专题11 双曲线_答案

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双曲线讲义(学生版)

双曲线专题讲义1.2.等轴双曲线及性质(1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫作等轴双曲线，标准方程可写作：x 2－y 2＝λ(λ≠0)． (2)等轴双曲线⇔离心率e ＝2⇔两条渐近线y ＝±x 相互垂直． 3．点P (x 0，y 0)和双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的关系(1)双曲线内(含焦点部分)⇔x 20a 2－y 20b 2>1；(2)双曲线上⇔x 20a 2－y 20b 2＝1；(3)双曲线外(不含焦点部分)⇔x 20a 2－y 20b 2<1.求双曲线离心率、渐近线问题的一般方法(1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a ，b ，c 的方程或不等式，利用b 2＝c 2－a 2和e ＝ca 转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．(2)求渐近线时，利用c 2＝a 2＋b 2转化为关于a ，b 的方程或不等式．双曲线渐近线的斜率与离心率的关系k ＝±ba ＝±c 2－a 2a ＝±c 2a2－1＝±e 2－1. 双曲线定义1. 已知P 是双曲线1366422=-y x 上一点,F 1,F 2是双曲线的两个焦点,若|PF 1|＝17,则|PF 2|的值为________．2. 已知点F 1(0,－13)、F 2(0,13),动点P 到F 1与F 2的距离之差的绝对值为26,则动点P 的轨迹方程为( ) A .y ＝0 B .y ＝0(x ≤－13或x ≥13) C .x ＝0(|y |≥13) D .以上都不对3. 若双曲线x 2－4y 2＝4的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 2的直线交右支于A 、B 两点，若|AB |＝5，则△AF 1B 的周长为________．参考答案：1. 33 2. C 3. 18 双曲线方程的认识1. (2013·福建)双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点坐标为(0，3)，则k 的值是 ( )A ．1B ．－1C .653D ．－653 2. 若方程15222=---ky k x 表示双曲线，则实数k 的取值范围是（）A ．52<<kB ．5>kC ．2<k 或5>kD ．以上答案均不对3. 方程x 2k －1＋y 2k －3＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围为________．4. 已知方程：22(1)(3)(1)(3)m x m y m m -+-=--表示焦距为8的双曲线,则m 的值等于（） A ．－30 B ．10 C ．－6或10 D ．－30或3A ．2322-=-y xB ．()12322±¹-=-x y xC ． 2322=-y x面积是9,则a ＋b 的值等于( )A ．4B ．5C ．6D ．73. 已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点．若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为__________．参考答案：1.A 2.B 3. 2 3 双曲线性质离心率1. 设21,F F 分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点.若在双曲线上存在点P .使21PF PF ^,且°=Ð3021F PF ,则双曲线的离心率为___________.2. 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 1作倾斜角为30°的直线，交双曲线右支于M 点，若MF 2垂直于x 轴，则双曲线的离心率为 ( )A . 6B . 3C .2D .333. 设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若a PF PF 6||||21=+，且12PF F D 的最小内角为30°，则C 的离心率为（）A ．2B ．26C ．23D ．34. 如图,1F 、2F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点,过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点A 、B .若2ABF D 为等边三角形,则双曲线的离心率为（）A ．4B ．7C ．332 D ．3 5. 过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12AB BC =uuu r uuu r,则双曲线的离心率是（）A B C D 6. 双曲线2214x y k+=的离心率(1,2)e Î,则k 的取值范围是（）A . (10,0)-B . (12,0)-C . (3,0)-.D . (60,12)-- 参考答案：1. 13+ 2-6 BDBCB渐近线1. 双曲线22149x y -=的渐近线方程是A ．32y x =±B ．23y x =±C ．94y x =±D ．49y x =±2. 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ．y ＝±x3. 已知0a b ＞＞,椭圆1C 的方程为2222=1x y a b +,双曲线2C 的方程为22221y x a b -=,1C 与2C 的离心率之积为2,则2C 的渐近线方程为（）. 0A x ±= .0B y ±= .20C x y ±= .20D x y ±=4. 设21,F F 分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ,满足||||212F F PF =,且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为( )A ．043=±y xB ．034=±y xC ．053=±y xD ．045=±y x5. 1F 、2F 是双曲线12222=-by a x 0(>a ,)0>b 的左、右焦点,过1F 的直线l 与双曲线的左、右两个分支分别交于点A 、B ,若2ABF D 为等边三角形,则该双曲线的渐近线的斜率为( )（A ）33±（B ）2± （C ）15± （D ）6± 参考答案： ACBBD直线与双曲线位置关系 1. 若直线2y kx =+与双曲线的一个顶点．（1）求双曲线的方程；（2）经过的双曲线右焦点2F 作倾斜角为30°直线l ,直线l 与双曲线交于不同的B A ,两点,求AB 的长.【答案】（1）16322=-y x ；（2）5316.2. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为2,焦点到渐近线的距离等于3,过右焦点2F 的直线l交双曲线于A 、B 两点,1F 为左焦点．(1) 求双曲线的方程；(2) 若AB F 1D 的面积等于62,求直线l 的方程．【答案】(1) 1322=-y x ；(2) )2(-±=x y .3. 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点分别为1(2,0)F -,2(2,0)F ,点P 在双曲线上.（1）求双曲线的方程；（2）过(0,2)Q 的直线l 与双曲线交于不同的两点E 、F ,若OEF D 的面积为,O 为坐标原点,求直线l 的方程.【答案】（1）222x y -=;（220y -+=20y +-=. 中点弦1. 直线l 经过11P （，）与双曲线1222=-y x 交于A B 、两点,且P 平分是线段AB ,那么直线l 的方程为（） A 、210x y --= B 、230x y +-= C 、210x y -+= D 、不存在2. 若双曲线的中心为原点,F (3,0)是双曲线的焦点,过F 的直线l 与双曲线相交于P ,Q 两点,且PQ 的中点为M (－12,－15),则双曲线的方程为( )A .16322=-y xB . 14522=-y xC 13622=-y xD . 15422=-y x3. 已知双曲线191622=-y x 及点)1,2(P ,是否存在过点P 的直线l ,使直线l 被双曲线截得的弦恰好被P 点平分？若存在,求出直线l 的方程；若不存在,请说明理由. 【答案】不存在.4. 已知直线l 交双曲线2212y x -=于A B 、不同两点,若点(1,2)M 是线段AB 的中点,求直线l 的方程及线段AB 的长度【答案】。

双曲线、椭圆、圆专题训练与答案

圆锥曲线习题——双曲线1. 如果双曲线2422y x -＝1上一点P 到双曲线右焦点的距离是2,那么点P 到y 轴的距离是（） (A)364 (B)362 (C)62 (D)322. 已知双曲线C ∶22221(x y a a b-=＞0,b ＞0),以C 的右焦点为圆心且与C 的渐近线相切的圆的半径是（A ）a(B)b(C)ab(D)22b a +3. 以双曲线221916x y -=的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（） A ．221090x y x +-+= B ．2210160x y x +-+= C ．2210160x y x +++=D ．221090x y x +++=4. 以双曲线222x y -=的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是（）Ａ．22430x y x +--= Ｂ．22430x y x +-+= Ｃ．22450x y x ++-=Ｄ．22450x y x +++=5. 若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( ) A.(1,2)B.(2,+∞)C.(1,5)D. (5,+∞)6. 若双曲线12222=-by a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2那么则双曲线的离心率是（）（A ）3 （B ）5 （C ）3 （D ）57. 过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12AB BC =，则双曲线的离心率是 ( )A 2B 35108. 已知双曲线)0(12222>=-b by x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，其一条渐近线方程为x y =，点),3(0y P 在双曲线上.则12PF PF ⋅＝（）A. -12B. -2C. 0D. 4 二、填空题9. 过双曲线221916x y -=的右顶点为A ，右焦点为F 。

初二函数专题11--直线与双曲线交点处理

初二函数专题11--直线与双曲线交点处理【例1】（2009湖北荆门）直线()0y ax a =>与双曲线3y x=交于()()1122A x y B x y ，、，两点，则122143x y x y -=_____________．【补充】已知正比例函数与反比例函数图象交点到x 轴的距离是3，到y 轴的距离是4，求它们的解析式．【例2】（2002全国数学竞赛辽宁预赛）若一次函数3y x b =+和反比例函数3b y x-=的图像有两个交点，当b =______时，有一个交点的纵坐标为6.【例3】（2009湖北武汉）如图，直线43y x =与双曲线()0k y x x =>交于点A ．将直线43y x=向右平移92个单位后，与双曲线()0k y x x =>交于点B ，与x 轴交于点C ，若2AOBC=，则k =_________．【例4】一个一次函数的图象与直线59544y x =+平行，与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，并且通过()125--，，则在线段AB 上（包括端点A ，B 两点），横纵坐标都是整数的点有_______个．【补充】（2008年芜湖市）在平面直角坐标系xoy中，直线y x=向上平移1个单位长度得到直线l．直线l与反比例函数kyx=的图象的一个交点为()2A a，，则k的值等于．【例5】 (06年北京课改卷)在平面直角坐标系xOy中，直线y x=-绕点O顺时针旋转90o的到直线l.直线l与反比例函数kyx=的图象的一个交点为A(a，3)，试确定反比例函数的解析式.【例6】 (06年成都中考题)已知反比例函数kyx=(0k<)的图像经过点A(m)，过点A作AB⊥x轴于点B，且AOB∆⑴求k和m的值.⑵若一次函数1y ax=+的图象经过点A，并且与x轴相交于点C，求:AO AC的值.【例7】（2007四川乐山中考）如图，反比例函数kyx=的图像与一次函数y mx b=+的图像交于(13)A，，(1)B n-，两点．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图像回答：当x取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．【补充】（2007四川资阳）如图，已知()()424A B n--，，，是一次函数y kx b=+的图象与反比例函数的图象的两个交点.(1) 求此反比例函数和一次函数的解析式；(2) 根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围.【例8】利用图象解一元二次方程230x x+-=时，我们采用的一种方法是：在平面直角坐标系中画出抛物线2y x=和直线3y x=-+，两图象交点的横坐标就是该方程的解．（1）填空：利用图象解一元二次方程230x x+-=，也可以这样求解：在平面直角坐标系中画出抛物线y=和直线y x=-，其交点的横坐标就是该方程的解．（2）已知函数6yx=-的图象（如图9所示），利用图象求方程630xx-+=的近似解（结果保留两个有效数字）．BOAyx（图9）（图9）。

初中数学八年级培优讲义-专题11 双曲线_答案

专题11 双曲线例1 （1）连结OB ，则2kS S S S BOE COE BOF AOF ====∆∆∆∆. 所以k =2 （2）作P 1C ⊥OA 于C ，P 2D ⊥OA 2于D ，P 1C =OC ，P 2D =A 1D =A 2D ，设OA 1 =a ，A 1A 2=b ，所以422=∙aa ，所以a =4. 又因为P 2D ·OD =4，所以422=∙⎪⎭⎫ ⎝⎛+bb a .则b =4-24，所以OA 2 = OA 1+A 1A 2 = 4 +4-24=42，则A 2（42，0）. 例2 1 提示：作FG ⊥x 轴于G ，EH ⊥y 轴于H ，则AF =b 2，BE =a 2，1212222=⨯==∙=∙ab b a BE AF例3 （1）k =8（2）可试一试用图2解答：C (1，8)，CFA OAE OCD CDFE AOC S S S S S ∆∆∆∆---=矩形==32-4-4-9=15. （3）因为反比例函数图像是关于原点O 的中心对称图形，所以OP =OQ ，OA =OB .所以四边形APBQ 是平行四边形，6244141=⨯==∆平行四边形S S POA . 设P 点的坐标为（mm 8,）（m >0且m ≠4），过点P 、A 分别作x 轴的垂线，垂足为E 、F ，∵点P 、A 在双曲线上，∴4==∆∆AOF POE S S . 若0<m <4（如图a ）∵AOF POA PEFA POE S S S S ∆∆∆+=+梯形 ∴6==∆POA PEFA S S 梯形即 6)4(8221=-+m m）（解得：m =2，m =-8(舍去) 若m >4（如图b ）∵POE POA PEFA AOP S S S S ∆∆∆+=+梯形 ∴6==∆POA PEFA S S 梯形即 6)4(8221=-+m m）（解得：m =8，m =-2(舍去)故点P 的坐标是P （2,4）或（8,1）图 a 图b 例4 （1）xy 1=（2）解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==121x y x y 得 11=x ，21-2=x （舍去）从而y =1，∴A （1,1）（3）符合条件的点P 存在，有下列情况（如图）：①若OA 为底，则∠AOP 1=45°，OA =2，由OP 1 =P 1A ，得P 1(1，0)； ②若OA 为腰，AP 为底，则由OP =OA =2，得P 2(-2，0)，P 3（2，0）； ③若OA 为腰，OP 为底，则由AO =AP =2，得OP =2，P 4(2，0)例5 （1）∵k S S BDOF AEOC ==矩形矩形∴=-DOCK AEOC S S 矩形矩形DOCK BDOF S S 矩形矩形-∴CFBK AEDK S S 矩形矩形= ②连AD 、AO 、BC 、BO .∵ AOC ADC S S ∆∆=，BOD BCD S S ∆∆= ∴ BCD ADC S S ∆∆=∴ CD ∥MN .又∵AC ∥DN ，BD ∥CM ，∴四边形ANDC 、BDCM 为平行四边形， ∴AN =DC =BM（2）AN 与BM 仍然相等，证法同（1）.例6 点A 与点B 之间的距离是5，则它们之间的连线是直角三角形的斜边. 设点C （a ，b ），则⎩⎨⎧=-+=+-16)3(942222b a b a ）（ ① ⎩⎨⎧=-+=+-9)3(1642222b a b a ）（ ② 解①得⎩⎨⎧==34b a 或⎪⎩⎪⎨⎧==25212528b a 所以C 的坐标是（4，3）或（2528，2521-）对应的k 的值是12 或625588-.解②得 ⎩⎨⎧==00b a 或⎪⎩⎪⎨⎧==25962572b a 因为原点不可能在反比例函数图像上，所以C 的坐标是（2572，2596）对应的k 的值是6256912. 综上所述，k 的值是12或5886912625625-或. A 级1.-22.1、23.<4.y 2>y 1>y 35.x <-1或0<x <26.27.A8.A9.A 10.(1)设A 点坐标为（x ，y )，由32ABOS=，得13||22xy =，|k |=3，k =±3. ∵A 点在第四象限内，∴k =-3，两个函数的解析式分别为3,2y y x x =-=--.（2）由32y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=--⎩，得1131x y =-⎧⎨=⎩，2213x y =⎧⎨=-⎩，∴A （1，-3），C （-3，1）.设直线AC 与y 轴交于点D ，则D （0，-2）.故112123422AOCS S AOD S COD =+=⨯⨯+⨯⨯=（平方单位）.11.（1）m =6,n =2 (2)y =-2x +8 (3)A (0,8), B (4,0),AE =DF =2,CE =BF =1，又∠AEC =∠DFB =900，故ΔAEC ≌ΔDFB . 12.(1)1111112,2S x y x y =⨯=而点P （x 1，y 1)在ky x=图象上，∴x 1y 1=k ，即S 1=k .同理222122S x y k =⨯=，∴S 1=S 2，又C 1=2（x 1+y 1)=122122(),2()k k x C x x x +=+∴C 2-C 1=22222112112221122()2x k x k x x kx x x kx x x x x +++--=-=⨯ ∵双曲线在第一象限，∴x 1>0，x 2>0.∴x 1x 2>0.又x 1x 22+kx 1-x 12x 2-kx 2=x 1x 2(x 2-x 1)-k (x 2-x 1)=(x 1x 2-k )(x 2-x 1)，且21x x >，当12x x k =1212211221时,C =C ;当x x >k 时,C >C ;当x x <k 时,C <C .（2）设四边形PMON 的周长为C ，则C =2（x +y ）.∵xy =k ，∴2()kC x x =+，这里x ，k 均大于0.2(0,k k x x x -≥∴+≥时，即x =PMON 的周长C 最小，最小值为，此时P .B 级1.-2.-33.144.34- ΔBOC 为等腰直角三角形，OB =OC =1，BC对称性可知AB =CD =2，作AE 垂直x 轴于E ，则AE 232222AC =⨯=，OE =31122-=. 5.①②④6.A7.B8.C9.(1)设B 点（x 0，y 0），S 正方形OABC =x 0y 0=9，x 0=y 0=3，即B （3，3），k =x 0y 0=9. (2)①如图a ，P （m ，n ）在9y x=上，S 矩形OEP 1F =mn =9，S 矩形OAGF =3n .,S =9-3n =92，n =32，m =6，∴P 1(6,32). ②如图a ，同理可得P 2（32，6）. （3）①如图b ，当0<m <3时，S 矩形OEGC =3m ，S =S 矩形OEPF -S 矩形OEGC =9-3m (0<m <3).②如图c ，当m ≥3时，S 矩形OAGF =3n ，S =9-3n =9-27m(m ≥3).10.设P （a ，b ），过E 作ES ⊥x 轴于S ，过F 作FT ⊥y 轴于T ，∴AE 23b =，BF =2FT =2a .∴AE ·BF 23a ab ==.11.（1）336,y 42y x x=+= （2）92MONS =12.（1）E （1，1-a ），F （1-b ，b ）（2）12OEFa b S +-=（3）AOF ∽BOE （4）∠EOF =450。

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双曲线专题辅导双曲线知识点总结1、双曲线的定义：a MF MF 221=-（122a F F <） ①当2a ﹤2c 时，轨迹是双曲线； ②当2a =2c 时，轨迹是两条射线； ③当2a ﹥2c 时，轨迹不存在；2、双曲线标准方程焦点在x 轴上时：12222=-b y a x ；焦点在y 轴上时：12222=-bx a y ；★焦点坐在轴判断方法：看系数的正负；3、字母a b c 、、的关系：222b ac +=4、双曲线12222=-by a x 基本性质：①顶点：()0,),0,(21a A a A - ()b B b B -,0),,0(21 ②实轴：21A A 长为2a , a 叫做半实轴长； ③虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做虚半轴长； ④焦距：12F F 长为2c ，c 叫做半焦距长；5、离心率：c e a === 6、双曲线渐近线：（分焦点在x 轴与焦点在y 轴）①若双曲线方程为12222=-b y a x 则有：⇒渐近线方程⇒=-02222b y a x x aby ±=；②若双曲线方程为22221y x a b -=则有：⇒渐近线方程22220y x a b -=⇒ay x b=±；③若渐近线方程为x aby ±=⇒0=±b y a x① 222b AF BF a==②22bAB a=题型一：双曲线的标准方程的有关问题1、求双曲线14491622-=-y x 的实轴长、虚轴长、离心率以及渐近线方程；2、讨论192522=-+-ky k x 表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征；3、根据条件求双曲线的标准方程；（1）过点⎪⎭⎫ ⎝⎛4153，P ，⎪⎭⎫⎝⎛-5316，Q 且焦点在坐标轴上；提示：设122=+n y m x ；参考答案：116922=-x y（2）6=c ，经过点（－5，2），焦点在x 轴上；提示：设1622=--λλy x ；参考答案：1522=-y x（3）与双曲线141622=-y x 有相同的焦点，并且经过点()223，；提示：设141622=+--λλy x ；（4）双曲线为等轴双曲线，并且经过点)1,3(-M ；提示：设m y x =-22；题型二、双曲线定义的运用（轨迹方程）1、P 是双曲线1366422=-y x 上一点，1F 、2F 是双曲线的两个焦点，且171=PF ，求2PF 的值；（参考：33）变式：已知1F 、2FP 在双曲线上，若点P 到焦点P 到焦点F 2的距离；2、在ABC ∆中，2=BC ，且A B C sin 21sin sin =-，求点A 的轨迹；3、求与圆A ：9)5(22=++y x 以及圆B ：1)5(22=+-y x 都外切的圆的圆心P 的轨迹方程；变式题：求下列动圆圆心M 的轨迹方程：（1）与⊙()2222=++y x C ：内切，且过点()02，A ；（2）已知一个圆与⊙()11221=-+y x C ：和⊙()41222=++y x C ：都外切；（3）已知一个圆与⊙()93221=++y x C ：外切，且与⊙()13222=+-y x C ：内切；（4）双曲线4222=-y x C ：的两焦点分别为21F F ，A 为双曲线上任一点。

高考数学二轮复习专题11 离心率问题速解(精讲精练)(解析版)

