第三章机器人运动优秀课件

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如图所示，根据图中描述的几何学关系，可得
2 (3-4)
1arctan(x y)arctan(L 1L 2L s2 in co s22)
式中
(3-5)
L2s in 2
arccos(x22yL 21)L2L12L22
(3-6)
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同样，如果用向量表示上述关系式，其一般可表示
为
f 1(r)
(3-7)
的坐O标X变2Y2换Z2，由于坐标系
是 OX2Y2Z2
OX1Y1Z1围绕 z轴旋转 角后构成的坐标系，则该 坐标变换矩阵也可用 Rz ()来表示
cos sin 0 Rz()1R2 sin cos 0
0 0 1
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同理，上述例子中，当考虑围绕着 x轴旋转时 （设其旋转量 为），可得到如下关系式：
二、机器人位置与关节变量的关系
1．表示方法 以手爪位置与关节变量之间的关系为例，要想
正确表示机器人的手爪位置和姿态，就要首先建 立坐标系，如图3－3所示，应分别定义固定机器 人的基座和手爪的坐标系，这样才能很好地描述 它们之间的位置和姿态之间的关系。
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基准坐标系,固定在基座上
B
手爪坐标系 ，固定在手爪上 E
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用向量表示这个关系式，其一般可表示为
r f () (3-3)
式中 f 表示向量函数。已知机器人的关节变量 ，
求其手爪位置的运动学问题称为正运动学（direct kinematics）。该公式被称为运动方程式。如果 ，给定机器人的手爪位置，求为了到达这个预定的 位置，机器人的关节变量的运动学问题称为逆运动 学（inverse kinematics）。其运动方程式可以通过 以下分析得到。
第三章机器人运动
第一节 概述
常见的机器人运动学问题可归纳如下： 1．对一给定的机器人，已知杆件几何参数和关节角
矢量求机器人末端执行器相对于参考坐标系的位 置和姿态。 2．已知机器人杆件的几何参数，给定机器人末端执 行器相对于参考坐标系的期望位置和姿态 (位姿) ，机器人能否使其末端执行器达到这个预期的位 置？如能达到，那么机器人有几种不同形态可满 足同样的条件?
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现在来看下图的两个坐标系，坐标系 O2X2Y2Z2
0 0 1
该矩阵为单位矩阵式中*表示 x、y 、z中的
任何一个。所以有下列等式成立
R()1R()T
在分析机器人运动时，当只用围绕一个轴旋转不 能表示时，可以通过围绕几个轴同时旋转的组合 方式进行表示。
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3．齐次变换
前面讨论了机器人在进行旋转运动时 的坐标变换，一般来说，机器人的运动不 仅是旋转运动，有时要做平行移动，或以 上两种运动的合成，因此也应考虑平移运 动时的坐标变换，即齐次变换。
Bp B Bp px y A Ae eT T x yA Ap p A Ae eT T x y ApBRAAp
其中：
BRA
A
e
T xAe来自T y它是从 A 坐标向坐标进行位置向 B 量姿态变换 的矩阵，称为姿态变换矩阵（或旋转矩阵）。
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分析如图3－5所示坐标系
r 如图所示，机器人到达给定的手爪位置
有两个姿态满足要求，即图中的 也是其解。
这时 和 变成 1 为另 2 外的值。 即逆运动学的解不是惟一的，可以有多个解。
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二、机器人位置与关节变量的关系
1．表示方法 机器人是由一系列关节连接起来的连杆所组成-
--开式链结构。为了求机器人手部在空间的运动 规律-----一种合适的数学方法来描述。通常把坐 标系固定于每一个连杆的关节上，如果知道了这 些坐标系之间的相互位置与姿态，手部在空间的 位置与姿态也就能够确定了。
0
sin cos
0
0 02 p 1
由上面知从OX1Y1Z1坐标系向坐标系 OX2Y2Z2 的坐标变换矩阵为：
cos sin 0
1R2 sin cos 0
0
0 1
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因为上述变换是把某一坐标系上表示的坐标
，表示到另一坐标系中，因此有时也称它为坐标
变换。在该例子中是从 OX1Y1Z坐1 标系向坐标系
Ｒ旋转变换矩阵
P－ OB指向ＯE的位置矢量
图3－3 基准坐标系和手爪坐标系
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2．姿态的变换矩阵
如图3－4所示，给出原点重合的两坐标系
A(OAXAYA)
B(OBXBYB)
则假设点 P的位置p向量的分 量在两坐标系中分别表示为
A
p
A A
p p
x y
B
p
B B
px py
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则从 A p 向B p 的变换为：
1 0 0
1pRx()2p0 cos sin2p 0 sin cos
另外，当围绕着轴 y 旋转时（设其旋转量 为），可表示为如下关系式：
cos 0 sin 1pRy()2p 0 1 0 2p
sin 0 cos
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x
可以验证 Rx ( ) Ry ( ) Rz () 均满足
1 0 0
R()R()T 0 1 0
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• 第一个问题常称为运动学正问题(直接问题);
• 第二个问题常称为运动学逆问题(解臂形问题)。 这两个问题是机器人运动学中的基本问题。
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第二节 机器人运动学的基本问题
一、运动学基本问题
图3－1所示为2自由度机器人手部的连杆机构。
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图中的连杆机构是两杆件通过转动副联接的关 节结构，通过确定连杆长度，以及关节角，，可 以定义该连杆机构。在分析机器人的末端手爪的 运动时，若把作业看作主要依靠机器人手爪来实 现的，则应考虑手爪的位置（图中点的位置）。 一般场合中，手爪姿势也表示手指位置。从几何 学的观点来处理这个手指位置与关节变量的关系 称为运动学（Kinematics）。
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我们引入向量分别表示手爪位置ｒ和关节变量θ，
r
x
y
1
2
因此，利用上述两个向量来描述一下这个2自由度机 器人的运动学问题。
手爪位置的各分量，按几何学可表示为：
x L 1 c o s1 L 2c o s (12 ) (3-1)
y L 1sin1 L 2sin (12 ) (3-2)
OX2Y2Z2 ，它是将 OX1Y1Z1 围绕 Z轴沿正方向 旋转角 后构成的坐标系。
因此，在坐标系 OX1Y1Z1上表示
的坐标 1 p 与在将坐标系OX1Y1Z1
绕 z轴沿正方向旋转角 得到的
坐标系 OX2Y2Z2上表示的坐标2 p
之间，存在下列关系式：
图3－5 两个坐标系的旋转坐标变换
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cos 1p sin