强螺形函数子族的第三项和第四项系数估计
2024年高考数学专题复习第12讲函数y=Asin(ωx+φ)
− )=π,即
3
6
π
2π
由五点对应法得 2× +φ=π,得 φ= ,
6
3
2π
π
2π
则 f(x)=sin(2x+ )=cos( -2x- )
3
2
3
π
π
π
=cos(-2x- )=cos(2x+ )=sin( -2x),
6
6
3
解析 由图象知函数的周期 T=2×(
2π
T= =π,即 ω=2,
故选 BC.
理解
用
参数变化对函数图象
的影响.
-2-
第12讲 函数y=Asin(ωx+φ)
课标导引
知识聚焦
知识聚焦
核心考点
1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念
y=
振幅
Asin(ωx+φ)
A
(A>0,ω>0)
周期
2
T=
ω
频率
1
ω
T
2
f= =
相位
ωx+φ
初相
φ
-3-
第12讲 函数y=Asin(ωx+φ)
课标导引
(2)求函数f(x)的最小正周期;
(3)当x∈[0,
π
]时,求函数f(x)的最小值.
2
-14-
第12讲 函数y=Asin(ωx+φ)
考点一
考点二
考点三
课标导引
知识聚焦
核心考点
核心考点
考点四
π
3
3
.
2
3
1
(2)因为 f(x)=sin x+ cos x- sin
河南省南阳市第一中学校2022-2023学年上学期高二第四次月考物理试题(含答案)
出题人：1-12题门道盈;13-18题吴登科一、选择题（本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，1-8题只有一个选项符合题目要求；9-12题有多个选项符合题目要求，全部选对得4分，选对但不全的得2分，错选或不答的得0分.）1．下列说法中正确的是（）A ．电容Q C U =、电流U I R =、磁感应强度F B IL=安都用到了比值定义法B ．可自由转动的小磁针，在地面上静止时，其N 极指向地磁的南极附近C ．通电导线在磁场中受到的安培力越大，该处磁场的磁感应强度就越强D ．电荷所受电场力一定与该处电场方向一致，但所受的洛伦兹力不一定与磁场方向垂直2．如图所示，空间存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场，一带电液滴从静止开始自A 点沿曲线ACB 运动，到达B 点时速度为零，C 点运动的最低点，不计摩擦阻力，则以下说法中正确的是（）A ．液滴一定带正电B ．液滴在C 点时的动能最大C ．从A 到C 过程液滴的电势能可能减小D ．从C 到B 过程液滴的机械能不变3．如图所示电路中，1A 和2A 是两个相同的小灯泡，L 是一个自感系数相当大的线圈，其直流电阻可不计。
在开关S 接通和断开时，下列说法正确的是（）A ．S 接通时，2A 先达到最亮，稳定后1A 与2A 亮度相同B ．S 接通时，1A 先达到最亮，稳定后1A 与2A 亮度相同C ．电路稳定后断开S 时，2A 先熄灭，1A 闪亮后熄灭D ．电路稳定后断开S 时，1A 闪亮后与2A 一起熄灭4．如图甲所示，圆形线圈P 静止在水平桌面上，其正上方固定一螺线管Q ，P 和Q 共轴，Q 中通有变化电流i ，电流随时间变化的规律如图乙所示。
P 所受的重力为G ，桌面对P 的支持力为N F ，P 始终保持静止状态，则（）A ．零时刻N F G <，此时P 无感应电流南阳一中2022年秋期高二年级第四次月考物理试题B ．1t 时刻N F G <，P 有收缩的趋势C ．2t 时刻N F G >，此时P 中感应电流最大D ．3t 时刻N F G =，此时穿过P 的磁通量最大5．如图所示，一根粗细均匀、长为1m L =、质量为0.01kg m =的导体棒ab 从中点处弯成60︒角，将此导体棒放入磁感应强度大小为0.4T B =、方向垂直纸面向外的匀强磁场中，导体棒两端a 、b 悬挂于两根相同的弹簧下端，弹簧均处于竖直状态。
高中数学选修一第4章4.3~4.4数列,极限,归纳法-知识点
1高中数学选修一第4章4.3~4.4数列/极限/归纳法-知识点 1、对于以a 为首项，q 为公比的无穷等比数列{a n }.①若{a n }是绝对值递减 的数列，∞→n lim n a = 0 ，各项和∞→n lim n S =q 1a - 。
②若q=1，{a n }是常 数列，∞→n lim n a = a ，各项和∞→n lim n S 不存在 。
③若q=-1，{a n }是摆动 数列，∞→n lim n a 不存在，各项和∞→n lim n S 不存在。
{a n }是绝对值增大 的数列，∞→n lim n a = 不存在，各项和∞→n lim n S 不存在 。
2、题型：在公式S=q 1a 1-中，已知其中任意两个量，求第三个量的值或范围。
典例：设数列{a n }是公比0＜q ＜1的等比数列，其各项和是4，求首项a 1的取值范围。
想：∵S=q 1a 1-，所以a 1=4(1-q)∈(0,4)∪(4,8)。
3、对于数列{a n }，如果a n+1≥a n 恒成立，则是 增 数列，如果a n+1＞a n 恒成立，则是 严格增 数列；如果a n+1≤a n 恒成立，则是 减 数列，如果a n+1＜a n 恒成立，则是 严格减 数列。
增数列和减数列统称为 单调 数列。
数列的单调性的判断：①作差法，判断 a n+1-a n 的 符号 ；②对于正数数列，判断与 1 的大小关系。
4、在数列{a n }中，若a n 最大，则a n ≥ a n-1 且a n ≥ a n+1 ；若a n 最小，则a n ≤ a n-1 且a n ≤ a n+1 （n ≥2）.5、数列{a n }中，前n 项和为S n ，通项公式为a n ，则a n =⎩⎨⎧≥-=2n 1n 1-n n 1，，S S S .6、由递推公式求通项公式的常用方法.①累加法，适用于类等差数列，有a n+1-a n =f(n)条件的数列。
例.a 1=0，a n+1=a n +(2n-1). ②累乘法，适用于类等比数列，有a n+1/a n =f(n)条件的数列。
第二章地球磁场
第二章地球磁场（Lisa Tauxe著，常燎译）建议补充读物Butler (1992)，3－7页，10－11页。