专题11离心率问题速解【命题规律】求椭圆或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题，多以选择、填空题的形式考查，难度中等．【核心考点目录】核心考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题核心考点二：焦点三角形顶角范围与离心率核心考点三：共焦点的椭圆与双曲线问题核心考点四：椭圆与双曲线的4a 通径体核心考点五：椭圆与双曲线的4a 直角体核心考点六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题核心考点七：双曲线的4a 底边等腰三角形核心考点八：焦点到渐近线距离为b核心考点九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形核心考点十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题核心考点十一：渐近线平行线与面积问题【真题回归】1．（2022·全国·统考高考真题）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（）A2B．2C ．12D ．13【答案】A【解析】[方法一]：设而不求设()11,P x y ，则()11,Q x y -则由14AP AQk k ⋅=得：21112211114AP AQ y y y k k x a x a x a ⋅=⋅==+-+-+，由2211221x y a b +=，得()2221212b a x y a -=，所以()2221222114b a x ax a -=-+，即2214b a =，所以椭圆C 的离心率c e a = A.[方法二]：第三定义设右端点为B ，连接PB ，由椭圆的对称性知：PB AQk k =-故14AP AQ PA AQ k k k k ⋅=⋅-=-，由椭圆第三定义得：22PA AQb k k a⋅=-，故2214b a =所以椭圆C 的离心率c e a = A.2．（2021·天津·统考高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若|CD AB ．则双曲线的离心率为（）A BC ．2D ．3【答案】A【解析】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-，令x c =-，则22221c y a b -=，解得2b y a =±，所以22b AB a=,又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bcCD a=，所以2bc a =c =，所以222212a c b c =-=，所以双曲线的离心率ce a==故选：A.3．（2021·全国·统考高考真题）设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（）A ．⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C【解析】设()00,P x y ，由()0,B b ，因为2200221x y a b+=，222a b c =+，所以()()2223422222220000022221y c b b PB x y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0b y b -≤≤，当32bb c-≤-，即22b c ≥时，22max 4PB b =，即max 2PB b =，符合题意，由22b c ≥可得222a c ≥，即0e <≤；当32b b c ->-，即22b c <时，42222max b PB a b c=++，即422224b a b b c ++≤，化简得，()2220c b -≤，显然该不等式不成立．故选：C ．4．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）双曲线C 的两个焦点为12,F F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作D 的切线与C 交于M ，N 两点，且123cos 5F NF ∠=，则C 的离心率为（）A B ．32C ．2D ．2【答案】AC【解析】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用情况一M 、N 在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过1F 作圆D 的切线切点为B ，所以1OB F N ⊥，因为123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的左支，OB a =，1OF c =，1FB b =，设12F NF α∠=，由即3cos 5α=，则4sin 5α=，235NA NF 22a a ==，21NF NF 2a-=532222a a b a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，2b e a =∴=，选A 情况二若M 、N 在双曲线的两支，因为123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的右支，所以OB a =，1OF c =，1FB b =，设12F NF α∠=，由123cos 5F NF ∠=，即3cos 5α=，则4sin 5α=，235NA NF 22a a ==，12NF NF 2a -=352222a b a a +-=，所以23b a =，即32b a =，所以双曲线的离心率2c e a ==选C[方法二]：答案回代法A e =选项特值双曲线())22121,F ,F 4x y -=∴，过1F 且与圆相切的一条直线为(y 2x =+，两交点都在左支,N ⎛∴ ⎝，2112NF 5,NF 1,FF ∴===则123cos 5F NF ∠=，C e =选项特值双曲线())2212x y 1,F ,F 49-=∴，过1F 且与圆相切的一条直线为(2y x 3=，两交点在左右两支，N 在右支，N ∴，2112NF 5,NF 9,FF ∴===则123cos 5F NF ∠=，[方法三]：依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过1F 作圆D 的切线切点为G ，若,M N 分别在左右支，因为1OG NF ⊥，且123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的右支，又OG a =，1OF c =，1GF b =，设12F NF α∠=，21F F N β∠=，在12F NF △中，有()212sin sin sin NF NF cβαβα==+，故()122sin NF NF cαββα-=+-即()sin sin sin a c αββα=+-，所以sin cos cos sin sin sin a cαβαββα=+-，而3cos 5α=，sin a c β=，cos b c β=，故4sin 5α=，代入整理得到23b a =，即32b a =，所以双曲线的离心率c e a ==若,M N 均在左支上，同理有()212sin sin sin NF NF c βαβα==+，其中β为钝角，故cos bcβ=-，故()212sin sin sin NF NF c βαβα-=-+即sin sin cos cos sin sin a cβαβαβα=--，代入3cos 5α=，sin a c β=，4sin 5α=，整理得到：1424a b a =+，故2a b =，故2e ==，故选：AC.5．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE V 的周长是________________．【答案】13【解析】∵椭圆的离心率为12c e a ==，∴2a c =，∴22223b a c c =-=，∴椭圆的方程为222222213412043x y x y c c c+=+-=，即，不妨设左焦点为1F ，右焦点为2F ，如图所示，∵222AF a OF c a c ===，，，∴23AF O π∠=，∴12AF F △为正三角形，∵过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，DE 为线段2AF 的垂直平分线，∴直线DE 的斜率为3，斜率直线DE 的方程：x c -，代入椭圆方程22234120x y c +-=，整理化简得到：221390y c --=，判别式()22224139616c c ∆=+⨯⨯=⨯⨯，∴122264613cDE y =-=⨯⨯⨯⨯=，∴138c =，得1324a c ==，∵DE 为线段2AF 的垂直平分线，根据对称性，22AD DF AE EF ==，，∴ADE V 的周长等于2F DE △的周长，利用椭圆的定义得到2F DE △周长为22221121222413DF EF DE DF EF DF EF DF DF EF EF a a a ++=+++=+++=+==.故答案为：13.6．（2022·浙江·统考高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，过F 且斜率为4ba的直线交双曲线于点()11,A x y ，交双曲线的渐近线于点()22,B x y 且120x x <<．若||3||FB FA =，则双曲线的离心率是_________．【解析】过F 且斜率为4ba 的直线:()4b AB y xc a =+，渐近线2:b l y x a=，联立()4b y x c a b y xa ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得,33c bc B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由||3||FB FA =，得5,,99c bc A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭而点A 在双曲线上，于是2222222518181c b c a a b -=，解得：228124c a =，所以离心率e 4=.故答案为：4．7．（2022·全国·统考高考真题）记双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为e ，写出满足条件“直线2y x =与C 无公共点”的e 的一个值______________．【答案】2（满足1e <≤【解析】2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，所以C 的渐近线方程为b y x a =±,结合渐近线的特点，只需02b a <≤，即224b a≤，可满足条件“直线2y x =与C 无公共点”所以==c e a 又因为1e >，所以1e <≤故答案为：2（满足1e <≤皆可）【方法技巧与总结】求离心率范围的方法一、建立不等式法：1、利用曲线的范围建立不等关系．2、利用线段长度的大小建立不等关系．12,F F 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，P 为椭圆上的任意一点，[]1,PF a c a c ∈-+；12,F F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，1PF c a ≥-．3、利用角度长度的大小建立不等关系．12,F F 为椭圆22221x y a b +=的左、右焦点，P 为椭圆上的动点，若12F PF θ∠=，则椭圆离心率e 的取值范围为sin12e θ≤<．4、利用题目不等关系建立不等关系．5、利用判别式建立不等关系．6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．7、利用基本不等式，建立不等关系．【核心考点】核心考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题【典型例题】例1．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,124ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则该椭圆的离心率e 的取值范围是（）A ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2⎝⎭C ．,23⎛ ⎝⎭D ．23⎫⎪⎪⎝⎭【答案】B【解析】由题意椭圆22221x y a b+=()00a b >>，上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，设左焦点为N ，连接AN ，BN ，因为AF ⊥BF ，所以四边形AFBN 为长方形．根据椭圆的定义：2AF AN a +=，由题∠ABF ＝α，则∠ANF ＝α，所以22cos 2sin a c c αα+＝，利用2112sin cos 4c e a πααα===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∵,124ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴342πππα<+<14πα<⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即椭圆离心率e 的取值范围是23⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，故选B .例2．（2022春·辽宁葫芦岛·高二统考期中）已知点12F F ，分别是椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的左、右焦点，点P 12PF F ∆是直角三角形的动点P 恰好有6个，则该椭圆的离心率为（）A ．12BC．2D【答案】C【解析】由题意知，椭圆的最大张角为090，所以b c =，所以a =，所以c e a ===，故应选C ．例3．（2022秋·安徽·高二校联考开学考试）若P 是以1F ，2F 为焦点的椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上的一点，且120PF PF ⋅= ，125tan 12PF F ∠=，则此椭圆的离心率为（）AB ．1517C ．1315D ．1317【答案】D【解析】因为120PF PF ⋅=，所以12PF PF ⊥，在12Rt PF F 中，设25PF m =（0m >），则112PF m =，1213F F m ==，所以213c m =，12217a PF PF m =+=，所以213217c e a ==.故选：D.核心考点二：焦点三角形顶角范围与离心率【典型例题】例4．（2022春·福建漳州·高二校联考期中）已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>），椭圆的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的任意一点，且满足120PF PF ⋅>，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．122⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由已知得1(,0)F c -，2(,0)F c ，设()00,P x y ，则()100,PF c x y =--- ，()200,PF c x y =--，因为120PF PF ⋅> ，所以()()0000,,0c x y c x y ---⋅-->，即222000c x y -++>，即22200x y c +>，因为点P 是椭圆上的任意一点，所以2200x y +表示椭圆上的点到原点的距离的平方，因为()22200minx y b +=，所以22b c >，所以222a c c ->，即2212c a <，所以2c e a ⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭，故选：B ．例5．（2022春·北京·高二人大附中校考期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，若C 上存在一点P ，使得12120F PF ︒∠=，且12F PF △，则C 的离心率的取值范围是（）A ．⎛ ⎝⎦B ．110,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．311212⎫⎪⎢⎣⎭D ．11,112⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】设12||2=F F c ，12F PF △内切圆的半径为r ．因为12||+||2PF PF a =，所以()22212121212||||||2||||(1cos1204|||)|F F PF PF PF PF a PF PF ︒=+-+=-，则212||||4PF PF b =．由等面积法可得)22211(22)4sin12022a c rb ac ︒+=⨯⨯=-，整理得)r a c =-，又12r a >故1112c a <．又12120F PF ︒∠=，所以16900F PO ︒∠≤≤则c a ≥11212e ≤<．故选：C例6．（2022春·新疆乌鲁木齐·高二乌市八中校考阶段练习）已知1F ，2F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个焦点，若存在点P 为椭圆上一点，使得1260F PF ∠=︒，则椭圆离心率e 的取值范围是（）．A ．,12⎫⎪⎪⎣⎭B ．2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．122⎡⎫⎢⎣⎭【答案】C 【解析】如图，当动点P 在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P 对两个焦点的张角12F PF ∠渐渐增大，当且仅当P 点位于短轴端点0P 处时，张角12F PF ∠达到最大值．由此可得：存在点P 为椭圆上一点，使得1260F PF ∠=︒，012P F F ∴△中，10260F P F ∠≥︒，可得02Rt P OF △中，0230OP F ∠≥︒，所以02P O ，即b ≤，其中c =2223a c c ∴-≤，可得224a c ≤，即2214c a ≥椭圆离心率ce a=，且0a c >>112e ∴≤<故选:C例7．（2022春·吉林辽源·高三辽源市第五中学校校考期中）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且ππ[,]64α∈，则该椭圆离心率e 的最大值为___________.1-【解析】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B 、F 为其右焦点，设椭圆的左焦点为N ，连接,,,AF AN BF BN ，所以四边形AFBN为长方形，根据椭圆的定义2AF AN a +=，且ABF α∠=，则ANF α∠=，所以22cos 2sin a c c αα=+，又由离心率的公式得211π2sin cos )4c e a ααα==++，由ππ[,]64α∈，则5πππ1242α≤+≤，所以112)π4α≤≤+1-.1例8．（2022春·黑龙江佳木斯·高二建三江分局第一中学校考期中）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,63ππα⎡⎤∈⎢⎣⎦，则该椭圆的离心率e 的取值范围是___________.【答案】2,312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】椭圆上点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，设左焦点为1F ，连接11AF AF BF BF ，，，，则四边形1AFF B 为矩形.根据椭圆的定义：12AF AF a ABF α+=∠=，，则1BAF α∠=.∴1||2c sin ||2cos 22cos 2AF AF c a c c sin αααα=⋅=⋅=⋅+⋅，，椭圆的离心率2112sin cos 2sin 4c e a πααα===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴51242πππα≤+≤，则2(31)sin 144πα+⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，∴213122sin()4πα≤≤-+，∴椭圆离心率e 的取值范围2312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，.故答案为：2312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，例9．（2022·高二单元测试）椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF θ∠=，且5,412ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率的取值范围为________.【答案】2623⎢⎣⎦【解析】记椭圆C 的左焦点为F '，连AF '，BF '，由椭圆的对称性和性质知BF AF '=，2AF B AFB π∠∠=='，由2AF BF a +=，可得2cos 2sin 2c c a θθ+=，得11sin cos 4c e a πθθθ===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由5,412ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得2,423πππθ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦sin 14πθ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，所以23e ≤≤.故答案为：2⎢⎣⎦.核心考点三：共焦点的椭圆与双曲线问题【典型例题】例10．（2022春·江苏苏州·高二江苏省苏州第十中学校校考阶段练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点12,,,F F P Q 分别是它们在第一象限和第三象限的交点，且260QF P ∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ，则221231e e +等于_______．【答案】4【解析】设椭圆长半轴长为1a ，双曲线实半轴长为2a ，()1,0F c -，()2,0F c ，P 为两曲线在第一象限的交点，Q 为两曲线在第三象限的交点.由椭圆和双曲线定义知：1212+=PF PF a ，1222-=PF PF a ，112PF a a ∴=+，212=-PF a a ，由椭圆和双曲线对称性可知：四边形12PF QF 为平行四边形，260QF P ∠= ，12120F PF ∴∠= ，222121212122cos F F PF PF PF PF F PF ∴=+-∠，即()()()()22222121212121243c a a a a a a a a a a =++-++-=+，22122222123314a a e e c c∴+=+=.故答案为：4.例11．（2022春·山东青岛·高二统考期末）已知椭圆1C 和双曲线2C 有共同的焦点1F ，2F ，P 是它们的一个交点，且1223F PF π∠=，记椭圆1C 和双曲线2C 的离心率分别为1e ，2e ，则2212484w e e =+的最小值为（）A ．24B ．37C ．49D ．52【答案】C【解析】设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长2a ，焦距2c ,则1212+=PF PF a ，1222-=PF PF a ，解得112=+PF a a ，212=-PF a a，如图在△F1PF2中,根据余弦定理可得：()()()22212121222cos3F F PF PF PF PF π=+-⋅，整理得2221243c a a =+，即2212314e e +=，所以()2222222112122222121231213148448437494e e w e e e e e e e e ⎛⎫=+=⨯+⨯+=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当1242e e ==时，取等号.故选:C.例12．（2022春·广西·高三校联考阶段练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点1F ，2F ，P 是它们的一个交点，且12π3F PF ∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则12e e ⋅的最小值为（）A2B ．34CD ．3【答案】A【解析】如图，设椭圆的长半轴为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，则根据椭圆及双曲线的定义：1211222,2PF PF a PF PF a +=-=，所以112212,PF a a PF a a =+=-，设122F F c =，因为12π3F PF ∠=，则在12PF F △中，由余弦定理得：22212121212π4()()2()()cos3c a a a a a a a a =++--+-，化简得：2221234a a c +=，即2212134e e +=，从而有2212134e e =+≥整理得12e e ⋅≥=（当且仅当122e e =时等号成立）故选：A.例13．（2022春·辽宁沈阳·高二沈阳市第三十一中学校考阶段练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点1F ，2F ，P 是它们的一个交点，且123F PF π∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则当121e e 取最大值时，1e ，2e 的值分别是（）A2，2B ．12C．3D．4【答案】A【解析】不妨设椭圆与双曲线的标准方程分别为：()222210x y a b a b+=>>，c =2222111x y a b -=，c =设1PF m =，2PF n =．m n >．则2m n a +=，12m n a -=，∴1m a a =+，1n a a =-．因为123F PF π∠=，所以()22221cos322m n c mnπ+-==，即()()()()22211114a a a a c a a a a ++--=+-．∴2221340a a c +-=，∴2221314e e +=，∴4≥，则121e e ≤12e =2e =时取等号．故选：A ．例14．（2022·河南洛阳·校联考模拟预测）已知椭圆1C ：()222210x y a b a b +=>>和双曲线2C ：()222210,0x y m n m n-=>>有共同的焦点1F ，2F ，P 是它们在第一象限的交点，当1260F PF ∠=︒时，1C 与2C 的离心率互为倒数，则双曲线2C 的离心率是（）ABC ．2D【答案】B【解析】设1C ，2C 的离心率分别为1e ，2e ，焦距为2c ，因为122PF PF a +=，122PF PF m -=，所以1PF a m =+，2PF a m =-，由余弦定理，得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅∠，即()()()()22242cos 60c a m a m a m a m =++--+-︒，化简，得22243c a m =+，两边同除以2c ，得2212134e e =+.又121e e =，所以222234=+e e .又21e >，所以2e =.故选：B核心考点四：椭圆与双曲线的4a 通径体【典型例题】例15．（2022·广西南宁·南宁市第八中学校考一模）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 且与x 轴垂直的直线交椭圆于,A B 两点，直线2AF 与椭圆的另一个交点为C ，若222=AF F C ，则椭圆的离心率为（）ABCD【答案】A【解析】过点C 作CD x ⊥轴于D ，则122~ AF F CDF ，由222=AF F C ，则122||2||=F F F D ，12AF CD =，所以点22,2⎛⎫⎪⎝⎭b C c a ，由点C 在椭圆上，所以有222222(2)1b ac a b ⎛⎫⎪⎝⎭+=，即225c a =，所以e ==c a 故选：A.例16．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左､右焦点分别为1F ，2F ，过2F 直线与椭圆C 交于M ，N 两点，设线段1NF 的中点D ，若10MD NF ⋅=，且12//MF DF，则椭圆C 的离心率为（）A ．13BC ．12D【答案】B【解析】因为10MD NF ⋅=，所以1MD NF ⊥，又D 是1NF 中点，所以1MF MN =，因为12//MF DF，所以2F 是MN 中点，则22MF NF =，因此MN x ⊥轴，设2MF m =，则12MF m =，1232MF MF m a +==，23a m =，在12MF F △中，由勾股定理得22242(((2)33m m c +=，变形可得3c e a ==．故选：B ．例17．（2022春·云南·高三校联考阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点为1F ，2F ，过1F 且垂直于x 轴的直线交C 于M ，N 两点，若22MF NF ⊥，则C 的离心率为（）A 1+B ．2CD【答案】A【解析】由题可得:MN x c =-，代入双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，解得2b y a=±，又22MF NF ⊥，∴112F M F F =，即22bc a=，222c a ac ∴-=，2210e e ∴--=，1e ∴=1e > ，1e ∴.故选：A例18．（2022春·江苏宿迁·高三校考阶段练习）如图，已知A ，B ，C 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上的三个点，AB 经过原点O ，AC 经过右焦距F ，若BF AC ⊥且2CF FA =，则该双曲线的离心率等于_____．【答案】3【解析】若E 是左焦点，连接,,AE BE EC ，设||BF m =，||AF n =，∴由双曲线的对称性且BF AC ⊥知：AEBF 是矩形，则||AE m =，||BE n =，又2CF FA =，即||2FC n =，则||2||22EC a FC a n =+=+，∴在Rt EAC △中，222||||||AE AC EC +=，即22294()m n a n +=+，而2m n a -=，∴23an =，83a m =，∵在Rt EAF V 中，2224m n c +=，即226849a c =，可得3e =..核心考点五：椭圆与双曲线的4a 直角体【典型例题】例19．（2022春·福建福州·高二福建省福州格致中学校考阶段练习）已知1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点，过1F l ，l 分别交y 轴和双曲线右支于点M ，P ，且212F F PM F M -=uuu u r uuu r uuuu r，则E 的离心率为______.【答案】2【解析】因为212F F PM F M -=uuu u r uuu r uuuu r ，所以1MF PM =uuu r uuu r，即M 为1PF 的中点.又O 为1F 2F 的中点，所以OM 为中位线.所以2//OM PF ,即2PF x ⊥轴.因为直线l 过1F 122F F c =，所以212PF F ==,11224PF F F c ==.由双曲线的定义可得：122PF PF a -=,即42c a -=，解得：2c a ==心率为2e =故答案为：2例20．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别交于A 、B 两点，A 是1F B 的中点，且12F B F B ⊥，则双曲线C 的离心率e =（）AB ．2CD1【答案】B【解析】 A 是1F B 的中点，AO ∴为△12F F B 的中位线，12F B F B ⊥，所以1OA F B ⊥，所以1OB F O c ==．设1(B x ，1)y ，2(A x ，2)y ，点B 在渐近线by x a=上，∴2221111x y c b y x a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得11x a y b =⎧⎨=⎩．又A 为1F B 的中点，∴2222c a x b y -+⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，A 在渐近线by x a=-上，∴22b b a c a -=-⋅，得2c a =，则双曲线的离心率2c e a==．故选：B例21．（2022·天津·统考一模）设12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，O 为坐标原点，过左焦点1F 作直线1F P 与圆222x y a +=切于点E ，与双曲线右支交于点P ，且满足()112OE OP OF =+，OE =()A ．221612x y -=B ．22169x y -=C ．22136x y -=D ．221312x y -=【答案】D【解析】∵E 为圆222x y a +=上的点，OE a ∴==()112OE OP OF =+，∴E 是1PF 的中点，又O 是12F F 的中点，222PF OE a ∴===，且2//PF OE ，又12124PF PF a PF a -==∴==1PF 是圆的切线，121,OE PF PF PF ∴⊥∴⊥，又222222212122460,15,12F F c c PF PF c b c a =∴=+=∴=∴=-=，，∴双曲线方程为221312x y -=．故选：D例22．（2022·四川广元·统考三模）设1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，且120AF AF ⋅= ，222AF F B =，则椭圆E 的离心率为（）A ．23B ．34C D 【答案】C【解析】因为222AF F B =，不妨令()22220B AF F m m ==>，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，由椭圆的定义可得，122AF AF a +=，122BF BF a +=，则12BF a m =-，122AF a m =-，又120AF AF ⋅=，所以12AF AF ⊥，则12AF F △和1AF B △都是直角三角形，则22211AF AB BF +=，即()()2222292a m m a m -+=-，解得3a m =，所以143AF a =，223AF a =，又122F F c =，2221212AF AF F F +=，所以222164499a a c +=，因此2259c a =，所以椭圆E 的离心率为c a =故选：C.例23．（2022春·江西抚州·高二江西省临川第二中学校考阶段练习）如图，已知1F ，2F 为双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F ，2F 分别作直线1l ，2l 交双曲线E 于A ，B ，C ，D 四点，使得四边形ABCD 为平行四边形，且以AD 为直径的圆过1F ，11DF AF =，则双曲线E 的离心率为（）A BC ．52D ．2【答案】D【解析】设11DF AF x ==，则22DF x a =-，由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知：21CF AF x ==，连接1CF ，则有1222CF CF x a =+=+，2222DC DF CF x a=+=-由于1F 在以AD 为直径的圆周上，11DF AF ∴⊥，∵ABCD 为平行四边形，//AB CD ，1DF DC ∴⊥，在直角三角形1CDF 中，22211CF DF CD =+，()()222222x a x x a +=+-，解得：3x a =，123,DF a DF a ==；在直角三角形12F F D 中，2221212DF DF F F +=，()()22232a a c +=，得2252a c =，c e a =，故选：D.核心考点六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题【典型例题】例24．（2022春·陕西西安·高二期末）设1F ，2F 是椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，过点()2,0F c 且倾斜角为60°的直线l 与直线2a x c=相交于点P ，若12PF F △为等腰三角形，则椭圆E 的离心率e 的值是（）A2B ．13C．3D．2【答案】A【解析】直线l的方程为)y x c =-，由)2y x c a x c ⎧=-⎪⎨=⎪⎩解得2y c =，则2a P c ⎛ ⎝⎭，由于12PF F △为等腰三角形，所以21cos 6022a c c c -︒==，222212,,22c c a c a a ===.故选：A例25．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线22221x y a b-=的左焦点为1F ，过1F 作一倾斜角为15 的直线交双曲线右支于P 点，且满足1POF △（O 为原点）为等腰三角形，则该双曲线离心率e 为（）A．e =B ．2e =C．e =D．12e =【答案】C【解析】记右焦点为2F ，由题意知，1215PF F ∠=，且1POF △为等腰三角形，则只能是1OF OP =，所以212230POF PF F ∠∠==，OP c =，所以直线OP的方程为y x =，由2222331y x x y a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，得2222222222333P Pa b x b a a b y b a ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩所以222222222333a b a b c b a b a+=--，整理，得42243840c a c a -+=，即423840e e -+=，解得22e =或23（舍去），所以2e =．故选：C ．例26．（2022·河南鹤壁·鹤壁高中校考模拟预测）已知12F F 、是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点，点P 为抛物线28(0)y ax a =->准线上一点，若12F PF △是底角为15︒的等腰三角形，则椭圆的离心率为（）A ．31-B ．21-C ．312-D ．212-【答案】A【解析】如图，抛物线的准线与x 轴的交点为M因为12,F F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点，所以12(,0),(,0)F c F c -抛物线28(0)y ax a =->准线为：直线2x a =，所以(2,0)M a 因为12F PF △是底角为15︒的等腰三角形，则1212==15PF F F PF ∠∠︒则22122=30,==2PF M F F PF c ∠︒则222223cos ===22F M a c PF M PF c -∠，整理得：2=(3+1)a c 所以离心率23131c e a==+.故答案为：A.例27．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点为12,F F ，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（）A ．111,,1322⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．110,,132⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】法一：显然，P 是短轴端点时，12PF PF =，满足12F F P 为等腰三角形，因此由对称性，还有四个点在四个象限内各有一个，设(,)P x y 是第一象限内使得12F F P 为等腰三角形的点，若112PF F F =，则222212x y a b c ⎧+=⎪=，又222a b c =+，消去y 整理得：222224240c x a cx a c a +-+=，解得22a ac x c --=(舍去)或22a acx c -+=，由0x a <<得220a aca c-+<<，所以112c a <<，即112e <<，若212PF F F =，则222212x y a b c ⎧+=⎪=，又222a b c =+，消去y 整理得：222224240c x a cx a c a --+=，解得22a ac x c -=或22a ac x c +=，22a aca c +>舍去．所以220a aca c-<<，所以1132c a <<，即1132e <<，12e =时，2a c =，12PF F △是等边三角形，P 只能是短轴端点，只有2个，不合题意．综上，e 的范围是111(,)(,1)322⋃．法二：①当点P 与短轴的顶点重合时，12F F P 构成以12F F 为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的12F F P ；②当12F F P 构成以12F F 为一腰的等腰三角形时，根据椭圆的对称性，只要在第一象限内的椭圆上恰好有一点P 满足12F F P 为等腰三角形即可，则1122PF F F c ==或2122PF F F c ==当12PF c =时，则2c a >，即12c e a =>，则112e <<，当22PF c =时，则有22c a c c a>-⎧⎨<⎩，则1132e <<，综上所述，椭圆的离心率取值范围是111,,1322⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A.核心考点七：双曲线的4a 底边等腰三角形【典型例题】例28．（2022·全国·高三专题练习）已知1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点，过点1F作斜率为2的直线l 与双曲线的左，右两支分别交于M ，N 两点，以2F 为圆心的圆过M ，N ，则双曲线C 的离心率为（）ABC ．2D【答案】B【解析】取MN 中点A ，连AF 2，由已知令22||||MF NF m ==，则2AF MN ⊥，如图：因点M ，N 为双曲线左右两支上的点，由双曲线定义得12||||22MF MF a m a =-=-，12||||22NF NF a m a =+=+，则11||||||4,||2MN NF MF a MA a =-==，令双曲线半焦距为c ，12Rt AF F △中，12||,||AF m AF =2Rt AMF中，2||AF=22222m a c =+，因直线l的斜率为2，即12tan 2AF F ∠=，而2121||tan ||AF AF F AF ∠=，即21||||AF AF =，2221||1||2AF AF =，于是有2222221222c a c a -=+，c =，==c e a ，所以双曲线C故选：B例29．（2022·全国·高三专题练习）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左､右焦点分别为12,F F ，过点1Fl 与双曲线C 的左､右两支分别交于,M N 两点，且()220F M F N MN +⋅=，则双曲线C 的离心率为（）ABCD ．2【答案】A【解析】如图，设D 为MN 的中点，连接2F D .易知2222F M F N F D +=，所以()22220F M F N MN F D MN +⋅=⋅= ，所以2F D MN ⊥.因为D 为MN 的中点，所以22F M F N =.设22F M F N t ==，因为212MF MF a -=，所以12MF t a =-.因为122NF NF a -=，所以12NF t a =+.所以114MN NF MF a =-=.因为D 是MN 的中点，11F D F M MD =+，所以12,MD ND a F D t ===.在Rt 12F F D中，2F D =；在Rt 2MF D中，2F D ==22222t a c =+.所以21F D F D t ===因为直线l所以2121tan F D DF F F D ∠===，所以2222221,23c a c a a c -==+，c =，所以离心率为ca=故选：A核心考点八：焦点到渐近线距离为b 【典型例题】例30．（2022·全国·模拟预测）设1F ，2F 分别是双曲线C ：()222210,0x ya b a b-=>>的左､右焦点，O 为坐标原点，过右焦点2F 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为A .若12212AF F S OF =△，则双曲线C 的离心率为（）AB ．2C D 【答案】D【解析】根据对称性，不妨取双曲线C 的一条渐近线的方程为by x a=，即0bx ay -=，点()2,0F c b =.因为2OF c =，所以AO a =，所以122124422AF F AOF S S ab ab ==⨯=△△.由题意知2222ab c a b ==+，所以a b =，离心率e ==，故选：D.例31．（2022·全国·高三专题练习）设1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x yC a b a b-=>>的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1||||PF OP ，则C 的离心率为（）AB ．2CD【答案】B【解析】不妨设双曲线的一条渐近线方程为b y x a=，则2b c a PF b ⨯==，2OF c =，PO a ∴=，1|||PF OP ==在2Rt POF △中，222cos PF b PF O OF c∠==，在12Rt PF F 中，22221212212cos 2PF F F PF b PF O PF F F c∠+-==，b c=，即224c a =，e=2，故选：B ．例32．（2022·全国·高三专题练习）设1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b u b -=>>的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P，若1PF ，则C 的离心率为（）A．B ．2CD【答案】C【解析】双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线为b y x a =±，焦点()2,0F c 到直线b y x a=的距离d b ==，所以2PF b =，由勾股定理得OP a =，所以2cos a POF c ∠=，在1POF △中，()122cos cos cos aPOF POF POF cπ∠=-∠=-∠=-，因为1PF 由余弦定理可得22211112cos PF OP OF OP OF POF =+-⋅∠，即)2222a a c ac c ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，即222a c =，所以离心率c e a ==故选：C例33．（多选题）（2022秋·广东·高二校联考阶段练习）过双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的右焦点F 引C 的一条渐近线的垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B ．若FB AF λ=，23λ≤≤，则C 的离心率可以是（）A B C ．2D ．2【答案】BC【解析】右焦点(c,0)F ，设一渐近线OA 的方程为b y x a=，则另一渐近线OB 的方程为b y x a=-，由FA 与OA 垂直可得FA 的方程为()a y x c b=--，联立方程2222()b y x a c a ax a a b c y x c b ⎧=⎪⎪⇒==⎨+⎪=--⎪⎩，可得A 的横坐标为2a c，联立方程()2222222b y x a c ca ax a a b a c y x c b ⎧=-⎪⎪⇒==⎨--⎪=--⎪⎩可得B 的横坐标为2222ca a c-．因为FB AF λ= ，所以()2222222222()22c c a ca a c a c c a c c a c cλλ---=-⇒=⨯--，可得2222222c e a c e λ==--，因为23λ≤≤，所以22322e e ≤-≤，即22222340432*******2e e e e e e ⎧-≥⎪⎪-⇒≤≤⇒≤⎨-⎪≤⎪-⎩，BC 满足题意，AD 不合题意，故选：BC.核心考点九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形【典型例题】例34．（2022·陕西西安·西安中学校考模拟预测）已知双曲线:C 22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线l ，垂足为H ，直线l 与双曲线C 的左支交于E 点，且H 恰为线段2EF 的中点，则双曲线C 的离心率为（）ABC ．2D【答案】D【解析】连结1EF ，因为点,O H 分别为12F F 和2EF 的中点，所以1//OH EF ，且12EF EF ⊥设点()2,0F c 到一条渐近线by x a=的距离d b ==，所以22EF b =，又212EF EF a -=，所以122EF b a =-，12Rt EF F 中，满足()2222244b a b c -+=，整理为：2b a =，双曲线的离心率ce a===故选：D例35．（2022秋·安徽·高二校联考期中）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，以1OF 为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M （异于坐标原点O ），若线段1MF 交双曲线于点P ，且2//MF OP 则该双曲线的离心率为（）ABCD【答案】A【解析】不妨设渐近线的方程为by x a=-，因为2//MF OP ，O 为12F F 的中点，所以P 为1MF 的中点，将直线OM ，1MF 的方程联立()b y x aa y x cb ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，可得2,a ab M c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又()1,0F c -，所以2,22a c cab P c ⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪ ⎪⎝⎭即22,22a c ab P c c ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，又P 点在双曲线上，所以()2222222144c ac a a c+-=，解得c a =故选：A.例36．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左焦点为1F ，过点1F 的直线与两条渐近线的交点分别为M N 、两点(点1F 位于点M 与点N 之间)，且112MF F N =，又过点1F 作1F P OM ⊥于P (点O 为坐标原点)，且||||ON OP =，则双曲线E 的离心率e =（）ABCD ．62【答案】C【解析】不妨设M 在第二象限，N在第三象限，如下图所示：因为ON OP =，11F OP F ON ∠=∠，所以11F OP F ON ≅ ，所以1190F PO F NO ∠=∠=︒，11F P F N =，又()1:,,0OM bl y x F c a=--，所以11F F N b ==，所以ON OP a ==，所以1122MF F N b ==，因为113tan ,tan tan 2b b F OP MON F OP a a∠=∠=∠=，所以22231bba b a a =-，所以222222113b c a e a a -==-=，所以e =故选：C.例37．（2022·全国·统考模拟预测）设F 是双曲线22221(0)x y b a a b-=>>的一个焦点，过F 作双曲线的一条渐近线的垂线，与两条渐近线分别交于,P Q 两点．若2FP FQ =，则双曲线的离心率为（）A BC ．2D ．5【答案】C【解析】不妨设(,0)F c -，过F 作双曲线一条渐近线的垂线方程为()ay x c b=+，与b y x a =-联立可得2a x c =-；与b y x a =联立可得222a cx b a=-，∵2FP FQ = ，∴22222a ca c cb ac ⎛⎫+=-+ ⎪-⎝⎭，整理得，22222c b a =-，即224c a =，∵1e >，∴2e =．故选：C ．核心考点十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题【典型例题】例38．（2022春·四川宜宾·高二四川省宜宾市第四中学校校考阶段练习）已知F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为,M N ，若0OM MF ⋅= ，||MN b =，则C 的离心率为________.【答案】2【解析】因为0OM MF ⋅= ，所以OM MF ⊥，即⊥OM MF所以MF 为点(),0F c 到渐近线0bx ay -=的距离，bcMF b c===，所以MF MN b ==，可得点M 为NF 的中点，又因为⊥OM MF ，所以ON OF c ==，所以222OM c b a =-=，设双曲线的左焦点为1F ，1F ON θ∠=，(),N x y 则()tan tan tan b FON FON aθπ=-∠=-∠=，因为222c a b =+，所以cos a c θ=，sin b cθ=所以cos a x ON c a c θ=-=-⋅=-，sin by ON c b cθ==⋅=，所以(),N a b -，因为M 为NF 中点，所以,22a M c b -⎛⎫⎪⎝⎭，222222c a b OMa -⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将222b c a =-代入整理可得：()22224c a c a a -+-=即222240c ac a --=，所以220e e --=，可得()()210e e -+=，解得：2e =或1e =-（舍），故答案为：2例39．（2022·山西运城·统考模拟预测）已知双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为1F ，过点1F 的直线与两条渐近线的交点分别为M ，N 两点（点1F 位于点M 与点N 之间），且13MN F N =，又过点1F 作1F P OM ⊥于P （点О为坐标原点），且ON OP =，则双曲线E 的离心率e 为__________.【解析】双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，如图所示，设11,b M x x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，22,b N x x a ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,0F c -，。

