第5课时 求一次函数的关系式
(完整版)一次函数待定系数法经典专题
一次函数待定系数法专题学习目标1.理解待定系数法；2.能用待定系数法求一次函数,用一次函数表达式解决有关现实问题．3、体会用“数形结合”思想解决数学问题．学习过程一、课前准备☆导学问题一次函数关系式y＝kx＋b(k≠0)，如果知道了k与b的值，函数解析式就确定了，那么有怎样的条件才能求出k和b呢？二、新课导学☆学习探究探究任务：待定系数法问题1 已知一个一次函数当自变量x＝-2时，函数值y＝-1,当x＝3时，y＝-3．能否写出这个一次函数的解析式呢？这种先设待求函数关系式（其中含有未知的常数系数），再根据条件列出方程或方程组，求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法。
☆☆点对点训练1已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点(3,5)和点(-4，-9),求当x＝5时，函数y的值．2 已知一次函数的图象如下图，写出它的关系式．3 若直线y＝-kx＋b与直线y＝-x平行，且与y轴交点的纵坐标为-2；求直线的表达式.＠＠＠链接中考1.点A，B，C，D的坐标如图，求直线AB与直线CD的交点坐标．2.已知：一次函数y kx b=+的图象经过M(0，2)，(1，3)两点．(l) 求k、b的值；(2) 若一次函数y kx b=+的图象与x轴的交点为A(a，0)，求a的值．3．如图6，在平面直角坐标系中，直线434:+-=x y l 分别交x 轴、y 轴于点A 、B ，将△AOB 绕点O 顺时针旋转90°后 得到△A ′OB ′（1）求直线A ′B ′的解析式；（2）若直线A ′B ′与直线l 相交于点，求△ABC 的面积。
三、总结提升 ☆学习小结本节课，我们讨论了一次函数解析式的求法。
求一次函数的解析式往往用待定系数法，即根据题目中给出的两个条件确定一次函数解析式y ＝kx ＋b (k ≠0)中两个待定系数k 和b 的值。
☆☆☆☆当堂测试（限时：8分钟）1．已知一次函数4-=kx y ，当2=x 时，3-=y（1）求一次函数的解析式；（2）将该函数的图象向上平移6个单位，求平移后的图象与x 轴交点的坐标.2．正比例函数y=kx 和一次函数y=ax+b 的图象都经过点A （1,2），且一次函数的图象交x 轴于点B （4,0）.求正比例函数和一次函数的表达式.。
初三数学复习计划PPT课件
知识技能
数学思考 问题解决 情感态度
知识技能
1．体验从具体情境中抽象出数学符号的过程，理 解有理数、实数、代数式、方程、不等式、函数； 掌握必要的运算（包括估算）技能；探索具体问 题中的数量关系和变化规律，掌握用代数式、方 程、不等式、函数进行表述的方法。 2．探索并掌握相交线、平行线、三角形、四边 形和圆的基本性质与判定，掌握基本的证明方法 和基本的作图技能；探索并理解平面图形的平移、 旋转、轴对称；认识投影与视图；探索并理解平 面直角坐标系，能确定位置。 3．体验数据收集、处理、分析和推断过程，理 解抽样方法，体验用样本估计总体的过程；进一 步认识随机现象，能计算一些简单事件的概率。
情感态度
1．积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知 欲。 2．感受成功的快乐，体验独自克服困难、解决 数学问题的过程，有克服困难的勇气，具备学 好数学的信心。 3．在运用数学表述和解决问题的过程中，认识 数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点，体会 数学的价值。 4．敢于发表自己的想法、勇于质疑，养成认真 勤奋、独立思考、合作交流等学习习惯，形成 实事求是的科学态度。
12课时序号复习内容课时过关测试内容时间第1课时实数第2课时二次根式第3课时代数式整式运算第4课时因式分解分式第5课时一次方程分式方程一次方程组方程与不等式1课时第6课时一元二次方程第7课时一元一次不等式组1第8课时不等式的应用第9课时函数概念一次函数函数及其图像1课时第10课时反比例函数第11课时二次函数第12课时函数的应用第13课时平行线三角形与证图形的性质1课时第14课时特殊三角形第15课时多边形平行四边形与证明第16课时特殊平行四边形梯形与证明第19课时投影与视图图形与变换第20课时图形的变换图形与变换1课时第21课时相似形第22课时解直角三角形图形与坐标第23课时图形变换与坐标图形与坐标1课时14概率与统3课时第24课时统计概率测试1课时第5课时概率151620201217重视模块之间的联系
2022年中考数学人教版一轮复习课件：第5课 一次方程(组)的解法及应用
19．(2021·青海)已知 a，b 是等腰三角形的两边长，且 a，b 满足
2a－3b＋5＋(2a＋3b－13)2＝0，则此等腰三角形的周长为
A．8
( D)
B．6 或 8
C．7
D．7 或 8
20.(2021·眉山)解方程组：32xx－ ＋21y5＋y－203＝ ＝00① ②， .
解：方程组整理，得23xx＋－125y＝y＝－3②20.①， ①×15＋②×2，得 49x＝－294， 解得 x＝－6， 把 x＝－6 代入②，得 y＝1， ∴这个方程组的解为xy＝＝1－. 6，
个肉粽和 5 个素粽共用去 70 元，设每个肉粽 x 元，则可列方
程为
( A)
A．10x＋5(x－1)＝70
B．10x＋5(x＋1)＝70
C．10(x－1)＋5x＝70
D．10(x＋1)＋5x＝70
15．(2021·东营)某玩具商店周年店庆，全场八折促销，持会员卡
可在促销活动的基础上再打六折．某电动汽车原价 300 元，
圆在该快递公司寄一件 8 千克的物品，需要付费
( B)
A．17 元
B．19 元
C．21 元
D．23 元
18．(2021·大连)某校为实现垃圾分类投放，准备在校园内摆放大、 小两种垃圾桶．购买 2 个大垃圾桶和 4 个小垃圾桶共需 600 元；购买 6 个大垃圾桶和 8 个小垃圾桶共需 1 560 元． (1)求大、小两种垃圾桶的单价； (2)该校购买 8 个大垃圾桶和 24 个小垃圾桶共需多少元？
26.(2020·绍兴)若关于 x，y 的二元一次方程组 xA＋＝y0＝2，的解为
xy＝＝11，，则多项式 A 可以是 xx－－y(答yx案－不y唯x－一)(写出一个即可)．
华师大版数学八年级下册17.3《一次函数》(第5课时)教学设计
华师大版数学八年级下册17.3《一次函数》（第5课时）教学设计一. 教材分析《一次函数》是华师大版数学八年级下册第17.3节的内容，本节主要让学生了解一次函数的定义、性质及图像，能运用一次函数解决实际问题。
教材通过丰富的实例，引导学生探究一次函数的规律，培养学生的动手操作能力和抽象思维能力。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了代数和几何的基础知识，具备一定的逻辑思维和抽象思维能力。
但对于一次函数的图像和实际应用，可能还有一定的困惑。
因此，在教学过程中，要注重引导学生通过实例去发现一次函数的规律，提高他们解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.了解一次函数的定义、性质及图像；2.学会运用一次函数解决实际问题；3.培养学生的动手操作能力和抽象思维能力。
四. 教学重难点1.一次函数的定义和性质；2.一次函数图像的特点；3.运用一次函数解决实际问题。
五. 教学方法1.实例教学：通过丰富的实例，让学生直观地感受一次函数的图像和性质；2.小组讨论：引导学生分组讨论，发现一次函数的规律，提高学生的合作能力；3.问题驱动：设置问题引导学生思考，培养学生的抽象思维能力；4.实践操作：让学生动手绘制一次函数的图像，提高学生的动手操作能力。
