平面向量的平行四边形法则PPT课件
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《平面向量基本定理》PPT课件
3．M 为△ABC 的重心，点 D，E，F 分别为三边 BC，AB，AC 的中点，则M→A＋M→B
＋M→C等于( )
A．6M→E
B．－6M→F
C．0
D．6M→D
解析：M→A＋M→B＋M→C＝M→A＋2M→D＝M→A＋A→M＝0.
答案：C
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4．如图，M、N 是△ABC 的一边 BC 上的两个三等分点，若A→B ＝a，A→C＝b，则M→N＝________.
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探究三 平面向量基本定理与数量积的综合应用
[例 3] 在平行四边形 ABCD 中，点 M，N 分别在边 BC，CD 上，且满足 BC＝3MC，
DC＝4NC，若 AB＝4，AD＝3，则△AMN 的形状是( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．等腰三角形
[典例 1] 如图，已知△OCB 中，A 是 CB 的中点，D 是将O→B分 成 2∶1 的一个内分点，DC 和 OA 交于点 E，设O→A＝a，O→B＝ b. (1)用 a 和 b 表示向量O→C，D→C； (2)若O→E＝λO→A，求实数 λ 的值．
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[解析] (1)由题意知，A 是 BC 的中点， 且O→D＝23O→B，由平行四边形法则， 得O→B＋O→C＝2O→A， 所以O→C＝2O→A－O→B＝2a－b， D→C＝O→C－O→D＝(2a－b)－23b＝2a－53b.
[答案] (1)B (2)λ≠12
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对基底的理解 (1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作 基底，反之，则可作基底． (2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底表示出 来．设向量 a 与 b 是平面内两个不共线的向量，若 x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则yx11＝＝yx22.， 提醒：一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，表达式不一样．
6.2平面向量的运算课件共40张PPT
故选 B.
→
→
→
→
即时训练 3-2:在四边形 ABCD 中,=,若||=||,则四边形 ABCD 的
形状为
.
→
→
解析:由=,可得四边形 ABCD 为平行四边形,
→
→
由||=||,可得邻边相等,此平行四边形是菱形,
所以四边形 ABCD 为菱形.
答案:菱形
→
→
→
→
[备用例 3] 若 O 是△ABC 所在平面内一点,且满足|-|=|-+
探究点二
向量加法运算律的应用
[例 2] 化简:
→
→
(1)+;
→
→
→
→
→
解:(1)+=+=.
[例 2] 化简:
→
→
→
(2)++;
→
→
→
→
→
→
解:(2)++=++
→
→
→
=(+)+
→→Biblioteka =+=0.
[例 2] 化简:
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
解:(2)原式=--+=(-)+(-)=+=0.
→
→
→
[备用例 2] 化简:--.
→
→
→
→
→
→
解:法一 --=-=.
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
即时训练 3-2:在四边形 ABCD 中,=,若||=||,则四边形 ABCD 的
形状为
.
→
→
解析:由=,可得四边形 ABCD 为平行四边形,
→
→
由||=||,可得邻边相等,此平行四边形是菱形,
所以四边形 ABCD 为菱形.
答案:菱形
→
→
→
→
[备用例 3] 若 O 是△ABC 所在平面内一点,且满足|-|=|-+
探究点二
向量加法运算律的应用
[例 2] 化简:
→
→
(1)+;
→
→
→
→
→
解:(1)+=+=.
[例 2] 化简:
→
→
→
(2)++;
→
→
→
→
→
→
解:(2)++=++
→
→
→
=(+)+
→→Biblioteka =+=0.
[例 2] 化简:
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
解:(2)原式=--+=(-)+(-)=+=0.
→
→
→
[备用例 2] 化简:--.
→
→
→
→
→
→
解:法一 --=-=.
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
向量基本定理
A N M C L
B
向量的夹角 两个非零向量 则AOB
(0 180 )
B
a 和 b ，作 OA a, OB b，
叫做向量a 和
b 的夹角
b
O
b
a
a
A
注意:在两向量的夹角 定义中,两向量必须是 同起点的 B
a
O
a
O A B b 180 A
b
b B
O
a
0
90
A
a 与 b 同向
a 与 b 反向
a 与 b 垂直，
记作
ab
向量的正交分解
一个平面向量用一组基底e1 , e2 表示成 ａ 1 e1 2 e2 的形式，我们称它为向量的分解。当e1 , e2互相垂直时， 就称为向量的正交分解。
在平面上，如果选取互相垂直的向量作 为基底时，会为我们研究问题带来方便
N
B
请大家动手,从图中的线段AD、AB、BC、DC、 MN对应的向量中确定一组基底，将其它向 量用这组基底表示出来.
