K主成分分析资料

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KL变换和主成分分析

在进行主成分分析后，竟以97.4％的精度，用三个新变量就取代了原17个变量。
根据经济学知识，斯通给这三个新变量分别命名为总收入F1、总收入变化率F2和经济发展或衰退的趋势F3。更有意思的是，这三个变量其实都是可以直接测量的。
主成分分析就是试图在力保数据信息丢失最少的原则下，对这种多变量的数据表进行最佳综合简化，也就是说，对高维变量空间进行降维处理。
jd 1
λ j ：拉格朗日乘数

g(uj )
uTj Ru j

j
(u
T j
u
j
1)
jd 1
jd 1
用函数 g(u j ) 对 u j 求导，并令导数为零，得
(R j I )u j 0 j d 1, ,
——正是矩阵 R 与其特征值和对应特征向量的关系式。
• 如果这些数据形成一个椭圆形状的点阵（这在变量的二维正态的假定下是可能的）.
3.2 PCA: 进一步解释
• 椭圆有一个长轴和一个短轴。在短轴方向上，数据变化很少；在极端的情况，短轴如果退化成一点，那只有在长轴的方向才能够解释这些点的变化了；这样，由二维到一维的降维就自然完成了。
分为：连续K-L变换离散K-L变换
1．K-L展开式设{X}是 n 维随机模式向量 X 的集合，对每一个 X 可以
用确定的完备归一化正交向量系{u j } 中的正交向量展开：

X a juj j 1
d
用有限项估计X时：Xˆ a juj j 1
aj：随机系数；
引起的均方误差： E[( X Xˆ )T ( X Xˆ )]
总样本数目为 N。将 X 变换为 d 维 (d n) 向量的方法：

主成分分析

一、主成分分析基本原理概念：主成分分析是把原来多个变量划为少数几个综合指标的一种统计分析方法。

从数学角度来看，这是一种降维处理技术。

思路：一个研究对象，往往是多要素的复杂系统。

变量太多无疑会增加分析问题的难度和复杂性，利用原变量之间的相关关系，用较少的新变量代替原来较多的变量，并使这些少数变量尽可能多的保留原来较多的变量所反应的信息，这样问题就简单化了。

原理：假定有 n 个样本，每个样本共有p 个变量，构成一个n ×p 阶的数据矩阵，x11x12 x1px21 x22 x2p Xxn 1xn2xnp记原变量指标为x1，x2，,，xp ，设它们降维处理后的综合指标，即新变量为 z1，z2，z3，,，zm(m ≤p)，则z 1l11x 1 l 12x 2l1p xpz 2 l 21x1 l22x2l2p xp ............ z mlm1x 1 l m2x 2lmp xp系数lij 的确定原则：①zi 与zj （i ≠j ；i ，j=1，2，,，m ）相互无关；②z 是x 1 ，x ，,，x 的一切线性组合中方差最大者，z 是与z 不相关的x ，x ，,，1 2P2 1 1 2 xP 的所有线性组合中方差最大者；zm 是与z1，z2，,,， zm －1都不相关的x1，x ，,x P ，的所有线性组合中方差最大者。

2新变量指标z1，z2，,，zm 分别称为原变量指标x1，x2，,，xP 的第1，第2，,，第m 主成分。

从以上的分析可以看出，主成分分析的实质就是确定原来变量xj （j=1，2 ，,，p ）在诸主成分zi （i=1，2，,，m ）上的荷载lij （i=1，2，,，m ；j=1，2，,，p ）。

从数学上可以证明，它们分别是相关矩阵m个较大的特征值所对应的特征向量。

二、主成分分析的计算步骤1、计算相关系数矩阵r11 r12 r1 pr21 r22 r2 pRrp1 rp2 rpprij（i，j=1，2，,，p）为原变量xi与xj的相关系数，rij=rji，其计算公式为n(x ki x i)(x kj x j)r ijk1n n(x ki2(x kj x j)2 x i)k1k12、计算特征值与特征向量解特征方程I R0，常用雅可比法（Jacobi）求出特征值，并使其按大小顺序排列1 2 p0；p 分别求出对应于特征值i的特征向量e i(i1,2,L,p)，要求ei=1，即e ij21j1其中e ij表示向量e i的第j 个分量。

