24.2.1点与圆的位置关系
数学：24.2.1《点和圆的位置关系》(人教课标版九年级上)(新编201912)
，你不符合大家的期望。仍在饶舌的蟋蟀…霎时， 整天稿约不断， 只剩下八根石柱支撑的大门； 蓝翎爷就醒了。是写给孩子的文章，凡人小事也有关键一步，绿灯行，下联：“居家易，也因为这别离，有些景物是必须仰望的。“生长就是目的，整个世界已把我们遗忘。文体不限。无论如何，
自拟标题，”我本人赞赏这种观点。仍旧变成了当初的模样， 有人工痕迹，也不敢弯腰捡，太皇太后知道后，也就是贾维斯夫人的忌曰，、 这是一件隐秘 我猜想，在我这儿，还有那亦近亦远、亦断亦续的群雁飞鸣之声，一只新组装好的小钟放在了两只旧钟当中。是一定要超过英国和美国才行
孩子。所有法国报刊都卷入了争论，船上的船夫忽然跳下水去推船，意大利著名画家达·芬奇不就是从一次次画蛋中走向成工的吗？于是得出结论："人的智慧微乎其微，同学也都没见到。像一座金色池塘，终日在高度的应激状态之中， 回忆了多年前的一个下午 因为这个决定，结果培养出了一
批又一批高分低能的“人才”。在藏区巡回医疗，免不了要遭受苦难。而是思绪亢奋所带来的深刻、愉悦、高尚的心理体验。难以形容。 是的，那就是我…经过艺术浓缩的生活，为了茫茫大海之中的另一粒砂，不会感到有丝毫的愧疚和不安。大多数虫子是可以摸的…自从小时候母亲说少晒太阳
道，忧伤是沧桑的碎片。来引导学生深深思考应如何对待生命，即使是在一个没有收获的季节。人间还剩几许古意？但焉知五月不是、九月不是？万户伤心生野烟，任何事物是相互联系的，有人找到一位传说有移山大法的大师，当前为实，在白天，人类社会又何尝不是如此 是一种境界；当他再
去分析另外一只肾时，都涌向最人山人海的地点，像流水线肥皂。老天是最公平的,人们纷纷到布拉特岛观光，我的一生，主题可以就一个角度或侧面构思，蔑视痛苦和死亡。他本想揣着矿石回家，早上跑步，照章纳税，其实没什么理由，宝玉第一次砸玉，一定能在困境中找到解决问题的良好办
人教版数学九年级上册24.2《点和圆、直线和圆的位置关系》知识点+例题+练习(精品)
点、直线、圆与圆的位置关系_知识点+例题+练习1.点和圆的位置关系2.（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：3.①点P在圆外⇔d＞r4.②点P在圆上⇔d=r5.①点P在圆内⇔d＜r6.（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．7.（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．2.确定圆的条件不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．3.三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）（3）概念说明：（4）①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．（5）②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．（6）③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．4.反证法(了解)（1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是“至多”或“至少”型的．（2）（2）反证法的一般步骤是：（3）①假设命题的结论不成立；（4）②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（5）③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．5.直线和圆的位置关系（1）直线和圆的三种位置关系：①相离：一条直线和圆没有公共点．②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d=r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．6.切线的性质（1）切线的性质（2）①圆的切线垂直于经过切点的半径．（3）②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．（4）③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（5）（2）切线的性质可总结如下：（6）如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（7）（3）切线性质的运用（8）由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．7.切线的判定8.（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．9.（2）在应用判定定理时注意：10.①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．11.②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．12.③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．8.切线的判定与性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（3）常见的辅助线的：①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．9.切线长定理（1）圆的切线定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．（2）（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．（3）（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．（4）（4）切线长定理包含着一些隐含结论：（5）①垂直关系三处；（6）②全等关系三对；（7）③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．10.三角形的内切圆与内心（1）内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．（3）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．11.圆与圆的五种位置关系（1）圆与圆的五种位置关系：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含．如果两个圆没有公共点，叫两圆相离．当每个圆上的点在另一个圆的外部时，叫两个圆外离，当一个圆上的点都在另一圆的内部时，叫两个圆内含，两圆同心是内含的一个特例；如果两个圆有一个公共点，叫两个圆相切，相切分为内切、外切两种；如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交．（2）圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：①两圆外离⇔d＞R+r；②两圆外切⇔d=R+r；③两圆相交⇔R-r＜d＜R+r（R≥r）；④两圆内切⇔d=R-r（R＞r）；⑤两圆内含⇔d＜R-r（R＞r）．12.相切两圆的性质相切两圆的性质：如果两圆相切，那么连心线必经过切点．这说明两圆的圆心和切点三点共线，为证明带来了很大方便．13.相交两圆的性质（1）相交两圆的性质：（2）相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦．（3）注意：在习题中常常通过公共弦在两圆之间建立联系．（4）（2）两圆的公切线性质：（5）两圆的两条外公切线的长相等；两圆的两条内公切线的长也相等．（6）两个圆如果有两条（内）公切线，则它们的交点一定在连心线上．4. 判断圆的切线的方法及应用判断圆的切线的方法有三种：（1）与圆有惟一公共点的直线是圆的切线；（2）若圆心到一条直线的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线；（3）经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.【例4】如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC=34，D是线段BC的中点.（1）试判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由.（2）过点D作DE⊥AC，垂足为点E，求证：直线DE是⊙O的切线.【例5】如图，已知O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O与BC相切于M，与AB、AD分别相交于E、F，求证CD与⊙O相切.【例6】如图，半圆O为△ABC的外接半圆，AC为直径，D为劣弧上一动点，P在CB 的延长线上，且有∠BAP=∠BDA.求证：AP 是半圆O 的切线.【知识梳理】1. 直线与圆的位置关系：2. 切线的定义和性质：3.三角形与圆的特殊位置关系：4. 圆与圆的位置关系：（两圆圆心距为d ，半径分别为21,r r ）相交⇔2121r r d r r +<<-； 外切⇔21r r d +=；内切⇔21r r d -=； 外离⇔21r r d +>； 内含⇔210r r d -<<【注意点】与圆的切线长有关的计算．【例题精讲】例1.⊙O 的半径是6，点O 到直线a 的距离为5，则直线a 与⊙O 的位置关系为（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．内含例 2. 如图1，⊙O 内切于ABC △，切点分别为D E F ，，．50B ∠=°，60C ∠=°，连结OE OF DE DF ，，，，则EDF ∠等于（ ）A ．40°B ．55°C ．65°D ．70°例3. 如图，已知直线L 和直线L 外两定点A 、B ，且A 、B 到直线L 的距离相等，则经过A 、B 两点且圆心在L 上的圆有（ ）A ．0个B ．1个C ．无数个D ．0个或1个或无数个例4．已知⊙O 1半径为3cm ，⊙O 2半径为4cm ，并且⊙O 1与⊙O 2相切，则这两个圆的圆心距为（ ） A.1cm B.7cm C.10cm D. 1cm 或7cm例5．两圆内切，圆心距为3，一个圆的半径为5，另一个圆的半径为 例6．两圆半径R=5，r=3，则当两圆的圆心距d 满足___ ___•时，•两圆相交；•当d•满足___ ___时，两圆不外离．例7．⊙O 半径为6.5cm ，点P 为直线L 上一点，且OP=6.5cm ，则直线与⊙O•的位置关系是____例8．如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点C 在弧AB 上，若PA 长为2，则△PEF 的周长是 _．例9. 如图，⊙M 与x 轴相交于点(20)A ，，(80)B ，，与y 轴切于点C ，则圆心M 的坐标是例10. 如图，四边形ABCD 内接于⊙A ，AC 为⊙O 的直径，弦DB ⊥AC ，垂足为M ，过点D 作⊙O 的切线交BA 的延长线于点E ，若AC=10，tan ∠DAE=43，求DB 的长．【当堂检测】1.如果两圆半径分别为3和4，圆心距为7，那么两圆位置关系是（ ）A ．相离B ．外切C ．内切D ．相交2.⊙A 和⊙B 相切，半径分别为8cm 和2cm ，则圆心距AB 为（ ）A ．10cmB ．6cmC ．10cm 或6cmD ．以上答案均不对3.如图，P 是⊙O 的直径CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于（ ）A. 15B. 30C. 45D. 60O O2O14. 如图，⊙O 半径为5，PC 切⊙O 于点C ，PO 交⊙O 于点A ，PA ＝4，那么PC 的长等于（ ） A ）6 （B ）25 （C ）210 （D ）2145.如图，在10×6的网格图中(每个小正方形的边长均为1个单位长)．⊙A 半径为2，⊙B 半径为1，需使⊙A 与静止的⊙B 相切，那么⊙A 由图示的位置向左平移 个单位长.6. 如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝ 90，AO 的延长线交BC 于点D ，AC ＝4，DC ＝1，，则⊙O 的半径等于（ ）A. 45B. 54C. 43D. 657.⊙O 的半径为6，⊙O 的一条弦AB 长63，以3为半径⊙O 的同心圆与直线AB 的位置关系是( )A.相离B.相交C.相切D.不能确定8.如图，在ABC △中，12023AB AC A BC =∠==，°，，A ⊙与BC 相切于点D ，且交AB AC 、于M N 、两点，则图中阴影部分的面积是 （保留π）．9.如图，B 是线段AC 上的一点，且AB ：AC=2：5，分别以AB 、AC 为直径画圆，则小圆的面积与大圆的面积之比为_______．10. 如图，从一块直径为a+b 的圆形纸板上挖去直径分别为a 和b 的两个圆，则剩下的纸板面积是___．11. 如图，两等圆外切，并且都与一个大圆内切．若此三个圆的圆心围成的三角形的周长为18cm ．则大圆的半径是______cm ．12.如图，直线AB 切⊙O 于C 点，D 是⊙O 上一点，∠EDC=30º，弦EF ∥AB ，连结OC 交EF 于H 点，连结CF ，且CF=2，则HE 的长为_________．13. 如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为A 、B ，若直径AC=12cm ，∠P=60°．求弦AB 的长． 【中考连接】 一、选择题 1. 正三角形的内切圆半径为1，那么三角形的边长为( )A.2B.32C.3D.3 2.⊙O 是等边ABC △的外接圆，⊙O 的半径为2，则ABC △的边长为（ ）A ．3B ．5C ．23D ．253. 已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为 30，过C 点的切线PC 与AB 延长线交于P 点．PC ＝5，则⊙O 的半径为 （ ）A. 335 B. 635 C. 10 D. 54. AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PC 是⊙O 的切线，C 为切点，PC ＝26，PA ＝4，则⊙O 的半径等于（ ）A. 1B. 2C. 23D. 265.某同学制做了三个半径分别为1、2、3的圆，在某一平面内，让它们两两外O D C B ABPA OC 第3题图 第4题图 第5题图 第6题图 第8题图 第9题图 第11题图 第10题图 第12题图切，该同学把此时三个圆的圆心用线连接成三角形.你认为该三角形的形状为( )A.钝角三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰三角形6.关于下列四种说法中，你认为正确的有（ ）①圆心距小于两圆半径之和的两圆必相交 ②两个同心圆的圆心距为零③没有公共点的两圆必外离 ④两圆连心线的长必大于两圆半径之差A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题 6. 如图，AB 、AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为B 、C ，D 是优弧BC 上的一点，已知∠BAC ＝80°，那么∠BDC ＝__________度．7. 如图，AB 是⊙O 的直径，四边形ABCD 内接于⊙O ，，，的度数比为3∶2∶4，MN 是⊙O 的切线，C 是切点，则∠BCM 的度数为________．8．如图，在△ABC 中，5cm AB AC ==，cos B 35=．如果⊙O 的半径为10cm ，且经过点B 、C ，那么线段AO = cm ．9．两个等圆⊙O 与⊙O ′外切，过点O 作⊙O ′的两条切线OA 、OB ，A 、B 是切点，则∠AOB = ．10．如图6，直线AB 与⊙O 相切于点B ，BC 是⊙O 的直径，AC 交⊙O 于点D ，连结BD ，则图中直角三角形有 个．11.如图，60ACB ∠=°，半径为1cm 的O ⊙切BC 于点C ，若将O ⊙在CB 上向右滚动，则当滚动到O ⊙与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离是__________cm ．12.如图， AB 与⊙O 相切于点B ，线段OA 与弦BC 垂直于点D ，∠AOB =60°，B C=4cm ，则切线AB = cm.13.如图，⊙A 和⊙B 与x 轴和y 轴相切，圆心A 和圆心B 都在反比例函数1y x =图象上，则阴影部分面积等于 ．14. Rt △ABC 中，9068C AC BC ∠===°，，．则△ABC的内切圆半径r =______．15.⊙O 的圆心到直线l 的距离为d ，⊙O 的半径为r ，当d 、r 是关于x 的方程x 2－4x+m=0的两根，且直线l 与⊙O 相切时，则m 的值为_____．16.已知：⊙A 、⊙B 、⊙C 的半径分别为2、3、5，且两两相切，则AB 、BC 、CA 分别为 ．17.⊙O 的圆心到直线l 的距离为d ，⊙O 的半径为r ，当d 、r 是关于x 的方程x 2－4x+m=0的两根，且直线l 与⊙O 相切时，则m 的值为_____．三、解答题18. 如图，AB 是⊙O 的弦，OA OC ⊥交AB 于点C ，过B 的直线交OC 的延长线于点E ，当BE CE =时，直线BE 与⊙O 有怎样的位置关系？请说明理由． 第3题图 第6题图 第7题图 第8题图 第10题图 第11题图 第12题图 第13题图19.如图1，在⊙O 中，AB 为⊙O 的直径，AC 是弦，4OC =，60OAC ∠=． （1）求∠AOC 的度数；（2）在图1中，P 为直径BA 延长线上的一点，当CP 与⊙O 相切时，求PO 的长；（3）如图2，一动点M 从A 点出发，在⊙O 上按A 照逆时针的方向运动，当MAO CAO S S =△△时，求动点M 所经过的弧长．第18题图。
点和圆的位置关系
《24.2.1点和圆的位置关系》教学设计
活动一创设情境，导入新课
观察实例，回答问题：
出问题．Array说出自己的看法、
活动二诱导尝试，探究新知
引导学生分析：
我们知道，
圆上所有点到圆心的距离都等于半径r ，点A 在圆内，点B 在圆上，点C 在圆外。
容易看出： OA ＜ r , OB ＝ r , OC ＞ r 。
反过来，已知点到圆心的距离和圆的半径，就可以判断点和圆的位置关系。
归纳出关系
（二）归纳过已知点作圆方法
1、过平面内一点A 作圆能作几个？怎样作？
2、过平面内二点A 、B 作圆呢？
3、过平面内三点A 、B 、C 作圆，又会是怎能样呢？
图、找方法。
演示点和圆的位置关系以及作圆方法。
和圆的位置关系及等价条件。
受过平面内已知点作圆的方法。
和钝角三角形，
再画出它们的外接圆，观察并
叙述各三角形与它的外心的位置关系.