学以致用
M D 解、如图，已知梯形ABCD， AB//CD，且AB= 2DC,M、N分 别是DC、AB的中点. 2
C
e
参考答案：
1 DC e1 ; 2
A
N
解：取 AB e1, AD e2 为基底 ,则有
e1
B
1 1 BC BA AD DC e1 e2 e1 e1 e2 2 2
1 1 MN MD DA AN e1 e2 e1 4 2
1 e1 e2 4
练习
2、下列说法中，正确的有： （ 2、3 ）
B
向量的夹角 两个非零向量 则AOB
(0 180 )
B
a 和 b ，作 OA a, OB b，
叫做向量a 和
b 的夹角
b
O
b
a
a
A
注意:在两向量的夹角 定义中,两向量必须是 同起点的 B
a
O
a
O A B b 180 A
b
b B
O
a
0
90
A
a 与 b 同向
a 与 b 反向
a 与 b 垂直，
记作
ab
向量的正交分解
一个平面向量用一组基底e1 , e2 表示成 ａ 1 e1 2 e2 的形式，我们称它为向量的分解。当e1 , e2互相垂直时， 就称为向量的正交分解。
在平面上，如果选取互相垂直的向量作 为基底时，会为我们研究问题带来方便
N
B
请大家动手,从图中的线段AD、AB、BC、DC、 MN对应的向量中确定一组基底，将其它向 量用这组基底表示出来.
学以致用
M D 解、如图，已知梯形ABCD， AB//CD，且AB= 2DC,M、N分 别是DC、AB的中点. 2
C
e
参考答案：
1 DC e1 ; 2
A
N
解：取 AB e1, AD e2 为基底 ,则有
e1
B
1 1 BC BA AD DC e1 e2 e1 e1 e2 2 2
1 1 MN MD DA AN e1 e2 e1 4 2
1 e1 e2 4
练习
2、下列说法中，正确的有： （ 2、3 ）
2.5平面向量应用举例 教学课件. PPT
一、长度关系
例1、平行四边形是表示向量加法与减法的几何 模型。如图，你能发现平行四边形对角线的 长度与两条邻边长度之间的关系吗？
1.长方形对角线的长度 D
C
与两条邻边长度之间有
何关系？
A
B
2.类比猜想，平行四边形有相似关系吗？
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示 问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转 化为向量问题；
所以|v|＝ 302＋10 32＝20 3(km/h).
所因以为αt＝an3α0＝°. 10303＝
3 3 (α
为
v
和
v2
的夹角，α
为锐角)，
所以帆船向北偏东60°的方向行驶，速度为20 3 km/h.
跟踪训练1 某人在静水中游泳，速度为4 3 km/h，水的流速为 4 km/h，他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进？ 实际前进的速度大小为多少？
填要点·记疑点
1.力与向量 力与前面学过的自由向量有区别. (1)相同点：力和向量都既要考虑 大小又要考虑 方向 . (2)不同点：向量与 始点 无关，力和作用点有关，大小和 方向相同的两个力，如果作用点不同，那么它们是不相 等的.
2.向量方法在物理中的应用
(1)力、速度、加速度、位移都是向量. (2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的 加、减 运
探究点一 向量的线性运算在物理中的应用
思考1 向量与力有什么相同点和不同点？ 答 向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点， 也可以没有共同的作用点，但是力却是既有大小，又有方向且作 用于同一作用点的. 用向量知识解决力的问题，往往是把向量起点 平移到同一作用点上.
平面向量基本定理(课件)高一数学(人教A版2019必修第二册)
3．课堂检测
2.(多选)如图，设是平行四边形两对角线的交点，有下列向量组，可作为该平面内的其他向量基底的是（ ）.A.与 B.与 C.与 D.与
答案：AC.解：结合图形可知，与不共线，与不共线，∴A、C可以作为基底.B、D两组向量分别共线，故不可以作为基底.
3、在△ABC中，点D，E，F依次是边AB的四等分点，试以
高一数学（人教A版2019必修第二册）
6.3.1平面向量基本定理
【单元目标】（1）理解平面向量基本定理及其意义。（2）借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示。（3）会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算。（4）能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个向量的平面夹角。（5）能用坐标示平面向量共线、垂直的条件。
5、课后作业1.习题6.3 1、11（1）2．6.3.1平面向量基本定理（分层作业）（必做题+选做题）
THANKS
“
”
方法规律 平面向量基本定理的作用以及注意点(1) 根据平面向量基本定理，任何一个基底都可以表示任意向量.用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算(2) 基底的选取要灵活，必要时可Байду номын сангаас建立方程或方程组，通过方程求出要表示的向量
1、如果{e1，e2}是平面α内所有向量的一个基底，那么下列说法正确的是( A )A.若存在实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0B.对空间任意向量a都可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2∈RC.λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)不一定在平面α内D.对于平面α内任意向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对
【单元知识结构框架】
教学重点： 平面向量基本定理、平面向量的坐标表示及平面向量运算的坐标表示。教学难点： 平面向量基本定理唯一性证明。
2.(多选)如图，设是平行四边形两对角线的交点，有下列向量组，可作为该平面内的其他向量基底的是（ ）.A.与 B.与 C.与 D.与
答案：AC.解：结合图形可知，与不共线，与不共线，∴A、C可以作为基底.B、D两组向量分别共线，故不可以作为基底.