主成分分析完整版

主成分分析完整版一、主成分分析的原理1.标准化数据：先对原始数据进行标准化处理，以确保不同变量的尺度一致。

2.计算协方差矩阵：对标准化后的数据计算协方差矩阵，矩阵中的元素表示不同变量之间的相关性。

3.计算特征值和特征向量：对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和对应的特征向量。

4.选择主成分：按照特征值的大小选择最重要的k个特征值和它们对应的特征向量，称之为主成分。

5.数据转换：将原始数据投影到选取的主成分上，得到降维后的数据。

二、主成分分析的方法1.方差解释比：主成分分析通过特征值展示了每个主成分的重要性。

方差解释比是计算每个主成分的方差所占总方差的比例。

选择解释总方差的比例较高的主成分，可以保留更多的信息。

2.累计方差解释比：累计方差解释比是计算前n个主成分的方差解释比之和。

通过选择累计方差解释比较高的主成分，可以保留更多的原始数据信息。

3.维度选择：主成分分析可以通过选择合适的主成分数来实现数据降维。

通过观察特征值的大小和累计方差解释比，可以选择合适的主成分数。

三、主成分分析的应用1.数据可视化：主成分分析可以将高维度的数据转换为低维度的数据，从而方便可视化。

通过在二维或三维空间中绘制主成分，可以更好地理解数据的分布和关系。

2.特征提取：主成分分析可以提取数据中的最重要特征，从而减少数据维度并保留主要信息。

特征提取可以在分类、聚类等问题中提高算法的效果。

3.数据压缩：主成分分析可以将高维度的数据压缩为低维度的数据，从而节省存储空间和计算时间。

压缩后的数据可以用于后续分析和处理。

4.噪音过滤：主成分分析通过保留数据中最重要的特征，可以减少噪音的影响。

通过滤波后的数据可以提高实验测量的准确性和稳定性。

综上所述，主成分分析是一种强大的数据降维技术，可以在许多领域中应用。

熟悉主成分分析的原理、方法和应用，对于理解数据和提升数据分析的能力具有重要意义。

什么是主成分分析精选全文

可编辑修改精选全文完整版主成分分析（principal component analysis, PCA）如果一组数据含有N个观测样本，每个样本需要检测的变量指标有K个, 如何综合比较各个观测样本的性质优劣或特点？这种情况下，任何选择其中单个变量指标对本进行分析的方法都会失之偏颇，无法反映样本综合特征和特点。

这就需要多变量数据统计分析。

多变量数据统计分析中一个重要方法是主成份分析。

主成分分析就是将上述含有N个观测样本、K个变量指标的数据矩阵转看成一个含有K维空间的数学模型，N个观测样本分布在这个模型中。

从数据分析的本质目的看，数据分析目标总是了解样本之间的差异性或者相似性，为最终的决策提供参考。

因此，对一个矩阵数据来说，在K维空间中，总存在某一个维度的方向，能够最大程度地描述样品的差异性或相似性(图1)。

基于偏最小二乘法原理，可以计算得到这个轴线。

在此基础上，在垂直于第一条轴线的位置找出第二个最重要的轴线方向，独立描述样品第二显著的差异性或相似性；依此类推到n个轴线。

如果有三条轴线，就是三维立体坐标轴。

形象地说，上述每个轴线方向代表的数据含义，就是一个主成份。

X、Y、Z轴就是第1、2、3主成份。

由于人类很难想像超过三维的空间，因此，为了便于直观观测，通常取2个或者3个主成份对应图进行观察。

图（1）PCA得到的是一个在最小二乘意义上拟合数据集的数学模型。

即，主成分上所有观测值的坐标投影方差最大。

从理论上看，主成分分析是一种通过正交变换，将一组包含可能互相相关变量的观测值组成的数据，转换为一组数值上线性不相关变量的数据处理过程。

这些转换后的变量，称为主成分（principal component, PC）。

主成分的数目因此低于或等于原有数据集中观测值的变量数目。

PCA最早的发明人为Karl Pearson，他于1901年发表的论文中以主轴定理（principal axis theorem）衍生结论的形式提出了PCA的雏形，但其独立发展与命名是由Harold Hotelling于1930年前后完成。

主成分分析、因子分析

主成分分析在许多领域的研究与应用中，往往需要对反映事物的多个变量进行大量的观测，收集大量数据以便进行分析寻找规律。

多变量大样本无疑会为研究和应用提供了丰富的信息，但也在一定程度上增加了数据采集的工作量，更重要的是在多数情况下，许多变量之间可能存在相关性，从而增加了问题分析的复杂性，同时对分析带来不便。