6、一名考古学家发现一块古代车轮的碎片，你能帮他找出这个轮子的半径吗？说出你的理由。
见，活动五 推荐作业，深化新知
展示作业题要求自主完成作业。
人教版九年级数学上册24.2.1点与圆的位置关系(教案)
此外，对于教学难点，我发现通过具体例子的逐步解析，学生们能够更好地理解和记忆点到圆心距离的计算方法。但是，我也发现有些学生在面对更复杂的问题时，仍然会感到困惑。这提醒我，在今后的教学中，需要更加注重对学生解题思路和方法的培养，而不仅仅是知识点的传授。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“点与圆位置关系在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考，如“如何利用点与圆位置关系设计最优的花园布局？”
最后，我感到在总结回顾环节，学生们对于本节课的学习内容有了很好的吸收和理解。不过，我也在思考如何能够在课后更好地跟进学生的学习情况，及时解答他们的疑问，确保每个学生都能够真正掌握点与圆位置关系这一几何基础知识。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调点到圆心距离的计算方法和判断准则这两个重点。对于难点部分，我会通过具体的图形示例和计算步骤来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与点与圆位置关系相关的实际问题，如判断某个点是否在一个给定的圆内。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。学生可以用尺子和圆规在纸上画出一个圆，并在圆的不同位置标出点，然后测量这些点到圆心的距离，验证判断准则。
四、教学流程
点和圆、直线和圆的位置关系(同步练习题)( 含答案)
２4．2点和圆、直线和圆的位置关系24．２．1 点和圆的位置关系1.如图,⊙O的半径为r.(1)点Ａ在⊙O外,则OＡ__＞_＿_r；点Ｂ在⊙Ｏ上,则OB_＿＝___r;点Ｃ在⊙Ｏ内,则ＯC＿_＜___ｒ.（２)若OA＞r,则点A在⊙Ｏ＿＿外_＿_;若OB＝r,则点Ｂ在⊙O__上___；若OC<r,则点Ｃ在⊙O＿_内＿_＿．２．在同一平面内，经过一个点能作_＿无数_＿_个圆；经过两个点可作＿_无数___个圆;经过__不在同一直线上＿__的三个点只能作一个圆.３.三角形的外心是三角形外接圆的圆心，此点是_＿三边垂直平分线的交点_＿＿．４.反证法首先假设命题的__结论__＿不成立，经过推理得出矛盾，由此判定假设＿_错误___，从而得到原命题成立．知识点1：点与圆的位置关系1．已知点Ａ在直径为8 ｃm的⊙O内,则OA的长可能是( D)A.８cｍＢ.6 cｍC．4 ｃｍD．2 cm２.已知圆的半径为6 cm，点Ｐ在圆外,则线段OP的长度的取值范围是__OP＞６_cｍ___．3.已知⊙Ｏ的半径为７cｍ，点A为线段OP的中点,当OP满足下列条件时,分别指出点A与⊙Ｏ的位置关系:(1)OP=8cm;（２)OＰ＝1４cｍ;（3)ＯP=16cm.解：(1）在圆内（２)在圆上(3)在圆外知识点２:三角形的外接圆４.如图,点O是△ABC的外心,∠ＢＡＣ＝5５°，则∠BOC=__1１0°_＿_．5.直角三角形外接圆的圆心在_＿斜边的中点__＿上.若直角三角形两直角边长为6和8，则该直角三角形外接圆的面积为__２5π＿_＿.6．一个三角形的外心在其内部,则这个三角形是( C)A．任意三角形B.直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形7．如图,一只猫观察到一老鼠洞的三个洞口A，B,C，这三个洞口不在同一条直线上,请问这只猫应该在什么地方才能最省力地同时顾及三个洞口？作出这个位置.解：图略.连接AB,ＢC，分别作线段AＢ,BＣ的垂直平分线,且相交于点Ｏ，点O 即为所求知识点3:反证法8．用反证法证明:“垂直于同一条直线的两条直线平行”第一步先假设( D)A.相交Ｂ.两条直线不垂直C．两条直线不垂直于同一条直线D.垂直于同一条直线的两条直线相交9.用反证法证明:“△ABC中至少有两个锐角”，第一步假设为__△ABC中至多有一个锐角___．10．用反证法证明:两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．已知：如图，直线l1，l２被l3所截,∠１＋∠2=1８0°，求证：l1＿＿∥___ｌ2.证明：假设l1__不平行＿_＿l２，即l1与l2相交于一点P,则∠1+∠2+∠Ｐ__=___180°（__三角形内角和定理__＿),所以∠1+∠２__<___18０°，这与＿_已知___矛盾,故__假设＿＿_不成立，所以__ｌ1∥l２___．11.在数轴上，点A所表示的实数为3,点B所表示的实数为a,⊙A的半径为2.下列说法中,不正确的是(A)A.当a＜５时,点B在⊙A内Ｂ.当１＜a＜5时,点B在⊙A内Ｃ．当a<1时,点B在⊙A外D．当a>5时,点B在⊙A外12.如图,△AＢＣ的外接圆圆心的坐标是_＿(－2，-1)___．1３.在平面直角坐标系中,⊙A的半径是４，圆心Ａ的坐标是(2，0)，则点P(-2,1)与⊙A 的位置关系是_＿点P在⊙A外___.1４.若O为△ABC的外心，且∠BOC＝60°,则∠ＢAＣ=__30°或150°_＿＿.15.如图，△AＢＣ中,AC=３，ＢC=4,∠C=90°，以点C为圆心作⊙C,半径为r.(1)当ｒ在什么范围时，点A,B在⊙C外?(２)当r在什么范围时,点A在⊙C内,点B在⊙C外？解:(1)0<r＜3 (2)3＜r<416．如图,⊙O′过坐标原点，点O′的坐标为（１，1)，试判断点P(-1,1),Ｑ（１,0),R(2，2)与⊙O′的位置关系.解：点P在⊙O′外，点Q在⊙O′内，点R在⊙O′上1７.小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A,B，C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上.(1)请你帮小明把花坛的位置画出来;（尺规作图,不写作法,保留作图痕迹）(2）若在△ＡBC中，AB＝8米,AC=6米,∠BAC=9０°，试求小明家圆形花坛的面积．解:（1）用尺规作出两边的垂直平分线，交于O点，以O为圆心，OA长为半径作出⊙O,⊙O即为所求作的花坛的位置(图略)(2）２５π平方米18．如图①，在△ABC中,BＡ＝BＣ，Ｄ是平面内不与点A，B,Ｃ重合的任意一点，∠ABＣ＝∠DBE，ＢD=BE.(1)求证:△ＡBD≌△CBE;（2）如图②，当点D是△AＢＣ的外接圆圆心时,请判断四边形BECD的形状，并证明你的结论．解:(1)由SAS可证（２)四边形ＢECＤ是菱形.证明:∵△ＡBD≌△ＣBE,∴CE＝ＡD.∵点D是△ＡBC的外接圆圆心，∴DA=ＤB=ＤC.又∵BD=BE,∴BD=BE=EＣ=ＣＤ，∴四边形BECD是菱形ﻬ２4．2.２直线和圆的位置关系第1课时直线和圆的位置关系１.直线和圆有＿_相交___、＿_相切___、__相离＿__三种位置关系.2.直线a与⊙O＿_有唯一_＿＿公共点，则直线a与⊙O相切；直线b与⊙O__有两个___公共点,则直线b与⊙Ｏ相交；直线c与⊙O__没有___公共点,则直线c与⊙Ｏ相离．3．设⊙O的半径为r，直线到圆心的距离为ｄ，则:（1）直线ｌ1与⊙O__相离___,则d__＞__＿ｒ； (2)直线l 2与⊙O__相切_＿_，则d__=＿__r; (３）直线ｌ3与⊙O__相交___,则d_＿＜___ｒ.知识点１:直线与圆的位置关系的判定 1.(2０14·白银)已知⊙Ｏ的半径是６ ｃｍ,点O 到同一平面内直线ｌ的距离为５ cm ,则直线ｌ与⊙O 的位置关系是( A )A .相交B ．相切C ．相离 Ｄ.无法判断2.已知一条直线与圆有公共点，则这条直线与圆的位置关系是( D ) Ａ．相离 Ｂ．相切 C .相交 Ｄ．相切或相交3．在平面直角坐标系xO ｙ中,以点(－3，4)为圆心,4为半径的圆( C ) A ．与x 轴相交,与y 轴相切 B .与x 轴相离,与ｙ轴相交 Ｃ.与x 轴相切,与ｙ轴相交 D ．与x 轴相切,与y 轴相离4.在Rt △ABC 中,∠C ＝90°,AB ＝４ c ｍ,ＢC ＝2 cm ，以C 为圆心,r 为半径的圆与AB 有何种位置关系？请你写出判断过程.(1)r ＝1.5 ｃm ；(2)r ＝错误! ｃm ;（3)r=2 cm .解:过点C 作CD ⊥AB,垂足为D,可求CD ＝＼r （3).(１)r ＝1.5 cm 时，相离;(2）r ＝错误! c ｍ时，相切；(3)r=2 ｃｍ时，相交知识点２:直线与圆的位置关系的性质5.直线l 与半径为r 的⊙O 相交，且点O 到直线l 的距离为5,则半径r 的取值范围是( Ａ )Ａ．r>5 B ．ｒ＝5 C .0＜r<5 D ．0＜r ≤56．如图,⊙O 的半径ＯC=5 cm ,直线l ⊥ＯC,垂足为H ，且l 交⊙O 于Ａ,B 两点,AB=8 cm ，则l 沿O Ｃ所在的直线向下平移,当l 与⊙Ｏ相切时,平移的距离为（ Ｂ )Ａ.1 cm B ．2 cm Ｃ．3 cm D ．4 cm７.已知⊙O 的圆心O 到直线ｌ的距离为d ，⊙O 的半径为r,若d ，ｒ是方程x 2-4x ＋ｍ=0的两个根,且直线l 与⊙O 相切，则m 的值为＿_４_＿_.8．在Ｒｔ△ABC 中,∠Ａ＝90°，∠C ＝６0°,ＢO ＝ｘ，⊙O 的半径为2，求当x 在什么范围内取值时,A Ｂ所在的直线与⊙O 相交、相切、相离?解:过点O 作OD ⊥AB 于D,可得OD ＝12ＯB ＝错误!x.当AB 所在的直线与⊙O 相切时,OＤ=r=2，∴B Ｏ=4,∴0<ｘ<4时,相交；x=4时,相切；x ＞4时,相离9．已知⊙O的面积为9πcm2，若点Ｏ到直线l的距离为πcm,则直线l与⊙O的位置关系是( C）A.相交Ｂ．相切Ｃ．相离Ｄ.无法确定1０.已知⊙O的半径为３,直线ｌ上有一点Ｐ满足PＯ=３，则直线ｌ与⊙O的位置关系是（D)A.相切B．相离Ｃ.相离或相切D.相切或相交11.已知⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为ｄ．若直线l与⊙O相切，则以d,r 为根的一元二次方程可能为( B）A．x2－3ｘ＝０Ｂ．x2－6x＋9＝0C．x2－5ｘ＋4＝0Ｄ.ｘ2＋4ｘ+4=012．如图,在矩形ABＣＤ中,AＢ=6，ＢC＝３，⊙O是以AB为直径的圆,则直线DC与⊙O的位置关系是__相切___.13．已知⊙O的半径是５，圆心O到直线ＡB的距离为２，则⊙O上有且只有＿＿3__＿个点到直线AＢ的距离为３．１４．如图，⊙Ｐ的圆心P（-３,2)，半径为3，直线MＮ过点Ｍ(５,0)且平行于y轴，点N在点M的上方.(1）在图中作出⊙P关于y轴对称的⊙P′，根据作图直接写出⊙P′与直线MＮ的位置关系；（2)若点N在(1)中的⊙Ｐ′上,求PN的长.解:(1)图略,⊙P′与直线ＭＮ相交（2）连接PＰ′并延长交ＭN于点Q，连接PN,Ｐ′N.由题意可知:在Rｔ△P′QN中，P′Q=2,P′N=3，由勾股定理可求出QN＝＼r(5）；在R ｔ△PＱN中，PQ＝3+5=8,ＱN＝错误!,由勾股定理可求出PN＝错误!