最新初二数学难题精华
(完整版)八年级数学经典难题
经典难题（一）1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥C O．求证：CD＝GF．（初二）2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝15度求证：△PBC是正三角形．（初二）3、如图，已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA 1、BB1、CC1、DD1的中点．求证：四边形A2B2C2D2是正方形．（初二）4、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．求证：∠DEN＝∠F．经典难题（二）1、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M．（1）求证：AH＝2OM；（2）若∠BAC＝600，求证：AH＝AO．（初二）2、设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q．求证：AP＝AQ．（初二）3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q．求证：AP＝AQ．（初二）4、如图，分别以△ABC的AC和BC为一边，在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点P是EF的中点．求证：点P到边AB的距离等于AB的一半．（初二）经典难题（三）1、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．求证：CE＝CF．（初二）2、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直线EC交DA延长线于F．求证：AE＝AF．（初二）3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE．求证：PA＝PF．（初二）4、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO 相交于B、D．求证：AB＝DC，BC＝AD．（初三）经典难题（四）1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．求：∠APB的度数．（初二）2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．求证：∠PAB＝∠PCB．（初二）3、设ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．（初三）4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且AE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC．（初二）经典难题（五）1、设P是边长为1的正△ABC内任一点，L＝PA＋PB＋PC，求证：√3≤L＜2．2、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC的最小值．3、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边长．4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝80度，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA ＝30度，∠EBA＝20度，求∠BED的度数．答案经典难题（一）4.如下图连接AC并取其中点Q，连接QN和QM，所以可得∠QMF=∠F，∠QNM=∠D EN和∠QMN=∠QNM，从而得出∠DEN＝∠F。
初二数学好题难题集锦含答案
八年级下册数学难题精选分式：一：如果abc=1,求证11++a ab +11++b bc +11++c ac =1二：已知a 1+b 1=)(29b a +，则a b +ba等于多少？三：一个圆柱形容器的容积为V 立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管２倍的大水管注水。
向容器中注满水的全过程共用时间t 分。
求两根水管各自注水的速度。
四：联系实际编拟一道关于分式方程2288+=xx 的应用题。
要求表述完整，条件充分并写出解答过程。
五：已知M ＝222y x xy -、N ＝2222yx y x -+，用“+”或“－”连结M 、N,有三种不同的形式，M+N 、M-N 、N-M ，请你任取其中一种进行计算，并简求值，其中x ：y=5：2。
反比例函数：一：一张边长为16cm 正方形的纸片，剪去两个面积一定且一样的小矩形得到一个“E ”图案如图1所示．小矩形的长x （cm ）与宽y （cm ）之间的函数关系如图2所示：（1）求y 与x 之间的函数关系式； （2）“E ”图案的面积是多少？（3）如果小矩形的长是6≤x ≤12cm ，求小矩形宽的范围.二：是一个反比例函数图象的一部分，点(110)A，，(101)B，是它的两个端点．（1）求此函数的解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）请你举出一个能用本题的函数关系描述的生活实例．三：如图，⊙A和⊙B都与x轴和y轴相切，圆心A和圆心B都在反比例函数1yx的图象上，则图中阴影部分的面积等于 .四：如图11，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M（－2，1），且P（1，－2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）如图12，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的OPCQ周长的最小值．五：如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与Y 轴和X 轴分别交于点A 、点8，与反比例函数y 一罟在第一象限的图象交于点c(1，6)、点D(3，x)．过点C 作CE 上y 轴于E ，过点D 作DF 上X 轴于F ． (1)求m ，n 的值；(2)求直线AB 的函数解析式；勾股定理：一：清朝康熙皇帝是我国历史上对数学很有兴趣的帝王．近日，•西安发现了他的数学专著，其中有一文《积求勾股法》，它对“三边长为3、4、5的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题提出了解法：“若所设者为积数（面积），以积率六除之，平方开之得数，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之数”．用现在的数学语言表述是：“若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍，•设其面积为S ，则第一步：6S＝m ；第二步：m =k ；第三步：分别用3、4、5乘以k ，得三边长”．（1）当面积S 等于150时，请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长；（2）你能证明“积求勾股法”的正确性吗？请写出证明过程．二：一张等腰三角形纸片，底边长l5cm，底边上的高长22．5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是( )A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张三：如图，甲、乙两楼相距20米，甲楼高20米，小明站在距甲楼10米的A处目测得点A与甲、乙楼顶B C、刚好在同一直线上，且A与B相距350米，若小明的身高忽略不计，则乙楼的高度是米．20乙CBA甲1020四：恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的恩施大峡谷()A 和世界级自然保护区星斗山()B 位于笔直的沪渝高速公路X 同侧，50km AB A =，、B 到直线X 的距离分别为10km 和40km ，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P ，向A 、B 两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP 与直线X 垂直，垂足为P ），P 到A 、B 的距离之和1S PA PB =+，图（2）是方案二的示意图（点A 关于直线X 的对称点是A '，连接BA '交直线X 于点P ），P 到A 、B 的距离之和2S PA PB =+． （1）求1S 、2S ，并比较它们的大小； （2）请你说明2S PA PB =+的值为最小；（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y 与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B 到直线Y 的距离为30km ，请你在X 旁和Y 旁各修建一服务区P 、Q ，使P 、A 、B 、Q 组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．P图（1）图（3）图（2）五：已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，DE ⊥AC 于点F ，交BC 于点G ，交AB 的延长线于点E ，且AE AC =． （1）求证：BG FG =；（2）若2AD DC ==，求AB 的长． 四边形：一：如图，△ACD 、△ABE 、△BCF 均为直线BC 同侧的等边三角形. (1) 当AB ≠AC 时，证明四边形ADFE 为平行四边形；(2) 当AB = AC 时，顺次连结A 、D 、F 、E 四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件.DCEB GAFEFDABC二：如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连结DE并延长至点F，使EF=AE，连结AF、BE和CF。
(完整版)八年级数学经典难题
