圆的复习及综合题训练(教师)
中考数学总复习《圆的综合题》练习题(附答案)
中考数学总复习《圆的综合题》练习题(附答案)班级:___________姓名:___________考号:_____________一、单选题1.在平面直角坐标系xOy中以点(3,4)为圆心,4为半径的圆()A.与x轴相交,与y轴相切B.与x轴相离,与y轴相交C.与x轴相切,与y轴相交D.与x轴相切,与y轴相离2.如图,在平面直角坐标系xOy中以原点O为圆心的圆过点A(13,0)直线y=kx-3k+4与⊙O交于B、C两点,则弦BC的长的最小值为()A.22B.24C.10√5D.12√33.如图,四边形ABCD内接于⊙O,若∠BOD=100°,则∠DCB等于()A.90°B.100°C.130°D.140°4.如图,在正五边形ABCDE中连接AD,则∠DAE的度数为()A.46°B.56°C.36°D.26°5.如图,PA、PB为∠O的切线,切点分别为A、B,PO交AB于点C,PO的延长线交∠O 于点D.下列结论不一定成立的是()A.△BPA为等腰三角形B.AB与PD相互垂直平分C.点A,B都在以PO为直径的圆上D.PC为△BPA的边AB上的中线6.如图,四边形ABCD内接于半径为6的∠O中连接AC,若AB=CD,∠ACB=45°,∠ACD=12∠BAC,则BC的长度为()A.6 √3B.6 √2C.9 √3D.9 √27.如图,点A,B,D,C是∠O上的四个点,连结AB,CD并延长,相交于点E,若∠BOD=20°,∠AOC=90°,则∠E的度数为()A.30°B.35°C.45°D.55°8.∠ABC中∠C=Rt∠,AC=3,BC=4,以点C为圆心,CA为半径的圆与AB,BC分别交于点E,D,则AE的长为()A.95B.125C.185D.3659.如图,AB为∠O的直径,点C在∠O上,若∠B=60°,则∠A等于()A.80°B.50°C.40°D.30°10.两个圆的半径分别是2cm和7cm,圆心距是5cm,则这两个圆的位置关系是() A.外离B.内切C.相交D.外切11.已知正三角形的边长为12,则这个正三角形外接圆的半径是()A.B.C.D.12.一个扇形的弧长为4π,半径长为4,则该扇形的面积为()A.4πB.6πC.8πD.12π二、填空题13.在Rt∠ABC中∠C=90°,AB=5,BC=4,求内切圆半径14.如图,∠C过原点,且与两坐标轴分别交于点A,点B,点A的坐标为(0,3),M是第三象限内弧OB上一点,∠BMO=120°,则∠C的半径为.15.一个立体图形的三视图如图所示,根据图中数据求得这个立体图形的侧面积为.16.一个半径为5cm的球形容器内装有水,若水面所在圆的直径为8cm,则容器内水的高度为cm.17.如图,在直角坐标系中以点P为圆心的圆弧与x轴交于A,B两点,已知P(4,2)和A(2,0),则点B的坐标是.18.下面是“作一个30°角”的尺规作图过程.已知:平面内一点A.求作:∠A,使得∠A=30°.作法:如图①作射线AB;②在射线AB取一点O,以O为圆心,OA为半径作圆,与射线AB相交于点C;③以C为圆心,OC C为半径作弧,与⊙O交于点D,作射线AD.则∠DAB即为所求的角.请回答:该尺规作图的依据是.三、综合题19.如图,在△ABC中AC=BC=BD,点O在AC边上,OC为⊙O的半径,AB是⊙O 的切线,切点为点D,OC=2,OA=2√2.(1)求证:BC是⊙O的切线;(2)求阴影部分的面积.20.如图,△ABC内接于⊙O,CD是直径,∠CBG=∠BAC,CD与AB相交于点E,过点E作EF⊥BC,垂足为F,过点O作OH⊥AC,垂足为H,连接BD、OA.(1)求证:直线BG与⊙O相切;(2)若BEOD=54,求EFAC的值.21.如图,四边形ABCD 内接于∠O,BD是∠O的直径,过点A作∠O的切线AE交CD的延长线于点E,DA平分∠BDE.(1)求证:AE∠CD;(2)已知AE=4cm,CD=6cm,求∠O的半径.22.如图,∠O是∠ABC的外接圆,BC为∠O的直径,点E为∠ABC的内心,连接AE并延长交∠O 于D点,连接BD并延长至F,使得BD=DF,连接CF、BE.(1)求证:DB=DE;(2)求证:直线CF为∠O的切线.23.公元前5世纪,古希腊哲学家阿那克萨哥拉因“亵渎神灵罪”而被投人监狱,在狱中他对方铁窗和圆月亮产生了兴趣.他不断变换观察的位置,一会儿看见圆比正方形大,一会儿看见正方形比圆大,于是伟大的古希腊尺规作图几何三大问题之--的化圆为方问题诞生了:作一个正方形,使它的面积等于已知圆的面积(1)设有一个半径为√3的圆,则这个圆的周长为,面积为,作化圆为方得到的正方形的边长为(计算结果保留π)(2)由于对尺规作图的限制(只能有限次地使用没有刻度的直尺和圆规进行作图),包括化圆为方在内的几何三大问题都已被证明是不可能的.但若不受标尺的限制,化圆为方并非难事。
二 圆《整理与复习》 ( 教案)六年级数学上册西师大版
二圆《整理与复习》 ( 教案)六年级数学上册西师大版教学内容:本节课为六年级数学上册西师大版《圆》单元的复习课。
通过复习,让学生进一步理解圆的概念、性质、计算方法以及在实际问题中的应用。
复习内容包括圆的定义、圆的周长和面积的计算、圆的弧、弦、切线等相关知识。
教学目标:1. 让学生掌握圆的概念、性质、计算方法,并能运用所学知识解决实际问题。
2. 培养学生运用数学思维分析问题、解决问题的能力。
3. 培养学生合作学习、积极参与的精神。
教学难点:1. 圆的周长和面积公式的推导及灵活运用。
2. 圆的弧、弦、切线等概念的理解及在实际问题中的应用。
教具学具准备:1. 教师准备:PPT课件、圆规、直尺、量角器等。
2. 学生准备:圆规、直尺、量角器、草稿纸、铅笔等。
教学过程:1. 导入:通过提问方式引导学生回顾圆的概念、性质及计算方法,激发学生学习兴趣。
2. 复习:教师引导学生复习圆的周长和面积公式,以及圆的弧、弦、切线等相关知识。
学生跟随教师的讲解,整理笔记,巩固所学内容。
3. 练习:教师出示练习题,学生独立完成。
教师巡回指导,解答学生疑问。
4. 小组讨论:学生分组讨论练习题中的难题,共同解决问题,提高合作学习能力。
5. 课堂小结:教师总结本节课所学内容,强调重点、难点。
6. 作业布置:教师布置课后作业,巩固所学知识。
板书设计:1. 圆的概念、性质、计算方法2. 圆的周长和面积公式3. 圆的弧、弦、切线等相关知识作业设计:1. 复习圆的概念、性质、计算方法,完成课后练习题。
2. 收集生活中的圆形物体,测量其周长和面积,并计算。
3. 小组讨论:探讨圆在实际问题中的应用,例如圆桌、车轮等。
课后反思:本节课通过复习,让学生对圆的概念、性质、计算方法有了更深入的理解。
在教学过程中,注重培养学生的数学思维和解决问题的能力。
但在教学过程中,发现部分学生对圆的周长和面积公式理解不够透彻,需要在今后的教学中加强练习和讲解。
此外,课后作业设计需要更加贴近生活,提高学生的实际操作能力。
高考圆复习题
高考圆复习题一、选择题1. 圆的标准方程是:A. \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)B. \(x^2+y^2=r^2\)C. \((x-a)^2+(y-b)^2=1\)D. \(x^2+y^2=1\)2. 已知圆的半径为5,圆心到直线的距离为3,那么直线与圆的位置关系是:A. 相切B. 相交C. 相离D. 内切3. 圆的切线与半径垂直,切点到圆心的距离等于:A. 半径的长度B. 切线的长度C. 圆心到切点的距离D. 半径的一半二、填空题4. 若圆的方程为 \(x^2+y^2=9\),圆心坐标为(0,0),半径为3,则圆上任意一点P(x,y)到圆心的距离为______。
5. 圆 \(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\) 与直线 \(Ax+By+C=0\) 相切,则\(D^2+E^2-4F=\) ______。
三、解答题6. 已知圆 \((x-2)^2+(y+1)^2=9\),求圆心坐标和半径。
7. 证明:圆的任意一条直径所对的圆周角是直角。
8. 已知圆心在原点,半径为4的圆,求经过点P(3,2)的圆的切线方程。
四、综合题9. 圆 \(x^2+y^2-4x-6y-10=0\) 与直线 \(2x+3y-11=0\) 相交于A、B 两点,求弦AB的长度。
10. 已知圆 \(x^2+y^2=16\) 内接于一个矩形,求矩形的面积最大值。
【答案】1. A2. B3. A4. 35. \(AB^2\)6. 圆心坐标为(2,-1),半径为3。
7. 证明略。
8. 切线方程为 \(x+3y-7=0\) 或 \(3x-y-5=0\)。
9. 弦AB的长度为 \(\sqrt{65}\)。
10. 矩形面积最大值为32。
【结束语】通过以上题目的练习,相信同学们对圆的方程、性质、与直线的位置关系等知识点有了更深刻的理解和掌握。
希望同学们能够继续努力,不断巩固和提高自己的数学能力,为即将到来的高考做好充分的准备。
人教中考数学圆的综合综合题含详细答案
一、圆的综合真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.如图,⊙O的半径为6cm,经过⊙O上一点C作⊙O的切线交半径OA的延长于点B,作∠ACO的平分线交⊙O于点D,交OA于点F,延长DA交BC于点E.(1)求证:AC∥OD;(2)如果DE⊥BC,求AC的长度.【答案】(1)证明见解析;(2)2π.【解析】试题分析:(1)由OC=OD,CD平分∠ACO,易证得∠ACD=∠ODC,即可证得AC∥OD;(2)BC切⊙O于点C,DE⊥BC,易证得平行四边形ADOC是菱形,继而可证得△AOC是等边三角形,则可得:∠AOC=60°,继而求得弧AC的长度.试题解析:(1)证明:∵OC=OD,∴∠OCD=∠ODC.∵CD平分∠ACO,∴∠OCD=∠ACD,∴∠ACD=∠ODC,∴AC∥OD;(2)∵BC切⊙O于点C,∴BC⊥OC.∵DE⊥BC,∴OC∥DE.∵AC∥OD,∴四边形ADOC 是平行四边形.∵OC=OD,∴平行四边形ADOC是菱形,∴OC=AC=OA,∴△AOC是等边三角形,∴∠AOC=60°,∴弧AC的长度=606180π⨯=2π.点睛:本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及弧长公式.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.2.如图,AB是半圆的直径,过圆心O作AB的垂线,与弦AC的延长线交于点D,点E在OD上DCE B∠=∠.(1)求证:CE是半圆的切线;(2)若CD=10,2tan3B=,求半圆的半径.【答案】(1)见解析;(2)13【解析】分析: (1)连接CO ,由DCE B ∠=∠且OC=OB,得DCE OCB ∠=∠,利用同角的余角相等判断出∠BCO+∠BCE=90°,即可得出结论;(2)设AC=2x ,由根据题目条件用x 分别表示出OA 、AD 、AB ,通过证明△AOD ∽△ACB ,列出等式即可.详解:(1)证明:如图,连接CO .∵AB 是半圆的直径,∴∠ACB =90°.∴∠DCB =180°-∠ACB =90°.∴∠DCE+∠BCE=90°.∵OC =OB ,∴∠OCB =∠B.∵=DCE B ∠∠,∴∠OCB =∠DCE .∴∠OCE =∠DCB =90°.∴OC ⊥CE .∵OC 是半径,∴CE 是半圆的切线.(2)解:设AC =2x ,∵在Rt △ACB 中,2tan 3AC B BC ==, ∴BC =3x .∴()()222313AB x x x =+=.∵OD ⊥AB ,∴∠AOD =∠A CB=90°.∵∠A =∠A ,∴△AOD ∽△ACB .∴AC AO AB AD=. ∵11322OA AB x ==,AD =2x +10, ∴113221013x x x =+. 解得 x =8.∴1384132OA=⨯=.则半圆的半径为413.点睛:本题考查了切线的判定与性质,圆周角定理,相似三角形.3.如图,已知四边形ABCD是矩形,点P在BC边的延长线上,且PD=BC,⊙A经过点B,与AD边交于点E,连接CE .(1)求证:直线PD是⊙A的切线;(2)若PC=25,sin∠P=23,求图中阴影部份的面积(结果保留无理数).【答案】(1)见解析;(2)20-4π.【解析】分析:(1)过点A作AH⊥PD,垂足为H,只要证明AH为半径即可.(2)分别算出Rt△CED的面积,扇形ABE的面积,矩形ABCD的面积即可.详解:(1)证明:如图,过A作AH⊥PD,垂足为H,∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC,AD∥BC,∠PCD=∠BCD=90°,∴∠ADH=∠P,∠AHD=∠PCD=90°,又PD=BC,∴AD=PD,∴△ADH≌△DPC,∴AH=CD,∵CD=AB,且AB是⊙A的半径,∴AH=AB,即AH是⊙A的半径,∴PD是⊙A的切线.(2)如图,在Rt△PDC中,∵sin∠P=23CDPD=,5,令CD=2x,PD=3x,由由勾股定理得:(3x)2-(2x)252,解得:x=2,∴CD=4,PD=6,∴AB=AE=CD=4,AD=BC=PD=6,DE=2,∵矩形ABCD 的面积为6×4=24,Rt △CED 的面积为12×4×2=4, 扇形ABE 的面积为12π×42=4π, ∴图中阴影部份的面积为24-4-4π=20-4π.点睛:本题考查了全等三角形的判定,圆的切线证明,三角形的面积,扇形的面积,矩形的面积.4.对于平面直角坐标系xOy 中的线段MN 和点P ,给出如下定义:点A 是线段MN 上一个动点,过点A 作线段MN 的垂线l ,点P 是垂线l 上的另外一个动点.如果以点P 为旋转中心,将垂线l 沿逆时针方向旋转60°后与线段MN 有公共点,我们就称点P 是线段MN 的“关联点”.如图,M (1,2),N (4,2).(1) 在点P 1(1,3),P 2(4,0),P 3(3,2)中,线段MN 的“关联点”有 ;(2) 如果点P 在直线1y x =+上,且点P 是线段MN 的“关联点”,求点P 的横坐标x 的取值范围;(3) 如果点P 在以O (1,1-)为圆心,r 为半径的⊙O 上,且点P 是线段MN 的“关联点”,直接写出⊙O 半径r 的取值范围.【答案】(1)P 1和P 3;(2)3311x -≤≤;(3333 3.r +≤ 【解析】【分析】 (1)先根据题意求出点P 的横坐标的范围,再求出P 点的纵坐标范围即可得出结果; (2)由直线y=x+1经过点M (1,2),得出x≥1,设直线y=x+1与P 4N 交于点A ,过点A 作AB ⊥MN 于B ,延长AB 交x 轴于C ,则在△AMN 中,MN=3,∠AMN=45°,∠ANM=30°,设AB=MB=a ,tan ∠ANM=AB BN ,即tan30°=3a a-,求出a 即可得出结果; (3)圆心O 到P 4的距离为r 的最大值,圆心O 到MP 5的距离为r 的最小值,分别求出两个距离即可得出结果.【详解】(1))如图1所示:∵点A 是线段MN 上一个动点,过点A 作线段MN 的垂线l ,点P 是垂线l 上的另外一个动点,M (1,2),N (4,2),∴点P 的横坐标1≤x≤4,∵以点P 为旋转中心,将垂线l 沿逆时针方向旋转60°后与线段MN 有公共点,当∠MPN=60°时,PM=60MN tan ︒=3=3, 同理P′N=3,∴点P 的纵坐标为2-3或2+3,即纵坐标2-3≤y≤2+3,∴线段MN 的“关联点”有P 1和P 3;故答案为:P 1和P 3;(2)线段MN 的“关联点”P 的位置如图所示,∵ 直线1y x =+经过点M (1,2),∴ x ≥1.设直线1y x =+与P 4N 交于点A .过点A 作AB ⊥MN 于B ,延长AB 交x 轴于C .由题意易知,在△AMN 中,MN = 3,∠AMN = 45°,∠ANM = 30°.设AB = MB = a ,∴ tan AB ANM BN ∠=,即tan303a a ︒=-, 解得333a -=∴ 点A 的横坐标为33333111.22x a --=+=+= ∴331.x -≤ 综上 3311.2x -≤≤(3)点P 在以O (1,-1)为圆心,r 为半径的⊙O 上,且点P 是线段MN 的“关联点”,如图3所示:连接P 4O 交x 轴于点D ,P 4、M 、D 、O 共线,则圆心O 到P 4的距离为r 的最大值,由(1)知:MP 4=NP 53即OD+DM+MP 433圆心O 到MP 5的距离为r 的最小值,作OE ⊥MP 5于E ,连接OP 5, 则OE 为r 的最小值,MP 5225MN NP +223(3)+3OM=OD+DM=1+2=3, △OMP 5的面积=12OE•MP 5=12OM•MN ,即12312×3×3, 解得:33 ∴3323 【点睛】本题是圆的综合题,考查了旋转、直角三角形的性质、勾股定理、最值等知识,熟练掌握“关联点”的含义,作出关于MN 的“关联点”图是关键.5.如图,在直角坐标系中,⊙M 经过原点O(0,0),点6,0)与点B(02),点D 在劣弧OA 上,连结BD 交x 轴于点C ,且∠COD =∠CBO.(1)求⊙M 的半径;(2)求证:BD 平分∠ABO ;(3)在线段BD 的延长线上找一点E ,使得直线AE 恰为⊙M 的切线,求此时点E 的坐标.【答案】(1)M 的半径r =2;(2)证明见解析;(3)点E 的坐标为(263,2). 【解析】 试题分析:根据点A 和点B 的坐标得出OA 和OB 的长度,根据Rt △AOB 的勾股定理得出AB 的长度,然后得出半径;根据同弧所对的圆周角得出∠ABD=∠COD ,然后结合已知条件得出角平分线;根据角平分线得出△ABE ≌△HBE ,从而得出BH=BA=22,从而求出OH 的长度,即点E 的纵坐标,根据Rt △AOB 的三角函数得出∠ABO 的度数,从而得出∠CBO 的度数,然后根据Rt △HBE 得出HE 的长度,即点E 的横坐标.试题解析:(1)∵点A 为(6,0),点B 为(0,-2) ∴OA=6OB=2 ∴根据Rt △AOB 的勾股定理可得:AB=22∴M 的半径r=12AB=2. (2)根据同弧所对的圆周角相等可得:∠ABD=∠COD ∵∠COD=∠CBO ∴∠ABD=∠CBO ∴BD 平分∠ABO(3)如图,由(2)中的角平分线可得△ABE ≌△HBE ∴BH=BA=22∴OH=22-2=2在Rt △AOB 中,3OA OB=∴∠ABO=60° ∴∠CBO=30° 在Rt △HBE 中,HE=2633=∴点E 的坐标为(263,2)考点:勾股定理、角平分线的性质、圆的基本性质、三角函数.6.在O 中,AB 为直径,C 为O 上一点.(Ⅰ)如图①,过点C 作O 的切线,与AB 的延长线相交于点P ,若28CAB ∠=︒,求P ∠的大小;(Ⅱ)如图②,D 为弧AC 的中点,连接OD 交AC 于点E ,连接DC 并延长,与AB 的延长线相交于点P ,若12CAB ∠=︒,求P ∠的大小.【答案】(1)∠P =34°;(2)∠P =27°【解析】【分析】(1)首先连接OC ,由OA=OC ,即可求得∠A 的度数,然后由圆周角定理,求得∠POC 的度数,继而求得答案;(2)因为D 为弧AC 的中点,OD 为半径,所以OD ⊥AC ,继而求得答案.【详解】(1)连接OC ,∵OA =OC ,∴∠A =∠OCA =28°,∴∠POC =56°,∵CP 是⊙O 的切线,∴∠OCP =90°,∴∠P =34°;(2)∵D 为弧AC 的中点,OD 为半径,∴OD ⊥AC ,∵∠CAB =12°,∴∠AOE =78°,∴∠DCA =39°,∵∠P =∠DCA ﹣∠CAB ,∴∠P =27°.【点睛】本题考查切线的性质以及等腰三角形的性质.注意准确作出辅助线是解此题的关键.7.如图,等边△ABC 内接于⊙O ,P 是弧AB 上任一点(点P 不与A 、B 重合),连AP ,BP ,过C 作CM ∥BP 交PA 的延长线于点M ,(1)求证:△PCM 为等边三角形;(2)若PA =1,PB =2,求梯形PBCM 的面积.【答案】(1)见解析;(21534【解析】【分析】(1)利用同弧所对的圆周角相等即可求得题目中的未知角,进而判定△PCM 为等边三角形;(2)利用上题中得到的相等的角和等边三角形中相等的线段证得两三角形全等,进而利用△PCM 为等边三角形,进而求得PH 的长,利用梯形的面积公式计算梯形的面积即可.【详解】(1)证明:作PH ⊥CM 于H ,∵△ABC 是等边三角形,∴∠APC=∠ABC=60°,∠BAC=∠BPC=60°,∵CM ∥BP ,∴∠BPC=∠PCM=60°,∴△PCM 为等边三角形;(2)解:∵△ABC 是等边三角形,△PCM 为等边三角形,∴∠PCA+∠ACM=∠BCP+∠PCA ,∴∠BCP=∠ACM ,在△BCP 和△ACM 中, BC AC BCP ACM CP CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△BCP ≌△ACM (SAS ),∴PB=AM ,∴CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB=1+2=3,在Rt△PMH中,∠MPH=30°,∴PH=332,∴S梯形PBCM=12(PB+CM)×PH=12×(2+3)×33=1534.【点睛】本题考查圆周角定理、等边三角形的判定、全等三角形的性质及梯形的面积计算方法,是一道比较复杂的几何综合题.8.如图,AB是半圆⊙O的直径,点C是半圆⊙O上的点,连接AC,BC,点E是AC的中点,点F是射线OE上一点.(1)如图1,连接FA,FC,若∠AFC=2∠BAC,求证:FA⊥AB;(2)如图2,过点C作CD⊥AB于点D,点G是线段CD上一点(不与点C重合),连接FA,FG,FG与AC相交于点P,且AF=FG.①试猜想∠AFG和∠B的数量关系,并证明;②连接OG,若OE=BD,∠GOE=90°,⊙O的半径为2,求EP的长.【答案】(1)见解析;(2)①结论:∠GFA=2∠ABC.理由见解析;②PE 3.【解析】【分析】(1)证明∠OFA=∠BAC,由∠EAO+∠EOA=90°,推出∠OFA+∠AOE=90°,推出∠FAO=90°即可解决问题.(2)①结论:∠GFA=2∠ABC.连接FC.由FC=FG=FA,以F为圆心FC为半径作⊙F.因为AG AG,推出∠GFA=2∠ACG,再证明∠ACG=∠ABC.②图2﹣1中,连接AG,作FH⊥AG于H.想办法证明∠GFA=120°,求出EF,OF,OG即可解决问题.【详解】(1)证明:连接OC.∵OA=OC,EC=EA,∴OF⊥AC,∴FC=FA,∴∠OFA=∠OFC,∵∠CFA=2∠BAC,∴∠OFA=∠BAC,∵∠OEA=90°,∴∠EAO+∠EOA=90°,∴∠OFA+∠AOE=90°,∴∠FAO=90°,∴AF⊥AB.(2)①解:结论:∠GFA=2∠ABC.理由:连接FC.∵OF垂直平分线段AC,∴FG=FA,∵FG=FA,∴FC=FG=FA,以F为圆心FC为半径作⊙F.∵AG AG,∴∠GFA=2∠ACG,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∵CD⊥AB,∴∠ABC+∠BCA=90°,∵∠BCD+∠ACD=90°,∴∠ABC=∠ACG,∴∠GFA =2∠ABC .②如图2﹣1中,连接AG ,作FH ⊥AG 于H .∵BD =OE ,∠CDB =∠AEO =90°,∠B =∠AOE ,∴△CDB ≌△AEO (AAS ),∴CD =AE ,∵EC =EA ,∴AC =2CD .∴∠BAC =30°,∠ABC =60°,∴∠GFA =120°,∵OA =OB =2,∴OE =1,AE =,BA =4,BD =OD =1, ∵∠GOE =∠AEO =90°,∴OG ∥AC , 323DG OG ∴==, 222213AG DG AD ∴=+=, ∵FG =FA ,FH ⊥AG ,∴AH =HG 21∠AFH =60°, ∴AF =27sin 60AH ︒=, 在Rt △AEF 中,EF 2213AF AE -=, ∴OF =OE +EF =43 , ∵PE ∥OG , ∴PE EF OG 0F=, ∴134233=,∴PE =36 . 【点睛】圆综合题,考查了垂径定理,勾股定理,圆周角定理,全等三角形的判定和性质,锐角三角函数,解直角三角形等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题.9.如图,已知AB 是⊙O 的直径,直线CD 与⊙O 相切于C 点,AC 平分∠DAB . (1)求证:AD ⊥CD ;(2)若AD =2,AC=6,求⊙O 的半径R 的长.【答案】(1)证明见解析(2)32【解析】试题分析:(1)连接OC ,由题意得OC ⊥CD .又因为AC 平分∠DAB ,则∠1=∠2=12∠DAB .即可得出AD ∥OC ,则AD ⊥CD ; (2)连接BC ,则∠ACB =90°,可证明△ADC ∽△ACB .则2AD AC AC R ,从而求得R . 试题解析:(1)证明:连接OC ,∵直线CD 与⊙O 相切于C 点,AB 是⊙O 的直径,∴OC ⊥CD .又∵AC 平分∠DAB ,∴∠1=∠2=12∠DAB . 又∠COB =2∠1=∠DAB ,∴AD ∥OC ,∴AD ⊥CD .(2)连接BC ,则∠ACB =90°,在△ADC 和△ACB 中∵∠1=∠2,∠3=∠ACB =90°,∴△ADC ∽△ACB . ∴2AD AC AC R= ∴R =2322AC AD =10.如图,AN 是⊙M 的直径,NB ∥x 轴,AB 交⊙M 于点C . (1)若点A (0,6),N (0,2),∠ABN=30°,求点B 的坐标; (2)若D 为线段NB 的中点,求证:直线CD 是⊙M 的切线.【答案】(1) B (,2).(2)证明见解析.【解析】 试题分析:(1)在Rt △ABN 中,求出AN 、AB 即可解决问题; (2)连接MC ,NC .只要证明∠MCD=90°即可试题解析:(1)∵A 的坐标为(0,6),N (0,2), ∴AN=4,∵∠ABN=30°,∠ANB=90°,∴AB=2AN=8,∴由勾股定理可知:NB=,∴B (,2). (2)连接MC ,NC∵AN 是⊙M 的直径,∴∠ACN=90°,∴∠NCB=90°,在Rt △NCB 中,D 为NB 的中点,∴CD=NB=ND ,∴∠CND=∠NCD ,∵MC=MN ,∴∠MCN=∠MNC,∵∠MNC+∠CND=90°,∴∠MCN+∠NCD=90°,即MC⊥CD.∴直线CD是⊙M的切线.考点:切线的判定;坐标与图形性质.。
圆的综合压轴题(解析版)
圆的综合压轴题命题趋势中考数学中《圆的综合压轴题》部分主要考向分为六类:一、圆中弧长和面积的综合题二、圆与全等三角形的综合题三、圆的综合证明问题四、圆与等腰三角形的综合题五、圆的阅读理解与新定义问题六、圆与特殊四边形的综合题圆的综合问题是中考数学中的压轴题中的一类,也是难度较大的一类,所以,对应的训练很有必要。
