实验五牛顿迭代法
牛顿迭代法mathematica
牛顿迭代法mathematica
牛顿迭代法是一种用于求解方程近似解的方法，它是由英国科学家艾萨克·牛顿在17世纪发现并提出的。这种方法通过不断迭代逼近的方式，逐渐逼近方程的根。
牛顿迭代法的基本思想是：从一个初始值开始，通过使用切线来逼近方程的根。具体而言，假设我们要求解方程f(x) = 0，首先选择一个初始值x0，然后通过计算f(x0)的值得到曲线上的一点P(x0, f(x0))。接下来，我们通过计算曲线在点P处的切线与x轴的交点Q，将Q作为新的近似解x1。重复这个过程，不断迭代计算得到更加精确的近似解，直到满足精度要求为止。
牛顿迭代法的具体计算步骤如下：
1. 选择一个初始值x0；
2. 计算f(x0)的值，得到曲线上的一点P(x0, f(x0))；
3. 计算曲线在点P处的切线与x轴的交点Q，得到新的近似解x1；
4. 重复步骤2和3，直到满足精度要求。
牛顿迭代法的收敛性与初始值的选择有关。通常情况下，选择一个离方程根较近的初始值可以加快收敛速度。然而，如果初始值选择不当，也可能导致迭代过程发散。
牛顿迭代法在实际应用中具有广泛的用途。例如，在数值计算中，牛顿迭代法可以用于求解非线性方程、优化问题和插值问题。在物
理学和工程学中，牛顿迭代法可以用于求解微分方程的数值解、估计系统参数等。
牛顿迭代法的优点之一是它的收敛速度很快。在某些情况下，它可以在很少的迭代次数内得到非常精确的解。然而，牛顿迭代法也存在一些缺点。首先，它对初始值的选择非常敏感，选择不当可能导致迭代过程发散。其次，牛顿迭代法只能求解方程的根，而不能确定方程的其他性质。
研究生数值分析(5)牛顿(Newton)迭代法
将埃特肯加速方法用于迭代法，可得如下算式
yk zk
g ( xk g( yk
) )
xk
1
xk
( yk xk ) zk 2 yk xk
(迭代) (迭代) (加速)
(k 0,1, 2, )
称为埃特肯算法。
例７ 用迭代法求方程 f (x) x 2x 0 在[0，1]内根 x*
的近似值，精确到 xk1 xk 104
解：取初始近似根 x0 0.5
1.用简单迭代法 2.用牛顿迭代法
xk1 2xk (k 0,1, 2, )
xk 1
xk
1
xk 2xk 2xk ln
2
(k 0,1, 2,
)
3.用埃特肯算法
yk zk
条件（4）表明曲线y=f(x)在[a ,b]内凹向不变。
曲线y=f(x)在[a ,b]上只有下图四种情形。
y
y
f '' (x) 0
f '' (x) 0
f '(x) 0
f '(x) 0
a
0
x* x2 x1 x0 b
x*
x 0 a x0 x1 x2
牛顿迭代法求解方程组
牛顿迭代法求解方程组
一、牛顿迭代法的基本原理
牛顿迭代法是一种用于求解方程的迭代方法，其基本思想是通过不断逼近方程的根来求解方程。具体而言，对于一个方程f(x) = 0，我们可以选择一个初始近似解x0，然后通过迭代的方式不断更新x 的值，直到满足一定的停止准则为止。
牛顿迭代法的更新公式如下：
x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
其中，x_n表示第n次迭代得到的近似解，f(x_n)表示方程在x_n处的函数值，f'(x_n)表示方程在x_n处的导数值。
二、牛顿迭代法在求解方程组中的应用
牛顿迭代法不仅可以用于求解单个方程，还可以推广到求解方程组的情况。假设我们要求解一个由m个方程和n个未知数组成的方程组，即
F(x) = 0
其中，F(x) = (f1(x1, x2, ..., xn), f2(x1, x2, ..., xn), ..., fm(x1, x2, ..., xn))为方程组的向量函数。我们可以将该方程组转化为一个等价的非线性方程组：
f(x) = 0
其中，f(x) = (f1(x1, x2, ..., xn), f2(x1, x2, ..., xn), ..., fm(x1, x2, ..., xn))。
牛顿迭代法在求解方程组时的更新公式如下：
x_{n+1} = x_n - J^{-1}(x_n) f(x_n)
其中，J(x_n)是方程组在x_n处的雅可比矩阵，其定义为：
