205 电磁感应一

时（忽略空气阻力），则[ ]。

A.振幅不变
B.振幅先减小后增大
C.振幅会逐渐加大
D.振幅会逐渐减小
答案：[D]
解：楞次定律。

当磁铁在闭合导线圈内作振动时，穿过线圈的磁场变化，在线圈中产生感生电动势，在闭合线圈中有感生电流。

这一电流又产生磁场，但总是阻碍由于磁铁的振动而引起的穿过线圈的磁场的变化。

弹簧与磁铁组成的振子的振动能量会逐渐减小，因此，振幅会逐渐减小。

振子会损失能量，损失的能量，通过线圈中的感生电流转化为焦耳热。

ω 例1 如图所示，在均匀磁场B 中，有一半径为R 的导体圆盘，盘面与磁场方向垂直，当圆盘以匀角速度ω绕过盘心的与B 平行的轴转动时，盘心O 与边缘上的A 点间，其电势差A
O U U -等于[ ]。

A.B R 221ω
B. B R 22
1ω-
C. B R 241ω
D. B R 241ω- 答案：[B]
解：由于导体圆盘，相当于有无数多由盘心到盘边的直导线绕盘心O 转动，切割磁场线，因此，会在盘心O 与盘边产生动生电动势。

在OA 上，距盘心r 处取线元r d l d =，它所产生的动生电动势为 r d B v l d B v d O A ⋅⨯=⋅⨯=)()(ε 由图可见，v 与B 垂直、)(B v ⨯与r d 方向相同，所以
rBdr vBdr r d B v d O A ωε==⋅⨯= )(
)
(202
1BR Brdr Brdr r d B d R
OA OA OA OA OA ωωωνεε===⋅⨯==⎰⎰⎰⎰ 电动势的方向为低电势指向高电势，即 221BR U U O A OA ωε=-=，221BR U U A O ω-=-
3 如图所示，一长度为l 的直导线ab 在均匀磁场B →中以恒定速
度ν→移动，直导线ab 中的动生电动势为 。

答案：0 解：取取线元l d ，则 l d B v d ab ⋅⨯=)(ε 由于v 与B 共面（平行于纸面），则)(B v ⨯垂直于纸面，而l d 也平行于纸面，所以
0=ab d ε，0===⎰⎰ab
ab ab ab ab d d εεε
4长直导线通有电流A I 5=，在其附近有一导线棒ab ，cm l 20=，
离长直导线距离cm d 12=（如图所示）当它沿平行于直导线的方向
以速度110-⋅=S m v 平移时，导线棒中的感应电动势多大？哪端的
电势高？（导线棒与长直导线共面且垂直） 解：如图，建立直角坐标系，取线元i dx l d =，则 j v v =
无限长载流直导线，产生的磁场为（在棒ab 处）
k x I k x I B πμπμ2)(00-=-= 则线元i dx l d =的动生电动势为 dx x
I v i dx i x
I v i dx k x
I j v l
d B v d ab πμπμπμε2)2()2()(000-=⋅-=⋅⨯-=⋅⨯= 整个金属棒中感应电动势为
)(V d d l I dx x I v
d l d d
ab ab ab 5001098.0ln 22-+⨯-=+-=-==⎰⎰πνμπμεε 由于0<-=a b ab U U ε，所以，a 端电势高。

5 如图所示，长直导线中通有电流6I A =，另一矩形线圈与长直导线共面共10匝，宽10a cm =，长20L cm =，以12m s ν-=⋅的速度向右运动，求：10d cm =时线圈中的感应电动势。

解1：动生电动势。

将矩形导体框看成4段导体棒，则每
个棒都在无限长载流直导线产生的磁场中运动，都有可能
有动生电动势，总的电动势是每段动生电动势的代数和。

如图，建立直角坐标系，则 i v v =
无限长载流直导线，产生的磁场为（在棒bcef 处）
k x I k x I B πμπμ2)(00-=-= 线元j dy l d =1的动生电动势为
dy d
I v j dy j d I v j dy k d I i v l d B v d bc πμπμπμε2)2()2()(0001=⋅=⋅⨯-=⋅⨯= L d
I dx d I v d L
bc bc bc πνμπμεε22000===⎰⎰ 线元i dx l d =2的动生电动势为
0)2()2()(002=⋅=⋅⨯-=⋅⨯=i dx j x I v i dx k x I i v l d B v d ce πμπμε，0=ce ε 线元j dy l d =3的动生电动势为
dy a d I v j dy j a d I v j dy k a d I i v l d B v d fe )
(2))(2())
(2()(0003+=⋅+=⋅+⨯-=⋅⨯=πμπμπμε
L a d I dx a d I v d L fe fe fe )
(2)(2000+=+==⎰⎰πνμπμεε,L a d I fe ef )(20+-=-=πνμεε 线元i dx l d =4的动生电动势为
0)2()2()(004=⋅=⋅⨯-=⋅⨯=i dx j x
I v i dx k x I i v l d B v d bf πμπμε 0=bf ε,0=-=bf fb εε 以顺时针方向为线框中电动势的正方向，则
)11(20)(202000a d d L I L a d I L d I fb ef be bc +-=++-+=+++=πνμπνμπνμεεεεε 线圈共有N 匝，所以，电动势为
)(104.2)11(250V a
d d L I N N E -⨯=+-==πνμε 解2：感生电动势。

