高考文科数学临考练兵测试题34

2011届新课标版高考临考大练兵（文34）一、 填空题（本大题共14小题，每小题5分，合计70分．请把答案直接填写在答题纸相应位置上）1、已知复数121,2z i z i =-=+，那么12z z ⋅的值是 ▲ .2、集合{}22,A x x x R =-≤∈，{}2|,12B y y x x ==--≤≤， 则()R C A B =I ▲ .3、一个算法的流程图如图所示，则输出的S 值为 ▲ .4、如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，O 为底面正方形ABCD 的中心，则三棱锥1-B BCO 的体积为 ▲ .5、已知()()(2,3),(1,2),a b a b a b λ==+⊥-r r r r r r,则=λ ▲ .6、已知实数x ，y 满足22,052y x y x +=++那么的最小值为 ▲ .7、由命题“存在x ∈R ，使220x x m ++≤”是假命题，求得m 的取值范围是(,)a +∞，则实数a 的值是 ▲ .8、已知函数()()0cos sin f x f x x '=+，则函数)(x f 在20π=x 处的切线方程是 ▲ .9、在数列{}n a 中，已知122,3a a ==，当2n ≥时，1n a +是1n n a a -⋅的个位数，则2011a = ▲ .第4题第3题10、已知函数x x x f 2)(2-=, x ∈[a , b ]的值域为[－1, 3 ]，则b a -的取值范围是 ▲ .11、若m 、n 、l 是互不重合的直线，γβα,,是互不重合的平面，给出下列命题： ①若βαβαβα⊥⊥⊥=⋂⊥n n n m m 或则,,, ②若n m n m //,,,//则=⋂=⋂γβγαβα③若m 不垂直于αα不可能垂直于则m ,内的无数条直线 ④若βαβαβα////,,,//,n n n n n m m 且则且⊄⊄=⋂⑤若l n l m n m l n m ⊥⊥⊥⊥⊥⊥=⋂=⋂=⋂,,,,,,,,则且γβγαβαγαγββα 其中正确命题的序号是 ▲ .12、如图，在平面四边形ABCD 中，若3,2AC BD ==，则()()+⋅+=u u u r u u u r u u u r u u u rAB DC AC BD ▲ .13、对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ,则数列}1{+n a n的前n 项和的公式是 ▲ . 14、若⊙221:5O x y +=与⊙222:()20()O x m y m R -+=∈相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15、（本小题满分14分）第12题第16题图 设△ABC 的三个内角A ，B ，C 对边分别是a ，b ，c ，已知sin 3cos a A B=， （1）求角B ；（2）若A 是△ABC 的最大内角，求A C B sin 3)cos(++的取值范围． 16、（本小题满分14分）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1AD 上的点，且满足1(0)D P PA λλ=>u u u u r u u u r.（Ⅰ）当1λ=时，求证：平面11ABC D ⊥平面PDB ； （Ⅱ）试证无论λ为何值，三棱锥1D PBC -的体积恒为定值；17、（本小题满分15分）为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似的表示为：21200800002y x x =-+，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？18、（本小题满分15分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1a ＝1，且122n n a S +=+()n *∈N ． （1）求2a ，3a 的值，并求数列{}n a 的通项公式； （2）解不等式13nn i iS a =>∑()n *∈N ． 19、（本题满分16分）已知直线0543:1=-+y x l ，圆4:22=+y x o ． （1）求直线1l 被圆O 所截得的弦长；（2）如果过点（－1，2）的直线2l 与1l 垂直，2l 与圆心在直线02=-y x 上的圆M 相切，圆M 被直线1l 分成两段圆弧，其弧长比为2∶1，求圆M 的方程． 20、（本小题满分16分）已知函数32()()f x ax bx b a x =++-（,a b 不同时为零的常数），导函数为()f x '.（1）当13=a 时，若存在[3,1]∈--x 使得()0f x '>成立，求ｂ的取值范围； （2）求证：函数()y f x '=在(1,0)-内至少有一个零点；（3）若函数()f x 为奇函数，且在1=x 处的切线垂直于直线230+-=x y ，关于x 的方程1()4f x t =-在[1,](1)->-t t 上有且只有一个实数根，求实数t 的取值范围.