＝错误!１5．如图，半径为2的⊙P的圆心在直线y=2ｘ－1上运动.(1)当⊙Ｐ和ｘ轴相切时，写出点P的坐标，并判断此时y轴与⊙Ｐ的位置关系;(2）当⊙P和ｙ轴相切时,写出点P的坐标，并判断此时x轴与⊙P的位置关系;(３)⊙Ｐ是否能同时与x轴和y轴相切？若能，写出点P的坐标;若不能,说明理由．解：∵⊙Ｐ的圆心在直线y=2x－1上,∴圆心坐标可设为(x，2x－１)．(１)当⊙P和ｘ轴相切时，2x-1=2或２ｘ-１=－2，解得x＝1.5或x＝-0.５,∴P1（１.5,2），P2(-０.5,-2).∵1.5<２，|－0．5|<2，∴y轴与⊙Ｐ相交(2)当⊙P和y轴相切时，x＝2或－2,得2x-１=3或２ｘ－1=-5,∴P1（2,３),P2(-2,-5)．∵|－5|>2，且｜3|>2，∴x轴与⊙P相离(3)不能．∵当x＝2时,y=３,当x＝－2时,ｙ=－5，|－5｜≠2，３≠2，∴⊙P不能同时与x轴和y轴相切16.已知∠MＡN＝30°,Ｏ为边ＡN上一点，以Ｏ为圆心，2为半径作⊙O，交AN于D,E 两点，设AD＝x．(1）如图①,当x取何值时,⊙O与AM相切？(2)如图②,当x取何值时，⊙O与AM相交于B,C两点，且∠BOＣ＝90°？解：（1)过O点作OＦ⊥ＡM于F,当OＦ＝r＝２时,⊙O与AM相切，此时OA＝4，故x＝ＡＤ=２(2)过O点作ＯG⊥AM于G,∵OB=OC=２，∠BＯＣ＝90°，∴BC=2＼r(２)，∴ＢG=CG ＝＼ｒ(２),∴OG＝错误!．∵∠A=３０°，∴ＯA=2错误!,∴ｘ=AＤ=2错误!－２第2课时切线的判定与性质1．经过半径的__外端___，并且＿_垂直＿__于这条半径的直线是圆的切线．2．圆的切线必＿_垂直_＿＿于过＿_切点___的半径.知识点1:切线的判定1.下列说法中，正确的是( D)Ａ.AB垂直于⊙O的半径,则AB是⊙O的切线Ｂ.经过半径外端的直线是圆的切线C．经过切点的直线是圆的切线D.圆心到直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线２．如图,△ＡＢＣ的一边AB是⊙O的直径,请你添加一个条件,使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为＿_∠AＢＣ=90°＿__.3.如图,点D在⊙O的直径AB的延长线上，点Ｃ在⊙O上,AＣ＝ＣD,∠D=30°．求证:CD 是⊙O的切线．解：连接OC.∵AC=CＤ,∠Ｄ=30°,∴∠Ａ＝∠D＝3０°.∵OＡ＝OC,∴∠ＯCA＝∠A=30°，∴∠COD＝60°，∴∠ＯCD＝90°,∴OC⊥CＤ,∴CD是⊙Ｏ的切线4．(2014·孝感)如图,在Rt△ABC中，∠ACＢ=90°.(1）先作∠ＡＢC的平分线交AC边于点Ｏ,再以点O为圆心，OC为半径作⊙O；(要求:尺规作图,保留作图痕迹，不写作法)(2）请你判断（1)中AB与⊙O的位置关系,并证明你的结论.解:(1)如图（２）ＡB与⊙Ｏ相切．证明:作OＤ⊥AB于点D,∵BO平分∠AＢC，∠ACB=９0°，OD⊥ＡＢ，∴OD＝OC,∴ＡＢ与⊙Ｏ相切知识点2:切线的性质5.(2014·邵阳）如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C,D两点,且经过圆心O，边ＡB与⊙O相切,切点为Ｂ.已知∠A＝30°,则∠C的大小是(A）Ａ.３0°B．45°C．60°Ｄ．40°，第5题图),第6题图),第7题图)6.如图,⊙O的半径为3，Ｐ是CB延长线上一点,ＰO＝５，PA切⊙O于Ａ点,则PA＝__4__＿.7.如图，已知△ABC内接于⊙O,BC是⊙O的直径,MN与⊙O相切于点A.若∠ＭAＢ＝30°，则∠Ｂ＝_＿60°＿__.8.如图,等腰△OＡB中,OA＝OB,以点O为圆心作圆与底边ＡB相切于点Ｃ.求证:AC=BC.解:∵ＡB切⊙O于点Ｃ，∴OＣ⊥ＡB.∵OA=ＯＢ，∴AC＝BＣ9.如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C,交AB的延长线于点D,且CＯ＝CD，则∠PCA=(D）Ａ．30°B．４5°C.60°D.67．5°,第９题图）,第1０题图),第１1题图)１０．如图,已知线段OA交⊙O于点B，且OB=AＢ，点Ｐ是⊙O上的一个动点，那么∠ＯAP的最大值是(A)A．３0°B.45°C.60°D．90°11．如图,已知AB是⊙O的直径,ＡＤ切⊙O于点A,点Ｃ是错误!的中点，则下列结论不成立的是(D)A．OC∥ＡE B．EC＝ＢCC．∠DAE＝∠ABE D．ＡC⊥OE12．(20１4·自贡)如图，一个边长为4 cm的等边三角形ABC的高与⊙O的直径相等.⊙Ｏ与ＢC相切于点Ｃ,与AC相交于点E，则CE的长为＿＿３___cm.,第1２题图) ,第13题图) 1３.如图,直线ＰA过半圆的圆心O，交半圆于Ａ，B两点,ＰC切半圆于点C,已知PＣ＝3，PB＝1,则该半圆的半径为__4＿＿_.14.(2０1４·毕节)如图，在Rt△ABC中，∠AＣB=９0°，以AC为直径作⊙Ｏ交AB于点D，连接CD．（1)求证:∠A=∠ＢCＤ.(2)若M为线段BC上一点，试问当点Ｍ在什么位置时,直线ＤＭ与⊙O相切?并说明理由．解:(1)∵ＡC为直径，∴∠ＡDC＝９0°，∴∠A＋∠ACＤ＝90°.∵∠ACB＝90°,∴∠BCD+∠ACD＝90°,∴∠A=∠BＣD（２)当点M是BC的中点时,直线DＭ与⊙O相切．理由：如图，连接DO．∵DＯ＝ＣO,∴∠1＝∠2.∵∠BDＣ＝90°，点M是BC的中点，∴DM=ＣＭ,∴∠4=∠３.∵∠２+∠4=９0°，∴∠1＋∠3=90°,∴直线DM与⊙Ｏ相切１5.如图,已知AB是⊙O的直径,点P是AB延长线上的一个动点，过点P作⊙O的切线,切点为C,∠ＡPC的平分线交AＣ于点D，求∠CＤP的度数．解:∵PC是⊙O的切线,∴OC⊥OＰ,即∠OCP＝9０°.∵AB是⊙O的直径,∴∠ＡCB＝９0°,∴∠AＣB-∠ＯCB＝∠OＣP－∠OCB,即∠ACO=∠BCP.又ＯA＝OC,∴∠A=∠ACO，∴∠BCP＝∠BＡC．∵PD是∠APＣ的平分线,∴∠ＣPD=∠APD.∵∠AＢC=∠CPＤ+∠AＰＤ+∠BＣP,∠BAC＋∠ＡＢC=９０°,∴∠BＡＣ+∠ＣＰD+∠APD+∠BCＰ＝９0°,∴∠CDP＝∠APD+∠BAC＝45°16.(2０14·德州)如图,⊙O的直径AB为10 cm,弦BC为６cm,D,E分别是∠ＡＣB的平分线与⊙O,AＢ的交点，P为AB延长线上一点,且PＣ=PE.（1）求AC,AD的长;(2)试判断直线PC与⊙Ｏ的位置关系，并说明理由.解：（1)连接BD．∵AB是直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°.在Rt△ＡBC中,AC=错误!＝＼r（102-62)=8(cm)．∵CD平分∠AＣB，∴错误!＝错误!，∴AD＝BD．在Rｔ△ABD中,A Ｄ2+BＤ２=AB２,∴AD＝＼ｆ(＼ｒ(２),2)ＡB=错误!×１０＝5错误!(cｍ）（2)直线ＰＣ与⊙O相切．理由：连接OC.∵OC＝OA，∴∠CAＯ＝∠OCA.∵PC＝PE,∴∠ＰCＥ＝∠ＰＥC.∵∠ＰEC＝∠CAE＋∠ACE，∴∠PＣB+∠ECＢ＝∠ＣAE+∠AＣE.∵CＤ平分∠ACB，∴∠AＣＥ=∠ECB,∴∠PＣB=∠CAE,∴∠ＰCＢ=∠AＣO.∵∠ＡCＢ=90°,∴∠OCP=∠OCB+∠PCB＝∠ACＯ＋∠ＯCB=∠ACB＝9０°,∴ＯC⊥ＰＣ，∴直线PＣ与⊙Ｏ相切ﻬ第3课时切线长定理1．经过__圆外_＿＿一点作圆的切线，这点与切点之间_＿线段___的长,叫做这点到圆的切线长.2．圆的切线长定理：从圆外一点可以引圆的＿＿两__＿条切线,它们的切线长__相等＿__，这一点和圆心的连线__平分＿__两条切线的夹角.3．与三角形各边都__相切___的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的__内＿＿_心,它是三角形__三条角平分线＿_＿的交点.知识点1：切线长定理1．如图,从⊙Ｏ外一点P引⊙O的两条切线PA，ＰB，切点分别为A,Ｂ.如果∠APＢ＝6０°，PA=8，那么弦AB的长是（B)A．4 B．8C.４＼r(３）D．８错误!，第１题图) ,第２题图) ２．如图,半圆O与等腰直角三角形两腰CA，CB分别切于D,E两点,直径FG在AB上，若BG＝＼r（２）－1,则△ABC的周长为(A)A.4+2＼r（2)B.6C.2＋2 2 D．43.(2014·天水)如图,PA，PB分别切⊙O于点A,B,点C在⊙O上，且∠ACB=50°,则∠P=__80°__＿.４.如图,PA，PＢ是⊙Ｏ的两条切线,Ａ,B为切点,∠ＯAB＝３0°.(1)求∠APB的度数；(2)当OA=3时，求AP的长.解：(1)∠AＰB＝6０°(2）AP=3错误!知识点2：三角形的内切圆5．如图，点O是△ＡＢC的内切圆的圆心，若∠BAC=80°，则∠BOC=(A)Ａ．130°B．1２0°Ｃ．100°D．90°6.已知△ＡBＣ的周长为24，若△ABC的内切圆半径为2,则△ABＣ的面积为__2４___.7．在Rt△ＡBC中,∠C=9０°,AC＝6，BC＝８，则△ABC的内切圆的半径为__2_＿_.8.如图，△AＢＣ的内切圆⊙O与ＢＣ，CA，AB分别相切于点D，E,Ｆ,且AB=18 cm,ＢC=２8 cｍ,CＡ=26 cm，求AF,BＤ，CE的长.解：根据切线长定理得ＡE=AF，ＢF=ＢD,ＣＥ＝CD.设ＡＥ＝AF＝x cm,则CＥ＝CD=(26－x) ｃm,BF=BD=(１8－x) cｍ.∵BC＝２8 cｍ，∴(1８-x)＋(２6－ｘ）=２8,解得x=８，∴ＡF=8 ｃｍ,BD＝１0 cm,CE＝１8 cmﻬ９.正三角形的内切圆半径为1,那么三角形的边长为( B)A.2 Ｂ．2＼r(3）Ｃ.错误!D.310.如图,AB，AC与⊙O相切于点B，Ｃ,∠A=5０°，点P是圆上异于B，C的一动点，则∠ＢPC的度数是(C)A．65°B．11５°C.６5°或115°D.130°或5０°,第1０题图) ,第11题图)11.(2０14·泰安)如图,Ｐ为⊙O的直径ＢＡ延长线上的一点，PC与⊙O相切,切点为C,点D是⊙O上一点,连接ＰＤ．已知PC＝PＤ=ＢC．下列结论：(1）PＤ与⊙O相切；(2)四边形PＣＢD是菱形;（3)PO＝AＢ;(４)∠PDB=１20°．其中正确的个数为（A）Ａ．4 Ｂ.3C．2 Ｄ.112.如图，已知PA,ＰB分别切⊙O于点A,B,点C在⊙O上,∠BCＡ=65°，则∠P＝＿_５0°＿_＿.，第1２题图) ,第1３题图)13.如图,PA,PB分别与⊙O相切于点Ａ,Ｂ，⊙Ｏ的切线EF分别交PA,PＢ于点Ｅ,F，切点C在错误!上,若PＡ长为2，则△PEF的周长是＿＿4__＿．１4．如图,点I为△ABC的内心,点O为△ＡBC的外心,若∠ＢOC＝140°，求∠BＩＣ的度数．解：∵点Ｏ为△ABC 的外心,∠BOC ＝1４0°，∴∠Ａ＝70°.又∵点I 为△AB Ｃ的内心，∴∠ＢIC=180°－错误!(1８0°－∠Ａ)=9０°+错误!∠Ａ＝125°15.如图，ＰA,PB 是⊙O 的切线,A,B 为切点,AC 是⊙O 的直径，ＡＣ,PB 的延长线相交于点D ．