2019中考数学复习第1编教材知识梳理篇第4章图形的初步认识与三角形四边形第6节矩形菱形正方形精讲试题

,青海五年中考真题)
菱形
1．(2015青海中考)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，则菱形ABCD的高DH＝__ __．
2．(2015青海中考)如图，梯形ABCD中，AB∥DC，AC平分∠BAD，CE∥DA交AB于点E.
求证：四边形ADCE是菱形．
证明：∵AB∥CD，CE∥DA.
探究3：如图③，如果AB≠AC，∠BAC≠90°，∠BCA仍然保留为45°，点D在线段BC上运动，请你判断线段CF，BD之间的位置关系，并说明理由．
解：当∠BCA＝45°时，CF⊥BD.
证明：过点A作AM⊥AC交BC于点M，则∠AMC＋∠ACM＝90°.∵∠ACM＝45°，∴∠AMC＝∠ACM＝45°，∴AC＝AM.∵∠MAC＝∠FAD＝90°，∴∠MAD＋∠CAD＝∠FAC＋∠CAD，即∠MAD＝∠FAC，∵AD＝AF，∴△DAM≌△FAC(SAS)，∴∠ACF＝∠AMD＝45°，∴∠BCA＋∠ACF＝90°，即CF⊥BD.
探究1：如图①，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D为BC上一动点，连接AD，以AD为边在AD的右侧作正方形ADEF，连接CF.则线段CF，BD之间的位置关系为__CF⊥BD__，数量关系为__CF＝BD__；
探究2：如图②，当点D运动到线段BC的延长线上，其余条件不变，探究1中的两条结论是否仍然成立？为什么？(请写出证明过程)
∵△ABE≌△ADC，∴∠ADC＝∠ABE，∴∠ADC＋∠AGB＝90°.
又∵∠AGB＝∠DGO，∴∠DGO＋∠ADC＝90°，
∴∠DOG＝90°，∴∠BOC＝90°.
7．(2014青海中考)请你认真阅读下面的小探究系列，完成所提出的问题．
(1)如图①，将角尺放在正方形ABCD上，使角尺的直角顶点E与正方形ABCD的顶点D重合，角尺的一边交CB于点F，另一边交BA的延长线于点G.求证：EF＝EG；
解：ห้องสมุดไป่ตู้点D在线段BC的延长线上时，(1)中的结论仍成立．
证明：∵四边形ADEF是正方形，∴AD＝AF，∠DAF＝90°，∴∠DAF＋∠CAD＝∠BAC＋∠CAD，即∠DAB＝∠FAC.又∵AB＝AC，AD＝AF，∴△DAB≌△FAC，∴CF＝BD，∠ACF＝∠B.∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，∴∠BCF＝∠ACB＋∠ACF＝45°＋45°＝90°，即CF⊥BD.
图①
解：(1)∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，
∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，
即∠DAC＝∠BAE，
∴△ABE≌△ADC(SAS)；
图②
(2)∠BOC＝90°.证明如下：设AD与BE交于点G.
∵∠BAD＝90°，
∴∠ABE＋∠AGB＝90°.
第六节 矩形、菱形、正方形
,青海五年中考命题规律)
年份
题型
题号
考查点
考查内容
分值
总分
2017
解答
23(2)
菱形的判定
以梯形为背景判定菱形
5
解答
27
探究规律
以正方形和等腰直角三角形为背景，探究线段之间的关系
11
16
2016
填空
11
菱形的性质
已知菱形的两条对角线长，求菱形的高
2
解答
27
探究规律
由三角形外作正三角形、正四边形、正五边形、正n边形探究规律
10
12
2015
解答
24
菱形的判定
以梯形为背景判菱形
8
8
2014
解答
27
探究规律
以正方形与直尺为背景，探究线段之间的关系或求线段比
8
8
2013
解答
27
探究规律
以正方形为背景探究规律
8
8
命题规律
纵观青海五年中考，矩形、菱形、正方形为常考内容，最多设2道题，题型以解答题为主，且每年都有与之相关的探究的综合应用，题目难度中等偏上．预计2018年青海省中考，特殊四边形的探究规律为必考题型，除此之外，还有可能另外设置特殊四边形的计算与证明问题，应加强训练.
∴四边形ADCE是平行四边形．
∵AC是∠DAB的平分线，∴∠DAC＝∠CAB.
∵DC∥AE，∴∠DCA＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠DCA，∴DA＝DC，
∴平行四边形ADCE是菱形．
矩形
3．(2012青海中考)已知，如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC.
(1)求证：CD＝AN；
解：(1)∵∠AEF＋∠AEG＝90°，∠AEF＋∠CEF＝90°，∴∠AEG＝∠CEF.
又∵∠GAE＝∠C＝90°，EA＝EC，∴△EAG≌△ECF(ASA)，∴EG＝EF；
(2)＝；
(3)过点E作EM⊥AB于点M，作EN⊥BC于点N.则∠MEN＝90°，EM∥BC，EN∥AB，∴ ＝ ＝ .∴ ＝ ＝ .又∵∠GEM＋∠MEF＝90°，∠FEN＋∠MEF＝90°，∴∠FEN＝∠GEM，
(2)若∠AMD＝2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．
证明：(1)∵CN∥AB，
∴∠DAC＝∠NCA.
在△AMD和△CMN中，
∴△AMD≌△CMN(ASA)，∴AD＝CN.
又∵AD∥CN，∴四边形ADCN是平行四边形，∴CD＝AN；
(2)∵∠AMD＝2∠MDC，∠AMD＝∠MCD＋∠MDC.
∴∠MCD＝∠MDC，∴MD＝MC.由①知四边形ADCN是平行四边形，
∴MD＝MN＝MA＝MC，∴AC＝DN，
∴四边形ADCN是矩形．
正方形
4．(2014西宁中考)如图，G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H.若AB＝ ，AG＝1，则EB＝__ __．
5．(2017青海中考)请完成如下探究系列的有关问题：
6．(2016青海中考节选)如图①，分别以△ABC的边AB和AC为边向△ABC外作正三角形(等边三角形)、正四边形(正方形)、正五边形，BE和CD相交于点O.
(1)在图①中，求证：△ABE≌△ADC；
(2)由(1)证得△ABE≌△ADC，由此可推得在图①中∠BOC＝120°.请你探索在图②中∠BOC的度数，并说明理由或写出证明过程．
(2)如图②，移动角尺，使角尺的顶点E始终在正方形ABCD的对角线BD上，其余条件不变，请你思考后直接回答EF和EG的数量关系：EF________(选填“＝”或“≠”)EG；
(3)运用(1)(2)解答中所积累的活动经验和数学知识，完成下题：如图③，将(2)中的“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，使角尺的一边经过点A(即点G，A重合)，其余条件不变，若AB＝4，DG＝3，求 的值．