2019年中考数学专题复习小练习专题12二次函数的图象与性质
中考数学专题练习二次函数的性质(含解析)
2019中考数学专题练习-二次函数的性质（含解析）一、单选题1.对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A. 开口向下B. 对称轴是x=﹣1 C. 顶点坐标是（1，2） D. 与x轴有两个交点2.抛物线上部分点坐标如表所示，下列说法错误的是（）A. 抛物线与y轴的交点为(0，6)B. 抛物线的对称轴是在y轴的右侧；C. 抛物线一定经过点(3 ，0)D. 在对称轴左侧， y随x增大而减小．3.二次函数y=3x2+1和y=3（x﹣1）2 ，以下说法：①它们的图象都是开口向上；②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点（0，0）；③当x＞0时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大；④它们的开口的大小是一样的．其中正确的说法有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4.二次函数y=（x﹣1）2﹣2的顶点坐标是（）A. （﹣1，﹣2）B. （﹣1，2）C. （1，﹣2） D. （1，2）5.如图，从1×2的矩形ABCD的较短边AD上找一点E，过这点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE、DE，当剪下的两个正方形的面积之和最小时，点E应选在（）A. AD的中点B. AE：ED=（﹣1）：2C. AE：ED=：1 D. AE：ED=（﹣1）：26.二次函数y=3x2-6x+5的图象的顶点坐标是（）A. （1,2）B. （1,8）C. （﹣1,2） D. （1,﹣4）7.对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A. 开口向下B. 对称轴是x=﹣1 C. 顶点坐标是（1，2） D. 与x轴有两个交点8.二次函数y=x2﹣2的图象的顶点是（）A. （2，﹣2）B. （﹣1，0）C. （1，9） D. （0，﹣2）9.抛物线y=2x2+1的顶点坐标是（）A. （2，1） B. （0，1） C. （1，0） D. （1，2）10.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a＞0；②该函数的图象关于直线x=1对称；③当x=-1或x=3时，函数y的值都等于0．其中正确结论的个数是（）A. 3B. 2C. 1D. 011.对于二次函数y=2（x+1）（x﹣3），下列说法正确的是（）A. 图象的开口向下B. 当x＞1时，y随x的增大而减小C. 当x＜1时，y随x的增大而减小 D. 图象的对称轴是直线x=﹣112.如图，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，点A，B均在抛物线上，且AB 与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为（)A. （2，3） B. （3，2） C. （3，3） D. （4，3）13.在二次函数y=﹣x2+2x+1的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（）A. x＞1B. x＜1C. x＞﹣1D. x＜﹣114.抛物线y=（x+1）2的顶点坐标是（）A. （﹣1，0）B. （﹣1，1）C. （0，﹣1） D. （1，0）二、填空题15.已知点A(x1 ， y1)、B(x2 ， y2)在二次函数y=(x-1)2+1的图像上，若x1>x2>1，则y1________y2 ． (填“>”“=”或“<”)16.已知M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线y=﹣x+3上，设点M坐标为（a，b），则y=﹣abx2+（a+b）x的顶点坐标为________ 17.已知二次函数y=x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，则m 的取值范围是________．18.写出一个二次函数解析式，使它的图象的顶点在y轴上：________．19.已知抛物线（<0）过A（，0）、O（0，0）、B（，）、C（3，）四点．则________ （用“＜”，“＞”或“=”填空）．20.二次函数y=﹣3x2﹣6x+5的图像的顶点坐标是________．21.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：① c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④am +bm+a ＞0（m≠﹣1）；⑤设A（100，y），B（﹣100，y ）在该抛物线上，则y＞y ．其中正确的结论有________ ．（写出所有正确结论的序号）三、解答题22.已知点A（﹣2，n）在抛物线y=x2+bx+c上．（1）若b=1，c=3，求n的值；（2）若此抛物线经过点B（4，n），且二次函数y=x2+bx+c的最小值是﹣4，请画出点P（x﹣1，x2+bx+c）的纵坐标随横坐标变化的图象，并说明理由．23.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：求：（1）这个二次函数的解析式；（2）这个二次函数图象的顶点坐标及上表中m的值．四、综合题24.如图，已知抛物线l1经过原点与A点，其顶点是P（﹣2，3），平行于y轴的直线m与x轴交于点B（b，0），与抛物线l1交于点M．（1）点A的坐标是________；抛物线l1的解析式是________；（2）当BM=3时，求b的值；（3）把抛物线l1绕点（0，1）旋转180°，得到抛物线l2 ．①直接写出当两条抛物线对应的函数值y都随着x的增大而减小时，x的取值范围________；（4）②直线m与抛物线l2交于点N，设线段MN的长为n，求n与b的关系式，并求出线段MN的最小值与此时b的值．25.已知二次函数y=mx2﹣5mx+1（m为常数，m＞0），设该函数的图象与y轴交于点A，该图象上的一点B与点A关于该函数图象的对称轴对称．（1）求点A，B的坐标；（2）点O为坐标原点，点M为该函数图象的对称轴上一动点，求当M运动到何处时，△MAO的周长最小．答案解析部分一、单选题1.对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A. 开口向下B. 对称轴是x=﹣1 C. 顶点坐标是（1，2） D. 与x轴有两个交点【答案】C【考点】二次函数的性质【解析】【解答】解：二次函数y=（x﹣1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，抛物线与x轴没有公共点．故选：C．【分析】根据抛物线的性质由a=1得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，从而可判断抛物线与x轴没有公共点．2.抛物线上部分点坐标如表所示，下列说法错误的是（）A. 抛物线与y轴的交点为(0，6)B. 抛物线的对称轴是在y轴的右侧；C. 抛物线一定经过点(3 ，0)D. 在对称轴左侧， y随x增大而减小．【答案】D【考点】二次函数的性质【解析】【解答】A,由表格知，x=0时，y=6,故抛物线与y轴的交点为(0，6)正确，故A答案正确；B,由表格知：（0,6）与（1,6）关于抛物线的对称轴对称，故它们到对称轴的距离相等，从而得出其对称轴是直线x=0.5,所以抛物线的对称轴是在y轴的右侧是正确的，故B答案正确；C,根据抛物线的对称性抛物线与x轴的一个交点坐标是（-2,0），而对称轴是直线x=0.5，故其与抛物线的另一个交点一定是(3 ， 0)，故C答案也正确；D,由表格知对称轴左侧，y随x增大而增，故D答案错．故正确答案是: D【分析】根据y轴上的横坐标为零，抛物线的对称性及表格中随着x的增大y 的值的变化，就可以一一判断。
中考数学专题复习小练习专题12二次函数的图象与性质(2021年整理)
2019年中考数学专题复习小练习专题12 二次函数的图象与性质编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019年中考数学专题复习小练习专题12 二次函数的图象与性质）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2019年中考数学专题复习小练习专题12 二次函数的图象与性质的全部内容。
专题12 二次函数的图象与性质1．2018·广安抛物线y＝（x－2）2－1可以由抛物线y＝x2平移而得到，下列平移正确的是( ）A．先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度B．先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度C．先向右平移2个单位长度,然后向上平移1个单位长度D．先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度2．2018·成都关于二次函数y＝2x2＋4x－1,下列说法正确的是（) A．图象与y轴的交点坐标为(0，1)B．图象的对称轴在y轴的右侧C．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小D．y的最小值为－33．2018·青岛已知一次函数y＝错误!x＋c的图象如图Z－12－1，则二次函数y＝ax2＋bx＋c在平面直角坐标系中的图象可能是( ）图Z－12－1图Z－12－24．2018·毕节已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0)的图象如图Z－12－3所示，下列结论:①abc＞0；②2a＋b＞0;③b2－4ac＞0;④a－b＋c＞0，其中正确的个数是（)A．1 B．2 C．3 D．4图Z－12－35．2018·巴中已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象上部分点的横坐标x 与纵坐标y的对应值如表所示，那么它的图象与x轴的另一个交点的坐标是________．6.2018·镇江已知二次函数y＝x2－4x＋k的图象的顶点在x轴下方，则实数k的取值范围是________．7．2018·德阳已知函数y＝错误!使y＝a成立的x值恰好只有3个时，则a的值为________．8．2018·宁波已知抛物线y＝－错误!x2＋bx＋c经过点（1，0),(0,错误!）．(1）求抛物线的函数解析式；(2)将抛物线y＝－错误!x2＋bx＋c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数解析式．详解详析1．D2。
2019年全国中考数学真题分类二次函数概念、性质和图象(精品文档)
2019年全国中考数学真题分类二次函数概念、性质和图象一、选择题9．（2019·温州）已知二次函数y=x2-4x+2，关于该函数在-1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最大值-1，有最小值-2 B．有最大值0，有最小值-1C．有最大值7，有最小值-1 D．有最大值7，有最小值-2【答案】D【解析】∵二次函数y=x2-4x+2=(x-2)2-2，∴该函数在-1≤x≤3的取值范围内，当x=2时，y有最小值-2；当x=-1时，y有最大值7．故选D.7．（2019·绍兴）在平面直角坐标系中，抛物线)3)(y经过变换后得到抛物线=xx+5(-+=xy，则这个变换可以是 ( )x(-)5)(3A.向左平移2个单位B.向右平移2个单位C.向左平移8个单位D.向右平移8个单位【答案】B【解析】y＝（x+5）（x﹣3）＝（x+1）2﹣16，顶点坐标是（﹣1，﹣16）．y＝（x+3）（x﹣5）＝（x﹣1）2﹣16，顶点坐标是（1，﹣16）．所以将抛物线y＝（x+5）（x﹣3）向右平移2个单位长度得到抛物线y＝（x+3）（x﹣5），故选B．10．（2019·嘉兴）小飞研究二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）性质时如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线y＝﹣x+1上；②存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在函数图象上，若x1＜x2，x1+x2＞2m，则y1＜y2；④当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为m≥2．其中错误结论的序号是（）A．①B．②C．③D．④【答案】C【解析】二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）,①∵顶点坐标为（m，﹣m+1）且当x＝m时，y＝﹣m+1,∴这个函数图象的顶点始终在直线y＝﹣x+1上,故结论①正确；②假设存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形,令y＝0，得﹣（x﹣m）2﹣m+1＝0，其中m≤1，解得：x＝m﹣，x＝m+，∵顶点坐标为（m，﹣m+1），且顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形,∴|﹣m+1|＝|m﹣（m﹣）|,解得：m＝0或1,∴存在m＝0或1，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形,故结论②正确；③∵x1+x2＞2m,∴,∵二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）的对称轴为直线x＝m,∴点A离对称轴的距离小于点B离对称轴的距离,∵x1＜x2，且﹣1＜0,∴y1＞y2,故结论③错误；④当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，且﹣1＜0,∴m的取值范围为m≥2．故结论④正确．故选C．10．（2019·杭州）在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y=（x+a）（x+b）的图象与x轴有M 个交点，函数y=（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（）A．M=N-1或M=N+1 B．M=n-1或M=N+2 C．M=N或M=N+1 D．M=N或M=N-1【答案】A【解析】先把两个函数化成一般形式，若为二次函数，再计算根的判别式，从而确定图象与x轴的交点个数，若一次函数，则与x轴只有一个交点，据此解答．∵y=（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+1，∴（a+b）2-4ab=（a-b）2＞0，∴函数y=（x+a）（x+b）的图象与x轴有2个交点，∴M=2，∵函数y=（ax+1）（bx+1）=abx2+（a+b）x+1，∴当ab≠0时，（a+b）2-4ab=（a-b）2＞0，函数y=（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有2个交点，即N=2，此时M=N；当ab=0时，不妨令a=0，∵a≠b，∴b≠0，函数y=（ax+1）（bx+1）=bx+1为一次函数，与x 轴有一个交点，即N=1，此时M=N+1；综上可知，M=N 或M=N+1．故选C ．11．（2019·烟台）已知二次函数2y ax bx c =++的y 与x 的部分对应值如下表：04x <<时，0y >；④抛物线与x 轴的两个交点间的距离是4；⑤若1(,2)A x ，2(,3)B x 是抛物线上两点，则12x x <． 其中正确的个数是（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】B【解题过程】先根据二次函数的部分对应值在坐标系中描点、连线，由图象可以看出抛物线开口向上，所以结论①正确，由图象（或表格）可以看出抛物线与x 轴的两个交点分别为（0,0），（4,0），所以抛物线的对称轴为直线2x =且抛物线与x 轴的两个交点间的距离为4，所以结论②和④正确，有抛物线的图象可以看出当04x <<时，0y <，所以结论③错误，由图象可以看出当抛物线上的点的纵坐标为2或3时，对于的点均有两个，若1(,2)A x ，2(,3)B x 是抛物线上两点，既有可能12x x <，也有可能12x x >，所以结论⑤错误．7．（2019·绍兴 ）在平面直角坐标系中，抛物线)3)(5(-+=x x y 经过变换后得到抛物线)5)(3(-+=x x y ，则这个变换可以是 ( )A.向左平移2个单位B.向右平移2个单位C.向左平移8个单位D.向右平移8个单位 【答案】B【解析】y ＝（x +5）（x ﹣3）＝（x +1）2﹣16，顶点坐标是（﹣1，﹣16）．y ＝（x +3）（x ﹣5）＝（x ﹣1）2﹣16，顶点坐标是（1，﹣16）．所以将抛物线y ＝（x +5）（x ﹣3）向右平移2个单位长度得到抛物线y ＝（x +3）（x ﹣5），故选B ．10．（2019·益阳）已知二次函数c bx ax y ++=2如图所示，下列结论:①ae ＜0，②b-2a ＜0，③ac b 42-＜0，④a-b+c ＜0，正确的是（ ）A. ①②B.①④C.②③D.②④第10题图【答案】A【解析】∵抛物线开口向下，且与y 的正半轴相交，∴a ＜0，c ＞0，∴ac ＜0，故①正确； ∵对称轴在-1至-2之间，∴122---＜＜ab，∴4a ＜b ＜2a ，∴b-2a ＜0，故②正确； ∵抛物线与x 轴有两个交点，∴△=ac b 42-＞0，∴③错误； ∵当x=-1时，y=a-b+c ＞0，∴④错误. ∴正确的说法是①②.故选A.11．（2019·娄底） 二次函数2y ax bx c =++的图象如图（5）所示，下列结论中正确的有（ ）① abc<0 ② 240b ac -<③ 2a b > ④ ()22a c b +<A ． 1个B ． 2个C ．3个D ． 4个【答案】A【解析】解：①由抛物线的开口方向向下知a<0，对称轴在y 轴的左侧得a 、b 同号，抛物线与y 轴交于正半轴得c>0,所以abc>0；故结论①错误；②由抛物线与x 轴有两个交点得240b ac ->，故结论②错误； ③由图象知对称轴12b x a =->-得12ba<；由a<0，结合不等式的性质三可得 b>2a,即2a<b ；故结论③错误； ④由图象知：当x ＝1时，y<0即a+b+c<0；当x ＝－1时，y>0即a －b+c>0； ∴()()0a b c a b c ++-+<，即()220a c b +-<；∴()22a c b +<．故结论④正确．故答案A 正确．1. （2019·济宁）将抛物线y ＝x 2－6x ＋5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）A ．