小学六年级奥数经典讲义(上)
六年级升学奥数第一讲
这样一来，问题就简单多了。
答：甲队干了12天。
例3 单独完成某工程，甲队需10天，乙队需15天，丙队需20天。
开始三个队一起干，因工作需要甲队中途撤走了，结果一共用了6天完成这一工程。
问：甲队实际工作了几天？分析与解：乙、丙两队自始至终工作了6天，去掉乙、丙两队6天的工作量，剩下的是甲队干的，所以甲队实际工作了例4 一批零件，张师傅独做20时完成，王师傅独做30时完成。
如果两人同时做，那么完成任务时张师傅比王师傅多做60个零件。
这批零件共有多少个？分析与解：这道题可以分三步。
首先求出两人合作完成需要的时间，例5 一水池装有一个放水管和一个排水管，单开放水管5时可将空池灌满，单开排水管7时可将满池水排完。
如果一开始是空池，打开放水管1时后又打开排水管，那么再过多长时间池内将积有半池水？例6 甲、乙二人同时从两地出发，相向而行。
走完全程甲需60分钟，乙需40分钟。
出发后5分钟，甲因忘带东西而返回出发点，取东西又耽误了5分钟。
甲再出发后多长时间两人相遇？分析：这道题看起来像行程问题，但是既没有路程又没有速度，所以不能用时间、路程、速度三者的关系来解答。
甲出发5分钟后返回，路上耽误10分钟，再加上取东西的5分钟，等于比乙晚出发15分钟。
我们将题目改述一下：完成一件工作，甲需60分钟，乙需40分钟，乙先干15分钟后，甲、乙合干还需多少时间？由此看出，这道题应该用工程问题的解法来解答。
答：甲再出发后15分钟两人相遇。
练习1.某工程甲单独干10天完成，乙单独干15天完成，他们合干多少天才可完成工程的一半？2.某工程甲队单独做需48天，乙队单独做需36天。
甲队先干了6天后转交给乙队干，后来甲队重新回来与乙队一起干了10天，将工程做完。
求乙队在中间单独工作的天数。
3.一条水渠，甲、乙两队合挖需30天完工。
现在合挖12天后，剩下的乙队单独又挖了24天挖完。
这条水渠由甲队单独挖需多少天？则完成任务时乙比甲多植50棵。
小学数学奥数基础教程(六年级)目30讲全[1]
![小学数学奥数基础教程(六年级)目30讲全[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/c206f269f121dd36a32d82fd.png)
小学数学奥数基础教程(六年级)目30讲全[1]第1讲比较分数的大小第2讲巧求分数第3讲分数运算的技巧第4讲循环小数与分数第5讲工程问题(一)第6讲工程问题(二)第7讲巧用单位“1”第8讲比和比例第9讲百分数第10讲商业中的数学第11讲圆与扇形第12讲圆柱与圆锥第13讲立体图形(一)第14讲立体图形(二)第15讲棋盘的覆盖第16讲找规律第17讲操作问题第18讲取整计算第19讲近似值与估算第20讲数值代入法第21讲枚举法第22讲列表法第23讲图解法第24讲时钟问题第25讲时间问题第26讲牛吃草问题第27讲运筹学初步〔一〕第28讲运筹学初步〔二〕第29讲运筹学初步〔三〕第30讲趣题巧解第一讲比较分数的大小同学们从一开始接触数学，就有比较数的大小问题。
比较整数、小数的大小的方法比较简单，而比较分数的大小就不那么简单了，因此也就产生了多种多样的方法。
对于两个不同的分数，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三种情况，其中前两种情况判别大小的方法是；分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大；分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。
第三种情况，即分子、分母都不同的两个分数，通常是采用通分的方法，使它们的分母相同，化为第一种情况，再比较大小。
由于要比较的分数千差万别，所以通分的方法不一定是最简捷的。
下面我们介绍另外几种方法。
1，“通分子”。
当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大，而分子的最小公倍数比较小时，可以把它们化成同分子的分数，再比较大小，这种方法比通分的方法简便。
如果我们把课本里的通分称为“通分母”，那么这里讲的方法可以称为“通分子”。
2，化为小数。
这种方法对任意的分数都适用，因此也叫万能方法。
但在比较大小时是否简便，就要看具体情况了。
3，先约分，后比较。
有时已知分数不是最简分数，可以先约分。
4，根据倒数比较大小。
5，若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母〔子〕大的分数较大；若两个假分数的分子与分母的差相等，则分母〔子〕小的分数较大。
六年级上册奥数题上课讲义
1. 甲、乙、丙三人在A、B两块地植树，A地要植900棵，B地要植1250棵。
已知甲、乙、丙每天分别能植树24，30，32棵，甲在A地植树，丙在B地植树，乙先在A地植树，然后转到B地植树。
两块地同时开始同时结束，乙应在开始后第几天从A地转到B地？2. 有三块草地，面积分别是5，15，24亩。
草地上的草一样厚，而且长得一样快。
第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天，问第三块地可供多少头牛吃80天？3. 某工程，由甲、乙两队承包，2。
4天可以完成，需支付1800元；由乙、丙两队承包，3+3/4天可以完成，需支付1500元；由甲、丙两队承包，2+6/7天可以完成，需支付1600元。
在保证一星期内完成的前提下，选择哪个队单独承包费用最少？4. 一个圆柱形容器内放有一个长方形铁块。
现打开水龙头往容器中灌水。
3分钟时水面恰好没过长方体的顶面。
再过18分钟水已灌满容器。
已知容器的高为50厘米，长方体的高为20厘米，求长方体的底面面积和容器底面面积之比。
5. 甲、乙两位老板分别以同样的价格购进一种时装，乙购进的套数比甲多1/5，然后甲、乙分别按获得80%和50%的利润定价出售。
两人都全部售完后，甲仍比乙多获得一部分利润，这部分利润又恰好够他再购进这种时装10套，甲原来购进这种时装多少套？6. 有甲、乙两根水管，分别同时给A，B两个大小相同的水池注水，在相同的时间里甲、乙两管注水量之比是7：5。
经过2+1/3小时，A，B两池中注入的水之和恰好是一池。
这时，甲管注水速度提高25%，乙管的注水速度不变，那么，当甲管注满A池时，乙管再经过多少小时注满B池？7. 小明早上从家步行去学校，走完一半路程时，爸爸发现小明的数学书丢在家里，随即骑车去给小明送书，追上时，小明还有3/10的路程未走完，小明随即上了爸爸的车，由爸爸送往学校，这样小明比独自步行提早5分钟到校。
小明从家到学校全部步行需要多少时间？8. 甲、乙两车都从A地出发经过B地驶往C地，A，B两地的距离等于B，C两地的距离。
小学六年级奥数辅导讲义
第一章数与代数例1、计算12×3+13×4+14×5+15×6例2、计算+例3、计算121+3032121+50505212121+例4、2016的所有因数是多少个例5、一个大于100的自然数，它减去12或者加上11都是完全平方数，求这个数是多少。
例6、将数字1到9做成9张卡牌，从中任意取出3张卡牌，用它们组成六个没有重复数字的三位数，求这六个三位数之和是所取出的三个数之和的多少倍。
例7、幼儿园小朋友分糖果，若给每个小朋友5块糖果，则剩下7块，若给每个小朋友6块糖果，则还缺4块，请计算有多少块糖果。
例8、2016个83相乘，其末尾数是多少？例9、若a、b、c均为非0的自然数，a16 +b4+c2的近似值是，那么它的准确值是多少？例10、有一种算法叫阶乘，用“！”表示，规定如下：0！=1,1！=1,2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，5！=5×4×3×2×1=120求4！等于多少。
请写一个算式，算式中的数字只有4个0，运算符号可以包括加减乘除、括号和阶乘，使该算式的结果等于24。
第二章推理例1、右图表格中每个方格填入一个图形，使得表格中每行、每列及对角线上的四个方格中的图形都是且不重复。
例2、黑盒中放有180个白色棋子和181子，每次任意从黑盒中摸出两个棋子，白子放入黑盒；如果两个棋子不同色，就把黑子放回黑盒．那么最多可以拿多少次，黑盒中最后剩下的棋子是什么颜色的？例3、一个正方体木块，每个面上分别标着数字1～6。
