2017宇哥最后一套卷(2)

n n
2n 1 n 1 3
三、解答题：15-23 小题，共 94 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （15） （本题满分 10 分） 设函数 f ( x) 在 a, b 上一阶导数连续， f ( x ) r x , tan 1
2 2 2

2 1
f (a ) f (b) , tan 2 , a b
1 12
（B）
1 6
（C）
1 3
（D）
（7） 设 A 为 n 阶方阵，1 ， 2 , ， n 为 n 个线性无关的 n 维向量， 则秩 r(A)= n 是 A 1 ， A 2 , , A n 线性无关的 （A）充分非必要条件 （C）充要条件 （B）必要非充分条件 （D）既非充分也非必要条件
（A） A1 P 1 P 2 （C） P 1 P 2 A1
（B） P 1 A1 P 2 （D） P 2 A1 P 1
二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分。 （9）设摆线
x t sin t （ 0 t ）上任意一点 (x, y) 处的切线的倾斜角为 ，则 y 1 cos t
计算 2

b
a
f ( x)dx r 2 ( )d .
（16） （本题满分 10 分） 设 f x cos(arcsin x), （I）证明： (1 x ) f ( x) xf ( x) f ( x) 0.
2
, n 1, 2， （II）求 f （0）
n
内存在实根 n , n 1, 2, ） 2
（19） （本题满分 10 分） 在曲线 L1
x2 y 2 z 2 4 x y z 3
上求点 （x, y, z） , 使得 W xyz 分别为最Байду номын сангаас值与最小值，并求出
此最大值与最小值. （20） （本题满分 11 分） 在一高为 4 的椭圆底柱形容器内储存某种液体并将容器水平放置，如果椭圆方程为
（A）-3 （2）函数 f ( x ) （B） 3 （C） -6 （D）6

x
0
e t
t (t 2) dt (t 3) 2
（A） 有 1 个极小值，1 个极大值，1 条渐近线 （B） 有 1 个极小值，1 个极大值，2 条渐近线 （C） 有 2 个极小值，1 个极大值，2 条渐近线 （D） 有 2 个极小值，2 个极大值，2 条渐近线 （3）曲线 y ln x 的最大曲率是 （A）
1
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（A）取得最大值 （C）不取极值
2
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（B）取得极小值 （D）无法判断
2
（6）设 f ( x ) x , f ( x ) x 2 x 3 且 ( x) 0 ，则 lim （A）
1 n 2 1 i ( n i) 3 n n n (x ) i 1 2 3
f x, y 1 x 2 y o dz x, y
(0,0)

x 1
2
y2

成 立 ， 记 z x, y f e y , x y


， 则
____________ .
（ 13 ） 设 f ( x ) 在 （-, ) 上 可 导 ， 且 其 反 函 数 存 在 为 g ( x ) ， 若
a11 a21 （8）设矩阵 A a31 a41 0 0 P1 0 1
a12 a22 a32 a42
a13 a23 a33 a43
a14 a14 a24 a24 ，B a34 a34 a44 a44
a13 a23 a33 a43
（17） （本题满分 10 分） 设曲线 y
(n)

x
0
e t dt ,
（II）求曲线 y 与其全部渐近线及 y 轴所围图形的面积.
2
（I）求 y 的全部渐近线.
3
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（18） （本题满分 10 分）
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（I）证明方程 tan x x 在 （ n , n （II）求极限 lim( n 1 n ).
cos y
__________ . ，则 lim u 3k 2 3k 1 3k
k 1 n n
（10）设 un

1
1
2
n
_________ .
2
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不作押题
（11）设 f x 在 , 内有定义，且对任意 x , ， y , ，成立
F ( x0 , y0 ) 0, Fx ( x0 , y0 ) 0, Fxx ( x0 , y0 ) 0, Fy ( x0 , y0 ) 0 ，则由方程 F ( x, y ) 0 在 ( x0 , y0 ) 某邻域内确定的隐函数 y y ( x ) 在点 x0 处
x2 y 2 1(单位：m), 4
（I）液面在 y (1 y 1)处时，容器内液体的体积V与y的函数关系是什么？ （II）如
3
果
容
器
内
储
满
了
液
体
后
，
以
每
分
钟
0.16 m 的速率将液体从容器顶 端抽出，当液面在 y 0时， 液面下降的速率是每分钟 多少米？ （III）如果液面的密度为（ ，抽完全部液体需做多少功？ 1 N /m） （21） （本题满分 11 分） 设 f ( x )在 0,1 上连续，证明： （0,1），使得 （22） （本题满分 11 分） 已知齐次线性方程组（Ⅰ）为
f x y f x e y f y e x ，且 f 0 存在等于 a , a 0. 则 f x =_____________.
（ 12 ） 设 函 数 f x, y 的 一 阶 偏 导 数 连 续 ， 在
1, 0
的 邻 域 内 有
5
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（Ⅱ）求方程（Ⅰ）与（Ⅱ）的全部非零公共解，并将非零公共解分别由方程组（Ⅰ） ， （Ⅱ） 的基础解系线性表示. （23） （本题满分 11 分）
a a b a b 0 b b c 设 A 0 0 c 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 ， a, b, c 为互异的实数，计算 A n . 1 1 1 1
1 3
2 3
（B）
2 3
2 3
（C）
1 3
3 2
（D）
2 32
3
（4）设 an （A）1

1
0
x n 1 x 2 dx , bn 2 sin ntdt , 则极限 lim
0

n
nan = bn
（D）
（B）0
（C）-1
（ 5 ） 设 F ( x, y ) 在 ( x0 , y0 ) 的 某 邻 域 内 有 二 阶 连 续 偏 导 数 ， 且
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2017 年考研数学张宇最后一套卷 （数学二）
一、选择题：1-8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选 项是符合题目要求的。
ln(1 x 3 ) ,x 0 1 1 arcsin x x e x arctan x ,则极限 lim f g ( x) = （1） 设函数 f ( x ) e x 1 x 2 x 1 ，g ( x ) 2 x 0 2 ,x 0 1 ex x x sin 6
a12 a22 a32 a42
a11 a21 , a31 a41
0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 ， P2 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 1 ，其中 A 可逆，则 B 等于 0 0 0 1

f ( x)
0
g (t )dt f (t )dt xe x e x 1 ，则当 x 时， f ( x) =
0
x
.
n n
（14） Dn
n 1 3 n 1 3 n 1 5 2n 3 3
2 3 2 2 2
1 1 1 1 1 _________ .
3

1
0
1 f ( x)dx f ( ) 2 . . 3
x1 x2 x3 0, x2 x3 x4 0.
T T
齐次线性方程组（Ⅱ）的基础解系为 1 （ 1,1,2,4）， 2 （1,0,1,1 ） （Ⅰ）求方程（Ⅰ）的基础解系；
4
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