图形结构(Graphs).共78页
合集下载
graph的复数形式
graph的复数形式什么是graph在计算机科学中，图（graph）是一种非常重要的数据结构。
图由节点（vertex）和边（edge）组成，节点表示对象，边表示对象之间的关系。
图可以用来解决许多实际问题，比如社交网络分析、路线规划、电子商务推荐等。
graph的复数形式“graph”一词是一个可数名词，它的复数形式是”graphs”。
当我们需要描述多个图时，就可以使用”graphs”这个词。
例如，在一个大型社交网络中，有许多不同的图。
每个图代表一个用户或者一组用户之间的关系。
我们可以说：“这个社交网络中有很多graphs”。
图的种类在计算机科学中，有许多不同类型的图。
下面介绍几种常见的图类型：1. 无向图（Undirected Graph）无向图是最简单的图类型之一。
它的边没有方向性，意味着从一个节点到另一个节点可以沿着任意方向移动。
2. 有向图（Directed Graph）有向图也被称为有向网络或有向关系。
它的边具有方向性，意味着从一个节点到另一个节点只能沿着特定方向移动。
3. 加权图（Weighted Graph）加权图是指每条边都有一个与之相关联的权重或者成本。
这些权重可以表示节点之间的距离、时间、成本等。
4. 无环图（Acyclic Graph）无环图是指不存在回路或环的图。
换句话说，从一个节点出发，沿着任意路径都不会回到起点。
5. 有环图（Cyclic Graph）有环图是指存在至少一个回路或环的图。
从一个节点出发，沿着某些路径可以回到起点。
图的应用图在许多领域中被广泛应用，包括计算机科学、网络分析、运输规划等。
下面介绍一些常见的应用场景：1. 社交网络分析社交网络分析使用图来研究人际关系和社交网络结构。
通过构建用户之间的关系图，可以分析用户之间的联系强度、社群结构以及信息传播路径。
2. 路线规划在地理信息系统中，使用图来进行路线规划是一种常见方法。
通过将道路和交叉口表示为节点，并将道路连接表示为边，可以使用各种算法找到最短路径或最快路径。
图形结构
1 对无向图若存在(Vi ,V j )边，对有向图若存在 Vi ,V j 边 A[i, j ] 反之 0
无向图的邻接矩阵
A ○
A
B
C
D
B ○ D ○
C ○
0 1 A 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 A 1 B 1 C 0 D
有向图的邻接矩阵
无向图的邻接表
A ○
VA
C ○
B A A A
C C B B
D D D C
∧ ∧ ∧ ∧
B ○ D ○
VB
VC
VD
有向图的邻接表
A ○
VA VB
B C B ∧ ∧
C
∧
B ○
C ○ VC
邻接表的若干说明
• 邻接表中每个表结点均由两个域组成，一个是 邻接点域(adjvex)，用以存放与顶点Vi相邻接 的顶点在图中的位置；其二是链域(next)，用 以指向依附于顶点Vi的下一条边所对应的结点。 • 如果用邻接表存放网络中的信息，则还需要在 结点中增加一个存放权值的域。 • 在每个链表设一表头结点，一般这些表头结点 本身以向量的形式存储。
图的基本术语(4)
强连通图与强连通分量：在有向图中, 若对于每一 对顶点v和v’, 都存在一条从v到v’和从v’到v的 路径, 则称此图是强连通图。有向图中极大强连通 子图叫做强连通分量。例子见P61 。 生成树：一个连通图的生成树是一个极小连通子图， 它含有图中全部顶点，但只有足以构成一棵树的n1条边。如果一个有向图恰有一个顶点的入度为0， 其余顶点的入度为1，则是一棵有向树。一个有向 图的生成森林是由若干棵有向树组成，含有图中全 部顶点，但只有足以构成若干棵不相交的有向树的 弧。
无向图的邻接矩阵
A ○
A
B
C
D
B ○ D ○
C ○
0 1 A 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 A 1 B 1 C 0 D
有向图的邻接矩阵
无向图的邻接表
A ○
VA
C ○
B A A A
C C B B
D D D C
∧ ∧ ∧ ∧
B ○ D ○
VB
VC
VD
有向图的邻接表
A ○
VA VB
B C B ∧ ∧
C
∧
B ○
C ○ VC
邻接表的若干说明
• 邻接表中每个表结点均由两个域组成，一个是 邻接点域(adjvex)，用以存放与顶点Vi相邻接 的顶点在图中的位置；其二是链域(next)，用 以指向依附于顶点Vi的下一条边所对应的结点。 • 如果用邻接表存放网络中的信息，则还需要在 结点中增加一个存放权值的域。 • 在每个链表设一表头结点，一般这些表头结点 本身以向量的形式存储。
