直线a ，b 确定一个平面α．设直线c 与a ，b 分别交于点H ，K ，则H ，K ∈α．又 H ，K ∈c ，∴c ⊂α．同理可证d ⊂α．∴a ，b ，c ，d 四条直线在同一平面α内．说明：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先根据公理3或推论，由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再根据公理1证明其余的线(或点)均在这个平面内．本题最容易忽视“三线共点”这一种情况．因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义．例2 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，对角线A 1C 与平面BDC 1交于点O ，AC 、BD 交于点M ，求证：点C 1、O 、M 共线.分析：要证若干点共线的问题，只需证这些点同在两个相交平面内即可.[来解答：如图所示A 1A ∥C 1C ⇒确定平面A 1C A 1C ⊂平面A 1C 又O ∈A 1C平面BC 1D ∩直线A 1C = O ⇒O ∈平面BC 1D⇒O 在平面A 1C 与平面BC 1D 的交线上.AC ∩BD = M ⇒M ∈平面BC 1D⇒O ∈平面A 1CM O B 1C 1D 1A 1D CB αb adcG F EAa bcd α H K 图1图2且M∈平面A1C平面BC1D∩平面A1C = C1MO∈C1M，即O、C1、M三点共线.评析：证明点共线的问题，一般转化为证明这些点同是某两个平面的公共点.这样，可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上.。

(人教版)高中数学必修二《2、1、1 平面》教学设计

2。

１．1 平面东莞市南城中学陈立１。

内容与内容解析（1）内容《2。

1.１平面》就是人教A版《数学》必修二得第二章第一节，教学内容安排一个课时，主要内容就是平面得描述性概念及三个公理。

（２)内容解析平面就是最基本得几何概念,教材以课桌面、黑板面、海平面等为例对它加以描述而不定义。

平面得基本性质即公理1、公理２、公理3，就是研究立体图形得理论基础,也就是进一步推理得出发点与根据。

其中公理可以用来判断直线或者点就是否在平面内；公理用来确定一个平面,判断两平面重合，或者证明点、线共面;公理3用来判断两个平面相交，证明点共线或者线共点得问题。

平面得基本性质在高考中一般以选择与填空题型为主。

学生在第一章得学习过程中，经历了对立体图形得整体把握,这节课以学生熟知得长方体为载体，引出本节课得主要内容，拓展学生已有得平面几何观念，帮助学生观念逐步从平面转向空间。

因此,本节课得教学重点就是使学生了解平面得描述性概念,了解平面得表示方法与画法;理解平面得基本性质即三个公理，会用符号语言表示图形中点、直线、平面之间得关系。

2。

目标与目标解析(１)目标根据本节课得教学内容、特点及教学大纲对学生得要求,结合学生现有得知识水平与理解水平,确定本节课得教学目标如下:①了解平面得描述性概念;②了解平面得表示方法与基本画法；③理解公理1、公理２、公理3；④能正确地用数学语言表示点、直线、平面以及它们之间得关系。

⑤感知数学语言得美，激发学习兴趣.（2)目标解析通过学生熟知得正方体、生活中得实例使学生对平面有感性得、初步得认识,借助学生已有得直线得描述性概念,通过类比让学生体验获得平面得描述性概念得思维过程。

在学生了解平面得描述性概念以后，首先给出平面得表示方法，然后类比画直线得方式，从“直观性”角度给出平面得画法。

尽管平面得描述性概念、平面得表示方法与基本画法这些内容不难，但就是要让学生理解这些知识得本质还就是有一定难度,没办法也没有必要从更深层次理解这些知识点，因此,将这些内容定位为了解.平面得三个公理，就是本节课得重点内容，要求学生充分重视,并且能够理解这些知识点。

(人教版)高中数学必修二《2.1.1-平面》教学设计

(人教版)高中数学必修二《2.1.1-平面》教学设计2.1.1 平面东莞市南城中学陈立1．内容和内容解析（1）内容《2.1.1平面》是人教A版《数学》必修二的第二章第一节，教学内容安排一个课时，主要内容是平面的描述性概念及三个公理。

（2）内容解析平面是最基本的几何概念，教材以课桌面、黑板面、海平面等为例对它加以描述而不定义。

平面的基本性质即公理1、公理2、公理3，是研究立体图形的理论基础，也是进一步推理的出发点和根据。

其中公理1可以用来判断直线或者点是否在平面内；公理2用来确定一个平面，判断两平面重合，或者证明点、线共面；公理3用来判断两个平面相交，证明点共线或者线共点的问题。

平面的基本性质在高考中一般以选择和填空题型为主。

学生在第一章的学习过程中，经历了对立体图形的整体把握，这节课以学生熟知的长方体为载体，引出本节课的主要内容，拓展学生已有的平面几何观念，帮助学生观念逐步从平面转向空间。

因此，本节课的教学重点是使学生了解平面的描述性概念，了解平面的表示方法和画法；理解平面的基本性质即三个公理，会用符号语言表示图形中点、直线、平面之间的关系。

2．目标和目标解析（1）目标根据本节课的教学内容、特点及教学大纲对学生的要求，结合学生现有的知识水平和理解水平，确定本节课的教学目标如下：①了解平面的描述性概念；②了解平面的表示方法和基本画法；③理解公理1、公理2、公理3；④能正确地用数学语言表示点、直线、平面以及它们之间的关系。

⑤感知数学语言的美，激发学习兴趣。

（2）目标解析通过学生熟知的正方体、生活中的实例使学生对平面有感性的、初步的认识，借助学生已有的直线的描述性概念，通过类比让学生体验获得平面的描述性概念的思维过程。

在学生了解平面的描述性概念以后，首先给出平面的表示方法，然后类比画直线的方式，从“直观性”角度给出平面的画法。

尽管平面的描述性概念、平面的表示方法和基本画法这些内容不难，但是要让学生理解这些知识的本质还是有一定难度，没办法也没有必要从更深层次理解这些知识点，因此，将这些内容定位为了解。