J(x_n) = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1}(x_n) & \frac{\partial f_1}{\partial x_2}(x_n) & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}(x_n) \\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1}(x_n) & \frac{\partial f_2}{\partial x_2}(x_n) & \cdots & \frac{\partial f_2}{\partial x_n}(x_n) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}(x_n) & \frac{\partial f_m}{\partial x_2}(x_n) & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}(x_n) \end{pmatrix}
MAAB计算方法迭代法牛顿法二分法实验报告
MAAB计算方法迭代法牛顿法二分法实验报告实验目的：比较MAAB计算方法中迭代法、牛顿法和二分法的优缺点，探究它们在求解方程中的应用效果。
实验原理：
1、迭代法：将方程转化为x=f(x)的形式，通过不断迭代逼近方程的根。
2、牛顿法：利用函数在特定点的切线逼近根的位置，通过不断迭代
找到方程的根。
3、二分法：利用函数值在区间两端的异号性质，通过不断二分缩小
区间，最终逼近方程的根。
实验步骤：
1、选择一元方程进行求解，并根据方程选择不同的计算方法。
2、在迭代法中，根据给定的初始值和迭代公式，进行迭代计算，直
到满足预设的迭代精度要求。
3、在牛顿法中，选择初始点，并根据切线方程进行迭代计算，直到
满足预设的迭代精度要求。
4、在二分法中，选择区间，并根据函数值的异号性质进行二分，直
到满足预设的迭代精度要求。
5、根据计算结果，比较三种方法的求解效果，包括迭代次数、计算
时间、求解精度等指标。
实验结果与分析：
通过对多个方程进行测试，得到了以下实验结果：
1、迭代法的优点是简单易懂，适用范围广，但当迭代公式不收敛时
会导致计算结果不准确。
2、牛顿法的优点是收敛速度较快，但需要计算函数的一阶导数和二
阶导数，对于复杂函数较难求解。
3、二分法的优点是收敛性较好，不需要导数信息，但收敛速度较慢。
4、对于线性方程和非线性方程的求解，牛顿法和迭代法通常比二分
法更快速收敛。
5、对于多重根的方程，二分法没有明显优势，而牛顿法和迭代法能
更好地逼近根的位置。
6、在不同的方程和初值选择下，三种方法的迭代次数和求解精度略
有差异。
7、在时间效率方面，二分法在收敛速度较慢的同时，迭代次数较少，牛顿法在收敛速度较快的同时，迭代次数较多，而迭代法对于不同方程有
牛顿迭代法原理
牛顿迭代法原理
牛顿迭代法是一种数值计算方法，用于寻找方程的根。它是由
英国科学家牛顿提出的，因此得名。牛顿迭代法的原理非常简单，
但却在实际应用中具有广泛的意义和价值。
首先，让我们来了解一下牛顿迭代法的基本原理。假设我们要
求解一个方程f(x)=0的根，我们可以先随机选择一个初始值x0，
然后利用切线的斜率来不断逼近方程的根。具体来说，我们可以利
用方程f(x)的导数f'(x)来得到切线的斜率，然后通过迭代的方式
不断更新x的取值，直到满足精度要求为止。具体的迭代公式如下： \[x_{n+1} = x_n \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\]
其中，\(x_n\)表示第n次迭代的值，\(x_{n+1}\)表示第n+1
次迭代的值，f(x)表示方程，f'(x)表示方程的导数。
牛顿迭代法的原理就是利用切线不断逼近方程的根，通过迭代
更新x的取值，最终找到方程的根。这种方法的优点在于收敛速度快，但也存在一些局限性，比如对初始值的选择比较敏感，可能会
导致迭代过程发散。