(参考答案)一、 填空题（本大题共14小题，每小题5分，合计70分．请把答案直接填写在答题纸相应位置上）1、已知复数121,2z i z i =-=+，那么12z z ⋅的值是 ▲ .3i -2、集合{}22,A x x x R =-≤∈，{}2|,12B y y x x ==--≤≤，则()R C A B =I ▲ .(,0)(0,)-∞+∞U3、一个算法的流程图如图所示，则输出的S 值为 ▲ .454、如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，O 为底面正方形ABCD 的中心，则三棱锥1-B BCO 的体积为 ▲ .235、已知()()(2,3),(1,2),a b a b a b λ==+⊥-r r r r r r ,则=λ ▲ .53-6、已知实数x ，y 满足22,052y x y x +=++那么的最小值为 ▲.7、由命题“存在x ∈R ，使220x x m ++≤”是假命题，求得m 的取值范围是(,)a +∞，则实数a 的值是 ▲ .18、已知函数()()0cos sin f x f x x '=+，则函数)(x f 在20π=x 处的切线方程是▲ .x ＋y ―1―2π=0 9、在数列{}n a 中，已知122,3a a ==，当2n ≥时，1n a +是1n n a a -⋅的个位数，则2010a = ▲ .4第4题第3题10、已知函数x x x f 2)(2-=, x ∈[a , b ]的值域为[－1, 3 ]，则b a -的取值范围是 ▲ .[2,4]11、若m 、n 、l 是互不重合的直线，γβα,,是互不重合的平面，给出下列命题： ①若βαβαβα⊥⊥⊥=⋂⊥n n n m m 或则,,, ②若n m n m //,,,//则=⋂=⋂γβγαβα③若m 不垂直于αα不可能垂直于则m ,内的无数条直线 ④若βαβαβα////,,,//,n n n n n m m 且则且⊄⊄=⋂⑤若l n l m n m l n m ⊥⊥⊥⊥⊥⊥=⋂=⋂=⋂,,,,,,,,则且γβγαβαγαγββα 其中正确命题的序号是 ▲ .②④⑤12、如图，在平面四边形ABCD 中，若3,2AC BD ==，则()()+⋅+=u u u r u u u r u u u r u u u rAB DC AC BD ▲ .513、对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ,则数列}1{+n a n 的前n 项和的公式是 ▲ . 122n +- 14、若⊙221:5O x y +=与⊙222:()20()O x m y m R -+=∈相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是 ▲ .4二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15、（本小题满分14分）设△ABC 的三个内角A ，B ，C 对边分别是a ，b ，c ，已知sin a A =， 第12题第16题图 （1）求角B ；（2）若A 是△ABC 的最大内角，求A C B sin 3)cos(++的取值范围． 15、解：（1）在△ABC 中，由正弦定理，得sin sin a bA B=， ……………2分 又因为sin 3cos a A B=，所以sin 3B B =， ……………4分 所以tan 3B =又因为0πB << , 所以π3B =． ……………6分 （2）在△ABC 中，πB C A +=-，所以cos()33cos B C A A A ++-=π2sin()6A - ， ……… 10分由题意，得π3≤A ＜2π3 , π6≤π6A -＜π2，所以sin(π6A -)1[,1)2∈，即 2sin(π6A -)[1,2)∈，所以A C B sin 3)cos(++的取值范围[1,2)． ………………14分 16、（本小题满分14分）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1AD 上的点，且满足1(0)D P PA λλ=>u u u u r u u u r.（Ⅰ）当1λ=时，求证：平面11ABC D ⊥平面PDB ；（Ⅱ）试证无论λ为何值，三棱锥1D PBC -的体积恒为定值；16. 证明一：（Ⅰ）∵正方体1111ABCD A B C D -中，AB ⊥面11AA D D ，又11AB ABC D ⊂∴平面11ABC D ⊥平面11AA D D ， ……………4分 ∵1λ=时，P 为1AD 的中点，∴1DP AD ⊥， 又∵平面11ABC D I 平面11AA D D 1AD =， ∴DP ⊥平面11ABC D ，又DP ⊂平面PDB ，∴平面11ABC D ⊥平面PDB ．