28.小学生对“可能性”理解水平的调查分析

概率学习：要正视其独特的思维方式——三～五年级学生“可能性”概念理解水平的调查研究【摘要】“可能性”及“可能性大小”的学习是概率知识学习的基础，本文对三～五年级240学生“可能性”概念理解水平做了调查分析，得到的结论是在“认识可能性”层面，三、四年级所有学生都使用还不涉及比例和简单模型的说理方法，五年级已有35%的学生运用比例思想来说理；三、四年级学生在“设计可能性”的能力水平比较低，大部分学生缺乏对“可能性”进行定性与定量描述的一种逆向思维，而到了五年级，水平越高，答对的人数越多，学生的逆向思维有了较好的发展；三个年级的学生在“寻找可能性”的能力水平比较高，但所举例子在独特性方面比较差。

整体来看，三、四年级的学生对“可能性”概念的理解水平还比较低，但三年级的水平明显好于四年级，五年级水平又明显好于三年级。

据此结论，本文提出了在小学进行“概率知识”教材编写和教学的三条具体建议：（1）“概率教材”编写要体现层次性和连续性；（2）“概率教学”要引领学生体验随机思想；（3）“概率学习”要重视研究学生的错误概念。

【关键词】可能性；理解水平；调查研究【正文】一、问题提出2001年，我国在《全日制义务教育教学课程标准（实验稿）》（下文简称《新课标》中首次明确提出将概率的初步知识作为一种基本数学素养纳入小学数学课程，其中用“可能性”替代数学专业术语“概率”，同时《新课标》对第一、二学段概率学习的内容和教学目标都做了具体规定，小学生们对概率内容的学习重点是概率思想方法的学习、理解和应用。

其中对“可能性”的准确理解是达到规定目标的前提和保证。

《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）解读》对《新课标》中第一、二学段的概率学习的具体内容和教学目标做了更详细地说明。

例如，在第一学段，初步体验有些事件发生是确定的，有些则是不确定的；知道事件发生的可能性是有大小的，能够用“一定”、“不可能”、“可能”等词语来描述事件发生的可能性，并不要求学生求出可能性的具体大小。

在第二学段，进一步体会事件发生的可能性的含义，并能计算一些简单事件发生的可能性。

同时指出：“学生要能够设计一个方案，符合指定的要求。

也就是说，知道某种事件发生的可能性，要求学生能够根据这个条件构造一个概率模型，使之满足这个条件”。

另外，《新课标》中指出：“要对一些简单事件发生的可能性做出描述……”，“老师在教学中应鼓励学生使用‘可能’或‘不可能’这样的词语来进行描述和表达。

”对“可能性“的上述具体要求我们可以概括为3个目标：认识可能性、设计可能性和寻找可能性。

那么在新课改实施将近10年的过程中，小学生对“可能性”的理解水平到底如何呢？本研究选择了小学三～五年级的240名学生作为研究对象，从“认识可能性”、“设计可能性”及“寻找可能性”3个维度来考察小学生对“可能性”的理解水平，并作了初步的分析，提出了一些建议。

二、研究方法1、调查对象调查对象为浙江省平阳县的一所城镇小学三～五年级的240名学生，每个年级随机抽样两个班，每班40人。

参加测试的240名学生在三年级上学期时已接受过“可能性”初步知识的学习，五年级学生还接受过“可能性大小”初步知识的学习。

2、测量工具本研究所采用的问卷主要是从“认识可能性”、“设计可能性”、“寻找可能性”这3个方面来设计，共计6个题目，有选择题和开放题①。

本测试问卷的编制参考了华东师大统计学专家李俊及天津师大李林波的测试问卷的编制思路，但由于所研究对象在年级上有差异，所以在设计时作了较大的修改，新增了“设计可能性”、“寻找可能性”2个维度。

3、水平划分及编码对“认识可能性”中“可能性大小的比较”的学生回答进行了SOLO分析。

所谓SOLO分类法，始于20世纪80年代澳大利亚教育家Biggs和Collis在Piager 和Inhelder研究基础上通过对学生的反应进行了讨论，创立了SOLO分类法。

之后SOLO理论被应用到学校课程、教学、评价和说明学生思维发展等许多课题的研究。

在我国，李俊分析了国外的很多相关文献资料，通过对567名学生（6、8、12年级）的调查，依据SOLO理论总结出了学生认知概率这一概念时的回答的5种水平，分别为前结构水平（P），单一结构水平（U），多元结构水平（M），关①具体内容详见附页测试卷联结构水平（R）和进一步抽象结构水平（E），具体水平编码详见文献【1】。

上述研究在样本的选取上，主要涉及了初中和高中的学生，在测试内容上，主要涉及认识可能性，而在“设计可能性”和“寻找可能性”两个方面并未涉及。

“设计可能性”和“寻找可能性”两个维度可参考的资料缺乏，我们根据测试结果进行整理，将小学生“设计可能性”和“寻找可能性”的能力水平分别划分为如下层次，见表1和表2。

其中“设计可能性”编码主要从思维的正确性、数学语言表达的完整性和准确性来考虑的。

而“寻找可能性”的水平编码主要从所举例子的正确性、数量性和独特性这3个方面进行综合考虑。

表1 小学生“设计可能性”能力水平编码表2 小学生“寻找可能性”能力水平编码4、施测过程本次问卷调查的实施是学校统一安排，以班级为单位集中进行的。

问卷测试时间大致是20分钟。

对问卷结果进行初步统计后，对学生和任课老师进行了随机访谈，以了解出现某些结果的可能原因。

访谈作了某些简要的笔录。

另外，在数据处理上，主要以百分比统计为主。

三、结果分析1、在“认识可能性”层面：三、四年级学生判断某些简单事件发生的可能性还存在一定的困难，在“可能性大小比较”中三、四年级学生所达到的最高水平为M，五年级已有35%的学生能达到最高的E水平。

