(完整版)七年级培优专题：一次方程组的解法;含绝对值二元一次方程组
(完整版)二元一次方程组知识点及典型例题
二元一次方程组小结与复习一、知识梳理（一）二元一次方程组的有关概念1．二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫作二元一次方程。
2．二元一次方程的一个解：适合一个二元一次方程的一对未知数的值，叫这个二元一次方程的一个解。
任何一个二元一次方程都有无数个解。
3．方程组和方程组的解（1）方程组：由几个方程组成的一组方程叫作方程组。
（2）方程组的解：方程组中各个方程的公共解，叫作这个方程组的解。
4．二元一次方程组和二元一次方程组的解（1）二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫作二元一次方程组。
（2）二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个二元一次方程组的解。
（二）二元一次方程组的解法： 1．代入消元法 2．加减消元法二、典例剖析题型一1．二元一次方程及方程组的概念。
二元一次方程的一般形式：任何一个二元一次方程经过整理、化简后，都可以化成0=++c by ax （a,b,c 为已知数，且a ≠0，b ≠0）的形式，这种形式叫二元一次方程的一般形式。
练习1、下列方程，哪些是二元一次方程，哪些不是？12).().(711)(6526)(=++-=++=-y x xy D y x C yx B x z x A练习2、若方程的值。
的二元一次方程，求、是关于）（n n mm y x y xm 43195=+--练习3、（1）若方程(2m －6)x |n |－1+(n +2)y 82-m =1是二元一次方程，则m =_______，n =__________．专题二：二元一次方程组的解法：解二元一次方程组的基本思想是消元转化。
（一）、代入消元法：1、直接代入 例1 解方程组②①y x x y ⎩⎨⎧=--=.134,32跟踪训练：解方程组：（1）90152x y x y+=⎧⎨=-⎩ （2）⎩⎨⎧-==+73825x y y x2、变形代入 例2 解方程组②①y x y x ⎩⎨⎧=+=-.1043,95跟踪训练：（1）⎩⎨⎧-=--=-.2354,42y x y x （2）⎩⎨⎧=+=+②①77322y x y x(3) ⎩⎨⎧=-=+.123,205y x y x (4) ⎩⎨⎧=-=+②①5231284y x y x（二）、加减消元法例题、解方程组（1）⎩⎨⎧=+=-524y x y x （2）⎩⎨⎧=-=-322543y x y x （3）．⎩⎨⎧=+=+.1034,1353y x y x跟踪训练：（1） （2） （3）⎩⎨⎧=+=-1023724y x y x(4) (5)⎪⎩⎪⎨⎧=++-=--9275320232y y x y x (6)11,233210;x y x y +⎧-=⎪⎨⎪+=⎩（三）、选择适当的方法解下列方程组 （1）⎩⎨⎧=+---=+.5)3()1(2),1(32x y x y （2）⎩⎨⎧-=+---=+--23)3(5)4(44)3()4(2y x y x（3）⎪⎩⎪⎨⎧-=+-++=+3)43(4)1(3)2(311y x y x （4）x 2y+2=02y+22x536⎧⎪⎨⎪⎩－－－＝题型三：代数式的变形 1、在方程＝5中，用含的代数式表示为：＝ ，当＝3时，＝ 。
全效学习七下培优专题二元一次方程组的同解、错解、参数问题
∵z≠0，∴将③两边都除以 z，得7zx＋1＝0，解得xz＝－17.
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9．已知|a－2b＋7|＋(2c＋a－7)2＝0，b≠0，求a＋b c的值． 解：依题意，得 a－2b＋7＝0，2c＋a－7＝0， 即a2－c＋2ab＝＝7－，7②，① 由①得：b＝a＋2 7， 由②得：c＝7－2 a，
① ②
②×2－①得，
y＝37a－272，
把 y＝37a－272代入②得，
x＝87a－172，
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则87a－172－(37a－272)＝a， 解得 a＝5， ∴方程组的解为xy＝＝－4，1.
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6．由于粗心，在解方程组■7xx－－42y＝y＝△5，时，小明把系数■抄错了，
得 到 的 解 是 yx＝＝－－11330，； 小 亮 把 常 数 △ 抄 错 了 ， 得 到 的 解 是
xy＝＝－－196，. 请找出错误，并写出■和△的原来数字，求出正确的解．
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解：∵7×－13－4×－130＝△，∴△＝11，
∵－9■－2×(－16)＝5，∴■＝3，
∴原方程组是37xx－ －24yy＝ ＝
5， 11，
① ②
②－①×2，得 x＝1.
把 x＝1 代入①得 y＝－1，
所以原方程组的解为xy＝＝－1，1.
∴a＋b c＝a＋a＋7－27 a＝aa＋ ＋77＝1. 2
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七年级数学二元一次方程组解法
（2）若要使车间每天所获利润不低于24000元，你认
为至少要派多少名工人去制造乙种零件才合适？
课本P34 习题11.8 1，2
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是好奇这是什么地方，心想会不会是还在做梦，于是捏了自己一把，发现是有痛觉的，但我又担心自己像盗梦空间那样，做梦 做得有真实的感受，于是开始抱着头摇来摇去的。小男孩见我不太正常，于是大喊着“玉儿姐姐”什么的。刚过没多久，门外 又进来一个人，是个女子，但在我眼中看来，年纪撑死就是个高中生。那女生穿着确实简朴，或者我从这木屋就该猜到，他们 并不是有钱人。我稍微从不可思议的穿越中（尽管我不确定是不是穿越）缓过一些神来，才开始有心思打量了一下这一男一女。 这小正太确实长得好可爱，又不缺乏秀气，长大之后肯定是高富帅；这女生长相略显平凡，但是也透漏出一种秀气，我想，大 概是她现在是素颜，没有任何打扮的模样吧。小男孩的衣服稍微比较鲜艳一点，也显得他比较活泼。他见他的姐姐来了，就跑 过去冲着她的耳朵说了些什么。这女生听后，把目光转向我，开口说道：“公子，身体可好了？”我这么一听，倒是听到了一 口流利的普通话，这让我有点小吃惊。这是，我略显慌张，抚了抚自己的喉咙，张口说道：“应该七七八八了吧？”“应该七 七八八？那是何解？”女子一脸疑惑的看着我。我又吃了一小惊，忙改口道：“就是说，我的身体好很多了。”“是这样啊。” 女子像完成了什么事情一样，说完舒了一口气。我一边纳闷这突如其来的改变，一边组织好想问的问题去问这女生。由于知道 我们语言并没什么阻碍，能正常交流，再加上我知道我的谈吐应该更文绉绉一点才会让她听懂，于是我便问道：“姑娘，能问 你几个问题吗？”“嗯。”我索性翻下床来，站到她身旁问起来，“你知道这是哪吗？这是什么年代？这是由皇帝来统治的 吗？”蓦地，又觉得自己问出一连串好夸张的问题，于是又感觉自己有点小失礼了。这时，这女生脸显现一片通红，我这才有 意识到，我刚才问问题的时候靠得她太近了。那也不能怪我，向来问别人问题，就应该靠近点好让对方挺清楚不是吗？“这是 南国，年代是吕王八年。”女子羞涩地回答道。我见状，先有礼貌的向这女生道个歉，说道：“姑娘，刚才失礼了，我只是还 没习惯说话却不靠近别人说啊。”话一讲完，又发现自己说了一些莫名其妙的话，这使我觉得，用这种方式谈吐，真突出一个 烦字啊。女子蓦地转过脸去，脸部抽搐了几下，想必是在偷笑吧。那也难怪，这样的言行是挺让这时代的人感到奇怪搞笑的 第001章 天不收地不留“我的妻，你在哪里？“恍惚间，一个磁性的男声不断在耳畔重复着如此
2024春七年级数学下册第7章一次方程组7.2二元一次方程组的解法课件新版华东师大版
知1－讲
2. 代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的一个未知 数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方 程消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解， 这种解法叫做代入消元法，简称代入法 .
特别提醒
知1－讲
●将方程组中的一个二元一次方程写成用含一个未知数的式子表
示另一个未知数的形式，是用代入法解二元一次方程组的前提
特别解读
知2－讲
1. 两个方程同一未知数的系数的绝对值相等或成倍数关系
时，解方程组应考虑用加减消元法；
2. 如果同一未知数的系数的绝对值既不相等又不成倍数关
系，我们应设法将一个未知数的系数的绝对值转化为相
等关系；
3. 用加减法时，一般选择系数比较简单(同一未知数的系
数的绝对值相等或成倍数关系)的未知数作为消元对象 .
知2－练
解：设隧道累计长度为 x km，桥梁累计长度为 y km. 依题意，得ቊx2＋x＝y＝y＋34326，.
解这个方程组，得ቊyx＝＝211266.， 答：隧道累计长度为 126 km，桥梁累计长度为 216 km.
知2－练
5-1. [期中·北京通州]端午期间某超市销售粽子与咸鸭蛋的 组合礼品盒，甲种礼品每盒有 12个粽子和 4枚咸鸭蛋， 售价为72元；乙种礼品每盒有10个粽子和 8枚咸鸭蛋， 售价为74元(礼品盒的价格忽略不计)，问一个粽子和 一枚咸鸭蛋各多少元？
解得y＝131.
x＝5，
所以原方程组的解为ቐy＝
11 3
.
知2－练
3-1. 用加减法解方程组
(1)[中考·淄博]൝3xx－＋yy＝＝17，；①② 解：①＋②，得 4x＝8，解得 x＝2. 把 x＝2 代入①，得 2－y＝1，解得 y＝1. 所以原方程组的解是xy＝＝12.，
《易错题》初中七年级数学下册第八单元《二元一次方程组》经典习题(培优专题)
一、选择题1．若方程组a 2b 43a 2b 8+=⎧⎨+=⎩，则a+b 等于（ ）A ．3B ．4C ．2D ．1A解析：A 【分析】两个方程相加即可求出a+b 的值． 【详解】 解：a 2b 43a 2b 8+=⎧⎨+=⎩①②①+②得，4a+4b=12 ∴a+b=3 故选：A ． 【点睛】此题主要考查了解二元一次方程组，熟练、灵活运用解题方法是解答此题的关键． 2．若关于x 、y 的方程组228x y ax y +=⎧⎨+=⎩的解为整数，则满足条件的所有a 的值的和为（ ） A ．6 B ．9C ．12D ．16C解析：C 【分析】先把a 看作已知数求出42x a =-，然后结合方程组的解为整数即可求出a 的值，进而可得答案． 【详解】 解：对方程组2{28x y ax y +=+=①②，②－①×2，得()24a x -=，∴42x a =-， ∵关于x 、y 的方程组228x y ax y +=⎧⎨+=⎩的解为整数，∴21,2,4a -=±±±，即a =﹣2、0、1、3、4、6， ∴满足条件的所有a 的值的和为﹣2+0+1+3+4+6=12． 故选：C ． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，正确理解题意、熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题关键．3．如图，宽为25cm的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积是（）A．2200cm B．2150cm C．2100cm D．275cm C解析：C【分析】根据矩形的两组对边分别相等，可知题中有两个等量关系：小长方形的长+小长方形的宽=25，小长方形的长×2=小长方形的长+小长方形的宽×4，根据这两个等量关系，可列出方程组，再求解．【详解】设一个小长方形的长为xcm，宽为ycm，由图形可知，25 24x yx x y+=⎧⎨=+⎩，解得：205xy=⎧⎨=⎩，所以一个小长方形的面积为205100⨯=(cm2) ．故选：C．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，解答本题关键是弄清题意，看懂图示，找出合适的等量关系，列出方程组．并弄清小正方形的长与宽的关系．4．《孙子算经》是中国古代著名的数学著作．在书中有这样一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺．问木长几何？”译成白话文：“现有一根木头，不知道它的长短．用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺；将绳子对折后去量，则绳子比木头短1尺．问木头的长度是多少尺？”设木头的长度为x尺，绳子的长度为y尺．则可列出方程组为（）A．4.512x yyx-=⎧⎪⎨-=⎪⎩B．4.512y xyy-=⎧⎪⎨-=⎪⎩C．4.512y xyx-=⎧⎪⎨-=⎪⎩D．4.512x yyy-=⎧⎪⎨-=⎪⎩C解析：C【分析】根据“用绳子去量一根木头，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量木头，木头还剩余1尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【详解】依题意，得： 4.512y x yx -=⎧⎪⎨-=⎪⎩， 故选：C ． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．5．如图，在两个形状、大小完全相同的大长方形内，分别互不重叠地放入四个如图③的小长方形后得图①、图②，已知大长方形的长为2a ，两个大长方形未被覆盖部分分别用阴影表示，则图①阴影部分周长与图②阴影部分周长的差是（ ）（用a 的代数式表示）A ．﹣aB ．aC ．12a D ．﹣12a A 解析：A 【分析】设图③小长方形的长为m ，宽为n ，则由已知可以求得m 、n 关于a 的表达式，从而可以用a 表示出图①阴影部分周长与图②阴影部分周长，然后即可算得二者之差． 【详解】解：设图③小长方形的长为m ，宽为n ，则由图①得m=2n ，m+2n=2a ， ∴2a m a n ==，， ∴图①阴影部分周长=22245a n a a a ⨯+=+=， 图②阴影部分周长=()2322126n n n n a ++==，∴图①阴影部分周长与图②阴影部分周长的差是：5a-6a=-a ， 故选A ． 【点睛】本题考查二元一次方程组的几何应用，设图③小长方形的长为m ，宽为n ，并用a 表示出m 和n 是解题关键．6．已知关于,x y 的方程组2106x y nx my +=⎧⎨+=⎩和10312mx y nx y -=⎧⎨-=⎩有公共解，则m n -的值为（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2- A解析：A 【分析】联立不含m 与n 的两个方程组成方程组，求出x 与y 的值，进而求出m 与n 的值，代入m-n ，计算即可．解：联立得：210312x y x y +=⎧⎨-=⎩①②，①×3+②得：7x=42， 解得：x=6，把x=6代入②得：y=-2，把62x y =⎧⎨=-⎩ 代入得：6266210n m m n -=⎧⎨+=⎩， 解得：m=3，n=2， 则m-n=3-2=1． 故选A ． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．利用两个方程组有公共解得出x ，y 的值是解题关键．7．已知方程组2325x y x y +=⎧⎨-=⎩，则39x y +的值为（ ）A ．2-B ．2C ．6-D ．6C解析：C 【分析】方程组两方程相减求出x+3y 的值，进而即可求得3x+9y 的值． 【详解】2325x y x y +=⎧⎨-=⎩①②， ①-②得：32x y +=-， ∴()39336x y x y +=+=-， 故选：C ． 【点睛】本题考查了求代数式的值以及解二元一次方程组，解二元一次方程组利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．灵活运用整体代入法是解题的关键． 8．4辆板车和5辆卡车一次能运27吨货，10辆板车和3车卡车一次能运货20吨，设每辆板车每次可运x 吨货，每辆卡车每次能运y 吨货，则可列方程组（ ）A ．452710320x y x y +=⎧⎨-=⎩B ．452710320x y x y -=⎧⎨+=⎩C ．452710320x y x y +=⎧⎨+=⎩D ．427510203x y x y -=⎧⎨-=⎩C解析：C 【分析】根据等量关系式“①4辆板车运货量+5辆卡车运货量=27吨；②10辆板车运货量+3辆卡车运货量=20吨”根据相等关系就可设未知数列出方程．解：根据4辆板车运货量+5辆卡车运货量=27吨，得方程4x+5y=27； 根据10辆板车运货量+3辆卡车运货量=20吨，得方程10x+3y=20． 可列方程组为452710320x y x y +⎧⎨+⎩＝＝． 故选：C ． 【点睛】由关键性词语“4辆板车和5辆卡车一次能运27吨货”，“10辆板车和3车卡车一次能运货20吨”，找到等量关系是解决本题的关键．9．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有醇酒一斗，值钱五十；行酒一斗，值钱一十；今将钱三十，得酒二斗，问醇、行酒各得几何？”