热考题型解读考向一:圆中弧长与面积的综合题考向二:圆与全等三角形综合题考向三:圆的综合证明问题考向四:圆与等腰三角形的综合考向五:圆的阅读理解与新定义问题考向六:圆与特殊四边形综合考向一:圆中弧长与面积的综合题1(2023•河北)装有水的水槽放置在水平台面上,其横截面是以AB 为直径的半圆O ,AB =50cm ,如图1和图2所示,MN 为水面截线,GH 为台面截线,MN ∥GH .计算:在图1中,已知MN =48cm ,作OC ⊥MN 于点C .(1)求OC 的长.操作:将图1中的水槽沿GH 向右作无滑动的滚动,使水流出一部分,当∠ANM =30°时停止滚动.如图2.其中,半圆的中点为Q ,GH 与半圆的切点为E ,连接OE 交MN 于点D .探究:在图2中.(2)操作后水面高度下降了多少?(3)连接OQ 并延长交GH 于点F ,求线段EF 与EQ的长度,并比较大小.【分析】(1)连接OM ,利用垂径定理得出MC =12MN =24cm ,由勾股定理计算即可得出答案;(2)由切线的性质证明OE ⊥GH ,进而得到OE ⊥MN ,利用锐角三角函数的定义求出OD ,再与(1)中OC 相减即可得出答案;(3)由半圆的中点为Q 得到∠QOB =90°,得到∠QOE =30°,分别求出线段EF 与EQ的长度,再相减比较即可.【解答】解:(1)连接OM ,∵O 为圆心,OC ⊥MN 于点C ,MN =48cm ,∴MC =圆的综合压轴题(解析版)MN =24cm ,∵AB =50cm ,∴OM =圆的综合压轴题(解析版)AB =25cm ,在Rt △OMC 中,OC =OM 2-MC 2=252-242=7(cm );(2)∵GH 与半圆的切点为E ,∴OE ⊥GH ,∵MN ∥GH ,∴OE ⊥MN 于点D ,∵∠ANM =30°,ON =25cm ,∴OD =12ON =252cπ,∴操作后水面高度下降高度为:252-7=112cπ;(3)∵OE ⊥MN 于点D ,∠ANM =30°,∴∠DOB =60°,∵半圆的中点为Q ,∴AQ =QB,∴∠QOB =90°,∴∠QOE =30°,∴EF =tan ∠QOE •OE =2533(cm ),EQ 的长为30×π×25180=25π6(cm ),∵2533-256π=503-25π6=2523-π 6>0,∴EF >EQ .2(2023•乐山)在学习完《图形的旋转》后,刘老师带领学生开展了一次数学探究活动.【问题情境】刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容:如图1,将一个三角形纸板△ABC 绕点A 逆时针旋转θ到达的位置△AB ′C ′的位置,那么可以得到:AB =AB ′,AC =AC ′,BC =B ′C ′;∠BAC =∠B ′AC ′,∠ABC =∠AB ′C ′,∠ACB =∠AC ′B ′.()刘老师进一步谈到:图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中,即“变”中蕴含着“不变”,这是我们解决图形旋转的关键.故数学就是一门哲学.【问题解决】(1)上述问题情境中“()”处应填理由: 旋转前后的图形对应线段相等,对应角相等 ;(2)如图2,小王将一个半径为4cm ,圆心角为60°的扇形纸板ABC 绕点O 逆时针旋转90°到达扇形纸板A ′B ′C ′的位置.①请在图中作出点O ;②如果BB ′=6cm ,则在旋转过程中,点B 经过的路径长为 32π2cm ;【问题拓展】小李突发奇想,将与(2)中完全相同的两个扇形纸板重叠,一个固定在墙上,使得一边位于水平位置.另一个在弧的中点处固定,然后放开纸板,使其摆动到竖直位置时静止.此时,两个纸板重叠部分的面积是多少呢?如图3所示,请你帮助小李解决这个问题.【分析】【问题解决】(1)由旋转的性质即可知答案为旋转前后的图形对应线段相等,对应角相等;(2)①作线段BB ',AA '的垂直平分线,两垂直平分线交于O ,点O 为所求;②由∠BOB '=90°,OB =OB ',可得OB =62=32,再用弧长公式可得答案;【问题拓展】连接PA ',交AC 于M ,连接PA ,PD ,AA ',PB ',PC ,求出A 'D =A M ∠PA B cos =230o cos =433,DM =12A 'D =233,可得S △A 'DP =12×233×4=433;S 扇形PA 'B '=30π×42360=4π3,证明△PB ′D ≌△PCD (SSS )可知阴影部分关于PD 对称,故重叠部分面积为2(4π3-433)=8π-833(cm 2).【解答】解:【问题解决】(1)根据题意,AB =AB ′,AC =AC ′,BC =B ′C ′;∠BAC =∠B ′AC ′,∠ABC =∠AB ′C ′,∠ACB =∠AC ′B ′的理由是:旋转前后的图形对应线段相等,对应角相等,故答案为:旋转前后的图形对应线段相等,对应角相等;(2)①如图:作线段BB ',AA '的垂直平分线,两垂直平分线交于O ,点O 为所求;②∵∠BOB '=90°,OB =OB ',∴△BOB '是等腰直角三角形,∵BB '=6,∴OB =62=32,∵90π×32180=32π2(cm ),∴点B 经过的路径长为32π2cm ,故答案为:32π2cm ;【问题拓展】连接PA ',交AC 于M ,连接PA ,PD ,AA ',PB ',PC ,如图:∵点P 为BC中点,∴∠PAB =∠PAC =12∠BAC =30o ,由旋转得∠PA 'B '=30°,PA =PA ′=4,在Rt △PAM 中,PM =PA •sin ∠PAM =4×sin30°=2,∴A 'M =PA '-PM =4-2=2,在Rt △A ′DM 中,A 'D =A M ∠PAB cos =230ocos =433,DM =12A 'D =233,∴S △A 'DP =12×233×4=433;S 扇形PA 'B '=30π×42360=4π3,下面证明阴影部分关于PD 对称:∵∠PAC =∠PA 'B '=30°,∠ADN =∠A 'DM ,∴∠AND =∠A 'MD =90°,∴∠PNA '=90°,∴PN =12PA '=2,∴AN =PA -PN =2,∴AN =A ′M ,∴△AND ≌△A 'MD (AAS ),∴AD =A ′D ,∴CD =B 'D ,∵PD =PD ,PB '=PC ,∴△PB ′D ≌△PCD (SSS ),∴阴影部分面积被PD 等分,∴S 阴影=2(S 扇形PA 'B '-S △A 'DP )=2(4π3-433)=8π-833(cm 2).∴两个纸板重叠部分的面积是8π-833cm 2.考向二:圆与全等三角形综合题3(2023•济宁)如图,已知AB 是⊙O 的直径,CD =CB ,BE 切⊙O 于点B ,过点C 作CF ⊥OE 交BE 于点F ,EF =2BF .(1)如图1,连接BD ,求证:△ADB ≌△OBE ;(2)如图2,N 是AD 上一点,在AB 上取一点M ,使∠MCN =60°,连接MN .请问:三条线段MN ,BM ,DN 有怎样的数量关系?并证明你的结论.【分析】(1)根据CF ⊥OE ,OC 是半径,可得CF 是圆O 的切线,根据BE 是圆O 的切线,由切线长定理可得BF =CF ,进而根据sin E =CF EF =12,得出∠E =30°,∠EOB =60°,根据CD =CB 得出CD =CB ,根据垂径定理的推论得出OC ⊥BD ,进而得出∠ADB =90°=∠EBO ,根据含30度角的直角三角形的性质,得出AD =BO =12AB ,即可证明△ABD ≌△OEB (AAS );(2)延长ND 至H 使得DH =BM ,连接CH ,BD ,根据圆内接四边形对角互补得出∠HDC =∠MBC ,证明△HDC ≌△MBC (SAS ),结合已知条件证明△CNH ≌△CNM (SAS ),得出NH =MN ,即可得出结论.【解答】(1)证明:∵CF ⊥OE ,OC 是半径,∴CF 是圆O 的切线,∵BE 是圆O 的切线,∴BF =CF ,∵EF =2BF ,∴EF =2CF ,sin E =CF EF =12,∴∠E =30°,∠EOB =60°,∵CD =CB ,∴CD =CB,∴OC ⊥BD ,∵AB 是直径,∴∠ADB =90°=∠EBO ,∵∠E +∠EBD =90°,∠ABD +∠EBD =90°,∴∠E =∠ABD =30°,∴AD =BO =12AB ,∴△ABD ≌△OEB (AAS );(2)解:MN =BM +DN ,理由如下:延长ND 至H 使得DH =BM ,连接CH ,BD ,如图2所示,∵∠CBM +∠NDC =180°,∠HDC +∠NDC =180°,∴∠HDC =∠MBC ,∵CD =CB ,DH =BM ,∴△HDC ≌△MBC (SAS ),∴∠BCM =∠DCH ,CM =CH ,由(1)可得∠ABD =30°,∵AB 是直径,∴∠ADB =90°,∴∠A =60°,∴∠DCB =180°-∠A =120°,∵∠MCN =60°,∴∠BCM +∠NCD =120°-∠NCM =120°-60°=60°,∴∠DCH +∠NCD =∠NCH =60°,∴∠NCH =∠NCM ,∵NC =NC ,∴△CNH ≌△CNM (SAS ),∴NH =MN ,∴MN =DN +DH =DN +BM ,∴MN =BM +DN .4(2023•哈尔滨)已知△ABC 内接于⊙O ,AB 为⊙O 的直径,N 为AC的中点,连接ON 交AC 于点H .(1)如图①,求证:BC =2OH ;(2)如图②,点D 在⊙O 上,连接DB ,DO ,DC ,DC 交OH 于点E ,若DB =DC ,求证OD ∥AC ;(3)如图③,在(2)的条件下,点F 在BD 上,过点F 作FG ⊥DO ,交DO 于点G ,DG =CH ,过点F 作FR ⊥DE ,垂足为R ,连接EF ,EA ,EF :DF =3:2,点T 在BC 的延长线上,连接AT ,过点T 作TM ⊥DC ,交DC 的延长线于点M ,若FR =CM ,AT =42,求AB 的长.【分析】(1)连接OC ,证明OH 是△ABC 的中位线,即可得到BC =2OH ;(2)设∠BDC =2α,证明△DOB ≌△DOC (SSS ),可得∠BDO =∠CDO =12∠BDC =α,再推导出∠CDO =∠ACD ,即可证明DO ∥AC ;(3)连接AD ,延长AE 与BC 交于W 点,延长AC 、TM 交于L 点,先证明△DGF ≌△CHE (AAS ),得到DF =CE ,再证明△DFG ≌△AFH (ASA ),得到AE =DF ,从而判断出四边形ADFE 是矩形,得到EF ⊥BD ,求出tan ∠EDF =32,通过证明△FRK ≌△CML (AAS ),推导出CL =FK =2FG =CW ,再证明△AWC ≌△TLC (AAS ),则AC =TC ,在Rt △ACT 中,由AT =42,求出AC =CT =4,在Rt △ABC中,tan ∠BAC =32=BC AC,求出BC =6,在Rt △ABC 中,利用勾股定理求出AB =AC 2+BC 2=213.【解答】(1)证明:如图①,连接OC ,∵N 是AC 的中点,∴AN =CN ,∴∠AON =∠CON ,∵OA=OC,∴AH=HC,∵OA=OB,∴OH是△ABC的中位线,∴BC=2OH;(2)证明:如图②,设∠BDC=2α,∵BD=CD,DO=DO,BO=OC,∴△DOB≌△DOC(SSS),∠BDC=α,∴∠BDO=∠CDO=12∵OB=OD,∴∠DBO=∠BDO=α,∵∠ACD=∠ABD=α,∴∠CDO=∠ACD,∴DO∥AC;(3)解:如图③,连接AD,延长AE与BC交于W点,延长AC、TM交于L点,∵FG⊥OD,∴∠DGF=90°,∵∠CHE=90°,∴∠DGF=∠CHE,∵∠FDG=∠ECH,DG=CH,∴△DGF≌△CHE(AAS),∴DF=CE,∵AH=CH,∴OH⊥AC,∴∠EHC=∠DGF,∵AH=HC,∴△AEC是等腰三角形,∴AE=EC,∠EAC=∠ECA,∵∠BDO=∠ODE=∠ECA,∴∠EAH=∠FDG,∵DG=CH,∴DG=AH,∴△DFG≌△AFH(ASA),∴AE=DF,∵∠DEA=2∠ECA,∠FDE=2∠ODE,∴∠FDE=∠DEA,∴DF∥AE,∴四边形AEFD是平行四边形,∵AB是圆O的直径,∴∠ADB=90°,∴四边形ADFE是矩形,∴EF⊥BD,∵EF:DF=3:2,∴tan∠EDF=32,∵FR⊥CD,FG⊥DO,∴∠ODE=∠RFK=90°,∵∠ECA=∠MCL,∴∠RFK=∠LCM,∵CM⊥MT,∴∠CML=90°,∵FR=CM,∴△FRK≌△CML(AAS),∴CL=FK=2FG,∵BC=2OH,EH=OH,∴EH是△AWC的中位线,∴CW=2EH,∵EH=FG,∴CL=FK=2FG=CW,∵∠TCL=∠CMT=90°,∴∠MCL=∠CTM,∵∠ACE=∠ECA=∠LCM,∴∠CTM=∠WAC,∴△AWC≌△TLC(AAS),∴AC=TC,在Rt△ACT中,AT=42,∴AC=CT=4,∵AW∥BD,∴∠BAW=∠DBC,∵∠DBO=∠BDO,∠EAC=∠BDO=∠ODE,∴∠BAC=∠BDE,在Rt△ABC中,tan∠BAC=32=BCAC,∴BC=6,在Rt△ABC中,AB=AC2+BC2=213.5(2023•长春)【感知】如图①,点A、B、P均在⊙O上,∠AOB=90°,则锐角∠APB的大小为45度.【探究】小明遇到这样一个问题:如图②,⊙O是等边三角形ABC的外接圆,点P在弧AC上(点P不与点A、C重合),连接PA、PB、PC.求证:PB=PA+PC.小明发现,延长PA至点E,使AE=PC,连接BE,通过证明△PBC≌△EBA.可推得△PBE是等边三角形,进而得证.下面是小明的部分证明过程:证明:延长PA至点E,使AE=PC,连接BE.∵四边形ABCP是⊙O的内接四边形,∴∠BAP+∠BCP=180°,∵∠BAP+∠BAE=180°,∴∠BCP=∠BAE,∵△ABC是等边三角形,∴BA=BC,∴△PBC≌△EBA(SAS).请你补全余下的证明过程.【应用】如图③,⊙O是△ABC的外接圆,∠ABC=90°,AB=BC,点P在⊙O上,且点P与点B在AC的两侧,连接PA、PB、PC,若PB=22PA,则PBPC的值为 223 .【分析】【感知】根据圆周角定理即可得出答案;【探究】先构造出△PBC≌△EBA(SAS),得出PB=EB,进而得出△PBE是等边三角形,即可得出结论;【应用】先构造出△PBC≌△GBA(SAS),进而判断出∠PBG=90°,进而得出△PBG是等腰直角三角形,即可得出结论;【解答】【感知】解:∵∠AOB=90°,∴∠APB=12∠AOB=45°(在同圆中,同弧所对的圆周角是圆心角的一半),故答案为:45;【探究】证明:延长PA至点E,使AE=PC,连接BE.∵四边形ABCP是⊙O的内接四边形,∴∠BAP+∠BCP=180°,∵∠BAP+∠BAE=180°,∴∠BCP=∠BAE,∵△ABC是等边三角形,∴BA=BC,∴△PBC≌△EBA(SAS),∴PB=EB,∵△ABC是等边三角形,∴∠ACB=60°,∴∠APB=60°,∴△PBE为等边三角形,∴PB=PE=AE+AP=PC+AP;【应用】解:如图③,延长PA至点G,使AG=PC,连接BE.∵四边形ABCP是⊙O的内接四边形,∴∠BAP+∠BCP=180°,∵∠BAP+∠BAG=180°,∴∠BCP =∠BAG ,∵BA =BC ,∴△PBC ≌△GBA (SAS ),∴PB =GB ,∠PBC =∠GBA ,∵∠ABC =90°,∴∠PBG =∠GBA +∠ABP =∠PBC +∠ABP =∠ABC =90°,∴PG =2BP ,∵PG =PA +AG =PA +PC ,∴PC =PG -PA =2×22PA -PA =3PA ,∴PB PC =22PA 3PA=223,故答案为:223考向三:圆的综合证明问题6(2023•黄石)如图,AB 为⊙O 的直径,DA 和⊙O 相交于点F ,AC 平分∠DAB ,点C 在⊙O 上,且CD ⊥DA ,AC 交BF 于点P .(1)求证:CD 是⊙O 的切线;(2)求证:AC •PC =BC 2;(3)已知BC 2=3FP •DC ,求AF AB的值.【分析】(1)连接OC ,由等腰三角形的性质得∠OAC =∠OCA ,再证∠DAC =∠OCA ,则DA ∥OC ,然后证OC ⊥CD ,即可得出结论;(2)由圆周角定理得∠ACB =90°,∠DAC =∠PBC ,再证∠BAC =∠PBC ,然后证△ACB ∽△BCP ,得AC BC =BC PC,即可得出结论;(3)过P 作PE ⊥AB 于点E ,证AC •PC =3FP •DC ,再证△ACD ∽△BPC ,得AC •PC =BP •DC ,则BP •DC =3FP •DC ,进而得BP =3FP ,然后由角平分线的性质和三角形面积即可得出结论.【解答】(1)证明:如图1,连接OC ,∵OA =OC ,∴∠OAC =∠OCA ,∵AC 平分∠DAB ,∴∠DAC =∠OAC ,∴∠DAC =∠OCA ,∴DA ∥OC ,∵CD ⊥DA ,∴OC ⊥CD ,∴CD 是⊙O 的切线;(2)证明:∵AB 为⊙O 的直径,∴∠ACB =90°,∵AC 平分∠DAB ,∴∠DAC =∠BAC ,∵∠DAC =∠PBC ,∴∠BAC =∠PBC ,又∵∠ACB =∠BCP ,∴△ACB ∽△BCP ,∴AC BC =BC PC,∴AC •PC =BC 2;(3)解:如图2,过P 作PE ⊥AB 于点E ,由(2)可知,AC •PC =BC 2,∵BC 2=3FP •DC ,∴AC •PC =3FP •DC ,∵CD ⊥DA ,∴∠ADC =90°,∵AB 为⊙O 的直径,∴∠BCP =90°,∴∠ADC =∠BCP ,∵∠DAC =∠CBP ,∴△ACD ∽△BPC ,∴AC BP =DC PC,∴AC •PC =BP •DC ,∴BP •DC =3FP •DC ,∴BP =3FP ,∵AB 为⊙O 的直径,∴∠AFB =90°,∴PF ⊥AD ,∵AC 平分∠DAB ,PE ⊥AB ,∴PF =PE ,∵==,∴===.7如图,在⊙O 中,直径AB 垂直弦CD 于点E ,连接AC ,AD ,BC ,作CF ⊥AD 于点F ,交线段OB 于点G (不与点O ,B 重合),连接OF .(1)若BE=1,求GE的长.(2)求证:BC2=BG•BO.(3)若FO=FG,猜想∠CAD的度数,并证明你的结论.【分析】(1)由垂径定理可得∠AED=90°,结合CF⊥AD可得∠DAE=∠FCD,根据圆周角定理可得∠DAE=∠BCD,进而可得∠BCD=∠FCD,通过证明△BCE≌△GCE,可得GE=BE=1;(2)证明△ACB∽△CEB,根据对应边成比例可得BC2=BA•BE,再根据AB=2BO,BE=12BG,可证BC2=BG•BO;(3)方法一:设∠DAE=∠CAE=α,∠FOG=∠FGO=β,可证a=90°-β,∠OCF=90-3α,通过SAS 证明△COF≌△AOF,进而可得∠OCF=∠OAF,即90°-3a=a,则∠CAD=2a=45°.方法二:延长FO交AC于点H,连接OC,证明△AFC是等腰直角三角形,即可解决问题.【解答】(1)解:直径AB垂直弦CD,∴∠AED=90°,∴∠DAE+∠D=90°,∵CF⊥AD,∴∠FCD+∠D=90°,∴∠DAE=∠FCD,由圆周角定理得∠DAE=∠BCD,∴∠BCD=∠FCD,在△BCE和△GCE中,,∴△BCE≌△GCE(ASA),∴GE=BE=1;(2)证明:∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠ACB=∠CEB=90°,∵∠ABC=∠CBE,∴△ACB∽△CEB,∴BC BE =BA BC,∴BC2=BA•BE,由(1)知GE=BE,∴BE=12BG,∴BC2=BA•BE=2BO•1BG=BG•BO;2(3)解:∠CAD=45°,证明如下:解法一:如图,连接OC,∵FO=FG,∴∠FOG=∠FGO,∵直径AB垂直弦CD,∴CE=DE,∠AED=∠AEC=90°,∵AE=AE,∴△ACE≌△ADE(SAS),∴∠DAE=∠CAE,设∠DAE=∠CAE=α,∠FOG=∠FGO=β,则∠FCD=∠BCD=∠DAE=α,∵OA=OC,∴∠OCA=∠OAC=α,∵∠ACB=90°,∴∠OCF=∠ACB-∠OCA-∠FCD-∠BCD=90°-3α,∵∠CGE=∠OGF=β,∠GCE=α,∠CGE+∠GCE=90°,∴β+α=90°,∴α=90°-β,∵∠COG=∠OAC+∠OCA=α+α=2α,∴∠COF=∠COG+∠GOF=2α+β=2(90°-β)+β=180°-β,∴∠COF=∠AOF,在△COF和△AOF中,,∴△COF≌△AOF(SAS),∴∠OCF=∠OAF,即90°-3α=α,∴α=22.5°,∴∠CAD=2a=45°.解法二:如图,延长FO交AC于点H,连接OC,∵FO=FG,∴∠FOG=∠FGO,∴∠FOG=∠FGO=∠CGB=∠B,∴BC∥FH,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠ACB=∠AHO=90°,∵OA=OC,∴AF =CF ,∵CF ⊥AD ,∴△AFC 是等腰直角三角形,∴∠CAD =45°.8(2023•永州)如图,以AB 为直径的⊙O 是△ABC 的外接圆,延长BC 到点D .使得∠BAC =∠BDA ,点E 在DA 的延长线上,点M 在线段AC 上,CE 交BM 于N ,CE 交AB 于G .(1)求证:ED 是⊙O 的切线;(2)若AC =6,BD =5,AC >CD ,求BC 的长;(3)若DE •AM =AC •AD ,求证:BM ⊥CE .【分析】(1)由AB 是⊙O 的直径得∠ACB =90°,故∠BAC +∠ABC =90°,由∠BAC =∠BDA 得∠BDA +∠ABC =90°,有∠BAD =90°,即可得证;(2)证明△ACB ∽△DCA ,则BC AC =AC DC =AC BD -BC ,可得BC 6=65-BC ,解得BC =2或BC =3,由AC >CD 即可得到BC 的长;(3)先证明△ABC ∽△DAC ,则AC DC =AB AD ,得到AC •AD =CD •AB ,由DE •AM =AC •AD 得到DE •AM =CD •AB ,故AM DC=AB DE ,由同角的余角相等得∠BAM =∠CDE ,有△AMBB ∽△DCE ,得∠E =∠ABM ,进一步得到∠EGA +∠E =∠ABM +∠BGN =90°,则∠BNG =90°,即可得到结论.【解答】(1)证明:∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB =90°,∴∠BAC +∠ABC =90°,∵∠BAC =∠BDA ,∴∠BDA +∠ABC =90°,∴∠BAD =90°,∴ED 是⊙O 的切线;(2)解:∵∠BAC =∠BDA ,∠ACB =∠DCA =90°,∴△ACB ∽△DCA ,∴BC AC=AC DC =AC BD -BC ,∴BC 6=65-BC ,解得BC =2或BC =3,当BC =2时,CD =BD -BC =3,当BC =3时,CD =BD -BC =2,∵AC >CD ,即6>CD ,∴BC =3;(3)证明:∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB =∠DCA =90°,∵∠BAC =∠BDA ,∴△ABC ∽△DAC ,∴AC DC =AB AD,∴AC •AD =CD •AB ,∵DE •AM =AC •AD ,∴DE .AM =CD •AB ,∴AM DC=AB DE ,∵∠BAM +∠CAD =∠CDE +∠CAD =90°,∴∠BAM =∠CDE ,∴△AMB ∽△DCE ,∴∠E =∠ABM ,∵∠EGA =∠BGN ,∴∠EGA +∠E =∠ABM +∠BGN =90°,∴∠BNG =90°,∴BM ⊥CE .9(2023•广东)综合探究如图1,在矩形ABCD 中(AB >AD ),对角线AC ,BD 相交于点O ,点A 关于BD 的对称点为A ′.连接AA ′交BD 于点E ,连接CA ′.(1)求证:AA '⊥CA ';(2)以点O 为圆心,OE 为半径作圆.①如图2,⊙O 与CD 相切,求证:AA =3CA ;②如图3,⊙O 与CA ′相切,AD =1,求⊙O 的面积.【分析】(1)根据轴对称的性质可得AE =A ′E ,AA ′⊥BD ,根据四边形ABCD 是矩形,得出OA =OC ,从而OE ∥A ′C ,从而得出AA ′⊥CA ′;(2)①设CD ⊙O 与CD 切于点F ,连接OF ,并延长交AB 于点G ,可证得OG =OF =OE ,从而得出∠EAO =∠GAO =∠GBO ,进而得出∠EAO =30°,从而AA =3CA ;②设⊙O 切CA ′于点H ,连接OH ,可推出AA ′=2OH ,CA ′=2OE ,从而AA ′=CA ′,进而得出∠A ′AC =∠A ′CA =45°,∠AOE =∠ACA ′=45°,从而得出AE =OE ,OD =OA =2AE ,设OA =OE =x ,则OD =OA =2x ,在Rt △ADE 中,由勾股定理得出x 2+2-1 x 2=1,从而求得x 2=2+24,进而得出⊙O的面积.【解答】(1)证明:∵点A关于BD的对称点为A′,∴AE=A′E,AA′⊥BD,∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OC,∴OE∥A′C,∴AA′⊥CA′;(2)①证明:如图2,设CD⊙O与CD切于点F,连接OF,并延长交AB于点G,∴OF⊥CD,OF=OE,∵四边形ABCD是矩形,∴OB=OD=12BD,AB∥CD,AC=BD,OA=12AC,∴OG⊥AB,∠FDO=∠GBO,OA=OB,∴∠GAO=∠GBO,∵∠DOF=∠BOG,∴△DOF≌△BOG(ASA),∴OG=OF,∴OG=OE,由(1)知:AA′⊥BD,∴∠EAO=∠GAO,∵∠EAB+∠GBO=90°,∴∠EAO+∠GAO+∠GBO=90°,∴3∠EAO=90°,∴∠EAO=30°,由(1)知:AA′⊥CA′,∴tan∠EAO=CAAA,∴tan30°=CAAA,∴AA =3CA ;②解:如图3,设⊙O切CA′于点H,连接OH,∴OH⊥CA′,由(1)知:AA′⊥CA′,AA′⊥BD,OA=OC,∴OH∥AA′,OE∥CA′,∴△COH∽△CAA′,△AOE∽△ACA′,∴OH AA =OCAC=12,OECA=OAAC=12,∴AA′=2OH,CA′=2OE,∴AA′=CA′,∴∠A′AC=∠A′CA=45°,∴∠AOE=∠ACA′=45°,∴AE=OE,OD=OA=2AE,设AE=OE=x,则OD=OA=2x,∴DE=OD-OE=(2-1)x,在Rt△ADE中,由勾股定理得,x2+2-1x2=1,∴x2=2+24,⋅π.∴S⊙O=π•OE2=2+24考向四:圆与等腰三角形的综合10(2023•宁波)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,E为AB边上一点,以AE为直径的半圆O与BC 相切于点D,连结AD,BE=3,BD=35.P是AB边上的动点,当△ADP为等腰三角形时,AP的长为 6或230 .【分析】连接OD,DE,根据切线的性质和勾股定理求出OD=6,然后分三种情况讨论:①当AP=PD时,此时P与O重合,②如图2,当AP′=AD时,③如图3,当DP′′=AD时,分别进行求解即可.【解答】解:如图1,连接OD,DE,∵半圆O与BC相切于点D,∴OD⊥BC,在Rt△OBD中,OB=OE+BE=OD+3,BD=35.∴OB2=BD2+OD2,∴(OD+3)2=(35)2+OD2,解得OD=6,∴AO=EO=OD=6,①当AP=PD时,此时P与O重合,∴AP=AO=6;②如图2,当AP′=AD时,在Rt△ABC中,∵∠C=90°,∴AC⊥BC,∴OD∥AC,∴△BOD∽△BAC,∴==,∴==,∴AC=10,CD=25,∴AD===230,∴AP′=AD=230;③如图3,当DP′′=AD时,∵AD=230,∴DP′′=AD=230,∵OD=OA,∴∠ODA=∠BAD,∴OD∥AC,∴∠ODA=∠CAD,∴∠BAD=∠CAD,∴AD平分∠BAC,过点D作DH⊥AE于点H,∴AH=P″H,DH=DC=25,∵AD=AD,∴Rt△ADH≌Rt△ADC(HL),∴AH=AC=10,∴AH=AC=P″H=10,∴AP″=2AH=20(P为AB边上一点,不符合题意,舍去),综上所述:当△ADP为等腰三角形时,AP的长为6或230.故答案为:6或230.11(2023•上海)如图(1)所示,已知在△ABC中,AB=AC,O在边AB上,点F是边OB中点,以O 为圆心,BO为半径的圆分别交CB,AC于点D,E,连接EF交OD于点G.(1)如果OG=DG,求证:四边形CEGD为平行四边形;(2)如图(2)所示,连接OE,如果∠BAC=90°,∠OFE=∠DOE,AO=4,求边OB的长;(3)连接BG,如果△OBG是以OB为腰的等腰三角形,且AO=OF,求的值.【分析】(1)由∠ABC=∠C,∠ODB=∠ABC,即得∠C=∠ODB,OD∥AC,根据F是OB的中点,OG =DG,知FG是△OBD的中位线,故FG∥BC,即可得证;(2)设∠OFE=∠DOE=α,OF=FB=a,有OE=OB=2a,由(1)可得OD∥AC,故∠AEO=∠DOE =α,得出∠OFE=∠AEO=α,进而证明△AEO∽△AFE,AE2=AO-AF,由AE2=EO2-AO2,有EO2 -AO2=AO×AF,解方程即可答案;(3)△OBG是以OB为腰的等腰三角形,①当OG=OB时,②当BG=OB时,证明△BGO∽△BPA,得出,设OG=2k,AP=3k,根据OG∥AE,得出△FOG∽△FAE,即得AE=2OG=4k,PE=AE-AP=k,连接OE交PG于点Q,证明△QPE∽△QGO,在△PQE与△BQO中,,,得出==,可得△PQE∽△OQB,根据相似三角形的性质得出a=2k,进而即可求得答案.【解答】(1)证明:如图:∵AC=AB,∴∠ABC=∠C,∵OD=OB,∴∠ODB=∠ABC,∴∠C=∠ODB,∴OD∥AC,∵F是OB的中点,OG=DG,∴FG是△OBD的中位线,∴FG∥BC,即GE∥CD,∴四边形CEGD是平行四边形;(2)解:如图:由∠OFE=∠DOE,AO=4,点F边OB中点,设∠OFE=∠DOE=α,OF=FB=a,则OE=OB=2a,由(1)可得OD∥AC,∴∠AEO=∠DOE=α,∴∠OFE=∠AEO=α,∵∠A=∠A,∴△AEO∽△AFE,∴,即AE2=AO•AF,在Rt△AEO中,AE2=EO2-AO2,∴EO2-AO2=AO×AF,∴(2a)2-42=4×(4+a),解得:或(舍去),∴OB=2a=1+33;(3)解:①当OG=OB时,点G与点D重合,不符合题意,舍去;②当BG=OB时,延长BG交AC于点P,如图所示,∵点F是OB的中点,AO=OF,∴AO=OF=FB,设AO=OF=FB=a,∵OG∥AC,∴△BGO∽△BPA,∴,设OG=2k,AP=3k,∵OG∥AE,∴△FOG∽△FAE,∴,∴AE=2OG=4k,∴PE=AE-AP=k,设OE交PG于点Q,∵OG∥PE,∴△QPE∽△QGO,∴,∴PQ=a,QG=a,,在△PQE与△BQO中,,,∴,又∠PQE=∠BQO,∴△PQE∽△OQB,∴,∴,∴a=2k,∵OD=OB=2a,OG=2k,∴,∴的值为12.12(2023•泰州)已知:A、B为圆上两定点,点C在该圆上,∠C为所对的圆周角.知识回顾(1)如图①,⊙O中,B、C位于直线AO异侧,∠AOB+∠C=135°.①求∠C的度数;②若⊙O的半径为5,AC=8,求BC的长;逆向思考(2)如图②,若P为圆内一点,且∠APB<120°,PA=PB,∠APB=2∠C.求证:P为该圆的圆心;拓展应用(3)如图③,在(2)的条件下,若∠APB=90°,点C在⊙P位于直线AP上方部分的圆弧上运动.点D在⊙P上,满足CD=2CB-CA的所有点D中,必有一个点的位置始终不变.请证明.【分析】(1)①根据∠AOB+∠C=135°,结合圆周角定理求∠C的度数;②构造直角三角形;(2)只要说明点P到圆上A、B和另一点的距离相等即可;(3)根据CD=2CB-CA,构造一条线段等于2CB-CA,利用三角形全等来说明此线段和CD相等.【解答】(1)解:①∵∠AOB+∠C=135°,∠AOB=2∠C,∴3∠C=135°,∴∠C=45°.②连接AB,过A作AD⊥BC,垂足为M,∵∠C=45°,AC=8,∴△ACM是等腰直角三角形,且AM=CM=42,∵∠AOB=2∠C=90°,OA=OB,∴△AOB是等腰直角三角形,∴AB=2OA=52,在直角三角形ABM中,BM==32,∴BC=CM+BM=42+32=72.(2)延长AP交圆于点N,则∠C=∠N,∵∠APB=2∠C,∴∠APB=2∠N,∵∠APB=∠N+∠PBN,∴∠N=∠PBN,∴PN=PB,∵PA=PB,∴PA=PB=PN,∴P为该圆的圆心.(3)过B作BC的垂线交CA的延长线于点E,连接AB,延长AP交圆于点F,连接CF,FB,∵∠APB=90°,∴∠C=45°,∴△BCE是等腰直角三角形,∴BE=BC,∵BP⊥AF,PA=PF,∴BA=BF,∵AF是直径,∴∠ABF=90°,∴∠EBC=∠ABF=90°,∴∠EBA=∠CBF,∴△EBA≌△CBF(SAS),∴AE=CF,∵CD=2CB-CA=CE-CA=AE,∴CD=CF,∴必有一个点D的位置始终不变,点F即为所求.考向五:圆的阅读理解与新定义问题13(2023•青海)综合与实践车轮设计成圆形的数学道理小青发现路上行驶的各种车辆,车轮都是圆形的.为什么车轮要做成圆形的呢?这里面有什么数学道理吗?带着这样的疑问,小青做了如下的探究活动:将车轮设计成不同的正多边形,在水平地面上模拟行驶.(1)探究一:将车轮设计成等边三角形,转动过程如图1,设其中心到顶点的距离是2,以车轮转动一次(以一个顶点为支点旋转)为例,中心的轨迹是,BA=CA=DA=2,圆心角∠BAD=120°.此时中心轨迹最高点是C(即的中点),转动一次前后中心的连线是BD(水平线),请在图2中计算C到BD的距离d1.(2)探究二:将车轮设计成正方形,转动过程如图3,设其中心到顶点的距离是2,以车轮转动一次(以一个顶点为支点旋转)为例,中心的轨迹是,BA=CA=DA=2,圆心角∠BAD=90°.此时中心轨迹最高点是C(即的中点),转动一次前后中心的连线是BD(水平线),请在图4中计算C到BD的距离d2(结果保留根号).(3)探究三:将车轮设计成正六边形,转动过程如图5,设其中心到顶点的距离是2,以车轮转动一次(以一个顶点为支点旋转)为例,中心的轨迹是,圆心角∠BAD=60°.此时中心轨迹最高点是C(即的中点),转动一次前后中心的连线是BD(水平线),在图6中计算C 到BD的距离d3= 2-3 (结果保留根号).