材料力学基本第十二章 简单的超静定系统

(图e) ，对线弹性结构应有：
1X1 11X1
代入变形协调条件，得力法正则方程： 11 X1 1P 0
4. 解正则方程，求多余约束反力
1
P
与
可
11
用莫尔定理或
其他方法求
得：
1P
Pa 2 6EI
3l
a
11
l3 3EI
X1
1P 11
Pa2 2l 3
(3l a)
求得X1 后，则可解出相当系统所有内力、位移，此相当 系统的解即为原系统的解。
§12-2 力法及其正则方程
一、力法与位移法 力法：以多余约束力为基本未知量，将变形或位移表示为未 知力的函数，通过变形协调条件作为补充方程求来解未知约束力， 这种方法称为力法，又叫柔度法。
位移法：以结点位移作为基本未知量，将力通过本构关系表 示成位移的函数。通过结点平衡条件，解出未知量，这种方法称 为位移法，又叫刚度法。
3、列出正则方程
与原系统比较，相当系统B点的位移应为零，故有变形
协调条件：
1 1P 1X1 0
其中1P是外载在多余约束处引起的多余
约束方向的位移(图c) ，而 1X1 是多余约束反
力引起的多余约束方向的位移(图d) 。
在计算 1X1 时，可在静定基上沿多余约 束方向加一单位力，单位力引起的位移为 11
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()
2）据平衡条件，求得
MP
5ql RA 24 ()
11ql RB 12 ()
例12 2 3 用力法求超静定结构反力，并画弯矩图。
2EI
l
C
B
q
EI
l
A
l
C
q
A
B X1
ql 2 2
ql 2 7
解 ：1） 选 支 座B为 多 余 约 束
X1 1
M0
2） 作 相 当 系 统
3） 建 立 正 则 方 程
解除多余约束后得到的静定结构，称为原静 不定系统的静定基本系统，或相当系统。
2、内力静不定系统
有些结构，支座反力可以由静力 平衡条件全部求出，但无法应用截面法求 出所有内力，这类结构称为内力静不定系 统。
求解内力静不定系统，需要解除 杆件或杆系的内部约束。
超静定结构：
12.1.2. 静定基本系统、相当系统 与变形协调条件
去掉多余约束后的静定结构。
B CDB
DB C
A
F
A
F
A
F
相当系统的作法
解除多余约束，代之以多余未知力.
相当系统的特点
静定；
有多余未知外力。
变形协调条件 相当系统多余未知力作用处的位移，
等于原超静定结构多余约束处的实际位移。 满足上述条件后，相当系统的受力和
变形就与原超静定结构完全相同，相当系 统的解就是原超静定结构的解，也就是说， 解题可以在相当系统上进行。
*静定问题 ：由静力平衡方程 可确定全部未知力(包括支反 力与内力)的问题。
*静不定问题：根据静力平衡方程不能确定全部 未知力的问题。 *静不定度：未知力数与有效平衡方程数之差。
3 21 A
F
一次静不定
细长悬臂梁，为了减小其最大弯矩和最大挠度， 通常在自由端增加一个支座。这也构成了超静定问题。
例12 2 1 q
A
B
a
q
A
B
X1
M0
MP M
qa2 2
qa2 2
画图示结构的弯矩图。
解：1）B为多余约束，建立相当系统
2） 建 立 正 则 方 程
C
2a
3） 求 解
11 X1 1P 0
C
11
1 EI
( 1 2a 2a 2
2 2a) 3
8a 3 3EI
1P
1 EI
(
1
qa2
2a 2a (
j 1
（或已知），故有
11 X1 12 X 2 1n X n 1P 0
21 X1
22 X 2
MA
M
0 A
X1
M PA
5ql 2 14
三、n 次静不定的正则方程 可将上述思想推广到 n 次静不定系统，如解除 n 个多余约束后的未
知多余约束力为 X j j 1,2,..., n ，它们将引起 X i 作用点的相应的位移为
n
ij ，而原系统由于 x j ( j 1, n) 与外载荷共同作用对此位移限制为零
第十二章 简单的超静定系统
§12-1 超静定系统的几个基本概念 §12-2 力法与正则方程
§12-3 对称性欲反对称性在求解超静 定问题中的应用 §12-4 空间超静定结构的特殊情形 §12-5 图乘法在求解超静定问题中的应用 §12-6 结论与讨论
12.1 超静定系统的几个基本概念
基本概念
A
F
静定
2）建立正则方程
( 11
1 C
)X1
1 P
0
A
B
l
RA
l
RB
D
3） 求 解
X1
11
2 EI
(1 l l 2
2 l) 3
2l 3 3EI
1P
1 EI
(1 l 2
ql 2 2
2l 3
1l 3
ql 2 2
3l ) 4
M0 l ql 2
2
7ql 4
24EI
X1
1P
11
1 C
7ql 24
（a）
（b）
12.1.1 超静定结构的类型 1. 仅在结构外部存在多余约束， 属外力超静定问题； 2.仅在结构内部存在多余约束， 属内力超静定问题； 3. 结构的内、外部均存在多余约束， 属内、外力超静定问题。
1、外力静不定系统
由于外部的多余约束而构成的静不定系统, 一般称为外力静不定系统。
求解外力静不定系统的基本方法，是解除多 余约束，代之以多余约束反力，根据多余约束处的 变形协调条件建立补充方程进行求解。
本节以力法为主，不涉及位移法。
二、力法的基本思路：以一例说明 图(a)是车削工件安有尾顶针的简
化模型，这是一次静不定系统。求约 束反力。
1、解除多余约束、建立静定基 解除B端约束成悬臂梁（亦可解除左 端转动约束，简化为简支梁）。 2、建立相当系统
在多余约束处加上多余约束反
力X1及外载荷P成（图b ）。
11 X1 1P 0
4） 求 解
利用图乘法求11和 1P
11
1 （1 l 2 2 l ) 2EI 2 3
l3 EI
7l 3 6EI
MP
1P
1 EI
(
1 3
l
ql 2 2
l)
ql 3 6EI
X1
1P 11
ql 7
4） 叠 加 法 画 弯 矩 图
M
MC
M
0 C
X1
ql 2 7
5ql 2 14
2
2
2 2qa2 ) 3
11qa4
3EI
2a
X1
1P 11
11qa 8
5qa 2
4） 叠 加 法 画 弯 矩 图
2
qa2
MB MP 2
qa2 4
MC
M
0 C
X1
M
PC
qa2 4
例12 - 2 - 2 图示梁，EI为常数，求支反力。
q
A
B
l
l
q
D 3EI
C l3
解：1）C为多余约束，建立相当系统