接下来，让我们通过一个具体的例子来说明牛顿迭代法的原理。假设我们要求解方程\(x^2-2=0\)的根，我们可以先对方程进行求导，得到导数为2x。然后，我们随机选择一个初始值x0=1，带入迭代公
式进行计算，直到满足精度要求为止。具体的迭代过程如下：
\[x_1 = x_0 \frac{x_0^2-2}{2x_0} = 1 \frac{1^2-2}{21} = 1.5\]
\[x_2 = x_1 \frac{x_1^2-2}{2x_1} = 1.5 \frac{1.5^2-
牛顿迭代法及其应用
牛顿迭代法及其应用
牛顿迭代法是一种求解函数零点的迭代方法，具有快速收敛、精度高等优点，被广泛应用于计算机、数学、物理等领域。本文将从理论和实际应用两方面介绍牛顿迭代法，并对其应用进行探讨。
一、理论基础
牛顿迭代法是通过一点处的切线来逼近函数零点的方法。设$f(x)$在$x_0$点有一个零点，且其导数$f'(x_0)$存在且不为零，那么该零点可以通过一点$(x_0,f(x_0))$处的切线与$x$轴的交点来逐步逼近。
假设切线的方程为$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$，则其中$x$轴上的交点为$x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$，这是零点的一个更好的近似值。用$x_1$代替$x_0$，再利用同样的方法得到$x_2$，不断重复这个过程，即可逐步逼近零点。
这个过程可以用下面的公式表示：
$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$
这就是牛顿迭代法的基本公式。从初始值$x_0$开始迭代，不
断利用公式进行逼近，直到找到满足$f(x_n)=0$的解。
二、实际应用
牛顿迭代法在实际应用中广泛存在，比如在计算机图形学中，
通过牛顿迭代法可以精确计算出圆的周长、面积等参数，也可以
实现快速的路径追踪和光线追踪。
在金融领域中，牛顿迭代法可以用来计算隐含波动率，即在期
权定价模型中，寻找满足期权定价公式的波动率。由于这个过程
中往往要用到反函数，所以牛顿迭代法可以快速找到隐含波动率。
另外，在机器学习、神经网络中，多次用到牛顿迭代法进行梯
度下降，智能化运用牛顿迭代法可以提高计算效率，降低误差。
牛顿迭代法(Newton‘s Method)
牛顿迭代法（Newton’s Method）又称为牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法（Newton-Raphson Method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。与一阶方法相比，二阶方法使用二阶导数改进了优化，其中最广泛使用的二阶方法是牛顿法。考虑无约束最优化问题：
其中 \theta^{\ast} 为目标函数的极小点，假设 f\left( \theta \right) 具有二阶连续偏导数，若第 k 次迭代值为 \theta^{k} ，则可将f\left( \theta \right)在\theta^{k}近进行二阶泰勒展开：
这里，g_{k}=x^{\left( \theta^{k} \right)}=∇f\left( \theta^{k} \right)是
f\left( \theta \right) 的梯度向量在点 \theta^{k}的值， H\left( \theta^{k} \right) 是 f\left( \theta \right) 的Hessian矩阵：
在点 \theta^{\left( k \right)}的值。函数 f\left( \theta \right) 有极值的必要条件是在极值点处一阶导数为0，即梯度向量为0，特别是当
H\left( \theta\right) 是正定矩阵时，函数 f\left( \theta \right) 的极值为极小值。牛顿法利用极小点的必要条件：
这就是牛顿迭代法。迭代过程可参考下图：
在深度学习中，目标函数的表面通常非凸（有很多特征），如鞍点。因此使用牛顿法
实验五 牛顿迭代法
