考点28 空间中的平行关系与垂直关系 --2018高考冲刺
空间几何的平行与垂直关系知识点总结
空间几何的平行与垂直关系知识点总结空间几何是研究点、线、面等几何形体在空间中的相互关系和特性的学科。
在空间几何中,平行和垂直是两种重要的关系。
本文将总结空间几何中的平行与垂直关系的知识点。
一、平行关系平行是指两条直线或两个平面在空间中永远不会相交的关系。
平行关系在日常生活和工程建设中经常被应用到。
1. 平行关系的性质- 平行线与同一平面内的直线交线的两个内角是同位角,即两个内角之和等于180度。
- 平行线与同一平面外的直线交线的两个内角也是同位角,同位角性质适用于平行于同一平面内的两条直线。
2. 判定平行关系的方法- 平行线的判定:如果两条直线上有一点与第三条直线上的两个点重合,并且这两条直线分别与第三条直线平行,则这两条直线是平行线。
- 平行面的判定:如果两个平面上有一条直线与第三个平面上的两条直线重合,并且这两个平面分别与第三个平面平行,则这两个平面是平行面。
3. 平行线的性质- 平行线投影性质:平行于同一平面内的两条直线的等角投影相等。
- 平行线的方向性:平行线有确定的方向,可以延长或缩短,但方向不会改变。
二、垂直关系垂直是指两条直线或两个平面相交成直角的关系。
垂直关系在几何学、建筑学和物理学中都有广泛应用。
1. 垂直关系的性质- 垂直关系性质一:两个直角相等。
- 垂直关系性质二:两个互相垂直的直线或两个互相垂直的平面,其中一个与第三个垂直,则它们与第三个也是垂直关系。
- 垂直关系性质三:垂直于同一面的直线与该面的交线垂直。
2. 判定垂直关系的方法- 判定直线垂直关系的方法:如果两条直线上有一点与第三条直线上的两个点重合,并且这两条直线分别与第三条直线垂直,则这两条直线是垂直的。
- 判定面垂直关系的方法:如果两个平面上有一条直线与第三个平面上的两条直线相交成直角,并且这两个平面分别与第三个平面垂直,则这两个平面是垂直的。
三、平行和垂直关系的应用平行和垂直关系在日常生活和工程建设中具有广泛的应用。
空间中的平行与垂直例题和知识点总结
空间中的平行与垂直例题和知识点总结在立体几何的学习中,空间中的平行与垂直关系是非常重要的内容。
理解和掌握这些关系,对于解决相关的几何问题具有关键作用。
下面我们通过一些例题来深入探讨,并对相关知识点进行总结。
一、平行关系(一)线线平行1、定义:如果两条直线在同一平面内没有公共点,则这两条直线平行。
2、判定定理:如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行。
例 1:在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中,E,F 分别是 AB,BC 的中点,求证:EF∥A₁C₁。
证明:连接 AC,因为 E,F 分别是 AB,BC 的中点,所以 EF∥AC。
又因为正方体中,AC∥A₁C₁,所以 EF∥A₁C₁。
(二)线面平行1、定义:如果一条直线与一个平面没有公共点,则称这条直线与这个平面平行。
2、判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。
例 2:已知四棱锥 P ABCD 的底面是平行四边形,M 是 PC 的中点,求证:PA∥平面 MBD。
证明:连接 AC 交 BD 于 O,连接 MO。
因为四边形 ABCD 是平行四边形,所以 O 是 AC 的中点。
又因为 M 是 PC 的中点,所以MO∥PA。
因为 MO⊂平面 MBD,PA⊄平面 MBD,所以 PA∥平面MBD。
(三)面面平行1、定义:如果两个平面没有公共点,则称这两个平面平行。
2、判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。
例 3:在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中,求证:平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。
证明:因为 A₁B∥D₁C,A₁D∥B₁C,且 A₁B 和 A₁D 是平面A₁BD 内的两条相交直线,D₁C 和 B₁C 是平面 B₁D₁C 内的两条相交直线,所以平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。
二、垂直关系(一)线线垂直1、定义:如果两条直线所成的角为 90°,则这两条直线垂直。
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空间中的平行与垂直关系知识点总结及真题训练【知识图解】【知识梳理】一、平行1、平行公理2、构造三角形:3、构造平行四边形:4、线面平行性质:5、面面平行性质:6、线面平行判定:7、面面平行的性质:8、面面平行的判定1:9、面面平行的判定2:【典型例题】例1、正方体ABCD_A、B\GD\屮,E,F分别是的屮点,求ffi: EF〃面ABCD.变式:如图,两个全等的正方形ABCD和M3EF所在的平面相交于AB, M eAC, Nw FB 且AM = FN,求证:MN〃平面BCE.例2、如图,以垂直于矩形ABCD所在的平面,PA=AD f E、F分别是AB、PD 的中点。
(1)求证:AF〃平面PCE;*(2)求证:平面PCE丄平面PCD。
/ \\(1) 求证:BC 】//平面CAD(2) 求证:平面CAJ)丄平面AAiBiBo例3、浙江理20.(本题满分15分)如图,平面PAC 丄平面ABC, \ABCPB, AC 的中点,AC = 16, PA = PC = 10.(I) 设G 是0C 的中点,证明:FG//平面BOE ;(II) 证明:在AABO 内存在一点M ,使FM 丄平面BOE, 并求点M 到Q4, 03的距离.练习:1、(浙江卷文)(本题满分14分)如图,DC 丄平面ABC , EB//DCAC = BC = EB = 2DC = 2 , ZACB = 120 ,只Q 分别为AE.AB 的中点.(I )证明:PQII 平面ACD ; (II )求AD 与平面ABE Wr 成角的.正弦值.2、如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1屮,AC=BC,点D 是AB 的屮点。
是以4C 为斜边的等腰直角三角形,匕£0分别为必,(第20(2) 求二面角B-FC!-C 的余眩值。