2对着的数字是（ ），3对着的数字是（ ）。
例4、从1到100的自然数中，至少取多少个不同的数，其中必有两个数的和为102？说明理由。
（抽屉原理1：把多于n 个的物体放到n 个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体）例5、一个岛上有两种人，一种只说真话，一种只说假话。
六年级上册数学培优奥数讲义-第8讲 比的应用1
第8讲 比的应用1知识装备1、在实际生活中，把一个数量按一定的比分成几部分，求每个部分各是多少，这就是按比分配。
在按比分配问题中，有时要先求出分配的数量，有时要先求出几个部分的比，有时把一个问题转换成按比分配的问题，可以找到解决问题的简便方法。
2、按比分配应用题的关键： （1）先找出或求出总数量。
（2）再找出或求出总份数。
（3）最后求出各部分的量。
初级挑战1一个长方体的棱长总和是48厘米，它的长、宽、高的比是3:2:1，那么这个长方体的体积是多少立方厘米？思路引领∶已知长方体的棱长总和及长、宽、高的比，可先找出长、宽、高之和，再根据比分别求出长、宽、高，即可求出体积。
答案： 48÷4＝12（厘米），1份数：12÷（3＋2＋1）＝2（厘米）， 长：2×3＝6（厘米）；宽：2×2＝4（厘米），高2×1＝2（厘米）长方体的体积：6×4×2＝48（立方厘米）。
能力探索1甲、乙、丙三个数的平均数是60。
甲、乙、丙三个数的比是3:2:1。
甲、乙、丙三个数各是多少？答案： 60×3＝180 180÷（3＋2＋1）＝30甲：30×3＝90 乙：30×2＝60 丙：30×1＝30初级挑战2中心小学六（一）班共有学生51人，男生人数的43等于女生人数的32。
这个班男、女生各有多少人？思路引领：根据男、女生人数的关系，找出他们的人数比，再按比分配求男、女生人数各是多少。
答案：由男生人数的43等于女生人数的32，得知男生和女生人数之比为8:9，再按比例分配得：男生：51÷（8＋9）×8＝24（人） 女生：51÷（8＋9）×9＝27（人）能力探索21、粮店里有大米、面粉和玉米共900吨，大米重量的41等于面粉重量的31，玉米重200吨。
大米和面粉的重量各是多少吨？答案：大米和面粉共重：900－200＝700（吨），大米重量和面粉重量之比为4:3。
小学六年级奥数经典讲义(全套36讲)
第一讲循环小数与分数第二讲和差倍分问题第三讲行程问题第五讲质数与合数第六讲工程问题第七讲牛吃草问题第八讲包含与排除第九讲整数的拆分第十讲逻辑推理第十一讲通分与裂项第十二讲几何综合第十三讲植树问题第十五讲余数问题第十六讲直线面积第十七讲圆与扇形第十八讲数列与数表综合第十九讲数字迷综合第二十讲计数综合第二十一讲行程与工程第二十二讲复杂工程问题第二十三讲运用比例求解行程问题第二十四讲应用题综合第二十五讲数论综合2第二十六讲进位制问题第二十七讲取整问题第二十八讲数论综合3第二十九讲数论综合4第三十讲几何综合2第三十一讲图形变换第三十二讲勾股定理第三十三讲计数综合第三十四讲最值问题第三十五讲构造与论证1第三十六讲构造与论证2第一讲循环小数与分数循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题．1．真分数7a化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是1992，那么a 是多少?【分析与解】17=0.142857 ，27=0.285714 ，37=0.428571 ，47=0.571428 ，57=0.714285 ， 67=0.857142． 因此，真分数7a化为小数后，从小数点第一位开始每连续六个数字之和都是1+4+2+8+5+7=27，又因为1992÷27=73……21,27-21=6，而6=2+4，所以7a =0..857142 ，即a =6．评注：7a的特殊性，循环节中数字不变，且顺序不变，只是开始循环的这个数有所变化．2．某学生将1.23乘以一个数a 时，把1.23 误看成1.23，使乘积比正确结果减少0.3．则正确结果该是多少?【分析与解】 由题意得：1.23 a -1.23a =0.3，即：0.003 a =0.3，所以有：3390010a =．解得a = 90，所以1.23a =1.23 × 90=123290-×90=11190× 90=111．3．计算：0.1+0.125+0.3+0.16，结果保留三位小数． 【分析与解】 方法一：0.1+0.125+0.3+0.16≈-0.1111+0.1250+0.3333+0.1666=0.7359≈0.736方法二：0.1+0.125+0.3+0.16113159899011118853720.7361=+++=+== ≈0.7364．计算：0.010.120.230.340.780.89+++++ 【分析与解】 方法一：0.010.120.230.340.780.89+++++ =1121232343787898909090909090-----+++++ =11121317181909090909090+++++ =21690=2.4方法二：0.010.120.230.340.780.89+++++ =0+0.1+0.2+0.3+0.7+0.8+(0.010.020.030.040.080.09+++++ ) =2.1+0.01×(1+2+3+4+8+9) =2.1+190×27 =2.1+0.3 =2.4方法三：如下式， 0.011111… 0.122222．．． 0.233333．．． 0.344444．．．(1+2+3+4+8+9=27) 0.788888．．．+0.899999．．． 2.399997．．．注意到，百万分位的7是因为没有进位造成，而实际情况应该是2.399999…=2.39 =2.4．评注：0.9=99=1 ,0.09 =919010=．5．将循环小数0.027与0.179672 相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近似值的最后一位小数是多少?【分析与解】0.×0.179672=27179672117967248560.00485699999999937999999999999⨯=⨯== 循环节有6位，100÷6=16……4，因此第100位小数是循环节中的第4位8，第10l 位是5．这样四舍五入后第100位为9．6.将下列分数约成最简分数：166********66666666664【分析与解】 找规律：161644=,16616644=,1666166644= ,166661666644=,…所以1666666666666666666664=14评注：类似问题还有38538853888538888538888888885234 (29729972999729999729999999997)+⨯+⨯+⨯++．7.将下列算式的计算结果写成带分数：0.523659119⨯⨯【分析与解】0.523659119⨯⨯=11859119⨯=1(1)119-×59=59-59119=58601198．计算:744808333÷2193425909÷11855635255【分析与解】 744808333÷2193425909÷11855635255=62811259093525583332193453811⨯⨯ =373997131993564111136412119973331993⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=7523⨯⨯=5569．计算：1111111 81282545081016203240648128 ++++++【分析与解】原式1111111 81288128406420321016508254 =++++++2111118128406420321016508254 =+++++ 1111114064406420321016508254 =+++++ 11111203220321016508254=++++111110161016508254=+++111508508254=++11254254=+1127=10．