更多信息可参看：Merrill et al. (1996) 第一、二章。
2.1 地球磁场古地磁学主要研究过去的地球磁场行为。
人类的直接测量仅仅能够追溯到几个世纪前，因此，古地磁学仍然是研究过去地球磁场行为的唯一手段。
由于古地磁学涉及地球磁场，因此有必要了解一些有关地球磁场的知识。
这一讲我们主要回顾现今地球磁场的一些基本性质。
地磁场由地球液态外核的对流引起（外核由铁、镍和一些未知的较轻成分构成）。
产生对流的能量的来源目前还不清楚，但是一般认为一部分来源于是地球的冷却过程，另外一部分则来源于由铁/镍构成的液态外核的浮力，这一浮力则由纯铁内核的冷却引起。
这个导电流体的运动受控于液态外核的浮力、地球自传以及导电流体和磁场的相互作用（这是一个异常复杂的非线性过程）。
确定导电流体的运动方式以及其产生的磁场状态是一个极具挑战性的课题，但是我们已经知道这种导电流体的运动是一种自激发电机过程，它可以产生并维持巨大的磁场。
2.1.1 地球参考场在很多情况下，确定地球磁场在一特定时间的空间分布非常有用。
对地球磁场及其变化率的数学近似可以比较准确地估计地球磁场在给定时间和地点的值（最少在几百年以内）。
由第一章可知，地表的磁场大致是个标量的势场，并服从拉普拉斯方程：这个方程可以改写为：这个方程的一个解是：对地球磁场，一般可以写作半径为r，纬度余弦θ，经度ϕ的标量势：其中，g 和h 是高斯系数，可以从特定的年代计算得出，单位为nT ，或磁通量（注意，公式中μ0由tesla [B ]转换到Am -1 [H ]）。
角标e 和i 代表外场或者内场的起源，a 是地球半径（6.371 х 106 m ），μ0是自由空间的磁导率（参看第一讲中的表1.1），ml P 正比于勒让德多项式，其由传统的施密特多项式归一化而来（可参看建议的读物）。
关于β型螺形函数的一类子族
定 义 ３ 设 口∈ ［ ，） ∈ （ ／ ，／ ）ｆ∈ Ｓ 若 ／∈ 当且仅 当 Ｒ ［ｉ （） （ 】 ａ ｏ ∈ ０１， 一ｎ２ ｎ２ ， ， ｅｅ ） ＞ ｃｓ ，
Ｄ． 然 ， 卢 ＝０时 ， 显 当 厂∈ Ｓ ａ ； （ ） 而当 口 ＝０时 ， 厂∈ ． ． ｓ ８
第 ３ 卷第 ５ ２ 期
２０ 年 ｌ ０８ Ｏ月
江 西 师 范 大 学 学报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊ Ｕ Ｎ Ｌ Ｏ Ａ Ｇ Ｉ Ｏ Ｍ Ｌ Ｕ Ｉ Ｅ Ｓ Ｙ Ｎ Ｔ Ｒ Ｌ Ｓ ＩＮ Ｅ Ｏ Ｒ Ａ Ｆ Ｊ Ｎ Ｘ Ｒ Ａ ＮＶ Ｒ Ｉ （ Ａ Ｕ Ａ Ｅ Ｃ ） Ｉ Ｎ Ｔ Ｃ
Ｖ０ ． ２ Ｎｏ． １３ ５ Ｏｃ ． ０８ ｔ２０
文 章 编 号 ： ０ －８２２０ ）５００－４ １ ０５６ （０８０ — ６０ ０ ６
关 于 型 螺 形 函数 的 一 类 子 族
徐 庆 华 ， 王朝 华
（ 江西师范大学 数学与信息科学学院， 江西 南 昌 ３０ ２ ） ３０２
众所周 知 ， 研究 单叶 函数 子族 的增 长 、 盖定理 以及系数 估计是 几何 函数 的主要 内容 之一 ． 掩 在文 ［］中 ， １
Ｒ ｂ ｒ ｏ 引入 星形 函数的子族 ａ次 星形 函数 ． ｏ ｅ ｓｎ ｔ 定 义 １ 设 ａ∈ ［，）若 ，∈ ．且满 足 Ｒ ［ ｒ（ ） ｚ】＞ａ， Ｄ， ０１ ， ｓ ｅ 习 ｚ ） ＝∈ 则 （） 为 Ｄ上 ａ次星形 函数 ． ｚ称
中图分 类号 ： ４５ Ｏ１ ． ７ ２
文献标识码 ： Ａ
１ 引言及 主要 结果
用 ｃ表示 复平 面 ， ： ｛ ∈ Ｃ：Ｉ Ｉ １ 表示 复平 面 Ｃ中的单 位圆盘 ，Ｄ表示 Ｄ的边界 ， 表示 正整 Ｄ ｚ ＜ ｝ ａ ， ｖ
2024届广西南宁市高三下学期第二次适应性测试(二模)物理试题
2024届广西南宁市高三下学期第二次适应性测试（二模）物理试题一、单项选择题（本题包含8小题，每小题4分，共32分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题关于质点，下列说法正确的是 ( )A．如果物体的形状和大小对所研究的问题属于次要因素时，可把物体看做质点B．只有体积很小的物体才能看做质点C．凡轻小的物体，皆可看做质点D．质点是理想化模型，实际上并不存在，所以引入质点概念没有多大意义第(2)题太阳系外行星和行星可能适宜人类居住，半径是半径的，若分别在和距地面高为处水平抛出小球，小球平抛运动水平位移随抛出速度函数图像如图所示，忽略空气阻力，忽略行星自转。
下列判断正确的是（ ）A．行星和行星的第一宇宙速度之比为B．行星和行星的第一宇宙速度之比为C．行星和行星的密度之比为2：1D．行星和行星的密度之比为1:3第(3)题如图1所示，一质量为m、电荷量为q的正电荷从a点由静止释放，仅在电场力的作用下沿直线abc运动，其v-t图像如图2所示。
已知正电荷在b点处速率为，斜率最大，最大值为k，在c点处的速率为v，斜率为0，则下列说法正确的是（）A．该正电荷在从a到c的运动过程中，电势能先减小后增大B ．b点的电场强度大小为，方向由b指向cC．ab之间的电势差D．从a到c电势逐渐升高，c点的电势最大第(4)题“复兴号”动车是我国自主研发，具有完全知识产权的新一代高速列车。
某“复兴号”动车组由8节车厢编组而成，其中第1、3、5、7节为动力车厢，其余为无动力车厢。
已知每节动力车厢有2400kW的大型电动机提供动力，每节车厢除了行驶中受恒定的摩擦阻力外，还会受到风阻作用，第1节列车所受风阻，其余每节车厢所受的风阻，表达式中v表示动车行驶速度，k为比例系数，为84N·s/m。
下列说法正确的是（ ）A．该型号动车组最大行驶速率为120m/sB．若关闭两个电动机，动车组最大速度为原来一半C．以最大速率匀速行驶时，第1节车厢所受总阻力为25200ND．以最大速率匀速行驶时，第3节车厢对第2节车厢作用力为12600N第(5)题医学影像诊断设备PET/CT是借助于示踪剂可以聚集到病变部位的特点来发现疾病的。
两类复序解析函数族的系数估计
一 ＝
％ ≤
第２ ５卷
第１ 期
熊 良鹏等 ：两类 复序解析 函数族 的系数估计