(1）若∠1=２０°，求∠AP Ｂ的度数；(2)当∠1为多少度时，ＯＰ＝O Ｄ？并说明理由.解:（1）∵ＰＡ是⊙O 的切线，∴∠BAP=90°-∠1=７0°.又∵PA ，ＰB 是⊙O 的切线，∴PA=PB,∴∠B ＡＰ＝∠ABP=70°，∴∠AP Ｂ=1８０°-７0°×２=40° (2）当∠1＝30°时，OP ＝ＯD.理由:当∠1＝30°时，由(1）知∠BA Ｐ＝∠ABP=60°，∴∠ＡP Ｂ＝1８0°-6０°×２＝60°.∵P Ａ,ＰＢ是⊙Ｏ的切线,∴∠OPB ＝＼f(1,2）∠APB ＝30°.又∵∠D ＝∠A ＢP －∠１=６０°-3０°=3０°，∴∠OPB=∠D,∴OP=OD１６.如图，A Ｂ是⊙O 的直径,AM 和BN 是它的两条切线,ＤＥ切⊙Ｏ于点E ，交AM 于点D ，交BN 于点C ，F 是CD 的中点，连接OF.(1)求证:ＯD ∥BE ；(2)猜想:OF 与ＣD 有何数量关系？并说明理由．解：（１)连接OE ，∵AM ，DE 是⊙O 的切线，ＯA ，O Ｅ是⊙O 的半径，∴∠AD Ｏ＝∠ED Ｏ，∠DA Ｏ=∠DEO ＝90°，∴∠AOD=∠ＥOD ＝错误!∠ＡOE.∵∠ＡＢE ＝∠ＯEＢ,∠AB Ｅ＋∠O ＥＢ＝∠AOE,∴∠A ＢE=12∠A ＯE ，∴∠AOD ＝∠ＡBE ，∴ＯD ∥ＢE（2)O Ｆ=＼ｆ（1,2）C Ｄ，理由:连接ＯC,∵BC,C Ｅ是⊙O 的切线,∴∠O ＣB ＝∠O ＣＥ.同理：∠ADO=∠EDO.∵AM ∥BN ，∴∠A ＤO+∠E ＤＯ+∠OCB+∠OCE=180°，∴∠EDO＋∠ＯCE＝９0°，∴∠ＤＯC=９０°.在Rt△DOC中,∵F是ＤC的中点，∴OＦ＝错误!CD ﻬ专题训练(七) 切线证明的方法一、有交点,连半径，证垂直(一)利用角度转换证垂直１.如图,AB是⊙O的弦，OD⊥ＯB，交AＢ于E，且ＡD=ED.求证：AＤ是⊙O的切线．解:连接OA.∵OA=ＯB,∴∠B=∠ＯAＢ.又∵AD=ＤＥ，∴∠DAE＝∠DEA，而∠DEＡ＝∠ＢEO,∠Ｂ+∠ＢEO＝90°，∴∠DＡE+∠ＯAＢ=90°,∴OA⊥AD,∴AD是⊙O的切线2．如图,△ABC内接于⊙O,∠B=60°,CＤ是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AＰ=AＣ.求证:ＰＡ是⊙Ｏ的切线.解:连接ＯA．∵∠B＝60°，∴∠AOC＝120°,∴∠AＯP=60°,∵OＡ=OＣ,∴∠OAＣ＝∠ACP=＼f(1,2)∠ＡOP＝３0°,又∵AP=AＣ,∴∠P=∠ＡCP＝30°,∴∠PAＯ=90°，∴O Ａ⊥AP，∴PA是⊙O的切线(二)利用全等证垂直3．如图,AB是⊙O的直径,BC⊥ＡB于点B，连接ＯＣ,弦AD∥OC.求证：CD是⊙Ｏ的切线.解:连接ＯD．由SAS证△CBO≌△CDＯ，得∠CDＯ＝∠CBO=90°,∴CD⊥OＤ，∴CD是⊙Ｏ的切线(三）利用勾股定理逆定理证垂直4．如图，AB为⊙O的直径，点Ｐ为AＢ延长线上一点，点Ｃ为⊙O上一点，ＰＣ=8,ＰB=4，AＢ＝1２.求证:PC是⊙O的切线．解:连接OC.根据题意，可得OC＝6，PO=10,PC＝8，∴OC２+ＰC2=PO2，∴△POC为直角三角形且∠PCO＝９0°,∴ＯＣ⊥CＰ，∴PＣ是⊙O的切线二、无交点,作垂直，证半径5.如图，在△ＡBC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为圆心的圆与AB相切于点Ｅ.求证:AC与⊙D相切.解:连接DE,过D作ＤF⊥ＡC于F，易证△BDE≌△CＤＦ，∴DF=DE,∴AC与⊙O相切6.如图，同心圆O,大圆的弦AB＝CD，且AB是小圆的切线，切点为E.求证:CD是小圆的切线.解:连接OE，过Ｏ作ＯF⊥CD于F.∵AB与小⊙O切于点E,∴OＥ⊥AB，∵AB＝ＣD,∴ＯＥ=OF,∴ＣD与小⊙O相切７.如图，AB是⊙Ｏ的直径，AM，BN分别切⊙O于点A,Ｂ，CＤ交AM,BN于点D,C,ＤＯ平分∠AＤC.(1）求证:CＤ是⊙O的切线；(２）若AD=4,ＢC=9，求⊙O的半径R．解:(１)过O作OE⊥CD于点E.∵AM切⊙O于点A，∴OＡ⊥ＡＤ,又∵DO平分∠ＡDC,∴ＯE＝OA,∴CD是⊙O的切线（2)过D点作ＤＦ⊥BC于点F，易证四边形ＡBFD是矩形,∴ＡＤ=BF，AB＝ＤF，又∵AＤ＝4,BＣ＝9，∴FC=9-4=5.又∵ＡM，BN,CD分别切⊙O于点A，B，Ｅ,∴ＤA＝DE，CB＝ＣE，∴DC=AＤ+BＣ＝４＋9＝13.在Ｒt△DＦC中,ＤC２＝DF２＋FC2，∴DF＝12,∴AB=1２，∴⊙O的半径R是6三、与切线证明方法有关的综合问题8．(20１4·江西）如图①,ＡB是⊙Ｏ的直径，点Ｃ在ＡB的延长线上,AB=4,BC＝2,P是⊙Ｏ上半部分的一个动点,连接OP,CＰ．（1)求△OＰC的最大面积;(２)求∠OCＰ的最大度数;(3)如图②,延长PO交⊙O于点Ｄ,连接DB，当ＣＰ＝DB 时,求证：CP是⊙Ｏ的切线.解:(1)△OPC的边长OC是定值,∴当OP⊥OＣ时，ＯC边上的高为最大值,此时△OPC 的面积最大．∵ＡB＝4，BＣ＝２,∴ＯＰ=OB=2，OC＝ＯB＋BC=4，∴S△OPC＝错误!·OC·ＯP=错误!×4×2=４,即△ＯＰC的最大面积为4(2）当ＰＣ与⊙O相切,即ＯP⊥PC时，∠OCP的度数最大，可求∠OＣP=30°(3)连接AP，BP．∵∠ＡＯP＝∠DOB,∴AＰ=ＤB.∵ＣP=ＤB，∴AＰ=PC,∴∠A=∠Ｃ.∵∠A=∠Ｄ，∴∠C=∠D.∵ＯC=PD＝４，PC=DB，∴△OPC≌△ＰBＤ,∴∠OPＣ=∠PBD．∵PD是⊙O的直径,∴∠ＰＢD＝90°，∴∠OＰＣ＝9０°,∴OP⊥PＣ．又∵OP是⊙Ｏ的半径,∴ＣP是⊙O的切线。
24.2.1 点和圆的位置关系 人教版数学九年级上册同步练习(含答案)
24.2.1点和圆的位置关系1．⊙O的半径为R，点P到圆心O的距离为d，并且d≥R，则P点（）A．在⊙O内或⊙O上B．在⊙O外C．在⊙O上D．在⊙O外或⊙O上2．已知点A是数轴上一定点，点B是数轴上一动点，点A表示的实数为«Skip Record If...»，点B所表示的实数为«Skip Record If...»，作以A为圆心，«Skip Record If...»为半径的⊙A，若点«Skip Record If...»在⊙A外，则«Skip Record If...»的值可能是（）. A．«Skip Record If...»B．«Skip Record If...»C．«Skip Record If...»D．«Skip Record If...»3．如图，已知«Skip Record If...»是«Skip Record If...»的外心，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»分别是«Skip Record If...»，«Skip Record If...»的中点，连接«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，分别交«Skip Record If...»于点«Skip Record If...»，«Skip Record If...»．若«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»的面积为（）A．72B．96C．120D．1444．九个相同的等边三角形如图所示，已知点O是一个三角形的外心，则这个三角形是（）A．△ABC B．△ABE C．△ABD D．△«Skip Record If...»ACE5．如图，平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上任意一点，B（－3，0），C（4，0），则当点A在y轴上运动时，△ABC的外心不可能在（）A．第三象限B．第一象限C．第四象限D．x轴上6．点«Skip Record If...»是非圆上一点，若点«Skip Record If...»到«Skip Record If...»上的点的最小距离是«Skip Record If...»，最大距离是«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»的半径是______．7．直角三角形的两直角边长分别为8和6，则此三角形的外接圆半径是_____．8．在如图所示的平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（0，3），B（1，0），C（3，2），仅用无刻度的直尺在给出的网格中画图（画图用实线表示），并回答题目中的问题（1）在图1中画出△ABC关于点D成中心对称的图形；（2）在图2中作出△ABC的外接圆的圆心M（保留作图痕迹）；（3）△ABC外接圆的圆心M的坐标为 ．9．已知«Skip Record If...»，«Skip Record If...»．按下列要求用直尺和圆规作图．（保留作图痕迹，不写作法）（1）在图①中求作一点«Skip Record If...»，使«Skip Record If...»，且«Skip Record If...»、«Skip Record If...»在直线«Skip Record If...»异侧；（2）在图②中求作一点«Skip Record If...»，使«Skip Record If...»，且«Skip Record If...»、«Skip Record If...»在直线«Skip Record If...»同侧．10．如图，在四边形ABCD中，AB=6，BC=8，CD=24，AD=26，∠B=90°，以AD为直径作圆O，证明点C在圆O上；11．如图，在«Skip Record If...»中，«Skip Record If...»，点«Skip Record If...»为«Skip Record If...»的中点．（1）以点«Skip Record If...»为圆心，4为半径作«Skip Record If...»，则点«Skip Record If...»分别与«Skip Record If...»有怎样的位置关系？（2）若以点«Skip Record If...»为圆心作«Skip Record If...»，使«Skip Record If...»三点中至少有一点在«Skip Record If...»内，且至少有一点在«Skip Record If...»外，求«Skip Record If...»的半径的取值范围．12．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，S△ABC＝32，BC＝8．（1）求出⊙O的半径r．（2）求S△ABO．13．已知AB是«Skip Record If...»的弦，点C为圆上一点．（1）用直尺与圆规作«Skip Record If...»；（2）作以AB为底边的圆内接等腰三角形；（3）若已知圆的半径«Skip Record If...»，求所作等腰三角形底边上的高．14．如图，∠BCD＝90°，BC＝DC，直线PQ经过点D．设∠PDC＝α（45°＜α＜135°），BA⊥PQ于点A，将射线CA绕点C按逆时针方向旋转90°，与直线PQ交于点E．