高中数学 (2.1.1 平面)示范教案新人教A版必修2.doc

第二章点、直线、平面之间的位置关系本章教材分析本章将在前一章整体观察、认识空间几何体的基础上，以长方体为载体，使学生在直观感知的基础上，认识空间中点、直线、平面之间的位置关系；通过大量图形的观察、实验和说理，使学生进一步了解平行、垂直关系的基本性质以及判定方法，学会准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系，初步体验公理化思想，培养逻辑思维能力，并用来解决一些简单的推理论证及应用问题.本章主要内容：2.1点、直线、平面之间的位置关系，2.2直线、平面平行的判定及其性质，2.3直线、平面垂直的判定及其性质.2.1节的核心是空间中直线和平面间的位置关系.从知识结构上看，在平面基本性质的基础上，由易到难顺序研究直线和直线、直线和平面、平面和平面的位置关系.本章在培养学生的辩证唯物主义观点、公理化的思想、空间想象力和思维能力方面，都具有重要的作用.2.2和2.3节内容的编写是以“平行”和“垂直”的判定及其性质为主线展开，依次讨论直线和平面平行、平面和平面平行的判定和性质；直线和平面垂直、平面和平面垂直的判定和性质.“平行”和“垂直”在定义和描述直线和直线、直线和平面、平面和平面的位置关系中起着重要作用.在本章它集中体现在：空间中平行关系之间的转化、空间中垂直关系之间的转化以及空间中垂直与平行关系之间的转化.本章教学时间约需12课时，具体分配如下（仅供参考）：2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1 平面整体设计教学分析平面是最基本的几何概念,教科书以课桌面、黑板面、海平面等为例,对它只是加以描述而不定义.立体几何中的平面又不同于上面的例子,是上面例子的抽象和概括,它的特征是无限延展性.为了更准确地理解平面,教材重点介绍了平面的基本性质,即教科书中的三个公理,这也是本节的重点.另外,本节还应充分展现三种数学语言的转换与翻译,特别注意图形语言与符号语言的转换.三维目标1.正确理解平面的几何概念,掌握平面的基本性质.2.熟练掌握三种数学语言的转换与翻译,结合三个公理的应用会证明共点、共线、共面问题.3.通过三种语言的学习让学生感知数学语言的美,培养学生学习数学的兴趣.重点难点三种数学语言的转换与翻译,利用三个公理证明共点、共线、共面问题.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(情境导入)大家都看过电视剧《西游记》吧，如来佛对孙悟空说：“你一个跟头虽有十万八千里，但不会跑出我的手掌心”.结果孙悟空真没有跑出如来佛的手掌心，孙悟空可以看作是一个点，他的运动成为一条直线，大家说如来佛的手掌像什么？对，像一个平面，今天我们开始认识数学中的平面.思路2.(事例导入)观察长方体（图1），你能发现长方体的顶点、棱所在的直线，以及侧面、底面之间的关系吗？图1长方体由上、下、前、后、左、右六个面围成.有些面是平行的，有些面是相交的；有些棱所在的直线与面平行，有些棱所在的直线与面相交；每条棱所在的直线都可以看成是某个面内的直线等等.空间中的点、直线、平面之间有哪些位置关系呢？本节我们将讨论这个问题.推进新课新知探究提出问题①怎样理解平面这一最基本的几何概念;②平面的画法与表示方法;③如何描述点与直线、平面的位置关系？④直线与平面有一个公共点，直线是否在平面内？直线与平面至少有几个公共点才能判断直线在平面内？⑤根据自己的生活经验，几个点能确定一个平面？⑥如果两个不重合的平面有一个公共点，它们的位置关系如何？请画图表示;⑦描述点、直线、平面的位置关系常用几种语言？⑧自己总结三个公理的有关内容.活动：让学生先思考或讨论，然后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.对有困难的学生可提示如下：①回忆我们学过的最基本的概念（原始概念），如点、直线、集合等.②我们的桌面看起来像什么图形？表示平面和表示点、直线一样，通常用英文字母或希腊字母表示.③点在直线上和点在直线外；点在平面内和点在平面外.④确定一条直线需要几个点？⑤引导学生观察教室的门由几个点确定.⑥两个平面不可能仅有一个公共点，因为平面有无限延展性.⑦文字语言、图形语言、符号语言.⑧平面的基本性质小结.讨论结果：①平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是最基本的概念（不加定义的原始概念），只能通过对它描述加以理解，可以用它定义其他概念，不能用其他概念来定义它，因为它是不加定义的.平面的基本特征是无限延展性，很像如来佛的手掌(吴承恩的立体几何一定不错).②我们的桌面看起来像平行四边形，因此平面通常画成平行四边形，有些时候我们也可以用圆或三角形等图形来表示平面，如图2.平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍.如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把它遮挡的部分用虚线画出来，如图3.图2 图3平面的表示法有如下几种：（1）在一个希腊字母α、β、γ的前面加“平面”二字，如平面α、平面β、平面γ等，且字母通常写在平行四边形的一个锐角内(图4)；（2）用平行四边形的四个字母表示，如平面ABCD（图5）；（3）用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示，如平面AC（图5）.图4 图5③下面我们总结点与直线、平面的位置关系如下表：④直线上有一个点在平面内，直线没有全部落在平面内(图7)，直线上有两个点在平面内，则直线全部落在平面内.例如用直尺紧贴着玻璃黑板，则直尺落在平面内.公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.这是用文字语言描述，我们也可以用符号语言和图形语言（图6）描述.空间图形的基本元素是点、直线、平面.从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外，还可借用集合中的符号语言来表示.规定直线用两个大写的英文字母或一个小写的英文字母表示，点用一个大写的英文字母表示，而平面则用一个小写的希腊字母表示.公理1也可以用符号语言表示：若A∈a,B∈a,且A∈α,B∈α,则a⊂α.图6 图7请同学们用符号语言和图形语言描述直线与平面相交.若A∈a,B∈a,且A∉α,B∈α,则a⊄α.如图（图7）.⑤在生活中，我们常常可以看到这样的现象：三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等.上述事实和类似的经验可以归纳为下面的公理.公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.如图（图8）.图8公理2刻画了平面特有的性质，它是确定一个平面位置的依据之一.⑥我们用平行四边形来表示平面，那么平面是不是只有平行四边形这么个范围呢？不是，因为平面是无限延展的.直线是可以落在平面内的，因为直线是无限延伸的，如果平面是有限的，那么无限延伸的直线又怎么能在有限的平面内呢？所以平面具有无限延展的特征.现在我们根据平面的无限延展性来观察一个现象（课件演示给学生看）.问：两个平面会不会只有一个公共点？不会，因为平面是无限延展的，应当有很多公共点.正因为平面是无限延展的，所以有一个公共点，必有无数个公共点.那么这无数个公共点在什么位置呢？可见，这无数个公共点在一条直线上.这说明，如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理 3.如图（图9），用符号语言表示为：P∈α,且P∈β⇒α∩β=l,且P∈l.图9公理3告诉我们，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么这两个平面一定相交，且其交线一定过这个公共点.也就是说，如果两个平面有一个公共点，那么它们必定还有另外一个公共点，只要找出这两个平面的两个公共点，就找出了它们的交线.由此看出公理3不仅给出了两个平面相交的依据，还告诉我们所有交点在同一条直线上，并给出了找这条交线的方法.⑦描述点、直线、平面的位置关系常用3种语言:文字语言、图形语言、符号语言.⑧“平面的基本性质”小结：应用示例思路1例1 如图10，用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.图10活动：学生自己思考或讨论，再写出（最好用实物投影仪展示写的正确的答案）.教师在学生中巡视，发现问题及时纠正，并及时评价.解：在（1）中，α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.在（2）中，α∩β=l,a⊂α,b⊂β,a∩l=P,b∩l=P.变式训练1.画图表示下列由集合符号给出的关系：(1)A∈α,B∉α,A∈l,B∈l;(2)a⊂α,b⊂β,a∥c,b∩c=P,α∩β=c.解：如图11.图112.根据下列条件，画出图形.（1）平面α∩平面β=l，直线AB⊂α，AB∥l，E∈AB，直线EF∩β=F，F∉l;（2）平面α∩平面β=a，△ABC的三个顶点满足条件:A∈a，B∈α，B∉a，C∈β，C∉a.答案：如图12.图12点评：图形语言与符号语言的转换是本节的重点，主要有两种题型：(1)根据图形，先判断点、直线、平面的位置关系，然后用符号表示出来.(2)根据符号，想象出点、直线、平面的位置关系，然后用图形表示出来.例2 已知直线a和直线b相交于点A.求证：过直线a和直线b有且只有一个平面.图13证明：如图13,点A是直线a和直线b的交点,在a上取一点B，b上取一点C，根据公理2经过不在同一直线上的三点A、B、C有一个平面α，因为A、B在平面α内，根据公理1，直线a在平面α内,同理直线b在平面α内，即平面α是经过直线a和直线b的平面.又因为A、B在a上，A、C在b上，所以经过直线a和直线b的平面一定经过点A、B、C.于是根据公理2，经过不共线的三点A、B、C的平面有且只有一个，所以经过直线a和直线b的平面有且只有一个.变式训练求证：两两相交且不共点的四条直线在同一平面内.证明：如图14，直线a、b、c、d两两相交，交点分别为A、B、C、D、E、F,图14∵直线a∩直线b=A,∴直线a和直线b确定平面设为α，即a,b⊂α.∵B、C∈a，E、F∈b,∴B、C、E、F∈α.而B、F∈c，C、E∈d,∴c、d⊂α,即a、b、c、d在同一平面内.点评：在今后的学习中经常遇到证明点和直线共面问题，除公理2外，确定平面的依据还有：(1)直线与直线外一点.(2)两条相交直线.(3)两条平行直线.思路2例1 如图15，已知α∩β=EF,A∈α,C、B∈β,BC与EF相交，在图中分别画出平面ABC与α、β的交线.图15活动：让学生先思考或讨论，然后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对作图不准确的学生提示引导考虑问题的思路. 解：如图16所示，连接CB ， ∵C∈β,B∈β,∴直线CB ⊂β.图16∵直线CB ⊂平面ABC ，∴β∩平面ABC=直线CB. 设直线CB 与直线EF 交于D,∵α∩β=EF,∴D∈α,D∈平面ABC. ∵A∈α,A∈平面ABC ， ∴α∩平面ABC=直线AD. 变式训练1.如图17，AD∩平面α=B,AE∩平面α=C ，请画出直线DE 与平面α的交点P ，并指出点P 与直线BC 的位置关系.图17解：AD 和AC 是相交直线，它们确定一个平面ABC ，它与平面α的交线为直线BC ，DE ⊂平面ABC ， ∴DE 与α的交点P 在直线BC 上.2.如图18，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为8 cm ，M 、N 、P 分别是AB 、A 1D 1、BB 1的中点，图18(1)画出过M 、N 、P 三点的平面与平面A 1B 1C 1D 1的交线，以及与平面BB 1C 1C 的交线. (2)设过M 、N 、P 三点的平面与B 1C 1交于点Q ，求PQ 的长.解：(1)设M 、N 、P 三点确定的平面为α，则α与平面AA 1B 1B 的交线为直线MP ，设MP∩A 1B 1=R ，则RN 是α与平面A 1B 1C 1D 1的交线，设RN∩B 1C 1=Q ，连接PQ ，则PQ 是所要画的平面α与平面BB 1C 1C 的交线.如图18.(2)正方体棱长为8 cm ，B 1R=BM=4 cm ，又A 1N=4 cm ，B 1Q=31A 1N,∴B 1Q=31×4=34（cm ）.在△PB 1Q 中，B 1P=4 cm ，B 1Q=34cm ， ∴PQ=10342121=+Q B P B cm.点评：公理3给出了两个平面相交的依据，我们经常利用公理3找两平面的交点和交线. 例2 已知△ABC 三边所在直线分别与平面α交于P 、Q 、R 三点，求证：P 、Q 、R 三点共线. 解：如图19,∵A、B 、C 是不在同一直线上的三点,图19∴过A 、B 、C 有一个平面β. 又∵AB∩α=P ，且AB ⊂β,∴点P 既在β内又在α内.设α∩β=l,则P ∈l, 同理可证：Q ∈l,R ∈l, ∴P、Q 、R 三点共线. 变式训练三个平面两两相交于三条直线，若这三条直线不平行，求证：这三条直线交于一点. 已知平面α、β、γ两两相交于三条直线l 1、l 2、l 3，且l 1、l 2、l 3不平行. 求证：l 1、l 2、l 3相交于一点.证明：如图20，α∩β=l 1，β∩γ=l 2，α∩γ=l 3，图20∵l 1⊂β，l 2⊂β，且l 1、l 2不平行, ∴l 1与l 2必相交.设l 1∩l 2=P ，则P ∈l 1⊂α,P ∈l 2⊂γ, ∴P∈α∩γ=l 3.∴l 1、l 2、l 3相交于一点P.点评：共点、共线问题是本节的重点，在高考中也经常考查，其理论依据是公理3. 知能训练画一个正方体ABCD —A′B′C′D′，再画出平面ACD′与平面BDC′的交线，并且说明理由. 解：如图21,图21∵F∈CD′，∴F∈平面ACD′. ∵E∈AC ，∴E∈平面ACD′.∵E∈BD，∴E∈平面BDC′.∵F∈DC′，∴F∈平面DC′B.∴EF为所求.拓展提升O1是正方体ABCD—A1B1C1D1的上底面的中心，过D1、B1、A作一个截面，求证：此截面与对角线A1C 的交点P一定在AO1上.解：如图22,连接A1C1、AC，图22因AA1∥CC1，则AA1与CC1可确定一个平面AC1，易知截面AD1B1与平面AC1有公共点A、O1，所以截面AD1B1与平面AC1的交线为AO1.又P∈A1C，得P∈平面AC1，而P∈截面AB1D1，故P在两平面的交线上，即P∈AO1.点评：证明共点、共线问题关键是利用两平面的交点必在交线上.课堂小结1.平面是一个不加定义的原始概念，其基本特征是无限延展性.2.通过三个公理介绍了平面的基本性质，及作用.3.利用三个公理证明共面、共线、共点问题.作业课本习题2.1 A组5、6.设计感想本节的引入精彩独特，用如来佛的手掌形象地刻画了平面的基本特征；本节设计了较多的语言转换题目，反复训练学生的读图、作图能力，以及用符号语言表达数学问题的能力，因为这是学好立体几何的基础，是本节的重点；本节的难点是利用三个公理证明共面、共线、共点问题，本节设计了大量题目来突破这一难点，每个题目都精彩活泼难度适中，我相信这是一节值得期待的精彩课例.。

