高考数学大复习第九章平面解析几何第讲两直线的位置关系课件理人教版
高考数学(理)一轮资源库 第九章 9.2两直线的位置关系
－by＋4＝0 和 l2：(a－1)x＋y
＋b＝0，求满足下列条件的 a，时，不仅要考虑到斜率存在的
b 的值.
一般情况，也要考虑到斜率不
(1)l1⊥l2，且 l1 过点(－3，－1)；存 在的特 殊情况 .同 时还要 注
(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条 意 x、y 的系数不能同时为零这
b 的值.
又∵l1 过点(－3，－1)，∴－3a＋b
(1)l1⊥l2，且 l1 过点(－3，－1)； ＋4＝0.
②
由①②联立，解得 a＝2，b＝2.
(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条 (2)∵l2 的斜率存在，l1∥l2，∴直线
直线的距离相等.
l1 的斜率存在，
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
对应.
相交⇔方程组有 唯一解 ，交点坐标就是方程组的解；
平行⇔方程组 无解 ；
重合⇔方程组有 无数个解 .
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材
3.三种距离公式
(1)点 A(x1，y1)、B(x2，y2)间的距离：
AB＝
x2－x12＋y2－y12
.
(2)点 P(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C＝0 的距离：
|Ax0＋By0＋C|
d＝
A2＋B2
(3)两平行直线 l1：Ax＋By＋C1＝0 与 l2：Ax＋By＋C2＝0 (C1≠C2)
|C2－C1|
间的距离为 d＝ A2＋B2 .
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
2019届高考数学一轮复习第九章平面解析几何第二节两直
| C1 C2 |
A2 B2
By+C2=0间的距离
1.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是 ( A )
A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0
答案 A 由题意知,斜率k= 1 ,又直线过点(1,0),所以所求直线方程为y=
A 2 B2 C2
A1 ≠ B1 (A2B2≠0)
A 2 B2
A1 = B1 = C1 (A2B2C2≠0)
A 2 B2 C2
[提醒]在判断两直线的位置关系时,比例式 A1 与 B1 , C1 的关系容易记住, A2 B2 C2
在解答选择题、填空题时,建议多用比例式来解答.
2
1-1 若直线2x-y=-10,y=x+1,y=ax-2交于一点,则a的值为 3 .
3.三种距离
点点距 点线距
线线距
点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离 |P1P2|=
⑧
(x2 x1)2 (y2 y1)2
| Ax0 By0 C |
点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的 d=⑨ A2 B2
距离
两条平行直线Ax+By+C1=0与Ax+ d=⑩
考点突破
考点一 两条直线的位置关系
典例1 (1)已知过点A(-2,m)和点B(m,4)的直线为l1,直线2x+y-1=0为l2,直
线x+ny+1=0为l3.若l1∥l2,l2⊥l3,则实数m+n的值为
.
(2)已知两直线l1:ax-by+4=0和l2:(a-1)x+y+b=0,求满足下列条件的a,b的
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第2讲 两条直线的位置关系课件 理 新人教A版
考点一 两直线的平行与垂直 【例1】 已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋
b＝0，求满足下列条件的a，b的值. (1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)； (2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等. 解 (1)法一 由已知可得 l2 的斜率存在，∴k2＝1－a. 若 k2＝0，则 1－a＝0，a＝1. ∵l1⊥l2，直线 l1 的斜率 k1 必不存在，即 b＝0.
(1)l1∥l2； (2)l1⊥l2. 解 (1)法一 当 sin α ＝0 时，直线 l1 的斜率不存在， l2 的斜率为 0，显然 l1 不平行于 l2.当 sin α ≠0 时， k1＝－sin1 α，k2＝－2sin α .要使 l1∥l2，
2.过点(1，0)且与直线 x－2y－2＝0 平行的直线方程是
()
A.x－2y－1＝0
B.x－2y＋1＝0
C.2x＋y－2＝0
D.x＋2y－1＝0
解析 设所求直线方程为 x－2y＋c＝0(c≠－2)，将(1，
0)代入得 c＝－1，∴所求直线方程为 x－2y－1＝0. 答案 A
3.已知点(a，2)(a>0)到直线 l：x－y＋3＝0 的距离为 1，则
规律方法 (1)当含参数的直线方程为一般式时，若要 表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情 况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注 意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件.(2)在判断两 直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数 间的关系得出结论.
【训练 1】 已知两直线 l1：x＋ysin α －1＝0 和 l2： 2x·sin α ＋y＋1＝0，求 α 的值，使得：
第2讲 两条直线的位置关系
最新考纲 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或 垂直；2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标； 3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条 平行直线间的距离.