图的基本术语(4)
强连通图与强连通分量：在有向图中, 若对于每一 对顶点v和v’, 都存在一条从v到v’和从v’到v的 路径, 则称此图是强连通图。有向图中极大强连通 子图叫做强连通分量。例子见P61 。 生成树：一个连通图的生成树是一个极小连通子图， 它含有图中全部顶点，但只有足以构成一棵树的n1条边。如果一个有向图恰有一个顶点的入度为0， 其余顶点的入度为1，则是一棵有向树。一个有向 图的生成森林是由若干棵有向树组成，含有图中全 部顶点，但只有足以构成若干棵不相交的有向树的 弧。
第六章图论Graph
Mixed graph
2.3 图中的基本术语 1. 设 G = (V, E) 是无向图。
1) 任取 eE，若 e = {vi , vj}，则称 vi , vj 是 e 的端点。并称
e 与 vi , vj 关联。
2) 任取vi , vj V，若 {vi , vj}E，则称 vi , vj 相邻。
3) 任取 ei，ej E，若 ei，ej 有公共的端点，则称 ei，ej 邻接。 4) 以同一结点为两个端点的边称为自环。 5) 若 ei，ej 有相同的两端点，则称 ei，ej 是平行边。 6) 若 G 中有平行边，则称 G 为多重无向图。 7) 若 G 中无平行边，无自环，则称 G 为简单无向图。
i1
i1
其中 ∣V∣= n，∣E∣= m。
证：由于每条有向边都对应一个入度和一个出度，如一个结点 具有一个出度（或入度），则它必关联一条有向边，并通过此有 向边与另一结点相邻，且为此结点提供一入度（或出度）。所以 在有向图中，入度之和等于出度之和，并等于边数。即有
n
n
de(v g)de(v g)m
i1
定义8 设 G = (V, E)是简单有向图。若E=(VV)\{(v,v)|vV}， 则称 G 为有向完全图。
在 n 个结点的有向完全图中，每个结点的度数为 2(n1)，且边 数为 n(n1) 。
定义9 设G = (V, E) 和设G' = (V', E')是两个图。(无向，有向) 1) 若 V' V 且 E' E，则称 G' 为 G 的子图。 2) 若 V' V 或 E' E，则称 G' 为 G 的真子图。 3) 若 V' = V 且 E' E，则称 G' 为 G 的生成子图。 当（V' = V 且 E' = E） 或（ V' = V 且 E' =）时，称这两个 子图为平凡子图。
2.3 图中的基本术语 1. 设 G = (V, E) 是无向图。
1) 任取 eE，若 e = {vi , vj}，则称 vi , vj 是 e 的端点。并称
e 与 vi , vj 关联。
2) 任取vi , vj V，若 {vi , vj}E，则称 vi , vj 相邻。
3) 任取 ei，ej E，若 ei，ej 有公共的端点，则称 ei，ej 邻接。 4) 以同一结点为两个端点的边称为自环。 5) 若 ei，ej 有相同的两端点，则称 ei，ej 是平行边。 6) 若 G 中有平行边，则称 G 为多重无向图。 7) 若 G 中无平行边，无自环，则称 G 为简单无向图。
i1
i1
其中 ∣V∣= n，∣E∣= m。
证：由于每条有向边都对应一个入度和一个出度，如一个结点 具有一个出度（或入度），则它必关联一条有向边，并通过此有 向边与另一结点相邻，且为此结点提供一入度（或出度）。所以 在有向图中，入度之和等于出度之和，并等于边数。即有
n
n
de(v g)de(v g)m
i1
定义8 设 G = (V, E)是简单有向图。若E=(VV)\{(v,v)|vV}， 则称 G 为有向完全图。
在 n 个结点的有向完全图中，每个结点的度数为 2(n1)，且边 数为 n(n1) 。
定义9 设G = (V, E) 和设G' = (V', E')是两个图。(无向，有向) 1) 若 V' V 且 E' E，则称 G' 为 G 的子图。 2) 若 V' V 或 E' E，则称 G' 为 G 的真子图。 3) 若 V' = V 且 E' E，则称 G' 为 G 的生成子图。 当（V' = V 且 E' = E） 或（ V' = V 且 E' =）时，称这两个 子图为平凡子图。
图形的层次结构
图形的层次结构现实世界中的客观对象都有一定的组织结构,用图形学来描绘实际的对象需要确定一定的图形结构(几何模型)现实中的对象往往有层次结构，描述这些对象的几何模型也具有层次结构利用层次结构，可以方便地对图形进行编辑和绘制本章给出了几种常见的图形层次结构几种常见的图形层次结构，，包括PHIGS PHIGS结构和许多应用系统中常用的面向对象的结构和许多应用系统中常用的面向对象的层次结构层次结构。