3、在△ABC中，点D，E，F依次是边AB的四等分点，试以
高一数学（人教A版2019必修第二册）
6.3.1平面向量基本定理
【单元目标】（1）理解平面向量基本定理及其意义。（2）借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示。（3）会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算。（4）能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个向量的平面夹角。（5）能用坐标示平面向量共线、垂直的条件。
5、课后作业1.习题6.3 1、11（1）2．6.3.1平面向量基本定理（分层作业）（必做题+选做题）
THANKS
“
”
方法规律 平面向量基本定理的作用以及注意点(1) 根据平面向量基本定理，任何一个基底都可以表示任意向量.用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算(2) 基底的选取要灵活，必要时可Байду номын сангаас建立方程或方程组，通过方程求出要表示的向量
1、如果{e1，e2}是平面α内所有向量的一个基底，那么下列说法正确的是( A )A.若存在实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0B.对空间任意向量a都可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2∈RC.λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)不一定在平面α内D.对于平面α内任意向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对
【单元知识结构框架】
教学重点： 平面向量基本定理、平面向量的坐标表示及平面向量运算的坐标表示。教学难点： 平面向量基本定理唯一性证明。
平面向量的概念及线性运算(课堂PPT)
3
动脑思考 探索新知
在数学与物理学中，有两种量．只有大小，没有方向的量 做数量（标量） ，例如质量、时间、温度、面积、密度等． 既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量）， 如力、速度、位移等．
向量的大小叫做向量的模．向量a, A B 的模依次记作 a ， A B ．
模为零的向量叫做零向量．记作0， 零向量的方向是不确定的．
O A O B O A ( O B ) = O A B O B O O A B A ．
即
O A O BB A ． （7．2）
观察图可以得到：起点相同的
a－b
A
两个向量a、 b，其差a − b仍然是一
B
个向量，其起点是减向量b的终点，
b
a
终点是被减向量a的终点．
O
21
巩固知识 典型例题
生活中的一些问题．
作业
32
平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法 具有以下的性质：
(1) a＋0 = 0＋a=a； a＋（− a）= 0； (2) a＋b = b＋a； (3) （a＋b）＋ c = a ＋（b＋c）．
16
巩固知识 典型例题
例3 一艘船以12 km/h的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流
速度为5 km/h，求该船的实际航行速度．
模为1的向量叫做单位向量．
B a A
4
巩固知识 典型例题
例1 一架飞机从A处向正南方向飞行200km，另一架飞机从A处 朝北偏东45°方向飞行200km， 两架飞机的位移相同吗？分别用有向 线段表示两架飞机的位移．
解 位移是向量．虽然这两个向量的模相等，但是它们的方向不
同，所以两架飞机的位移不相同．两架飞机位移的有向线段表示分别
《平面向量的运算》平面向量及其应用 PPT教学课件 (向量的加法运算)
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探究三 向量加法的实际应用
[例 3] 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输．如图，一艘船从长
江南岸 A 地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为 15 km/h，同时江水的速度为
向东 6 km/h.
(1)用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
解析：设A→B，B→C分别表示飞机从 A 地按北偏东 35°的方向飞行 800 km，从 B 地按 南偏东 55°的方向飞行 800 km， 则飞机飞行的路程指的是|A→B|＋|B→C|； 两次飞行的位移的和指的是A→B＋B→C＝A→C. 依题意，有|A→B|＋|B→C|＝800＋800＝1 600 (km)， 又 α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，
→ 因为 tan ∠CAB＝|B→C|＝52，所以利用计算工具可得∠CAB≈68°.
|AB| 因此，船实际航行速度的大小约为 16.2 km/h，方向与江水速度间的夹角约ห้องสมุดไป่ตู้ 68°.
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向量加法应用的关键及技巧 (1)三个关键：一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系；二是熟练找出图形中的 相等向量；三是能根据三角形法则或平行四边形法则作出向量的和向量． (2)应用技巧：①准确画出几何图形，将几何图形中的边转化为向量；②将所求问题 转化为向量的加法运算，进而利用向量加法的几何意义进行求解．
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1．如图，已知 a、b，求作 a＋b. 解析： ①A→C＝a＋b ②A→C＝a＋b
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探究二 向量加法的运算律 [例 2] (1)化简下列各式： ①A→B＋B→C＋C→D＋D→A； ②(A→B＋M→B)＋B→O＋O→M. (2)如图，四边形 ABDC 为等腰梯形，AB∥CD，AC＝BD， CD＝2AB，E 为 CD 的中点．试求： ①A→B＋A→E；②A→B＋A→C＋E→C； ③C→D＋A→C＋D→B＋E→C.