经典难题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C、E 是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．求证：CD＝GF．（初二）2、已知：如图，P 是正方形 ABCD 内点，∠PAD＝∠PDA＝15 度求证：△PBC是正三角形．（初二）3、如图，已知四边形 ABCD、A1B1C1D1 都是正方形，A2、B2、C2、D2 分别是 AA 1、BB1、CC1、DD1 的中点．求证：四边形 A2B2C2D2 是正方形．（初二）4、已知：如图，在四边形 ABCD 中，AD＝BC，M、N 分别是 AB、CD 的中点，AD、BC 的延长线交 MN 于E、F．求证：∠DEN＝∠F．经典难题（二）1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM⊥BC 于 M．（1）求证：AH＝2OM；（2）若∠BAC＝600，求证：AH＝AO．（初二）2、设 MN 是圆 O 外一直线，过 O 作OA⊥MN 于 A，自 A 引圆的两条直线，交圆于B、C 及D、E，直线 EB 及CD 分别交 MN 于P、Q．求证：AP＝AQ．（初二）3、如果上题把直线 MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设 MN 是圆 O 的弦，过 MN 的中点 A 任作两弦 BC、DE，设 CD、EB 分别交 MN 于 P 、Q．求证：AP＝AQ．（初二）4、如图，分别以△ABC的AC 和BC 为一边，在△ABC的外侧作正方形 ACDE 和正方形 CBFG，点P 是EF 的中点．求证：点 P 到边 AB 的距离等于 AB 的一半．（初二）经典难题（三）1、如图，四边形 ABCD 为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE 与 CD 相交于 F．求证：CE＝CF．（初二）2、如图，四边形 ABCD 为正方形，DE∥AC，且 CE＝CA，直线 EC 交 DA 延长线于F．求证：AE＝AF．（初二）3、设 P 是正方形 ABCD 一边BC 上的任一点，PF⊥AP，CF 平分∠DCE．求证：PA＝PF．（初二）4、如图，PC 切圆 O 于 C，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE、AF 与直线 PO 相交于 B、D．求证：AB＝DC，BC＝AD．（初三）经典难题（四）1、已知：△ABC是正三角形，P 是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．求：∠APB的度数．（初二）2、设 P 是平行四边形 ABCD 内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．求证：∠PAB＝∠PCB．（初二）3、设 ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．（初三）4、平行四边形 ABCD 中，设 E、F 分别是 BC、AB 上的一点，AE 与CF 相交于 P，且AE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC．（初二）经典难题（五）1、设 P 是边长为 1 的正△ABC 内任一点，L＝PA＋PB＋PC，求证：√3≤L＜2．2、已知：P 是边长为 1 的正方形 ABCD 内的一点，求 PA＋PB＋PC 的最小值．3、P 为正方形 ABCD 内的一点，并且 PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边长．4、如图，△ABC 中，∠ABC＝∠ACB＝80 度，D、E 分别是 AB、AC 上的点，∠DC A＝30 度，∠EBA＝20 度，求∠BED 的度数．答案经典难题（一）4.如下图连接 AC 并取其中点 Q，连接 QN 和QM，所以可得∠QMF=∠F，∠QNM=∠ DEN 和∠QMN=∠QNM，从而得出∠DEN＝∠F。
(完整版)初二数学经典难题(带答案及解析)
初二数学经典难题一、解答题（共10小题，满分100分）1．（10分）已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD=∠PDA=15°．求证：△PBC是正三角形．（初二）2．（10分）已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN 于E、F．求证：∠DEN=∠F．3．（10分）如图，分别以△ABC的边AC、BC为一边，在△ABC外作正方形ACDE和CBFG，点P是EF的中点，求证：点P到AB的距离是AB的一半．4．（10分）设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA=∠PDA．求证：∠PAB=∠PCB．5．（10分）P为正方形ABCD内的一点，并且PA=a，PB=2a，PC=3a，求正方形的边长．6．（10分）一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水．向容器中注满水的全过程共用时间t分．求两根水管各自注水的速度．7．（10分）（2009•郴州）如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（﹣2，﹣1），且P（﹣1，﹣2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．8．（10分）（2008•海南）如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在线段BC上，且PE=PB．（1）求证：①PE=PD；②PE⊥PD；（2）设AP=x，△PBE的面积为y．①求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；②当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值．9．（10分）（2010•河南）如图，直线y=k1x+b与反比例函数（x＞0）的图象交于A（1，6），B（a，3）两点．（1）求k1、k2的值．（2）直接写出时x的取值范围；（3）如图，等腰梯形OBCD中，BC∥OD，OB=CD，OD边在x轴上，过点C作CE⊥OD于点E，CE和反比例函数的图象交于点P，当梯形OBCD的面积为12时，请判断PC和PE的大小关系，并说明理由．10．（10分）（2007•福州）如图，已知直线y=x与双曲线交于A，B两点，且点A的横坐标为4．（1）求k的值；（2）若双曲线上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积；（3）过原点O的另一条直线l交双曲线于P，Q两点（P点在第一象限），若由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．初二数学经典难题参考答案与试题解析一、解答题（共10小题，满分100分）1．（10分）已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD=∠PDA=15°．求证：△PBC是正三角形．（初二）考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定。
初二数学几何练习题难题
初二数学几何练习题难题解答：几何学是数学中的一个重要分支，它研究的是空间、形状和尺寸的关系。
对于初中学生来说，初级几何练习题是很重要的训练内容，下面是一些初二数学几何练习题的难题，希望对你有所帮助。
1. 问题：在平面直角坐标系中，点A(-3,4)、B(1,2)、C(5,6)和D(x,-1)的位置如何确定，使得四边形ABCD是一个平行四边形？解答：四边形ABCD是一个平行四边形，意味着AB平行于CD且AD平行于BC。
根据两点间的距离公式d = √((x2-x1)² + (y2-y1)²)，我们可以计算出AB的斜率为(-2/4)=-1/2，CD的斜率也为-1/2。
AD的斜率为(6-4)/(5-(-3))=1/2，BC的斜率也为1/2。
因此，四边形ABCD是一个平行四边形，其中D的坐标为(-7,-1)。
2. 问题：在△ABC中，AB=AC。
点P在边BC上，且与点B的距离等于与点C的距离。
证明：△ABP≌△ACP。
解答：首先，连接PA。
由题意可知，BP=CP，又AB=AC，所以△ABP和△ACP的两边分别相等。
我们只需要证明它们的夹角相等即可。
假设△ABP的角BAP和△ACP的角CAP分别为x和y，那么△ABP的角APB为180°-x，△ACP的角APC为180°-y。
根据三角形内角和定理可知，(180°-x)+(180°-y) = 180°，化简得x+y=180°。
因此，△ABP的角APB和△ACP的角APC相等，根据ASA（对应边边夹角相等）准则可知△ABP≌△ACP。
3. 问题：在△ABC中，D、E、F分别是边BC、AC、AB上的三个点。
若BE=BD，CF=CD，且角B=角C，证明：△ABC是等腰三角形。
解答：根据题意，我们已知BE=BD和CF=CD，我们只需要证明AB=AC 即可。
由于BDE和CDF是共线的，所以角EDB和角FDC互为补角，即角EDB+角FDC=180°。
八年级下数学好题难题集锦含答案