5.1 图形的层次结构概述图形结构也称为几何模型，是由有明确定义的几何元素，如点、线、面等及其相互间连接关系组成。
基本图素点、线、面等称为基本图素/图元，基本图素之间的连接关系称为拓扑关系。
在层次结构中，由基本元素构成的对象可用来构成更复杂的对象，这类对象也称为基本元素。
图形层次结构的组成部分几何及其附属属性物体及组成物体的基本元素的几何属性和其他影响外表的属性，如颜色、线形和线宽等。
拓扑关系基本元素之间的连接关系，拓扑关系可以用树结构或邻接矩阵表示，也可由其内在的几何定义表示。
特定的属性，如速度、温度等。
与物体及基本元素相对应的数据值和属性，如电子文本和描述文字。
自底向上的设计方法图形结构常常是层次的计算机硬件结构图是由很多诸如运算器、控制器及存储器部件等部件组成的，每一部件又由一些标准的单元电路、门电路及触发器组成。
图形设计时，往往用自底向上的方法设计复杂的层次结构图 首先由基本的图形元素如线、圆弧等构建形成门、窗和楼梯(高一层的图素)，再由直线段、圆弧等基本元素和门、窗、楼梯等高一层的图素形成房间和层等更高一层的结构，最后组成一栋楼房，或子图。
(block)或子图这些高层图素一般称为块块(block)或子图只要在图形结构中存在结构相同的部分，而这些部分又在图形结构中出现多次，就可把这样的部分组成块。
实例：逻辑电路图设计中的层次结构 在该结构中，与门、非门及或门电路是基本电路，分别由不同的基本图素线段及圆弧构成。
数据结构 图
2）依次访问 vi 的所有未被访问的邻接点； 3）从这些邻接点出发，访问它们的所有未被访问的 邻接点; 依此类推，直到图中所有的顶点的邻接 点都被访问。 例 求图G 的以V0起点的的广度优先序列 V0,V1,V2,V3,V4,V5,V6,V7 V V
0 0
由于没有规定 访问邻接点的顺序， 广度优先序列不唯一。
则图的所有顶点的度数之和 = 2*e
V2
V3
（每条边对图的所有顶点的度数之和 “贡献” 2度）
3 路径、回路(环)
无向图G1=（V1，E1）中的顶点序列v1,v2,… ,vk,若 (vi,vi+1)E1 ( i=1,2,…k-1), v =v1, u =vk, 则称该序 列是从顶点v到顶点u的路径；若v=u，则称该序 列为回路；在G1中，v0,v1,v2,v3 是v0到v3的路径； v0,v1,v2,v3 , v0是回路； 有向图G2=（V2，E2）中的顶点序列v1,v2,… ,vk, <vi,vi+1>E2 (i=1,2,…k-1),若v =v1, u =vk,则称该 序列是从顶点v到顶点u的路径；若v=u，则称该序 V0 V1 V1 列为回路；在G2中， V0 V2 v0, v2, v3是v0到v3的路径 v0,v2,v3,v0是回路； V3 V4 V2 V3 无向图G1 有向图G2
V2
V3
非 强 连 通 图
5 子图
设有两个图G=（V，E）、G1= （V1，E1）， 若V1 V，E1 E，E1关联的顶点都在V1中， 则称 G1是G的子图；
例
V0 V2 V3 (a) V4 V3 (b) V1
下列 (b)、(c) 是 (a) 的子图
V0 V2 V4 V3 (c) V1
0 0
由于没有规定 访问邻接点的顺序， 广度优先序列不唯一。
则图的所有顶点的度数之和 = 2*e
V2
V3
（每条边对图的所有顶点的度数之和 “贡献” 2度）
3 路径、回路(环)
无向图G1=（V1，E1）中的顶点序列v1,v2,… ,vk,若 (vi,vi+1)E1 ( i=1,2,…k-1), v =v1, u =vk, 则称该序 列是从顶点v到顶点u的路径；若v=u，则称该序 列为回路；在G1中，v0,v1,v2,v3 是v0到v3的路径； v0,v1,v2,v3 , v0是回路； 有向图G2=（V2，E2）中的顶点序列v1,v2,… ,vk, <vi,vi+1>E2 (i=1,2,…k-1),若v =v1, u =vk,则称该 序列是从顶点v到顶点u的路径；若v=u，则称该序 V0 V1 V1 列为回路；在G2中， V0 V2 v0, v2, v3是v0到v3的路径 v0,v2,v3,v0是回路； V3 V4 V2 V3 无向图G1 有向图G2
V2
V3
非 强 连 通 图
5 子图
设有两个图G=（V，E）、G1= （V1，E1）， 若V1 V，E1 E，E1关联的顶点都在V1中， 则称 G1是G的子图；