y ＝(x －4)2－6B ．y ＝(x －1)2－3C ．y ＝(x －2)2－2D ．y ＝(x －4)2－2 【答案】D【解析】y ＝x 2－6x ＋5＝ (x －3) 2－4，把向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后， 得y ＝ (x －3－1) 2－4＋2，即y ＝(x －4)2－2．2. (2019·巴中)二次函数y ＝ax2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示,下列结论①b2>4ac,②abc<0,③2a+b －c>0,3. ④a+b+c<0,其中正确的是( ) A.①④B.②④C.②③D.①②③④第10题图 【答案】A【解析】①:因为图象与x 轴有两个不同的交点,所以b 2－4ac>0,即b 2>4ac,故①正确;②:图象开口向下,故a<0,图象与y 轴交于正半轴,故c>0,因为对称轴为x ＝－1,所以12ba-=-,所以2a ＝b,故b<0,所以abc>0,②错误;③:a<0,b<0,c>0,所以2a+b －c<0,③错误;④当x ＝1时,y ＝a+b+c,由图可得,x ＝－3时,y<0,由对称性可知,当x ＝1时,y<0,即a+b+c<0,故④正确.综上所述,①④正确,故选A.3. （2019·达州）如图，边长都为4的正方形ABCD 和正三角形EFG 如图放置， AB 与EF 在一条直线上，点A 与点F 重合.现将△EFG 沿AB 方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点F 与点B 重合时停止，在这个运动过程中正方形ABCD 和△EFG 重叠部分的面积S 与运动时t 的函数图像大致是( )【答案】C【思路分析】可分两种情况，第一种情况重合部分为三角形，第二种情况重合部分为四边形，分别求出对应的函数关系式即可.【解题过程】运动过程中，当顶点G 在正方形外部时，重合部分为三角形，设运动时间为t ，面积S 与t 的函数关系式为232t y =，函数图像为开口向上的二次函数，当顶点G 在正方形内部时，重合部分为四边形，设运动时间为t ，面积S 与t 的函数关系式为343423-2-+=t t y ，函数图像为开口向下的二次函数，故选C.4. （2019·凉山）二次函数y=ax2+bx+c 的部分图象如图所示，有以下结论：①3a –b=0；②b2-4ac ＞0；③5a-2b+c ＞0； ④4b+3c ＞0,其中错误结论的个数是（ ▲ ） A. 1B. 2C. 3D. 4第12题图【答案】A【解析】根据对称轴232-=-a b 得b =3a ，故可得3a –b =0，所以结论①正确；由于抛物线与x 轴xxx有两个不同的交点，所以b 2-4ac ＞0，结论②正确；根据结论①可知b =3a ，∴5a -2b +c =5a -6a +c =-a +c ，观察图像可知a ＜0,c ＞0，∴5a -2b +c =-a +c ＞0，结论③正确；根据抛物线的轴对称性可知抛物线与x 轴的右交点在原点与（1，0）之间（不含这两点），所以当x =1时，y =a +b +c ＜0，∵a =b 31，∴b 34+c ＜0，∴4b +3c ＜0，所以结论④错误.故选 A.5. （2019·攀枝花）在同一坐标系中，二次函数y ＝ax 2＋bx 与一次函数y ＝bx －a 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】据参数符号可排除A 、D 选项，联立两函数解析式所得方程无解，则两函数图象无交点，故选C ．【知识点】二次函数的图象；一次函数的图象6.（2019·天津）二次函数y=ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a ≠0）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：且当12x =-时，与其对应的函数值y>0，有下列结论：（1）abc>0；(2)-2和3是关于x 的方程ax 2+bx+c=t 的两个根；（3）0<m+n<203，其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C【解析】(1)因为当12x =-时，与其对应的函数值y>0，由图表可知x=0时，y=-2，x=1时，y=-2,可以判断对称轴左侧y 随x 的增大而减小，图像开口向上，a>0;由图表可知x=0时，y=-2，x=1时，y=-2,可得对称轴为直线21=x ，所以b<0;x=0时，y=-2,所以c=-2<0,故abc>0（1）正确；（2）由于对称轴是直线21=x ，-2和3是关于对称轴对称的，所以（2）正确；（3）由对称轴是直线21=x 可得a+b=0,因为x=0时，y=-2，可知c=-2，当21-=x 时，与其对应的函数值y>0可得38>a ，当x=-1时，m=a-b-2=2a-2>310,因为-1和2关于对称轴对称，可得m=n ，所以m+n>320，故（3）错误，故选C.【知识点】二次函数图像的性质.7. （2019·衢州）二次函数y=（x-1）2+3图象的顶点坐标是（A ） A. （1.3） B.（1，-3） C.（-1.3） D.（-1.-3）【答案】A【解析】本题考查二次函数顶点坐标的确定，二次函数y=a （x-h ）2+k 的顶点坐标为（h ，k ），所以y=（x-1）2+3的顶点坐标是（1.3），故选A.8. （2019·重庆B 卷）物线y ＝的对称轴是（ ）A.直线B.直线C.直线D.直线 【答案】Ｃ【解析】设二次函数的解析式是y=， 则二次函数的对称轴为直线y ＝的对称轴是直线 .故选Ｃ．263-2++x x 2=x 2-=x 1=x 1-=x c bx ax ++2263-2++x x 1=x9.（2019·自贡）一次函数y=ax+b与反比例函数y=c的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的x大致图象是（）【答案】A.【解析】∵双曲线y=c经过一、三象限，x∴c＞0.∴抛物线与y轴交于正半轴.∵直线y=ax+b经过第一、二和四象限，∴a＜0，b＞0，即−b＜0.2a∴抛物线y=ax2+bx+c开口向下，对称轴在y轴的右侧.故选A.9.（2019·遂宁）二次函数y=x2-ax+b的图像如图所示，对称轴为直线x=2，下列结论不正确的是( )A. a=4B.当b= -4时，顶点的坐标为（2，-8）C.当x= -1 时，b> -5D.当x>3时，y随x的增大而增大【答案】C【解析】选项A,由对称轴为直线x=2可得22a--=，∴a=4，正确；选项B,∵a=4,b= -4 ∴代入解析式可得，y=x 2-4x-4，当x=2时，y=-8,∴顶点的坐标为（2，-8），正确；选项C ，由图像可知，x=-1时，y=0，代入解析式得B=-5，∴错误；选项D 由图像可以看出当x>3时，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，正确，故选C.二、填空题14. （2019·遂宁）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 落在坐标原点，点A,点C 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，G 为线段OA 上一点，将△OCG 沿CG 翻折，O 点恰好落在对角线AC 上的点P 处，反比例函数xy 12=经过点B ，二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图像经过C （0,3），G 、A 三点，则该二次函数的解析式为（填一般式）【答案】3411212+-=x x y 【解析】∵矩形OABC ，C （0,3）∴B 点的纵坐标为3，∵反比例函数x y 12=经过点B ，∴B(4,3），A （4,0），∴OA=4，∵C （0,3），∴OC=3，∴Rt △ACO 中，AC=5.设G （m,0)则OG=m ∵翻折∴GP=OG=m,CP=CO=3,∴AP=2，AG=4-m,∴Rt △AGP 中，m 2+22=(4-m)2,∴m=23,∴G(23,0），∵A （4,0）C （0,3）G(23,0）∴解析式为3411212+-=x x y15．(2019·广元)如图,抛物线y ＝ax 2+bx+c(a ≠0)过点(－1,0),(0,2),且顶点在第一象限,设M ＝4a+2b+c,则M 的取值范围是________.第15题图 【答案】－6<M<6【解析】∵y ＝ax 2+bx+c 过点(－1,0),(0,2),∴c ＝2,a －b ＝－2,∴b ＝a+2,∵顶点在第一象限,∴2ba>0,∴a<0,b>0,a+2>0,a>－2,∴－2<a<0,M ＝4a+2b+c ＝4a+2(a+2)+2＝6a+6,∴－6<M<6.18．（2019·衡阳）在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2的图象如图所示．已知点A 坐标为（1，1），过点A 作AA 1∥x 轴交抛物线于点A 1，过点A 1作A 1A 2∥OA 交抛物线于点A 2，过点A 2作A 2A 3∥x 轴交抛物线于点A 3，过点A 3作A 3A 4∥OA 交抛物线于点A 4…，依次进行下去，则点A 2019的坐标为 ．【答案】（－1010，10102）【解析】A （1，1），A 1（－1，1），A 2（2，4），A 3（－2，4），A 4（3，9），A 5（－3，9），…，A 2019（－1000，1000 2）．11．（2019·株洲）若二次函数2y ax bx =+的图像开口向下，则a 0（填“＝”或“＞”或“＜”）． 【答案】＜【解析】二次函数开口向下，则a<0。
2019年人教版中考数学《二次函数的图象与性质》复习课件
或利用顶点公式求得抛物线的顶点坐标;
(2)对称取点:首先应取顶点,然后在对称轴两侧对称取点,其目的是为了方便
计算,取点个数一般不少于5个; (3)曲线平滑:由于所取的点只是函数图象上的几个点,因此连接时要用“平
滑”的曲线,并且所画曲线要超出所描的
第一个 点和 最后一个 点.
中考题型突破
题型一 考查二次函数的图象
(3)设同一个自变量的值对应的两函数值分别为p,q,
1 1 1 1 2 2 2 2 ( x 2) 3 则q-p= ( x +2) = ( x +2) -3 ( x +2) =-3,即两函数值相差3个单 10 10 10 10 1 1 2 位,∴把y1= (x+2) 的图象向下平移3个单位,则得到y1= (x+2)2-3的图象. 10 10
二次函数的图象与性质
基础知识梳理
考点一 二次函数的图象和性质
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质如下表所示
2 2
b 4ac b2 其中h 2a , k 4a :
函数表达式 y=ax +bx+c(a>0) y=ax +bx+c(a<0) 开口方向 向① 上 向② 下 对称轴 x =h x =h 顶点坐标 (h,k) (h,k)
抛物线的顶点坐标、对称轴代入,得到关于
解方程组即可得到a,h,k的值,进而得到这个二次函数; (3)若已知抛物线与x轴的两交点坐标,根据抛物线的 对称性 ,可以得到
抛物线的对称轴,然后利用设顶点式的方法,即可求得这个二次函数.
考点四
利用描点法画二次函数的图象
因为二次函数的图象是一条抛物线,因此,在利用描点法画函数图象时,应注 意下列三点:(1)取点之前应了解所画函数图象的大致形状,如抛物线的 开口方向 顶点式 、 顶点 、 对称轴 等,为此先把函数表达式化为
中考数学专题《二次函数的图像和性质》
2022-2023学年人教版数学九年级上册压轴题专题精选汇编专题05 二次函数的图像和性质考试时间：120分钟试卷满分：100分姓名：__________ 班级：__________考号：__________题号一二三总分得分评卷人得分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022春•长沙期末）抛物线y＝2x2﹣4x+c经过三点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（ ）A．y2＞y3＞y1B．y1＞y2＞y3C．y2＞y1＞y3D．y1＞y3＞y22．（2分）（2022春•长沙期末）已知二次函数y＝（x﹣1）2+1，则关于该函数的下列说法正确的是（ ）A．该函数图象与y轴的交点坐标是（0，1）B．当x＞1时，y的值随x值的增大而减小C．当x取0和2时，所得到的y的值相同D．当x＝1时，y有最大值是13．（2分）（2022春•岳麓区校级期末）将抛物线y＝x2+1向下平移3个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线（ ）A．y＝（x+4）2+4B．y＝（x﹣4）2+4C．y＝（x+4）2﹣2D．y＝（x﹣4）2﹣2 4．（2分）（2022春•岳麓区校级期末）抛物线y＝（x+1）2﹣3的对称轴是（ ）A．直线x＝﹣1B．直线x＝1C．直线x＝﹣3D．直线x＝35．（2分）（2021秋•雨花区期末）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+b与y＝ax+2b （ab≠0）的图象大致如图（ ）A．B．C．D．6．（2分）（2022•长沙模拟）如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD＝BE＝5；②；③当0＜t≤5时，；④当秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是（ ）A．①②③B．②③C．①③④D．②④7．（2分）（2021秋•长沙月考）我们定义一种新函数：形如y＝|ax²+bx+c|（a≠0，b²﹣4ac ＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x²﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列结论：①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；⑤当x＝1时，函数的最大值是4；⑥若点P（a，b）在该图象上，则当b＝2时，可以找到4个不同的点P．其中正确结论的个数是（ ）A．6B．5C．4D．38．（2分）（2020秋•岳麓区校级期末）已知抛物线y＝x2+（2m﹣6）x+m2﹣3与y轴交于点A，与直线x＝4交于点B，当x＞2时，y值随x值的增大而增大．记抛物线在线段AB下方的部分为G（包含A、B两点），M为G上任意一点，设M的纵坐标为t，若t≥﹣3，则m的取值范围是（ ）A．m≥B．≤m≤3C．m≥3D．1≤m≤39．（2分）（2016•长沙校级一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（ ）A．abc＞0B．b2﹣4ac＜0C．9a+3b+c＞0D．c+8a＜010．（2分）（2021春•天心区期中）如图，抛物线G：y1＝a（x+1）2+2与H：y2＝﹣（x﹣2）2﹣1交于点B（1，﹣2），且分别与y轴交于点D、E．过点B作x轴的平行线，交抛物线于点A、C，则以下结论：①无论x取何值，y2总是负数；②抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；③当﹣3＜x＜1时，随着x的增大，y1﹣y2的值先增大后减小；④四边形AECD为正方形．其中正确的是（ ）A．①③④B．①②④C．②③④D．①②③④评卷人得分二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2019春•雨花区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣5，0）、（﹣2，0）．点P在抛物线y＝﹣2x2+4x+8上，设点P的横坐标为m．当0≤m ≤3时，△PAB的面积S的取值范围是 ．12．（2分）（2021•岳麓区开学）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③3a+c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大；⑤4a+2b≥am2﹣bm（m为任意实数）．其中正确的结论有 ．（填序号）13．（2分）（2020•天心区开学）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣，0），对称轴为直线x＝1，下列5个结论：①abc＜0；②a﹣2b+4c＝0；③2a+b＞0；④2c﹣3b＜0；⑤a+b≤m（am+b）．其中正确的结论为 ．（注：只填写正确结论的序号）14．（2分）（2019秋•浏阳市期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x＝﹣1，给出下列结果：①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b＝0；④a﹣b+c＜0；⑤3a+c＞0．其中正确结论的序号是 ．15．（2分）（2019•雨花区校级开学）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax+（a＞0）与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点M．P为抛物线的顶点．若直线OP交直线AM于点B，且M为线段AB的中点，则a的值为 ．16．（2分）（2021春•雨花区期末）如图，P是抛物线y＝x2﹣2x﹣3在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为 ．17．（2分）（2019秋•天心区校级月考）如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B 两点，点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，S△PAB＝ ．18．（2分）（2019秋•浏阳市期中）已知抛物线y＝ax2+2ax+m（a＞0）经过点（﹣4，y1）、（﹣2，y2），（1，y3），则y1、y2、y3的大小关系是 ．19．（2分）（2017秋•开福区校级期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，经过点（0，1）有以下结论：①a+b+c＜0；②b2﹣4ac＞0；③abc＞0；④4a﹣2b+c＜0；⑤c﹣a＞1，其中所有正确结论的序号是 ．20．（2分）（2015春•长沙校级期中）函数y＝x2+bx+c与y＝x的图象如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②b+c+1＝0；③3b+c+6＝0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0；其中正确的个数有 个．评卷人得分三．解答题（共7小题，满分60分）21．