八年级下册数学好题难题精选分式：一：如果abc=1,求证11++a ab +11++b bc +11++c ac =1解：原式=11++a ab +a ab abc a +++ab abc bc a ab ++2=11++a ab +a ab a++1+ab a ab ++1=11++++a ab a ab=1二：已知a 1+b 1=)(29b a +,则a b +ba等于多少解：a1+b1=)(29b a +abb a +=)(29b a + 2b a +2=9ab 22a +4ab +22b =9ab 222b a +=5abab b a 22+=25 a b +b a =25 三：一个圆柱形容器的容积为V 立方米,开始用一根小水管向容器内注水,水面高度达到容器高度一半后,改用一根口径为小水管２倍的大水管注水;向容器中注满水的全过程共用时间t 分;求两根水管各自注水的速度;解：设小水管进水速度为x,则大水管进水速度为4x;由题意得：t x v x v =+82 解之得：t vx 85=经检验得：tvx 85=是原方程解;∴小口径水管速度为t v 85,大口径水管速度为tv25;四：联系实际编拟一道关于分式方程2288+=xx 的应用题;要求表述完整,条件充分并写出解答过程;解略五：已知M ＝222y x xy -、N ＝2222yx y x -+,用“+”或“－”连结M 、N,有三种不同的形式,M+N 、M-N 、N-M,请你任取其中一种进行计算,并简求值,其中x ：y=5：2;解：选择一：22222222()()()xy x y x y x yM N x y x y x y x y x y++++=+==--+--,当x ∶y =5∶2时,52x y =,原式=572532y yy y +=-．选择二：22222222()()()xy x y x y y xM N x y x y x y x y x y+----=-==--+-+,当x ∶y =5∶2时,52x y =,原式=532572y yy y -=-+．选择三：22222222()()()x y xy x y x yN M x y x y x y x y x y+---=-==--+-+,当x ∶y =5∶2时,52x y =,原式=532572y yy y -=+．反比例函数：一：一张边长为16cm 正方形的纸片,剪去两个面积一定且一样的小矩形得到一个“E ”图案如图1所示．小矩形的长x cm 与宽y cm 之间的函数关系如图2所示：1求y 与x 之间的函数关系式； 2“E ”图案的面积是多少3如果小矩形的长是6≤x ≤12cm,求小矩形宽的范围.解：1设函数关系式为xk y =∵函数图象经过10,2 ∴102k = ∴k =20, ∴xy 20= 2∵xy 20=∴xy =20, ∴2162022162=⨯-=-=xy S S E 正 3当x =6时,310620==y当x =12时,351220==y∴小矩形的长是6≤x ≤12cm,小矩形宽的范围为cm y 31035≤≤二：是一个反比例函数图象的一部分,点(110)A ，,(101)B ，是它的两个端点．1求此函数的解析式,并写出自变量x 的取值范围； 2请你举出一个能用本题的函数关系描述的生活实例．解：1设k y x =,(110)A ，在图象上,101k∴=,即11010k =⨯=, 10y x∴=,其中110x ≤≤；2答案不唯一．例如：小明家离学校10km ,每天以km/h v 的速度去上学,那么小明从家去学校所需的时间10t v=． 三：如图,⊙A 和⊙B 都与x 轴和y 轴相切,圆心A 和圆心B 都在反比例函数1y x=的图象上,则图中阴影部分的面积等于.答案：r=1S=πr2=π四：如图11,已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M －2,1,且P 1,－2为双曲线上的一点,Q 为坐标平面上一动点,PA 垂直于x 轴,QB 垂直于y 轴,垂足分别是A 、B ． 1写出正比例函数和反比例函数的关系式；2当点Q 在直线MO 上运动时,直线MO 上是否存在这样的点Q ,使得△OBQ 与△OAP 面积相等如果存在,请求出点的坐标,如果不存在,请说明理由；3如图12,当点Q 在第一象限中的双曲线上运动时,作以OP 、OQ 为邻边OPCQ y kx =,将点M 2-,1-坐标代入得12,所以正比例函12x 2y x2当点Q 在直线DO 上运动时, 设点Q 的坐标为1()2Q m m ，, 于是211112224OBQ S OB BQ m m m △, 而1(1)(2)12OAPS △,所以有,2114m ,解得2m =±所以点Q 的坐标为1(21)Q ，和2(21)Q ， 3因为四边形OPCQ 是平行四边形,所以OP ＝CQ ,OQ ＝PC ,而点P 1-,2-是定点,所以OP 的长也是定长,所以要求平行四边形OPCQ 周长的x AMP最小值就只需求OQ 的最小值．因为点Q 在第一象限中双曲线上,所以可设点Q 的坐标为2()Q n n，, 由勾股定理可得222242()4OQ n nn n,所以当22()0nn即20nn时,2OQ 有最小值4,又因为OQ 为正值,所以OQ 与2OQ 同时取得最小值, 所以OQ 有最小值2．由勾股定理得OP ＝5,所以平行四边形OPCQ 周长的最小值是2()2(52)254OPOQ ．五：如图,在平面直角坐标系中,直线AB 与Y 轴和X 轴分别交于点A 、点8,与反比例函数y 一罟在第一象限的图象交于点c1,6、点D3,x ．过点C 作CE 上y 轴于E,过点D 作DF 上X 轴于F ． 1求m,n 的值；2求直线AB 的函数解析式；勾股定理：一：清朝康熙皇帝是我国历史上对数学很有兴趣的帝王．近日,•西安发现了他的数学专着,其中有一文积求勾股法,它对“三边长为3、4、5的整数倍的直角三角形,已知面积求边长”这一问题提出了解法：“若所设者为积数面积,以积率六除之,平方开之得数,再以勾股弦各率乘之,即得勾股弦之数”．用现在的数学语言表述是：“若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍,•设其面积为S,则第一步：6S＝m ；第二步：m =k ；第三步：分别用3、4、5乘以k,得三边长”．1当面积S 等于150时,请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长；2你能证明“积求勾股法”的正确性吗请写出证明过程．解：1当S=150时,k=m =1502566S ===5, 所以三边长分别为：3×5=15,4×5=20,5×5=25； 2证明：三边为3、4、5的整数倍, 设为k 倍,则三边为3k,4k,5k,•而三角形为直角三角形且3k 、4k 为直角边． 其面积S=123k ·4k=6k 2, 所以k 2=6S ,k=6S取正值, 即将面积除以6,然后开方,即可得到倍数．二：一张等腰三角形纸片,底边长l5cm,底边上的高长22．5cm ．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm 的矩形纸条,如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形,则这张正方形纸条是A ．第4张B ．第5张C ．第6张D ．第7张答案：C三：如图,甲、乙两楼相距20米,甲楼高20米,小明站在距甲楼10米的A 处目测得点A 与甲、乙楼顶B C 、刚好在同一直线上,且A 与B 相距350米,若小明的身高忽略不计,则乙楼的高度是 米．答案：40米四：恩施州自然风光无限,特别是以“雄、奇、秀、幽、险”着称于世．着名的恩施大峡谷()A 和世界级自然保护区星斗山()B 位于笔直的沪渝高速公路X 同侧,50km AB A =，、B 到直线X 的距离分别为10km 和40km ,要在沪渝高速公路旁修建一服务区P ,向A 、B 两景区运送游客．小民设计了两种方案,图1是方案一的示意图AP 与直线X 垂直,垂足为P ,P 到A 、B 的距离之和1S PA PB =+,图2是方案二的示意图点A 关于直线X 的对称点是A ',连接BA '交直线X 于点P ,P 到A 、B 的距离之和2S PA PB =+． 1求1S 、2S ,并比较它们的大小； 2请你说明2S PA PB =+的值为最小；3拟建的恩施到张家界高速公路Y 与沪渝高速公路垂直,建立如图3所示的直角坐标系,B 到直线Y 的距离为30km ,请你在X 旁和Y 旁各修建一服务区P 、Q ,使P 、A 、B 、Q 组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．解:⑴图101中过B 作BC ⊥AP,垂足为C,则PC ＝40,又AP ＝10,∴AC ＝30在Rt △ABC 中,AB ＝50 AC ＝30 ∴BC ＝40 ∴ BP ＝24022=+BC CP S 1＝10240+P图1图3图2⑵图102中,过B 作BC ⊥AA ′垂足为C,则A ′C ＝50, 又BC ＝40∴BA'＝4110504022=+ 由轴对称知：PA ＝PA' ∴S 2＝BA'＝4110 ∴1S ﹥2S2如 图102,在公路上任找一点M,连接MA,MB,MA',由轴对称知MA ＝MA' ∴MB+MA ＝MB+MA'﹥A'B ∴S 2＝BA'为最小3过A 作关于X 轴的对称点A', 过B 作关于Y连接A'B',交X 轴于点P, 交Y 轴于点Q,则P,Q 过A'、 B'分别作X 轴、Y 轴的平行线交于点G, A'B'＝5505010022=+∴所求四边形的周长为55050+五：已知：如图,在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠ABC ＝90°,DE ⊥AC 于点F ,交BC 于点G ,交AB 的延长线于点E ,且AE AC =． 1求证：BG FG =；2若2AD DC ==,求AB 的长．解：1证明：90ABC DE AC ∠=°，⊥于点F ,ABC AFE ∴∠=∠．AC AE EAF CAB =∠=∠，,AB AF ∴=．DCEB GAF DCBGAF连接AG , AG ＝AG,AB ＝AF,Rt Rt ABG AFG ∴△≌△． BG FG ∴=．2解：∵AD ＝DC,DF ⊥AC,1122AF AC AE ∴==． 30E ∴∠=°． 30FAD E ∴∠=∠=°,AF ∴=AB AF ∴==四边形：一：如图,△ACD 、△ABE 、△BCF 均为直线BC 同侧的等边三角形.1 当AB ≠AC 时,证明四边形ADFE 为平行四边形；2 当AB = AC 时,顺次连结A 、D 、F 、E 四点所构成的图形有哪几类直接写出构成图形的类型和相应的条件.解：1 ∵△ABE 、△BCF 为等边三角形,∴AB = BE = AE ,BC = CF = FB ,∠ABE = ∠CBF = 60°. ∴∠FBE = ∠CBA . ∴△FBE ≌△CBA . ∴EF = AC .又∵△ADC 为等边三角形, ∴CD = AD = AC .EFDABC∴EF = AD.同理可得AE = DF.∴四边形AEFD是平行四边形.2 构成的图形有两类,一类是菱形,一类是线段.当图形为菱形时,∠ BAC≠60°或A与F不重合、△ABC不为正三角形当图形为线段时,∠BAC = 60°或A与F重合、△ABC为正三角形.二：如图,已知△ABC是等边三角形,D、E分别在边BC、AC上,且CD=CE,连结DE并延长至点F,使EF=AE,连结AF、BE和CF;1请在图中找出一对全等三角形,用符号“≌”表示,并加以证明;2判断四边形ABDF是怎样的四边形,并说明理由;3若AB=6,BD=2DC,求四边形ABEF的面积;解：1选证一BDE FEC≅选证二BCE FDC≅证明：0是等边三角形∴=∠=,,60ABC BC AC ACB选证三ABE ACF≅证明：0是等边三角形∴=∠=∠=ABC AB AC ACB BAC,,602四边形ABDF是平行四边形;由1知,ABC、EDC、AEF都是等边三角形;3由2知,四边形ABDF是平行四边形;三：如图,在△ABC中,∠A、∠B的平分线交于点D,DE∥AC交BC于点E,DF ∥BC交AC于点F．