（）＋，（Ｊ 。 ｃ 。。。 占■－ ｛ （ Ｉ （。。Ｉ ［ 。。。 ｌ‘ ）＋・，●】 。 。’。‘（。＋ｌ ｝ ’ 。一ｉ。。。。姜十一． ＋＋）毛一。。∥ ，－＿ — ’ ＋三＋。。 ｜一ｌ ｌ十。 ＿－） ，｝ 。 。＋ ＿。＋‘一 ＾ ｌ 。 【 。 ∥－‘ １ 。 。 。 ＿＿１ｌ Ｉ ＂ １１ 。１ 。 ‘） 力 、 十
∑
口 ”
Ｚ
＂
＝
∈
＋ （＋ａｗ＝（＋∥ （ ＋ ｇ ｚ ， ∥１ ／ ） １ ） ） （） ２
且
∈
（ ３）
其 中 ， Ｗ＝ｆ（） ｚ ｅＳ， ｇ： ∈Ｓｃ（， １ ∥∈Ｒ＼一ｏ １． （） ｒ ， ） ， （ｏ， 】 一
本 文获 得 了 函数 族 Ｓ Ｃ ｙＡ 和 Ｂ ‘ （，， ） ’ （， ， Ｓｃ ｒ 系数 估 计 的 结果 ．
果
口
Ｉ１ ｌ ｌ∑ １ ＋ 一 Ｉ Ｉ ２ ＋ ｌ ＝
广
Ｌ ｊ２ ＝
函
数
厂
０
、
］
Ｊ
【 （ ） １ ｉ ＋ ＋（ １ ． １ ＋ ｏ 十 ２ １ 一 ∑ｎ － ） ｒ ， 】 －Ｉ
＝
：
（） ７
＋
又 因为 ｇ ｚｅＳ ， 由引理 ｌ （） ‘ ，有 Ｉ Ｉ 珂， ”≥２ ≤ ．联 合式 （ 。可得∑ ７） ：
第２卷 ５
第１ 期
熊 良鹏等 ：两类复序解析 函数族 的系数估计
１ ７
定 义 １ 一 个 函 数 ｆ（） ＊ （， 当且 仅 当 厂（） ｚ ＥＳＣ ７ ， ｚ ∈Ｓ且 存 在 函 数 ｇ 足 不 等 式 ｅＳ 满
2024届广东省惠州市高三下学期第一次调研考试全真演练物理试题
2024届广东省惠州市高三下学期第一次调研考试全真演练物理试题一、单项选择题（本题包含8小题，每小题4分，共32分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题牛顿认为物体落地是由于地球对物体的吸引，这种吸引力可能与天体间（如地球与月球）的引力具有相同的性质、且都满足。
已知地月之间的距离r大约是地球半径的60倍，地球表面的重力加速度为g，根据牛顿的猜想，月球绕地球公转的周期为（）A．B．C．D．第(2)题质谱仪可测定同位素的组成。
现有一束一价的钠23和钠24离子经电场加速后，沿着与磁场边界垂直的方向进入匀强磁场中，如图所示。
测试时规定加速电压大小为，但在实验过程中加速电压有较小的波动，可能偏大或偏小。
为使钠23和钠24打在照相底片上的区域不重叠，不计离子的重力，则不得超过（ ）A．B．C．D．第(3)题到2022年10月12日为止我国宇航员已进行了三次太空授课，在天宫课堂上我们看到宇航员们演示物理、化学实验，从中获取知识。
如图甲所示，某同学在观看太空水球光学实验后，想研究光在含有气泡的水球中的传播情况，于是找到一块环形玻璃砖模拟光的传播，俯视图如图乙所示。
光线a沿半径方向射入玻璃砖，光线b与光线a平行，两束光线之间的距离设为x，已知玻璃砖内圆半径为R，外圆半径为2R，折射率为，光在真空中的速度为c，不考虑光的多次反射。
下列关于光线b的说法正确的是（）A．当时，光可能经过内圆B．当时，光线从外圆射出的方向与图中入射光线的夹角为30°C．当时，光线在玻璃砖中的传播时间为D．此状态下的太空水球处于完全失重状态，不受重力第(4)题阴极射线（ ）A．就是β射线B．没有质量C．在磁场中可能会发生偏转D．需要介质才能传播第(5)题无线充电器能给手机充电正是因为两者内部有线圈存在，当电源的电流通过无线充电器的送电线圈会产生变化的磁场，手机端的受电线圈靠近该磁场就会产生电流，双方密切配合，手机成功无线充电。
对λ-螺旋形函数的几个证明
（ 黑龙江科技学院 嵩山校 ， 黑龙江 哈尔滨 １０ １ ） ５０ ０
摘 要 ：对 Ａ一 旋 形 函数 的从 属 性及 星 函数 实部 的精 确 下界 给 出 了证 明 ， 螺 并证 明 了两族 函 数 的 包含 关 系， 出 了特殊 情 况的 系数估 计． 给 关键 词 ：ｋ Ａ 属性 ； 确 下界 ；包含 关 系 精 中图分类号 ： ７ ． ０１４ ５ 文献 标识 码 ： Ａ 文章 编号 ： ０ ７ ２ ８ （ ０ ７ ０ — ０ ５ ０ １０ － ６ ３ ２ ０ ） ２ ０ ７ — ４
是通 常 的单 叶 螺 旋 形 函数 ， （ ， ） 星象 函数 １ 一１ 是
ｌ 预备 知识
作为预备知识， 先给出如下定义 ： 定 义 １ 设 Ｕ＝｛ ｚ ＜１ ， 在 Ｕ上 解 析 的 ｌ ｌｌ ｝记
函数全体 为 Ａ， 厂∈ 设 Ａ且 具有 展开 式 厂 ｚ ＝ｚ ∑ ．ｋ 『∈Ｎ （） ＋， ｆｚ Ｉ ｔ
（ ， ０＜ ） 当 卢≤ 时 ， 有 则
Ｒ（ ） ＞ ｅ ） ｛
这样 就得 到一个 上述 从 属关 系 ， 用 从 属 关 系证 明 利
定义 ２ 设 ｆｇ∈Ａ，若 存 在 Ｏ（）∈ 并且 有 ， ｋ ｚ Ａ， ｌ ｚ ｌ ｌ ，使 得 ｆ＝ｇ ・ｋ 就 称 ｆ ｚ 从 属 于 （） ≤ ｌ ｚ Ｏ， （）
ｚＤ Ｉｚ ） Ｄ～ ｚ ， （ （） ： 厂 ） 和 ∈Ｕ， 由式 （ ） 化 简 ６经
之后 得到
令 Ｄｆ ｚ Ｊ ｚ ， ｚ ｚ ｚ 和 Ｄ （）： ￣￣）＝ｒ ） Ｄ （ ）： 厂（） ｚ
Ｄ （ 一 ｚ ） 文［ ］ Ｄ ） ， ５ 引进 Ｓ （ ， ） 即所有满足／ ∈
ｇｚ． （） 记做 ｚ ）＜ｇ ｚ 或 ｆ＜ ． （） ｇ 定 义 ３ 设 函 数 厂（ ） ∈Ａ ， 存 在 实 数 ｚ 若
高中数学人教A版必修4：第一章 1(1).5 第二课时 函数y=Asin(ωx+φ)的性质
2019年7月10日
你是我今生最美的相遇遇上你是我的缘
16
[一题多变]
1．[变条件，变设问]将本例中对称中心改为对称轴，其他条
件不变，求离y轴最近的一条对称轴方程． 解：由4x＋23π＝kπ＋π2，得x＝k4π－2π4，
取k＝0时，x＝－2π4满足题意． 2．[变条件]将本例中“sin”改为“cos”，其他条件不变，结果
2019年7月10日Fra bibliotek你是我今生最美的相遇遇上你是我的缘
13
给出y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法 (1)第一零点法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取
“第一零点”(即“五点法”作图中的第一个点)的数据代入 “ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ.