高三数学一轮总复习第九章平面解析几何第二节两直线的位置关系课件理ppt版本
[即时应用] (2016·苏州检测)已知三条直线2x－y－3＝0,4x－3y－ 5＝0和ax＋y－3a＋1＝0相交于同一点P. (1)求点P的坐标和a的值； (2)求过点(－2,3)且与点P的距离为2 5的直线方程．
(2)设所求直线为 l，当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的
方 当程 直解为 线：xl(＝的1)由－斜率 224，xx存此－－在时y3－y时点－3，＝5P＝设0与，0直，直线线解ll的得的斜距xy＝＝率离1为2为，，k4，，不合题意． 则直所线以l点的P方的程坐为标y－为3(2＝,1k)．(x＋2)， 即 kx－y＋2k＋3＝0. 点 P将 得到点a直＝P线2的. l坐的标距(离2,1)d代＝入|2k直－线1k＋2a＋x2＋k1＋y－3|＝3a2＋15＝，0，可 解得 k＝2，
第二节 两直线的位置关系
1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行： ①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则
有l1∥l2⇔ k1＝k2 . ②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
(2)两条直线垂直： ①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2
线平行，则实数m的值是________． 解析：由题意可知 kAB＝4m－＋m2＝－2，所以 m＝－8. 答案：－8
2．已知直线l：y＝3x＋3，那么直线x－y－2＝0关于直线l
对称的直线方程为__________．
解析：由
x－y－2＝0， 3x－y＋3＝0，
得交点坐标P －52，－92 .又直
住，在解答填空题时，建议多用比例式来解答．
考点二 距离问题 重点保分型考点——师生共研
[典例引领] 已知A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0， 在坐标平面内求一点P，使|PA|＝|PB|，且点P到直线l 的距离为2.
高考数学 第九章 解析几何 9.2 两直线的位置关系课件 文
判定两条直线的位置关系 (1)两条直线的平行． ①若 l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则 l1∥l2
k1＝k2 且
b1≠b2，l1 与 l2 重合 k1＝k2 且 b1＝b2．
第5页
高考调研 ·高三总复习 ·数学 （文）
②当 l1，l2 都垂直于 x 轴且不重合时，则有 l1∥l2． ③若 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则 l1∥l2 A1B2＝A2B1 且 B1C2≠B2C1，l1 与 l2 重合 A1＝λA2，B1＝λB2， C1＝λC2(λ≠0)．
第6页
高考调研 ·高三总复习 ·数学 （文）
(2)两条直线的垂直． ①若 l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则 l1⊥l2 k1·k2＝ －1． ②若两条直线中，一条斜率不存在，同时另一条斜率等于零， 则两条直线垂直． ③若 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则 l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0．
第40页
高考调研 ·高三总复习 ·数学 （文）
【解析】 由题意，得 a26＋a4＝|4a－a2a＋2＋a46|，即 4a－a2＋6 ＝±6，解之得 a＝0 或－2 或 4 或 6.检验得 a＝0 不合题意，所以 a＝－2 或 4 或 6.
【答案】 －2 或 4 或 6
第41页
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第31页
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【答案】 (1)m≠－1 且 m≠3 (2)m＝12 (3)m＝－1 (4)m＝3
第32页
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题型二 距离公式 例 2 已知点 P(2，－1)． (1)求过点 P 且与原点的距离为 2 的直线 l 的方程； (2)求过点 P 且与原点的距离最大的直线 l 的方程，最大距离 是多少？ (3)是否存在过点 P 且与原点的距离为 6 的直线？若存在，求 出方程；若不存在，请说明理由．
高考总复习一轮数学精品课件 第9章 平面解析几何 第2节 两条直线的位置关系
D. 2+1
a=-1+ 2或 a=-1- 2.
∵a>0,∴a=-1+ 2.
(3)直线3x-4y-4=0与直线6x-8y-3=0之间的距离为( C )
1
A.
5
2解析 直线 3x-4y-4=0 即 6x-8y-8=0,显然与另一条直线平行,
则所求距离为
|-8-(-3)|
62 +82
=
(3)点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y),关于直线y=b的对称点为
(x,2b-y).
(4)点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y).
(5)点(x,y)关于直线x+y=k的对称点为(k-y,k-x),关于直线x-y=k的对称点为
(k+y,x-k).
2.三种直线系方程
3.直线外一点与直线上的点的距离的最小值就是点到直线的距离.(
)
题组二 回源教材
4.(人教A版选择性必修第一册2.3.4节练习第1题改编)已知两条平行直线l1:
2 5
2x+y-1=0,l2:2x+y+1=0,则l1与l2之间的距离是__________.