(4)归纳推理:比较d1,d2,d3大小:d1>d2>d3 ,按此规律推理,车轮设计成的正多边形边数越多,其中心轨迹最高点与转动一次前后中心连线(水平线)的距离越小(填“越大”或“越小”).(5)得出结论:将车轮设计成圆形,转动过程如图7,其中心(即圆心)的轨迹与水平地面平行,此时中心轨迹最高点与转动前后中心连线(水平线)的距离d=0.这样车辆行驶平稳、没有颠簸感.所以,将车轮设计成圆形.【分析】(1)△ABC是等边三角形,进而求得AE,进一步得出结果;(2)△ABE是等腰直角三角形,进而求得AE,进一步得出结果;(3)△ABD是等边三角形,进而求得AE,进一步得出结果;(4)比较大小得出结果;(5)圆的半径相等,从而得出结果.解:(1)图1,【解答】Array 3∵AB=AD=2,AC⊥BD,∴∠BAC=∠CAD=1∠BAD=60°,2∵AB=AC,∴△ABC是等边三角形,∴AC=AB=2,∴d1=CE=1AC=1;2(2)如图2,∴∠ABD=∠ADB=45°,=2,∴AE=AB•sin∠ABD=2×22∴d2=CE=AC-AE=2-2;(3)如图3,∴AB=BD,∠ABD=60°,∴△ABD是等边三角形,∴∠BAD =60°,在Rt △ABE 中,AE =AB •sin ∠ABD =2•sin 60°=3,∴d 3=AC -AE =2-3,故答案为:60°,2-3;(4)∵1>2-2>2-3,∴d 1>d 2>d 3,越小;故答案为:d 1>d 2>d ,越小;(5)∵圆的半径相等,∴d =0,故答案为:0.14(2023•陕西)(1)如图①,∠AOB =120°,点P 在∠AOB 的平分线上,OP =4.点E ,F 分别在边OA ,OB 上,且∠EPF =60°,连接EF .求线段EF 的最小值;(2)如图②,是一个圆弧型拱桥的截面示意图.点P 是拱桥AB的中点,桥下水面的宽度AB =24m ,点P 到水面AB 的距离PH =8m .点P 1,P 2均在AB上,PP 1=PP 2,且P 1P 2=10m ,在点P 1,P 2处各装有一个照明灯,图中△P 1CD 和△P 2EF 分别是这两个灯的光照范围.两灯可以分别绕点P 1,P 2左右转动,且光束始终照在水面AB 上.即∠CP 1D ,∠EP 2F 可分别绕点P 1,P 2按顺(逆)时针方向旋转(照明灯的大小忽略不计),线段CD ,EF 在AB 上,此时,线段ED 是这两灯照在水面AB 上的重叠部分的水面宽度.已知∠CP 1D =∠EP 2F =90°,在这两个灯的照射下,当整个水面AB 都被灯光照到时,求这两个灯照在水面AB 上的重叠部分的水面宽度.(可利用备用图解答)【分析】(1)过P 作PC ⊥OB 于C ,作PD ⊥OA 于D ,证明△PCF ≌△PDE (AAS ),可得CF =DE ,即可得OE +OF =(OD -DE )+(OC +CF )=OD +OC ,而∠POD =∠POC =60°,知OD =OC =12OP =2,故OE +OF =4,设OF =x ,则OE =4-x ,过F 作FG ⊥AO 于G ,有OG =12x ,GF =32x ,由勾股定理得EF ====,即知线段EF 的最小值是23;(2)当整个水面AB 都被灯光照到时,①C 与A 重合,F 与B 重合,设PH 交P 1P 2于K ,圆心为O ,连接HO ,AO ,P 1O ,过P 1作P 1T ⊥AB 于T ,由点P 是拱桥AB的中点,PH ⊥AB ,设⊙O 半径为r m ,则OH =OP -PH =(r -8)m ,可得122+(r -8)2=r 2,r =13,求出P 1K =P 2K =5m ,OK ===12(m ),PK =OP -OK =13-12=1(m ),KH =PH -PK =8-1=7(m ),可得P 1T =KH =7m ,故AT =P 1T ,∠P 1AT =45°,可得△AP 1D 是等腰直角三角形,即得AD =2AT =14(m ),即CD =14m ,同理可得BE =14m ,即FE =14m ,故DE =EF -DB =14-10=4(m ),这两个灯照在水面AB 上的重叠部分的水面宽度为4m ;②当E 与A 重合,D 与B 重合时,可得AP 2==(m ),而cos ∠P 2AM ==,可得AF =,同理BC =,故CF =AF +BC -AB =(m ).【解答】解:(1)过P 作PC ⊥OB 于C ,作PD ⊥OA 于D ,如图:∵∠AOB =120°,∠EPF =60°,∴∠OEP +∠OFP =180°,∵∠OEP +∠PED =180°,∴∠OFP =∠PED ,即∠PFC =∠PED ,∵OP 平分∠AOB ,PC ⊥OB ,PD ⊥OA ,∴PC =PD ,∵∠PCF =∠PDE =90°,∴△PCF ≌△PDE (AAS ),∴CF =DE ,∴OE +OF =(OD -DE )+(OC +CF )=OD +OC ,∵∠POD =∠POC =60°,∴∠OPD =∠OPC =30°,∴OD =OC =12OP =2,∴OE +OF =4,设OF =x ,则OE =4-x ,过F 作FG ⊥AO 于G ,如图:∵∠OFG =∠AOB -∠G =120°-90°=30°,∴OG =12x ,GF =32x ,∴EG =OE +OG =4-12x ,∴EF ====,∴当x =2时,EF 取最小值12=23,∴线段EF 的最小值是23;(2)当整个水面AB 都被灯光照到时,①C 与A 重合,F 与B 重合,设PH 交P 1P 2于K ,圆心为O ,连接HO ,AO ,P 1O ,过P 1作P 1T ⊥AB 于T ,如图:∵点P 是拱桥AB的中点,PH ⊥AB ,∴O ,P ,H 共线,AH =BH =12AB =12m ,设⊙O 半径为r m ,则OH =OP -PH =(r -8)m ,在Rt △AHO 中,AH 2+OH 2=OA 2,∴122+(r -8)2=r 2,解得r =13,∴OP 1=13m ,∵PP 1=PP 2,且P 1P 2=10m ,∴P 1K =P 2K =5m ,∴OK ===12(m ),∴PK =OP -OK =13-12=1(m ),∴KH =PH -PK =8-1=7(m ),∴P 1T =KH =7m ,∵AT =AH -TH =12-5=7(m ),∴AT =P 1T ,∴∠P 1AT =45°,∵∠CP 1D =90°,即∠AP 1D =90°,∴△AP 1D 是等腰直角三角形,∴AD =2AT =14(m ),即CD =14m ,∴DB =AB -AD =24-14=10(m ),同理可得BE =14m ,即FE =14m ,∴DE =EF -DB =14-10=4(m ),∴这两个灯照在水面AB 上的重叠部分的水面宽度为4m ;②当E 与A 重合,D 与B 重合时,如图:∵AT =P 1T =7m =P 2M ,P 1P 2=10m ,∴AM =AT +TF =17m ,∴AP 2===(m ),∵cos ∠P 2AM ==,∴=,∴AF =,同理BC =,∴CF =AF +BC -AB =+-24=(m );∴这两个灯照在水面AB 上的重叠部分的水面宽度为m ;综上所述,这两个灯照在水面AB 上的重叠部分的水面宽度为4m 或m .15(2023•北京)在平面直角坐标系xOy 中,⊙O 的半径为1.对于⊙O 的弦AB 和⊙O 外一点C 给出如下定义:若直线CA ,CB 中一条经过点O ,另一条是⊙O 的切线,则称点C 是弦AB 的“关联点”.(1)如图,点A (-1,0),B 1(-22,22),B 2(22,-22).①在点C 1(-1,1),C 2(-2,0),C 3(0,2)中,弦AB 1的“关联点”是C 1,C 2 ;②若点C 是弦AB 2的“关联点”,直接写出OC 的长;(2)已知点M (0,3),N (655,0),对于线段MN 上一点S ,存在⊙O 的弦PQ ,使得点S 是弦PQ 的“关联点”.记PQ 的长为t ,当点S 在线段MN 上运动时,直接写出t 的取值范围.【分析】(1)根据题目中关联点的定义分情况讨论即可;(2)根据M (0,3),N (655,0)两点来求最值情况,共有两种情况,分别位于点M 和经过点O 的MN 的垂直平分线上,根据相似三角形的判定和性质即可得到结论.【解答】解:(1)①由关联定义可知,若直线CA 、CB 中一条经过点O ,另一条是⊙O 的切线,则称点C 是弦AB 的“关联点”,∵点A (-1,0),B 1(-22,22),点C 1(-1,1),C 2(-2,0),C 3(0,2),∴直线AC 2经过点O ,且B 1C 2与⊙O 相切,∴C 2是弦AB 1的“关联点”,∵C 1(-1,1),A (-1,0)的横坐标相同,与B 1(-22,22)在直线y =-x 上,∴AC 1与⊙O 相切,B 1C 1经过点O ,∴C 1是弦AB 1的“关联点”;故答案为:C 1,C 2;②∵A (-1,0),B 2(22,-22),设C (a ,b ),如图所示,共有两种情况,a、若C1B2与⊙O相切,AC经过点O,则C1B2,AC1所在直线为,解得,∴C1(2,0),∴OC1=2,b、若AC2与⊙O相切,C2B2经过点O,则直线C2B2,AC2所在直线为,解得,∴C2(-1,1),∴OC2=2,综上所述,OC=2;(2)∵线段MN上一点S,存在⊙O的弦PQ,使得点S是弦PQ的“关联点”,∵弦PQ随着S的变动在一定范围内变动,且M(0,3),N(655,0),OM>ON,∴S共有2种情况,分别位于点M和经过点O的MN的垂线上,如图所示,①当S位于点M(0,3)时,MP为⊙O的切线,作PJ⊥OM,∵M(0,3),⊙O的半径为1,且MP是⊙O的切线,∴OP⊥MP,∵PJ⊥OM,∴△MPO∽△POJ,∴,即,解得OJ=,∴PJ==,Q1J=,∴PQ1==233,同理PQ2==26 3,∴当S位于M(0,3)时,PQ1的临界值为233和26 3;②当S位于经过点O的MN的垂线上的点K时,,∵M(0,3),N(655,0),∴MN=,∴=2,∵⊙O的半径为1,∴∠OKZ=30°,∴△OPQ为等边三角形,∴PQ=1或3,∴当S位于经过点O且垂直于MN的直线上即点K时,PQ1的临界点为1和3,∴在两种情况下,PQ的最小值在1≤t≤233内,最大值在263≤t≤3,综上所述,t的取值范围为1≤t≤233,263≤t≤3.16在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上,小霞小组通过探究得出:在平面内,一组对角互补的四边形的四个顶点共圆.请应用此结论,解决以下问题:如图1,△ABC中,AB=AC,∠BAC=α(60°<α<180°).点D是BC边上的一动点(点D不与B,C重合),将线段AD绕点A顺时针旋转α到线段AE,连接BE.(1)求证:A,E,B,D四点共圆;(2)如图2,当AD=CD时,⊙O是四边形AEBD的外接圆,求证:AC是⊙O的切线;(3)已知α=120°,BC=6,点M是边BC的中点,此时⊙P是四边形AEBD的外接圆,直接写出圆心P与点M距离的最小值.【分析】(1)根据旋转的性质得到AE =AD ,∠DAE =α,证明∠BAE =∠CAD ,进而证明△ABE ≌△ACD ,可以得到∠AEB =∠ADC ,由∠ADC +∠ADB =180°,可得∠AEB +∠ADB =180°,即可证明A 、B 、D 、E 四点共圆;(2)连接OA ,OD ,根据等边对等角得到∠ABC =∠ACB =∠DAC ,由圆周角定理得到∠AOD =2∠ABC =2∠DAC ,再由OA =OD ,得到∠OAD =∠ODA ,利用三角形内角和定理证明∠DAC +∠OAD =90°,即∠OAC =90°,可证明AC 是⊙O 的切线;(3)作线段AB 的垂直平分线,分别交AB 、BC 于G 、F ,连接AM ,先求出∠B =∠C =30°,再由三线合一定理得到BM =CM =12BC =3,AM ⊥BC ,解直角三角形求出AB =23,则BG =12AB =3,再解Rt △BGF 得到BF =2,则FM =1;由⊙P 是四边形AEBD 的外接圆,可得点P 一定在AB 的垂直平分线上,故当MP ⊥GF 时,PM 有最小值,据此求解即可.【解答】(1)证明:由旋转的性质可得AE =AD ,∠DAE =α,∴∠BAC =∠DAE ,∴∠BAC -∠BAD =∠DAE -∠BAD ,即∠BAE =∠CAD ,又∵AB =AC ,∴△ABE ≌△ACD (SAS ),∴∠AEB =∠ADC ,∵∠ADC +∠ADB =180°,∴∠AEB +∠ADB =180°,∴A 、B 、D 、E 四点共圆;(2)证明:如图所示,连接OA ,OD ,∵AB =AC ,AD =CD ,∴∠ABC =∠ACB =∠DAC ,∵⊙O 是四边形AEBD 的外接圆,∴∠AOD =2∠ABC ,∴∠AOD =2∠ABC =2∠DAC ,∵OA =OD ,∴∠OAD =∠ODA ,∵∠OAD +∠ODA +∠AOD =180°,∴2∠DAC +2∠OAD =180°,∴∠DAC +∠OAD =90°,即∠OAC =90°,∴OA ⊥AC ,又∵OA 是⊙O 的半径,∴AC 是⊙O 的切线;(3)解:如图所示,作线段AB 的垂直平分线,分别交AB 、BC 于G 、F ,连接AM ,PM ,如图:∵AB =AC ,∠BAC =120°,。
中考数学——圆的综合的综合压轴题专题复习含详细答案
一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.如图,AB 为O 的直径,弦//CD AB ,E 是AB 延长线上一点,CDB ADE ∠=∠. ()1DE 是O 的切线吗?请说明理由;()2求证:2AC CD BE =⋅.【答案】(1)结论:DE 是O 的切线,理由见解析;(2)证明见解析.【解析】【分析】 (1)连接OD ,只要证明OD DE ⊥即可;(2)只要证明:AC BD =,CDB DBE ∽即可解决问题.【详解】()1解:结论:DE 是O 的切线.理由:连接OD .CDB ADE ∠=∠,ADC EDB ∴∠=∠,//CD AB ,CDA DAB ∴∠=∠,OA OD =,OAD ODA ∴∠=∠,ADO EDB ∴∠=∠, AB 是直径,90ADB ∴∠=,90ADB ODE ∴∠=∠=,DE OD ∴⊥,DE ∴是O 的切线.()2//CD AB,ADC DAB∴∠=∠,CDB DBE∠=∠,AC BD∴=,AC BD∴=,DCB DAB∠=∠,EDB DAB∠=∠,EDB DCB∴∠=∠,CDB∴∽DBE,CD DBBD BE∴=,2BD CD BE∴=⋅,2AC CD BE∴=⋅.【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,准确寻找相似三角形解决问题,属于中考常考题型.2.如图,已知AB是⊙O的直径,点C为圆上一点,点D在OC的延长线上,连接DA,交BC的延长线于点E,使得∠DAC=∠B.(1)求证:DA是⊙O切线;(2)求证:△CED∽△ACD;(3)若OA=1,sinD=13,求AE的长.【答案】(1)证明见解析;(22【解析】分析:(1)由圆周角定理和已知条件求出AD⊥AB即可证明DA是⊙O切线;(2)由∠DAC=∠DCE,∠D=∠D可知△DEC∽△DCA;(3)由题意可知AO=1,OD=3,DC=2,由勾股定理可知AD=2,故此可得到DC2=DE•AD,故此可求得DE的长,于是可求得AE的长.详解:(1)∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠CAB+∠B=90°.∵∠DAC=∠B,∴∠CAB+∠DAC=90°,∴AD⊥AB.∵OA是⊙O半径,∴DA为⊙O的切线;(2)∵OB=OC,∴∠OCB=∠B.∵∠DCE=∠OCB,∴∠DCE=∠B.∵∠DAC=∠B,∴∠DAC=∠DCE.∵∠D=∠D,∴△CED∽△ACD;(3)在Rt△AOD中,OA=1,sin D=13,∴OD=OAsinD=3,∴CD=OD﹣OC=2.∵AD=22OD OA-=22.又∵△CED∽△ACD,∴AD CDCD DE=,∴DE=2CDAD=2,∴AE=AD﹣DE=22﹣2=2.点睛:本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、勾股定理的应用、相似三角形的性质和判定,证得△DEC∽△DCA是解题的关键.3.在平面直角坐标系xOy中,点M的坐标为(x1,y1),点N的坐标为(x2,y2),且x1≠x2,y1≠y2,以MN为边构造菱形,若该菱形的两条对角线分别平行于x轴,y轴,则称该菱形为边的“坐标菱形”.(1)已知点A(2,0),B(0,23),则以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为;(2)若点C(1,2),点D在直线y=5上,以CD为边的“坐标菱形”为正方形,求直线CD 表达式;(3)⊙O的半径为2,点P的坐标为(3,m).若在⊙O上存在一点Q,使得以QP为边的“坐标菱形”为正方形,求m的取值范围.【答案】(1)60°;(2)y=x+1或y=﹣x+3;(3)1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1【解析】分析:(1)根据定义建立以AB为边的“坐标菱形”,由勾股定理求边长AB=4,可得30度角,从而得最小内角为60°;(2)先确定直线CD与直线y=5的夹角是45°,得D(4,5)或(﹣2,5),易得直线CD的表达式为:y=x+1或y=﹣x+3;(3)分两种情况:①先作直线y=x,再作圆的两条切线,且平行于直线y=x,如图3,根据等腰直角三角形的性质分别求P'B=BD=1,PB=5,写出对应P的坐标;②先作直线y=﹣x,再作圆的两条切线,且平行于直线y=﹣x,如图4,同理可得结论.详解:(1)∵点A(2,0),B(0,∴OA=2,OB.在Rt△AOB中,由勾股定理得:AB,∴∠ABO=30°.∵四边形ABCD是菱形,∴∠ABC=2∠ABO=60°.∵AB∥CD,∴∠DCB=180°﹣60°=120°,∴以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为60°.故答案为:60°;(2)如图2.∵以CD为边的“坐标菱形”为正方形,∴直线CD与直线y=5的夹角是45°.过点C作CE⊥DE于E,∴D(4,5)或(﹣2,5),∴直线CD的表达式为:y=x+1或y=﹣x+3;(3)分两种情况:①先作直线y=x,再作圆的两条切线,且平行于直线y=x,如图3.∵⊙O,且△OQ'D是等腰直角三角形,∴OD OQ'=2,∴P'D=3﹣2=1.∵△P'DB是等腰直角三角形,∴P'B=BD=1,∴P'(0,1),同理可得:OA=2,∴AB=3+2=5.∵△ABP是等腰直角三角形,∴PB=5,∴P(0,5),∴当1≤m≤5时,以QP为边的“坐标菱形”为正方形;②先作直线y=﹣x,再作圆的两条切线,且平行于直线y=﹣x,如图4.∵⊙O,且△OQ'D是等腰直角三角形,∴OD'=2,∴BD=3﹣2=1.∵△P'DB是等腰直角三角形,∴P'B=BD=1,∴P'(0,﹣1),同理可得:OA=2,∴AB=3+2=5.∵△ABP是等腰直角三角形,∴PB=5,∴P(0,﹣5),∴当﹣5≤m≤﹣1时,以QP为边的“坐标菱形”为正方形;综上所述:m的取值范围是1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1.点睛:本题是一次函数和圆的综合题,考查了菱形的性质、正方形的性质、点P,Q的“坐标菱形”的定义等知识,解题的关键是理解题意,学会利用图象解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,注意一题多解,属于中考创新题目.4.某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂,维修人员为更换管道,需要确定管道圆形截面的半径.如图,若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm,水最深的地方的高度为4cm,求这个圆形截面的半径.【答案】10cm【解析】分析:先过圆心O作半径CO⊥AB,交AB于点D设半径为r,得出AD、OD的长,在Rt△AOD中,根据勾股定理求出这个圆形截面的半径.详解:解:过点O作OC⊥AB于D,交⊙O于C,连接OB,∵OC⊥AB∴BD=12AB=12×16=8cm由题意可知,CD=4cm∴设半径为xcm,则OD=(x﹣4)cm在Rt△BOD中,由勾股定理得:OD2+BD2=OB2(x﹣4)2+82=x2解得:x=10.答:这个圆形截面的半径为10cm.点睛:此题考查了垂经定理和勾股定理,关键是根据题意画出图形,再根据勾股定理进行求解.5.如图,A是以BC为直径的⊙O上一点,AD⊥BC于点D,过点B作⊙O的切线,与CA 的延长线相交于点E,G是AD的中点,连结CG并延长与BE相交于点F,延长AF与CB的延长线相交于点P.(1)求证:BF=EF:(2)求证:PA是⊙O的切线;(3)若FG=BF,且⊙O的半径长为32,求BD的长度.【答案】(1)证明见解析;(2) 证明见解析;(3)2【解析】分析:(1)利用平行线截三角形得相似三角形,得△BFC∽△DGC且△FEC∽△GAC,得到对应线段成比例,再结合已知条件可得BF=EF;(2)利用直角三角形斜边上的中线的性质和等边对等角,得到∠FAO=∠EBO,结合BE是圆的切线,得到PA⊥OA,从而得到PA是圆O的切线;(3)点F作FH⊥AD于点H,根据前两问的结论,利用三角形的相似性质即可以求出BD 的长度.详解:证明:(1)∵BC是圆O的直径,BE是圆O的切线,∴EB⊥BC.又∵AD⊥BC,∴AD∥BE.∴△BFC∽△DGC,△FEC∽△GAC,∴BFDG=CFCG,EFAG=CFCG,∴BFDG=EFAG,∵G是AD的中点,∴DG=AG,∴BF=EF;(2)连接AO,AB.∵BC是圆O的直径,∴∠BAC=90°,由(1)得:在Rt△BAE中,F是斜边BE的中点,∴AF=FB=EF,可得∠FBA=∠FAB,又∵OA=OB,∴∠ABO=∠BAO,∵BE是圆O的切线,∴∠EBO=90°,∴∠FBA+∠ABO=90°,∴∠FAB+∠BAO=90°,即∠FAO=90°,∴PA⊥OA,∴PA是圆O的切线;(3)过点F作FH⊥AD于点H,∵BD⊥AD,FH⊥AD,∴FH∥BC,由(2),知∠FBA =∠BAF ,∴BF =AF .∵BF =FG ,∴AF =FG ,∴△AFG 是等腰三角形.∵FH ⊥AD ,∴AH =GH ,∵DG =AG ,∴DG =2HG . 即12HG DG =, ∵FH ∥BD ,BF ∥AD ,∠FBD =90°,∴四边形BDHF 是矩形,∴BD =FH ,∵FH ∥BC∴△HFG ∽△DCG , ∴12FH HG CD DG ==, 即12BD CD =,∴ 2.15≈, ∵O 的半径长为,∴BC,∴BD =13BC =. 点睛:本题考查了切线的判定、勾股定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质.结合已知条件准确对图形进行分析并应用相应的图形性质是解题的关键.6.如图1,延长⊙O 的直径AB 至点C ,使得BC=12AB ,点P 是⊙O 上半部分的一个动点(点P 不与A 、B 重合),连结OP ,CP .(1)∠C 的最大度数为 ;(2)当⊙O 的半径为3时,△OPC 的面积有没有最大值?若有,说明原因并求出最大值;若没有,请说明理由;(3)如图2,延长PO 交⊙O 于点D ,连结DB ,当CP=DB 时,求证:CP 是⊙O 的切线.【答案】(1)30°;(2)有最大值为9,理由见解析;(3)证明见解析.【解析】试题分析:(1)当PC与⊙O相切时,∠OCP的度数最大,根据切线的性质即可求得;(2)由△OPC的边OC是定值,得到当OC边上的高为最大值时,△OPC的面积最大,当PO⊥OC时,取得最大值,即此时OC边上的高最大,于是得到结论;(3)根据全等三角形的性质得到AP=DB,根据等腰三角形的性质得到∠A=∠C,得到CO=OB+OB=AB,推出△APB≌△CPO,根据全等三角形的性质得到∠CPO=∠APB,根据圆周角定理得到∠APB=90°,即可得到结论.试题解析:(1)当PC与⊙O相切时,∠OCP最大.如图1,所示:∵sin∠OCP=OPOC =24=12,∴∠OCP=30°∴∠OCP的最大度数为30°,故答案为:30°;(2)有最大值,理由:∵△OPC的边OC是定值,∴当OC边上的高为最大值时,△OPC的面积最大,而点P在⊙O上半圆上运动,当PO⊥OC时,取得最大值,即此时OC边上的高最大,也就是高为半径长,∴最大值S△OPC=12OC•OP=12×6×3=9;(3)连结AP,BP,如图2,在△OAP与△OBD中,OA ODAOP BODOP OB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△OAP≌△OBD,∴AP=DB,∵PC=DB,∴AP=PC,∵PA=PC,∴∠A=∠C,∵BC=12AB=OB,∴CO=OB+OB=AB,在△APB和△CPO中,AP CPA CAB CO=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△APB≌△CPO,∴∠CPO=∠APB,∵AB为直径,∴∠APB=90°,∴∠CPO=90°,∴PC切⊙O于点P,即CP是⊙O的切线.7.已知P 是O 的直径BA 延长线上的一个动点,∠P 的另一边交O 于点C 、D ,两点位于AB 的上方,AB =6,OP=m ,1sin 3P =,如图所示.另一个半径为6的1O 经过点C 、D ,圆心距1OO n =.(1)当m=6时,求线段CD 的长;(2)设圆心O 1在直线AB 上方,试用n 的代数式表示m ;(3)△POO 1在点P 的运动过程中,是否能成为以OO 1为腰的等腰三角形,如果能,试求出此时n 的值;如果不能,请说明理由.【答案】(1)CD=2523812n n;(3) n 9559155 【解析】分析:(1)过点O 作OH ⊥CD ,垂足为点H ,连接OC .解Rt △POH ,得到OH 的长.由勾股定理得CH 的长,再由垂径定理即可得到结论;(2)解Rt △POH ,得到Rt 3m OH OCH =.在和Rt △1O CH 中,由勾股定理即可得到结论;(3)△1POO 成为等腰三角形可分以下几种情况讨论:① 当圆心1O 、O 在弦CD 异侧时,分1OP OO =和11O P OO =.②当圆心1O 、O 在弦CD 同侧时,同理可得结论. 详解:(1)过点O 作OH ⊥CD ,垂足为点H ,连接OC .在Rt △1sin 63POH P PO =中,=,,∴2OH =.∵AB =6,∴3OC =.由勾股定理得: 5CH =∵OH ⊥DC ,∴225CD CH ==.(2)在Rt △1sin 3POH P PO m 中,=,=,∴3m OH =. 在Rt △OCH 中,2293m CH ⎛⎫- ⎪⎝⎭=. 在Rt △1O CH 中,22363m CH n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=. 可得: 2236933m m n ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=,解得23812n m n -:=. (3)△1POO 成为等腰三角形可分以下几种情况:① 当圆心1O 、O 在弦CD 异侧时i )1OP OO =,即m n =,由23812n n n -=,解得9n :=. 即圆心距等于O 、1O 的半径的和,就有O 、1O 外切不合题意舍去.ii )11O P OO =22233m m n m -+-()() n =, 解得:23m n =,即23n 23812n n -=,解得9155n := ②当圆心1O 、O 在弦CD 同侧时,同理可得: 28132n m n-=. ∵1POO ∠是钝角,∴只能是m n =,即28132n n n -=,解得955n := 综上所述:n 9559155点睛:本题是圆的综合题.考查了圆的有关性质和两圆的位置关系以及解直径三角形.解答(3)的关键是要分类讨论.8.如图,在Rt △ABC 中,90C ∠=︒,AD 平分∠BAC ,交BC 于点D ,点O 在AB 上,⊙O 经过A 、D 两点,交AC 于点E ,交AB 于点F .(1)求证:BC 是⊙O 的切线;(2)若⊙O 的半径是2cm ,E 是弧AD 的中点,求阴影部分的面积(结果保留π和根号)【答案】(1)证明见解析 (2)233π- 【解析】【分析】 (1)连接OD ,只要证明OD ∥AC 即可解决问题;(2)连接OE ,OE 交AD 于K .只要证明△AOE 是等边三角形即可解决问题.【详解】(1)连接OD .∵OA =OD ,∴∠OAD =∠ODA .∵∠OAD =∠DAC ,∴∠ODA =∠DAC ,∴OD ∥AC ,∴∠ODB =∠C =90°,∴OD ⊥BC ,∴BC 是⊙O 的切线.(2)连接OE ,OE 交AD 于K .∵AE DE =,∴OE ⊥AD .∵∠OAK =∠EAK ,AK =AK ,∠AKO =∠AKE =90°,∴△AKO ≌△AKE ,∴AO =AE =OE ,∴△AOE是等边三角形,∴∠AOE =60°,∴S 阴=S 扇形OAE ﹣S △AOE 26023360π⋅⋅=-⨯22233π=-. 【点睛】本题考查了切线的判定、扇形的面积、等边三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.9.如图,四边形为菱形,且,以为直径作,与交于点.请仅用无刻度的直尺按下列要求画图.(保留作图痕迹)(1)在如图中,过点作边上的高.(2)在如图中,过点作的切线,与交于点.【答案】(1)如图1所示.(答案不唯一),见解析;(2)如图2所示.(答案不唯一),见解析.【解析】【分析】(1)连接AC交圆于一点F,连接PF交AB于点E,连接CE即为所求.(2)连接OF交BC于Q,连接PQ即为所求.【详解】(1)如图1所示.(答案不唯一)(2)如图2所示.(答案不唯一)【点睛】本题考查作图-复杂作图,菱形和圆的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.10.如图,已知AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,∠D=60°且AB=6,过O点作OE⊥AC,垂足为E.(1)求OE的长;(2)若OE的延长线交⊙O于点F,求弦AF、AC和弧CF围成的图形(阴影部分)的面积.(结果保留 )【答案】(1)OE的长为32;(2)阴影部分的面积为3 2π【解析】(1)OE=32(2)S=32π。
2024年中考数学高频压轴题训练——圆的综合题含参考答案