例
V0 V2 V3 (a) V4 V3 (b) V1
下列 (b)、(c) 是 (a) 的子图
V0 V2 V4 V3 (c) V1
图
54
9/10/2012
例
9/10/2012
55
例
9/10/2012
56
例
9/10/2012
57
邻接链表-时间需求
假设每个指针和整数均为2字节长，则 一个n顶点图的邻接链表所需要的空间 为2(n+m+1)，其中对于无向图，m=2e； 而对于有向图，m=e。 邻接链表便于进行边的插入和删除操 作。确定邻接表中顶点的数目所需要 的时间与表中顶点的数目成正比。
9/10/2012
7
关联/邻接
当且仅当(i, j) 是图中的边时，顶点 i 和j 是邻接的(adjacent)。边(i, j) 关联(incident)于顶点i 和j。
9/10/2012
8
例-邻接，关联
9/10/2012
9
关联/邻接
在有向图中，有时候对邻接和关联的 概念作更精确的定义非常有用。 有向边(i, j) 是关联至（incident to）顶点j 而关联于（incident from） 顶点i。顶点i 邻接至（adjacent to） 顶点j，顶点j邻接于（adjacent from） 顶点i。 对于无向图来说，“至”和“于”的 含义是相同的。
28
9/10/2012
生成树
9/10/2012
29
例
会议，此次大会上的所有发言人都只 会说英语，而参加会议的其他人说的 语言是{L1,L2,…,Ln}之一。翻译小组 能够将英语与其他语言互译。
9/10/2012
30
二分图
可以将顶点集合分成两个子集A和B， 这样每条边在A中有一个端点，在B中 有一个端点，具有这种特征的图叫作 二分图(bipartite graph)
9/10/2012
例
9/10/2012
55
例
9/10/2012
56
例
9/10/2012
57
邻接链表-时间需求
假设每个指针和整数均为2字节长，则 一个n顶点图的邻接链表所需要的空间 为2(n+m+1)，其中对于无向图，m=2e； 而对于有向图，m=e。 邻接链表便于进行边的插入和删除操 作。确定邻接表中顶点的数目所需要 的时间与表中顶点的数目成正比。
9/10/2012
7
关联/邻接
当且仅当(i, j) 是图中的边时，顶点 i 和j 是邻接的(adjacent)。边(i, j) 关联(incident)于顶点i 和j。
9/10/2012
8
例-邻接，关联
9/10/2012
9
关联/邻接
在有向图中，有时候对邻接和关联的 概念作更精确的定义非常有用。 有向边(i, j) 是关联至（incident to）顶点j 而关联于（incident from） 顶点i。顶点i 邻接至（adjacent to） 顶点j，顶点j邻接于（adjacent from） 顶点i。 对于无向图来说，“至”和“于”的 含义是相同的。
28
9/10/2012
生成树
9/10/2012
29
例
会议，此次大会上的所有发言人都只 会说英语，而参加会议的其他人说的 语言是{L1,L2,…,Ln}之一。翻译小组 能够将英语与其他语言互译。
9/10/2012
30
二分图
可以将顶点集合分成两个子集A和B， 这样每条边在A中有一个端点，在B中 有一个端点，具有这种特征的图叫作 二分图(bipartite graph)
图的基本概念Graphs
●
Petersen 图可以这样 定义： V={ 集合 {1,2,3,4,5} 的 所有二元子集 } E={ ab| a 和 b 的交集 是空集 }
●
●
Petersen 图的性质
●
(1)Petersen 图是 10 阶 3 正则的 (2)Petersen 图有 15 条边 (3)Petersen 图的任意两个不相邻的不同顶点 x 和 y 恰有一个公共邻点 (4)Petersen 图的直径是 2
直到 10 阶的所有连通图 .au/people/bdm/data/graphs.html 其中 10 阶的连通图数据 30M
●
●
简单图的矩阵表示
●
给定一个 n 阶简单图 G ， V(G)={v1,v2, ..., vn } ， 定义它的邻接矩阵 A(G) 为一个 n 阶方阵
●
●
●
奇度点的个数是 0 或 2 → G 存在欧拉迹 若奇度点个数是 0 ，则由定理存在欧拉回，当然 也是欧拉迹。 若奇度点个数是 2 ，设这两个点为 x 和 y 。考虑 图 G'=G + xy 。则 G' 的顶点全为偶度点，所以 存在欧拉回。把加上的边 xy 全掉后，就得到一 条 G 的欧拉迹 .