. Ei D L-.-.♦ E / ■<C 3、如图,在四面体ABCD 中,截而EFGH 是平行四边形•求证:AB 〃平面EFGH.安徽理(19)如图,圆锥定点为P,底面圆心为O,其母线与底而所成的角为22.5°, AB 和 CD 是底面圆0上的两条平行的弦,轴OP 与平面PCD 所成的角为60°-(1) 证明:平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面;(2) 求 cosZCOD4、点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点,E,F 分别是PA,BD 上的点,且 PE:EA=BF ・・FD,求证:EF//面PBC.5、(山东卷理)(本小题满分12分)如图,在直四棱柱ABCD ・A]B]C]D]中,底面ABCD 为等腰梯形,AB//CD, AB=4, BC=CD=2, AA )=2, E 、E“ F 分别是棱 AD 、AA 【、AB 的中点。
空间几何学中的平行与垂直关系
空间几何学中的平行与垂直关系空间几何学是研究空间中点、线、面等几何对象的性质和关系的数学学科。
在空间几何学中,平行和垂直是两个基本的关系,它们在我们日常生活和工作中起着重要的作用。
本文将深入探讨空间几何学中的平行与垂直关系,包括定义、性质以及应用。
一、平行关系在空间几何学中,平行是指两条直线或两个平面永远不相交的关系。
具体来说,若两条直线在同一个平面内,且这两条直线上的任意两点的连线都在这个平面内,那么这两条直线是平行的。
同样地,若两个平面没有公共点,且它们上面的任意两点的连线都在这两个平面内,那么这两个平面是平行的。
平行关系具有以下性质:1. 平行关系是对称的。
如果直线l1与l2平行,那么l2与l1也平行;如果平面P1与P2平行,那么P2与P1也平行。
2. 平行关系是传递的。
如果直线l1与l2平行,l2与l3平行,那么l1与l3也平行;如果平面P1与P2平行,P2与P3平行,那么P1与P3也平行。
3. 平行关系与直线与平面的位置无关。
即使两条直线或两个平面不在同一个平面内,只要满足平行关系的定义,它们仍然是平行的。
平行关系在实际生活和工作中有着广泛的应用。
例如,在建筑设计中,平行的墙面可以增加空间的稳定性和美观性;在交通规划中,平行的道路可以提高交通效率;在物流运输中,平行的轨道可以确保车辆的安全行驶等。
二、垂直关系在空间几何学中,垂直是指两条直线或两个平面相交成直角的关系。
具体来说,若两条直线在同一个平面内相交,且相交的角度为90度,那么这两条直线是垂直的。
同样地,若两个平面相交成直角,那么这两个平面是垂直的。
垂直关系具有以下性质:1. 垂直关系是对称的。
如果直线l1与l2垂直,那么l2与l1也垂直;如果平面P1与P2垂直,那么P2与P1也垂直。
2. 垂直关系是传递的。
如果直线l1与l2垂直,l2与l3垂直,那么l1与l3也垂直;如果平面P1与P2垂直,P2与P3垂直,那么P1与P3也垂直。
认识简单的空间几何平行与垂直的关系
认识简单的空间几何平行与垂直的关系平行与垂直是空间几何中常见的两种关系,它们在许多领域都有重要应用,包括建筑设计、工程测量、物体运动的研究等。
本文将介绍简单的空间几何中平行与垂直的概念及其相关性质,并通过实际例子加深理解。
一、平行的定义与性质在空间几何中,我们将两条直线或两个平面称为平行,当且仅当它们不相交,且永远保持相同的距离。
具体而言,对于两条直线l和m,如果它们在同一平面内,且没有交点,我们说l与m平行;对于两个平面α和β,如果它们没有交线,我们说α与β平行。
平行的性质如下:1. 平行线与平行线之间的距离在任意两点处相等;同理,平行平面与平行平面之间的距离也相等。
示例1:在一个矩形的平面上,有一条直线l与矩形的一条边平行,那么l与矩形的另一条边也平行。
2. 若一条直线与平行于它的直线相交,则两直线之间的夹角等于对应的内错角。
示例2:设有两条平行线l和m,l与m的夹角为θ,则与l平行且与m相交的另一条线n与l的夹角也为θ。
3. 若两个平面分别与第三个平面平行,则它们之间的夹角等于对应的内错角。
示例3:三个平面α、β和γ,其中α与β平行,β与γ平行,那么α与γ之间的夹角等于α与β之间的夹角。
二、垂直的定义与性质在空间几何中,两个直线或两个平面相互垂直,当且仅当它们的夹角为90度。
直线与平面相互垂直的情况,也包括直线在平面内垂直和直线与平面相交垂直两种情况。
垂直的性质如下:1. 两条平行线与同一直线相交,在相交点处的垂直线也是平行线。
示例4:设有两条平行线l和m,直线n与l相交于点A,那么n与m的交点与A之间的线段也是垂直于l和m的。
2. 两条直线垂直于同一平面,在该平面上的交线也是垂直于该平面。
示例5:在一个平面上,有一条直线l垂直于平面,直线m也垂直于该平面,那么m与l在平面上的交线也是垂直于该平面。
3. 若两个平面互相垂直,则它们的交线为直线,并且该直线垂直于这两个平面。
示例6:平面α与平面β垂直,平面β与平面γ垂直,那么平面α与平面γ的交线即为一条垂直于平面α和平面γ的直线。
空间几何中的平行与垂直关系
空间几何中的平行与垂直关系平行与垂直关系是空间几何中非常重要的概念,它们在解决平面或立体几何问题时经常被用到。
在本文中,我将介绍平行和垂直的定义和性质,并探讨它们在几何学中的应用。
一、平行关系在空间几何中,当两条线或两个平面没有交点且始终保持相同的距离时,我们称它们是平行的。
换句话说,平行线永远不会相交,平行面之间也永远不会相交。
我们可以使用以下方法来判断线或面是否平行:1. 如果两条线被一条平面所截,且截得的两对同位角相等,则这两条线平行。
2. 如果两个平面被一条直线所截,且截得的两对同位角相等,则这两个平面平行。
平行关系常常在解决与直线、多边形和多面体相关的问题时被应用。
比如,在建筑设计中,设计师常常需要确定两面墙是否平行,以便确保建筑结构的稳定。
在制图学中,要绘制平行线的效果,可以应用平行规或平行尺等工具辅助。
二、垂直关系与平行关系相反,垂直关系指的是两条线、两个平面或两个立体之间相互间的直角关系。
当两条线或两个平面的夹角大小为90度时,它们被认为是垂直的。
同样地,如果两个立体之间的相邻平面的交线是垂直的,则我们称这两个立体是垂直的。
判断垂直关系的方法有:1. 如果两条直线相交,并且相交的四个角中有两个角是直角,则这两条直线是垂直的。
2. 如果两个平面相交,并且相交的交线与两个平面各自的法线垂直,则这两个平面是垂直的。
垂直关系在几何学中有广泛的应用。
在建筑学中,垂直关系被用来确保墙壁与地面之间的角度为直角,以提供良好的结构支持。
在三维计算机图形学中,垂直关系可以用来进行透视变换,使得图像更加逼真。
三、平行和垂直的性质在空间几何中,平行和垂直具有一些重要性质,这些性质可以帮助我们解决几何问题。
1. 如果一条直线与两条平行线相交,则与这两条平行线的交线上的对应角是相等的。
2. 如果两条线分别与第三条线平行,则它们之间的对应角是相等的。
3. 判断两个平面是否垂直的方法之一,是计算它们的法向量之间的夹角。
空间的平行与垂直关系(思维导图)高考资料高考复习资料中考资料
面面平行 面面垂直
平行与垂直的相互转化关系 1
平行
线线平行
线面平行
平几知识 垂直
线线垂直
线面垂直
三垂线定理及逆定理
射影
注:虚线部分为考试大纲中不要求的部分!