2024年中考数学高频压轴题训练——圆的综合题1.如图,在ABC 中,AB AC =,以AB 为直径的O 分别与,BC AC 交于点,D E ,过点D 作DF AC ⊥,垂足为点F .(1)求证:直线DF 是O 的切线;(2)求证:24BC CF AC =⋅;(3)若O 的半径为4,15CDF ∠=︒,求阴影部分的面积.2.如图,AB 为⊙O 的直径,点C 是⊙O 上一点,CD 与⊙O 相切于点C ,过点A 作AD ⊥DC ,连接AC ,BC.(1)求证:AC 是∠DAB 的角平分线;(2)若AD =2,AB =3,求AC 的长.3.如图,在ABC 中,AB AC =,以AB 为直径的O 交BC 于点D ,DE AC ⊥交BA 的延长线于点E ,交AC 于点F .(1)求证:DE 是O 的切线;(2)若364AC tanE ==,,求AF 的长.4.如图,⊙O 是Rt △ABC 的外接圆,AB 为直径,∠ABC=30°,CD 是⊙O 的切线,ED ⊥AB 于F ,(1)求证:△CDE 是等腰三角形;(2)若AB=4,)21AE =,求证:△OBC ≌△DCE .5.已知锐角△ABC 内接于圆O ,D 为弧AC 上一点,分别连接AD 、BD 、CD ,且∠ACB =90°﹣12∠BAD .(1)如图1,求证:AB =AD ;(2)如图2,在CD 延长线上取点E ,连接AE ,使AE =AD ,过E 作EF 垂直BD 的延长线于点F ,过C 作CG ⊥EC 交EF 延长线于点G ,设圆O 半径为r ,求证:EG =2r ;(3)如图3,在(2)的条件下,连接DG ,若AC =BC ,DE =4CD ,当△ACD 的面积为10时,求DG 的长度.6.如图,已知AB 是O 的直径,AC 是O 的弦,点E 在O 外,连接CE ,ACB ∠的平分线交O 于点D .(1)若BCE BAC ∠=∠,求证:CE 是O 的切线;(2)若4AD =,3BC =,求弦AC 的长.7.如图,在Rt △ABC 中,∠ABC =90o ,以BC 为直径的半圆⊙O 交AC 于点D ,点E 是AB 的中点,连接DE 并延长,交CB 延长线于点F .(1)判断直线DF 与⊙O 的位置关系,并说明理由;(2)若CF =8,DF =4,求⊙O 的半径和AC 的长.8.在平面直角坐标系xOy 中,当图形W 上的点P 的横坐标和纵坐标相等时,则称点P 为图形W 的“梦之点”.(1)已知⊙O 的半径为1.①在点E (1,1),F (22,-22),M(-2,-2)中,⊙O 的“梦之点”为;②若点P 位于⊙O 内部,且为双曲线y =k x (k≠0)的“梦之点”,求k 的取值范围.(2)已知点C 的坐标为(1,t ),⊙C 的半径为,若在⊙C 上存在“梦之点”P ,直接写出t 的取值范围.(3)若二次函数21y ax ax =-+的图象上存在两个“梦之点”()11A x y ,,()22B x y ,,且122x x -=,求二次函数图象的顶点坐标.9.如图,点A 是⊙O 直径BD 延长线上的一点,AC 是⊙O 的切线,C 为切点.AD =CD ,(1)求证:AC =BC ;(2)若⊙O 的半径为1,求△ABC 的面积.10.如图,△ABC 中,∠ACB =90°,BO 为△ABC 的角平分线,以点O 为圆心,OC 为半径作⊙O 与线段AC 交于点D.(1)求证:AB 为⊙O 的切线;(2)若tanA =34,AD =2,求BO 的长.11.如图①,A 是O 外一点,AB 与O 相切于点B ,AO 的延长线交O 于点C ,过点B 作//BD AC ,交O 于点D ,连接DO ,并延长DO 交O 于点E ,连接AE .已知2BD =,O 的半径为3.(1)求证:AE 是O 的切线;(2)求AE 的长;(3)如图②,若点M 是O 上一点,且3BM =,过A 作//AN BM ,交弧ME 于点N ,连接ME ,交AN 于点G ,连接OG ,则OG 的长度是.12.我们把三角形三边上的高产生的三个垂足组成的三角形称为该三角形的垂足三角形.(1)如图1,△ABC 中,AB =AC =8,BC =6,△DEF 是△ABC 的垂足三角形,求DE 的长.(2)如图2,圆内接三角形ABC 中,AB =AC =x ,BC =6,△ABC 的垂足三角形DEF 的周长为y .①求y 与x 的关系式;②若△DEF 的周长为19225时,求⊙O 的半径.13.如图,⊙O 是Rt △ABC 的外接圆,∠ABC =90°,D 为圆上一点,且B ,D 两点位于AC 异侧,连接BD ,交AC 于E ,点F 为BD 延长线上一点,连接AF ,使得∠DAF =∠ABD.(1)求证:AF 为⊙O 的切线;(2)当点D 为EF 的中点时,求证:AD 2=AO•AE ;(3)在(2)的条件下,若sin ∠BAC =13,AF =2,求BF 的长.14.如图,△ABC 内接于⊙O ,直径BD 交AC 于E ,过O 作FG ⊥AB ,交AC 于F ,交AB 于H ,交⊙O 于G .(1)求证:OF•DE=2OE•OH ;(2)若⊙O 的半径为12,且OE :OF :OD=2:3:6,求阴影部分的面积.(结果保留根号)15.如图,点P 是圆O 直径CA 延长线上的一点,PB 切圆O 于点B ,点D 是圆上的一点,连接AB ,AD ,BD ,CD ,∠P=30°.(1)求证:PB=BC ;(2)若AD=6,tan∠DCA=34,求BD的长.16.在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,BE⊥AC于点E,点O是线段AC上的一点,以AO为半径作圆O 交线段AC于点G,设AO=m.(1)直接写出AE的长:AE=;(2)取BC中点P,连接PE O与△BPE一边所在的直线相切时,求出m的长;(3)设圆O交BE于点F,连接AF并延长交BC于点H.①连接GH,当BF=BH时,求△BFH的面积;②连接DG,当tan∠HFB=3时,直接写出DG的长,DG.17.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=1,以边AC上一点O为圆心,OA为半径的⊙O 经过点B.(1)求⊙O的半径;(2)点P为 AB中点,作PQ⊥AC,垂足为Q,求OQ的长;(3)在(2)的条件下,连接PC ,求tan ∠PCA 的值.18.О 直径12AB cm AM =,和BN 是О 的切线,DC 切О 于点E 且交AM 于点D ,交BN 于点C ,设AD x BC y ==,.(1)求y 与x 之间的关系式;(2)x y ,是关于t 的一元二次方程22300t t m -+=的两个根,求x y ,的值;(3)在(2)的条件下,求COD ∆的面积.19.(1)问题发现:如图1,ABC 内接于半径为4的O ,若60C ∠=︒,则AB =;(2)问题探究:如图2,四边形ABCD 内接于半径为6的O ,若120B ∠=︒,求四边形ABCD 的面积最大值;(3)解决问题:如图3,一块空地由三条直路(线段AD 、AB 、BC )和一条弧形道路CD 围成,点M 是AB 道路上的一个地铁站口,已知AD BM =1=千米,2AM BC ==千米,60A B ∠=∠=︒,CD 的半径为1千米,市政府准备将这块空地规划为一个公园,主入口在点M 处,另外三个入口分别在点C 、D 、P 处,其中点P 在CD 上,并在公园中修四条慢跑道,即图中的线段DM 、MC 、CP 、PD ,是否存在一种规划方案,使得四条慢跑道总长度(即四边形DMCP 的周长)最大?若存在,求其最大值;若不存在,说明理由.20.在平面直角坐标系xOy 中,给定圆C 和点P ,若过点P 最多可以作出k 条不同的直线,且这些直线被圆C 所截得的线段长度为正整数,则称点P 关于圆C 的特征值为.k 已知圆O 的半径为2,(1)若点M 的坐标为()11,,则经过点M 的直线被圆O 截得的弦长的最小值为,点M 关于圆O 的特征值为;(2)直线y x b =+分别与x ,y 轴交于点A ,B ,若线段AB 上总存在关于圆O 的特征值为4的点,求b 的取值范围;(3)点T 是x 轴正半轴上一点,圆T 的半径为1,点R ,S 分别在圆O 与圆T 上,点R 关于圆T 的特征值记为r ,点S 关于圆O 的特征值记为.s 当点T 在x 轴正轴上运动时,若存在点R ,S ,使得3r s +=,直接写出点T 的横坐标t 的取值范围.21.如图,AB 是⊙O 的直径,DO ⊥AB 于点O ,连接DA 交⊙O 于点C ,过点C 作⊙O 的切线交DO 于点E ,连接BC 交DO 于点F .(1)求证:CE=EF ;(2)连接AF 并延长,交⊙O 于点G .填空:①当∠D 的度数为时,四边形ECFG 为菱形;②当∠D 的度数为时,四边形ECOG 为正方形.22.如图,四边形ABCD 内接于O ,O 的半径为4,90ADC AB BC ∠=︒=,,对角线AC 、BD 相交于点P.过点P 分别作PE AD ⊥于点E ,PF CD ⊥于点F.(1)求证:四边形DEPF 为正方形;(2)若 2AD CD =,求正方形DEPF 的边长;(3)设PC的长为x,图中阴影部分的面积为y,求y与x之间的函数关系式,并写出y的最大值.答案解析部分1.【答案】(1)证明:如图所示,连接OD ,∵AB AC =,∴ABC C ∠=∠,而OB OD =,∴ODB ABC C ∠=∠=∠,∵DF AC ⊥,∴90CDF C ∠+∠=︒,∴90CDF ODB ∠+∠=︒,∴90ODF ∠=︒,∴直线DF 是O 的切线(2)证明:连接AD ,则AD BC ⊥,则AB AC =,则12DB DC BC ==,∵90CDF C ∠+∠=︒,90C DAC ∠+∠=︒,∴CDF DCA ∠=∠,而90DFC ADC ∠=∠=︒,∴CFD CDA ∽,∴2CD CF AC =⋅,即24BC CF AC=⋅(3)解:连接OE ,∵15,75CDF C ∠=︒∠=︒,∴30OAE OEA ∠=︒=∠,∴120AOE ∠=︒,11sin 2cos sin 422OAE S AE OE OEA OE OEA OE OEA =⨯∠=⨯⨯∠⨯∠= ,21201643603OAE S OAE S S ππ︒︒=-=⨯-- 阴影部分扇形2.【答案】(1)证明:连接OC,如图,∵CD与⊙O相切于点C,∴∠OCD=90°,∴∠ACD+∠ACO=90°,∵AD⊥DC,∴∠ADC=90°,∴∠ACD+∠DAC=90°,∴∠ACO=∠DAC,∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∴∠DAC=∠OAC,∴AC是∠DAB的角平分线;(2)∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠D=∠ACB=90°,∵∠DAC=∠BAC,∴Rt△ADC∽Rt△ACB,∴AD ACAC AB,∴AC2=AD•AB=2×3=6,∴AC=3.【答案】(1)证明:如下图,连接OD,∵AB AC =,OB OD =,∴B C ∠=∠,B ODB ∠=∠,∴ODB C ∠=∠,∴//OD AC ,∴ODE CFD ∠∠=,又∵DE AC ⊥,∴90CFD ∠= ,∴90ODE ∠= ,∴DE 是O 的切线.(2)解:∵AC=6,∴11322OD OB AB AC ====,在Rt ODE 中,34OD tanE ED ==,∴4ED =,5OE ==,∴532AE OE OB =-=-=,又∵90AEF OED AFE ODE ∠∠∠∠=== ,,∴AFE ODE ~ ,∴AE AF OE OD =,即2=53AF ,∴65AF =.4.【答案】(1)证明:∵AB 为直径,∴∠ACB=90°,又∠ABC=30°,∴∠BAC=60°,又∵OA=OC ,∴△AOC 是正三角形,又∵CD 是⊙O 的切线,∴∠OCD=90°,∴∠DCE=180°﹣60°﹣90°=30°,又∵ED ⊥AB 于F ,∴∠DEC=90°﹣∠BAC=30°,∴∠DCE=∠DEC ,故△CDE 为等腰三角形(2)证明:在Rt △ABC 中,∵AB=4,AC=AO=2,∴BC ==,而)212CE =+-=,∴BC=CE ,又∵∠OBC=∠OCB=∠DCE=∠DEC=30°,∴△OBC ≌△DCE (ASA )5.【答案】(1)证明:如图1中,∵∠ADB =∠ACB ,∠ACB =90°﹣12∠BAD ,∴∠ADB =90°﹣12BAD ,∵∠ABD =180°﹣∠BAD ﹣(90°﹣12∠BAD )=90°﹣12∠BAD ,∴∠ABD =∠ADB ,∴AB =AD (2)证明:如图2中,连接BE 交AC 于L ,连接AO ,延长AO 交BD 于J ,交BE 于T ,连接CO ,延长CO 交⊙O 于K ,连接BK .∵AE =AD ,∴∠ADE =∠AED ,∵∠ADE+∠ADC =180°,∠ADC+∠ABC =180°,∴∠ADE =∠ABC =∠AED ,∵AB =AD ,∴ AB AD ,∴∠ACB =∠ACE ,AJ ⊥BD ,∵AC =AC ,∴△ACB ≌△ACE (AAS ),∴CB =CE ,∵AB =AE ,∴AC ⊥BE ,∴∠ALB =∠AJB =90°,∵∠ATL =∠BTJ ,∴∠TAL =∠TBJ ,∵AB =AD =AE ,∴∠BED =12∠BAD =∠BAJ ,∵∠EDF =∠DBE+∠DEB ,∴∠EDF =∠BAC ,∵∠K =∠BAC ,∴∠K =∠EDF ,∵CG ⊥CE .EG ⊥BF ,∴∠DFE =∠GCG =90°,∵∠DEF+∠EDF =90°,∠DEF+∠G =90°,∴∠G =∠EDF =∠K ,∵∠CBK =∠GCE =90°,∴△CBK ≌△ECG (AAS ),∴EG =CK =2r(3)解:如图3中,在图2的基础上作AH ⊥DE 于H .∵DE =4CD ,∴可以假设CD =k ,DE =4k ,则CE =CB =CA =5k ,∵AE =AD ,AH ⊥DE ,∴DH =EH =2k ,CH =CD+DH =3k ,∴AH =4k =,AD ==∵S △ACD =12•CD•AH =12•k•4k =10,∴k =(负根舍弃),∴CD =,AC =BC =EC =5,AD =AB =10,设CK 交AB 于J ,OA =OC =r ,则BJ =AJ =5,CJ =10==在Rt △AOJ 中,则有r 2=52+(10﹣r )2,解得r =254,∴EG =2r =252,∴CG =552==∴DG =2=6.【答案】(1)证明:连接OC ,∵AB 是O 的直径,∴∠ACB=90︒,∵OA=OC ,∴∠OAC=∠OCA ,∵∠BCE=∠BAC ,∴∠BCE=∠BAC=∠OCA ,∵∠OCA+∠OCB=90︒,∴∠BCE +∠OCB=90︒,∴∠OCE=90︒,∴CE 是⊙O 的切线;(2)解:连接DB ,∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ADB=90︒,∵CD 平分∠ACB ,∴ AD DB=,∴AD DB =,∴△ADB 为等腰直角三角形,∴AB ==,∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB=90︒,∴AC ==.7.【答案】(1)解:相切证明:连接OD ,OE∵点E 是AB 中点,点O 是BC 中点∴OE 是△ABC 的中位线,∴OE ∥AC∴∠1=∠4,∠2=∠3∵OC =OD ,∴∠3=∠4,∴∠1=∠2∵OB =OD ,OE =OE ,∴△OBE ≌△ODE∴∠ODE =∠OBE =90o∴OD ⊥DE ,∴直线DF 与⊙O 相切.(2)解:设⊙O 半径为x ,则OD =x ,OF =8-x在Rt △FOD 中,222OD FD OF +=,∴2224(8)x x +=-,∴x =3∴⊙O 半径为3∵∠FBE =∠FDO =90°,∠F =∠F ,∴△FBE ∽△FDO ,∴BF BE DF OD =,∵BF =FC -BC =2,OD =3,DF =4,∴BE =32,∵点E 是AB 中点,∴AB =2BE =3在Rt △ABC 中,AC ==8.【答案】(1)F 解:∵⊙O 的半径为1.∴⊙O 的“梦之点”坐标为2222⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭和2222⎛ ⎝⎭,.又∵双曲线k y x=(k≠0)与直线y=x 的交点均为圆的“梦之点”,∴将2222⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭代入双曲线表达式中,得,1=2k xy =,∵点P 位于⊙O 内部.∴102k <<(2)解:-1≤t≤3(3)解:由“梦之点”定义可得:()11A x x ,,()22B x x ,.则21x ax ax =-+.整理得,()2110ax a x -++=,解得,11x =,21x a=.把两个根代入122x x -=中,即112a -=,解得,11a =-,213a =.当1a =-时,21y x x =-++,其顶点坐标为1524⎛⎫ ⎪⎝⎭,,当13a =时,211133y x x =-+,其顶点坐标为111.212⎛⎫ ⎪⎝⎭,9.【答案】(1)证明:连接OC ,∵AC 为切线,C 为切点,∴∠ACO =90°,即∠DCO+∠2=90°,又∵BD 是直径,∴∠BCD =90°,即∠DCO+∠1=90°,∴∠1=∠2,∵AD =CD ,OB =OC ,∴∠A =∠2,∠B =∠1,∴∠A =∠B ,∴AC =BC ;(2)解:由题意可得△DCO 是等腰三角形,∵∠CDO =∠A+∠2,∠DOC =∠B+∠1,∴∠CDO =∠DOC ,即△DCO 是等边三角形,∴∠A =∠B =∠1=∠2=30°,CD =AD =1,∴BC ===,在Rt △BCD 中,作CE ⊥AB 于点E ,在Rt △BEC 中,∠B =30°,∴CE =1BC 2=,BE =32,∴S △ABC =1AB CE 2⋅=1324⨯=.10.【答案】(1)证明:过O 作OH ⊥AB 于H ,∵∠ACB =90°,∴OC ⊥BC ,∵BO 为△ABC 的角平分线,OH ⊥AB ,∴OH =OC ,即OH 为⊙O 的半径,∵OH ⊥AB ,∴AB 为⊙O 的切线;(2)解:设⊙O 的半径为3x ,则OH =OD =OC =3x ,在Rt △AOH 中,∵tanA =34,∴OH AH =34,∴3x AH =34,∴AH =4x ,∴AO =22OH AH +=22(3)(4)x x +=5x ,∵AD =2,∴AO =OD+AD =3x+2,∴3x+2=5x ,∴x =1,∴OA =3x+2=5,OH =OD =OC =3x =3,∴AC =OA+OC =5+3=8,在Rt △ABC 中,∵tanA =BC AC ,∴BC =AC•tanA =8×34=6,∴OB =22OC BC +=2236+=35.11.【答案】(1)证明:连接OB∵AB 与O 相切于点B ,∴OB AB ⊥,∴90OBA ∠=︒∵//BD AC ,∴AOE D ∠=∠,AOB OBD ∠=∠∵OB OD =,∴D OBD ∠=∠,∴AOE AOB ∠=∠,∵OE OB =,OA OA =,∴()SAS AOE AOB ≌∴90OEA OBA ∠=∠=︒∴OE AE⊥又∵点E 在圆上,∴AE 是O 的切线.(2)解:过点O 作OH BD ⊥交BD 于点H .∵OH BD ⊥,O 为圆心,∴112DH BD ==,90OHD ∠=︒在Rt OHD 中,OH ==∵OHD AEO ∠=∠,D AOE ∠=∠,∴AOE ODH∽∴AE OH OE DH=∴2231OH OE AE DH ⨯===(3)12.【答案】(1)解:∵AB =AC ,AD ⊥BC ,∴D 是BC 的中点,又∠BEC 是直角,∴DE =12BC =3.(2)解:①如图,连接CE ,同理(1)可得DE =BD =DF =3,∴∠B =∠BED =∠ACB ,∴△BDE ∽△BAC ,∴36BE x =,∴BE =18x ,∴AE =x ﹣18x ,同理可得:AF =x ﹣18x,∴AE =AF ,∵AB =AC ,∴△AEF ∽△ABC ,∴EF AE BC AB =,∴EF =6﹣2108x ,∴y =12﹣2108x ;②当y =19225时,x =5,如图,连接AD ,∵AB =AC ,∴△ABC 的外心O 在线段AD 上,连接BO ,设⊙O 的半径为r ,则32+(4﹣r )2=r 2,∴r =258,即⊙O 的半径为258.13.【答案】(1)证明:连接CD .AC 是直径,90ADC ∴∠=︒,90DAC ACD ∴∠+∠=︒,ABD ACD ∠=∠ ,DAF ABC ∠=∠,DAF ACD ∴∠=∠,90DAF DAC ∴∠+∠=︒,90FAC ∴∠=︒,AF ∴为O 的切线(2)证明:90FAE ∠=︒ ,DF DE =,AD DE DF ∴==,DAE AED ∴∠=∠,OA OD = ,DAO ADO ∴∠=∠,ADO AED ∴∠=∠,OAD DAE ∠=∠ ,ADO AED ∴ ∽,∴AD AO AE AD=,2AD AO AE∴=⋅(3)解:如图,过点B 作BJ EC ⊥于J .AC 是直径,90ABC ∴∠=︒,1sin 3BC BAC AC ∴∠==,∴可以假设BC a =,3AC a =,BJ AC ⊥ ,90AJB ∴∠=︒,90BAC ABJ ∴∠+∠=︒,90ABJ CBJ ∠+∠=︒,CBJ BAC ∴∠=∠,1sin sin 3CJ CBJ BAC BC ∴∠=∠==,13CJ a ∴=,223BJ ∴==,DA DE = ,DAE AED CEB ∴∠=∠=∠,DAE CBE ∠=∠ ,CEB CBE ∴∠=∠,CE CB a ∴==,1233EJ EC CJ a a a ∴=-=-=,2AE AC EC a =-=,//AF BJ ,∴AF AE BJ EJ=,∴222233a a =,a ∴=,AE ∴=,3EJ =,3BJ =,6EF ∴==,2BE ==,628BF EF BE ∴=+=+=14.【答案】(1)证明:∵BD 是直径,∴∠DAB=90°.∵FG ⊥AB ,∴DA ∥FO .∴△FOE ∽△ADE .∴FO OE AD DE=,即OF•DE=OE•AD ∵O 是BD 的中点,DA ∥OH ,∴AD=2OH∴OF•DE=OE•2OH(2)解:∵⊙O 的半径为12,且OE :OF :OD=2:3:6,∴OE=4,ED=8,OF=6代入(1)中OF•DE=OE•AD ,得AD=12.∴OH=12AD=6.在Rt △OHB 中,OB=2OH ,∴∠OBH=30°,∴∠BOH=60°.∴BH=BO•sin60°=122⨯=2OHB GOB 60121=S S =6183602S ππ⨯⨯∴--⨯⨯- 阴影扇形15.【答案】(1)证明:连接OB ,∵PB 是圆O 的切线∴∠OBP=90°∵∠BOP=90°-∠P=90°-30°=60°∵OC=OB∴∠OBC=∠OCB∵∠POB=∠OBC+∠OCB=2∠OCB=60°∴∠OCB=30°=∠P∴PB=BC(2)解:过点A作AE⊥BD于点E ,∴∠AED=∠AEB=90°,∵AC是直径,∴∠ADC=90°在Rt△ADC中,tan∠DCA=634ADDC DC==,解之DC=8∴10 =在Rt△ABC中,∠ACB=30°,∴AB=1110522AC=⨯=在Rt△ADE中,∠ADE=∠ACB=30°∴DE=6×cos30°=AEB=∠ADC,∠ABE=∠ACD∴△ABE∽△CAD∴AB BEAC DC=,即5108BE=解之:BE=4∴DB=DE+BE=16.【答案】(1)AE=18 5(2)解:当圆O与△BPE的BE边相切时,点E和点G重合,则AE⊥BE∴AE是圆O的直径∴m=111892255AE=⨯=;当圆O与△BPE的BP边相切时,切点为F,连接OF∴∠OFC=∠BEC=90°∵∠OCF=∠BCE∴△OFC∽△BCE∴OF OC BE BC=在Rt△ABC中,BE⊥AC∴AB·BC=AC·BE即6×8=10BE解之:BE=245∴102485m m-=解之:m=154;当圆O与△BPE的PE边相切时,交PE的延长线于点F,切点为F,连接OF∴∠OFE=∠BEC=90°∵∠OEF=∠CEP∵点P是Rt△BEC斜边上的中线∴CP=PE∴∠ECP=∠CEP∴∠OEF=∠ECP∴△OFC∽△CBE∴OF OEBE BC=∵圆O的半径为m∴OE=185-m,OF=m∴1852485mm-=解之:m=2720;答:当圆O与△BPE一边所在的直线相切时,95m=,154m=,2720m=(3)过点F作FM⊥AB,过点F作FN⊥BC于点N易证四边形BMFN是矩形∴FN=BM,∵BH=BF∴∠1=∠2,∵∠1=∠5,∠5+∠3=90°,∠2+∠4=90°∴∠3=∠4∴AF平分∠CAB,FE⊥AC,FM⊥AB∴EF=FM在Rt△AEF和Rt△AMF中A=AA=A∴Rt△AEF≌Rt△AMF(HL)∴AE=AM=3.6∴BM=AB-AM=6-3.6=2.4即FN=2.4,∵FM∥BH∴△AFM∽△ABH∴MF AMBH AB=∴3.6365MFBH==,设MF=3x,则BH=BF=5x,在Rt△BMF 中,4x=4x=2.4解之:x=0.6∴BH=5×0.6=3∴S△BFH=11121832255BH FN⋅=⨯⨯=;;1255 17.【答案】(1)解:连接OB,如图,∵OA=OB,∴∠ABO=∠A=30°,∵∠ACB=90°,∠A=30°,∴∠ABC=60°,∴∠OBC=30°,在Rt△OBC中,cosBC OBCOB∠=,即1 cos30OB︒=,解得233 OB=,即⊙O 的半径为23 3(2)解:连接OP,设AB与QP交于点M,∵点P为 AB的中点,∴OP⊥AB,∴∠QPO+∠PMB=90°,∵PQ⊥AC,∴∠A+∠AMQ=90°,又∵∠AMQ=∠PMB,∴∠QPO=∠A=30°,在Rt△OPQ中,sinOQ QPOOP∠=,即sin30233︒=,∴2313323 OQ==(3)解:在Rt△OBC中,∵3OB =,∠OBC=30°,∠ACB=90°∴3sin 30°=3OC OB =⨯,∴233CQ CO OQ =+=,∴tan 2PQ PCA CQ ∠==18.【答案】(1)解:如图,作DF BN ⊥交BC 于F ;AM BN 、与O 切于点A B、AB AM AB BN ∴⊥⊥,.又DF BN ⊥ ,∴BAD ABC BFD ∠=∠=∠=︒,∴四边形ABFD 是矩形,12BF AD x DF AB ∴====,,BC y = ,FC BC BF y x ∴=-=-;DE 切O 于E ,DE DA x CE CB y ∴====,,则DC DE CE x y =+=+,在Rt DFC ∆中,222CD FC DF =+,即222()()12x y y x +=-+,整理为:36y x =,y ∴与x 的函数关系式是36y x=.(2)解:由(1)知36xy =,∵x y ,是方程22300t t m -+=的两个根,∴根据韦达定理知,2m xy =,即72m =;∴原方程为215360t t -+=,解得:12123t t ==,.即=3=12或123x y =⎧⎨=⎩.(3)解:如图,连接OD OE OC ,,,AD BC CD ,,是O 的切线,OE CD AD DE BC CE ∴⊥==,,,AOD ODE OBC COE S S S S ∆∆∆∆∴==,,111==(312)1245222COD COE ODE ABCD S S S S ∆∆∆∴=+⨯⨯+⨯=梯形19.【答案】(1)(2)解:∵∠ABC=120︒,四边形ABCD 内接于O ,∴∠ADC=60︒,∵O 的半径为6,∴由(1)得AC=,如图,连接AC ,作DH ⊥AC,BM ⊥AC,∴四边形ABCD 的面积=111()222AC DH AC BM AC DH BM ⋅⋅+⋅⋅=⋅+,当DH+BM 最大时,四边形ABCD 的面积最大,连接BD ,则BD 是O 的直径,∴BD=2OA=12,BD ⊥AC ,∴四边形ABCD 的面积=111222AC BD ⋅⋅=⨯=.∴四边形ABCD 的面积最大值是(3)解:存在;∵AD BM =1=千米,2AM BC ==千米,60A B ∠=∠=︒,∴△ADM ≌△BMC,∴DM=MC,∠AMD=∠BCM,∵∠BCM+∠BMC=180︒-∠B=120︒,∴∠AMD+∠BMC=120︒,∴∠DMC=60︒,∴△CDM 是等边三角形,∴C 、D 、M 三点共圆,∵点P 在弧CD 上,∴C 、D 、M 、P 四点共圆,∴∠DPC=180︒-∠DMC=120︒,∵CD 弧的半径为1千米,∠DMC=60︒,∴CD=,∵2()0PD PC -≥,∴2()4PD PC PD PC +≥⋅,∴PD PC +≥,∴当PD=PC 时,PD+PC 最大,此时点P 在弧CD 的中点,交DC 于H ,在Rt △DPH 中,∠DHP=90︒,∠DPH=60︒,DH=12DC=32,∴1sin 60DH DP == ,∴四边形DMCP的周长最大值=DM+CM+DP+CP=2+.20.【答案】(1);3的特征值为4的点,(2)解:设点G是O∴经过一点G且弦长为4(最长弦)的直线有1条,弦长为3的直线有2条,弦长为2的直线有且只有1条, 经过点G的直线被O截得的弦长的最小值为2,=,∴关于O的特征值为4的所有点都在以O为半径的圆周上,=+分别与x,y轴交于点A、B,直线y x b()0,,B b∴-,,()A b∴==,OA OB bOBH∴∠=︒,45b>时,线段AB与以O为半径的圆相切时,点G特征值为4,当0设切点为为H,连接OH,则OH=,∴==OB,∴=b,设以O为半径的圆与y轴正半轴的交点记为1B,OB=,则1当线段AB 与以O 1B 时,可得b =,b ≤≤同理可求当0b <时,b ≤≤,综上,b b b ≤≤-≤(3)当372122t -≤≤+时,存在点R ,S ,使得3r s +=21.【答案】(1)证明:连接OC ,如图,.∵CE 为切线,∴OC ⊥CE ,∴∠OCE=90°,即∠1+∠4=90°∵DO ⊥AB ,∴∠3+∠B=90°,而∠2=∠3,∴∠2+∠B=90°,而OB=OC ,∴∠4=∠B ,∴∠1=∠2,∴CE=FE(2)30°;22.5°22.【答案】(1)证明:∵PE AD ⊥,PF DC ⊥,∴90PED PFD ∠∠==︒,∴90ADC PED PFD ∠∠∠===︒,∴四边形DEPF 是矩形,∵90ADC ∠=︒,∴AC 是圆O 的直径,∴90ABC ∠=︒,∵AB BC =,∴45ACB BCA ∠=∠=︒, AB BC=,∴45ADB CDB ∠=∠=︒,∴45DPE ADB ∠∠==︒,∴PE DE =.∴四边形CEPF 是正方形;(2)解:∵ 2AD CD=,AC 是圆O 的直径,∴ AD 的度数为120︒, AD 的度数为60︒,∴30DAC ∠=︒,60DCA ∠=︒,∴12PE sin DAC AP ∠==,3602PF sin DCA sin PC ∠=︒==,∴2AP PE =,233PC PF =,∵2428AC AP PC r =+==⨯=,正方形DEPF 中,PE PF =,∴23283PF PF +=,∴2PF =.(3)解:在ED 上取点G ,使EG CF =,连接PG ,由(1)得:PE PF =,90GEP PFC ∠∠==︒,∴GPE CPF ≌,∴PG PC x ==,GPE FPC ∠∠=,CEP PFC S S = ,∴阴影部分的面积等于APG ABC S S + ,∵90EPF ∠=︒,∴90APE CPF ∠∠+=︒,∴90GPE APE ∠∠+=︒,即90APG ∠=︒,∵8AC =,∴8AP x =-,∴()11822APG S AP PG x x =⋅=- ,∵ABC 是等腰直角三角形,8AC =,∴AB BC ==,∴2111622ABC S AB ==⨯= ,即阴影部分的面积()()21181642422y x x x =-+=--+,∴当4x =时,y 有最大值,最大值为24.。