●
若
V G =∅
，称图 G 为空图。
●
●
一般，我们只考虑顶点集非空的图。 若
●
V G ≠∅ , E G =∅
● ●
●
称图 G 为零图。
相邻 和 关联
●
两个顶点称为相邻的 (adjacent) ，若它们是某一 条边的两个端点。 若顶点 v 是边 e 的一个端点，称 e 和 v 是关联的 (incident) 。
第7章图(Graphs)
7.1 图的概念及术语
v1 v3 有向边<v3, v4> V3：始点， v4: 终点 v2 v4
图的构成： • 结点集：V={v1,v2,v3,v4}, • 有向边集：E={<v1,v3>,<v1,v2>,<v3,v4>,<v4,v1>}
7.1 图的概念及术语
v1 v3 v2 v4 v1 v2
v3
为从顶点vi 到顶点 vj 的路径。 • 路径长度 –非带权图的路径长度是指此路径上的边数。 –带权图的路径长度是指路径上各边的权之和
7.1 图的概念及术语
• 简单路径 若路径上各顶点 v1,v2,...,vm 均不互相重 复, 则称这样的路径为简单路径。 • 回路 若路径上第一个顶点 v1 与最后一个顶点vm 重合, 则称这样的路径为回路或环。 • 连通图与连通分量 在无向图中, 若从顶点v1到顶 点v2有路径, 则称顶点v1与v2是连通的。 • 如果图中任意一对顶点都是连通的, 则称此图是连 通图。 • 非连通图的极大连通子图叫做连通分量.
7.1 图的概念及术语
v1
v2
v4Βιβλιοθήκη v3路径: (1) <v1, v3>, <v3, v4> (简单路径)
(2) <v1, v3>, <v3, v4>, <v4, v1> (环)
(3) <v3, v4>
7.1 图的概念及术语
• 路径: 在图 G＝(V, E) 中, 若存在边的序列 (vi, vp1)、(vp1, vp2)、...、(vpm, vj) 则称顶点序列 ( vi vp1 vp2 ... vpm vj )
v4 v5
第八章 图(Graph)PPT课件
Graph->Arcs[v][w] = 0; }
15
2、邻接表 (Adjacency List)表示法
实际上是一种顺序存储与链式存储相结合的方法。顺序存储 部分用来存储图中顶点的信息，链式部分用来保存图中边 （弧）的信息。
一个一维数组，每个数据元素包含以下信息：
Vertex FirstArc
邻接单链表的每个结点（边结点）的结构如下 AdjVertex Weight NextArc
16
＃ define MAXNODE <图中结点的最大个数>
typedef struct arc {
int AdjVertex; int Weight; struct arc * NextArc; }arctype; // 邻接链表结点结构
typedef struct {
elemtype Vertext; arctype * FirstArc; }vertextype; // 顺序表结构
在无向图中, 统计第 i 行 (列) 1 的个数可得顶点i 的度。
12
网络的邻接矩阵 W (i,j), 如i果 !j且 <i,jE或 (i,j)E
A.Ed[i]gj[]e= , 否但 则i是 !,=j 0, 对角 i=线 j=
13
用邻接矩阵表示的图的类型的定义
#define MAXNODE 100
✓权 某些图的边具有与它相关的数, 称之为权。这 种带权图叫做网络。
8
7
10 2
5 9
1
12
63
8
15
76
6
3
4
16
7
施工进度图
60
A
B 40 80 C
30
15
2、邻接表 (Adjacency List)表示法
实际上是一种顺序存储与链式存储相结合的方法。顺序存储 部分用来存储图中顶点的信息，链式部分用来保存图中边 （弧）的信息。
一个一维数组，每个数据元素包含以下信息：
Vertex FirstArc
邻接单链表的每个结点（边结点）的结构如下 AdjVertex Weight NextArc
16
＃ define MAXNODE <图中结点的最大个数>
typedef struct arc {
int AdjVertex; int Weight; struct arc * NextArc; }arctype; // 邻接链表结点结构