六. 教学准备1.教学PPT：制作包含一次函数定义、性质、图像及实际应用的PPT；2.实例：准备一些与生活息息相关的一次函数实例；3.练习题：准备一些针对一次函数的练习题，以便课后巩固。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例引入一次函数的概念，如“某商品的原价是80元，打8折后的价格是多少？”引导学生思考，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）通过PPT展示一次函数的定义、性质和图像，让学生直观地了解一次函数的基本知识。
3.操练（10分钟）让学生动手绘制一次函数的图像，观察图像的特点，加深对一次函数的理解。
同时，引导学生发现一次函数与实际问题的联系。
4.巩固（10分钟）分组讨论一次函数的性质，让学生通过合作交流，进一步掌握一次函数的知识。
人教版八年级数学下册《19.2.5 一次函数解析式的求法》课件
知2－练
3 若一次函数y＝kx＋b的图象经过点(0，2)和(1， 0)，则这个函数的解析式是( D )
A．y＝2x＋3
C．y＝x＋2
B．y＝3x＋2
D．y＝－2x＋2
知1－讲
知识点
1
用待定系数法求正比例函数的解析式
由于正比例函数的解析式y＝kx(k≠0)中，只有一个基
本量k(我们也称待定系数)，因此只需要一个条件就可以求 得k的值，从而确定正比例函数的解析式．比如已知满足函
数解析式y＝kx的一组x，y的值或已知直线y＝kx上的一个
点等都可以确定正比例函数的解析式． 注意：先假定解析式中的未知系数，然后根据已知条件求 出待定的系数，从而确定出该解析式的方法是数学上常用 的方法，这种方法称为待定系数法．
C．b＜2
D．b＜－2
知2－练
6 【 2017· 怀化】一次函数y＝－2x＋m的图象经 过点P(－2，3)，且与x轴，y轴分别交于点A， B，则△AOB的面积是( B )
1 2 C．4 1 4 D．8
A.
B.
2 7 【2017· 枣庄】如图，直线y＝ x＋4与x轴，y轴分 3 别交于点A和点B，点C，D分别是线段AB，OB的
A．2
C．－2
B．8
D．－8
知2－讲
知识点
2 用待定系数法求一次函数的解析式
小明在有40元钱,每个月长攒5元钱， x个月小明有的 钱数为y元，请写出x与y的关系. 我们想：要想写出小明的钱数，先想到一个月5元， 那么x个月共攒多少元，则得到5x元，又因为原来有40元， 所以此时有(40＋5x)，即y＝40＋5x，这样我们看到，列 出一次函数的表达式，首先要分析题意，然后找出等量
人教版八年级数学下册课件：19.2一次函数--2.3 一次函数与方程、不等式(2)一次函数与二元一次方程组
24
知识点三：二元一次方程组与一次函数的关系
学以致用
3.已知坐标平面上有两直线相交于一点(2，a)，且两直线的方
程式分别为2x+3y=7，3x-2y=b，其中a，b为两数，求a+b之值
为何?( C)A.1 B.-1 C.5 D.-5
4.若一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2的图象没有交点，则关于x
∴OA=3,OB=1,∴AB=4.∴S△ABC=
1 2
×4×1=2.
27
知识点四：一次函数与方程(组)与几何图形的综合问题
典例讲评
解：(3)能，理由如下：设点P的横坐标为x， y
则
S△APB=
1 2
×4×|x|=6，
A C
解得x=±3.
O
x
B
把x=3代入y=-2x-1，得y=-7；
把x=-3代入y=-2x-1，得y=5；
情景引入
大家观察一次函数的解析式y=x+1，是否有过这样的 疑问:为什么一次函数的解析式与二元一次方程非常相似呢? 是的，你没有猜错，如果我们将一次函数的解析式看作为 一个元一次方程，那么，一次函数y=x+1上的每一个点坐 标就对应二元一次方程x-y+1=0上的一个解.一次函数图象 上有无数个点，二元一次方程也有无数个解.本节课，我们 就来看看一次函数与二元一次方程的关系.
y y=kx-1
A
O Bx C
31
知识点四：一次函数与方程(组)与几何图形的综合问题
学以致用
2.（3）①当点A运动到什么位置时， △AOB的面积是 ？ ②在①成立的情况下，在两条坐标轴上是
否存在一定P，使△POA是等腰直角三角 形？若存在，请写出满足条件的所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
2024-2025学年初中数学八年级上册(沪科版)教案第12章一次函数12.2一次函数(第5课时)
第12章一次函数12.2一次函数第5课时利用一次函数进行方案决策教学反思教学目标1.能根据实际问题中变量之间的关系，确定一次函数关系式.2.培养学生用“数形结合”的思想方法解决数学问题的能力.教学重难点重点：根据实际问题中变量之间的关系，确定一次函数关系式.难点：根据实际情况，用数学语言选择出最优方案.教学过程知识回顾提问：1.已知一次函数y＝90x+5，则当x＝2时，y＝，当y＝365时，x＝ .2.某校办工厂现年产值是30万元，如果每增加1000元投资，一年可增加2500元产值.那么总产值y（万元）与增加的投资额x（万元）之间的函数关系式为.学生独立完成，展示答案，教师纠正，得出正确答案：1.1854；2.y＝30+2.5x典型例题例1某单位有职工几十人，想在节假日期间组织到外地H地旅游.当地有甲、乙两家旅行社，它们服务质量基本相同，到H地旅游的价格都是每人100元，经联系协商，甲旅行社表示可给予每位游客八折优惠；乙旅行社表示单位先交1 000元后，给予每位游客六折优惠.问该单位选择哪家旅行社，使其支付的旅游总费用较少?分析：假设该单位参加旅游人数为x，按甲旅行社的优惠条件，应付费用80x元；按乙旅行社的优惠条件，应付费用(60x +1000)元.问题变为比较80x与60x+1000的大小了.解法一：设该单位参加旅游人数为x.那么如选甲旅行社，应付80x元，选乙旅行社，应付(60x +1000)元.记y1＝80x，y2＝60x+1000.在同一直角坐标系中作出两个函数的图象y1与y2的图象交于点(50，4000).观察图象，可得：当人数为50时，选择甲或乙旅行社费用都一样；当人数为0-49时，选择甲旅行社费用较少；当人数为51-100时，选择乙旅行社费用较少.解法二：设选择甲、乙旅行社所需费用之差为y，则y＝y1-y2＝80x-（60x+1000）＝20x-1000.画一次函数y＝20x-1000的图象观察可得一次函数y＝20x-1000的图象与x轴的交点是（50，0）.(1)当x＝50时，y＝0，即y1＝y2，甲、乙两家旅行社的费用一样；(2)当x＞50时，y＞0，即y1＞y2，乙旅行社的费用较低；(3)当x＜50时y＜0.，即y1＜y2，甲旅行社的费用较低.例2某工程机械厂根据市场要求，计划生产A、B两种型号的大型挖掘机共100台，该厂所筹生产资金不少于22400万元，但不超过22500万元，且所筹资金全部用于生产这两种型号的挖掘机，所生产的这两种型号的挖掘机可全部售出，此两种型号挖掘机的生产成本和售价如下表所示：（2）该厂如何生产获得最大利润？（3）根据市场调查，每台B型挖掘机的售价不会改变，每台A型挖掘机的售价将会提高m万元（m＞0），该厂如何生产可以获得最大利润？教学反思解：（1）设生产A型挖掘机x台，则B型挖掘机可生产（100-x）台.由题意知200240(100)22400200240(100)22500x xx x+-≥⎧⎨+-≤⎩解得37.5≤x≤40.∵x取正整数，∴x为38、39、40.∴有三种生产方案：A型38台，B型62台；A型39台，B型61台；A 型40台，B型60台.