5
解析 利用两平行线间的距离公式得 l1 与 l2 之间的距离 d=
条直线的斜率为0时,l1⊥l2
l1⊥l2⇔__________
k1k2=-1
若 A1,A2,B1,B2,C1,C2 均不为 0,
1
1
1
则 l1 与 l2 重合⇔ = =
2
2
2
l1∥l2⇔__________,且
A1B2-A2B1=0 B1C2-B2C1≠0(或 A1C2-A2C1≠0)
福建专用2018年高考数学总复习第九章解析几何9.2点与直线两条直线的位置关系课件理新人教A版
x '+x 0 2
可求出 x',y'. + b,
-7知识梳理 考点自测
1
2
3
4
5
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”. (1)如果直线l1与直线l2互相平行,那么这两条直线的斜率相等.(
)
(2)如果直线l1与直线l2互相垂直,那么它们的斜率之积一定等于1 .( )
当 a≠1,且 a≠0 时,两条直线的方程可化为 l1:y=- x-3,l2:y=
2 ������ 1 1-������
x-(a+1),由 l1∥l2⇔
- =
2
������
1 1-������
解得 a=-1. -3 ≠ -(������ + 1),
,
综上可知,当a=-1时,l1∥l2,否则l1与l2不平行.
三种
-3知识梳理 考点自测
(2)两条直线垂直 对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2, l1⊥l2⇔k1· k2=-1. 对于直线l1:A1x+B1y+C1=0, l2:A2x+B2y+C2=0, l1⊥l2⇔ A1A2+B1B2=0 .
-4知识梳理 考点自测
2.两条直线的交点 直线l1和l2的交点坐标即为两直线方程组成的方程组 ������1 ������ + ������1 ������ + ������1 = 0, 的解. ������2 ������ + ������2 ������ + ������2 = 0 相交⇔方程组有 唯一解 ; 平行⇔方程组 无解 ; 无数个解 重合⇔方程组有
高考数学总复习 第九篇 解析几何 第2讲 两条直线的位置关系课件 理
(2)两条直线垂直
① 如 果 两 条 直 线 l1 ， l2 的 斜 率 存 在 ， 设 为 k1 ， k2 ， 则 l1⊥l2⇔
k1k2＝－1
.
②如果l1，l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率 为0时，l1与l2的关系为垂直 ．
2．两直线的交点 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共 点的坐标与方程组AA12xx＋ ＋BB12yy＋ ＋CC12＝ ＝00， 的解一一对应． 相交⇔方程组有 唯一解 ，交点坐标就是方程组的解； 平行⇔方程组 无解 ； 重合⇔方程组有 无数个解 ．
(2)过点A与原点O距离最大的直线是过点A与AO垂直的直
线，由l⊥AO，得klkOA＝－1，所以kl＝－k1OA＝2， 由直线的点斜式得y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0，
即直线2x－y－5＝0是过点A且与原点距离最大的直线l
的方程，最大距离是|－5|＝ 5
5.
(3)不存在．由(2)可知，过点A不存在到原点距离超过 5 的
3．距离公式
(1)两点间的距离公式
平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝ x2－x12＋y2－y12 .
特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝ x2＋y2 .
(2)点到直线的距离公式
平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时
故所求直线的方程为y－2＝－13(x＋1)，即x＋3y－5＝0. 当过点A的直线的斜率不存在时，由点A的坐标为(－1,2) 知，过点A的直线为x＝－1.易得P1，P2到直线x＝－1的距离 相等，故x＝－1符合题意． 综上，所求直线的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.
【创新方案】2020年高考数学一轮复习 第九篇 解析几何 第2讲 两条直线的位置关系教案 理 新人教版
第2讲 两条直线的位置关系【2020年高考会这样考】 1．考查两直线的平行与垂直．2．考查两点间的距离公式、点到直线的距离公式、两平行直线间的距离公式． 【复习指导】1．对两条直线的位置关系，求解时要注意斜率不存在的情况，注意平行、垂直时直线方程系数的关系．2．熟记距离公式，如两点之间的距离、点到直线的距离、两条平行线之间的距离．基础梳理1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行对于两条不重合的直线l 1、l 2，其斜率分别为k 1、k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，特别地，当直线l 1、l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2的关系为平行．(2)两条直线垂直①如果两条直线l 1、l 2的斜率存在，设为k 1、k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.②如果l 1、l 2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l 1与l 2的关系为垂直． 2．两直线相交交点：直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一一对应．相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 平行⇔方程组无解； 重合⇔方程组有无数个解． 3．三种距离公式(1)平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝x 1－x 22＋y 1－y 22.特别地，原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2. (2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2.一条规律与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)平行、垂直的直线方程的设法：一般地，平行的直线方程设为Ax ＋By ＋m ＝0；垂直的直线方程设为Bx －Ay ＋n ＝0. 两个防范(1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑．为分别相等． 三种对称(1)点关于点的对称点P (x 0，y 0)关于A (a ，b )的对称点为P ′(2a －x 0,2b －y 0)． (2)点关于直线的对称设点P (x 0，y 0)关于直线y ＝kx ＋b 的对称点P ′(x ′，y ′)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y ′－y 0x ′－x 0·k ＝－1，y ′＋y 02＝k ·x ′＋x2＋b ，可求出x ′，y ′.