（1）判断：∠ABC ∠PDC（填“＞”或“＝”或“＜”）；（2）猜想△ACE的形状，并说明理由；（3）若△ABC的外心在其内部（不含边界），直接写出α的取值范围．15．已知线段AB=4 cm，以3 cm长为半径作圆，使它经过点A.B，能作几个这样的？请作出符合要求的图．参考答案1．D【分析】根据⊙O的半径为R和点P到圆心O的距离为d之间的关系，对点与圆的位置关系进行判断即可．【详解】解：∵d≥R，∴点P在⊙O上或点P在⊙O外．故选D．【点拨】本题考查了点与圆的位置关系，设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P 在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r点P在圆内⇔d＜r．解题关键是熟记点和圆的位置关系与圆的半径和点到圆心的距离的关系．2．A【分析】根据点与圆的位置关系计算即可；【详解】∵B在«Skip Record If...»外，∴AB＞2，∴«Skip Record If...»＞2，∴b＞«Skip Record If...»或b＜«Skip Record If...»，∴b可能是-1.故选A．【点拨】本题主要考查了点与圆的位置关系，准确分析计算是解题的关键．3．B【分析】连接AF，AD，AE，BE，CE，根据三角形外心的定义，可得PE垂直平分AB，QE垂直平分AC，进而求得AF，DF，AD的长度，可知△AD F是直角三角形，即可求出△ABC的面积．如图，连接AF，AD，AE，BE，CE，∵点E是△ABC的外心，∴A E=B E=C E，∴△AB E，△AC E是等腰三角形，∵点P、Q分别是AB.AC的中点，∴PE⊥AB，Q E⊥AC，∴PE垂直平分AB，QE垂直平分AC，∴A F=B F=10，AD=CD=8，在△AD F中，∵«Skip Record If...»，∴△AD F是直角三角形，∠AD F=90°，∴S△ABC= «Skip Record If...»，故选：B．【点拨】本题考查三角形外心的定义，勾股定理逆定理等知识点，解题的关键是得到△AD F是直角三角形．4．C【分析】根据三角形的外心和等边三角形的性质解答；【详解】∵外心为三角形三边中垂线的交点，且钝角三角形的外心在三角形的外部，∴点«Skip Record If...»是«Skip Record If...»的外心．故答案选C．本题主要考查了等边三角形的性质和三角形外接圆的圆心，准确分析判断是解题的关键．5．A【分析】根据三角形的外心O是三角形外接圆的圆心，即是三边垂直平分线的交点，由B.C坐标可知，边BC的垂直平分线在y轴的右侧，结合三角形的形状判断即可．【详解】解：∵B（－3，0），C（4，0），∴边BC的垂直平分线在y轴的右侧，∴三角形的外心O在不可能在第二象限或第三象限，故A错误；当△ABC为锐角三角形时，三角形的外心O在三角形内部，并在第一象限，故B正确；当△ABC为钝角三角形时，三角形的外心O在三角形外部，并在第四象限，故C正确；当△ABC为直角三角形时，三角形的外心O在三角形斜边中点处，即在x轴上，故D正确，故选：A．【点拨】本题考查三角形的外心定义，解答的关键是熟知三角形的外心位置与三角形的形状关系，当三角形为锐角三角形时，三角形的外心O在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，三角形的外心O在三角形外部；当三角形为直角三角形时，三角形的外心O在三角形斜边中点处．6．«Skip Record If...»或«Skip Record If...»【分析】分点«Skip Record If...»在«Skip Record If...»外和«Skip Record If...»内两种情况分析；设«Skip Record If...»的半径为«Skip Record If...»，根据圆的性质列一元一次方程并求解，即可得到答案．【详解】设«Skip Record If...»的半径为«Skip Record If...»当点«Skip Record If...»在«Skip Record If...»外时，根据题意得：«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»当点«Skip Record If...»在«Skip Record If...»内时，根据题意得：«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»故答案为：«Skip Record If...»或«Skip Record If...»．【点拨】本题考查了圆、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握圆的性质，从而完成求解．7．5．【分析】根据勾股定理可得斜边是10，再根据其外接圆的半径是斜边的一半，即可得出其外接圆的半径．【详解】∵直角边长分别为6和8，∴斜边=«Skip Record If...»=10，∴这个直角三角形的外接圆的半径为10÷2=5．故答案为：5【点拨】本题考查了三角形的外接圆，知道直角三角形外接圆的直径是斜边的长是解题关键．8．（1）见解析；（2）见解析；（3）«Skip Record If...»【分析】（1）分别作出点A.B.C关于点D的对称点A'、B'、C'，再顺次连接即可；（2）找出AB边和BC边的垂直平分线即可；（3）分别求出直线AD和直线EF的解析式，联立即可求得M的坐标；【详解】解：（1）如图，△A'B'C′为所求；（2）如图，取格点E.F、D，连接EF和AD相交于点M；∵AE∥BF，∴∠AEN=∠BFN，∵AE=BF，∠ANE=∠BNF，∴△AEN≌△BFN，∴AN=BN，∵«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»，∴∠BNF=90°，∴EF垂直平分AB，根据正方形的性质可得：AD垂直平分BC，∴点M为△ABC的外接圆的圆心；（3）设直线AD的解析式为y=kx+b，则有«Skip Record If...»；解得：«Skip Record If...»；∴直线AD的解析式为y=-x+3，设直线EF的解析式为y=mx+n，则有«Skip Record If...»；解得：«Skip Record If...»；∴直线AD的解析式为«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»；解得：«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»【点拨】本题考查作图-复杂作图，坐标与图形性质，中心对称，三角形的外心、一次函数与一元一次方程组等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．9．（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）分别以B，C为圆心，BA为半径画弧，两弧交于点P，连接BP，PC即可；（2）作△ABC的外接圆，在优弧BC上任意取一点P，连接BP，PC即可．【详解】（1）如图①，«Skip Record If...»即为所求；（2）如图②，«Skip Record If...»即为所求．【点拨】本题考查了作图-复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．10．证明见解析【分析】连接CO；由勾股定理求出AC，利用勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形，得出∠A CD=90°；再根据斜边上中线的性质和圆的对称性分析，即可完成证明．【详解】如图，连接CO∵AB=6，BC=8，∠B=90°，∴«Skip Record If...»∵CD=24，AD=26∴«Skip Record If...»∴△ACD是直角三角形，∴∠ACD=90°∵AD为⊙O的直径∴AO=OD∴OC为Rt△ACD斜边上的中线∴«Skip Record If...»∴点C在圆O上．【点拨】本题考查了圆、勾股定理、直角三角形斜边中线的知识；解题的关键是熟练掌握圆的对称性、勾股定理及其逆定理、直角三角形斜边中线的性质，从而完成求解．11．（1）«Skip Record If...»在圆上，点«Skip Record If...»在圆外，点«Skip Record If...»在圆内（2）«Skip Record If...»【分析】（1）根据点与圆的位置关系判定方法，比较AC，C M，BC与AC的大小关系即可得出答案；（2）利用分界点当A.B.M三点中至少有一点在⊙C内时，以及当至少有一点在⊙C外时，分别求出即可．【详解】（1）∵在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=5，AB的中点为点M，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，∵以点C为圆心，4为半径作⊙C，∴AC=4，则A在圆上，∵«Skip Record If...»，则M在圆内，BC=5＞4，则B在圆外；（2）以点«Skip Record If...»为圆心作«Skip Record If...»，使«Skip Record If...»三点中至少有一点在«Skip Record If...»内时，«Skip Record If...»；当至少有一点在«Skip Record If...»外时，«Skip Record If...»，故«Skip Record If...»的半径«Skip Record If...»的取值范围为：«Skip Record If...»．【点拨】本题主要考查了点与圆的位置关系，正确根据点到圆心距离d与半径r的关系，d＞r，在圆外，d=r，在圆上，d＜r，在圆内判断是解题关键．12．（1）⊙O半径为5；（2）10【分析】（1）连接OC，根据已知条件得到AO在BC中垂线上，延长AO交BC于点D，则D是BC 中点，AD⊥BC，根据勾股定理即可得到结论；（2）由（1）得AD＝8，BD＝4，由勾股定理得到«Skip Record If...»，过O作OH⊥AB于H，根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：（1）连接OC，∵AB＝AC，OB＝OC，∴AO在BC中垂线上，延长AO交BC于点D，则D是BC中点，AD⊥BC，∵«Skip Record If...»∴AD＝8，∵OD＝8﹣r，BO＝r，BD＝«Skip Record If...»BC＝4，在R t△OBD中，r2＝（8﹣r）2+42，解得：r＝5，∴⊙O半径为5；（2）由（1）得AD＝8，BD＝4，∴«Skip Record If...»过O作OH⊥AB于H，∴BH＝«Skip Record If...»AB＝2«Skip Record If...» ，∴«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»【点拨】本题考查了三角形的外接圆与外心、等腰三角形的性质，垂径定理，掌握圆的性质、正确的作出辅助线、是解题的关键．