中考数学《圆的综合题》专项练习题及答案
中考数学《圆的综合题》专项练习题及答案一、单选题1.如图,在一块正三角形飞镖游戏板上画一个正六边形(图中阴影部分),假设飞镖投中游戏板上的每一点是等可能的(若投中边界或没有投中游戏板,则重投1次),任意投掷飞镖1次,则飞镖投中阴影部分的概率为()A.13B.49C.12D.232.如图,AB为⊙O的直径,弦DC垂直AB于点E,⊙DCB=30°,EB=3,则弦AC的长度为()A.3 √3B.4√3C.5√3D.6√33.如图,AB是⊙O的弦,半径OC⊙AB于点D,且AB=6cm,OD=4cm。
则DC的长为()A.cm B.1cm C.2cm D.5cm4.如图,四边形ABCD内接于⊙ O,AB为⊙ O的直径,∠ABD=20∘,则∠BCD的度数是()A.90°B.100°C.110°D.120°5.如图,点A,B,C,D都在⊙O上,AC,BD相交于点E,则⊙ABD=()A.⊙ACD B.⊙ADB C.⊙AED D.⊙ACB6.如图,在⊙O中,弦AB⊙CD,若⊙ABC=40°,则⊙BOD=()A.20°B.40°C.50°D.80°7.下列判断结论正确的有()(1)直径是圆中最大的弦.(2)长度相等的两条弧一定是等弧.(3)面积相等的两个圆是等圆.(4)同一条弦所对的两条弧一定是等弧.(5)圆上任意两点间的部分是圆的弦.A.1个B.2个C.3个D.4个8.已知如图,PA、PB切⊙O于A,B,MN切⊙O于C,交PB于N;若PA=7.5cm,则⊙PMN的周长是()A.7.5cm B.10cm C.15cm D.12.5cm9.若小李同学掷出的铅球在场地航砸出一个直径为10厘米,深2厘米的小坑,则该铅球的直径为()A.20厘米B.19.5厘米C.14.5厘米D.10厘米10.如图,如果从半径为9cm的圆形纸片剪去13圆周的一个扇形,将留下的扇形(阴影部分)围成一个圆锥(接缝处不重叠),那么这个圆锥的高为()A.6cm B.5√3cm C.8cm D.3√5cm11.如图,△ABC内接于⊙O,∠B=65o,∠C=70o,若BC=2√2,则弧BC长为()A.πB.√2πC.2πD.√2π12.如下图,点B,C,D在⊙O上,若⊙BCD=130°,则⊙BOD的度数是()A.96°B.98°C.102°D.100°二、填空题13.如图,在扇形AOB中,OA=4,⊙AOB=90°,点P是弧AB上的动点,连接OP,点C是线段OP的中点,连接BC并延长交OA于点D,则图中阴影部分面积最小值为.14.如图,在边长为√2的正方形ABCD中,分别以四个顶点为圆心,以边长为半径画弧,分别与正方形的边和对角线相交,则图中阴影部分的面积为(结果保留π).15.如图,⊙ABC的顶点A,B,C均在⊙O上,若⊙ABC+⊙AOC=90°,则⊙AOC的大小是.16.如图:⊙O为⊙ABC的内切圆,⊙C=90°,AO的延长线交BC于点D,AC=4,CD=1,则⊙O的半径为.17.如图,在正八边形ABCDEFGH中,AC、GC是两条对角线,则tan⊙ACG=.18.如图,菱形ABCD中,已知AB=2,∠DAB=60°将它绕着点A逆时针旋转得到菱形ADEF,使AB与AD重合,则点C运动的路线CE⌢的长为.三、综合题19.如图,AB是⊙O的直径,AP是⊙O的切线,A是切点,BP与⊙O交于点C,点D为AP的中点,连结AC.求证:(1)⊙P=⊙BAC(2)直线CD是⊙O的切线.20.如图,以△ABC的边AB为直径的⊙O交AC于点F,点E是BF⌢的中点,连接BE并延长交AC于点D,若∠CBD=12∠CAB.(1)求证:BC是⊙O的切线;(2)若⊙O的半径为2,cos∠BAC=25,求CD的长.21.如图,⊙O是⊙ABC的外接圆,AC是O的直径,BD=BA=12,BC=5,BE⊙DC,交D的延长线于点E,BD交直径AC于点F.(1)求证:⊙BCA=⊙BAD.(2)求证:BE是⊙O的切线.(3)若BD平分⊙ABC,交⊙O于点D,求AD的长.22.如图,⊙OAB中,OA=OB=10cm,⊙AOB=80°,以点O为圆心,半径为6cm的优弧弧MN分别交OA,OB于点M,N.(1)点P在右半弧上(⊙BOP是锐角),将OP绕点O逆时针旋转80°得OP′.求证:AP=BP′;(2)点T在左半弧上,若AT与弧相切,求A T的长.23.如图,有一直径是√2米的圆形铁皮,现从中剪出一个圆周角是90°的最大扇形ABC,则:(1)AB的长为米;(2)用该扇形铁皮围成一个圆锥,所得圆锥的底面圆的半径为米.⌢的中点,CE⊥AB于点E,BD交CE于点F.24.如图,AB是⊙O的直径,C是BD(1)求证:CF=BF;(2)若CD﹦5,AC﹦12,求⊙O的半径和CE的长.参考答案1.【答案】D2.【答案】D3.【答案】B4.【答案】C5.【答案】A6.【答案】D7.【答案】B8.【答案】C9.【答案】C10.【答案】D11.【答案】A12.【答案】D13.【答案】4π−8√3314.【答案】4-π15.【答案】60°16.【答案】0.817.【答案】118.【答案】2√33π19.【答案】(1)解:证明:∵AB是⊙O的直径∴⊙ACB=90°∴⊙ACP=90°∴⊙P+⊙CAP=90°∵AP⊙O是切线∴⊙BAP=90°即⊙CAP+⊙BAC=90°∴⊙P=⊙BAC;(2)解:∵CD是Rt⊙PAC斜边PA的中线∴CD=AD∴⊙DCA=⊙DAC连接OC∵OC=OA∴⊙OCA=⊙OAC∴⊙DCO=⊙DAO=90°∴CD是⊙O的切线.20.【答案】(1)证明:连接AE,如图所示:∵AB是⊙O的直径∴∠AEB=90°∴∠BAE+∠ABE=90°.∵点E为弧BF的中点∴EF⌢=EB⌢∴∠BAE=∠DAE=12∠CAB.又∵∠CBD=12∠CAB∴∠BAE=∠CBD∴∠CBD+∠ABE=90°∴AB⊥CB∴BC是⊙O的切线.(2)解:∵∠BAE=∠DAE,∠AED=∠AEB=90°∴∠ADE=∠ABE∴AD=AB=2×2=4.∵cos∠BAC=2 5∴在Rt△ABC中即4AC=25,得AC=10∴CD=AC−AD=10−4=6.21.【答案】(1)证明:∵BD=BA ∴∠BDA=∠BAD.∵∠BCA=∠BDA∴∠BCA=∠BAD.(2)证明:连结OB,如图∵∠BCA=∠BAD又∵∠BCE=∠BAD∴∠BCA=∠BCE∵OB=OC∴∠BCO=∠CBO∴∠BCE=∠CBO∴OB//ED.∵BE⊥ED∴EB⊥BO.∴BE是⊙O的切线.(3)解:∵AC是⊙O的直径∴∠ABC=90°∴AC=√AB2+BC2=√122+52=13.∵∠BDE=∠CAB∴△BED∽△CBA∴BDAC=DEAB,即1213=DE12∴DE=14413∴BE=√BD2−DE2=6013∴CE=√BC2−BE2=2513∴CD=DE−CE=119 13∵BD平分⊙ABC ∴∠CBD=∠ABD∴AD=CD=119 13.22.【答案】(1)证明:∵⊙AOB=⊙POP′=80°∴⊙AOB+⊙BOP=⊙POP′+⊙BOP即⊙AOP=⊙BOP′在⊙AOP 与⊙BOP′中 OA=OB ⊙AOP=⊙BOP OP=OP′∴⊙AOP⊙⊙BOP′ ∴AP=BP′(2)解:∵A T 与弧相切,连结OT .∴OT⊙A T在Rt⊙AOT 中,根据勾股定理得,A T= √OA 2−OT 2 ∵OA=10,OT=6 ∴AT=823.【答案】(1)1 (2)1424.【答案】(1)证明:∵AB 是 ⊙O 的直径∴∠ACB =90° ∴∠A +∠ABC =90° 又∵CE ⊥AB ∴∠CEB =90° ∴∠BCE +∠ABC =90° ∴∠BCE =∠A∵C 是 BD ⌢ 的中点 ∴CD⌢=CB ⌢ ∴∠DBC =∠A ∴∠DBC =∠BCE ∴CF =BF(2)解:∵CD⌢=CB ⌢,CD =5 ∴∠DBC =∠BDC∴BC=CD=5∵∠ACB=90°∴AB=√AC2+BC2=√122+52=13∴AO=6.5∵∠BCE=∠A,∠ACB=∠CEB=90°∴△CEB⊙ △ACB∴CE=AC⋅BCAB=12×513=6013故⊙O的半径为6.5,CE的长是6013.第11页共11。
人教数学圆的综合的专项培优 易错 难题练习题(含答案)附答案
一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.如图,CD 为⊙O 的直径,点B 在⊙O 上,连接BC 、BD ,过点B 的切线AE 与CD 的延长线交于点A ,AEO C =∠∠,OE 交BC 于点F .(1)求证:OE ∥BD ;(2)当⊙O 的半径为5,2sin 5DBA ∠=时,求EF 的长.【答案】(1)证明见解析;(2)EF 的长为212【解析】 试题分析:(1)连接OB ,利用已知条件和切线的性质证明;(2)根据锐角三角函数和相似三角形的性质,直接求解即可.试题解析:(1)连接OB , ∵CD 为⊙O 的直径 , ∴ 90CBD CBO OBD ∠=∠+∠=︒. ∵AE 是⊙O 的切线,∴ 90ABO ABD OBD ∠=∠+∠=︒. ∴ ABD CBO ∠=∠. ∵OB 、OC 是⊙O 的半径,∴OB=OC . ∴C CBO ∠=∠. ∴C ABD ∠=∠.∵E C ∠=∠,∴E ABD ∠=∠. ∴ OE ∥BD .(2)由(1)可得sin ∠C = ∠DBA= 25,在Rt △OBE 中, sin ∠C =25BD CD =,OC =5, 4BD =∴90CBD EBO ∠=∠=︒∵E C ∠=∠,∴△CBD ∽△EBO . ∴BD CD BO EO= ∴252EO =. ∵OE ∥BD ,CO =OD ,∴CF =FB . ∴122OF BD ==. ∴212EF OE OF =-=2.如图,在直角坐标系中,已知点A (-8,0),B (0,6),点M 在线段AB 上。
(1)如图1,如果点M是线段AB的中点,且⊙M的半径等于4,试判断直线OB与⊙M 的位置关系,并说明理由;(2)如图2,⊙M与x轴,y轴都相切,切点分别为E,F,试求出点M的坐标;(3)如图3,⊙M与x轴,y轴,线段AB都相切,切点分别为E,F,G,试求出点M的坐标(直接写出答案)【答案】(1)OB与⊙M相切;(2)M(-247,247);(3)M(-2,2)【解析】分析:(1)设线段OB的中点为D,连结MD,根据三角形的中位线求出MD,根据直线和圆的位置关系得出即可;(2)求出过点A、B的一次函数关系式是y=34x+6,设M(a,﹣a),把x=a,y=﹣a代入y=34x+6得出关于a的方程,求出即可.(3)连接ME、MF、MG、MA、MB、MO,设ME=MF=MG=r,根据S△ABC=12AO•ME+12BO•MF+12AB•MG=12AO•BO求得r=2,据此可得答案.详解:(1)直线OB与⊙M相切.理由如下:设线段OB的中点为D,如图1,连结MD,∵点M是线段AB的中点,所以MD∥AO,MD=4,∴∠AOB=∠MDB=90°,∴MD⊥OB,点D在⊙M上.又∵点D在直线OB上,∴直线OB与⊙M相切;(2)如图2,连接ME,MF,∵A(﹣8,0),B(0,6),∴设直线AB的解析式是y=kx+b,∴806k bb-+=⎧⎨=⎩,解得:k=34,b=6,即直线AB的函数关系式是y=34x+6.∵⊙M与x轴、y轴都相切,∴点M到x轴、y轴的距离都相等,即ME=MF,设M(a,﹣a)(﹣8<a<0),把x=a,y=﹣a代入y=34x+6,得:﹣a=34a+6,得:a=﹣24 7,∴点M的坐标为(﹣242477,).(3)如图3,连接ME、MF、MG、MA、MB、MO,∵⊙M与x轴,y轴,线段AB都相切,∴ME⊥AO、MF⊥BO、MG⊥AB,设ME=MF=MG=r,则S△ABC=12AO•ME+12BO•MF+12AB•MG=12AO•BO.∵A(﹣8,0),B(0,6),∴AO=8、BO=6,AB=22AO BO=10,∴12r•8+12r•6+12r•10=12×6×8,解得:r=2,即ME=MF=2,∴点M的坐标为(﹣2,2).点睛:本题考查了圆的综合问题,掌握直线和圆的位置关系,用待定系数法求一次函数的解析式的应用,能综合运用知识点进行推理和计算是解答此题的关键,注意:直线和圆有三种位置关系:已知⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离是d,当d=r时,直线l和⊙O 相切.3.如图,PA、PB是⊙O的切线,A,B为切点,∠APB=60°,连接PO并延长与⊙O交于C 点,连接AC、BC.(Ⅰ)求∠ACB的大小;(Ⅱ)若⊙O半径为1,求四边形ACBP的面积.【答案】(Ⅰ)60°;(Ⅱ33【解析】分析:(Ⅰ)连接AO,根据切线的性质和切线长定理,得到OA⊥AP,OP平分∠APB,然后根据角平分线的性质和三角形的外角的性质,30°角的直角三角形的性质,得到∠ACB的度数;(Ⅱ)根据30°角的直角三角形的性质和等腰三角形的性质,结合等底同高的性质求三角形的面积即可.详解:(Ⅰ)连接OA,如图,∵PA、PB是⊙O的切线,∴OA⊥AP,OP平分∠APB,∴∠APO=12∠APB=30°,∴∠AOP=60°,∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∴∠ACO=12AOP=30°,同理可得∠BCP=30°,∴∠ACB=60°;(Ⅱ)在Rt△OPA中,∵∠APO=30°,∴AP=3OA=3,OP=2OA=2,∴OP=2OC,而S△OPA=12×1×3,∴S△AOC=12S△PAO=34,∴S△ACP=334,∴四边形ACBP的面积=2S△ACP=33.点睛:本题考查了切线的性质,解直角三角形,等腰三角形的判定,熟练掌握切线的性质是解题的关键.4.如图,在以点O为圆心的两个同心圆中,小圆直径AE的延长线与大圆交于点B,点D 在大圆上,BD与小圆相切于点F,AF的延长线与大圆相交于点C,且CE⊥BD.找出图中相等的线段并证明.【答案】见解析【解析】试题分析:由AE是小⊙O的直径,可得OA=OE,连接OF,根据切线的性质,可得OF⊥BD,然后由垂径定理,可证得DF=BF,易证得OF∥CE,根据平行线分线段成比例定理,可证得AF=CF,继而可得四边形ABCD是平行四边形,则可得AD=BC,AB=CD.然后连接OD、OC,可证得△AOD≌△EOC,则可得BC=AD=CE=AE.试题解析:图中相等的线段有:OA=OE,DF=BF,AF=CF,AB=CD,BC=AD=CE=AE.证明如下:∵AE是小⊙O的直径,∴OA=OE.连接OF,∵BD与小⊙O相切于点F,∴OF⊥BD.∵BD是大圆O的弦,∴DF=BF.∵CE⊥BD,∴CE∥OF,∴AF=CF.∴四边形ABCD是平行四边形.∴AD=BC,AB=CD.∵CE:AE=OF:AO,OF=AO,∴AE=EC.连接OD、OC,∵OD=OC,∴∠ODC=∠OCD.∵∠AOD=∠ODC,∠EOC=∠OEC,∴∠AOC=∠EOC,∴△AOD≌△EOC,∴AD=CE.∴BC=AD=CE=AE.【点睛】考查了切线的性质,垂径定理,平行线分线段成比例定理,平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识.此题综合性很强解题的关键是注意数形结合思想的应用,注意辅助线的作法,小心不要漏解.5.如图,AB 是半圆O 的直径,半径OC ⊥AB ,OB =4,D 是OB 的中点,点E 是弧BC 上的动点,连接AE ,DE .(1)当点E 是弧BC 的中点时,求△ADE 的面积;(2)若3tan 2AED ∠= ,求AE 的长; (3)点F 是半径OC 上一动点,设点E 到直线OC 的距离为m ,当△DEF 是等腰直角三角形时,求m 的值.【答案】(1)62ADE S =2)1655AE =3)23m =,22m =71m =.【解析】【分析】(1)作EH ⊥AB ,连接OE ,EB ,设DH =a ,则HB =2﹣a ,OH =2+a ,则EH =OH =2+a ,根据Rt △AEB 中,EH 2=AH•BH ,即可求出a 的值,即可求出S △ADE 的值;(2)作DF ⊥AE ,垂足为F ,连接BE ,设EF =2x ,DF =3x ,根据DF ∥BE 故AF AD EF BD=,得出AF =6x ,再利用Rt △AFD 中,AF 2+DF 2=AD 2,即可求出x ,进而求出AE 的长; (3)根据等腰直角三角形的不同顶点进行分类讨论,分别求出m 的值.【详解】解:(1)如图,作EH ⊥AB ,连接OE ,EB ,设DH =a ,则HB =2﹣a ,OH =2+a ,∵点E 是弧BC 中点,∴∠COE =∠EOH =45°,∴EH =OH =2+a ,在Rt △AEB 中,EH 2=AH•BH ,(2+a )2=(6+a )(2﹣a ),解得a =222±-, ∴a =222-,EH=22,S △ADE =1622AD EH =;(2)如图,作DF ⊥AE ,垂足为F ,连接BE设EF =2x ,DF =3x∵DF ∥BE∴AF AD EF BD= ∴622AF x ==3 ∴AF =6x 在Rt △AFD 中,AF 2+DF 2=AD 2(6x )2+(3x )2=(6)2解得x =255AE =8x =1655 (3)当点D 为等腰直角三角形直角顶点时,如图设DH =a由DF=DE,∠DOF=∠EHD=90°,∠FDO+∠DFO=∠FDO+∠EDH ,∴∠DFO=∠EDH∴△ODF≌△HED∴OD=EH=2在Rt△ABE中,EH2=AH•BH(2)2=(6+a)•(2﹣a)-解得a=±232m=23当点E为等腰直角三角形直角顶点时,如图同理得△EFG≌△DEH设DH=a,则GE=a,EH=FG=2+a在Rt△ABE中,EH2=AH•BH(2+a)2=(6+a)(2﹣a)解得a=222±-∴m=22当点F为等腰直角三角形直角顶点时,如图同理得△EFM≌△FDO设OF=a,则ME=a,MF=OD=2∴EH=a+2在Rt△ABE中,EH2=AH•BH(a+2)2=(4+a)•(4﹣a)解得a=71m71【点睛】此题主要考查圆内综合问题,解题的关键是熟知全等三角形、等腰三角形、相似三角形的判定与性质.6.如图,点B在数轴上对应的数是﹣2,以原点O为原心、OB的长为半径作优弧AB,使点A在原点的左上方,且tan∠AOB3C为OB的中点,点D在数轴上对应的数为4.(1)S扇形AOB=(大于半圆的扇形);(2)点P是优弧AB上任意一点,则∠PDB的最大值为°(3)在(2)的条件下,当∠PDB最大,且∠AOP<180°时,固定△OPD的形状和大小,以原点O为旋转中心,将△OPD顺时针旋转α(0°≤α≤360°)①连接CP,AD.在旋转过程中,CP与AD有何数量关系,并说明理由;②当PD∥AO时,求AD2的值;③直接写出在旋转过程中,点C到PD所在直线的距离d的取值范围.【答案】(1)103π(2)30(3)①AD=2PC②20+83或20+83③1≤d≤3【解析】【分析】(1)利用扇形的面积公式计算即可.(2)如图1中,当PD与⊙O相切时,∠PDB的值最大.解直角三角形即可解决问题.(3)①结论:AD=2PC.如图2中,连接AB,AC.证明△COP∽△AOD,即可解决问题.②分两种情形:如图3中,当PD∥OA时,设OD交⊙O于K,连接PK交OC于H.求出PC即可.如图④中,当PA∥OA时,作PK⊥OB于K,同法可得.③判断出PC的取值范围即可解决问题.【详解】(1)∵tan∠AOB=3,∴∠AOB=60°,∴S扇形AOB=23002103603ππ⋅⋅=(大于半圆的扇形),(2)如图1中,当PD与⊙O相切时,∠PDB的值最大.∵PD是⊙O的切线,∴OP⊥PD,∴∠OPD=90°,∵21sin 42OP PDO OD ∠=== ∴∠PDB =30°, 同法当DP ′与⊙O 相切时,∠BDP ′=30°,∴∠PDB 的最大值为30°.故答案为30.(3)①结论:AD =2PC .理由:如图2中,连接AB ,AC .∵OA =OB ,∠AOB =60°,∴△AOB 是等边三角形,∵BC =OC ,∴AC ⊥OB ,∵∠AOC =∠DOP =60°,∴∠COP =∠AOD ,∵2AO OD OC OP==, ∴△COP ∽△AOD , ∴2AD AO PC OC==, ∴AD =2PC . ②如图3中,当PD ∥OA 时,设OD 交⊙O 于K ,连接PK 交OC 于H .∵OP =OK ,∠POK =60°,∴△OPK 是等边三角形,∵PD ∥OA ,∴∠AOP=∠OPD=90°,∴∠POH+∠AOC=90°,∵∠AOC=60°,∴∠POH=30°,∴PH=12OP=1,OH=3PH=3,∴PC=2222PH CH1(13)523+=++=+,∵AD=2PC,∴AD2=4(5+23)=20+83.如图④中,当PA∥OA时,作PK⊥OB于K,同法可得:PC2=12+(3﹣1)2=5﹣23,AD2=4PC2=20﹣83.③由题意1≤PC≤3,∴在旋转过程中,点C到PD所在直线的距离d的取值范围为1≤d≤3.【点睛】本题属于圆综合题,考查了切线的性质,相似三角形的判定和性质,旋转变换,勾股定理,等边三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题.7.如图,已知AB是⊙O的直径,BC是弦,弦BD平分∠ABC交AC于F,弦DE⊥AB于H,交AC于G.①求证:AG=GD;②当∠ABC满足什么条件时,△DFG是等边三角形?③若AB=10,sin∠ABD=35,求BC的长.【答案】(1)证明见解析;(2)当∠ABC=60°时,△DFG是等边三角形.理由见解析;(3)BC的长为145.【解析】【分析】(1)首先连接AD,由DE⊥AB,AB是O的直径,根据垂径定理,即可得到AD AE=,然后根据在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,证得∠ADE=∠ABD,又由弦BD平分∠ABC,可得∠DBC=∠ABD,根据等角对等边的性质,即可证得AG=GD;(2)当∠ABC=60°时,△DFG是等边三角形,根据半圆(或直径)所对的圆周角是直角与三角形的外角的性质,易求得∠DGF=∠DFG=60°,即可证得结论;(3)利用三角函数先求出tan∠ABD34=,cos∠ABD=45,再求出DF、BF,然后即可求出BC.【详解】(1)证明:连接AD,∵DE⊥AB,AB是⊙O的直径,∴AD AE=,∴∠ADE=∠ABD,∵弦BD平分∠ABC,∴∠DBC=∠ABD,∵∠DBC=∠DAC,∴∠ADE=∠DAC,∴AG=GD;(2)解:当∠ABC=60°时,△DFG是等边三角形.理由:∵弦BD平分∠ABC,∴∠DBC=∠ABD=30°,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠CAB=90°﹣∠ABC=30°,∴∠DFG=∠FAB+∠DBA=60°,∵DE⊥AB,∴∠DGF=∠AGH=90°﹣∠CAB=60°,∴△DGF是等边三角形;(3)解:∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=∠ACB=90°,∵∠DAC=∠DBC=∠ABD,∵AB=10,sin∠ABD=35,∴在Rt△ABD中,AD=AB•sin∠ABD=6,∴BD8,∴tan ∠ABD =34AD BD =,cos ∠ABD =4=5BD AB , 在Rt △ADF 中,DF =AD•tan ∠DAF =AD•tan ∠ABD =6×34=92, ∴BF =BD ﹣DF =8﹣92=72, ∴在Rt △BCF 中,BC =BF•cos ∠DBC =BF•cos ∠ABD =72×45=145. ∴BC 的长为:145.【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、直角三角形的性质、三角函数的性质以及勾股定理等知识.此题综合性较强,难度较大,解题的关键是掌握数形结合思想与转化思想的应用,注意辅助线的作法.8.如图,已知AB 是⊙O 的直径,直线CD 与⊙O 相切于C 点,AC 平分∠DAB . (1)求证:AD ⊥CD ;(2)若AD =2,AC=6,求⊙O 的半径R 的长.【答案】(1)证明见解析(2)32【解析】试题分析:(1)连接OC ,由题意得OC ⊥CD .又因为AC 平分∠DAB ,则∠1=∠2=12∠DAB .即可得出AD ∥OC ,则AD ⊥CD ; (2)连接BC ,则∠ACB =90°,可证明△ADC ∽△ACB .则2AD AC AC R =,从而求得R . 试题解析:(1)证明:连接OC ,∵直线CD 与⊙O 相切于C 点,AB 是⊙O 的直径,∴OC ⊥CD .又∵AC 平分∠DAB ,∴∠1=∠2=12∠DAB . 又∠COB =2∠1=∠DAB ,∴AD ∥OC ,∴AD ⊥CD .(2)连接BC ,则∠ACB =90°,在△ADC 和△ACB 中∵∠1=∠2,∠3=∠ACB =90°,∴△ADC ∽△ACB .∴2AD AC AC R= ∴R =2322AC AD =9.如图1,⊙O 的直径AB =12,P 是弦BC 上一动点(与点B ,C 不重合),∠ABC =30°,过点P 作PD ⊥OP 交⊙O 于点D .(1)如图2,当PD ∥AB 时,求PD 的长;(2)如图3,当弧DC =弧AC 时,延长AB 至点E ,使BE =12AB ,连接DE . ①求证:DE 是⊙O 的切线;②求PC 的长.【答案】(1)6;(2)①证明见解析;33.【解析】试题分析:(1)根据题意首先得出半径长,再利用锐角三角三角函数关系得出OP ,PD 的长;(2)①首先得出△OBD是等边三角形,进而得出∠ODE=∠OFB=90°,求出答案即可;②首先求出CF的长,进而利用直角三角形的性质得出PF的长,进而得出答案.试题解析:(1)如图2,连接OD,∵OP⊥PD,PD∥AB,∴∠POB=90°,∵⊙O的直径AB=12,∴OB=OD=6,在Rt△POB中,∠ABC=30°,∴OP=OB•tan30°=6×=2,在Rt△POD中,PD===;(2)①如图3,连接OD,交CB于点F,连接BD,∵,∴∠DBC=∠ABC=30°,∴∠ABD=60°,∵OB=OD,∴△OBD是等边三角形,∴OD⊥FB,∵BE=AB,∴OB=BE,∴BF∥ED,∴∠ODE=∠OFB=90°,∴DE是⊙O的切线;②由①知,OD⊥BC,∴CF=FB=OB•cos30°=6×=3,在Rt△POD中,OF=DF,∴PF=DO=3(直角三角形斜边上的中线,等于斜边的一半),∴CP=CF﹣PF=3﹣3.考点:圆的综合题10.如图,已知四边形ABCD内接于⊙O,点E在CB的延长线上,连结AC、AE,∠ACB=∠BAE=45°.(1)求证:AE是⊙O的切线;(2)若AB=AD,AC=32,tan∠ADC=3,求BE的长.【答案】(1)证明见解析;(2)52 BE=【解析】试题分析:(1)连接OA、OB,由圆周角定理得出∠AOB=2∠ACB=90°,由等腰直角三角形的性质得出∠OAB=∠OBA=45°,求出∠OAE=∠OAB+∠BAE=90°,即可得出结论;(2)过点A作AF⊥CD于点F,由AB=AD,得到∠ACD=∠ACB=45°,在Rt△AFC中可求得AF =3,在Rt△AFD中求得DF=1,所以AB=AD=10,CD= CF+DF=4,再证明△ABE∽△CDA,得出BE ABDA CD=,即可求出BE的长度;试题解析:(1)证明:连结OA,OB,∵∠ACB=45°,∴∠AOB=2∠ACB= 90°,∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA=45°,∵∠BAE=45°,∴∠OAE=∠OAB+∠BAE=90°,∴OA⊥AE.∵点A在⊙O上,∴AE是⊙O的切线.(2)解:过点A 作AF ⊥CD 于点F ,则∠AFC =∠AFD =90°. ∵AB=AD ,∴AB =AD∴∠ACD =∠ACB =45°,在Rt △AFC 中,∵AC =32,∠ACF =45°, ∴AF=CF=AC ·sin ∠ACF =3,∵在Rt △AFD 中, tan ∠ADC=3AF DF =, ∴DF =1,∴223110AB AD ==+=,且CD = CF +DF =4,∵四边形ABCD 内接于⊙O ,∴∠ABE =∠CDA ,∵∠BAE =∠DCA ,∴△ABE ∽△CDA ,∴BE AB DA CD =, ∴1010=, ∴52BE =.。
中考专题复习圆的综合题(含答案)
中考专题复习圆的综合题1.如图,△ABC 中,以BC 为直径的圆交AB 于点D ,∠ACD =∠ABC . (1)求证:CA 是圆的切线;(2)若点E 是BC 上一点,已知BE =6,tan ∠ABC =32,tan ∠AEC =35,求圆的直径.2. 如图右,已知直线PA 交⊙0于A 、B 两点,AE 是⊙0的直径.点C 为⊙0上一点,且AC 平分∠PAE ,过C 作CD ⊥PA ,垂足为D 。
(1)求证:CD 为⊙0的切线;(2)若DC+DA=6,⊙0的直径为l0,求AB 的长度.3.(已知四边形ABCD是边长为4的正方形,以AB为直径在正方形内作半圆,P是半圆上的动点(不与点A、B重合),连接PA、PB、PC、PD.(1)如图①,当PA的长度等于▲时,∠PAB=60°;当PA的长度等于▲时,△PAD是等腰三角形;(2)如图②,以AB边所在直线为x轴、AD边所在直线为y轴,建立如图所示的直角坐标系(点A即为原点O),把△PAD、△PAB、△PBC的面积分别记为S1、S2、S3.坐标为(a,b),试求2 S1 S3-S22的最大值,并求出此时a,b的值.4、5.如图,BD是⊙O的直径,OA⊥OB,M是劣弧AB⌒上一点,过点M点作⊙O的切线MP交OA的延长线于P点,MD与OA交于N点.(1)求证:PM=PN;(2)若BD=4,PA=32AO,过点B作BC∥MP交⊙O于C点,求BC的长.6.(如图,点P为△ABC的内心,延长AP交△ABC的外接圆于D,在AC延长线上有一点E,满足AD2=AB·AE,求证:DE是⊙O的切线.7.如图,以线段AB 为直径的⊙O 交线段AC 于点E ,点M 是AE 的中点,OM 交AC 于点D ,60BOE ∠=°,1cos 2C =,23BC =. (1)求A ∠的度数;(2)求证:BC 是⊙O 的切线;(3)求MD 的长度.8.如图,已知AB 是⊙O 的直径,点C 在⊙O 上,过点C 的直线与AB 的延长线交于点P ,AC=PC ,∠COB=2∠PCB.(1)求证:PC 是⊙O 的切线; (2)求证:BC=21AB ;(3)点M 是弧AB 的中点,CM 交AB 于点N ,若AB=4,求MN ·MC 的值.OB A CEM D9.(本小题满分10分)如图,⊙O是Rt△ABC的外接圆,AB为直径,∠ABC=30°,CD是⊙O的切线,ED⊥AB 于F,(1)判断△DCE的形状;(2)设⊙O的半径为1,且OF=213-,求证△DCE≌△OCB.10、如图14,直线AB经过O上的点C,并且OA OB=,CA CB=,O交直线OB于E D,,连接EC CD,.(1)求证:直线AB是O的切线;(2)试猜想BC BD BE,,三者之间的等量关系,并加以证明;(3)若1tan2CED∠=,O的半径为3,求OA的长.ABDEOFC中考专题复习圆的综合题(答案)1.如图,△ABC 中,以BC 为直径的圆交AB 于点D ,∠ACD =∠ABC . (1)求证:CA 是圆的切线;(2)若点E 是BC 上一点,已知BE =6,tan ∠ABC =32,tan ∠AEC =35,求圆的直径.2. 如图右,已知直线PA 交⊙0于A 、B 两点,AE 是⊙0的直径.点C 为⊙0上一点,且AC 平分∠PAE ,过C 作CD ⊥PA ,垂足为D 。