（2）设获得利润为W（万元）.由题意知：W＝50x＋60（100-x）＝-10x＋6 000.∴当x＝38时，W最大＝5 620，即生产A型挖掘机38台，B型挖掘机62台时，获得利润最大，最大利润为5 620万元.（3）由题意知W＝（50＋m）x＋60（100-x）＝（m-10）x＋6 000.∴①当0＜m＜10时，取x＝38，W最大，即生产A型挖掘机38台，B型挖掘机62台；②当m＝10时，三种生产方案获得利润相等；③当m＞10时，取x＝40，W最大，即生产A型挖掘机40台，B型挖掘机60台.课堂练习1.电信局为满足不同客户的需要，设有A、B两种优惠方案，这两种方案应付话费(元)与通话时间(分钟)之间的关系如图(MN∥CD)，若通话时间为500分钟，则应选择哪种方案更优惠( )A.方案AB.方案BC.两种方案一样优惠D.不能确定2.某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买10副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配x(x≥2)个羽毛球，供社区居民免费借用.该社区附近A，B两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为30元，每个羽毛球的标价均为3元，目前两家超市同时在做促销活动：A超市：所有商品均打九折(按标价的90%)销售；B超市：买一副羽毛球拍送2个羽毛球.设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为y A (元)，在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为y B (元).请解答下列问题：(1)分别写出y A和y B与x之间的关系式；(2)若该活动中心只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？(3)若每副球拍配15个羽毛球，请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案.3.某县区大力发展猕猴桃产业，预计今年A地将采摘200吨，B地将采摘300教学反思吨.若要将这些猕猴桃运到甲、乙两个冷藏仓库，已知甲仓库可储存240吨，乙仓库可储存260吨，从A地运往甲、乙两处的费用分别为每吨20元和25元，从B地运往甲、乙两处的费用分别为每吨15元和18元.设从A地运往甲仓库的猕猴桃为x吨，A、B两地运往两仓库的猕猴桃运输费用分别为y A元和y B元.(1)分别求出y A、y B与x之间的函数关系式；(2)试讨论A、B两地中，哪个的运费较少；(3)考虑B地的经济承受能力，B地的猕猴桃运费不得超过4 830元，在这种情况下，请问怎样调运才能使两地运费之和最少？求出这个最小值.参考答案1.B解析：由图可知，通话时间为500分钟时，方案A的费用是230元，方案B的费用是168元，∵230＞168，∴选择方案B更优惠.故选B.2.解：(1)y A＝27x＋270，y B＝30x＋240.(2)当y A＝y B时，27x＋270＝30x＋240，解得x＝10；当y A＞y B时，27x＋270＞30x＋240，解得x＜10；当y A＜y B时，27x＋270＜30x＋240，解得x＞10.∴当2≤x＜10时，到B超市购买划算；当x＝10时，两家超市都一样；当x＞10时，到A超市购买划算.（3）∵x＝15＞10，∴①选择在A超市购买，y A＝27×15＋270＝675(元)；②可先在B超市购买10副羽毛球拍，送20个羽毛球，后在A超市购买剩下的羽毛球10×15-20＝130（个），则共需费用10×30＋130×3×0.9＝651(元).∵651＜675，∴最省钱的购买方案是：先在B超市购买10副羽毛球拍，后在A超市购买130个羽毛球.3.解：(1)y A＝20x＋25(200-x)＝-5x＋5000，y B＝15(240-x)＋18(60＋x)＝3x＋4 680.(2)∵y A-y B＝(-5x＋5000)-(3x＋4680)＝-8x＋320，∴当-8x＋320＞0，即x＜40时，B地的运费较少；当-8x＋320＝0，即x＝40时，两地的运费一样多；当-8x＋320＜0，即x＞40时，A地的运费较少.(3)设两地运费之和为y元，则y＝y A+y B＝(-5x＋5000)＋(3x＋4680)＝-2x ＋9 680.由题意得y B＝3x＋4680≤4830，解得x≤50.∵y随x的增大而减小，x 最大为50，∴y最小＝-2×50＋9680＝9580.∴在此情况下，当A地运往甲、乙两仓库分别为50吨、150吨；B地运往甲、乙两仓库分别为190吨、110吨时，才能使两地运费之和最少，最少是9580元.课堂小结利用一次函数解决方案选择问题第一步：根据实际情况确定函数关系式，并确定自变量的取值范围；第二步：画出函数图象；第三步：根据函数的性质和自变量的取值确定函数值的最大或最小值，从而选择最优方案.布置作业教材44页练习1，2题； 教材48页习题12.2中16题.板书设计第5课时 利用一次函数进行方案决策例 某工程机械厂根据市场要求，计划生产A 、B 两种型号的大型挖掘机共100台，该厂所筹生产资金不少于22 400万元，但不超过22 500万元，且所筹资金全部用于生产这两种型号的挖掘机，所生产的这两种型号的挖掘机可全部售出，此两种型号挖掘机的生产成本和售价如下表所示：（2）该厂如何生产获得最大利润？（3）根据市场调查，每台B 型挖掘机的售价不会改变，每台A 型挖掘机的售价将会提高m 万元（m ＞0），该厂如何生产可以获得最大利润？解：（1）设生产A 型挖掘机x 台，则B 型挖掘机可生产（100-x ）台. 由题意知200240(100)22400200240(100)22500x x x x +-≥⎧⎨+-≤⎩解得37.5≤x ≤40. ∵ x 取正整数， ∴ x 为38、39、40.∴ 有三种生产方案：A 型38台，B 型62台；A 型39台，B 型61台；A 型40台，B 型60台.（2）设获得利润为W （万元）.由题意知：W ＝50x ＋60（100-x ）＝-10x ＋6 000. ∴ 当x ＝38时，W 最大＝5 620 ，即生产A 型挖掘机38台，B 型挖掘机62台时，获得利润最大，最大利润为5 620万元. （3）由题意知W ＝（50＋m ）x ＋60（100-x ）＝（m -10）x ＋6 000.∴ ①当0＜m ＜10时，取x ＝38，W 最大 ，即生产A 型挖掘机38台，B 型挖掘机62台；教学反思②当m＝10时，三种生产方案获得利润相等；③当m＞10时，取x＝40，W最大，即生产A型挖掘机40台，B型挖掘机60台.。
第五章一次函数第5课时一次函数的图象一