意思是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱；现用30钱，买得2斗酒，问分别能买到多少醇酒与行酒？设用30钱能买得的2斗酒里，买到醇酒x 斗，买到行酒y 斗，根据题意可列方程组为（ ） A ．5010302x y x y +=⎧⎨+=⎩ B ．5010302y x x y +=⎧⎨+=⎩ C ．5010230x y x y +=⎧⎨+=⎩ D ．5010230y x x y +=⎧⎨+=⎩A解析：A 【分析】设醇酒为x 斗，行酒为y 斗，根据两种酒共用30钱，共2斗的等量关系列出方程组即可． 【详解】 解：由题意，得2501030x y x y +=⎧⎨+=⎩，故选A ． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，弄清题意，找准等量关系列出相应的方程是解题的关键．10．下表为服饰店卖出的服装种类与原价对照表．某日服饰店举办大拍卖，外套按原价打六折出售，衬衫和裤子按原价打八折出售，各种服装共卖200件，营业额是24000元，则外套卖出了（ ）A ．100件B ．80件C ．60件D ．40件B【分析】设卖出外套x 件，衬衫y 件，裤子z 件．根据题意可列三元一次方程组，即可解出x ，即可选择． 【详解】设卖出外套x 件，衬衫y 件，裤子z 件． 根据题意可列方程组：2000.62500.81250.812524000x y z x y z ++=⎧⎨⨯+⨯+⨯=⎩200150100()24000x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩ 80120x y z =⎧⎨+=⎩故卖出外套80件 故选B 【点睛】根据题意列出三元一次方程组是解答本题的关键，注意把y z +看作一个整体．二、填空题11．重庆某快递公司规定：寄件不超过1kg 的部分按起步价计费，超过1kg 不足2kg ，按照2kg 收费；超过2kg 不足3kg 按照3kg 收费，以此类推．某产家分别寄快递到重庆市内和北京，其中，寄往重庆市内的起步价为a 元，超过部分b 元/kg ；寄往北京的起步价为()7a +元，超过部分()4b +元/kg ．已知一个寄往重庆市内的快件，质量为2kg ，收费13元；一个寄往北京的快件，质量为4.5kg ，收费42元．如果一个寄往北京的快件，质量为2.8kg ，应收费______元．30【分析】根据分别寄快递到上海和北京的快递质量和费用即可得出关于ab 的二元一次方程组解之然后根据28kg 按照3kg 收费即可得出应收费【详解】解：依题意得：解得寄往北京市快件重28kg 按照3kg 收费解析：30 【分析】根据分别寄快递到上海和北京的快递质量和费用，即可得出关于a ，b 的二元一次方程组，解之，然后根据2.8kg 按照3kg 收费即可得出应收费． 【详解】解：依题意，得：137(51)(4)42a b a b +=⎧⎨++-+=⎩，解得112a b =⎧⎨=⎩，寄往北京市快件重2.8kg 按照3kg 收费，应收费：7(31)(4)1172(24)30a b ++-+=++⨯+=元， 故答案为：30． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．12．如图，5个大小形状完全相同的长方形纸片，在直角坐标系中摆成如图图案，已知()8,5B -，则点A 的坐标为__________．（-36）【分析】设长方形纸片的长为a 宽为b 由B 点坐标可以得到关于ab 的二元一次方程组解方程组可以得到a 和b 再根据纸片的摆放可以得到A 点坐标【详解】解：设长方形纸片的长为a 宽为b 由B 点坐标可以得到：解析：（-3，6） 【分析】设长方形纸片的长为a ，宽为b ，由B 点坐标可以得到关于a 、b 的二元一次方程组，解方程组可以得到a 和b ，再根据纸片的摆放可以得到A 点坐标． 【详解】解：设长方形纸片的长为a ，宽为b ，由B 点坐标可以得到：285a a b -=-⎧⎨+=⎩，解之可得： 41a b =⎧⎨=⎩， ∴根据A 点位置可得其坐标为：()326x a b y a b ⎧=--=-⎨=+=⎩，故答案为（-3，6）． 【点睛】本题考查点的坐标表示与长方形的综合运用，根据点的坐标及长方形的摆放位置求出长方形的长和宽后再根据长方形的摆放位置求出新的点坐标 ．13．由于2020年新冠疫情影响，全国经济严重滑坡，为了促进经济发展，全国多地放宽摆摊政策，小华的爸爸积极响应国家的政策，在步行街摆摊经营学生学习用品，主要销售甲，乙，丙，丁四种用品，其中甲，乙两种用品的定价一样，丁的定价是丙定价的6倍．四种用品的定价均为整数．10月1日四种用品均按各自的定价销售，甲，丙用品的销售件数相同，乙的销售件数是丁的6倍，甲，乙的总销售额比丙，丁的总销售额多816元．10月2日，由于用品丁库存较多，按定价的八折销售，其余用品售价不变，乙的销量较10月1日下降了20%，其余用品销量不变，小华的爸爸为了考考小华，没有告诉小华确切的售价和数量，只是说：甲，丙的单价之差低于17元，不少于10元，乙，丁的单价之和不超过32元，10月1日、2日两天甲的销量不少于20件，不多于40件．请你帮小华算算10月2日甲，乙，丙，丁，四种用品的销售额最多_____元．4【分析】先分别设10月1日的甲乙丙丁的单价销量再根据题意设出10月2日甲乙丙丁的单价及销量进而列出10月2日的销售额代数式再根据题中的数量关系列方程和不等式分两种情况进行求解：①当时；②当时进而代解析：4． 【分析】先分别设10月1日的甲乙丙丁的单价、销量，再根据题意设出10月2日甲乙丙丁的单价及销量，进而列出10月2日的销售额代数式，再根据题中的数量关系列方程和不等式分两种情况进行求解：①当12m n -=，658x y +=时；②当16m n -=，651x y +=时，进而代入W 求值比较即可求解． 【详解】解：由题意，设未知数列表：设10月2日销售额：)4.8 4.8 4.8W mx my nx ny m n x y =+++=++ 由题意得：66816mx my nx ny +--=， 化简得()()6816m n x y -+=，且1017m n ≤-≤，m ＋6n≤32，20≤2a≤40 ∵m ，n ，x ，y 都为正整数，所以可得12m n -=，658x y +=或者16m n -=，651x y +=． ①当12m n -=，658x y +=时，m ＝12＋n ， 代入到m ＋6n≤32可得：7n≤20， ∴n 最大为2，此时m 最大为14，把m ＝14，n ＝2代入()()6816m n x y -+=得： x ＋6y ＝68， ∴4.8y ＝54.4－0.8x ，∴()()()21454.40.81654.40.2W x x x =++-=+ ∵20240x ≤<， ∴当20x时，W 最大为()1654.40.220934.4⨯+⨯=②当16m n -=，651x y +=时，得4.840.80.8y x =-， ∵632m n +≤，∴n 最大为2，此时m 最大为18，∴()()()21454.40.82040.80.2W x x x =++-=+ ∵20240x ≤≤， ∴当20x时，W 最大为()2040.80.220816⨯+⨯=∵816934.4<， ∴W 最大为934.4元． 【点睛】本题主要考查不定方程和不等式的应用，解题的关键是正确解读题意列出方程和不等式． 14．“百鸡问题”译文：公鸡每只值五文钱，母鸡每只值三文钱，小鸡每三只值一文钱，现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？__________________________；（至少写出2种结果）02575或41878或81181或12484【分析】设公鸡有x 只母鸡有y 只则小鸡有（100−x−y ）只由题意得到5x ＋3y ＋＝100求出符合题意的方程的解即可【详解】设公鸡有x 只母鸡有y 只则小鸡有解析：0，25，75或4，18，78或8，11，81，或12，4，84． 【分析】设公鸡有x 只，母鸡有y 只，则小鸡有（100−x−y ）只，由题意得到5x ＋3y ＋1003x y-- ＝100，求出符合题意的方程的解即可. 【详解】设公鸡有x 只，母鸡有y 只，则小鸡有（100−x−y ）只，根据题意得： 5x ＋3y ＋1003x y-- ＝100， 化简得：y ＝25−74x ， 当x ＝0时，y ＝25，100−x−y ＝75； 当x ＝4时，y ＝18，100−x−y ＝78； 当x ＝8时，y ＝11，100−x−y ＝81； 当x ＝12时，y ＝4，100−x−y ＝84； 当x ＝16时，y ＝−3，舍去．故答案为：0，25，75或4，18，78或8，11，81，或12，4，84． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）①由购买鸡的只数找出购买小鸡的只数；②找准等量关系，正确列出二元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）结合x 、y 均为整数求出二元一次方程的解．15．已知2(2)0x y ++=，则yx的值是_______．－3【分析】利用平方和算术平方根的非负性确定x ＋y ＋2＝0且x−y−4＝0建立二元一次方程组求出x 和y 的值再代入求值即可【详解】∵（x ＋y ＋2）2≥0≥0且∴（x ＋y ＋2）2＝0＝0即解得：∴＝－3解析：－3 【分析】利用平方和算术平方根的非负性，确定x ＋y ＋2＝0且x−y−4＝0，建立二元一次方程组求出x 和y 的值，再代入求值即可． 【详解】∵（x ＋y ＋2）2≥0，且2(2)0x y ++=，∴（x ＋y ＋2）2＝00， 即2040x y x y ++=⎧⎨--=⎩，解得：13x y =⎧⎨=-⎩，∴y x＝－3， 故答案为：－3． 【点睛】本题重点考查偶次方和算术平方根的非负性，是一种典型的“0＋0＝0”的模式题型，需重点掌握；另外此题结合了二元一次方程组的运算，需熟练掌握“加减消元法”和“代入消元法”这两个基本的运算方法．16．某商场在“迎新年”搞促销活动，刘海的家长准备用2000元在活动中购买价格分别为160元和240元的两种商品，在钱都用尽的情况下，可供刘海的家长选择的购买方案有_______种．4【分析】设购买160元的商品数量为x 购买240元的商品数量为y 根据总费用是2000元列出方程求得正整数xy 的值即可【详解】解：设购买80元的商品数量为x 购买120元的商品数量为y 依题意得：160x解析：4【分析】设购买160元的商品数量为x ，购买240元的商品数量为y ，根据总费用是2000元列出方程，求得正整数x 、y 的值即可．【详解】解：设购买80元的商品数量为x ，购买120元的商品数量为y ，依题意得：160x+240y=2000，整理，得y=2523x -． 因为x 是正整数，所以当x=2时，y=7．当x=5时，y=5．当x=8时，y=3．当x=11时，y=1．即有4种购买方案．故答案为：4．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用．对于此类问题，挖掘题目中的关系，找出等量关系，列出二元一次方程．然后根据未知数的实际意义求其整数解．17．已知关于,x y 的方程组343x y a x y a +=-⎧⎨-=⎩，给出以下结论：①51x y =⎧⎨=-⎩，是方程组的一个解；②当2a =-时，,x y 的值互为相反数；③当1a =时，方程组的解也是方程4x y a +=-的解；④,x y 之间的数量关系是23,x y -=其中正确的是__________ (填序号)．①②③【分析】①将x=5y=-1代入检验即可做出判断；②将a=-2代入方程组求出方程组的解即可做出判断；③将a=1代入方程组求出方程组的解代入方程中检验即可；④消去a 得到关于x 与y 的方程即可做出判断解析：①②③【分析】①将x=5，y=-1代入检验即可做出判断；②将a=-2代入方程组求出方程组的解即可做出判断；③将a=1代入方程组求出方程组的解，代入方程中检验即可；④消去a 得到关于x 与y 的方程，即可做出判断．【详解】解：①将x=5，y=-1代入方程组得：5345(1)3a a -=-⎧⎨--=⎩解得：a=2，所以51x y =⎧⎨=-⎩，是方程组的一个解，本选项正确； ②将a=-2代入方程组得：36?6?x y x y +=⎧⎨-=-⎩ 得：4y=12，即y=3，将y=3代入得：x=-3，则x 与y 互为相反数，本选项正确；③将a=1代入方程组得：33?3?x y x y +=⎧⎨-=⎩ 解得：30x y =⎧⎨=⎩ 将x=3，y=0代入方程43x y a +=-=的左边得：3+0=3，所以当1a =时，方程组的解也是方程4x y a +=-的解，本选项正确；④34?3?x y a x y a +=-⎧⎨-=⎩ 由第一个方程得：a=4-x-3y ，代入第二个方程得：x-y=3（4-x-3y ），整理得：x+2y=3，本选项错误，故答案是：①②③．【点睛】此题考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．18．已知方程组32223x y m x y m+=+⎧⎨+=⎩的解适合8x y +=，则m =_______．19【分析】将m 看做已知数表示出x 与y 代入x+y=8中计算即可求出m 的值【详解】解：得5x=m+6即得：-5y=4-m 即代入x+y=8中得：去分母得：2m+2=40解得：m=19故答案为：19【点睛解析：19【分析】将m 看做已知数表示出x 与y ，代入x+y=8中计算即可求出m 的值．【详解】解：32223x y m x y m ++⎧⎨+⎩＝①＝②32⨯-⨯①②得5x=m+6，即65m x += 23⨯-⨯①②得：-5y=4-m ，即45m y -=代入x+y=8中，得：64855m m +-+= 去分母得：2m+2=40，解得：m=19．故答案为：19【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．如果()2x 2y 1x y 50-+++-=，那么 x =______，y =____2【分析】根据绝对值的非负性和平方数的非负性列出关于xy 的二元一次方程组然后利用加减消元法求解即可【详解】解：根据题意得：②-①得：3y ﹣6=0解得：y=2将y=2代入②中得：x+2﹣5=0解得：x解析：2【分析】根据绝对值的非负性和平方数的非负性，列出关于x 、y 的二元一次方程组，然后利用加减消元法求解即可．【详解】解：根据题意得：21050x y x y -+=⎧⎨+-=⎩①②， ②-①得：3y ﹣6=0，解得：y=2，将y=2代入②中，得：x+2﹣5=0，解得：x=3，所以，方程组的解是32x y =⎧⎨=⎩， 故答案为：3；2．【点睛】本题考查绝对值和偶次方的非负性、解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法，能根据两个非负性的和为零，则这两个数为零列出方程组是解答的关键．20．某风景区有4个相同的出口、4个相同的入口，假设在任何情况下每个入口的人数均是匀速出入，每个出口的人数均是匀速出入，当风景区人数已达到可容纳人数的20%时，若同时开放4个入口和2个出口，则1.6小时刚好达到可容纳人数；若同时开放2个入口和2个出口，则8小时刚好达到可容纳人数．受疫情影响，2020年五一期间，该风景区游览人数只允许达到平时可容纳人数的60%，当风景区人数已达到平时可容纳人数的10%时，若同时开放3个入口和2个出口，则经过__________小时刚好达到平时可容纳人数的60%．【分析】设每个入口每小时可进可容纳人数的每个出口每小时可出可容纳人数的根据当风景区人数已达到可容纳人数的20时若同时开放4个入口和2个出口则16小时刚好达到可容纳人数；若同时开放2个入口和2个出口则 解析：53【分析】设每个入口每小时可进可容纳人数的%x ，每个出口每小时可出可容纳人数的%y ，根据“当风景区人数已达到可容纳人数的20%时，若同时开放4个入口和2个出口，则1.6小时刚好达到可容纳人数；若同时开放2个入口和2个出口，则8小时刚好达到可容纳人数”，即可得出关于,x y 的二元一次方程组，解之即可得出,x y 的值，再将其代入60%10%3%2%x y --即可求出结论．【详解】解：设每个入口每小时可进可容纳人数的%x ，每个出口每小时可出可容纳人数的%y ， 依题意，得： 1.64 1.62100208282=10020x y x y ⨯-⨯=-⎧⎨⨯-⨯-⎩， 解得：2015x y =⎧⎨=⎩， ∴60%10%50%53%2%320%215%3x y -==-⨯-⨯． 故答案为：53． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 三、解答题21．某水果店有甲，乙两种水果，它们的单价分别为a 元/千克，b 元/千克．若购买甲种水果5千克，乙种水果2千克，共花费25元，购买甲种水果3千克，乙种水果4千克，共花费29元.（1）求a 和b 的值；（2）甲种水果涨价m 元/千克(02)m <<，乙种水果单价不变，小明花了45元购买了两种水果10千克，那么购买甲种水果多少千克？（用含m 的代数式表示）．解析：（1）a 的值为3，b 的值为5；（2）52m- 【分析】（1）根据等量关系：购买甲5千克，乙2千克，共花费25元；购买甲3千克，乙4千克，共花费29元；列出方程组求解即可；（2）可设购买甲种糖果x 千克，则购买乙种糖果（10-x ）千克，根据花了45元，列出方程即可求解；【详解】解：（1）依题意有52253429a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得35a b =⎧⎨=⎩. 