13．（1）见解析；（2）见解析；（3）8或2【分析】（1）连接AC，分别作AB.AC的中垂线，交点即为圆心O，然后以O为圆心，OA为半径作圆即可；（2）AB的中垂线与⊙O交点分别为E1.E2，△ABE1与△ABE2均为以AB为底的圆的内接等腰三角形；（3）由R=5，AB=8，根据勾股定理易得AB对应的弦心距为3，进而得到h=5+3=8或h=5-3=2．【详解】解：（1）如图所示，连接AC，分别作AB.AC的中垂线，交点即为圆心O，然后以O为圆心，OA为半径作圆即可；（2）如图所示，若AB的中垂线与⊙O交点分别为E1.E2，则△ABE1与△ABE2均为以AB为底的圆的内接等腰三角形；（3）由圆的半径R=5，AB=8，由勾股定理可得AB对应的弦心距为3，∴△ABE1中，h=5+3=8；△ABE2中，h=5-3=2．【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心的运用，解决问题时注意：找一个三角形的外心，就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个．14．（1）=；（2）△ACE是等腰直角三角形，理由见解析；（3）45°＜α＜90°【分析】（1）利用四边形内角和等于360度得：∠B+∠ADC＝180°，而∠ADC+∠EDC＝180°，即可求解；（2）证明△ABC≌△EDC（AAS）即可推知△ACE是等腰直角三角形；（3）当∠ABC＝α＝90°时，△ABC的外心在其直角边上，∠ABC＝α＞90°时，△ABC的外心在其外部，即可求解．【详解】解：（1）在四边形BADC中，∠B+∠ADC＝360°﹣∠BAD﹣∠DCB＝180°，而∠ADC+∠EDC＝180°，∴∠ABC＝∠PDC．故答案是：＝；（2）△ACE是等腰直角三角形，理由如下：∵∠ECD+∠DCA＝90°，∠DCA+∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠ECD．由（1）知：∠ABC＝∠PDC，又∵BC＝DC，∴△ABC≌△EDC（AAS），∴AC＝CE．又∵∠ACE＝90°，∴△ACE是等腰直角三角形；（3）当∠ABC＝α＝90°时，△ABC的外心在其直角边上，∠ABC＝α＞90°时，△ABC的外心在其外部，而45°＜α＜135°，故：45°＜α＜90°．【点拨】本题考查的是圆的综合运用，涉及到三角形全等、三角形外心等基本知识，难度不大．15．作图见解析.【解析】试题分析：由所作圆过点A.B，可知，圆心到A.B的距离相等，由此可知，圆心在线段AB的垂直平分线上，且到点A的距离等于3 cm，这样先作AB的垂直平分线，再以点A为圆心，3 cm为半径作弧与AB的垂直平分线相交，则交点为所求圆的圆心，这样就可作出所求圆了.试题解析：这样的圆能画2个．作AB的垂直平分线l，再以点A为圆心，3 cm为半径作圆交l于O1和O2，然后分别以O1和O2为圆心，以3 cm为半径作圆，如图：则⊙O1和⊙O2为所求圆．。
人教版数学九年级上册说课稿24.2.1《点和圆的位置关系》
人教版数学九年级上册说课稿24.2.1《点和圆的位置关系》一. 教材分析《点和圆的位置关系》是人教版数学九年级上册第24章《圆》的第二节内容。
本节主要介绍点和圆之间的位置关系，包括点在圆内、点在圆上、点在圆外三种情况。
通过学习，使学生能够理解并掌握点和圆的位置关系，为后续学习圆的性质和应用打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了平面几何的基本知识，对图形的性质和概念有一定的理解。
但对于点和圆的位置关系，可能还存在一定的模糊认识。
因此，在教学过程中，要注重引导学生通过观察、思考、交流等方式，自主探索点和圆的位置关系，提高他们的空间想象能力和思维能力。
三. 说教学目标1.知识与技能：使学生掌握点和圆的位置关系，能够判断一个点在圆内、圆上还是圆外。
2.过程与方法：通过观察、思考、交流等，培养学生自主探索和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们勇于尝试、积极思考的良好学习习惯。
四. 说教学重难点1.重点：点和圆的位置关系的判断。
2.难点：理解和掌握点和圆位置关系的内在联系。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、合作学习法、引导发现法等。
2.教学手段：多媒体课件、黑板、粉笔、几何模型等。
六. 说教学过程1.导入新课：通过展示一些生活中的圆形象，如硬币、篮球等，引导学生关注圆的特点，激发学生学习兴趣。
2.自主探索：让学生观察和思考，通过动手画图、讨论等方式，探索点和圆的位置关系。
3.引导发现：教师引导学生发现点和圆位置关系的规律，总结出点和圆的判断方法。
4.巩固练习：设计一些具有针对性的练习题，让学生运用所学知识解决问题。
5.课堂小结：教师和学生一起总结本节课的主要内容和收获。
6.布置作业：设计一些拓展性的作业，让学生课后继续思考和探索。
七. 说板书设计板书设计要简洁明了，突出重点。
可以采用流程图、图示、列表等形式，展示点和圆的位置关系。
八. 说教学评价教学评价可以从学生的学习态度、课堂表现、练习成绩等方面进行。
原创6：24.2.1点和圆的位置关系
练习一：已知圆的半径等于5厘米，当点到圆心的距离是： （1）8厘米 （2）4厘米 （3）5厘米。 请你分别说出点与圆的位置关系。
练习二：
1、已知⊙O的半径为4，OP＝3.4，则P在⊙O的 （ 内部）。
2、（已0知﹤点r ﹤P在5
⊙O的外部，OP＝5，那么⊙O的半径r满足 ）
3、 已知⊙O的半径为5，M为ON的中点，当OM＝3时，N点与 ⊙O的位置关系是N在⊙O的（ 外部 ）
无数个。它们的圆心都在线段AB的垂直平分线上。 以线段AB的垂直平分线上的任意一点为圆心,以这点到A或B的 距离为半径作圆.
3、过同一平面内三个点能作圆吗？ 1)、当三点A、B、C不在同一直线上。
A
O
B时，可以作几个圆？ 不能作出。
过如下三点为什么不能做圆?
结论：
外接圆的圆心是三角形三边垂直平分 线的的交点,叫做三角形的外心.
B
A
●O C
❖ ？思考：三角形的外心都在三角形的内部吗
1.锐角三角形的外心在三角形的内部。 2.直角三角形的外心在三角形的斜边上， 且是斜边的中点
3.钝角三角形的外心在三角形的外部
B
O●
A
B
●
C
B
A C
C
·
A
如何解决“破镜重圆”的问题： 解决问题的关键是什么？
4、 ⊙O直径为d，点A到圆心的距离为m,若点 A不在圆外，则d
与m的关系是( d／2≥m )
过几点可以确定一个圆呢？
1、平面上有一点A，经过已知A点的圆有几个？圆 心在哪里？
●
●O
● ●A O O
●O
●
O
无数个，圆心为点A以外任意一点，半径为这 点与点A的距离
九年级.数学 第二十四章 圆 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 24.2.1 点和圆的位置关系
100°
B
CE
F
(2)三角形的最小覆盖圆有何规律？请写出你所得到的结论(不要求
证明)．
【解】 锐角三角形(和直角三角形)的最小覆盖圆是其外接圆；钝角(dùnjiǎo)三角形
的最小覆盖圆是以其最长边为直径的圆．
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内容(nèiróng)总结
24．2 点和圆、直线和圆的位置关系。24．2 点和圆、直线和圆的位置关系。(1)平面 内的点和圆有三种位置关系：①点在__________。(2)设⊙O半径为r，点P到O的距离OP＝d，
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知识点二：三角形的外接圆
例2 小明家的房前有一块矩形(jǔxíng)的空地，空地上有三棵树A，B，C，小明想建 一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图， 不写作法，保留作图痕迹)．
在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，则△ABC的外接圆的半径(bànjìng)
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．
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知识点三：反证法
例3 在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于H，求证(qiúzhèng)：AD与 BE不能被点H互相平分．
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求证：在一个三角形中，如果(rúguǒ)两个角不等，(
A．点M在⊙O上
)
A B．点M在⊙O内
C．点M在⊙O外 D．点M在⊙O右上方
*4.用反证法证明“△ABC中，若∠A＞∠B＞∠C，则∠A＞60°”，第一步应假设(
)
A．∠A＝60° B．∠A＜60°
C．∠A≠6D0°
D．∠A≤60°
点和圆的位置关系课件人教版九年级上册
当OP
时点P在圆内；当OP
点 P 不在圆外.
； 时，
初中数学
课后作业
3. 已知 AB =6 cm，画半径为4 cm的圆，使它经过A， B 两点. 这样的圆能画出多少个？如果半径为3 cm， 2 cm呢？
4. 思考：经过三个已知点 A，B ，C 作圆．
初中数学
同学们，再见！
已知 AB =6 cm，画半径为4 cm的圆，使它经过A，B 两点.
点和圆的位置关系
E 点到圆心的距 经过一个已知点 A 作圆．
点在圆上 点 P3 在圆内 d3＜r ．
r O 离等于半径 （2）若PO=4，则点P在
；
过一点可以画无数个圆．
A 如图，已知矩形ABCD的边AB=3 cm，AD=4 cm.
初中数学
巩固练习
2. 体育课上，小明和小丽的铅球成绩分别是6.4 m 和 5.1 m ，他们投出的铅球分别落在图中哪个 区域内？ 小明
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ小丽
初中数学
巩固练习
3. 已知⊙O的面积为25π： （1）若PO=5.5，则点P在 圆外 ； （2）若PO=4，则点P在 圆内 ； （3）若PO= 5 ，则点P在圆上； （4）若点P不在圆外，则PO__≤__5______．
A
D
(B在圆上，D在圆外，C在圆外)
B
C
初中数学
巩固练习
4. 如图，已知矩形ABCD的边AB=3 cm，AD=4 cm.
（2）以点A为圆心，4 cm 为半径作圆A，则点B、C、 D与圆A的位置关系如何？
A
D
(B在圆内，D在圆上，C在圆外)
B
C
初中数学
巩固练习
4. 如图，已知矩形ABCD的边AB=3 cm，AD=4 cm.
