2019年高二数学下学期期末模拟试卷及答案(四)(理科)

2019年高二数学下学期期末模拟试卷及答案（四）（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．直线1,1x t y =+⎧⎪⎨=-⎪⎩的斜率为（ ）．A ．1 B ．1- C D ．【答案】C【解析】由1,1x t y =+⎧⎪⎨=-⎪⎩，可得1y ， 斜率k故选C ．2．用反证法证明命题”时，假设正确的是（ ）．ABCD【答案】D【解析】反证法的假设是结论的反面．故选D ．3．某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，学校学生会用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取数名学生进行问卷调查．如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为（ ）．A ．10B ．9C ．8D ．7【答案】A【解析】设高三抽取x 人， 由此例可7210300x=，10x =． 故选A ．4．已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，且(4)0.8P ξ<=，则(02)P ξ<<=（ ）．A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.6【答案】B【解析】∵随机变量x 服从正态分布2(2,)N σ，2μ=，即对称轴是2，(4)0.8P ξ<=，∴(4)(0)0.2P P ξξ=<=≥， ∴(04)0.6P ξ<<=，∴(02)0.3P ξ<<=． 故选B ．5．用数学归纳法证明4221232n n n +++++=，则当1()n k n =+∈N *时，等式左边应在n k =的基础上加上（ ）．A ．21k +B ．2(1)k +C ．42(1)(1)2k k +++D ．2222(1)(2)(3)(1)k k k k ++++++++【答案】D【解析】当n k =时，左侧2123k =++++，当1n k =+时，左侧222123(1)(1)k k k =+++++++++，所以当1n k =+时，左端应在n k =的基础上加上2222(1)(2)(3)(1)k k k k ++++++++．故选D ．6．从分别标有1，2，，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（ ）．A ．818B ．49C ．59D ．79【答案】C【解析】9张卡牌中共有5个奇数牌，4个偶数牌， 所以抽取两次共有9872⨯=种基本事件，其中满足卡片上数字奇偶性不同共有4554202040⨯+⨯=+=种基本事件， 故抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是405729=． 故选C ．7．为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为y bx a =+．已知101225i i x ==∑，1011600i i y ==∑，4b =．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高约为（ ）．A ．170B ．166C ．163D ．160【答案】B【解析】由题意得22.5x =，160y =，y bx a =+过点(22.5,160)，又∵4b =，∴16022.54a =⨯+，解出70a =， ∴470y x =+， 当24x =时，42470166y =⨯+=．故选B ． 8．学校举行“好声音”歌曲演唱比赛，五位评委为学生甲打出的演唱分数茎叶图如图所示，已知这组数据的中位数为86，则这组数据的平均数不可能为（ ）．A ．4185B ．4245C ．85D ．4275【答案】A【解析】由题意69x ≤≤，当6x =时，平均数为1424(7983868690)55++++=， 当9x =时，平均数为1427(7983868990)55++++=， 即平均数在424427,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦区间内，A 项排除． 故选A ．9．若实数a ，b 满足221a b +≤，则关于x 的方程220x x a b -++=有实数根的概率是（ ）．A ．14B ．34C ．3π24π+ D ．π24π- 【答案】C【解析】根的判别式2(2)41()0a b ∆=--⨯⨯+≥， ∴10a b +-≤，在平面直角坐标系中，作出约束条件，22110a b a b ⎧+⎨+-⎩≤≤，所表示的平面区域如图所示，阴影部分面积为：221131π1π11π4242⎛⎫⨯--⨯⨯=+ ⎪⎝⎭，所求概率31π3π242π4πP ++==．10．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问数学模块的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ）．A ．乙可以知道两人的成绩B ．丁可以知道两人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩【答案】D【解析】由题知四人中2位优秀，2位良好，且甲在得知乙、丙的成绩后不能判断出自身成绩，所以乙和丙成绩不同，一人优秀一人良好，乙知道丙的成绩， 则根据甲所说，乙可知道自己成绩， 丁知道甲的成绩，则可判断自己成绩．