(3)直线关于直线的对称①若已知直线l 1与对称轴l 相交，则交点必在与l 1对称的直线l 2上，然后再求出l 1上任一个已知点P 1关于对称轴l 对称的点P 2，那么经过交点及点P 2的直线就是l 2；②若已知直线l 1与对称轴l 平行，则与l 1对称的直线和l 1分别到直线l 的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离即可求出l 1的对称直线．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)直线ax ＋2y －1＝0与直线2x －3y －1＝0垂直，则a 的值为( )．A ．－3B ．－43C ．2D ．3解析 由⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2×23＝－1，得：a ＝3.答案 D2．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为( )． A ．1 B. 3 C ．2 D. 5 解析 d ＝|－5|1＋22＝ 5.答案 D3．(2020·银川月考)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )． A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0解析 ∵所求直线与直线x －2y －2＝0平行，∴所求直线斜率k ＝12，排除C 、D.又直线过点(1,0)，排除B ，故选A. 答案 A4．点(a ，b )关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点是( )． A ．(－a －1，－b －1) B ．(－b －1，－a －1) C ．(－a ，－b )D ．(－b ，－a )解析 设对称点为(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ′－b x ′－a ×－1＝－1，x ′＋a 2＋y ′＋b2＋1＝0，解得：x ′＝－b －1，y ′＝－a －1. 答案 B5．平行线l 1：3x －2y －5＝0与l 2：6x －4y ＋3＝0之间的距离为________． 解析 直线l 2变为：3x －2y ＋32＝0，由平行线间的距离公式得：d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－5－3232＋22＝132. 答案132考向一 两条直线平行与垂直的判定及应用【例1】►(1)已知两条直线y ＝ax －2和y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直，则实数a ＝________. (2)“ab ＝4”是直线2x ＋ay －1＝0与直线bx ＋2y －2＝0平行的( )． A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[审题视点] (1)利用k 1·k 2＝－1解题．(2)抓住ab ＝4能否得到两直线平行，反之两直线平行能否一定得ab ＝4.解析 (1)由题意知(a ＋2)a ＝－1，所以a 2＋2a ＋1＝0，则a ＝－1.(2)直线2x ＋ay －1＝0与直线bx ＋2y －2＝0平行的充要条件是－2a ＝－b 2且－1a ≠－1，即ab＝4且a ≠1，则“ab ＝4”是“直线2x ＋ay －1＝0与直线bx ＋2y －2＝0平行”的必要而不充分条件．答案 (1)－1 (2)C(1)充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l 1和l 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．(2)①若直线l 1和l 2有斜截式方程l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则：直线l 1⊥l 2的充要条件是k 1·k 2＝－1.②设l 1：A 1 x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0. 则：l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0. (3)注意转化与化归思想的应用．【训练1】 已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，求m 的值，使得： (1)l 1与l 2相交；(2)l 1⊥l 2；(3)l 1∥l 2；(4)l 1，l 2重合． 解 (1)由已知1×3≠m (m －2)，即m 2－2m －3≠0， 解得m ≠－1且m ≠3.故当m ≠－1且m ≠3时，l 1与l 2相交． (2)当1·(m －2)＋m ·3＝0，即m ＝12时，l 1⊥l 2.(3)当1×3＝m (m －2)且1×2m ≠6×(m －2)或m ×2m ≠3×6，即m ＝－1时，l 1∥l 2. (4)当1×3＝m (m －2)且1×2m ＝6×(m －2)，即m ＝3时，l 1与l 2重合．考向二 两直线的交点【例2】►求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程．[审题视点] 可先求出l 1与l 2的交点，再用点斜式；也可利用直线系方程求解．解 法一 先解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －1＝0，5x ＋2y ＋1＝0，得l 1、l 2的交点坐标为(－1,2)， 再由l 3的斜率35求出l 的斜率为－53，于是由直线的点斜式方程求出l ：y －2＝－53(x ＋1)，即5x ＋3y －1＝0.法二 由于l ⊥l 3，故l 是直线系5x ＋3y ＋C ＝0中的一条，而l 过l 1、l 2的交点(－1,2)， 故5×(－1)＋3×2＋C ＝0，由此求出C ＝－1， 故l 的方程为5x ＋3y －1＝0.法三 由于l 过l 1、l 2的交点，故l 是直线系3x ＋2y －1＋λ(5x ＋2y ＋1)＝0中的一条，将其整理，得(3＋5λ)x ＋(2＋2λ)y ＋(－1＋λ)＝0. 其斜率－3＋5λ2＋2λ＝－53，解得λ＝15，代入直线系方程即得l 的方程为5x ＋3y －1＝0.运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有：(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是：Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C )；(2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋m ＝0(m ∈R )；(3)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2.【训练2】 直线l 被两条直线l 1：4x ＋y ＋3＝0和l 2：3x －5y －5＝0截得的线段的中点为P (－1,2)，求直线l 的方程．