面面平行
面面垂直 斜线段定理
自信是迈向成功的第一步
你永远是最棒的
空间的平行与垂直关系
高二数学ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ上
知识结构
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平行与垂直相互转化关系 3
平行
平几知识
垂直
线线平行 线线平行 线面平行 面面平行 线线线线垂垂直直
线面平行 线面垂直
面面平行 面面垂直
平行与垂直相互转化关系 2
平行
平几知识
垂直
线线平行 线线平行 线面平行 面面平行 线线线线垂垂直直
线面平行 线面垂直
空间几何中的平行与垂直关系
空间几何中的平行与垂直关系空间几何是研究空间中点、线、面及其相关性质和关系的数学学科。
在空间几何中,平行和垂直是两个基本的关系。
本文将介绍平行和垂直的概念、性质以及它们在空间几何中的应用。
一、平行关系平行是指两条直线或两个面永远不会相交的关系。
在空间几何中,我们可以通过以下方式判断两条直线是否平行:1. 直线的斜率相等:如果两条直线的斜率相等,那么它们是平行的。
这是因为两条直线的斜率相等,意味着它们的倾斜角度相同,在空间中永远不会相交。
2. 直线的方向向量平行:如果两条直线的方向向量平行,那么它们是平行的。
我们可以通过计算两条直线的方向向量,并判断它们是否平行。
3. 直线的截距比相等:如果两条直线的截距比相等,那么它们是平行的。
我们可以通过计算两条直线的截距比,并判断它们是否相等。
平行的性质:1. 平行具有传递性:如果直线l1与直线l2平行,直线l2与直线l3平行,那么直线l1与直线l3平行。
2. 平行具有对称性:如果直线l1与直线l2平行,那么直线l2与直线l1平行。
平行的应用:1. 平行线在平面图形中的应用:平行线在平面图形中有着重要的应用,如矩形、平行四边形等。
在这些图形中,平行线的存在使得我们可以推导出图形的性质和定理。
2. 平行线在建筑设计中的应用:建筑设计中常常需要使用平行线来确定建筑物的边界、墙壁等。
二、垂直关系垂直是指两条直线或两个面之间存在直角的关系。
在空间几何中,我们可以通过以下方式判断两条直线是否垂直:1. 直线斜率之积为-1:如果两条直线的斜率之积为-1,那么它们是垂直的。
这是因为两条直线的斜率之积为-1,意味着它们相互垂直。
2. 直线的方向向量垂直:如果两条直线的方向向量垂直,那么它们是垂直的。
我们可以通过计算两条直线的方向向量,并判断它们是否垂直。
3. 直线的斜率之和为0:如果两条直线的斜率之和为0,那么它们是垂直的。
这是因为两条直线的斜率之和为0,意味着它们相互垂直。
空间几何中的平行与垂直关系
空间几何中的平行与垂直关系在空间几何中,平行和垂直关系是两个基本的概念,它们在我们的日常生活和数学应用中扮演着重要角色。
本文将探讨空间几何中的平行和垂直关系,并介绍其定义、特性以及相关的应用。
一、平行关系在空间几何中,平行关系是指两条直线或两个平面永远不相交。
如果我们将其数学表达,可以用以下方式表示:定义1:设直线l和m都在同一个平面内,如果l和m上的任意两点A和B的连线AB与l上的另一点C所在的直线相交,那么l与m平行,记作l ∥ m。
定义2:设平面α和β,如果平面α上任意一条直线与平面β上的任意一条直线所确定的两个轴线互相平行,那么平面α和平面β平行,记作α∥β。
平行关系具有以下特性:性质1:如果两条直线平行,则它们的任意一对相交线段的比值都相等。
性质2:如果一个平面与两个平行平面相交,则它们的任意一对相交线段的比值都相等。
性质3:如果两条直线分别与一组平行直线相交,那么它们的对应角相等。
段平行、平面平行以及平面与线段平行的基本依据。
在工程学和建筑学中,平行关系用于设计和绘图中的垂直标尺、平行线、平行导板等。
此外,在计算机图形学、地理学和导航系统等领域,平行关系也扮演着重要的角色。
二、垂直关系垂直关系是指两条直线或两个平面之间的关系,其中一条直线或一个平面与另一条直线或另一个平面的法线垂直。
我们可以用以下方式表示垂直关系:定义3:设直线l和m在同一个平面内,如果l和m上的任意一对相交直线的法线互相垂直,那么l与m垂直,记作l ⊥ m。
定义4:设平面α和β,如果平面α上的任意一条直线与平面β上的任意一条直线的法线互相垂直,那么平面α和平面β垂直,记作α⊥β。
垂直关系具有以下特性:性质4:如果两条直线垂直,则它们的任意一对相交角互为直角。
性质5:如果一个直线与一个平面垂直,则该直线上的任意一条边与该平面上任意一条边所确定的两个角互为直角。
性质6:如果两个平面垂直,则它们的任意一对相交线互为直角。
空间几何中的平行与垂直关系
空间几何中的平行与垂直关系在空间几何中,平行与垂直关系是两种重要的几何关系。
它们在解决几何问题、计算坐标和推导定理等方面起着至关重要的作用。
通过研究平行和垂直关系,我们可以更好地理解空间中的几何性质,并应用于实际问题的求解。
1. 平行关系平行关系是指两条或多条直线在空间中永远不会相交。
在平行线之间不存在任何交点,它们的方向相同或者互为反向。
为了表示平行关系,我们可以使用"//"符号,如AB // CD。
在三维空间中,平行关系的判断可以通过以下方法确定:- 斜率法:对于两条直线L1和L2,如果它们的斜率相等,则L1与L2平行。
具体计算时,我们可以求两条直线上某一点的斜率,如果斜率相等,则可以判断它们是平行的。
- 向量法:如果两条直线的方向向量是平行的,则它们是平行的。
我们可以通过求取两条直线的方向向量,然后比较它们是否平行来判断平行关系。
平行关系的性质:- 平行线具有相同的斜率。
- 平行线之间的距离是恒定的,任意两点到另一条直线的距离相等。
- 平行线与平面的交线是平行的。
2. 垂直关系垂直关系是指两条直线或直线与平面的交线之间的关系。
在垂直关系中,直线或直线段与垂直交线之间的夹角为90度。
在三维空间中,判断垂直关系的方法有:- 向量法:如果两条直线的方向向量相互垂直,则它们是垂直的。
通过计算两条直线的方向向量,然后判断它们是否相互垂直。
- 斜率法:如果两条直线的斜率的乘积为-1,则它们是垂直的。
具体计算时,我们可以求两条直线上某一点的斜率,然后计算斜率的乘积,如果结果为-1,则可以判断它们是垂直的。
垂直关系的性质:- 垂直关系是相互垂直的直线或者直线与平面之间的关系。
在直角坐标系中,垂直关系可以表示为两直线斜率的乘积为-1。
- 垂直交线之间的夹角为90度。
- 垂直关系通常用于解决与直角、垂直性质相关的问题,例如计算两直线之间的距离、垂直偏移等。
总结:在空间几何中,平行与垂直关系是两种重要的几何关系。
2018年高考数学(理)二轮重点强化复习课件第9讲 空间中的平行与垂直关系
空间中的平行与垂直关系
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题型 1 题型 2 三年真题
空间位置关系的判断与证明 平面图形的翻折问题 验收复习效果
专题限时集训
题型 1空间位置关系的判断与
证明
■核心知识储备………………………………………………………………………· 1.直线、平面平行的判定及其性质 (1)线面平行的判定定理:a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α. (2)线面平行的性质定理:a∥α,a⊂β,α∩β=b⇒a∥b. (3)面面平行的判定定理:a⊂β,b⊂β,a∩b=P,a∥α,b∥α⇒α∥β. (4)面面平行的性质定理:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b.
[类题通法]
平行关系及垂直关系的转化
空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化,即通过判定定理、性质定理将 线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化.
■对点即时训练………………………………………………………………………· 如图92所示,四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,侧面PAD⊥底面 2 ABCD,且PA=PD= 2 AD= 2.
2.直线、平面垂直的判定及其性质 (1)线面垂直的判定定理:m⊂α,n⊂α,m∩n=P,l⊥m,l⊥n⇒l⊥α. (2)线面垂直的性质定理:a⊥α,b⊥α⇒a∥b. (3)面面垂直的判定定理:a⊂β,a⊥α⇒α⊥β. (4)面面垂直的性质定理:α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l⇒a⊥β.