定义平行四边形法则
于 A, B （图） ，因 OA ∥ e 1 ， OB ∥ e2 由定理可设
OA xe1 ， OB ye2 所以由平行四边形法则得 OP OA OB ，即 r x1e x2 e
反之，设 r x1e x2 e ，如果 x，y 中有一个为零，如 x = 0，那么 r ye 2 与 e 2 共线，因此与 e1， e 2 共面. 如果 xy 0 ，那么 xe1 ∥ e 1 ， ye 2 ∥ e 2 ，从向量加法的 平行四边形法则知 r 与 xe1 , ye 2 唯一性. 都共面， 因此 r 与 e1， e 2 共面.同上定理,可以证明
7. 共线向量 如果
8. 共面向量 平行于同一平面的一组向量称为共面向量.可见，任意两
个向量总是共面的，零向量与任何共面向量组共面.
二、向量的加、减法
a , b , 以空间任一点O为始点作向量 OA a， AB b ，得一折线OAB，则向量 c OB 叫做向量 a 与 b 的和
定义1（三角形法则） 设已知向量 向量，记作
定理 3 如果向量 e1， e 2， e3 不共面， 那么空间任意向量 r 可以由 e1， e 2， e3 向 量线性表示，即存在一组实数 x, y , z 使得
r xee ye 2 ze3
并且系数 x，y，z 由 e1， e 2， e3 和唯一确定.
，a n ， 定义对于 n （n≥1） 个向量 a1，a 2， 若存在不全为零的实数 1， …， 2 ，
a
对于任意两个向量，下面的三角不等式成立：
| a b || a | | b |
需要注意的是，式中等号成立的条件是三角形ABC中三个顶点共线. 这在平面几何中是不会出现的，因为三个顶点共线时，人们不认为构成 的图形是三角形. 三角不等式可以推广到任意有限多个向量的情形：
OA xe1 ， OB ye2 所以由平行四边形法则得 OP OA OB ，即 r x1e x2 e
反之，设 r x1e x2 e ，如果 x，y 中有一个为零，如 x = 0，那么 r ye 2 与 e 2 共线，因此与 e1， e 2 共面. 如果 xy 0 ，那么 xe1 ∥ e 1 ， ye 2 ∥ e 2 ，从向量加法的 平行四边形法则知 r 与 xe1 , ye 2 唯一性. 都共面， 因此 r 与 e1， e 2 共面.同上定理,可以证明
7. 共线向量 如果
8. 共面向量 平行于同一平面的一组向量称为共面向量.可见，任意两
个向量总是共面的，零向量与任何共面向量组共面.
二、向量的加、减法
a , b , 以空间任一点O为始点作向量 OA a， AB b ，得一折线OAB，则向量 c OB 叫做向量 a 与 b 的和
定义1（三角形法则） 设已知向量 向量，记作
定理 3 如果向量 e1， e 2， e3 不共面， 那么空间任意向量 r 可以由 e1， e 2， e3 向 量线性表示，即存在一组实数 x, y , z 使得
r xee ye 2 ze3
并且系数 x，y，z 由 e1， e 2， e3 和唯一确定.
，a n ， 定义对于 n （n≥1） 个向量 a1，a 2， 若存在不全为零的实数 1， …， 2 ，
a
对于任意两个向量，下面的三角不等式成立：
| a b || a | | b |
需要注意的是，式中等号成立的条件是三角形ABC中三个顶点共线. 这在平面几何中是不会出现的，因为三个顶点共线时，人们不认为构成 的图形是三角形. 三角不等式可以推广到任意有限多个向量的情形：
高一数学平面向量 PPT课件 图文
解: ka+b=k(1, 2)+(－3, 2)= (k－3,2k+2)
a－3b=(1, 2)－3(－3, 2)= (10, －4)
(ka+b)∥(a－3b)
－4(k－3)－10(2k+2)=0
K=－ 1
3
∵
ka+b=
10 3
,
4 3
=－
1 3
(a－3b)
∴它们反向
例2
思考:
此题还有没有其它解法?
分析 要证A、B、D三点共线，可证 AB=λBD关键是找到λ
解： ∵BD=BC+CD= 2a + 8b+ 3(a b)=a+5b
∴AB=2 BD
AB∥ BD
且AB与BD有公共点B
∴ A、B、D 三点共线
例3
知识结构
平面向量小 复习
知识要点 例题解析 巩固练习
课外作业
练习5 已知a=（1，0），b=（1，1），c =（－1，0） 求λ和μ，使 c =λa +μb.