解 法一 设直线l 与l 1的交点为A (x 0，y 0)，由已知条件，得直线l 与l 2的交点为B (－2－x 0,4－y 0)，并且满足⎩⎪⎨⎪⎧4x 0＋y 0＋3＝0，3－2－x 0－54－y 0－5＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧4x 0＋y 0＋3＝0，3x 0－5y 0＋31＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2，y 0＝5，因此直线l 的方程为y －25－2＝x －－1－2－－1，即3x ＋y ＋1＝0.法二 设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋k ＋2＝0，4x ＋y ＋3＝0，得x ＝－k －5k ＋4.由⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋k ＋2＝0，3x －5y －5＝0，得x ＝－5k －155k －3.则－k －5k ＋4＋－5k －155k －3＝－2，解得k ＝－3. 因此所求直线方程为y －2＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋1＝0. 法三 两直线l 1和l 2的方程为(4x ＋y ＋3)(3x －5y －5)＝0，① 将上述方程中(x ，y )换成(－2－x,4－y )， 整理可得l 1与l 2关于(－1,2)对称图形的方程： (4x ＋y ＋1)(3x －5y ＋31)＝0.② ①－②整理得3x ＋y ＋1＝0.考向三 距离公式的应用【例3】►(2020·北京东城模拟)若O (0,0)，A (4，－1)两点到直线ax ＋a 2y ＋6＝0的距离相等，则实数a ＝________.[审题视点] 由点到直线的距离公式列出等式求a .解析 由题意，得6a 2＋a 4＝|4a －a 2＋6|a 2＋a4，即4a －a 2＋6＝±6，解之得a ＝0或－2或4或6.检验得a ＝0不合题意，所以a ＝－2或4或6. 答案 －2或4或6用点到直线的距离公式时，直线方程要化为一般式，还要注意公式中分子含有绝对值的符号，分母含有根式的符号．而求解两平行直线的距离问题也可以在其中一条直线上任取一点，再求这一点到另一直线的距离．【训练3】 已知直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0与l 2：2x ＋my －1＝0互相平行，且l 1，l 2之间的距离为 5，求直线l 1的方程．解 ∵l 1∥l 2，∴m 2＝8m ≠n－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ≠－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ≠2.(1)当m ＝4时，直线l 1的方程为4x ＋8y ＋n ＝0，把l 2的方程写成4x ＋8y －2＝0.∴|n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－22或n ＝18.所以，所求直线的方程为2x ＋4y －11＝0或2x ＋4y ＋9＝0.(2)当m ＝－4时，直线l 1的方程为4x －8y －n ＝0，l 2的方程为2x －4y －1＝0，∴|－n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－18或n ＝22.所以，所求直线的方程为2x －4y ＋9＝0或2x －4y －11＝0.考向四 对称问题【例4】►光线从A (－4，－2)点射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在的直线方程．[审题视点] 设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则直线A ′D ′经过点B 与C . 解 作出草图，如图所示．设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C .故BC 所在的直线方程为y －66＋4＝x －11＋2，即10x －3y ＋8＝0.解决这类对称问题要抓住两条：一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直；二是以已知点和对称点为端点的线段的中点在对称轴上．【训练4】 已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0.若直线l 2与l 1关于l 对称，则l 2的方程是( )．A ．x －2y ＋1＝0B ．x －2y －1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋2y －1＝0解析 l 1与l 2关于l 对称，则l 1上任一点关于l 的对称点都在l 2上，故l 与l 1的交点(1,0)在l 2上．又易知(0，－2)为l 1上一点，设其关于l 的对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋02－y －22－1＝0，y ＋2x ×1＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.即(1,0)、(－1，－1)为l 2上两点，可得l 2方程为x －2y －1＝0.答案 B难点突破19——两直线平行与垂直问题的求解策略从近两年新课标高考试题可看出高考主要以选择题、填空题的形式考查两直线的平行和垂直问题，往往是直线方程中一般带有参数，问题的难点就是确定这些参数值，方法是根据两直线平行、垂直时所满足的条件列关于参数的方程(组)，通过解方程(组)求出参数值，但要使参数符合题目本身的要求，解题时注意直线方程本身的限制．【示例1】► (2020·浙江)若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m ＝________.【示例2】► (2020·上海)已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是( )．A．1或3 B．1或5 C．3或5 D．1或2。
高考理科数学一轮总复习课标通用版课件：第9章平面解析几何9-2两条直线的位置关系
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1．两条直线的位置关系
(1)平行：对于两条不重合的直线 l1，l2，其斜率分别为 k1，k2，有 l1∥l2⇔________， 特别地，当直线 l1，l2 的斜率都不存在时，l1 与 l2 的关系为________．
(2)已知两直线 l1：x＋ysinα－1＝0 和 l2：2x·sinα＋y＋1＝0，若 l1⊥l2，求 α 的值．
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【解】 (1)解法 1：由已知可得 l2 的斜率 k2 存在， 且 k2＝1－a. 若 k2＝0，则 1－a＝0，a＝1. ∵l1⊥l2，∴直线 l1 的斜率 k1 必不存在，即 b＝0. 又∵l1 过点(－3，－1)， ∴－3a＋4＝0，得 a＝43(矛盾)． ∴此种情况不存在，∴k2≠0，∴k1，k2 都存在． ∵k2＝1－a，k1＝ab，l1⊥l2，
C．－1 或12
1 D.2
解析：分两种情况：一、斜率不存在，即 m＝0 此时满足题意；二、斜率存在即 m≠0， 此时两斜率分别为 k1＝－m1 ，k2＝－m3－m1，因为两直线平行，所以－m1 ＝－m3－m1且－m4 ≠ －1，解得 m＝4(舍)或 m＝0(舍)，故选 A.