故选D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把答案填在题中横线上．11．已知双曲线2221(0)y x b b-=>的离心率为2，那么它的焦点坐标为__________，渐近线方程为__________．【答案】(2,0)-和(2,0)y =【解析】∵已知21a =，2c e a==，则b ∴2c =，焦点坐标为(2,0)-，(2,0)，双曲线方程为2213y x -=，渐近线为y =．12．在极坐标系中，直线cos 10ρθ+=与圆2sin ρθ=的公共点的个数为__________． 【答案】1【解析】极坐标系中，直线cos 1ρθ=-，在直角坐标系中为1x =-， 圆2sin ρθ=，两边同乘ρ得：22sin ρρθ=， 在直角坐标系中变为222x y y +=，即22(1)1x y +-=， 圆心(0,1)到直线1x =-的距离d r =， 即圆与直线相切，两者只有1个公共点．13．观察下列等式：(11)21+=⨯2(21)(22)213++=⨯⨯3(31)(32)(33)2135+++=⨯⨯⨯按此规律，第n 个等式可为__________． 【答案】(1)(2)()213(21)n n n n n n +++=⨯⨯⨯-【解析】由观察类比推理可解．14．学校安排6名同学参加两项不同的志愿活动，每位同学必须参加一项活动且不能同时参加两项，每项活动最多安排4人，则不同的安排方法有__________种．（用数字作答） 【答案】50【解析】由题知，6名同学分成两组，其中一组2人，另一组4人， 或一组3人，另一组3人，当一组2人，另一组4人时，安排方法有2262C A 30=种， 当一组3人，另一组3人时，安排方法有226222C A 20A ⨯=种，一共有302050+=种．15．4234512345(1)x mx a x a x a x a x a x -=++++中26a =-，则实数m 的值为__________，12345a a a a a ++++值为__________．【答案】32116【解析】由题意4(1)mx -的展开式的通项为14()C r r rr T m x +=-，令1r =，得246a m =-=-， ∴32m =，在展开式中，令1x =，得412345311216a a a a a ⎛⎫-=++++= ⎪⎝⎭．16．已知向量(,)a m n =，向量(,)b p q =，（其中m ，n ，p ，q ∈Z ）． 定义：(,)a b mp nq mq np ⊗=-+．若(1,2)a =，(2,1)b =，则a b ⊗=__________；若(5,0)a b ⊗=，则a =__________，b =__________（写出一组满足此条件的a 和b 即可）． 【答案】(0,5)(2,1)(2,1)-【解析】（1）令1m =，2n =，2p =，1q =， ∴0mp nq -=，5mq np +=,(0,5)a b ⊗=．（2）∵(5,0)a b ⊗=， ∴50mp nq mq np -=⎧⎨+=⎩，①又∵||5a <，||5b <，∴22222525m n p q ⎧+<⎪⎨+<⎪⎩，∴m ，n ，p ，q ∈Z ，∴2m =，1n =，2p =，1q =-是方程组①的一组解， ∴(2,1)a =，(2,1)b =-．三、解答题：本大题共5小题，每小题14分，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14．（1）设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和均值． （2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． 【答案】（1）分布列为：均值()12E x =．（2）1148．【解析】（1）x 取0，1，2，3， 1231(0)2344P X ==⨯⨯=，11312112311(1)23423423424P X ==⨯⨯+⨯++⨯⨯=，1211131111(2)2342342344P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，1111(3)23424P X ==⨯⨯=．X 的分布列为：均值11()0123424424E X =⨯+⨯+⨯+⨯，1312=． （2）设甲遇到1个红灯，乙不遇到红灯为事件A ，1112311()2423496P A ⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭， 设甲不遇到红灯，乙遇到1个红灯为事件B ，1112311()2423496P B ⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭， 111111()()969648P A P B +=+=．18．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，侧面PAB 是边长为2的正三角形，侧面PAB ⊥底面ABCD ．（1）设AB 的中点为Q ，求证：PQ ⊥平面ABCD ． （2）求斜线PD 与平面ABCD 所成角的正弦值．（3）在侧棱PC 上存在一点M ，使得二面角M BD C --的大小为60︒，求CMCP的值．【答案】（1）见解析．（2．（3）25．【解析】（1）证明：∵侧面PAB 是正三角形，AB 中点为Q ， ∴PQ AB ⊥，∵侧面PAB ⊥底面ABCD ， 侧面PAB 底面ABCD AB =，PQ ⊂侧面PAB ，∴PQ ⊥平面ABCD ．