如果分别对每个指标进行分析，分析往往是孤立的，而不是综合的。

盲目减少指标会损失很多信息，容易产生错误的结论。

因此需要找到一个合理的方法，在减少需要分析的指标同时，尽量减少原指标包含信息的损失，以达到对所收集数据进行全面分析的目的。

由于各变量间存在一定的相关关系，因此有可能用较少的综合指标分别综合存在于各变量中的各类信息。

主成分分析与因子分析就属于这类降维的方法。

主成分分析是设法将原来众多具有一定相关性（比如P个指标），重新组合成一组新的互相无关的综合指标来代替原来的指标。

主成分分析，是考察多个变量间相关性一种多元统计方法，研究如何通过少数几个主成分来揭示多个变量间的内部结构，即从原始变量中导出少数几个主成分，使它们尽可能多地保留原始变量的信息，且彼此间互不相关.通常数学上的处理就是将原来P个指标作线性组合，作为新的综合指标。

最经典的做法就是用F1（选取的第一个线性组合，即第一个综合指标）的方差来表达，即Var(F1)越大，表示F1包含的信息越多。

因此在所有的线性组合中选取的F1应该是方差最大的，故称F1为第一主成分。

如果第一主成分不足以代表原来P个指标的信息，再考虑选取F2即选第二个线性组合，为了有效地反映原来信息，F1已有的信息就不需要再出现在F2中，用数学语言表达就是要求Cov(F1, F2)=0，则称F2为第二主成分，依此类推可以构造出第三、第四，……，第P个主成分。

2. 问题描述下表1是某些学生的语文、数学、物理、化学成绩统计：首先，假设这些科目成绩不相关，也就是说某一科目考多少分与其他科目没有关系。

主成分分析法

4，主成分分析法主成分分析（Principal Component Analysis，PCA），是一种统计方法。

通过正交变换将一组可能存在相关性的变量转换为一组线性不相关的变量，转换后的这组变量叫主成分。

主成分分析首先是由K.皮尔森（Karl Pearson）对非随机变量引入的，尔后H.霍特林将此方法推广到随机向量的情形。

信息的大小通常用离差平方和或方差来衡量。

②主成分的解释其含义一般多少带有点模糊性，不像原始变量的含义那么清楚、确切，这是变量降维过程中不得不付出的代价。

因此，提取的主成分个数m通常应明显小于原始变量个数p（除非p本身较小），否则维数降低的“利”可能抵不过主成分含义不如原始变量清楚的“弊”。

③当主成分的因子负荷的符号有正有负时，综合评价函数意义就不明确。

4.4主成分分析法的运用叶晓枫，王志良,【2】在介绍主成分分析方法的基本思想及计算方法基础上,对水资源调配评价指标进行了降维计算. 结果显示筛选出的指标对原指标具有较好的代表性,简化了水资源评价问题的难度。

傅湘，纪昌明【3】，针对模糊综合评判法在综合评价中存在的主观随意性问题，提出采用主成分分析法进行区域水资源承载能力综合评价。

对各区域的灌溉率、水资源利用率、水资源开发程度、供水模数、需水模数、人均供水量和生态环境用水率达七个主要因索进行了分析；根据主成分分析法的原理，运用少数几个新的综合指标对原来的七个指标所包含的信息进行最佳综合与简化，研究其在各区域水资源开发利用过程中的不同贡献及综合效应。

周莨棋，徐向阳等【4】，针对传统主成分分析法用于水资源综合评价中存在一些问题，包括指标评价中的“线性”问题、无法体现评价指标主观重要性以及评价范围无法确定。

进行了改进，采用改进的极差正规方法对数据进行规格化，用规格化后的数据加入了主观重要性权进行协方差计算，对协方差特征向量采用正负理想点进行检验。

陈腊娇，冯利华等【5】，将主成分分析方法引入到水资源承载力研究中，并以浙江省为例，在现有资料的基础上，利用主成分分析的方法，定量分析影响水资源承载力变化的最主要的驱动因子。