第5课时一次函数的图象(一)1．一次函数y=x－l 的图象是()2．下列各点，在函数y=2x+1的图象上的是()A ．(2，3)B ．(－1，1)C ．(1，3)D ．(0，2)3．一次函数y=2x+3的图象不经过()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．已知一次函数y=kx+b 的图象如图所示，则()A ．k>0，b>0B ．k<0，b<0C ．k>0，b<0D ．k<0，b>05．一次函数y=kx+b(k 、b 为常数，且k ≠0)的图象是________．一般地，该图象经过点(0，_________)和点(_________，0)．6．已知一次函数的图象经过点A(1，4)、B(4，2)，则这个一次函数的解析式为_______________________．7．如图，线段AB 的解析式为_________________________．8．如图，该直线是某个一次函数的图象，则此函数的解析式为_____________．9．已知一次函数y=kx+5的图象经过点(－1，2)，则是_____________．10．若点(3，m)在函数123y x =−+的图象上，则m=________________．11．在同一平面直角坐标系中作出y 1=3x －2，y 2=－2x －1的图象．12．在平面直角坐标系中，画出下列函数的图象．(1)21y x =−+；(2)122y x =−．13．画出函数y=2x+3的图象，并解答下列问题：(1)求已知直线与y 轴交点A 的坐标．(2)点．A(一2，一1)是否在所画图象上?请说明理由．(3)在同一平面直角坐标系中画出函数y=2x 一1的图象，试判断这两个图象的位置关系．14．已知函数y=2x －4．(1)画出它的图象．(2)写出这条直线与x 轴、y 轴的交点的坐标．(3)求这条直线与两坐标轴所围成的三角形的面积．15．如图，正方形ABCD 的边长为4，点P 在边DC 上，点P 从点D 运动到点C ．设PD=x ，梯形APCB 的面积为S ．(1)写出S 与x 之间的函数关系式．(2)求自变量x 的取值范围．(3)画出函数的图象．参考答案1．C2．C3．D4．D5．直线bbk−6．21433y x=−+7．12(04)2y x x=−+≤≤8．y=2x+29．310．111．略12．略13．图略(1)A(0，3)(2)在理由略(3)略14．(1)略(2)(2，0)，(0，一4)(3)4 15．(1)S=16—2x(2)0<x<4(3)略。
初中数学《一次函数》单元教学设计以及思维导图
强调数形结合，强调函数方程思想，强调与日常生活的关系。
主题单元规划思维导图
主题单元学习目标
知识与技能：1、理解并掌握函数的概念、函数的表示形式、函数的图象。
2、根据实际问题中的条件确定一次函数解析式
3、能判断一个函数是否为பைடு நூலகம்次函数
4、能用描点法、两点法、平移法画一次函数图象
5、会用待定系数法求一次函数的解析式
1、一次函数的图象及其性质是什么？
2、怎样求函数表达式？
所需教学环境和教学资源
信息化资源：几何画板，课件
常规资源：作图工具
教学支持环境：多媒体教室
其它：纸笔
学习活动设计
活动一：一次函数图象
1、给出函数图象的概念。
2、具体活动
（1）作出一次函数y=2x+1的图像。
注意：小组合作，共同完成，教师提示：线是有什么构成？找那些点合适？需要画很多点吗？有了点怎么办？
所需教学环境和教学资源
信息化资源：几何画板，课件
常规资源：作图工具
教学支持环境：多媒体教室
其它：纸笔
学习活动设计
1、利用所学知识，给出课本所列实例的结果。（可以小组内交流）
2、教师根据学生对课本前例的认识程度和存在的问题，指导学生试做课本例1，并考虑多种解法，在组内交流，班内展示。教师要鼓励学生发散思维，多种解法，但要认识到：本节的设计目的在于培养学生良好的识图能力，因而要防止学生过多的用代数方法解题。
第5课时 一次函数的图像和性质
1、一次函数的一般形式：y kx b(k , b为常数，k 0) 正比例函数的一般形式：y kx(k是常数，k 0)
两者有什么联系？
Байду номын сангаас
正比例函数是一次函数b=0时的 特殊情况
2、根据正比例函数表达式画函数的图象，有哪几步？ 列表 描点 连线
一 次 函 数 y=kx+b
6、已知一次函数y=（3m+12）x+（5-n） （1）m、n为何值时？y随x的增大而增大。 （2）m、n为何值时？函数图像与y轴的交点在x轴 的下方。 （3）m、n为何值时？函数图像与y轴的交点在x轴 下方。 （4）当m=2，n=-1时，求此一次函数的图像与两 坐标轴的交点坐标。
2
本节课你学习了哪些知识？
1、一次函数的图像是经过(0，___),(____,0)的一条 _______ 2、b叫做一次函数在轴上________,它表示图像与 Y轴交点的_____坐标
m -4的图像过原点，则m 1、已知一次函数y=2mx+ 的值为（ ） A、0， B、2， C、-1， D、 2 2、已知一次函数y=kx+b的图像不经过第三象限， 也不经过原点，那么k、b的取值范围（ ） A、k>0,b>0.B、k>0,b<0,C、k<0,b>0,D、 k<0,b<0 3、一次函数y=kx+b的图像与y=2x-3平行，则 k=____, 若该直线经过第二象限，则b的取值范围是______
y O x x
y
y=x+1
y=-x+1 y
y=x-2 y x O x
O
O
即时练习
12.2 第5课时 一次函数的简单应用——分段函数问题练习题—2022学年沪科版八年级数学上册
第5课时 一次函数的简单应用——分段函数问题【基础练习】知识点 1 一次函数的简单应用1.摄氏度(℃)与华氏度(℉)都是用来表示物体温度的.用x 与y 分别表示华氏度(℉)与摄氏度(℃),y 是x 的一次函数,其表达式为y=59x -1609.在疫情期间,使用额温枪测某同学体温显示为96.8℉,调回摄氏度模式下测量,其温度大约是 ℃.2.[教材练习第3题变式题] 某航空公司规定每位旅客可以免费托运一定质量的行李,超过部分则需缴纳行李托运费,行李托运费y (元)与行李质量x (千克)之间的函数关系为y=15x -2,则乘客最多可以携带 千克行李而不需要缴纳行李托运费.3.[2020·金华] 某地区山峰的高度每增加1百米,气温大约降低0.6 ℃,气温T (℃)和高度h (百米)的函数关系图象如图1所示.请根据图象回答下列问题:(1)求高度为5百米时的气温;(2)求T 关于h 的函数表达式;(3)测得山顶的气温为6 ℃,求该山峰的高度.图1知识点 2 分段函数图象的应用4.如图2,折线ABC是某市区出租车所收费用y(元)与出租车行驶路程x(km)之间的函数关系图象,某人支付车费15.6元,则出租车走了km.图25.[教材练习第2题变式题]为了鼓励公民节约用电,某市采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费.每户家庭每月电费y(元)与用电量x(kW·h)之间的函数图象如图3所示.(1)求y与x之间的函数表达式;(2)若乙用户某月需缴电费132元,求乙用户该月的用电量.图3【能力提升】6.一个有进水管与出水管的容器,从某时刻开始的4 min内只进水不出水,在随后的8 min内既进水又出水,每分钟的进水量和出水量是两个常数.容器内的水量y(单位:L)与时间x(单位:min)之间的关系如图4所示.根据图象提供的信息,下列结论中错误的是()A.第4 min时,容器内的水量为20 LB.每分钟的进水量为5 LC.每分钟的出水量为1.25 LD.第8 min时,容器内的水量为25 L图47.[2019·辽阳]一条公路旁依次有A,B,C三个村庄,甲、乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村,甲、乙之间的距离s(km)与骑行时间t(h)之间的函数关系如图5所示,有下列结论:图5①A,B两村相距10 km;②出发1.25 h后两人相遇;③甲每小时比乙多骑行8 km;④相遇后,乙又骑行了15 min或65 min时两人相距2 km.其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个8.[2019·绥化]甲、乙两台机器共同加工一批零件,一共用了6 h.在加工过程中乙机器因故障停止工作,排除故障后,乙机器提高了工作效率且保持不变,继续加工.甲机器在加工过程中工作效率保持不变.甲、乙两台机器加工零件的总数y(个)与甲加工时间x(h)之间的函数图象为折线OA-AB-BC,如图6所示.