答案：A
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2020版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第2讲两直线的位置关系课件
所以直线 l1 的斜率存在．所以ab＝1－a.① 又因为坐标原点到这两条直线的距离相等，
所以 l1，l2 在 y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b.② 联立①②可得 a＝2，b＝－2 或 a＝23，b＝2.
已知点(a，2)(a＞0)到直线 l：x－y＋3＝0 的距离为 1，则 a
等于( )
A． 2
B．2－ 2
C． 2－1
D． 2＋1
解析：选 C.由题意知|a－22＋3|＝1，所以|a＋1|＝ 2，又 a＞0，
所以 a＝ 2－1.
(教材习题改编)已知直线 l1：ax＋3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋ 1)y＋1＝0 互相平行，则实数 a 的值是________． 解析：由直线 l1 与 l2 平行，可得aa（ ·a1＋ ≠12） ，＝2×3，解得 a＝ －3.
由一般式确定两直线位置关系的方法
直线方程
l1 与 l2 垂直的 充要条件
l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A21＋B21≠0) l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A22＋B22≠0)
A1A2＋B1B2＝0
l1 与 l2 平行的 充分条件
AA12＝BB12≠CC12(A2B2C2≠0)
l1 与 l2 相交的 充分条件
答案：－3
若三条直线 2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0 和 x＋by＝0 相交 于一点，则 b＝________． 解析：由2xx－＋y－3y＋1＝8＝0 0，解得xy＝＝－－21.， 将其代入 x＋by＝0，得 b＝－12. 答案：－12
两条直线平行与垂直
(1)(2019·金丽衢十二校高三联考)设两直线 l1：(3＋m)x ＋4y＝5－3m 与 l2：2x＋(5＋m)y＝8，则“l1∥l2”是“m＜－1”
高考数学大复习 第九章 平面解析几何 第2讲 两直线的位置关系试题 理 新人教版(2021年最新整
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置关系试题理新人教版基础巩固题组(建议用时：30分钟)一、选择题1。
直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是（)A.平行B。
垂直C.相交但不垂直D.不能确定解析直线2x＋y＋m＝0的斜率k1＝－2,直线x＋2y＋n＝0的斜率为k2＝－12，则k1≠k2，且k 1k2≠－1.故选C.答案C2。
（2017·刑台模拟）“a＝－1”是“直线ax＋3y＋3＝0和直线x＋（a－2）y＋1＝0平行"的( ）A。
充分不必要条件B。
必要不充分条件C。
充要条件 D.既不充分也不必要条件解析依题意得，直线ax＋3y＋3＝0和直线x＋(a－2)y＋1＝0平行的充要条件是错误!解得a＝－1，因此选C。
答案C3。
过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2:2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为（)A。
19x－9y＝0 B。
9x＋19y＝0C.19x－3y＝0 D。
3x＋19y＝0解析法一由错误!得错误!则所求直线方程为：y＝错误!x＝－错误!x，即3x＋19y＝0.法二设直线方程为x－3y＋4＋λ（2x＋y＋5）＝0，即（1＋2λ）x－（3－λ）y＋4＋5λ＝0，又直线过点（0，0)，所以（1＋2λ）·0－(3－λ）·0＋4＋5λ＝0，解得λ＝－错误!，故所求直线方程为3x＋19y＝0.答案D4.直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是( )A.x＋2y－1＝0B.2x＋y－1＝0C.x＋2y＋3＝0D.x＋2y－3＝0解析设所求直线上任一点(x，y）,则它关于直线x＝1的对称点（2－x，y）在直线x－2y ＋1＝0上，即2－x－2y＋1＝0，化简得x＋2y－3＝0.答案D5。
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第2讲 两直线的位置关系课件 理
12/8/2021
第十四页，共六十六页。
1．直线 2x＋(m＋1)y＋4＝0 与直线 mx＋3y－2＝0 平行，则 m＝________． 解析：直线 2x＋(m＋1)y＋4＝0 与直线 mx＋3y－2＝0 平行，则有m2 ＝m＋3 1≠－42，故 m ＝2 或－3. 答案：2 或－3
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(2)两条直线垂直 如果两条直线 l1，l2 斜率都存在，设为 k1，k2，则 l1⊥l2⇔__k_1_·__k_2＝__－__1______，当一条 直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线__垂__直_____．
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2．两直线相交 直 线 l1 ： A1x ＋ B1y ＋ C1 ＝ 0 和 l2 ： A2x ＋ B2y ＋ C2 ＝ 0 的 公 共 点 的 坐 标 与 方 程 组 AA12xx＋ ＋BB12yy＋ ＋CC12＝ ＝00，的解一一对应． 相交⇔方程组有__唯__一_____解，交点坐标就是方程组的解； 平行⇔方程组____无_____解； 重合⇔方程组有__无__数__个___解．
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3．两种距离 点点距 点线距
点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)
|P1P2|＝
之间的距离
_____（__x_2－__x_1_）__2_＋__（__y_2－__y_1_）__2____
点 P0(x0，y0)到直线 l： Ax＋By＋C＝0 的距离
|Ax0＋By0＋C| d＝_____A__2＋__B__2 _____
3．直线 2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0 之间的距离是________．
解析：先将 2x＋2y＋1＝0 化为 x＋y＋12＝0，
2020年高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第2讲两直线的位置关系课件理课件
平面上任意一点 P0(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C＝0 的距离 d＝ |Ax0＋By0＋C| _____A_2_＋__B_2___.