1点D是△ABC的________心；图72求证：四边形DECF 为菱形．解：1 内.2 证法一：连接CD , ∵ DE ∥AC ,DF ∥BC ,∴ 四边形DECF 为平行四边形, 又∵ 点D 是△ABC 的内心,∴ CD 平分∠ACB ,即∠FCD ＝∠ECD , 又∠FDC ＝∠ECD ,∴ ∠FCD ＝∠FDC ∴ FC ＝FD ,∴ □DECF 为菱形． 证法二：过D 分别作DG ⊥AB 于G ,DH ⊥BC 于H ,DI ⊥AC 于I ． ∵AD 、BD 分别平分∠CAB 、∠ABC , ∴DI =DG , DG =DH ． ∴DH =DI ．∵DE ∥AC ,DF ∥BC ,∴四边形DECF 为平行四边形, ∴S □DECF =CE ·DH =CF ·DI , ∴CE =CF ．∴□DECF 为菱形．四：在矩形ABCD 中,点E 是AD 边上一点,连接BE,且∠ABE ＝30°,BE ＝DE,连接BD ．点P 从点E 出发沿射线ED 运动,过点P 作PQ ∥BD 交直线BE 于点Q ．1 当点P 在线段ED 上时如图1,求证：BE ＝PD ＋33PQ ；2若 BC ＝6,设PQ 长为x,以P 、Q 、D 三点为顶点所构成的三角形面积为y,求y 与 x 的函数关系式不要求写出自变量x 的取值范围；3在②的条件下,当点P 运动到线段ED 的中点时,连接QC,过点P 作PF ⊥QC,垂足为F,PF 交对角线BD 于点G 如图2,求线段PG 的长;解：1证明：∵∠A=90° ∠ABE=30° ∠AEB=60° ∵EB=ED ∴∠EBD=∠EDB=30°∵PQ ∥BD ∴∠EQP=∠EBD ∠EPQ=∠EDB∴∠EPQ=∠EQP=30° ∴EQ=EP 过点E 作EM ⊥OP 垂足为M ∴PQ=2PM ∵∠EPM=30°∴PM=23PE ∴PE=33PQ ∵BE=DE=PD+PE ∴BE=PD+33PQ 2解：由题意知AE=21BE ∴DE=BE=2AE ∵AD=BC=6 ∴AE=2 DE=BE=4 当点P 在线段ED 上时如图1过点Q 做QH ⊥AD 于点H QH=21PQ=21x 由1得PD=BE-33PQ=4-33x∴y=21PD ·QH=x x +-2123 当点P 在线段ED 的延长线上时如图2过点Q 作QH ⊥DA 交DA 延长线于点H ’ ∴QH ’=21x过点E 作EM ’⊥PQ 于点M ’ 同理可得EP=EQ=33PQ ∴BE=33PQ-PD ∴PD=33x-4 y=21PD ·QH ’=x x -2123 3解：连接PC 交BD 于点N 如图3∵点P 是线段ED 中点 ∴EP=PD=2 ∴PQ=32 ∵DC=AB=AE ·tan60°=32∴PC=22DC PD +=4 ∴cos ∠DPC=PC PD =21∴∠DPC=60°∴∠QPC=180°-∠EPQ-∠DPC=90°∵PQ ∥BD ∴∠PND=∠QPC=90° ∴PN=21PD=1QC=22PC PQ +=72 ∵∠PGN=90°-∠FPC ∠PCF=90°-∠FPC ∴∠PCN=∠PCF ……………1分 ∵∠PNG=∠QPC=90° ∴△PNG ～△QPC ∴PQ PN QC PG = ∴PG=72321⨯=321五：如图,这是一张等腰梯形纸片,它的上底长为2,下底长为4,腰长为2,这样的纸片共有5张.打算用其中的几张来拼成较大的等腰梯形,那么你能拼出哪几种不同的等腰梯形分别画出它们的示意图．．．,并写出它们的周长.解：如图所示六：已知:如图,在矩形ABCD 中,E 、F 分别是边BC 、AB 上的点,且EF=ED,EF⊥ED.求证:AE 平分∠BAD.证明：∵四边形ABCD 是矩形∴∠B=∠C=∠BAD=90° AB=CD ∴∠BEF+∠BFE=90°∵EF ⊥ED ∴∠BEF+∠CED=90° ∴∠BEF=∠CED ∴∠BEF=∠CDE 又∵EF=ED ∴△EBF ≌△CDE ∴BE=CD∴BE=AB ∴∠BAE=∠BEA=45° ∴∠EAD=45°（第23题）∴∠BAE=∠EAD ∴AE 平分∠BAD七：如图,矩形纸片ABCD 中,AB =8,将纸片折叠,使顶点B 落在边AD 的E 点上,BG =10.1当折痕的另一端F 在AB 边上时,如图1.求△EFG 的面积.2当折痕的另一端F 在AD 边上时,如图2.证明四边形BGEF 为菱形,并求出折痕GF 的长.HA BCD EF G解:1过点G 作GH ⊥AD ,则四边形ABGH 为矩形,∴GH =AB =8,AH =BG =10,由图形的折叠可知△BFG ≌△EFG ,∴EG =BG =10,∠FEG =∠B =90°；∴EH =6,AE =4,∠AEF +∠HEG =90°,∵∠AEF +∠AFE =90°,∴∠HEG =∠AFE ,又∵∠EHG =∠A =90°,∴△EAF ∽△EHG ,∴EF AE EGGH,∴EF =5,∴S △EFG =12EF ·EG =12×5×10=25.2由图形的折叠可知四边形ABGF ≌四边形HEGF ,∴BG =EG ,AB =EH , ∠BGF =∠EGF ,∵EF ∥BG ,∴∠BGF =∠EFG ,∴∠EGF =∠EFG ,∴EF =EG , ∴BG =EF ,∴四边形BGEF 为平行四边形,又∵EF =EG ,∴平行四边形BGEF 为菱形；连结BE ,BE 、FG 互相垂直平分,在Rt △EFH 中,EF =BG =10,EH =AB =8,由图2ABCDE FG H (A)(B)ABCDE F G图1ABCDE FGH (A)(B)O勾股定理可得FH=AF=6,∴AE=16,∴BE==8,∴BO=4,∴FG=2OG八：1请用两种不同的方法,用尺规在所给的两个矩形中各作一个不为正方形的菱形,且菱形的四个顶点都在矩形的边上．保留作图痕迹2写出你的作法．解：1所作菱形如图①、②所示．说明：作法相同的图形视为同一种．例如类似图③、图④的图形视为与图②是同一种．2图①的作法：作矩形A1B1C1D1四条边的中点E1、F1、G1、H1；连接H1E1、E1F1、G1F1、G1H1．四边形E1F1G1H1即为菱形．图②的作法：在B2C2上取一点E2,使E2C2＞A2E2且E2不与B2重合；以A2为圆心,A2E2为半径画弧,交A2D2于H2；以E2为圆心,A2E2为半径画弧,交B2C2于F2；连接H2F2,则四边形A2E2F2H2为菱形．九：如图,P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点P与A、C不重合,点E在射线BC上,且PE=PB.1求证：①PE=PD；②PE⊥PD；2设AP=x, △PBE的面积为y.①求出y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围；AB CPDE② 当x 取何值时,y 取得最大值,并求出这个最大值.解：1证法一：① ∵ 四边形ABCD 是正方形,AC 为对角线, ∴ BC=DC , ∠BCP =∠DCP=45°. ∵ PC =PC ,∴ △PBC ≌△PDC SAS.∴ PB = PD , ∠PBC =∠PDC . 又∵ PB = PE ,∴ PE =PD .② i 当点E 在线段BC 上E 与B 、C 不重合时, ∵ PB =PE ,∴ ∠PBE =∠PEB , ∴ ∠PEB =∠PDC ,∴ ∠PEB +∠PEC =∠PDC +∠PEC =180°, ∴ ∠DPE =360°-∠BCD +∠PDC +∠PEC =90°, ∴ PE ⊥PD .ii 当点E 与点C 重合时,点P 恰好在AC 中点处,此时,PE ⊥PD . iii 当点E 在BC 的延长线上时,如图. ∵ ∠PEC =∠PDC ,∠1=∠2, ∴ ∠DPE =∠DCE =90°, ∴ PE ⊥PD .综合iiiiii, PE ⊥PD .A BCD PE12H2① 过点P 作PF ⊥BC ,垂足为F ,则BF =FE . ∵ AP =x ,AC =2,∴ PC =2- x ,PF =FC =x x 221)2(22-=-.BF =FE =1-FC =1-x 221-=x 22.∴ S △PBE =BF ·PF =x 22x 221-x x 22212+-=.即 x x y 22212+-= 0＜x ＜2.② 41)22(21222122+--=+-=x x x y .∵ 21-=a ＜0,∴ 当22=x 时,y 最大值41=.1证法二：① 过点P 作GF ∥AB ,分别交AD 、BC 于G 、F . 如图所示. ∵ 四边形ABCD 是正方形,∴ 四边形ABFG 和四边形GFCD 都是矩形, △AGP 和△PFC 都是等腰直角三角形.∴ GD=FC =FP ,GP=AG =BF ,∠PGD =∠PFE =90°. 又∵ PB =PE , ∴ BF =FE , ∴ GP =FE ,∴ △EFP ≌△PGD SAS. ∴ PE =PD . ② ∴ ∠1=∠2.∴ ∠1+∠3=∠2+∠3=90°. ∴ ∠DPE =90°.AB CPDE F A B CPDE F G 123∴ PE ⊥PD . 2①∵ AP =x ,∴ BF =PG =x 22,PF =1-x 22.∴ S △PBE =BF ·PF =x 22x 221-x x 22212+-=.即 x x y 22212+-= 0＜x ＜2.② 41)22(21222122+--=+-=x x x y .∵ 21-=a ＜0,∴ 当22=x 时,y 最大值41=.十：如图1,四边形ABCD 是正方形,G 是CD 边上的一个动点点G 与C 、D 不重合,以CG 为一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG ,连结BG,DE ．我们探究下列图中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系： 1①猜想如图1中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系； ②将图1中的正方形CEFG 绕着点C 按顺时针或逆时针方向旋转任意角度α,得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．2将原题中正方形改为矩形如图4—6,且AB=a,BC=b,CE=ka, CG=kba ≠b,k >0,第1题①中得到的结论哪些成立,哪些不成立若成立,以图5为例简要说明理由．3在第2题图5中,连结DG 、BE ,且a =3,b =2,k =12,求22BE DG +的值．