(1)这批零件一共有个,甲机器每小时加工个零件,乙机器排除故障后每小时加工个零件;(2)当3≤x≤6时,求y与x之间的函数表达式;(3)在整个加工过程中,甲机器加工多长时间时,甲与乙机器加工的零件个数相等?图69.某城市居民用水实行阶梯收费,每户每月用水量若未超过20吨,则按每吨1.9元收费;每户每月用水量若超过20吨,未超过的部分仍按每吨1.9元收费,超过的部分则按每吨2.8元收费.设每户每月用水量为x吨,应收水费为y元.(1)分别写出每户每月用水量未超过20吨和超过20吨时,y与x之间的函数表达式;(2)若该城市某用户5月份水费为平均每吨2.2元,求该用户5月份用水多少吨.10.[2020·合肥肥东县期末]为加强校园文化建设,某校准备打造校园文化墙,需用甲、乙两种石材.经市场调查,甲种石材的费用y(元)与使用面积x(m2)之间的函数关系如图7所示,乙种石材的价格为每平方米50元.(1)求y 与x 之间的函数表达式;(2)若校园文化墙的总面积为600 m 2,其中使用甲种石材x m 2,购买两种石材的总费用为w 元,请直接写出w 与x 之间的函数表达式;(3)在(2)的前提下,若甲种石材的使用面积多于300 m 2,且不超过乙种石材面积的2倍,则应该怎样分配甲、乙两种石材的面积才能使总费用最少?最少总费用为多少元?图7答案1.36 [解析] 当x=96.8时,y=59x -1609=59×96.8-1609=36. 2.10 [解析] 当y=0时,15x -2=0,解得x=10.3.解:(1)由题意,得高度增加2百米,气温降低2×0.6=1.2(℃),13.2-1.2=12(℃).所以高度为5百米时的气温大约是12 ℃.(2)设T 关于h 的函数表达式为T=kh+b.由题意,得{3k +b =13.2,5k +b =12,解得{k =-0.6,b =15.所以T 关于h 的函数表达式为T=-0.6h+15(h>0).(3)当T=6时,6=-0.6h+15,解得h=15.所以该山峰的高度大约为15百米,即1500米.4.105.解:(1)当0≤x<200时,y=0.5x.当x ≥200时,设y 与x 之间的函数表达式为y=mx+b.则{100=200m +b ,180=300m +b ,解得{m =0.8,b =-60.所以当x ≥200时,y=0.8x -60.综上可得,y 与x 之间的函数表达式为y={0.5x (0≤x <200),0.8x -60(x ≥200).(2)由图可知乙用户该月用电量超过200 kW·h,将y=132代入y=0.8x -60,得x=240.即乙用户该月的用电量是240 kW·h .6.C [解析] 由图象可得,第4 min 时,容器内的水量为20 L,故选项A 正确;每分钟的进水量为20÷4=5(L),故选项B 正确;每分钟的出水量为5-(30-20)÷(12-4)=3.75(L),故选项C 错误;第8 min 时,容器内的水量为20+(8-4)×(5-3.75)=25(L),故选项D 正确.7.D [解析] 由图象可知A 村、B 村相距10 km,故①正确;当1.25 h 时,甲、乙相距为0 km,故在此时相遇,故②正确;当0≤t ≤1.25时,易得一次函数的表达式为s=-8t+10,故甲的速度比乙的速度快8 km/h .故③正确;当1.25≤t ≤2时,函数图象经过点(1.25,0),(2,6).设一次函数的表达式为s=kt+b ,则{0=1.25k +b ,6=2k +b ,解得{k =8,b =-10,所以s=8t -10.当s=2时,2=8t -10,解得t=1.5,1.5-1.25=0.25(h)=15 min .同理当2≤t ≤2.5时,设函数表达式为s=mt+n.将点(2,6)和(2.5,0)代入,得{6=2m +n ,0=2.5m +n ,解得{m =-12,n =30,所以s=-12t+30.当s=2时,-12t+30=2,解得t=73, 73-1.25=1312(h)=65(min). 故相遇后,乙又骑行了15 min 或65 min 时两人相距2 km,故④正确.故选D .8.解:(1)由题图可知这批零件一共有270个.甲机器每小时加工零件:(90-50)÷(3-1)=20(个),乙机器排除故障后每小时加工零件:(270-90-20×3)÷3=40(个).故答案为270;20;40.(2)设当3≤x ≤6时,y 与x 之间的函数表达式为y=kx+b.把B (3,90),C (6,270)代入函数表达式,得{3k +b =90,6k +b =270,解得{k =60,b =-90,所以y 与x 之间的函数表达式为y=60x -90(3≤x ≤6).(3)由题意可知乙机器故障前每小时加工50-20=30(个).设甲加工x h 时,甲与乙机器加工的零件个数相等.①故障排除前:20x=30,解得x=1.5;②故障排除后:20x=30+40(x -3),解得x=4.5.答:甲机器加工1.5 h 或4.5 h 时,甲与乙机器加工的零件个数相等.9.[解析] (1)当0≤x ≤20时按1.9元/吨收费;当x>20时,其中20吨按1.9元/吨收费,其余(x -20)吨按2.8元/吨收费;(2)先确定该用户5月份的用水量的范围,然后代入函数表达式,求得用水量.解:(1)y={1.9x (0≤x ≤20),2.8x -18(x >20).(2)因为2.2>1.9,所以可以确定该用户5月份用水超过20吨.故设该用户5月份用水a 吨.由题意,得2.8a -18=2.2a ,解得a=30.答:该用户5月份用水30吨.10.解:(1)①当0≤x<300时,y=80x.②当x ≥300时,设y=kx+b.将(300,24000),(500,30000)代入y=kx+b ,得{300k +b =24000,500k +b =30000,解得{k =30,b =15000.故y 与x 之间的函数表达式为y={80x (0≤x <300),30x +15000(x ≥300).(2)当0≤x<300时,w=80x+50(600-x ),即w=30x+30000.当x ≥300时,w=30x+15000+50(600-x ),即w=-20x+45000.故w 与x 之间的函数表达式为w={30x +30000(0≤x <300),-20x +45000(x ≥300).(3)由题意,得{x >300,x ≤2(600-x ),解得300<x ≤400.由(2)知w=-20x+45000.因为-20<0,所以w 随x 的增大而减小.故当甲种石材的使用面积为400 m 2,乙种石材的使用面积为200 m 2时,总费用最少. w min =-20×400+45000=37000.答:甲种石材的使用面积为400 m 2,乙种石材的使用面积为200 m 2时,总费用最少,最少总费用为37000元.。
《第5课时 解一元二次方程—配方法》教案
第5课时解一元二次方程—配方法预设目标1、使学生进一步会用配方法解数字系数的一元二次方程。
2、使学生掌握配方法和推导过程，能使用配方法解一元二次方程。
3、渗透转化思想，掌握一些转化的技能。
教学重难点重点：掌握配方法解一元二次方程。
难点：把一元二次方程转化为形如〔x-a〕2=b的过程。
教具准备教法学法合作，探究，讨论教学过程一、自主学习感受新知【问题1】填上适当的数，使以下各式成立，并总结其中的规律。