双曲线(知识点讲解)高考数学一轮复习(新教材新高考)(解析版)

专题9.4 双曲线（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.考查双曲线的定义，求轨迹方程及焦点三角形，凸显数学运算、直观想象的核心素养．2.考查双曲线几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)，结合几何量的计算，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．3.考查直线与双曲线的位置关系，凸显逻辑推理、数学运算、数学应用的核心素养．【知识点展示】（一）双曲线的定义及标准方程1．双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线(1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；(3)这一定值一定要小于两定点的距离．2．双曲线的标准方程标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 图形（二）双曲线的几何性质双曲线的几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 图形性质范围 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈Rx ∈R ，y ≤－a 或y ≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0) A 1(0，－a )，A 2(0，a ) 渐近线y ＝±b axy ＝±a bx离心率 e ＝ca，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2 实虚轴线段A 1A 2叫作双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫作双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫作双曲线的实半轴长，b 叫作双曲线的虚半轴长．a 、b 、c 的关系c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)（三）常用结论 1.等轴双曲线及性质(1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程可写作：x 2－y 2＝λ(λ≠0)． (2)等轴双曲线⇔离心率e ＝2⇔两条渐近线y ＝±x 相互垂直． 2．双曲线中的几个常用结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .(2)若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a . (3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2a，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .(4)设P ，A ，B 是双曲线上的三个不同的点，其中A ，B 关于原点对称，直线P A ，PB 斜率存在且不为0，则直线P A 与PB 的斜率之积为b 2a2.(5)P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则S △PF 1F 2＝b 2·1tan θ2，其中θ为∠F 1PF 2.【常考题型剖析】题型一：双曲线的定义及其应用例1.（2020·浙江省高考真题）已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y =234x -|OP |=（）A ．222B 410C 7D 10【答案】D 【解析】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413bc a=-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P 还在函数234y x =-由()22210334y x x y x ⎧⎪⎨->-==⎪⎩，解得1333x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即13271044OP =+= 故选：D.例2.（2017·上海·高考真题）设双曲线22219x y b -=(0)b >的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若1||5PF =，则2||PF =________ 【答案】11【详解】由双曲线的方程2221(0)9x y b b -=>，可得3a =，根据双曲线的定义可知1226PF PF a -=±=±，又因为15PF =，所以2||11PF =. 【总结提升】1.双曲线定义的主要应用(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．2.用定义法求双曲线方程，应依据条件辨清是哪一支，还是全部曲线． 3．与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解．4．如果题设条件涉及动点到两定点的距离，求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解．题型二：双曲线的标准方程例3.（2021·北京高考真题）双曲线2222:1x y C a b -=过点2,3，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（） A ．2221x y -= B ．2213y x -=C ．22531x y -=D ．22126x y -=【答案】B 【分析】分析可得3b a =，再将点2,3代入双曲线的方程，求出a 的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2c e a ==，则2c a =，223b c a a -=，则双曲线的方程为222213x y a a-=，将点2,3的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==，解得1a =，故3b =因此，双曲线的方程为2213y x -=.故选：B例4. （2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的上、下焦点分别为()10,3F ，()20,3F -，P 是双曲线上一点且124PF PF -=，则双曲线的标准方程为（） A ．22145x y -=B ．22154x y -=C ．22145y x -=D ．22154y x -=【答案】C【分析】设双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b -=>>，由双曲线的定义知3c =，2a =，即可求出双曲线的标准方程.【详解】设双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b -=>>，半焦距为c ，则由题意可知3c =，24a =，即2a =，故222945b c a =-=-=，所以双曲线的标准方程为22145y x -=.故选：C ．例5.【多选题】（2020·海南·高考真题）已知曲线22:1C mx ny +=.（） A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m =n >0，则C n C ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为my x n=±- D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线【答案】ACD【分析】结合选项进行逐项分析求解，0m n >>时表示椭圆，0m n =>时表示圆，0mn <时表示双曲线，0,0m n =>时表示两条直线.【详解】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n +=，因为0m n >>，所以11m n<，即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n+=，此时曲线C 表示圆心在原点，半径为nn的圆，故B 不正确；对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n +=，此时曲线C 表示双曲线，由220mx ny +=可得my x n=±-，故C 正确；对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n=， ny n=±，此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确；故选：ACD. 【规律方法】1．求双曲线方程的思路(1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x 轴上或y 轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a ，b ，c 的方程组，解出a 2，b 2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)． (2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一是分类讨论，注意考虑要全面；二是注意巧设双曲线：①双曲线过两点可设为221(0)mx ny mn -=>，②与22221x y a b -=共渐近线的双曲线可设为2222(0)x y a bλλ-=≠，（3）等轴双曲线可设为22(0)x y λλ-=≠等，均为待定系数法求标准方程.2．利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤如下：(1)定位置：根据条件判定双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，不能确定时应分类讨论．(2)设方程：根据焦点位置，设方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，焦点不定时，亦可设为mx 2＋ny 2＝1(m ·n <0)；(3)寻关系：根据已知条件列出关于a 、b (或m 、n )的方程组；(4)得方程：解方程组，将a 、b 、c (或m 、n )的值代入所设方程即为所求． 3．双曲线方程的几种形式：(1)双曲线的一般方程：当ABC ≠0时，方程Ax 2＋By 2＝C可以变形为x 2C A ＋y 2C B＝1，由此可以看出方程Ax 2＋By 2＝C 表示双曲线的充要条件是ABC ≠0，且A ，B 异号．此时称方程Ax 2＋By 2＝C 为双曲线的一般方程．利用一般方程求双曲线的标准方程时，可以将其设为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，将其化为标准方程，即x 21A ＋y 21B＝1.因此，当A >0时，表示焦点在x 轴上的双曲线；当B >0时，表示焦点在y 轴上的双曲线．(2)共焦点的双曲线系方程：与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共焦点的双曲线的方程为x 2a 2＋λ－y 2b 2－λ＝1(a >0，b >0)；与双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共焦点的双曲线的方程为y 2a 2＋λ－x 2b 2－λ＝1(a >0，b >0)．题型三：双曲线的实际应用例6.（2023·全国·高三专题练习）江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在x 轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是（）A ．221169x y -=B ．2214x y -=C ．22189x y -=D ．22143x y -=【答案】D【分析】由已知得双曲线的焦点在x 轴上，设该双曲线的方程为()222210,0x y a b a b -=>>，代入建立方程组，求解即可得双曲线的标准方程．【详解】由题意可知该双曲线的焦点在x 轴上，实轴长为4，点()4,3在该双曲线上．设该双曲线的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则222224,431,a a b =⎧⎪⎨-=⎪⎩解得2a =，3b =，故该双曲线的标准方程是22143x y -=．故选：D.例7.（2021·长丰北城衡安学校高二月考（理））如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐⋅金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线2222:x y C a b-=1(a >0，b >0)的右支与y 轴及平行于x 轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN 绕y 轴旋转一周103239，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为（）A ．2B ．3πC ．3D ．4π【分析】103239，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，可设5339(2),()M m N m ，代入方程，即可解得23,3a a == 3，从而得解. 【详解】103239，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，可设5339(2),()M m N m 代入双曲线方程可得 22222225134331,1m m a b a b -=-= ，即22222213251312,14m m a b a b-=-=，作差可得2273124a =，解得23,3a a ==，所以杯身最细处的周长为23π . 故选：C 【总结提升】解答实际应用问题时，要注意先将实际问题数学化，条件中有两定点，某点与这两定点的距离存在某种联系，解题时先画出图形，分析其关系，看是否与椭圆、双曲线的定义有关，再确定解题思路、步骤．题型四已知双曲线的方程，研究其几何性质例8.（2018·浙江·高考真题）双曲线221 3x y -=的焦点坐标是（）A ．()2,0-，)2,0B ．()2,0-，()2,0C ．(0,2-，(2D ．()0,2-，()0,2【分析】根据双曲线方程确定焦点位置，再根据222c a b =+求焦点坐标.【详解】因为双曲线方程为2213x y -=，所以焦点坐标可设为(,0)c ±，因为222314,2c a b c =+=+==，所以焦点坐标为(20)，选B.例9.（2021·全国高考真题（文））双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为________． 5【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解. 【详解】由已知，22543c a b ++，所以双曲线的右焦点为(3,0)，所以右焦点(3,0)到直线280x y +-=225512==+ 5例10.（2020·北京·高考真题）已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________．【答案】 ()3,0 3【分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线C 的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.【详解】在双曲线C 中，6a =，3b =，则223c a b =+=，则双曲线C 的右焦点坐标为()3,0，双曲线C 的渐近线方程为22y x =±，即20x y ±=，所以，双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为23312=+. 故答案为：()3,0；3.例11.（2021·全国·高考真题（理））已知双曲线22:1(0)x C y m m -=>30x my +=，则C 的焦距为_________．【答案】4【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出,a b 的关系，再结合双曲线中22,a b 对应关系，联立求解m ，再由关系式求得c ，即可求解.【详解】由渐近线方程30x my +=化简得3y x m=-，即3b a m =，同时平方得2223b a m =，又双曲线中22,1a m b ==，故231m m=，解得3,0m m ==（舍去），2223142c a b c =+=+=⇒=，故焦距24c =. 故答案为：4.例12.（2021·全国·高考真题）若双曲线22221x y a b -=的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________.【答案】3y x =±【分析】根据离心率得出2c a =，结合222+=a b c 得出,a b 关系，即可求出双曲线的渐近线方程. 【详解】解：由题可知，离心率2ce a ==，即2c a =，又22224a b c a +==，即223b a =，则3ba=，故此双曲线的渐近线方程为3y x =±. 故答案为：3y x =±. 【总结提升】1.已知双曲线方程讨论其几何性质，应先将方程化为标准形式，找出对应的a 、b ，利用c 2＝a 2＋b 2求出c ，再按定义找出其焦点、焦距、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．2．画双曲线图形，要先画双曲线的两条渐近线(即以2a 、2b 为两邻边的矩形对角线)和两个顶点，然后根据双曲线的变化趋势，就可画出双曲线的草图．3．双曲线的标准方程中对a 、b 的要求只是a ＞0，b ＞0易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同．若a ＞b ＞0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)；若a ＝b ＞0，则双曲线的离心率e ＝2；若0＜a ＜b ，则双曲线的离心率e ＞ 2.4．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a 、b 、c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.5．等轴双曲线的离心率与渐近线关系双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)． 6．双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b 7．渐近线与离心率()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线的斜率为2222221b b c a e a a a-===-可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．8.与双曲线有关的范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接转化求解．(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系，如借助双曲线上点的坐标范围，方程中Δ≥0等来解决．题型五由双曲线的性质求双曲线的方程例11. （2022·天津·高考真题）已知抛物线21245,,y x F F =分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点1F ，与双曲线的渐近线交于点A ，若124F F A π∠=，则双曲线的标准方程为（）A ．22110x y -=B ．22116y x -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=【答案】C【分析】由已知可得出c 的值，求出点A 的坐标，分析可得112AF F F =，由此可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】抛物线245y x =的准线方程为5x =-，则5c =，则()15,0F -、()25,0F ，不妨设点A 为第二象限内的点，联立b y x a x c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，可得x c bc y a =-⎧⎪⎨=⎪⎩，即点,bc A c a ⎫⎛- ⎪⎝⎭，因为112AF F F ⊥且124F F A π∠=，则12F F A △为等腰直角三角形，且112AF F F =，即2=bc c a ，可得2ba=，所以，22225ba c c ab ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得125a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，因此，双曲线的标准方程为2214y x -=.故选：C.例12.（2021·北京·高考真题）若双曲线2222:1x y C a b -=离心率为2，过点2,3，则该双曲线的方程为（）A ．2221x y -= B ．2213y x -=C ．22531x y -=D ．22126x y -=【答案】B【分析】分析可得3b a =，再将点()2,3代入双曲线的方程，求出a 的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2c e a ==，则2c a =，223b c a a =-=，则双曲线的方程为222213x y a a-=，将点()2,3的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==，解得1a =，故3b =，因此，双曲线的方程为2213y x -=.故选：B例13.（2018·天津高考真题（文））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d +=则双曲线的方程为( )A ．22139x y -=B ．22193x y -=C ．221412x y -=D ．221124x y -=【答案】A 【解析】设双曲线的右焦点坐标为(),0F c （c >0），则A B x x c ==，由22221c y a b-=可得：2b y a =±，不妨设：22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，据此可得：22122bc b bc b d c a b --==+，22222bc b bc b d c a b++==+，则12226bcd d b c+===，则23,9b b ==，双曲线的离心率：2229112c b e a a a ==+=+=，据此可得：23a =，则双曲线的方程为22139x y -=.本题选择A 选项. 【规律总结】1.由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法，同样需要经历“定位→定式→定量”三个步骤．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)，从而直接求得．2．根据双曲线的渐近线方程可设出双曲线方程．渐近线为y ＝n m x 的双曲线方程可设为：x 2m 2－y 2n 2＝λ(λ≠0)；如果两条渐近线的方程为Ax ±By ＝0，那么双曲线的方程可设为A 2x 2－B 2y 2＝m (m ≠0)；与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．题型六求双曲线的离心率(或范围)例13.（2019·全国·高考真题（文））设F 为双曲线C ：22221x y a b -=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为（） A 2B 3C ．2 D 5【答案】A【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率．【详解】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==，||,2c PA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A ∴为圆心||2cOA =．,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．2e ∴=，故选A ．例14.（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·高三开学考试）双曲线2222:1x y C a b -=（0a >，0b >）的左顶点为A ，右焦点为F ，过点A 的直线交双曲线C 于另一点B ，当BF AF ⊥时满足2AF BF >，则双曲线离心率e 的取值范围是（） A ．12e << B ．312e <<C ．322e << D ．331e +<<【答案】B 【分析】设双曲线半焦距c ，再根据给定条件求出|BF |长，列出不等式即可得解. 【详解】设双曲线半焦距为c ，因BF AF ⊥，则由22221x c x ya b =⎧⎪⎨-=⎪⎩得2||||b y B a F ==，而AF a c =+，于是得22b a c a +>⋅，即222c a a c a-+>⋅，整理得23a c >，从而有32c e a =<，又1e >，所以双曲线离心率e 的取值范围是312e <<. 故选：B例15.（2022·浙江·高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F ，过F 且斜率为4b a的直线交双曲线于点()11,A x y ，交双曲线的渐近线于点()22,B x y 且120x x <<．若||3||FB FA =，则双曲线的离心率是_________．【答案】364【分析】联立直线AB 和渐近线2:bl y x a=方程，可求出点B ，再根据||3||FB FA =可求得点A ，最后根据点A 在双曲线上，即可解出离心率．【详解】过F 且斜率为4ba 的直线:()4b AB y xc a =+，渐近线2:b l y x a=，联立()4b y x c a b y xa ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得,33c bc B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由||3||FB FA =，得5,,99c bc A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭而点A 在双曲线上，于是2222222518181c b c a a b -=，解得：228124c a =，所以离心率36e 4=. 故答案为：364．例16.（2020·全国·高考真题（文））设双曲线C ：22221x y a b -= (a >0，b >0)的一条渐近线为y 2，则C 的离心率为_________．【答案】3【分析】根据已知可得2ba=，结合双曲线中,,a b c 的关系，即可求解. 【详解】由双曲线方程22221x y a b -=可得其焦点在x 轴上，因为其一条渐近线为2y x =，所以2b a =，2213c be a a==+=.故答案为：3 1.在解析几何中，求“范围”问题，一般可从以下几个方面考虑：①与已知范围联系，通过求值域或解不等式来完成；②通过判别式Δ求解；③利用点在双曲线内部形成的不等关系求解；④利用解析式的结构特点，如a ，a ，|a |等非负性求解．2.求双曲线离心率的取值范围，关键是根据题目条件得到不等关系，并想办法转化为关于a ，b ，c 的不等关系，结合c 2＝a 2＋b 2和ca ＝e 得到关于e 的不等式，然后求解．在建立不等式求e 时，经常用到的结论：双曲线上一点到相应焦点距离的最小值为c －a .双曲线的离心率常以双曲线的渐近线为载体进行命题，注意二者参数之间的转化．3.与双曲线离心率、渐近线有关问题的解题策略(1)双曲线的离心率e ＝c a是一个比值，故只需根据条件得到关于a ，b ，c 的一个关系式，利用b 2＝c 2－a 2消去b ，然后变形成关于e 的关系式，并且需注意e ＞1.(2)双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的渐近线是令22220x y a b-=，即得两渐近线方程x a ±y b ＝0.(3)渐近线的斜率也是一个比值，可类比离心率的求法解答．注意应用21c b e a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭题型七：与双曲线有关的综合问题例17.（2022·江西·丰城九中高三开学考试（文））已知12,F F 分别为双曲线22:1412x y C -=的左､右焦点，E 为双曲线C 的右顶点.过2F 的直线与双曲线C 的右支交于,A B 两点（其中点A 在第一象限），设,M N 分别为1212,AF F BF F 的内心，则ME NE -的取值范围是（）A ．4343,∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．4343⎛ ⎝⎭C ．3333⎛ ⎝⎭D ．55⎛ ⎝⎭【答案】B【分析】由内心的性质，可知M ，N 的横坐标都是a ，得到MN ⊥x 轴，设直线AB 的倾斜角为θ，有22,22-∠=∠=EF M EF N πθθ，将ME NE -表示为θ的三角函数，结合正切函数的性质可求得范围.【详解】设1212,,AF AF F F 上的切点分别为H ､I ､J ，则1122||||,,===AH AI F H F J F J F I .由122AF AF a -=，得()()12||||2+-+=AH HF AI IF a ， ∴122-=HF IF a ，即122-=JF JF a .设内心M 的横坐标为0x ，由JM x ⊥轴得点J 的横坐标也为0x ，则()()002c x c x a +--=，得0x a =，则E 为直线JM 与x 轴的交点，即J 与E 重合. 同理可得12BF F △的内心在直线JM 上，设直线AB 的领斜角为θ，则22,22-∠=∠=EF M EF N πθθ，||||()tan()tan22--=---ME NE c a c a πθθcos sin 2cos 222()()()sin tan sin cos 22⎛⎫ ⎪=-⋅-=-=-⎪ ⎪⎝⎭c a c a c a θθθθθθθ，当2πθ=时，||||0ME NE -=；当2πθ≠时，由题知，2,4,3===ba c a，因为A ，B 两点在双曲线的右支上， ∴233ππθ<<，且2πθ≠，所以tan 3θ<-或tan 3θ>， ∴3133tan 3θ-<<且10tan θ≠， ∴44343||||,00,tan 33⎛⎫⎛⎫-=∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ME NE θ，综上所述，44343||||,tan 33⎛⎫-=∈- ⎪⎝⎭ME NE θ. 故选：B.例18.（2018·全国·高考真题（理））已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M、N .若OMN 为直角三角形，则|MN |=（） A ．32B ．3C ．3D ．4【答案】B【详解】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到30FON ︒∠=，根据直角三角形的条件，可以确定直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为60︒，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得33(3,3),(,)22M N -，利用两点间距离公式求得MN 的值.详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为33±，且右焦点为(2,0)F ，从而得到30FON ︒∠=，所以直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒，可以得出直线MN 的方程为3(2)y x =-，分别与两条渐近线33y x =和33y x =-联立，求得33(3,3),(,)22M N -，所以2233(3)(3)322MN =-++=，故选B.例19.（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点F 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点重合，若两曲线相交于M ，N 两点，且线段MN 的中点是点F ，则该双曲线的离心率等于______. 【答案】21+【分析】利用抛物线的性质，得到M 的坐标，再带入到双曲线方程中，即可求解. 【详解】由题意知： ,2,2pc p c -=-∴= ∴抛物线方程为：224,y px cx =-=-M 在抛物线上，所以(,2),M c c -M 在双曲线上，222241,c c a b ∴-=2224224,60c a c a c a b =-∴-+=2322e ∴=±，又()1,e ∈+∞，2 1.e ∴=+故答案为：21+例20.（2020·全国·高考真题（理））已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________. 【答案】2【分析】根据双曲线的几何性质可知，2b BF a=，AF c a =-，即可根据斜率列出等式求解即可．【详解】联立2222222{1x cx y a b c b a =-==+，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，所以2b BF a =.依题可得，3BF AF =，AF c a =-，即()2223bc a a c a a c a -==--，变形得3c a a +=，2c a =, 因此，双曲线C 的离心率为2. 故答案为：2．例21. （2022·全国·高考真题（理））若双曲线2221(0)x y m m-=>的渐近线与圆22430x y y +-+=相切，则m =_________．【答案】33【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．【详解】解：双曲线()22210x y m m-=>的渐近线为y x m =±，即0x my ±=，不妨取0x my +=，圆22430x y y +-+=，即()2221x y +-=，所以圆心为()0,2，半径1r =，依题意圆心()0,2到渐近线0x my +=的距离2211m d m==+，解得33m =或33m =-（舍去）．故答案为：33．例22. （2022·全国·高三专题练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>43F 且斜率为0k >的直线交C 的两支于,A B 两点．若||3||FA FB =，则k =________________．【答案】33【分析】由题意设双曲线的方程为22223113x y a a -=，直线为1x y c k =-，即1433x y a k =-，联立方程，设()()1122,,,A x y B x y ，由||3||FA FB =，得123y y =，由根与系数的关系求解即可【详解】因为22224316,33c a c a b a ==+=，所以22313b a =，双曲线的方程为22223113x y a a -=，设过左焦点F 且斜率为0k >的直线为1x y c k =-，即1433x y a k =-，与双曲线222231131433x y a a x y ak ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩联立得2221310431693033y ay a k k ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，设()()1122,,,A x y B x y ，则()()221212221043169,31333133ak a k y y y y k k +=⋅=--，因为||3||FA FB =，所以123y y =，所以()()222222210431694,331333133ak a k y y k k ==--，消去2y 得()222221696433169163133a k a k k ⨯⨯⨯=-，化简得2121133k =-，即213k =，因为0k >，所以33k =，故答案为：33例23．（2022·广东·广州市真光中学高三开学考试）设1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x ya b a bΓ-=>>的左、右两焦点，过点2F 的直线:0l x my t --=（,R m t ∈）与Γ的右支交于M ，N 两点，Γ过点(2,3)-，且它的7(1)求双曲线Γ的方程；(2)当121MF F F =时，求实数m 的值；(3)设点M 关于坐标原点O 的对称点为P ，当2212MF F N =时，求PMN 面积S 的值. 【答案】(1)2213y x -=； (2)1515m =±； (3)9354. 【分析】（1）根据点在双曲线上及两点距离列方程组求双曲线参数，即可得方程；（2）由点在直线上求得2t =，根据1F 到直线:20l x my --=与等腰三角形12F MF 底边2MF 上的高相等，列方程求参数m ；（3）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，联立双曲线与直线方程，应用韦达定理得1221213m y y m +=-，122913y y m =--，由向量的数量关系可得2135m =，根据对称点、三角形面积公式1222OMN S S y y ==-求PMN 面积. （1）由Γ过点(2,3)-，且它的虚轴的端点与焦点的距离为7，所以()222224917a b b a b ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩，即2213a b ⎧=⎨=⎩，则所求的双曲线Γ的方程为2213y x -=. （2）因为直线:0l x my t --=过点2(2,0)F ，所以2t =，由121MF F F =得：等腰三角形12F MF 底边2MF 上的高的大小为22112()152MF MF --=，又1F 到直线:20l x my --=的距离等于等腰三角形12F MF 底边上的高，则2202151m ---=+，即2115m =，则1515m =±. （3）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，由221320y x x my ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩得：22(31)1290m y my -++=，则1221213m y y m +=-，122913y y m=--，又2212MF F N =，即212y y =-，则121213m y m -=-，2129213y m =-，即22122()13m m =-2913m-，则2135m =，又M 关于坐标原点O 的对称点为P ，则2121212222()4OMN S S y y y y y y ==-=+-222221*********()4()1313134m m m m m +=--==---. 则所求的PMN 面积为9354. 【总结提升】双曲线的综合问题常常涉及双曲线的离心率、渐近线、范围与性质，与圆、椭圆、抛物线、向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力．(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解．(2)当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解．。