人教版高中数学必修二学案：2.1.1平面2

平面（2）
编制：闫利编制时间：9月16日使用：高二(1、2)班编号：10 学习目标：会用平面的基本性质证明点共线、点共面、线共面、线共点
合作探究：(1)如图1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱CC1和AA1上的点，画出平面BED1F 与平面ABCD的交线
（图1）（图2）
(2)如图2，在正方体ABCD-A1B1C1D1中画出平面ABC1D1与平面A1B1CD的交线
典例分析：
例1、过直线l外一点P引两条直线PA，PB和直线l分别相交于A，B两点，求证：三条直线PA，PB，l 共面
小结1、点线共面问题：可以利用理论确定平面，然后用法证明；变式1、已知B
=
⋂
⋂,
//，求证：直线a, b, l共面
a=
,
l
b
A
l
a
b
例2、如图，空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB 和CB 上的点，GH 分别是CD 和AD 上的点，且EH 与FG 相交于点K ，
求证：EH ，BD ，FG 三条直线相交于同一点
小结2、证多线共点：可以先证，再证
例3、如图，△ABC 在平面α外，,P AB =⋂α
,Q BC =⋂α，R AC =⋂α，
求证： P ，Q ，R 三点共线
变式2、如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，B 1D 与平面ACD 1交于点O ，BD 与平面ACD 1交于点M ，求证：M ，O ，D 1三点共线
小结3、证多点共线：
方法1、直接利用证得；
方法2、选择其中两点确定一条直线，然后证其它点也在其上，即法.。

(人教版)高中数学必修二《2.1.1 平面》教学设计

2.1.1 平面东莞市南城中学陈立1．内容和内容解析（1）内容《2.1.1平面》是人教A版《数学》必修二的第二章第一节，教学内容安排一个课时，主要内容是平面的描述性概念及三个公理。

（2）内容解析平面是最基本的几何概念，教材以课桌面、黑板面、海平面等为例对它加以描述而不定义。

平面的基本性质即公理1、公理2、公理3，是研究立体图形的理论基础，也是进一步推理的出发点和根据。

其中公理可以用来判断直线或者点是否在平面内；公理用来确定一个平面，判断两平面重合，或者证明点、12线共面；公理3用来判断两个平面相交，证明点共线或者线共点的问题。