“认识可能性”是《新课标》中对小学生规定的重要内容。

本研究主要从两个方面来评价学生对“可能性”的初步理解：⑴区分可能、不可能和一定；⑵对可能性大小的认识。

（1）区分可能、不可能和一定测试卷中第一题（包含2个小题）为选择题，主要考察小学生能否用“一定”、“不可能”、“可能”等词语来描述某个事件发生的可能性。

表3 第一题各小题正确率从表3可以看出，五年级正确率最好，三年级较明显高于四年级。

另外，第1小题是一步试验，第2小题是两步试验，但正确率没有明显的差异。

表4 第一小题两小题各选项出错人数分布表4的统计结果显示，学生在使用“一定”、“不可能”、“可能”等词语来说明某个事件发生的“可能性”时仍然存在着一定的困难，尤其是四年级学生困难人数明显高于三、五年级。

在判断“一定”和“不可能”两种确定性情况时，三、四年级学生人数明显多于五年级。

（2）可能性大小的比较问卷中第二题主要考查学生对一步试验中某事件发生的可能性大小的认识。

题目要求学生作出选择，并给出相应理由。

对学生的回答用SOLO模型进行分析。

各水平有代表性的回答如下：前结构（P）水平的回答：选C。

“因为第一个盒子的红球比第二个盒子的红球多2个，第一个盒子里的黑球数比第二个盒子的黑球数少2个，2－2=0，所以我认为可能性一样大。

”看来他认为两个盒子之间相同颜色球的数量差相同，那么从两个盒子中取到红球或黑球的可能性是一样大的。

这是不合逻辑的，是以自己发明的规则来判断的。

单一结构（U）水平的回答：选D。

“虽然说第二个盒子没有第一个盒子的红球多，但是取的时候有可能第一个盒子取出红球，第二个取出黑球，也有可能是两个都取出红球，还有可能都取出黑球，所以无法确定。

”她强调试验时每一个结果都有可能发生，因此无法比较。

她把可能性当成了预言结果的根据了，而结果是不确定的，所以可能性大小就不能确定了。

也就是说可能性是不能量化及预测的。

多元结构（M）水平的回答。

在比较机会大小时，M水平的回答或以为每一可能结果都有相同的机会，或使用自创的非比率方法量化机会。

一位四年级学生的回答为：选A。

“因为第一个（盒子中）红球和黑球相差大，第二个盒子中红球和黑球相差小。

”他选择了自创的非比率的方法量化机会。

这种方法没有把盒子中小球的数据用比例联系起来。

关联（R）水平的回答。

在比较可能性大小时借助比较是由M水平过渡到R 水平的标志。

但此时孩子们对比例和概率之间的关系还不明晰。

第二题第1小题能用分数来量化可能性大小，而第2小题却不会用比例知识来解决。

进一步抽象（E）水平的回答。

处于E水平回答的学生已经能够借助古典概率公式先计算出事件发生的可能性大小，再进行比较。

表5 SOLO不同水平回答的人数及百分比②测试结果表示（见表5），首先，三、四年级学生所达到的最高水平为M，处②括号里的数据代表学生数。

于R和E水平的人数为0，这一结果的产生与学生们没有学习“可能性大小”的具体计算求法及数学思维发展水平有一定的关系。

五年级学生达到R水平及以上水平的人数占59.3%。

从调查的整体来看，达到M水平及以上水平的人数占77.9%。

其次，三年级学生的整体水平要明显高于四年级，五年级有35%的学生能达到最高的E水平。

2、在“设计可能性”层面：三、四年级大部分学生缺乏对“可能性”进行定性与定量描述的一种逆向思维，而到了五年级，水平越高，答对的人数越多，学生的逆向思维有了较好的发展。

测试卷中第三题是考查学生在初步体验、感受、理解“可能性”的基础上用所掌握的知识解决具体问题的能力。

各水平具有代表性的回答如下：水平一的回答：“可能性是90%。

”看来这名学生并没有理解题意。

水平二的回答：“改成3个2.”这个学生应该理解了题目的意思，并且有了相应的设计思路，但是他并没有清楚的表达出自己的设计思路。

水平三的回答：“6个面应该其中两个再改成2，改成3个2，3个面就是50%，所以，把4、5改成2，向上的可能性是50%。

”这名学生的思路明晰，表达清楚准确。

表6：“设计可能性”不同水平回答的人数及百分比从表6可以看出，首先，五年级在“设计可能性”的整体水平上要明显好于三、四年级，而三年级又明显好于四年级，四年级在第一水平上占到了78.4%，而三年级只占27.5%。

其次，从总体上来说，三、四年级学生“设计可能性”的能力水平比较低，处于水平一的学生占到三、四年级被试的52.5%，水平越高，答对的人数越少。

这一结果表明三、四年级大部分学生缺乏对“可能性”进行定性与定量描述的一种逆向思维，而到了五年级，水平越高，答对的人数越多，学生的逆向思维有了较好的发展。

3、在“寻找可能性”层面：三、四、五年级学生所举的例子在数量性、正确性方面比较好，相比较而言独特性最差。

第四题是测试小学生利用所掌握的“可能性”的相关知识进行实际应用的能力，比如，是否能较准确的辨别生活中的大量事件的确定性和不确定性。

各水平具有代表性的回答如下：水平一的回答：“明天会刮风，明天会下雪，花是黄色，草是黄色，草是绿化。

”他没有表达出一种可能性，而且他的例子没有脱离样题的语境，缺乏独创性。

水平二的回答：“明天可能下雨，明天可能会下雪，明天可能是阴天，明天可能是晴天，明天可能下冰雹。