土木工程力学位移法

ql Z1 56i （5）绘弯矩图：
2
M M 1Z1 M F
M RB 1 2 ql 2 M 1Z1 M F ql 3iZ1 8 14
§13-3 位移法基本未知量数目的确定 基本未知量：结点位移——位移法的基本 未知量是结点位移。 位移 转 角 线位移
位移法基本未知量数——形成基本结构时 所需施加的约束（刚臂和支杆）的数目。
↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓ ↓↓
B
P
ql 2 12
ql 2 12
Pl 8
A q A
↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓ ↓↓
B B
Pl 8
ql 2 8
0
P
A
l/2 l/2
B
3Pl 16
0
§13-2 位移法的基本概念
1. 基本未知量 当不计轴向变形时，刚结点1不发生线位移，只发 生解位移Z1，且杆A1和B1端发生相同的转角Z1.只 要求出转角Z1，两杆的变形和内力就完全确定。 因此刚结点1的角位移Z1就是求解该刚架的位移法 基本未知量。
QBA l
EI EI f M 3 3 Δ M A AB AB l l2 M BA 0 3EI 3EI f Q Δ Q ab AB AB 2 3 l l Q 3EI 3EI Δ Q f AB ab BA l2 l3
或
R1 0 R11 R1F 0 r 11Z1 R 1F 0
(a)
位移法的基本方程。 物理意义：基本结构由于刚臂转角Z1及外荷载共 同作用，附加刚臂的总反力矩为零。 单位弯矩图 M 1：给刚臂结点1正向单位转角 Z1 1 由形常数表查得A1、B1的弯矩如图所示。
r11Z1 R1F 0
（5）叠加法绘制弯矩图。 1 2 129 2 M M 1Z1 M F M 1B i Z1 ql ql
例13-3计算图示排架，绘M图。
解（１）确定基本结构：
（２）绘单位弯矩图，求 r11
r11 FS 3 A FS 2 B FS1C 12i r11 2 l
查形常数表
5. 刚臂总反力矩 R1 ，位移法基本方程 荷载作用于基本结构，引起刚臂反力矩 R1F ；刚结 构转角Z1引起刚臂反力矩R11 。二者之和为总反力 矩R，即 R1 R11 R1F 在基本结构上施加原结构荷载，且令刚臂转动原结 点转角，使得受力基本结构和原结构的受力状态及 变形状态完全致。刚臂已失去约束作用。故
§13-5 用位移法计算超静定结构
例13-2 绘制下图之刚架的M图。
解（1）基本结构，图b所示
（2）作单位弯矩图 M 1
r11 8i 6i i 15i
（3）绘制荷载弯矩图。
3 2 1 2 25 2 R1F ql ql ql 16 3 48
（4）列典型方程，求未知量。
r11Z1 r12 Z 2 r13 Z 3 R1F 0 r21Z1 r22 Z 2 r23 Z 3 R2 F 0 r Z r Z r Z R 0 3F 31 1 32 2 33 3
R1F
1 2 ql1 12
R2 F 0
R3 F 1、在刚结点处加上臂2、在结点会发生线位移的方向上加上链杆。 3、附加刚臂与附加链杆数目的总和即为基本未知量数目。
（1）由两个已知不动点所引出 的不共线的两杆交点也是不动点。
（2）把刚架所有的刚结点（包括固定支座） 都改为铰结点，如此体系是一个几何可变体 系，则使它变为几何不变体系所需添加的链 杆数目即等于原结构的独立线位移数目。
A A
A
A