故a 的值为3，b 的值为5；（2）设购买甲种水果x 千克，则购买乙种水果(10)x -千克，依题意有：(3)5(10)45m x x ++-=， 解得：52x m=-； 故购买甲种水果52m -千克． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组．22．对于两个两位数p 和q ，将其中任意一个两位数的十位上的数字和个位上的数字分别放置于另一个两位数十位上数字与个位上的数字之间和个位上的数字的右边，就可以得到两个新四位数，把这两个新四位数的和与11的商记为F(p ，q)．例如：当p=23，q=15时，将p 十位上的2放置于q 中1与5之间，将p 个位上的3位置于q 中5的右边，得到1253．将q 十位上的1放置于p 中2和3之间，将q 个位上的5放置于p 中3的右边，得到2135．这两个新四位数的和为1253+2135=3388，3388÷11=308，所以F(23，15)=308． （1）计算：F(13，26)；（2）若a =10+m ，b =10n +5，（0≤m ≤9，1≤n ≤9，m ，n 均为自然数）．当150F(a ，18)+F(b ，26)=32761时，求m +n 的值．解析：（1）309；（2）m +n =12或11或10【分析】（1）根据定义的规则计算F (13，26)的值；（2）根据规则分别用含m ，n 的式子表示出150F (a ，18)，F (b ，26)，根据题中所给等式，得到关于m ，n 的二元一次方程，结合m ，n 的取值范围求m ，n 的值.【详解】（1）F(13，26)=(2163+1236)÷11=309；（2）∵150F(a ，18)+F(b ，26)=32761，∴150F(10+m ，18)+F(10n +5，26)=32761，∴150[(1000+100+10m +8+1000+100+80+m )÷11]+(1000n +200+56+2000+100n +65)÷11=32761， 150(208+m )+100n +211=32761，整理得：3m +2n =27，∴m =3，n =9，m +n =12，m=5，n=6，m+n=11，m=7，n=3，m+n=10，综上所述，m+n=12或11或10．【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，对于新定义，要理解它所规定的运算规则，再根据这个规则，结合有理数的混合运算的法则进行计算；求二元一次方程的整数解，在问题不是特别复杂的条件下，可以采用枚举法，即将其中一个未知数可以取的整数一一列出来，求出对应的另一个未知数的值，并找出符合题意的整数解．23．（1）22 839x yx y+=⎧⎨+=⎩（2）4143314312 x yx y+=⎧⎪--⎨-=⎪⎩解析：（1）321xy⎧=⎪⎨⎪=-⎩；（2）3114xy=⎧⎪⎨=⎪⎩．【分析】（1）利用加减消元法解二元一次方程组，即可得到答案；（2）先把方程组进行整理，然后利用加减消元法解方程组，即可得到答案．【详解】解：（1）22 839 x yx y+=⎧⎨+=⎩①②由②-①3⨯，得：23x=，∴32x=，把32x=代入①，得：1y=-，∴方程组的解为321 xy⎧=⎪⎨⎪=-⎩；（2）4143314312x yx y+=⎧⎪--⎨-=⎪⎩，方程组整理得：414342x yx y+=⎧⎨-=-⎩①②，由①+②，得：412x=，∴3x=，把3x =代入①，得：114y =， ∴方程组的解为3114x y =⎧⎪⎨=⎪⎩； 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握运算法则进行计算．24．解方程组：（1）421x y y x +=⎧⎨=+⎩； （2）4311213x y x y -=⎧⎨+=⎩解析：（1）13x y =⎧⎨=⎩；（2）53x y =⎧⎨=⎩【分析】（1）利用代入消元法即可求解；（2）将②式适当变形得③式，再利用代入消元法即可求解．【详解】解：（1）x y 4y 2x 1+=⎧⎨=+⎩①②， 把②代入①得：x+2x+1=4，解得：x=1，把x=1代入② 得：y=3，∴原方程组的解为 13x y =⎧⎨=⎩； （2） 4x-3y 112x y 13=⎧⎨+=⎩①②， 解：由②得：y=13-2x③，把③代入①得：4x-3(13-2x)=11，解得x=5，把x=5代入③得：y=3，∴原方程组的解为 53x y =⎧⎨=⎩． 【点睛】本题考查代入消元法解二元一次方程组．代入消元法解二元一次方程组的一般步骤：变：将其中一个方程变形，使一个未知数用含另一个未知数的代数式表示；代：用这个代数式代替另一个方程中的相应未知数，得到一个一元一次方程；解：解这个一元一次方程；求：把求得的未知数的值代入代数式，求得另一个未知数的值；写：写出方程组的解．25．解方程组：（1）379x y x y +=⎧⎨=-⎩； （2）5217345x y x y -=⎧⎨+=⎩． 解析：（1）54x y =-⎧⎨=⎩；（2）31x y =⎧⎨=-⎩【分析】（1）利用代入消元法即可解方程求解；（2）利用加减消元法①×2+②得出x 的值，进而代入②求出y 的值即可．【详解】解：()3719x y x y +=⎧⎨=-⎩，①，② 把②代入①，得937y y -+=，解得4y =，把4y =代入②，得495x =-=-，所以方程组的解为54.x y =-⎧⎨=⎩， ()52172345x y x y -=⎧⎨+=⎩，①，② ①2⨯+②，得103345x x +=+，解得3x =，把3x =代入②，得945y +=，解得1y =-，所以方程组的解为31.x y =⎧⎨=-⎩， 【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．26．学校为了提高绿化品位，美化环境，准备将一块周长为76m 的长方形草地，设计分成长和宽分别相等的9块小长方形，（放置位置如图所示），种上各种花卉．经市场预测，绿化每平方米造价约为108元．（1）求出每一个小长方形的长和宽．（2）请计算完成这项绿化工程预计投入资金多少元？解析：（1）每个小长方形的长和宽分别是10米、4米；（2）完成这块绿化工程预计投入资金为38880元．【分析】（1）弄清题意，找出等量关系：2[5个小长方形的宽+（一个小长方形的长+两个小长方形的宽）]=周长和5个长方形的宽等于2个长方形的长，列二元一次方程组解答． （2）直接求出每个小长方形的面积，然后求出答案即可．【详解】解：（1）设小长方形的宽为x 米，长为y 米．则2(25)7652y x x x y ++=⎧⎨=⎩， 解得：410x y =⎧⎨=⎩， 答：每个小长方形的长和宽分别是10米、4米；（2）104910838880⨯⨯⨯=（元），答：完成这块绿化工程预计投入资金为38880元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组．要弄清小长方形长、宽和大长方形周长之间的关系．27．5G 时代的到来，将给人类生活带来巨大改变．现有A 、B 两种型号的5G 手机，进价和售价如下表所示： 型号/价格 进价（元/部） 售价（元/部）A3000 3400 B 3500 400032000元，求：（1）营业厅购进A 、B 两种型号手机各多少部？（2）营业厅将手机销售完成后共获得利润多少元？解析：（1）营业厅购进A、B两种型号手机分别为6部、4部；（2）营业厅将手机销售完成后共获得利润5400元．【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以得到相应的二元一次方程组，从而可以求得营业厅购进A、B两种型号手机各多少部；（2）根据题意，列算式，即可求解．【详解】解：（1）设营业厅购进A、B两种型号手机分别为a部、b部，则300035003200010a ba b+⎧⎨+=⎩＝，解得：64ab=⎧⎨=⎩答：营业厅购进A、B两种型号手机分别为6部、4部；（2）6×（3500-3000）+4×（4000-3400）=5400（元），答：营业厅将手机销售完成后共获得利润5400元．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组．28．列二元一次方程组解应用题：某大型超市投入15000元资金购进A、B两种品牌的矿泉水共600箱，矿泉水的成本价和销售价如下表所示：（1）该大型超市购进A、B品牌矿泉水各多少箱？（2）全部销售完600箱矿泉水，该超市共获得多少利润？解析：（1）A品牌矿泉水400箱，B品牌矿泉水200箱；（2）7800元【分析】（1）设该超市进A品牌矿泉水x箱，B品牌矿泉水y箱，根据总价＝单价×数量，结合该超市投入15000元资金购进A、B两种品牌的矿泉水共600箱，即可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可；（2）根据总利润＝每箱利润×数量，即可求出该超市销售完600箱矿泉水获得的利润．【详解】解：（1）设该超市进A品牌矿泉水x箱，B品牌矿泉水y箱，依题意，得：600 203515000x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：400200 xy=⎧⎨=⎩．答：该超市进A品牌矿泉水400箱，B品牌矿泉水200箱．（2）400×（32﹣20）＋200×（50﹣35）＝7800（元）．答：该超市共获利润7800元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．。
七年级培优竞赛讲义——第9讲：绝对值与一元一次方程
第九讲绝对值与一元一次方程绝对值是初中数学最活跃的概念之一，能与数学中许多知识关联而生成新的问题，我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程，简称绝对值方程．解绝对值方程的基本方法有：一是设法去掉绝对值符号．将绝对值方程转化为常见的方程求解；一是数形结合，借助于图形的直观性求解．前者是通法，后者是技巧．解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义，去绝对值的符号法则，非负数的性质、绝对值常用的基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法．【例题讲解】例1.方程5665-=+x x 的解是(重庆市竞赛题)思路点拨没法去掉绝对值符号，将原方程化为一般的一元一次方程来求解．例2.适合81272=-++a a 的整数a 的值的个数有()．(希望杯邀请赛试题)A ．5B ．4C ．3D ．2思路点拨用分类讨论法解过程繁琐，仔细观察数据特征，借助数轴也许能找到简捷的解题途径．注：形如d cx b ax +=+的绝对值方程可变形为)(d cx b ax +±=+且0≥+d cx ，才是原方程的根，否则必须舍去，故解绝对值时应检验．例3.解方程：413=+-x x ；(天津市竞赛题)思路点拨从内向外，根据绝对值定义性质简化方程．例4.解下列方程：(1)113+=--+x x x (北京市“迎春杯”竞赛题)(2)451=-+-x x ．(“祖冲之杯”邀请赛试题)思路点拨解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段进行讨论，采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论；有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何意义迅速求解．例5.已知关于x 的方程a x x =-+-32，研究a 存在的条件，对这个方程的解进行讨论．思路点拨方程解的情况取决于a 的情况，a 与方程中常数2、3有依存关系，这种关系决定了方程解的情况，因此，探求这种关系是解本例的关键．运用分类讨它法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与工具，读者可从两个思路去解．※巩固训练※1．方程1)1(3+=-xx 的解是；方程1213+=-x x 的解是．2．已知199519953990=+x ，那么x ＝．3．已知，2+=x x ，那么19x 99+3x+27的值为．4．关于x 的方程x a x a -+=1的解是x=0，则a 的值；关于x 的方程x a x a -+=1的解是x=1，则有理数a 的取值范围是．5．使方程0223=++x 成立的未知数x 的值是()．A ．一2B ．0C ．32D ．不存在6．方程055=-+-x x 的解的个数为()．(“祖冲之杯”邀请赛试题)A ．不确定B ．无数个C ．2个D ．3个7．已知关于x 的方程mx+2=2(m-x)的解满足0121=--x ，则m 的值是()(山东省竞赛题)A ．5210或B ．5210-或C ．5210或-D ．5210--或8．若20002020002000⨯=+x ，则x 等于()．(重庆市竞赛题)A ．20或一21B ．一20或21C ．—19或21D ．19或一219．解下列方程：(1)8453=+-x ；(2)43234+=--x x ；(3)312=+-x x ；(4)1212++-+-x x x ．10．讨论方程k x =-+23的解的情况．11．方程212=--x 的解是．12．若有理数x 满足方程x x +=-11，则化简1-x 的结果是．13．若0,0<>b a ，则使b a b x a x -=-+-成立的x 取值范围是．14．若100<<x ，则满足条件a x =-3的整数a 的值共有个，它们的和是．15．若m 是方程x x +=-20002000的解，则2001-m 等于()．A ．m 一2001B ．一m 一2001C ．m+2001D ．一m+200116．若关于x 的方程032=+-m x 无解，043=+-n x 只有一个解，054==-k x 有两个解，则m 、n 、k 的大小关系是()．A ．m>n>k B ．n>k>mC ．k>m>nD ．m>k>n 17．适合关系式62343=++-x x 的整数x 的值有()个．A ．0B ．1C ．2D ．大于2的自然数18．方程1735=--+x x 的解有()．A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个19．设a 、b 为有理数，且0>a ，方程3=--b a x 有三个不相等的解，求b 的值．(“华杯赛”邀请赛试题)20．当a 满足什么条件时，关于x 的方程a x x =---52有一解?有无数多个解?无解?21．已知y y x x +---=-++15912，求x+y 的最大值与最小值．(江苏省竞赛题)22．(1)数轴上两点表示的有理数是a 、b ，求这两点之间的距离；(2)是否存在有理数x ，使x x x =-++31?(3)是否存在整数x ，使144334=++++-+-x x x x ?如果存在，求出所有的整数x ；如果不存在，说明理由．第九讲绝对值与一元一次方程参考答案。
专题三：绝对值(基础专题);人教版七年级上学期培优专题讲练(含答案)
专题三：绝对值（基础专题）一．选择题1．若a＝﹣5，|a|＝|b|，则b的值等于（）2．下列判断正确的是（）A．若|a|＝|b|，则a＝b B．若|a|＝|b|，则a＝﹣bC．若a＝b，则|a|＝|b|D．若a＝﹣b，则|a|＝﹣|b|3．有下列结论：①|a|一定是正数；②只有两个数相等时，它们的绝对值才相等；③绝对值最小的数是0；④在数轴上表示﹣a的点一定在原点的左边；⑤有理数分为正有理数和负有理数；其中正确的结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，四个有理数在数轴上的对应点分别为点M，P，N，Q，若点P，Q表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最大的有理数的点是（）A．点M B．点P C．点N D．点Q二．填空题5．若a＞0，b＜0，化简a+3b﹣|a|+|2b|得．6．绝对值不大于3的整数是______________．绝对值小于2015的所有整数之积为_____．7．数轴上到原点的距离小于3的整数的个数为x，不大于3的正整数的个数为y，绝对值等于3的整数的个数为z，则x+y+z＝_____．三．解答题8．已知|x﹣4|+|y+2|＝0，求x与y的值．9．已知|x﹣4|+|5﹣y|＝0，求12（x+y）的值．10．若|a|＝4，|b|＝2，且a，b异号，求a与b的值．11．有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示．（1）在横线上填入“＞”或“＜”：a______0；b______0；c______0；|c|______|a|．（2）试在数轴上找出表示﹣a，﹣b，﹣c的点；（3）试用“＜”将a，﹣a，b，﹣b，c，﹣c，0连接起来．12．已知数a ，b 表示的点在数轴上的位置如图所示．（1）在数轴上表示出a ，b 的相反数的位置，并将这四个数从小到大排列；（2）若数b 与其相反数相距16个单位长度，则b 表示的数是多少？（3）在（2）的条件下，若数a 与数b 的相反数表示的点相距4个单位长度，则a 表示的数是多少？【参考答案】1。
人教版七年级数学培优教程
比例数.