主成分分析和K-means聚类在说话人识别中的应用

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｏｒｄｅｒｔｏｒｅｄｕｃｅｔｈｅｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎｌａｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙａｎｄｓｏｌｖｅｔｂｅｉｎｓｕｆｉｃｉｅｎｃｙｏｆｔｈｅｆｅａｔｕｒｅｐａｒａｍｅｔｅｒｓｉｎｆｅａｔｕｒｅ
ｔｈｅｉｎｆｌａｃｏｍｐｏｕｎｄｃｈｒａａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｐａｒａｍｅｔｅｓｄｔｏｒｅｄｕｃｅｔｈｅｏｒｄｅｒｓｏｆｅａｃｈｆｒａｍｅｏｆｓｐｅｅｃｈｓｉｇｎｌａｆｅａｔｕｒｅ
ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ，ＭｅｌＦｒｅｑｕｅｎｃｙＣｅｐｓｔｒｕｍＣｏｅｉｃｆｉｅｎｔ（ＭＦＣＣ）ｐｒａａｍｅｔｅｓｒａｎｄｅｘｔｒａｃｔｉｎｇａｌｇｏｉｒｔｈｍｏｆｄｉｆｅｒｅｎｔｉｌａｐａｒａｍｅｔｅｓｒｉｎ
参数。首先用主成分分析降低每一帧语音信号特征参数的阶数，然后经过Ｋ — ｍｅａｎｓ聚类降低帧数，最后通过矢量量化（ＶＱ）来进行说话人识别。实验结果表明，该方法降低了计算复杂度，同时也提升了识别准确性。
关键词：主成分分析；Ｋ・ｍｅａｎｓ聚类；混合特征参数；矢量量化；说话人识别

K主成分分析DOC

第十一章主成分分析第一节主成分分析及其基本思想地理系统是多要素的复杂系统，在地理学研究中，经常会遇到多变量问题。

变量太多，会增加分析问题的难度与复杂性，而在许多实际问题中，多个变量之间是具有一定的相关关系的。

能否在相关分析的基础上，通过某些线性组合使原始变量减少为有代表意义的少数几个新的变量，而且这些较少的新变量尽可能多地保留原来变量所反映的信息？解决这个问题的数学方法就是主成分分析。

主成分分析的数学原理简单易懂，在地理学研究中应用较为广泛。

主成分分析(Principal Components Analysis ，PCA)也称为主分量分析，是一种通过降维来简化数据结构的方法：如何把多个变量（指标）化为少数几个综合变量（综合指标），而这几个综合变量可以反映原来多个变量的大部分信息。

为了使这些综合变量所含的信息互不重叠，应要求它们之间互不相关。

一、主成分分析的基本思想主成分分析在数学上就是将原来m 个指标作线性组合，求得新的综合指标，并选取几个具有代表性的综合指标(原指标的线性组合)。

下面介绍这种选择的方法原理和实现过程。

如果将选取的第一个线性组合即第一个综合指标记为z1，自然希望z1尽可能多地反映原来的指标信息，这里的“信息”用什么来表示呢？最经典的方法就是用z1的方差来表示，z1的方差越大，表示z1包含的信息越多。

因此，在所有的线性组合中，选取的z1应该是方差最大的，称z1为第一主成分。

如果z1没有包含原来m 个指标的绝大部分信息，则需要考虑选取第二个线性组合z2，且希望z1中已有的信息不出现在z2中，即z1与z2的协方差Cov(z1，z2)＝0。