(2)特殊值法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相 关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点 属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．
(× )
2019年7月10日
你是我今生最美的相遇遇上你是我的缘
5
2．函数y＝13sin13x＋π6的周期、振幅、初相分别是 (
)
A．3π，13，π6
B．6π，13，π6
C．3π，3，－π6
D．6π，3，π6
答案：B
2019年7月10日
你是我今生最美的相遇遇上你是我的缘
6
3．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋1(A＞0，ω＞0)的最大值为5，则A＝
第二课时 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的性质
预习课本P54～55，思考并完成以下问题
(1)在简谐运动中，y＝Asin(ωx＋φ)的初相、振幅、周期分别 为多少？
(2)函数 y＝Asin(ωx＋φ)有哪些性质？
2025数学大一轮复习讲义人教A版 第四章 §4.6 函数y=Asin(ωx+φ)
自主诊断
(4)如果 y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为 T，那么函数图象的相邻两个对称
中心之间的距离为T2.( √ )
自主诊断
2.(必修第一册 P254T10 改编)y＝2sin12x－π3的振幅、频率和初相分别为
A.2,4π，π3
B.2，41π，π3
跟踪训练 1 (1)已知曲线 C1：y＝cos x，C2：y＝sin2x＋3π，为了得到曲线 C2，则 对曲线 C1 的变换正确的是 A.先把横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向右平移π6个单位
长度
B.先把横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向左平移π6个单位 长度
设 Ax1，12，Bx2，12， 由|AB|＝π6可得 x2－x1＝π6， 由 sin x＝12可知， x＝π6＋2kπ 或 x＝56π＋2kπ，k∈Z， 由图可知，
ωx2＋φ－(ωx1＋φ)＝56π－π6＝23π， 即 ω(x2－x1)＝23π，所以 ω＝4. 所以f(x)＝sin(4x＋φ)，
第四章
§4.6 函数y＝Asin(ωx＋φ)
课标要求
1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义；能借助图象 理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响. 2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数 构建刻画事物周期变化的数学模型.
内容索引
第一部分 落实主干知识 第二部分 探究核心题型
课时精练
第一部分
落实主干知识
知识梳理
1.简谐运动的有关概念 已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0
振幅 A
人教版数学必修第一册期末复习：函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用课件
常见误区
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：
!
“左加右减，上加下减”．
(2)由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：
向左平移 个单位长度而非φ个单位长度．
典例剖析
考点 1 五点法作图及图象变换
[例1] 已知函数f(x)＝ 3 sin 2x＋2cos2x＋a，其最大值为2.
6
f(x)＝2sin [2(x+ ) + ]
2． (变问法) 在本例条件下，函数y＝2cos 2x的图象向右平移
________个单位得到y＝f(x)的图象．
6
6
由[例1]知f(x)＝2sin (2x+ ) ，
4
向右平移 个单位长度
y＝2cos 2x
y＝2sin(2x＋ )
6
y＝2sin 2x
2
3
11
12
π
6
2
π
3
2
2π
13
6
1
2
0
－2
0
1
[例1] 已知函数f(x)＝ 3 sin 2x＋2cos2x＋a，其最大值为2.
(2)画出f(x)在[0，π]上的图象．
画图如下．
变式探究
1．(变问法)若将本例中函数f(x)的图象向左平移 个单位长度，把
3
所有点的横坐标伸长到原来的二倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)
2
1
点的横坐标缩短到原来的 倍，然后向左平移 个单位长度，得到y＝g(x)的图
2
6
象．则以下结论正确的是(
《2024年具有周期系数的左定Sturm-Liouville问题的特征值不等式》范文
《具有周期系数的左定Sturm-Liouville问题的特征值不等式》篇一一、引言Sturm-Liouville问题作为数学物理领域的重要问题之一，其研究涉及到了特征值和特征函数的求解问题。
当Sturm-Liouville 问题中的系数具有周期性时，问题的求解变得更为复杂。
左定Sturm-Liouville问题（Left-Definite Sturm-Liouville Problem）的解法，特别是当其系数具有周期性时，对于解决许多实际问题具有重要意义。
本文将探讨具有周期系数的左定Sturm-Liouville问题的特征值不等式，并给出其解法。
二、问题描述考虑具有周期系数的左定Sturm-Liouville问题，其微分方程可以表示为：L[y] = λR[y]，其中L[y]和R[y]分别为具有周期系数的左、右侧项。
为了研究特征值的不等式，我们引入基本解函数以及周期函数的性质，为后续的特征值不等式推导奠定基础。
三、基本解函数与周期性在左定Sturm-Liouville问题中，基本解函数具有特定的性质。
当系数具有周期性时，这些基本解函数也表现出周期性。
这种周期性对于特征值不等式的推导至关重要。
我们将通过分析基本解函数的周期性，为后续的推导提供基础。
四、特征值不等式的推导基于基本解函数的周期性以及Sturm-Liouville问题的特性，我们可以推导出特征值的不等式。
具体来说，我们将分析微分方程在不同区间的解行为，并结合边界条件以及特征函数的正交性等性质，最终推导出特征值的不等式。
五、特征值不等式的性质与应用所推导出的特征值不等式具有一些重要的性质。
首先，它提供了特征值的一个上下界估计，这对于解决实际问题具有重要意义。
其次，该不等式还可以用于确定特征值的排列顺序和特征函数的性质。
此外，通过进一步的分析和推导，该不等式还可以应用于其他相关领域，如量子力学、热传导等。
六、结论本文研究了具有周期系数的左定Sturm-Liouville问题的特征值不等式。
2020高考文科数学(人教版)一轮复习讲义：第27讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质 含答案
第27讲 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象与性质1．会用“五点法”画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，理解A ，ω，φ的物理意义． 2．掌握函数y ＝A sin(ωx ＋φ)与y ＝sin x 图象间的变换关系．3．会由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象或图象性质特征求函数的解析式．知识梳理1．y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，x ∈[0，＋∞))的物理意义y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，x ∈[0，＋∞))表示一个振动量时，A 叫做 振幅 ，T ＝2πω叫做 周期 ，f ＝1T叫做 频率 ，ωx ＋φ叫做 相位 ，φ叫做 初相 .2．用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ) 的图象 (1)x －φω π－2φ2ω π－φω 3π－2φ2ω 2π－φω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π yA－A(2)3．用“变换法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象用“变换法”作y ＝A sin(ωx ＋φ) (A ＞0，ω＞0)的图象，有如下两种方案：1．由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移φω个单位长度(而非φ个单位长度)．2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z 确定；对称中心由ωx ＋φ＝k π，k ∈Z确定其横坐标．热身练习1．已知简谐运动f (x )＝2sin(π3x ＋φ)(|φ|<π2)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为(A)A ．T ＝6，φ＝π6B ．T ＝6，φ＝π3C ．T ＝6π，φ＝π6D ．T ＝6π，φ＝π3T ＝2ππ3＝6，图象过点(0,1)，所以1＝2sin φ，所以sin φ＝12，又|φ|<π2，所以φ＝π6.2．(2016·全国卷Ⅱ)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则(A)A ．y ＝2sin(2x －π6)B ．y ＝2sin(2x －π3)C ．y ＝2sin(x ＋π6)D ．y ＝2sin(x ＋π3)由图象知T 2＝π3－(－π6)＝π2，故T ＝π，因此ω＝2ππ＝2.