有限小数
可化为分数形式，是有理数
小数 无限循环小数
无限不循环小数 不可化为分数形式，不是有理数
有理数的分类：
正整数
整数
零
自然数
有理数（按定义分类）
负整数
分数
正分数 负分数
正整数
正有理数
正分数
有理数（按符号分类） 零（零既不是正数，也不是负数）
负有理数
负整数 负分数
该定义更接近分类而非本质定义，例如小数是有理数吗？下面给出有理数更加接近本质的定
义.
定义：能写成 m （m、n 为整数，n≠0，（m，n）=1）的数. n
例： 12 3 ， 3 3 ， 0.1
1
，
0.3
1
82
1
10
3
有理数：rational number，rational（有道理的）的词根为 ratio（比例），有理数可以理解为
6、数轴上：B 到 A 的距离为 1，C 到 B 的距离为 2，求 AC=________
动点（规律类） 1、数轴上：点 A 从原点向右移一个单位，再向左移动两个单位，求现在位置 2、数轴上：点 A 向左移动 3 个单位，向右移动 5 个单位到 2014，求开始的位置 3、数轴上：点 A 从原点开始按照右移 1 个单位，左移 2 个单位，右移 3 个单位，左移 4 个 单位……右移 99 个单位，左移 100 个单位的规律移动 （1）最后的位置________． （2）共移动了多少个单位长度？ （3）若 A 为一个起始为 300kg 的质点，每移动一个单位减少 1kg，A 点消失的位置？ 基础夯实 【例 3】（1）如右图所示，数轴的一部分被墨水污染了，被污染的部分内含有的整数为
七年级培优专题：解含绝对值的一元一次方程
绝对值邂逅一次方程模型①c=+b ax 1、解方程：4x -2=333-=+x 2、244-23=x 112-x 72=+ 2122-x 3-=+711-x 2-=+3、已知关于x 的方程有两个解，求a 的取值范围。
a 43-23=+x 模型②dcx +=+b ax 1、2x 1=-x 1x 1-2+=x 2、63x 3-4+=x 5-765x x x =++1x 23=-+x多重绝对值方程怕不怕1.解方程：34-2-x =2.解方程：32-x -2=3.已知满足的x 有2个，求a 的取值范围。
a 1-2-x =多个绝对值方程怕不怕1.____x ,64x 2-x 的取值范围是则已知=++2.____,842-==++x x x 则已知3.____x ,54--3==+则已知x x 4.____x ,74--3的取值范围为则已知-=+x x5.。
____x ,74-232的取值范围是则已知=++x x 6.个。
的整数解共有_____127x 25-x 2=++7.个。
的值的个数有的整数符合_____81-2-72x x x =+含绝对值的方程组1.已知，则x=___，y=_____6y x ,12y x =+=+2.____y x ,12y -y x 10,y x x =+=+=++则3.已知|x|+|y|=7,2|x|-3|y|=-1,则x+y=______。
4.已知|x-1|+|y-2|=6,|x-1|=2y-4,则x+y=________.5.已知x-y=4,|x|+|y|=7,求x,y 的值。
6.已知3a-2|b|=5,4|a|-6a=3b,则a 2+b 2=______数形结合突破绝对值1.已知，求y 的取值范围。
2-x 1-x +=y 2.当a 满足什么条件时，方程分别有2个解？无解？无数解？a 2-x 1-x =+3.已知，求y 的取值范围。
2-x -1-x =y 4.当a 满足什么条件时，方程分别有1个解？无解？无数解？a 2-x -1-x =5.____m m 5-x 4x 3-x 2x 1-x 的最大值为，恒成立，则若≥++++++6.____y x ,4x 3-x 2-1x y 的取值范围是可以取所有实数，则且已知+++=小结：解含绝对值的二元一次方程组时，分类讨论是万能的，但不到万不得已不要轻易用，杀敌一千自损八百。
七年级数学下册 第7章 一次方程 培优专题 二元一次方程组的同解、错解、参数问题课件
第7章 一次方程(yī cì fānɡ chénɡ)
培优专题
二元一次方程组的同解、错解、参数(cānshù)问题
第一页，共十七页。
第7章 一次方程组
培优专题(zhuāntí) 二元一次方程组的同解、通错、参数问题
方法管理 归类探究
第二页，共十七页。
代入①，得 y＝－5.把y＝－5代入bx－ay＝－6，得5a＋b＝－6，解得 a＝b ＝－1.则原式＝[4×(－1)－3×(－1)]2 018＝1.
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【变式跟进】
mx＋2ny＝4， x－y＝3，
1．[2017·杭州一模]若关于 x、y 的方程组x＋y＝1
与nx＋（m－1）y＝3
有相同的解．
x＝－3， 程①中的 a，得到方程组的解为y＝－10；乙看错了方程②中的 b，得到方程组 的解为xy＝＝54，. 试计算 a2 020＋(－b)2 019 的值．
第七页，共十七页。
x＝－3， 解：将y＝－10 代入方程组中的 4x－by＝－2， 得－12＋10b＝－2，解得 b＝1.
x＝5， 将y＝4 代入 ax＋5y＝15，得 5a＋20＝15， 解得 a＝－1.则 a2 020＋(－b)2 019＝1－1＝0.
第十五页，共十七页。
解：(答案不唯一) 我最欣赏乙同学的解题思路，解答如下： 32xx＋ ＋23yy＝ ＝76k.②－2，①，①＋②，得 5x＋5y＝7k＋4，∴x＋y＝7k5＋4. ∵x＋y＝2，∴7k＋ 5 4＝2，解得 k＝67. 评价：乙同学观察到了方程组中未知数 x、y 的系数，以及与 x＋y＝2 中的 系数的特殊关系，利用整体代入简化计算，而且不用求出 x、y 的值就能解决问 题，思路比较灵活，计算量小．
七年级培优专题：一次方程组的解法;含绝对值二元一次方程组
一次方程组的解法方法1：整体考虑例1：解方程组：（1） （2）32(2)522x x y x y --=⎧⎨-=⎩①②7233()1723x y x yx y x y +-⎧+=⎪⎪⎨+-⎪+=⎪⎩①②跟踪训练：解方程组： （1），（2）2(2)3(1)133(2)5(1)10x y x y +--=⎧⎨++-=⎩．431032255213225x y x y x y x y ⎧+=⎪--⎪⎨⎪-=⎪--⎩方法2：引元设参例2：解方程组353278x y x yx y -+⎧=⎪⎨⎪--=⎩跟踪训练2：解方程组：① ②25322y x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩的值求已知b ab a b a ,17211201+=+=+方法3：加减不消元例3：解方程组83581641283591641835921641x y x y +=⎧⎨+=⎩①②跟踪训练3：解方程组：361463102463361102x y x y +=-⎧⎨+=⎩方法4：叠加叠乘例4：解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=++-=+-+=-++6543d c b a d c b a d c b a d c b a 跟踪训练4：的值，求已知a 6ea ,4de ,3cd ,2bc ,1ab =====方法5：倒数拆分例5：解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+71328123y x xy y x xy 跟踪训练5：设a,b,c 均为非零实数，并且ab=(a+b),bc=3(b+c),ca=6(c+a),求a+b+c 的值。
方法6：类比变形e a例6：若方程组的解是, 求方程组的解．111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩34x y =⎧⎨=⎩111222325325a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩跟踪训练6：若方程组的解是, 求方程组的解的解．111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩25x y =-⎧⎨=⎩11111222222222a x b y a b c a x b y a b c -=-+⎧⎨-=-+⎩无数解和无解分析：例7：的值。
新人教版七年级数学培训资料Word版上下册(全年级章节培优已整理完善)
七年级数学培训资料Word版上下册目录第01讲与有理数有关的概念（2--8）第02讲有理数的加减法（3--15）第03讲有理数的乘除、乘方（16--22）第04讲整式（23--30）第05讲整式的加减（31--36)第06讲一元一次方程概念和等式性质(37--43)第07讲一元一次方程解法(44--51)第08讲实际问题与一元一次方程(52--59)第09讲多姿多彩的图形(60--68)第10讲直线、射线、线段(69--76)第11讲角(77--82)第12讲与相交有关概念及平行线的判定(83--90)第13讲平行线的性质及其应用(91--100)第14讲平面直角坐标系（一）(101--106)第15讲平面直角坐标系（二）(107--112)第16讲认识三角形(113--119)第17讲认识多边形(120--126)第18讲二元一次方程组及其解法(127--134)第19讲实际问题与二元一次方程组(135--145)第20讲三元一次方程组和一元一次不等式组(146--155)第21讲一元一次不等式（组）的应用(156--164)第22讲一元一次不等式（组）与方程（组）的结合(165--174)第23讲数据的收集与整理(175--186)模拟测试一模拟测试二模拟测试三第1讲 与有理数有关的概念考点·方法·破译1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想.3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数.经典·考题·赏析【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等”解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克.【变式题组】01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（ ）A ． －18%B ． －8%C ． ＋2%D ． ＋8% 02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( )A ． －5吨B ． ＋5吨C ． －3吨D ． ＋3吨03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间l 5：00，纽约时问是____【例２】在－227，π，0.033.3这四个数中有理数的个数（ )A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；按整数、分数分类，有理数⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－227是分数0.033.3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ．【变式题组】01．在7，0．1 5，－12，－301.31.25，－18，100.l ，－3 001中，负分数为 ，整数为 ，正整数 .02．（河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置15，－19，215，－138，0.1．－5.32，123, 2.333【例３】（宁夏）有一列数为－1，12，－13，14．－15，16，…，找规律到第2007个数是 .【解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律．击归纳去猜想，然后进行验证.解本题会有这样的规律：⑴各数的分子部是1；⑵各数的分母依次为1，2，3，4，5，6，…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第2007个数的分子也是1．分母是2007，并且是一个负数，故答案为－12007.【变式题组】 01．（湖北宜宾）数学解密：第一个数是3＝2 ＋1，第二个数是5＝3 ＋2，第三个数是9＝5＋4，第四十数是17＝9＋8…观察并精想第六个数是 . 02．（毕节）毕选哥拉斯学派发明了一种“馨折形”填数法，如图则？填____. 03．（茂名）有一组数l ，2，5，10，17，26…请观察规律，则第8个数为____.【例４】（2008年河北张家口）若l ＋m2的相反数是－3，则m 的相反数是____.【解法指导】理解相反数的代数意义和几何意义，代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数.几何意义：在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表示的数叫互为相反数，本题m2＝－4,m ＝－8【变式题组】 01．（四川宜宾）－5的相反数是( )A ．5B ． 15C ． －5D ． －1502．已知a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，则a ＋b ＋cd ＝______03．如图为一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形A 、B 、C 内分别填人适当的数，使得它们折成正方体.若相对的面上的两个数互为相反数，则填人正方形A 、B 、C 内的三个数依次为( )A ． － 1 ,2，0B ． 0，－2，1C ． －2，0，1D ． 2，1，0 【例５】（湖北）a 、b 为有理数，且a ＞0，b ＜0，|b |＞a ，则a ,b 、－a ,－b 的大小顺序是( )A ． b ＜－a ＜a ＜－bB ． –a ＜b ＜a ＜－bC ． –b ＜a ＜－a ＜bD ． –a ＜a ＜－b ＜b【解法指导】理解绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示a 的点到原点的距离,即|a |,用式子表示为|a |＝0)0(0)(0)a a a a a >⎧⎪=⎨⎪-<⎩(.本题注意数形结合思想，画一条数轴标出a 、b ,依相反数的意义标出－b ,－a ,故选A ．【变式题组】01．推理①若a ＝b ，则|a |＝|b |；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若a ≠b ，则|a |≠|b |；④若|a |≠|b |，则a ≠b ，其中正确的个数为（ ）A ． 4个B ． 3个C ． 2个D ． 1个 02．a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图，则|a |a ＋|b |b ＋|c |c＝ .03．a 、b 、c 为不等于O 的有理散，则a |a |＋b |b |＋c|c |的值可能是____.【例６】（江西课改）已知|a －4|＋|b －8|＝0，则a +bab的值.【解法指导】本题主要考查绝对值概念的运用，因为任何有理数a 的绝对值都是非负数，即|a |≥0．所以|a －4|≥0，|b －8|≥0.而两个非负数之和为0，则两数均为0.解：因为|a －4|≥0，|b －8|≥0，又|a －4|＋|b －8|＝0，∴|a －4|＝0，|b －8|＝0即a －4＝0，b －8＝0，a ＝4，b ＝8.故a +b ab ＝1232＝38【变式题组】01．已知|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，且a ＞b ＞c ，求a ＋b ＋C ． 02．（毕节）若|m －3|＋|n ＋2|＝0，则m ＋2n 的值为( )A ． －4B ． －1C ． 0D ． 403．已知|a |＝8，|b |＝2，且|a －b |＝b －a ，求a 和b 的值【例７】（第l 8届迎春杯）已知(m ＋n )2＋|m |＝m ，且|2m －n －2|＝0．