ห้องสมุดไป่ตู้
■典题试解寻法………………………………………………………………………· 【典题1】 (考查空间位置关系的判断)已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥ 平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则( A.α∥β且l∥α B.α⊥β且l⊥β C.α与β相交,且交线垂直于l D.α与β相交,且交线平行于l )
空间几何中的平行与垂直关系
空间几何中的平行与垂直关系在空间几何中,平行与垂直是两种重要的关系。
它们的性质和应用广泛存在于数学、物理学、工程学等领域。
本文将介绍平行和垂直的定义、性质以及相关的定理,以帮助读者更好地理解和应用这些概念。
一、平行关系1. 定义在空间几何中,平行是指两个或多个直线或平面在同一平面内没有任何交点的特殊关系。
我们可以用符号 "∥" 表示平行关系。
例如,在平面α上有两条直线l和m,如果l ∥ m,则说明直线l和m在平面α上没有交点。
2. 性质平行的直线具有以下性质:- 平行线与同一平面内的第三条直线的相交角相等。
- 平行线与平行线之间的距离在任意两点处相等。
平行的平面具有以下性质:- 平行平面之间没有任何交点。
- 平行平面内的直线与另一平面的交线与平行平面平行。
3. 平行的判定方法判定两条直线是否平行可以采用以下方法:- 垂直判定法:如果两条线分别与同一直线的两条垂线垂直,则这两条线是平行的。
- 夹角判定法:如果两直线与另一直线的夹角相等或互补,则这两条直线是平行的。
二、垂直关系1. 定义在空间几何中,垂直是指两个直线或者平面之间的交角等于90度的特殊关系。
我们可以用符号"⊥" 表示垂直关系。
例如,在平面β上,如果一条直线l与平面β内另一条直线m垂直,则可以表示为 l ⊥ m。
2. 性质垂直关系具有以下性质:- 垂直于同一直线的两条直线平行。
- 如果两个平面相互垂直,则由这两个平面确定的直线与任一平面相交的直线垂直。
3. 垂直的判定方法判定两条直线是否垂直可以采用以下方法:- 两直线斜率之积为 -1,则这两条直线是垂直的。
- 如果两直线的斜率都不存在(即两直线都是垂直于x轴或y轴的),则这两条直线是垂直的。
三、平行与垂直之间的关系平行和垂直的关系是互补的。
具体而言,两条直线或平面如果既不平行也不垂直,则称它们为斜交。
在空间几何中,有一些重要的定理与平行和垂直关系有关。
空间几何的平行与垂直关系知识点总结
空间几何的平行与垂直关系知识点总结在空间几何中,平行与垂直关系是非常重要的概念,它们贯穿于整个几何学习的始终。
理解和掌握这些关系对于解决空间几何问题至关重要。
下面,我们就来详细总结一下空间几何中平行与垂直关系的相关知识点。
一、线线平行1、平行线的定义在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。
2、线线平行的判定定理(1)同位角相等,两直线平行。
(2)内错角相等,两直线平行。
(3)同旁内角互补,两直线平行。
3、线线平行的性质定理(1)两直线平行,同位角相等。
(2)两直线平行,内错角相等。
(3)两直线平行,同旁内角互补。
4、空间中直线平行的传递性如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。
二、线面平行1、线面平行的定义如果一条直线与一个平面没有公共点,那么这条直线与这个平面平行。
2、线面平行的判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行。
3、线面平行的性质定理如果一条直线与一个平面平行,经过这条直线的平面与这个平面相交,那么这条直线与交线平行。
三、面面平行1、面面平行的定义如果两个平面没有公共点,那么这两个平面平行。
2、面面平行的判定定理(1)如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行。
(2)如果两个平面都平行于同一条直线,那么这两个平面平行。
3、面面平行的性质定理(1)如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面。
(2)如果两个平行平面都和第三个平面相交,那么它们的交线平行。
四、线线垂直1、线线垂直的定义如果两条直线所成的角为直角,那么这两条直线互相垂直。
2、线线垂直的判定定理(1)如果一条直线垂直于一个平面,那么这条直线垂直于平面内的任意一条直线。
(2)如果两条平行线中的一条垂直于一条直线,那么另一条也垂直于这条直线。
五、线面垂直1、线面垂直的定义如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直,那么这条直线与这个平面垂直。
空间几何中的平行与垂直关系
空间几何中的平行与垂直关系在空间几何中,平行与垂直是非常重要的概念和关系。
它们在数学中具有着丰富的内容和应用。
本文将介绍空间几何中平行与垂直的定义、性质以及相关定理,旨在帮助读者更好地理解和应用这些概念。
一、平行的定义与性质在空间几何中,平行线是指在同一个平面内永远不会相交的直线。
根据平行线与平面的关系,我们可以得到如下定义和性质:1. 定义一:两条直线L₁和L₂平行,记作L₁∥ L₂,当且仅当它们在同一个平面上且不相交。
2. 定义二:如果两条直线分别与第三条直线相交,在相交点两侧所成的内角互补,则这两条直线是平行的。
平行线的性质也有一些值得注意的地方:1. 性质一:通过同一点外一直线上的两个角互补,则这两条直线是平行的。
2. 性质二:如果一条直线与两条平行线相交,那么它将与这两条平行线之间的内角、外角互补。
3. 性质三:如果两条直线分别与第三条直线平行,那么这两条直线也是平行的。
二、垂直的定义与性质垂直是空间几何中另一个重要的关系,它指的是两条直线或者一个直线与一个平面之间的相互垂直关系。
下面是垂直关系的定义和性质:1. 定义一:两条直线L₁和L₂垂直,记作L₁⊥ L₂,当且仅当它们的内角互补为直角(90度)。
2. 定义二:一条直线和一个平面垂直,当且仅当它与该平面内的任意一条直线相交时,所成的内角为直角(90度)。
垂直关系也有一些性质需要了解:1. 性质一:两条互相垂直的直线在相交点两侧所成的内角是直角。
2. 性质二:如果一条直线垂直于两条相互平行的直线,那么它同时与这两条直线垂直。
3. 性质三:如果两条直线相互垂直于同一条直线,那么这两条直线平行。
三、平行与垂直的相关定理除了上述基本定义和性质之外,还存在一些关于平行与垂直的重要定理,值得进一步探讨。
1. 平行线的判定定理:如果两条直线分别与同一条直线平行,那么这两条直线也是平行的。
2. 平行线的性质定理:如果两条直线平行,并且分别与第三条直线相交,那么这两条直线分别与第三条直线的内角、外角互补。
空间几何中的平行与垂直关系
空间几何中的平行与垂直关系在空间几何中,平行和垂直是我们常见的几何关系。
平行指两条直线或者两个平面永远不会相交,而垂直指两条直线或者两个平面相互成直角。
这两种关系在数学和实际生活中都有广泛的应用。
本文将探讨平行和垂直的定义、性质以及在几何中的重要应用。
一、平行关系平行线是指两条直线不相交,且永远保持相同的距离。
根据平行线的定义,我们可以得出以下性质:1. 平行线具有传递性,即若线段AB与线段BC平行,则线段AB与线段AC也平行。
2. 平行线之间不存在交点,也不能相互交叉。
3. 平行线与一条直线的交点与另一条直线平行。
4. 平行线具有对称性,即若线段AB与线段CD平行,则线段CD与线段AB也平行。
平行关系在空间几何中有很多应用,比如在平行四边形和三角形的性质证明中经常用到。
平行线也是解决几何难题的重要手段,如求解截面积和体积等问题。
二、垂直关系垂直是指两条直线或者两个平面相互成直角。