又图象的一个最高点坐标为(π3，2)，所以A ＝2，且2×π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，故φ＝2k π－π6(k ∈Z )，结合选项可知y ＝2sin(2x －π6)．故选A.3．(2016·全国卷Ⅰ)将函数y ＝2sin(2x ＋π6)的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为(D)A ．y ＝2sin(2x ＋π4)B ．y ＝2sin(2x ＋π3)C ．y ＝2sin(2x －π4)D ．y ＝2sin(2x －π3)函数y ＝2sin(2x ＋π6)的周期为π，将函数y ＝2sin(2x ＋π6)的图象向右平移14个周期即π4个单位长度，所得图象对应的函数为y ＝2sin[2(x －π4)＋π6]＝2sin(2x －π3)，故选D.4．(2018·河北五校高三联考)把函数y ＝sin(2x －π6)的图象向左平移π6个单位后，所得函数图象的一条对称轴的方程为(B)A ．x ＝0B ．x ＝π6C ．x ＝－π12D ．x ＝π2函数y ＝sin(2x －π6)的图象向左平移π6个单位后得到的函数解析式为y ＝sin[2(x ＋π6)－π6]，即y ＝sin(2x ＋π6)，其对称轴方程满足2x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π2＋π6，k ∈Z .令k ＝0，得图象的一条对称轴方程为x ＝π6.5．已知函数f (x )＝2sin(2x －2π3)． (1)函数y ＝f (x )的图象的对称轴的方程为 x ＝7π12＋k π2(k ∈Z ) ；(2)函数y ＝f (x )的图象的对称中心的坐标为 (π3＋k π2，0)(k ∈Z ) .(1)y ＝f (x )的图象有无数条对称轴，其对称轴都经过它们的最高点或最低点且与x 轴垂直． 令2x －2π3＝π2＋k π(k ∈Z )，得x ＝7π12＋k π2(k ∈Z )，所以y ＝f (x )的图象的对称轴方程为x ＝7π12＋k π2(k ∈Z )．(2)y ＝f (x )的图象有无数个对称中心，它们分别为y ＝f (x )的图象与x 轴的交点， 令2x －2π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝π3＋k π2(k ∈Z )，所以它们的对称中心为(π3＋k π2，0)(k ∈Z )．“五点法”作图及图象的对称性已知函数y ＝sin 2x ＋3cos 2x .(1)求它的振幅、周期、初相及对称轴方程； (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象．(1)由原函数得y ＝2sin(2x ＋π3)，所以振幅A ＝2，周期T ＝2π2＝π，初相φ＝π3.令2x ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，得到对称轴方程为x ＝k π2＋π12，k ∈Z .(2)令X ＝2x ＋π3，列出下表：描出对应的五点，用光滑曲线连接各点，即得到所作出的图象如下图所示．(1)三角函数的作图的三个主要步骤：列表、描点、连线，关键是五个点的选取． (2)y ＝A sin(ωx ＋φ)有无数条对称轴，它们分别过图象的最高点和最低点．1．某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π x π3 5π6 A sin(ωx ＋φ)5－5(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为(5π12，0)，求θ的最小值．(1)由条件得⎩⎨⎧π3ω＋φ＝π2，5π6ω＋φ＝3π2，)解得ω＝2，φ＝－π6，又A ＝5，数据补全如下表：ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π x π12 π3 7π12 5π6 1312π A sin(ωx ＋φ)5－5且函数解析式为f (x )＝5sin(2x －π6)．(2)由(1)知 f (x )＝5sin(2x －π6)，则g (x )＝5sin(2x ＋2θ－π6)．因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z, 令2x ＋2θ－π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z .由于函数y ＝g (x )的图象关于点(5π12，0)成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z .由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.由图象求解析式及图象变换下图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R )在区间[－π6，5π6]上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变由图象知T ＝2πω＝π，所以ω＝2，A ＝1，由五点法作图可知2×(－π6)＋φ＝0，所以φ＝π3，所以y ＝sin(2x ＋π3)．y ＝sin x 向左平移π3个单位长度得到y ＝sin(x ＋π3)，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变．由此可知，应选A.A(1)由图象写解析式，要注意数形结合，要注意它和“五点法”作图的联系． (2)图象变换的两种途径：先相位变换后周期变换(先平移再伸缩)；先周期变换后相位变换(先伸缩再平移)．一般采用先平移再伸缩，要注意每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少．2．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)说明y ＝f (x )的图象可由y ＝sin 2x 通过怎样的变换得到．(1)由题设图象知，周期T ＝2(11π12－5π12)＝π，所以ω＝2πT＝2.因为点(5π12，0)在函数图象上，由五点法作图知，5π6＋φ＝k π＋π，又0<φ<π2，所以φ＝π6.又因为点(0,1)在函数图象上，所以A sin π6＝1，A ＝2，故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin(2x ＋π6)．(2)y ＝sin 2x 的图象――→向左平移π12个单位y ＝sin(2x ＋π6)的图象――→纵坐标变为原来的2倍y ＝2sin(2x ＋π6)的图象．三角函数性质的综合应用已知函数f (x )＝sin(ωx －π4)，其中ω>0.若函数f (x )的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3.(1)求函数f (x )的解析式；(2)求最小正实数m ，使得函数f (x )的图象向左平移m 个单位后所对应的函数是偶函数．(1)因为f (x )＝sin(ωx －π4)，依题意T 2＝π3.又T ＝2πω，故ω＝3，所以f (x )＝sin(3x －π4)．(2)(方法一)函数f (x )的图象向左平移m 个单位后所对应的函数为g (x )＝sin[3(x ＋m )－π4]．g (x )是偶函数当且仅当3m －π4＝k π＋π2(k ∈Z )，即m ＝k π3＋π4(k ∈Z )．从而，最小正实数m ＝π4.(方法二)函数f (x )的图象向左平移m 个单位后所对应的函数为g (x )＝sin[3(x ＋m )－π4]．g (x )是偶函数当且仅当g (－x )＝g (x )对x ∈R 恒成立， 亦即sin(－3x ＋3m －π4)＝sin(3x ＋3m －π4)对x ∈R 恒成立．所以sin(－3x )cos(3m －π4)＋cos(－3x )sin(3m －π4)＝sin 3x cos(3m －π4)＋cos 3x sin(3m －π4)，即2sin 3x cos(3m －π4)＝0对x ∈R 恒成立，所以cos(3m －π4)＝0，故3m －π4＝k π＋π2(k ∈Z )，所以m ＝k π3＋π4(k ∈Z )．从而，最小正实数m ＝π4.要善于利用f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象直观性地得到函数的性质，如：①图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为半周期；②两相邻的对称轴之间的距离为半周期；③对称中心都是它们的零点；④对称轴都经过它们的最高点或最低点，且与x 轴垂直等．3．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M (2π3，－2)．(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[π12，π2]时，求f (x )的值域．(1)由最低点为M (2π3，－2)得A ＝2.由x 轴上相邻两个交点之间的距离为π2，得T 2＝π2，即T ＝π，所以ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M (2π3，－2)在图象上得2sin(2×2π3＋φ)＝－2，即sin(4π3＋φ)＝－1，故4π3＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ，所以φ＝2k π－11π6，k ∈Z . 又φ∈(0，π2)，所以φ＝π6，故f (x )＝2sin(2x ＋π6)．(2)因为x ∈[π12，π2]，所以2x ＋π6∈[π3，7π6]．当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－1.故f (x )的值域为[－1,2]．1．五点法作图时要注意五个点的选取，一般是令ωx ＋φ取0，π2，π，3π2，2π，再算出相应的x值，然后列表描点作图．2．函数图象变换主要是平移变换与伸缩变换，要注意平移与伸缩的多少及方向，并注意变换的顺序．如先伸缩，再平移时，要把x 前面的系数提取出来．3．给出y ＝A sin(ωx ＋φ)型的图象，求它的解析式，常从寻找“五点法”中的第一个零点(－φω，0)作为突破口，要从图象的升降找准第一个零点的位置．要善于抓住特殊点和特殊量．4．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与x 轴的每一个交点均为其对称中心，经过图象上坐标为(x ，±A )且与x 轴垂直的直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期．。