（6分）（2021春•岳麓区校级期末）已知二次函数如图所示，M为抛物线的顶点，其中A （1，0），B（3，0），C（0，3）．（1）求这个二次函数的解析式及顶点坐标M的坐标．（2）求直线CM的解析式．22．（8分）（2021春•天心区校级月考）在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝ax2+2x﹣1（a≠0）和直线l：y＝kx+b，点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1）均在直线l上．（1）求出直线l的解析式；（2）当a＝﹣1，二次函数y＝ax2+2x﹣1的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最大值为﹣4，求m的值；（3）若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，求a的取值范围．23．（8分）（2020秋•长沙月考）已知抛物线y＝（2m﹣1）x2+（m+1）x+3（m为常数）．（1）若该抛物线经过点（1，m+7），求m的值；（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求满足条件的最大整数m；（3）将该抛物线向下平移若干个单位长度，所得的新抛物线经过P（﹣5，y1），Q（7，y2）（其中y1＜y2）两点，当﹣5≤x≤3时，点P是该部分函数图象的最低点，求m的取值范围．24．（8分）（2020•雨花区二模）已知抛物线y＝ax2+x+c经过点A（﹣2，0）和C（0，），与x轴交于另一点B，顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E，F分别在线段AB，BD上（E点不与A，B重合），且∠DEF＝∠DAB，设AE＝x，BF＝y，求y与x的函数关系式；（3）在（2）问的条件下，△DEF能否为等腰三角形？若能，求出DF的长；若不能，请说明理由．25．（8分）（2021秋•雨花区期末）如图，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为A，交x轴于B、D两点，与y轴交于点C．（1）求线段BD的长；（2）求△ABC的面积；（3）P是抛物线对称轴上一动点，求PC+PD的最小值．26．（10分）（2021•岳麓区开学）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点在一次函数y ＝kx+t（k≠0）的图象上，则称y＝ax2+bx+c（a≠0）为y＝kx+t（k≠0）的定顶抛物线，如：y＝x2+1是y＝x+1的定顶抛物线．（1）若y＝x2﹣4是y＝﹣x+p的定顶抛物线，求p的值；（2）若二次函数y＝﹣x2+4x+7是经过点（1，3）一次函数y＝kx+t（k≠0）的定顶抛物线，求直线y＝kx+t（k≠0）与两坐标轴围成的三角形的面积；（3）若函数y＝mx﹣3（m≠0）的定顶抛物线y＝x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4，求m，n的值．27．（12分）（2021春•长沙期末）如图①，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B，与y轴交于点C，若OA＝OC＝2OB＝2．（1）求抛物线的解析式及过点B、C的直线的解析式；（2）若P为线段AC上方抛物线上一动点，求△ACP面积的最大值；（3）如图②过点A作AD⊥BC于点D，过D作DH⊥x轴于H，若G为直线DH上的动点，N 为抛物线上的动点，在x轴上是否存在点M，使得以M、N、G、H为顶点的四边形为正方形？若存在，求出M点坐标，若不存在，请说明理由．。
中考数学复习之二次函数的图像与性质,考点过关与基础练习题
18. 二次函数的应用➢ 知识过关1.二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 图像与系数a 、b 、c 的关系(1) 如果抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴有两个交点，则一元二次方程02=++c bx ax 有两个_____实数根.(2) 如果抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴只有1个交点，则一元二次方程02=++c bx ax 有两个_____实数根.(3) 如果抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴无交点，则一元二次方程02=++c bx ax 没有实数根.3. 二次函数与一次交点一次函数)0(≠+=k n kx y 的图像L 与二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程nkx y cbx ax y +=++=2{的解的个数确定 (1)方程组有两组不同的解⇔L 与G 有______交点； (2)方程组只有一组解⇔L 与G 只有______交点； (3)方程组无解⇔L 与G_______交点. 4. 二次函数的实际应用建立二次函数模型—求出二次函数解析式—结合函数解析式—解答问题.➢ 考点分类考点1 二次函数图像与系数的关系例1二次函数的图像如图所示，现有下列结论：①042>-ac b ；①a>0;①b>0；①c>0; ①039<++c b a ，则其中结论正确的有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个考点2二次函数的实际应用例2某文具店购进一批纪念册，线本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y(本)与每本纪念册的售价x(元)之间满足一次函数关系；当销售单价为22元时，销量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本.(1)请直接写出y 与x 的函数关系式；(2)当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？ (3)设该文具店每周销售这种纪念册所获昨的利润为w 元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？考点3二次函数的综合应用例3如图所示，直线与抛物线相交于点A 和点B ，点P 是线段AB 上异于A 、B 的动点，过点P 作PC①x 轴于点C ，交抛物线于点D. (1)求抛物线的解析式；(2)是否存在这样的P 点，使线段PD 的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；(3)当①PAD 为直角三角形时，求点P 的坐标.➢真题演练1．二次函数y＝ax2+bx+1的图象与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．2．函数y＝|ax2+bx+c|（a＞0，b2﹣4ac＞0）的图象是由函数y＝ax2+bx+c（a＞0，b2﹣4ac ＞0）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（）①2a+b＝0；②c＝3；③abc＞0；④将图象向上平移1个单位后与直线y＝5有3个交点．A．①②B．①③C．②③④D．①③④3．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，其对称轴为直线x＝﹣1，且过点（0，1）．有以下四个结论：①abc＞0，②a﹣b+c＞1，③3a+c＜0，④若顶点坐标为（﹣1，2），当m≤x≤1时，y有最大值为2、最小值为﹣2，此时m的取值范围是﹣3≤m≤﹣1．其中正确结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个4．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象关于直线x＝1对称，与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点．若﹣2＜x1＜﹣1，则下列四个结论：①3＜x2＜4；②3a+2b＞0；③b2＞a+c+4ac；④a＞c＞b，正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣2，并与x轴交于A，B两点，若OA＝5OB，则下列结论中：①abc＞0；②（a+c）2﹣b2＝0；③9a+4c＜0；④若m为任意实数，则am2+bm+2b≥4a，正确的个数是（）A．1B．2C．3D．46．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x=−12，且与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④关于x 的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是（）A．①③B．②④C．③④D．②③7．如图，若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则下列结论：①abc＞0；②二次函数的最大值为a+b+c；③a﹣b+c＜0；④b2﹣4ac＜0；⑤当y＞0时，﹣1＜x＜3．⑥3a+c＝0；其中正确的结论有．8．公园草坪上，自动浇水喷头喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的离地高度y（米）关于水珠与喷头的水平距离x（米）的函数解折武是y=−13x2+43x（0≤x≤4）．那么水珠的最大离地高度是米．9．东方商厦将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销量就增加1个，为了获取最大利润，则应降价元．10．中国跳水队被称为“梦之队”，跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的抛物线．已知跳板AB长为1米，距水面的高OA为3米，C 为入水点，训练时跳水曲线在离起跳点B水平距离1米时达到距水面最大高度k米，分别以OC、OA所在直线为横轴和纵轴，点O为坐标原点建立平面直角坐标系．若跳水运动员在入水时点C与点O的距离在3.5米至4米（含3.5米和4米）才能达到训练要求，则k的取值范围是．11．随着我国经济、科技的进一步发展，我国的农业生产的机械化程度越来越高，过去的包产到户就不太适合机械化的种植，现在很多地区就出现了一种新的生产模式，很多农民把自己的承包地转租给种粮大户或者新型农村合作社，出现了大农田，这些农民则成为合作社里的工人，这样更有利于机械化种植．某地某种粮大户，去年种植优质水稻200亩，平均每亩收益480元．计划今年多承包一些土地，已知每增加一亩，每亩平均收益比去年每亩平均收益减少2元．（1）该大户今年应承租多少亩土地，才能使今年总收益达到96600元？（2）该大户今年应承租多少亩土地，可以使今年总收益最大，最大收益是多少？12．在新农村建设过程中，渣濑湾村采用“花”元素打造了一座花都村庄．如图，一农户用长为25m 的篱笆，一面利用墙，围成有两个小门且中间隔有一道篱笆的长方形花圃．已知小门宽为1m ，设花圃的宽AB 为x （m ），面积为S （m 2）． （1）求S 关于x 的函数表达式．（2）如果要围成面积为54m 2的花圃，AB 的长为多少米？（3）若墙的最大长度为10m ，则能围成的花圃的最大面积为多少？并求此时AB 的长．➢ 课后练习1．已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴为x ＝1，与x 轴正半轴的交点为A （3，0），其部分图象如图所示，有下列结论：①abc ＞0； ②2c ﹣3b ＜0； ③5a +b +2c ＝0；④若B （43，y 1）、C （13，y 2）、D （−13，y 3）是抛物线上的三点，则y 1＜y 2＜y 3．其中正确结论的个数有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．已知抛物线y =12x 2﹣bx +c ，当x ＝1时，y ＜0；当x ＝2时，y ＜0．下列判断：①b 2＞2c ；②若c ＞1，则b ＞32；③已知点A （m 1，n 1），B （m 2，n 2）在抛物线y =12x 2﹣bx +c 上，当m 1＜m 2＜b 时，n 1＞n 2；④若方程12x 2﹣bx +c ＝0的两实数根为x 1，x 2，则x 1+x 2＞3．其中正确的有（ ）个． A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．如图是二次函数y ＝ax 2+bx +c 图象的一部分，图象过点A （﹣3，0），对称轴为直线x ＝﹣1，①b 2﹣4ac ＞0②4a +c ＜0③当﹣3≤x ≤1时，y ≥0④若B(−52，y 1)，C(−12，y 2)为函数图象上的两点，则y 1＞y 2，以上结论中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于点A （3，0），与y 轴的交点B 在（0，3）与（0，4）之间（不包括这两点），对称轴为直线x ＝1．下列结论：①abc ＜0；②43a +3b +c ＞0；③−43＜a ＜−1；④若x 1，x 2（x 1＜x 2）是方程ax 2+bx +c ＝m （m ＜0）的两个根，则有x 1＜﹣1＜3＜x 2．其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ＞0）与x 轴交于A （﹣3，0）、B 两点，与y 轴交于点C ，点（m ﹣5，n ）与点（3﹣m ，n ）也在该抛物线上．下列结论：①点B 的坐标为（1，0）；②方程ax 2+bx +c ﹣2＝0有两个不相等的实数根；③54a +c ＜0；④当x ＝﹣t 2﹣2时，y ≥c ．正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，且抛物线经过点（1，0），下面给出了四个结论：①abc＞0；②a﹣2b+4c＞0；③5a+c＜b；④a﹣b=13c．其中结论正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．如图，物体从点A抛出，物体的高度y（m）与飞行时间t（s）近似满足函数关系式y=−1 5（t﹣3）2+5．（1）OA＝m．（2）在飞行过程中，若物体在某一个高度时总对应两个不同的时间，则t的取值范围是．8．某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离S（米）关于滑行的时间t（秒）的函数解析式是S＝﹣0.25t2+8t，无人机着陆后滑行秒才能停下来．9．图1是一个斜坡的横截面，tanα=12，斜坡顶端B与地面的距离为3米，为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头A，喷头A喷出的水柱在空中走过的曲线可以看作抛物线的一部分，设喷出水柱的竖直高度为y（单位：米）（水柱的竖直高度是指水柱与地面的距离），水柱与喷头A的水平距离为x（单位：米），图2记录了y与x 的相关数据，则y与x的函数关系式为．10．如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2，则小球飞出s时，达到最大高度．11.开学季，福山振华量贩超市从厂家购进A、B两种型号的书包，两次购进书包的情况如表：进货批次A型书包（个）B型书包（个）总费用（元）一1002008000二20030013000（1）求A、B两种型号的书包进价各是多少元？（2）在销售过程中，A型书包因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B型书包的销售量，超市决定对B型书包进行降价销售，当销售价为44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B型书包降价多少元时，每天售出B型书包的利润达到最大？最大利润是多少？（3）第三次进货用10000元钱购进这两种书包，如果每销售出一个A型书包可获利9元，售出一个B型书包可获利6元，超市决定每售出一个A型书包就为当地“新冠疫情防控”捐b元用于购买防控物资．若A、B两种型号的书包在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时b为多少？利润为多少？➢冲击A+已知△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接DB，DC．（1）如图①，当∠BAC＝120°时，请直接写出线段AB，AC，AD之间满足的等量关系式：；（2）如图②，当∠BAC＝90°时，试探究线段AB，AC，AD之间满足的等量关系，并证明你的结论；（3）如图③，若BC＝5，BD＝4，求ADAB+AC的值．。
2019年中考数学总复习 第12讲 二次函数的图象与性质 新版 新人教版
图象
（1）比较二次函数函数值大小的方法：①直接代入求值法；②性质法：当自变量在对称轴同侧时，根据函数的性质判断；当自变量在对称轴异侧时，可先利用函数的对称性转化到同侧，再利用性质比较；④图象法：画出草图，描点 后比较函数值大小.
失分点警示
（2）在自变量限定范围求二次函数的最值时，首先考虑对称轴是否在取值范围内，而不能盲目根据公式求解.
当Δ＝b2－4ac＞0，两个不相等的实数根；
当Δ＝b2－4ac＝0，两个相等的实数根；
当Δ＝b2－4ac＜0，无实根
例：已经二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为（1,0），则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两个实数根为2,1.
6.
二次函数与不等式
抛物线y=a x2＋bx＋c＝0在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标均为负，所对应的x的值就是不等式ax2＋bx＋c＜0的解集.
b2－4ac
决定抛物线与x轴的交点个数
b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点;
b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点;
b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点
知识点三：二次函数的平移
4.平移与解析式的关系
注意：二次函数的平移实质是顶点坐标的平移，因此只要找出原函数顶点的平移方式即可确定平移后的函数解析式
第12讲二次函数的图象与性质
一、知识清单梳理
知识点一：二次函数的概念及解析式
关键点拨与对应举例
1.二次函数的定义
形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.