解: 1①,BG DE BG DE =⊥②,BG DE BG DE =⊥仍然成立 在图2中证明如下∵四边形ABCD 、四边形ABCD 都是正方形 ∴ BC CD =,CG CE =, 090BCD ECG ∠=∠= ∴BCG DCE ∠=∠∴BCG DCE ∆≅∆ SAS ∴BG DE = CBG CDE ∠=∠又∵BHC DHO ∠=∠ 090CBG BHC ∠+∠= ∴090CDE DHO ∠+∠= ∴090DOH ∠= ∴BG DE ⊥2BG DE ⊥成立,BG DE =不成立 简要说明如下∵四边形ABCD 、四边形CEFG 都是矩形, 且AB a =,BC b =,CG kb =,CE ka =a b ≠,0k > ∴BC CG bDC CE a==,090BCD ECG ∠=∠= ∴BCG DCE ∠=∠ ∴BCG DCE ∆∆ ∴CBG CDE ∠=∠又∵BHC DHO ∠=∠ 090CBG BHC ∠+∠= ∴090CDE DHO ∠+∠= ∴090DOH ∠= ∴BG DE ⊥3∵BG DE ⊥ ∴22222222BE DG OB OE OG OD BD GE +=+++=+ 又∵3a =,2b =,k =12∴ 222222365231()24BD GE +=+++=∴22654BE DG +=数据的分析：一：4．为了帮助贫困失学儿童,某团市委发起“爱心储蓄”活动,鼓励学生将自己的压岁钱和零花钱存入银行,定期一年,到期后可取回本金,而把利息．．捐给贫困失学儿童.某中学共有学生1200人,图1是该校各年级学生人数比例．．．．分布的扇形统计图,图2是该校学生人均存款．．．．情况的条形统计图.1九年级学生人均存款元；2该校学生人均存款多少元3已知银行一年期定期存款的年利率是%“爱心储蓄”免收利息税,且每351元能提供给一位失学儿童一学年的基本费用,那么该校一学年能帮助多少为贫困失学儿童;解：12402 解法一：七年级存款总额：400×1200×40％ = 192000元八年级存款总额：300×1200×35％ = 126000 元九年级存款总额： 240×1200×25％ = 72000 元192000+126000+72000÷ 1200 = 325 元所以该校的学生人均存款额为 325 元解法二： 400×40％ + 300×35％ + 240×25％ = 325 元所以该校的学生人均存款额为 325 元3解法一： 192000+126000+72000×％ ÷351= 25人 解法二： 325×1200×％÷351 = 25人;二：如图是连续十周测试甲、乙两名运动员体能训练情况的折线统计图;教练组规定：体能测试成绩70分以上包括70分为合格;⑴请根据图11中所提供的信息填写右表：⑵请从下面两个不同的角度对运动员体能测试结果进行判断： ①依据平均数与成绩合格的次数比较甲和乙, 的体能测试成绩较好；②依据平均数与中位数比较甲和乙, 的体能测试成绩较好;⑶依据折线统计图和成绩合格的次数,分析哪位运动员体能训练的效果较好;解：1如表所示：平均数 中位数体能测试成绩合格次数甲 60 65 2 乙604⑵ ①乙；②甲⑶ 从折线图上看,两名运动员体能测试成绩都呈上升趋势,但是,乙的增长速平均数 中位数 体能测试成绩合格次数甲 65乙60度比甲快,并且后一阶段乙的成绩合格次数比甲多,所以乙训练的效果较好;三：如图所示,A 、B 两个旅游点从2002年至2006年“五、一”的旅游人数变化情况分别用实线和虚线表示．根据图中所示解答以下问题： 1B 旅游点的旅游人数相对上一年,增长最快的是哪一年2求A 、B 两个旅游点从2002到2006年旅游人数的平均数和方差,并从平均数和方差的角度,用一句话对这两个旅游点的情况进行评价； 3A 旅游点现在的门票价格为每人80元,为保护旅游点环境和游客的安全,A 旅游点的最佳接待人数为4万人,为控制游客数量,A 旅游点决定提高门票价格．已知门票价格x 元与游客人数y 万人满足函数关系5100xy =-．若要使A 旅游点的游客人数不超过4万人,则门票价格至少应提高多少解：1B 旅游点的旅游人数相对上一年增长最快的是2005年．2A X ＝554321++++＝3万元B X ＝534233++++＝3万元 2A S ＝51-22＋-12＋02＋12＋22＝22B S ＝5102＋02＋-12＋12＋02＝52从2002至2006年,A 、B 两个旅游点平均每年的旅游人数均为3万人,但A 旅游点较B 旅游点的旅游人数波动大．3由题意,得 ５－100x≤４ 解得x ≥100 100-80＝20 答：A 旅游点的门票至少要提高20元;2002 2003 2004 2005 20066 5 4 3 2 1A B。
初二数学难题及解析
初二数学难题及解析
一、售票员在一天内售出了110张票，其中成人票占70张，学生票占30张。
求成人票和学生票的单价分别为多少？
解析：假设成人票的单价为x元，学生票的单价为y元。
根据已知条件，成人票总额为70x，学生票总额为30y。
由于110张票的总额是200元，
因此可以得到：70x+30y=200
解得：x=3元，y=2元
因此，成人票的单价为3元，学生票的单价为2元。
二、给定四条折线ABCD，它们之间的关系如下：① A=B；② A与C 的中点即E；③ B与D的中点即F；④若E垂直于F，则CD的长度为4。
求AB的长度是多少？
解析：由已知条件可知，AB和CD长度相等，且CD的长度为4。
因此，AB的长度也就是4。
初中数学经典几何难题20例及答案
经典难题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二）第1题图第2题图2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二）3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）第3题图第4题图4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．经典难题（二）1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ；（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）ANFE CDMB D 2C 2B 2A 2D 1C 1B 1C BDAA 1APC DBAFGCEB O D第1题图第2题图2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）第3题图第4题图4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．（初二）经典难题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ． 求证：CE ＝CF ．（初二）PCGFBQ ADE· OQPBDEC NM· A·GA O DBECQPNM·AD HEM C BO第1题图第2题图2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．（初二）3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE ． 求证：PA ＝PF ．（初二）第3题图第4题图4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）经典难题（四）1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5． 求：∠APB 的度数．（初二）第1题图第2题图2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ．求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）PADCBAPC BO D BF AECPFE PCBAE DA CBFAFDECBD3、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．（初三）第3题图第4题图4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）经典难题（五）1、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：≤L ＜2．第1题图第2题图2、P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值．3、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正方形的边长．第3题图第4题图4、如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝800，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，∠DCA ＝300， ∠EBA ＝200，求∠BED 的度数．EDCBAAC BPDAC BPDA PCBFPDE CBACBDA经典难题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF 。
初中数学难题精选(附问题详解)
3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE．
求证：PA＝PF．（初二）
4、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D．求证：AB＝DC，BC＝AD．（初三）
经典难题（四）
1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．
经典难题（一）
1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．
求证：CD＝GF．（初二）
2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150．
求证：△PBC是正三角形．（初二）
3、如图，已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点．
2、设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q．
求证：AP＝AQ．（初二）
3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：
设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q．
求证：AP＝AQ．（初二）
经典难题（四）
1.顺时针旋转△ABP 600，连接PQ，则△PBQ是正三角形。
可得△PQC是直角三角形。
所以∠APB=1500。
2.作过P点平行于AD的直线，并选一点E，使AE∥DC，BE∥PC.