【高中数学】课时跟踪检测(十三) 函数y=Asin(ωx+φ)的性质
课时跟踪检测（十三） 函数y=Asin(ωx+φ)的性质层级一 学业水平达标1．简谐运动y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫5x －π3的相位与初相是( ) A ．5x －π3，π3B ．5x －π3，4C ．5x －π3，－π3D ．4，π3解析：选C 相位是5x －π3，当x ＝0时的相位为初相即－π3.2．最大值为12，最小正周期为2π3，初相为π6的函数表达式是( )A ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6 B ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x 3－π6 C ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫3x －π6 D ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6 解析：选D 由最小正周期为2π3，排除A 、B ；由初相为π6，排除C. 3．函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象的一条对称轴是( ) A ．x ＝－π2B ．x ＝π2C ．x ＝－π6D ．x ＝π6解析：选C 由x －π3＝k π＋π2，k ∈Z ，解得x ＝k π＋5π6，k ∈Z ，令k ＝－1，得x ＝－π6.4．下列函数中，图象的一部分如图所示的是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫4x －π3 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 解析：选D 设y ＝A sin(ωx ＋φ)，显然A ＝1，又图象过点⎝⎛⎭⎫－π6，0，⎝⎛⎭⎫π12，1，所以⎩⎨⎧ω×⎝⎛⎭⎫－π6＋φ＝0，ω×π12＋φ＝π2.解得ω＝2，φ＝π3.所以函数解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6.5．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A ．关于直线x ＝π8对称B ．关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称 C ．关于直线x ＝π4对称D ．关于点⎝⎛⎭⎫π8，0对称解析：选A 依题意得T ＝2πω＝π，ω＝2，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，所以f ⎝⎛⎭⎫π8＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π8＋π4＝sin π2＝1，f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π4＋π4＝sin 3π4＝22，因此该函数的图象关于直线x ＝π8对称，不关于点⎝⎛⎭⎫π4，0和点⎝⎛⎭⎫π8，0对称，也不关于直线x ＝π4对称．故选A. 6．y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π3的振幅为________，周期为________，初相φ＝________. 解析：∵y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π3 ＝2sin ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫3x －π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋2π3， ∴A ＝2，ω＝3，φ＝2π3，∴T ＝2πω＝2π3. 答案：22π3 2π37.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________.解析：由题意设函数周期为T ， 则T 4＝2π3－π3＝π3，∴T ＝4π3. ∴ω＝2πT ＝32.答案：328．函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(A >0，ω>0)在一个周期内，当x ＝π12时，函数f (x )取得最大值2，当x ＝7π12时，函数f (x )取得最小值－2，则函数解析式为______________________． 解析：由题意可知A ＝2.T 2＝7π12－π12＝π2，∴T ＝π，∴2πω＝π，即ω＝2. ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.⎝⎭39．求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3图象的对称轴、对称中心． 解：令2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π12(k ∈Z)．令2x ＋π3＝k π，得x ＝k π2－π6(k ∈Z)．即对称轴为直线x ＝k π2＋π12(k ∈Z)，对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π6，0(k ∈Z)． 10．如图为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的一个周期内的图象．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )的最小正周期、频率、振幅、初相． 解：(1)由图，知A ＝2，T ＝7－(－1)＝8， ∴ω＝2πT ＝2π8＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋φ. 将点(－1,0)代入，得0＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋φ. ∵|φ|＜π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4.(2)由(1)，知f (x )的最小正周期为2ππ4＝8， 频率为18，振幅为2，初相为π4.层级二 应试能力达标1．设f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0)的定义域为R ，周期为2π3，初相为π6，值域为[－1,3]，则函数f (x )的解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6＋1 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6－1⎝⎭6D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π6＋1 解析：选A ∵－A ＋B ＝－1，A ＋B ＝3， ∴A ＝2，B ＝1， ∵T ＝2πω＝2π3，∴ω＝3，又φ＝π6，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6＋1. 2．函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(ω＞0，φ∈[0,2π))的部分图象如图，则f (2 017)＝( )A ．－1B ．1C ．12D ．－12解析：选B 由题图可知，T 4＝2，所以T ＝8，所以ω＝π4.由点(1,1)在函数图象上可得f (1)＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝1，所以π4＋φ＝2k π(k ∈Z)，所以φ＝2k π－π4(k ∈Z)，又φ∈[0,2π)，所以φ＝7π4.故f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π4x ＋7π4，f (2 017)＝cos ⎝⎛⎭⎫2 017π4＋7π4＝cos 506π＝cos(253×2π)＝1. 3．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈R ，若f (x )≥1，则x 的取值范围为( ) A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫xk π＋π3≤x ≤k π＋π，k ∈ZB ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 2k π＋π3≤x ≤2k π＋π，k ∈ZC ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫xk π＋π6≤x ≤k π＋5π6，k ∈ZD ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z解析：选B ∵f (x )≥1，即2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6≥1， ∴sin ⎝⎛⎭⎫x －π6≥12， ∴π6＋2k π≤x －π6≤5π6＋2k π，k ∈Z.