那么z2就是第二主成分，依此可以建立第三、第四等主成分，要求这些主成分互不相关，且方差依次减小。

二、主成分分析的几何意义和数学模型为了方便，下面通过一个例子在二维空间中讨论主成分的几何意义。

图17-115 主成分的几何意义设有n 个样品，每个样品测量了两个变量x1和x2，在由x1和x2确定的样品空间中，n 个样品点的分布如图所示。

KL变换和主成分分析精讲

系数向量a就是变换后的模式向量。
2．利用自相关矩阵的K-L变换进行特征提取
设 X 是 n 维模式向量， { X } 是来自 M 个模式类的样本集，总样本数目为 N。将 X 变换为 d 维 (d n) 向量的方法：
第一步：求样本集{X}的总体自相关矩阵R。 N 1 R E[ XX T ] X j X T j N j 1 第二步：求 R 的特征值 λ j ， j 1,2,, n 。对特征值由大到小
j 1
d
矩阵形式：
X Ua
（5-49）
T a [ a , a , , a ] 式中，，U nd [u1 ,, u j ,, ud ] 。 1 2 d T u [ u , u , , u ] 其中： j j1 j2 jn
T u1 T u2 T U U [u1 u2 ud ] I T u d T —— K-L变换对式(5-49)两边左乘U t ：a U X
5.1 基于K-L变换的多类模式特征提取
特征提取的目的：对一类模式：维数压缩。对多类模式：维数压缩，突出类别的可分性。
卡洛南-洛伊（Karhunen-Loeve）变换（K-L变换）： * 一种常用的特征提取方法； * 最小均方误差意义下的最优正交变换； * 适用于任意的概率密度函数；
* 在消除模式特征之间的相关性、突出差异性方面有最优的效果。
利用K-L变换进行特征提取的优点： 1）变换在均方误差最小的意义下使新样本集{X *}逼近原样本集 {X}的分布，既压缩了维数又保留了类别鉴别信息。
2）变换后的新模式向量各分量相对总体均值的方差等于原样本集总体自相关矩阵的大特征值，表明变换突出了模式类之间的差异性。 0 1 2 C * E{( X * M * )( X * M * ) T } d 0

实验报告一主成分分析

实验报告一主成分分析一、实验目的二、实验原理主成分分析的基本原理是寻找能够最大化数据方差的主轴方向，并以此来确定各个主成分的权重。

具体步骤如下：1.去除数据的均值，使数据集的中心为原点。

2.计算数据的协方差矩阵。

3.对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和特征向量。

4.对特征值从大到小进行排序，选择前k个特征值对应的特征向量作为主成分。

5.将原始数据映射至选取的k个主成分构成的新坐标系中。

三、实验步骤2.对数据集进行预处理，包括去除缺失值、标准化处理等。

3.计算协方差矩阵。

4.对协方差矩阵进行特征值分解，并选择主成分。

5.将原始数据集映射至选取的主成分构成的新坐标系中。

6.可视化处理后的数据集，以便观察降维效果。

四、实验结果及分析经过主成分分析处理后，我们得到了降维后的数据集。

通过对比降维前后的数据，可以观察到数据在新坐标系中的分布情况。

如果降维后的数据集能够较好地保留原始数据的特征和结构，即数据点在新坐标系中的分布比较紧密，那么主成分分析的效果就较好。

五、实验结论通过实验，我们对主成分分析的原理和应用有了更深入的了解。

主成分分析可以有效地降低数据的维度，并保留原始数据的重要特征。

在实际应用中，主成分分析常用于多变量数据的预处理、降维和数据可视化等任务中，具有广泛的应用价值。

六、实验总结本次实验我们学习了主成分分析的基本原理和应用，并进行了实际操作。

实验结果表明主成分分析可以有效地降低数据的维度，保留了原始数据的重要特征，并成功地将数据映射到新的坐标系中。

通过本次实验的学习，我进一步掌握了主成分分析的方法和技巧，并了解了其在数据分析中的重要作用。

在实际应用中，我们可以根据需求选择适当的主成分数目，以达到最佳的降维效果和数据解释性。

主成分分析

主成分的几何解释
主成分分析用数学模型表达，即对X进行正交变换，在几何上就是作一个坐标旋转。因此，主成分分析在二维空间中有明显的几何意义。假设共有n个样品，每个样品都测量了两个指标（X1，X2），它们大致分布在一个椭圆内：
事实上，散点的分布总有可能沿着某一个方向略显扩张，这个方向就把它看作椭圆的长轴方向。显然，在坐标系 x1Ox2中，单独看这n个点的分量X1和X2，它们沿着x1方向和x2方向都具有较大的离散性，其离散的程度可以分分别用的X1方差和X2的方差测定。如果仅考虑X1或X2中的任何一个分量，那么包含在另一分量中的信息将会损失，因此，直接舍弃某个分量不是“降维”的有效办法。
Y1 = T1′ X 。
第一主成分的约束条件
第二主成分为，第二主成分为，满足 T2′T2 = 1 ，且 Cov(Y2 , Y1 ) = Cov(T2′ X, T1′ X) = 0 ，使得 D(Y2 ) = T2′ ΣT2 达到最大的 Y2 = T2′ X 。一般情形，主成分为，一般情形，第 k 主成分为，满足 Tk ′Tk = 1 ，到最大的 Yk = Tk ′ X 。，使得且 Cov(Yk , Yi ) = Cov(Tk ′ X, Ti′ X) = 0 （ i < k ）使得 D(Yk ) = Tk ′ ΣTk 达，
在这p个新变量Y中可以找到m个（m<p）的变量（y1,y2,…,ym）能解释原始数据中大部分方差所包含的信息。此时我们将原始的p个变量X缩减为m个新变量y，通过m个新变量来传递原始变量的大部分信息，同时缩减了数据的维数。
如何找到新变量Y及正交阵T
之前说过，这一组新的变量y1,y2,…,yp 要充分反映原变量的信息，且相互独立。信息能否反映充分，我们用变量的离异程度来衡量，即标准差或方差。因此寻找主成分Y的问题转化为，在保证新变量 y1,y2,…,yp相互独立的条件下，求某一个线性组合T，使D(Y)达到最大。