………7分 证明二： 如图，以点D 为坐标原点，建立如图所示的坐标系． （Ⅰ）当1λ=时，即点P 为线段1AD 的中点，则11(,0,)22P ，又(0,0,0)D 、(1,1,0)B第16题图∴11(,0,)22PD =--u u u r ，11(,1,)22PB =-u u u r ，设平面PDB 的法向量为(,,)n x y z =r，…………2分则00PD n PB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r r u u u r r r ，即11002211022x z x y z ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩，令1y =，解得(1,1,1)n =-r ， …4分 又∵点P 为线段1AD 的中点，∴1DP AD ⊥，∴DP ⊥平面11ABC D ，∴平面11ABC D 的法向量为11(,0,)22PD =--u u u r ， ……5分∵110022PD n ⋅=+-=u u u r r ，∴平面11ABC D ⊥平面PDB ， ………………………7分 （Ⅱ）∵11//AD BC ， P 为线段1AD 上的点，∴三角形1PBC 的面积为定值，即1122122PBC S ∆==………10分又∵//CD 平面11ABC D ，∴点D 到平面1PBC 的距离为定值，即22h =， ………………………12分 ∴三棱锥1D BPC -的体积为定值，即111122133226D PBC PBC V S h -∆=⋅⋅=⨯=．17、（本小题满分15分）为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似的表示为：21200800002y x x =-+，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？ 17、解：（1）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：1800002002y x x x =+-…………………………………………………4分 1800002002002x x≥⋅=， 当且仅当1800002x x=，即400x =时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．…………………8分 （2）设该单位每月获利为S ,则100S x y =-…………………………………………………………………10分2211100(20080000)3008000022x x x x x =--+=-+-21(300)350002x =---因为400600x ≤≤，所以当400x =时，S 有最大值40000-．故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40000元，才能不亏损．…………15分18、（本小题满分15分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1a ＝1，且122n n a S +=+()n *∈N ． （1）求2a ，3a 的值，并求数列{}n a 的通项公式； （2）解不等式13nn i iS a =>∑()n *∈N ． 18、（1）∵2112223a S a =+=+=，∴232a =． ……………… 1分 ∵321292222a S a a =+=++=，∴394a =． ……………… 2分 ∵122n n a S +=+，∴122n n a S -=+（n ≥2）， 两式相减，得1122n n n n a a S S +--=-．∴122n n n a a a +-=．则132n n a a +=（n ≥2）． ……………… 4分∵2132a a =，∴132n n a a +=()n *∈N ． ……………… 5分∵110a =≠，∴{}n a 为等比数列，132n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭． ………… 7分（2）13233n n a -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，∴数列3{}n a 是首项为3，公比为23等比数列．………… 8分数列3{}n a 的前5项为：3，2，43，89，1627．{}n a 的前5项为：1，32，94，278，8116． ∴n ＝1，2，3时，13nn i iS a =>∑成立； ………… 11分而n ＝4时，13nn i iS a =∑≤； ………… 12分∵n ≥5时，3n a ＜1，a n ＞1，∴13nn i iS a =∑≤．………… 14分∴不等式13nn i iS a =>∑()n *∈N 的解集为{1，2，3}． ………… 15分 19、（本题满分16分）已知直线0543:1=-+y x l ，圆4:22=+y x o ． （1）求直线1l 被圆O 所截得的弦长；（2）如果过点（－1，2）的直线2l 与1l 垂直，2l 与圆心在直线02=-y x 上的圆M 相切，圆M 被直线1l 分成两段圆弧，其弧长比为2∶1，求圆M 的方程．