高考数学真题：双曲线含答案

专题九解析几何第二十七讲双曲线2019年1.（2019全国III 理10）双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐进线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为A B C ． D ．2.（2019江苏7）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 .3.（2019全国I 理16）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．4.（2019年全国II 理11）设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点.若PQ OF =，则C 的离心率为ABC ．2D 5．（2019浙江2）渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是A B ．1CD ．26.（2019天津理5）已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为C.22010-2018年一、选择题1．(2018浙江)双曲线2213x y -=的焦点坐标是A ．(，B ．(2,0)-，(2,0)C ．(0,，D ．(0,2)-，(0,2)2．(2018全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：2213-=x y ，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N ．若∆OMN 为直角三角形，则||MN =A ．32B ．3C ．D ．43．(2018全国卷Ⅱ)双曲线22221(0,0)-=>>x y a b a bA ．=yB ．=yC ．2=±y x D ．2=±y x 4．(2018全国卷Ⅲ)设1F ，2F 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1|||PF OP =，则C 的离心率为AB ．2CD5．(2018天津)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．22139x y -= D ．22193x y -=6．（2017新课标Ⅱ）若双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线被圆22(2)4x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为A ．2BCD ．37．（2017新课标Ⅲ）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为2y x =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为 A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -=8．（2017天津）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ．若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为A ．22144x y -=B ．22188x y -=C ．22148x y -=D ．22184x y -= 9．(2016天津)已知双曲线222=1(0)4x y b b->，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为A ．22443=1y x -B ．22344=1y x -C ．2224=1x y b -D ．2224=11x y - 10．(2016年全国I)已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是A ．(–1,3)B ．(–1,3)C ．(0,3)D ．(0,3)11．(2016全国II)已知1F ,2F 是双曲线E ：22221x y a b-=的左、右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠=,则E 的离心率为A B ．32C D ．2 12．（2015四川）过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于,A B 两点，则AB =A B ． C ．6 D ．13．（2015福建）若双曲线22:1916x y E -= 的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于A ．11B ．9C ．5D ．314．（2015湖北）将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则A ．对任意的,a b ，12e e >B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <C ．对任意的,a b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e > 15．（2015安徽）下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是A ．2214y x -= B ．2214x y -= C ．2214y x -= D ．2214x y -= 16．（2015新课标1）已知00(,)M x y 是双曲线C ：2212x y -=上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120MF MF ⋅<，则0y 的取值范围是A ．(B ．(C ．(,33-D ．(33- 17．（2015重庆）设双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的右焦点为F ，右顶点为A ，过F作AF 的垂线与双曲线交于,B C 两点，过,B C 分别作,AC AB 的垂线，两垂线交于点D ．若D 到直线BC 的距离小于a 则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是A ．(1,0)(0,1)-∪B ．(,1)(1,)-∞-+∞∪C ．∪D ．(,1))-∞-∞∪18．（2014新课标1）已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C的一条渐近线的距离为A B ．3 C D ．3m19．（2014广东）若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A ．焦距相等 B ．实半轴长相等 C ．虚半轴长相等 D ．离心率相等20．（2014天津）已知双曲线22221x y a b 0,0a b 的一条渐近线平行于直线l ：210y x ，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为 A ．221520x y B ．221205x yC ．2233125100x y D ．2233110025x y21．（2014重庆）设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得,49||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =⋅=+则该双曲线的离心率为 A ．34 B ．35 C ．49D ．322．（2013新课标1）已知双曲线C ：22221x y a b-=（0,0a b >>C的渐近线方程为A ．14y x =± B ．13y x =± C ．12y x =± D ．y x =± 23．(2013湖北)已知04πθ<<，则双曲线1C ：22221cos sin x y θθ-=与2C ：22sin y θ2221sin tan y θθ-=的 A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．焦距相等 D ．离心率相等 24．（2013重庆）设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相较于点O 、所成的角为060的直线11A B 和22A B ，使1122A B A B =，其中1A 、1B 和2A 、2B 分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是A ．(2]3 B ．[,2)3 C ．()3+∞ D ．[)3+∞ 25．（2012福建）已知双曲线22215x y a -=的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于A ．14B ．4 C ．32D ．4326．（2012湖南）已知双曲线C ：22x a -22y b=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C 的方程为A ．220x -25y =1B ．25x -220y =1C ．280x -220y =1 D ．220x -280y =1 27．（2011安徽）双曲线x y 222-=8的实轴长是A ．2B ．C ．4D ．28．（2011山东）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线均和圆22:650C x y x +-+=相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为A ．22154x y -=B ．22145x y -=C ．22136x y -=D ．22163x y -= 29．（2011湖南）设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为 A ．4 B ．3 C ．2 D ．130．（2011天津）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2,1)--，则双曲线的焦距为A ．B ．C ．D ．31．（2010新课标）已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --,则E 的方程式为A ．22136x y -= B ．22145x y -= C ．22163x y -= D ．22154x y -= 32．（2010新课标）中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,2)-，则它的离心率为A B C ．2 D ．233．（2010福建）若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅的最大值为A ．2B ．3C ．6D ．8 二、填空题34．(2018上海)双曲线2214x y -=的渐近线方程为． 35．(2018江苏)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c 到一条渐近线的距离为2c ，则其离心率的值是． 36．（2017江苏）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2213x y -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是1F ，2F ，则四边形12F PF Q 的面积是．37．（2017新课标Ⅰ）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径做圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点．若MAN ∠=60°，则C 的离心率为________．38．（2017山东）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右支与焦点为F 的抛物线22(0)x py p =>交于A ，B 两点，若||||4||AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为．39．（2017北京）若双曲线221y x m-=m =_________．40．(2016年北京)双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线为正方形OABC 的边,OA OC所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a =______．41．(2016山东)已知双曲线E ：22221x y a b-=(0,0)a b >>，若矩形ABCD 的四个顶点在E上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2||3||AB BC =，则E 的离心率是 .42．（2015北京）已知双曲线()22210x y a a-=>0y +=，则a = ．43．（2015江苏）在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点．若点P 到直线01=+-y x 的距离大于c 恒成立，则是实数c 的最大值为．44．（2015山东）平面直角坐标系xOy 中，双曲线1C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的渐近线与抛物线2C ：22x py =(0p >)交于,,O A B ，若△OAB 的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为_______．45．（2014山东）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且||FA c =，则双曲线的渐近线方程为．46．（2014浙江）设直线30(0)x y m m -+=≠与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A ，B ，若点(,0)P m 满足||||PA PB =，则该双曲线的离心率是____．47．（2014北京）设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________．48．（2013陕西）双曲线221169x y -=的离心率为．49．（2014湖南）设F 1，F 2是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点．若在C 上存在一点P ，使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2=30°，则C 的离心率为_________．50．（2013辽宁）已知F 为双曲线22:1916x y C -=的左焦点，,P Q 为C 上的点，若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点(5,0)A 在线段PQ ，则PQF ∆的周长为．51．（2012辽宁）已知双曲线122=-y x ，点21,F F 为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若21PF PF ⊥，则21PF PF +的值为．52．（2012天津）已知双曲线)0,0(1:22221>>=-b a by a x C 与双曲线1164:222=-y x C 有相同的渐近线，且1C 的右焦点为F ,则a = b = ．53．（2012江苏）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+则m 的值为．54．（2011山东）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>和椭圆221169x y +=有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为．55．(2011北京)已知双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线的方程为2y x =，则b = ．三、解答题56．（2014江西）如图，已知双曲线C ：2221x y a-=(0a >)的右焦点F ，点B A ,分别在C的两条渐近线上，x AF ⊥轴，BF OB AB ,⊥∥OA (O 为坐标原点）．（1）求双曲线C 的方程；（2）过C 上一点)0)((00,0≠y y x P 的直线1:020=-y y axx l 与直线AF 相交于点M ，与直线23=x 相交于点N ，证明：当点P 在C 上移动时，NFMF 恒为定值，并求此定值．57．（2011广东）设圆C 与两圆2222(5)4,(5)4x y x y ++=+=中的一个内切，另一个外切．（1）求C 的圆心轨迹L 的方程；（2）已知点M 3545(,5,0)55F ，且P 为L 上动点，求MP FP -的最大值及此时点P 的坐标．专题九解析几何第二十七讲双曲线答案部分2019年1. 解析双曲线22:142x y C -=的右焦点为6,0)F ，渐近线方程为：22y x =±，不妨设点P 在第一象限，可得2tan POF ∠=63P ，所以PFO △的面积为： 133262=．故选A ．2. 解析因为双曲线2221(0)y x b b-=>经过点(3,4)，所以221631b-=，解得22b =，即2b =．又1a =，所以该双曲线的渐近线方程是2y x =±． 3.解析如图所示，因为1F A AB =,所以A 为1F B 的中点. 又O 为12F F 的中点，所以212AOBF ，212AO BF =. 因为120F B F B ⋅=，所以1290F BF ∠=︒，且O 为12F F 的中点，所以12212OB F F OF c ===. 由212AOBF 得2121BOF AOF BF F ∠=∠=∠，所以2OB BF =，因此2OPF △为等边三角形，260BOF ∠=︒，即渐近线的斜率为3，也即3ba=，所以2212b e a=+=.4．A 解析：解法一：由题意，把2c x =代入222x y a +=，得2224c PQ a =-，再由PQ OF =，得2224ca c -=，即222a c =，所以222c a=，解得2c e a ==.故选A ．解法二：如图所示，由PQ OF =可知PQ 为以OF 为直径圆的另一条直径，所以,22c c P ⎛⎫± ⎪⎝⎭，代入222x y a +=得222a c =，所以222c a=，解得2c e a ==.故选A ．解法三：由PQ OF =可知PQ 为以OF 为直径圆的另一条直径，则1222OP a OF ===，2c e a ==故选A ． 5．解析根据渐进线方程为0x y ±=的双曲线，可得a b =，所以2c a =，则该双曲线的离心率为2ce a==C ． 6.解析因为抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，所以()1,0F ，准线l 的方程为1x =-.因为与双曲线()222210,0x y a b a b=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且4AB OF =（为原点），所以2b AB a =，1OF =，所以24b a=，即2b a =，所以225c a b a +=，所以双曲线的离心率为5ca==．故选D ．2010-2018年1．B 【解析】由题可知双曲线的焦点在x 轴上，因为222314c a b =+=+=，所以2c =，故焦点坐标为(2,0)-，(2,0)．故选B ．2．B 【解析】因为双曲线2213-=x y 的渐近线方程为33=±y x ，所以60∠=MON ．不妨设过点F 的直线与直线3=y 交于点M ，由∆OMN 为直角三角形，不妨设90∠=OMN ，则60∠=MFO ，又直线MN 过点(2,0)F ，所以直线MN 的方程为3(2)=-y x ，由2)⎧=-⎪⎨=⎪⎩y x y x，得32⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y3(,22M ，所以||==OM所以|||3==MN OM ．故选B ． 3．A 【解析】解法一由题意知，==ce a，所以=c，所以=b ，所以=b a=±=by x a，故选A ．解法二由===c e a，得=ba，所以该双曲线的渐近线方程为=±=by x a．故选A ． 4．C 【解析】不妨设一条渐近线的方程为by x a=，则2F 到by x a =的距离d b ==，在2Rt F PO ∆中，2||F O c =，所以||PO a =，所以1||PF =，又1||F O c =，所以在1F PO ∆与2Rt F PO ∆中，根据余弦定理得22212)cos cos 2a c aPOF POF ac c+-∠==-∠=-，即2223)0a c +-=，得223a c =．所以ce a==．故选C ． 5．C 【解析】通解因为直线AB 经过双曲线的右焦点，所以不妨取2(,)b A c a，2(,)b B c a -，取双曲线的一条渐近线为直线0bx ay -=，由点到直线的距离公式可得221bc b d c -==，222bc b d c +==，因为126d d +=，所以226bc b bc b c c-++=，所以26b =，得3b =．因为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，所以2ca=，所以2224a b a+=，所以2294a a +=，解得23a =，所以双曲线的方程为22139x y -=，故选C ．优解由126d d +=，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以3b =．因为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，所以2ca=，所以2224a b a+=，所以2294a a +=，解得23a =，所以双曲线的方程为22139x y -=，故选C ． 6．A 【解析】双曲线C 的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心(2,0)到渐近线的距离为2bd c==，圆心(2,0)到弦的距离也为d ==所以2b c =222c a b =+，所以得2c a =，所以离心率2ce a==，选A ． 7．B【解析】由题意可得：b a =，3c =，又222a b c +=，解得24a =，25b =，则C 的方程为2145x y 2-=．选B ． 8．B 【解析】设(,0)F c -，双曲线的渐近线方程为b y x a =±，由44PF k c c-==-，由题意有4bc a=，又c a =222c a b =+，得b =，a =．选B ．9．D 【解析】不妨设A 在第一象限，(,)A x y ，所以2242x y b y x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故四边形ABCD的面积为2324424bxy b b ===+，解得212b =．故所求的双曲线方程为2224=11x y -，选D ． 10．A 【解析】由题意得22()(3)0m n m n +->，解得223m n m -<<，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得M 2234m n m n ++-=，即21m =，所以13n -<<．11．A 【解析】设1(,0)F c -，将x c =-代入双曲线方程，得22221c y a b -=，化简得2by a=±，因为211sin 3MF F ∠=，所以222212112||tan ||222b MF b c a a MF F F F c ac ac -∠=====，12222c a e a c e -=-=210e --=，所以e =A ． 12．D 【解析】由双曲线的标准方程2213y x -=得，右焦点(2,0)F ，两条渐近线方程为y =，直线AB ：2x =，所以不妨设取(2,A，(2,B -，则||AB =，选D ．13．B 【解析】由双曲线定义得1226PF PF a -==，即236PF -=，解得29PF =，故选B ．14．D【解析】由题意1e ==2e ==∵()()b b m m b a a a m a a m +--=++，由于0m ，0a ，0b ，所以当a b 时，01b a <<，01b m a m +<<+，b b m a a m +<+，22()()b b m a a m+<+，所以12e e <；当a b <时，1ba>，1b m a m +>+，而b b m a a m +>+，22()()b b m a a m +>+，所以12e e >．所以当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >．15．C 【解析】由题意，选项,A B 的焦点在x 轴，故排除,A B ，C 项的渐近线方程为2204y x -=，即2y x =±，故选C ． 16．A 【解析】由题意知22a，21b ，所以23c，不妨设1(F，2F ，所以100(,)=--MF x y ，200(3,)=-MF x y ，又∵00(,)M x y 在双曲线上，所以220012x y -=，即220022x y =+，222120003310MF MF x y y ⋅=-+=-<，所以033-<<y ，故选A ． 17．A 【解析】由题意22(,0),(,),(,)b b A a B c C c a a-，由双曲线的对称性知D 在x 轴上，设(,0)D x ，由BD AC ⊥得221b b a a c x a c-⋅=---，解得42()b c x a c a -=-，所以42()b c x a a c a c a -=<=+-，所以42222b c a b a <-=221b a⇒<01b a ⇒<<，而双曲线的渐近性斜率为ba±，所以双曲线的渐近线的斜率取值范围是(1,0)(0,1)-，选A ．18．A 【解析】双曲线方程为22133x y m -=，焦点F 到一条渐近线的距离为b =A ． 19．A 【解析】∵09k <<，∴90,250k k ->->，本题两条曲线都是双曲线，又25(9)(25)9k k +-=-+，∴两双曲线的焦距相等，选A ．20．A 【解析】依题意得22225ba cc a b ，所以25a，220b ，双曲线的方程为221520x y ．21．B 【解析】由双曲线的定义得12||||||2PF PF a -=，又12||||3PF PF b +=，所以22221212(||||)(||||)94PF PF PF PF b a +--=-，即124||||9PF PF ab =，因此22949b a ab -=，即299()40b b aa --=，则（31b a +）（34ba-）=0，解得41(33b b a a ==-舍去），则双曲线的离心率53e ==．22．C 【解析】由题知，2c a =，即54=22c a =222a b a +，∴22b a =14，∴b a =12±，∴C 的渐近线方程为12y x =±，故选C ． 23．D 【解析】双曲线1C 的离心率是11cos e θ=，双曲线2C 的离心率是21cos e θ==，故选D ． 24．A 【解析】设双曲线的焦点在x 轴上，则由作图易知双曲线的渐近线的离心率ba必须满足3b a <，所以21()33b a <≤，241()43b a<+≤，2<，又双曲线的离心率为c e a ==23e <≤． 25．C 【解析】∵双曲线22215x y a -=的右焦点为（3，0），∴2a +5=9，∴2a =4，∴a =2∵c =3，∴32c e a ==，故选C ． 26．A 【解析】设双曲线C ：22x a -22y b=1的半焦距为c ，则210,5c c ==．又C 的渐近线为b y x a =±，点P(2,1)在C 的渐近线上，12ba∴=，即2a b =．又222c a b =+，a ∴==，∴C 的方程为220x -25y =1．27．C 【解析】x y 222-=8可变形为22148x y -=，则24a =，2a =，24a =.故选C ． 28．A 【解析】圆22:(3)4C x y -+=，3,c =而32bc =，则22,5b a ==，应选A ． 29．C 【解析】由双曲线方程可知渐近线方程为3y x a=±，故可知2a =．30．B 【解析】双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线为by x a=±，由双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（－2，－1）得22p-=-，即4p =，又∵42p a +=，∴2a =，将（－2，－1）代入by x a=得1b =，∴c ==2c =31．B 【解析】由双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点可设双曲线的方程为2222221(9)x y a b a b -=+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，即 2222112222221,1x y x y a b a b -=-= 则22121222121212015115312y y x x b b x x a y y a -+-+=⋅=⋅==-+-+，则22225,5,44b b a a ===，故E 的方程式为22145x y -=.应选B ． 32．D 【解析】设双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，其渐近线为x aby ±=，∵点(4,2)-在渐近线上，所以12b a =，由2e ==． 33．C 【解析】由题意，F （－1，0），设点P 00(,)x y ，则有2200143x y +=, 解得22003(1)4x y =-，因为00(1,)FP x y =+，00(,)OP x y =，所以2000(1)OP FP x x y ⋅=++=00(1)OP FP x x ⋅=++203(1)4x -=20034x x ++，此二次函数对应的抛物线的对称轴为02x =-，因为022x -≤≤，所以当02x =时，OP FP ⋅取得最大值222364++=，选C ． 34．12y x =±【解析】由题意2a =，1b =，∴12b y x x a =±=±．35．2【解析】不妨设双曲线的一条渐近线方程为b y x a =2b ==，所以222234b c a c =-=，得2c a =，所以双曲线的离心率2ce a==． 36．232a x c ==，渐近线的方程为3y x =±，设3(,22P，则3(,22Q -，1(2,0)F -，2(2,0)F ，所以四边形12F PF Q的面积为1211||||422F F PQ =⨯=． 37．3【解析】如图所示，AH MN ⊥，AM AN b ==，MAN ∠=60°， x所以30HAN ∠=，又MN 所在直线的方程为by x a=， (,0)A a 到MN的距离AH =，在Rt HAN ∆中，有cos HA HAN NA =，所以2==因为222c a b =+a c =，所以c e a ==．38．y x =【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由抛物线的定义有1212||||22p p AF BF y y y y p +=+++=++，而||2p OF =，所以1242py y p ++=⨯，即12y y p +=，由2222212x y a b x py⎧-=⎪⎨⎪=⎩得2222220a y pb y a b -+=，所以21222pb y y a +=，所以222pb p a=，即a =，所以渐近性方程为2y x =±． 39．2【解析】221,a b m ==，所以1c a ==，解得2m =． 40．2【解析】不妨令B 为双曲线的右焦点，A 在第一象限，则双曲线图象如图∵OABC 为正方形，2=OA∴==c OB ，π4∠=AOB ∵直线OA 是渐近线，方程为=b y x a ，∴tan 1=∠=bAOB a又∵2228+==a b c ∴2=a41．2【解析】由题意||2BC c =，所以||3AB c =，于是点3(,)2cc 在双曲线E 上，代入方程，得2222914c c a b -=，在由222a b c +=得E 的离心率为2ce a==，应填2. 42．3【解析】因为双曲线()22210x y a a -=>的一条渐近线为y =，所以1a=故3a =． 43．2(,),(1)P x y x ≥，因为直线10x y -+=平行于渐近线0x y -=，所以c 的最大值为直线10x y -+=与渐近线0x y -== 44．32【解析】22122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线为b y x a =±，则2222(,)pb pb A a a ，2222(,)pb pb B a a -，22:2(0)C x py p =>的焦点(0,)2p F ，则22222AFpb pa a k pb b a-==，即2254b a =，2222294c a b a a +==，32c e a ==． 45．y x =±【解析】抛物线的准线2p y =-，与双曲线的方程联立得2222(1)4p x a b =+，根据已知得2222(1)4p a c b+= ①，由||AF c =得2224p a c += ②，由①②得22a b =，即a b =，所以所求双曲线的渐近线方程为y x =±．46．2【解析】联立直线方程与双曲线渐近线方程by x a=±可解得交点为(,)33am bm A b a b a --，(,)33am bm B b a b a -++，而13AB k =，由||||PA PB =，可得AB 的中点3333(,)22am am bm bmb a b a b a b a -+-+-+与点)0,(m P 连线的斜率为-3，可得224b a =，所以e =47．221312x y -= 2y x =±【解析】设与2214y x -=具有相同渐近线的双曲线C 的方程为224y x k -=，将点()2,2代入C 的方程中，得3k =-．∴双曲线的方程为221312x y -=，渐近线方程为2y x =±．48．45【解析】。

初中数学八年级专题复习专题11 双曲线

专题11 双曲线阅读与思考形如(0)ky k x=≠的函数叫做反比例函数，这也是现实生活中普遍使用的模型，如通过改变电阻来控制电流的变化，从而使舞台的灯光达到变幻的效果；又如过湿地时，在地面上铺上木板，人对地面的压强减小，从而使人不陷入泥中.反比例函数的基本性质有：1. 反比例函数图象是由两条曲线组成的双曲线，双曲线向坐标轴无限延伸，但不能与坐标轴相交；2. k 的正负性，决定双曲线大致位置及y 随x 的变化情况；3. 双曲线上的点是关于中心对称的，双曲线也是轴对称图形，对称轴是直线y x =及y x =-. 反比例函数与一次函数有着内在的联系. 如在作图时都要经历列表、描点、连线的过程；研究它们的性质时，都是通过几个具体的函数归纳出一般的规律，但它们毕竟不同.反比例函数ky x=中k 的几何意义是：k 等于双曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线所得的矩形的面积，如图：（1）12AOB S k =△；（2）ACOB S k =矩形.求两个函数图象的交点坐标，常通过解由这两个函数解析式组成的方程组得到.求符合某种条件的点的坐标，常根据问题的数量关系和几何元素间的关系建立关于横纵坐标的方程（组），解方程（组）求得相关点的坐标.解反比例函数有关问题时，应充分考虑它的对称性，这样既能从整体上思考问题，又能提高思维的周密性.反比例函数是描述变量之间相互关系的重要数学模型之一，用反比例函数解决实际问题，既要分析问题情景，建立模型，又要综合方程、一次函数等知识.例题与求解【例1】（1）如图，已知双曲线(0)k y x x=>经过矩形OABC 边AB 的中点F 且交BC 于点E ，四边形OEBF 的面积为2，则k = .（兰州市中考试题）（2）如图，△P 1OA 1，△P 2A 1A 2都是等腰直角三角形，点P 1，P 2在函数4(0)y x x=>的图象上，斜边OA 1，A 1A 2都在x 轴上，则点A 2的坐标是 .（南通市中考试题）解题思路：对于（1），通过连线，把相关图形的面积用k 表示；对于（2），设1OA a =，12A A b =，把A ，C 两点坐标用a ，b 表示.【例2】如图，P 是函数1(0)2y x x=>图象上一点，直线1y x =-+交x轴于点A ，交y 轴于点B ，PM ⊥x 轴于M ，交AB 于E ，PN ⊥y 轴于N ，交AB 于F ，则AF BE ⋅的值为 .（北京市竞赛试题）解题思路：设(,)P a b ，把AF ，BE 用a ，b 的式子表示.【例3】如图，已知直线12y x =与双曲线(0)ky x x=>交于A 、B 两点，且点A 的横坐标为4. （1）求k 的值；（2）若双曲线(0)ky x x=>上一点C 的纵坐标为8，求△AOC 的面积；（3）过原点O 的另一条直线l 交(0)ky x x=>于P 、Q 两点（P 点在第一象限），若由点A 、B 、P 、Q 为顶点组成的四边形面积为24，求点P 的坐标.（福州市中考试题）解题思路：对于（2），有下列不同的解法：图1 图2 图3xx对于（3），需要思考的是，四边形APBQ 的形状，P 点与A 点有怎样的位置关系. 【例4】已知反比例函数2ky x=和一次函数21y x =-，其中一次函数的图象经过(,)a b ，(1,)a b k ++两点.（1）求反比例函数的解析式；（2）如图，已知A 点在第一象限且同时在上述两个函数的图象上，求A 点坐标；（3）利用（2）的结果，请问：在x 轴上是否存在点P ，使△AOP 为等腰三角形？若存在，把符合条件的P 点坐标都求出来；若不存在，请说明理由.解题思路：对于（3），应分类讨论，并注意A 点坐标隐含的信息.【例5】一次函数y ax b =+的图象分别与x 轴、y 轴交于点M 、N ，与反比例函数ky x=的图象相交于点A 、B ，过点A 分别作AC ⊥x 轴，AE ⊥y 轴，垂足分别为C ，E ；过点B 分别作BF ⊥x 轴，BD ⊥y 轴，垂足分别为F ，D ，AC 与BD 交于点K ，连接CD .（威海市中考试题）解题思路：对于（1），通过连线证明面积相等，进而可证AB ∥DC ，则四边形ANDC ，DCMB 为平行四边形；（2）方法同（1）.（沈阳市中考试题）似，请简要说明理由；（4）当点P 在曲线上移动时，△OEF 随之变动，指出在△OEF 的三个内角中，是否有大小始终保持不变的那个角和它的大小，并证明你的结论.（上海市竞赛试题）专题11 双曲线例1 （1）连结OB ，则2kS S S S BOE COE BOF AOF ====∆∆∆∆. 所以k =2 （2）作P 1C ⊥OA 于C ，P 2D ⊥OA 2于D ，P 1C =OC ，P 2D =A 1D =A 2D ，设OA 1 =a ，A 1A 2=b ，所以422=•aa ，所以a =4. 又因为P 2D ·OD =4，所以422=•⎪⎭⎫ ⎝⎛+bb a .则b =4-24，所以OA 2 = OA 1+A 1A 2 = 4 +4-24=42，则A 2（42，0）. 例2 1 提示：作FG ⊥x 轴于G ，EH ⊥y 轴于H ，则AF =b 2，BE =a 2，1212222=⨯==•=•ab b a BE AF例3 （1）k =8（2）可试一试用图2解答：C (1，8)，CFA OAE OCD CDFE AOC S S S S S ∆∆∆∆---=矩形==32-4-4-9=15. （3）因为反比例函数图像是关于原点O 的中心对称图形，所以OP =OQ ，OA =OB .所以四边形APBQ 是平行四边形，6244141=⨯==∆平行四边形S S POA . 设P 点的坐标为（mm 8,）（m >0且m ≠4），过点P 、A 分别作x 轴的垂线，垂足为E 、F ，∵点P 、A 在双曲线上，∴4==∆∆AOF POE S S . 若0<m <4（如图a ）∵AOF POA PEFA POE S S S S ∆∆∆+=+梯形 ∴6==∆POA PEFA S S 梯形即 6)4(8221=-+m m）（解得：m =2，m =-8(舍去) 若m >4（如图b ）∵POE POA PEFA AOP S S S S ∆∆∆+=+梯形∴6==∆POA PEFA S S 梯形即 6)4(8221=-+m m）（解得：m =8，m =-2(舍去)故点P 的坐标是P （2,4）或（8,1）图 a 图b 例4 （1）xy 1=（2）解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==121x y x y 得 11=x ，21-2=x （舍去）从而y =1，∴A （1,1）（3）符合条件的点P 存在，有下列情况（如图）：①若OA 为底，则∠AOP 1=45°，OA =2，由OP 1 =P 1A ，得P 1(1，0)； ②若OA 为腰，AP 为底，则由OP =OA =2，得P 2(-2，0)，P 3（2，0）； ③若OA 为腰，OP 为底，则由AO =AP =2，得OP =2，P 4(2，0)例5 （1）∵k S S BDOF AEOC ==矩形矩形∴=-DOCK AEOC S S 矩形矩形DOCK BDOF S S 矩形矩形- ∴CFBK AEDK S S 矩形矩形= ②连AD 、AO 、BC 、BO .∵ AOC ADC S S ∆∆=，BOD BCD S S ∆∆= ∴ BCD ADC S S ∆∆=∴ CD ∥MN .又∵AC ∥DN ，BD ∥CM ，∴四边形ANDC 、BDCM 为平行四边形， ∴AN =DC =BM（2）AN 与BM 仍然相等，证法同（1）.例6 点A 与点B 之间的距离是5，则它们之间的连线是直角三角形的斜边. 设点C （a ，b ），则⎩⎨⎧=-+=+-16)3(942222b a b a ）（ ① ⎩⎨⎧=-+=+-9)3(1642222b a b a ）（ ② 解①得⎩⎨⎧==34b a 或⎪⎩⎪⎨⎧==25212528b a 所以C 的坐标是（4，3）或（2528，2521-）对应的k 的值是12 或625588-.解②得 ⎩⎨⎧==00b a 或⎪⎩⎪⎨⎧==25962572b a 因为原点不可能在反比例函数图像上，所以C 的坐标是（2572，2596）对应的k 的值是6256912. 综上所述，k 的值是12或5886912625625-或. A 级1.-22.1、23.<4.y 2>y 1>y 35.x <-1或0<x <26.27.A8.A9.A 10.(1)设A 点坐标为（x ，y )，由32ABOS=，得13||22xy =，|k |=3，k =±3. ∵A 点在第四象限内，∴k =-3，两个函数的解析式分别为3,2y y x x=-=--.（2）由32y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=--⎩，得1131x y =-⎧⎨=⎩，2213x y =⎧⎨=-⎩，∴A （1，-3），C （-3，1）. 设直线AC 与y 轴交于点D ，则D （0，-2）.故112123422AOCS S AOD S COD =+=⨯⨯+⨯⨯=（平方单位）.11.（1）m =6,n =2 (2)y =-2x +8 (3)A (0,8), B (4,0),AE =DF =2,CE =BF =1，又∠AEC =∠DFB =900，故ΔAEC ≌ΔDFB .12.(1)1111112,2S x y x y =⨯=而点P （x 1，y 1)在k y x =图象上，∴x 1y 1=k ，即S 1=k .同理222122S x y k =⨯=，∴S 1=S 2，又C 1=2（x 1+y 1)=122122(),2()k kx C x x x +=+∴C 2-C 1=22222112112221122()2x k x k x x kx x x kx x x x x +++--=-=⨯ ∵双曲线在第一象限，∴ x 1>0，x 2>0.∴x 1x 2>0.又x 1x 22+kx 1-x 12x 2-kx 2=x 1x 2(x 2-x 1)-k (x 2-x 1)=(x 1x 2-k )(x 2-x 1)，且21x x >，当12x x k =1212211221时,C =C ;当x x >k 时,C >C ;当x x <k 时,C <C .（2）设四边形PMON 的周长为C ，则C =2（x +y ）.∵xy =k ，∴2()kC x x =+，这里x，k 均大于0.2(0,k k x x x-≥∴+≥=时，即x=PMON 的周长C 最小，最小值为，此时P .B 级1.-2.-33.144.34-ΔBOC 为等腰直角三角形，OB =OC =1，BC ，由对称性可知AB =CD，作AE 垂直x 轴于E ，则22322AC ==，OE =31122-=.5.①②④6.A7.B8.C9.(1)设B 点（x 0，y 0），S 正方形OABC =x 0y 0=9，x 0=y 0=3，即B （3，3），k =x 0y 0=9.(2)①如图a ，P （m ，n ）在9y x=上，S 矩形OEP 1F =mn =9，S 矩形OAGF =3n .,S =9-3n =92，n =32，m =6，∴P 1(6,32). ②如图a ，同理可得P 2（32，6）.（3）①如图b，当0<m<3时，S矩形OEGC=3m，S=S矩形OEPF-S矩形OEGC=9-3m(0<m<3).②如图c，当m≥3时，S矩形OAGF=3n，S=9-3n=9-27m(m≥3).10.设P（a，b），过E作ES⊥x轴于S，过F作FT⊥y轴于T，∴AE2233b=，BF=2FT=2a.∴AE·BF4243 33a ab==.11.（1）336,y42y xx=+=（2）92MONS=12.（1）E（1，1-a），F（1-b，b）（2）12OEFa bS+-=（3）AOF∽BOE（4）∠EOF=450。