中考数学专题题库∶圆的综合的综合题及详细答案
中考数学专题题库∶圆的综合的综合题及详细答案一、圆的综合1.如图,四边形OABC 是平行四边形,以O 为圆心,OA 为半径的圆交AB 于D ,延长AO 交O 于E ,连接CD ,CE ,若CE 是⊙O 的切线,解答下列问题:(1)求证:CD 是⊙O 的切线;(2)若BC=4,CD=6,求平行四边形OABC 的面积.【答案】(1)证明见解析(2)24【解析】试题分析:(1)连接OD ,求出∠EOC=∠DOC ,根据SAS 推出△EOC ≌△DOC ,推出∠ODC=∠OEC=90°,根据切线的判定推出即可;(2)根据切线长定理求出CE=CD=4,根据平行四边形性质求出OA=OD=4,根据平行四边形的面积公式=2△COD 的面积即可求解.试题解析:(1)证明:连接OD ,∵OD=OA ,∴∠ODA=∠A ,∵四边形OABC 是平行四边形,∴OC ∥AB ,∴∠EOC=∠A ,∠COD=∠ODA ,∴∠EOC=∠DOC ,在△EOC 和△DOC 中,OE OD EOC DOC OC OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EOC ≌△DOC (SAS ),∴∠ODC=∠OEC=90°,即OD ⊥DC ,∴CD 是⊙O 的切线;(2)由(1)知CD 是圆O 的切线,∴△CDO 为直角三角形,∵S △CDO =12CD•OD , 又∵OA=BC=OD=4,∴S△CDO=12×6×4=12,∴平行四边形OABC的面积S=2S△CDO=24.2.如图,点A、B、C分别是⊙O上的点, CD是⊙O的直径,P是CD延长线上的一点,AP=AC.(1)若∠B=60°,求证:AP是⊙O的切线;(2)若点B是弧CD的中点,AB交CD于点E,CD=4,求BE·AB的值.【答案】(1)证明见解析;(2)8.【解析】(1)求出∠ADC的度数,求出∠P、∠ACO、∠OAC度数,求出∠OAP=90°,根据切线判定推出即可;(2)求出BD长,求出△DBE和△ABD相似,得出比例式,代入即可求出答案.试题解析:连接AD,OA,∵∠ADC=∠B,∠B=60°,∴∠ADC=60°,∵CD是直径,∴∠DAC=90°,∴∠ACO=180°-90°-60°=30°,∵AP=AC,OA=OC,∴∠OAC=∠ACD=30°,∠P=∠ACD=30°,∴∠OAP=180°-30°-30°-30°=90°,即OA⊥AP,∵OA为半径,∴AP是⊙O切线.(2)连接AD,BD,∵CD是直径,∴∠DBC=90°,∵CD=4,B为弧CD中点,∴BD=BC=,∴∠BDC=∠BCD=45°,∴∠DAB=∠DCB=45°,即∠BDE=∠DAB,∵∠DBE=∠DBA,∴△DBE∽△ABD,∴,∴BE•AB=BD•BD=.考点:1.切线的判定;2.相似三角形的判定与性质.3.如图,已知△ABC中,AC=BC,以BC为直径的⊙O交AB于E,过点E作EG⊥AC于G,交BC的延长线于F.(1)求证:AE=BE;(2)求证:FE是⊙O的切线;(3)若FE=4,FC=2,求⊙O的半径及CG的长.【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3).【解析】(1)证明:连接CE,如图1所示:∵BC是直径,∴∠BEC=90°,∴CE⊥AB;又∵AC=BC,∴AE=BE.(2)证明:连接OE,如图2所示:∵BE=AE,OB=OC,∴OE是△ABC的中位线,∴OE∥AC,AC=2OE=6.又∵EG⊥AC,∴FE⊥OE,∴FE是⊙O的切线.(3)解:∵EF是⊙O的切线,∴FE2=FC•FB.设FC=x,则有2FB=16,∴FB=8,∴BC=FB﹣FC=8﹣2=6,∴OB=OC=3,即⊙O的半径为3;∴OE=3.∵OE∥AC,∴△FCG∽△FOE,∴,即,解得:CG=.点睛:本题利用了等腰三角形三线合一定理,三角形中位线的判定,切割线定理,以及勾股定理,还有平行线分线段成比例定理,切线的判定等知识.4.如图,已知△ABC中,AB=AC,∠A=30°,AB=16,以AB为直径的⊙O与BC边相交于点D,与AC交于点F,过点D作DE⊥AC于点E.(1)求证:DE是⊙O的切线;(2)求CE的长;(3)过点B作BG∥DF,交⊙O于点G,求弧BG的长.【答案】(1)证明见解析(2)33)4π【解析】【分析】(1)如图1,连接AD,OD,由AB为⊙O的直径,可得AD⊥BC,再根据AB=AC,可得BD=DC,再根据OA=OB,则可得OD∥AC,继而可得DE⊥OD,问题得证;(2)如图2,连接BF,根据已知可推导得出DE=12BF,CE=EF,根据∠A=30°,AB=16,可得BF=8,继而得DE=4,由DE为⊙O的切线,可得ED2=EF•AE,即42=CE•(16﹣CE),继而可求得CE长;(3)如图3,连接OG,连接AD,由BG∥DF,可得∠CBG=∠CDF=30°,再根据AB=AC,可推导得出∠OBG=45°,由OG=OB,可得∠OGB=45°,从而可得∠BOG=90°,根据弧长公式即可求得»BG的长度.【详解】(1)如图1,连接AD,OD;∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=90°,即AD⊥BC,∵AB=AC ,∴BD=DC ,∵OA=OB ,∴OD ∥AC ,∵DE ⊥AC ,∴DE ⊥OD ,∴∠ODE=∠DEA=90°,∴DE 为⊙O 的切线;(2)如图2,连接BF ,∵AB 为⊙O 的直径,∴∠AFB=90°,∴BF ∥DE ,∵CD=BD ,∴DE=12BF ,CE=EF , ∵∠A=30°,AB=16,∴BF=8,∴DE=4,∵DE 为⊙O 的切线,∴ED 2=EF•AE , ∴42=CE•(16﹣CE ),∴CE=8﹣43,CE=8+43(不合题意舍去);(3)如图3,连接OG ,连接AD ,∵BG ∥DF ,∴∠CBG=∠CDF=30°,∵AB=AC ,∴∠ABC=∠C=75°,∴∠OBG=75°﹣30°=45°,∵OG=OB ,∴∠OGB=∠OBG=45°,∴∠BOG=90°,∴»BG 的长度=908180π⨯⨯=4π.【点睛】本题考查了圆的综合题,涉及了切线的判定、三角形中位线定理、圆周角定理、弧长公式等,正确添加辅助线、熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键.5.已知O e 的半径为5,弦AB 的长度为m ,点C 是弦AB 所对优弧上的一动点. ()1如图①,若m 5=,则C ∠的度数为______o ;()2如图②,若m 6=.①求C ∠的正切值;②若ABC V 为等腰三角形,求ABC V 面积.【答案】()130;()2C ∠①的正切值为34;ABC S 27=V ②或43225. 【解析】【分析】 ()1连接OA ,OB ,判断出AOB V 是等边三角形,即可得出结论;()2①先求出10AD =,再用勾股定理求出8BD =,进而求出tan ADB ∠,即可得出结论;②分三种情况,利用等腰三角形的性质和垂径定理以及勾股定理即可得出结论.【详解】()1如图1,连接OB ,OA ,OB OC 5∴==,AB m 5==Q ,OB OC AB ∴==,AOB ∴V 是等边三角形,AOB 60∠∴=o , 1ACB AOB 302∠∠∴==o , 故答案为30;()2①如图2,连接AO 并延长交O e 于D ,连接BD ,AD Q 为O e 的直径,AD 10∴=,ABD 90∠=o ,在Rt ABD V 中,AB m 6==,根据勾股定理得,BD 8=,AB 3tan ADB BD 4∠∴==, C ADB ∠∠=Q ,C ∠∴的正切值为34; ②Ⅰ、当AC BC =时,如图3,连接CO 并延长交AB 于E ,AC BC =Q ,AO BO =,CE ∴为AB 的垂直平分线,AE BE 3∴==,在Rt AEO V 中,OA 5=,根据勾股定理得,OE 4=,CE OE OC 9∴=+=,ABC 11S AB CE 692722∴=⨯=⨯⨯=V ; Ⅱ、当AC AB 6==时,如图4,连接OA 交BC 于F ,AC AB =Q ,OC OB =,AO ∴是BC 的垂直平分线,过点O 作OG AB ⊥于G , 1AOG AOB 2∠∠∴=,1AG AB 32==, AOB 2ACB ∠∠=Q ,ACF AOG ∠∠∴=,在Rt AOG V 中,AG 3sin AOG AC 5∠==, 3sin ACF 5∠∴=, 在Rt ACF V 中,3sin ACF 5∠=, 318AF AC 55∴==, 24CF 5∴=, ABC 111824432S AF BC 225525∴=⨯=⨯⨯=V ; Ⅲ、当BA BC 6==时,如图5,由对称性知,ABC 432S 25=V .【点睛】圆的综合题,主要圆的性质,圆周角定理,垂径定理,等腰三角形的性质,三角形的面积公式,用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键.6.如图,AB 为O e 的直径,弦//CD AB ,E 是AB 延长线上一点,CDB ADE ∠=∠. ()1DE 是O e 的切线吗?请说明理由;()2求证:2AC CD BE =⋅.【答案】(1)结论:DE 是O e 的切线,理由见解析;(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)连接OD ,只要证明OD DE ⊥即可;(2)只要证明:AC BD =,CDB DBE V V ∽即可解决问题.【详解】()1解:结论:DE 是O e 的切线.理由:连接OD .CDB ADE ∠=∠Q ,ADC EDB ∴∠=∠,//CD AB Q ,CDA DAB ∴∠=∠,OA OD =Q ,OAD ODA ∴∠=∠,ADO EDB ∴∠=∠,AB Q 是直径,90ADB ∴∠=o ,90ADB ODE ∴∠=∠=o ,DE OD ∴⊥,DE ∴是O e 的切线.()2//CD AB Q ,ADC DAB ∴∠=∠,CDB DBE ∠=∠,n n,∴=AC BD∴=,AC BDQ,EDB DAB∠=∠DCB DAB∠=∠,∴∠=∠,EDB DCB∴V∽DBECDBV,CD DB∴=,BD BE2∴=⋅,BD CD BE2∴=⋅.AC CD BE【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,准确寻找相似三角形解决问题,属于中考常考题型.7.如图,点P是正方形ABCD内的一点,连接PA,PB,PC.将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P'CB的位置.(1)设AB的长为a,PB的长为b(b<a),求△PAB旋转到△P'CB的过程中边PA所扫过区域(图中阴影部分)的面积;(2)若PA=2,PB=4,∠APB=135°,求PC的长.【答案】(1) S阴影=(a2-b2);(2)PC=6.【解析】试题分析:(1)依题意,将△P′CB逆时针旋转90°可与△PAB重合,此时阴影部分面积=扇形BAC的面积-扇形BPP'的面积,根据旋转的性质可知,两个扇形的中心角都是90°,可据此求出阴影部分的面积.(2)连接PP',根据旋转的性质可知:BP=BP',旋转角∠PBP'=90°,则△PBP'是等腰直角三角形,∠BP'C=∠BPA=135°,∠PP'C=∠BP'C-∠BP'P=135°-45°=90°,可推出△PP'C是直角三角形,进而可根据勾股定理求出PC的长.试题解析:(1)∵将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置,∴△PAB≌△P'CB,∴S△PAB=S△P'CB,S阴影=S扇形BAC-S扇形BPP′=(a2-b2);(2)连接PP′,根据旋转的性质可知:△APB≌△CP′B,∴BP=BP′=4,P′C=PA=2,∠PBP′=90°,∴△PBP'是等腰直角三角形,P'P2=PB2+P'B2=32;又∵∠BP′C=∠BPA=135°,∴∠PP′C=∠BP′C-∠BP′P=135°-45°=90°,即△PP′C是直角三角形.PC==6.考点:1.扇形面积的计算;2.正方形的性质;3.旋转的性质.8.如图,已知AB是⊙O的直径,点C为圆上一点,点D在OC的延长线上,连接DA,交BC的延长线于点E,使得∠DAC=∠B.(1)求证:DA是⊙O切线;(2)求证:△CED∽△ACD;(3)若OA=1,sinD=13,求AE的长.【答案】(1)证明见解析;(22【解析】分析:(1)由圆周角定理和已知条件求出AD⊥AB即可证明DA是⊙O切线;(2)由∠DAC=∠DCE,∠D=∠D可知△DEC∽△DCA;(3)由题意可知AO=1,OD=3,DC=2,由勾股定理可知AD=2,故此可得到DC2=DE•AD,故此可求得DE的长,于是可求得AE的长.详解:(1)∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠CAB+∠B=90°.∵∠DAC=∠B,∴∠CAB+∠DAC=90°,∴AD⊥AB.∵OA是⊙O半径,∴DA为⊙O的切线;(2)∵OB=OC,∴∠OCB=∠B.∵∠DCE=∠OCB,∴∠DCE=∠B.∵∠DAC =∠B ,∴∠DAC =∠DCE .∵∠D =∠D ,∴△CED ∽△ACD ;(3)在Rt △AOD 中,OA =1,sin D =13,∴OD =OA sinD =3,∴CD =OD ﹣OC =2. ∵AD =22OD OA -=22. 又∵△CED ∽△ACD ,∴AD CD CD DE =,∴DE =2CD AD=2, ∴AE =AD ﹣DE =22﹣2=2.点睛:本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、勾股定理的应用、相似三角形的性质和判定,证得△DEC ∽△DCA 是解题的关键.9.如图,已知⊙O 的半径为1,PQ 是⊙O 的直径,n 个相同的正三角形沿PQ 排成一列,所有正三角形都关于PQ 对称,其中第一个△A 1B 1C 1的顶点A 1与点P 重合,第二个△A 2B 2C 2的顶点A 2是B 1C 1与PQ 的交点,…,最后一个△A n B n C n 的顶点B n 、C n 在圆上.如图1,当n=1时,正三角形的边长a 1=_____;如图2,当n=2时,正三角形的边长a 2=_____;如图3,正三角形的边长a n =_____(用含n 的代数式表示).38313 24313n+ 【解析】 分析:(1)设PQ 与11B C 交于点D ,连接1B O ,得出OD=1A D -O 1A ,用含1a 的代数式表示OD ,在△O 1B D 中,根据勾股定理求出正三角形的边长1a ;(2)设PQ 与2B 2C 交于点E ,连接2B O ,得出OE=1A E-O 1A ,用含2a 的代数式表示OE ,在△O 2B E 中,根据勾股定理求出正三角形的边长2a ;(3)设PQ 与n B n C 交于点F ,连接n B O ,得出OF=1A F-O 1A ,用含an 的代数式表示OF ,在△O n B F 中,根据勾股定理求出正三角形的边长an . 本题解析:(1)易知△A 1B 1C 1的高为323 ∴a 13.(2)设△A 1B 1C 1的高为h ,则A 2O =1-h ,连结B 2O ,设B 2C 2与PQ 交于点F ,则有OF =2h -1.∵B 2O 2=OF 2+B 2F 2,∴1=(2h -1)2+2212a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ . ∵h =32a 2,∴1=(3a 2-1)2+14a 22, 解得a 2=8313. (3)同(2),连结B n O ,设B n C n 与PQ 交于点F ,则有B n O 2=OF 2+B n F 2, 即1=(nh -1)2+212n a ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∵h =3 a n ,∴1=14a n 2+2312n na ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭, 解得a n =43n .10.如图,一条公路的转弯处是一段圆弧»().AB ()1用直尺和圆规作出»AB 所在圆的圆心O ;(要求保留作图痕迹,不写作法) ()2若»AB 的中点C 到弦AB 的距离为2080m AB m =,,求»AB 所在圆的半径.【答案】(1)见解析;(2)50m【解析】分析:()1连结AC 、BC ,分别作AC 和BC 的垂直平分线,两垂直平分线的交点为点O ,如图1;()2连接OA OC OC ,,交AB 于D ,如图2,根据垂径定理的推论,由C 为»AB的中点得到1OC AB AD BD AB 402⊥===,,则CD 20=,设O e 的半径为r ,在Rt OAD V 中利用勾股定理得到222r (r 20)40=-+,然后解方程即可.详解:()1如图1,点O 为所求;()2连接OA OC OC ,,交AB 于D ,如图2,C Q 为»AB 的中点,OC AB ∴⊥, 1402AD BD AB ∴===, 设O e 的半径为r ,则20OA r OD OD CD r ==-=-,,在Rt OAD V 中,222OA OD AD =+Q ,222(20)40r r ∴=-+,解得50r =,即»AB 所在圆的半径是50m .点睛:本题考查了垂径定理及勾股定理的应用,在利用数学知识解决实际问题时,要善于把实际问题与数学中的理论知识联系起来,能将生活中的问题抽象为数学问题.11.如图,正三角形ABC 内接于⊙O ,P 是BC 上的一点,且PB <PC ,PA 交BC 于E ,点F 是PC 延长线上的点,CF=PB ,AB=13,PA=4.(1)求证:△ABP ≌△ACF ;(2)求证:AC 2=PA•AE ;(3)求PB 和PC 的长.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)PB=1,PC=3.【解析】试题分析:(1)先根据等边三角形的性质得到AB=AC ,再利用圆的内接四边形的性质得∠ACF=∠ABP ,于是可根据“SAS”判断△ABP ≌△ACF ;(2)先根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=60°,再根据圆周角定理得∠APC=∠ABB=60°,加上∠CAE=∠PAC ,于是可判断△ACE ∽△APC ,然后利用相似比即可得到结论;(3)先利用AC 2=PA•AE 计算出AE=134 ,则PE=AP-AE=34,再证△APF 为等边三角形,得到PF=PA=4,则有PC+PB=4,接着证明△ABP ∽△CEP ,得到PB•PC=PE•A=3,然后根据根与系数的关系,可把PB 和PC 看作方程x 2-4x+3=0的两实数解,再解此方程即可得到PB 和PC 的长.试题解析:(1)∵∠ACP+∠ABP=180°,又∠ACP+∠ACF=180°,∴∠ABP=∠ACF在ABP ∆和ACF ∆中,∵AB=AC ,∠ABP=∠ACF , CF PB =∴ABP ∆≌ACF ∆.(2)在AEC ∆和ACP ∆中,∵∠APC=∠ABC ,而ABC ∆是等边三角形,故∠ACB=∠ABC=60º,∴∠ACE =∠APC .又∠CAE =∠PAC ,∴AEC ∆∽ACP ∆ ∴AC AE AP AC=,即2AC PA AE =⋅. 由(1)知ABP ∆≌ACF ∆,∴∠BAP=∠CAF , CF PB =∴∠BAP+∠PAC=∠CAF+∠PAC∴∠PAF=∠BAC=60°,又∠APC =∠ABC =60°.∴APF ∆是等边三角形∴AP=PF∴4PB PC PC CF PF PA +=+===在PAB ∆与CEP ∆中,∵∠BAP=∠ECP ,又∠APB=∠EPC=60°,∴PAB ∆∽CEP ∆ ∴PB PA PE PC=,即PB PC PA PE ⋅=⋅由(2)2AC PA AE =⋅,∴()22AC PB PC PA AE PA PE PA AE PE PA +⋅=⋅+⋅=+= ∴()22AC PB PC PA AE PA PE PA AE PE PA +⋅=⋅+⋅=+= ∴()2222224133PB PC PA AC PA AB ⋅=-=-=-=因此PB 和PC 的长是方程2430x x --=的解.解这个方程,得11x =, 23x =.∵PB<PB ,∴PB=11x =,PC=23x =,∴PB 和PC 的长分别是1和3。
人教版数学九年级初三上册 中考复习圆的综合题 名师教学教案 教学设计反思
《中考复习圆的综合题》微课敎學设计玉州区名山中学庞业献敎學过程∠B.(1)求证:AC是⊙O的切线;(2)点E是AB上一点,若∠BCE=∠B,tan∠B= ,⊙O的半径是4,求EC 的长.(1)证明:∵AB是直径,∴∠ADB=90°,∴∠B+∠BAD=90°,∵∠DAC=∠B,∴∠DAC+∠BAD=90°,∴∠BAC=90°,∴BA⊥AC,∴AC是⊙O的切线.(2)解:∵∠BCE=∠B,∴EC=EB,设EC=EB=x,在Rt△ABC中,tan∠B==,AB=8,∴AC=4,在Rt△AEC中,∵EC2=AE2+AC2,∴x2=(8﹣x)2+42,解得x=5,∴CE=5.四、玉林中考23题总结满分技法1.解有关切线问题的基本思路:抓“相切”,连接圆心与切点2.证明切线的方法:①若已知直线与圆的公共点,则连接圆心与公共点,证出所连半径垂直于已知直线即可.即“连半径,证垂线”;②若未给出直线与圆的公共点,则过圆心作已知直线的垂线段,证出所作垂线段的长度与圆的半径相等即可,即“作垂直,证半径”3.证明两角相等的方法①在两个直角三角形中通过同角或等角的余角相等来证明②利用半径相等,转化到等腰三角形中利用等边对等角来证明4.证明两线段相等的方法:敎學过程①若所证两线段相连不共线,则可以考虑将两条线段放到一个三角形中,利用等腰或等边三角形等角对等边来证明;②若所证两线段相连共线,则可以考虑等腰三角形三线合一或直角三角形斜边上的中线等于斜边的半来证明;③若所证两线段平行,则可以考虑特殊四边形对边相等来证明5.求线段长时②题干中出现三角函数时,一般考虑用三角函数解题;②若题于中不含三角函数,一般考虑用相似三角形或勾股定理解题。
五、玉林中考23题练习(2019.玉林)如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,以AB为直径作⊙O 分别交于AC,BC于点D,E,过点E作⊙O的切线EF交AC于点F,连接BD.(1)求证:EF是△CDB的中位线;(2)求EF的长.敎學过程让学生先做后点评。
初中数学专题训练《圆》的综合练习题及解析
专题62 圆的综合(1)【典例分析】例1、如图,AB为⊙O的直径,BC、CD是⊙O的切线,切点分别为点B、D,点E为线段OB上的一个动点,连接OD,CE,DE,已知AB=2√5,BC=2,当CE+DE的值最小时,则CEDE的值为()A. 910B. 23C. √53D. 2√55【答案】A【解析】【试题解析】解:延长CB到F使得BC=CF,则C与F关于OB对称,连接DF与OB相交于点E,此时CE+DE=DF值最小,连接OC,BD,两线相交于点G,过D作DH⊥OB于H,则OC⊥BD,OC=√OB2+BC2=√5+4=3,∵CB⊥OB,∠COB=∠BOGΔCOB∽ΔBOG∴OBOC =BGBC∴OB⋅BC=OC⋅BG,∴BG=23√5,∴BD=2BG=43√5,∵OD2−OH2=DH2=BD2−BH2,∴5−(√5−BH)2=(43√5)2−BH2,∴BH=89√5,∴DH=√BD2−BH2=209,∵DH//BF,∴EFED =BFDH=2209=910,∴CEDE =910,故选:A.延长CB到F使得BC=CF,则C与F关于OB对称,连接DF与OB相交于点E,此时CE+ DE=DF值最小,连接OC,BD,两线相交于点G,过D作DH⊥OB于H,先求得BG,再求BH,进而DH,运用相似三角形得EFDE =BFDH,便可得解.本题是圆的综合题,主要考查了切线长定理,切线的性质,相似三角形的性质与判定,勾股定理,将军饮马问题,问题较复杂,作的辅助线较多,正确作辅助线是解决问题的关键.例2、如图,在平面直角坐标系中,已知C(3,4),以点C为圆心的圆与y轴相切.点A、B在x轴上,且OA=OB.点P为⊙C上的动点,∠APB=90°,则AB长度的最大值为______.【答案】16【解析】【分析】本题考查了切线的性质,坐标和图形的性质,圆周角定理,找到OP的最大值是解题的关键.连接OC并延长,交⊙C上一点P,以O为圆心,以OP为半径作⊙O,交x轴于A、B,此时AB的长度最大,根据勾股定理和题意求得OP=8,则AB的最大长度为16.【解答】解:连接OC并延长,交⊙C上一点P,以O为圆心,以OP为半径作⊙O,交x轴于A、B,此时AB的长度最大,∵C(3,4),∴OC=√32+42=5,∵以点C为圆心的圆与y轴相切.∴⊙C的半径为3,∴OP=OA=OB=8,∵∠APB=90°,∴AB是直径,∴AB长度的最大值为16,故答案为16.例3、如图,四边形ABCD中,AB=AD=CD,以AB为直径的⊙O经过点C,连接AC、OD交于点E.(1)证明:OD//BC;(2)若tan∠ABC=2,证明:DA与⊙O相切;(3)在(2)条件下,连接BD交⊙O于点F,连接EF,若BC=1,求EF的长.【答案】解:(1)连接OC,在△OAD和△OCD中,∵{OA=OC AD=CD OD=OD,∴△OAD≌△OCD(SSS),∴∠ADO=∠CDO,又AD=CD,∴DE⊥AC,∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°,即BC⊥AC,∴OD//BC;(2)∵tan∠ABC=ACBC=2,∴设BC=a、则AC=2a,∴AD=AB=√AC2+BC2=√5a,∵OE//BC,且AO=BO,∴OE=12BC=12a,OA=12AB=√5a2,AE=CE=12AC=a,在△AED中,DE=2−AE2=2a,在△AOD中,AO2+AD2=(√5a2)2+(√5a)2=254a2,OD2=(OE+DE)2=(12a+2a)2=254a2,∴AO2+AD2=OD2,∴∠OAD=90°,则DA与⊙O相切;(3)连接AF,∵AB是⊙O的直径,∴∠AFD=∠BAD=90°,∵∠ADF=∠BDA,∴△AFD∽△BAD,∴DFAD =ADBD,即DF⋅BD=AD2①,又∵∠AED=∠OAD=90°,∠ADE=∠ODA,∴△AED∽△OAD,∴ADOD =DEAD,即OD⋅DE=AD2②,由①②可得DF⋅BD=OD⋅DE,即DFOD =DEBD,又∵∠EDF=∠BDO,∴△EDF∽△BDO , ∵BC =1,∴AB =AD =√5、OD =52、ED =2、BD =√10、OB =√52,∴EF OB =DEBD ,即√52=√10,解得:EF =√22.【解析】本题主要考查圆的综合问题,解题的关键是掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理逆定理等知识点.(1)连接OC ,证△OAD≌△OCD 得∠ADO =∠CDO ,由AD =CD 知DE ⊥AC ,再由AB 为直径知BC ⊥AC ,从而得OD//BC ;(2)根据tan∠ABC =2可设BC =a 、则AC =2a 、AD =AB =√AC 2+BC 2=√5a ,证OE 为中位线知OE =12a 、OA =12AB =√5a2、AE =CE =12AC =a ,进一步求得DE =√AD 2−AE 2=2a ,再在△AOD 中利用勾股定理逆定理证∠OAD =90°即可得;(3)先证△AFD∽△BAD 得DF ⋅BD =AD 2 ①,再证△AED∽△OAD 得OD ⋅DE =AD 2②,由①②得DF ⋅BD =OD ⋅DE ,即DFOD =DEBD ,结合∠EDF =∠BDO 知△EDF∽△BDO ,据此可得EFOB=DEBD ,结合(2)可得相关线段的长,代入计算可得.【好题演练】一、选择题1. 如图,在平面直角坐标系中,⊙O 的半径为1,且与y 轴交于点B ,过点B 作直线BC 平行于x 轴,点M(a,1)在直线BC 上,若在⊙O 上存在点N ,使得∠OMN =45°,则a 的取值范围是( )A. −1≤a ≤1B. −12≤a ≤12 C. −√2≤a ≤√2D. −√22≤a≤√22【答案】A【解析】解:∵点M(a,1)在直线BC上,∴OB=1,∵BC//x轴,∴BC⊥y轴,∴∠OBM=90°,当BM=OB=1时,△OBM是等腰直角三角形,则∠OMN=45°,此时a=±1;当BM>OB时,∠OMN<45°,∴a的取值范围是−1≤a≤1;故选:A.由题意得出∠OBM=90°,当BM=OB=1时,△OBM是等腰直角三角形,则∠OMN=45°,此时a=±1;当BM>OB时,∠OMN<45°,即可得出结论.本题是圆的综合题目,考查了等腰直角三角形的判定与性质、圆的性质等知识;熟练掌握元的性质和等腰直角三角形的性质是解决问题的关键.2.如图,半径为R的⊙O的弦AC=BD,且AC⊥BD于E,连结AB、AD,若AD=√2,则半径R的长为()A. 1B. √2C. √22D. 12【答案】A【解析】【分析】此题考查了圆周角定理,圆心角、弧与弦的关系、等腰直角三角形的性质等知识,注意数形结合思想的应用.由AC=BD以及圆周角定理,证得∠ABD=∠BAC,即可判定AE=BE,再连接OA,OD,由AE=BE,AC⊥BD,可求得∠ABE=45°,继而可得△AOD是等腰直角三角形,则可求得AD=√2R,得出半径的长.【解答】解:∵AC=BD,AC⏜=BD⏜,∴AD⏜=BC⏜,∴∠ABD=∠BAC,∴AE=BE;连接OA,OD,∵AC⊥BD,AE=BE,∴∠ABE=∠BAE=45°,∴∠AOD=2∠ABE=90°,∵OA=OD=R,∴AD=√2R,∵AD=√2,则R=1,故选A.3.