新课标人教版课件系列
《高中数学》
必修4
2.6《平面向量-复习》
平面向量复习
知识结构 要点复习 例题解析
巩固练习
制作：曾毅 审校：王伟
知识结构
平面向量 复习
知识要点 例题解析 巩固练习
课外作业
表示 向量的三种表示
平
三角形法则
面
向量加法与减法
向
平行四边形法则
量
向量平行的充要条件
运算 实数与向量的积
知识Байду номын сангаас点 例题解析 巩固练习
课外作业
a－3b=(1, 2)－3(－3, 2)= (10, －4)
(ka+b)∥(a－3b)
－4(k－3)－10(2k+2)=0
K=－ 1
3
∵
ka+b=
10 3
,
4 3
=－
1 3
(a－3b)
∴它们反向
例2
思考:
此题还有没有其它解法?
分析 要证A、B、D三点共线，可证 AB=λBD关键是找到λ
解： ∵BD=BC+CD= 2a + 8b+ 3(a b)=a+5b
∴AB=2 BD
AB∥ BD
且AB与BD有公共点B
∴ A、B、D 三点共线
例3
知识结构
平面向量小 复习
知识要点 例题解析 巩固练习
课外作业
练习5 已知a=（1，0），b=（1，1），c =（－1，0） 求λ和μ，使 c =λa +μb.
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2.6《平面向量-复习》
平面向量复习
知识结构 要点复习 例题解析
巩固练习
制作：曾毅 审校：王伟
知识结构
平面向量 复习
知识要点 例题解析 巩固练习
课外作业
表示 向量的三种表示
平
三角形法则
面
向量加法与减法
向
平行四边形法则
量
向量平行的充要条件
运算 实数与向量的积
知识Байду номын сангаас点 例题解析 巩固练习
课外作业
平面向量基本定理-高一数学课件(人教A版2019必修第二册)
= ， = . 将按 ， 的方向分解，你有
什么发现？
M
A
a
e1
C
a
e2
O
N
B
思考：平面内的两个不共线的向量e1 、e2与该平面内的
任一向量a 之间有什么关系？
M
A
a
e1
C
a
e2
如图 OC = OM + ON
OM = λ1 OA = λ1e1
OC = λ1e1 + λ2 e2
⑵向量的加法：
B
b
b
a
C
a b
A
a
O
平行四边形法则
B
a b
b
O
A
a
三角形法则
上节我们学习了向量的运算，知道位于同
一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个
非零向量表示.
b = λa
a
b
类似地，平面内任一向量是否可以由同一平
面内的两个不共线向量表示呢？
我们知道，已知两个力，可以求出它们的合
力；反过来，一个力可以分解为两个力.
一、复习回顾:
⑴向量共线充要条件
向量b与非零向量a共线的充要条件是
有且只有一个实数，使得b a.
当 0时， b 与 a 同向， 且 | b | = | a | ;
当 0 时，b 与 a 反向，且 | b | =|||a | ;
当 0 时，b 0 ，且 | b | 0 。
思考：改变不共线的向量e1 、e2与任一向量a ，
A
是否有类似的结论？
B
e1
e1
e2
a
e2
N
a
O
什么发现？
M
A
a
e1
C
a
e2
O
N
B
思考：平面内的两个不共线的向量e1 、e2与该平面内的
任一向量a 之间有什么关系？
M
A
a
e1
C
a
e2
如图 OC = OM + ON
OM = λ1 OA = λ1e1
OC = λ1e1 + λ2 e2
⑵向量的加法：
B
b
b
a
C
a b
A
a
O
平行四边形法则
B
a b
b
O
A
a
三角形法则
上节我们学习了向量的运算，知道位于同
一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个
非零向量表示.
b = λa
a
b
类似地，平面内任一向量是否可以由同一平
面内的两个不共线向量表示呢？
我们知道，已知两个力，可以求出它们的合
力；反过来，一个力可以分解为两个力.
一、复习回顾:
⑴向量共线充要条件
向量b与非零向量a共线的充要条件是
有且只有一个实数，使得b a.
当 0时， b 与 a 同向， 且 | b | = | a | ;
当 0 时，b 与 a 反向，且 | b | =|||a | ;
当 0 时，b 0 ，且 | b | 0 。
思考：改变不共线的向量e1 、e2与任一向量a ，
A
是否有类似的结论？
B
e1
e1
e2
a
e2
N
a
O
第二节 平面向量基本定理及坐标运算 课件(共102张PPT)
( B)
A．－6
B．6
C．9
D．12
2．[必修4·P101·A组T7改编]已知点A(0,1)，B(3,2)，向量
→ AC
＝(－4，－3)，则向
量B→C＝( A )
A．(－7，－4)
B．(7,4)
C．(－1,4)
D．(1,4)
3．[必修4·P96·例2改编]若向量a＝(2,1)，b＝(－1,2)，c＝ 0，52 ，则c可用向量
1．已知△ABC的三个顶点A，B，C的坐标分别为(0,1)，( 2 ，0)，(0，－2)，O
为坐标原点，动点P满足|C→P|＝1，则|O→A＋O→B＋O→P|的最小值是( A )
A． 3－1
B． 11－1
C． 3＋1
D． 11＋1
2．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且M→P＝12M→N，则P点的坐标为( B )
A．(－8,1)
B．－1，－32
C．1，32
D．(8，－1)
[解析]
设P(x，y)，则
→ MP
＝(x－3，y＋2)，而
1 2
→ MN
＝
1 2
(－8,1)＝
－4，12
，所以
x－3＝－4， y＋2＝12，
x＝－1， 解得y＝－32，
所以P－1，－32.