专题11 双曲线及其性质(知识梳理+专题过关)(解析版)

专题11双曲线及其性质【知识梳理】知识点一：双曲线的定义平面内与两个定点12,F F 的距离的差的绝对值．．．．．等于常数（大于零且小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为{}12122(02)MMF MF a a F F -=<<．注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支．（2）当122a F F =时，点的轨迹是以1F 和2F 为端点的两条射线；当20a =时，点的轨迹是线段12F F 的垂直平分线．（3）122a F F >时，点的轨迹不存在．在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：①条件“122F F a >”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定2a ，2b 的值），注意222a b c +=的应用．知识点二：双曲线的方程、图形及性质双曲线的方程、图形及性质A 222121sinsin21cos tanFr r bθθθ==⋅=-考点2：双曲线方程的充要条件考点3：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题考点4：双曲线上两点距离的最值问题考点5：双曲线上两线段的和差最值问题考点6：离心率的值及取值范围考点7：双曲线的简单几何性质问题考点8：利用第一定义求解轨迹考点9：双曲线的渐近线考点10：共焦点的椭圆与双曲线【典型例题】考点1：双曲线的定义与标准方程1．（2022·江西科技学院附属中学高二期中（理））已知O为坐标原点，设F1，F2分别是双曲线x2－y2＝1的左、右焦点，P为双曲线左支上任意一点，过点F1作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为H，则|OH|＝（）A．1B．2C ．4D ．12【答案】A【解析】如图所示，延长F 1H 交PF 2于点Q ，由PH 为∠F 1PF 2的平分线及PH ⊥F 1Q ，易知1PHF PHQ ∽，所以|PF 1|＝|PQ |.根据双曲线的定义，得|PF 2|－|PF 1|＝2，即|PF 2|－|PQ |＝2，从而|QF 2|＝2.在△F 1QF 2中，易知OH 为中位线，则|OH |＝1.故选：A.2．（2022·黑龙江·铁人中学高二期中）双曲线222112x y a -=（0a >）的左、右两个焦点分别是1F 与2F ，焦距为8；M 是双曲线左支上的一点，且15MF =，则2MF 的值为（）A ．1B ．9C ．1或9D ．9或13【答案】B【解析】依题意4c =，所以21216a +=，即2a =，因为15MF =，且2124MF MF a -==，所以29MF =.故选：B3．（2022·天津·耀华中学高二期中）与椭圆22:11612y x C +=共焦点且过点(的双曲线的标准方程为（）A ．2213y x -=B ．2221yx -=C ．22122y x -=D ．2213y x -=【答案】C【解析】椭圆C 的焦点坐标为()0,2±，设双曲线的标准方程为()222210,0y xa b a b -=>>，由双曲线的定义可得2a ==-=a ∴，2c =，b ∴==，因此，双曲线的方程为22122y x -=.故选：C.4．（2022·河北·高二期中）已知双曲线22221x y a b-=的左､右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，1210F F =，点M 是双曲线左支上的一点，若OM =1243MF MF =，则双曲线的标准方程是（）A ．224121x y -=B ．221214x y -=C ．22124y x -=D ．22124x y -=【答案】C【解析】由题意知：双曲线22221x y a b -=的焦距为210c =，22225a b c ∴+==，125OM OF OF ===，12MF MF ∴⊥.1243MF MF =，不妨设13MF k =，24MF k =，由双曲线的定义可得：212MF MF k a -==，16MF a ∴=，28MF a =，由勾股定理可得：()()222222121268100100MF MF a a a F F +=+===，解得：21a =，224b ∴=，∴双曲线方程为22124y x -=.故选：C.5．（2022·北京工业大学附属中学高二期中）已知双曲线的上、下焦点分别为()10,3F ，()20,3F -，P 是双曲线上一点且124PF PF -=，则双曲线的标准方程为（）A ．22145x y -=B ．22154x y -=C ．22145y x -=D ．22154y x -=【答案】C【解析】设双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b-=>>，半焦距为c ，则由题意可知3c =，24a =，即2a =，故222945b c a =-=-=，所以双曲线的标准方程为22145y x -=.故选：C ．6．（2022·广西·钦州一中高二期中（文））已知平面内两定点()13,0F -，()23,0F ，下列条件中满足动点P 的轨迹为双曲线的是（）A ．127PF PF -=±B ．126PF PF -=±C ．124PF PF -=±D ．22126PF PF -=±【答案】C【解析】由题意，因为126F F =，所以由双曲线的定义知，当1206PF PF <-<时，动点P 的轨迹为双曲线，故选：C.7．（2022·福建·南靖县第一中学高二期中）（1）求以（-4，0），（4，0）为焦点，且过点的椭圆的标准方程.（2）已知双曲线焦点在y 轴上，焦距为10，双曲线的渐近线方程为20x y ±=，求双曲线的方程．【解析】（1）由题意可设所求椭圆的标准方程为221259x y λλ+=++.又椭圆过点，将x =3，y9151259λλ+=++，解得λ=11或=21λ-(舍去).故所求椭圆的标准方程为2213620x y +=.（2）由题意，设双曲线的标准方程为22221(0,0)y x a b a b -=>>，设焦距为2c ，∴22212210a b c a b c ⎧+=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，解得5a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，∴该双曲线的方程为221520y x -=．8．（2022·黑龙江·大兴安岭实验中学高二期中）求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点分别为(0,6)-，(0,6)，且经过点(5,6)A -；(2)经过点，(4,--；【解析】(1)由题易知焦点在y 轴上，设双曲线的方程22221y x a b -=则222223636251c a b a b ⎧=+=⎪⎨-=⎪⎩解得：221620a b ⎧=⎨=⎩所以所求双曲线的标准方程为2211620y x -=(2)设双曲线的方程为：221(0)Ax By AB +=<代入点坐标得到：9+10=11624=1A B A B ⎧⎨+⎩解得：1418A B ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩故双曲线的标准方程为：22148x y -=考点2：双曲线方程的充要条件9．（多选题）（2022·全国·高二期中）已知曲线22:1C mx ny +=.则（）A ．若m >n >0，则C 是椭圆B ．若m =n >0，则C 是圆C ．若mn <0，则C 是双曲线D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线【答案】ABCD【解析】A 选项，当0m n >>时，22221111x y mx ny m n+=⇒+=，110m n<<，方程表示焦点在y 轴上的椭圆，A 选项正确.B 选项，当0m n =>时，222211mx ny x y n+=⇒+=，表示圆，B 选项正确.C 选项，当0mn <时，22221111x y mx ny m n+=⇒+=，表示双曲线，C 选项正确.D 选项，当0,0m n =>时，22211mx ny y y n +=⇒=⇒=±±D 选项正确.故选：ABCD10．（2022·河南·高二期中（文））已知k ∈R ，则“23k <<”是“方程22162x y k k -=--表示双曲线”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由方程22162x y k k -=--表示双曲线可得()()620k k -->，解得26k <<，显然23k <<能推出26k <<，反之26k <<不能推出23k <<，故“23k <<”是“方程22162x y k k -=--表示双曲线”的充分不必要条件.故选：A.11．（2022·吉林·辽源市田家炳高级中学校高二期中（理））“0mn <”是“方程221x y m n+=表示的曲线为双曲线”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当0mn <，则0m >且0n <或0m <且0n >，此时方程221x y m n+=表示的曲线一定为双曲线；则充分性成立；若方程221x y m n+=表示的曲线为双曲线，则0mn <，则必要性成立，故选：C .考点3：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题12．（2022·安徽·淮北师范大学附属实验中学高二期中）已知1F 、2F 是等轴双曲线22:1C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ∠=，则12PF PF ⋅等于___________.【答案】4【解析】∵双曲线C 的方程为：221x y -=，∴221a b ==，得c =由此可得()1F 、)2F ，焦距12=F F ∵1260F PF ∠=，∴2221212122cos 60F F PF PF PF PF =+-，即2212128PF PF PF PF -⋅=+，①又∵点P 在双曲线22:1C x y -=上，∴1222PF PF a -==，平方得22112224PF PF PF PF -⋅+=，②①-②，得124PF PF ⋅=，故答案为：4.13．（2022·上海金山·高二期中）已知1F ､2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若点2F 到该双曲线的渐近线的距离为2，点P 在双曲线上，且1260F PF ∠=︒，则三角形12F PF 的面积为___________.【答案】【解析】双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线的方程为b y x a=±，右焦点2(,0)F c 由点2F 到该双曲线的渐近线的距离为22bca =，则2b =由()12222121222||2cos 60PF PF a c PF PF PF PF ⎧-=⎪⎨=+-⋅⎪⎩，可得212416PF PF b ⋅==则三角形12F PF的面积为1211sin 601622PF PF ⋅⋅=⨯=故答案为：14．（多选题）（2022·湖南省汨罗市第二中学高二期中）已知点P 是双曲线E ：221169x y -=的右支上一点，1F ，2F 为双曲线E 的左、右焦点，12PF F △的面积为20，则下列说法正确的是（）A ．点P 的横坐标为203B ．12PF F △的周长为803C ．12F PF ∠小于3πD ．12PF F △的内切圆半径为34【答案】ABC【解析】因为双曲线22:1169x y E -=，所以5c =，又因为12112102022PF F P P Sc y y =⋅=⋅⋅=，所以4P y =,将其代入22:1169x yE -=得2241169x -=，即203x =，所以选项A 正确；所以P 的坐标为20,43⎛⎫± ⎪⎝⎭，由对称性可知2133PF ==，由双曲线定义可知1213372833PF PF a =+=+=所以12PF F △的周长为:12133780210333PF PF c ++=++=，所以选项B 正确；可得11235PF k =，2125PF k =，则(121212360535tan 12123191535F PF -==∈⨯+⨯，则123F PF π<∠，，所以选项C 正确；因为12PF F △的周长为803，所以121202803PF F S r =⋅⋅=，所以32r =，所以选项D 不正确．故选：ABC.15．（2022·四川·阆中中学高二期中（文））已知12F F ，为双曲线C ：221164x y-=的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且12PQ F F =，则四边形12PFQF 的面积为________．【答案】8【解析】由题意得，4,2,a b c ===，由双曲线的对称性以及12PQ F F =可知，四边形12PFQF 为矩形，所以122221228480PF PF a PF PF c ⎧-==⎪⎨+==⎪⎩，解得128PF PF =，所以四边形12PFQF 的面积为128PF PF =．故答案为：8．16．（2022·广东·江门市第二中学高二期中）双曲线2216416y x -=上一点P 与它的一个焦点的距离等于1，那么点P 与另一个焦点的距离等于___________.【答案】17【解析】由双曲线的方程可得实半轴长为8a =，虚半轴长为4b =，故8045c =因为点P 与一个焦点的距离等于1，而8451a c +=+>，故点P 与该焦点同在x 轴的上方或下方，故点P 与另一个焦点的距离为1217a +=，故答案为：17.17．（2022·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高二期中（理））已知双曲线22145x y -=的左､右焦点分别为1F ，2F ，点P 是双曲线左支上一点且128PF PF +=，则1221sin sin PF F PF F ∠=∠______．【答案】3【解析】因为双曲线为22145x y -=，所以2a =、3c =，因为点P 是双曲线左支上一点且128PF PF +=，所以214PF PF -=，所以12=PF ，26PF =，在12PF F △中，由正弦定理可得122112sin sin PF PF PF F PF F =∠∠，所以212211sin 3sin PF PF F PF F PF ∠==∠；故答案为：318．（2022·天津市咸水沽第二中学高二期中）已知1F ，2F 分别是双曲线221916x y -=的左､右焦点，AB 是过点1F 的一条弦（A ，B 均在双曲线的左支上），若2ABF 的周长为30，则||AB =___________.【答案】9【解析】双曲线221916x y -=，得a ＝3，因为A ，B 均在双曲线的左支上，所以21212,2AF AF a BF BF a -=-=，则△ABF 2的周长为()()22112224AF BF AB AF a BF a AB AB a ++=++++=+，所以2|AB |+4×3＝30，所以9AB =．故答案为：9．19．（2022·吉林·白城一中高二期中）双曲线221916x y -=的两个焦点为12,F F ,点P 在双曲线上，若1PF ·2PF ＝0，则点P 到x 轴的距离为________．【答案】165【解析】设()12,,PF m PF n m n ==>，由题意可知3,4,5a b c ==∴=，=6m n -1PF ·2PF ＝0，2221212PF PF F F ∴+=2224m n c ∴+=,22100m n ∴+=,22=6100m n m n -⎧⎨+=⎩,32m n ∴=1211=222F PF Smn c y =,=c y mn ∴,=mn y c ∴,16=5y ∴,∴点P 到x 轴的距离为165.故答案为：16520．（2022·上海市崇明中学高二期中）已知双曲线221169x y -=的两个焦点分别为1F 、2F ，P 为双曲线上一点，且122F PF π∠=，则12F PF △的面积为_________.【答案】9【解析】依题意，双曲线221169x y -=的焦点1(5,0)F -、2(5,0)F ，12||||||8PF PF -=，因122F PF π∠=，则有222212121212||||||(||||)2||||F F PF PF PF PF PF PF =+=-+，即有22122||||10836PF PF =-=，解得12||||18PF PF =，所以12F PF △的面积121||||92S PF PF ==.故答案为：921．（2022·江苏·高二专题练习）双曲线()222210,0x y a b a b-=>>过焦点1F 的弦AB ，A 、B 两点在同一支上且长为m ，另一焦点为2F ，则2ABF 的周长为（）．A ．4aB ．4a －mC ．4a ＋2mD ．4a －2m【答案】C【解析】由双曲线的定义得：212BF BF a -=①，212AF AF a -=②，两式相加得：21214BF BF AF AF a -+-=，即22224BF AF AB BF AF m a +-=+-=，所以224BF AF a m +=+，故2ABF 的周长为2242BF AF AB a m ++=+.故选：C22．（2022·新疆·乌鲁木齐101中学高二期中（文））设1F ，2F 是双曲线22146x y -=的左、右焦点，P 为双曲线上一点，且213PF PF =，则12PF F △的面积等于（）A ．6B ．12C．D．【答案】A【解析】双曲线22146x y -=的实半轴长2a =，半焦距c =12||F F =，因213PF PF =，由双曲线定义得22124PF PF PF -==，解得22PF =，16PF =，显然有22122124||0PF PF F F +==，即12PF F △是直角三角形，所以12PF F △的面积12121||||62PF F S PF PF ==.故选：A23．（2022·辽宁大连·高二期中）已知1F ，2F 分别是双曲线221916x y -=的左､右焦点，若P 是双曲线左支上的点，且1232PF PF ⋅=.则12F PF △的面积为（）A ．8B．C ．16D．【答案】C【解析】因为P 是双曲线左支上的点，所以216PF PF -=，两边平方得221212236PF PF PF PF +-⋅=，所以22121236236232100PF PF PF PF +=+⋅=+⨯=.在12F PF △中，由余弦定理得2221212121212100100cos 022PF PF F F F PF PF PF PF PF +--∠==⋅⋅，所以1290F PF ∠=︒，所以121211321622F PF S PF PF =⋅=⨯=△.故选：C考点4：双曲线上两点距离的最值问题24．（2022·上海中学东校高二期末）过椭圆221(9)9x y m m m +=>-右焦点F 的圆与圆22:4O x y +=外切，该圆直径FQ 的端点Q 的轨迹记为曲线C ，若P 为曲线C 上的一动点，则FP 长度最小值为（）A ．0B ．12C ．1D ．2【答案】C【解析】椭圆221(9)9x y m m m +=>-，3c ==，所以()3,0F .设以FQ 为直径的圆圆心为C ，如图所示：因为圆O 与圆C 外切，所以2OC CF -=，因为12QF OC =，2QF CF =，所以()1124QF QF OC CF F F -=-=<，所以Q 的轨迹为：以1,F F 为焦点，24a =的双曲线的右支.即2,3,a c b ====:C ()221245x y x -=≥.所以P 为曲线C 上的一动点，则FP 长度最小值为1c a -=.故选：C25．（2022·安徽省宣城市第二中学高二阶段练习（理））已知12,F F 分别是双曲线2214xy -=的左、右焦点，P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点，若12PF F △内切圆圆心为I ，则圆心I 到圆22(1)1y x +-=上任意一点的距离最小值为（）A ．2B1C ．1D 2【答案】C【解析】设12PF F △的内切圆分别与12,PF PF 切于点,A B ，与12F F 切于点M ，则11||||,||||PA PB F A F M ==，22||||F B F M =．又点P 在双曲线右支上，12||||2PF PF a ∴-=，即12(||||)(||||)2PA F A PB F B a +-+=，12||||2F M F M a ∴-=①，又12||||2F M F M c +=②，由①＋②，解得1||F M a c =+，又1||OF c =，则(,0)M a ，因为双曲线2214x y -=的2a =，所以内切圆圆心I 与在直线2x =上，设0(2,)I y ，设圆22(1)1y x +-=的圆心为C ，则(0,1)C ，所以||CI =，当01y =时，min ||2CI =，此时圆22(1)1y x +-=上任意一点的距离最小值为min ||1211CI -=-=．故选：C ．26．（2022·101中学高二期末）双曲线22142x y C -=：的右焦点为F ，点P 在椭圆C 的一条渐近线上.O 为坐标原点，则下列说法错误的是（）A B ．双曲线22142-=y x 与双曲线C 的渐近线相同C ．若PO PF ⊥，则PFO △D ．PF【答案】B【解析】A.因为双曲线方程为22142x y C -=：，所以2,a b c ===，则c e a ==故正确；B.双曲线22142x y C -=：的渐近线为y =，双曲线22142-=y x 的渐近线方程为y =，故错误；C.设(),P x y ，因为点P在渐近线上，不妨设渐近线方程为y =，即为直线PO 的方程，又因为PO PF ⊥，所以直线PF的方程为y x =，由22y x y x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即P ⎝⎭，所以12S =，故正确；D.)F，其中一条渐近线为y =，则PF 的最小值为点F到渐近线的距离，即d ==.故选：B27．（2022·北京八中高二期中）已知定点A 、B ，且|AB |＝4，动点P 满足||PA |﹣|PB ||＝3，则|PA |的最小值是（）A ．12B ．32C ．72D ．5【答案】A【解析】由动点P 满足||PA |﹣|PB ||＝3，且3AB <故可得点P 的轨迹为以,A B 为左右焦点的双曲线，故可得23,24a c ==，解得3,22a c ==，由双曲线的几何性质可得PA 的最小值为12c a -=.故选：A.考点5：双曲线上两线段的和差最值问题28．（2022·湖南·长沙市南雅中学高二期中）设双曲线C ：22124y x -=的左焦点和右焦点分别是1F ，2F ，点A 是C 右支上的一点，则128AF AF +的最小值为___________.【答案】8【解析】由双曲线C ：22124y x -=，可得21a =，224b =，所以22225c a b =+=，所以1a =，5c =，由双曲线的定义可得1222AF AF a -==，所以122AF AF =+，所以1222882AF AF AF AF +=++，由双曲线的性质可知：24AF c a ≥-=，令2AF t =，则4t ≥，所以122288822AF AF t AF AF t +=++=++，记82y t t=++，设124t t ≤<，则121212882(2)y y t t t t -=++-++121212()(8)t t t t t t --=0<，所以12y y <，即82y t t=++在[)4,+∞上单调递增，所以当4t =时，取得最小值84284++=，此时点A 为双曲线的右顶点（1，0）．故答案为：8．29．（2022·黑龙江·鸡西市第一中学校高二期中）P 是双曲线22145x y -=的右支上一点，M 、N 分别是圆()2232x y ++=和()2231x y -+=上的点，则|PM |－|PN |的最大值为_________.【答案】5【解析】设双曲线的左右焦点为12,F F ，则1224PF PF a -==，圆()2232x y ++=的圆心为1(3,0)F -，半径为1r =.圆()2231x y -+=的圆心为2(3,0)F ，半径为21r =，由圆的对称性可得1111||PF r PM PF r -+∣ ，2222||PF r PN PF r -≤≤+，所以1122||||5PM PN PF r PF r -≤+-+=|PM |－|PN |的最大值为5故答案为：530．（2022·黑龙江·哈九中高二期中）已知双曲线的方程为2214y x -=，如图所示，点()A ，B是圆(221x y +=上的点，点C 为其圆心，点M 在双曲线的右支上，则MA MB +的最小值为______1.【解析】由双曲线2214y x -=，可得1,2a b ==，则c =如图所示，设点D 的坐标为，则点,A D 是双曲线的焦点，根据双曲线的定义，可得22-==MA MD a ，所以22+=++≥+MA MB MB MD BD ，又由B 是圆(221x y +-=上的点，圆的圆心为C ，半径为1r =，所以11BD CD ≥-=，所以21MA MB BD +≥++，当点,M B 在线段CD 上时，取得等号，即MA MB +1.1.31．（2022·北京·高二期中）已知点()2,0A -，()2,0B ，(C ，动点M 到A 的距离比到B 的距离多2，则动点M 到B ，C 两点的距离之和的最小值为___________.【答案】4【解析】点()2,0A -，()2,0B ，且动点M 到A 的距离比到B 的距离多2，所以24MA MB AB -=<=，故动点M 的轨迹为双曲线右侧一支，则动点M 到B ，C 两点的距离之和2224MB MC MA MC AC +=+-≥-==，当且仅当M ，A ，C 三点共线时取等号，所以动点M 到B ，C 两点的距离之和的最小值为4.故答案为：4.32．（2022·湖南·嘉禾县第一中学高二阶段练习）过双曲线2218y x -=的右支上的一点P 分别向圆221:(3)4C x y ++=和圆222:(3)1C x y -+=作切线，切点分别为M ，N ，则22||||PM PN -的最小值为（）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】B【解析】设双曲线的左、右焦点分别为12,F F ，()()2222221212||||413PM PN PF PF PF PF -=---=--()()()121212323PF PF PFPF PF PF =+--=+-()222223414219PF PF =+-=+≥⨯+=．故选：B33．（2022·四川省江油市第一中学高二期中（文））已知12F F ，为双曲线222:1(0)16x yC a a -=>的左､右焦点，点A 在双曲线的右支上，点(72)P ，是平面内一定点.若对任意实数m ，直线430x y m ++=与双曲线C 的渐近线平行，则2AP AF +的最小值为（）A ．6B ．10-C ．8D ．2【答案】A【解析】∵双曲线C ：()2221016x y a a -=>，∴双曲线的渐近线方程为4y x a =±，∵对任意实数m ，直线430x y m ++=与双曲线C 的渐近线平行，∴直线430x y m ++=与双曲线的渐近线方程为4y x a=±平行，∴3a =，∴5c =，∴1F 为()5,0-，∵()7,2P ，∴1PF ==∴211666AP AF AP AF PF +=+-≥-=，∴2AP AF +的最小值为6.故选：A.34．（2022·吉林市田家炳高级中学高二期中）设F 是双曲线221412x y -=的左焦点，()1,4A ，P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为（）A ．5B ．5+C ．7D ．9【答案】D【解析】由双曲线221412x y -=，可知24a =，212b =，则22216c a b =+=，所以2a =，4c =，()1,4A 点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为()4,0F '，由于P 是双曲线右支上的动点，∴由双曲线定义可得，24PF PF a '-==，而5PA PF AF ''+≥==，两式相加得9PF PA +≥，当且仅当A 、P 、F '三点共线时等号成立，则PF PA +的最小值为9．故选：D ．35．（2022·江西南昌·高二期中（理））设(),P x y 是双曲线22154x y -=的右支上的点，则代数）AB ．CD 3【答案】B设()()0,1,3,0A F ,上式表示PA PF -,由于双曲线22154x y-=的左焦点为()()3,0,3,0F F '-,双曲线的实轴2a =, 2PF PF a PF ''=-=-()2525PA PF PA PF PF PA ''-=-+=--+223110PF PA AF ''-≤=+当P 在F A '的延长线与双曲线右支的交点处时取到等号，所以()25PA PF PF PA '-=--+510故选：B考点6：离心率的值及取值范围36．（2022·广东·汕头市潮南区陈店实验学校高二阶段练习）已知0a b >>，1F ，2F ，是双曲线22122:1x y C a b-=的两个焦点，若点Р为椭圆22222:1x y C a b +=上的动点，当P 为椭圆的短轴端点时，12F PF ∠取最小值，则椭圆2C 离心率的取值范围为（）A ．22⎛ ⎝⎦B ．2⎫⎪⎪⎣⎭C ．20,3⎛ ⎝⎦D ．23⎫⎪⎢⎪⎣⎭【答案】A【解析】假设点P 在x 轴上方，设()cos ,sin P a b θθ，则()0,πθ∈，由已知得()221F a b +，)222,0F a b +，设直线1PF 的倾斜角为α，直线2PF 的倾斜角为β，∴122sin tan cos PF k a a b αθ==++，222sin tan cos PF k a a b βθ==-+，∴()12tan tan F PF βα∠=-tan tan 1tan tan βααβ-=+()222sin b a b θ+=+-()222222sin sin b a b b a b θθ+=+-()222222sin sin b a b a b θθ=-⎡⎤⎢⎥--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦考虑对勾函数()222sin 0sin 1sin b a b y θθθ-=+<≤，由于P 为椭圆的短轴端点时，π2θ=，12F PF ∠取最小值，即12tan F PF ∠取最小值，()222sin 0sin 1sin b a b y θθθ-=+<≤也取最小值，此时sin 1θ=，∵函数在⎛ ⎝上单调递减，∴1≤222a b ≤，解得202e <≤.即椭圆2C离心率的取值范围为2⎛ ⎝⎦.故选：A .37．（2022·四川省仁寿县文宫中学高二阶段练习（文））已知1F ，2F 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，点1F 关于渐近线的对称点恰好落在以2F 为圆心，2OF 为半径的圆上，则该双曲线的离心率为（）ABC ．2D1【答案】C【解析】由题意,F 1(−c ,0),F 2(c ,0)，设一条渐近线方程为y =b a x ,则F 1b =.设F 1关于渐近线的对称点为M ,F 1M 与渐近线交于A ,∴|MF 1|=2b ,A 为F 1M 的中点，又O 是F 1F 2的中点,∴OA ∥F 2M ,∴∠F 1MF 2为直角，∴△MF 1F 2为直角三角形，∴由勾股定理得4c 2=c 2+4b 2∴3c 2=4(c 2−a 2),∴c 2=4a 2，∴c =2a ，∴e =2.故选：C38．（2022·福建·泉州市城东中学高二期中）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，若以点A 为圆心，以b 为半径的圆与C 的一条渐近线交于M ，N 两点，且2OM ON =，则C 的离心率为（）A ．43BC．3D．2【答案】C【解析】过点A 作AP MN ⊥于点P ，则点P 为线段MN的中点，因为点A 为(,0)a ，渐近线方程为by a=±，所以点A 到渐近线b y x a =的距离为||=ab AP c ，在Rt OAP △中，2||==a OP c ，在Rt NPA中，2||===b NP c ，因为2OM ON =，所以||||||2||||3||=+=+=OP ON NP NP NP NP ，所以223=⨯a b c c，即223a b =，所以离心率e 3==c a ．故A ，B ，D 错误.故选：C ．39．（2022·江西省万载中学高二阶段练习（理））已知双曲线两条渐近线的夹角为60°，则该双曲线的离心率为（）A ．2BC ．2D ．12【答案】C【解析】由题设，渐近线与x 轴夹角θ可能为30°或60°，当30θ=︒，则tan 303b a =︒=，故e =；当60θ=︒，则tan 60ba=︒=2e =；所以双曲线的离心率为2故选：C40．（2022·福建·厦门外国语学校高二期末）如图所示，1F ，2F 是双曲线C ：22221()00a x y a b b >-=>，的左、右焦点，过1F 的直线与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若22345AB BF AF =∶∶∶∶，则双曲线的离心率为（）A ．2BCD【答案】C 【解析】22345AB BF AF =：：：：，不妨令3AB =，24BF =，25AF =，22222||||AB BF AF +=，290ABF ∠∴=，又由双曲线的定义得：122BF BF a -=，212AF AF a -=，11345AF AF ∴+-=-，13AF ∴=．123342BF BF a ∴-=+-=，1a \=．在12Rt BF F 中，222221212||||6452F F BF BF =+=+=，又2212||4F F c =，2452c ∴=，c ∴∴双曲线的离心率c e a=．故选;C41．（2022·广东汕头·高二期末）已知双曲线22221x y a b-=（a 、b 均为正数）的两条渐近线与直线1x =-）ABC ．D ．2【答案】D【解析】双曲线的渐近线为by x a=±，令1x =-，可得b y a=，不妨令1,b A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,b B a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以2bAB a=，所以12AOBA S AB x =⋅=AB ∴=，即2ba =b a=所以2c e a ==；故选：D42．（2022·湖北·鄂州市教学研究室高二期末）已知1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线C 有一个交点P ，设12PF F △的面积为S ，若()21212PF PF S +=，则双曲线C 的离心率为（）A ．2B ．2C D ．【答案】C【解析】依题意，12PF PF ⊥，令1(,0)F c -，2(,0)F c ，则有22221212||||||4PF PF FF c +==，由212||(12||)PF PF S +=得：21211222||2||||6||||||PF PF PF PF PF PF =++，即有212||||PF PF c =，而222221221214(||)||2||2||||||a PF PF PF PF PF c PF =-=+-=，所以ce a==故选：C43．（2022·安徽省临泉第一中学高二期末）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的两个焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，M 是双曲线C 上一点，若120MF MF ⋅=，2212OM OF c ⋅=，则双曲线C 的离心率为（）A ．3B ．31+C ．2D ．21+【答案】B【解析】()()22121221111242OM OF MO F F MF MF MF MF c⎛⎫⋅=-⋅=-+⋅-= ⎪⎝⎭，则222122MF MF c -=，又因为120MF MF ⋅=，12MF MF ⊥，即222124MF MF c +=，所以13MF c =，2MF c =，所以1223a MF MF c c =-=-，则31e =+，故选：B.44．（2022·江西上饶·高二期末（文））已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的焦距为122,,c F F 为其左右两个焦点，直线l 经过点(0,)b 且与渐近线平行，若l 上存在第一象限的点P 满足122PF PF b -=，则双曲线C 离心率的取值范围为（）A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(1,3)D ．(2,)+∞【答案】A【解析】因为满足122PF PF b -=的所有点在以12,F F 为焦点，长轴长为2b ，短轴长为2222c b a -=的双曲线，即22221x y b a-=上.故若l 上存在第一象限的点P 满足122PF PF b -=，则双曲线22221x y b a -=与直线l 有交点即可.又直线:b l y x b a =±+，数形结合可得，当b a <或22221x y b a-=的经过一象限的渐近线的斜率a b b a >即可，两种情况均有2222a b c a >=-，故222c a <，故离心率(1,2)e ∈故选：A考点7：双曲线的简单几何性质问题45．（多选题）（2022·河北·衡水市第二中学高二期中）已知曲线C ：221mx ny +=，则（）A ．若0m n =>，则曲线CB ．若0m n >>，则曲线C 是椭圆，其焦点在y 轴上C ．若曲线C过点(，⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则C 是双曲线D ．若0mn =，则曲线C 不表示任何图形【答案】BC【解析】对于A ，0m n =>时，曲线C 可化为221x y n+=A 错误；对于B ，0m n >>时，曲线C 可化为22111x y m n+=表示的是椭圆，而11 0m n<<，所以其焦点在y 轴上，故B 正确；对于C，将点(，3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，代入曲线C ：221mx ny +=，有2311512133m n m m n n ⎧+==⎧⎪⎪⇒⎨⎨+==-⎪⎪⎩⎩，0mn <，所以曲线C 是双曲线，故C 正确；对于D ，若1m =，0n =，满足条件，此时曲线C ：21x =，表示两条直线，故D 错误，故选：BC.46．（多选题）（2022·江苏连云港·高二期中）关于,x y 的方程2222126x y m m+=+-（其中26m ≠）表示的曲线可能是（）A ．焦点在y 轴上的双曲线B ．圆心为坐标原点的圆C ．焦点在x 轴上的双曲线D．长轴长为【答案】BC【解析】()()2222622m m m +--=-，当m =22264m m +=-=，此时2222126x y m m +=+-表示圆，故B 正确.当m <<22620m m ->+>，故2222126x y m m+=+-表示焦点在y 轴上的椭圆，若此时长轴长为268m -=即22m =-，矛盾，故D 错误.若m <m >260m -<，故2222126x y m m +=+-表示焦点在x 轴上的双曲线，故A 错误，C 正确.若m <<m <<22260m m +>->，故方程2222126x y m m+=+-表示焦点在x 轴上的椭圆，若长轴长为228m +=即m =，矛盾，故D 错误.故选：BC.47．（多选题）（2022·河北省曲阳县第一高级中学高二期中）若方程22131x y t t +=--所表示的曲线为C ，则下面四个选项中正确的是（）A ．若13t <<，则曲线C 为椭圆B ．若曲线C 为椭圆，且长轴在y 轴上，则23t <<C ．若曲线C 为双曲线，则3t >或1t <D ．曲线C 可能是圆.【答案】BCD【解析】A.若方程22131x y t t +=--表示椭圆，则301031t t t t ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得13t <<且2t ≠，故错误；B.若曲线C 为椭圆，且长轴在y 轴上，则301031t t t t ->⎧⎪->⎨⎪-<-⎩，解得23t <<，故正确；C.若曲线C 为双曲线，则()()310t t --<，解得3t >或1t <，故正确；D.曲线C 是圆，则301031t t t t ->⎧⎪->⎨⎪-=-⎩，解得2t =，故正确；故选：BCD48．（多选题）（2022·云南·罗平县第一中学高二开学考试）已知曲线22:124x y C m m+=+-，则（）A ．当2m =时，则C的焦点是)1F，()2F B ．当6m =时，则C 的渐近线方程为12y x =±C ．当C 表示双曲线时，则m 的取值范围为2m <-D ．存在m ，使C 表示圆【答案】ABD【解析】对于A ，当2m =时，曲线22:142x y C +=，则C 的焦点是)1F ，()2F ，所以A 正确；对于B ，当6m =时，曲线22:182x y C -=，则C 的渐近线方程为12y x =±，所以B 正确；对于C ，当C 表示双曲线时，()()240m m +-<，解得：4m >或2m <-，所以C 不正确；对于D ，当24m m +=-，即1m =时，曲线C 表示圆，所以D 正确.故选：ABD.49．（多选题）（2022·江苏江苏·高二期中）已知双曲线C ：2213x y -=，则（）A ．双曲线C 的焦距为4B ．双曲线C 的两条渐近线方程为：y =C ．双曲线C 的离心率为3D ．双曲线C 有且仅有两条过点()1,0Q 的切线【答案】ABD【解析】由双曲线标准方程得a =1b =，所以2c ==，焦距为4，A 正确；b a ==y =，B 正确；离心率为3c e a ===，C 错误；设过(1,0)Q 的直线的方程为(1)y k x =-，代入双曲线方程得：2222(13)6(33)0k x k x k -+-+=（*），2130k -=，即3k =±时，方程（*）只有一解，此时直线与渐近线平行，与双曲线相交，又由422364(13)(33)0k k k ∆=+-+=得2k =±，此时方程（*）有两个相等的实数解，此时直线与双曲线相切，即相切的直线有两条，D 正确．故选：ABD ．50．（多选题）（2022·黑龙江·哈师大附中高二开学考试）双曲线的标准方程为2213y x -=，则下列说法正确的是（）A ．该曲线两顶点的距离为B ．该曲线与双曲线2213x y -=有相同的渐近线C ．该曲线上的点到右焦点的距离的最小值为1D ．该曲线与直线l ：)2y x =-，有且仅有一个公共点【答案】CD【解析】由已知双曲线中1,a b =2c =，顶点为(1,0)和(1,0)-，距离为2，A 错；该双曲线的渐近线方程是y =，而双曲线2213x y -=的渐近线方程是y =，不相同，B 错；该双曲线上的点到焦点的距离的最小值为1c a -=，C 正确；直线l 与该双曲线的一条渐近线平行，与双曲线有且只有一个公共点，D 正确，故选：CD ．51．（2022·上海市新场中学高二期中）当0ab <时，方程22ax ay b -=所表示的曲线是（）A ．焦点在x 轴的椭圆B ．焦点在x 轴的双曲线C ．焦点在y 轴的椭圆D ．焦点在y 轴的双曲线【答案】D【解析】当ab ＜0时，方程22ax ay b -=化简得221y x b ba a-=--，∴方程表示双曲线．焦点坐标在y 轴上；故选：D ．考点8：利用第一定义求解轨迹52．（2022·河南·濮阳一高高二期中（理））若双曲线C 的方程为22145x y -=，记双曲线C 的左、右顶点为A ，B ．弦PQ ⊥x 轴，记直线PA 与直线QB 交点为M ，其轨迹为曲线T ，则曲线T 的离心率为________．【解析】设P （0x ，0y ），则Q （0x ，-0y ），设点M （x ，y ），又A （-2，0），B （2，0），所以直线PA 的方程为00(2)2y y x x =++①，直线QB 的方程为00(2)2y y x x -=--②．由①得0022y yx x =++，由②得0022y y x x =---，上述两个等式相乘可得22022044y y x x =---，∵P （0x ，0y ）在双曲线22145x y -=上，∴2200145x y -=，可得2200454y x -=，∴2020544y x =-∴22544y x =--，化简可得22145x y +=，即曲线T 的方程为22145x y +=53．（2022·吉林·白城一中高二期中）已知ABC 的两个顶点A B ，分别为椭圆2255x y +=的左焦点和右焦点，且三个内角A B C ，，满足关系式1sin sin sin 2B AC -=.(1)求线段AB 的长度；(2)求顶点C 的轨迹方程.【解析】(1)椭圆的方程为2255x y +=∴椭圆的方程为2215x y +=222=514a b c ∴==，，2c ∴=A B ，分别为椭圆2215x y +=的左焦点和右焦点，()()2,02,0A B ∴-，=4AB ∴∴线段AB的长度4(2)ABC 中根据正弦定理得：=2sin sin sin AB BC ACR C A B==(R 为ABC 外接圆半径)，sin =,sin 222BC AC ABA B C R R R∴==1sin sin sin 2B A C -=12222AC BC AB R R R∴-=⨯1242AC BC AB AB ∴-==<=∴C 点的轨迹是以A B ，为左右焦点的双曲线的右支，且22AC BC a -==，=4=2AB c=12a c ∴=，，2223b c a =-=，∴顶点C 的轨迹方程为()22113yx x -=>54．（2022·全国·高二专题练习）如图所示，已知定圆1F ：()2251x y ++=，定圆2F ：()22516x y -+=，动圆M 与定圆1F ，2F 都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．【解析】圆1F ：()2251x y ++=，圆心()15,0F -，半径11r =；圆2F ：()22516x y -+=，圆心()25,0F ，半径24r =．设动圆M 的半径为R ，则有11=+MF R ，24=+MF R ，∴2112310MF MF F F -=<=．∴点M 的轨迹是以1F ，2F 为焦点的双曲线的左支，且32a =，5c =，于是222914b c a =-=．∴动圆圆心M 的轨迹方程为2231991244≤-⎛⎫-= ⎪⎝⎭x y x ．55．（2022·福建·厦门一中高二期中）已知动圆M 与圆221:(4)4C x y ++=外切与圆222:(4)4C x y -+=内切，则动圆圆心M 的轨迹C 的方程为___________.【答案】()2212412x y x -=≥【解析】设动圆圆心(),M x y ，半径为r ，因为圆M 与圆221:(4)4C x y ++=外切与圆222:(4)4C x y -+=内切，圆心()()124,0,4,0C C -，12||8C C =，所以1222MC r MC r ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，则12||||48MC MC -=<，于是点M 的轨迹是以点12,C C 为焦点的双曲线的右支.由题意，224,282,4,12a c a c b ==⇒===，于是，C 的方程为：()2212412x y x -=≥.故答案为：()2212412x y x -=≥.56．（2022·上海市新场中学高二期中）已知两点()(),3,03,0A B -，若4PA PB -=±，那么P 点的轨迹方程是______.【答案】22145x y -=【解析】设P 点的坐标为(),x y 因为44PA PB PA PB -=±⇒-=所以P 点的轨迹为焦点在x 轴的双曲线且3,242c a a ==⇒=所以b ==所以P 点的轨迹方程为：22145x y -=故答案为：22145x y -=57．（2022·吉林一中高二期中）若动圆过定点A ()3,0-且和定圆C ：()2234x y -+=外切，则动圆圆心P 的轨迹方程是_________.【答案】2218y x -=()1x ≤-【解析】定圆的圆心为C()3,0，与A ()3,0-关于原点对称，设动圆P 的半径为r ，则有PA r =，因为两圆外切，所以2=+PC r ，即26PC PA AC -=<=，所以点P 的轨迹是以A ，C 为焦点的双曲线的左支，则1a =，3c =，2228b c a =-=，所以轨迹方程为2218y x -=()1x ≤-故答案为：2218y x -=()1x ≤-58．（2022·广东·深圳市宝安中学（集团）高二期中）已知点(3,0),(3,0),(1,0)M N B -，动圆C 与直线MN 相切于点B ，过M ，N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则点P 的轨迹方程为（）A ．221(1)8y x x -=>B ．221(1)8y x x -=<-C ．221(0)8y x x +=>D ．221(1)10y x x -=>【答案】A【解析】设直线PM ，PN 与圆C 相切的切点分别为点Q ，T，如图，由切线长定理知，MB =MQ ，PQ =PT ，NB =NT ，于是有|PM|-|PN|=|MQ|-|NT|=|MB|-|NB|=2<6=|MN|，则点P 的轨迹是以M ，N 为左右焦点，实轴长2a =2的双曲线右支，虚半轴长b 有22238b a =-=，所以点P 的轨迹方程为221(1)8y x x -=>.故选：A59．（2022·江苏省镇江中学高二期中）动圆M 与圆1C ：()2241x y ++=，圆2C ：22870x y x +-+=，都外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为（）A ．22115x y +=B ．22115y x -=C ．()221115y x x -=≥D ．()221115y x x -=≤-【答案】D【解析】圆1C ：()2241x y ++=，圆心()14,0C -，半径11r =.圆2C ：()222287049x y x x y +-+=⇒-+=，圆心()24,0C ，半径23r =.设(),M x y ，半径为r ，因为动圆M 与圆1C ，2C 都外切，所以121122123MC r MC MC C C MC r ⎧=+⎪⇒-=<⎨=+⎪⎩，所以M 的轨迹为以12,C C 为焦点，22a =的双曲线左支.所以1a =，4c =，解得b =即M 的轨迹方程为：()221115y x x -=≤-.故选：D60．（2022·新疆·博尔塔拉蒙古自治州蒙古中学高二期中）动点P 到点(1,0)M 及点(3,0)N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是（）A ．双曲线B ．双曲线的一支C ．两条射线D ．一条射线【答案】D。