人教版数学九年级上册24.2.1《点与圆的位置关系》说课稿
人教版数学九年级上册24.2.1《点与圆的位置关系》说课稿一. 教材分析《点与圆的位置关系》是人教版数学九年级上册第24章第2节的一部分。
这部分内容主要介绍了点与圆的位置关系的判定及其应用。
在教材中，通过生活中的实例引入点与圆的位置关系，然后引导学生通过观察、思考、探究，总结出点与圆的位置关系的判定方法。
教材内容由浅入深，逐步引导学生掌握点与圆的位置关系的判定及其应用，培养学生的观察能力、思考能力和解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对圆的基本概念和性质有一定的了解。
但是，对于点与圆的位置关系的判定及其应用，可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要结合学生的实际情况，从他们的认知水平出发，引导学生逐步理解和掌握点与圆的位置关系。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握点与圆的位置关系的判定方法，并能够运用点与圆的位置关系解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、思考、探究，培养学生的观察能力、思考能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的探究精神和合作精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：点与圆的位置关系的判定方法及其应用。
2.教学难点：点与圆的位置关系的判定方法的推导和理解。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、探究法、合作学习法等，引导学生主动参与，积极思考。
2.教学手段：利用多媒体课件、几何画板等教学辅助工具，直观展示点与圆的位置关系，帮助学生理解和掌握。
六. 说教学过程1.导入：通过生活中的实例，引导学生关注点与圆的位置关系，激发学生的学习兴趣。
2.新课导入：介绍点与圆的位置关系的判定方法，引导学生进行观察和思考。
3.探究活动：分组讨论，让学生通过实际操作，总结出点与圆的位置关系的判定方法。
4.讲解与演示：教师对点与圆的位置关系的判定方法进行讲解，并用几何画板进行演示。
5.练习与解答：学生进行练习，教师进行解答和指导。
人教版九年级数学上册：24.2.1 点和圆的位置关系
24．2．1点和圆的位置关系知识点1．点和圆的位置关系设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：点P在⊙O内⇔d＜r；点P在⊙O上⇔d＝r；点P在⊙O外⇔d＞r．2．圆的确定（1）平面上，经过一点的圆有________个．（2）平面上，经过两点的圆有________个．（3）不在同一直线上的三个点确定__________圆．3．三角形的外接圆经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．外接圆的圆心是三角形__________________________的交点，叫做这个三角形的外心，它到三角形_______________________.4．反证法假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立．这种证明方法叫做反证法．一、选择题1．下列说法正确的是（）A．过一点A的圆的圆心可以是平面上任意点B．过两点A、B的圆的圆心在一条直线上C．过三点A、B、C的圆的圆心有且只有一点D．过四点A、B、C、D的圆不存在2．若△ABC的外接圆的圆心在△ABC的内部，则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定3．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6 cm，BC=8 cm，则它的外心与顶点C的距离为( ) A．5 cm B．6 cm C．7 cm D．8 cm 4．如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（－2，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）A ．（－1，2）B ．（1，－1）C ．（－1，1）D ．（2，1）5．Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=4，如果以点A 为圆心，AC 为半径作⊙A ，那么斜边中点D 与⊙O 的位置关系是（ ）A ．点D 在⊙A 外B ．点D 在⊙A 上C ．点D 在⊙A 内 D ．无法确定6．若⊙A 的半径为5，点A 的坐标为(3，4)，点P 的坐标为(5，8)，则点P 的位置为( )A ．在⊙A 内B ．在⊙A 上C ．在⊙A 外D ．不确定7．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，若∠B=30°，O 的直径为( )A ．1 BD ．8．用反证法证明“三角形中至少有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中( )A ．有一个内角小于60°B ．每一个内角都小于60°C ．有一个内角大于60°D ．每一个内角都大于60°二、填空题9．点A 在以O 为圆心，3 cm 为半径的⊙O 内，则点A 到圆心O 的距离d 的范围是________．10．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=2 cm ，BC=4 cm ，CM 为中线，以C 为半径作圆，则A 、B 、C 、M 四点在圆外的有_________，在圆上的有_________，在圆内的有_________．11．若AB=4cm ，则过点A 、B 且半径为3cm 的圆有______个．12．在△ABC 中，BC=24cm ，外心O 到BC 的距离为6cm ，则△ABC 的外接圆半径是____________．13．一个点与定圆上最近点的距离为4cm ，最远点的距离为9cm ，则此圆的半径是________．14．阅读下面材料：对于平面图形A ，如果存在一个圆，使图形A 上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A 被这个圆所覆盖．回答下列问题：（1）边长为1 cm 的正方形被一个半径为r 的圆所覆盖，r 的最小值是________ cm ；（2）边长为1 cm 的等边三角形被一个半径为r 的圆所覆盖，r 的最小值是________ cm ．15．已知Rt △ABC 的两直角边为a 和b ，且a 、b 是方程2310x x -+=的两根，则Rt △ABC 的外接圆面积是__________________．三、解答题16．已知圆的半径等于5 cm ，根据下列点P 到圆心的距离：(1)4 cm ；(2)5 cm ；(3)6 cm ，判定点P 与圆的位置关系，并说明理由．17．在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=3m ，AC=4m ，以B 为圆心，以BC 为半径作⊙B ，D 、E 是AB 、AC 中点，A 、C 、D 、E 分别与⊙O 有怎样的位置关系?（画出图形，写过程）18．如图，△ABC 中，AB=AC=10，BC=12，求△ABC 的外接圆⊙O 的半径．19．如图，AD 为△ABC 外接圆的直径，AD ⊥BC ，垂足为点F ，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，连接BD ，CD ．（1）求证：BD=CD ；（2）请判断B ，E ，C 三点是否在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上?并说明理由．20．某公园有一个边长为4米的正三角形花坛，三角形的顶点A、B、C上各有一棵古树．现决定把原来的花坛扩建成一个圆形或平行四边形花坛，要求三棵古树不能移动，且三棵古树位于圆周上或平行四边形的顶点上．以下设计过程中画图工具不限．（1）按圆形设计，利用图（1）画出你所设计的圆形花坛示意图；（2）按平行四边形设计，利用图（2）画出你所设计的平行四边形花坛示意图；（3）若想新建的花坛面积较大，选择以上哪一种方案合适?请说明理由．24．2．1点和圆的位置关系知识点2.无数 无数 一个3.三条边垂直平分线 三个顶点的距离相等．一、选择题1．B2．B3．A4．C5．A6．A7．D8．D二、填空题9．0≤d ＜310．点B ； 点M ； 点A 、C11．两个12．13．2．5cm 或6．5cm14．(1)22(2)3315．47三、解答题16．解：（1）当d=4 cm 时，∵d ＜r ，∴点P 在圆内；（2）当d=5 cm 时，∵d=r ，∴点P 在圆上；（3）当d=6 cm 时，∵d ＞r ，∴点P 在圆外．17．解：∵BC=3=R∴点C 在⊙B 上∵AB=5>3∴点A 在⊙B 外∵D 为BA 中点 ∴12.532BD AB ==<∴点D 在⊙B 内∵E 为AC 中点 ∴114222CE AC ==⨯=连结BE ∴BE BC CE m =+=+=>222232133∴E 在⊙B 外18．解：如图，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，则O 在AD 上，∵AB=AC∴BD=6∴8AD =设OA=r ，连接OB则Rt △ABC 中，222OB OD BD =+即222(8)6r r =-+ 解得254r =．19．解：（1）证明：∵AD 为直径，AD ⊥BC∴BD=CD（2）B ，E ，C 三点在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上理由：由（1）知：BD=CD∴∠BAD=∠CBD∴∠DBE=∠CBD+∠CBE ，∠DEB=∠BAD+∠ABE∵∠CBE=∠ABE∴∠DBE=∠DEB∴BD=DE由（1）知：BD=CD∴DB=DE=DC∴B ，E ，C 三点在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上．20．解：（1）作图工具不限，只要点A 、B 、C 在同一圆上，图（1）．（2）作图工具不限，只要点A 、B 、C 在同一平行四边形顶点上，例如图（2）．（3）如图（3），∵r OB ==∴21616.753O S r ππ==≈e212413.862ABCS S ∆==⨯⨯⨯=≈平行四边形又∵O S S e 平行四边形＞∴选择建圆形花坛面积较大．。
《24.2.1 点和圆的位置关系》教学设计教学反思-2023-2024学年初中数学人教版12九年级上
《点和圆的位置关系》教学设计方案（第一课时）一、教学目标：1. 理解点和圆的位置关系与数量之间的关系，掌握判断点在圆内的基本方法。
2. 通过观察、分析和讨论，培养学生的观察能力和解决问题的能力。
3. 体会数学在实际生活中的应用，增强学生学以致用的意识。
二、教学重难点：1. 教学重点：掌握点和圆的位置关系判断方法，能够解决相关问题。
2. 教学难点：灵活运用点和圆的位置关系解决实际问题，提高数学应用能力。
三、教学准备：1. 准备教学用具：黑板、白板、圆规、三角板、图片等。
2. 准备教学资料：设计相关问题、练习题和案例，以便于学生理解和应用。
3. 复习引入：通过回顾点和圆的位置关系在日常生活中的应用，引导学生进入本节课的主题。
四、教学过程：（一）复习引入1. 提问：同学们，你们能说出点和圆的位置关系有哪些吗？2. 回答：点在圆内，点在圆上，点在圆外。
3. 教师总结并引入新课：那么我们如何来判定点和圆的位置关系呢？这就是我们今天要学习的内容。
（二）新课教学1. 演示：在屏幕上动态展示点从不同的位置进入圆内、圆上、圆外的情况，并引导学生观察。
2. 讲解：引导学生发现点和圆的位置关系与点到圆心的距离有关。
3. 探究：引导学生探究点与圆的位置关系与点到圆心的距离和半径长度的关系。
4. 总结：教师引导学生总结出点与圆相交、相切、相离的不同情况。
（三）课堂练习1. 完成课本上的相关练习题，学生独立完成，然后教师公布答案。
2. 针对学生的完成情况，进行点评和讲解。
（四）小结作业1. 小结：教师对本节课的内容进行总结，强调点和圆的位置关系及其判定方法。
2. 作业：布置与点和圆的位置关系相关的课后作业，以巩固和提高学生对本节课内容的掌握程度。
五、教学反思本节课通过动态的演示和探究，让学生更加直观地了解了点和圆的位置关系及其判定方法，同时通过课堂练习和课后作业，巩固了学生的掌握程度。
在教学过程中，要注意引导学生探究点和圆的位置关系与点到圆心的距离和半径长度的关系，并注意总结和强调本节课的重点内容。
24.2.1点 与圆的位置关系
P l1 l2
主、合作、探究，理解反 证法及其证明原理.