平面的基本性质在高考中一般以选择和填空题型为主。

⑤感知数学语言的美，激发学习兴趣。

在学生了解平面的描述性概念以后，首先给出平面的表示方法，然后类比画直线的方式，从“直观性”角度给出平面的画法。

高中数学人教版必修2 2.1.1平面教案2

2.1.1平面【学习目标】（1）掌握平面的表示法及水平放置的直观图（2）掌握平面的基本性质及作用；（3）培养学生的空间想象能力。

【学习重点、难点】学习重点：1、平面的概念及表示；2、平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言.学习难点：平面基本性质的掌握与运用.【学法指导】自主探究，合作交流。

【知识链接】平行四边形：矩形：正方体。

【预习提纲】问题1：判定下列命题是否正确：①书桌面是平面；②②8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是50m，宽是20m；④④平面是绝对的平，无厚度，可以无限延展的抽象的数学概念问题2：2．平面的画法及表示（1）平面的画法（2）平面的表示法1：法2：（3）点与平面的关系问题3：平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内（1）公理1的图形表示：（2）符号表示为：（3）公理1的作用：。

公理2：过不在一条直线上的三点有且只有一个平面（1）公理2的图形表示：（2）符号表示为：（3）公理2的作用：。

注意：（1）公理中“有且只有一个”的含义是：“有”，是说图形存在，“只有一个”，是说图形惟一，“有且只有一个平面”的意思是说“经过不在同一直线上的三个点的平面是有的，而且只有一个”，也即不共线的三点确定一个平面. “有且只有一个平面”也可以说成“确定一个平面.”（2）过A、B、C三点的平面可记作“平面ABC”公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.（1）公理3的图形如图（2）符号表示为：（3）公理3作用：。

【合作探究】例1：例1 如图，用符号表示下图图形中点、直线、平面之间的位置关系.【课堂自测】1．下列命题正确的是（）A．经过三点确定一个平面；B．经过一条直线和一个点确定一个平面；C．四边形确定一个平面；D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面。

2．在空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果与EF，GH能相交于点P，那么（）A．点P不在直线AC上；B．点P必在直线BD上；C．点P必在平面ABC内；D．点P必在平面ABC外。

人教版高中数学必修二学案：2.1.1平面(1)

2.1.1 平面（ 1）编制：闫利编制时间： 9 月 15 日使用：高二(1、2)班编号：9学习目标 : 认识平面的观点、画法及表示方法；理解掌握平面的基天性质；会用文字、图形、符号语言表示点、线、面的地点关系自主学习：看课本 P40～P41，试达成以下填空：1、平面的观点：几何里的平面是无穷的，无、无、不行。

2、画法：（水平搁置时）（竖直搁置时）3、记法：4、点、线、面的地点关系及记法：图形语言文字语言符号语言点 A 在直线 l 上点 B 在直线 l 外点A在平面内点B在平面外直线 l 在平面内直线 m 在平面外直线 l,m 订交于点 A直线l 与平面相交于点 A平面,订交于直线 l5、两个平面订交的画法：合作学习：看课本 P41～P42公义 1、假如一条直线上的点在一个平面内，那么这条直线.图形语言：符号语言：公义 2、过不在推论 1、经过推论 2、经过推论 3、经过上的三点，一个平面，有且只有一个平面；，有且只有一个平面；，有且只有一个平面..图形语言：（试画出图形）公义 3、假如两个不重合的平面有，那么它们一条过的公共直线图形语言：符号语言：合作研究：例题、用符号表示以下图形中点、直线、平面之间的地点关系变式 1、用符号语言表示以下语句，并画出相应图形(1)点 A 在平面外，点 B 在平面内，直线 l 经过点 A、 B ；(2)直线 a 经过平面外一点 M；(3) 平面与平面订交于过点 A 的直线 l变式 2、将以下符号语言转变为图形语言：(1 )l , Al , AB, AC ( 2) l A , m, A m。

人教高一数学教学设计之《2.1.1平面》

人教高一数学教学设计之《2.1.1平面》一. 教材分析人教高一数学《2.1.1平面》这一节的主要内容是介绍平面的基本概念和性质。

平面是几何学中的基础概念之一，对于学生来说，理解平面的定义、性质和表示方法是学好几何学的前提。

教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生掌握平面的基本知识，并能够运用到实际问题中。

二. 学情分析高一学生已经具备了一些基础的数学知识，对于一些简单的几何概念有一定的了解。

但是，对于平面的定义和性质，他们可能还没有完全理解，需要通过实例和练习来进一步掌握。

同时，学生可能对于一些抽象的概念感到困惑，需要教师通过生动的讲解和形象的图示来帮助他们理解。

三. 教学目标1.了解平面的定义和性质。

2.能够运用平面的知识解决一些实际问题。

3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

四. 教学重难点1.重点：平面的定义和性质。

2.难点：平面的表示方法和平面方程的推导。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过思考和讨论来理解平面的概念。

2.使用多媒体和实物模型辅助教学，帮助学生直观地理解平面的性质。

3.通过例题和练习题，让学生巩固所学的知识，并能够运用到实际问题中。

六. 教学准备1.多媒体教学设备。

2.平面模型和实物模型。

3.练习题和测试题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出一些实际问题，如“为什么我们在平面地图上可以找到我们的位置？”，引导学生思考平面的概念。

然后，展示一些平面模型和实物模型，让学生直观地感受平面的性质。

2.呈现（10分钟）介绍平面的定义和性质，通过讲解和图示，让学生理解平面的基本概念。

强调平面的无限延展性和平面上点的坐标表示方法。

3.操练（15分钟）让学生通过一些例题和练习题，运用平面的知识解决实际问题。

教师可以给予一定的指导，帮助学生理解和掌握平面的性质。

4.巩固（10分钟）通过一些巩固题，让学生进一步加深对平面概念的理解。

教师可以给予学生一定的提示和指导，帮助他们克服困难。

高中数学人教A版必修2《2.1.1平面》教学案2

A
α
d a E FbG c
图1
∵A，E∈α，A，E∈a，∴a α．同理可证b α，c α．∴a，b，c，d在同一平面 α内．
HK
a
b
图2
α
d c
2o当四条直线中任何三条都不共点时，如图2．
∵这四条直线两两相交，则设相交直线a，b确定一个平面α．
设直线c与a，b分别交于点H，K，则H，K∈α．
注
问题1：回忆上节课学习过那些内容？说说如何定义平面？表示平面？
问题2：平面有那些基本性质？
点题：今天我们将学习平面基本性质的应用
活动二：师生交流、进入新知，(20分钟)
例1：已知：a，b，c，d是不共点且两两相交的四条直线，求证：a，b，c，d
共面．
证明 1o若当四条直线中有三条相交于一点，
不妨设a，b，c相交于一点A，但Ad，如图1．∴直线d和A确定一个平面α．又设直线d与a，b，c分别相交于E，F，G，则A，E，F，G∈α．
活动四：归纳整理、提高认识(2分钟)
(1)本节课我们学习了哪些知识内容？
(2)如何进行三线共点与三点共线的证明？
活动五：作业布置、提高巩固
(1)书本P53B组2、3；
(2)预习：同一平面内的两条直线有几种位置关系？板书设计：
一、平面的三个公理的应用二、例题例1 变式1 例2 变式2
教学后记：
又 H，K∈c，∴c，则c α．同理可证d α．
∴a，b，c，d四条直线在同一平面α内．
说明：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先根据公理3或推论，
由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再根据公理1证明其余的线(或
点)均在这个平面内．本题最容易忽视“三线共点”这一种情况．因此在分析题