（2）连接AC ，设AC BD O =点，以O 为原点，OB ，OC 过O 点且垂直于平面ABCD 的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，(0,0,0)O，B ，(0,1,0)C，(D，12P -⎝，1,2PD ⎛= ⎝， 平面ABCD 的法向量(0,0,1)m =， 设斜线PD 与平面ABCD 所成角为α，则sin |cos ,|||||27m PDm PD m PD ⋅====⋅．（3）设33,2CMtCP t ⎛⎫==- ⎪⎪⎝⎭， 3,2Mt ⎫--⎪⎪⎝⎭，332BM t ⎛⎫=-+ ⎪⎪⎝⎭， DB =，设平面MBD 的法向量为(,,)nx y z =， ∴n DB ⊥，n MB ⊥，0031002x n DB x t y n MB =⎧⎧⋅=⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎛⎫+-+=⋅=⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎝⎩， 取z 60,32tn t ⎛= -⎝， 又∵平面ABCD 的法向量(0,0,1)m =， ∴cos cos60||||m nm n m n ⋅=⋅=︒， 12=，解出2t =（舍去）或25t =，此时25CM CP =．19．已知函数()ln (1)f x x a x =+-，a ∈R ．（1）当1a =-时，求()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程．（2）若存在0(0,)x ∈+∞，使得0()22f x a -≥成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）220y x -+=．（2）(],1-∞．【解析】（1）∵()ln 1f x x x =+-，(1)ln1110f =+-=，1()1f x x'=+，(1)112f '=+=， ∴()f x 在(1,0)的切线方程为2(1)y x =-， 整理得220y x -+=．（2）∵0(0,)x ∃∈+∞，使得0()22f x a -≥， ∴00ln 22x a ax a +--≥， ∴00(12)2ln a x x ----≥，00(1)2ln a x x ++≤， 002ln 1x a x ++≤，令2ln ()(0)1xf x x x+=>+， 211(1)(2ln )ln 1()(1)(1)x x x x x f x x x 2+-+--'==++．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(2,0)A．（1）求椭圆C 的方程．（2）过点(1,0)D 作直线l 与C 交于P ，Q 两点，连接直线PA ，QA 分别与直线3x =交于M ，N 两点．若APQ △和AMN △的面积相等，求直线l 的方程．【答案】（1）2214x y +=．（2）1x =和1x =+和1x =-+．【解析】（1）∵ce a==且椭圆过(2,0)A ， 2221a =， ∴24a =，23c =，2221b a c =-=，∴椭圆为2214x y +=．（2）当直线l 斜率不存在时，APQ △与AMN △关于点A 对称，APQ AMN S S =△△，当直线l 斜率存在时，设直线l 为1x ky =+，设P 点坐标11(,)x y ，22(,)Q x y ，联立22141x y x ky ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，∴22(1)44ky y ++=，22(4)230k y ky ++-=，∴12224k y y k -+=+，12234y y k -=+， 12284x x k +=+，2122444k x x k -+=+，∴1211||2APQ S y y =⨯⨯-△，=， ∵(2,0)A ，11(,)P x y ，22(,)Q x y ， ∴直线AP 的斜率1112y k x =-，直线AP 方程为：11(2)2yy x x =--， 当3x =时，112M yy x =-，直线AQ 的斜率2222y k x =-， 直线AQ 的方程为：22(2)2y y x x =--， 当3x =，222N y y x =-， ∴121211||12222AMN y yS MN x x =⨯⨯=⨯---△， ∵APQ AMN S S =△△，联立解出k =±综上，直线方程有1x =和1x =-+和1x =+．21．由1，2，，n 排列而成的n 项数列{}n a 满足：每项都大于它之前的所有项或者小于它之前的所有项．（1）满足条件的数列中，写出所有的单调数列． （2）当4n =时，写出所有满足条件的数列．（3）满足条件的数列{}n a 的个数是多少？并证明你的结论． 【答案】（1）{}n a n =，{}n a n =，(1)n -，(2)n -，．（2）①1，2，3，4 ②2，1，3，4③3，2，1，4④2，3，1，4⑤4，3，2，1 ⑥3，2，4，1⑦3，4，2，1⑧2，3，4，1．（3）12n -个．【解析】（1）（2）题由题目定义即可解出．（3）设所求个数为n A ，则11A =， 对1n >，若n 排在第i 位，则它之后的n i -位数完全确定， 只能是n i -，1n i --，，2，1． 而它之前的(1)i -位，1n i -+，2n i -+，，1n -有1i A -种排法， 令1i =，2，，n ， 则1211n n n A A A A --=++++， 121(1)n n A A A --=++++， 1112n n n A A A ---=+=，∴12n n A -=．。