解析 (1)两直线l1，l2有可能重合. (2)如果l1⊥l2，若l1的斜率k1＝0，则l2的斜率不存在. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√
而直线方程 y＝kx＋2k＋1 可变形为 y－1＝k(x＋2)， 表示这是一条过定点 P(－2，1)，斜率为 k 的动直线. ∵两直线的交点在第一象限， ∴两直线的交点必在线段 AB 上(不包括端点)， ∴动直线的斜率 k 需满足 kPA＜k＜kPB. ∵kPA＝－16，kPB＝12.∴－16＜k＜12. (2)法一 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方 程为 y－2＝k(x＋1)，即 kx－y＋k＋2＝0.
距离为|3＋122＋＋122|＝7
2
2 .
a（a－2）＝3， (2)因为 l1∥l2，所以a－1 2＝a3≠26a，所以2aa≠2≠2，18，
a≠0，
解得 a＝－1，所以 l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋23＝0，
所以 l1 与 l2 之间的距离 d＝6－223＝832，故选 B.
答案 (1)A (2)B
考点二 两直线的交点与距离问题 【例 2】(1)已知直线 y＝kx＋2k＋1 与直线 y＝－12x＋2 的交点
位于第一象限，则实数 k 的取值范围是________.
(2)直线 l 过点 P(－1，2)且到点 A(2，3)和点 B(－4，5)的距
离相等，则直线 l 的方程为________.
解析
(1)法一
规律方法 (1)当含参数的直线方程为一般式时，若要表示 出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要 考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数 不能同时为零这一隐含条件. (2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方 程的系数间的关系得出结论.
高考数学一轮复习第9章平面解析几何第2讲两直线的位置关系课件文
1．(必修 2 P87 例 3 改编)已知 A(2，3)，B(－4，0)，P(－3， 1)，Q(－m，m＋1)，若直线 AB⊥PQ，则 m 的值为( )
A．－1
B．－6
C．6
D．2
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解析：选 C．因为 AB⊥PQ， kAB＝－0－4－32＝12，所以 kPQ 存在且 kPQ＝－mm－＋（1－－13）＝3－mm， kAB·kPQ＝－1 即12×3－mm＝－1 解得 m＝6，故选 C．
|Ax0＋By0＋C| d＝________A__2＋__B__2 ________．
(3)两条平行线 Ax＋By＋C1＝0 与 Ax＋By＋C2＝0
|C1－C2| (其中 C1≠C__2_____．
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(必修 2 P109A 组 T2 改编)直线 ax－2y－1＝0 与直线 6x＋4y ＋1＝0 平行，则 a 的值为( )
解得x＝13．即 y＝43
P
点的坐标为(13，43)．
此时|PA|＋|PB|＝|PQ|＋|BP|
＝|BQ|＝ （－1－3）2＋（2－0）2＝2 5．
即当 P 的坐标为(13，43)时，|PA|＋|PB|的最小值为 2 5．
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(1)关于中心对称问题的处理方法 ①若点 M(x1，y1)及 N(x，y)关于 P(a，b)对称，则由中点坐标 公式得xy＝＝22ba－－yx11.， ②求直线关于点的对称直线的方程，其主要方法是：在已知
第九章 平面(píngmiàn)解析几何
第 2 讲 两直线的位置关系
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则有m2 ＝m＋3 1≠－42，故 m＝2 或－3.故选 C. 答案 C
4.直线2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之间的距离是________.