初中中考复习之二次函数的图象和性质(精编含答案)
中考复习之二次函数的图象和性质一、选择题1.已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示对称轴为21-=x 。
下列结论中，正确的是【 】A ．0abc >B ．0a b +=C ．20b c >+D ．42a c b +< 2.已知二次函数y=﹣x 2﹣7x+，若自变量x 分别取x 1，x 2，x 3，且0＜x 1＜x 2＜x 3，则对应的函数值y 1，y 2，y 3的大小关系正确的是【 】A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 1＜y 2＜y 3C ．y 2＞y 3＞y 1D ．y 2＜y 3＜y 13.如图，已知抛物线y 1=﹣2x 2+2，直线y 2=2x+2，当x 任取一值时，x 对应的函数值分别为y 1、y 2．若y 1≠y 2，取y 1、y 2中的较小值记为M ；若y 1=y 2，记M=y 1=y 2．例如：当x=1时，y 1=0，y 2=4，y 1＜y 2，此时M=0．下列判断：①当x ＞0时，y1＞y 2； ②当x ＜0时，x 值越大，M 值越小； ③使得M 大于2的x 值不存在； ④使得M=1的x 值是或．其中正确的是【 】A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④4.已知二次函数()()2y=a x 2+c a 0>-，当自变量x 3，0时，对应的值分别为123y y y ，，，则123y y y ，，的大小关系正确的是【 】A. 321y y y <<B. 123y y y <<C. 213y y y <<D. 312y y y <<5.关于x 的二次函数()()y=x+1x m -，其图象的对称轴在y 轴的右侧，则实数m 的取值范围是【 】 A. m <1- B. 1<m<0- C. 0<m<1 D. m >16.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，它与x 轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c ＜0；④8a+c＞0．其中正确的有【 】A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个7. 已知抛物线y=ax 2﹣2x+1与x 轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是【 】A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限8.抛物线2y x 12=-+（）的顶点坐标是【 】A ．（－1，2）B ．（－1，－2）C ．（1，－2）D ．（1，2）9.如图为二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象，则下列说法： ①a＞0 ②2a+b=0 ③a+b+c＞0 ④当﹣1＜x ＜3时，y ＞0 其中正确的个数为【 】A ．1B ．2C ．3D ．410.如图，已知抛物线与x 轴的一个交点A （1，0），对称轴是x=﹣1，则该抛物线与x 轴的另一交点坐标是【 】A ．（﹣3，0）B ．（﹣2，0）C ．x=﹣3D ．x=﹣211.二次函数y=ax 2+bx+1（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（﹣1，0）．设t=a+b+1，则t 值的变化范围是【 】A ．0＜t ＜1B ．0＜t ＜2C ．1＜t ＜2D ．﹣1＜t ＜112.若二次函数22y ax bx a 2=++-（a ，b 为常数）的图象如图，则a 的值为【 】A. 1B. 2C. 2-D. -213.设二次函数2y x bx c =++，当x 1≤时，总有y 0≥，当1x 3≤≤时，总有y 0≤，那么c 的取值范围是【 】A.c 3=B.c 3≥C.1c 3≤≤D.c 3≤ 14.对于二次函数y 2(x 1)(x 3)=+-，下列说法正确的是【 】A. 图象的开口向下B. 当x>1时，y 随x 的增大而减小C. 当x<1时，y 随x 的增大而减小D. 图象的对称轴是直线x=－1 15.如图，二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点B 坐标（﹣1，0），下面的四个结论：①OA=3；②a+b+c＜0；③ac＞0；④b 2﹣4ac ＞0．其中正确的结论是【 】A ．①④B ．①③C ．②④D ．①② 16.抛物线234y x x =--+ 与坐标轴的交点个数是【 】 A ．3 B ．2 C ．1 D ．017.如图，二次函数的图象经过（－2，－1），（1，1）两点，则下列关于此二次函数的说法正确的是【 】A ．y 的最大值小于0B ．当x=0时，y 的值大于1C ．当x=－1时，y 的值大于1D ．当x=－3时，y 的值小于018.二次函数y=ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象如图所示，给出下列结论：① b 2－4ac>0；② 2a＋b<0；③ 4a－2b ＋c=0；④ a︰b ︰c= －1︰2︰3.其中正确的是【 】 (A ) ①② (B) ②③ (C) ③④ (D)①④19.二次函数2y ax bx =+的图象如图，若一元二次方程20ax bx m ++=有实数根，则m 的最大值为【 】A ．3-B ．3C ．6-D ．920.设A 1(2)y -，，B 2(1)y ，，C 3(2)y ，是抛物线2(1)y x a =-++上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为【 】A ．213y y y >>B ．312y y y >>C ．321y y y >>D ．312y y y >>21.二次函数()2y=ax +bx+c a 0≠的图象如图所示，下列结论错误的是【 】 A.abc ＞0 B.3a ＞2b C.m （am ＋b ）≤a－b D.4a －2b ＋c ＜0 22.已知二次函数y=2（x ﹣3）2+1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=﹣3；③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；④当x ＜3时，y 随x 的增大而减小．则其中说法正确的有【 】 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个23.抛物线2y ax bx 3=+-经过点（2，4），则代数式8a 4b 1++的值为【 】A ．3B ．9C ．15D ．15-24.如图，抛物线y 1=a （x ＋2）2－3与y 2=12（x －3）2＋1交于点A （1，3），过点A 作x 轴的平行线，分别交两条抛物线于点B ，C ．则以下结论：①无论x 取何值，y 2的值总是正数；②a=1；③当x=0时，y 2－y 1=4；④2AB=3AC；其中正确结论是【 】A ．①②B ．②③ C．③④ D．①④25.二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则函数值y 0<时x 的取值范围是【 】 A ．x 1<- B ．x ＞3 C ．－1＜x ＜3 D ．x 1<-或x ＞3 26.抛物线y ＝－2x 2＋1的对称轴是【 】 A ．直线1x=2 B ．直线1x=2-C ．y 轴D ．直线x ＝2 27.已知二次函数y ＝a(x ＋1)2－b(a≠0)有最小值，则a ，b 的大小关系为【 】 A ．a ＞b B ．a ＜b C ．a ＝b D ．不能确定28.如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点(－1，1)、(2，－1)．下列关于这个二次函数的叙述正确的是【 】A ．当x ＝0时，y 的值大于1B ．当x ＝3时，y 的值小于0C ．当x ＝1时，y 的值大于1D ．y 的最大值小于029.已知二次函数y=ax 2+bx+c(a≠O)的图象如图所示，现有下列结论：①abc>0 ②b 2－4ac<0 ⑤c<4b ④a＋b>0，则其中正确结论的个数是【 】 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个30.抛物线2y ax bx c =++与x 轴的交点坐标是(－l ，0)和(3，0)，则这条抛物线的对称轴是【 】．A ．直线x=－1 8．直线x=0 C ．直线x=1 D ．直线x= 3 31如图是二次函数2y=ax +bx+c 的部分图象，由图象可知不等式2ax +bx+c<0的解集是【 】A ．1<x<5-B ．x>5C ．x<1-且x>5D ．1<x -或x>5 二、填空题：1.二次函数622+-=x x y 的最小值是 ．2.已知点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）在二次函数y=（x －1）2+1的图象上，若x 1＞x 2＞1，则y 1 y 2. 3.若抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点是A （2，1），且经过点B （1，0），则抛物线的函数关系式为 ． 4.对于二次函数2y x 2mx 3=--，有下列说法：①它的图象与x 轴有两个公共点；②如果当x ≤1时y 随x 的增大而减小，则m 1=； ③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m 1=-；④如果当x 4=时的函数值与x 2008=时的函数值相等，则当x 2012=时的函数值为3-．其中正确的说法是 ．（把你认为正确说法的序号都填上） 5.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象的对称轴是直线x ＝1，其图象的一部分如图所示．下列说法正确的是 (填正确结论的序号)．①abc＜0；②a－b ＋c ＜0；③3a＋c ＜0；④当－1＜x ＜3时，y ＞0．6.二次函数n x x y +-=62的部分图像如图所示，若关于x 的一元二次方程062=+-n x x 的一个解为11=x ，则另一个解2x = ．7.二次函数2y x 2x 3=--的图象如图所示．当y ＜0时，自变量x 的取值范围是 ．8.当x= 时，二次函数y=x 2+2x ﹣2有最小值．9.如图，在平面直角坐标系中，点A 是抛物线()2y=a x 3+k -与y 轴的交点，点B 是这条抛物线上的另一点，且AB∥x 轴，则以AB 为边的等边三角形ABC 的周长为 .10.若抛物线2y ax bx c =++经过点(－1，10)，则a b c -+= ． 11.已知二次函数y=－x 2－2x ＋3的图象上有两点A(－7，1y )，B(－8，2y )，则1y 2y .（用>、<、=填空）． 12.将抛物线y=x 2+x 向下平移2个单位，所得抛物线的表达式是 ． 三、解答题1.已知二次函数23y (t 1)x 2(t 2)x 2=++++在x 0=和x 2=时的函数值相等。
中考数学第12讲 二次函数的图象与性质
3. (2019·梧州)已知m＞0，关于x的一元二次方程(x＋1)(x－2)－m＝0的解 为x1，x2(x1＜x2)，则下列结论正确的是(A ) A. x1＜－1＜2＜x2 B. －1＜x1＜2＜x2 C. －1＜x1＜x2＜2 D. x1＜－1＜x2＜2 4. (2020·菏泽)一次函数y＝acx＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c 在同一平面直角坐标系中的图象可能是( B )
其部分图象如图所示．以下结论错误的是(C)
A. abc＞0
B. 4ac－b2＜0
C. 3a＋c＞0
D. 关于x的方程ax2＋bx＋c＝n＋1无实数根
6. (2019·荆门)抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数)的顶点为P，且抛物 线经过点A(－1，0)，B(m，0)，C(－2，n)(1＜m＜3，n＜0)，下列结论：
9. (2020·河南)如图，抛物线y＝－x2＋2x＋c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交 于点A，B，且OA＝OB，点G为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式及点G的坐标； (2)点M，N为抛物线上两点(点M在点N的左侧)，且到对称轴的距离分别为3 个单位长度和5个单位长度，点Q为抛物线上点M，N之间(含点M，N)的一个 动点，求点Q的纵坐标yQ的取值范围．
＋ra2
＝0，即
1 a(r
)2＋b·1r
＋1＝0，
∴1r 是方程 ax2＋bx＋1＝0 的一个实数根，
即函数 y2 的图象经过点(1r ，0).
(3)解：由题意 a＞0，∴m＝4a－4 b2 ，n＝4a4－a b2 ，
∵m＋n＝0，∴4a－4 b2
＋4a－b2 4a
＝0，
∴(4a－b2)(a＋1)＝0， ∵a＋1＞0，∴4a－b2＝0，∴m＝n＝0.
2019中考数学专题复习过关集训 函数图象性质题 类型二 二次函数性质综合题真题回顾 新人教版
类型二 二次函数性质综合题1. 如图，已知经过原点的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为直线x ＝－1.下列结论中：①ab ＞0；②a ＋b ＋c ＞0；③当－2＜x ＜0时，y ＜0.正确的个数是( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个第1题图2. 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，有下列结论：①ac >0；②a －b ＋c <0；③当x <0时，y <0；④方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个大于－1的实数根．其中，错误的结论是( )A. ②③B. ②④C. ①③D. ①④第2题图3. 如图，垂直于x 轴的直线AB 分别与抛物线C 1：y ＝x 2(x ≥0)和抛物线C 2：y ＝x 24(x ≥0)交于A ，B 两点，过点A 作CD ∥x 轴分别与y 轴和抛物线C 2交于点C ，D ，过点B 作EF ∥x轴分别与y 轴和抛物线C 1交于点E ，F ，则S △OFBS △EAD的值为( ) A.26 B. 24 C. 14 D. 16第3题图答案1. D 【解析】逐个结论分析如下：综上所述，正确的结论有3个，故选D. 2. C 【解析】逐个结论分析如下： 综上所述，错误的结论为①③，故选C.3. D 【解析】设点A 的横坐标为a ，则A(a ，a 2)，B (a ，a 24)，C (0，a 2)，D (2a ，a 2)，∴OC ＝a 2，AD ＝CD －AC ＝2a －a ＝a ，∵点E ，F ，B 的纵坐标相同，∴E (0，a 24)，F(a 2，a 24)，∴OE ＝ a 24，BE ＝a ，EF ＝a 2，∴BF ＝BE －EF ＝a －a 2＝a 2，∴EC ＝OC －OE ＝a 2－a 24＝3a 24，∴S △OFB S △EAD ＝。
人教版九年级数学专题《二次函数图像和性质》(含答案及解析)
专题22.1 二次函数的图像和性质知识点解读 1.定义一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数。
其中x 是自变量，a 、b 、c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项。
2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点。
①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同。
②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x 。
3.几种特殊的二次函数的图像特征如下4.求抛物线的顶点、对称轴的方法①公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=， ∴顶点是），（ab ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=。
②配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =。
③运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点。
若已知抛物线上两点12(,)(,)、x y x y （及y 值相同），则对称轴方程可以表示为：122x x x +=5.抛物线c bx ax y ++=2中， a 、b 、c 的作用①a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样。
②b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线abx 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧。
③c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置。
当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴； ③0<c ,与y 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0<ab6.用待定系数法求二次函数的解析式一般情况下设二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c ，结合题中条件解出a 、b 、c 就可以求出二次函数的解析式。
专题12二次函数图象性质与应用问题(共38题)-备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练(全国通用
备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）专题12二次函数图象性质与应用问题（共38题）一．选择题（共23小题）1．（2022•新疆）已知抛物线y＝（x﹣2）2+1，下列结论错误的是（）A．抛物线开口向上B．抛物线的对称轴为直线x＝2C．抛物线的顶点坐标为（2，1）D．当x＜2时，y随x的增大而增大2．（2022•陕西）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y2＜y3＜y13．（2022•嘉兴）已知点A（a，b），B（4，c）在直线y＝kx+3（k为常数，k≠0）上，若ab的最大值为9，则c的值为（）A．1B．C．2D．4．（2022•宁波）点A（m﹣1，y1），B（m，y2）都在二次函数y＝（x﹣1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m 的取值范围为（）A．m＞2B．m＞C．m＜1D．＜m＜25．（2022•泰安）抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x﹣2﹣101y0466下列结论不正确的是（）A．抛物线的开口向下B．抛物线的对称轴为直线x＝C．抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0）D．函数y＝ax2+bx+c的最大值为6．（2022•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx﹣c（a≠0），其中b＞0、c＞0，则该函数的图象可能为（）A．B．C．D．7．（2022•温州）已知点A（a，2），B（b，2），C（c，7）都在抛物线y＝（x﹣1）2﹣2上，点A在点B左侧，下列选项正确的是（）A．若c＜0，则a＜c＜b B．若c＜0，则a＜b＜cC．若c＞0，则a＜c＜b D．若c＞0，则a＜b＜c8．（2022•绍兴）已知抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+mx＝5的根是（）A．0，4B．1，5C．1，﹣5D．﹣1，59．（2022•舟山）已知点A（a，b），B（4，c）在直线y＝kx+3（k为常数，k≠0）上，若ab的最大值为9，则c的值为（）A．B．2C．D．110．（2022•凉山州）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0）和点（0，﹣3），且对称轴在y轴的左侧，则下列结论错误的是（）A．a＞0B．a+b＝3C．抛物线经过点（﹣1，0）D．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有两个不相等的实数根11．（2022•泸州）抛物线y＝﹣x2+x+1经平移后，不可能得到的抛物线是（）A．y＝﹣x2+x B．y＝﹣x2﹣4C．y＝﹣x2+2021x﹣2022D．y＝﹣x2+x+112．（2022•成都）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B两点，对称轴是直线x ＝1，下列说法正确的是（）A．a＞0B．当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大C．点B的坐标为（4，0）D．