h （2）加速的原因 在下面的实验中我们可以看到， ( x) ） 在不动点 x * 附近的导数值在很大程度上决定了迭代过程 的收敛性。h' ( x) 的绝对值越小，收敛性越好。因此，选 择 λ 使得 h ' ( x) 。计算得到理想的 λ 值为 λ = 1' ，相应 1 g ( x) 可计算出 g ( x) xg ' ( x) h( x ) = 1 g ' ( x)
1 g ' (0.5)
h( x ) =
1 g ' ( x)
代码为 n=0;eps=1.0e-5;x=0.5; while abs(x-(x+1)*exp(-x)/(1+exp(-x)))>eps x=(x+1)*exp(-x)/(1+exp(-x));n=n+1; end x,n 结果为x=0.5671,n=2,说明迭代2次后达到精度要求。
0.5672，
可算得迭代数列的前20项为9.0909 ，8.1900
7.2989 ， 6.4194 ， 5.5544 ， 4.7076，3.8844 ， 3.0933 ， 2.3487 1.6759 ， 1.1195 ， 0.7453，0.5902 0.5676 ， 0.5671 ，0.5671 ， 0.5671 ， 0.5671， 0.5671 ， 0.5671,说明迭代是收敛的。
牛顿迭代法求解方程
牛顿迭代法求解方程
牛顿迭代法是一种在数值分析中用于求解方程的方法。它通过不断逼近方程的根，从初始近似解开始迭代直到收敛为止。
牛顿迭代法求解方程的基本步骤如下：
1. 选择一个适当的初始近似解$x_0$。
2. 计算函数在$x_0$处的值$f(x_0)$和其导数$f'(x_0)$。
3. 使用切线近似替代原函数得到迭代公式：$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$。
4. 根据迭代公式计算下一个近似解$x_{n+1}$。
5. 判断是否达到迭代的要求，如果满足则停止迭代，否则返回第2步继续迭代。
6. 输出最终的近似解$x_{n+1}$。
需要注意的是，牛顿迭代法的收敛性取决于初始近似解的选择和方程本身的性质。对于某些方程可能存在多个根，或者初始近似解选择不当，可能会导致迭代失败或收敛速度较慢。
此外，牛顿迭代法也可以用于求解方程组的数值解。对于方程组的求解，迭代公式会有所不同，但基本思想和步骤相似。
实验五 用Newton法计算方程的根
五. 讨论分析
当初始值选取离零点较远时将导致算法无法使用，例如第三题，将初始值改为2就无法计算出结果了，显示如下
例如求020sin 35=-+-x x e x 的根，其中控制精度1010-=eps ，最大迭代次数40=M ,在steffensen 加速迭代方法的程序中，我们只需改动：it_max=40; ep=1e-10， 其余不变 。利用以上程序，我们只需输入：
phi=inline('exp(5*x)-sin(x)+(x)^3-20');
[x_star,index,it]=steffensen(phi,0.5)可得：
x_star = 0.637246094753909
index = 0
it = 41
观察上述结果，index = 0，it = 41表明迭代失败，所以使用以上方法估计的时候，应该尽量估计出解的范围，偏离不应过大，距离增加迭代次数增加，也有可能迭代失败
六. 改进实验建议
根据上述分析，我认为，应该先对函数作一个简图，方便知道解的大概位置，然后我们才将这个大概值代入Newton 法或者Steffensen 中进行求解。
当然，我们可以用其他数学软件实现Newton 迭代法，我们可以用z-z 超级画
板，其操作流程为：
牛顿迭代法的公式是：x n+1=x n-f(x n)/f'(x n)。
下面我们就用牛顿迭代法设计程序求方程f(x)=ln(x)+2*x-6的近似解。
（一）观察方程f(x)=0的零点位置
（1）显示坐标系的坐标刻度。
（2）作出函数y=ln(x)+2*x-6的图像，如下图所示：
牛顿迭代法
，称������2 为 r 的近似值。
重复以上过程，得 r 的近似值序列，其中 ������������ +1 =������������ r 的 n+1 次近似值。
上式则称为牛顿迭代公式。