typedef struct {
elemtype Vertext; arctype * FirstArc; }vertextype; // 顺序表结构
在无向图中, 统计第 i 行 (列) 1 的个数可得顶点i 的度。
12
网络的邻接矩阵 W (i,j), 如i果 !j且 <i,jE或 (i,j)E
A.Ed[i]gj[]e= , 否但 则i是 !,=j 0, 对角 i=线 j=
13
用邻接矩阵表示的图的类型的定义
#define MAXNODE 100
✓权 某些图的边具有与它相关的数, 称之为权。这 种带权图叫做网络。
8
7
10 2
5 9
1
12
63
8
15
76
6
3
4
16
7
施工进度图
60
A
B 40 80 C
30
图(Graph)是一种比线性表和树更为复杂的数据结构在图形....ppt
网的邻接矩阵：
A[i][
j]
w i,j
若 vi ,v j 或(vi ,v j ) VR 反之
第七章
25
构造无向网的算法：
Status CreateUDN (MGraph &G){ //采用数组表示法(邻接矩阵) ，构造无向网G。
sacnf(&G,vexnum, &G.arcnum, &IncInfo); //IncInfo为0则各弧不含其它信息
例如:G1 = (V1, {R1})
其中：
A
V1={A, B, C, D, E}
R1={<A,B>, <A,E>,
B
E <B,C>, <C,D>, <D, A>,
<D, B >, <E,C> }
C
D
第七章
9
无向图
若<v, w>VR 必有<w, v>VR, 则称顶点 v 和顶点 w 之间存 在一条边(v,w) 。
生成树生成树第七章2072图的存储结构72图的存储结构一数组表示法邻接矩阵二邻接表存储表示三有向图的十字链表存储表示四无向图的邻接多重表存储表示第七章21用两个数组分别存储数据元素顶点的信息和数据元素之间的关系边或弧的信息
第七章 图
图(Graph)是一种比线性表和树更为复杂的数据结构。 在图形结构中，结点之间的关系可以是任意的，图中任意 两个数据元素之间都可能相关。在人工智能、工程、数学、 物理、化学、生物和计算机科学等领域中，图结构有着广 泛的应用。
//若弧含有相关信息，则输入 iGf .(aIrnccsI[i{nnj]ft[oiL)]=oIGncifapn.otaurtertVic(;(ise=*[xiG0(];M[.ija<]Gr；Gcrs.av[ipe]x[hjn]G.uinm,cfh;oia)+；r+u) )
A[i][
j]
w i,j
若 vi ,v j 或(vi ,v j ) VR 反之
第七章
25
构造无向网的算法：
Status CreateUDN (MGraph &G){ //采用数组表示法(邻接矩阵) ，构造无向网G。
sacnf(&G,vexnum, &G.arcnum, &IncInfo); //IncInfo为0则各弧不含其它信息
例如:G1 = (V1, {R1})
其中：
A
V1={A, B, C, D, E}
R1={<A,B>, <A,E>,
B
E <B,C>, <C,D>, <D, A>,
<D, B >, <E,C> }
C
D
第七章
9
无向图
若<v, w>VR 必有<w, v>VR, 则称顶点 v 和顶点 w 之间存 在一条边(v,w) 。
生成树生成树第七章2072图的存储结构72图的存储结构一数组表示法邻接矩阵二邻接表存储表示三有向图的十字链表存储表示四无向图的邻接多重表存储表示第七章21用两个数组分别存储数据元素顶点的信息和数据元素之间的关系边或弧的信息
第七章 图
图(Graph)是一种比线性表和树更为复杂的数据结构。 在图形结构中，结点之间的关系可以是任意的，图中任意 两个数据元素之间都可能相关。在人工智能、工程、数学、 物理、化学、生物和计算机科学等领域中，图结构有着广 泛的应用。
//若弧含有相关信息，则输入 iGf .(aIrnccsI[i{nnj]ft[oiL)]=oIGncifapn.otaurtertVic(;(ise=*[xiG0(];M[.ija<]Gr；Gcrs.av[ipe]x[hjn]G.uinm,cfh;oia)+；r+u) )