4a+2b+c＞013．（2022•滨州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣2，0）、B（6，0），与y轴相交于点C，小红同学得出了以下结论：①b2﹣4ac＞0；②4a+b＝0；③当y＞0时，﹣2＜x＜6；④a+b+c＜0．其中正确的个数为（）A．4B．3C．2D．114．（2022•随州）如图，已知开口向下的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．则下列结论正确的有（）①abc＞0；②2a+b＝0；③函数y＝ax2+bx+c的最大值为﹣4a；④若关于x的方程ax2+bx+c＝a+1无实数根，则﹣＜a＜0．A．1个B．2个C．3个D．4个15．（2022•广元）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）abc＜0；（2）4a+c＞2b；（3）3b﹣2c＞0；（4）若点A（﹣2，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）4a+2b≥m（am+b）（m为常数）．其中正确的结论有（）A．5个B．4个C．3个D．2个16．（2022•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，0＜a＜c）经过点（1，0），有下列结论：①2a+b＜0；②当x＞1时，y随x的增大而增大；③关于x的方程ax2+bx+（b+c）＝0有两个不相等的实数根．其中，正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．317．（2022•陕西）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y318．（2022•杭州）已知二次函数y＝x2+ax+b（a，b为常数）．命题①：该函数的图象经过点（1，0）；命题②：该函数的图象经过点（3，0）；命题③：该函数的图象与x轴的交点位于y轴的两侧；命题④：该函数的图象的对称轴为直线x＝1．如果这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是（）A．命题①B．命题②C．命题③D．命题④19．（2022•达州）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，与y轴交于（0，﹣1），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②a＞；③对于任意实数m，都有m（am+b）＞a+b成立；④若（﹣2，y1），（，y2），（2，y3）在该函数图象上，则y3＜y2＜y1；⑤方程|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k为常数）的所有根的和为4．其中正确结论有（）个．A．2B．3C．4D．520．（2022•自贡）九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（）A．方案1B．方案2C．方案3D．方案1或方案221．（2022•自贡）已知A（﹣3，﹣2），B（1，﹣2），抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：①c≥﹣2；②当x＞0时，一定有y随x的增大而增大；③若点D横坐标的最小值为﹣5，则点C横坐标的最大值为3；④当四边形ABCD为平行四边形时，a＝．其中正确的是（）A．①③B．②③C．①④D．①③④22．（2022•南充）已知点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线y＝mx2﹣2m2x+n（m≠0）上，当x1+x2＞4且x1＜x2时，都有y1＜y2，则m的取值范围为（）A．0＜m≤2B．﹣2≤m＜0C．m＞2D．m＜﹣223．（2022•湖州）将抛物线y＝x2向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是（）A．y＝x2+3B．y＝x2﹣3C．y＝（x+3）2D．y＝（x﹣3）2二．填空题（共8小题）24．（2022•武汉）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）开口向下，过A（﹣1，0），B（m，0）两点，且1＜m＜2．下列四个结论：①b＞0；②若m＝，则3a+2c＜0；③若点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，x1＜x2，且x1+x2＞1，则y1＞y2；④当a≤﹣1时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1必有两个不相等的实数根．其中正确的是（填写序号）．25．（2022•新疆）如图，用一段长为16m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为m2．26．（2022•武威）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：h＝﹣5t2+20t，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间t＝s．27．（2022•连云港）如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y＝﹣0.2x2+x+2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m，则他距篮筐中心的水平距离OH是m．28．（2022•凉山州）已知实数a、b满足a﹣b2＝4，则代数式a2﹣3b2+a﹣14的最小值是．29．（2022•南充）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距O点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O点3m．那么喷头高m时，水柱落点距O 点4m．30．（2022•遂宁）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象如图所示，设m＝a﹣b+c，则m的取值范围是．31．（2022•成都）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度h（米）与物体运动的时间t（秒）之间满足函数关系h＝﹣5t2+mt+n，其图象如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设w表示0秒到t秒时h的值的“极差”（即0秒到t秒时h 的最大值与最小值的差），则当0≤t≤1时，w的取值范围是；当2≤t≤3时，w的取值范围是．三．解答题（共7小题）32．（2022•常德）如图，已知抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为x＝2．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，当△OAB的面积为15时，求B的坐标；（3）P是抛物线上的动点，当P A﹣PB的值最大时，求P的坐标以及P A﹣PB的最大值．33．（2022•湘潭）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长12m）和21m长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE＝1m的水池，且需保证总种植面积为32m2，试分别确定CG、DG的长；（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？34．（2022•随州）2022年的冬奥会在北京举行，其中冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受人们喜爱，多地出现了“一墩难求”的场面．某纪念品商店在开始售卖当天提供150个“冰墩墩”后很快就被抢购一空，该店决定让当天未购买到的顾客可通过预约在第二天优先购买，并且从第二天起，每天比前一天多供应m个（m为正整数）．经过连续15天的销售统计，得到第x天（1≤x≤15，且x为正整数）的供应量y1（单位：个）和需求量y2（单位：个）的部分数据如下表，其中需求量y2与x满足某二次函数关系．（假设当天预约的顾客第二天都会购买，当天的需求量不包括前一天的预约数）第x天12...6...11 (15)150150+m…150+5m…150+10m…150+14m 供应量y1（个）220229...245...220 (164)需求量y2（个）（1）直接写出y1与x和y2与x的函数关系式；（不要求写出x的取值范围）（2）已知从第10天开始，有需求的顾客都不需要预约就能购买到（即前9天的总需求量超过总供应量，前10天的总需求量不超过总供应量），求m的值；（参考数据：前9天的总需求量为2136个）（3）在第（2）问m取最小值的条件下，若每个“冰墩墩”售价为100元，求第4天与第12天的销售额．35．（2022•武汉）在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在A处开始减速，此时白球在黑球前面70cm处．小聪测量黑球减速后的运动速度v（单位：cm/s）、运动距离y（单位：cm）随运动时间t（单位：s）变化的数据，整理得下表．运动时间t/s01234运动速度v/cm/s109.598.58运动距离y/cm09.751927.7536小聪探究发现，黑球的运动速度v与运动时间t之间成一次函数关系，运动距离y与运动时间t之间成二次函数关系．（1）直接写出v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）当黑球减速后运动距离为64cm时，求它此时的运动速度；（3）若白球一直以2cm/s的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由．36．（2022•孝感）为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区新建一小型活动广场，计划在360m2的绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用y（元/m2）与种植面积x（m2）之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为15元/m2．（1）当x≤100时，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）当甲种花卉种植面积不少于30m2，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍时．①如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用w（元）最少？最少是多少元？②受投入资金的限制，种植总费用不超过6000元，请直接写出甲种花卉种植面积x的取值范围．37．（2022•绍兴）已知函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．（1）求b，c的值．（2）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．38．（2022•滨州）某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件．假定每月的销售件数y是销售价格x（单位：元）的一次函数．（1）求y关于x的一次函数解析式；（2）当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？并求此最大利润．。
中考数学专题复习资料-二次函数
专题12 二次函数1．二次函数的概念：一般地，自变量x 和因变量y 之间存在如下关系： y=ax 2+bx+c(a≠0，a 、b 、c 为常数)，则称y 为x 的二次函数。
抛物线)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。
2.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图像与性质（1）对称轴：2b x a=-（2）顶点坐标：24(,)24b ac b a a-- （3）与y 轴交点坐标（0，c ） （4）增减性：当a>0时，对称轴左边，y 随x 增大而减小；对称轴右边，y 随x 增大而增大； 当a<0时，对称轴左边，y 随x 增大而增大；对称轴右边，y 随x 增大而减小。
3.二次函数的解析式三种形式。
（1）一般式 y=ax 2+bx+c(a ≠0).已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式 2()y a x h k =-+224()24b ac b y a x a a-=-+ 已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。
（3）交点式 12()()y a x x x x =--专题知识回顾已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式。
4．根据图像判断a,b,c 的符号（1）a 确定开口方向 ：当a>0时，抛物线的开口向上；当a<0时，抛物线的开口向下。
（2）b ——对称轴与a 左同右异。
（3）抛物线与y 轴交点坐标（0，c ） 5．二次函数与一元二次方程的关系抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交点的横坐标x 1, x 2 是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根。
抛物线y=ax 2+bx+c ，当y=0时，抛物线便转化为一元二次方程ax 2+bx+c=024b ac ->0时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与x 轴有两个交点； 24b ac -=0时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x 轴有一个交点； 24b ac -<0时，一元二次方程有不等的实根，二次函数图像与x 轴没有交点。
2019年全国中考数学真题分类 二次函数的图象和性质(印刷版)
第六章二次函数课标要求1. 理解二次函数与抛物线的数形关系．2. 会用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式．3. 会用待定系数法确定二次函数的解析式．4. 了解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系，会用图象法解一元二次方程和一元二次不等式．5. 熟悉抛物线的性质，并能利用抛物线的性质解决实际问题．1. 二次函数的图象和性质一、选择题1. (2019·衢州)二次函数y＝(x－1)2＋3图象的顶点坐标是()A. (1，3)B. (1，－3)C. (－1，3)D. (－1，－3)2. (2019·重庆)抛物线y＝－3x2＋6x＋2的对称轴是()A. 直线x＝2B. 直线x＝－2C. 直线x＝1D. 直线x＝－13. (2019·河南)已知抛物线y＝－x2＋bx＋4经过(－2，n)和(4，n)两点，则n 的值为()A. －2B. －4C. 2D. 44. (2019·兰州)已知点A(1，y1)，B(2，y2)在抛物线y＝－(x＋1)2＋2上，则下列结论正确的是()A. 2>y1>y2B. 2>y2>y1C. y1>y2>2D. y2>y1>25. (2019·哈尔滨)将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线对应的函数解析式为()A. y＝2(x＋2)2＋3B. y＝2(x－2)2＋3C. y＝2(x－2)2－3D. y＝2(x＋2)2－36. (2019·西藏)要得到函数y＝－12(x－1)2＋1的图象，可以把函数y＝－12x2的图象()A. 向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度B. 向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度C. 向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度D. 向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度7. (2019·百色)要得到抛物线y＝x2＋6x＋7，可把抛物线y＝x2()A. 先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度B. 先向左平移6个单位长度，再向上平移7个单位长度C. 先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度D. 先回右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度8. (2019·雅安)在平面直角坐标系中，对于二次函数y＝(x－2)2＋1，下列说法错误的是()A. y的最小值为1B. 图象顶点坐标为(2，1)，对称轴为直线x＝2C. 当x<2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x值的增大而减小D. 它的图象可以由y＝x2的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到9. (2019·淄博)将二次函数y＝x2－4x＋a的图象向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，若得到的函数图象与直线y＝2有两个交点，则a的取值范围是()A. a>3B. a<3C. a>5D. a<510. (2019·河池)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，则下列结论中，错误的是()第10题A. ac<0B. b2－4ac>0C. 2a－b＝0D. a－b＋c＝011. (2019·成都)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A(1，0)，B(5，0)，下列说法正确的是()第11题A. c<0B. b2－4ac<0C. a－b＋c<0D. 图象的对称轴是直线x＝312. (2019·沈阳)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论正确的是()第12题A. abc<0B. b2－4ac<0C. a－b＋c<0D. 2a＋b＝013. (2019·娄底)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc<0；②b2－4ac<0；③2a>b；④(a＋c)2<b2.其中正确的有()第13题A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个14. (2019·鄂州)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴是直线x ＝1. 下列结论：①abc<0；②3a＋c>0；③(a＋c)2－b2<0；④a＋b≤m(am ＋b)(m为实数)．其中结论正确的个数为()第14题A. 1B. 2C. 3D. 415. (2019·通辽)在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示．有下列结论：①abc<0；②c＋2a<0；③9a－3b＋c＝0；④a －b≥m(am＋b)(m为实数)；⑤4ac－b2<0.其中错误结论的个数是()第15题A. 1B. 2C. 3D. 416. (2019·葫芦岛)二次函数y＝ax2＋bx的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋b的图象大致是()第16题A BC D17. (2019·呼和浩特)二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a在同一坐标系中的大致图象可能是()A BC D18. (2019·湖州)已知a，b是非零实数，|a|>|b|，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2＋bx与一次函数y2＝ax＋b的大致图象不可能是()A BC D19. (2019·陕西)在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2＋(2m－1)x＋2m －4与y＝x2－(3m＋n)x＋n关于y轴对称，则符合条件的m，n的值为()A. 57，－187 B. 5，－6C. －1，6D. 1，－220. (2019·贵阳)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－1，0)，点B(1，1)都在直线y＝12x＋12上，若抛物线y＝ax2－x＋1(a≠0)与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是()第20题A. a≤－2B. a<9 8C. 1≤a<98或a≤－2 D. －2≤a<9821. (2019·玉林)如图，抛物线C：y＝12(x－1)2－1，顶点为D，将C沿水平方向向右(或向左)平移m个单位长度，得到抛物线C1，顶点为D1，C与C1相交于点Q，若∠DQD1＝60°，则m的值为()第21题A. ±4 3B. ±2 3C. －2或2 3D. －4或4 322. (2019·宜宾)已知抛物线y＝x2－1与y轴交于点A，与直线y＝kx(k为任意实数)相交于B，C两点，则下列结论不正确的是()A. 