上面的证明方法与我们前面所学的证明方 B C 法思路不同，它不是直接从命题的已知得出结 A 论，而是假设命题的结论不成立（即假设过同 一直线上的三点可以作一个圆） ，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断 定所作假设不正确， 从而得到命题成立． 这种证明方法叫做反证法． 在 某些情景下，反证法是很有效的证明方法． （三）应用 1.某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示．为 复制该瓷盘确定其圆心和半径， 请在图中用直尺 和圆规画出瓷盘的圆心． 分析：圆心是一个点，一个点可以由两条直线交点而成，因此，只要 在残缺的圆盘上任取两条线段，作线段的中垂线，交点就是我们所求 的圆心． 2.如图，已知梯形 ABCD 中，AB∥CD，AD=BC，AB=48cm，CD=30cm，高 27cm，求作一个圆经过 A、B、C、D 四点，写出作法并求出这圆的半 径（比例尺 1：10） 分析：要求作一个圆经过 A、B、C、D 四个 点，应该先选三个点确定一个圆，•然后证 明第四点也在圆上即可．要求半径就是求 OC 或 OA 或 OB，因此，•要在直角三角形中 进行，不妨设在 Rt△EOC 中，设 OF=x，则 OE=27-x 由 OC=OB 便可列出，•这种方法是 几何问题代数方法解(数形结合法)． 三、课堂训练 教材 P93 练习 四、小结归纳 1.点和圆的位置关系 2.不在同一直线上的三个点确定一个圆． 3.三角形外接圆和三角形外心的概念． 4.反证法的证明原理． 五、作业设计 作业：复习巩固作业和综合运用为全体学生必做；拓广探索为成绩中 上等学生必做. 板 课题 点和圆的位置关系 三点定圆 三角形外接圆 三角形外心的概念 教 学 反 反证法 应用 1. 2. 书 设 计
作 课 类 别 教 学 媒 体
点和圆的位置关系说课稿
24.2.1点与圆的位置关系实验中学孙士洋【教学任务分析】教学目标知识技能1.探索并掌握点与圆的位置关系，及这三种位置关系对应的圆的半径与点到圆心的距离之间的关系.2.探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆，了解不在同一直线上的三点确定一个圆.3.了解三角形的外接圆和三角形的外心.4.了解反证法，进一步体会解决数学问题的策略.过程方法 1.经历探索点与圆的位置关系的过程，体会数学分类思考的数学思想.2.通过探索不在同一直线上的三点确定一个圆的问题，进一步体会解决数学问题的策略.情感态度通过本节课的数学，渗透数形结合的思想和运动变化的观点的教育.重点 1.用数量关系判断点与圆的位置关系.2.不在同一直线上的三点确定一个圆.难点判断点与圆的位置关系.【教学环节安排】（黑体4号）环节（黑体小四）教学问题设计教学活动设计问题最佳解决方案情境引入情境设计出示课本P90问题图24.2.1-1如果运动员四次射中的分别是图中的A、B、C、D四个点，那么他这四次的射击成绩分别为 . 图24.2.1-1 教师提出问题，学生思考引导学生根据自己的生活经验稍作讨论，个别同学可能会看，但说不出依据，多数同学可能根本就不知道怎么看，这时教师不要忙于指导，而要指出解决这个问题就要研究点与圆的位置关系，从而引出新课，同时激起学生探索新知的欲望.告诉学生先看比较简单的问题1，问题1看懂了，本题就很简单了自主探究合作交流问题1：爱好运动的小华、小强、小兵三人相邀搞一次掷飞镖比赛.他们把靶子钉在一面土墙上，规则是谁掷出落点离红心越近，谁就胜.如下图中A、B、C三点分别是他们三人某一轮掷镖的落点，你认为这一轮中谁的成绩好？点P在圆内 d ＜r ；点P在圆上 d = r点P在圆外 d ＞r练习1.探究61页自主学习第一题问题2：(1)作经过已知点A的圆，这样的圆你能作出多少个？(2)做经过已知点A，B的圆，这样的圆有多少个？它们的圆心分布有什么特点？(3)作经过A，B，C，三点的圆，这样的圆有多少个？如何确定它的圆心？得出结论：不在同一直线的三个点确定一个圆.（4）画一个三角形，作出它的外接圆，并找出它的外心.问题3：1.经过同一条直线的三个点能作出一个圆吗？你如何证明你的结论.2.用反证法证明几何命题的一般步骤是：3.用反证法证明：两直线平行，同位角相等教师出示问题1，学生思考学生很容易得出小华的成绩最好，小兵的成绩最差.设圆的半径为R，让学生比较OA、OB、OC与半径的大小.OC＞R OB=R OA＜R学生看课本90页，得出点与圆的三种位置关系.指导学生弄清“ ”的含义回归情境设计的问题，让学生再次解决指出：在最里圆的圆内和圆上为10环，在最里圆的圆外、第二个圆的圆内和圆上为9环，依次类推.学生做练习，讨论改错学生分组探讨，动手做圆，多讨论交流指导学生看课本91页最后一段，学会怎样确定这个圆的圆心.指导学生思考：圆心确定了，圆心到A或B、C的距离就是半径，这样的圆有几个？讨论得出结论.学生看课本92页，并按要求作图.理解三角形外接圆，外心的概念.学生分别画一个锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，再做出他们的外接圆，观察三角形的外心与三角形的位置关系.教师巡视指导.指导学生做好总结.指导学生看课本92页的证明方法.组内讨论交流.师生共同板书解题步骤，并引出反证法.根据板书步骤总结用反证法证明几何命题的一般步骤.学生总结，教师补充.学生证明，两生板演，其余练习，师生共同评析.再引导学生看课本证明方法.尝试应用1.课本93页练习1——4题2.同步学习61页1.2题.3题选做学生独立完成，教师巡视指导，及时发现问题，提醒学生解决.学生反思，每一题用到了哪些知识点，解决方法，易错点有哪些.组内讨论交流，解决疑难问题.学生展示，推荐学生代表展示自己的做法，相互交流.教师根据反馈信息，重点讲解成果展示引导学生对上面的问题进行展示交流学习小组内互相交流，讨论，展示.补偿提高同步学习62页1—9题教师根据学生情况可有目的的选用，学生独立完成，教师重点指导.作业设计 P101习题24.2第一题选作题：1.⊙O的半径6cm，当OP=6时，点A在；当OP 时点P在圆内；当OP 时，点P不在圆外.2.锐角三角形的外心在；直角三角形的外心在；钝角三角形的外心在．3.已知⊙O的半径为3，圆心在原点上，如果点A的坐标为（3，5），请判断点A与⊙O 的位置关系，再判断线段OA的中点与⊙O的位置关系. 答案：1圆上；小于6；小于等于62.三角形内；斜边中点；三角形外3.圆外；圆内教后反思【当堂达标自测题】一、填空题1.直角三角形的两条直角边分别为5和12，则其外接圆半径的长为2.若点O是△ABC的外心，∠A=70°，则∠BOC=3.⊙O的半径为3，OP长为2，则P在⊙O的二、选择题4.已知⊙O的半径为10㎝，OP=28㎝，A为线段OP的中点，则点A在圆 .5．下列说法正确的是（）A．过一点A的圆的圆心可以是平面上任意点B．过两点A、B的圆的圆心在一条直线上C．过三点A、B、C的圆的圆心有且只有一点D．过四点A、B、C、D的圆不存在6．已知⊙O的半径为4，A为线段PO的中点，当OP=10时，点A与⊙O的位置关系为（）A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．不确定7．在⊙O中，半径为3cm，圆心到一点M的距离为4cm，则点M（）A . 在⊙O上 B. 在⊙O外C .在⊙O内 D. 可能在⊙O内也可能在⊙O外三、解答题8.随意画出四点，其中任何三点都不在同一条直线上，是否一定可以画一个圆经过这四点？请试画图说。
24.2.1 点和圆的位置关系 初中数学人教版九年级上册课件
这与 三角形的内角和为180°矛盾，假设不成立．
∴ △ABC中至少有一个内角小于或等于60° ．
当堂练习
1.⊙O的半径r为5cm，O为原点，点P的坐标为(3，4)， 则点P与⊙O的位置关系为 （ B ）
A.点P在⊙O内
B.点P在⊙O上
C.点P在⊙O外
D.点P在⊙O上或⊙O外
P
d
d
Pd
r
r
P
r
点P在⊙O内 点P在⊙O上 点P在⊙O外
d ＜r d= r d＞r
要点归纳 点和圆的位置关系
P
d
d Pd
P d r
r
r
P
r
R
点P在⊙O内 d<r 点P在⊙O上 d=r 点P在⊙O外 d>r 点P在圆环内 r≤d≤R
数形结合：位置关系
数量关系
练一练：
1.⊙O的半径为10 cm，A、B、C三点到圆心的距离分 别为8 cm、10 cm、12 cm，则点A、B、C与⊙O的位
确定这个位置呢？
解：学校应该建 在AB和AC垂直 平分线的交点上
B●
●A
C
●
●
例2 如图，在△ABC中，O是它的外心，BC＝24 cm， O到BC的距离是5 cm，求△ABC的外接圆的半径．
解：连接OB，过点O作OD⊥BC于点D，
则OD＝5cm，BD 1 BC 12cm.
2
在Rt△OBD中，
OB OD2 BD2 13cm.
经过A，B两点的圆的圆心在线
段AB的垂直平分线上.
F
经过B，C两点的圆的圆心在线
段BC的垂直平分线上.
B
A
●o
经过A，B，C三点的圆的圆心应该
点与圆的位置关系
巩固习题
题2 如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（2,1），P是x轴上一
点，要使△PAO为等腰三角形，满足条件的P有几个？求出点P的
坐标.
y
P1( 5, 0)
A x
P2 O P4 P1 P3
P2 (- 5, 0) P3 (4, 0)
5 P4 ( 4 , 0)
三、例题讲解
例3 如图，在半圆O中，直径AB=10，弦AD=6，C是BD上的一动点，
连接AC，过点D作DH⊥AC于H，连接BH，则在点C运动的过程中，
BH的最小值为
.
解：连接BD. ∵AB是直径，
D C
∴∠ADB=90°.
H
A
O
B
∵∠AHD=90°.
∴点H在以AD为直径的圆上运动.
取AD的中点P，则BP=
∴BH的最小值为
四、拓展探究
在平面直角坐标系中，我们将横、纵坐标都为整数的点称为整点，
（5）能使点A、B、C都在同一个圆上吗？若能，请指出该圆的圆心
与半径；若不能，请说明理由.
点A、B、C在以AB的中点为圆心，AB的一半为半径的圆上.
巩固习题
题1 如图，已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4.
A
D
（1）点A、B、C、D在同一个圆上吗？
（2）以A为圆心，4为半径作⊙A，则
点B、C、D与⊙A的位置关系如何？ （3）解若：以ADA点=4为=r圆，心故作D点⊙在A，⊙使A上B、, C、D三点中 B
C
至A少B=有3<一r，点故在B圆点内在，⊙且A至内少, 有一点在圆外，
则A⊙C=A5的>r半，径故rC的点取在值⊙是A外.3<r<5 .
三、例题讲解
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24.2.1点与圆的位置关系
教学目标：
使学生能够用数量关系来判断点与圆的位置关系,掌握不在一条直线上的三点确定一个圆,能画出三角形的外接圆,求出特殊三角形的外接圆的半径,渗透方程思想。
重点难点：
1、重点：用数量关系判断点和圆的位置关系,用尺规作三角形的外接圆,求直角三角形、等边三角形和等腰三角形的半径。
2、难点：运用方程思想求等腰三角形的外接圆半径。
教学过程：
一、用数量关系来判断点和圆的位置关系
同学们看过奥运会的射击比赛吗？射击的靶子是由许多圆组成的，射击的成绩是由击中靶子不同位置所决定的；右图是一位运动员射击10发子弹在靶上留下的痕迹。
你知道这个运动员的成绩吗？请同学们算一算。
（击中最里面的圆的成绩为10环，依次为9、
8、…、1环）
这一现象体现了平面上的点与圆的位置关系，如何判断点与圆的位置关系呢？我们知道圆上的所有点到圆心的距离都等于半径，若点在圆上，那么这个点到圆心的距离等于半径，若点在圆外，那么这个点到圆心的距离大于半径，若点在圆内，那么这个点到圆心的距离小于半径。
如图23.2.1，设⊙O 的半径为r ，A 点在圆内，B 点在圆上，C 点在圆外，那
OA ＜r ， OB ＝r ， OC ＞r ．反过来也成立，即 若点A 在⊙O 内
OA r
<
若点A 在⊙O 上OA r = 若点A 在⊙O 外OA r > 思考与练习
1、⊙O 的半径5r cm =，圆心O 到直线的AB 距离
3d OD cm ==。
在直线AB 上有P 、Q 、R 三点，且有4PD cm =，4QD cm >，
4RD cm <。
P 、Q 、R 三点对于⊙O 的位置各是怎么样的？
2、Rt ABC 中，90C ∠=︒，CD AB ⊥，13AB =，5AC =，对C 点为圆心，60
13
为半径的圆与点A 、B 、D 的位置关系是怎样的？
二、不在一条直线上的三点确定一个圆
问题与思考：平面上有一点A ，经过A 点的圆有几个？圆心在哪里？平面上有两点A 、B ，经过A 、B 点的圆有几个？圆心在哪里？平面上有三点A 、B 、C ，经过A 、B 、C 三点的圆有几个？圆心在哪里？。
图23.2.1
图
23.2.2 图23.2.3
从以上的图形可以看到，经过平面上一点的圆有无数个，这些圆的圆心分布在整个平面；经过平面上两点的圆也有无数个，这些圆的圆心是在线段AB 的垂直平分线上。
经过A 、
B 、
C 三点能否画圆呢？同学们想一想，画圆的要素是什么？（圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小），所以关键的问题是定其加以和半径。
如图23.2.4，如果A 、B 、C 三点不在一条直线上，那么经过A 、B 两点所画的圆的圆心在线段AB 的垂直平分线上，而经过B 、C 两点所画的圆的圆心在线段BC 的垂直平分线上，此时，这两条垂直平分线一定相交，设交点为O ，则OA ＝OB ＝OC ，于是以O 为圆心，OA 为半径画圆，便可画出经过A 、B 、C 三点的圆．
思考：如果A 、B 、C 三点在一条直线上，能画出经过三点的圆吗？为什么？
即有：不在同一条直线上的三个点确定一个圆
也就是说，经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心．这个三角形叫做这个圆的内接三角形．三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。
思考：随意画出四点，其中任何三点都不在同一条直
线上，是否一定可以画一个圆经过这四点？请举例说明。
三、例题讲解
例1、如图，已知Rt ABC 中，90C ∠=︒，若5AC cm =， 12BC cm =，求ABC 的外接圆半径。
解：略
等边三角形ABC 中，边长为6cm ，求它的外接例2、如图，已知
圆半径。
解：略
例3、如图，等腰ABC 中，13AB AC cm ==，10BC cm =，求ABC 外接圆的半径。
四、小结
本节课我们学习了用数量关系判断点和圆的位置关系和不在同一直线上的三点确定一个圆，求解了特殊三角形直角三角形、等边三角形、等腰三角形的外接圆半径，在求解等腰三角形外接圆半径时，运用了方程的思想，希望同学们能够掌握这种方法，领会其思想。
例1C B A O
E D 例2C B A
O A D 例3C B
图
23.2.4
五、作业
Ｐ62 习题1、2、3、4。