可以得出∠ABP=∠ADP=∠AEP，可得：
AEBP共圆（一边所对两角相等）。
可得∠BAP=∠BEP=∠BCP，得证。
经典难题（一）
1.如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG,
初二上册数学必考难题
初二上册数学必考难题一、三角形相关难题例：在△ABC 中，AB = 8，AC = 6，AD 是中线，求 AD 的取值范围。
解析：延长 AD 至点 E，使 AD = DE，连接 BE。
因为 AD 是中线，所以 BD = CD。
在△ADC 和△EDB 中，AD = DE，∠ADC = ∠EDB，CD = BD，所以△ADC ≌△EDB （SAS），则 BE = AC = 6。
在△ABE 中，AB - BE < AE < AB + BE，即 8 - 6 < 2AD < 8 + 6，所以 1 < AD < 7。
二、全等三角形证明难题例：已知，如图，AB = AC，AD = AE，∠1 = ∠2。
求证：△ABD ≌△ACE。
证明：因为∠1 = ∠2，所以∠1 + ∠CAD = ∠2 + ∠CAD，即∠BAD = ∠CAE。
在△ABD 和△ACE 中，AB = AC，∠BAD = ∠CAE，AD = AE，所以△ABD ≌△ACE （SAS）。
三、一次函数应用难题例：某工厂现有甲种原料 360 千克，乙种原料 290 千克，计划利用这两种原料生产 A、B 两种产品共 50 件。
已知生产一件 A 产品需要甲种原料 9 千克，乙种原料 3 千克；生产一件 B 产品需要甲种原料 4 千克，乙种原料 10 千克。
设生产 x 件 A 产品，求 x 的取值范围。
解析：生产 x 件 A 产品，则生产（50 - x）件 B 产品。
根据题意可得：9x + 4(50 - x) ≤ 360 3x + 10(50 - x) ≤ 290解第一个不等式：9x + 200 - 4x ≤ 360，5x ≤ 160，x ≤ 32解第二个不等式：3x + 500 - 10x ≤ 290，-7x ≤ -210，x ≥ 30所以 x 的取值范围是 30 ≤ x ≤ 32。
四、整式乘法与因式分解难题例：分解因式：x^4 - 18x^2 + 81解析：begin{align}x^4 - 18x^2 + 81 =(x^2 - 9)^2 =(x + 3)^2(x - 3)^2end{align}五、分式计算与应用难题例：已知(x/y) = (3/4)，求(x + y/y)的值。
八年级数学重难点题目
八年级数学重难点题目一、三角形全等证明类题目。
1. 如图，在△ABC和△DEF中，AB = DE，∠A = ∠D，AC = DF。
求证：△ABC≌△DEF。
解析：在△ABC和△DEF中，已知AB = DE，∠A = ∠D，AC = DF。
根据三角形全等判定定理中的“边角边”（SAS），即如果两个三角形的两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。
所以可以得出△ABC≌△DEF。
2. 已知：如图，∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求证：AC = AD。
解析：因为∠3 = ∠4，所以∠ABC = ∠ABD（等角的补角相等）。
在△ABC和△ABD中，∠1 = ∠2，AB = AB（公共边），∠ABC = ∠ABD。
根据“角边角”（ASA）判定定理，可得△ABC≌△ABD，所以AC = AD。
二、等腰三角形性质与判定类题目。
3. 等腰三角形的一个角为80°，求这个等腰三角形的顶角度数。
解析：当80°角为顶角时，顶角度数就是80°；当80°角为底角时，根据等腰三角形两底角相等，三角形内角和为180°，则顶角为180° - 80°×2 = 20°。
所以顶角度数为80°或20°。
4. 已知：在△ABC中，AB = AC，D是AB上一点，DE⊥BC，E是垂足，ED的延长线交CA的延长线于点F。
求证：AD = AF。
解析：因为AB = AC，所以∠B = ∠C（等腰三角形两底角相等）。
因为DE⊥BC，所以∠B + ∠BDE = 90°，∠C+∠F = 90°。
又因为∠BDE = ∠ADF（对顶角相等），所以∠ADF = ∠F，根据等角对等边，可得AD = AF。
三、勾股定理应用类题目。
5. 已知直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度。
解析：根据勾股定理a^2+b^2=c^2（其中a、b为直角边，c为斜边）。
(完整版)初中数学经典难题(含答案)
经典难题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二）2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二）3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．A P C DB A F G CE BO D D 2 C 2B 2 A 2D 1 C 1 B 1C B DA A 1 A N FE CDMBP CG FB QA D E1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．（初二）· A D HE M C B O · GAO D B EC Q P NM · O Q PB DEC N M · A1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初二）2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．（初二）3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE ．求证：PA ＝PF ．（初二）4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）D AF D E C B E DA CB F A E PC B A OD BFAECP1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5．求：∠APB 的度数．（初二）2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）3、Ptolemy （托勒密）定理：设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ． （初三）4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）AP C B P A D CB C B DAF PD E C B A1、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，l ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：3≤L ＜2．2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值．3、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正方形的边长．4、如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝800，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，∠DCA ＝300，∠EBA ＝200，求∠BED 的度数．APCBACBPDEDCB AA CBPD经典难题（一）1、2、3、4、经典难题（二）1、2、4、经典难题（三）1、3、4、1、2、3、4、证明：过D 作DQ ⊥AE ，DG ⊥CF,并连接DF 和DE ，如右图所示 则S △ADE =21S ABCD =S △DFC ∴21 AE ﹒DQ = 21 DG ﹒FC 又∵AE=FC,∴DQ=DG,∴PD 为∠APC 的角平分线，∴∠DPA=∠DPC1、2、3、3、4、。
(完整版)初二数学经典难题(带答案及解析)
初二数学经典难题一、解答题（共10小题，满分100分）1．（10分）已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD=∠PDA=15°．求证：△PBC是正三角形．（初二）2．（10分）已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN 于E、F．求证：∠DEN=∠F．3．（10分）如图，分别以△ABC的边AC、BC为一边，在△ABC外作正方形ACDE和CBFG，点P是EF的中点，求证：点P到AB的距离是AB的一半．4．（10分）设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA=∠PDA．求证：∠PAB=∠PCB．5．（10分）P为正方形ABCD内的一点，并且PA=a，PB=2a，PC=3a，求正方形的边长．6．（10分）一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水．向容器中注满水的全过程共用时间t分．求两根水管各自注水的速度．7．（10分）（2009•郴州）如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（﹣2，﹣1），且P（﹣1，﹣2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．8．（10分）（2008•海南）如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在线段BC上，且PE=PB．（1）求证：①PE=PD；②PE⊥PD；（2）设AP=x，△PBE的面积为y．①求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；②当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值．9．（10分）（2010•河南）如图，直线y=k1x+b与反比例函数（x＞0）的图象交于A（1，6），B（a，3）两点．（1）求k1、k2的值．（2）直接写出时x的取值范围；（3）如图，等腰梯形OBCD中，BC∥OD，OB=CD，OD边在x轴上，过点C作CE⊥OD于点E，CE和反比例函数的图象交于点P，当梯形OBCD的面积为12时，请判断PC和PE的大小关系，并说明理由．10．（10分）（2007•福州）如图，已知直线y=x与双曲线交于A，B两点，且点A的横坐标为4．（1）求k的值；（2）若双曲线上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积；（3）过原点O的另一条直线l交双曲线于P，Q两点（P点在第一象限），若由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．初二数学经典难题参考答案与试题解析一、解答题（共10小题，满分100分）1．（10分）已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD=∠PDA=15°．求证：△PBC是正三角形．（初二）考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定。
初中数学经典难题(含答案)