解得π3＋2k π≤x ≤π＋2k π，k ∈Z.4．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ≠0，ω＞0，|φ|＜π2的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则( )A ．f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫0，12 B ．f (x )在⎣⎡⎦⎤5π12，2π3上是减函数 C ．f (x )的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫5π12，0 D ．f (x )的最大值是A解析：选C ∵周期T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2. 又∵f (x )的图象关于直线x ＝2π3对称， ∴2×2π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，又|φ|＜π2，∴φ＝π6.∴f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. ∴f (x )图象过点⎝⎛⎭⎫0，A 2. 又当x ＝5π12时，2x ＋π6＝π，即f ⎝⎛⎭⎫5π12＝0， ∴⎝⎛⎭⎫5π12，0是f (x )的一个对称中心．5．在函数y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋23π的图象与x 轴的交点中，离原点最近的交点坐标是________．解析：当y ＝0时，sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3＝0， ∴4x ＋2π3＝k π，k ∈Z ， ∴x ＝k 4π－π6，k ∈Z ，取k ＝0，则x ＝－π6，取k ＝1，则x ＝π12，∴离原点最近的交点坐标⎝⎛⎭⎫π12，0. 答案：⎝⎛⎭⎫π12，06．若函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω＞0)图象的对称轴中与y 轴距离最小的对称轴方程为x ＝π6，则实数ω的值为________．解析：令ωx ＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，得函数图象的对称轴方程为x ＝k ωπ＋π4ω，k ∈Z.根据题意得k ＝0，所以π4ω＝π6，解得ω＝32.答案：327．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ－π6＋1(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数f (x )的图象的两相邻对称轴间的距离为π2.(1)求f ⎝⎛⎭⎫π8的值；(2)将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )的单调递减区间．解：(1)∵f (x )为偶函数， ∴φ－π6＝k π＋π2(k ∈Z)，∴φ＝k π＋2π3(k ∈Z)．又0＜φ＜π，∴φ＝2π3， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2＋1＝2cos ωx ＋1. 又函数f (x )的图象的两相邻对称轴间的距离为π2，∴T ＝2πω＝2×π2， ∴ω＝2，∴f (x )＝2cos 2x ＋1， ∴f ⎝⎛⎭⎫π8＝2cos ⎝⎛⎭⎫2×π8＋1＝2＋1. (2)将f (x )的图象向右平移π6个单位长度后，得到函数f ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到f ⎝⎛⎭⎫x 4－π6的图象，所以g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x 4－π6＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x 4－π6＋1 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3＋1.当2k π≤x 2－π3≤2k π＋π(k ∈Z)，即4k π＋2π3≤x ≤4k π＋8π3(k ∈Z)时，g (x )单调递减．∴函数g (x )的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤4k π＋2π3，4k π＋8π3 (k ∈Z)．8．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的一段图象如图所示．(1)求f (x )的解析式；(2)把f (x )的图象向左至少平移多少个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？解：(1)A ＝3，2πω＝43⎝⎛⎭⎫4π－π4＝5π，ω＝25. 由f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫25x ＋φ过⎝⎛⎭⎫π4，0， 得sin ⎝⎛⎭⎫π10＋φ＝0，又|φ|<π2，故φ＝－π10， ∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫25x －π10. (2)由f (x ＋m )＝3sin ⎣⎡⎦⎤25(x ＋m )－π10＝ 3sin ⎝⎛⎭⎫25x ＋2m 5－π10为偶函数(m >0)， 知2m 5－π10＝k π＋π2，即m ＝52k π＋3π2，k ∈Z. ∵m >0，∴m min ＝3π2. 故把f (x )的图象向左至少平移3π2个单位长度，才能使得到的图象对应的函数是偶函数．高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
人教A版2012高三数学理全套解析一轮复习课件：3-4 函数yAsin(ωxφ)的图象及三角函数模型
第十四页，编辑于星期日：四点 七分。
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热点之一 五点法作图 用“五点法”作正、余弦函数的图象要抓住四点：(1)化为正 弦型 y＝Asin(ωx＋φ)或余弦型 y＝Acos(ωx＋φ)；(2)周期 T＝|2ωπ|； (3)振幅 A(A>0)⇒最大值 A 和最小值－A；(4)列出一个周期的五个 特殊点．
第二十二页，编辑于星期日：四点 七分。
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[例 2] 若将函数 y＝tan(ωx＋π4)(ω>0)的图象向右平移π6个单
位长度后，与函数 y＝tan(ωx＋π6)的图象重合，则 ω 的最小值为
()
1
1
1
1
A.6
B.4
C.3
D.2
[思路探究] 根据三角函数图象变换规律，写出变换后的函
2．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数 模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．
第二页，编辑于星期日：四点 七分。
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1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ)，(A>0，ω>0，x∈R)表示一个振动量时，A 叫做 振幅 ，T＝2ωπ叫做周期，f＝T1叫做频率，ωx＋φ 日：四点 七分。
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热点之二 三角函数的图象变换 (1)平移变换 ①沿 x 轴平移，按“左加右减”法则； ②沿 y 轴平移，按“上加下减”法则． (2)伸缩变换 ①沿 x 轴伸缩时，横坐标 x 伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)为原来 的ω1 倍(纵坐标 y 不变)； ②沿 y 轴伸缩时，纵坐标 y 伸长(A>1)或缩短(0<A<1)为原来 的 A 倍(横坐标 x 不变)．
第五章 位错和层错的电子衍射衬度分析-大学ppt
(3) 选取适当操作反射g, 求b
根据材料晶体结构，估计位错类型和可能的位
错反应，再参考表格的建议，选取满足g•b=0 的反射g，再按下述步骤进行测定．
位移矢量的测定
明场下观测到位错，拍下相应区域的像和衍射。 在衍射模式下，缓慢倾动样品，观测衍射斑点 的改变，当得到一个新的强衍射斑点时，停下 并回到像模式，检查所分析的位错是否消失， 如消失，此斑点即作为一个gh1k1l1，然后重复 前面的步骤得到另一个使位错消失的衍射 gh2k2l2．于是根据： gh1k1l1•b=0 gh2k2l2•b=0
的弯曲，同样是g•b=0条件成像刃位错因芯部有轻微弯曲而留 下残余衬度，纯螺位错则不会留下残余衬度。
(a)
(b)
图5-1 刃型, 螺型位错芯区附近的衍射平面的点阵几何 (a)刃位错芯处衍射平面有轻微弯曲; (b)螺位错芯处衍射平面无畸变
试验中要找到使刃型位错衬度完全消失的条件， 即同时满足g•b=0和g•b×u=0是困难的，通常只 要这种残余衬度不超过远离位错处的基体衬度的 10%，就可以认为衬度已”消失”。
第五章 位错和层错的电子 衍射衬度分析
5.1 位错柏氏矢量b的测定
5.1.1 判据的确立
g
i g
t
e2isz e2ig R dz
0
g：对衬度作出主要贡献的操作反射的倒易矢量； Ｒ：位错对完整晶体带来的位移矢量； 当g┴Ｒ时，g•R=0
g
i g
t exp 2iszdz
0
不完整晶体的运动学理论
性常数。
纯螺型位错g•be=g•b×u=0，所以 g•b=0就作为位错像衬度消失的判据。
表5-1 弹性各向同性材料中位错消像判据
刃位错
g•b=0 g•b×u=0
第六章 单元和形函数的构造
② H1 H2 H3 1
③ 结点参数ai不一定都具有结点场函数的物理意义.