计算：153219(4.85 3.6 6.153) 5.5 1.75(1) 4185321⎡⎤⨯÷-+⨯+-⨯+⎢⎥⎣⎦【分析与解】原式=1757193.6(4.851 6.15)5.5443421⨯⨯-++-⨯-⨯=135193.610 5.5412+⨯⨯+-=9+5.5-4.5 =1011．计算: 41.2×8.1+11×194+537×0.19【分析与解】原式=412×0.81+11×9.25+0.19×(412+125) =412×(0.81+0.19)+11×9.25+0.19×125 =412+11×8+11×1.25+19×1.25=412+88+1.25×30=500+37.5=537.512．计算：2255 (97)() 7979+÷+【分析与解】原式=656555 ()() 7979+÷+=[]555513()()137979⨯+÷+=13．计算:12324648127142113526104122072135⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯【分析与解】 原式=33333333123(1247)1232135(1247)1355⨯⨯⨯+++⨯⨯==⨯⨯⨯+++⨯⨯14.(1)已知等式0.126×79+1235×□-6310÷25=10.08，那么口所代表的数是多少? (2)设上题答案为a ．在算式（1993.81+a )×○的○内，填入一个适当的一位自然数，使乘积的个位数字达到最小值．问○内所填的数字是多少? 【分析与解】 (1)设口所代表的数是x ，0.126×79+1235x -6310÷25=10.08，解得：x =0.03，即口所代表的数是0.03．(2)设○内所填的数字是y ，(1993.81+O.03)×y =1993.84×y ，有当y 为8时1993.84×y =1993.84×8=15050.94，所以○内所填的数字是8．15．求下述算式计算结果的整数部分：111111()38523571113+++++⨯ 【分析与解】原式=111111(38538538538538538523571113⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≈192.5+128.3+77+55+35+29.6=517.4 所以原式的整数部分是517．第二讲 和差倍分问题各种具有和差倍分关系的综合应用题，重点是包含分数的问题．基本的解题方法是将已知条件用恰当形式写出或变形，并结合起来进行比较而求出相关的量，其中要注意单位“1”的恰当选取．1．有甲、乙两个数，如果把甲数的小数点向左移两位，就是乙数的18，那么甲数是乙数的多少倍?【分析与解】甲数的小数点向左移动两位，则甲数缩小到原来的1100，设这时的甲数为“1”，则乙数为1×8=8，那么原来的甲数=l×100=100，则甲数是乙数的100÷8=12.5倍．2.有三堆棋子，每堆棋子数一样多，并且都只有黑、白两色棋子．已知第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多，第三堆里的黑子占全部黑子的25．如果把这三堆棋子集中在一起，那么白子占全部棋子的几分之几?【分析与解】如下表所示：设全部黑子为“5”份，则第三堆里的黑子为“2”份，那么剩下的黑子占5-2=“3”份，而第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多，将第一堆黑子和第二堆白子调换，则第二堆全部为黑子．所以第二堆棋子总数为“3”份，三堆棋子总数为3×3=“9”份，其中黑子占“5”份，则白子占剩下的9-5=“4”份，那么白子占全部棋子的4÷9=49．3．甲、乙两厂共同完成一批机床的生产任务，已知甲厂比乙厂少生产8台机床，并且甲厂的生产量是乙厂的1213，那么甲、乙两厂一共生产了机床多少台?【分析与解】因为甲厂生产的是乙厂的1213，也就是甲厂为12份，乙厂为13份，那么甲厂比乙厂少1份=8台．总共=8×(12+13)=200台．4．足球赛门票15元一张，降价后观众增加了一半，收入增加了五分之一，那么一张门票降价多少元?【分析与解】设原来人数为“1”，则现在有1+0.5=1.5．原来收入为l×15=15，降价后收人为15×(1+15)=18元，那么降价后门票为18÷1.5=12元，则一张门票降价15-12=3元．5．李刚给军属王奶奶运蜂窝煤，第一次运了全部的38，第二次运了50块．这时，已运来的恰好是没运来的57．问还有多少块蜂窝煤没有运来?【分析与解】已经运来的是没有运来的57，则运来的是5份，没有运来的是7份，也就是运来的占总数的512．则共有50÷(512-38)=1200块，还剩下1200×712=700块．6．有两条纸带，一条长21厘米，一条长13厘米，把两条纸带都剪下同样长的一段以后，发现短纸带剩下的长度是长纸带剩下的长度的813．问剪下的一段长多少厘米?【分析与解】方法一：开始时，两条纸带的长度差为21－13=8厘米．因为两条纸带都剪去同样长度，所以两条纸带前后的长度差不变．设剪后短纸带长度为“8”份，长纸带即为“13”份，那么它们的差为13-8=5份，则每份为8÷5=1．6(厘米)．所以，剪后短纸带长为1.6×8=12.8(厘米)，于是剪去13-12.8=O.2(厘米)．方法二：设剪下x厘米，则1382113xx-=-，交叉相乘得：13×(13-x)=8×(21-x)，解得x=0.2，即剪下的一段长0.2厘米．7．为挖通300米长的隧道，甲、乙两个施工队分别从隧道两端同时相对施工．第一天甲、乙两队各掘进了10米，从第二天起，甲队每天的工作效率总是前一天的2倍，乙队每天的工作效率总是前一天的l 12倍．那么，两队挖通这条隧道需要多少天?【分析与解】如下表所示：天数工作量1 2 3 4 5甲10 20 40 80 160乙10 15 22.5 33.75 50.625 当天工作量20 35 62.5 113.75 210.625已完成工作量20 55 117.5 231.25 441.375 说明在第五天没有全天干活，则第四天干完以后剩下：300-231.25=68.75米，那么共用时间为4+68.75÷210.625=4110 337天．8．有一块菜地和一块麦地．菜地的一半和麦地的三分之一放在一起是13公顷．麦地的一半和菜地的三分之一放在一起是12公顷．那么菜地是多少公顷?【分析与解】如下表所示：菜地12麦地13⇒13公顷菜地3 麦地2 ⇒78公顷菜地2 麦地3 ⇒72公顷菜地13麦地12⇒12公顷即5倍菜地公顷数+5倍麦地公顷数=78+72=150，所以菜地与麦地共有150÷5=30(公顷)．而菜地减去麦地，为78-72=6(公顷)，所以菜地有(30+6)÷2=18(公顷)．9．春风小学原计划栽种杨树、柳树和槐树共1500棵．植树开始后，当栽种了杨树总数的3 5和30棵柳树以后，又临时运来15棵槐树，这时剩下的3种树的棵数恰好相等．问原计划要栽植这三种树各多少棵?【分析与解】将杨树分为5份，以这样的一份为一个单位，则：杨树=5份；柳树=2份+30棵；槐树=2份-15棵，则一份为(1500-30+15)÷(2+2+5)=165棵，有：杨树=5×165=825棵；柳树=165×2+30=360棵；槐树=165×2-15=315棵．10.师徒二人共同加工170个零件，师傅加工零件个数的13比徒弟加工零件个数的14还多10个．那么，徒弟一共加工了多少个零件?【分析与解】我们用“师”表示师傅加工的零件个数，“徒”表示徒弟加工的零件个数，有：1 3“师”-14“徒”＝10，4“师”- 3“徒”=120,而4“师”+4“徒”=170×4=680．那么有7“徒”=680-120=560，“徒”=80，徒弟一共加工了80个零件．11. 一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作，甲工地的工作量是乙工地的工作量的11 2倍．上午去甲工地的人数是去乙工地人数的3倍，下午这批工人中有712的人去甲工地，其他人到乙工地．到傍晚时，甲工地的工作已做完，乙工地的工作还需4名工人再做1天．那么这批工人共有多少名?【分析与解】设甲工地的工作量为“1.5”，则乙工地的工作量为“1”．甲乙上午33134=+11134=+下午7121-712=512于是甲工地一整天平均用了这批工人的372()24123+÷=，乙工地一整天平均用了这批工人的1-21 33 =．