高中数学专题11：椭圆、双曲线及抛物线(选择填空题)(山东春季高考十年汇编2012-2021)含解析

山东省春季高考10年汇编专题11：椭圆、双曲线及抛物线（选择填空题）解析版1．（2012山东春季高考）已知以坐标原点为顶点的抛物线，其焦点在 x 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离是3，则抛物线的标准方程是 (A ) y 2＝6 x(B ) y 2＝－6 x(C ) y 2＝3 x (D ) y 2＝－3 x 答案:A2．（2012山东春季高考）椭圆 x 29＋y 28＝1 的离心率是(A ) 13 (B ) 173 (C ) 24(D ) 223答案:A3．（2012山东春季高考）已知椭圆 x 225＋y 220＝1的左焦点是 F 1，右焦点是 F 2，点 P 在椭圆上，如果线段 PF 1 的中点在 y 轴上，那么 |PF 1| : |PF 2| 等于 (A ) 3 : 2 (B ) 2 : 3(C ) 9 : 1(D ) 1 : 9答案:A4．（2013山东春季高考）已知抛物线的准线方程是2x =，则该抛物线的标准方程是(A ) 28y x = (B ) 28y x =- (C ) 24y x = (D ) 24y x =-答案:B5．（2013山东春季高考）如图所示，点P 是等轴双曲线上除顶点外的任一点，12A A ，是双曲线的顶点，则直线1PA 与2PA 的斜率之积为 (A ) 1 (B ) 1- (C ) 2(D ) 2-答案:A6．（2014山东春季高考）第一象限内的点P 在抛物线y 2 ＝12x 上，它到准线的距离为7，则点P 的坐标为（A ）（４,）（B ）（３,６）（C ）（２, ）（D ））答案:A7．（2014山东春季高考）双曲线4x 2－9y 2＝1的渐近线方程为（A ）ｙ＝±３２ｘ（B ）ｙ＝±２３ｘ（C ）ｙ＝±９４ｘ（D ）ｙ＝±４９ｘ答案:B8．（2015山东春季高考）关于x ,y 的方程x 2+m y 2＝1，给出下列命题：①当m ＜0时，方程表示双曲线；②当m ＝0时，方程表示抛物线；③当0＜m ＜1时，方程表示椭圆；④当m ＝1时，方程表示等轴双曲线；⑤当m ＞1时，方程表示椭圆。

专题11平面解析几何(第一部分)

专题11平面解析几何（第一部分）一、单选题1．在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ到直线20x my --=的距离，当θ、m 变化时，d 的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．42．圆22260x y x y +-+=的圆心到直线20x y -+=的距离为（）A B ．2 C ．3 D ．3．圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心到直线y ＝x ＋3的距离为 ( )A ．1B ．2C D ．4．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是A ．①B ．②C ．①②D ．①②③ 5．圆心为()1,1且过原点的圆的方程是A ．()()22111x y -+-=B ．()()22111x y +++=C ．()()22112x y +++=D ．()()22112x y -+-=6．若直线210x y +-=是圆22()1x a y -+=的一条对称轴，则=a （）A ．12 B ．12- C ．1 D ．1-7．已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（）．A ．4B ．5C ．6D ．78．已知直线y kx m =+（m 为常数）与圆224x y +=交于点M N ，，当k 变化时，若||MN 的最小值为2，则m =A ．1±B ．C ．D ．2±9．已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则 A ．a 2=2b 2 B ．3a 2=4b 2 C ．a =2b D ．3a =4b二、填空题10．已知椭圆22221(0)x y M a b a b+=>>：，双曲线22221x y N m n -=：．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为；双曲线N 的离心率为．三、解答题11．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>，以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点()(0,t t >且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点,A B ，过点A 和()0,1C 的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D ．(1)求椭圆E 的方程及离心率；(2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．四、单选题12．若双曲线2222:1x y C a b -=离心率为2，过点，则该双曲线的方程为（）A ．2221x y -=B ．2213y x -= C ．22531x y -= D ．22126x y -=五、填空题13．已知双曲线C 的焦点为(2,0)-和(2,0)C 的方程为．14．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线为20x y +=，一个焦点为，则=a ；b =．15．已知双曲线221x y m +=的渐近线方程为y =，则m =． 16．已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为；C 的焦点到其渐近线的距离是． 17．已知双曲线2221x y a-= (a ＞0)＋y ＝0，则a ＝.六、单选题18．已知双曲线2221x y a-=（a ＞0则a =A B ．4 C ．2 D ．12七、填空题19．若直线()3y k x =-与双曲线2214x y -=只有一个公共点，则k 的一个取值为．20．若双曲线2221(0)4x y a a -=>a =. 21．若双曲线221y xm -=m =． 22．双曲线22221x y a b-=(0a >，0b >)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点.若正方形OABC 的边长为2，则a=.23．已知()2,0是双曲线2221y x b -=（0b >）的一个焦点，则b =．。

中考复习函数专题11 反比例函数的性质与图象判断(老师版)

