2008河南高级中等学校招生统一考试数学试卷

（实验区）（濮阳市的中原油田、南阳市的南阳油田）
2008年河南省高级中等学校招生统一考试试卷
数 学
注意事项：
1、本试卷共8页，三大题，满分120分，考试时间100分钟。

请用钢笔或圆珠笔答在试卷指定位置上。

一、 选择题(本题满分18分，共有6道小题，每小题3分)下列每小题
都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的。

A. 7
B. -7
C.
71 D.17
- 2.直角三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则cos α的值是（ ） A.
43 B. 34 C. 53 D. 5
4
3.如图，是中国共产主义青年团团旗上的图案，点A 、B 、C 、D 、E 五等分圆，则A B C D E ∠+∠+∠+∠+∠等于（ ） A. ︒360 B. ︒180 C. ︒150
D. ︒120
4.初三年级某班十名男同学“俯卧撑”的测试成绩（单位：次数）分别是9，14，10，15，7，9，16，10，11，9，这组数据的众数、中位数、平均数依次是（ ）
A. 9,10,11
B.10,11,9
C.9,11,10
D.10,9,11
5.如果关于x 的一元二次方程22
(21)10k x k x -++=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ）
A.k ＞14-
B.k ＞14-且0k ≠
C.k ＜14-
D.1
4
k ≥-且0k ≠
6.如图，已知□ABCD 中，AB=4,AD=2,E 是AB 边上的一动点（动点E 与点A 不重合，可与点B 重合），设AE=x ,DE 的延长线交CB 的延长线于点F ，设CF=y ，则下列图象能正确反映y
与x 的函数关系的是（ ）
二、填空题(本题满分27分,共有9道小题，每小题3分)
7.16的平方根是
8.如图，直线a,b 被直线c 所截，若a ∥b ，︒=∠501，则=∠2 9.样本数据3，6，a,4，2的平均数是5，则这个样本的方差是
10.如图所示，AB 为⊙0的直径，AC 为弦，OD ∥BC 交AC 于点D ，若AB=20cm,︒=∠30A ,则AD= cm
11.某花木场有一块如等腰梯形ABCD 的空地(如图)，各边的中点分别是E 、F 、G 、H ，用篱笆围成的四边形EFGH 场地的周长为40cm ，则对角线AC= cm
12.如图，矩形ABCD 的两条线段交于点O ，过点O 作AC 的垂线EF,分别交AD 、BC 于点E 、F ，连接CE,已知CDE ∆的周长为24cm ，则矩形ABCD 的周长是 cm
13、在一幅长50cm ，宽30cm 的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个规划土地的面积是1800cm 2
，设金色纸边的宽为x cm ，那么x 满足的方程为
14、如图是二次函数2)1(2
++=x a y 图像的一部分，该图在y 轴右侧与x 轴交点的坐标 是
15、如图，直线2-==kx y (k ＞0)与双曲线x
k
y =
在第一象限内的交点面积为R ，与x 轴的交点为P ，与y 轴的交点为Q ；作RM ⊥x 轴于点M ，若△OPQ 与△PRM 的面积是4：1，则
=k
三、解答题(本题满分75分，共8道小题)
16、(本小题满分8分)
解不等式组()⎪⎩⎪⎨⎧---+≤②①
.323
12
1134x x x x 并把解集在已画好的数轴上表示出来。

如图,已知:在四边形ABFC 中，ACB ∠=90BC ,︒的垂直平分线EF 交BC 于点D,交AB 于点E,且CF=AE
(1) 试探究,四边形BECF 是什么特殊的四边形;
(2) 当A ∠的大小满足什么条件时,四边形BECF 是正方形?请回答并证明你的结论. (特别提醒:表示角最好用数字)
18. (本小题满分9分)
已知2x 2x 是关于x 的一元二次方程062
=+-k x x 的两个实数根，且21x 2
2x —1x —2x =115
(1)求k 的值；（2）求21x +2
2x +8的值。

某校300名优秀学生，中考数学得分范围是70—119(得分都是整数)，为了了解该校这300名学生的中考数学成绩，从中抽查了一部分学生的数学分数，通过
数据处理，得到如下频率分布表和频率分布直方图.
请你根据给出的图标解答：
(1)填写频率分布表中未完成部分的数据； (2)指出在这个问题中的总体和样本容量；
(3)求出在频率分布直方图中直角梯形ABCD 的面积；
(4)请你用.
样.
本.
估.
计.
总.
体，可以得到哪些信息？(写一条即可)
20、（本题满分9分）
在暴雨到来之前，武警某部承担了一段长150米的河堤加固任务，加固40米后，接到上级抗旱防汛指挥部的指示，要求加快施工进度，为此，该部队在保证施工质量的前提下，投入更多的兵力，每天多加固15米，这样一共用了3天完成了任务。