正

负
2、两端固定梁的转角位移方程
φA P q MAB A φA βAB QAB t1˚C βAB EI t2˚C φB B ΔAB
B'
MBA QBA
l
EI EI EI f M 4 2 6 Δ M A B AB AB l l l2 M 2 EI 4 EI 6 EI Δ M f A b BA BA l l l2 Q 6EI 6EI 12EI Δ Q f a b AB AB l2 l2 l3 6EI 6EI 12EI f Q AB 2 a 2 b 3 Δ QBA l l l
R1F
1 Fl 8
1 Fl 0 8
代入基本方程
r 11Z1 R 1F 0
1 7iZ1 ( Fl ) 0 8 Fl Fl Z1 8 7i 56i
弯矩图：根据叠加法M图为 M1Z1 M F 的叠加结果
例13-1 用位移法绘制图13-9a所示两跨连续梁的 弯矩图。EI=常量。
解出 Z1 , Z2 , Z3 后，即可用叠加法作出刚架的弯矩图：
M M 1Z1 M 2 Z2 M 3Z3 M F
对于有n个基本未知量的问题，其基本方程为：
r11Z1 r12 Z 2 r Z r Z 21 1 22 2 rn1Z1 rn 2 Z n r1n Z n R1F 0 r2 n Z n R2 F 0 rnn Z n RnF 0
解：（1）取结点B点的转角为Z1为基本未知量。 取基本结构如图b所示，当刚臂转动角度Z1时，基 本结构与原结构一致。
（2）作基本结构 M1 图，由结点平衡得：
r11 3i 4i
（3）绘 M F图，由结点平衡得： 1 2 R1F ql 8
（4）位移法基本方程：
r11Z1 R1F 0
§13-4 位移法典型方程
1 位移法基本结构 加上相应的约束后，成为位移法的基本形式时， 即为形成位移法的基本结构。 2 位移法典型方程
3 荷载作用在基本结构上
4 分别发生单位变形时：
建立位移法方程的条件、位移法方程及各符号的 意义：
R1 0 R2 0 R 0 3
由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数
单跨超静定梁简图
MAB
MBA
QAB= QBA
θ=1
A A
θ=1
B B B B
1 θ=1 1
4i
2i
6i l
12i
l
2
6i
3i
l
6i
0
l
A A
3i
3i
l
3i
i
l
0
l2
A
B
－i
0
由跨间荷载引起的杆端力称为载常数 单跨超静定梁简图 mBA
mAB
q A
第十三章
§13-2 位移法的基本概念
位移法
§13-1 等截面单跨超静定梁的杆端内力
§13-3 位移法基本未知量数目的确定
§13-4 位移法典型方程
§13-5 用位移法计算超静定结构
§13-6 超静定结构的特性
§13-1 等截面单跨超静定梁的杆端内力
单跨静定梁的三种基本形式：
1 杆端力与杆端位移的正、负号规定
6i1 ql12 0 (4i1 3i 2 ) Z1 2i2 Z 2 Z 3 li 12 3i1 2 i Z (3i 4i ) Z Z3 0 0 2 1 1 2 2 l1 6i1 3i1 15i1 ql1 Z Z Z 0 1 2 3 2 l1 l1 2 l1
M1B 4i1B
M1A 3i1A
M
1
0
M 1 A M 1B r11 0
r 11 M1 A M1B 3i1 A 4i1B
式中 i1 A iiBl EI i l
所以
r 11 7i
荷载弯矩图 M F：在基本结构上，荷载作用下的弯 矩图。
M
1
0
R1F
r11Z1 R1F 0
R1F 5ql Z1 r11 144i
2
3 432 120 2 M 1 A 8i Z1 ql 1 2 87 2 M B1 i Z1 ql ql 432 6 432 60 2 M A1 4i Z1 ql 3 2 9 M C1 6i Z1 ql ql 2 432 16 432
令：i
EI 称为“线刚度”、 AB 称 为 “ 旋 转 角 ” ， 则 ： l l
f M AB 4i A 2i B 6i AB M AB
3、一端固定、另一端铰支梁的转角位移方程
φA MAB A φA P q βAB EI t1˚C t2˚C B ΔAB B'
QAB
ql1 2
r11 4i1 4i2
r21 2i2
6i1 r31 l1
r12 2i2
r22 4i2 3i1
r32
3i1 l1
6i1 r13 l1
3i1 r23 l1
12i1 3i1 15i1 r33 2 2 2 l1 l1 l1
将所有系数求出后代入基本方程：
（３）绘荷载弯矩图，求 R1F
R1F F
F S3A
ql
11ql R1F 8
（４）列典型方程，求未知量
r11Z1 R1F 0
（５）叠加法绘弯矩图
R1F 11ql Z1 r11 96i
3
M M 1Z1 M F
例１３-４试用位移法计算图所示刚架，并作弯矩图
A 杆端力正、负号规定 杆端弯矩：顺时什转向为正，逆时针转向为负。对结点 而言，则逆时针转向为正，顺时针转向为负。 杆端剪力：使所研究的分离体有顺时针转动趋势为正， 有逆时针转动趋势为负。
正
负
B：杆端位移的正、负号规定