图形结构(Graphs)汇总
G3
圖形的一些專有名詞
外分支度(out-degree)：頂 點V的外分支度是以V為起 點的邊數。 如: G3中頂點2的內分 支度為2 而外分支度為 1，分支度為3 而無方向圖形則無內外 之分，如: G2中頂點2 的分支度為3，頂點5的 分支度為1
G3
圖形資料結構表示法
圖形的資料結構表示法常用的有下列二種： 相鄰矩陣(adjacent matrix) 相鄰串列(adjacent list)
V4
V6 V9 V10
V7
V5 V3
圖形追蹤
彈出V1，由於V1已被輸出，故捨棄不用，接著 再彈出V4，將V4的相鄰頂點V2及V8放入堆疊。
V1 V2 V3 V5 V8
V1
V2 V8 V5 V3
V4
V4
V5
V6 V9 V10
V7
V3
輸出：V1 V2 V4
圖形追蹤
彈出V2，由於V2已被輸出過，故捨棄不用，接 著再彈出V8，再將V8的相鄰頂點V4、V5及V10放 入堆疊。 V1
圖形的一些專有名詞
連通單元(connected component)：或稱單元 (component)是指該圖形中最大的連通子圖 (maximum connected subgraph)如圖G5有兩 個單元g1和g2。
1 5
3
4
2
6
8
G5
7
圖形的一些專有名詞
緊密連通(strongly connected)：在一有 方向圖形中如果V(G) 中的每一對不同頂點Vi, Vj 各有一條從Vi到Vj及 從Vj到Vi的有方向路徑 者稱之。
V3 V9 V9 V7 V10 V5 V3
圖形的一些專有名詞
外分支度(out-degree)：頂 點V的外分支度是以V為起 點的邊數。 如: G3中頂點2的內分 支度為2 而外分支度為 1，分支度為3 而無方向圖形則無內外 之分，如: G2中頂點2 的分支度為3，頂點5的 分支度為1
G3
圖形資料結構表示法
圖形的資料結構表示法常用的有下列二種： 相鄰矩陣(adjacent matrix) 相鄰串列(adjacent list)
V4
V6 V9 V10
V7
V5 V3
圖形追蹤
彈出V1，由於V1已被輸出，故捨棄不用，接著 再彈出V4，將V4的相鄰頂點V2及V8放入堆疊。
V1 V2 V3 V5 V8
V1
V2 V8 V5 V3
V4
V4
V5
V6 V9 V10
V7
V3
輸出：V1 V2 V4
圖形追蹤
彈出V2，由於V2已被輸出過，故捨棄不用，接 著再彈出V8，再將V8的相鄰頂點V4、V5及V10放 入堆疊。 V1
圖形的一些專有名詞
連通單元(connected component)：或稱單元 (component)是指該圖形中最大的連通子圖 (maximum connected subgraph)如圖G5有兩 個單元g1和g2。
1 5
3
4
2
6
8
G5
7
圖形的一些專有名詞
緊密連通(strongly connected)：在一有 方向圖形中如果V(G) 中的每一對不同頂點Vi, Vj 各有一條從Vi到Vj及 從Vj到Vi的有方向路徑 者稱之。
V3 V9 V9 V7 V10 V5 V3
第7章 图结构
(2) 简单情况
在大部分的应用中，图中的顶点个数和边的个数常常是一个
已知的常量，不妨设为N和E，在这种情况下可以简化以上定义
为：
typedef char VertexType;
typedef int EdgeType; typedef struct {VertexType vexs[N]; EdgeType edges[N][N]; }MGragh;
V5
V3
V5 V6
V3
V6
例
V2 V1 V4 V3 V5 V6 V3 V5 V6 V1
V2 V3
(11) 连通、连通图、连通分量 在无向图中，如果从顶点Vi到顶点Vj(i≠j)有路径存在， 则称顶点Vi和Vj是连通的；如果图中任意两个顶点都是连通 的，则称该图为连通图；无向图的极大连通子图称为连通分 量 例
i j i j
1 若(vi,vj)或<vi,vj>是E(G)中的边
若G是带权图，则邻接矩阵可定义为：
A[i][j]=
{ 0或∞ 若(v ,v )或<v ,v >不是E(G)中的边
i j i j
wij