用牛顿迭代法解非线性方程
它是把非线性方程 f(x)=0 线性化的一种近似方法。 把 f(x)在点������0 的某邻域内展开成泰勒级数 f(x)=f(������0 )+������
牛顿迭代法
牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优 点是在方程 f(x)=0 的单根附近具有平方收敛， 而且该 法还可以用来求方程的重根、 复根， 此时线性收敛， 但是可通过一些方法变成超线性收敛。另外该方法 广泛用于计算机编程中。
牛顿迭代公式
设 r 是 f(x)=0 的根，选取������0 作为 r 的初始近似值， 过点(������0 ,f(������0 ))做曲线 y=f(x)的切线 L， L 的方程为 y=f(������0 )+������ , (������0 )(x-������0 ),求出 L 与 x 轴的横 坐标������1 =������0 f ������ 0 ������ , ������ 0
一后逐步向某个位置逼近的方法称为迭代法。 迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递 推新值的过程，跟迭代法相对应的就是直接法（或 称为一次解法） ，即一次性解决问题。迭代算法是用 计算机解决问题的一种基本方法。它利用计算机运 算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对 一组指令（或一定步骤）重复执行，在每次执行这 组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出他 的一个新值。 利用迭代法解决问题，需要做好以下三个方面的 工作： 一、确定迭代变量 在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个 可直接或间接的不断由旧值递推出新值的变量， 这个变量就是迭代变量； 二、建立迭代关系式 所谓的迭代关系式，指如何从变量的前一个值递 推出其下一个值得公式（或关系） 。迭代关系式的 建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推 或倒推的方法来完成。 三、对迭代过程进行控制 在什么时候结束迭代过程？这时编写迭代程序必
牛顿迭代法演示
2011.12
概念
牛顿迭代法（Newton‘s method）是 牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数 域上近似求解方程的方法。
背景
多数方程不存在求根公式，因此求精 确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方 程的近似根就显得特别重要。 牛顿迭代法是求方程根的重要方法之 一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根 附近具有平方收敛。一般使用函数f(x)的 泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0 的根。
ຫໍສະໝຸດ Baidu
THE END
演示完毕，谢谢大家!
点（x0，f（x0））
循环往复，将无限接近于r
点（x1，f（x1））
r
xn +1 x2 x1 x0
x
编程实现 C语言
#include<stdio.h> #include<math.h> float f(float x) { return x*exp(x)-1;} float f1(float x) { return (1+x)*exp(x);} main() { float x0,x1,e; int k=1,n; printf("please input x0:"); scanf("%f",&x0); printf("please input e:"); scanf("%f",&e); printf("please input n:"); scanf("%d",&n); while(k<n) { if(f1(x0)==0) { printf("Error"); break; } else {x1=x0-f(x0)/f1(x0); if(fabs(x1-x0)<e) break; k=k+1; x0=x1; } } printf("the result is %f\n",x1); getch();}