根据垂直关系的定义,我们可以得出以下性质:1. 垂直于同一条直线的两条直线彼此平行。
2. 两个平面相互垂直的条件是它们的法向量垂直。
3. 直线与平面垂直,则直线上的任意一条线段与平面上的任意一条线段相互垂直。
垂直关系在几何中也有广泛的应用。
在建筑设计中,垂直关系是测量和布局的基础。
在空间坐标系中,垂直关系可以用来识别空间中的平面,具有重要的实际应用价值。
总结:平行和垂直是空间几何中常见的几何关系。
两条平行线永远不会相交,而两条垂直线相互成直角。
它们在各自的定义中包含了一系列的性质和特点,这些性质和特点为我们解决几何问题提供了重要的线索。
在几何证明中,平行和垂直关系是解决问题的关键步骤之一。
我们可以利用这些关系性质,推导出更多有关几何形状和结构的定理。
在实际生活中,平行和垂直关系也有广泛的应用。
比如在建筑设计、物体测量等方面都需要考虑平行和垂直的关系,以保证结构的稳定性和功能的实现。
通过理解和应用平行和垂直关系,我们可以更好地理解和解决与空间几何相关的问题,提高数学思维能力和几何分析能力。
解密15 空间中的平行与垂直-备战2018年高考数学理之高
考点1 空间点、线、面位置关系的基本问题题组一位置关系的判断调研1 设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,给出下列四个命题:①若m∥n,m⊥β,则n⊥β; ②若m∥α,m∥β,则α∥β;③若m∥n,m∥β,则n∥β; ④若m⊥α,m⊥β则α⊥β.其中真命题的个数为A.1 B.2C.3 D.4【答案】A【解析】根据空间平行与垂直的判定和性质定理逐个对命题进行判断. ①显然正确;对于②,由m∥α,m∥β,不一定得到α∥β,α和β的关系不确定;对于③,n可能在平面β内,所以③不正确;对于④,由m⊥α,m⊥β,可知α∥β,所以④不正确.故选A.☆技巧点拨☆空间中点、线、面的位置关系的判定方法:(1)可以从线、面的概念、定理出发,学会找特例、反例.(2)可以借助长方体,在理解空间点、线、面位置关系的基础上,抽象出空间线、面的位置关系的定义.题组二位置关系的判断与其他知识相结合调研2 已知l为平面α内的一条直线,α,β表示两个不同的平面,则“α⊥β”是“l⊥β”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若l为平面α内的一条直线且l⊥β,则α⊥β,反过来则不一定成立,所以“α⊥β”是“l ⊥β”的必要不充分条件,故选B.考点2 平行与垂直关系的证明题组一平行的判定及性质调研1 如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,BC⊥AB,点M,N分别是线段A1C1,A1B的中点.设平面MNB1与平面BCC1B1的交线为l,求证:MN∥l.【解析】可先证明MN ∥平面BCC 1B 1,然后利用线面平行的性质定理即可得证.方法一:如图,连接C 1B ,在11A BC △中,点M ,N 分别为A 1C 1,A 1B 的中点, 所以MN ∥C 1B . 又MN ⊄平面BCC 1B 1,C 1B ⊂平面BCC 1B 1, 所以MN ∥平面BCC 1B 1.又MN ⊂平面MNB 1,平面MNB 1∩平面BCC 1B 1=l ,所以MN ∥l .方法二:取A 1B 1的中点P ,连接MP ,NP ,如图所示.在111A B C △中,点M ,P 分别为A 1C 1,A 1B 1的中点,所以MP ∥C 1B 1. 又MP ⊄平面BCC 1B 1,C 1B 1⊂平面BCC 1B 1,所以MP ∥平面BCC 1B 1. 同理可证NP ∥平面BCC 1B 1.因为MP ∩NP =P ,MP ⊂平面MNP ,NP ⊂平面MNP ,所以平面MNP ∥平面BCC 1B 1. 因为MN ⊂平面MNP ,所以MN ∥平面BCC 1B 1.又MN ⊂平面MNB 1,平面MNB 1∩平面BCC 1B 1=l ,所以MN ∥l . 调研2 如图,四棱锥中,平面为线段上一点,为的中点.(1)证明: (2)求四面体的体积.【解析】(1)由已知得,取的中点,连接,由为中点知,即又,即故四边形为平行四边形,于是因为所以.(2)因为平面为的中点,所以到平面的距离为取的中点,连接,由得由得到的距离为,故142BCM S =⨯=△所以四面体的体积为132N BCM BCM PA V S -=⨯⨯=△ 题组二 垂直的判定及性质调研3 如图,在四棱锥A BCDE -中,底面BCDE 为正方形,平面ABE ⊥底面BCDE ,AB AE BE ==,点M ,N 分别是AE ,AD 的中点.(1)求证:MN ∥平面ABC ; (2)求证:BM ⊥平面ADE ;(3)在棱DE 上求作一点P ,使得CP AD ⊥,并说明理由.【解析】(1)因为点M ,N 分别是AE ,AD 的中点,所以.MN DE ∥ 因为四边形BCDE 为正方形,所以.BC DE ∥ 所以.MN BC ∥因为MN ⊄平面ABC ,BC ⊂平面ABC ,所以MN ∥平面.ABC (2)因为平面ABE ⊥底面BCDE ,DE BE ⊥,所以DE ⊥平面.ABE 因为BM ⊂平面ABE ,所以.DE BM ⊥因为AB AE BE ==,点M 是AE 的中点,所以.BM AE ⊥ 因为DE AE E = ,DE ⊂平面ADE ,AE ⊂平面ADE , 所以BM ⊥平面.ADE(3)取BE 中点F ,连接AF ,DF ,过C 点作CP DF ⊥,交DE 于点P . 则点P 即为所求作的点. 理由:因为AB AE BE ==,点F 是BE 的中点,所以.AF BE ⊥ 因为平面ABE ⊥底面BCDE ,所以AF ⊥平面BCDE , 所以AF ⊥.CP因为CP DF ⊥,AF DF F = ,所以CP ⊥平面.ADF 因为AD ⊂平面ADF ,所以CP ⊥.AD☆技巧点拨☆空间平行与垂直关系的证明主要是转化思想的应用,如下图:在解决平行(垂直)关系的判定时,一般遵循从“低维”到“高维”的转化;而应用性质定理时,其顺序则正好相反.在实际应用中,判定定理和性质定理一般要相互结合,灵活运用.题组三 线面角与二面角 调研4 如图所示,在四棱锥中,平面平面.(1)求证:;(2)若二面角为,求直线与平面所成的角的正弦值.【解析】(1)在ACB △中,应用余弦定理得222cos 2AB BC AC ABC AB BC +-∠==⋅,解得.所以,所以.因为平面平面,平面平面,所以平面.又因为平面,所以. (2)因为平面平面,所以.又,平面平面,所以是平面与平面所成的二面角的平面角,即.因为,所以平面.所以是直线与平面所成的角.因为在Rt BCE △中,, 所以在Rt BAE △中,sin 4BE BAE AB ∠==.即直线与平面所成的角的正弦值为4.调研5 已知三棱柱在底面ABC 上的射影恰为的中点,.(1)求证:平面; (2)求二面角的余弦值.【解析】(1)由题意知平面,且,又平面平面平面.又平面,又平面,又,且为平面内的两条相交直线,平面.(2)设与的交点为,则由(1)有平面.过点作于,连,则.故为所求二面角的平面角.平面,.由为中点,得,则.又在1ABC △中,得.在AOE △中,,得,即二面角的余弦值为.☆技巧点拨☆记住以下几个常用结论:(1)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等. (2)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. (3)两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例. (4)如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面互相平行.(5)垂直于同一条直线的两个平面平行.