经典难题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二）2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二）3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．A P C DB A F G CE BO D D 2 C 2B 2 A 2D 1 C 1 B 1C B DA A 1 BF1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O（1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初二）2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．（初二）3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE ．求证：PA ＝PF ．（初二）4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）E1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5．求：∠APB 的度数．（初二）2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）3、Ptolemy （托勒密）定理：设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ． （初三）4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）1、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，l ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：3≤L ＜2．2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值．3、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正方形的边长．4、如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝800，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，∠DCA ＝300，∠EBA ＝200，求∠BED 的度数．经典难题（一）1、2、3、4、经典难题（二）1、2、4、经典难题（三）1、3、4、1、2、3、4、证明：过D 作DQ ⊥AE ，DG ⊥CF,并连接DF 和DE ，如右图所示 则S △ADE =21S ABCD =S △DFC ∴21 AE ﹒DQ = 21 DG ﹒FC 又∵AE=FC,∴DQ=DG,∴PD 为∠APC 的角平分线，∴∠DPA=∠DPC1、2、3、3、4、。
数学八年级上册难题
数学八年级上册难题一、三角形全等证明难题题目1：已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，M是BC的中点，过M作ME∥AD 交BA延长线于E，交AC于F。
求证：BE = CF。
解析：1. 延长FM至N，使MN = FM，连接BN。
因为M是BC中点，所以BM = CM。
在△BMN和△CMF中，BM = CM，∠BMN = ∠CMF（对顶角相等），MN = MF。
根据SAS（边角边）定理，可得△BMN≌△CMF。
所以∠N = ∠CFM，BN = CF。
2. 因为AD平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
又因为ME∥AD，所以∠BAD = ∠AEF，∠CAD = ∠AFE。
从而∠AEF = ∠AFE，所以AE = AF。
3. 因为∠CFM = ∠AFE，∠AEF = ∠N，所以∠N = ∠AEF。
所以BE = BN。
又因为BN = CF，所以BE = CF。
二、等腰三角形性质与判定难题等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为a，求其底边上的高。
解析：1. 分两种情况讨论：当等腰三角形为锐角三角形时：因为一腰上的高与另一腰的夹角为30°，所以顶角为60°。
此等腰三角形为等边三角形，底边上的高公式。
当等腰三角形为钝角三角形时：一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的外角为30°，顶角为150°。
底角为15°，设底边上的高为公式，腰长为公式。
根据三角函数关系，公式。
而公式。
所以公式。
三、整式乘法与因式分解难题题目3：已知公式、公式、公式是△ABC的三边，且满足公式，求证：△ABC是等边三角形。
1. 对公式进行变形处理。
等式两边同时乘以2，得到公式。
进一步变形为公式。
2. 因为一个数的平方是非负的，要使公式成立。
则公式，公式，公式。
即公式，公式，公式。
所以△ABC是等边三角形。
初二数学经典难题(带答案与解析)
初二数学经典难题(带答案与解析)1. 一位农夫要过一条河，他只有一艘小船，船只能支持他和一件物品的重量。
他需要把他自己，一只狼，一只绵羊和一束青菜都安全地运送到对岸。
但是，他不能让狼和绵羊在船上单独相处，因为狼会吃掉绵羊，而他也不能把青菜留在对岸，因为狼会吃掉青菜。
请问，农夫应该如何安全地将这些物品都运送到对岸？答案:农夫的运输过程，可以分为3个阶段:第一次船过去，农夫把绵羊放在岸边，然后把狼和青菜带到对岸。
第二次船会回来，这一次农夫只带绵羊回对岸，留下狼和青菜。
第三次船过去，农夫把青菜放在岸边，把狼带到对岸，然后返回把绵羊也带到对岸。
解析:这是一个相当著名的数学难题，考验玩家的逻辑思维和解决问题的能力。
农夫需要分别带着“绵羊、狼、青菜”三个物品过河，但是船只能支撑一人和一样物品的质量。
如果让“狼”单独和“绵羊”在一起，绵羊就会被吃掉，如果让“青菜”单独和“狼”在一起，青菜就会被吃掉。
怎么办呢？我们需要一步一步来想象这个过程。
首先，农夫需要把狼在非常安全的状态下到对岸。
所以，他需要先把绵羊放在岸边，然后带上狼和青菜一起过河。
这样，在对岸靠岸后，他可以先把青菜放在岸边，回来把狼送过去，并且把青菜留在对岸。
最后再回到原来的岸边，带上绵羊将其送往对岸即可。
这样，农夫就能够安全地将三个物品都运送到了对岸，而他没有违反任何规则。
这个问题是一个“二进制数学问题”，要求玩家发挥他们的逻辑思维和判断能力，找出最好的解决方案。
2. 一支队伍从A地出发向北行走360英里后到达B地，并停留了5天。
然后他们又向北行走280英里，到达C地，他们在C地停留了10天。
然后他们又向北行走400英里，到达D地。
他们在D地停留了15天，然后再向北前进60英里就到达他们的终点E地。
请问他们总共行走的距离以及他们在路途上平均每天行走的距离是多少？答案:他们总共行走的距离是: 1100 英里。
他们在路途上平均每天行走的距离是: 22 英里。
初二数学难题精选
初二数学难题精选一、已知平行四边形ABCD中，AB=6，BC=8，对角线AC与BD相交于点O，且AC=10，则BD 的长度为：A. 6B. 8C. 10D. 12（答案）C二、若一次函数y=kx+b的图象经过点A(-2,3)和点B(1,-1)，则k的值为：A. -1B. -2C. -3/2D. -4/3（答案）D三、在直角坐标系中，点P(m,n)到x轴的距离是3，到y轴的距离是5，则点P的坐标可能为：A. (3,5)B. (-5,-3)C. (5,-3)D. (3,-5)或(-3,5)或(-3,-5)或(3,5)（答案）D四、已知等腰三角形的两边长分别为3和7，则周长为：A. 13B. 17C. 13或17D. 无法确定（答案）B五、若关于x的不等式组{ x-m<0, 3x-1>2(x-1) }的解集为x<2，则m的取值范围为：A. m>2B. m<2C. m=2D. m≥2（答案）D六、已知反比例函数y=k/x的图象经过点A(2,3)，则当x=-3时，y的值为：A. -2B. -3/2C. 2D. 3/2（答案）A七、在平行四边形ABCD中，若∠A+∠C=140°，则∠B的度数为：A. 50°B. 60°C. 70°D. 140°（答案）C八、若分式(x2-1)/(x-1)的值为零，则x的值为：A. 1B. -1C. 0或1D. -1或1（答案）B九、已知关于x的方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根，则m的值为：A. -1B. 0C. 1D. 2（答案）C十、在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则AB的长度为：A. 5B. 6C. 7D. 8（答案）A。
初中数学经典难题(含问题详解)
经典难题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二）2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150．求证：△PBC 是正三角形．（初二）3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．A PC D B A FG C EBO D D 2 C 2B 2 A 2D 1 C 1 B 1 C B DA A 1 BF经典难题（二）1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ．（1）求证：AH ＝2OM ；（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．经典难题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初二）2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．（初二）3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE ．求证：PA ＝PF ．（初二）4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）经典难题（四）E1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5．求：∠APB 的度数．（初二）2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）3、Ptolemy （托勒密）定理：设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ． （初三）4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）经典难题（五）1、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，l ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：3≤L ＜2．2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值．3、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正方形的边长．4、如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝800，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，∠DCA ＝300，∠EBA＝200，求∠BED 的度数．经典难题（一）1、2、3、4、经典难题（二）1、2、3、4、经典难题（三）1、2、3、4、经典难题（四）2、3、4、证明：过D 作DQ ⊥AE ，DG ⊥CF,并连接DF 和DE ，如右图所示 则S △ADE =21S ABCD =S △DFC∴21 AE ﹒DQ = 21 DG ﹒FC 又∵AE=FC,∴DQ=DG,∴PD 为∠APC 的角平分线，∴∠DPA=∠DPC经典难题（五）2、3、3、4、。