牛顿迭代法的基本原理知识点
牛顿迭代法的基本原理知识点牛顿迭代法是一种求解方程近似解的数值计算方法，通过不断逼近方程的根，以获得方程的解。它基于牛顿法则和泰勒级数展开，被广泛应用于科学和工程领域。本文将介绍牛顿迭代法的基本原理和相关知识点。
一、牛顿迭代法的基本原理
牛顿迭代法的基本原理可以总结为以下几个步骤：
1. 假设要求解的方程为 f(x) = 0，给定一个初始近似解 x0。
2. 利用泰勒级数展开，将方程 f(x) = 0 在 x0 处进行二阶近似，得到近似方程：
f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)(x - x0) + 1/2 f''(x0)(x - x0)^2
3. 忽略近似方程中的高阶无穷小，并令f(x) ≈ 0，得到近似解 x1：
0 ≈ f(x0) + f'(x0)(x1 - x0) + 1/2 f''(x0)(x1 - x0)^2
求解上述方程，得到近似解 x1 = x0 - f(x0)/f'(x0)。
4. 通过反复迭代的方式，不断更新近似解，直到满足精度要求或收敛于方程的解。
二、牛顿迭代法的收敛性与收敛速度
牛顿迭代法的收敛性与收敛速度与初始近似解 x0 的选择和方程本身的性质有关。
1. 收敛性：对于某些方程，牛顿迭代法可能无法收敛或者收敛到错误的解。当方程的导数为零或者初始近似解离根太远时，迭代可能会发散。因此，在应用牛顿迭代法时，需要对方程和初始近似解进行合理的选择和判断。
2. 收敛速度：牛顿迭代法的收敛速度通常较快，二阶收敛的特点使其在数值计算中得到广泛应用。在满足收敛条件的情况下，经过每一次迭代，近似解的有效数字将至少加倍，迭代次数的增加会大幅提高精度。
数值分析实验五(二分法,牛顿迭代法)
实验五
一、实验目的与要求：
1、通过对二分法和牛顿迭代法作编程练习和上机运算，进一步体会它们在方程求根中的不同特点；
2、比较二者的计算速度和计算精度。
二、实验内容：
通过对二分法和牛顿迭代法作编程练习和上机运算，进一步体会它们在方程求根中的不同特点。
二分法
算法：给定区间[a,b]，并设与符号相反，取为根的容许误差，为的容许误差。
（1）令c=(a+b)/2
（2）如果(c-a)<或，则输出，结束；否则执行（3）
（3）如果，则令；否则则令，重复（1），（2），（3）。
牛顿迭代法
算法：给定初值 ， 为根的容许误差，为 的容许误差，N 为
迭代次数的容许值。
（1）如果 =0或迭代次数大于N ，则算法失败，结束；否则执行
（2）。
（2）计算 = - （3）若 < 或 < ，则输出 ，程序结束；否则执行（4）。
x 0εη)(x f )('
x f x 1x 0)()('0x x o f f x x 01-ε)(1x f ηx 1
x0x1
（4）令= ，转向（1）。
三、实验题目：
1、用二分法求方程f(x)=x^3+4*x*x-10在区间[1，1.5]上的根，要求求出具有3位有效数的近似根。
2、用牛顿法求方程x^3-3x-1=0在x=2附近的根。
四、程序：
一、二分法
#include<stdio.h>
float f(float x)
{
return x*x*x+4*x*x-10;
}
void main()
{
float a,b,c;
a=1.0;
b=1.5;
for(;b-a>=0.01;)
牛顿迭代法求解方程
牛顿迭代法求解方程
牛顿迭代法是一种用于求解方程的数值方法。该方法基于导数的概念，通过不断逼近函数曲线与 x 轴的交点来寻找解。牛顿迭代法的基本思想是从一个初始点开始，通过计算当前点处函数曲线的导数值，然后将当前点沿着曲线方向移动到与 x 轴交点更接近的位置，反复迭代直到找到一个满足精度要求的解。在本文中，我们将介绍牛顿迭代法的原理和应用，并通过实例来说明该方法的具体步骤。
一、牛顿迭代法的原理