这批工人的23完成了“1.5”的工作量，那么13的这批工人完成1.5÷2=“0.75”的工作量，于是乙工地还剩下1-0.75=“0.25”的工作量，这“0.25”的工作量需要4人工作1天．而甲、乙工地的工作量为1.5+1=2.5，那么需2.5÷0.25× 4=40人工作1天．所以原来这批工人共有40-4=36人．12．有一个分数，如果分子加1，这个分数就等于12；如果分母加1，这个分数就等于13．问原来的分数是多少?【分析与解】如果分子加1，则分数为12，设这时的分数为：2xx，则原来的分数为12xx-，分母加1后为：11213xx-=+，交叉相乘得：3(x-1)=2x+1，解得x=4，则原分数为38．13．图2-1是某市的园林规划图，其中草地占正方形的34，竹林占圆形的67，正方形和圆形的公共部分是水池．已知竹林的面积比草地的面积大450平方米．问水池的面积是多少平方米?【分析与解】因为水池是正方形的14，是圆的17，则正方形是水池的4倍，圆是水池的7倍，相差7-4=3倍，差450平方米，则水池=450÷3=150平方米．14．唐僧师徒四人吃了许多馒头，唐僧和猪八戒共吃了总数的12，唐僧和沙僧共吃了总数的13，唐僧和孙悟空共吃了总数的14．那么唐僧吃了总数的几分之几?【分析与解】唐+猪=12、唐+沙=13、唐+孙=14．(两边同时加减)唐+猪+唐+沙+唐+孙=2唐+(唐+猪+沙+孙)=2唐+1=12+13+14=1112．则：2唐=112，唐=124．唐僧吃了总数的124．15．小李和小张同时开始制作同一种零件，每人每分钟能制作1个零件，但小李每制作3个零件要休息1分钟，小张每制作4个零件要休息1.5分钟．现在他们要共同完成制作300个零件的任务，需要多少分钟?【分析与解】方法一：先估算出大致所需时间，然后再进行调整．因为小李、小张的工作效率大致相等，那么完成时小李完成300÷2=150个零件左右；小李完成150个零件需要150÷3×4=200分钟；在200分钟左右，198分钟是5.5的整数倍，此时乙生产198÷5.5×4=144个零件，并且刚休息完，所以在2分钟后，即200分钟时完成144+2=146个零件；那么在200分钟时，小李、小张共生产150+146=296个零件，还剩下4个零件未完成，所以再需2分钟，小李生产2个零件，小张生产2个零件，正好完成．所以共需202分钟才能完成．方法二：把休息时间包括进去，小李每4分钟做3个，小张每5.5分钟做4个．则在44分钟内小李做了：44÷4×3=33个，小张做了：44÷5.5×4=32个，他们一共做了：33+32=65个．300÷65=4……40，也就是他们共同做了4个44分钟即：44×4=176分钟后，还剩下40个零件没有做完．而22=4+4+4+4+4+2=5.5×4，所以22分钟内小李做了：3+3+3+3+3+2=17个，小张做了：4×2=16个，那么还剩下：40-17-16=7个，4分钟内小李做3个，小张做4个，共做4+3=7个，即这40个零件还需要26分钟．所以共用时间：44×4+26=202分钟．第三讲行程问题（1）涉及分数的行程问题.顺水速度、逆水速度与流速的关系，以及与此相关的问题.环形道路上的行程问题.解题时要注意发挥图示的辅助作用，有时宜恰当选择运动过程中的关键点分段加以考虑．1.王师傅驾车从甲地开往乙地交货.如果他往返都以每小时60千米的速度行驶,正好可以按时返回甲地.可是,当到达乙地时,他发现从甲地到乙地的速度只有每小时55千米.如果他想按时返回甲地,他应以多大的速度往回开?【分析与解】设甲地到乙地的路程为单位“1”,那么按时的往返一次需时间260,现在从甲到乙花费了时间1÷55＝155千米,所以从乙地返回到甲地时所需的时间只能是211 605566-=.即如果他想按时返回甲地,他应以每小时66千米的速度往回开．2.甲、乙两地相距100千米,小张先骑摩托车从甲地出发,1小时后小李驾驶汽车从甲地出发,两人同时到达乙地.摩托车开始速度是每小时50千米,中途减速后为每小时40千米.汽车速度是每小时80千米,汽车曾在途中停驶1O 分钟.那么小张驾驶的摩托车减速是在他出发后的多少小时?【分析与解】 汽车从甲地到乙地的行驶时问为100÷80=1.25小时=1小时15分钟,加上中途停驶的10分钟,共用时1小时25分钟．而小张先小李1小时出发,但却同时到达,所以小张从甲到乙共用了2小时25分钟，即2最小时．以下给出两种解法：方法一:设小张驾驶的摩托车减速是在他出发后x 小时,有50×x +40×5210012x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,解得13x =. 所以小张驾驶的摩托车减速是在他出发后13小时. 方法二:如果全程以每小时50千米的速度行驶,需100÷50=2小时的时间,全程以每小时40千米的速度行驶,需100÷40=2.5小时.依据鸡兔同笼的思想知,小张以每小时50千米的速度行驶了52.521122.526-=-的路程,即行驶了10015010063⨯=千米的路程,距出发5015033÷=小时.3. 一位少年短跑选手,顺风跑90米用了10秒钟.在同样的风速下,逆风跑70米,也用了10秒钟.问:在无风的时候,他跑100米要用多少秒?【分析与解】 我们知道顺风速度=无风速度+风速,逆风速度=无风速度-风速. 有顺风时速度为90÷10=9米/秒,逆风速度为70÷10=7米/秒． 则无风速度=2顺风速度＋逆风速度=982＋7＝米/秒 所以无风的时候跑100米，需100÷8=12.5秒.124.一条小河流过A ，B, C 三镇.A,B 两镇之间有汽船来往,汽船在静水中的速度为每小时11千米.B,C 两镇之间有木船摆渡,木船在静水中的速度为每小时3.5千米.已知A,C 两镇水路相距50千米,水流速度为每小时1.5千米.某人从A 镇上船顺流而下到B 镇,吃午饭用去1小时,接着乘木船又顺流而下到C 镇,共用8小时.那么A,B 两镇间的距离是多少千米?【分析与解】 如下画出示意图，有A →B 段顺水的速度为11+1.5=12.5千米/小时, 有B →C 段顺水的速度为3.5+1.5=5千米/小时． 而从A →C 全程的行驶时间为8-1=7小时． 设AB 长x 千米,有50712.55x x -+=,解得x =25． 所以A,B 两镇间的距离是25千米.5.一条大河有A,B 两个港口,水由A 流向B,水流速度是每小时4千米.甲、乙两船同时由A 向B 行驶,各自不停地在A,B 之间往返航行,甲船在静水中的速度是每小时28千米,乙船在静水中的速度是每小时20千米.已知两船第二次迎面相遇的地点与甲船第二次追上乙船(不算甲、乙在A 处同时开始出发的那一次)的地点相距40千米,求A,B 两个港口之间的距离.【分析与解】 设AB 两地的路程为单位“1”,则：甲、乙两人在A 、B 往返航行，均从A 点同时同向出发,则第n 次同向相遇时,甲、乙两人的路程差为2n ；甲、乙两人在A 、B 往返航行,均从A 点同时同向出发,则第n 次相向相遇时,甲、乙两人的路程和为2n ；甲、乙两人在A 、B 往返航行,分别从A 、B 两点相向出发,则第n 次同向相遇时,甲、乙两人的路程差为(2n -1)；甲、乙两人在A 、B 往返航行,分别从A 、B 两点相向出发,则第n 次相向相遇时,甲、乙两人的路程和为(2n -1)．有甲船的顺水速度为32千米/小时,逆水速度为24千米/小时， 乙船的顺水速度为24千米/小时，逆水速度为16千米/小时. 两船第二次迎面相遇时,它们的路程和为“4”；甲船第二次追上乙船时，它们的路程差为“4”.(一)第二次迎面相遇时，一定是甲走了2～3个AB 长度，乙走了2～1个AB 长度，设甲走了2＋x 个AB 的长度,则乙走了2-x 个AB 的长度,有11322432x ++＝112416x -+，解得13x =，即第二次迎面相遇的地点距A 点13AB 的距离.(二)①第二次甲追上乙时，有甲行走2y z +(y 为整数，z ≤1)个AB 的长度，则乙行走了24y z -+个AB 的长度，有322432y y z ++＝22241624y y z --++，化简得320y z +=，显然无法满足y 为整数，z ≤1；②第二次甲追上乙时，有甲行走21y z ++(y 为整数，z ≤1)个AB 的长度，则乙行走了23y z -+个AB 的长度，有1322424y y z +++＝12241616y y z--++，化简有3213y z +=，有0.5z =，4y =. 