存在实数k，使得△ABC为等腰三角形B. 存在实数k，使得△ABC的内角中有两角分别为30°和60°C. 任意实数k，使得△ABC都为直角三角形D. 存在实数k，使得△ABC为等边三角形23. (2019·福建)若二次函数y＝|a|x2＋bx＋c的图象经过不同的五点A(m，n)，B(0，y1)，C(3－m，n)，D(2，y2)，E(2，y3)，则y1，y2，y3的大小关系是()A. y1<y2<y3B. y1<y3<y2C. y3<y2<y1D. y2<y3<y124. (2019·资阳)如图是函数y＝x2－2x－3(0≤x≤4)的图象，直线l∥x轴且过点(0，m)，将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线l下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m的取值范围是()第24题A. m≥1B. m≤0C. 0≤m≤1D. m≥1或m≤025. (2019·岳阳)对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y＝x2＋2x＋c有两个相异的不动点x1，x2，且x1<1<x2，那么c的取值范围是()A. c<－3B. c<－2C. c<14 D. c<1二、填空题26. (2019·哈尔滨)二次函数y＝－(x－6)2＋8的最大值是________．27. (2019·荆州)二次函数y＝－2x2－4x＋5的最大值是________．28. (2019·白银)将二次函数y＝x2－4x＋5化成y＝a(x－h)2＋k的形式为____________．29. (2019·凉山州)将抛物线y＝(x－3)2－2向左平移________个单位长度后经过点A(2，2)．30. (2019·宜宾)将抛物线y＝2x2的图象，向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数解析式为______________．31. (2019·广元)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过点(－1，0)，(0，2)，且顶点在第一象限，设M＝4a＋2b＋c，则M的取值范围是__________．第31题32. (2019·天水)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，若M＝4a＋2b，N＝a－b.则M，N的大小关系为M________N(填“>”“<”或“＝”)．第32题33. (2019·荆门)抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数)的顶点为P，且抛物线经过点A(－1，0)，B(m，0)，C(－2，n)(1<m<3，n<0)．下列结论：①abc>0；② 3a ＋c<0；③ a(m －1)＋2b>0；④ 当a ＝－1时，存在点P 使△PAB 为直角三角形．其中正确的为________(填序号)．34. (2019·镇江)已知抛物线y ＝ax 2＋4ax ＋4a ＋1(a ≠0)过点A(m ，3)，B(n ，3)两点，若线段AB 的长不大于4，则代数式a 2＋a ＋1的最小值是________．35. (2019·内江)若x ，y ，z 为实数，且⎩⎨⎧x ＋2y －z ＝4，x －y ＋2z ＝1，则代数式x 2－3y 2＋z 2的最大值是________．36. (2019·雅安)函数y ＝⎩⎨⎧－x 2＋2x （x>0），－x （x ≤0）的图象如图所示．若直线y ＝x ＋m 与该图象恰有三个不同的交点，则m 的取值范围为__________．第36题37. (2019·大庆)如图，抛物线y ＝14p x 2(p>0)，点F(0，p)，直线l ：y ＝－p ，已知抛物线上的点到点F 的距离与到直线l 的距离相等，过点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，AA 1⊥l ，BB 1⊥l ，垂足分别为A 1，B 1，连接A 1F ，B 1F ，A 1O ，B 1O.若A 1F ＝a ，B 1F ＝b ，则△A 1OB 1的面积为________(只用a ，b 表示)．第37题38. (2019·衡阳)在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2的图象如图所示．已知点A 的坐标为(1，1)，过点A 作AA 1∥x 轴交抛物线于点A 1，过点A 1作A 1A 2∥OA 交抛物线于点A 2，过点A 2作A 2A 3∥x 轴交抛物线于点A 3，过点A 3作A 3A 4∥OA 交抛物线于点A 4，…，依次进行下去，则点A 2 019的坐标为____________．第38题三、 解答题39. (2019·宁波)如图，二次函数y＝x2＋ax＋3的图象经过点P(－2，3)．(1) 求a的值和图象的顶点坐标．(2) 点Q(m，n)在该二次函数图象上．①当m＝2时，求n的值；②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围．第39题40.(2019·永州)如图，抛物线经过两点A(－3，0)，B(0，3)，且其对称轴为直线x＝－1.(1) 求此抛物线对应的函数解析式；(2) 若P是抛物线上点A与点B之间的动点(不包括点A，B)，求△PAB面积的最大值，并求出此时点P的坐标．第40题41. (2019·安徽)一次函数y＝kx＋4与二次函数y＝ax2＋c的图象的一个交点坐标为(1，2)，另一个交点是该二次函数图象的顶点．(1) 求k，a，c的值；(2) 过点A(0，m)(0<m<4)且垂直于y轴的直线与二次函数y＝ax2＋c的图象相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W＝OA2＋BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值．42.(2019·台州)已知函数y＝x2＋bx＋c(b，c为常数)的图象经过点(－2，4)．(1) 求b，c满足的关系式；(2) 设该函数图象的顶点坐标是(m，n)，当b的值变化时，求n关于m的函数解析式；(3) 若该函数的图象不经过第三象限，当－5≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值．43.(2019·南通)已知二次函数y＝x2－4x＋3a＋2(a为常数)．(1) 请写出该二次函数的三条性质；(2) 在同一直角坐标系中，若该二次函数的图象在x ≤4的部分与一次函数y ＝2x －1的图象有两个交点，求a 的取值范围．44.(2019·北京)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx －1a 与y 轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，点B 在抛物线上．(1) 求点B 的坐标(用含a 的式子表示)；(2) 求抛物线的对称轴；(3) 已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1a ，Q(2，2)．若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合图象，求a 的取值范围．45.(2019·天门)在平面直角坐标系中，已知抛物线C ：y ＝ax 2＋2x －1(a ≠0)和直线l ：y ＝kx ＋b ，点A(－3，－3)，B(1，－1)均在直线l 上．(1) 若抛物线C 与直线l 有交点，求a 的取值范围；(2) 当a ＝－1，二次函数y ＝ax 2＋2x －1的自变量x 满足m ≤x ≤m ＋2时，函数y 的最大值为－4，求m 的值；(3) 若抛物线C 与线段AB 有两个不同的交点，请直接写出a 的取值范围．46.(2019·上海)如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝x 2－2x ，其顶点为A.(1) 写出这条抛物线的开口方向、顶点A 的坐标，并说明它的变化情况；(2) 我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”．① 试求抛物线y ＝x 2－2x 的“不动点”的坐标；② 平移抛物线y ＝x 2－2x ，使所得新抛物线的顶点B 是该抛物线的“不动点”，其对称轴与x 轴交于点C ，且四边形OABC 是梯形，求新抛物线对应的函数解析式．第46题47.(2019·河北)如图，若b 是正数，直线l ：y ＝b 与y 轴交于点A ；直线a ：y ＝x －b 与y 轴交于点B ；抛物线L ：y ＝－x 2＋bx 的顶点为C ，且L 与x 轴的右交点为D.(1) 若AB ＝8，求b 的值，并求此时抛物线L 的对称轴与直线a 的交点坐标；(2) 当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；(3) 设x0≠0，点(x0，y1)，(x0，y2)，(x0，y3)分别在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均数，求点(x0，0)与点D间的距离；(4) 在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b＝2 019和b＝2 019.5时“美点”的个数．第47题1. 二次函数的图象和性质一、 1. A 2. C 3. B 4. A 5. B 6. C 7. A 8. C 9. D10. C 11. D 12. D 13. A 14. C 15. A 16. D 17. D 18. D 19. D 20. C 21. A 22. D 23. D 24. C 25. B二、 26. 8 27. 7 28. y ＝(x －2)2＋1 29. 3 30. y ＝2(x ＋1)2－231. －6<M<6 32. < 33. ②③ 34. 74 35. 26 36. 0<m<1437. ab 438. (－1 010，1 0102) 三、 39. (1) 把点P(－2，3)代入y ＝x 2＋ax ＋3中，得3＝4－2a ＋3，解得a ＝2.∴ 二次函数的解析式为y ＝x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2.∴ 顶点坐标为(－1，2) (2) ① 当m ＝2时，n ＝(2＋1)2＋2＝11 ② ∵ 点Q 到y 轴的距离小于2，∴ |m|<2.∴ －2<m<2.∴ 结合图象可知，n 的取值范围为2≤n<1140. (1) ∵ 抛物线的对称轴是直线x ＝－1，且经过点A(－3，0)，∴ 由抛物线的对称性可知，抛物线还经过点(1，0)．设抛物线对应的函数解析式为y ＝a(x －1)(x ＋3)，把B(0，3)代入，得3＝－3a ，解得a ＝－1.∴ 抛物线对应的函数解析式为y ＝－x 2－2x ＋3 (2) 设直线AB 对应的函数解析式为y ＝kx ＋b ，∵点A(－3，0)，B(0，3)在直线y ＝kx ＋b 上，∴ ⎩⎨⎧－3k ＋b ＝0，b ＝3，解得⎩⎨⎧k ＝1，b ＝3.∴ 直线AB 对应的函数解析式为y ＝x ＋3.过点P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，交直线AB 于点M ，设P(x ，－x 2－2x ＋3)，则M(x ，x ＋3)，∴ PM ＝－x 2－2x ＋3－(x ＋3)＝－x 2－3x.∴ S △PAB ＝12(－x 2－3x)×3＝－32(x ＋32)2＋278.当x ＝－32时，S △PAB 有最大值，为278，此时点P 的纵坐标为－⎝ ⎛⎭⎪⎫－322－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋3＝154，∴ △PAB 面积的最大值为278，此时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，154 41. (1) 根据题意，得二次函数y ＝ax 2＋c 的图象的顶点坐标为(0，c)．将点(0，c)，(1，2)代入一次函数的解析式，得⎩⎨⎧c ＝4，2＝k ＋4，解得⎩⎨⎧c ＝4，k ＝－2.将点(1，2)代入y ＝ax 2＋4，得2＝a ＋4，解得a ＝－2.∴ k 的值为－2，a 的值为－2，c 的值为4 (2) 由(1)可知，二次函数的解析式为y ＝－2x 2＋4.令y ＝m ，得2x 2＋m －4＝0，解得x ＝±4－m2.设B ，C 两点的坐标分别为(x 1，m)，(x 2，m)，则BC＝|x 1－x 2|＝24－m 2.∴ W ＝OA 2＋BC 2＝m 2＋4×4－m 2＝m 2－2m ＋8＝(m －1)2＋7.∵ 0<m<4，∴ 当m ＝1时，W 有最小值，为742. (1) 将点(－2，4)代入y ＝x 2＋bx ＋c ，得4＝4－2b ＋c ，即－2b ＋c ＝0，∴ c ＝2b (2) 根据题意，得m ＝－b 2，n ＝4c －b 24.∴ b ＝－2m.又由(1)知，c＝2b ，∴ c ＝－4m.∴ n ＝4c －b 24＝－16m －4m 24＝－m 2－4m (3) 如图，由(2)的结论，画出函数y ＝x 2＋bx ＋c 和函数y ＝－x 2－4x 的图象．∵ 函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象不经过第三象限，∴ －4≤－b 2≤0.① 当－4≤－b 2≤－2，即4≤b ≤8时，如图①.当x ＝1时，函数取到最大值，为1＋3b ；当x ＝－b 2时，函数取到最小值，为8b －b 24.∴ 1＋3b －8b －b 24＝16，即b 2＋4b －60＝0，解得b 1＝6，b 2＝－10(不合题意，舍去)．② 当－2<－b 2≤0，即0≤b<4时，如图②.当x ＝－5时，函数取到最大值，为25－3b ；当x ＝－b 2时，函数取到最小值，为8b －b 24，∴ 25－3b －8b －b 24＝16，即b 2－20b ＋36＝0，解得b 1＝2，b 2＝18(不合题意，舍去)．综上所述，b 的值为2或6第42题43. (1) 答案不唯一，如① 图象开口向上；② 图象的对称轴为直线x ＝2；③ 当x ＞2时，y 随x 的增大而增大 (2) ∵ 二次函数的图象与一次函数y ＝2x －1的图象有两个交点，∴ x 2－4x ＋3a ＋2＝2x －1，即x 2－6x ＋3a ＋3＝0.∴ Δ＝36－4(3a ＋3)＝－12a ＋24＞0，解得a ＜2.∵ 二次函数的图象在x ≤4的部分与一次函数y ＝2x －1的图象有两个交点，∴ 二次函数y ＝x 2－6x ＋3a ＋3的图象与x 轴x ≤4的部分有两个交点．结合图象(图略)可知，当x ＝4时，x 2－6x ＋3a ＋3≥0.∴ 当x ＝4时，x 2－6x ＋3a ＋3＝3a －5≥0，解得a ≥53.∴ 当二次函数的图象在x ≤4的部分与一次函数y ＝2x －1的图象有两个交点时，a 的取值范围为53≤a ＜244. (1) 由题意，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a ，又∵ 将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，∴ B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－1a (2) ∵ 点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 与点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－1a 关于直线x ＝1对称，点A ，B 均在抛物线上，∴ 抛物线的对称轴为直线x ＝1 (3) ① 当a>0时，则－1a <0.结合图象(图略)可知，此时线段PQ 与抛物线没有交点．② 当a<0时，则－1a >0.结合图象(图略)可知，此时－1a ≤2，解得a ≤－12.综上所述，当a ≤－12时，抛物线与线段PQ 恰有一个公共点45. (1) 将点A(－3，－3)，B(1，－1)代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎨⎧k ＋b ＝－1，－3k ＋b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，b ＝－32.∴ 直线l 对应的函数解析式为y ＝12x －32.联立y ＝ax 2＋2x －1与y ＝12x －32，得2ax 2＋3x ＋1＝0.∵ 抛物线C 与直线l 有交点，∴ Δ＝9－8a ≥0，解得a ≤98.又∵ a ≠0，∴ a 的取值范围为a ≤98且a ≠0 (2) 根据题意，得二次函数的解析式为y ＝－x 2＋2x －1＝－(x －1)2.∵ －1<0，∴ 二次函数的图象开口向下，对称轴为直线x ＝1.∵ 当m ≤x ≤m ＋2时，y 有最大值－4，∴ 当y ＝－4时，有－(x －1)2＝－4，解得x ＝－1或x ＝3.① 当x<1时，y 随x 的增大而增大，∴ 当x ＝m ＋2＝－1时，y 有最大值－4，此时m ＝－3；② 当x>1时，y 随x 的增大而减小，∴ 当x ＝m ＝3时，y 有最大值－4.综上所述，m 的值为－3或3(3) 49≤a<98或a ≤－246. (1) 对于抛物线y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，其开口向上，顶点A 的坐标为(1，－1)；当x>1时，y 随x 的增大而增大；当x<1时，y 随x 的增大而减小(2) ① 设抛物线“不动点”坐标为(t ，t)，则t ＝t 2－2t.解得t ＝0或3.∴ “不动点”的坐标为(0，0)或(3，3) ② ∵ 新抛物线顶点B 为“不动点”，则设点B(m ，m)，∴ 新抛物线的对称轴为直线x ＝m ，与x 轴的交点C 的坐标为(m ，0)．∵ 四边形OABC 是梯形，∴ 直线x ＝m 在y 轴左侧．∵ BC 与OA 不平行，∴ OC ∥AB.又∵ 点A 的坐标为(1，－1)，点B 的坐标为(m ，m)，∴ m ＝－1.∴ 新抛物线是由抛物线y ＝x 2－2x 向左平移2个单位长度得到的．∴ 新抛物线对应的函数表达式为y ＝(x ＋1)2－147. (1) 当x ＝0时，y ＝x －b ＝－b ，∴ 点B 的坐标为(0，－b)．∵ AB ＝8，而点A 的坐标为(0，b)，∴ b －(－b)＝8.解得b ＝4.∴ 抛物线L 对应的函数解析式为y ＝－x 2＋4x.∴ 抛物线L 的对称轴为直线x ＝2.当x ＝2时，y ＝x －4＝－2.∴ 抛物线L 的对称轴与直线a 的交点坐标为(2，－2 ) (2) ∵ y ＝－x 2＋bx ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b 22＋b 24，∴ 抛物线L 的顶点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，b 24.∵ 点C 在l 下方，∴ C 与l 的距离为b －b 24＝－14(b －2)2＋1≤1.∴ 点C 与l 距离的最大值为1 (3)由题意，得y 3＝y 1＋y 22，即y 1＋y 2＝2y 3，得b ＋x 0－b ＝2(－x 20＋bx 0)．解得x 0＝0或x 0＝b －12.但x 0≠0，取x 0＝b －12.对于L ，当y ＝0时，得0＝－x 2＋bx ，即0＝－x(x －b)．解得x 1＝0，x 2＝b.∵ b ＞0，∴ 右交点D 的坐标为(b ，0)．∴ 点(x 0，0)与点D 间的距离为b －⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12＝12 (4) ① 当b ＝2 019时，抛物线L 对应的函数解析式为y ＝－x 2＋2 019x ，直线a 对应的函数解析式为y ＝x －2 019.联立上述两个解析式，可得x 1＝－1，x 2＝2 019.∴ 可知每一个整数x 的值都对应的一个整数y 值，且－1和2 019之间(包括－1和－2 019)共有2 021个整数．∵ 另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，∴ 线段和抛物线上各有2 021个整数点．∴ 总计4 042个整数点．∵ 这两段图象交点有2个点重复，∴ 美点”的个数为4 042－2＝4 040；② 当b ＝2 019.5时，抛物线L 对应的函数解析式为y ＝－x 2＋2 019.5x ，直线a 对应的函数解析式为y ＝x －2 019.5.联立上述两个解析式，可得x 1＝－1，x 2＝2 019.5，∴ 当x 取整数时，在一次函数y ＝x －2 019.5上，y 取不到整数值．∴ 在该图象上“美点”的个数为0.∵ 在二次函数y ＝x 2＋2 019.5x 的图象上，当x 为偶数时，函数值y 可取整数，可知－1到2 019.5之间有1 010个偶数，∴ “美点”共有1 010个．综上所述，当b ＝2 019时，“美点”的个数为4 040；当b ＝2 019.5时，“美点”的个数为1 010。
中考数学专题复习小训练专题12二次函数的图象与性质(2021年整理)