牛顿迭代法的基本原理是利用函数的导数来逼近方程的解。设f(x) 是一个连续可导的函数，求解 f(x) = 0 的根。首先取一个初始点 x0，然后通过函数的导数 f'(x) 来逼近曲线与 x 轴的交点。根据导数的定义，我们可以得到函数在 x0 处的切线方程为：
y = f(x0) + f'(x0)(x - x0)
令切线与 x 轴的交点为 (x1, 0)，可得：
f(x0) + f'(x0)(x1 - x0) = 0
解得 x1 = x0 - f(x0)/f'(x0)。
将 x1 作为新的初始点，重复上述步骤，直到找到满足精度要求的解。即：
xn+1 = xn - f(xn)/f'(xn)
二、牛顿迭代法的步骤
牛顿迭代法的步骤如下：
1. 确定初始点 x0。
2. 计算函数 f(x) 的导数 f'(x)。
3. 计算 xn+1 = xn - f(xn)/f'(xn)。
4. 判断 |f(xn+1)| 是否小于给定的精度要求。如果满足要求，则迭代结束，找到近似解xn+1；否则，继续迭代，返回步骤3。
三、牛顿迭代法的应用举例
实验五-综合算法应用-教师版知识讲解
实验五程序设计常用算法
5.1实验要求与目的
1．熟悉和掌握算法以及算法的特性
2．熟练掌握结构化程序设计的三种基本结构
3. 掌握常用的数值算法（求最大公约数，迭代法、牛顿迭代法和二分法等）
4. 培养解决实际问题的能力
5.2实验指导
算法（Algorithm）是计算机解题的基本思想方法和步骤，算法被称为程序设计的灵魂，也是学习编程的必备知识。
学习和掌握算法，必须要十分清楚，输入什么数据，输出什么结果，采用什么结构以及如何合理安排语句等。通常使用自然语言、结构化流程图、伪代码等来描述算法。
利用计算机解决问题，首先要设计出适合计算机执行的算法，此算法包含的步骤必须是有限的，每一步都必须是明确的，最终能被计算机执行，而得到结果。
算法可分为两类：
1.数值运算算法。对问题求数值解，通过运算得出一个具体值，如求方程的根等，此
类算法一般有现成的模型，算法较成熟。
2.非数值运算算法。如用于事务管理领域，图书检索等。
根据实际问题设计算法时，还要尽量考虑用重复的步骤去实现，使算法简明扼要，通用性强，不仅能减少编写程序的时间，减少上机输入和调试程序的时间，还能减少程序本身所占用的内存空间。
算法应具有以下的特性：
1.有穷性：一个算法应包含有限的操作步骤而不能是无限的。
2.确定性：算法中每一个步骤应当是确定的，而不能具有二义性。
3.有零个或多个输入：通常，处理的数据对象需要从外界通过输入来获得数据。
4.有一个或多个输出：算法的目的就是得到结果，将其结果输出。没有输出的算法是无意义的。
5.有效性：算法中每一个步骤应当能有效地执行，并得到确定的结果。
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1）实验目的
•熟悉Matlab编程；
•学习非线性方程求根的方法及程序设计算法
2）实验题目
1、迭代函数对收敛性的影响
实验题目
用迭代法求方程的根
。
方案1：化方程为等价方程
取初值，迭代10次。
方案2：化为等价方程
取初值，迭代10次，观察其计算值，并加以分析。实验程序：
实验结果:
方案一收敛很快，偏差和偏差的相对误差几乎为零；方案二不收敛
由此可见，迭代序列的敛散性与迭代公式有关，也与相邻两次迭代的偏差和偏差的相对误差有关，他们的值越小，迭代序列的收敛速度越快。
2、初值的选取对迭代法的影响
实验题目
用牛顿法求方程在x=1.5 附近的根。
方案1：使用牛顿法并取，由
得
迭代10次。
方案2：取，使用同样的公式
迭代10次，观察比较并分析原因。
实验程序：
实验结果：
3.收敛性与收敛速度的比较
实验题目
求方程的全部实根,
方案1：用牛顿法求解；
方案2：用简单迭代法；
取相同迭代初值，比较各方法的收敛速度。
实验程序：
1．普通迭代，选用初值0.5
2.牛顿迭代法
实验结果：
实验结果分析与小结
通过本次试验：
1:迭代函数会影响到迭代的收敛性，所以得到方程的近似解，迭代时必须选择收敛的迭代函数。
2只要迭代收敛,迭代初值的选取不会影响迭代的最终结果，不过如果初值越接近准确解，所需迭代次数越少。