运用简捷方法绘制剪力图和弯矩32Mx

力图的基本规律。
6.3.2 M(x)、FQ(x)与q(x)之间的关系在绘制内力图时的应用 1）梁上某段无分布荷载作用，即q(x)= 0
q(x)= 0
FQ图
FQ﹥0
FQ= 0
FQ ﹤0
M图
内力图规律
1）在无分布荷载作用的一段梁上，该梁段内各横 截面上的剪力FQ(x)为常数，剪力图为平行于x轴 的一条水平直线，弯矩图为斜直线，且斜直线的 斜率等于该段梁上的剪力。
M (kN.m)
弯矩极值的计算
160kN.m A
C 2m RA=72kN 72
5.6xm
16
20kN/m
20kN
B
D
8m
2m
RB=148kN
60
E
20
FQ (kN)
88 80
144 113.6
M (kN.m)
2）梁上某段有均布荷载作用，即q (x)= 常数C
q<0
q>0
FQ 图 M图
抛物线
FQ= 0的截面，弯矩有极值，即必有Mmax 或 Mmin
FQ图 M图
Mmax
内力图规律
2）在有均布荷载作用的一段梁上，q(x)=常数≠0， 剪力图为一斜直线，弯矩图是二次抛物线。若某截 面上的剪力FQ(x)=0，则该截面上的弯矩必为极值。
RB=148kN
FQB右 72 20 8 148 60 kN
60
FQD左 20 kN
20
FQ图 (kN)
88
M C左 72 2 144 kN.m
80 MC右 72 2-160 -16 kN.m
M B -20 2-20 21 -80kN.m
113.6
4）连线：据各梁段的内力图形状，分别用直线和曲线将各 控制点依次相连，即得内力图。
例6.11 用简捷法作图示梁的剪力图和弯矩图。
F
A
C
a
b
FAb
l
l Fb
l
Fa l
B
解：
FFaB l
FA

Fb l
,
FB

Fa l
FQ图 M图
Fab l
例6.12 用简捷法作图示梁的剪力图和弯矩图。
q A
FA
l
ql
教学目标
1、掌握梁在不同外荷载作用下的内力变化规律； 2、能够根据梁的内力规律用简捷法快速绘制梁的内力图。
目录
6.3.1 M(x)、FQ(x)与q(x)之间的关系 6.3.2 M(x)、FQ(x)与q(x)之间的关系在绘制内力图时的应用
6.3 弯矩、剪力与分布荷载集度之间的关系
6.3.1 M(x)、FQ(x)与q(x)之间的关系
3）集中力荷载作用处
F
F
F｛
｛F
突变量F
FQ图
M图
尖角
内力图规律
3）在集中力作用处的左、右两侧截面上，剪力有突 变，突变值等于集中力的数值；两侧截面上的弯矩 值相等，但是由于两侧的剪力值不同，所以弯矩图 在集中力作用处两侧的斜率不相同，弯矩图发生转 折，出现尖角，尖角的指向与集中力的指向相同。
根据剪力方程和弯矩方程作FQ、M图是作内力图的基本方 法。当梁上荷载沿梁轴线变化较多时，根据内力方程作 图将很麻烦。
多数情况下，将利用M、FQ和q的微分关系得出的若干规律 作内力图的简捷方法。
分段——两点、两面 两点——分布荷载的起点和终点 两面——集中力(包括支反力)、集中力偶作用的截面
RA=72kN （↑）
M A 0, RB 10 160 20 10 7 20 12 0
RB=148kN （↑）
160kN.m A
C 2m RA=72kN 72
x=5.6
16
144
20kN/m 8m
20kN
2.作剪力图和弯矩图
B
D
2m FQB左 72 20 8 88 kN
1、绘制各种外力作用下剪力图、弯矩图的基本规律
dFQ (x) q(x) dx
dM (x) dx

FQ
(x)
d
2M (x) dx2
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dFQ (x) dx

q(x)
阐明了剪力、弯矩和荷载集度之 间的关系。
设x轴向右为正，剪力向上为正向下为负，正的剪力图画在x
轴上方，正的弯矩画在x轴下方，即得各种形式荷载作用下内
求出各分段截面处的内力，按微分关系作图。
简捷法绘制内力图的一般步骤：
1）求支座反力。 2）分段：凡外力不连续处均应作为分段点，如集中力、集中 力偶作用处，支座处、均布荷载两端点等。
3）定点：据各梁段的内力图形状，选定控制截面。用截面 法求出这些控制截面的内力值，按比例绘出相应的内力竖标 ，便定出了内力图的各控制点。

dFQ (x) dx

q(x)
dFQ (x) q(x) dx
dM (x) dx FQ (x)
d 2M (x) dx2

dFQ (x) dx

q(x)
说明： （1）此即适用于平面载荷作用情形 的平衡微分方程。
（2）根据上述微分方程，由 载荷变 化规律，即可推知内力FQ 、M 的变 化规律。
2
ql 2 8
B
FB
FQ图
ql 2
M图
解：
1. 支反力计算
FA

FB

ql 2
2. 作FQ、M 图
例6.13 用简捷法作图示梁的剪力图和弯矩图。
160kN.m
A C
2m
RA=72kN
20kN/m 8m
20kN
B 2m
RB=148kN
解： 1. 支反力计算
M B 0, RA 10 160 20 10 3 20 2 0
Fy 0
yF
q(x)
O
FQ (x) q(x) dx FQ (x) dFQ (x) 0
x
dx
x
MC 0
0

FQ
(
x)

dx

M
(
x
)
-
q
(
x
)

dx

1 2
dx

M
(
x
)

dM
(
x)

0
dFQ (x) q(x) dx
dM (x) dx

FQ
(x)
d
2M (x) dx2
（3）要明确各式的物理意义。
物理意义：
1）FQ图上各点的斜率等于梁上对应位置处的分布载荷集度。 2）M图上各点的斜率等于梁上对应截面上的剪力值。当剪力 FQ =0时，弯矩图在对应截面处产生极值。
3）由q的正负判断M图的凹凸性。
6.3.2 M(x)、FQ(x)与q(x)之间的关系在绘制内力图时的应用
4）集中力偶作用处
Me
Me
FQ 图 M图
无影响 突变Me
内力图规律
4）集中力偶作用的左、右两侧截面上，剪力相等； 弯矩发生突变，突变值等于集中力偶的数值。
5）自由端及铰结点处，弯矩M=0
教材上表6-2要求掌握。
6.3.2 M(x)、FQ(x)与q(x)之间的关系在绘制内力图时的应用
2、运用简捷方法绘制剪力图和弯矩图