2019年中考数学专题复习小训练专题12 二次函数的图象与性质编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019年中考数学专题复习小训练专题12 二次函数的图象与性质）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2019年中考数学专题复习小训练专题12 二次函数的图象与性质的全部内容。
专题12 二次函数的图象与性质1．2017·金华对于二次函数y＝－(x－1）2＋2的图象与性质，下列说法正确的是（）A．对称轴是直线x＝1，最小值是2B．对称轴是直线x＝1，最大值是2C．对称轴是直线x＝－1,最小值是2D．对称轴是直线x＝－1，最大值是22．2017·连云港已知抛物线y＝ax2(a>0)过A(－2，y1），B（1，y2）两点,则下列关系式一定正确的是( ）A．y1>0>y2 B．y2〉0〉y1C．y1〉y2>0 D．y2〉y1>03．2017·滨州将抛物线y＝2x2向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的抛物线的表达式为( )A．y＝2(x－3）2－5 B．y＝2(x＋3)2＋5C．y＝2(x－3）2＋5 D．y＝2(x＋3)2－54．2018·菏泽已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图Z12－1所示,则一次函数y＝bx＋a与反比例函数y＝错误!在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）图Z12－1图Z12－25．2018·黄冈当a≤x≤a＋1时,函数y＝x2－2x＋1的最小值为1，则a 的值为( )A．－1 B．2C．0或2 D．－1或26．2018·鄂州如图Z12－3，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0)与x轴交于点A(1，0）和B，与y轴的正半轴交于点C.下列结论：①abc＞0；②4a－2b ＋c＞0;③2a－b＞0；④3a＋c＝0.其中正确结论的个数为（）图Z12－3A．1 B．2 C．3 D．47．2017·百色经过A(4,0),B(－2，0），C（0,3)三点的抛物线的表达式是______________．8．2017·咸宁如图Z12－4,直线y＝mx＋n与抛物线y＝ax2＋bx＋c交于A（－1，p)，B（4，q）两点，则关于x的不等式mx＋n>ax2＋bx＋c的解集是____________．图Z12－49．2017·北京在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2－4x＋3与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧），与y轴交于点C.（1)求直线BC的表达式;（2)垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P(x1，y1），Q（x2，y2），与直线BC交于点N(x3，y3),若x1＜x2＜x3，结合函数的图象，求x1＋x2＋x3的取值范围．详解详析1．B2。
2019年中考数学真题分类汇编 二次函数图像性质 选择题20题(含答案)
2019年中考数学真题分类汇编二次函数图像性质选择题20题一、选择题：1、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=1，下列结论：①abc＜0②b＜c③3a+c=0④当y＞0时，﹣1＜x＜3。
其中正确的结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个2、如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，对于下列说法：①ac＞0，②2a+b＞0，③4ac＜b2，④a+b+c＜0，⑤当x＞0时，y随x的增大而减小，其中正确的是（）A.①②③B.①②④C.②③④D.③④⑤3、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ac＜0，②b﹣2a＜0，③b2﹣4ac＜0，④a﹣b+c ＜0，正确的是（）A.①②B.①④C.②③D.②④4、已知二次函数y=ax2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac=0；③a＞2；④ax2+bx+c=﹣2的根为x1=x2=﹣1；⑤若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＞y2.其中正确的个数是（）A.2B.3C.4D.55、二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，有以下结论：①3a﹣b=0；②b2﹣4ac＞0；③5a﹣2b+c＞0；④4b+3c＞0，其中错误结论的个数是（）A.1B.2C.3D.46、从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示.下列结论：①小球在空中经过的路程是40m；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度h=30m时，t=1.5s.其中正确的是（）A.①④B.①②C.②③④D.②③7、在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示：现给以下结论：①abc＜0；②c+2a＜0；③9a﹣3b+c=0；④a﹣b≥m（am+b）（m为实数）；⑤4ac﹣b2＜0. 其中错误结论的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个8、如图所示，已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，OA=OC ，对称轴为直线x=1.则下列结论：①abc ＜0；②a+21b+41c=0；③ac+b+1=0；④2+c 是关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的一个根.其中正确的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个9、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，直线x=1是它的对称轴。
2019年中考数学试题汇编—— 二次函数概念、性质和图象2019
一、选择题1. （2019山东省济宁市，8，3分）将抛物线y ＝x 2－6x ＋5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）A ．y ＝(x －4)2－6B ．y ＝(x －1)2－3C ．y ＝(x －2)2－2D ．y ＝(x －4)2－2 【答案】D【思路分析】把抛物线y ＝x 2－6x ＋5化成顶点式，再根据“左加右减”方法进行平移．【解题过程】y ＝x 2－6x ＋5＝ (x －3) 2－4，把向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得y ＝ (x －3－1) 2－4＋2，即y ＝(x －4)2－2． 【知识点】抛物线的平移规律．2. (2019四川巴中,10,4分)二次函数y ＝ax 2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示,下列结论①b 2>4ac,②abc<0,③2a+b －c>0,④a+b+c<0,其中正确的是( ) A.①④ B.②④ C.②③ D.①②③④第10题图 【答案】A【思路分析】根据图象信息,可得开口向下,对称轴为x ＝－1,与x 轴有两个不同的交点,与y 轴交于正半轴,x ＝－3时函数值小于零,据此即可得到有关a,b,c 的信息,从而做出判断.【解题过程】①:因为图象与x 轴有两个不同的交点,所以b 2－4ac>0,即b 2>4ac,故①正确;②:图象开口向下,故a<0,图象与y 轴交于正半轴,故c>0,因为对称轴为x ＝－1,所以12ba-=-,所以2a ＝b,故b<0,所以abc>0,②错误;③:a<0,b<0,c>0,所以2a+b －c<0,③错误;④当x ＝1时,y ＝a+b+c,由图可得,x ＝－3时,y<0,由对称性可知,当x ＝1时,y<0,即a+b+c<0,故④正确.综上所述,①④正确,选A.【知识点】二次函数的性质,二次函数与一元二次方程的关系,二次函数的对称轴及对称性3. （2019四川达州，题号9，3分）如图，边长都为4的正方形ABCD 和正三角形EFG 如图放置， AB 与EF 在一条直线上，点A 与点F 重合.现将△EFG 沿AB 方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点F 与点B 重合时停止，在这个运动过程中正方形ABCD 和△EFG 重叠部分的面积S 与运动时t 的函数图像大致是( )【答案】C【思路分析】可分两种情况，第一种情况重合部分为三角形，第二种情况重合部分为四边形，分别求出对应的函数关系式即可.【解题过程】运动过程中，当顶点G 在正方形外部时，重合部分为三角形，设运动时间为t ，面积S 与t 的函数关系式为232t y =，函数图像为开口向上的二次函数，当顶点G 在正方形内部时，重合部分为四边形，设xxx运动时间为t ，面积S 与t 的函数关系式为343423-2-+=t t y ，函数图像为开口向下的二次函数，故选C【知识点】二次函数的图形与性质4. （2019四川省凉山市，12，4）二次函数y =ax 2+bx +c 的部分图象如图所示，有以下结论：①3a –b =0；②b 2-4ac＞0；③5a -2b +c ＞0； ④4b +3c ＞0,其中错误结论的个数是（ ▲ ） A. 1 B . 2 C . 3 D . 4第12题图【答案】A 【思路分析】根据二次函数的性质和二次函数的图象可以判断题目中各个小题的结论是否成立，从而可以解答本题． 【解析】根据对称轴232-=-a b 得b =3a ，故可得3a –b =0，所以结论①正确；由于抛物线与x 轴有两个不同的交点，所以b 2-4ac ＞0，结论②正确；根据结论①可知b =3a ，∴5a -2b +c =5a -6a +c =-a +c ，观察图像可知a ＜0,c＞0，∴5a -2b +c =-a +c ＞0，结论③正确；根据抛物线的轴对称性可知抛物线与x 轴的右交点在原点与（1，0）之间（不含这两点），所以当x =1时，y =a +b +c ＜0，∵a =b 31，∴b 34+c ＜0，∴4b +3c ＜0，所以结论④错误.故选 A.【知识点】二次函数图象与系数的关系 5. （2019四川攀枝花，9，3分）在同一坐标系中，二次函数y ＝ax 2＋bx 与一次函数y ＝bx －a 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】据参数符号可排除A 、D 选项，联立两函数解析式所得方程无解，则两函数图象无交点，故选C ． 【知识点】二次函数的图象；一次函数的图象6.（2019天津市，12，3分）二次函数y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数，a≠0）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：且当21-=x 时，与其对应的函数值y>0，有下列结论：（1）abc>0;(2)-2和3是关于x 的方程ax 2+bx+c=t 的两个根；（3）0<m+n<320,其中，正确结论的个数是(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】C【解析】(1)因为当21-=x 时，与其对应的函数值y>0，由图表可知x=0时，y=-2，x=1时，y=-2,可以判断对称轴左侧y 随x 的增大而减小，图像开口向上，a>0;由图表可知x=0时，y=-2，x=1时，y=-2,可得对称轴为直线21=x ，所以b<0;x=0时，y=-2,所以c=-2<0,故abc>0（1）正确；（2）由于对称轴是直线21=x ，-2和3是关于对称轴对称的，所以（2）正确；（3）由对称轴是直线21=x 可得a+b=0,因为x=0时，y=-2，可知c=-2，当21-=x 时，与其对应的函数值y>0可得38>a ，当x=-1时，m=a -b -2=2a -2>310,因为-1和2关于对称轴对称，可得m=n ，所以m+n>320，故（3）错误，所以答案为C 【知识点】二次函数图像的性质.7. （2019浙江省衢州市，6，3分）二次函数y =（x -1）2+3图象的顶点坐标是（A ） A . （1.3） B .（1，-3） C .（-1.3） D .（-1.-3） 【答案】A【解析】本题考查二次函数顶点坐标的确定，二次函数y =a （x -h ）2+k 的顶点坐标为（h ，k ），所以y =（x -1）2+3的顶点坐标是（1.3），故选A 。
2019年九年级数学(北师大版下)2.2《二次函数的图象和性质》知识梳理及基础训练试题(无答案)
二次函数的图象和性质一．图像的一些性质1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2. 抛物线的顶点是这样定义：抛物线与对称轴交点叫抛物线的顶点。
所以抛物线y=ax2 (a≠0)的顶点坐标为（0，0）。
这就是我们在画图象时首先确定点（0，0）的理由，再根据抛物线关于y轴对称，我们在确定其它点时，也选对称的点，这样既能减少运算量，又能使图象画的优美、准确。
抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，(4ac-b²)/4a )当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b²-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同号当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。
因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是-b/2a>0,所以b/2a要小于0，所以a、b要异号5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）6.抛物线与x轴交点个数Δ= b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
Δ= b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。
7.抛物线的增减性当a>0时，在对称轴左侧，y随x增大而减小；在对称轴右侧，y随x增大而增大。
当a<0时，在对称轴左侧，y随x增大而增大；在对称轴右侧，y随x增大而减小。
对称轴是y=-b/2a8.抛物线的平移在顶点式中进行的左正右负上正下负顶点式的有y=ax2y=ax2+k y=a(x+h)2y=a(x+h)2+k 四种其余的化成顶点式基础训练题一、选择题1、已知抛物线解析式为y=x2﹣3，则此抛物线的顶点坐标为（）A、（1，3）B、（0，3）C、（0，﹣3）D、（﹣3，0）2、若抛物线y=2+（m﹣5）的顶点在x轴下方，则m的值为（）A、m=5B、m=﹣1C、m=5或m=﹣1D、m=﹣53、若函数y=4x2+1的函数值为5，则自变量x的值应为（）A、1B、﹣1C、±1D、4、抛物线y=x2+1的图象大致是（）A、B、C、D、5、抛物线y=x2﹣4与x轴的交点坐标为（）A、（0，﹣4）B、（2，0）C、（﹣2，0）D、（﹣2，0）或（2，0）6、任给一些不同的实数n，得到不同的抛物线y=2x2+n，如当n=0，±2时，关于这些抛物线有以下结论：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状都相同；④都有最低点，其中判断正确的个数是（）A、1个B、2个C、3个D、4个7、抛物线y=（x﹣1）2的对称轴是直线（）A、x=﹣1B、x=1C、y=﹣1D、y=18、将抛物线y=3x2向右平移两个单位，所得抛物线是（）A、y=3（x+2）2B、y=3（x﹣2）2C、y=3x2﹣2D、y=3x2+29、抛物线y=（x﹣1）2+2的对称轴是（）A、直线x=﹣1B、直线x=1C、直线x=﹣2D、直线x=210、抛物线y=3（x﹣1）2﹣1不经过的象限是（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限11、抛物线y=（x﹣1）2+1的顶点坐标是（）A、（1，1）B、（﹣1，1）C、（1，﹣1）D、（﹣1，﹣1）12、二次函数y=x2的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位后，所得抛物线的函数表达式是（）A、y=2+3B、y=2+3 Cy=2﹣3 Dy=2﹣313、抛物线y=﹣2（x﹣1）2﹣3与y轴的交点纵坐标为（）A、﹣3B、﹣4C、﹣5D、﹣114、将抛物线y=2x2如何平移可得到抛物线y=2（x﹣4）2﹣1 （）A向左平移4个单位，再向上平移1个单位B、向左平移4个单位，再向下平移1个单位C向右平移4个单位，再向上平移1个单位D、向右平移4个单位，再向下平移1个单位15、把二次函数y=3x2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（A、y=3（x﹣2）2+1B、y=3（x+2）2﹣1 =3（x﹣2）2﹣1 =3（x+2）2+116、与y=2（x﹣1）2+3形状相同的抛物线解析式为（A、y=1+x2B、y=（2x+1）2C、y=（x﹣1）2D、y=2x217、已知二次函数y=3（x﹣1）2+k的图象上有三点A（，y1），B（2，y2），C（﹣，y3），则y1、y2、y3的大小关系为（）A、y1＞y2＞y3B、y2＞y1＞y3C、y3＞y1＞y2D、y3＞y2＞y118、二次函数y=﹣x2﹣2x+2的顶点坐标、对称轴分别是（A、（1，3），x=1B、（﹣1，3），x=1C、（﹣1，3），x=﹣1D、（1，3），x=﹣119、二次函数y=x2+2x﹣5取最小值时，自变量x的值是）A、2B、﹣2C、1D、﹣120、如图，是二次函数y=ax2+bx+c的图象，则下列说法错误的是（）A、a＜0B、对称轴是直线x=C、ab＜0D、x＞时，y随x的增大而增大21、已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为2，且经过点（3，0），则a+b+c的值（）A、等于0B、等于1C、等于﹣1D、不能确定22、若a＜0，b＜0，c＞0，则y=ax2+bx+c的图象是（）A、B、C、D、23、如图，抛物线的函数表达式是（）A、y=x2﹣x+2B、y=x2+x+2C、y=﹣x2﹣x+2D、y=﹣x2+x+224、对于二次函数y=x2+2x+3，函数值y的取值范围是（）A、y≥3B、y≥2C、y＜0D、y＞025、由表格中信息可知，若设y=ax2+bx+c，则下列y与x之间的函数关系式正确的是（）A、y=x2﹣4x+3B、y=x2﹣3x+4C、y=x2﹣3x+3D、y=x2﹣4x+826、已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x=﹣1，与x轴的一个交点为（x1，0），且0＜x1＜1，下列结论：①9a﹣3b+c＞0；②b＜a；③3a+c＞0．其中正确结论的个数是（）A、0B、1C、2D、3二、填空题27、y=﹣2x2+4的顶点坐标是，对称轴是当x＞0时，y随x的增大而___．28、将抛物线y=3x2向下平移3个单位长度，得到是抛物线是_________29、若抛物线y=ax2+c的形状与y=2x2的相同，开口方向相反，且其顶点坐标是（0，﹣3），则该抛物线的函数表达式是_________．30、将抛物线y=3x2向上平移3个单位后，所得抛物线的顶点坐标是_________．31、二次函数y=4（x﹣3）2的顶点坐标是_________，对称轴为_________．32、抛物线y=﹣x2+1，y=﹣（x+1）2与抛物线y=﹣（x2+1）的_相同，不同．33、点A（3，a）在二次函数y=3（x﹣1）2的图象上，则a=_________．34、把函数y=x2的图象向__平移___个单位即可得y=（x+1）2的图象；后一个函数图象的顶点坐标为___，对称轴方程为_____．35、抛物线y=﹣3（x﹣1）2可由抛物线y=﹣3x2向___平移_____个单位得到．36、抛物线y=a（x+1）2经过点（﹣2，1），则a=_________．37、把y=x2﹣3的图象向__平移_个单位得y=2﹣3的图象，再向_____平移______个单位得y=2+1的图象．38、二次函数y=2+1，当x____时，y随x增大而减小，当x=____时，y有最______值是_______．39、一个二次函数的图象顶点坐标为（2，1），形状与抛物线y=﹣2x2相同，试写出这个函数解析式_________．40、直角坐标平面上将二次函数y=﹣2（x﹣1）2﹣2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，则其顶点为_________．41、二次函数y=3x2图象由二次函数y=3（x﹣4）2+2的图象经过怎样的平移得到42、抛物线y=x﹣2﹣2x2的开口_，对称轴方程为__，顶点坐标为___．43、将抛物线y=x2+2x﹣3向左平移4个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的函数表达式为_________．44、抛物线y=x2﹣8x+c的顶点在x轴上，则c的值为_________．45、将函数y=x2﹣3x﹣的图象向下平移2个单位，再向右平移3个单位，得到函数_的图象．46、抛物线y=﹣3x2+bx+c是由抛物线y=﹣3x2﹣6x+1向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到的，则b=_________，c=_________．47、有一个二次函数的图象，三个同学分别说出了它的一些特点．小明说：对称轴是直线x=4；赵同说：函数有最大值为2；张单说：此函数的图象经过点（﹣3，1）关于y轴的对称点；请你根据上述对话写出满足条件的二次函数关系式_________．48、二次函数y=2x2+bx+c的顶点坐标是（1，﹣2），则b=_____，c=_____．49、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点（﹣1，2），并且abc≠0，试写出一个满足条件的函数的表达式_________．50、如果a＞0，b＞0，c＞0，b2﹣4ac＞0，那么抛物线y=ax2+bx+c经过______象限．51、二次函数y=ax2+bx+c中，a＞0，b＜0，c=0，则其图象的顶点是在第_____象限．52、如图是二次函数y=ax2﹣x+a2﹣1的图象，则a的值是______．三．解答题1.已知点A（-1，-1）在抛物线y=(k2-1)x2-2(k-2)x+1上（1）求抛物线的对称轴；（2）若点A与点B关于抛物线的对称轴对称，问是否存在与抛物线只交于一点B的直线？若存在，求出符合条件的直线；若不存在，请说明理由2、已知抛物线y=x2-4x-12（1）求抛物线与x轴交点A,B的坐标；（2）画出图象，若抛物线顶点为P，求三角形PAB的面积；。