求mn 的值．【解法指导】本例关键是通过分析(m ＋n )2＋|m |的符号，挖掘出m 的符号特征,从而把问题转化为(m ＋n )2＝0，|2m －n －2|＝0，找到解题途径.解：∵(m ＋n )2≥0，|m |≥O∴(m ＋n )2＋|m |≥0，而(m ＋n )2＋|m |＝m∴ m ≥0,∴(m ＋n )2＋m ＝m ，即(m ＋n )2＝0 ∴m ＋n ＝O ① 又∵|2m －n －2|＝0 ∴2m －n －2＝0 ②由①②得m ＝23，n ＝－23，∴ mn ＝－49【变式题组】 01．已知(a ＋b )2＋|b ＋5|＝b ＋5且|2a －b –l |＝0，求a －B ． 02．（第16届迎春杯）已知y ＝|x －a |＋|x ＋19|＋|x －a －96|，如果19＜a ＜96．a ≤x ≤96,求y 的最大值.演练巩固·反馈提高01．观察下列有规律的数12,16,112,120,130,142…根据其规律可知第9个数是( )A ． 156B ． 172C ． 190D ． 111002．（芜湖）－6的绝对值是( )A ． 6B ． －6C ． 16D ． －1603．在－227,π,8..0.3四个数中，有理数的个数为( )A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个 04．若一个数的相反数为a ＋b ，则这个数是( )A ． a －bB ． b －aC ． –a ＋bD ． –a －b 05．数轴上表示互为相反数的两点之间距离是6，这两个数是( )A ． 0和6B ． 0和－6C ． 3和－3D ． 0和3 06．若－a 不是负数，则a ( )A ． 是正数B ． 不是负数C ． 是负数D ． 不是正数 07．下列结论中，正确的是( )①若a ＝b ,则|a |＝|b | ②若a ＝－b ,则|a |＝|b | ③若|a |＝|b |，则a ＝－b ④若|a |＝|b |,则a ＝b A ． ①② B ． ③④ C ． ①④ D ． ②③08．有理数a 、b 在数轴上的对应点的位置如图所示,则a 、b ，－a ，|b |的大小关系正确的是( )A ． |b |＞a ＞－a ＞bB ． |b | ＞b ＞a ＞－aC ． a ＞|b |＞b ＞－aD ． a ＞|b |＞－a ＞b09．一个数在数轴上所对应的点向右移动5个单位后，得到它的相反数的对应点，则这个数是____.10．已知|x ＋2|＋|y ＋2|＝0，则xy ＝____.11．a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图，求|a |a ＋|b |b ＋|abc |abc ＋|c |c12．若三个不相等的有理数可以表示为1、a 、a ＋b 也可以表示成0、b 、ba的形式，试求a 、b 的值.13．已知|a |＝4，|b |＝5，|c |＝6，且a ＞b ＞c ，求a ＋b －C ．14．|a|具有非负性，也有最小值为0，试讨论：当x为有理数时，|x－l|＋|x－3|有没有最小值，如果有，求出最小值；如果没有，说明理由.15．点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，|AB|＝|OB|＝|b|＝|a－b| 当A、B两点都不在原点时有以下三种情况:①如图2，点A、B都在原点的右边|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b－a＝|a－b|；②如图3，点A、B都在原点的左边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－(－a)＝|a－b|；③如图4，点A、B在原点的两边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－（－a）＝|a－b|；综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a－b|．回答下列问题:⑴数轴上表示2和5的两点之间的距离是 , 数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是 , ，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是；⑵数轴上表示x和－1的两点分别是点A和B，则A、B之间的距离是，如果|AB|＝2，那么x＝；⑶当代数式|x＋1|＋|x－2|取最小值时，相应的x的取值范围是．培优升级·奥赛检测01．（重庆市竞赛题）在数轴上任取一条长度为199919的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是( )A ． 1998B ． 1999C ． 2000D ． 2001 02．（第l 8届希望杯邀请赛试题）在数轴上和有理数a 、b 、c 对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①abc ＜0;②|a －b |＋|b －c |＝|a －c |；③（a －b ）(b －c )(c －a )＞0；④|a |＜1－bc ．其中正确的结论有( )A ． 4个B ． 3个C ． 2个D ． 1个03．如果a 、b 、c 是非零有理数，且a ＋b ＋c ＝0．那么a |a |＋b |b |＋c |c |＋abc|abc |的所有可能的值为（ ）A ． －1B ． 1或－1C ． 2或－2D ． 0或－2 04．已知|m |＝－m ，化简|m －l |－|m －2|所得结果( )A ． －1B ． 1C ． 2m －3D ． 3－ 2m05．如果0＜p ＜15，那么代数式|x －p |＋|x －15|＋|x －p －15|在p ≤x ≤15的最小值( )A ． 30B ． 0C ． 15D ． 一个与p 有关的代数式 06．|x ＋1|＋|x －2|＋|x －3|的最小值为 .07．若a ＞0，b ＜0，使|x －a |＋|x －b |＝a －b 成立的x 取值范围 . 08．（武汉市选拔赛试题）非零整数m 、n 满足|m |＋|n |－5＝0所有这样的整数组(m ，n )共有 组 09．若非零有理数m 、n 、p 满足|m |m ＋|n |n ＋|p |p ＝1．则2mnp|3mnp |＝ .10．（19届希望杯试题）试求|x －1|＋|x －2|＋|x －3|＋…＋|x －1997|的最小值.11．已知(|x ＋l |＋|x －2|)（|y －2|＋|y ＋1|）（|z －3|＋|z ＋l |）＝36，求x ＋2y ＋3的最大值和最小值.12．电子跳蚤落在数轴上的某点k0，第一步从k0向左跳1个单位得k1，第二步由k1向右跳2个单位到k2，第三步由k2向左跳3个单位到k3，第四步由k3向右跳4个单位到k4…按以上规律跳100步时，电子跳蚤落在数轴上的点k100新表示的数恰好19.94，试求k0所表示的数.13．某城镇，沿环形路上依次排列有五所小学，它们顺扶有电脑15台、7台、1l台、3台，14台，为使各学校里电脑数相同，允许一些小学向相邻小学调出电脑，问怎样调配才能使调出的电脑总台数最小？并求出调出电脑的最少总台数.第02讲有理数的加减法考点·方法·破译1．理解有理数加法法则，了解有理数加法的实际意义.2．准确运用有理数加法法则进行运算，能将实际问题转化为有理数的加法运算.3．理解有理数减法与加法的转换关系，会用有理数减法解决生活中的实际问题.4．会把加减混合运算统一成加法运算，并能准确求和.经典·考题·赏析【例１】（河北唐山）某天股票A开盘价18元，上午11:30跌了1.5元，下午收盘时又涨了0.3元，则股票A这天的收盘价为（）A．0.3元B．16.2元C．16.8元D．18元【解法指导】将实际问题转化为有理数的加法运算时，首先将具有相反意义的量确定一个为正，另一个为负，其次在计算时正确选择加法法则，是同号相加，取相同符号并用绝对值相加，是异号相加，取绝对值较大符号，并用较大绝对值减去较小绝对值.解：18＋（－1.5）＋（0.3）＝16.8，故选C．【变式题组】01．今年陕西省元月份某一天的天气预报中，延安市最低气温为－6℃，西安市最低气温2℃，这一天延安市的最低气温比西安低（）A．8℃B．－8℃C．6℃D．2℃02．（河南）飞机的高度为2400米，上升250米，又下降了327米，这是飞机的高度为__________03．（浙江）珠穆朗玛峰海拔8848m，吐鲁番海拔高度为－155 m，则它们的平均海拔高度为__________【例２】计算（－83）＋（＋26）＋（－17）＋（－26）＋（＋15）【解法指导】应用加法运算简化运算，－83与－17相加可得整百的数，＋26与－26互为相反数，相加为0，有理数加法常见技巧有：⑴互为相反数结合一起；⑵相加得整数结合一起；⑶同分母的分数或容易通分的分数结合一起；⑷相同符号的数结合一起.解：（－83）＋（＋26）＋（－17）＋（－26）＋（＋15）＝[（－83）＋（－17）]＋[（＋26）＋（－26）]＋15＝（－100）＋15＝－85【变式题组】01．（－2.5）＋（－312）＋（－134）＋（－114）02．（－13.6）＋0.26＋（－2.7）＋（－1.06）03．0.125＋314＋（－318）＋1123＋（－0.25）132164116181412-a -b 0b a【例３】计算111112233420082009++++⨯⨯⨯⨯【解法指导】依111(1)1n n n n =-++进行裂项，然后邻项相消进行化简求和.解：原式＝1111111(1)()()()2233420082009-+-+-++-＝111111112233420082009-+-+-++-＝112009-＝20082009【变式题组】01．计算1＋（－2）＋3＋（－4）＋ … ＋99＋（－100）02．如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为12的长方形，接着把面积为12的长方形等分成两个面积为14的正方形，再把面积为14的正方形等分成两个面积为18的长方形，如此进行下去，试利用图形揭示的规律计算11111111248163264128256+++++++＝__________. 【例４】如果a ＜0，b ＞0，a ＋b ＜0，那么下列关系中正确的是（ ） A ．a ＞b ＞－b ＞－a B ．a ＞－a ＞b ＞－b C ．b ＞a ＞－b ＞－a D ．－a ＞b ＞－b ＞a【解法指导】紧扣有理数加法法则，由两加数及其和的符号，确定两加数的绝对值的大小，然后根据相反数的关系将它们在同一数轴上表示出来，即可得出结论.解：∵a ＜0，b ＞0，∴a ＋b 是异号两数之和又a ＋b ＜0，∴a 、b 中负数的绝对值较大，∴| a |＞| b |将a 、b 、－a 、－b 表示在同一数轴上，如图，则它们的大小关系是－a ＞b ＞－b＞a【变式题组】01．若m ＞0，n ＜0，且| m |＞| n |，则m ＋n ________ 0.（填＞、＜号） 02．若m ＜0，n ＞0，且| m |＞| n |，则m ＋n ________ 0.（填＞、＜号）03．已知a ＜0，b ＞0，c ＜0，且| c |＞| b |＞| a |，试比较a 、b 、c 、a ＋b 、a ＋c 的大小【例５】425－（－33311）－（－1.6）－（－21811）【解法指导】有理数减法的运算步骤：⑴依有理数的减法法则，把减号变为加号，并把减数变为它的相反数；⑵利用有理数的加法法则进行运算.解：425－（－33311）－（－1.6）－（－21811）＝425＋33311＋1.6＋21811＝4.4＋1.6＋（33311＋21811）＝6＋55＝61【变式题组】01．21511 ()()()()(1) 32632 --+---+-+02．434－（＋3.85）－（－314）＋（－3.15）03．178－87.21－（－43221）＋1531921－12.79【例６】试看下面一列数：25、23、21、19…⑴观察这列数，猜想第10个数是多少？第n个数是多少？⑵这列数中有多少个数是正数？从第几个数开始是负数？⑶求这列数中所有正数的和.【解法指导】寻找一系列数的规律，应该从特殊到一般，找到前面几个数的规律，通过观察推理、猜想出第n个数的规律，再用其它的数来验证.解：⑴第10个数为7，第n个数为25－2(n－1)⑵∵n＝13时，25－2(13－1)＝1，n＝14时，25－2(14－1)＝－1故这列数有13个数为正数，从第14个数开始就是负数.⑶这列数中的正数为25,23,21,19,17,15,13,11,9,7,5,3,1，其和＝（25＋1）＋（23＋3）＋…＋（15＋11）＋13＝26×6＋13＝169【变式题组】01．(杭州)观察下列等式1－12＝12，2－25＝85，3－310＝2710，4－417＝6417…依你发现的规律，解答下列问题.⑴写出第5个等式；⑵第10个等式右边的分数的分子与分母的和是多少？02．观察下列等式的规律9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20⑴用关于n（n≥1的自然数）的等式表示这个规律；⑵当这个等式的右边等于2008时求n.【例７】（第十届希望杯竞赛试题）求12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋（15＋25＋3 5＋45）＋…＋（150＋250＋…＋4850＋4950）【解法指导】观察式中数的特点发现：若括号内在加上相同的数均可合并成1，由此我们采取将原式倒序后与原式相加，这样极大简化计算了.解：设S＝12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋…＋（150＋250＋…＋4850＋4950）则有S＝12＋（23＋13）＋（34＋24＋14）＋…＋（4950＋4850＋…＋250＋150）将原式和倒序再相加得2S＝12＋12＋（13＋23＋23＋13）＋（14＋24＋34＋34＋24＋14）＋…＋（150＋2 50＋…＋4850＋4950＋4950＋4850＋…＋250＋150）即2S＝1＋2＋3＋4＋ (49)49(491)2⨯+＝1225 ∴S＝12252【变式题组】01．计算2－22－23－24－25－26－27－28－29＋21002．（第8届希望杯试题）计算（1－12－13－…－12003）（12＋13＋14＋…＋12003＋1 2004）－（1－12－13－…－12004）（12＋13＋14＋…＋12003）演练巩固·反馈提高01．m是有理数，则m＋|m|（）A．可能是负数B．不可能是负数C．比是正数D．可能是正数，也可能是负数02．如果|a|＝3，|b|＝2，那么|a＋b|为（）A． 5 B．1 C．1或5 D．±1或±5 03．在1，－1，－2这三个数中，任意两数之和的最大值是（）A． 1 B．0 C．－1 D．－3 04．两个有理数的和是正数，下面说法中正确的是（）05．下列等式一定成立的是（）A．|x|－x＝0 B．－x－x＝0 C．|x|＋|－x|＝0 D．|x|－|x|＝0 06．一天早晨的气温是－6℃，中午又上升了10℃，午间又下降了8℃，则午夜气温是（）A．－4℃B．4℃C．－3℃D．－5℃07．若a＜0，则|a－(－a)|等于（）A．－a B．0 C．2a D．－2a08．设x是不等于0的有理数，则||||2x xx值为（）A．0或1 B．0或2 C．0或－1 D．0或－2 09．（济南）2＋(－2)的值为__________10．用含绝对值的式子表示下列各式：⑴若a＜0，b＞0,则b－a＝__________，a－b＝__________⑵若a＞b＞0，则|a－b|＝__________⑶若a＜b＜0，则a－b＝__________11．计算下列各题：⑴23＋（－27）＋9＋5 ⑵－5.4＋0.2－0.6＋0.35－0.25⑶－0.5－314＋2.75－712⑷33.1－10.7－（－22.9）－|－2310|12．计算1－3＋5－7＋9－11＋…＋97－9913．某检修小组乘汽车沿公路检修线路，规定前进为正，后退为负，某天从A地出发到收工时所走的路线（单位：千米）为：＋10，－3，＋4，－2，－8，＋13，－7，＋12，＋7，＋5⑴问收工时距离A地多远？⑵若每千米耗油0.2千克，问从A地出发到收工时共耗油多少千克？