由于无限长载流导线产生的磁场与场
点到导线的距离成反比，线圈在移动的过程中，穿过线圈
平面的磁通量发生变化，因此在线圈中产生感生电动势。

如图，建立直角坐标系。

设t 时刻bc 边距离载流直导
线)(t l ，感生电动势的正方向为顺时针方向，即取磁通量
的正方向垂直纸面向里。

则速度
t
d t dl v )(= 无限长载流直导线，产生的磁场为（在棒bcef 处）
k x
I k x I B πμπμ2)(00-=-= 取t 时刻dx x x +→的面积元)(k Ldx S d -=，则穿过单匝线圈中S d 的磁通量为
dx x
LI k Ldx k x I S d B d πμπμ2)(200=-⋅-=⋅=Φ 穿过单匝线圈的磁通量为 )()(ln 220)()
(0t l a t l LI dx x LI S d B d a t l t l +==⋅=Φ=Φ⎰⎰⎰+πμπμ 由法拉第电磁感应定律，得到单匝线圈产生的电动势为
v a
t l t l LI t d t dl t l a t l LI t l a t l t d d LI t d d ])(1)(1[2)(])(1)(1[2])()([ln 2000+-=-+-=+-=Φ-
=πμπμπμε 当d t l =)(时，总电动势为
)(104.2]11[250V v a d d LI N N E -⨯=+-==πμε
解3：线框的上下两条边不切割磁力线，所以不产生感应电动势，只有左右两条边切割磁力线产生感应电动势，在cm d 10=时，设左边处的磁感应强度为1B ，右边处为2B ，则此时线框中的磁感应电动势为：
[]()V a d d ILv N Lv a d I Lv d
I N Lv B Lv B N 500021104.211222-⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-=πμπμπμε6 如图所示，一长方形平面金属线框至于均匀磁场中，磁
场方向与线框平面法线的夹角为030α=，磁感应强度
0.5B T =，可滑动部分cd 的长度为0.2L m =，以
11m s ν-=⋅的速度向右运动，求线框中的感应电动势。

解1：动生电动势。

cd 段导体棒在匀强磁场中运动，产生
动生电动势。

cd 段导体棒上的动生电动势等于线圈中的
电动势。

线元cd l d 的动生电动势为 cd cd cd cd dl vB l d vB l d B v d ααπεcos )]sin([)(=⋅-=⋅⨯=
)(0866.0cos cos 0
V vBL dl vB L
cd cd cd cd =====⎰⎰ααεεε
解2：感生电动势。

cd 段导体棒运动，矩形导体线圈的面积变化，穿过线圈的磁通量变化，在线圈中产生感生电动势。

如图，建立直角坐标系。

设t 时刻cd 边距离载流直导线)(t l ，感生电动势的正方向为顺时针方向，即取磁通量的正方向垂直纸面向里。

取t 时刻dx x x +→的面积元S d ，则穿过线圈中S d 的磁通量为 dx BL BdS S d B d ααπcos )cos(-=-=⋅=Φ
穿过线圈的磁通量为
ααcos )(cos )(0
t BLl dx BL d t l -=-=Φ=Φ⎰⎰
由法拉第电磁感应定律，得到单匝线圈产生的电动势为
)(0866.0cos cos )(]cos )([V BLv t
d t dl BL t BLl t d d t d d ===--=Φ-=αααε 解3：对产生电动势起作用的是垂直于速度的磁场分量ε
V BLV LV B i 0866.0cos ===⊥αε
7 将尺寸完全相同的铜环和木环适当放置，使通过两环中的磁通量的变化率相等。

问：在两环中是否产生相同的感应电场和感应电流？
答：会产生相同的感应电场，但在铜环中会有感应电流产生，而在木环中没有感应电流产生。

因为铜是导体，而木头不是。