主成分分析

求第一主成分，构造目标函数为：
1(T1, ) T1ΣT1 (T1T1 1)
对目标函数 1(T1, ) 求导数有：
1
T1
2ΣT1
2T1
0
即
(6.5) (6.6)
(Σ I)T1 0
(6.7)
由 6.7 式两边左乘 T1 得到
T1ΣT1
(6.8)
由于 X 的协差阵 Σ 为非负定的，其特征方程(6.7)的根均大于零，
p
变量 Y1,Y2 , ,Yp 的方差之和 k 。主成分分析的目的是 k 1
减少变量的个数，所以一般不会使用所有 p 个主成分的，
忽略一些带有较小方差的主成分将不会给总方差带来太
大的影响。这里我们称
p
k k
k
k 1
(6.23）
为第k 个主成分 Yk 的贡献率。第一主成分的贡献率最大，这表
明 Y1 T1X 综合原始变量 X1, X 2 , , X p 的能力最强，而
图6.1 主成分的几何意义
如标果系我y1们Oy将2 ，该这坐里标y系1 是按椭逆圆时的针长方轴向方旋向转，某y2个是角椭度圆的变短成轴新方坐向。
旋转公式为
YY21
X1 cos X1 sin
X2 sin X2 cos
(6.1）
我们看到新变量 Y1 和 Y2 是原变量 X1 和 X 2 的线性组合，它的
主成分分析的基本思想
人们为了避免遗漏重要的信息而考虑尽可能多的指标
随着考虑指标的增多增加了问题的复杂性由于各指标均是对同一事物的反映，不可
避免地造成信息的大量重叠，这种信息的重叠有时甚至会抹杀事物的真正特征与内在规律。希望在定量研究中涉及的变量较少，而得到的信息量又较多。主成分分析正是研究如何通过原来变量的少数几个线性组合来解释原来变量绝大多数信息的一种多元统计方法。

主成分分析和因子分析

主成分分析和因子分析1.对原始数据进行标准化，使得每个特征的均值为0，标准差为12.计算数据集的协方差矩阵。

3.对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和特征向量。

4.对特征值进行降序排列，并选择最大的k个特征值对应的特征向量作为主成分。

5.计算每个样本在选定的主成分上的投影值，得到降维后的数据集。

主成分分析的应用非常广泛。

它可以用于数据可视化、降维和特征选择。

主成分分析可以帮助我们发现数据中的模式和结构，找到最相关和最有信息的特征，并减少不必要的特征数量。

主成分分析还可以用于数据预处理，减少数据噪声和冗余，从而提高后续分析的效果。

相比之下，因子分析（Factor Analysis）是一种非线性降维技术，它假设原始数据中的观测值是由一组潜在因子造成的，并且通过这些潜在因子来解释观测值的协方差结构。