问接到指示后，该部队每天加固河堤多少米？
21、（本题满分10分）
如图，在小山的西侧A处有一热气球，以30米/分钟的速度沿着与垂直方向所成夹角为30°的方向升空，40分钟后到达C处，这时热气球上的人发现，在A处的正东方向有一处着火点B，十分钟后，在D处测得着火点B的俯角为15°，求热气球升空点A与着火点B的距离。

（结果保留根号，参考数据：
(
42
6 15
sin -
=
︒，
42
6
15
cos +
=
︒，
3
2
15
tan-
=
︒，3
2
15
cot+
=
︒）。

22、（本题满分10分）
如图，△ABC 内接于⊙O ，过点B 作⊙O 的切线，交于CA 的延长线于点E ，∠EBC=2∠C. (1)求证：AB=AC ；(2)当
BC AB =45时，①求tan ∠ABE 的值；②如果AE=11
20，求AC 的值。

23、（本题满分11分）
如图，抛物线c bx ax y ++=2
与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交
于点C，且当x=O和x=4时，y的值相等。

直线y=4x-16与这条抛物线相交于两点，其中一点的横坐标是3，另一点是这条抛物线的顶点M。

(1)求这条抛物线的解析式；
(2)P为线段OM上一点，过点P作PQ⊥x轴于点Q。

若点P在线段OM上运动（点P不与点O 重合，但可以与点M重合），设OQ的长为t，四边形PQCO的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；
(3)随着点P的运动，四边形PQCO的面积S有最大值吗？如果S有最大值，请求出S的最大值并指出点Q的具体位置和四边形PQCO的特殊形状；如果S没有最大值，请简要说明理由；
(4)随着点P的运动，是否存在t的某个值，能满足PO=OC？如果存在，请求出t的值。

实验区）（濮阳市的中原油田、南阳市的南阳油田）
2008年高级中等学校招生统一考试
数学参考答案及评分标准
说明：
1、如果考生的解法与本解法不同，可参照本评分标准进行评分。

2、当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分时，如果这一步以后的解答未改变这道题的内容和难度，可视影响程度决定后面部分的给分，但不得超过后面部分应给分数的一半；如果这一步以后的解答有较严重的错误，就不给分。

3、为阅卷方便，本解答中的推算步骤写的较为详细，但允许考生在解答过程中，合理省略非关键性的推算步骤。

4、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累计分数。

一、选择题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）
1.A
2.D
3.B
4.A
5.B
6.B
二．填空题（本题满分27分，共有9道小题，每小题3分）
7.±4； 8. 50； 9. 8 10. 53 11. 20 12.48 13.2
X +40X －75=0 14.（1，0） 15.3
三．解答题（本大题8个小题，满分75分） 16.（本小题满分8分）解：
()⎪⎩⎪
⎨⎧---+≤②①.323
12
1134x x x x 解不等式1，得x ≤3·······························3分
解不等式2，得x ＞1-·····························6分
把解集在数轴上表示为：
···········7分
∴原不等式组的解集是—1＜x ≤3···················8分 17.（本小题满分9分）
（1）四边形BECF 是菱形。

·························1分
证明：EF 垂直平分BC ，
∴BF=FC,BE=EC,∴∠1＝∠2······2分 ∵∠ACB=90° ∴∠1+∠4=90° ∠3+∠2=90° ∴∠3=∠4
∴EC=AE ·····················3分
∴BE=AE··················4分
∵CF=AE
∴BE=EC=CF=BF··········5分
∴四边形BECF是菱形·······6分
（2）当∠A=45。

时，菱形BESF是正方形··7分
证明：
∵∠A=45。

, ∠ACB=90。

∴∠1=45。

····························8分∴∠EBF=2∠A=90。

∴菱形BECF是正方形·················9分
18.（本小题满分10分）
解：（1）∵x
1，x
2
是方程x
2
-6x+k=0的两个根
∴x
1+ x
2
=6 x
1
x
2
=k (1)
分
∵x2
1x
2
2
—x
1
—x
2
=115
∴k 2
—6=115 (2)
分
解得k
1=11，k
2
=-11 (3)
分
当k
1=11时∆=36—4k=36—44＜0 ，∴k
1
=11不合题意·······4分
当k
2=-11时∆=36—4k=36+44＞0∴k
2
=-11符合题意·········5分
∴k的值为—11 (6)
分
（2）x
1+x
2
=6，x
1
x
2
=-11 (7)
分
而x 12
+x 22+8=（x 1+x 2）2—2x 1x 2+8=36+2×
11+8=66···················9分
19、（本小题满分9分）
（1）根据第一组的频数为15，频率为0.30，
所以这次被抽查的学生人数是
5030
.015=（人）············1分 第三组的频率为36.050
18=·····2分 分数在79.5~89.5之间的人数为50―15―10―18―3＝4人。

频率为08.050
4=。

········3分 因此第二列从上至下 两空分别填4、50；第三列从上至下两空分别填0.36、0.08.····4分
（2）总体是300名学生的中考数学成绩。

···············5分 样本容量为50. ·························6分
（3）∵∠DOE=∠AOF ，∠E=∠AFO=90°，DE=AF ，
∴△DOE ≌△AOF 。