专题11 反比例函数的性质与图象判断知识对接考点一、反比例函数的概念 1.一般地,形如xky （k ≠0,k 为常数)的函数称为反比例函数,其中自变量x 的取值范围是x ≠0.2.确定反比例函数的解析式,实质上就是确定比例系数k 的值,找出双曲线上任意一点P(x,y),利用xy=k,即可求出双曲线的解析式. 考点二、反比例函数的图像与性质注意:讨论反比例函数的增减性时需强调在每一象限内或强调x>0(或x<0).专项训练一、单选题1．如图，是某个反比例函数图像的一个分支，则它的另一个分支必在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【分析】读图可知：这个反比例函数图象的一个分支在第一象限，即k ＞0；则它的另一个分支必在第三象限．【详解】解：由于反比例函数图象的两个分支分别位于一、三或二、四象限；由图可知，它的另一个分支必在第三象限．故选：C ．【点睛】本题考查反比例函数图象特点：反比例函数ky x=的图象是双曲线，当k ＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k ＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．2．如图，原点为圆心的圆与反比例函数3y x=的图像交于A 、B 、C 、D 四点，已知点A 的横坐标为1-，则点C 的横坐标为（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B 【分析】因为圆既是轴对称图形又是中心对称图形，故关于原点对称；而双曲线也既是轴对称图形又是中心对称图形，故关于原点对称，且关于y ＝x 和y ＝−x 对称．【详解】把1x =-代入3y x=，得3y =，故A 点坐标为(1,3)A -． ∵A 、C 关于y x =对称， ∵点C 坐标为(3,1)-， ∵点C 的横坐标为3．故选：B. 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性和轴对称性，要熟练掌握，灵活运用． 3．若点A （﹣5，y 1），B （1，y 2），C （5，y 3）都在反比例函数y ＝﹣5x的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（） A ．y 1＜y 2＜y 3 B ．y 2＜y 3＜y 1 C ．y 1＜y 3＜y 2 D ．y 3＜y 1＜y 2【答案】B 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再由各点横坐标的值即可得出结论．【详解】解：∵反比例函数y ＝﹣5x中，k ＝﹣5＜0，∵函数图象的两个分支分别位于二四象限，且在每一象限内，y 随x 的增大而增大． ∵﹣5＜0＜1＜5，∵点A （﹣5，y 1）在第二象限，点B （1，y 2），C （5，y 3）在第四象限， ∵y 2＜y 3＜y 1．故选：B ．【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象的性质是解决本题的关键．4．已知一次函数y mx n =+与反比例函数my x=，其中m ，n 为常数，且0mn <，则它们在同一坐标系中的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】根据图象中一次函数图象的位置确定m 、n 的值，然后根据m 、n 的值来确定反比例函数和一次函数所在的象限．【详解】 ∵0mn <， ∵m 、n 异号， ∵当0m <时，0n >， my x=的图像位于第二、四象限， y mx n =+的图像经过第一、二、四象限；当0m >时，0n <， my x=的图像位于第一、三象限， y mx n =+的图像经过第一、三、四象限，∵只有选项A 符合．故选：A ．【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象与性质和一次函数的图象与性质，属于基础题，要掌握它们的性质才能灵活解题．5．正比例函数11y k x =(10k ≠)的图象与反比例函数22k y x=(20k ≠)的图象相交于A ． B 两点，其中A 的横坐标为−2，则满足210k k x x-＞的x 的取值范围是（）A ．x <−2或0<x <2B ．−2<x <0C ．x <−2或x >2D ．−2<x <0或x >2【答案】A 【分析】根据反比例函数的对称性得到反比例函数与正比例函数另一个交点的横坐标，再根据数形结合的思想求得x 的取值范围．【详解】如图，令反比例函数与正比例函数的另一个交点为点B根据反比例函数图像关于坐标原点对称，因为点A 的横坐标为−2，则点B 的横坐标为2 由210k k x x ->，可知21kk x x> 由数形结合思想可知，当正比例函数图像位于反比例函数图像的上方时，x 的取值范围是2x <-或02x <<，故选：A ．【点睛】本题主要考查了反比例函数与正比例函数的关系以及反比例函数图像的性质，熟练掌握数形结合的思想解题是解决本题的关键．6．关于反比例函数y＝﹣6x，下列叙述正确的是（）A．函数图象经过点（﹣2，﹣3）B．函数图象在第一、三象限C．当x＞﹣2时，y＞3D．当x＜0时，y随x的增大而增大【答案】D【分析】根据反比例函数的图象和性质求解即可．【详解】解：画出反比例函数y＝﹣6x的图象如图所示，A、将点（﹣2，﹣3）代入表达式y＝﹣6x，得：632-≠--，等式不成立，选项错误，不符。

专题11代数部分验收卷(解析版)-2021年初升高数学无忧衔接(人教A版2019)

专题11代数部分验收卷1．算式0123202122222++++⋅⋅⋅+值的个位数字为（）A ．1B ．3C ．5D ．7【答案】B解：设m=0123202122222++++⋅⋅⋅+，则2m=12320222222+++⋅⋅⋅+，∴2m -m=1232022(2222)+++⋅⋅⋅+-01232021 (22222)++++⋅⋅⋅+∴m=20222-0 2=20222-1∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256…，根据上述算式发现规律：每四个数字为一组，个位数字分别为2、4、8、6循环，∵2022÷4=505…2，∴22022的个位数字是4．∴20222-1的个位数字是3．故选：B ．2．已知,,a b c 满足2224-7,-23,2-2a b b c c a +==+=，则a b c +-的值为（）A ．－4B ．－5C ．－6D ．－7【答案】A解：∵2224-7,-23,2-2a b b c c a +==+=，∴2224+-2+2-6a b b c c a ++=，∴22221+44+-210a a b b c c +++++=∴222(1)+(2)+(1)0a b c ++-=，∴10a +=，20b +=，10c -=，∴1a =-，2b =-，1c =，1214a b c +-=---=-，故选：A ．3．已知,a b 为实数，且满足0,20ab a b >+-=，当-a b 为整数时，ab 的值为（）A ．34或12B ．14或1C ．34或1D ．14或34【答案】C解：()22224a b a ab b +=++=；设()2222a b a ab b t -=-+=，则44ab t =-， ∴44t ab -=， ∵-a b 为整数，0ab >，∴t 为0或1，当0t =时，1ab =；当1t =时，34ab =； ∴ab 的值为1或34．故选：C4．若关于x 的不等式组2313664x x x a +⎧≥-⎪⎨⎪->-⎩有且只有五个整数解，且关于y 的分式方程310122y a y y --=--的解为非负整数，则符合条件的所有整数a 的和为（）A ．10B ．12C ．14D ．18【答案】C 解：2313664x x x a +⎧≥-⎪⎨⎪->-⎩①②，由①得x ≤6，由②得x ＞26a +． ∵方程组有且只有五个整数解，∴26a +＜x ≤6，即x 可取6、5、4、3、2． ∵x 要取到2，且取不到26a +， ∴1≤26a +＜2， ∴4≤a ＜10．解关于y 的分式方程310122y a y y --=--，得y =42a -， ∵分式方程的解为非负整数， ∴42a -≥0， ∴a ≤8，且a 是2的整数倍．又∵y ≠2，∴a ≠4．∴a 的取值为6、8．故选：C ．5．某书店推出如下优惠方案：（1）一次性购书不超过100元不享受优惠；（2）一次性购书超过100元但不超过300元一律九折；（3）一次性购书超过300元一律八折．某同学两次购书分别付款80元、252元，如果他将这两次所购书籍一次性购买，则应付款（）元．A ．288B ．306C ．288或316D ．288或306【答案】C解：（1）第一次购物显然没有超过100，即在第二次消费80元的情况下，他的实质购物价值只能是80元．（2）第二次购物消费252元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不同）： ①第一种情况：他消费超过100元但不足300元，这时候他是按照9折付款的．设第二次实质购物价值为x ，那么依题意有x ×0.9=252，解得：x =280．①第二种情况：他消费超过300元，这时候他是按照8折付款的．设第二次实质购物价值为x ，那么依题意有x ×0.8=252，解得：x =315．即在第二次消费252元的情况下，他的实际购物价值可能是280元或315元．综上所述，他两次购物的实质价值为80+280=360或80+315=395，均超过了300元．因此可以按照8折付款：360×0.8=288元或395×0.8=316元，故选：C ．6．小明去文具店购买了笔和本子共5件，已知两种文具的单价均为正整数且本子的单价比笔的单价贵．在付账时，小明问是不是27元，但收银员却说一共48元，小明仔细看了看后发现自己将两种商品的单价记反了．小明实际的购买情况是（）A ．1支笔，4本本子B ．2支笔，3本本子C ．3支笔，2本本子D ．4支笔，1本本子【答案】A解：设购买了笔x 件，购买了本子(5-x )件，本子的单价为a 元，笔的单价为b 元，列方程组得 (5)48(5)27bx a x ax b x +-=⎧⎨+-=⎩，当x =1时，原方程组为448427b a a b +=⎧⎨+=⎩，解得114a b =⎧⎨=⎩，符合题意；当x =2时，原方程组为23482327b a a b +=⎧⎨+=⎩，解得183a b =⎧⎨=-⎩，不符合题意，舍去；当x =3时，原方程组为32483227b a a b +=⎧⎨+=⎩，解得318a b =-⎧⎨=⎩，不符合题意，舍去；当x =4时，原方程组为448427b a a b +=⎧⎨+=⎩，解得411a b =⎧⎨=⎩，不符合题意，舍去；故选：A ．7．已知点()()()1232,,4,,,P y Q y M m y -均在抛物线2y ax bx c =++上，其中20am b +=．若321y y y ≥>，则m 的取值范围是（） A ．2m <-B ．1mC ．21m -<<D ．14m << 【答案】B∵20am b += ∴2b m a=- ∴点M (m ， y 3 )是该抛物线的顶点，∴抛物线的对称轴为x =m ，∵点P (-2， y 1)， Q (4， y 2)均在抛物线2y ax bx c =++上，且321>y y y ≥ ∴24>2m -+ 解得m > 1，故选： B ．8．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴正半轴交于A ，B 两点，其中点B 的坐标为()4,0，抛物线与y 轴负半轴交于点C ，有下列结论：①0abc >；②40a b +<；③若()11,M y 与()22,N y 是抛物线上两点，则12y y >；④若3AB ≥，则430b c +>其中，正确的结论是（）A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③ 【答案】C解：（1）∵抛物线的开口向下，∴a <0．∵抛物线与y 轴交于负半轴，∴c <0．∵抛物线的对称轴在y 轴的右侧， ∴02b a->． ∴b ＞0．∴abc >0．∴①正确；（2）∵抛物线过点B （4，0），点A 在x 轴的正半轴，∴对称轴在直线x =2的右侧． ∴22b a->． ∴202b a +<，即4a 02b a +<．又∵a ＜0，∴4a 0b +>．∴②错误；（3）∵()11M y ，和()2N y 2，是抛物线上的两点，且0<1<2， ∴抛物线在02b x a <<-上，y 随x 的增大而增大，在2b x a>-上，y 随x 的增大而减小． ∴12y y >不一定成立．∴③错误；（4）∵3AB ≥，B （4，0），∴点A 的横坐标大于0且小于或等于1．∴当x =1时，有0y a b c =++≥；当x =4时，有1640y a b c =++=． ∴416b c a +=-，代入416b c a +=-，得，4016b c b c +-++≥．整理得，450b c +≥．∴432b c c +≥-．又∵c <0，∴-2c >0．∴430b c +>．∴④正确．故选：C ．9．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2()0y x bx b b =+->与y 轴交于点C ，点(,)A m n 在该抛物线位于y 轴左侧的图象上．记AOC △的面积为S ，若20S b <<，45AOC ∠>︒，则下列结论正确的是（） A ．02m b << B ．20b m -<< C ．22b n b -<< D ．22b n b b -<<-【答案】D由题意画出所示图象，因为函数的二次项系数为1>0，b >0,根据系数ab 同号，可以得出对称轴在y 轴左边，根据二次函数的顶点坐标，可知图像顶点在第四象限．由于点A 在y 轴的左侧，∴m ＜0，A 选项错误； ∵212AOC S ＝m b b ⋅⋅< ， ∴m ＜2b ，∴﹣2b ＜m ，∵∠AOC ＞45°，作直线y ＝x 交抛物线y ＝x 2+bx ﹣b 于点B （1x ，1x ），x 1＜0，代入抛物线得，∴1x ＝21x +b 1x ﹣b ，∴1x 2+（b ﹣1）1x ﹣b ＝0，∴△＝（b ﹣1）2+4b ＝（b +1）2，∴1x ()112b b b --+==-，若∠AOC ＞45°，则点A 在点B 的左侧，∴n ＞1x ，n ＞﹣b ，∴m ＜1x ，m ＜﹣b ，即﹣2b ＜m ＜﹣b ，∴B 选项错误；当﹣2b ＜m 时，在（﹣2b ，﹣b ）内递减，∴n ＜（﹣2b ）2+b •（﹣2b ）﹣b ，即n ＜2b 2﹣b ，∴﹣b ＜n ＜2b 2﹣b ，∴C 选项错误，D 选项正确．故选：D ．10．若直线2y kx k =++与x 轴的交点位于x 轴正半轴上，则它与直线21y x =-交点的横坐标a 的取值范围为（）A ．32a <B ．302a <<C ．1342aD ．14a > 【答案】C解：直线2y kx k =++与x 轴的交点位于x 轴正半轴上，0k ∴≠．令20y kx k ，解得：20k x k ，即210k ，得21k<-． ①当0k >时，解得2k <-，与题设矛盾；②当0k <时，解得2k >-，所以20k -<<．当直线2y kx k =++与直线21y x =-相交时，221kx k x ，解得：32k x k，即32k a k ，又35(2)51222k k ak k k ，20k ， 02k ， 224k ， ∴111422k ，∴555422k ， ∴1531422k ．故选：C ．11．如图，已知直线()110y k x b k =+≠与x 轴、y 轴相交于Q ，P 两点，与()220k y k x=≠的图象相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，连接OA ，OB ，现有以下4个结论：①120k k >；②不等式21k k x b x +>的解集是12x x x <<；③121b x x k +=-；④S S AOP BOQ ∆∆=．其中正确结论的序号是________．（填上你认为正确的所有结论的序号）【答案】①③④解：①如图所示，直线y =kx 1+b （k 1≠0）经过第一、三象限，则k 1＞0．双曲线()220k y k x=≠经过第一、三象限，则k 2＞0．所以k 1k 2＞0．故结论①正确；②如图所示：不等式21k k x b x+>的解集是x 1＜x ＜0或x ＞x 2；故结论②不正确； ③把()11,A x y ，()22,B x y 的坐标代入1y k x b =+得111122k x b y k x b y +=⎧⎨+=⎩， ∴211111212222k x bx x y k x bx x y ⎧+=⎨+=⎩，把()11,A x y ，()22,B x y 的坐标代入2k y x=，得1122x y x y =， ∴22111122k x bx k x bx +=+，∴()()()11212120k x x x x b x x +-+-=， ∴()()121120x x k x x b -++=⎡⎤⎣⎦，∵12x x ≠，∴()1120k x x b ++=， ∴121b x x k +=-；故结论③正确；④把()11,A x y ，()22,B x y 的坐标代入1y k x b =+得， 111122k x b y k x b y +=⎧⎨+=⎩，解得12112122112y y k x x x y x y b x x -⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩， ∴直线解析式为1212211212y y x y x y y x x x x x --=+--， ∴点1221120,,x y x y P x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，211212,0x y x y Q y y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，把()11,A x y ，()22,B x y 的坐标代入2k y x =，得1122x y x y =， ∴2221221122211121112121212121112222POB x y x y x x y x y x y x y x y x y S x x x x x x x ∆---+=⨯⨯=⨯=⨯=---， ∴2211221121112121122QOA x y x y x y x x y S y y y y y ∆--=⨯⨯=⨯-- 22122221222111121222x y x y x y x y x y x y y y -++=⨯==-∴POB QOA S S ∆=，∴AOP BOQ S S∆=．故结论④正确．故答案为：①③④．12．如图1，E 是等边ABC 的边BC 上一点（不与点B ，C 重合），连接AE ，以AE 为边向右作等边AEF ，连接CF ．已知ECF △的面积（S ）与BE 的长（x ）之间的函数关系如图2所示（P 为抛物线的顶点）．（1）当ECF △的面积最大时，FEC ∠的大小为______ ．（2）等边ABC 的边长为______ ．【答案】30过F 作FD BC ⊥，交BC 的延长线于D ，如图： ABC 为等边三角形，AEF 为等边三角形，AB AC ∴=，AE AF =，60BAC ABC ACB EAF AEF ∠=∠=∠=∠=∠=︒，BAE CAF ∴∠=∠，ABE ∴≌ACF ，BE CF ∴=，60ABE ACF ∠=∠=︒，BE x =，CF x ∴=，18060FCD ACB ACF ∠=︒-∠-∠=︒， 3sin 602FD CF x ∴=⋅︒=，设等边ABC 边长是a ，则CE BC BE a x =-=-，()21122ECF S CE FD a x x x ∴=⋅=-=，当12x a ==⎝⎭时，ECF S220⎫-⎪=⎝⎭， (1)当ECF △的面积最大时，12BE a =，即E 是BC 的中点， AE BC ∴⊥，90AEB =︒∠，60AEF ∠=︒，18030FEC AEB AEF ∴∠=︒-∠-∠=︒，故答案为：30；（2）当12x a =时，ECF S2，由图可知ECF S最大值是2=a =a =-边长0a >，舍去）， ∴等边ABC的边长为a =故答案为：13．在平面直角坐标系中，已知抛物线2222y x tx t t =-+-++．（1）若该抛物线过原点，则t 的值为________．（2）已知点(4,2)A --与点(2,2)B -，若该抛物线与线段AB 只有一个交点，则t 的范围是__．【答案】1-或2 43,05t t -≤<-<≤解：(1) 把（0，0）代入抛物线2222y x tx t t =-+-++得，202t t =-++，解得，11t =-，22t =；故答案为：1-或2(2) 由解析式可知抛物线的对称轴是直线x t =；把点(4,2)A --代入解析式得，221682t t t -=---++，解得，13t =-，24t =-；当13t =-时，抛物线与线段刚好有两个交点(4,2)--和(2,2)--，当24t =-时，抛物线与线段只有一个交点，故t 的范围是43t -≤<-；把点(2,2)B -代入解析式得，22442t t t -=-+-++，解得，10t =，25t =；当10t =时，抛物线与线段刚好有两个交点(2,2)--和(2,2)-，当25t =时，抛物线与线段只有一个交点，故t 的范围是05t <≤；故答案为：43,05t t -≤<-<≤14．如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y =12x 的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A 的坐标为（27，9），阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S 1、S 2、S 3、…、S n ，则第4个正方形的边长及S 3的值分别为___．【答案】276561,232解:正比例函数y=12x 的图象与x 轴交角的正切值为12，已知A 的坐标为(27 ,9)， ∴第4个正方形的边长是272=392⨯ 第三个正方形的边长为9，第二个正方形的边长为6，第一个正方形的边长为4，第五个正方形的边长为814由图可知： 11144(46)622S =⨯⨯+⨯+⨯-1(46)682⨯+⨯=2112727199(9)(922222S =⨯⨯+⨯+⨯-⨯+272781)222⨯= 318181656124432S ∴=⨯⨯= 故答案为：276561,23215．我校学生社团开展以来全校师生积极参与，为了了解同学们参与的意向，卢老师在全年级进行了随机抽样调查（被抽到的同学都填了意向表，且只选择了一个意向社团），统计后发现共A 、B 、C 、D 四个社团榜上有名．其中选C 的人数比选D 的少6人；选A 的人数是选D 的人数的整数倍；选A 与选D 的人数之和是选B 与选C 的人数之和的9倍；选A 与选B 的人数之和比选C 与选D 的人数之和多56人．则本次参加调查问卷的学生有______人．【答案】80解：设选D 的人为x ,则选C 的(x -6)人,设选A 的为ax 人，则选B 的为y 人()(6)569(6)ax y x x ax x y x +--+=⎧⎨+=+-⎩③-②得：3552x y +=1494258x x x y y y ⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎩⎩⎩======或或把142x y ⎧⎨⎩==代入①得a =5.43（舍去，非整数）把95x y ⎧⎨⎩==代入②得a =7 把48x y ⎧⎨⎩==代入①得a =12.5（舍去，非整数） ∴x =9，y =5，a =7∴:63;:5;:63:9A ax B y c x D x ==-==；∴总人数为：6353980+++=故答案为：8016．如图，ABC 中90A ∠=︒，5AB =，12AC =，点D 为动点，连接BD 、CD ，BDC ∠始终保持为90︒，线段AC 、BD 相交于点E ，则DE BE的最大值为__________．【答案】45解：由题意，设AE x =，则12CE x =-，BE ∴在ABE △和DCE 中，90A D AEB DEC ∠=∠=︒⎧⎨∠=∠⎩， ABE DCE ∴~，AE BE DE CE ∴=，即x DE = 解得DE =，则2(12)25x x E x D BE -=+，令(0)DE k k BE =>，则2(12)25x x k x -+=，整理得：2(1)12250k x x k +-+=，关于x 的一元二次方程2(1)12250k x x k +-+=有实数根，∴方程根的判别式144425(1)0k k ∆=-⨯+≥，即22525360k k +-≤，令22525360k k +-=，解得1249,55k k ==-，由二次函数2252536y k k =+-的性质可知，当0y ≤时，9455k -≤≤，则k 的最大值为45，即DE BE 的最大值为45，故答案为：45． 17．已知，矩形ABCD 中，6,9AB BC ==，点F 在AB 边上，且2AF =，点E 是BC 边上的一个点，连接EF ，作线段EF 的垂直平分线HG ，分别交边AD ，BC 于点H 、G ，连接FH ，EH ．当点E 和点C 重合时（如图1），DH =_________；当点B ，M ，D 三点共线时（如图2），DH =_________．【答案】4918； 103．解：①∵HG 是线段EF 的垂直平分线，∴FH =CH ，设DH =m ，∵四边形ABCD 为矩形，∴AD =BC =9，CD =AB=6，∠A =∠D =90°，由勾股定理可得FH 2=FA 2+AH 2，CH 2=HD 2+DC 2，∴22+（9-m ）2=m 2+62，解得m =4918，故答案为：4918； ②过M 作MN ⊥BE 于N ，连结BD ，FG ，设HD =m ，EC =n ，BG =x ，点B ，M ，D 三点共线，∵FM =ME ，MN ∥FB ，∴NB =NE ，NM =()116222BF AF =-=，又∵MN ∥CD ，∴∠BMN =∠BDC ，∠MNB =∠C ，∴△BMN ∽△BDC ， ∴2163BM MN BD CD ===， ∴=3BD BM ，∴=32DM BD BM BM BM BM =--=∵HD ∥BG ，∴∠DHM =∠BGM ，∠HDM =∠GBM ，∴△HDM ∽△GBM ， ∴22HD MD BM BG BM BM===， ∴11=,22BG HD x m =，在Rt △BFG 中，FG =9-BG -EC =192GE m n =-- BG 2+FB 2=FG 2，即42+2211=922m m n ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴()218965n n m mn ---=-① 由勾股定理HF 2=AF 2+AH 2，HE 2=62+（m -n ）2∴22+（9-m ）2=62+（m -n ）2∴()22949n m mn +-=② ①×2+②得233681n n -=-因式分解得()()390n n --=解得3n =或9n =（舍去）把3n =代入②9+2（9m -3m ）=49,解得m =103．故答案为： 103．18．我们可以从解方程的角度理解从有理数扩充到实数的必要性．若()0a a ≥不是某个有理数的平方，则方程2x a =在有理数范围内无解；若b 不是某个有理数的立方，则方程3x b =在有理数范围无解．而在实数范围内以上方程均有解，这是扩充数的范围的一个好处．根据你对实数的理解，选出正确命题的序号__________．①93x =在实数范围内有解；②202050x -=在实数范围内的解不止一个；③245x x +=在实数范围内有解，解介于1和2之间；④对于任意的()0a a ≥ 【答案】①②①93x =，则()333x =，即3x =∴93x =，在实数范围内有解，故选项①正确；②202050x -=，则()210105x =，∴202050x -=在实数范围内的解有两个，故选项②正确；③245x x +=，整理得：4250x x +-=，配方得：2212124x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，开方得：2122x +=或2122x +=-(舍去)，∴211222x =-=，∴原方程在在实数范围内有解，且一正一负，故选项③错误；④当0a =0=；当8a =2>=；当18a =12<=；故选项④错误；综上，①②正确，故答案为：①②．19．如果一个两位数a 的个位数字与十位数字都不是零，且互不相同，我们称这个两位数为“跟斗数”，定义新运算：将一个“跟斗数”的个位数字与十位数字对调，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记()a ω，例如：a =13，对调个位数字与十位数字得到新两位数31，新两位数与原两位数的和，31+13=44，和与11的商44÷11=4，所以()134ω=．根据以上定义，回答下列问题：（1）计算：()23ω=____________．（2）若一个“跟斗数”b 的十位数字是k ，个位数字是2(k +1)，且()8b ω=，则“跟斗数”b =____________．（3）若m ，n 都是“跟斗数”，且m +n =100，则()()m n ωω+=____________．【答案】5 26 19解：（1）()233223511ω+== （2）∵一个“跟斗数”b 的十位数字是k ，个位数字是2(k ＋1)，且()8b ω=，∴[][]102(1)102(1)811k k k k +++⨯++= 解得k =2，∴2(k ＋1)=6，∴b =26．（3）∵m ，n 都是“跟斗数”，且m ＋n =100，设m =10x ＋y ，则n =10(9-x )＋(10-y )， ∴[][]10(9)(10)+10(10)(9)(10)(10)()()1111x y y x x y y x m n ωω-+--+-++++=+ 10109010101001091111x y y x x y y x +++-+-+-+-=+111120*********x y x y +--=+ 1919x y x y =++--=20．若实数a ，b 满足1a b -=，则代数式2225a b b --+的值为_______________．【答案】6．解：2225()()25a b b a b a b b --+=+--+，把1a b -=代入得()25255a b b a b b a b +-+=+-+=-+，再把1a b -=代入得5156a b -+=+=；故答案为：6．21．已知数轴上的点A 表示的数为2．动点B 从点A 出发在数轴上运动．（1）点B 先向左9个单位，再向右5个单位，则终点B 表示的数为_______，此时A 、B 两点间的距离为_______．（2）若点B 先向左a 个单位，再向右7个单位，此时A 、B 两点间的距离为5，求a 的值．（3）若点B 第1次向左3个单位，第2次向右6个单位，第3次向左9个单位，第4次向右12个单位…，依此规律，移动到第n 次结束（n 为偶数），则终点B 表示的数是______．【答案】（1）-2，4；（2）2或12；（3）432n + 解：（1）点B 先向左9个单位，再向右5个单位，则终点B 表示的数为2-9+5=-2，此时A 、B 两点间的距离为2-（-2）=4；（2）由题意可得：移动后点B 表示的数为：2-a +7=9-a ，则此时A 、B 两点间的距离为925a --=，解得：a =2或a =12；（3）∵第1次向左3个单位，此时点B 表示的数为2-3=-1，第2次同右6个单位，此时点B 表示的数为-1+6=5，第3次向左9个单位，此时点B 表示的数为5-9=-4，第4次向右12个单位，此时点B 表示的数为-4+12=8，...，∴第n 次（n 为偶数）向右3n 个单位，则终点B 表示的数是：2-3+6-9+12-...+3n =2+32n =432n +． 22．已知，在计算：()()12++++N N N 的过程中，如果存在正整数N ，使得各个数位均不产生进位，那么称这样的正整数N 为“本位数”．例如：2和30都是“本位数”，因为2349++=没有进位，30313293++=没有进位；15和91都不是“本位数”，因为15161748++=，个位产生进位，919293276++=，十位产生进位．则根据上面给出的材料：（1）下列数中，如果是“本位数”请在后面的括号内打“√”，如果不是“本位数”请在后面的括号内画“×”． 106（）；111（）；400（）；2015（）．（2）在所有的四位数中，最大的“本位数”是，最小的“本位数”是．（3）在所有三位数中，“本位数”一共有多少个？【答案】（1）×，√，×，×；（2）3332；1000；（3）36（个）．解：（1）106107108321++=有进位；111112113336++=没有进位；4004014021203++=有进位；2015201620176048++=有进位；故答案为：×，√，×，×．（2）要想保证不进位，千位、百位、十位最大只能是3，个位最大只能是2，故最大的四位“本位数”是3332；千位最小为1，百位、十位、个位最小为0，故最小的“本位数”是1000，故答案为：3332，1000．（3）要想构成“本位数”，百位可以为1，2，3，十位可以为0，1，2，3，个位可以为0，1，2，所有的三位数中，“本位数”一共有34336⨯⨯=（个）．23．在平面直角坐标系xoy 中，矩形OABC 的顶点A ，C 的坐标分别为（0，3），(2，0），顶点为M 的抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过点A ，B ，且与x 轴交于点D ，E （点D 在点E 的左侧）．（1）直接写出点B 的坐标，抛物线的解析式及顶点M 的坐标；（2）点P 是（1）中抛物线对称轴上一动点，求△PAD 的周长最小时点P 的坐标；（3）平移抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c ，使抛物线的顶点始终在直线AM 上移动，在平移的过程中，当抛物线与线段BM 有公共点时，求抛物线顶点的横坐标a 的取值范围．【答案】（1）B （2，3），y ＝－x 2＋2x ＋3，M （1，4）；（2）点P 的坐标为（1，2）；（3）当抛物线与线段B M 有公共点时，抛物线顶点的横坐标a 的取值范围为78≤a ≤1或2≤a ≤4．解：（1）∵点A ，C 的坐标分别为（0，3），(2，0），且四边形OABC 是矩形，∴B (2，3)；把点A 、B 代入抛物线的解析式，则3423c b c =⎧⎨-++=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩； ∴y ＝－x 2＋2x ＋3，∴2(1)4y x =--+；∴点M 为(1，4)；（2）在对称轴上取一点P ，连接PA ，PB ，PD ，由抛物线及矩形的轴对称性可知点A ，B 关于抛物线的对称轴对称，所以PA ＝PB ，因此当点P ，B ，D 在一条直线上时△PAD 的周长最小．当－x 2＋2x ＋3＝0时，解得，x 1＝－1，x 3＝3∴点D (－1，0).设直线BD 的解析式为y BD ＝kx ＋q ，于是有y ＝x ＋1．当x ＝1时，y ＝2，∴点P 的坐标为(1，2) ．（3）由题意可得y AM ＝x ＋3，y BM ＝－x ＋5．∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的顶点在直线y AM ＝x ＋3上∴可设平移中的抛物线的解析式为y ＝－(x －a )2＋a ＋3．当a ＝1时，抛物线y ＝－(x －a )2＋a ＋3即y ＝－x 2＋2x ＋3，此时抛物线y ＝－(x －a )2＋a ＋3与线段AB 有两个交点当a ＞1时，①当抛物线y ＝－(x －a )2＋a ＋3经过点()1,4M 时，有－(1－a )2＋a ＋3＝4，解得：a 1＝1(舍去)，a 2＝2．②当抛物线y ＝－(x －a )2＋a ＋3经过点B (2，3)时，有－(2－a )2＋a ＋3＝3，解得a 1＝1(舍去)，a 2＝4．综上得 2≤a ≤4；当a ＜1且抛物线y ＝－(x －a )2＋a ＋3与直线y BA ＝－x ＋5有公共点时，则方程－(x －a )2＋a ＋3＝－x ＋5即x 2－(2a ＋1)＋a 2－a ＋2＝0有实数根，∴(2a ＋1) 2－4(a 2－a ＋2)≥0，即a ≥78． ∴78≤a ＜1．综上可得78≤a ≤1或2≤a ≤4时，平移后的抛物线与线段BA 有公共点． 24．阅读理解：对于任意一个四位数，若千位数字与十位数字均为奇数，百位数字与个位数字均为偶数，则称这个四位数为“均衡数”．将一个“均衡数”的千位数字与十位数字组成一个新的两位数m ，原来千位数字作为m 的十位数字；将一个“均衡数”的百位数字与个位数字组成另一个新的两位数n ，原来百位数字作为n的十位数字．例如：“均衡数”3812，则31,82m n ==．若,m n 各个数位上的数字都不为零且十位数字大于个位数字，则将m 中的任意一个数字作为一个新的两位数的十位数字，n 中的任意一个数字作为这个新的两位数的个位数字，按这个方式产生的所有新的两位数的和记为(,)F m n ．例如：3182m n ==，时，(31,82)38321812100F =+++=．（1）3456_______（填“是”或“不是”）“均衡数”，最小的“均衡数”为_______；（2）若(,)F m n 是一个完全平方数，请求出所有满足条件的“均衡数”．【答案】（1）是，1212；（2）1616，3812，5814，7622，7652解：（1）由“均衡数”的定义可得3456是“均衡数”，最小的“均衡数”为1212．故答案为：是，1212；（2）设m =ab ，n =xy （a ＞b ，x ＞y ），F （m ，n ）=F （ab ，xy ）=10a +x +10a +y +10b +x +10b +y=2（10a +10b +x +y ），∵0＜a ，b ，x ，y ＜9，∴0＜2（10a +10b +x +y ）＜396，∵2（10a +10b +x +y ）是偶数，又是一个完全平方数，∴满足条件的完全平方数有64，100，144，196，256，324，当2（10a +10b +x +y ）=64时，a =1，b =1，x =6，y =6满足题意，当2（10a +10b +x +y ）=100时，a =3，b =1，x =8，y =2满足题意，当2（10a +10b +x +y ）=144时，a =5，b =1，x =8，y =4满足题意，当2（10a +10b +x +y ）=196时，a =7，b =1，x =9，y =9不满足题意，当2（10a +10b +x +y ）=256时，a =7，b =5，x =6，y =2满足题意，当2（10a +10b +x +y ）=324时，没有解．故所有满足条件的“均衡数”为1616，3812，5814，7622，7652．25．如图，抛物线2y x bx c =-++经过(1,0),(,0)A B m -两点(0)m >，与y 轴交于点C ，连接,AC BC ．（1）求证：OB OC =；（2）设点(,)P x y 是抛物线2y x bx c =-++上,B C 两点之间的动点，连接,PB PC ．在3m =的条件下：①若12PBC ABC S S =，求点P 的坐标；②若1n x n ≤≤+，且2y x bx c =-++的最大值为2n ，直接写出n 的值．【答案】（1）见解析；（2）①点P 的坐标为(1,4)或(2,3)；②1-解：（1）把A （-1，0）代入解析式，得-1-b +c =0即b =c -1．∵y =-2x +bx +c 的对称轴为x =b 2，A （-1，0），B （m ，0）是对称点， ∴b 122m -+=， ∴b =m -1，∴m -1=c -1，∴m =c ，∵OB =m ，OC =c ，∴OB =OC ；（2）①当m =3时，b =m -1=2，c =m =3，∴抛物线的解析式为y =-2x +2x +3，∴B （3，0），C （0，3），∴OB =OC =3；∵A （-1，0），∴AB =4， ∴1143622ABC S AB OC =•=⨯⨯=△, ∴132PBC ABC S S ==△△，过点P 作PD ⊥x 轴，垂足为D ，交BC 于点E ，设直线BC 的解析式为y =kx +t ，根据题意，得333t k t =⎧⎨+=⎩，解得31t k =⎧⎨=-⎩， ∴直线BC 的解析式为y =-x +3，∴点P 的坐标（x ，-2x +2x +3），点D 的坐标（x ，0），点E 的坐标（x ，-x +3），∴PE =（-2x +2x +3）-（-x +3）=-2x +3x ，过点C 作CF ⊥PE ，垂足为F ，则1()2PBC S PE CF BD =+△， ∴213(3)32x x ⨯⨯-+= ∴2320x x -+=，解得x =1或x =2，∴点P 的坐标为（1，4）或（2，3）②∵抛物线y =-2x +2x +3=2(1)4x --+，∴当x =1时，函数y 有最大值，且为4，当n ≤1≤n +2时即-1≤n ≤1时，函数有最大值4，故2n =4，解得n =2，不符合题意，故n =2舍去；当1＜n ≤x ≤n +2时即取值范围在对称轴右边，∵抛物线开口向下，∴在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小，∴当x =n 时，函数有最大值，此时函数值为y =-2n +2n +3，∴-2n +2n +3=2n ，解得n n = ；当n ≤x ≤n +2＜1时即取值范围在对称轴左边，∵抛物线开口向下，∴在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，∴当x =n +2时，函数有最大值，此时函数值为y =-2(2)n ++2（n +2）+3，∴-2(2)n ++2（n +2）+3，解得n =1-n =1-（舍去）；∴n 1-26．如图1，二次函数22y ax bx =++的图象交x 轴于点()2,0A -、()3,0B ，交y 轴于点C ，P 是第一象限内二次函数图象上的动点．（1）求这个二次函数的表达式；（2）过点P 作PQ x ⊥轴于点Q ，若以点P 、A 、Q 为顶点的三角形与BOC 相似，求点P 的坐标；（3）如图2．连接AP ，交直线BC 于点D ，当2BD CD =时，求ADC ∠的正切值．【答案】（1）211233=-++y x x ；（2）()1,2；（3）3019．解：（1）将()2,0A -、()3,0B 代入函数表达式，得42209320a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得1313a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴所求二次函数的表达式为211233=-++y x x ；（2）∵以点P 、A 、Q 为顶点的三角形与BOC ∆相似，如图所示:∴PAQ CBO ∠=∠或OCB ∠，而2tan 3CO CBO OB ∠==，故2tan 3PAQ ∠=或32，设点P 的坐标为211,233x x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则2AQ x =+，故2112233tan 23x x PQ PAQ AQ x -++∠===+或32，解得1x =（不合题意的值已舍去），检验:把1x =代入原方程的分母，分母不等于0，∴是原方程的根，故点P 的坐标为()1,2；（3）过点A 作AE AP ⊥交直线BC 于点E ，过点D 作DG x ⊥轴于点G ，过点E 作EF x ⊥轴于点F ，如图所示:∴90EFA EAD AGD ∠=∠=∠=︒,∴90FEA EAF ∠+∠=︒，90DAG EAF ∠+∠=︒,∴FEA DAG ∠=∠,∴EAF ADG ∽△△, ∴EF AF AE AG DG AD==, ∵90COB DGB ∠=∠=︒，CBO CBO ∠=∠，∴DBG CBO ∽△△, ∴BD BG DG BC BO CO==, 设2,23E x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，则2AF x =--，223EF x =-+, ∵2BD CD =， ∴23BD BC =时，点41,3D ⎛⎫ ⎪⎝⎭, ∴3AG =，43DG =,∴2223433x x AE AD-+--==，解得7819x =-， ∴30tan 19AE ADC AD ∠==． 27．如图1，抛物线2y bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，点A 、B 分别位于原点左、右两侧，且24AO BO ==，过A 点的直线y kx c =+交y 轴于点C ．（1）求k 、b 、c 的值；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使ACP △为直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点M 为线段AC 上一点，连接OM ，求12AM OM +的最小值．【答案】（1）2b c ==-k =；（2）1(1P -，2(1P -，3(P -，4(1P -，-；（32 解：（1）∵24AO BO ==，∴A (-4，0)，B (2，0)，把A (-4，0)，B (2，0)代入24y x bx c =++，得0402b c b c ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，解得：b c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴直线AC的解析式为：y kx =-把A (-4，0)代入y kx =-04k =--k =，∴2b c ==-k =；（2）∵A (-4，0)，C (0，-)，∴()(22240024AC =--++=，∵抛物线的对称轴为：直线1x ==-，∴设P (-1，y )，则()()22224109AP y y =-++-=+，()()()2222011PC y y =++-=+-， ①当∠APC =90°时，则222AP PC AC +=，∴29y ++()21y +-=24，解得：12y y ==∴1(1P -，2(1P -， ②当∠PAC =90°时，则222AP AC PC +=，∴29y ++24=()21y+-，解得：y =∴3(P -， ③当∠ACP =90°时，则222PC AC AP +=，∴()21y +-+24=29y +，解得：y =-∴4(1P -，-，综上所述：1(1P -，2(1P -，3(P -，4(1P -，-；（3）过点A 作直线EF ，交y 轴于点E ，使∠CAE =30°，过点O 作ON ⊥EF ，交AC 于点M '，此时，12AM OM +的最小值=M 'N +O M '=ON ，过点C 作CH ⊥EF 于点H ， ∵OA =4，OC=∴AC=∴CHAH设HE =a ，CE =b ，∵∠CHE =∠AOE =90°，∠AEO =∠CEH ，∴AEO CEH ∽，==，解得：a b == ∵ON ∥CH ，∴OEN CEH ∽， ∴CH CE ON OE =55126=，解得：2ON =， ∴12AM OM +2．28．如图所示，在抛物线上选定两点，我们把过这两点的线段和这条抛物线所围成的图形称作抛物线弓形．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()20y axa =>与直线y x =相交于点O 和点A ，OA 截得的抛物线弓形的曲线上有一点P ．（△）当1a =时，解答下列问题：①求A 点的坐标；②连接OP ，AP ，求OPA 面积的最大值；③当OPA 的面积最大时，直线OP 也截得一个更小的抛物线弓形，同理在这个更小的抛物线弓形曲线上也有一点P '，连接OP '，P P '，当OP P '的面积最大时，求这个OP P '的最大面积与②中OPA 的最大面积的比值；（△）将（△）中1a =的条件去掉后，其它条件不变，则OP P '的最大面积与OPA 的最大面积的比值是否变化？请说明理由．【答案】（Ⅰ）①()1,1A ；②18；③18；（Ⅱ）不变，见解析；解：（Ⅰ）①当1a =时，抛物线解析式为2y x ，解方程组2y x y x ⎧=⎨=⎩，解得121201,01x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩， ∴()1,1A ；②设过点P 与OA 平行的直线为y x b =+，由2y x y x b⎧=⎨=+⎩得20x x b --=，由0∆=，可得14b =-， ∴14y x =-， ∴11,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，此时OPA 面积最大值为1111248⨯⨯=． ③由②直线OP 的解析式12y x =，设与OP 平行的直线为112y x b =+，由2112y x y x b ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得21102x x b --=，由0∆=，可得1116b =-， ∴OPP '△面积最大值为1111216264⨯⨯=， ∴OPP '△的面积与OPA 的面积的比18．（Ⅱ）不变．理由：2(0)y ax a =>与直线y x =交点为()0,0和11,A a a ⎛⎫⎪⎝⎭，设过点P 与OA 平行的直线为y x b =+，由2y ax y x b⎧=⎨=+⎩得20ax x b --=，由0∆=，可得14b a =-， ∴14y x a=-， ∴11,24P a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，此时OPA 面积最大值为21111248a a a ⨯⨯=．由1:2OP y x =，设与OP 平行的直线为112y x b =+，由2112y ax y x b ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得21220ax x b --=，由0∆=，可得1116b a =-， ∴OPP '△面积最大值为21111216264a a a ⨯⨯=， ∴OPP '△的面积与OPA 的面积的比18． 29．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于点()1,0A -和点B ，与y 轴交于点()0,2C ．（1）求这条抛物线的表达式；（2）如果将抛物线向下平移m 个单位，使平移后的抛物线的顶点恰好落在线段BC 上，求m 的值；（3）如果点P 是抛物线位于第一象限上的点，联结PA ，交线段BC 于点E ，当:4:5PE AE =时，求点P 的坐标．【答案】（1）抛物线解析式为213222y x x =-++；（2）158=m ；（3）点(2,3)P解：（1）212y x bx c =-++与x 轴交于点(1,0)A -，与y 轴交于点(0,2)C ． ∴2102c b c =⎧⎪⎨=--+⎪⎩，解得：322b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线解析式为213222y x x =-++；（2）221313252()22228y x x x =-++=--+， ∴顶点坐标为3(2，25)8， 213222y x x =-++与x 轴交于点A ，点B ， 2130222x x ∴=-++， 11x ∴=-，24x =，∴点(4,0)B ，设直线BC 解析式为y kx n =+，204n k n=⎧⎨=+⎩，解得：122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC 解析式为122y x =-+，当32x =时，54y =， 25515848m ∴=-=；（3）如图，过点E 作EF AB ⊥于F ，过点P 作PH AB ⊥于H ，//EF PH ∴，AEF APH ∴∆∆∽， ∴AE AF EF AP AH PH==， :4:5PE AE =， ∴59AE AF EF AP AH PH ===， 5AF x ∴=，9PH x =，51OF x ∴=-，91OH x =-，∴点191(51)22P x x ⎛⎫---+ ⎪⎝⎭，，，点21351(91)(91)222E x x x ⎛⎫---+-+ ⎪⎝⎭，，， 1(51)22EF x ∴=--+，213(91)(91)222PH x x =--+-+， ∴21(51)252139(91)(91)222x x x --+=--+-+， 13x ∴=， ∴点(2,3)P ．30．如图，抛物线M ：24y x x =-+交x 轴正半轴于点A ，将抛物线1M 先向右平移3个单位，再向上平移3个单位得到抛物线2M ，1M 与2M 交于点B ，直线OB 交2M 于点C ．（1）①抛物线2M 的解析式为_______；②求点B ，C 的坐标．（2）P 是抛物线1M AB ⊥间的点，作PQ x ⊥轴交抛物线2M 于点Q ，连接CP ，CQ ．设点P 的横坐标为m ，当m 为何值时，使CPQ 的面积最大？并求出最大值．【答案】（1）①21018=-+-y x x ，②点B 、C 的坐标分别为()3,3、()6,6；（2）当4m =时，S 有最大值，且最大值为6．解：（1）①根据抛物线的性质，y ＝﹣x 2+4x 移后的对应的函数表达式为y ＝﹣（x ﹣3）2+4（x ﹣3）+3＝﹣x 2+10x ﹣18②，联立①②并解得33x y =⎧⎨=⎩，故点B 的坐标为（3，3），由点B 的坐标得，直线OB 的表达式为y ＝x ③，联立②③并解得33x y =⎧⎨=⎩或66x y =⎧⎨=⎩，故点B 、C 的坐标分别为（3，3）、（6，6）；∴①答案为：y ＝﹣x 2+10x ﹣18，②点B 、C 的坐标分别为（3，3）、（6，6）；（2）如图2，过点C 作CH ⊥PQ ，交PQ 延长线于点H ，∴PQ ⊥x 轴，∴PQ ＝（﹣m 2+10m ﹣18）﹣（﹣m 2+4m ）＝6m ﹣18，CH ＝6﹣m ，∴S △CPQ 12=（6m ﹣18）（6﹣m ）＝﹣3m 2+27m ﹣54，由于P 是抛物线M 1上AB 段一点，故3≤m ≤4，m922ba=-=，不在3≤m≤4范围内，∵a＝﹣1，开口向下，在对称轴的左侧，S随着m的增大而增大，∴当m＝4时，S有最大值，且最大值为6．。