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初二（下册）数学题精选分式：z一：如果abc=1,求证11++a ab +11++b bc +11++c ac =1解：原式=11++a ab +a ab abc a +++ababc bc a ab ++2=11++a ab +a ab a ++1+ab a ab++1=11++++a ab a ab=1二：已知a 1+b 1=)(29b a +，则a b +b a等于多少？解：a 1+b 1=)(29b a + ab b a +=)(29b a + 2(b a +)2=9ab 22a +4ab +22b =9ab 2（22b a +）=5abab b a 22+=25a b +b a =25 三：一个圆柱形容器的容积为V 立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管２倍的大水管注水。
向容器中注满水的全过程共用时间t 分。
求两根水管各自注水的速度。
解：设小水管进水速度为x ，则大水管进水速度为4x 。
由题意得：t xv x v =+82解之得：t v x 85=经检验得：tvx 85=是原方程解。
∴小口径水管速度为t v 85，大口径水管速度为tv25。
四：联系实际编拟一道关于分式方程2288+=xx 的应用题。
要求表述完整，条件充分并写出解答过程。
解略五：已知M ＝222y x xy -、N ＝2222yx y x -+，用“+”或“－”连结M 、N,有三种不同的形式，M+N 、M-N 、N-M ，请你任取其中一种进行计算，并简求值，其中x ：y=5：2。
解：选择一：22222222()()()xy x y x y x yM N x y x y x y x y x y++++=+==--+--， 当x ∶y =5∶2时，52x y =，原式=572532y yy y +=-．选择二：22222222()()()xy x y x y y xM N x y x y x y x y x y+----=-==--+-+，当x ∶y =5∶2时，52x y =，原式=532572y yy y -=-+． 选择三：22222222()()()x y xy x y x yN M x y x y x y x y x y+---=-==--+-+，当x ∶y =5∶2时，52x y =，原式=532572y yy y -=+．反比例函数：一：一张边长为16cm 正方形的纸片，剪去两个面积一定且一样的小矩形得到一个“E ”图案如图1所示．小矩形的长x （cm ）与宽y （cm ）之间的函数关系如图2所示：（1）求y 与x 之间的函数关系式； （2）“E ”图案的面积是多少？（3）如果小矩形的长是6≤x ≤12cm ，求小矩形宽的范围.关系式为xky =解：（1）设函数∵函数图象经过（10，2） ∴102k= ∴k =20， ∴xy 20=（2）∵xy 20=∴xy =20， ∴2162022162=⨯-=-=xy S S E 正 （3）当x =6时，310620==y当x =12时，351220==y∴小矩形的长是6≤x ≤12cm ，小矩形宽的范围为cm y 31035≤≤二：是一个反比例函数图象的一部分，点(110)A ，，(101)B ，是它的两个端点．（1）求此函数的解析式，并写出自变量x 的取值范围； （2）请你举出一个能用本题的函数关系描述的生活实例．解：（1）设k y x =，(110)A ，在图象上，101k∴=，即11010k =⨯=， 10y x∴=，其中110x ≤≤；（2）答案不唯一．例如：小明家离学校10km ，每天以km/h v 的速度去上学，那么小明从家去学校所需的时间10t v=． 三：如图，⊙A 和⊙B 都与x 轴和y 轴相切，圆心A 和圆心B 都在反比例函数1y x=的图象上，则图中阴影部分的面积等于 .1 11010AB O xy答案：r=1S=πr²=π四：如图11，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M（－2，1），且P（1，－2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）如图12，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻，求平行四边形OPCQ解：（1）设正比例函数解析式为y kx=，将点M（2-，1-）坐标代入得12k，所以正比例函数解析式为12y x同样可得，反比例函数解析式为2yx（2）当点Q在直线DO上运动时，设点Q的坐标为1()2Q m m，，于是211112224OBQS OB BQ m m m△，图而1(1)(2)12OAP S △，所以有，2114m ，解得2m =±所以点Q 的坐标为1(21)Q ，和2(21)Q ， （3）因为四边形OPCQ 是平行四边形，所以OP ＝CQ ，OQ ＝PC ，而点P （1-，2-）是定点，所以OP 的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ 周长的最小值就只需求OQ 的最小值．因为点Q 在第一象限中双曲线上，所以可设点Q 的坐标为2()Q n n，， 由勾股定理可得222242()4OQ n nn n，所以当22()0nn即20nn时，2OQ 有最小值4，又因为OQ 为正值，所以OQ 与2OQ 同时取得最小值， 所以OQ 有最小值2．由勾股定理得OP ＝5，所以平行四边形OPCQ 周长的最小值是2()2(52)254OP OQ ．五：如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与Y 轴和X 轴分别交于点A 、点8，与反比例函数y 一罟在第一象限的图象交于点c(1，6)、点D(3，x)．过点C 作CE 上y 轴于E ，过点D 作DF 上X 轴于F ． (1)求m ，n 的值；(2)求直线AB 的函数解析式；勾股定理：一：清朝康熙皇帝是我国历史上对数学很有兴趣的帝王．近日，•西安发现了他的数学专著，其中有一文《积求勾股法》，它对“三边长为3、4、5的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题提出了解法：“若所设者为积数（面积），以积率六除之，平方开之得数，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之数”．用现在的数学语言表述是：“若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍，•设其面积为S ，则第一步：6S＝m ；第二步：m =k ；第三步：分别用3、4、5乘以k ，得三边长”．（1）当面积S 等于150时，请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长；（2）你能证明“积求勾股法”的正确性吗？请写出证明过程．解：（1）当S=150时，k=m =1502566S ===5， 所以三边长分别为：3×5=15，4×5=20，5×5=25；（2）证明：三边为3、4、5的整数倍， 设为k 倍，则三边为3k ，4k ，5k ，•而三角形为直角三角形且3k 、4k 为直角边． 其面积S=12（3k ）·（4k ）=6k 2， 所以k 2=6S ，k=6S （取正值）， 即将面积除以6，然后开方，即可得到倍数．二：一张等腰三角形纸片，底边长l5cm ，底边上的高长22．5cm ．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm 的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是( )A ．第4张B ．第5张C ．第6张D ．第7张答案：C三：如图，甲、乙两楼相距20米，甲楼高20米，小明站在距甲楼10米的A 处目测得点A 与甲、乙楼顶B C 、刚好在同一直线上，且A 与B 相距350米，若小明的身高忽略不计，则乙楼的高度是 米．答案：40米四：恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的恩施大峡谷()A 和世界级自然保护区星斗山()B 位于笔直的沪渝高速公路X 同侧，50km AB A =，、B 到直线X 的距离分别为10km 和40km ，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P ，向A 、B 两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP 与直线X 垂直，垂足为P ），P 到A 、B 的距离之和1S PA PB =+，图（2）是方案二的示意图（点A 关于直线X 的对称点是A '，连接BA '交直线X 于点P ），P 到A 、B 的距离之和2S PA PB =+． （1）求1S 、2S ，并比较它们的大小； （2）请你说明2S PA PB =+的值为最小；（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y 与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B 到直线Y 的距离为30km ，请你在X 旁和Y 旁各修建一服务区P 、Q ，使P 、A 、B 、Q 组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．解:⑴图10（1）中过B 作BC ⊥AP,垂足为C,则PC ＝40,又AP ＝10,∴AC ＝30在Rt △ABC 中，AB ＝50 AC ＝30 ∴BC ＝40∴ BP ＝24022=+BC CP S 1＝10240+⑵图10（2）中，过B 作BC ⊥AA ′垂足为C ，则A ′C ＝50， 又BC ＝40∴BA'＝4110504022=+图（1）图（3）图（2）由轴对称知：PA ＝PA' ∴S 2＝BA'＝4110 ∴1S ﹥2S(2)如 图10（2），在公路上任找一点M,连接MA,MB,MA'，由轴对称知MA ＝MA' ∴MB+MA ＝MB+MA'﹥A'B ∴S 2＝BA'为最小（3）过A 作关于X 轴的对称点A', 过B 作关于Y 轴的对称点连接A'B',交X 轴于点P, 交Y 轴于点Q,则P,Q 即为所求过A'、 B'分别作X 轴、Y 轴的平行线交于点G ,A'B'＝5505010022=+∴所求四边形的周长为55050+五：已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，DE ⊥AC 于点F ，交BC 于点G ，交AB 的延长线于点E ，且AE AC =． （1）求证：BG FG =；（2）若2AD DC ==，求AB 的长．解：（1）证明：90ABC DE AC ∠=°，⊥于点F ，ABC AFE ∴∠=∠．AC AE EAF CAB =∠=∠，， ABC AFE ∴△≌△ AB AF ∴=． 连接AG ，AG ＝AG,AB ＝AF ，Rt Rt ABG AFG ∴△≌△． BG FG ∴=．（2）解：∵AD ＝DC,DF ⊥AC ，1122AF AC AE ∴==．30E ∴∠=°．30FAD E ∴∠=∠=°， AF ∴= AB AF ∴==四边形：一：如图，△ACD 、△ABE 、△BCF 均为直线BC 同侧的等边三角形.DC EB GAF D CEBGA F(1) 当AB ≠AC 时，证明四边形ADFE 为平行四边形；(2) 当AB = AC 时，顺次连结A 、D 、F 、E 四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件.解：(1) ∵△ABE 、△BCF 为等边三角形，∴AB = BE = AE ，BC = CF = FB ，∠ABE = ∠CBF = 60°. ∴∠FBE = ∠CBA . ∴△FBE ≌△CBA .∴EF = AC .又∵△ADC 为等边三角形， ∴CD = AD = AC . ∴EF = AD.同理可得AE = DF .∴四边形AEFD 是平行四边形.(2) 构成的图形有两类，一类是菱形，一类是线段.当图形为菱形时，∠ BAC ≠60°（或A 与F 不重合、△ABC 不为正三角形） 当图形为线段时，∠BAC = 60°（或A 与F 重合、△ABC 为正三角形）.二：如图，已知△ABC 是等边三角形，D 、E 分别在边BC 、AC 上，且CD=CE ，连结DE 并延长至点F ，使EF=AE ，连结AF 、BE 和CF 。