即第二次甲追上乙时的地点距B 点12AB 的距离，那么距A 也是12AB 的距离．所以，题中两次相遇点的距离为(111236⎛⎫-= ⎪⎝⎭AB ，为40千米，所以AB 全长为240千米.6.甲、乙两船分别在一条河的A ，B 两地同时相向而行,甲顺流而下,乙逆流而上.相遇时,甲乙两船行了相等的航程,相遇后继续前进,甲到达B 地、乙到达A 地后,都立即按原来路线返航,两船第二次相遇时,甲船比乙船少行1000米.如果从第一次相遇到第二次相遇的时间相隔为1小时20分,那么河水的流速为每小时多少千米? 【分析与解】 因为甲、乙第一次相遇时行驶的路程相等,所以有甲、乙同时刻各自到达B 、A 两地.接着两船再分别从B 、A 两地往AB 中间行驶.所以在第二次相遇前始终是一船逆流、一船顺流,那么它们的速度和始终等于它们在静水中的速度和.有:甲静水速度+水速=乙静水速度－水速.还有从开始到甲第一次到达B 地，乙第一次到达A 地之前,两船在河流中的速度相等.所以甲船比乙船少行驶的1000米是在甲、乙各自返航时产生的．甲乙返航时,有甲在河流中行驶的速度为:甲静水速度-水速,乙在河流中的速度为:乙静水速度+水速.它们的速度差为4倍水速．从第一次相遇到第二次相遇,两船共行驶了2AB 的路程,而从返航到第二次相遇两船共行驶了AB 的路程,需时间80÷2=40分钟． 有4倍水速=401000150060⎛⎫÷=⎪⎝⎭,有水速=375米/小时=0.375千米/小时． 即河水的流速为每小时0.375千米．7.甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行.现在已知甲走一圈的时间是70分钟，如果在出发后45分钟甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时间是多少分钟? 【分析与解】 甲行走45分钟，再行走70－45=25分钟即可走完一圈.而甲行走45分钟，乙行走45分钟也能走完一圈.所以甲行走25分钟的路程相当于乙行走45分钟的路程． 甲行走一圈需70分钟，所以乙需70÷25×45=126分钟．即乙走一圈的时间是126分钟．8.如图3-1，甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇.求此圆形场地的周长．【分析与解】 注意观察图形，当甲、乙第一次相遇时，甲乙共走完12圈的路程，当甲、乙第二次相遇时，甲乙共走完1+12＝32圈的路程． 所以从开始到第一、二次相遇所需的时间比为1：3，因而第二次相遇时乙行走的总路程为第一次相遇时行走的总路程的3倍，即100×3=300米． 有甲、乙第二次相遇时，共行走(1圈－60)+300，为32圈，所以此圆形场地的周长为480米．9.甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲速度的23.甲跑第二圈时速度比第一圈提高了13；乙跑第二圈时速度提高了15．已知沿跑道看从甲、乙两人第二次相遇点到第一次相遇点的最短路程是190米，那么这条椭圆形跑道长多少米? 【分析与解】设甲跑第一圈的速度为3，那么乙跑第一圈的速度为2，甲跑第二圈的速度为4，乙跑第二圈的速度为125. 如下图，第一次相遇地点逆时针方向距出发点35的跑道长度． 有甲回到出发点时，乙才跑了23的跑道长度.在乙接下来跑了13跑道的距离时，甲以“4”的速度跑了122433÷⨯=圈．所以还剩下13的跑道长度，甲以4的速度，乙以125的速度相对而跑，所以乙跑了112124355⎡⎤⎛⎫⨯÷+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦18=圈.也就是第二次相遇点逆时针方向距出发点18圈．即第一次相遇点与第二次相遇点相差31195840-=圈， 所以，这条椭圆形跑道的长度为1919040040÷=米．10.如图3-2，在400米的环形跑道上，A,B 两点相距100米.甲、乙两人分别从A ，B 两点同时出发，按逆时针方向跑步.甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人每跑100米，都要停10秒钟.那么甲追上乙需要时间是多少秒?【分析与解】 如果甲、乙均不休息，那么甲追上乙的时间为100÷(5-4)=100秒． 此时甲跑了100×5=500米，乙跑了100×4=400米．而实际上甲跑500米，所需的时间为100+4×10=140秒，所以140～150秒时甲都在逆时针距A 点500处．而乙跑400米所需的时间为100+3×10=130秒，所以130～140秒时乙走在逆时针距B点400处．显然从开始计算140秒时，甲、乙在同一地点，即甲追上乙需要时间是140秒．11.周长为400米的圆形跑道上，有相距100米的A ，B 两点．甲、乙两人分别从A ，B 两点同时相背而跑，两人相遇后，乙即转身与甲同向而跑，当甲跑到A 时，乙恰好跑到B ．如果以后甲、乙跑的速度和方向都不变，那么甲追上乙时，甲从出发开始，共跑了多少米? 【分析与解】 如下图,记甲乙相遇点为C.当甲跑了AC 的路程时，乙跑了BC 的路程；而当甲跑了400米时，乙跑了2BC 的路程． 由乙的速度保持不变，所以甲、乙第一次相向相遇所需的时间是甲再次到达A 点所需时间的12. 即AC=12×400=200(米)，也就是甲跑了200米时，乙跑了100米，所以甲的速度是乙速度的2倍．那么甲到达A ，乙到达B 时，甲追上乙时需比乙多跑400-100=300米的路程，所以此后甲还需跑300÷(2-1)×2=600米，加上开始跑的l 圈400米．所以甲从出发到甲追上乙时，共跑了600+400=1000米．12.如图3-3，一个长方形的房屋长13米，宽8米．甲、乙两人分别从房屋的两个墙角出发，甲每秒钟行3米，乙每秒钟行2米.问:经过多长时间甲第一次看见乙?【分析与解】 开始时，甲在顺时针方向距乙8+13+8=29米．因为一边最长为 13、所以最少要追至只相差13，即至少要追上29-13=16米． 甲追上乙16米所需时间为16÷(3-2)=16秒，此时甲行了3×16=48米，乙行了2×16=32米．甲、乙的位置如右图所示：显然甲还是看不见乙，但是因为甲的速度比乙快，所以甲能在乙离开上面 的那条边之前到达上面的边，从而看见乙．而甲要到达上面的边，需再跑2米，所需时间为2÷3=23秒． 所以经过16+23=1623秒后甲第一次看见乙.13.如图3-4,学校操场的400米跑道中套着300米小跑道,大跑道与小跑道有200米路程相重．甲以每秒6米的速度沿大跑道逆时针方向跑,乙以每秒4米的速度沿小跑道顺时针方向跑,两人同时从两跑道的交点A 处出发,当他们第二次在跑道上相遇时,甲共跑了多少米?【分析与解】 如下图,甲、乙只可能在大跑道上相遇．并且只能在AB 顺时针的半跑道上．易知小跑道AB 逆时针路程为100,顺时针路程为200,大跑道上AB 的顺、逆时针路程均是200米．我们将甲、乙的行程状况分析清楚．当甲第一次到达B 时,乙还没有到达B 点,所以第一次相遇一定在逆时针的BA 某处．而当乙第一次到达B 点时，所需时间为200÷4=50秒,此时甲跑了50×6=300米,在B 点300-200=100米处．乙跑出小跑道到达A 需100÷4=25秒,则甲又跑了25×6=150米,在A 点左边(100+150)-200=50米处．所以当甲到达B 处时,乙还未到B 处,那么甲必定能在B 点右边某处与乙第二次相遇． 从乙再次到达A 处开始计算,还需(400-50)÷(6+4)=35秒,甲、乙第二次相遇,此时甲共跑了50+25+35=110秒．所以,从开始到甲、乙第二次相遇甲共跑了110×6=660米．14．如图3-5,正方形ABCD 是一条环形公路．已知汽车在AB 上时速是90千米，在BC 上的时速是120千米，在CD 上的时速是60千米,在DA 上的时速是80千米．从CD 上一点P,同时反向各发出一辆汽车,它们将在AB 中点相遇．如果从PC 的中点M,同时反向各发出一辆汽车,它们将在AB 上一点N 相遇．问A 至N 的距离除以N 至B 的距离所得到的商是多少?