如图,AB是⊙O的直径,点C,D,E在⊙O上,若∠AED=20∘,则∠BCD的度数为()A. 100∘B. 110∘C. 115∘D. 120∘【答案】B【解析】略4.如图,△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4,P是△ABC内部的一个动点,且始终有AP⊥BP,则线段CP的最小值为()A. 8√1313B. 12√1313C. 2D. 32【答案】C【解析】【分析】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识,解题的关键是确定点P位置,学会求圆外一点到圆的最小、最大距离,属于中考常考题型.首先证明点P在以AB为直径的⊙O上,连接OC与⊙O交于点P,此时PC最小,利用勾股定理求出OC即可解决问题.【解答】解:∵∠ABC=90°,∴∠ABP+∠PBC=90°,∵AP⊥BP,∴∠APB=90°,∴OP=OA=OB∴点P在以AB为直径的⊙O上,连接OC交⊙O于点P,此时PC最小,在Rt△BCO中,∵∠OBC=90°,BC=4,OB=3,∴OC=√BO2+BC2=5,∴PC=OC−OP=5−3=2.∴PC最小值为2.故选C.5.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=2,BC=4,P是线段AC上一个动点,连接BP,过C作CD⊥BP于D,交AB于E,连接AD,则下列关于线段AD的说法正确的是()A. 存在最大值,最大值为2√55B. 存在最小值,最小值为2√2−2C. 存在最小值,最小值为1−4√1717D. 存在最大值,但不存在最小值【答案】B【解析】解:∵CD⊥BP,∴∠CDB=90°,∴点D总在以BC为直径的圆上,∵线段AD的长为点A到圆上点D的距离,∴当点D为OA与圆的交点时,线段AD最短,如图,∵∠ACB=90°,AC=2,BC=4,∴OC=2,∴OA=√OC2+CA2=2√2,∴AD=OA−OD=2√2−2,即线段AD存在最小值,最小值为2√2−2.故选B.根据垂线的定义得到∠CDB=90°,根据圆周角定理的推理得点D总在以BC为直径的圆上,所以当点D为OA与圆的交点时,线段AD最短,如图,再根据勾股定理计算出OA,然后利用AD=OA−OD计算即可.本题考查了圆的综合题:熟练掌握圆周角定理和圆外一点到圆上的最大或最小距离;会利用勾股定理计算线段的长.二、填空题6.如图,在⊙O的内接四边形ABCD中,AB=3,AD=5,∠BAD=60∘,点C为BD⏜的中点,则AC的长是.【答案】8√33【解析】【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系,圆内接四边形性质,全等三角形的性质和判定的应用,能正确作出辅助线是解此题的关键.过C作CE⊥AB于E,CF⊥AD于F,得出∠E=∠CFD=∠CFA=90°,证得△AEC≌△AFC,得出CE=CF,根据圆内接四边形性质求出∠D=∠CBE,证△CBE≌△CDF,推出BE=DF,证△AEC≌△AFC,推出AE=AF,设BE=DF=x,得出5=x+3+x,求出x,解直角三角形求出即可.【解答】解:如图,过点C分别作CE⊥AB交AB的延长线于点E,CF⊥AD于点F,则∠E=∠CFD=∠CFA=90∘,∵点C为BD⏜的中点,∴BC⏜=CD⏜,则∠BAC=∠DAC,∵∠BAC=∠DAC,∠E=∠AFC=90∘,AC=AC,∴△AEC≌△AFC,∴CE=CF.∵A,B,C,D四点共圆,∴∠D=∠CBE.在△CBE和△CDF中,∵{∠CBE=∠D,∠E=∠CFD,CE=CF,∴△CBE≌△CDF,∴BE=DF.在△AEC和△AFC中,∵{∠E=∠AFC,∠EAC=∠FAC,AC=AC,∴△AEC≌△AFC,∴AE=AF,设BE=DF=x,∵AB=3,∴AE=AF=x+3,又AD=5,∴5=x+3+x,解得x=1,则AE=4.∵∠BAD=60∘,∴∠EAC=30∘,∴AC=2CE,又AC2=CE2+AE2,∴AC=8√33.7.如图,已知⊙O的半径为1,AB,AC是⊙O的两条弦,且AB=AC,延长BO交AC于点D,连接OA,OC,若AD2=AB⋅DC,则OD=______.【答案】√5−12【解析】解:在△AOB和△AOC中,∵AB=AC,OB=OC,OA=OA,∴△AOB≌△AOC(SSS),∴∠ABO=∠ACO,∵OA=OA,∴∠ACO=∠OAD,∵∠ADO=∠BDA,∴△ADO∽△BDA,∴ADBD =ODAD=AOAB,设OD =x ,则BD =1+x , ∴AD1+x =xAD =1AB , ∴AD =√x(x +1),AB =√x(x+1)x,∵DC =AC −AD =AB −AD ,AD 2=AB ⋅DC , (√x(x +1))2═√x(x+1)x(√x(x+1)x−√x(x +1)),整理得:x 2+x −1=0, 解得:x =−1+√52或x =−1−√52(舍去),因此AD =√5−12, 故答案为:√5−12.可证△AOB≌△AOC ,推出∠ACO =∠ABD ,OA =OC ,∠OAC =∠ACO =∠ABD ,∠ADO =∠ADB ,即可证明△OAD∽△ABD ;依据对应边成比例,设OD =x ,表示出AB 、AD ,根据AD 2=AB ⋅DC ,列方程求解即可.考查圆的综合题、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、比例中项等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,利用参数解决问题是数学解题中经常用到的方法.8. 如图,在矩形ABCD 中,AB =√3,AD =3,点P 是AD 边上的一个动点,连接BP ,作点A 关于直线BP 的对称点A 1,连接A 1C ,设A 1C 的中点为Q ,当点P 从点A 出发,沿边AD 运动到点D 时停止运动,点Q 的运动路径长为______. 【答案】√33π【解析】 【分析】如图,连接BA 1,取BC 使得中点O ,连接OQ ,BD.利用三角形的中位线定理证明OQ =√32=定值,推出点Q 的运动轨迹是以O 为圆心,OQ 为半径的圆弧,圆心角为120°,即可解决问题.本题考查轨迹,矩形的性质,轴对称的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.【解答】解:如图,连接BA1,取BC的中点O,连接OQ,BD.∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=90°,∴tan∠ABD=ADAB=√3,∴∠ABD=60°,∵A1Q=QC,BO=OC,∴OQ=12BA1=12AB=√32,∴点Q的运动轨迹是以O为圆心,OQ为半径的圆弧,圆心角为120°,∴点Q的运动路径长=120⋅π⋅√32180=√33π.故答案为√33π.9.如图,形如量角器的半圆O的直径DE=12cm,形如三角板的△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,BC=12cm.半圆O以1cm/s的速度从左向右运动,在运动过程中,点D,E始终在直线BC上.设运动时间为t(s),当t=0s时,半圆O在△ABC的左侧,OC= 8cm.(1)当t=0s时,点A在半圆O_____,当t=8s时,点A在半圆O____;(2)当t=_____s时,⊙O与AC所在的直线第一次相切,点C到直线AB的距离为______cm;(3)当t为何值时,△ABC的边AC与半圆O相切?(4)当t为何值时,直线AB与半圆O所在的圆相切?【答案】(1)外,外(2)2,6(3)解:分两种情况:①如图,当点E与点C重合时,AC⊥OE,OC=OE=6cm,所以AC为半圆O所在的圆相切,此时点O运动了2cm,所求运动时间为:t=2÷1=2(s);②如图,当点O运动到BC的中点时,AC⊥OD,OC=OD=6cm,所以AC与半圆O所在的圆相切,此时点O运动了14cm,所求运动时间为:t=14÷1=14(s);综上所述,当t为2秒或14秒时,△ABC的边AC与半圆O相切.(4)解:分两种情况:①如图2,当直线AB与半圆O所在的圆相切时,过C作CF⊥AB于F,在Rt△BCF中,∵∠ABC=30°,BC=12,∴CF=1BC=6,2又∵圆心O到AB的距离为6,半圆的半径为6,且圆心O又在直线BC上,∴O与C重合,即当O点运动到C点时,半圆O与△ABC的边AB相切,此时,点O运动了8cm,所求运动时间t=8÷1=8(s);②如图3,当点O运动到B点的右侧时,且OB=12,过O作OQ⊥AB,交直线AB于Q,在Rt△QOB中,∠OBQ=30°,OB=6,则OQ=12即OQ与半圆O所在的圆相切,此时点O运动了12+12+8=32(cm),所求运动时间t=32÷1=32(s),综上所述,当t为8秒或32秒时,直线AB与半圆O所在的圆相切.【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系,利用了直线与圆相切的概念,能够将各种情况都考虑全是解题的关键.(1)由题意可知当t=0s时,半圆O在△ABC的左侧,求得线段AC的长度,由条件可知CO= 8,在Rt△ACO中可求得AO=4√7,所以点A在半圆O外,当t=8s时,点O与点C重合,在Rt△ACB中,可求得AO=AC=4√3,所以点A在半圆O外;(2)求出路程EC的长,即可以求出时间t=2,作C到AB的距离CF,利用直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半可以得:CF=6;(3)随着半圆的运动分两种情况:①当点E与点C重合时,AC与半圆相切,②当点O运动到BC的中点时,AC再次与半圆相切,分别求得半圆的圆心移动的距离后,再求得运动的时间;(4)随着半圆的运动分两种情况:①当点O运动到点C时,AB与半圆相切,过C点作CF⊥AB,交AB于F点,当半圆O与△ABC的边AB相切时,圆心O到AB的距离等于6cm,且圆心O又在直线BC上,即当O点运动到C点时,半圆O与△ABC的边AB相切,此时点O运动了8cm,所求运动时间为t=8;②当点O运动到B点的右侧时,且OB=12cm时,AB的延长线与半圆所在的圆相切,过点O作OQ⊥直线AB,垂足为Q,利用直角三角形可求得点O运动了32cm,可求出时间t.【解答】解:(1)当t=0s时,半圆O在△ABC的左侧,∵DE=12,∴OE=OD=6,在Rt△ABC中,∠ABC=30°,∴AB=2AC,∴AB2=AC2+BC2,即3AC2=BC2,BC=4√3,∴AC=√33在Rt△ACO中,OC=8,则AO=4√7>6,所以点A在半圆O外,当t=8时,如图,此时点O与点C重合,在Rt△ACB中,AC=BC·tan30°=4√3,∵DE=12,∴OE=OD=OM=6,AO=AC>OM,所以点A在半圆O外,故答案为外,外;(2)由(1)知:OE=OD=6,∵OC=8,∴EC=8−6=2,∴t=2÷1=2,∴当t=2s时,⊙O与AC所在直线第一次相切;如图1,过C作CF⊥AB于F,Rt△BCF中,∵∠ABC=30°,BC=12,∴CF=1BC=6,2故答案为2,6;(3)见答案;(4)见答案.10.在平面直角坐标系中,M(6,8),P是以M为圆心,2为半径的⊙M上一动点,A(−2,0)、B(2,0),连接PA、PB,则PA2+PB2最大值是________ .【答案】296【解析】【分析】本题考查了圆的综合,两点间的距离公司.解答本题的关键是设出点P坐标,将所求代数式的值转化为求解OP的最大值,难度较大.【解答】解:设P点的坐标为(x,y),则PA2+PB2=(x+2)2+y2+(x−2)2+y2=2(x2+y2+4)=2(OP2+4)从图中可以看出OP最大时,应该是O,M,P三点一线时,这时OP=OM+2=√62+82+2=12,∴PA2+PB2的最大值=2(OP2+4)=2×(122+4)=296.故答案为296.三、解答题11.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作圆O,分别交BC于点D,交CA的延长线于点E,过点D作DH⊥AC于点H,连接DE交线段OA于点F.(1)求证:DH是圆O的切线;(2)若A为EH的中点,求EF的值;FD(3)若EA=EF=1,求圆O的半径.【答案】证明:(1)连接OD,如图1,∵OB=OD,∴△ODB是等腰三角形,∠OBD=∠ODB①,在△ABC中,∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB②,由①②得:∠ODB=∠OBD=∠ACB,∴OD//AC,∵DH⊥AC,∴DH⊥OD,且OD是半径,∴DH是圆O的切线;(2)如图2,在⊙O中,∵∠E=∠B,∴由(1)可知:∠E=∠B=∠C,∴△EDC是等腰三角形,∵DH⊥AC,且点A是EH中点,设AE=x,EC=4x,则AC=3x,连接AD,则在⊙O中,∠ADB=90°,AD⊥BD,∵AB=AC,∴D是BC的中点,∴OD是△ABC的中位线,∴OD//AC,OD=12AC=12×3x=3x2,∵OD//AC,∴∠E=∠ODF,在△AEF和△ODF中,∵∠E=∠ODF,∠AFE=∠OFD,∴△AEF∽△ODF,∴EFFD =AEOD,∴AEOD =x32x=23,∴EFFD =23;(3)设⊙O的半径为r,即OD=OB=r,∵EF=EA,∴∠EFA=∠EAF,∵OD//EC,∴∠FOD=∠EAF,则∠FOD=∠EAF=∠EFA=∠OFD,∴DF=OD=r,∴DE=DF+EF=r+1,∴BD=CD=DE=r+1,在⊙O中,∵∠BDE=∠EAB,∴∠BFD=∠EFA=∠EAB=∠BDE,∴BF=BD,△BDF是等腰三角形,∴BF=BD=r+1,∴AF=AB−BF=2OB−BF=2r−(1+r)=r−1,在△BFD和△EFA中,∵{∠BFD=∠EFA∠B=∠E,∴△BFD∽△EFA,∴EFFA =BFDF,∴1r−1=1+rr,解得:r1=1+√52,r2=1−√52(舍),综上所述,⊙O的半径为1+√52.【解析】本题是圆的综合题,考查了等腰三角形的性质和判定、切线的性质和判定、三角形的中位线、三角形相似的性质和判定、圆周角定理,第三问设圆的半径为r,根据等边对等角表示其它边长,利用比例列方程解决问题.(1)根据同圆的半径相等和等边对等角证明:∠ODB=∠OBD=∠ACB,则DH⊥OD,DH是圆O的切线;(2)如图2,先证明∠E=∠B=∠C,则H是EC的中点,设AE=x,EC=4x,则AC=3x,由OD是△ABC的中位线,得:OD=3x2,证明△AEF∽△ODF,列比例式可得结论;(3)设⊙O的半径为r,求出BF,DF,AF,证明△BFD∽△EFA,列比例式为:EFFA =BFDF,即可得解.12.如图1,在四边形ABCD中,AD//BC,∠DAB=90°,AB是⊙O的直径,CO平分∠BCD.(1)求证:直线CD与⊙O相切;(2)如图2,记(1)中的切点为E,P为优弧AE⏜上一点,AD=1,BC=2.求tan∠APE的值.【答案】(1)证明:作OE⊥CD于E,如图1所示:则∠OEC=90°,∵AD//BC,∠DAB=90°,∴∠OBC=180°−∠DAB=90°,∴∠OEC=∠OBC,∵CO平分∠BCD,∴∠OCE=∠OCB,在△OCE和△OCB中,{∠OEC=∠OBC ∠OCE=∠OCB OC=OC,∴△OCE≌△OCB(AAS),∴OE=OB,又∵OE⊥CD,∴直线CD与⊙O相切;(2)解:作DF⊥BC于F,连接BE,如图所示:则四边形ABFD是矩形,∴AB=DF,BF=AD=1,∴CF=BC−BF=2−1=1,∵AD//BC,∠DAB=90°,∴AD⊥AB,BC⊥AB,∴AD、BC是⊙O的切线,由(1)得:CD是⊙O的切线,∴ED=AD=1,EC=BC=2,∴CD=ED+EC=3,∴DF=√CD2−CF2=√32−12=2√2,∴AB=DF=2√2,∴OB=√2,∵CO平分∠BCD,∴CO⊥BE,∴∠BCH+∠CBH=∠CBH+∠ABE=90°,∴∠ABE=∠BCH,∵∠APE=∠ABE,∴∠APE=∠BCH,∴tan∠APE=tan∠BCH=OBBC =√22.【解析】(1)证明:作OE⊥CD于E,证△OCE≌△OCB(AAS),得出OE=OB,即可得出结论;(2)作DF⊥BC于F,连接BE,则四边形ABFD是矩形,得AB=DF,BF=AD=1,则CF=1,证AD、BC是⊙O的切线,由切线长定理得ED=AD=1,EC=BC=2,则CD=ED+EC= 3,由勾股定理得DF=2√2,则OB=√2,证∠ABE=∠BCH,由圆周角定理得∠APE=∠ABE,则∠APE=∠BCH,由三角函数定义即可得出答案.本题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角梯形的性质、勾股定理、圆周角定理等知识;熟练掌握切线的判定与性质和圆周角定理是解题的关键.13.如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,D是弧BC的中点,BC与AD、OD分别交于点E、F.(1)求证:DO//AC;(2)求证:DE⋅DA=DC2;(3)若tan∠CAD=12,求sin∠CDA的值.【答案】解:(1)∵点D是BC⏜中点,OD是圆的半径,∴OD⊥BC,∵AB是圆的直径,∴∠ACB=90°,即AC⊥BC,∴AC//OD;(2)∵CD⏜=BD⏜,∴∠CAD=∠DCB,又∠CDA=∠ADC,∴△DCE∽△DAC,∴CDAD =DECD,∴CD2=DE⋅DA;(3)∵tan∠CAD=12,∴Rt△ACE中,tan∠CAD=CEAC =12,∴△DCE和△DAC的相似比为:12,设DE=a,则CD=2a,由CD2=DE⋅DA得AD=4a,AE=3a,∴AEDE=3,∵DO//AC,∴△AEC∽△DEF,故△AEC和△DEF的相似比为3,设EF=k,则CE=3k,CF=4k,又AC//DO,O为AB中点,∴F为BC中点,则BC=8k,Rt△ACE中,tan∠CAD=CEAC =12,CE=3k,∴AC=6k,Rt△ABC中,AC=6k,BC=8k,则根据勾股定理得到AB=10k,∴sin∠CDA=sin∠CBA=ACAB =35.【解析】本题为圆的综合运用题,涉及到三角形相似的判定与性质,勾股定理,圆周角定理等知识点,本题的关键是通过相似比,确定线段的比例关系,进而求解.(1)点D是BC⏜中点,OD是圆的半径,又OD⊥BC,而AB是圆的直径,则∠ACB=90°,故AC//OD;(2)证明△DCE∽△DAC,即可求解;(3)先证明△DCE和△DAC的相似比为:12,设DE=a,则CD=2a,AD=4a,AE=3a,得AEDE =3,即△AEC和△DEF的相似比为3,设EF=k,则CE=3k,BC=8k,tan∠CAD=12,则AC=6k,AB=10k,即可求解.14.如图,已知△ABC内接于⊙O,AB是直径,点D在⊙O上,OD//BC,过点D作DE⊥AB,垂足为E,连接CD交OE边于点F.(1)求证:△DOE∽△ABC;(2)求证:∠ODF=∠BDE;(3)连接OC,设△DOE的面积为S1,四边形BCOD的面积为S2,若S1S2=27,求sin A的值.【答案】解:(1)证明:∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∵DE⊥AB,∴∠DEO=90°,∴∠DEO=∠ACB,∵OD//BC,∴∠DOE=∠ABC,∴△DOE~△ABC;(2)证明:∵△DOE~△ABC,∴∠ODE=∠A,∵∠A和∠BDC是BC⏜所对的圆周角,∴∠A=∠BDC,∴∠ODE=∠BDC,∴∠ODF=∠BDE;(3)解:∵△DOE~△ABC,,即S△ABC=4S△DOE=4S1,∵OA=OB,∴S△BOC=12S△ABC,即S△BOC=2S1,∵S1S2=27,S2=S△BOC+S△DOE+S△DBE=2S1+S1+S△DBE,∴S△DBE=12S1,∴BE=12OE,即OE=23OB=23OD,.【解析】(1)根据圆周角定理和垂直求出∠DEO=∠ACB,根据平行得出∠DOE=∠ABC,根据相似三角形的判定得出即可;(2)根据相似三角形的性质得出∠ODE=∠A,根据圆周角定理得出∠A=∠BDC,推出∠ODE=∠BDC即可;(3)根据△DOE~△ABC求出S△ABC=4S△DOE=4S1,求出S△BOC=2S1,求出2BE=OE,解直角三角形求出即可.本题考查了相似三角形的性质和判定,圆周角定理,平行线的性质,三角形的面积等知识点,能综合运用知识点进行推理是解此题的关键.15.古希腊数学家毕达哥拉斯认为:“一切平面图形中最美的是圆”.请研究如下美丽的圆.如图,线段AB是⊙O的直径,延长AB至点C,使BC=OB,点E是线段OB的中点,DE⊥AB交⊙O于点D,点P是⊙O上一动点(不与点A,B重合),连接CD,PE,PC.(1)求证:CD是⊙O的切线;(2)小明在研究的过程中发现PEPC是一个确定的值.回答这个确定的值是多少?并对小明发现的结论加以证明.【答案】解:(1)连接OD、DB,∵点E是线段OB的中点,DE⊥AB交⊙O于点D,∴DE垂直平分OB,∴DB=DO.∵在⊙O中,DO=OB,∴DB=DO=OB,∴△ODB是等边三角形,∴∠BDO=∠DBO=60°,∵BC=OB=BD,且∠DBE为△BDC的外角,∴∠BCD=∠BDC=12∠DBO.∵∠DBO=60°,∴∠CDB=30°.∴∠ODC=∠BDO+∠BDC=60°+30°=90°,∴CD是⊙O的切线;(2)答:这个确定的值是12.连接OP,如图:由已知可得:OP=OB=BC=2OE.∴OEOP =OPOC=12,又∵∠COP=∠POE,∴△OEP∽△OPC,∴PEPC =OPOC=12.【解析】(1)连接OD、DB,由已知可知DE垂直平分OB,则DB=DO,再由圆的半径相等,可得DB=DO=OB,即△ODB是等边三角形,则∠BDO=60°,再由等腰三角形的性质及三角形的外角性质可得∠CDB=30°,从而可得∠ODC=90°,按照切线的判定定理可得结论;(2)连接OP,先由已知条件得OP=OB=BC=2OE,再利用两组边成比例,夹角相等来证明△OEP∽△OPC,按照相似三角形的性质得出比例式,则可得答案.本题考查了切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质,熟练掌握相关性质及定理是解题的关键.。
北京中考数学圆的综合题专练
北京中考数学圆的综合题专练2019年北京中考数学圆的综合题专练2019年北京中考一模过百分专练主要包括题型分析及圆的基础知识,关于改编的北京中考数学试卷圆的综合题及解析,欢迎大家阅读学习!一、题型分析:圆的综合题为北京中考必考题型,为中等难度。
相比较函数综合题(23题)来说,圆的综合题比较开放,涉及切线的证明,圆中定理性质结合三角形全等相似、锐角三角函数、勾股定理的综合应用,也涉及到基础辅线的做法.顺利答好圆的综合题,则表明学生完全具备了总分过百的能力.二、《圆》扎实全面的基础知识(1)、圆的性质:所有半径均相等;所有直径均相等;任意直径为任意半径的2倍;(2)、圆的计算:弧长公式、扇形面积公式(3)圆中的定理:垂径定理☆垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.☆平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.弧、弦、圆心角定理☆在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦三边的一半中.三、数学思想:方程思想、勾股定理(逆定理)利用三角形相似计算线段长度、锐角三角函数的应用四、基本辅助线:(1)作平行线(垂线)构造相似三角形;(2)角平分线性质定理:角平分线上的点到角两边距离相等(3)作垂线段,构造直角三角形,利用勾股定理、锐角三角函数.相信很多90-100分学生对于近年北京中考、及各区一二模试卷中的圆的综合题已经做过数遍了,为了不至于重复和枯燥及更有实战检测意义,下面的练习是周老师根据2019-2019北京中考圆的综合题改编而成,因时间紧张只直接给出答案.若做这些题有困难的同学,务必在考前的这一周的时间内,来通过一些练习来体会对于线段的计算的基本解决办法即依托于一个直角三角形(勾股定理、锐角三角函数)、两个三角形(相似,常见相似图形),及简单常见的辅助线作法.。
北京中考数学圆的综合综合题
一、圆的综合真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.如图,AB是⊙O的直径,PA是⊙O的切线,点C在⊙O上,CB∥PO.(1)判断PC与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若AB=6,CB=4,求PC的长.【答案】(1)PC是⊙O的切线,理由见解析;(2)35 2【解析】试题分析:(1)要证PC是⊙O的切线,只要连接OC,再证∠PCO=90°即可.(2)可以连接AC,根据已知先证明△ACB∽△PCO,再根据勾股定理和相似三角形的性质求出PC的长.试题解析:(1)结论:PC是⊙O的切线.证明:连接OC∵CB∥PO∴∠POA=∠B,∠POC=∠OCB∵OC=OB∴∠OCB=∠B∴∠POA=∠POC又∵OA=OC,OP=OP∴△APO≌△CPO∴∠OAP=∠OCP∵PA是⊙O的切线∴∠OAP=90°∴∠OCP=90°∴PC是⊙O的切线.(2)连接AC∵AB是⊙O的直径∴∠ACB=90°(6分)由(1)知∠PCO=90°,∠B=∠OCB=∠POC∵∠ACB=∠PCO∴△ACB∽△PCO∴∴.点睛:本题考查了切线的判定.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.同时考查了勾股定理和相似三角形的性质.2.如图,AB,BC分别是⊙O的直径和弦,点D为BC上一点,弦DE交⊙O于点E,交AB于点F,交BC于点G,过点C的切线交ED的延长线于H,且HC=HG,连接BH,交⊙O 于点M,连接MD,ME.求证:(1)DE⊥AB;(2)∠HMD=∠MHE+∠MEH.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解析】分析:(1)连接OC,根据等边对等角和切线的性质,证明∠BFG=∠OCH=90°即可;(2)连接BE,根据垂径定理和圆内接四边形的性质,得出∠HMD=∠BME,再根据三角形的外角的性质证明∠HMD=∠DEB=∠EMB即可.详解:证明:(1)连接OC,∵HC=HG,∴∠HCG=∠HGC;∵HC切⊙O于C点,∴∠OCB+∠HCG=90°;∵OB=OC,∴∠OCB=∠OBC,∵∠HGC=∠BGF,∴∠OBC+∠BGF=90°,∴∠BFG=90°,即DE⊥AB;(2)连接BE,由(1)知DE⊥AB,∵AB是⊙O的直径,∴,∴∠BED=∠BME;∵四边形BMDE内接于⊙O,∴∠HMD=∠BED,∴∠HMD=∠BME;∵∠BME是△HEM的外角,∴∠BME=∠MHE+∠MEH,∴∠HMD=∠MHE+∠MEH.点睛:此题综合性较强,主要考查了切线的性质、三角形的内角和外角的性质、等腰三角形的性质、内接四边形的性质.3.定义:数学活动课上,李老师给出如下定义:如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半,那么称三角形为“智慧三角形”.理解:⑴如图,已知是⊙上两点,请在圆上找出满足条件的点,使为“智慧三角形”(画出点的位置,保留作图痕迹);⑵如图,在正方形中,是的中点,是上一点,且,试判断是否为“智慧三角形”,并说明理由;运用:⑶如图,在平面直角坐标系中,⊙的半径为,点是直线上的一点,若在⊙上存在一点,使得为“智慧三角形”,当其面积取得最小值时,直接写出此时点的坐标.【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3)P的坐标(223,13),(223,13).【解析】试题分析:(1)连结AO并且延长交圆于C1,连结BO并且延长交圆于C2,即可求解;(2)设正方形的边长为4a,表示出DF=CF以及EC、BE的长,然后根据勾股定理列式表示出AF2、EF2、AE2,再根据勾股定理逆定理判定△AEF是直角三角形,由直角三角形的性质可得△AEF为“智慧三角形”;(3)根据“智慧三角形”的定义可得△OPQ为直角三角形,根据题意可得一条直角边为1,当斜边最短时,另一条直角边最短,则面积取得最小值,由垂线段最短可得斜边最短为3,根据勾股定理可求另一条直角边,再根据三角形面积可求斜边的高,即点P的横坐标,再根据勾股定理可求点P的纵坐标,从而求解.试题解析:(1)如图1所示:(2)△AEF是否为“智慧三角形”,理由如下:设正方形的边长为4a,∵E是DC的中点,∴DE=CE=2a,∵BC:FC=4:1,∴FC=a,BF=4a﹣a=3a,在Rt△ADE中,AE2=(4a)2+(2a)2=20a2,在Rt△ECF中,EF2=(2a)2+a2=5a2,在Rt△ABF中,AF2=(4a)2+(3a)2=25a2,∴AE2+EF2=AF2,∴△AEF是直角三角形,∵斜边AF上的中线等于AF的一半,∴△AEF为“智慧三角形”;(3)如图3所示:由“智慧三角形”的定义可得△OPQ为直角三角形,根据题意可得一条直角边为1,当斜边最短时,另一条直角边最短,则面积取得最小值,由垂线段最短可得斜边最短为3,由勾股定理可得PQ=,PM=1×2÷3=,由勾股定理可求得OM=,故点P的坐标(﹣,),(,).考点:圆的综合题.4.如图,AC是⊙O的直径,OB是⊙O的半径,PA切⊙O于点A,PB与AC的延长线交于点M,∠COB=∠APB.(1)求证:PB是⊙O的切线;(2)当MB=4,MC=2时,求⊙O的半径.【答案】(1)证明见解析;(2)3.【解析】【分析】(1)根据题意∠M +∠P =90°,而∠COB =∠APB ,所以有∠M +∠COB =90°,即可证明PB 是⊙O 的切线.(2)设圆的半径为r ,则OM =r +2,BM=4,OB =r ,再根据勾股定理列方程便可求出r .【详解】证明:(1)∵AC 是⊙O 的直径,PA 切⊙O 于点A ,∴PA ⊥OA∴在Rt △MAP 中,∠M +∠P =90°,而∠COB =∠APB ,∴∠M +∠COB =90°,∴∠OBM =90°,即OB ⊥BP ,∴PB 是⊙O 的切线;(2)设⊙O 的半径为r ,2OM r ∴=+ ,OB r = ,4BM =OBM ∆为直角三角形∴222OM OB BM =+ ,即222(2)+4r r +=解得:r =3,∴⊙O 的半径为3.【点睛】本题主要考查圆的切线问题,证明圆的切线有两种思路一种是证明连线是半径,另一种是证明半径垂直.5.如图,□ABCD 的边AD 是△ABC 外接圆⊙O 的切线,切点为A ,连接AO 并延长交BC 于点E ,交⊙O 于点F ,过点C 作直线CP 交AO 的延长线于点P ,且∠BCP =∠ACD . (1)求证:PC 是⊙O 的切线;(2)若∠B =67.5°,BC =2,求线段PC ,PF 与弧CF 所围成的阴影部分的面积S .