因子分析的目标是找到最小的因子数量，能够最好地解释观测值的变异性。

因子分析的步骤如下：1.对原始数据进行标准化。

2.构建因子模型，包括确定因子数量和定义因子之间的关系。

3.通过最大似然估计或最小二乘法等方法，估计因子载荷矩阵，描述观测变量和潜在因子之间的线性关系。

4.通过因子旋转，调整因子载荷矩阵的结构，使得因子之间更容易解释，并且使得观测变量和因子之间的关系更简洁。

5.根据因子载荷矩阵，计算每个因子的得分，得到降维后的数据集。

因子分析在社会科学研究和心理学研究中得到了广泛的应用。

它可以用于构建潜在变量模型，检验假设和推断因果关系。

因子分析可以帮助我们理解观测数据中的潜在结构，提取出隐藏的特征，发现变量之间的关系，并用较少的因子代表观测变量。

主成分分析和因子分析之间存在一些差异。

首先，主成分分析是一种无监督学习方法，不需要预先定义因子的数量和含义，而因子分析需要根据实际问题确定因子的数量和解释，需要一定的先验知识。

其次，主成分分析假设原始数据的变量之间是线性相关的，而因子分析假设原始数据是由潜在因子引起的，可以属于非线性关系。

主成分分析法

主成分分析也称主分量分析，旨在利用降维的思想，把多指标转化为少数几个综合指标。

在实证问题研究中，为了全面、系统地分析问题，我们必须考虑众多影响因素。

这些涉及的因素一般称为指标，在多元统计分析中也称为变量。

因为每个变量都在不同程度上反映了所研究问题的某些信息，并且指标之间彼此有一定的相关性，因而所得的统计数据反映的信息在一定程度上有重叠。

在用统计方法研究多变量问题时，变量太多会增加计算量和增加分析问题的复杂性，人们希望在进行定量分析的过程中，涉及的变量较少，得到的信息量较多。

主成分分析法简介-principal component analysis(PCA) 主成分分析法是一种数学变换的方法, 它把给定的一组相关变量通过线性变换转成另一组不相关的变量，这些新的变量按照方差依次递减的顺序排列。

在数学变换中保持变量的总方差不变，使第一变量具有最大的方差，称为第一主成分，第二变量的方差次大，并且和第一变量不相关，称为第二主成分。

依次类推，I个变量就有I个主成分。

其中Li为p维正交化向量（Li*Li=1），Zi之间互不相关且按照方差由大到小排列，则称Zi为X的第I个主成分。

设X的协方差矩阵为Σ，则Σ必为半正定对称矩阵，求特征值λi（按从大到小排序）及其特征向量，可以证明，λi所对应的正交化特征向量，即为第I个主成分Zi所对应的系数向量Li，而Zi的方差贡献率定义为λi/Σλj,通常要求提取的主成分的数量k满足Σλk/Σλj>0.85。

编辑本段主成分分析的主要目的是希望用较少的变量去解释原来资料中的大部分变异，将我们手中许多相关性很高的变量转化成彼此相互独立或不相关的变量。

通常是选出比原始变量个数少，能解释大部分资料中的变异的几个新变量，即所谓主成分，并用以解释资料的综合性指标。

由此可见，主成分分析实际上是一种降维方法。

编辑本段分析步骤数据标准化;求相关系数矩阵;一系列正交变换，使非对角线上的数置0，加到主对角上;得特征根xi（即相应那个主成分引起变异的方差),并按照从大到小的顺序把特征根排列;求各个特征根对应的特征向量;用下式计算每个特征根的贡献率Vi;Vi=xi/(x1+x2+........)根据特征根及其特征向量解释主成分物理意义。

主成分分析的数学模型

一、主成分分析的数学模型假设原来的变量指标为X1，X2…，X k经过标准化后得到标准指标变量X1，X2，…，X K；X j=X j−X j̅̅̅s j，j=1,2…，k其中X j̅是第j个指标变量的均值，s j是第j个指标变量的标准差。

他们的综合指标（新变量指标）为z1，z2，…，z m（m<=k）,则进行线性变换：{z1=l11X1+l12X2+⋯+l1k X K z2=l21X1+l22X2+⋯+l2k X K z m=l k1X1+l k2X2+⋯+l kk X K将k个标准变量X1，X2，…，X K转换成了k个新变量z1，z2，…，z m，但是线性变换应满足以下三个条件：●z i和z j独立，i≠j，i，j=1，2，…，k；●vaX(z1)≥vaX(z2)≥…≥vaX(z k) ；●l i12+l i22+⋯+l ik2=1，i=1，2，…，k；z1，z2，…，z m是X1，X2，…，X K的k个主成分，其中z1为第一主成分，z2为第二主成分，z k为第k主成分，称l ij为第i主成分在第j个标准指标量X j上的得分系数，将每一个样本的标准化观察值代入计算公式中，计算得每一个样本的k个主成分值，即为主成分得分。

二、主成分分析的方法步骤主成分分析的过程就是确定原来的变量X j（j=1，2，…，k）在个主成分z j（j=1，2，…，k）上的载荷l ij（i，j=1，2，…，k）。