⑴x2+ 6x+ =(x+3)2⑵x2+8x+ =(x+ )2⑶x2-12x+ =(x- )2⑷x2-x52+=(x- )2⑸a2+2ab+ =(a+ )2 ⑹a2-2ab+ =(a- )2【问题2】解以下方程：⑴x2-4x+7=0 ⑵2x2-8x+1=0二、自主交流探究新知【探究】利用配方法解以下方程，你能从中得到在配方时具有的规律吗？⑴3x2－6x + 4 = 0；⑵2x2+1=3x ⑶(2x-1)(x+3)=5．【归纳】利用配方法解方程时应该遵循的步骤：〔1〕把方程化为一般形式ax2+bx+c=0；〔2〕把方程的常数项通过移项移到方程的右边；〔3〕方程两边同时除以二次项系数a；〔4〕方程两边同时加上一次项系数一半的平方；〔5〕此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．三、自主应用稳固新知【例1】用配方法解以下方程：⑴x(2x-5)=4x-10 ⑵4x2-12x-1=0四、当堂练习：教材P35练习题五、自主总结拓展新知〔1〕把方程化为一般形式ax2+bx+c=0；〔2〕把方程的常数项通过移项移到方程的右边；〔3〕方程两边同时除以二次项系数a；〔4〕方程两边同时加上一次项系数一半的平方；〔5〕此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．〔6〕如果方程右边是非负数，两边直接开平方求解，如果方程右边是负数，那么原方程无解。
《一次函数》经典例题剖析(附练习及答案)
《一次函数》复习课知识点1 一次函数和正比例函数的概念若两个变量x ，y 间的关系式可以表示成y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的形式，则称y 是x 的一次函数（x 为自变量），特别地，当b=0时，称y 是x 的正比例函数.例如：y=2x+3，y=-x+2，y=21x 等都是一次函数，y=21x ，y=-x 都是正比例函数.【说明】 （1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.（2）一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，b ≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量x 的次数为1，一次项系数k 必须是不为零的常数，b 可为任意常数.（3）当b=0，k ≠0时，y= kx 仍是一次函数. （4）当b=0，k=0时，它不是一次函数. 知识点2 函数的图象把一个函数的自变量x 与所对应的y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线．知识点 3一次函数的图象由于一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b 的图象也称为直线y=kx+b ．由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可，一般选取两个特殊点：直线与y 轴的交点（0，b ），直线与x 轴的交点（-kb，0）.但也不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数y=kx 的图象时，只要描出点（0，0），（1，k ）即可.知识点4 一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的性质 （1）k 的正负决定直线的倾斜方向； ①k ＞0时，y 的值随x 值的增大而增大； ②k ﹤O 时，y 的值随x 值的增大而减小．（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x 轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x 轴相交的锐角度数越小（直线缓）；（3）b 的正、负决定直线与y 轴交点的位置； ①当b ＞0时，直线与y 轴交于正半轴上； ②当b ＜0时，直线与y 轴交于负半轴上； ③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数．（4）由于k ，b 的符号不同，直线所经过的象限也不同；①如图11－18（l ）所示，当k ＞0，b ＞0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）； ②如图11－18（2）所示，当k ＞0，b ﹥O 时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）； ③如图11－18（3）所示，当k ﹤O ，b ＞0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）； ④如图11－18（4）所示，当k ﹤O ，b ﹤O 时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）． （5）由于|k|决定直线与x 轴相交的锐角的大小，k 相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x ＋1可以看作是正比例函数y=x 向上平移一个单位得到的．知识点3 正比例函数y=kx （k ≠0）的性质 （1）正比例函数y=kx 的图象必经过原点；（2）当k ＞0时，图象经过第一、三象限,y 随x 的增大而增大； （3）当k ＜0时，图象经过第二、四象限,y 随x 的增大而减小． 知识点4 点P （x 0，y 0）与直线y=kx+b 的图象的关系（1）如果点P （x 0，y 0）在直线y=kx+b 的图象上，那么x 0,y 0的值必满足解析式y=kx+b ； （2）如果x 0，y 0是满足函数解析式的一对对应值，那么以x 0，y 0为坐标的点P （1，2）必在函数的图象上．例如：点P （1，2）满足直线y=x+1，即x=1时，y=2，则点P （1，2）在直线y=x+l 的图象上；点P ′（2，1）不满足解析式y=x+1，因为当x=2时，y=3，所以点P ′（2，1）不在直线y=x+l 的图象上．知识点5 确定正比例函数及一次函数表达式的条件（1）由于正比例函数y=kx （k ≠0）中只有一个待定系数k ，故只需一个条件（如一对x ，y 的值或一个点）就可求得k 的值．（2）由于一次函数y=kx+b （k ≠0）中有两个待定系数k ，b ，需要两个独立的条件确定两个关于k ，b 的方程，求得k ，b 的值，这两个条件通常是两个点或两对x ，y 的值．知识点6 待定系数法先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数），再根据条件列出方程（或方程组），求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法．其中未知系数也叫待定系数．例如：函数y=kx+b 中，k ，b 就是待定系数．知识点7 用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤 （1）设函数表达式为y=kx+b ； （2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）；（3）求出k 与b 的值，得到函数表达式．例如：已知一次函数的图象经过点（2，1）和（-1，-3）求此一次函数的关系式． 解：设一次函数的关系式为y ＝kx+b （k ≠0）， 由题意可知，⎩⎨⎧+-=-+=,3,21b k b k 解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.35,34b k ∴此函数的关系式为y=3534-x ． 【说明】 本题是用待定系数法求一次函数的关系式，具体步骤如下：第一步，设（根据题中要求的函数“设”关系式y=kx+b ，其中k ，b 是未知的常量，且k ≠0）；第二步，代（根据题目中的已知条件，列出方程（或方程组），解这个方程（或方程组），求出待定系数k ，b ）；第三步，求（把求得的k ，b 的值代回到“设”的关系式y=kx+b 中）；第四步，写（写出函数关系式）.