高中数学必修二(2.1.1 平面)示范教案新人教A版必修2

第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1 平面教学过程导入新课思路1.(情境导入)大家都看过电视剧《西游记》吧，如来佛对孙悟空说：“你一个跟头虽有十万八千里，但不会跑出我的手掌心”.结果孙悟空真没有跑出如来佛的手掌心，孙悟空可以看作是一个点，他的运动成为一条直线，大家说如来佛的手掌像什么？对，像一个平面，今天我们开始认识数学中的平面.思路2.(事例导入)观察长方体（图1），你能发现长方体的顶点、棱所在的直线，以及侧面、底面之间的关系吗？图1长方体由上、下、前、后、左、右六个面围成.有些面是平行的，有些面是相交的；有些棱所在的直线与面平行，有些棱所在的直线与面相交；每条棱所在的直线都可以看成是某个面内的直线等等.空间中的点、直线、平面之间有哪些位置关系呢？本节我们将讨论这个问题.推进新课新知探究提出问题①怎样理解平面这一最基本的几何概念;②平面的画法与表示方法;③如何描述点与直线、平面的位置关系？④直线与平面有一个公共点，直线是否在平面内？直线与平面至少有几个公共点才能判断直线在平面内？⑤根据自己的生活经验，几个点能确定一个平面？⑥如果两个不重合的平面有一个公共点，它们的位置关系如何？请画图表示;⑦描述点、直线、平面的位置关系常用几种语言？⑧自己总结三个公理的有关内容.活动：让学生先思考或讨论，然后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.对有困难的学生可提示如下：①回忆我们学过的最基本的概念（原始概念），如点、直线、集合等.②我们的桌面看起来像什么图形？表示平面和表示点、直线一样，通常用英文字母或希腊字母表示.③点在直线上和点在直线外；点在平面内和点在平面外.④确定一条直线需要几个点？⑤引导学生观察教室的门由几个点确定.⑥两个平面不可能仅有一个公共点，因为平面有无限延展性.⑦文字语言、图形语言、符号语言.⑧平面的基本性质小结.讨论结果：①平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是最基本的概念（不加定义的原始概念），只能通过对它描述加以理解，可以用它定义其他概念，不能用其他概念来定义它，因为它是不加定义的.平面的基本特征是无限延展性，很像如来佛的手掌(吴承恩的立体几何一定不错).②我们的桌面看起来像平行四边形，因此平面通常画成平行四边形，有些时候我们也可以用圆或三角形等图形来表示平面，如图2.平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍.如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把它遮挡的部分用虚线画出来，如图3.图2 图3平面的表示法有如下几种：（1）在一个希腊字母α、β、γ的前面加“平面”二字，如平面α、平面β、平面γ等，且字母通常写在平行四边形的一个锐角内(图4)；（2）用平行四边形的四个字母表示，如平面ABCD （图5）；（3）用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示，如平面AC （图5）.图4 图5 ③下面我们总结点与直线、平面的位置关系如下表：点A 在直线a 上（或直线a 经过点A ）A∈a 元素与集合间的关系点A 在直线a 外（或直线a 不经过点A ）A ∉a 点A 在平面α内（或平面α经过点A ） A∈α 点A 在平面α外（或平面α不经过点A ）A ∉α④直线上有一个点在平面内，直线没有全部落在平面内(图7)，直线上有两个点在平面内，则直线全部落在平面内.例如用直尺紧贴着玻璃黑板，则直尺落在平面内.公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 这是用文字语言描述，我们也可以用符号语言和图形语言（图6）描述.空间图形的基本元素是点、直线、平面.从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外，还可借用集合中的符号语言来表示.规定直线用两个大写的英文字母或一个小写的英文字母表示，点用一个大写的英文字母表示，而平面则用一个小写的希腊字母表示.公理1也可以用符号语言表示：若A∈a,B∈a,且A∈α,B∈α,则a ⊂α.图6 图7请同学们用符号语言和图形语言描述直线与平面相交.若A∈a,B∈a,且A∉α,B∈α,则a⊄α.如图（图7）.⑤在生活中，我们常常可以看到这样的现象：三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等.上述事实和类似的经验可以归纳为下面的公理.公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.如图（图8）.图8公理2刻画了平面特有的性质，它是确定一个平面位置的依据之一.⑥我们用平行四边形来表示平面，那么平面是不是只有平行四边形这么个范围呢？不是，因为平面是无限延展的.直线是可以落在平面内的，因为直线是无限延伸的，如果平面是有限的，那么无限延伸的直线又怎么能在有限的平面内呢？所以平面具有无限延展的特征.现在我们根据平面的无限延展性来观察一个现象（课件演示给学生看）.问：两个平面会不会只有一个公共点？不会，因为平面是无限延展的，应当有很多公共点.正因为平面是无限延展的，所以有一个公共点，必有无数个公共点.那么这无数个公共点在什么位置呢？可见，这无数个公共点在一条直线上.这说明，如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理3.如图（图9），用符号语言表示为：P∈α,且P∈β⇒α∩β=l,且P∈l.图9公理3告诉我们，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么这两个平面一定相交，且其交线一定过这个公共点.也就是说，如果两个平面有一个公共点，那么它们必定还有另外一个公共点，只要找出这两个平面的两个公共点，就找出了它们的交线.由此看出公理3不仅给出了两个平面相交的依据，还告诉我们所有交点在同一条直线上，并给出了找这条交线的方法.⑦描述点、直线、平面的位置关系常用3种语言:文字语言、图形语言、符号语言.⑧“平面的基本性质”小结：名称作用公理1 判定直线在平面内的依据公理2 确定一个平面的依据公理3 两平面相交的依据应用示例思路1例1 如图10，用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.图10活动：学生自己思考或讨论，再写出（最好用实物投影仪展示写的正确的答案）.教师在学生中巡视，发现问题及时纠正，并及时评价.解：在（1）中，α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.在（2）中，α∩β=l,a⊂α,b⊂β,a∩l=P,b∩l=P.变式训练1.画图表示下列由集合符号给出的关系：(1)A∈α,B∉α,A∈l,B∈l;(2)a⊂α,b⊂β,a∥c,b∩c=P,α∩β=c.解：如图11.图112.根据下列条件，画出图形.（1）平面α∩平面β=l，直线AB⊂α，AB∥l，E∈AB，直线EF∩β=F，F∉l;（2）平面α∩平面β=a，△ABC的三个顶点满足条件:A∈a，B∈α，B∉a，C∈β，C∉a. 答案：如图12.图12点评：图形语言与符号语言的转换是本节的重点，主要有两种题型：(1)根据图形，先判断点、直线、平面的位置关系，然后用符号表示出来.(2)根据符号，想象出点、直线、平面的位置关系，然后用图形表示出来.例2 已知直线a和直线b相交于点A.求证：过直线a和直线b有且只有一个平面.图13证明：如图13,点A是直线a和直线b的交点,在a上取一点B，b上取一点C，根据公理2经过不在同一直线上的三点A、B、C有一个平面α，因为A、B在平面α内，根据公理1，直线a在平面α内,同理直线b在平面α内，即平面α是经过直线a和直线b的平面.又因为A、B在a上，A、C在b上，所以经过直线a和直线b的平面一定经过点A、B、C. 于是根据公理2，经过不共线的三点A、B、C的平面有且只有一个，所以经过直线a和直线b的平面有且只有一个.变式训练求证：两两相交且不共点的四条直线在同一平面内.证明：如图14，直线a、b、c、d两两相交，交点分别为A、B、C、D、E、F,图14∵直线a∩直线b=A,∴直线a和直线b确定平面设为α，即a,b⊂α.∵B、C∈a，E、F∈b,∴B、C、E、F∈α.而B、F∈c，C、E∈d,∴c、d⊂α,即a、b、c、d在同一平面内.点评：在今后的学习中经常遇到证明点和直线共面问题，除公理2外，确定平面的依据还有：(1)直线与直线外一点.(2)两条相交直线.(3)两条平行直线.思路2例1 如图15，已知α∩β=EF,A∈α,C、B∈β,BC与EF相交，在图中分别画出平面ABC 与α、β的交线.图15活动：让学生先思考或讨论，然后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对作图不准确的学生提示引导考虑问题的思路.解：如图16所示，连接CB，∵C∈β,B∈β,∴直线CB⊂β.图16∵直线CB⊂平面ABC，∴β∩平面ABC=直线CB.设直线CB与直线EF交于D,∵α∩β=EF,∴D∈α,D∈平面ABC.∵A∈α,A∈平面ABC，∴α∩平面ABC=直线AD.变式训练1.如图17，AD∩平面α=B,AE∩平面α=C ，请画出直线DE 与平面α的交点P ，并指出点P 与直线BC 的位置关系.图17解：AD 和AC 是相交直线，它们确定一个平面ABC ，它与平面α的交线为直线BC ，DE ⊂平面ABC ，∴DE 与α的交点P 在直线BC 上.2.如图18，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为8 cm ，M 、N 、P 分别是AB 、A 1D 1、BB 1的中点，图18(1)画出过M 、N 、P 三点的平面与平面A 1B 1C 1D 1的交线，以及与平面BB 1C 1C 的交线.(2)设过M 、N 、P 三点的平面与B 1C 1交于点Q ，求PQ 的长.解：(1)设M 、N 、P 三点确定的平面为α，则α与平面AA 1B 1B 的交线为直线MP ，设MP∩A 1B 1=R ，则RN 是α与平面A 1B 1C 1D 1的交线，设RN∩B 1C 1=Q ，连接PQ ，则PQ 是所要画的平面α与平面BB 1C 1C 的交线.如图18.(2)正方体棱长为8 cm ，B 1R=BM=4 cm ，又A 1N=4 cm ，B 1Q=31A 1N, ∴B 1Q=31×4=34（cm ）.在△PB 1Q 中，B 1P=4 cm ，B 1Q=34cm ， ∴PQ=10342121=+Q B P B cm. 点评：公理3给出了两个平面相交的依据，我们经常利用公理3找两平面的交点和交线. 例2 已知△ABC 三边所在直线分别与平面α交于P 、Q 、R 三点，求证：P 、Q 、R 三点共线. 解：如图19,∵A、B 、C 是不在同一直线上的三点,图19∴过A 、B 、C 有一个平面β.又∵AB∩α=P ，且AB ⊂β,∴点P 既在β内又在α内.设α∩β=l,则P ∈l,同理可证：Q ∈l,R ∈l,∴P、Q、R三点共线.变式训练三个平面两两相交于三条直线，若这三条直线不平行，求证：这三条直线交于一点.已知平面α、β、γ两两相交于三条直线l1、l2、l3，且l1、l2、l3不平行.求证：l1、l2、l3相交于一点.证明：如图20，α∩β=l1，β∩γ=l2，α∩γ=l3，图20∵l1⊂β，l2⊂β，且l1、l2不平行,∴l1与l2必相交.设l1∩l2=P，则P∈l1⊂α,P∈l2⊂γ,∴P∈α∩γ=l3.∴l1、l2、l3相交于一点P.点评：共点、共线问题是本节的重点，在高考中也经常考查，其理论依据是公理3.知能训练画一个正方体ABCD—A′B′C′D′，再画出平面ACD′与平面BDC′的交线，并且说明理由.解：如图21,图21∵F∈CD′，∴F∈平面ACD′.∵E∈AC，∴E∈平面ACD′.∵E∈BD，∴E∈平面BDC′.∵F∈DC′，∴F∈平面DC′B.∴EF为所求.拓展提升O1是正方体ABCD—A1B1C1D1的上底面的中心，过D1、B1、A作一个截面，求证：此截面与对角线A1C的交点P一定在AO1上.解：如图22,连接A1C1、AC，图22因AA1∥CC1，则AA1与CC1可确定一个平面AC1，易知截面AD1B1与平面AC1有公共点A、O1，所以截面AD1B1与平面AC1的交线为AO1.又P∈A1C，得P∈平面AC1，而P∈截面AB1D1，故P在两平面的交线上，即P∈AO1.点评：证明共点、共线问题关键是利用两平面的交点必在交线上.。