3．已知正△ABC的边长为2
3
，平面ABC内的动点P，M满足|
知识点二 平面向量的坐标表示 在直角坐标系内，分别取与__x_轴__、__y_轴__正__方__向__相__同____的两个单位向量i，j作为基 底，对任一向量a，有唯一一对实数x，y，使得：a＝xi＋yj，__(_x_，__y_) _叫做向量a的 直角坐标，记作a＝(x，y)，显然i＝__(1_,_0_)___，j＝__(_0_,1_)_____，0＝__(_0_,0_)___.
平面向量的概念PPT课件
04
平面向量数量积概念及性 质
数量积定义及几何意义
数量积定义
两个向量的数量积是一个标量，等于它们模长的乘积与它们夹 角余弦的乘积。
几何意义
数量积反映了两个向量的相对位置和角度关系，正值表示同向， 负值表示反向，零表示垂直。
数量积性质及运算规律
性质
满足交换律、分配律、结合律，与标量乘法相容等。
运算规律
向量坐标与点坐标关系
向量坐标
向量坐标是由起点指向终点的有 向线段，在直角坐标系中可以用
两个坐标值表示。
点坐标
点坐标是直角坐标系中点的位置表 示，同样可以用两个坐标值表示。
关系
向量坐标与点坐标密切相关，向量 的起点和终点坐标可以决定向量的 坐标，而点的坐标可以用来表示向 量的起点或终点。
向量运算坐标表示法
坐标法求解向量问题
求解向量坐标
通过已知点的坐标和向量的关系，可以 求解向量的坐标。
求解向量模长
通过向量的坐标可以计算向量的模长， 进而求解与模长相关的问题。
求解向量夹角
通过向量的坐标可以计算向量的夹角， 进而求解与夹角相关的问题。
求解向量运算结果
通过向量的坐标表示法可以求解向量的 加法、减法和数乘运算结果。
向量运算满足基本定律
加法结合律
(a + b) + c = a + (b + c)
数乘结合律
(kl)a = k(la)
加法交换律
a+b=b+a
数乘分配律
k(a + b) = ka + kb
向量共线定理，使得b = λa
03
平面向量坐标表示法
直角坐标系中向量表示方法
《平面向量的应用》课件
详细描述
向量的模表示向量的长度，可以通过坐标表示计算得出。具体计算公式为$sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，其中$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$分别是向量的起点和终点的坐标。
向量加法和数乘可以通过坐标表示进行计算，遵循平行四边形法则和数乘的分配律。
详细描述
总结词
向量的大小或模定义为向量起点到终点的距离。
总结词
向量的模是表示向量大小的数值，可以通过勾股定理计算得到。向量的模具有几何意义，表示向量起点到终点的距离。
详细描述
向量小。
总结词
向量的加法是将两个有向线段首尾相接，形成一个新的有向线段。数乘则是将一个向量放大或缩小，保持方向不变。通过向量的加法和数乘，可以组合多个向量，形成复杂的向量关系。
平面向量的应用实例
03
速度和加速度
在匀速圆周运动和平抛运动等物理问题中，可以利用平面向量表示速度和加速度，进而分析运动规律。
力的合成与分解
通过向量加法、数乘和向量的数量积、向量的向量积等运算，可以方便地表示出力的合成与分解过程，进而分析物体的运动状态。
力的矩
矩是一个向量，可以利用平面向量表示力矩，进而分析转动效果。
总结词：平面向量在解决几何问题中具有广泛的应用，如向量的加法、减法、数乘等运算可以用于解决长度、角度、平行、垂直等问题。
总结词：平面向量在解决代数问题中具有广泛的应用，如向量的模长、向量的数量积、向量的向量积等运算可以用于解决方程组、不等式等问题。
总结词
通过平面直角坐标系，可以将向量表示为有序实数对。
详细描述
在平面直角坐标系中，任意一个向量可以由其起点和终点的坐标确定，并表示为有序实数对。例如，向量$overset{longrightarrow}{AB}$可以表示为$(x_2 - x_1, y_2 - y_1)$。
向量的模表示向量的长度，可以通过坐标表示计算得出。具体计算公式为$sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，其中$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$分别是向量的起点和终点的坐标。
向量加法和数乘可以通过坐标表示进行计算，遵循平行四边形法则和数乘的分配律。