19、（1）解法一：圆心O 到直线l 1的距离d ＝|3×0＋4×0－5|32＋42＝1，……………1分 圆O 的半径r ＝2，…………………………………………………………………2分所以半弦长为22－12＝3． ……………………………………………………4分 故直线l 1被圆O 所截得的弦长为23．…………………………………………5分解法二：解方程组⎩⎨⎧3x ＋4y －5＝0，x 2＋y 2＝4．得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋435，y ＝4－335或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－435，y ＝4＋335．………2分 直线l 1与圆O 的交点是（3＋435，4－335），（3－435，4＋335）．故直线l 1被圆O 所截得的弦长（3＋435－3－435）2＋（4－335－4＋335）2＝23． ……………5分（2）因为过点（－1，2）的直线l 2与l 1垂直，直线l 1的方程为3x ＋4y －5＝0， 所以直线l 2的方程为：4x －3y ＋10＝0． ………………………………7分 设圆心M 的坐标为（a ，b ），圆M 的半径为R ，则a －2b ＝0． ①因为圆M 与直线l 2相切，并且圆M 被直线l 1分成两段圆弧，其弧长比为2∶1，所以|4a －3b ＋10|5＝R ，|3a ＋4b －5|5＝12R ．所以|4a －3b ＋10|5＝2×|3a ＋4b －5|5．……………………………………9分可得4a －3b ＋10＝2×(3a ＋4b －5)或4a －3b ＋10＝－2×(3a ＋4b －5)． 即2a ＋11b －20＝0，② 或2a ＋b ＝0．③由①、②联立，可解得a ＝83，b ＝43．所以R ＝103．故所求圆M 的方程为(x －83)2＋(y －43)2＝1009．…………………12分由①、③联立，可解得a ＝0，b ＝0．所以R ＝2．故所求圆M 的方程为x 2＋y 2＝4．…………………………………14分综上，所求圆M 的方程为：(x －83)2＋(y －43)2＝1009或x 2＋y 2＝4． ………15分 20、（本小题满分16分）已知函数32()()f x ax bx b a x =++-（,a b 不同时为零的常数），导函数为()f x '. （1）当13=a 时，若存在[3,1]∈--x 使得()0f x '>成立，求ｂ的取值范围； （2）求证：函数()y f x '=在(1,0)-内至少有一个零点；（3）若函数()f x 为奇函数，且在1=x 处的切线垂直于直线230+-=x y ， 关于x 的方程1()4f x t =-在[1,](1)->-t t 上有且只有一个实数根，求实数t 的取值范围. 20、解：（1）当13=a 时，()f x '=3122-++b bx x =31)(22-+-+b b b x ， 其对称轴为直线x b =-，当2,(3)0b f -≥-⎧⎨'->⎩ ，解得2615<b ，当2,(1)0b f -<-⎧⎨'->⎩，b 无解， 所以b 的的取值范围为26(,)15-∞．…………………………………………4分 （2）因为2()32()f x ax bx b a '=++-，法一：当0=a 时，21-=x 适合题意………………………………………6分 当0≠a 时，0)1(232=-++a b x a b x ，令ab t =，则0)1(232=-++t tx x ， 令2()32(1)h x x tx t =++-，因为11()024h -=-<， 当1>t 时，(0)10h t =->，所以()y h x =在1(,0)2-内有零点． 当1≤t 时，(1)210h t -=-≥>，所以()y h x =在（)21,1--内有零点． 因此，当0≠a 时，()y h x =在(1,0)-内至少有一个零点．综上可知，函数()y f x '=在(1,0)-内至少有一个零点．……………………10分 法二：(0)f b a '=-，(1)2f a b '-=-，12()33b a f -'-=． 由于,a b 不同时为零，所以1()(1)03f f ''-⋅-<，故结论成立．(3)因为()f x =32()ax bx b a x ++-为奇函数，所以0b =, 所以()f x =ax ax -3，又()f x 在1=x 处的切线垂直于直线230+-=x y ，所以1=a ，即3()f x x x =-．因为()3(f x x x '= 所以()f x在(,,)-∞+∞上是増函数，在[33-上是减函数，由()0f x =解得1,0=±=x x ，如图所示， 所以所求t 的取值范围是023<≤-t或02t <<．当13-<≤-t 时，1()04f t t ≥-≥，即43t t t -≥-，解得3323-≤≤-t ；当0<<t 时，1()04f t t >-≥ ，解得033<<-t ； 当0=t 时，显然不成立； 当330≤<t 时，1()04f t t ≤-<，即43t t t -≤-当33>t 时，1()04f t t <-<，故32t <<．。