二次函数图像与性质专题复习
二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.五、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参考：十一、2-32y=-2x 2y=3(x+4)22y=3x2y=-2(x-3)2【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法 【例1】求作函数64212++=x x y 的图象 【例2】求作函数342+--=x x y 的图像。
二次函数图像与性质总结含答案
二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：2. 2y ax c =+的性质： 上加下减;3. ()2y a x h =-的性质：左加右减;4. ()2y a x h k =-+的性质：二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ，处,具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移；k 值正上移,负下移”． 概括成八个字“左加右减,上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上下平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2或m c bx ax y -++=2⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左右平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2或c m x b m x a y +-+-=)()(2三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看,()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,其中2424b ac b h k a a -=-=，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，,()20x ，若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点. 画草图时应抓住以下几点：开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点.五、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2bx a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时,y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时,y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2bx a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时,y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时,y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时,y 有最大值244ac b a-．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++a ,b ,c 为常数,0a ≠；2. 顶点式：2()y a x h k =-+a ,h ,k 为常数,0a ≠；3. 两根式：12()()y a x x x x =--0a ≠,1x ,2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x 轴有交点,即240b ac -≥时,抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中,a 作为二次项系数,显然0a ≠．⑴ 当0a >时,抛物线开口向上,a 的值越大,开口越小,反之a 的值越小,开口越大； ⑵ 当0a <时,抛物线开口向下,a 的值越小,开口越小,反之a 的值越大,开口越大．总结起来,a 决定了抛物线开口的大小和方向,a 的正负决定开口方向,a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下,b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下,当0b >时,02ba-<,即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时,02ba-=,即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时,02ba->,即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下,结论刚好与上述相反,即 当0b >时,02ba->,即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时,02ba-=,即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时,02ba-<,即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来,在a 确定的前提下,b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ,在y 轴的右侧则0<ab ,概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时,抛物线与y 轴的交点在x 轴上方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时,抛物线与y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时,抛物线与y 轴的交点在x 轴下方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来,c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之,只要a b c ，，都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便．一般来说,有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大小值,一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后,得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后,得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后,得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称即：抛物线绕顶点旋转180°2y ax bx c =++关于顶点对称后,得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后,得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后,得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线或表达式已知的抛物线的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参考：十一、例题精讲2-32y=-2x 22y=3(x+4)22y=3x2y=-2(x-3)一、一元二次函数的图象的画法例1求作函数64212++=x x y 的图象 解 )128(21642122++=++=x x x x y2-4)(214]-4)[(21 2222+=+=x xx 例2求作函数342+--=x x y 的图象; 解)34(3422-+-=+--=x x x x y 7)2[(]7)2[(22++-=-+-=x x先画出图角在对称轴2-=x 的右边部分,列表点评画二次函数图象步骤： 1配方； 2列表；3描点成图； 也可利用图象的对称性,先画出函数的左右边部分图象,再利用对称性描出右左部分就可;二、一元二次函数性质例3求函数962++=x x y 的最小值及图象的对称轴和顶点坐标,并求它的单调区间; 解 7)3(79626222-+=-++=++=x x x x x y由配方结果可知：顶点坐标为)73(--，,对称轴为3-=x ； 01> ∴当3-=x 时, 7min -=y函数在区间]3(--∞，上是减函数,在区间)3[∞+-，上是增函数;例4求函数1352++-=x x y图象的顶点坐标、对称轴、最值;103)5(232=-⨯-=-a b ,2029)5(431)5(44422=-⨯-⨯-⨯=-a b ac ∴函数图象的顶点坐标为)2029,103(,对称轴为2029=x05<- ∴当103=x 时,函数取得最大值2029=maz y 函数在区间]103,(-∞上是增函数,在区间),3[+∞-上是减函数; 点评要研究二次函数顶点、对称轴、最值、单调区间等性质时,方法有两个：(1) 配方法；如例3(2) 公式法：适用于不容易配方题目二次项系数为负数或分数如例4,可避免出错;任何一个函数都可配方成如下形式：)0(44)2(22≠-++=a ab ac a b x a y 二次函数题型总结 1.关于二次函数的概念例1 如果函数1)3(232++-=+-mx x m y m m 是二次函数,那么m 的值为 ;例 2 抛物线422-+=x x y 的开口方向是 ；对称轴是 ；顶点为 ;2.关于二次函数的性质及图象例3 函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示,则a 、b 、c,∆,c b a ++,c b a +-的符号 为 ,例4 已知a －b ＋c=0 9a ＋3b ＋c=0,则二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图像的顶点可能在 （A ） 第一或第二象限 B 第三或第四象限 C 第一或第四象限 D 第二或第三象限3.确定二次函数的解析式例5 已知：函数c bx ax y ++=2的图象如图：那么函数解析式为 A 322++-=x x y B 322--=x x yC 322+--=x x yD 322---=x x y4.一次函数图像与二次函数图像综合考查例 6 已知一次函数y=ax+c 二次函数y=ax 2+bx+ca ≠0,它们在同一坐标系中的大致图象是.例7 如图：△ABC 是边长为4的等边三角形,AB 在X 轴上,点C 在第一象限,AC 与Y 轴交于点D,点A 的坐标为-1,01求 B 、C 、D 三点的坐标；2抛物线c bx ax y ++=2经过B 、C 、D 三点,求它的解析式；642-6510D O CAB练习题 一、选择题1. 二次函数247y x x =--的顶点坐标是A.2,－11B.－2,7C.2,11D. 2,－3 2. 把抛物线22y x =-向上平移1个单位,得到的抛物线是A. 22(1)y x =-+ B. 22(1)y x =-- C. 221y x =-+ D. 221y x =-- 3.函数2y kx k =-和(0)ky k x=≠在同一直角坐标系中图象可能是图中的4.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当1x =和3x =时,函数值相等;③40a b +=④当2y =-时, x 的值只能取0.其中正确的个数是个 个 C. 3个 D. 4个 5.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标-1,及部分图象如图,由图象可知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别是121.3x x ==和Ａ．－１.３ B.-2.3 C.6. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,则点(,)ac bc 在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7.方程222x x x-=的正根的个数为 个 个 个. 3 个8.已知抛物线过点A2,0,B-1,0,与y 轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为A. 22y x x =-- B. 22y x x =-++C. 22y x x =--或22y x x =-++ D. 22y x x =---或22y x x =++二、填空题9．二次函数23y x bx =++的对称轴是2x =,则b =_______;10．已知抛物线y=-2x+32+5,如果y 随x 的增大而减小,那么x 的取值范围是_______.11．一个函数具有下列性质：①图象过点－1,2,②当x ＜0时,函数值y 随自变量x 的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是 只写一个即可;12．抛物线22(2)6y x =--的顶点为C,已知直线3y kx =-+过点C,则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为 ;13. 二次函数2241y x x =--的图象是由22y x bx c =++的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的,则b= ,c= ;14．如图,一桥拱呈抛物线状,桥的最大高度是16米,跨度是40米,在线段AB 上离中心M 处5米的地方,桥的高度是 π取.三、解答题：15.已知二次函数图象的对称轴是30x +=,图象经过1,-6,且与y 轴的交点为0,52-. 1求这个二次函数的解析式;2当x 为何值时,这个函数的函数值为03当x 在什么范围内变化时,这个函数的函数值y 随x 的增大而增大16.某种爆竹点燃后,其上升高度h 米和时间t 秒符合关系式2012h v t gt =-0<t≤2,其中重力加速度g 以10米/秒2计算．这种爆竹点燃后以v 0=20米/秒的初速度上升,1这种爆竹在地面上点燃后,经过多少时间离地15米2在爆竹点燃后的秒至秒这段时间内,判断爆竹是上升,或是下降,并说明理由.第15题图17.如图,抛物线2y x bx c =+-经过直线3y x =-与坐标轴的两个交点A 、B,此抛物线与x 轴的另一个交点为C,抛物线顶点为D. 1求此抛物线的解析式；2点P 为抛物线上的一个动点,求使APC S ∆：ACD S ∆=5 ：4的点P 的坐标;一,选择题、1．A 2．C 3．A 4．B 5．D 6．B 7．C 8．C二、填空题、9．4b =- 10．x ＜-3 11．如224,24y x y x =-+=+等答案不唯一 12．1 13．-8 7 14．15三、解答题15．1设抛物线的解析式为2bx c y ax ++=,由题意可得解得15,3,22a b c =-=-=- 所以215322y x x =--- 21x =-或-5 23x <-16．1由已知得,211520102t t =-⨯⨯,解得123,1t t ==当3t =时不合题意,舍去;所以当爆竹点燃后1秒离地15米．2由题意得,2520h t t =-+＝25(2)20t --+,可知顶点的横坐标2t =,又抛物线开口向下,所以在爆竹点燃后的秒至108秒这段时间内,爆竹在上升．17．1直线3y x =-与坐标轴的交点A3,0,B0,－3．则9303b c c +-=⎧⎨-=-⎩解得23b c =-⎧⎨=⎩32652ba abc c ⎧-=-⎪⎪++=-⎨⎪⎪=-⎩所以此抛物线解析式为223y x x =--．2抛物线的顶点D1,－4,与x 轴的另一个交点C －1,0.设P 2(,23)a a a --,则211(423):(44)5:422a a ⨯⨯--⨯⨯=.化简得2235a a --=当223a a --＞0时,2235a a --=得4,2a a ==- ∴P4,5或P －2,5当223a a --＜0时,2235a a -++=即2220a a ++=,此方程无解．综上所述,满足条件的点的坐标为4,5或－2,5．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
专题12 二次函数的图象与性质
1．2018·广安抛物线y ＝(x －2)2
－1可以由抛物线y ＝x 2
平移而得到，下列平移正确的是( ) A ．先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度 B ．先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度 C ．先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度 D ．先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度
2．2018·成都关于二次函数y ＝2x 2
＋4x －1，下列说法正确的是( ) A ．图象与y 轴的交点坐标为(0，1) B ．图象的对称轴在y 轴的右侧
C ．当x ＜0时，y 的值随x 值的增大而减小
D ．y 的最小值为－3
3．2018·青岛已知一次函数y ＝b
a
x ＋c 的图象如图Z －12－1，则二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 在平面直角坐标系中的图象可能是( )
图Z －12－1
图Z －12－2
4．2018·毕节已知二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图Z －12－3所示，下列结论：①abc ＞0；②2a ＋b ＞0；③b 2
－4ac ＞0；④a －b ＋c ＞0，其中正确的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
图Z －12－3
5．2018·巴中已知二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图象上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如表所示，那么它的图象与x 轴的另一个交点的坐标是________．
6.2018·镇江已知二次函数y ＝x 2
－4x ＋k 的图象的顶点在x 轴下方，则实数k 的取值范围是________．
7．2018·德阳已知函数y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧（x －2）2－2，（x≤4）
（x －6）2－2.（x>4）使y ＝a 成立的x 值恰好只有3个时，则a 的值为
________．
8．2018·宁波已知抛物线y ＝－1
2
x 2
＋bx ＋c 经过点(1，0)，(0，32
)． (1)求抛物线的函数解析式；
(2)将抛物线y ＝－12
x 2
＋bx ＋c 平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数解析式．
详解详析
1．D 2.D 3.A 4.D 5.(3，0) 6.k ＜4 7.2。