双曲线基本知识点及例题优选版

双曲线基本知识点及例题优选版1. 过双曲线的一个焦点作x轴的垂线，求垂线与双曲线的交点到两焦点的距离。

2. 已知双曲线的离心率为2，求它的两条渐近线的夹角。

3. 在面积为1的△PMN中，，建立适当坐标系，求以M、N为焦点且过点P的双曲线方程。

4. 已知椭圆和双曲线有相同的焦点，P是两条曲线的一个交点，求的值。

5. 已知椭圆及点B（0，－2），过左焦点F1与点B的直线交椭圆于C、D两点，椭圆的右焦点为F2，求△CDF2的面积。

6. P为椭圆上任意一点，F1为它的一个焦点，求证以焦半径F1P为直径的圆与以长轴为直径的圆相切。

7. 已知两定点A（－1，0），B（1，0）及两动点M（0，y1），N（0，y2），其中，设直线AM与BN的交点为P。

（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）若直线与曲线C位于y轴左边的部分交于相异两点E、F，求k 的取值范围。

8. 直线只有一个公共点，求直线l的方程。

1. 解：∵双曲线方程为，∴＝13，于是焦点坐标为设过点F1垂直于x轴的直线l交双曲线于，∴故垂线与双曲线的交点到两焦点的距离为。

2. 解：设实轴与渐近线的夹角为，则∴∴两条渐近线的夹角为［点评］（1）离心率e与。

（2）要注意两直线夹角的范围，否则将有可能误答为。

3. 解：以MN所在直线为x轴，MN的中垂线为y轴建立直角坐标系，设，（如图所示）则解得设双曲线方程为，将点∴所求双曲线方程为点评：选择坐标系应使双曲线方程为标准形式，然后采用待定系数法求出方程。

4. 解：∵P在椭圆上，，又∵点P在双曲线上，，①、②两式分别平方得两式相减得，∴5. 解：∵，由∵与椭圆有两个公共点，设为：∴又点F2到直线BF1的距离说明：本题也可用来解。

6. 略解1设为椭圆上任意一点，则又两圆半径分别为，，故此两圆内切。

略解2如图，∴此两圆内切7. 解：（1）由题意得AM的方程为，BN的方程为：。

两式相乘，得（2）由8. 解：由（1）∴此时直线l：x＝3与双曲线只有一个公共点（3，0）；（2）当b≠0时，直线l方程为。

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专题11 双曲线
例1 （1）连结OB ，则2
k
S S S S BOE COE BOF AOF =
===∆∆∆∆. 所以k =2 （2）作P 1C ⊥OA 于C ，P 2D ⊥OA 2于D ，P 1C =OC ，P 2D =A 1D =A 2D ，设OA 1 =a ，A 1A 2=b ，所以
42
2=∙a
a ，所以a =4. 又因为P 2D ·OD =4，所以42
2=∙⎪⎭⎫ ⎝⎛
+
b
b a .则b =4-24，所以OA 2 = OA 1+A 1A 2 = 4 +4-24=42，则A 2（42，0）. 例2 1 提示：作FG ⊥x 轴于G ，EH ⊥y 轴于H ，则AF =b 2，BE =a 2，
12
12222=⨯
==∙=∙ab b a BE AF
例3 （1）k =8
（2）可试一试用图2解答：C (1，8)，
CFA O AE O CD CD FE AO C S S S S S ∆∆∆∆---=矩形==32-4-4-9=15. （3）因为反比例函数图像是关于原点O 的中心对称图形，所以OP =OQ ，OA =OB .
所以四边形APBQ 是平行四边形，
6244
1
41=⨯==∆平行四边形S S POA . 设P 点的坐标为（m
m 8
,）（m >0且m ≠4），过点P 、A 分别作x 轴的垂线，垂足
为E 、F ，
∵点P 、A 在双曲线上，∴4==∆∆AO F PO E S S . 若0<m <4（如图a ）
∵AO F PO A PEFA PO E S S S S ∆∆∆+=+梯形 ∴6==∆PO A PEFA S S 梯形即 6)4(8221=-+m m
）（解得：m =2，m =-8(舍去) 若m >4（如图b ）
∵PO E PO A PEFA AO P S S S S ∆∆∆+=+梯形 ∴6==∆PO A PEFA S S 梯形即 6)4(8221=-+m m
）（解得：m =8，m =-2(舍去)
故点P 的坐标是P （2,4）或（8,1）
图 a 图b 例4 （1）x
y 1=
（2）解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==
1
21x y x y 得 11
=x ，21-2=x （舍去）从而y =1，∴A （1,1）
（3）符合条件的点P 存在，有下列情况（如图）：
①若OA 为底，则∠AOP 1=45°，OA =2，由OP 1 =P 1A ，得P 1(1，0)； ②若OA 为腰，AP 为底，则由OP =OA =2，得P 2(-2，0)，P 3（2，0）； ③若OA 为腰，OP 为底，则由AO =AP =2，得OP =2，P 4(2，0)
例5 （1）∵k S S BD O F AEO C ==矩形矩形
∴=-D OCK AEO C
S S 矩形矩形D O CK BD O F S S 矩形矩形-
∴CFBK AED K S S 矩形矩形= ②连AD 、AO 、BC 、BO .
∵ AOC ADC S S ∆∆=，BOD BCD S S ∆∆= ∴ BCD ADC S S ∆∆=
∴ CD ∥MN .
又∵AC ∥DN ，BD ∥CM ，
∴四边形ANDC 、BDCM 为平行四边形， ∴AN =DC =BM
（2）AN 与BM 仍然相等，证法同（1）.
例6 点A 与点B 之间的距离是5，则它们之间的连线是直角三角形的斜边. 设点C （a ，b ），则
⎩⎨⎧=-+=+-16
)3(9
42
222
b a b a ）（ ① ⎩⎨⎧=-+=+-9)3(1642222b a b a ）（ ② 解①得⎩⎨⎧==34b a 或⎪⎩⎪⎨
⎧
=
=
25
212528b a 所以C 的坐标是（4，3）或（
2528，25
21-）对应的k 的值是12 或625588-.
解②得 ⎩⎨⎧==00b a 或⎪⎩
⎪⎨
⎧
==2596
2572b a 因为原点不可能在反比例函数图像上，所以C 的坐标是（
2572，2596）对应的k 的值是625
6912. 综上所述，k 的值是12或5886912
625625
-
或
. A 级
1.-2
2.1、2
3.<
4.y 2>y 1>y 3
5.x <-1或0<x <2
6.2
7.A
8.A
9.A 10.(1)设A 点坐标为（x ，y )，由32ABO S =
，得13
||22
xy =，|k |=3，k =±3. ∵A 点在第四象限内，∴k =-3，两个函数的解析式分别为3
,2y y x x =-=--.
（2）由32
y x y x ⎧
=-
⎪⎨⎪=--⎩，得1131x y =-⎧⎨
=⎩，2213x y =⎧⎨=-⎩，∴A （1，-3），C （-3，1）.
设直线AC 与y 轴交于点D ，则D （0，-2）.故11
21234
22AOC S S AOD S COD =+=⨯⨯+⨯⨯= （平方单位）.
11.（1）m =6,n =2 (2)y =-2x +8 (3)A (0,8), B (4,0),AE =DF =2,CE =BF =1，又∠AEC =∠DFB =900，故ΔAEC ≌ΔDFB .
12.(1)1111112,2S x y x y =⨯= 而点P （x 1，y 1)在k
y x
=图象上，∴x 1y 1=k ，即S 1=k .同理
2221
22S x y k =⨯= ，∴S 1=S 2，又C 1=2（x 1+y 1)=122122(),2()k k x C x x x +=+
∴C 2-C 1=222221121122
2112
2()2x k x k x x kx x x kx x x x x +++--=-=⨯ ∵双曲线在第一象限，∴
x 1>0，x 2>0.∴x 1x 2>0.又x 1x 22+kx 1-x 12x 2-kx 2=x 1x 2(x 2-x 1)-k (x 2-x 1)=(x 1x 2-k )(x 2-x 1)，且21x x >，当12x x k =1212211221时,C =C ;当x x >k 时,C >C ;当x x <k 时,C <C .
（2）设四边形PMON 的周长为C ，则C =2（x +y ）.∵xy =k ，
∴2()k
C x x =+，这里x ，k 均大于0.
20,k
x x
≥∴+
≥ x =PMON 的周长C 最
小，最小值为，此时P .
B 级
1.-
2.-3
3.14
4.3
4- ΔBOC 为等腰直角三角形，OB =OC =1，BC
对称性可知AB =CD 作AE 垂直x 轴于E ，则32AC ==，OE =31122
-=. 5.①②④
6.A
7.B
8.C
9.(1)设B 点（x 0，y 0），S 正方形OABC =x 0y 0=9，x 0=y 0=3，
即B （3，3），k =x 0y 0=9. (2)①如图a ，P （m ，n ）在9y x
=上，S 矩形OEP 1F =mn =9，S 矩形OAGF =3n .,S =9-3n =92，n =3
2，m =6，
∴P 1(6,
3
2
). ②如图a ，同理可得P 2（
3
2
，6）. （3）①如图b ，当0<m <3时，S 矩形OEGC =3m ，S =S 矩形OEPF -S 矩形OEGC =9-3m (0<m <3).
②如图c ，当m ≥3时，S 矩形OAGF =3n ，S =9-3n =9-
27
m
(m ≥3).
10.设P （a ，b ），过E 作ES ⊥x 轴于S ，过F 作FT ⊥y 轴于T ，∴AE 2
=
，BF =2FT =2a .
∴AE ·BF 2
a =
= 11.（1）336,y 42y x x =
+= （2）9
2
MON S = 12.（1）E （1，1-a ），F （1-b ，b ）（2）1
2
OEF a b S +-=
（3）AOF ∽BOE （4）∠EOF =450。