若(vi,vj)或<vi,vj>是E(G)中的边
其中，wij 表示边(vi,vj)或<vi,vj>上的权值；≦表示一
个计算机允许的、大于所有边上权值的数。
用邻接矩阵表示法表示的无向图和网图 如图所示。
2、邻接矩阵的表示
用一个一维数组来存储顶点信息； 用一个二维数组存储邻接矩阵，用于表示顶点间相邻关系； (1)一般情况
若图的顶点个数和边的个数是一个变量时，还需要留有足够的空间。故 可将其形式描述如下： # define MaxVertexNum … /*定义能存储的足够大的顶点个数*/ typedef char VertexType; /* VertexType为顶点类型，设为字符型*/ typedef int EdgeType; /* EdgeType为边的权值类型，设为整型*/ typedef struct { VertexType vexs[MaxVertexNum]; /*顶点表*/ EdgeType edges[MaxVertexNum][MaxVertexNum]; /*邻接矩阵*/ int n, e; /*实际的顶点数和边数*/ }MMGragh;
吉林大学数据结构课件 第五章 图
V1 V2
3
V4
2
V3
7
无向图 端点 相邻的 度 连通图
有向图 弧 弧头 弧尾 邻接到 邻接自 出度 入度 强连通图,单连通图
图的存储结构
邻接矩阵 邻接表(逆邻接表) 十字链表 多重邻接表
邻接矩阵
用顺序方式或链接方式存储图的顶点表 v0,v1,…vn-1 ,图的边用n×n阶矩阵A =(aij)表示，A 的定义如下： （a） 若图为权图，aij对应边<vi,vj>的权值； （b） 若图为非权图，则 （1） aii=0； （2） aij=1，当i≠j且<vi,vj>或(vi,vj)存在时； （3）aij=0，当i≠j且<vi,vj>或(vi,vj)不存在时。 称矩阵A为图的邻接矩阵。
E(G)，则称H是G的子图，G是H的母图。
如果 H 是 G 的子图，并且 V(H) ＝ V(G) ，则
称H是G的支撑子图。
V1
V2 V2 V3 V5 V1 V3 V4 V5
V1 V1 V3 V2
V4
V2
V5
……
V1 V1 V1 V1 V2 V3 V4 V2 V2
V3
V4
V1
V3
V4
……
度
无向图中，顶点的度是以该顶点为端点的边的 个数。 有向图中，以某顶点为弧头的弧的数目称为该 顶点的入度。以某顶点为弧尾的弧的数目称为 该顶点的出度。该顶点的度=入度+出度。
深度优先搜索DFS ( Depth First Search )
深度优先搜索的示例
1 递归算法 算法DepthFirstSearch (v, visited)
/* 图的深度优先递归遍历算法*/
3
V4
2
V3
7
无向图 端点 相邻的 度 连通图
有向图 弧 弧头 弧尾 邻接到 邻接自 出度 入度 强连通图,单连通图
图的存储结构
邻接矩阵 邻接表(逆邻接表) 十字链表 多重邻接表
邻接矩阵
用顺序方式或链接方式存储图的顶点表 v0,v1,…vn-1 ,图的边用n×n阶矩阵A =(aij)表示，A 的定义如下： （a） 若图为权图，aij对应边<vi,vj>的权值； （b） 若图为非权图，则 （1） aii=0； （2） aij=1，当i≠j且<vi,vj>或(vi,vj)存在时； （3）aij=0，当i≠j且<vi,vj>或(vi,vj)不存在时。 称矩阵A为图的邻接矩阵。
E(G)，则称H是G的子图，G是H的母图。
如果 H 是 G 的子图，并且 V(H) ＝ V(G) ，则
称H是G的支撑子图。
V1
V2 V2 V3 V5 V1 V3 V4 V5
V1 V1 V3 V2
V4
V2
V5
……
V1 V1 V1 V1 V2 V3 V4 V2 V2
V3
V4
V1
V3
V4
……
度
无向图中，顶点的度是以该顶点为端点的边的 个数。 有向图中，以某顶点为弧头的弧的数目称为该 顶点的入度。以某顶点为弧尾的弧的数目称为 该顶点的出度。该顶点的度=入度+出度。
深度优先搜索DFS ( Depth First Search )
深度优先搜索的示例
1 递归算法 算法DepthFirstSearch (v, visited)
/* 图的深度优先递归遍历算法*/
相关主题