思想方法小结 （1）函数方法．函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题．（2）数形结合法．数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用．知识规律小结 （1）常数k ，b 对直线y=kx+b(k ≠0）位置的影响． ①当b ＞0时，直线与y 轴的正半轴相交； 当b=0时，直线经过原点；当b ﹤0时，直线与y 轴的负半轴相交．②当k ，b 异号时，即-kb＞0时，直线与x 轴正半轴相交；当b=0时，即-kb=0时，直线经过原点；当k ，b 同号时，即-kb﹤0时，直线与x 轴负半轴相交．③当k ＞O ，b ＞O 时，图象经过第一、二、三象限； 当k ＞0，b=0时，图象经过第一、三象限； 当b ＞O ，b ＜O 时，图象经过第一、三、四象限； 当k ﹤O ，b ＞0时，图象经过第一、二、四象限； 当k ﹤O ，b=0时，图象经过第二、四象限； 当b ＜O ，b ＜O 时，图象经过第二、三、四象限．（2）直线y=kx+b （k ≠0）与直线y=kx(k ≠0)的位置关系． 直线y=kx+b(k ≠0)平行于直线y=kx(k ≠0)当b ＞0时，把直线y=kx 向上平移b 个单位，可得直线y=kx+b ； 当b ﹤O 时，把直线y=kx 向下平移|b|个单位，可得直线y=kx+b ． （3）直线b 1=k 1x+b 1与直线y 2=k 2x+b 2（k 1≠0 ，k 2≠0）的位置关系． ①k 1≠k 2⇔y 1与y 2相交；②⎩⎨⎧=≠2121b b k k ⇔y 1与y 2相交于y 轴上同一点（0，b 1）或（0，b 2）； ③⎩⎨⎧≠=2121,b b k k ⇔y 1与y 2平行； ④⎩⎨⎧==2121,b b k k ⇔y 1与y 2重合.典例剖析基本概念题本节有关基本概念的题目主要是一次函数、正比例函数的概念及它们之间的关系，以及构成一次函数及正比例函数的条件．例1 下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？（1）y=-21x ； （2）y=-x2； （3）y=-3-5x ；（4）y=-5x 2； （5）y=6x-21（6）y=x(x-4)-x 2.例2 当m 为何值时，函数y=-（m-2）x 32m+（m-4）是一次函数？基础知识应用题本节基础知识的应用主要包括：（1）会确定函数关系式及求函数值；（2）会画一次函数（正比例函数）图象及根据图象收集相关的信息；（3）利用一次函数的图象和性质解决实际问题；（4）利用待定系数法求函数的表达式．例3 一根弹簧长15cm ，它所挂物体的质量不能超过18kg ，并且每挂1kg 的物体，弹簧就伸长0．5cm ，写出挂上物体后，弹簧的长度y （cm ）与所挂物体的质量x(kg ）之间的函数关系式，写出自变量x 的取值范围，并判断y 是否是x 的一次函数．例4 某物体从上午7时至下午4时的温度M （℃）是时间t （时）的函数：M=t 2-5t+100（其中t=0表示中午12时，t=1表示下午1时），则上午10时此物体的温度为 ℃．例5 已知y-3与x 成正比例，且x=2时，y=7. （1）写出y 与x 之间的函数关系式； （2）当x=4时，求y 的值； （3）当y=4时，求x 的值．例6 若正比例函数y=（1-2m ）x 的图象经过点A （x 1，y 1）和点B （x 2，y 2），当x 1﹤x 2时，y 1＞y 2，则m 的取值范围是（ ）A ．m ﹤OB ．m ＞0C ．m ﹤21D ．m ＞M例7 已知一次函数y=kx+b 的图象如图11－22所示，求函数表达式．例8 求图象经过点（2，-1），且与直线y=2x+1平行的一次函数的表达式．综合应用题本节知识的综合应用包括：（1）与方程知识的综合应用；（2）与不等式知识的综合应用；（3）与实际生活相联系，通过函数解决生活中的实际问题．例9 已知y+a与x+b（a，b为是常数）成正比例．（1）y是x的一次函数吗？请说明理由；（2）在什么条件下，y是x的正比例函数？例10 某移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先交50元月租费，然后每通话1分，再付电话费0．4元；“神州行”使用者不交月租费，每通话1分，付话费0．6元（均指市内通话）若1个月内通话x分，两种通讯方式的费用分别为y1元和y2元．（1）写出y1，y2与x之间的关系；（2）一个月内通话多少分时，两种通讯方式的费用相同？（3）某人预计一个月内使用话费200元，则选择哪种通讯方式较合算？例11 已知y+2与x成正比例，且x=-2时，y=0．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）观察图象，当x取何值时，y≥0？（4）若点（m，6）在该函数的图象上，求m的值；（5）设点P在y轴负半轴上，（2）中的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，且S△ABP=4，求P点的坐标．例12 已知一次函数y=（3-k）x-2k2+18.（1）k为何值时，它的图象经过原点？（2）k为何值时，它的图象经过点（0，-2）?（3）k为何值时，它的图象平行于直线y=-x？（4）k为何值时，y随x的增大而减小？例13 判断三点A（3，1），B（0，-2），C（4，2）是否在同一条直线上．学生做一做判断三点A（3，5），B（0，-1），C（1，3）是否在同一条直线上.探索与创新题主要考查学生运用知识的灵活性和创新性，体现分类讨论思想、数形结合思想在数学问题中的广泛应用．例14 老师讲完“一次函数”这节课后，让同学们讨论下列问题：（1）x从0开始逐渐增大时，y=2x+8和y=6x哪一个的函数值先达到30？这说明了什么？（2）直线y=-x与y=-x+6的位置关系如何？甲生说：“y=6x的函数值先达到30，说明y=6x比y=2x+8的值增长得快．”乙生说：“直线y=-x与y=-x+6是互相平行的．”你认为这两个同学的说法正确吗？例15 某校一名老师将在假期带领学生去北京旅游，用旅行社说：“如果老师买全票，其他人全部半价优惠．”乙旅行社说：“所有人按全票价的6折优惠．”已知全票价为240元．（1）设学生人数为x，甲旅行社的收费为y甲元，乙旅行社的收费为y乙元，分别表示两家旅行社的收费；（2）就学生人数讨论哪家旅行社更优惠．学生做一做某公司到果园基地购买某种优质水果，慰问医务工作者.果园基地对购买量在3000千克以上（含3000千克）的有两种销售方案．甲方案：每千克9元，由基地送货上门；乙方案：每千克8元，由顾客自己租车运回，已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元．（1）分别写出该公司两种购买方案的付款y（元）与所购买的水果量x（千克）之间的函数关系式，并写出自变量X的取值范围；（2）当购买量在什么范围时，选择哪种购买方案付款少？并说明理由．例16 一次函数y=kx+b的自变量x的取值范围是-3≤x≤6，相应函数值的取值范围是-5≤y≤-2，则这个函数的解析式为 .基础训练习题：1．某地举办乒乓球比赛的费用y（元）包括两部分：一部分是租用比赛场地等固定不变的费用b（元），另一部分与参加比赛的人数x（人）成正比例，当x=20时y=160O；当x=3O时，y=200O．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）动果有50名运动员参加比赛，且全部费用由运动员分摊，那么每名运动员需要支付多少元？2．已知一次函数y=kx+b，当x=-4时，y的值为9；当x=2时，y的值为-3．（1）求这个函数的解析式。