【分析与解】 如下图,设甲始终顺时针运动,乙始终逆时针运动,并设正方形ABCD 的边长为单位“1”.有甲从P 到达AB 中点O 所需时间为608090PD DA AO ++10.5608090PD =++. 乙从P 到达AB 中点O 所需时间为6012090PC BC BO ++10.56012090PD =++. 有甲、乙同时从P 点出发,则在AB 的中点O 相遇,所以有：16080PD +=160120PC +且有PD=DC-PC=1-PC,代入有116080PC -+160120PC =+,解得PC=58. 所以PM=MC=516,DP=38.现在甲、乙同时从PC 的中点出发,相遇在N 点,设AN 的距离为x .有甲从M 到达N 点所需时间为608090MD DA AN ++351816608090x+=++； 乙从M 到达N 点所需时间为6012090MC CB BN ++511166012090x-=++. 有351816608090x +++511166012090x -=++，解得132x =.即AN=132. 所以AN ÷BN 1313232=÷131=15.如图3-6，8时10分,有甲、乙两人以相同的速度分别从相距60米的A ，B 两地顺时针方向沿长方形ABCD 的边走向D 点.甲8时20分到D 点后,丙、丁两人立即以相同速度从D 点出发.丙由D 向A 走去,8时24分与乙在E 点相遇；丁由D 向C 走去，8时30分在F 点被乙追上.问三角形BEF 的面积为多少平方米?【分析与解】 如下图，标出部分时刻甲、乙、丙、丁的位置．先分析甲的情况，甲10分钟，行走了AD 的路程；再看乙的情况，乙的速度等于甲的速度，乙14分钟行走了60+AE 的路程，乙20分钟走了60+AD+DF 的路程．所以乙10分钟走了(60+AD+DF)-(AD)=60+DF 的路程．有601014AD AE +=6010DF +=，有()()607560AD DFAE ED AE =+⎧⎪⎨-=+⎪⎩然后分析丙的情况,丙4分钟,行了走ED 的路程,再看丁的情况,丁的速度等于丙的速度,丁10分钟行走了DF 的距离．。
六年级上册秋季奥数培优讲义——6-10-行程综合3-讲义-学生
第10讲行程综合【学习目标】1、进一步学习行程问题；2、会用比例解行程问题。
【知识梳理】1、相遇问题：①从两头往中间走；②从中间往两头走。
（1）总路程=速度和×相遇时间（2）相遇时间=总路程÷速度和（3）速度和=总路程÷相遇时间2、追及问题：①起点不同，终点相同（快追慢）；②起点相同，终点不同（快超慢）。
（1）距离差=速度差×追及时间（2）追及时间=距离差÷速度差（3）速度差=距离差÷追及时间3、火车过桥：①火车过桥；②火车过隧道。
公式：总路程＝桥长＋车长＝速度×时间4、流水行船问题：（1）顺水行程＝（船速＋水速）×顺水时间（2）逆水行程＝（船速－水速）×逆水时间（3）顺水速度=船速＋水速（4）逆水速度＝船速－水速（5）静水速度=（顺水速度＋逆水速度）÷2（6）水速＝（顺水速度－逆水速度）÷2（7）船速＝(顺水速度+逆水速度）÷25、环形行程问题：所有封闭路线问题都是环形问题。
（1）同向行驶就是追击问题：从同一地点出发，每追上一次就多跑一圈；（2）反向行驶就是相遇问题：从同一地点出发，每相遇一次合走一圈。
6、常用比例关系：（1）时间相同：路程比等于速度比；（2）速度相同：路程比等于时间比；（3）路程相同：速度比等于时间反比。
【典例精析】【例1】甲乙两人同时从两地出发,相向而行,距离是50km，甲每小时走3km乙每小时走2km,甲带着一只小狗,小狗每小时跑5km,这只狗和甲一起出发,当它碰到乙后,便回头跑向甲,碰到甲后又掉头跑向乙.如此下去,直到两人相遇小狗一共跑了多少千米?【趁热打铁-1】两支部队从相距50 km的甲、乙两地同时相对而行，一名通信员骑车以每小时20 km的速度在两支部队间不断往返联络.如果通信员从出发到相遇共行了50 km，而甲部队比乙部队每小时多走0.6 km，求两支部队行军的速度.【例2】甲、乙两辆汽车分别以不同的速度同时从A、B两城相对开出，第一次在离A城80km 处相遇，相遇后两车继续前进，到达目的地后又立刻返回，第二次相遇在离A城50km处。
小学数学奥数基础教程(六年级)目30讲全
小学数学奥数基础教程（六年级）目30讲全小学奥数基础教程（六年级）-1-小学奥数基础教程(六年级)第1讲比较分数的大小第2讲巧求分数第3讲分数运算的技巧第4讲循环小数与分数第5讲工程问题(一)第6讲工程问题(二)第7讲巧用单位“1”第8讲比和比例第9讲百分数第10讲商业中的数学第11讲圆与扇形第12讲圆柱与圆锥第13讲立体图形(一)第14讲立体图形(二)第15讲棋盘的覆盖第16讲找规律第17讲操作问题第18讲取整计算第19讲近似值与估算第20讲数值代入法第21讲枚举法第22讲列表法第23讲图解法第24讲时钟问题第25讲时间问题第26讲牛吃草问题第27讲运筹学初步（一）第28讲运筹学初步（二）第29讲运筹学初步（三）第30讲趣题巧解第一讲比较分数的大小同学们从一开始接触数学，就有比较数的大小问题。
比较整数、小数的大小的方法比较简单，而比较分数的大小就不那么简单了，因此也就产生了多种多样的方法。
对于两个不同的分数，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三种情况，其中前两种情况判别大小的方法是：分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大；分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。
第三种情况，即分子、分母都不同的两个分数，通常是采用通分的方法，使它们的分母相同，化为第一种情况，再比较大小。
由于要比较的分数千差万别，所以通分的方法不一定是最简捷的。
下面我们介绍另外几种方法。
1.“通分子”。
当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大，而分子的最小公倍数比较小时，可以把它们化成同分子的分数，再比较大小，这种方法比通分的方法简便。
小学奥数基础教程（六年级）-2-如果我们把课本里的通分称为“通分母”，那么这里讲的方法可以称为“通分子”。
2.化为小数。
这种方法对任意的分数都适用，因此也叫万能方法。
但在比较大小时是否简便，就要看具体情况了。
3.先约分，后比较。
有时已知分数不是最简分数，可以先约分。
4.根据倒数比较大小。
小学数学奥数基础教程(六年级)目30讲全[1]
![小学数学奥数基础教程(六年级)目30讲全[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/52234cc30b4e767f5bcfce41.png)
小学数学奥数基础教程(六年级)目30讲全[1]第1讲比较分数的大小第2讲巧求分数第3讲分数运算的技巧第4讲循环小数与分数第5讲工程问题(一)第6讲工程问题(二)第7讲巧用单位“1”第8讲比和比例第9讲百分数第10讲商业中的数学第11讲圆与扇形第12讲圆柱与圆锥第13讲立体图形(一)第14讲立体图形(二)第15讲棋盘的覆盖第16讲找规律第17讲操作问题第18讲取整计算第19讲近似值与估算第20讲数值代入法第21讲枚举法第22讲列表法第23讲图解法第24讲时钟问题第25讲时间问题第26讲牛吃草问题第27讲运筹学初步[一]第28讲运筹学初步[二]第29讲运筹学初步[三]第30讲趣题巧解第一讲比较分数的大小同学们从一开始接触数学’就有比较数的大小问题。
比较整数、小数的大小的方法比较简单’而比较分数的大小就不那么简单了’因此也就产生了多种多样的方法。
对于两个不同的分数’有分母相同’分子相同以及分子、分母都不相同三种情况’其中前两种情况判别大小的方法是；分母相同的两个分数’分子大的那个分数比较大；分子相同的两个分数’分母大的那个分数比较小。
第三种情况’即分子、分母都不同的两个分数’通常是采用通分的方法’使它们的分母相同’化为第一种情况’再比较大小。
由于要比较的分数千差万别’所以通分的方法不一定是最简捷的。
下面我们介绍另外几种方法。
1’“通分子”。
当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大’而分子的最小公倍数比较小时’可以把它们化成同分子的分数’再比较大小’这种方法比通分的方法简便。