教案高一数学人教版必修二 2.1.1平面

双峰一中高一数学必修二教案
）利用生活中的实物对平面进行描述；（
的直观图（（
思考3:我们常常用平行四边形表示平面，当平面水平放置时，
锐角通常画成45º，且横边长等于其邻边长的
思考4:当两个平面相交时，你认为下列哪个图形的立体感强？你能指出其画法要点吗？
(1)画出交线；(2)被遮挡部分画虚线.
说明:为了表示和区分平面，我们可以用适当的字母作为平面的名称，如
思考1:如果直线l与平面α有一个公共点P，那么直线l是否在平面α内?
思考3:如图，当点A、B落在平面α内时，直线
置关系如何？由此可得什么结论？
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内
思考3:经过任意三点都能确定一个平面吗？由此可得什么结论？
公理2 过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.
思考4:公理2可简述为“不共线的三点确定一个平面”，它有什么理论作用？
思考1:如图，把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在的平面与桌面所
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
l β= ，
有哪些理论作用吗？确定两平面相交的依据，判断多点共线的依据,l P αβ=且
（1）平面的概念、画法、表示方法；
（2）文字语言、符号语言、图形语言描述点、直线、平面之间的位置关。

高中数学新人教版A版精品教案《2.1.1 平面》

教学方法启发式，问题导学法，实验法教学重点理解平面的特点和三个公理，以及能用三种语言表述直线与平面、平面与平面的位置关系．教学难点符号语言和图形语言的准确表示，学习公理的作用和意义．教学过程一、概念的引入问题1：观察图中的房屋，有你熟悉的空间图形吗进一步从该物体中抽取一个长方体出来，追问：长方体是由哪些几何元素构成的？设计意图：从整体到局部，从现实世界中抽象出数学模型，这么一栋赏心悦目的别墅竟然是由一些几何体组成的，让学生感受到自己生活在一个充满几何体的世界里！那么这些几何体到底是怎样的结构呢？接着，以学生熟悉的长方体为载体，提出新的问题，激发学生的兴趣，让学生感到学习数学是必要的、有用的．点、线、面是空间图形的基本元素，它们构成了千姿百态的世界．本节我们就来研究点、线、面的位置关系。