(6)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直.(7)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.考点3 平面图形的翻折与存在性问题题组一翻折问题△折起,使移动到点,且调研1 如图,已知矩形中,,将矩形沿对角线把ABD在平面上的射影恰好在上.(1)求证:;(2)求证:平面平面;(3)求三棱锥的体积.【解析】(1)因为在平面上的射影恰好在上,所以平面,又平面,所以,又,所以平面,又平面,所以.(2)因为是矩形,所以,由(1)知,所以平面,又平面,所以平面平面.(3)因为平面,所以,因为==,所以,所以===.☆技巧点拨☆折叠与展开,这两种方式的转变是空间几何与平面几何问题转化的集中体现,求解翻折问题的关键是把握翻折前后的变量和不变量.题组二探索性问题△沿折起,得到三棱锥,且调研 2 如图,平行四边形中,==,现将ADC,点为侧棱的中点.(1)求证:平面;(2)求三棱锥的体积;(3)在的角平分线上是否存在一点,使得DF∥平面?若存在,求的长;若不存在,请说明理由. 【解析】(1)在平行四边形中,有,又因为为侧棱的中点,所以,又因为,且,所以平面,又因为平面,所以,因为,所以平面.(2)因为平面,所以是三棱锥的高,故==.(3)取中点,连接并延长至点,使,连接,OE,因为,所以射线是角的角平分线,又因为点是中点,所以,因为平面平面,所以平面,因为互相平分,所以四边形为平行四边形,则,又因为,所以===.☆技巧点拨☆(1)推理型探索性问题推理型探索性问题,以探究空间中直线、平面的平行与垂直关系为主,解决此类问题主要采用直接法,即利用空间平行与垂直关系的判定与性质定理进行逻辑推理,将其转化为平面图形中的线线关系进行探究,逻辑推理的思维量较大.(2)计算型探索性问题计算型探索性问题,主要是对几何体的表面积、体积或距离等问题进行有关探究.解决此类问题主要采用直接法,即利用几何体的结构特征,巧设未知量,将所探究的问题转化为建立关于所设未知量的函数或方程,依据目标函数的性质或方程解的存在性求解.1.(2017-2018学年贵州省遵义市航天高级中学高三上学期模拟考试)设表示三条直线, 表示三个平面,则下列命题中不成立的是A.若∥,则∥B.若∥,则C.若是在内的射影,,则D.若,则【答案】D2.(2017-2018学年南宁市高三毕业班摸底联考)在如图所示的正方体中分别是棱的中点,则异面直线与所成角的余弦值为A .B .C .D .【答案】D【解析】取DD 1的中点G ,连接BG,FG ,易知四边形BED 1G 是平行四边形,则BG //ED 1,则∠FBG (或其补角)等于异面直线与所成的角,令正方体的棱长为2,则BF =FG =BG =3,从而cos∠FBG5=.则异面直线与所成角的余弦值为.3.(云南省昆明市第一中学2018届高三第五次月考)已知αβ,表示两个不同的平面,l 表示一条直线,且αβ⊥,则l β⊥是l α∥的 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件【答案】D【解析】由题意,αβ⊥,l β⊥,则l α∥或l α⊂,所以充分条件不成立;又当αβ⊥,l α∥时,不能得到l β⊥,所以必要条件不成立,故选D .4.(2018届四川省泸县第二中学高三上学期期末考试)在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AB =1,AC =2,BC =,D ,E分别是AC 1和BB 1的中点,则直线DE 与平面BB 1C 1C 所成的角为 A .30°B .45°C .60°D .90°【答案】A5.(陕西省渭南市2018届高三教学质量检测(I ))二面角的棱上有A ,B 两点,直线AC ,BD 分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB ,已知2AB =, 3AC =, 4BD =, CD =二面角的大小为 A .45︒ B .60︒ C .120︒D .150︒【答案】B6.(福建省闽侯第四中学2018届高三上学期期末考试)如图是一几何体的平面展开图,其中ABCD 为正方形,E ,F 分别为PA ,PD 的中点,在此几何体中,给出下面四个结论: ①直线BE 与直线CF 异面;②直线BE 与直线AF 异面;③直线EF ∥平面PBC ;④平面BCE ⊥平面PAD .其中正确的有A .1个B .2个C .3个D .4个【答案】B【解析】将几何体展开图还原为几何体,如图所示:①项,E F ,分别为PA PD ,的中点,EF AD BC ∴∥∥,即直线BE 与CF 共面,故错误; ②项,B ∉ 平面PAD ,E ∈平面PAD ,E AF ∉,BE ∴与AF 是异面直线,故正确; ③项,EF AD BC ∥∥ ,EF ⊄平面PBC ,BC ⊂平面PBC ,EF ∴∥平面PBC ,故正确; ④项,平面PAD 与平面BCE 不一定垂直,故错误. 综上所述,正确的有2个.故选B.7.(山东省济南市长清第一中学大学科技园校区2017- 2018学年高三质量检测)如图所示,在正方体1111ABCD A BC D -中,M ,N 分别是棱1AA 和AB 上的点,若1B MN ∠是直角,则1C MN ∠等于_______.【答案】90︒8.(北京市海淀区2018届高三第一学期期末)已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为点M 是棱BC 的中点,点P 在底面ABCD 内,点Q 在线段11AC 上,若1PM =,则PQ 的最小值为__________.9.(2017-2018学年河北省定州中学高三上学期期中考试)如图,在正方形ABCD 中,E 、F 分别是的中点,G 是EF 的中点.现在沿及EF 把这个正方形折成一个空间图形,使三点重合,重合后的点记为下列说法错误的是__________ (将符合题意的选项序号填到横线上).①AG EFH ⊥△所在平面; ②AH EFH ⊥△所在平面;③HF AEF ⊥△所在平面;④HG AEF ⊥△所在平面.【答案】①③④ 【解析】①根据条件,所以,故AG 不可能垂直于平面,所以错误;②正确;③若,则,显然一个三角形中不能有两个直角,错误;④若,则AHG △中有两个直角,错误,故填①③④.10.(河北衡水金卷2018届高三高考模拟)如图,在直角梯形ABCD 中,AB BC ⊥,AD BC ∥,112AB BC AD ===,点E 是线段CD 上异于点C ,D 的动点, EF AD ⊥于点F ,将DEF △沿EF 折起到PEF △的位置,并使PF AF ⊥,则五棱锥P ABCEF -的体积的取值范围为__________.【答案】10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭11.(江苏省淮安市等四市2018届高三上学期第一次模拟)如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,90ABC ∠= ,1=AB AA ,M ,N 分别是AC ,11B C 的中点.求证:(1)MN ∥平面11ABB A ; (2)1AN A B ⊥.【解析】(1)如图,取AB 的中点P ,连接1,.PM PB 因为,M P 分别是,AC AB 的中点,所以,PM BC ∥且1.2PM BC = 在直三棱柱111ABC A B C -中,11BC B C ∥,11BC B C =,又因为N 是11B C 的中点,所以1,PM B N ∥且1PM B N =,所以四边形1PMNB 是平行四边形, 所以1MN PB ∥,而MN ⊄平面11ABB A ,1PB ⊂平面11ABB A ,所以MN ∥平面11ABB A .12.