第5课时一次函数与行程培优专题
一次函数与行程、工作效率问题1、 甲、乙两辆汽车沿同一路线赶赴距出发地480千米的目的地，乙车比甲车晚出发2小时（从甲车出发时开始计时）．图中折线OABC 、线段DE 分别表示甲、乙两车所行路程y （千米）与时间x （小时）之间的函数关系对应的图象（线段AB 表示甲出发不足2小时因故停车检修）．请根据图象所提供的信息，解决如下问题： （1）求乙车所行路程y 与时间x 的函数关系式；（2）求两车在途中第二次相遇时，它们距出发地的路程；（3）乙车出发多长时间，两车在途中第一次相遇？（写出解题过程）2、甲乙两人同时登西山，甲、乙两人距地面的高度y （米）与登山时间x （分）之间的函数图象如图35所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）甲登山的速度是每分钟______米，乙在A 地提速时距地面的高度b 为______米． （2）若乙提速后，乙的速度是甲登山速度的3倍，请分别求出甲、乙二人登山全过程中，登山时距地面的高度y （米）与登山时间x （分）之间的函数关系式． （3）登山多长时间时，乙追上了甲？此时乙距A 地的高度为多少米？3、A ，B 两城相距600千米，甲、乙两车同时从A 城出发驶向B 城，甲车到达B 城后立即返回．如图是它们离A 城的距离y （千米）与行驶时间 x （小时）之间的函数图象． （1）求甲车行驶过程中y 与x 之间的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围； （2）当它们行驶7了小时时，两车相遇，求乙车速度．x/小时y /千米600146OFEC DA OD PB F CE y （千米） x （小时）4806810 24.5图354、一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻起只打开进水管进水，经过一段时间，再打开出水管放水．至12分钟时，关停进水管．在打开进水管到关停进水管这段时间内，容器内的水量y （单位：升）与时间x （单位：分钟）之间的函数关系如图所示．关停进水管后，经过_____分钟，容器中的水恰好放完．5、某班师生组织植树活动，上午8时从学校出发，到植树地点后原路返校，如图为师生离校路程s 与时间t 之间的图象.请回答下列问题： (1)求师生何时回到学校？(2)如果运送树苗的三轮车比师生迟半小时出发，与师生同路匀速前进，早半个小时到达植树地点，请在图中，画出该三轮车运送树苗时，离校路程s 与时间t 之间的图象，并结合图象直接写出三轮车追上师生时，离学校的路程；(3)如果师生骑自行车上午8时出发，到植树地点后，植树需2小时，要求14时前返回学校，往返平均速度分别为每小时10km 、8km.现有A 、B 、C 、D 四个植树点与学校的路程分别是13km ，15km 、17km 、19km ，试通过计算说明哪几个植树点符合要求.t (时)s (km)86432141312111098O6、有两段长度相等的河渠挖掘任务，分别交给甲乙两个工程队同时进行挖掘，如图是反映所挖河渠长度y（米）与挖掘时间x（时）之间的关系的部分图像。
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一次函数的图象是 直线
我们在画函数y=2x,y=3x-1的图像时，至少应 选取几个点？为什么？ 前面我们学习了给定一次函数解析式，可以说 出它的性质，反过来给出有关的信息，能否
求出解析式呢？
确定正比例函数的表达式,就是要确定哪个值？
K的值
(自变量的系数)
需要 (原点除外)几个点坐标呢？
K、b 的值 总结：在确定函数表达式时，要求几个系 数就需要知道几个点的坐标。
一次函数呢？
求函数解关系的一般步骤是怎样的呢？ 可归纳为：“一设、二列、三解、四写”
一设：设出函数关系式的一般形式y=kx+b;
30 60 80
x
9.已知直线y=kx+b，经过点A(0,6),B(3,0)
1)写出表示这条直线的函数解析式。
2）如果这条直线经过点P(m,2), 求m的值。
3）求这条直线与x 轴，y 轴所围成的图形的 面积。
y A(0,6) 2 -2 -2 02
B(3,0)
x
求下图中直线的解析式：
解：图像是经过原点的直线， 因此是正比例函数，设解析 式为y=kx，把(1,2)代入，得 k=2，所以解析式为y=2x.
2
1
如图所示，已知直线 AB和x轴交于点B,和y 轴交于点A
y 5 4 3 2 1
①写出A、B两点 的坐标 ②求直线AB的 表达式
-3 -2 -1
A B
0 1 2 3 4
根同规格的碗整齐地放在桌面上，请根据图 中的数据信息，解答下列问题：
（1）求整齐摆放在桌面上的碗的高度y(cm)与碗的个数x(个) 之间的函数关系式；（y与x成一次函数关系）
（2）把这两摞碗整齐地摆成一摞时，碗的高度是多少？
11cm
14cm
2.在弹性限度内，弹簧的长度 y（厘米）是 所挂物体质量 x（千克）的一次函数。一 根弹簧不挂物体时长14.5厘米；当所挂物体 的质量为3千克时，弹簧长16厘米。请写出 y 与x之间的关系式，并求当所挂物体的质 量为4千克时弹簧的长度。
二列：根据已知两点的坐标列出关于k、b的二元 一次方程组； 三解：解这个方程组，求出k、b的值； 四写：把求得的k、b的值代入y=kx+b，写出函数 关系式.
小结：求一次函数关系式常见题型
1.利用图像求函数关系式
2.利用点的坐标求函数关系式
3.利用表格信息确定函数关系式
4.根据实际情况收集信息求函数关 系式
①若一次函数图像y=ax+3的图象经 过A（1，-2），则a= （ ） ②直线y=2x+b过点（1，-2），则它 与y轴交点坐标为（ ） ③某函数具有下列两条性质：它的 图像经过原点（0，0）的一条直线； y值随x的增大而减小。 请你写出满足上述条件的函数（用 关系式表示）
B组练习题
y
某地长途汽车客运公司规 定旅客可随身携带一定质 量的行李，如果超过规定， 10 则需要购买行李票，行李 6 票费用y元是行李质量x （千克）的一次函数，其 0 图象如下图所示： ①写出y与x之间的函数关 系式； ②旅客最多可免费携带多 少千克行李？
x
-1 -2 -3
像这样先设出函数解析式，再根据条件确定解析 式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法， 叫做待定系数法．
函数解析式和函数图象如何相互转化呢？
从数到形
函数解析 式 y=kx+b(k ≠0)
选取
满足条件的 两点(x1,y1) 与(x2,y2)
画出
一次函数的 图象直线L
解出
从形到数
利用表格信息确定函数关系式
1.某型号汽车进行耗油实验，y(耗油量)是t(时间)的 一次函数，函数关系如下表，请确定函数表达式。
t (时 间) y(耗油量) 0 100 1 84 2 68 3 52 … …
2. 小明根据某个一次函数关系式填写了下表:
x y -2 3 -1 0 1 1 0
其中有一格不慎被墨汁遮住了,想想看，该空 格里原来填的数是多少？解释你的理由。
选取
体现了“数形结合”的数学思想
利用图像求函数关系式
某物体沿一个斜坡下 滑，它的速度 v （米/ 秒）与其下滑时间 t （秒）的关系如右图 所示：请写出 v 与 t 的关系式；
V/(米/秒)
O
t/秒
利用点的坐标求函数关系式
1.已知一次函数y=kx+b，当x =0时， y =2；当x =4时，y =6.求这个一次函 数的解析式． 2.已知一次函数的图象经过点(3,5)与 （－4，－9）.求这个一次函数的解析 式．