详细描述
总结词
向量的大小或模定义为向量起点到终点的距离。
总结词
向量的模是表示向量大小的数值，可以通过勾股定理计算得到。向量的模具有几何意义，表示向量起点到终点的距离。
详细描述
向量小。
总结词
向量的加法是将两个有向线段首尾相接，形成一个新的有向线段。数乘则是将一个向量放大或缩小，保持方向不变。通过向量的加法和数乘，可以组合多个向量，形成复杂的向量关系。
平面向量的应用实例
03
速度和加速度
在匀速圆周运动和平抛运动等物理问题中，可以利用平面向量表示速度和加速度，进而分析运动规律。
力的合成与分解
通过向量加法、数乘和向量的数量积、向量的向量积等运算，可以方便地表示出力的合成与分解过程，进而分析物体的运动状态。
力的矩
矩是一个向量，可以利用平面向量表示力矩，进而分析转动效果。
总结词：平面向量在解决几何问题中具有广泛的应用，如向量的加法、减法、数乘等运算可以用于解决长度、角度、平行、垂直等问题。
总结词：平面向量在解决代数问题中具有广泛的应用，如向量的模长、向量的数量积、向量的向量积等运算可以用于解决方程组、不等式等问题。
总结词
通过平面直角坐标系，可以将向量表示为有序实数对。
详细描述
在平面直角坐标系中，任意一个向量可以由其起点和终点的坐标确定，并表示为有序实数对。例如，向量$overset{longrightarrow}{AB}$可以表示为$(x_2 - x_1, y_2 - y_1)$。
平面向量的平行四边形法则和三角形法则的证明
平面向量的平行四边形法则和三角形法则的证明平面向量是数学中的重要概念，它可以描述平面上的位移、速度、力等物理量。
其中，平行四边形法则和三角形法则是证明平面向量性质的基本定理。
本文将探讨这两个法则的证明过程。
一、平行四边形法则的证明平行四边形法则是用来计算两个平面向量之和的方法。
假设有平面向量a和b，可以通过平行四边形的法则来求解它们的和。
证明过程如下：1. 建立起矩形坐标系，在这个坐标系中，令向量a的起点为原点O。
2. 通过向量a的终点O，作向量b。
3. 以向量b的终点为起点，作向量a。
4. 将向量a和b的起点连接起来，得到一个平行四边形，其中对角线即为向量a和b的和向量c。
5. 通过图形的几何性质，可以证明向量a和向量b之和等于向量c。
在证明过程中，我们利用了矩形坐标系和图形的几何性质，从而推导出了平行四边形法则。
二、三角形法则的证明三角形法则是用来计算两个平面向量之差的方法。
假设有平面向量a和b，可以通过三角形的法则来求解它们的差。
证明过程如下：1. 建立起矩形坐标系，在这个坐标系中，令向量a的起点为原点O。
2. 通过向量a的终点O，作向量b的负向量(-b)。
3. 以向量(-b)的终点为起点，作向量a。
4. 将向量a和(-b)的起点连接起来，得到一个三角形，其中一边为向量a，另一边为向量(-b)。
三角形的第三边即为向量a和b的差向量c。
5. 通过图形的几何性质，可以证明向量a和向量b之差等于向量c。
在证明过程中，我们同样利用了矩形坐标系和图形的几何性质，从而推导出了三角形法则。
综上所述，平面向量的平行四边形法则和三角形法则是描述平面向量运算的基本定理。
通过几何图形的分析，我们可以推导出这两个法则，并利用它们来计算平面向量的和和差。
这些法则不仅仅是数学的抽象概念，还可以在物理学和工程学等实际问题中得到应用。
因此，熟练掌握平面向量的平行四边形法则和三角形法则对于理解和应用相关知识具有重要意义。
通过本文的讲解，希望读者能够理解平面向量的平行四边形法则和三角形法则的证明过程，并能够运用这些法则解决实际问题。
平面向量基本定理
OA tOA tOB A 1 t OA tOB. O 设点P满足等式OP 1 t OA tOB, 则OP OA tOA tOB, 即OP OA t OB OA 亦即AP t AB, 故 AP / / AB. 又因为有公共点A， 所以A、B、P共线, 所以P在直线l上.
M
AC AB AD 解： a b, A DB AB AD a b ,
分析：为了求MA,MB,MC,MD 只需求AC, DB即可
B
1 1 1 1 MA AC a b a b, 2 2 2 2
例2
已知A、B是直线l上任意两点，O是l外一点，求证：对直线l上 任一点P，存在实数t，使OP关于基底 OA, OB 的分解式为
OP 1 t OA tOB
O
P B A
并且，满足 式的点P一定在l上.