·······7分
∴S 梯形ABCD ＝S 矩形ABGF+ S 矩形CDEG ＝0.08＋0.36＝0.44. ·······8分
（4）本题有多个结论，例如，300名初中毕业年级学生数学分数在89.5~99.5的人数最多，约为108人；
或300名初中毕业年级学生数学分数在69.5~79.5的人数最少，约为18人。

······9分
20、（本小题满分9分）
解：设接到指示后，该部队每天加固河堤X 米，则接到指示前每天加固（X －15）米········1分 根据题意，得3X
401501540＝＋--X 。

················5分 两边乘以X （X －15）得40X ＋110（X －15）＝3X （X －15）
整理，得X 2
－65X ＋550＝0. ······················6分 解得，X 1 ＝55，X 2＝10. ·························7分 经检验，X 1 ＝55，X 2＝10都是原方程的根，但当X ＝10时X －15＝10－15＜0，
∴X ＝10不合题意，只取X ＝55。

···················8分
答：接到指示后，该部队每天加固河堤55米。

(9)
分
21、（本小题满分10分）
解：由题意可知，AD ＝(40＋10)×30＝1500（米）···1分
过点D 作DH ⊥BA ，交BA 延长线于点H 。

·········2分
在Rt △DAH 中，DH ＝AD ·sin60°
＝1500×2
3＝7503（米）。

····4分 AH ＝AD ·cos60°＝1500×
21＝750（米）。

·······6分 在Rt △DBH 中，
BH ＝DH ·cot15°＝7503×(2＋3)＝（15003＋2250）（米）···8分 ∴BA ＝BH －AH ＝15003＋2250－750＝1500（3＋1）（米）………..9分
答：热气球升空点A 与着火点B 的距离为1500（3＋1）（米）……10分
22、（本小题满分10分）
（1）证明：∵BE 切⊙O 于点B ，
∴∠ABE ＝∠C 。

(1)
分
∵∠EBC ＝2∠C ，
即 ∠ABE ＋∠ABC ＝2∠C 。

∴∠ABC ＝∠C 。

∴AB ＝AC 。

····························2分
（2）解①如图，连接AO ，交BC 于点F 。

∵AB ＝AC ∴AB AC =
∴AO ⊥BC ，且BF ＝FC 。

·······················3分 ∵45=BC AB ∴.4
52=BF AB ∴25=BF AB …………………….….…….4分 设m AB 5=,m BF 2=，
由勾股定理，得AF=22BF AB -=m m m =-2245………………5分 ∴212tan tan ===
∠=∠m m BF AF ABF ABE ……………………………6分 ②在∆EBA 和∆ECB 中，
∵∠E=∠E, ∠EBA=∠ECB, ∴△EBA ∽△ECB,
∴EB EA =BC
AB ……………………………7分 ∵
BC AB =45 ∴EA EB 54
=(※)…………………8分
由切割线定理，得)(2AC EA EA EC EA EB +=⨯=
将(※)式代入上式，得
)(5162AC EA EA EA +=…………………………9分 ∵0≠EA , ∴411
20511511=⨯==EA AC ………………………………………………10分 23.(本小题满分11分)
解：（1）∵当0=x 和4=x 时，y 的值相等，∴c b a c ++=416，……1分 ∴a b 4-=，∴2242==-=a
a a
b x － 将3=x 代入164-=x y ，得4-=y ，
将2=x 代入164-=x y ，得8-=y ………………………………………….2分 ∴设抛物线的解析式为8)2(2--=x a y
将点)4,3(-代入，得8)2(42--=-x a ，解得4=a .
∴抛物线8)2(42--=x y ，即81642
+-=x x y ……………………………..3分
(2)设直线OM 的解析式为kx y =，将点M )8,2(-代入，得4-=k ，
∴x y 4-=……………………………………………………………………..4分
则点P )4,(t t -,t 4=PQ ,而8=OC ,t =OQ . O PQ CO Q S S S ∆∆+==t t t t t 4242
18212+=⨯⨯+⨯⨯.......................5分
围为：0＜t ≤t 的取值范
2.......................................6分
(3)随着点p 的运动，四边形PQCO 的面积S 有最大值.
从图像可看出，随着点p 由O →M 运动，COQ ∆的面积与OPQ ∆的面积在不断增大,即S 不断变大，显当然点P 运动到点M 时，S 最值...............7分
此时2=t 时，点Q 在线段AB 的中点上............. ................8分 因而16822
18221=⨯⨯+⨯⨯=S . 当2=t 时，8==MQ OC ,OC ∥MQ ,∴四边形PQCO 是平行四边形. ..9分
(4)随着点P 的运动，存在1717
8=t ，能满足OC PO =.................10分 设点)4,(t t P -，t PQ 4=，t OQ =. 由勾股定理，得222217)4(t t t OP =+=.
∵OC PO =,∴22817=t ，171781=t ＜2，1717
82-=t (不合题意) ∴当1717
8=
t 时，OC PO =...................................11分。