(2017-2018学年西藏拉萨市高三第一次模拟考试)如图,四棱锥的底面为等腰梯形,且,点为中点.(1)证明:平面;(2)若平面,直线与平面所成角的正切值为32,求四棱锥的体积.(2)作于点,则. 在ABG △中,,则.由平面知,直线与平面所成的角为,故,即在PAB △中,有32PA AB =,则.所以,四棱锥的体积()24113332ABCD V S PA +=⋅=⨯=梯形.13.(河北省衡水中学2018届高三上学期九模)如图,在长方体1111ABCD A BC D -中,1,2,,AB AD E F ==分别为1,AD AA 的中点,Q 是BC 上一个动点,且(0)BQ QC λλ=>.(1)当1λ=时,求证:平面BEF ∥平面1A DQ ;(2)是否存在λ,使得BD FQ ⊥?若存在,请求出λ的值;若不存在,请说明理由.则13BQ QC =,即13λ=.14.(2018届天津市耀华中学高三上学期第一次月考)如图,在直三棱柱中,是的中点,是的中点.(1)求异面直线与所成的角;(2)求证:;(3)求二面角的正切值.15.(2017-2018学年江西省南昌市第二中学高三上学期第四次考试)如图,在矩形中,分别为的中点,现将沿折起,得四棱锥.(1)求证:EF//平面;(2)若平面平面,求四面体的体积.【解析】(1)取线段的中点,连接,因为为的中点,所以,且,16.(贵州省贵阳市第一中学2018届高三12月月考)如图,11,AA BB 为圆柱1OO 的母线,BC 是底面圆O的直径,D 是1AA 的中点.(1)问:1CB 上是否存在点E ,使得DE ∥平面ABC ?请说明理由;(2)在(1)的条件下,若DE ⊥平面1CBB ,假设这个圆柱是一个大容器,有条体积可以忽略不计的小鱼能在容器的任意地方游弋,如果小鱼游到四棱锥11C ABB A -外会有被捕的危险,求小鱼被捕的概率.1.(2016新课标全国Ⅱ理科)α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.③如果α∥β,m ⊂α,那么m ∥β.④如果m ∥n ,α∥β,那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号) 【答案】②③④【名师点睛】求解本题时应注意在空间中考虑线面位置关系.2.(2017新课标全国Ⅰ理科节选)如图,在四棱锥P −ABCD 中,AB//CD ,且90BAP CDP ∠=∠= .证明:平面PAB ⊥平面PAD .【解析】由已知90BAP CDP ∠=∠=︒,得AB ⊥AP ,CD ⊥PD . 由于AB//CD ,故AB ⊥PD ,从而AB ⊥平面PAD . 又AB ⊂平面PAB , 所以平面PAB ⊥平面PAD .3.(2016新课标全国Ⅲ理科节选)如图,四棱锥P −ABCD 中,PA ⊥底面ABCD ,AD ∥BC ,AB=AD=AC =3,PA=BC =4,M 为线段AD 上一点,AM=2MD ,N 为PC 的中点.证明MN ∥平面PAB .【解析】由已知得232==AD AM . 取BP 的中点T ,连接TN AT ,,由N 为PC 中点知BC TN //,221==BC TN . 又BC AD //,故=TN AM ∥,四边形AMNT 为平行四边形,于是MN AT . 因为⊂AT 平面PAB , ⊄MN 平面PAB , 所以//MN 平面PAB .4. (2015新课标全国I 理科节选)如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC =120°,E ,F 是平面ABCD 同一侧的两点,BE ⊥平面ABCD ,DF ⊥平面ABCD ,BE =2DF ,AE ⊥EC . 证明:平面AEC ⊥平面AFC ;在直角梯形BDFE 中,由BD =2,BE DF =2可得EF =2,∴222EG FG EF +=,∴EG ⊥FG , ∵AC ∩FG=G ,∴EG ⊥平面AFC ,∵EG ⊂面AEC ,∴平面AFC ⊥平面AEC .5.(2016新课标全国Ⅱ理科节选)如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ,AB =5,AC =6,点E ,F 分别在AD ,CD 上,AE =CF =54,EF 交BD 于点H . 将△DEF 沿EF 折到△D EF '的位置,OD '=证明:D H '⊥平面ABCD .。
专题12立体几何的平行与垂直关系(基础篇)-2018年高考数学艺体生百日冲刺
专题十二立体几何的平行与垂直关系空间点、线、面的位置关系:平行【背一背基础知识】1.公理4:若a∥b,b∥c,则a∥c.2.线面平行判定定理:若a∥b,a⊄α,b⊂α,则a∥α.3.线面平行的性质定理:若a∥α,a⊂β,α∩β=b,则a∥b.4.面面平行的判定定理:若a,b⊂α,a,b相交,且a∥β,b∥β,则α∥β.5.面面平行的性质定理:①若α∥β,a⊂α,则a∥β.②若α∥β,r∩α=a,r∩β=b,则a∥b.③线面垂直的性质定理:若a⊥α,b⊥α,则a∥b.④面面平行的性质定理:【讲一讲基本技能】1.必备技能:(1)证明线面平行的常用方法:①利用线面平行的判定定理,使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线,可利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质,即两平面平行,则其中一平面内的直线平行于另一平面.(2)已知线面平行时可利用线面平行的性质定理证明线线平行.(3)判定面面平行的方法:①定义法:即证两个平面没有公共点.②面面平行的判定定理.③垂直于同一条直线的两平面平行.④平行平面的传递性,即两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行.(4)面面平行的性质:①若两平面平行,则一个平面内的直线平行于另一平面.②若一平面与两平行平面相交,则交线平行.(5)平行间的转化关系2.典型例题例1【2017课标1,文6】如图,在下列四个正方体中,A ,B 为正方体的两个顶点,M ,N ,Q 为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直接AB 与平面MNQ 不平行的是( )A .B .C .D .【答案】A 【解析】例2.已知,αβ表示两个不同的平面, ,a b 表示两条不同直线,对于下列两个命题: ①若,b a αα⊂⊄,则“//a b ”是“//a α”的充分不必要条件;②若,a b αα⊂⊂,则“//αβ”是“//a α且//b β”的充要条件.判读正确的是( ) A. ①②都是真命题 B. ①是真命题,②是假命题 C. ①是假命题,②是真命题 D. ①②都是假命题 【答案】B【解析】解:由α,β表示两个不同平面,a ,b 表示两条不同直线,知: ①若b ⊂α,a ⊄α,则“a∥b”⇒“a∥α”, 反之,“a∥α”推不出“a∥b”,∴“a∥b”是“a∥α”的充分不必要条件,故①是真命题. ②若a ⊂α,b ⊂α,则“α∥β”⇒“α∥β且b ∥β”, 反之,“α∥β且b ∥β”,推不出“α∥β”,∴“α∥β”是“α∥β且b ∥β”的充分不必要条件,故②是假命题. 故选:B .【练一练趁热打铁】1. 已知,a b 为直线, αβγ,,为平面,有下列三个命题: (1)//,//a b αβ,则//a b ; (2),a b γγ⊥⊥,则//a b ; (3)//,a b b α⊂,则//a α (4),a b a α⊥⊥,则//b α 其中正确命题的个数是___________. 【答案】1【解析】(1)//,//a b αβ,则//a b ;显然不正确,因为两个平面的位置关系可以是任意的,两个直线的关系也是不确定的;(2),a b γγ⊥⊥,则//a b ,是正确的,垂直于同一平面的两条直线是平行的;(3)//,a b b α⊂,则//a α,不正确,因为还有一种可能是直线a 在平面α内;(4),a b a α⊥⊥,则//b α,不正确,因为直线b 有可能在平面α内。