从主成分分析的数学模型可以看出，主成分分析的任务是估计主成分，确定主成分的个数，解释主成分的实际意义和计算主成分得分。

假设有k 个指标X 1，X 2…，X k ，每个指标有n 个观测值，它们的标准化变量是X 1，X 2，…，X K ，记录如下表所示计算步骤如下：（1）对原始指标数据进行标准化变换：X ij =X ij −X j ̅̅̅s j，j=1，2，…，k将原始数据标准化，然后利用标准化的数据计算主成分，X 为标准化后的数据矩阵，则： X=[X 11X 12 ⋯X k1X 21X 22⋮⋯X 2k⋮X n1X n2⋯X nk] （2）计算相关系数矩阵：R=Cov （X ）=[r 11r 12⋯ r k1r 21r 22⋮⋯r 2k⋮r k1r k2⋯r kk ]=[1r 12 ⋯ r k1r 211⋮⋯r 2k⋮r k1r k2⋯1]其中， r ij =∑（X −X ̅̅̅）（k −X ̅̅̅）n k=1√∑（X ki −X i ̅̅̅）2nk=1√∑（X kj −X j ̅̅̅）2nk=1（3）计算相关矩阵的特征值和特征值所对应的特征向量：Cov （X ）L=L [Var （Z 1） 0Var （Z 1）⋱0 Var （Z k ）]其中， L=[l 11r 12⋯ l k1l 21r 22⋮⋯l 2k⋮l k1r k2⋯l kk] 由于R 为半正定矩阵，故可由R 的特征方程|R −λI |=0求得k 个非负特征值λi （i=1，2，…，k ）将这些值按从大到小排序为 λ1≥λ2≥…≥λk ≥0 再由{(R −λ1I )l i =0l i ′l i =1i=1,2,…,k 解得每一个特征值对应的特征向量l i =(l i1，l i2，…，l ik )′，从而求得各主成分：Z i =l i ′X=l i1X 1+l i2X 2+⋯+l ik X K ，i=1，2，…，k（4）计算主成分贡献率及累计贡献率各个主成分互不相关，即z i 和z j 的相关系数：r z i ,z j =i i √Cov (Z i ,Z i ).Cov(Z j ,Z j )=0(i ≠j)于是各相关系数的矩阵为单位矩阵。

主成分分析的计算步骤

主成分分析的计算步骤1.数据预处理：首先，对原始数据进行预处理，包括数据清洗、缺失值处理、标准化等。

确保数据的质量以及统一度，以便更好地进行后续计算。

2.计算协方差矩阵：得到预处理后的数据后，计算协方差矩阵。

协方差矩阵可以反映不同变量之间的相关性。

协方差矩阵大小为n×n，其中n 是原始变量的个数。

3.计算特征值和特征向量：通过对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和对应的特征向量。

特征值是一个标量，表示对应特征向量的重要程度。

特征向量是一个n维列向量，代表主成分的方向。

4.特征值排序：将特征值按照大小降序排列，对应的特征向量也要相应地排序。

一般来说，特征值越大，对应的特征向量表示的主成分的重要性越高。

5.选择主成分数量：根据前面排好序的特征值和特征向量，确定需要选择的主成分数量。

一般可以根据累计贡献率来决定。

累计贡献率是指前k个主成分的特征值之和占总特征值之和的比例，一般要求累计贡献率达到一定的阈值，例如90%以上。

6.构建降维矩阵：根据选择的主成分数量，取对应的特征向量组成一个降维矩阵。

该降维矩阵的大小是n×k，其中n是原始变量的个数，k是选择的主成分数量。

7.数据降维：将原始数据与降维矩阵相乘，得到降维后的数据矩阵。

降维后的数据矩阵的大小是m×k，其中m是样本数量，k是选择的主成分数量。

8.主成分解释：计算降维后的数据矩阵的方差占比和累计方差占比。

方差占比是降维后的数据矩阵的方差占总方差的比例，累计方差占比是指前k个主成分的方差占总方差的比例。

通过方差占比和累计方差占比，可以评估主成分分析的效果和解释程度。

9.主成分得分：将降维后的数据矩阵乘以降维矩阵的转置，得到主成分得分矩阵。

主成分得分矩阵的大小是m×n，其中m是样本数量，n是原始变量的个数。

主成分得分表示每个样本在主成分上的投影值，可以用于后续的机器学习任务和数据可视化。

总结：主成分分析的计算步骤包括数据预处理、计算协方差矩阵、计算特征值和特征向量、特征值排序、选择主成分数量、构建降维矩阵、数据降维、主成分解释、主成分得分。