如果我们把课本里的通分称为“通分母”’那么这里讲的方法可以称为“通分子”。
2’化为小数。
这种方法对任意的分数都适用’因此也叫万能方法。
但在比较大小时是否简便’就要看具体情况了。
3’先约分’后比较。
有时已知分数不是最简分数’可以先约分。
4’根据倒数比较大小。
5’若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母[子]大的分数较大；若两个假分数的分子与分母的差相等’则分母[子]小的分数较大。
小学奥数知识点(六年级)上课讲义
小学奥数知识点(六年级)学习改变命运，思考成就未来！姓名 _______________一、 计算1．四则混合运算⑴ 运算顺序⑵ 分数、小数混合运算技巧一般而言：① 加减运算中，能化成有限小数的统一以小数形式；② 乘除运算中，统一以分数形式。
⑶带分数与假分数的互化2．简便计算⑴凑整思想 ⑵基准数思想 ⑶裂项与拆分⑷提取公因数 ⑸商不变性质 ⑹改变运算顺序运算定律的综合运用① 连减的性质② 连除的性质③ 同级运算移项的性质④ 增减括号的性质⑤ 变式提取公因数形如：1212......(......)n n a b a b a b a a a b ÷±÷±±÷=±±±÷3．估算求某式的整数部分：扩缩法4．比较大小① 通分a.通分母 b. 通分子② 利用倒数性质 若111a b c>>，则c>b>a.。
定义新运算 5．特殊数列求和运用相关公式：()21321+=++n n n 131171001⨯⨯⨯=⨯=abc abc abcabc ()()b a b a b a -+=-22二、 数论1．奇偶性问题奇±奇=偶 奇×奇=奇奇±偶=奇 奇×偶=偶偶±偶=偶 偶×偶=偶2．位值原则 形如：abc =100a+10b+c3．数的整除特征：1310．孙子定理（中国剩余定理）11．辗转相除法12．数论解题的常用方法：枚举、归纳、反证、构造、配对、估计三、几何图形1．平面图形⑴多边形的内角和N边形的内角和=(N-2)×180°⑵等积变形（位移、割补）①三角形内等底等高的三角形②平行线内等底等高的三角形③公共部分的传递性④极值原理（变与不变）⑶三角形面积与底的正比关系S1︰S2 =a︰b ； S1︰S2=S4︰S3或者S1×S3=S2×S4组合图形的思考方法化整为零先补后去正反结合四、典型应用题1．植树问题①开放型与封闭型②间隔与株数的关系2．方阵问题外层边长数-2=内层边长数（外层边长数-1）×4=外周长数外层边长数2-中空边长数2=实面积数3．列车过桥问题①车长+桥长=速度×时间②车长甲+车长乙=速度和×相遇时间③车长甲+车长乙=速度差×追及时间列车与人或骑车人或另一列车上的司机的相遇及追及问题车长=速度和×相遇时间车长=速度差×追及时间4．年龄问题（差不变原理）5．鸡兔同笼（假设法的解题思想）6．牛吃草问题原有草量=（牛吃速度-草长速度）×时间7．平均数问题8．盈亏问题（分析差量关系）9．和差问题10．和倍问题11．差倍问题12．逆推问题（还原法，从结果入手）13．代换问题（列表消元法；等价条件代换）五、行程问题1．相遇问题路程和=速度和×相遇时间2．追及问题路程差=速度差×追及时间3．流水行船顺水速度=船速+水速逆水速度=船速-水速船速=（顺水速度+逆水速度）÷2水速=（顺水速度-逆水速度）÷24．多次相遇线型路程：甲乙共行全程数=相遇次数×2-1环型路程：甲乙共行全程数=相遇次数其中甲共行路程=单在单个全程所行路程×共行全程数5．环形跑道6．行程问题中正反比例关系的应用路程一定，速度和时间成反比。
小学数学奥数基础教程(六年级)目30讲全[1]
![小学数学奥数基础教程(六年级)目30讲全[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/e685617852d380eb63946d5c.png)
小学奥数基础教程(六年级)第1讲比较分数的大小第2讲巧求分数第3讲分数运算的技巧第4讲循环小数与分数第5讲工程问题(一)第6讲工程问题(二)第7讲巧用单位“1”第8讲比和比例第9讲百分数第10讲商业中的数学第11讲圆与扇形第12讲圆柱与圆锥第13讲立体图形(一)第14讲立体图形(二)第15讲棋盘的覆盖第16讲找规律第17讲操作问题第18讲取整计算第19讲近似值与估算第20讲数值代入法第21讲枚举法第22讲列表法第23讲图解法第24讲时钟问题第25讲时间问题第26讲牛吃草问题第27讲运筹学初步（一）第28讲运筹学初步（二）第29讲运筹学初步（三）第30讲趣题巧解第一讲比较分数的大小同学们从一开始接触数学，就有比较数的大小问题。
比较整数、小数的大小的方法比较简单，而比较分数的大小就不那么简单了，因此也就产生了多种多样的方法。
对于两个不同的分数，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三种情况，其中前两种情况判别大小的方法是：分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大；分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。
第三种情况，即分子、分母都不同的两个分数，通常是采用通分的方法，使它们的分母相同，化为第一种情况，再比较大小。
由于要比较的分数千差万别，所以通分的方法不一定是最简捷的。
下面我们介绍另外几种方法。
1.“通分子”。
当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大，而分子的最小公倍数比较小时，可以把它们化成同分子的分数，再比较大小，这种方法比通分的方法简便。
如果我们把课本里的通分称为“通分母”，那么这里讲的方法可以称为“通分子”。
2.化为小数。
这种方法对任意的分数都适用，因此也叫万能方法。
但在比较大小时是否简便，就要看具体情况了。
3.先约分，后比较。
有时已知分数不是最简分数，可以先约分。
4.根据倒数比较大小。
5.若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母（子）大的分数较大；若两个假分数的分子与分母的差相等，则分母（子）小的分数较大。
小学六年级奥数36讲(上)[1]
![小学六年级奥数36讲(上)[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/5251057eb9d528ea80c77910.png)
第1讲计算综合（一）繁分数的运算，涉及分数与小数的定义新运算问题，综合性较强的计算问题．1．繁分数的运算必须注意多级分数的处理，如下所示:甚至可以简单地说：“先算短分数线的，后算长分数线的"．找到最长的分数线,将其上视为分子,其下视为分母．2．一般情况下进行分数的乘、除运算使用真分数或假分数，而不使用带分数．所以需将带分数化为假分数．3．某些时候将分数线视为除号，可使繁分数的运算更加直观．4．对于定义新运算,我们只需按题中的定义进行运算即可．5．本讲要求大家对分数运算有很好的掌握，可参阅《思维导引详解》五年级［第1讲循环小数与分数]．1．计算：71147 182621358 1333416⨯+⨯-÷【分析与解】原式=712372317 461224 1488128 131233+⨯=⨯=-2．计算：【分析与解】注意,作为被除数的这个繁分数的分子、分母均含有5199．于是，我们想到改变运算顺序，如果分子与分母在5199后的两个数字的运算结果一致，那么作为被除数的这个繁分数的值为1；如果不一致，也不会增加我们的计算量．所以我们决定改变作为被除数的繁分数的运算顺序．而作为除数的繁分数，我们注意两个加数的分母相似,于是统一通分为1995×0.5．具体过程如下：原式=5919(3 5.22)19930.41.6910()52719950.5199519(6 5.22)950+-⨯÷+⨯-+ =5191.3219930.440.40.59()519950.419950.5191.329-⨯⨯⨯÷+⨯⨯- =199320.41()19950.5+÷⨯=0.410.5÷=1143．计算：1111111987-+-【分析与解】原式=11198711986-+=198613973-=198739734．计算:已知=181111+12+1x+4=，则x 等于多少? 【分析与解】方法一:1118x 68114x 112x 7111+11148x 62+214x 1x+4+====+++++++ 交叉相乘有88x+66=96x+56,x=1．25．方法二：有11131118821x 4+==+++，所以18222133x 4+==++；所以13x 42+=，那么x =1。