【高考冲刺押题】高考数学三轮 基础技能闯关夺分必备 空间中的垂直关系(含解析).pdf
空间中的垂直关系 【考点导读】 1.掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理,并能用它们证明和解决有关问题。
2.线面垂直是线线垂直与面面垂直的枢纽,要理清楚它们之间的关系,学会互相转化,善于利用转化思想。
【基础练习】 1.“直线垂直于平面内的无数条直线”是“”的 必要 条件。
2.如果两个平面同时垂直于第三个平面,则这两个平面的位置关系是 平行或相交 。
3.已知是两个平面,直线若以①,②,③中两个为条件,另一个为结论构成三个命题,则其中正确命题的个数是 2 个。
4.在正方体中,与正方体的一条对角线垂直的面对角线的条数是 6 。
5.两个平面互相垂直,一条直线和其中一个平面平行,则这条直线和另一个平面的位置关系是 平行、相交或在另一个平面内 。
6.在正方体中,写出过顶点A的一个平面__AB1D1_____,使该平面与正方体的12条棱所在的直线所成的角均相等(注:填上你认为正确的一个平面即可,不必考虑所有可能的情况)。
【范例导析】 例1.如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD, PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F. (1)证明PA//平面EDB; (2)证明PB⊥平面EFD; 解析: 证明:(1)连结AC,AC交BD于O,连结EO. ∵底面ABCD是正方形,∴点O是AC的中点 在中,EO是中位线,∴PA // EO 而平面EDB且平面EDB, 所以,PA // 平面EDB (2)∵PD⊥底面ABCD且底面ABCD,∴ ∵PD=DC,可知是等腰直角三角形,而DE是斜边PC的中线, ∴. ① 同样由PD⊥底面ABCD,得PD⊥BC. ∵底面ABCD是正方形,有DC⊥BC,∴BC⊥平面PDC. 而平面PDC,∴. ② 由①和②推得平面PBC. 而平面PBC,∴ 又且,所以PB⊥平面EFD. 例2.如图,△ABC 为正三角形,EC ⊥平面ABC ,BD ∥CE ,CE =CA =2 BD ,M 是EA 的中点, 求证:(1)DE =DA ;(2)平面BDM ⊥平面ECA ; (3)平面DEA ⊥平面ECA。
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考点28 空间中的平行关系与垂直关系
考点提示:空间中直线和平面间的位置关系
时间:30分钟 班级 姓名 得分 (总分:39分)
一、选择题(每小题3分,共9小题)
1. (东北三省三校二模)已知a,b,m,n 是四条不同直线,其中a,b 是异面直线,下列命题正确的是() ①若,,,,b n a n b m a m ⊥⊥⊥⊥则;//n m
②若,//,//b n a m 则m ,n 是异面直线;
③若m 与a ,b 都相交,n 与a ,b 都相交,则m ,n 是异面直线.
0.A 1.B 2.C 3.D
2.(昆川质检)已知m ,n 是两条不同的直线,βα,是两个不同的平面,则下列命题正确的是
A .若βα,垂直于同一平面,则α与β平行
B .若m ,n 平行于同一平面,则m 与n 平行
C .若βα,不平行,则在α内不存在与β平行的直线
D .若m ,n 不平行,则m 与n 不可能垂直于同一平面
3.(陕西宝鸡中学第一学期期末)设m ,l 是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是
A .若,,α⊂⊥m m l 则α⊥l
B .若,//,m l l α⊥则α⊥m
C .若,,//αα⊂m l 则m l //
D .若,//,//ααm l 则m l //
4.(江西上饶模拟二)设γβα,,是三个不重合的平面,l 是直线,给出下列四个命题:
①若,,ββα⊥⊥l 则;/αl ②若,//,βαl l ⊥则;βα⊥
③若l 上有两点到α的距离相等,则;//αl ④若,//,γαβα⊥则βγ⊥其中正确命题的序号是
②④.A ①④.B ②③.C ①②.D
5.(辽宁大连期末)如图为一个正方体的表面展开图,则在原正方体中,线段AB ,CD 的位置关系是 ( )
A.平行 B .垂直但不相交 C .异面但不垂直 D.相交
6.(济南3月模拟)类比平面内“垂直于同一条线互相平行”的性质,可得下列结论:
①垂直于同一个平面的两条直线互相平行
②垂直于同一条直线的两条直线互相平行
③垂直于同一个平面的两个平面互相平行
④垂直于同一条直线的两个平面互相平行
①②.A ②③.B ③④.C ①④.D
7.(福州质检)“直线l 垂直于平面α”的一个必要不充分条佯是
A.直线l 与平面α内的任意一条直线垂直 B .过直线l 的任意一个平面与平面α垂直
C.存在平行于直线l 的直线与平面α垂直 D .经过直线l 的某一个平面与平面α垂直
8.(乌鲁木齐三诊)在棱长均相等的正三棱柱111C B A ABC -中,D 由1BB 的中点,F 在1AC
上,且1AC DF ⊥ 则下述结论:;1BC AC ⊥①③②;1FC AF =平面⊥1DAC 平面11A ACC 中正确的个数为
0.A 1.B 2.C 3.D
8题 9题 9.(河南信阳期末调研)如图,在正方体1111D C B A ABCD -中,E ,F ,G 分别是棱11111,,C B BB B A 的中点,则下列结论中:;BD FG ⊥①⊥D B 1②平面;EFG ③平面//EFG 平面;11A ACC //EF ④平面11C CDD 正确结论的序号是
A.①和② B.②和④ C .①和③ D.③和④
二、填空题(每小题3分,共4小题)
10.(江苏镇江调研)设βα,为互不重合的旱面,m ,n 是互不重合的直线,给出下列四个命题:
①若,,//α⊂n n m 则;//αm
②若,//,//,,ββααn m n m ⊂⊂则;//βα
③若,,,//βαβα⊂⊂n m 则;//n m
④若,,,,m n n m ⊥⊂=⊥αβαβα 则⋅⊥βn 其中正确命题的序号为
11.(湖北部分重点中学二联)设优,以是两条不同的直线,βα,是两个不重合的平面,给定下列四个命题,其中
为真命题的序号为
;αα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥m n n m ① ;m βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥m ② ;//n m n m ⇒⎭⎬⎫⊥⊥αα③ .////n m n m ⇒⎪⎭
⎪⎬⎫⊂⊂βαβα④ 12.(江苏泰州一模)若βα,是两个相交平面,则在下列命题中,真命题的序号为 (写出所有真命题的序号). ①若直线,α⊥m 则在平面β内,一定不存在与直线m 平行的直线;
②若直线,α⊥m 则在平面β内,一定存在无数条直线与直线m 垂直;
③若直线,α⊂m 则在平面β内,不一定存在与直线m 垂直的直线;
④若直线,α⊂m 则在平面β内,一定存在与直线m 垂直的直线.
13.(兰州实战考试)βα,是两平面,AB ,CD 是两条线段,已知αβα⊥=AB EF , 于点α⊥CD B ,于点D ,
若增加一个条件,就能得出,现有下列条件:
;β⊥AC ①
βα,与②AC 所成的角相等;
CD AC 与③在β内的射影在同一条直线上
.//EF AC ④其中能成为增加条件的序号是
答案:
1.B
2.D
3.B
4.A
5.D
6.D
7.D
8.C
9.B 10 .④ 11.②③ 12. ②④ 13.①③。