拓展：已知 m a nb要使的a, b, c终点在 c
需满足的条件是 A.m n 1B.m n 0 C.m n 1D.m n 1
一条直线上 设a, b, c有公共的起点，m, n ( )
小结回顾
1.平面向量基本定理
2.直线的向量参数方程式
3.线段中点的向量表达式
课后练习A 1,2.
l
由例3所证可知，对直线l上任意一点P，一定存在惟一的实数t ,
满足向量等式，反之对每一个数值t, 在直线l上都有惟一的一个点P
与之对应；向量等式叫做 直线l的向量参数方程 其中实数t叫做参变数 ，简称 参数
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• 4、零向量：模为0，方向任意.
• 5、习题评析1：
• 已知向量 a, b, c, d ；求作 a b c d .
• 技巧：可以考虑用向量加法的多边形法则.
向量加法的平行四边形法则
• 例题1：已知□OACB,设OA a,OB b ，
• 试用向量 a ，b ，表示向量：OC, AB
§22.9（2） 向量加法的平行四边形法则
• 一、复习：向量的加减法
• 1、向量的加法法则：三角形法则；（首尾 相接……）
• a 例如：已知向量； , b ，求作a b .
• 2、向量的减法法则：三角形法则（同起 点……）
• 例如：已知向量 a, b ；求作a b .
• 3、减去一个向量，等于 向量加法的平行四边形法则：如果 a, b是两
个不平行的向量，那么求它们的和向量时，
可以在平面内任取一点为公共起点作两个
向量与 相a,等b，以这两个向量为邻边作
平行四边形，然后以所取的公共起点为起
点，作这个平行四边形的对角线向量，则
这一对角线向量就是 的和a,向b量.——这
个规定叫做向量加法的平行四边形法则.
• 分析：1）速度单位化为一致；2）作图时， 比例要正确；
小试牛刀：P116：练习
小结
向量减法： • 方法一：在平面内取一点，以这个点为公共起点作
出这两个向量，那么它们的差向量是以减向量的终 点为起点，被减向量的终点为终点的向量. • 方法二：减去一个向量，等于加上这个向量的相反 向量. 平行四边形法则：共起点！作平行四边形，
• 另外一个对角线向量：即是
的差向
量，这个差向量与被减向量共a,终b点.
SUCCESS
THANK YOU
2019/7/31
向量的加法的平行四边形法则运用举例
• 例1：作图：已知向量a, b，用向量加法的
• a 平行四边形法则作图： +b；a -b .
a
b
• 例2：在一段宽阔的河道中，河水以40米/ 分的速度向东流去，一艘小艇顺流航行到A 处，然后沿着北偏东10度的方向以12千米/ 小时的速度驶向北岸，请用作图的方法指 出小艇实际航行的方向.
• 以共起点为起点的对角线向量，就是 a, b 的和向量. • 与被减向量共终点的对角线向量：即是 a, b 的差向
量.
SUCCESS
THANK YOU
2019/7/31
• 5、习题评析1：
• 已知向量 a, b, c, d ；求作 a b c d .
• 技巧：可以考虑用向量加法的多边形法则.
向量加法的平行四边形法则
• 例题1：已知□OACB,设OA a,OB b ，
• 试用向量 a ，b ，表示向量：OC, AB
§22.9（2） 向量加法的平行四边形法则
• 一、复习：向量的加减法
• 1、向量的加法法则：三角形法则；（首尾 相接……）
• a 例如：已知向量； , b ，求作a b .
• 2、向量的减法法则：三角形法则（同起 点……）
• 例如：已知向量 a, b ；求作a b .
• 3、减去一个向量，等于 向量加法的平行四边形法则：如果 a, b是两
个不平行的向量，那么求它们的和向量时，
可以在平面内任取一点为公共起点作两个
向量与 相a,等b，以这两个向量为邻边作
平行四边形，然后以所取的公共起点为起
点，作这个平行四边形的对角线向量，则
这一对角线向量就是 的和a,向b量.——这
个规定叫做向量加法的平行四边形法则.
• 分析：1）速度单位化为一致；2）作图时， 比例要正确；
小试牛刀：P116：练习
小结
向量减法： • 方法一：在平面内取一点，以这个点为公共起点作
出这两个向量，那么它们的差向量是以减向量的终 点为起点，被减向量的终点为终点的向量. • 方法二：减去一个向量，等于加上这个向量的相反 向量. 平行四边形法则：共起点！作平行四边形，
• 另外一个对角线向量：即是
的差向
量，这个差向量与被减向量共a,终b点.
SUCCESS
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向量的加法的平行四边形法则运用举例
• 例1：作图：已知向量a, b，用向量加法的
• a 平行四边形法则作图： +b；a -b .
a
b
• 例2：在一段宽阔的河道中，河水以40米/ 分的速度向东流去，一艘小艇顺流航行到A 处，然后沿着北偏东10度的方向以12千米/ 小时的速度驶向北岸，请用作图的方法指 出小艇实际航行的方向.
• 以共起点为起点的对角线向量，就是 a, b 的和向量. • 与被减向量共终点的对角线向量：即是 a, b 的差向
量.
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