首先我们大家一起来探讨一下平面及其基本性质．二、概念的生成问题2：（1）生活中有哪些例子给了我们直线形象？（2）直线有哪些基本特征？（3）怎么表示直线？学生通过讨论给出如黑板的边缘、空中划过的闪电等都给我们以直线的形象，从而教师明确数学中的“直线”就是从同学们所举的例子中抽象出来的．学生进而给出直线的基本特征如：①直的；②向两边无限延伸；③无粗细．回忆后才好说与平面有关的事．两点确定一条直线，那么两点能否确定一个平面？学生说：不能．老师继续提问：“在空间中至少需要几个点才能确定一个平面？是三个呢？还是四个、五个呢？”请学生上台，动手做数学实验1．数学实验1：用手指头将一块硬纸板平衡地摆放在空间某一位置，至少需要几个手指？引导学生归纳出公理2．设计意图：在动手操作、观察感悟中获取新知．通过做数学实验，让学生感受满足什么条件才可以确定一个平面，有利于降低学习难度，调动学生的学习积极性，增强学习兴趣，体会到该公理2的正确性．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．预设：学生可能会忽略“不在同一条直线上”，教师提出问题：在同一直线上的三点，能否确定一个平面？学生回答不行，进一步让学生举出反例．也有学生可能会疑惑为什么是“三点可以确定一个平面？四点、五点可以吗？”另外，通过提问“经过不在同一条直线上的三点的平面只有一个吗？”让学生感受到“有且只有”的内涵．师生共同探究：如何用图形语言表示公理2，及公理2的作用？（因为学生第一次碰到文字语言转换为图形语言，确实对他们来说是一个难点）设计意图：给学生时间思考，画出图形，体会图形的直观．师生共同体会公理2在生活中的简单应用．比如相机、测量仪器的三角架定位、三角形所在平面的稳定性等都是公理2的实际应用．公理2的内容不仅给出了确定一个平面的依据，即“过不在一条直线的三点有一个平面”；而且给出了这样的平面具有唯一性，即“有且只有一个平面”．另外，该公理还可以判断直线与平面的位置关系，如不共线的三点中任意取两点可以确定一条直线，则这条直线一定在不共线的三点确定的平面内，从而为公理1打下铺垫．2、公理1确定“平面”以后，接下来我们就会想到“点”、“线”和新的对象“面”之间有什么关系了．我们主要探讨线与面，面与面的关系．对新对象（平面）与已经有的对象（直线）关系的关注——满足什么条件就可以说直线a在平面内呢？数学实验2：如果把硬纸板看作一个平面，把你的笔看作是一条直线的话：1你能使笔上的一个点在平面内，而其他点不在平面内吗？2你能使笔上的两个点在平面内，而其他点不在平面内吗？引导学生归纳出平面的公理1．设计意图：通过笔和课桌面直观感知原本难以想象的直线和平面的关系，有利于降低学习难度，调动学生的学习积极性，增强学习兴趣，体会到公理1的正确性．公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．师生共同探究：如何用图形语言表示？师生共同探究：数学符号更简洁，如何用符号语言表示？设计意图：点与面，直线与面之间用什么符号表示，让学生点燃思维的火花，最后体会线，面都是点的集合，所以可以借助集合语言表示．用PPT展示长方体ABCD-A'B'C'D'中点、线、面的位置关系，用集合符号表示，由学生总结．设计意图：进一步熟悉符号语言，也为以后符号语言的使用打下坚实的基础．最后回到公理1的三种表示，总结三种语言的特点和公理1的作用．公理1为我们提供了一种判断直线是否在平面内的方法，同时也为我们在纸面上画一条直线在平面内提供了理论依据．进一步分析，直线是向两边无限延伸的，无限延伸的直线放在平面上，说明平面也是向四周无限延展的．公理1用直线的“无限延伸性”来检查平面的“无限延展性”．师生共同体会公理1在生活中的简单应用．比如工人用直棒检查桌面是否平整，木匠将绳子拉紧，将两端置于桌旁，通过是否漏光来检查桌面是否平整．公理1用直线的“直”来检查平面的“平”．3、公理3数学实验3：把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？引导学生归纳出平面的公理3．公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．预设：可能学生在归纳公理3时会忽略“有且只有”，教师可通过提问：“两个不重合的平面，如果有一个公共点，因为平面是向四周无限延展的，那么一定有一条过该点的公共直线．它们还有除了这条交线以外的公共点吗？”帮助学生理解“有且只有”的内涵．师生共同探究：如何用图形语言和符号语言来表示？师生共同体会公理3的作用．例1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系例2 空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，已知EH和FG相交于点P，求证：P点在直线BD上。

人教A版高中数学必修2教学案2.1.1平面

2. 1.1 平面【教学目标】1.使学生掌握平面的表示法，点、直线与平面的关系，有关平面的三个公理，2.会用符号表示图形中点、直线、平面之间的关系。

【教学重难点】教学重点：三个公理的教学是重点。

教学难点：公理的理解与运用是难点。

【教学过程】1．提问：在长方体中，顶点、棱所在的直线、侧面、底面之间的关系应该怎么说呢？2．新课（1）、生活中的平面生活中的一些物体通常呈平面形，如课桌面、黑板面、海面都是平面，几何里说的平面（plane ）是从这样的一些物体中抽象出来的，但是几何里的平面限延展的。

（2）、平面的画法与表示法常常把水平的平面画成一个平行四边形，锐角通常画成45°，且横边等于其邻边长的2倍平面表示：平面通常用α、β、γ写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面α、平面β、平面γ，也可以用平行四边形的四个顶点或相对的两个顶点的大写英文字母来表示，如平面ABCD ，或平面AC 或平面B D 。

如果一个平面被另一个平面遮住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来，如右图。

平面内有无数个点，平面可以看成是点的集合，点P 在平面α内，记作P ∈α，点Q 在平面α外，记作Q ∉α。

（3）、公理1公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

此公理可以判断直线是否在平面内。

点动成线、线动成面。

直线、平面都可以看成点的集合。

点P 在直线l 上，记作P ∈l ，点P 在直线l 外，记作P ∉l 。

如果直线l 上的所有点都在平面α内，就说直线l 在平面α内，或者说平面α经过直线l ，记作l ⊂α；否则，就说直线l 在平面α外，记作l ⊄α。

公理1也可以表示：A ∈l ，B ∈l ，且A ∈α，B ∈α⇒l ⊂α（4）、公理2三脚架可以声支撑照相机或测量用的平板仪或电子琴，自行车前后轮胎及支架。

公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

（补充3个推论）：推论1：经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面。

高中数学2.1.1平面学案设计新人教A版必修2

第二章点、直线、平面之间的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1 平面学习目标1.利用生活中的实物对平面进行描述;2.掌握平面的表示法及水平放置的直观图;3.掌握平面的大体性质及作用;4.培育学生的空间想象能力.合作学习一、设计问题,创设情境请你从适当的角度和距离观察桌面、黑板或门的表面,它们呈现出如何的形象?二、自主探索,尝试解决问题1:以上实物都给咱们以平面的印象,那么,平面的含义是什么呢?三、信息交流,揭露规律按照学生讨论结果,教师引导,得出平面的含义:1.平面含义问题2:在平面几何中,如何画平面?2.平面的画法问题3:清楚了平面的含义,会画水平放置的平面,那么平面如何表示呢?3.平面的表示问题4:若是直线l与平面α有一个公共点P,直线l是不是在平面α内?问题5:若是直线l与平面α有两个公共点呢?问题6:生活中,咱们看到三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等……自行车要放稳需几个点?问题7:把一个三角板的一个角立在课桌上,三角板所在的平面与桌面所在的平面是不是只相交于一点B,为何?四、运用规律,解决问题【例1】用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的关系.【例2】不共面的四点可以肯定几个平面?共点的三条直线可以肯定几个平面?【例3】点A∉平面BCD,E,F,G,H别离是AB,BC,CD,DA上的点,若EH与FG交于点P(这样的四边形ABCD就叫做空间四边形).求证:P在直线BD上.五、变式演练,深化提高1.判断下列命题的真假,真的打“√”,假的打“×”.(1)可画一个平面,使它的长为4cm,宽为2cm.( )(2)一条直线把它所在的平面分成两部份,一个平面把空间分成两部份.( )(3)一个平面的面积为20cm2.( )(4)通过面内任意两点的直线,若直线上各点都在这个面内,那么这个面是平面.( )2.(1)一条直线与一个平面会有几种位置关系?.(2)如图所示,两个平面α,β,若相交于一点,则会发生什么现象?(3)几位同窗的一次野炊活动,带去一张折叠方桌,不小心弄坏了桌脚,有一同窗提议可将几根一样长的木棍在等高处用绳捆扎一下作桌脚(如图所示),问至少要几根木棍才可能使桌面稳定?六、反思小结,观点提炼请同窗们总结一下本节课所学习内容:1.平面的概念;2.平面的画法、表示方式及两个平面相交的画法;3.点、直线、平面间大体关系的文字语言、图形语言和符号语言之间关系的转换;4.平面的大体性质.七、作业精选,巩固提高试用集合符号表示下列各语句,并画出图形:(1)点A在平面α内,但不在平面β内;(2)直线a通过不属于平面α的点A,且a不在平面α内;(3)平面α与平面β相交于直线l,且l通过点P;(4)直线l通过平面α外一点P,且与平面α相交于点M.参考答案二、问题1:几何里所说的平面就是从这样的一些物体中抽象出来的.可是,几何里的平面是无穷延展的.平面的两个特征:①无穷延展;②平的(没有厚度).问题2:(1)一个平面画法:水平放置的平面通常画成一个平行四边形,平行四边形的锐角通常画成45°,且横边长等于邻边长的2倍(如图).(2)直线与平面相交,如图(2)(3);(3)两个相交平面:画两个相交平面时,若一个平面的一部份被另一个平面遮住,应把被遮挡部份的线段画成虚线或不画(如图).问题3:(1)平面通常常利用希腊字母α,β,γ等表示,如平面α、平面β等,也可以用表示平面的平行四边形的四个极点,或相对的两个极点的大写英文字母来表示,如平面ABCD、平面AC等.(2)空间图形的大体元素是点、直线、平面,从运动的观点看,点动成线,线动成面,从而可以把直线、平面看成是点的集合,因此它们之间的关系除用文字和图形表示外,还可借用集合中的符号语言来表示.规定直线用两个大写的英文字母或一个小写的英文字母表示,点用一个大写的英文字母表示,而平面则用一个小写的希腊字母表示.问题4:学生思考容易发现,直线l不必然在平面α内.问题5:若是一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.问题6:自行车放稳需要3个点.引导学生取得公理2.公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.问题7:两个平面不是只相交于一点B,而是交于过B点的一条直线.公理3:若是两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.四、【例1】解:图1中,α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.图2中,α∩β=l,a⊂α,b⊂β,a∩l=P,b∩l=P.【例2】解:不共面的四点可以肯定4个平面(如三棱锥);共点的三条直线可以肯定1个或3个平面.【例3】证明:∵EH∩FG=P,∴P∈EH,P∈FG,∵E,H别离属于直线AB,AD,∴EH⊂平面ABD,∴P∈平面ABD,同理:P∈平面CBD,又∵平面ABD∩平面CBD=BD,所以,P在直线BD上.五、1.(1)×(2)√(3)×(4)√2.(1)3种(2)相交于通过这个点的一条直线(3)至少3根。