14．将1997减去它的12，再减去余下的13，再减去余下的14，再减去余下的15……以此类推，直到最后减去余下的11997，最后的得数是多少？15．独特的埃及分数：埃及同中国一样，也是世界著名的文明古国，古代埃及人处理分数与众不同，他们一般只使用分子为1的分数，例如13＋115来表示25，用14＋17＋128表示37等等.现有90个埃及分数：12，13，14，15，…190，191，你能从中挑出10个，加上正、负号，使它们的和等于－1吗？培优升级·奥赛检测01．（第16届希望杯邀请赛试题）1234141524682830-+-+-+-+-+-+-等于（ ） A ．14 B ．14- C ．12 D ．12- 02．自然数a 、b 、c 、d 满足21a ＋21b ＋21c ＋21d ＝1，则31a ＋41b ＋51c＋61d 等于（ ） A ．18 B ．316 C ．732 D ．1564 03．（第17届希望杯邀请赛试题）a 、b 、c 、d 是互不相等的正整数，且abcd ＝441，则a ＋b ＋c ＋d 值是（ ）A ．30B ．32C ．34D ．3604．（第7届希望杯试题）若a ＝1995199519961996，b ＝1996199619971997，c ＝1997199719981998，则a 、b 、c25632015201051216158412410982654321534333231305．11111(1)(1)(1)(1)(1)1324351998200019992001+++++⨯⨯⨯⨯⨯的值得整数部分为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．406．(－2)2004＋3×(－2)2003的值为（ ）A ．－22003B ．22003C ．－22004D ．2200407．（希望杯邀请赛试题）若|m |＝m ＋1，则(4m ＋1)2004＝__________ 08．12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋ … ＋（160＋260＋…＋5960）＝__________ 09．19191976767676761919-＝__________ 10．1＋2－22－23－24－25－26－27－28－29＋210＝__________11．求32001×72002×132003所得数的末位数字为__________12．已知(a ＋b )2＋|b ＋5|＝b ＋5，且|2a －b －1|＝0，求aB ．13．计算(11998－1)(11997－1) (11996－1) … (11001－1) (11000－1)14．请你从下表归纳出13＋23＋33＋43＋...＋n 3的公式并计算出13＋23＋33＋43＋ (1003)值.第03讲 有理数的乘除、乘方考点·方法·破译1．理解有理数的乘法法则以及运算律，能运用乘法法则准确地进行有理数的乘法运算，会利用运算律简化乘法运算.2．掌握倒数的概念，会运用倒数的性质简化运算.3．了解有理数除法的意义，掌握有理数的除法法则，熟练进行有理数的除法运算.4．掌握有理数乘除法混合运算的顺序，以及四则混合运算的步骤，熟练进行有理数的混合运算.5．理解有理数乘方的意义，掌握有理数乘方运算的符号法则，进一步掌握有理数的混合运算.经典·考题·赏析【例１】计算 ⑴11()24⨯- ⑵1124⨯ ⑶11()()24-⨯- ⑷25000⨯ ⑸3713()()(1)()5697-⨯-⨯⨯- 【解法指导】掌握有理数乘法法则，正确运用法则，一是要体会并掌握乘法的符号规律，二是细心、稳妥、层次清楚，即先确定积的符号，后计算绝对值的积. 解：⑴11111()()24248⨯-=-⨯=- ⑵11111()24248⨯=⨯= ⑶11111()()()24248-⨯-=+⨯= ⑷250000⨯= ⑸3713371031()()(1)()()569756973-⨯-⨯⨯-=-⨯⨯⨯=- 【变式题组】01．⑴(5)(6)-⨯- ⑵11()124-⨯ ⑶(8)(3.76)(0.125)-⨯⨯-⑷(3)(1)2(6)0(2)-⨯-⨯⨯-⨯⨯- ⑸111112(2111)42612-⨯-+-02．24(9)5025-⨯ 3．1111(2345)()2345⨯⨯⨯⨯---04．111(5)323(6)3333-⨯+⨯+-⨯A ．a ＞0，b ＜0B ．a ＜0，b ＞0C ．a 、b 异号D ．a 、b 异号且负数的绝对值较大【解法指导】依有理数乘法法则，异号为负，故a 、b 异号，又依加法法则，异号相加取绝对值较大数的符号，可得出判断.解：由ab ＜0知a 、b 异号，又由a ＋b ＜0，可知异号两数之和为负，依加法法则得负数的绝对值较大，选D ．【变式题组】01．若a ＋b ＋c ＝0，且b ＜c ＜0，则下列各式中，错误的是（ ）A ．a ＋b ＞0B ．b ＋c ＜0C ．ab ＋ac ＞0D ．a ＋bc ＞002．已知a ＋b ＞0，a －b ＜0，ab ＜0，则a___________0，b___________0，|a|___________|b|. 03．(山东烟台)如果a ＋b ＜0，0b a>，则下列结论成立的是（ ） A ．a ＞0，b ＞0 B ．a ＜0，b ＜0 C ．a ＞0，b ＜0 D ．a ＜0，b ＞004．(广州)下列命题正确的是（ ）A ．若ab ＞0，则a ＞0，b ＞0B ．若ab ＜0，则a ＜0，b ＜0C ．若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0D ．若ab ＝0，则a ＝0且b ＝0【例３】计算⑴(72)(18)-÷- ⑵11(2)3÷- ⑶13()()1025-÷ ⑷0(7)÷- 【解法指导】进行有理数除法运算时，若不能整除，应用法则1，先把除法转化成乘法，再确定符号，然后把绝对值相乘，要注意除法与乘法互为逆运算.若能整除，应用法则2，可直接确定符号，再把绝对值相除.解：⑴(72)(18)72184-÷-=÷= ⑵17331(2)1()1()3377÷-=÷-=⨯-=-⑶131255()()()()10251036-÷=-⨯=- ⑷0(7)0÷-=【变式题组】01．⑴(32)(8)-÷- ⑵112(1)36÷- ⑶10(2)3÷- ⑷13()(1)78÷-02．⑴12933÷⨯⑵311()(3)(1)3524-⨯-÷-÷ ⑶530()35÷-⨯03．113()(10.2)(3)245÷-+-÷⨯-【例４】（茂名）若实数a 、b 满足0a b +=，则ab ＝___________.【解法指导】依绝对值意义进行分类讨论，得出a 、b 的取值范围，进一步代入结论得出结果.解：当ab ＞0，2(0,0)2(0,0)a b a b a b a b >>⎧+=⎨-<<⎩； 当ab ＜0，0a b a b+=，∴ab ＜0，从而ab ab ＝－1. 【变式题组】01．若k 是有理数，则(|k|＋k )÷k 的结果是（ ）A ．正数B ．0C ．负数D ．非负数02．若A ．b 都是非零有理数，那么ab a b a b ab ++的值是多少？03．如果0x y x y +=，试比较x y -与xy 的大小.【例５】已知223(2),1x y =-=-⑴求2008xy 的值； ⑵求32008x y的值. 【解法指导】n a 表示n 个a 相乘，根据乘方的符号法则，如果a 为正数，正数的任何次幂都是正数，如果a 是负数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.解：∵223(2),1x y =-=-⑴当2,1x y ==-时，200820082(1)2xy=-= 当2,1x y =-=-时，20082008(2)(1)2xy =-⨯-=-⑵当2,1x y ==-时，332008200828(1)x y ==- 当2,1x y =-=-时，3320082008(2)8(1)x y -==-- 【变式题组】01．（北京）若2(2)0m n m -+-=，则nm 的值是___________.02．已知x 、y 互为倒数，且绝对值相等，求()n n x y --的值，这里n 是正整数.【例６】（安徽）2007年我省为135万名农村中小学生免费提供教科书，减轻了农民的负担，135万用科学记数法表示为（ ）A ．0.135×106B ．1.35×106C ．0.135×107D ．1.35×107【解法指导】将一个数表示为科学记数法的a×10n 的形式，其中a 的整数位数是1位.故答案选B ．【变式题组】01．（武汉）武汉市今年约有103000名学生参加中考，103000用科学记数法表示为（ ）A ．1.03×105B ．0.103×105C ．10.3×104D ．103×10302．（沈阳）沈阳市计划从2008年到2012年新增林地面积253万亩，253万亩用科学记数法表示正确的是（ ）A ．25.3×105亩B ．2.53×106亩C ．253×104亩D ．2.53×107亩【例７】（上海竞赛）222222221299110050002200500010050009999005000k k k ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+-+-+-+-+ 【解法指导】找出21005000k k -+的通项公式＝22(50)50k -+ 原式＝2222222222221299(150)50(250)50(50)50(9950)50k k ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+-+-+-+-+ ＝222222222222199298[][](150)50(9950)50(250)50(9850)50++++⋅⋅⋅+-+-+-+-+ 222222222495150[](4950)50(5150)50(5050)50++-+-+-+ ＝49222+1++⋅⋅⋅+个＝99【变式题组】3333+++=( )2+4+6++10042+4+6++10062+4+6++10082+4+6++2006⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅A ．31003 B ．31004 C ．1334 D ．1100002．（第10届希望杯试题）已知11111111 1.2581120411101640+++++++= 求111111112581120411101640---+--++的值.演练巩固·反馈提高01．三个有理数相乘，积为负数，则负因数的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．1个或3个 02．两个有理数的和是负数，积也是负数，那么这两个数（ ）A ．互为相反数B ．其中绝对值大的数是正数，另一个是负数C ．都是负数D ．其中绝对值大的数是负数，另一个是正数 03．已知abc ＞0，a ＞0，ac ＜0，则下列结论正确的是（ ）A ．b ＜0，c ＞0B ．b ＞0，c ＜0C ．b ＜0，c ＜0D ．b ＞0，c ＞004．若|ab |＝ab ，则（ ）A ．ab ＞0B ．ab ≥0C ．a ＜0，b ＜0D ．ab ＜005．若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值为2，则代数式a b m cd m +-+的值为（ ）A ．－3B ．1C ．±3D ．－3或106．若a ＞1a，则a 的取值范围（ ） A ．a ＞1 B ．0＜a ＜1 C ．a ＞－1 D ．－1＜a ＜0或a ＞1 07．已知a 、b 为有理数，给出下列条件：①a ＋b ＝0；②a －b ＝0；③ab ＜0；④1a b =-，其中能判断a 、b 互为相反数的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个08．若ab≠0，则a b a b+的取值不可能为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．－209．1110(2)(2)-+-的值为（ ）A ．－2B ．(－2)21C ．0D ．－21010．(安徽)2010年一季度，全国城镇新增就业人数289万人，用科学记数法表示289万正确的是（ ）A ．2.89×107B ．2.89×106C ．2.89×105D ．2.89×10411．已知4个不相等的整数a 、b 、c 、d ，它们的积abcd ＝9，则a ＋b ＋c ＋d ＝___________.12．21221(1)(1)(1)n n n +--+-+-（n 为自然数）＝___________.13．如果2x y x y +=，试比较x y-与xy 的大小.14．若a 、b 、c 为有理数且1a b c a b c ++=-，求abc abc的值.15．若a 、b 、c 均为整数，且321a b c a -+-=.求a c c b b a -+-+-的值.培优升级·奥赛检测01．已知有理数x 、y 、z 两两不相等，则,,x y y z z xy z z x x y------中负数的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个或2个 02．计算12345211,213,217,2115,2131-=-=-=-=-=⋅⋅⋅归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测201021-的个位数字是（ ）A ．1B ．3C ．7D ．5 03．已知23450ab c d e ＜，下列判断正确的是（ ）A ．abcde ＜0B ．ab 2cd 4e ＜0 C ．ab 2cde ＜0 D ．abcd 4e ＜0 04．若有理数x 、y 使得,,,xx y x y xy y+-这四个数中的三个数相等，则|y |－|x |的值是（ ） A ．12-B ．0C ．12D ．3205．若A ＝248163264(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)+++++++，则A －1996的末位数字是（ ）A ．0B ．1C ．7D ．9 06．如果20012002()1,()1a b a b +=--=，则20032003a b +的值是（ ）A ．2B ．1C ．0D ．－1 07．已知5544332222,33,55,66a b c d ====，则a 、b 、c 、d 大小关系是（ ）A ．a ＞b ＞c ＞dB ．a ＞b ＞d ＞cC ．b ＞a ＞c ＞dD ．a ＞d ＞b ＞c 08．已知a 、b 、c 都不等于0，且a b c abc a b c abc+++的最大值为m ，最小值为n ，则2005()m n +＝___________. 09．（第13届“华杯赛”试题）从下面每组数中各取一个数将它们相乘，那么所有这样的乘积的总和是___________.第一组：15,3,4.25,5.753- 第二组：112,315-第三组：52.25,,412-10．一本书的页码从1记到n ，把所有这些页码加起来，其中有一页码被错加了两次，结果得出了不正确的和2002，这个被加错了两次的页码是多少？ 11．（湖北省竞赛试题）观察按下列规律排成一列数：11，12，21，13，22，31，14，23，32，41，15，24，23，42，51，16，…(＊)，在(＊)中左起第m 个数记为F(m)，当F(m)＝12001时，求m 的值和这m 个数的积.12．图中显示的填数“魔方”只填了一部分，将下列9个数：11,,1,2,4,8,16,32,6442填入方格中，使得所有行列及对角线上各数相乘的积相等，求x 的值.32 x6413．(第12届“华杯赛”试题)已知m 、n 都是正整数，并且111111(1)(1)(1)(1)(1)(1);2233A m m =-+-+⋅⋅⋅-+ 111111(1)(1)(1)(1)(1)(1).2233B n n=-+-+⋅⋅⋅-+证明：⑴11,;22m n A B m n ++== ⑵126A B -=，求m 、n 的值.第04讲整式考点·方法·破译1．掌握单项式及单项式的系数、次数的概念.2．掌握多项式及多项式的项、常数项及次数等概念.3．掌握整式的概念，会判断一个代数式是否为整式.4．了解整式读、写的约定俗成的一般方法，会根据给出的字母的值求多项式的值.经典·考题·赏析【例1】判断下列各代数式是否是单项式，如果不是请简要说明理由，如果是请指出它的系数与次数.【解法指导】理解单项式的概念:由数与字母的积组成的代数式，单独一个数或一个字母也是单项式，数字的次数为0，错误!未找到引用源。