解析 先将 2x＋2y＋1＝0 化为 x＋y＋12＝0，
则两平行线间的距离为
d＝|2－212|＝3 4
2 .
答案
32 4
5.(必修2P89练习2改编)已知P(－2，m)，Q(m，4)，且直线 PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝________. 解析 由题意知 －m2－－4m＝1，所以 m－4＝－2－m， 所以 m＝1. 答案 1
3.距离公式
(1)两点间的距离公式
平面上任意两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝ ___（__x_2－__x_1_）__2_＋__（__y2_－__y_1_）__2 _. 特别地，原点 O(0，0)与任一点 P(x，y)的距离|OP|＝___x_2＋__y_2__.
考点一 两直线的平行与垂直
【例 1】 (1)已知两条直线 l1：(a－1)x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3 ＝0 平行，则 a 等于( )
A.－1
B.2
C.0 或－2
D.－1 或 2
(2)已知两直线方程分别为 l1：x＋y＝1，l2：ax＋2y＝0，若 l1⊥l2， 则 a＝________.
第2讲 两直线的位置关系
最新考纲 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行 或垂直；2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐 标；3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会 求两条平行直线间的距离.
知识梳理
1.两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
对 于 两 条 不 重 合 的 直 线 l1 ， l2 ， 其 斜 率 分 别 为 k1 ， k2 ， 则 有 l1∥l2⇔_k__1_＝__k__2_.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与 l2__平___行___. (2)两条直线垂直 如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔_k_1_·_k_2__ _＝__－___1_，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两 条直线_垂__直__.
2.两直线相交 直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 和 l2：A2x＋B2y＋C2＝0 的公共 点的坐标与方程组AA12xx＋ ＋BB12yy＋ ＋CC12＝ ＝00，的解一一对应. 相交⇔方程组有_唯__一__解__，交点坐标就是方程组的解； 平行⇔方程组__无__解__； 重合⇔方程组有__无__数__个__解___.
(2)点到直线的距离公式
平面上任意一点 P0(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C＝0 的距离 d＝ |Ax0＋By0＋C| _____A_2_＋__B_2___.
(3)两条平行线间的距离公式
一般地，两条平行直线 l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2 ＝0 间的距离 d＝___|C_A1_－2_＋_C_B2_2|__.
解析 (1)若 a＝0，两直线方程分别为－x＋2y＋1＝0 和 x＝ －3，此时两直线相交，不平行，所以 a≠0；当 a≠0 时， 两直线平行，则有a－1 1＝2a≠13，解得 a＝－1 或 2. (2)因为 l1⊥l2，所以 k1k2＝－1.即(－1)·－a2＝－1， 解得 a＝－2. 答案 (1)D (2)－2
1
3
1
3
A.2
B.2
C.4
D.4
(2)(2017·西安模拟)已知 a，b 为正数，且直线 ax＋by－6＝0 与
直线 2x＋(b－3)y＋5＝0 平行，则 2a＋3b 的最小值为________.
解析 (1)由已知得 3(a－1)＋a＝0，解得 a＝34.
(2)由两直线平行可得，a(b－3)＝2b，即 2b＋3a＝ab，2a＋3b＝1. 又 a，b 为正数，所以 2a＋3b＝(2a＋3b)·2a＋3b＝13＋6ba＋6ab≥13 ＋2 6ba·6ab＝25，当且仅当 a＝b＝5 时取等号， 故 2a＋3b 的最小值为 25. 答案 (1)D (2)25
考点二 两直线的交点与距离问题 【例 2】(1)已知直线 y＝kx＋2k＋1 与直线 y＝－12x＋2 的交点
诊断自测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示 (1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.( ) (2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( ) (3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.( ) (4)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1， C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.( ) (5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距 离.( )
规律方法 (1)当含参数的直线方程为一般式时，若要表示 出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要 考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数 不能同时为零这一隐含条件. (2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方 程的系数间的关系得出结论.
【训练 1】 (1)(2017·重庆一中检测)若直线 l1：(a－1)x＋y－1＝0 和直线 l2：3x＋ay＋2＝0 垂直，则实数 a 的值为( )
由 y＝x＋3 得 x－y＋3＝0，
则圆心到直线的距离 d＝ |1－2＋1－（0－＋13）| 2＝ 2. 答案 C
3.(2017·郑州调研)直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0
平行，则m＝( )
A.2
B.－3
C.2或－3
D.－2或－3
解析 直线 2x＋(m＋1)y＋4＝0 与直线 mx＋3y－2＝0 平行，
解析 (1)两直线l1，l2有可能重合. (2)如果l1⊥l2，若l1的斜率k1＝0，则l2的斜率不存在. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√
2.(2016·北京卷)圆(x＋1)2＋y2＝2 的圆心到直线 y＝x＋3 的距
2
D.2 2
解析 圆(x＋1)2＋y2＝2 的圆心坐标为(－1，0)，