小学数学奥数基础教程(六年级)目30讲全
小学数学奥数基础教程(六年级)目30讲全小学奥数基础教程（六年级） - 1 - 小学奥数基础教程(六年级)第1讲比较分数的大小第2讲巧求分数第3讲分数运算的技巧第4讲循环小数与分数第5讲工程问题(一) 第6讲工程问题(二) 第7讲巧用单位“1” 第8讲比和比例第9讲百分数第10讲商业中的数学第11讲圆与扇形第12讲圆柱与圆锥第13讲立体图形(一) 第14讲立体图形(二) 第15讲棋盘的覆盖第16讲找规律第17讲操作问题第18讲取整计算第19讲近似值与估算第20讲数值代入法第21讲枚举法第22讲列表法第23讲图解法第24讲时钟问题第25讲时间问题第26讲牛吃草问题第27讲运筹学初步（一）第28讲运筹学初步（二）第29讲运筹学初步（三）第30讲趣题巧解第一讲比较分数的大小同学们从一开始接触数学，就有比较数的大小问题。
比较整数、小数的大小的方法比较简单，而比较分数的大小就不那么简单了，因此也就产生了多种多样的方法。
对于两个不同的分数，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三种情况，其中前两种情况判别大小的方法是：分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大；分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。
第三种情况，即分子、分母都不同的两个分数，通常是采用通分的方法，使它们的分母相同，化为第一种情况，再比较大小。
由于要比较的分数千差万别，所以通分的方法不一定是最简捷的。
下面我们介绍另外几种方法。
1.“通分子”。
当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大，而分子的最小公倍数比较小时，可以把它们化成同分子的分数，再比较大小，这种方法比通分的方法简便。
小学奥数基础教程（六年级） - 2 - 如果我们把课本里的通分称为“通分母”，那么这里讲的方法可以称为“通分子”。
2.化为小数。
这种方法对任意的分数都适用，因此也叫万能方法。
但在比较大小时是否简便，就要看具体情况了。
3.先约分，后比较。
有时已知分数不是最简分数，可以先约分。
六年级上册数学培优奥数讲义-第26讲数与形
第26讲数与形知识装备数与形是数学中的两个最古老、也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。
数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。
数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。
数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。
初级挑战1根据上面图形与数的规律，接着这样排列下去，如果不画，你知道第10个数是多少吗？第n个数呢？思路点拨：第1个数是1，图形有1个；第2个数是4，图形有2×2＝4（个）；第3个数是9，图形有3×3＝9（个）……,这说明每个数与对应图形的个数相同，而第n个数可通过（）得到。
答案：10×10＝100，n×n＝n2能力探索1一些小圆形如下排列：照这样画下去，第5个图形最外圈有（）个小圆形；第8个图形最外圈有（）个小圆形。
答案：第5个图形：62－42＝20，第8个图形：92－72＝32。
初级挑战2如下图，摆1个正方形需4根火柴棒，摆2个正方形需7根火柴棒，摆3个正方形需10根火柴棒……照这样摆下去，摆4个正方形需（）根火柴棒；摆10个正方形需（）根火柴棒；摆n个正方形需要（）根火柴棒。
【思路点拨】摆一个正方形需要（）根火柴棒，后面每多摆一个正方形，就多需要（）根火柴棒，如果摆n个正方形，一共就要（）根火柴棒。
答案：摆4个正方形需13根火柴棒；摆10个正方形需31根火柴棒；摆n个正方形需要（3n＋1）根火柴棒。
能力探索21、按下列规律摆放☆，则第⑤堆☆有多少个？第⑨堆☆有多少个？答案：第⑤堆☆有17个；第⑨堆☆有29个。
2、明明用小棒搭了3间房子(如下图所示)，像这样搭下去，搭5间房子要用_____根小棒；搭n间房子要用_________根小棒。
奥数内部讲义六年级上(3)
知识要点 前面我们介绍了运用定律和性质以及数的特点进行巧算和简算的一些方法，下面
再向同学们介绍怎样用拆分法（也叫裂项法、拆项法）进行分数的简便运算。 运用拆分法解题主要是使拆开后的一些分数互相抵消，达到简化运算的目的。一
般地，形如a×(1a+1) 的分数可以拆成1a －a+11 ；形如a×（1a+n） 的分数可以拆成1n
【思维导航】 原式＝（12 +14 +18 +116 +312 +614 +614 ）－614
＝1－614
＝6634
【思维发散 4】
1.
1 2
+14
+18
+………+2156
ห้องสมุดไป่ตู้2.
2 3
+29
+227
+821
+2243
3. 9.6+99.6+999.6+9999.6+99999.6
思维⑤阶 计算：（1+12 +13 +14 ）×（12 +13 +14 +15 ）－（1+12 +13 +14 +15 ）×（12 +13 +14 ）
×（1a －a1+n ），形如aa×+bb 的分数可以拆成1a +1b 等等。同学们可以结合例题思考其 中的规律。
思维 阶梯 思维①阶
计算：1×1 2
+2×1 3
+3×1 4
+…..+
1 99×100
【思维导航】
原式＝（1－12 ）+（12 －13 ）+（13 －14 ）+…..+ （919 －1100 ）
六年级上册秋季奥数培优讲义——6-04-圆锥圆柱3-讲义-学生
第4讲 圆柱与圆锥【学习目标】1、认识圆柱与圆锥；2、学会计算圆柱与圆锥的体积及表面积。
【知识梳理】1、圆柱：（1）概念：圆柱上、下两个面是相等的圆，它们都叫圆柱的底面；曲面部分叫作圆柱的侧面；两个底面之间的距离，叫作圆柱的高。
（2）圆柱的侧面沿一条高展开后可得到一个长方形，这个长方形的长相当于圆柱的底面的周长，它的宽相当于圆柱的高，这个长方形的面积就是圆柱的侧面积。
（3）体积＝底面积×高；（4）侧面积＝底面周长×高2、圆锥：（1）概念：以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴，将直角三角形绕着它旋转360°所得的几何体叫作圆锥。
（2）将圆锥的侧面沿顶点和底面圆周上一点的连线展开，可以得到一个扇形。
（3）体积＝底面积×高×31。
【典例精析】 【例1】认识圆柱：（1）一个长方形的长是８cm,宽是６cm 。
以它的一条边为轴旋转一周,得到的图形的底面积可 能是 cm ²,也可能是 cm ²。
（2）一个圆柱的底面半径是3cm,高是5cm,它的侧面积是 cm ²,表面积是 cm ²。
（3）用边长是1厘米的正方形围成一个圆柱体，它的体积是 。
【趁热打铁-1】（1）将圆柱的侧面展开能得到平面图形。
（2）把一个圆柱的侧面沿高剪开,得到一个正方形,这个圆柱的底面半径是5cm,那么圆柱的高是 cm。
（3）把一个长6.28dm、宽3.14dm的长方形纸片卷成一个圆柱,这个圆柱的侧面积是 dm²(保留整数),它的底面积可能是 dm²,也可能是 dm²。
【例2】认识圆锥：下图中，分别以长方形的长或宽为轴旋转一周，所得立体图形的体积相差____立方厘米；分别以直角三角形的两条直角边为轴旋转一周，所得立体图形的体积相差____立方厘米。
【趁热打铁-2】将下图中的直角三角形以一条直角边为轴旋转一周，可以得到一个圆锥，圆锥的底面直径和高分别是多少？【例3】求下图形的表面积：【趁热打铁-3】（1）求下图形的表面积：（2）已知一个圆柱的底面周长是25.12cm，高是10cm，求其表面积。