数学七年级下册二元一次方程组的解法
数学七年级下册-二元一次方程组的解法在数学七年级下册的学习中，我们将学习到二元一次方程组的解法。
二元一次方程组是由两个未知数的一次方程组成的，通常以x和y表示。
解二元一次方程组就是要找出同时满足这两个方程的x和y的值。
在本文中，我将深入探讨二元一次方程组的解法，为了更好地理解这个概念，我会从简单到复杂、由浅入深地介绍这个主题。
一、基本概念让我们回顾一下一元一次方程的解法。
一元一次方程通常写成ax+b=0的形式，我们可以通过一些简单的运算规则找到未知数的值。
同样地，二元一次方程组也有自己的解法。
二元一次方程组通常写成如下形式：a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2其中，a1、b1、c1、a2、b2、c2都是已知的常数，而x和y则是我们需要求解的未知数。
二、解法方法在解二元一次方程组时，我们通常使用替换法、消元法或Cramer法。
其中，替换法是把一个方程的一元变量用另一个方程的一元变量表示，然后代入另一个方程中，从而得出一个一元一次方程。
消元法则是通过加减消元或乘除消元来消去一个方程中的一个变量，得到一个一元一次方程。
Cramer法则是通过矩阵求逆的方法来解方程组，需要一定的线性代数知识。
三、举例说明为了更好地理解以上方法，我将通过具体的例子来说明。
假设我们有以下二元一次方程组：2x + 3y = 84x - 2y = 10我们可以使用替换法，将第一个方程改写为：y = (8 - 2x) / 3然后代入第二个方程中，得到：4x - 2 * ((8 - 2x) / 3) = 10通过整理化简，我们可以得到x的值，再代入第一个方程中求解y的值，从而得出方程组的解。
同样地，我们也可以使用消元法或Cramer 法来解这个方程组。
四、个人观点在学习二元一次方程组的解法时，我觉得这是一个对逻辑思维和数学运算能力有一定要求的知识点。
通过不断练习和探索，可以加深对数学的理解，培养解决问题的能力。
对于涉及到更多未知数的方程组，如三元或多元一次方程组，这些解法也是基础和奠定了学习高阶数学的基础，因此在学习中要注重理论联系实际，灵活运用所学知识。
七年级下册数学二元一次方程组解法
解题思路1. 方程组定义及概念介绍2. 一元一次方程和二元一次方程组的比较3. 解决二元一次方程组的常见方法4. 实际问题中的应用5. 个人观点和结论一、方程组定义及概念介绍在数学中，方程组是由若干个方程组成的集合。
而一元一次方程是指一个未知数的一次方程，例如2x+1=5。
而二元一次方程组则是含有两个未知数的一次方程组合，一般形式为：ax+by=cdx+ey=f其中，a、b、c、d、e、f为已知的系数或常数，而x和y则是未知数。
解决这类方程组需要通过一些特定的方法和步骤，下面我将详细介绍解决二元一次方程组的常见方法。
二、一元一次方程和二元一次方程组的比较一元一次方程只含有一个未知数，其求解方法通常是通过移项、合并同类项等简单的步骤。
而对于二元一次方程组来说，由于含有两个未知数，所以其解法会更加复杂一些。
在解决二元一次方程组时，需要找到一组使得两个方程同时成立的x和y的取值，这就需要利用一些特定的方法进行求解。
三、解决二元一次方程组的常见方法在解决二元一次方程组时，常用的方法包括代入法、加减消去法和减法消去法等。
代入法是指先用一个方程表示出其中的一个未知数，然后代入到另一个方程中，通过求解得出另一个未知数的值。
加减消去法则是通过将两个方程相加或相减，使得其中一个未知数的系数相等后消去，从而求解另一个未知数的值。
减法消去法则是将两个方程相减，通过消去一个未知数，从而求解另一个未知数的值。
通过这些方法，可以比较灵活地解决不同形式的二元一次方程组。
四、实际问题中的应用二元一次方程组的求解在实际问题中有着广泛的应用，例如在经济学领域中，可以通过解方程组来确定供求关系；在物理学中，可以通过方程组来描述物体的运动规律；在工程领域中，可以通过方程组来解决相关的设计问题。
掌握二元一次方程组的解法对于解决现实生活中的问题具有重要意义。
五、个人观点和结论通过对二元一次方程组的学习，我深刻地认识到数学在解决实际问题中的重要性。
七年级数学 第7章 一次方程组 7.2 二元一次方程组的解法(第3课时)数学
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解方程组：｛3x+5y=21,①
做一做
2x-5y=-11.②
x 方法一：由②得，
5y ③11
y 把③代入①，得
3(5y11 )
2
2
5
。 21
方法(fāngfǎ)二：（把5y看成一个整体） 由②，得5y=2x+11，③ 把③代入①，得 3x+2x+11=2。1
（4）{
0.5x-3y=-1
-
1 2
x+5y=3
｛yx
=2 =-1
｛ xy
=4 =1
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解方程组
巩固 训练 (gǒnggù)
（5）{ 2x+5y=31
2x-3y = -9
｛x = 3 y= 5
（6）
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｛x
=
43 6
y = 34 7
第十五页，共二十二页。
小结 ： (xiǎojié)
学习(xuéxí)了解二元一次方程组的另一种方
法—— 加减法，它是通过把两个方程两边
相加（或相减） 消去一个未知数，把二元一
次方程组转化为
一元。一次方程
二元一次方程组
消元 转化
一元一次方程
请同学们归纳一下： 什么样的方程组用“代入法”？
什么样的方程组用“加减法”？
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∴ ｛ x =5
y = -2
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第八页，共二十二页。
例1、解方程组 ｛3x + 5y = 5 ①
七年级数学下册第7章一次方程组7.2二元一次方程组的解法加减法解二元一次方程组课件(新版)华东师大版
你能用加减法解方程组
3x-4y= 10 ① 吗？ 5x+6y=42 ②
解：①×3，②×2，得 9x-12y= 30 ③
10x+12y=84 ④
③+④ 得 19x=114
x=6
把x=6代入②，得
30+6y=42 y=2
所以
x= 6 y= 2
x y 2k
1若关于x，y的二元一次方程组 x y 4k
代入 消元 二元一次方程 转化
解方程组22xx
y y
3 5
一元一次方程
思考 是否还有其他方法解这个二元一次方程组
2x y 3 ① 2x y 5 ②
解：由② - ① ，得 y-（-y）=5-3 解得 y= 1
把y= 1代入①，得 x=2
所以xy
2 1
所以
7y=3 y3
7 x= 2 y3
7
2、方程组中相同未知数的 系数互为相反数，两方程 “相加”。
x-3y= -20 ① 解方程组
3x+7y=100 ②
解：①×3，得
3x-9y= -60 ③ ③-②，得 -16y= -160
y=10 把y=10代入①，得
x-3×10= -20
x=10
所以
x= 10 y= 10
k=-5
小结：
本节课学习了二元一次方程组的另一种方法— —加减法，它是通过把两个方程两边相加（或相 减）消去一个未知数，把二元一次方程组转化为 一元一次方程。
二元一次方程
消元 一元一次方程 转化
请同学们纳一下： 什么样的方程组用“代入法”？ 什么样的方程组用“加减法”？
通过把两个 方程相加（或相 减）消去一个未 知数，将方程组 转化为一元一次 方程来求解，叫 加减消元法，简 称加减法。
初中数学重点梳理：含绝对值的方程及方程组
含绝对值方程知识定位绝对值是初中数学最活跃的概念之一，能与数学中许多知识关联而生成新的问题，我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程，简称绝对值方程，本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中含绝对值方程的常见题型及其求解方法，本讲将通过例题来说明这些方法的运用。
知识梳理1、含绝对值的一次方程的解法（1）形如(0)ax b c a +=≠型的绝对值方程的解法：①当0c <时，根据绝对值的非负性，可知此时方程无解；②当0c =时，原方程变为0ax b +=，即0ax b +=，解得b x a=-； ③当0c >时，原方程变为ax b c +=或ax b c +=-，解得c b x a -=或c b x a--=． （2）形如(0)ax b cx d ac +=+≠型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的非负性可知0cx d +≥，求出x 的取值范围；②根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+； ③分别解方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+；④将求得的解代入0cx d +≥检验，舍去不合条件的解．（3）形如(0)ax b cx d ac +=+≠型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax b cx d +=+或()ax b cx d +=-+； ②分别解方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+． （4）形如()x a x b c a b -+-=<型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的几何意义可知x a x b a b -+-≥-； ②当c a b <-时，此时方程无解；当c a b =-时，此时方程的解为a x b ≤≤；当c a b >-时，分两种情况：①当x a <时，原方程的解为2a b c x +-=； ②当x b >时，原方程的解为2a b c x ++=． （5）形如(0)ax b cx d ex f ac +±+=+≠型的绝对值方程的解法：①找绝对值零点：令0ax b +=，得1x x =，令0cx d +=得2x x =； ②零点分段讨论：不妨设12x x <，将数轴分为三个区段，即①1x x <；②12x x x ≤<；③2x x ≥；③分段求解方程：在每一个区段内去掉绝对值符号，求解方程并检验，舍去不在区段内的解．（6）形如(0)ax b cx d ex f a +++=+≠型的绝对值方程的解法：解法一：由内而外去绝对值符号：按照零点分段讨论的方式，由内而外逐层去掉绝对值符号，解方程并检验，舍去不符合条件的解．解法二：由外而内去绝对值符号：①根据绝对值的非负性可知0ex f +≥，求出x 的取值范围；②根据绝对值的定义将原方程化为两个绝对值方程()ax b ex f cx d +=+-+和 ()()ax b ex f cx d +=-+-+；③解②中的两个绝对值方程．例题精讲【试题来源】【题目】若关于x 的方程｜｜x-2｜-1｜=a 有三个整数解．则a 的值是多少？【答案】a=1【解析】 解： 若a ＜0，原方程无解，所以a ≥0．由绝对值的定义可知｜x-2｜-1=±a ，所以 ｜x-2｜=1±a ．(1) 若a ＞1，则｜x-2｜=1-a ＜0，无解｜x-2｜=1＋a ，x 只能有两个解x=3+a 和x=1-a ．(2) 若0≤a ≤1，则由｜x-2｜=1+a ，求得x=1-a 或x=3+a ；由｜x-2｜=1-a ，求得x=1+a 或x=3-a ．原方程的解为x=3+a ，3-a ，1+a ，1-a ，为使方程有三个整数解，a 必为整数，所以a 只能取0或1．当a=0时，原方程的解为x=3，1，只有两个解，与题设不符，所以a ≠0．当a=1时，原方程的解为x=4，0，2，有三个解．综上可知，a=1．【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】已知方程｜x｜=ax+1有一负根，且无正根，求a的取值范围【答案】a≥1【解析】解：设x为方程的负根，则-x=ax+1，即所以应有a＞-1，反之，a＞-1时，原方程有负根．设方程有正根x，则x=ax＋1，即所以a＜1，反之，a＜1时，原方程有正根．综上可知，若使原方程有一负根且无正根，必须a≥1【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂练习【难度系数】3【试题来源】【题目】当a取哪些值时，方程｜x+2｜+｜x-1｜=a有解？【答案】a≥3【解析】解：(1)当x≤-2时，｜x+2｜+｜x-1｜=-2x-1≥-2(-2)-1=3．(2)当-2＜x＜1时，｜x+2｜+｜x-1｜=x+2-x+1=3．(3)当x≥1时，｜x+2｜+｜x-1｜=2x+1≥2·1+1=3．所以，只有当a≥3时，原方程有解【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】已知关于x的方程|5x﹣4|+a=0无解，|4x﹣3|+b=0有两个解，|3x﹣2|+c=0只有一个解，则化简|a﹣c|+|c﹣b|﹣|a﹣b|的结果是【答案】0【解析】解：根据关于x的方程|5x﹣4|+a=0无解，可得出：a＞0，由|4x﹣3|+b=0有两个解，可得出：b＜0，由|3x﹣2|+c=0只有一个解，可得出：c=0，故|a﹣c|+|c﹣b|﹣|a﹣b|可化简为：|a|+|b|﹣|a﹣b|=a﹣b﹣a+b=0【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】(北京市“迎春杯”竞赛题)【题目】│x+3│-│x-1│=x+1;【答案】为x=-5,-1,3【解析】解：当x<-3时,原方程化为x+3+(x-1)=x+1,得x=-5;当-3≤x<1时,原方程化为x+3+x-1=x+1,得x=-1;当x≥1时,原方程化为x+3-(x-1)=x+1,得x=3.综上知原方程的解为x=-5,-1,3.【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】(第15届江苏省竞赛题)【题目】已知│x+2│+│1-x│=9-│y-5│-│1+y│,求x+y的最大值与最小值.【答案】-3，6【解析】解：|x+2|+|1-x|=9-|y-5|-|1+y|，∴|x+2|+|1-x|+|y-5|+|1+y|=9，（1）当x≥1，y≥5时，x+2+x-1+y-5+y+1=9，2x+2y=12，x+y=6，（2）当-2≤x＜1，-1≤y＜5时，x+2+1-x+5-y+y+1=9，但-3≤x+y＜6，（3）当x＜-2，y＜-1时，-x-2+1-x+5-y-1-y=9，-2x-2y=6，x+y=-3，故x+y最小值为-3，最大值为6．【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂练习题【难度系数】4【试题来源】【题目】讨论方程││x+3│-2│=k的解的情况【答案】如下解析【解析】解：（1）当k<0时,原方程无解（2）当k=0时,原方程有两解:x=-1或x=-5;（3）当0<k<2时,原方程化为│x+3│=2±k此时原方程有四解:x=-3±(2±k);（4）当k=2时,原方程化为│x+•3│=2±2,此时原方程有三解:x=1或x=-7或x=-3;（5）当k>2时,原方程有两解:x+3=±2(•2+k).【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】(“华杯赛”邀请赛试题)【题目】设a、b为有理数,且│a│>0,方程││x-a│-b│=3有三个不相等的解,•求b的值.