高中数学 1-1-2余弦定理精品同步导学 新人教A版必修5

∴C＝180°－A－B＝180°－30°－60°＝90°.
3．在△ABC 中，已知角 A，B，C 所对的三边长分别为 a，b，c，若 a＝2 3，b＝ 6，A＝45°，求边长 c.
•
2．若将题中条件改为“b＝3，c＝2，A＝
解30析°：”，应直如接何运求用解余三弦角定形理？：
a2＝b2＋c2－2bccos A＝32＋(2 3)2－2×3×2 3×cos
30°＝3，
从而 a＝ 3，
∴cos B＝a2＋2ca2c－b2＝ 32×2＋32×322－3 32＝162＝12，
∴B＝60°，
• 应用余弦定理及其推论可解决两类解三角形的问题，一类 是已知 两边及夹角 解三角形，另一类是已知 三边 解 三角形．
1．在△ABC 中，已知 a＝2 3，b＝9，C＝150°，则 c
＝( )
A．7 3
B．8 3
C. 39
D．10 2
解析： 由余弦定理 c2＝a2＋b2－2abcos C 得 c2＝(2 3)2＋92－2·2 3×9·cos 150° ∴c2＝147，即 c＝7 3.故选 A. • 答案： A
已知△ABC 中，a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)，求△ABC 各角的度数． • 由题目可获取以下主要信息： • ①已知三边比例； • ②求三角形的三内角． • 解答本题可应用余弦定理求出三个角．
[解题过程] ∵a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)， ∴令 a＝2k，b＝ 6k，c＝( 3＋1)k. 由余弦定理，有 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝62＋6×3＋13＋2－14＝ 22， ∴A＝45°. cos B＝a2＋2ca2c－b2＝42＋×2×3＋ 13＋2－16 ＝12， ∴B＝60°.∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.
解析： 在△ABC 中，由余弦定理得，
cos C＝a2＋2ba2b－c2＝2
62－6＋2 32－4 2×2 6×6＋2 3
32
＝24242 3＋3＋11＝
2 2.
∴C＝45°，sin
in A＝asicn C＝2
6× 43
2 2 ＝12.
∵a<c，∴A<C，
∴A＝30°.
2．在△ABC 中，a＝4 3，b＝7，c＝ 13，则△ABC 的
最小角为( )
π
π
A.6
B.3
π C.4 解析： ∵c<a<b
π D.12
∴C<A<B
∴cos C＝a2＋2ba2b－c2＝4
32＋72－ 2×4 3×7
132＝
3 2
∵C∈(0，π)，∴C＝6π.
• 答案： A
• 3．△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝8，则△ABC的形状 是________．
当 C＝60°时，A＝90°
由勾股定理 a＝ b2＋c2＝2 3.
当 C＝120°时，A＝30°，△ABC 为等腰三角形．
∴a＝ 3.
• [题后感悟] 可比较两种方法，从中体会各自的优点，三 角形中已知两边及一角，有两种解法，从而摸索出适合自己 思维的解题规律和方法．方法一利用余弦定理列出关于a的等 量关系建立方程，运用解方程的方法求出a边的长，这样可免 去判断取舍的麻烦．方法二直接运用正弦定理，先求角再求 边．
∴B＝180°－(A＋C)＝180°－(30°＋45°)＝105°.
已知：在△ABC 中，b＝ 3，c＝3，B＝30°，解此三角形．
[解题过程] 方法一：由余弦定理：b2＝a2＋c2－2accos B 得
( 3)2＝a2＋32－2×a×3×cos 30°
∴a2－3 3a＋6＝0
∴a＝ 3或 a＝2 3
•
2．在△ABC中，正弦定理是
a sin
A＝sinb
B＝sinc
C
• 3．在△ABC中，若a＝3，b＝5，C＝45°，三角形确定吗
？又如何求边c的长？
• 4．在△ABC中，若a＝4，b＝5，c＝6，能求角A、B、C吗
？
• 1．余弦定理
• (1)语言叙述 • 三角形中任何一边的平方等于 其他两边的平方和 这两边与它们夹角的余弦 的积的 两倍 ．
解析： 由余弦定理知 cos B＝AB2＋2·ABBC·2B－CAC2 ＝252＋×356×－664＝－210<0，故 B 为钝角．
• 答案： 钝角三角形
• 4．在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方程 5x2＋7x－6＝0的根，求第三边长c. 解析： 5x2＋7x－6＝0 可化为(5x－3)(x＋2)＝0. ∴x1＝35，x2＝－2(舍去)．∴cos C＝35. 根 据 余 弦 定 理 ， c2 ＝ a2 ＋ b2 － 2abcos C ＝ 52 ＋ 32 － 2×5×3×35＝16. ∴c＝4，即第三边长为 4.
• (2)公式表达 • a2＝b2＋c2－2bccos A ； • b2＝ a2＋c2－2accos B ； • c2＝ a2＋b2－2abcos C.
减去
• (3)推论
cos A＝
b2＋c2－a2 2bc
；
cos B＝
a2＋c2－b2 2ac
；
cos C＝
a2＋b2－c2 2ab
.
• 2．余弦定理及其推论的应用
• 1．1.2 余弦定理
• 1．了解向量法证明余弦定理的推导过程． • 2．掌握余弦定理并能解决一些简单的三角度量问题.
• 1．利用余弦定理求三角形中的边角问题及正、余弦定理的 综合应用是本节热点． • 2．三种题型都有可能出现，属中、低档题.
• 1 ． 在 Rt△ABC 中 ， C ＝ 90° ， 三 边 满 足 勾a2＋股b定2＝理c2 .
当 a＝ 3时，b＝ 3，A＝30°，C＝120°.
当 a＝2
3时，由正弦定理 sin A＝asibn B＝2
3sin 3
30°＝1.
∴A＝90°，C＝60°.
方法二：由 b<c，B＝30°，b>csin 30°知本题有两解．
由正弦定理，得 sin C＝csibn B＝3
33×12＝
3 2
∴C＝60°或 120°.
• [题后感悟] 此题为“已知三边，求三角形的三个角”类 型问题，基本解法是先利用余弦定理的推论求一个角的余弦 ，再判定此角的取值，求得第一个角，再用正弦定理求出另 一个角，最后用三角形内角和定理，求出第三个角(一般地， 先求最小角，再求最大角)．
1．在△ABC 中，已知 a＝2 6，b＝6＋2 3，c＝4 3， 求角 A，B，C.