6.5 wilson 单元
1 四结点单元不是二次多 项式
1
xy
1次(3)
x2 xy y 2 x3 x2 y xy2 y 3
2次(6) 3次(10)
4次(15)
x4 x3 y x2 y2 xy3 y 4
1
2
2
)
x1
x3
(1) (0)
x2
(1)
a1
1 , a2
2 , a3
3
1
2
2
H1 N1, H2 N 2, H3 N3
H1( )a1 H2 ( )a2 H3 ( )a3
3
H i ai i 1
①由一维H1到二在维, H单，2元增中加点一不点再及等形于函0数. N3，a3是解决“自动
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特 别 当 ＝Ｏ时 ， 义 的条 件 改写 为 定
Ｉ １ 。 －一 ｆ ａｆ （ 一 １ ｌ ｚ ｌ 一 ＜ ｝ ）
此 时称 厂 ｚ 是 Ｕ 上 的强 ａ次 殆 星形 函数． （）
在本 文 中 Ｕ 表示复 平面 Ｃ 上 的单位 圆盘 ， ＼ ０ 表示 除去 原点 的单 位 圆盘． 【 ｛） ，
定 设 ｅｏ）∈一 ，）∈ｏ） 义 ａ［１ｐ（号号 ， （１且 ，， ｃ ，，
厂 ｚ 一ｚ 。 。。 （ ） ＋ａ ｚ ＋口 ｚ ＋… ＋口 ＋ …是 单位 圆盘 Ｕ上 的解 析 函数．若 ”
Ｉ １ 一 。… 一 Ｉ 口 １＜ — Ｃ ０
则 称 ， ｚ 是 Ｕ 上 的强 ａ次 的殆 型 螺形 函数 ． （）
关 键 词 ： ａ次的 殆 ８ 螺 形 函数 ； 口次 殆 星形 函数 ； 叶 解析 函数 ； 强 型 强 单 系数 估 计 中圉 分 类 号 ： ７ ． １ Ｏ１４ ５ 文献 标 识 码 ： Ａ 文章 编 号 ：０ ６ ４ ０ （０ ０ ０ 一Ｏ ３ 一 Ｏ １０ － ７ ２ ２ １ ）６ Ｏ ８ ６
内容 ．
１ 一 些 引 理
为 了证 明本 文的 主要 定理 ， 建立 以下 引理． 需
收稿 日期 ： Ｏ Ｏ ５ ７ ２ ｌ —Ｏ 一Ｏ
作 者 简 介 ： 荣 华 （９ ５ ） 男， 东化 州人 ， 江 师 范 学 院数 学与 计 算 科 学 学院 学 生 蔡 １ ８一 ． 广 湛
（一 １２３ ） ” ，，… ．
引理 ２ 设 ｃ Ｏ １ ， ∈Ｕ． ｇ ｚ 一ｃ ＋ｂ ＋ｂ ＋… ＋６ｚ ＋ …是 Ｕ 上 的解析 函数 ， Ｉ（ ） Ｅ（ ，） ２ 若 （ ） ＋６ｚ ２ 。 ” 且 ｚＩ ｑ
＜ １ 则 ，
≤ Ｃ６ ｃ ｌｚ ，６ ＋ １２２ Ｉ＿ —ｚ ｌ － ｌ ６ ｃＩ ３ ＋ ￣ ｂ 十 ｌ ［
蔡 荣华 ， 小松 刘
（ 江 师 范 学院 数 学与 计 算科 学 学 院 ， 东 湛 江 ５ ４ ４ ） 湛 广 ２ ０ ８ 摘 要 ： 主要 研 究 复 平 面 Ｃ 中单位 圆盘 Ｕ 上 的 强 螺形 函数 子 族 的 第 三 项 和 第 四 项 系数 估 计 问题 ， 即主 要 研 究 强 口次 的 殆 型 螺 形 函数 争 强 次 殆 星 形 函数 的 第 三 项 和 第 四 项 系数 估 计 问 题． 得 结 果 推 广 了 已有 的一 些 结 论 ． 所
比较上述 等式 左右两 边 的系数 得
ｂ 一 ｃ （ － Ｃ ） １ ｏ１ 。 ， ｂ 一 一 ｃｂ ｃ ｃ （ － ｃ ） ２ 。１＋ ｌ １ ， （ ） １ （ ） ２
ｂ 一 － Ｃｂ Ｃ Ｃｂ ｃ Ｃ （ 一 Ｃ ） ３ ｏ２Ｄ ｌ１＋ ２ １ ．
（） ３
由（ ） ２ （ ） １ （ ） ３ 得
ｑ （ ） ｏ １ ＋ｃｚ ＋… ＋ ” …且 Ｉ０ ｚ ｌ １ ｚ ０ ｚ 一ｃ ＋ｃｚ ２ 。 ＋ ｑ （ ） ＜ ， ∈Ｕ， 又因 ｑ ｚ － ｃ ０ ｚ ｚ ｌ ｃ（ ）］故有 （ ） ￣ｑ （ ） ￣ － ｑ ｚ － ，
（０ １ ＋ｃ ＋ …＋ｃｚ ＋…） Ｅ －ｃ ｃ １ ＋ｂｚ ＋ ２ ＋ … ＋６ ＋… ） ． ｆ＋ｃｚ ２ ” ｚ １ （ ＋ｂｚ ２ 。 。 ” ］
在单 复变 函数 中 ， 关于单 叶解 析 函数族 的 系数估计 ， 如下著 名 的 Ｂｅ ｅｂ ｃ 想 （ ｄ Ｂ ａ ｇ 有 ｉｂ ｒ ａｈ猜 即 ｅ ｒｎ ｅ定理 ） ．
定理 Ａ（ ｅ ｒｎ ｅ ｄ Ｂ ａ ｇ 定理 ） ［ 若 ｆ ｚ 一ｚ 。 。 。 （ ） ＋ｎ ＋口 ＋… ＋口
则 ｆ ≤ ’ ＝２ ３ …． ａｆ ｌ ， ，，
一 …是单位 圆盘 Ｕ 上 的单 叶解析 函数 ，
强螺形 函数及 其 子族 是 单复 变几 何 函数 论 的一类重 要 的函数 ， 同时也是 单 叶解析 函数族 的子 类． 究它 研 们 的系数估 计很有 意义 ． 这方 面 的内容 见参考 文献 ［ — ９ ． １ ］
本文 通过构 造具 体的 函数 ， 利用单 复 变几何 函数论 中已有知识 得 到 了复平 面 Ｃ中单 位 圆盘 【 上 的强螺 ， 形 函数子族 － 一 厂 ） ＋ｎ ｚ ＋ａ ｚ ＋ …＋ｎ２ ＋… 的第 三项 、 四项 系 数 的估 计 ， 中 第三 顶 的 系数 估计 对 （ 。 。。 ” 第 其 于某 些 Ｃ Ｃ ｔ 是精 确 的． 们是单 复 变几何 函数论 中已有结论 的推 广 ， 富和深化 了单 复变 几何 函数论 的相关 ， 它 丰
２１ ０ ０年 １ ２月
湛江师 范学 院学报
Ｊ ＯＵ ＲＮＡＬ Ｈ ＡＮＪ ＡＮＧ ｏＦ Ｚ Ｉ Ｎ０ＲＭ ＡＬ ＣＯＬＬ ＥＧＥ
Ｄｅ ．， ０１ ｅ ２ ０
第３ １卷 第 ６ 期
Ｖ０ ． ＮＯ １ ３１ ．６
强螺 形 函数 子族 的第 三项 和 第 四项 系数 估 计
证 明 定义 ｑ （ ） ０ 一 丁 Ｃ ｑｚ － （）
ｂ ｚ ｂ ｚ ＋ ｌ＋ ｚ。 ＋ … ＋ ６ｚ ＋ … 一 ”
＿ Ｉ ｃ ． ｚｂ ｌ Ｉ ｚ
， ＥＵ． ｓ ｈ ｒ 引理 知 ｑ （ ） 己 上 的解 析 函数 ， 可设 ｚ 由 ｃ ｗａｚ 。ｚ是 ， 故
一再 ｌ ｂ
，
（） ４
＊ 通讯 作 者 ．ຫໍສະໝຸດ 第 ６期 蔡 荣华 等 ： 螺形 函数 子族 的第 三项 和第 四项 系数估 计 强
３ ９
引 理 １ 若 ｑ ｚ ＝ Ｃ ＋Ｃ ２ ２ ＋ … 十 Ｃｚ ＋ …是 Ｕ 上 的 解 析 函 效 且 ｌ ｚ ＜ ｌ 则 ｆ Ｉ １ ｌＯ ‘ ｕ （ ） ＝ ｏ ｌ 十ｃ ＝ “ ）ｌ ， ≤ 一 ｑ（ Ｃ Ｃｌ