【答案】b=±3【解析】解：由题意得|x-a|=b±3，x-a=±(b±3)x-a=b+3,b-3,-b+3,-b-3有三个则其中两个相等，b+3和b-3,-b+3和-b-3不会相等所以b+3=-b+3，即b=0此时只有两个3和-3所以b+3=-b-3，即b=-3此时是0,-6,6,成立，b-3=-b+3，即b=3此时是0,-6,6,成立，b-3=-b-3，即b=0此时只有两个3和-3所以b=±3【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂练习题【难度系数】4【试题来源】【题目】若关于的方程|1﹣x|=mx有解，则实数m的取值范围【答案】m≥0或m＜﹣1【解析】解： |1﹣x|=mx，①当x≥1时，x﹣1=mx，（1﹣m）x=1，m≠1时，x=，∴≥1，解得：0＜m＜1；②当x＜1时，1﹣x=mx，（1+m）x=1，m≠﹣1时，x=，＜1，∴1+m＜0或1+m≥1，∴m＜﹣1或m≥0；综上所述：解集是：m≥0或m＜﹣1．【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】已知关于x的方程|x+3|+|x﹣6|=a有解，那么a的取值范围是【答案】a≥9【解析】解：（1）当x≥6时，原方程化为x+3+x﹣6=a，∴x=≥6∴a≥9（2）当﹣3≤x＜6时，原方程化为﹣x﹣3﹣x+6=a，∴x=＜﹣3，∴a＞9（3）当x＜﹣3时，原方程化为﹣x﹣3+6﹣x=a∴x=＜﹣3∴a＞9综上，a≥9方程有解【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】已知关于x的方程|x|=ax﹣a有正根且没有负根，则a的取值范围是【答案】a＞1或a≤﹣1【解析】解：①当ax﹣a≥0，a（x﹣1）＞0，解得：x≥1且a≥0或x≤1且a≤0，②正根条件：x＞0，x=ax﹣a，即x=＞0，解得：a＞1 或a＜0，由①，即得正根条件：a＞1且x≥1，或者a＜0，0＜x≤1，③负根条件：x＜0，得：﹣x=ax﹣a，解得：x=＜0，即﹣1＜a＜0，由①，即得负根条件：﹣1＜a＜0，x＜0，根据条件：只有正根，没有负根，因此只能取a＞1（此时x≥1，没负根），或者a≤﹣1（此时0＜x≤1，没负根）综合可得，a＞1或a≤﹣1【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】适合|2a+7|+|2a﹣1|=8的整数a的值的个数有【答案】﹣3，﹣2，﹣1，0【解析】解：（1）当2a+7≥0，2a﹣1≥0时，可得|2a+7|+|2a﹣1|=8，2a+7+2a﹣1=8解得a=0.5解不等式2a+7≥0，2a﹣1≥0得，a≥﹣3.5，a≥0.5，所以a≥0.5，而a又是整式，故a=0.5不是方程的一个解；（2）当2a+7≤0，2a﹣1≤0时，可得|2a+7|+|2a﹣1|=8，﹣2a﹣7﹣2a+1=8解得a=﹣3.5解不等式2a+7≤0，2a﹣1≤0得，a≤﹣3.5，a≤0.5，所以a≤﹣3.5，而a又是整数，故a=﹣3.5不是方程的一个解；（3）当2a+7≥0，2a﹣1≤0时，可得|2a+7|+|2a﹣1|=8，2a+7﹣2a+1=8解得a可为任何数．解不等式2a+7≥0，2a﹣1≤0得，a≥﹣3.5，a≤0.5，所以﹣3.5≤a≤0.5，而a又是整数，故a的值有：﹣3，﹣2，﹣1，0．（4）当2a+7≤0，2a﹣1≥0时，可得|2a+7|+|2a﹣1|=8，﹣2a﹣7+2a﹣1=8，可见此时方程不成立，a无解．综合以上4点可知a的值有四个：﹣3，﹣2，﹣1，0【知识点】含绝对值方程【适用场合】当堂例题【难度系数】5习题演练【试题来源】【题目】方程|3x|+|x﹣2|=4的解的个数是【答案】2【解析】解：①当x≥2时，由原方程，得3x+x﹣2=4，即4x﹣2=4，解得x=3/2（舍去）；②当0＜x＜2时，由原方程，得3x﹣x+2=4，解得x=1；③当x＜0时，由原方程，得﹣3x﹣x+2=4，解得x=﹣．综上所述，原方程有2个解【知识点】含绝对值方程【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】适合关系式|3x﹣4|+|3x+2|=6的整数x的值有（）个【答案】0,1【解析】解：从三种情况考虑：第一种：当x≥4/3时，原方程就可化简为：3x﹣4+3x+2=6，解得：x=4/3；第二种：当﹣2/3＜x＜4/3时，原方程就可化简为：﹣3x+4+3x+2=6，恒成立；第三种：当x≤﹣2/3时，原方程就可化简为：﹣3x+4﹣3x﹣2=6，解得：x=﹣2/3；所以x的取值范围是：﹣2/3≤x≤4/3，故符合条件的整数位：0，1【知识点】含绝对值方程【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】绝对值方程||x﹣2|﹣|x﹣6||=l的不同实数解共有多少个【答案】2【解析】解：根据题意，知（1）|x﹣2|﹣|x﹣6|=1，①当x﹣2≥0，x﹣6≥0，即x≥6时，x﹣2﹣2+6=1，解得x=﹣1，不合题意，舍去；②当x﹣2＜0，x﹣6＜0，即x＜2时，﹣x+2+x﹣6=1，即﹣4=1，显然不成立；③当x﹣2≥0，x﹣6＜0，即2≤x＜6时，x﹣2+x﹣6=1，解得x=4.5；（2）|x﹣2|﹣|x﹣6|=﹣1，④当x﹣2≥0，x﹣6≥0，即x≥6时，x﹣2﹣2+6=﹣1，解得x=﹣3，不合题意，舍去；⑤当x﹣2＜0，x﹣6＜0，即x＜2时，﹣x+2+x﹣6=﹣1，即﹣4=﹣1，显不成立；⑥当x﹣2≥0，x﹣6＜0，即2≤x＜6时，x﹣2+x﹣6=﹣1，解得x=3.5；综上所述，原方程的解是：x=4.5，3.5，共有2个【知识点】含绝对值方程【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【试题来源】【题目】||||x﹣1|﹣1|﹣1|﹣1|=0是一个含有4重绝对值符号的方程，则A．0，2，4全是根 B.0，2，4全不是根 C.0，2，4不全是根 D.0，2，4之外没有根【答案】A【解析】解：①当x≥4时，原方程化为x﹣4=0，解得x=4，在所给的范围x≥4之内，x=4是原方程的解；②当3≤x＜4时，原方程化为4﹣x=0，解得x=4，不在所给的范围3≤x＜4之内，x=4不是原方程的解；③当2≤x＜3时，原方程化为x﹣2=0，解得x=2，在所给的范围2≤x＜3之内，x=2是原方程的解；④当1≤x＜2时，原方程化为2﹣x=0，解得x=2，不在所给的范围1≤x＜2之内，x=2不是原方程的解；⑤当0≤x＜1时，原方程化为x=0，在所给的范围0≤x＜1之内，x=0是原方程的解；⑥当﹣1≤x＜0时，原方程化为x=0，不在所给的范围﹣1≤x＜0之内，x=0不是原方程的解；⑦当﹣2≤x＜﹣1时，原方程化为x+2=0，解得x=﹣2，在所给的范围﹣2≤x＜﹣1之内，x=﹣2是原方程的解；⑧当x＜﹣2时，原方程化为﹣2﹣x=0，解得x=﹣2，不在所给的范围x＜﹣2之内，x=﹣2不是原方程的解．综上，可知原方程的解为x=4，2，0，﹣2．故选A．【知识点】含绝对值方程【适用场合】随堂课后练习【难度系数】5【试题来源】【题目】使方程|x﹣1|﹣|x﹣2|+2|x﹣3|=c恰好有两个解的所有实数c的取值范围【答案】c＞3或1＜c＜3【解析】解：（1）当x＜1时，原方程可化为：﹣x+1+x﹣2﹣2x+6=c，解得：x=，由＜1，得：c＞3；（2）当1≤x＜2时，原方程可化为：x﹣1+x﹣2﹣2x+6=c，解得：c=3，有无数多解；（3）当2≤x＜3时，原方程可化为：x﹣1﹣x+2﹣2x+6=c，解得：x=，由2≤＜3，得：1＜c≤3；（4）当x≥3时，原方程可化为：x﹣1﹣x+2+2x﹣6=c，解得：x=，由≥3，得：c ≥1．故当c＞3时，原方程恰有两解：，；当1＜c＜3时，原方程恰有两解：，．故答案为：c＞3或1＜c＜3【知识点】含绝对值方程【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3含绝对值的方程组知识定位绝对值是初中数学最活跃的概念之一，能与数学中许多知识关联而生成新的问题，我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程，简称绝对值方程，本讲主要介绍解含有绝对值的方程四种方法：定义法、平方法、零点分区法、数轴、取这几个方程的公共解。
七年级数学培优(十三)——二元一次方程组解法
十三 二元一次方程组能力提升 知识提要1． 二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种： ① 当212121c c b b a a ==时，方程组有无数多解。
（∵两个方程等效） ② 当212121c c b b a a ≠=时，方程组无解。
（∵两个方程是矛盾的） ③ 当2121b b a a ≠（即a 1b 2－a 2b 1≠0）时，方程组有唯一的解： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=1221211212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x 2． 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。
3． 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。
（见例2、3）例题① 例1. 选择一组a,c 值使方程组⎩⎨⎧=+=+c y ax y x 275 1.有无数多解， 2.无解， 3.有唯一的解 例2. a 取什么值时，方程组⎩⎨⎧=+=+3135y x a y x 的解是正数？ 例3. m 取何整数值时，方程组⎩⎨⎧=+=+1442y x my x 的解x 和y 都是整数？ 二元一次方程组的特殊解法1.二元一次方程组的常规解法，是代入消元法和加减消元法。
这两种方法都是从“消元”这个基本思想出发，先把“二元”转化为“一元”把解二元一次方程组的问题归结为解一元一次方程，在“消元”法中，包含了“未知”转化到“已知”的重要数学化归思想。
2、灵活消元（1）整体代入法 （2）先消常数法1. 解方程组y x x y +=+-=⎧⎨⎪⎩⎪14232312. 解方程组433132152x y x y +=<>-=<>⎧⎨⎩（3）设参代入法 （4）换元法3. 解方程组x y x y -=<>=<>⎧⎨⎩321432::4. 解方程组()()x y x y x y x y +--=+=-⎧⎨⎪⎩⎪23634 （5）简化系数法5. 解方程组43313442x y x y -=<>-=<>⎧⎨⎩ 课堂练习1． 不解方程组，判定下列方程组解的情况：① ⎩⎨⎧=-=-96332y x y x ②⎩⎨⎧=-=-32432y x y x ③⎩⎨⎧=-=+153153y x y x 2． a 取哪些正整数值，方程组⎩⎨⎧=--=+ay x a y x 24352的解x 和y 都是正整数？ 3． 要使方程组⎩⎨⎧=-=+12y x k ky x 的解都是整数， k 应取哪些整数值？ 4． （古代问题）今有鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，鸡翁，鸡母，鸡雏都买，可各买多少？5． 小明和小亮做加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和是242；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和是341，正确的结果是多少？6．。
初中数学华东师大七年级下册第章一次方程组-二元一次方程组的解法
x=-3, 所以 y=-3.
思考 解方程组 (2) 3y=x+5, ① 2x+5y= 23. ②
解 由①得 x=3y-5. ③ 将③代入②,得 2( 3y-5 )+5y=23,
6y-10 +5y =23, 6y+5y =23+10,
把y=3代入③,得 即
11y=33, 即 y=3.
将③代入①,得 x+( 17-3x )=7,
x+17-3x=7,
x-3x=7-17,
-2x=-10,
即 x=5. 把x=5代入③,得
y=17-3×5, 即 y=2. x=5,
所以 y=2.
或把x=5代入①,得 5+y=7, 即 y=2.
1．消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果 消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转 化为一元一次方程，先求出一个未知数，然后再求 另一个未知数，这种将未知数的个数由多化少，逐 一解决的思想，叫消元思想．
二元一次方程组的解法
代入法(2)
练一练 解方程组:
5x-y=17, ① y=3x-1. ②
解:把 ② 代入 ① ,得
5x-( 3x-1 )=17,
5x -3x+1 =17,
5x-3x=17-1,
2x =16,
x=8.பைடு நூலகம்
所以
x =8, y=23.
把x=8代入 ② ,得
y=3×8-1, y=23.
x+y=7, ① 例 解方程组:
2x-7y = 8, ① 练习 解方程组:(2)
y-2x = -3.2 ② 解: 由②,得 y=2x-3.2 ③
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一次方程组的解法
例1：解方程组：
（1）32(2)522x x y x y --=⎧⎨-=⎩①② （2）7233()1723x y x y x y x y +-⎧+=⎪⎪⎨+-⎪+=⎪⎩①②
跟踪训练：解方程组： （1）2(2)3(1)133(2)5(1)10x y x y +--=⎧⎨++-=⎩， （2）431032255213225x y x y x y x y ⎧+=⎪--⎪⎨⎪-=⎪--⎩
．
例2：解方程组353278
x y x y x y -+⎧=⎪⎨⎪--=⎩
跟踪训练2：解方程组：①25322y x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩ ②的值求已知b a b a b a ,17211201+=+=+
例3：解方程组83581641283591641835921641x y x y +=⎧⎨+=⎩①②
跟踪训练3：解方程组：361463102463361102x y x y +=-⎧⎨+=⎩
例4：解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=++-=+-+=-++65
43d c b a d c b a d c b a d c b a
跟踪训练4：的值
，求已知a 6ea ,4de ,3cd ,2bc ,1ab =====
例5：解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+71
328123y x xy y x xy
跟踪训练5：设a,b,c 均为非零实数，并且ab=(a+b),bc=3(b+c),ca=6(c+a), 求a+b+c 的值。
例6：若方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是34x y =⎧⎨=⎩, 求方程组111222
325325a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解．
跟踪训练6：
若方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是25x y =-⎧⎨=⎩, 求方程组的解1111122222
2222a x b y a b c a x b y a b c -=-+⎧⎨-=-+⎩的解．
例7：的值。
与有无数组解，求的方程组关于b a y bx ay x y x ⎩⎨
⎧=+-=++01261,
跟踪训练7：若关于x,y 的方程无解，则a=______。
例8：的值。
的解，求的解也是方程的二元一次方程组若关于k y x k y x k y x y x 63295,=+⎩⎨⎧=-=+
跟踪训练8：
例9：⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-+-421621y x y x
跟踪训练9：①⎪⎩⎪⎨⎧=+=+612y x y x
②已知x-|2y-1|=3,|2x|+2y=-1,求x+y 的值。