2016-2017学年高中数学人教A版必修二 第四章 圆与方程 学业分层测评23 Word版含答案

学业分层测评（二十三）

(建议用时：45分钟)

[达标必做]

一、选择题

1．对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是() A．相离B．相切

C．相交但直线不过圆心D．相交且直线过圆心

【解析】易知直线过定点(0,1)，且点(0,1)在圆内，但是直线不过圆心(0,0)．【答案】 C

2．若PQ是圆x2＋y2＝9的弦，PQ的中点是A(1,2)，则直线PQ的方程是() A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y－5＝0

C．2x－y＋4＝0 D．2x－y＝0

【解析】结合圆的几何性质知直线PQ过点A(1,2)，且和直线OA垂直，故

其方程为：y－2＝－1

2(x－1)，整理得x＋2y－5＝0.

【答案】 B

3．(2015·安徽高考)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是()

A．－2或12 B．2或－12

C．－2或－12 D．2或12

【解析】法一：由3x＋4y＝b得y＝－3

4x＋

b

4，代入x

2＋y2－2x－2y＋1＝0，

并化简得25x2－2(4＋3b)x＋b2－8b＋16＝0，Δ＝4(4＋3b)2－4×25(b2－8b＋16)＝0，解得b＝2或12.

法二：由圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0可知圆心坐标为(1,1)，半径为1，所以|3×1＋4×1－b|

32＋42

＝1，解得b＝2或12.

【答案】 D

4．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为22，则实数a的值为()

A．－1或 3 B．1或3

C．－2或6 D．0或4

【解析】由弦长公式l＝2r2－d2，可知圆心到直线的距离d＝2，即|a－2|

12＋(－1)2

＝2，解得a＝0或4.

【答案】 D

5．圆x2＋y2－4x＋6y－12＝0过点(－1,0)的最大弦长为m，最小弦长为n，则m－n＝()

A．10－27 B．5－7

C．10－3 3 D．5－32 2

【解析】圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝25，圆心(2，－3)到(－1,0)的距离为(0＋3)2＋(－1－2)2＝32<5.∴最大弦长为直径，即m＝10，最小弦长为以(－1,0)为中点的弦，

即n＝225－(32)2＝27.

∴m－n＝10－27.

【答案】 A

二、填空题

6．直线x－y＝0与圆(x－2)2＋y2＝4交于点A、B，则|AB|＝________.

【导学号：09960140】

【解析】圆心到直线的距离d＝|2－0|

2

＝2，半径r＝2，∴|AB|＝2r2－d2＝

2 2.

【答案】2 2

7．(2015·烟台高一检测)圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为2的点有________个．

【解析】圆的方程可化为

(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，

所以弦心距为d＝|－1－2＋1|

2

＝ 2.

又圆的半径为22，所以到直线x＋y＋1＝0的距离为2的点有3个．

【答案】 3

三、解答题

8．过点A(1,1)，且倾斜角是135°的直线与圆(x－2)2＋(y－2)2＝8是什么位置关系？若相交，试求出弦长．

【解】因为tan 135°＝－tan 45°＝－1，

所以直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.

圆心到直线的距离d＝|2＋2－2|

2

＝

2＜r＝22，所以直线与圆相交．

弦长为2r2－d2＝28－2＝2 6.

9．已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，过点B(－2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点．

(1)求圆A的方程；

(2)当|MN|＝219时，求直线l的方程．

【解】(1)设圆A的半径为r，

∵圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，

∴r＝|－1＋4＋7|

5

＝25，

∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.

(2)当直线l 与x 轴垂直时，

则直线l 的方程x ＝－2，

此时有|MN |＝219，即x ＝－2符合题意．

当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的斜率为k ，

则直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，

即kx －y ＋2k ＝0，

∵Q 是MN 的中点，∴AQ ⊥MN ，

∴|AQ |2＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫12|MN |2＝r 2， 又∵|MN |＝219，r ＝25，

∴|AQ |＝20－19＝1，

解方程|AQ |＝

|k －2|

k 2＋1＝1，得k ＝34， ∴此时直线l 的方程为y －0＝34(x ＋2)，

即3x －4y ＋6＝0.

综上所述，直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0.

[自我挑战]

10．直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2有且仅有一个公共点，则实数b 的取值范围是( )

A ．b ＝ 2

B ．－1＜b ≤1或b ＝－ 2

C ．－1≤b ≤1

D ．以上都不正确

【解析】 如图，作半圆的切线l 1和经过端点A ，B 的直线l 3，l 2，由图可知，当直线y ＝x ＋b 为直线l 1或位于l 2和l 3之间(包括l 3，不包括l 2)时，满足题意．