003..2.1.1平面及性质教案新人教A版必修2

课题：2.2.1.1平面及性质课型：新授课一、教学目标：1、知识与技能（1）利用生活中的实物对平面进行描述；（2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图；（3）掌握平面的基本性质及作用；（4）培养学生的空间想象能力。

2、过程与方法（1）通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识；（2）让学生归纳整理本节所学知识。

3、情感与价值使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣。

二、教学重点、难点重点：1、平面的概念及表示；2、平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言。

难点：平面基本性质的掌握与运用。

三、学法与教学用具1、学法：学生通过阅读教材，联系身边的实物思考、交流，师生共同讨论等，从而较好地完成本节课的教学目标。

2、教学用具：投影仪、投影片、正（长）方形模型、三角板四、教学过程（一）实物引入、揭示课题师：生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象，你们能举出更多例子吗？引导学生观察、思考、举例和互相交流。

与此同时，教师对学生的活动给予评价。

师：那么，平面的含义是什么呢？这就是我们这节课所要学习的内容。

（二）研探新知1、平面含义师：以上实物都给我们以平面的印象，几何里所说的平面，就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的。

2、平面的画法及表示师：在平面几何中，怎样画直线？（一学生上黑板画）之后教师加以肯定，解说、类比，将知识迁移，得出平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。

D C BA α如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成虚线或不画（打出投影片）课本P41 图 2.1-4 说明平面内有无数个点，平面可以看成点的集合。

高中数学 2.1.1 平面的性质教案新人教A版必修2-新人教A版高中必修2数学教案

2.1 平面的性质〔第1课时〕设计者：田许龙教学内容平面教学目标知识与技能1．了解平面的概念、掌握平面的画法及其表示法；2．初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化；3．了解公理1、公理2、公理3，并能简单应用性质解决一些简单的问题．过程与方法通过观察现实生活中的面引入平面的概念，从平面的概念入手，逐步引入平面的画法、表示方法、性质，培养学生学会观察、分析、推理、论证的思维方法，培养学生空间想象能力，领悟数形结合的数学思想。

情感、态度与价值观在运用平面的性质解决问题的过程中，逐步养成实事求是、扎实严谨的科学态度，学会用数学思维方法解决问题。

教学重点1、平面的表示方法；2、平面的性质及应用。

教学难点平面的性质及应用。

教学方法自主学习、小组讨论法、师生互动法。

教学准备导学、课件。

教学步骤教什么怎样教如何组织教学一、温故〔情境导入〕(5分钟)平面的概念新课引入，〔出示《课件1》〕观察日常生活中的平面实例，提出问题：平面具有几个特点？它还具有以下几个特点：①平面是平的；②平面是没有厚度的；③平面是没有边界的；④平面是有空间点、线组成的无限集合；⑤平面图形是空间图形的重要组成部分。

同学们，我们观察日常生活中的面〔如桌面、黑板面、海面〕对平面有什么印象呢？几何中平面的概念是什么呢？几何里所说的平面，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的，但是几何里的平面是无限延展的，二、知新〔自主学习合作平面的画法及1、学生看书，2分钟后由学生毛遂自荐上黑板作图，然后老师出示课件，纠正或规同学们，大家看完书并解决如下几个问题：你能把平面画探究展示能力〕(35分钟)表示法X平面的画法。

2、平面的表示方法及空间几何的符号体系〔学生看书2分钟〕老师指定中等偏下学生回答，回答后出示《课件2》的第一XPPT。

平面的画法⑴水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45，并且横边长等于其邻边长的2倍，如图1；图2⑵如果一个平面被另一个平面挡住了，为了增强它的立体感，被挡住部分用虚线画出来，如图2所示；跟平面几何不同的是，在立体几何中，添加辅助线的时候遵循的原那么是“眼见为实，眼不见为虚〞。

新人教版(必修2) 2.1.1平面及其表示法课件

直线a与平面α只有一个公共点A时，称直线a与平面α相交。记为：a∩α＝A
直线a与平面α没有公共点时，称直线a与平面α平行。记为：a∩α＝φ 或 a∥α.
a
a
a
A
α
α
α
(4)平面与平面的位置关系：
当平面α上的所有点都在平面β上时，称平面α与平面β重合。
当两个不同平面α与平面β有公共点时，它们的公
(1)点与直线的位置关系：
点A在直线a上：记为：A∈a
a
点B不在直线a上：记为：B∈a
A
B
(2)点与平面的位置关系：
点A在平面α上：记为：A∈α
B
点B不在平面α上记：为：B∈ α
A
α
(3)直线与平面的位置关系：直线a上的所有点都在平面α上，称直线a
在平面α内，或称平面α通过直线a.记为：aα
β a
α
α∩β ＝a
α β
α∩ β＝φ 或α ∥ β
例1.画出两个竖直放置的相交平面。
例2.把下列语句用集合符号表示，并画出直观图。（1）点A在平面α内，点B不在平面α内，点A，B
都在直线 a上；（2）平面α与平面β相交于直线 m，直线 a 在平
面α内且平行于直线 m.
B A α
a
α
a
m β
（3）在画图时，如果图形的一部分被另一部分遮住，可以把遮住部分画成虚线，也可以不画。
四.平面的表示方法：
平面可以用希腊字母表示，也可以用代表表示平面的平行四边形的四个顶点或相对的两个顶点字母表示。
D
C
A
B
如：平面α，平面β，平面ABCD，平面AC 平面BD等。
五.用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：