【答案】(1)见解析;(2)14π-【解析】 【分析】(1) 过C 点作直径CM ,连接MB ,根据CM 为直径,可得∠M+∠BCM =90°,再根据AB ∥DC 可得∠ACD =∠BAC ,由圆周角定理可得∠BAC =∠M ,∠BCP =∠ACD ,从而可推导得出∠PCM =90°,根据切线的判定即可得;(2)连接OB ,由AD 是⊙O 的切线,可得∠PAD =90°,再由BC ∥AD ,可得AP ⊥BC ,从而得BE =CE = 12BC =1,继而可得到∠ABC =∠ACB =67.5°,从而得到∠BAC =45°,由圆周角定理可得∠BOC=90°,从而可得∠BOE =∠COE =∠OCE = 45°,根据已知条件可推导得出OE=CE=1,PC=OC=22OE CE2+=,根据三角形面积以及扇形面积即可求得阴影部分的面积.【详解】(1)过C点作直径CM,连接MB,∵CM为直径,∴∠MBC=90°,即∠M+∠BCM=90°,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DC,AD∥BC,∴∠ACD=∠BAC,∵∠BAC=∠M,∠BCP=∠ACD,∴∠M=∠BCP,∴∠BCP+∠BCM=90°,即∠PCM=90°,∴CM⊥PC,∴PC与⊙O相切;(2)连接OB,∵AD是⊙O的切线,切点为A,∴OA⊥AD,即∠PAD=90°,∵BC∥AD,∠AEB=∠PAD=90°,∴AP⊥BC.∴BE=CE=12BC=1,∴AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=67.5°,∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=45°,∴∠BOC=2∠BAC=90°,∵OB=OC,AP⊥BC,∴∠BOE=∠COE=∠OCE= 45°,∵∠PCM=90°,∴∠CPO=∠COE=∠OCE= 45°,∴OE=CE=1,PC=OC=22OE CE2+=,∴S=S△POC-S扇形OFC=()245π21π221 23604⨯⨯⨯-=-.【点睛】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、扇形面积等,综合性较强,准确添加辅助线是解题的关键.6..如图,△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=6.D是线段AC上一个动点(不与点A 重合),⊙D与AB相切,切点为E,⊙D交射线..DC于点F,过F作FG⊥EF交直线..BC于点G,设⊙D的半径为r.(1)求证AE=EF;(2)当⊙D与直线BC相切时,求r的值;(3)当点G落在⊙D内部时,直接写出r的取值范围.【答案】(1)见解析,(2)r=3,(3)63 35r<<【解析】【分析】(1)连接DE,则∠ADE=60°=∠DEF+∠DFE,而∠DEF=∠DFE,则∠DEF=∠DFE=30°=∠A,即可求解;(2)如图2所示,连接DE,当圆与BC相切时,切点为F,∠A=30°,AB=6,则BF=3,AD=2r,由勾股定理,即可求解;(3)分点F在线段AC上、点F在线段AC的延长线上两种情况,分别求解即可.【详解】解:设圆的半径为r;(1)连接DE,则∠ADE=60°=∠DEF+∠DFE,而∠DEF=∠DFE,则∠DEF=∠DFE=30°=∠A,∴AE=EF;(2)如图2所示,连接DE,当圆与BC相切时,切点为F∠A=30°,AB=6,则BF=3,AD=2r ,由勾股定理得:(3r )2+9=36,解得:r=3; (3)①当点F 在线段AC 上时,如图3所示,连接DE 、DG ,333,3933FC r GC FC r =-==-②当点F 在线段AC 的延长线上时,如图4所示,连接DE 、DG ,333,3339FC r GC FC r ===-两种情况下GC 符号相反,GC 2相同,由勾股定理得:DG 2=CD 2+CG 2,点G 在圆的内部,故:DG2<r2,即:22(332)(339)2r r r +-<整理得:25113180r r -+< 6335r <<【点睛】本题考查了圆的综合题:圆的切线垂直于过切点的半径;利用勾股定理计算线段的长.7.如图,在矩形ABCD 中,点O 在对角线AC 上,以OA 的长为半径的⊙O 与AD 、AC 分别交于点E 、F ,且∠ACB =∠DCE .(1)判断直线CE 与⊙O 的位置关系,并说明理由;(2)若AB 2BC =2,求⊙O 的半径.6【答案】(1)直线CE与⊙O相切,理由见解析;(2)⊙O【解析】【分析】(1)首先连接OE,由OE=OA与四边形ABCD是矩形,易求得∠DEC+∠OEA=90°,即OE⊥EC,即可证得直线CE与⊙O的位置关系是相切;(2)首先易证得△CDE∽△CBA,然后根据相似三角形的对应边成比例,即可求得DE的长,又由勾股定理即可求得AC的长,然后设OA为x,即可得方程222-=,解此方程即可求得⊙O的半径.x x3)6)【详解】解:(1)直线CE与⊙O相切.…理由:连接OE,∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=∠D=∠BAD=90°,BC∥AD,CD=AB,∴∠DCE+∠DEC=90°,∠ACB=∠DAC,又∠DCE=∠ACB,∴∠DEC+∠DAC=90°,∵OE=OA,∴∠OEA=∠DAC,∴∠DEC+∠OEA=90°,∴∠OEC=90°,∴OE⊥EC,∵OE为圆O半径,∴直线CE与⊙O相切;…(2)∵∠B=∠D,∠DCE=∠ACB,∴△CDE∽△CBA,∴BC AB=,DC DE又CD=AB2BC=2,∴DE=1根据勾股定理得EC3又226=+…AC AB BC设OA 为x ,则222(3)(6)x x +=-,解得64x =, ∴⊙O 的半径为64.【点睛】此题考查了切线的判定与性质,矩形的性质,相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识.此题综合性较强,难度适中,解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用,注意辅助线的作法.8.如图,AB 是半圆⊙O 的直径,点C 是半圆⊙O 上的点,连接AC ,BC ,点E 是AC 的中点,点F 是射线OE 上一点.(1)如图1,连接FA ,FC ,若∠AFC =2∠BAC ,求证:FA ⊥AB ;(2)如图2,过点C 作CD ⊥AB 于点D ,点G 是线段CD 上一点(不与点C 重合),连接FA ,FG ,FG 与AC 相交于点P ,且AF =FG .①试猜想∠AFG 和∠B 的数量关系,并证明;②连接OG ,若OE =BD ,∠GOE =90°,⊙O 的半径为2,求EP 的长.【答案】(1)见解析;(2)①结论:∠GFA =2∠ABC .理由见解析;②PE 3. 【解析】【分析】 (1)证明∠OFA =∠BAC ,由∠EAO +∠EOA =90°,推出∠OFA +∠AOE =90°,推出∠FAO =90°即可解决问题.(2)①结论:∠GFA =2∠ABC .连接FC .由FC =FG =FA ,以F 为圆心FC 为半径作⊙F .因为AG AG =,推出∠GFA =2∠ACG ,再证明∠ACG =∠ABC .②图2﹣1中,连接AG,作FH⊥AG于H.想办法证明∠GFA=120°,求出EF,OF,OG即可解决问题.【详解】(1)证明:连接OC.∵OA=OC,EC=EA,∴OF⊥AC,∴FC=FA,∴∠OFA=∠OFC,∵∠CFA=2∠BAC,∴∠OFA=∠BAC,∵∠OEA=90°,∴∠EAO+∠EOA=90°,∴∠OFA+∠AOE=90°,∴∠FAO=90°,∴AF⊥AB.(2)①解:结论:∠GFA=2∠ABC.理由:连接FC.∵OF垂直平分线段AC,∴FG=FA,∵FG=FA,∴FC=FG=FA,以F为圆心FC为半径作⊙F.∵AG AG,∴∠GFA=2∠ACG,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∵CD⊥AB,∴∠ABC+∠BCA=90°,∵∠BCD +∠ACD =90°,∴∠ABC =∠ACG ,∴∠GFA =2∠ABC .②如图2﹣1中,连接AG ,作FH ⊥AG 于H .∵BD =OE ,∠CDB =∠AEO =90°,∠B =∠AOE ,∴△CDB ≌△AEO (AAS ),∴CD =AE ,∵EC =EA ,∴AC =2CD .∴∠BAC =30°,∠ABC =60°,∴∠GFA =120°,∵OA =OB =2,∴OE =1,AE =,BA =4,BD =OD =1, ∵∠GOE =∠AEO =90°,∴OG ∥AC , 323DG OG ∴==, 222213AG DG AD ∴=+=, ∵FG =FA ,FH ⊥AG ,∴AH =HG 21∠AFH =60°, ∴AF =27sin 60AH ︒=, 在Rt △AEF 中,EF 2213AF AE -=, ∴OF =OE +EF =43 , ∵PE ∥OG , ∴PE EF OG 0F=, ∴1342333=,∴PE =36. 【点睛】圆综合题,考查了垂径定理,勾股定理,圆周角定理,全等三角形的判定和性质,锐角三角函数,解直角三角形等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题.9.如图,OA ,OD 是⊙O 半径.过A 作⊙O 的切线,交∠AOD 的平分线于点C ,连接CD ,延长AO 交⊙O 于点E ,交CD 的延长线于点B .(1)求证:直线CD 是⊙O 的切线;(2)如果D 点是BC 的中点,⊙O 的半径为 3cm ,求DE 的长度.(结果保留π)【答案】(1)证明见解析;(2)DE 的长度为π.【解析】(1)证明:∵AC 是⊙O 切线,∴OA ⊥AC ,∴∠OAC=90°,∵CO 平分∠AOD ,∴∠AOC=∠COD ,在△AOC 和△DOC 中,∴△AOC ≌△DOC ,∴∠ODC=∠OAC=90°,∴OD ⊥CD ,∴直线CD 是⊙O 的切线.(2)∵OD ⊥BC ,DC=DB ,∴OC=OB ,∴∠OCD=∠B=∠ACO ,∵∠B+∠ACB=90°,∴∠B=30°,∠DOE=60°,∴的长度==π.[来源:]10.在△ABC 中,0090,60ACB BAC ∠=∠=,AC=2,P 为△ABC 所在平面内一点,分别连PA,PB ,PC .(1)如图1,已知,APB BPC APC ∠=∠=∠,以A 为旋转中心,将APB ∆顺时针旋转60度,得到AMN ∆.①请画出图形,并求证:C 、P 、M 、N 四点在同一条直线上;②求PA+PB+PC 的值.(2)如图2,如果点P 满足090BPC ∠=,设Q 为AB 边中点,求PQ 的取值范围.【答案】(1)①详见解析;②27;(2)31312PQ PQ -≤≤+≠且;【解析】【分析】(1)①欲证明C 、P 、M 、N 四点在同一条直线上,只要证明∠APC+∠APM=180°,∠AMN+∠AMP=180°即可;②只要证明PA+PB+PC=PC+PM+MN=CN ,在Rt △CBN 中,利用勾股定理求出NC 即可; (2)如图2中,由∠BPC=90°,推出点P 在以BC 为直径的圆上(P 不与B 、C 重合),设BC 的中点为O ,作直线OQ 交⊙O 与P 和P′,可得PQ 的最小值为3-1,PQ 的最大值为3+1,PQ≠2,由此即可解决问题;【详解】(1)①证明:如图,∵△APB ≌△AMN ,△APM 是等边三角形,∴∠APM=∠APM=60°,∵∠APB=∠BPC=∠APC=120°,∴∠APB=∠BPC=∠APC=∠AMN=120°,∴∠APC+∠APM=180°,∠AMN+∠AMP=180°,∴C、P、M、N四点在同一条直线上;②解:连接BN,易得ΔABN是等边三角形∴∠ABN=60°,∵∠ABC=30°,∴∠NBC=90°,∵AC=2,∴AB=BN=4,BC=23,∵PA=PM,PB=MN,∴PA+PB+PC=PC+PM+MN=CN,在Rt△CBN中,CN=22+=,BC BN27∴PA+PB+PC=27.(2) 如图2中,∵∠BPC=90°,∴点P在以BC为直径的圆上(P不与B、C重合),设BC的中点为O,作直线OQ交⊙O与P和P′,可得PQ3-1,PQ3+1,PQ≠2,∴33+1且PQ≠2.∴≤≤≠的取值范围是且PQ31PQ31PQ2【点睛】本题考查几何变换综合题、等边三角形的性质和判定、全等三角形的性质、勾股定理、圆的有关知识等知识,解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线,构造全等三角形解决问题,学会利用辅助圆解决问题,属于中考压轴题.。
中考数学复习圆的综合专项易错题附答案解析
中考数学复习圆的综合专项易错题附答案解析一、圆的综合1.已知▱ABCD的周长为26,∠ABC=120°,BD为一条对角线,⊙O内切于△ABD,E,F,G 为切点,已知⊙O的半径为3.求▱ABCD的面积.【答案】203【解析】【分析】首先利用三边及⊙O的半径表示出平行四边形的面积,再根据题意求出AB+AD=13,然后利用切线的性质求出BD的长即可解答.【详解】设⊙O分别切△ABD的边AD、AB、BD于点G、E、F;平行四边形ABCD的面积为S;则S=2S△ABD=2×12(AB·OE+BD·OF+AD·OG)=3(AB+AD+BD);∵平行四边形ABCD的周长为26,∴AB+AD=13,∴S=3(13+BD);连接OA;由题意得:∠OAE=30°,∴AG=AE=3;同理可证DF=DG,BF=BE;∴DF+BF=DG+BE=13﹣3﹣3=7,即BD=7,∴S=3(13+7)=203.即平行四边形ABCD的面积为203.2.定义:有一个角是其邻角一半的圆内接四边形叫做圆内倍角四边形.(1)如图1,四边形ABCD内接于⊙O,∠DCB﹣∠ADC=∠A,求证:四边形ABCD为圆内接倍角四边形;(2)在(1)的条件下,⊙O半径为5.①若AD为直径,且sinA=45,求BC的长;②若四边形ABCD中有一个角为60°,且BC=CD,则四边形ABCD的面积是;(3)在(1)的条件下,记AB=a,BC=b,CD=c,AD=d,求证:d2﹣b2=ab+cd.【答案】(1)见解析;(2)①BC=6,②7534或754;(3)见解析【解析】【分析】(1)先判断出∠ADC=180°﹣2∠A.进而判断出∠ABC=2∠A,即可得出结论;(2)①先用锐角三角函数求出BD,进而得出AB,由(1)得出∠ADB=∠BDC,即可得出结论;②分两种情况:利用面积和差即可得出结论;(3)先得出BE=BC=b,DE=DA=b,进而得出CE=d﹣c,再判断出△EBC∽△EDA,即可得出结论.【详解】(1)设∠A=α,则∠DCB=180°﹣α.∵∠DCB﹣∠ADC=∠A,∴∠ADC=∠DCB﹣∠A=180°﹣α﹣α=180°﹣2α,∴∠ABC=180°﹣∠ADC=2α=2∠A,∴四边形ABCD是⊙O内接倍角四边形;(2)①连接BD.∵AD是⊙O的直径,∴∠ABD=90°.在Rt△ABD中,AD=2×5=10,sin∠A=45,∴BD=8,根据勾股定理得:AB=6,设∠A=α,∴∠ADB=90°﹣α.由(1)知,∠ADC=180°﹣2α,∴∠BDC=90°﹣α,∴∠ADB=∠BDC,∴BC=AB=6;②若∠ADC=60°时.∵四边形ABCD是圆内接倍角四边形,∴∠BCD=120°或∠BAD=30°.Ⅰ、当∠BCD=120°时,如图3,连接OA,OB,OC,OD.∵BC=CD,∴∠BOC=∠COD,∴∠OCD=∠OCB=12∠BCD=60°,∴∠CDO=60°,∴AD是⊙O 的直径,(为了说明AD是直径,点O没有画在AD上)∴∠ADC+∠BCD=180°,∴BC∥AD,∴AB=CD.∵BC=CD,∴AB=BC=CD,∴△OAB,△BOC,△COD是全等的等边三角形,∴S四边形ABCD=3S△AOB 32753.Ⅱ、当∠BAD=30°时,如图4,连接OA,OB,OC,OD.∵四边形ABCD是圆内接四边形,∴∠BCD=180°﹣∠BAD=150°.∵BC =CD ,∴∠BOC =∠COD ,∴∠BCO =∠DCO =12∠BCD =75°,∴∠BOC =∠DOC =30°,∴∠OBA =45°,∴∠AOB =90°. 连接AC ,∴∠DAC =12∠BAD =15°. ∵∠ADO =∠OAB ﹣∠BAD =15°,∴∠DAC =∠ADO ,∴OD ∥AC ,∴S △OAD =S △OCD . 过点C 作CH ⊥OB 于H . 在Rt △OCH 中,CH =12OC =52,∴S 四边形ABCD =S △COD +S △BOC +S △AOB ﹣S △AOD =S △BOC +S △AOB =1522⨯×5+12×5×5=754. 故答案为:7534或754;(3)延长DC ,AB 交于点E .∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形,∴∠BCE =∠A =12∠ABC . ∵∠ABC =∠BCE +∠A ,∴∠E =∠BCE =∠A ,∴BE =BC =b ,DE =DA =b ,∴CE =d ﹣c . ∵∠BCE =∠A ,∠E =∠E ,∴△EBC ∽△EDA ,∴CE BC AE AD =,∴d c ba b d-=+,∴d 2﹣b 2=ab +cd .【点睛】本题是圆的综合题,主要考查了圆的内接四边形的性质,新定义,相似三角形的判定和性质,等边三角形的判定和性质,正确作出辅助线是解答本题的关键.3.如图,在△ABP 中,C 是BP 边上一点,∠PAC =∠PBA ,⊙O 是△ABC 的外接圆,AD 是⊙O 的直径,且交BP于点E.(1)求证:PA是⊙O的切线;(2)过点C作CF⊥AD,垂足为点F,延长CF交AB于点G,若AG•AB=12,求AC的长.【答案】(1)证明见解析(2)23【解析】试题分析:(1)根据圆周角定理得出∠ACD=90°以及利用∠PAC=∠PBA得出∠CAD+∠PAC=90°进而得出答案;(2)首先得出△CAG∽△BAC,进而得出AC2=AG·AB,求出AC即可.试题解析:(1)连接CD,如图,∵AD是⊙O的直径,∴∠ACD=90°,∴∠CAD+∠D=90°,∵∠PAC=∠PBA,∠D=∠PBA,∴∠CAD+∠PAC=90°,即∠PAD=90°,∴PA⊥AD,∴PA是⊙O的切线;(2)∵CF⊥AD,∴∠ACF+∠CAF=90°,∠CAD+∠D=90°,∴∠ACF=∠D,∴∠ACF=∠B,而∠CAG=∠BAC,∴△ACG∽△ABC,∴AC:AB=AG:AC,∴AC2=AG•AB=12,∴AC34.如图,△ABC的内接三角形,P为BC延长线上一点,∠PAC=∠B,AD为⊙O的直径,过C作CG⊥AD于E,交AB于F,交⊙O于G.(1)判断直线PA与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)求证:AG2=AF·AB;(3)若⊙O的直径为10,AC=25,AB=45,求△AFG的面积.【答案】(1)PA与⊙O相切,理由见解析;(2)证明见解析;(3)3.【解析】试题分析:(1)连接CD,由AD为⊙O的直径,可得∠ACD=90°,由圆周角定理,证得∠B=∠D,由已知∠PAC=∠B,可证得DA⊥PA,继而可证得PA与⊙O相切.(2)连接BG,易证得△AFG∽△AGB,由相似三角形的对应边成比例,证得结论.(3)连接BD,由AG2=AF•AB,可求得AF的长,易证得△AEF∽△ABD,即可求得AE的长,继而可求得EF与EG的长,则可求得答案.试题解析:解:(1)PA与⊙O相切.理由如下:如答图1,连接CD,∵AD为⊙O的直径,∴∠ACD=90°.∴∠D+∠CAD=90°.∵∠B=∠D,∠PAC=∠B,∴∠PAC=∠D.∴∠PAC+∠CAD=90°,即DA⊥PA.∵点A在圆上,∴PA与⊙O相切.(2)证明:如答图2,连接BG ,∵AD 为⊙O 的直径,CG ⊥AD ,∴»»AC AD =.∴∠AGF=∠ABG. ∵∠GAF=∠BAG ,∴△AGF ∽△ABG. ∴AG :AB=AF :AG. ∴AG 2=AF•AB.(3)如答图3,连接BD , ∵AD 是直径,∴∠ABD=90°.∵AG 2=AF•AB ,55∴5 ∵CG ⊥AD ,∴∠AEF=∠ABD=90°. ∵∠EAF=∠BAD ,∴△AEF ∽△ABD. ∴AE AF AB AD =545=,解得:AE=2. ∴221EF AF AE =-=.∵224EG AG AE =-=,∴413FG EG EF =-=-=.∴1132322AFG S FG AE ∆=⋅⋅=⨯⨯=.考点:1. 圆周角定理;2.直角三角形两锐角的关系;3. 相切的判定;4.垂径定理;5.相似三角形的判定和性质;6.勾股定理;7.三角形的面积.5.如图,四边形ABCD内接于⊙O,对角线AC为⊙O的直径,过点C作AC的垂线交AD 的延长线于点E,点F为CE的中点,连接DB, DF.(1)求证:DF是⊙O的切线;(2)若DB平分∠ADC,AB=52AD,∶DE=4∶1,求DE的长.【答案】(1)见解析5【解析】分析:(1)直接利用直角三角形的性质得出DF=CF=EF,再求出∠FDO=∠FCO=90°,得出答案即可;(2)首先得出AB=BC即可得出它们的长,再利用△ADC~△ACE,得出AC2=AD•AE,进而得出答案.详解:(1)连接OD.∵OD=CD,∴∠ODC=∠OCD.∵AC为⊙O的直径,∴∠ADC=∠EDC=90°.∵点F为CE的中点,∴DF=CF=EF,∴∠FDC=∠FCD,∴∠FDO=∠FCO.又∵AC⊥CE,∴∠FDO=∠FCO=90°,∴DF是⊙O的切线.(2)∵AC为⊙O的直径,∴∠ADC=∠ABC=90°.∵DB平分∠ADC,∴∠ADB=∠CDB,∴¶AB=¶BC,∴BC=AB2.在Rt△ABC中,AC2=AB2+BC2=100.又∵AC⊥CE,∴∠ACE=90°,∴△ADC~△ACE,∴ACAD =AEAC,∴AC2=AD•AE.设DE为x,由AD:DE=4:1,∴AD=4x,AE=5x,∴100=4x•5x,∴x=5,∴DE=5.点睛:本题主要考查了切线的判定以及相似三角形的判定与性质,正确得出AC2=AD•AE是解题的关键.6.如图,在RtΔABC中,∠ABC=90°,AB=CB,以AB为直径的⊙O交AC于点D,点E是AB边上一点(点E不与点A、B重合),DE的延长线交⊙O于点G,DF⊥DG,且交BC于点F.(1)求证:AE=BF;(2)连接EF,求证:∠FEB=∠GDA;(3)连接GF,若AE=2,EB=4,求ΔGFD的面积.【答案】(1)(2)见解析;(3)9【解析】分析:(1)连接BD,由三角形ABC为等腰直角三角形,求出∠A与∠C的度数,根据AB 为圆的直径,利用圆周角定理得到∠ADB为直角,即BD垂直于AC,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,得到AD=DC=BD=12AC,进而确定出∠A=∠FBD,再利用同角的余角相等得到一对角相等,利用ASA得到三角形AED与三角形BFD全等,利用全等三角形对应边相等即可得证;(2)连接EF,BG,由三角形AED与三角形BFD全等,得到ED=FD,进而得到三角形DEF为等腰直角三角形,利用圆周角定理及等腰直角三角形性质得到一对同位角相等,利用同位角相等两直线平行,再根据平行线的性质和同弧所对的圆周角相等,即可得出结论;(3)由全等三角形对应边相等得到AE =BF =1,在直角三角形BEF 中,利用勾股定理求出EF 的长,利用锐角三角形函数定义求出DE 的长,利用两对角相等的三角形相似得到三角形AED 与三角形GEB 相似,由相似得比例,求出GE 的长,由GE +ED 求出GD 的长,根据三角形的面积公式计算即可.详解:(1)连接BD .在Rt △ABC 中,∠ABC =90°,AB =BC ,∴∠A =∠C =45°. ∵AB 为圆O 的直径,∴∠ADB =90°,即BD ⊥AC ,∴AD =DC =BD =12AC ,∠CBD =∠C =45°,∴∠A =∠FBD .∵DF ⊥DG ,∴∠FDG =90°,∴∠FDB +∠BDG =90°.∵∠EDA +∠BDG =90°,∴∠EDA =∠FDB .在△AED 和△BFD 中,A FBD AD BD EDA FDB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,∴△AED ≌△BFD (ASA ),∴AE =BF ; (2)连接EF ,BG . ∵△AED ≌△BFD ,∴DE =DF .∵∠EDF =90°,∴△EDF 是等腰直角三角形,∴∠DEF =45°. ∵∠G =∠A =45°,∴∠G =∠DEF ,∴GB ∥EF ,∴∠FEB =∠GBA . ∵∠GBA =∠GDA ,∴∠FEB =∠GDA ;(3)∵AE =BF ,AE =2,∴BF =2.在Rt △EBF 中,∠EBF =90°,∴根据勾股定理得:EF 2=EB 2+BF 2.∵EB =4,BF =2,∴EF∵△DEF 为等腰直角三角形,∠EDF =90°,∴cos ∠DEF =DEEF. ∵EF=∴DE=. ∵∠G =∠A ,∠GEB =∠AED ,∴△GEB ∽△AED ,∴GE AE =EBED,即GE •ED =AE •EB ,∴GE =8,即GE,则GD =GE +ED∴1119222S GD DF GD DE =⨯⨯=⨯⨯==.点睛:本题属于圆综合题,涉及的知识有:全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,勾股定理,圆周角定理,以及平行线的判定与性质,熟练掌握判定与性质是解答本题的关键.7.如图1O e ,的直径12AB P =,是弦BC 上一动点(与点B C ,不重合)30ABC o ,∠=,过点P 作PD OP ⊥交O e 于点D .()1如图2,当//PD AB 时,求PD 的长;()2如图3,当»»DC AC=时,延长AB 至点E ,使12BE AB =,连接DE . ①求证:DE 是O e 的切线;②求PC 的长.【答案】(1)26;(2)333-①见解析,②. 【解析】分析:()1根据题意首先得出半径长,再利用锐角三角函数关系得出OP PD ,的长;()2①首先得出OBD V 是等边三角形,进而得出ODE OFB 90∠∠==o ,求出答案即可;②首先求出CF 的长,进而利用直角三角形的性质得出PF 的长,进而得出答案.详解:()1如图2,连接OD ,//OP PD PD AB ⊥Q ,,90POB ∴∠=o ,O Q e 的直径12AB =,6OB OD ∴==,在Rt POB V 中,30ABC o ∠=, 3tan306233OP OB ∴=⋅=⨯=o , 在Rt POD V 中, 22226(23)26PD OD OP =-=-=;()2①证明:如图3,连接OD ,交CB 于点F ,连接BD ,»»DC AC =Q ,30DBC ABC ∴∠=∠=o ,60ABD o ∴∠=,OB OD =Q ,OBD ∴V 是等边三角形,OD FB ∴⊥,12BE AB =Q , OB BE ∴=,//BF ED ∴,90ODE OFB o ∴∠=∠=,DE ∴是O e 的切线;②由①知,OD BC ⊥,3cos306332CF FB OB ∴==⋅=⨯=o 在Rt POD V 中,OF DF =, 13(2PF DO ∴==直角三角形斜边上的中线,等于斜边的一半), 333CP CF PF ∴=-=.点睛:此题主要考查了圆的综合以及直角三角形的性质和锐角三角函数关系,正确得出OBDV是等边三角形是解题关键.8.已知⊙O中,弦AB=AC,点P是∠BAC所对弧上一动点,连接PA,PB.(1)如图①,把△ABP绕点A逆时针旋转到△ACQ,连接PC,求证:∠ACP+∠ACQ=180°;(2)如图②,若∠BAC=60°,试探究PA、PB、PC之间的关系.(3)若∠BAC=120°时,(2)中的结论是否成立?若是,请证明;若不是,请直接写出它们之间的数量关系,不需证明.【答案】(1)证明见解析;(2)PA=PB+PC.理由见解析;(3)若∠BAC=120°时,(2)3 PA=PB+PC.【解析】试题分析:(1)如图①,连接PC.根据“内接四边形的对角互补的性质”即可证得结论;(2)如图②,通过作辅助线BC、PE、CE(连接BC,延长BP至E,使PE=PC,连接CE)构建等边△PCE和全等三角形△BEC≌△APC;然后利用全等三角形的对应边相等和线段间的和差关系可以求得PA=PB+PC;(3)如图③,在线段PC上截取PQ,使PQ=PB,过点A作AG⊥PC于点G.利用全等三角形△ABP≌△AQP(SAS)的对应边相等推知AB=AQ,PB=PG,将PA、PB、PC的数量关系转化到△APC中来求即可.试题解析:(1)如图①,连接PC.∵△ACQ是由△ABP绕点A逆时针旋转得到的,∴∠ABP=∠ACQ.由图①知,点A、B、P、C四点共圆,∴∠ACP+∠ABP=180°(圆内接四边形的对角互补),∴∠ACP+∠ACQ=180°(等量代换);(2)PA=PB+PC.理由如下:如图②,连接BC,延长BP至E,使PE=PC,连接CE.∵弦AB=弦AC,∠BAC=60°,∴△ABC是等边三角形(有一内角为60°的等腰三角形是等边三角形).∵A、B、P、C四点共圆,∴∠BAC+∠BPC=180°(圆内接四边形的对角互补),∵∠BPC+∠EPC=180°,∴∠BAC=∠CPE=60°,∵PE=PC,∴△PCE是等边三角形,∴CE=PC,∠E=∠ECP=∠EPC=60°;又∵∠BCE=60°+∠BCP,∠ACP=60°+∠BCP,∴∠BCE=∠ACP(等量代换),在△BEC和△APC中,CE PCBCE ACPAC BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△BEC≌△APC(SAS),∴BE=PA,∴PA=BE=PB+PC;(3)若∠BAC=120°时,(2)中的结论不成立,3 PA=PB+PC.理由如下:如图③,在线段PC上截取PQ,使PQ=PB,过点A作AG⊥PC于点G.∵∠BAC=120°,∠BAC+∠BPC=180°,∴∠BPC=60°.∵弦AB=弦AC,∴∠APB=∠APQ=30°.在△ABP和△AQP中,PB PQAPB APQAP AP=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABP≌△AQP(SAS),∴AB=AQ,PB=PQ(全等三角形的对应边相等),∴AQ=AC(等量代换).在等腰△AQC中,QG=CG.在Rt△APG中,∠APG=30°,则AP=2AG,PG=3AG,∴PB+PC=PG﹣QG+PG+CG=PG﹣QG+PG+QG=2PG=23AG,∴3PA=23AG,即3PA=PB+PC.【点睛】本题考查了圆的综合题,解题的关键要能掌握和灵活运用圆心角、弧、弦间的关系,全等三角形的判定与性质,圆内接四边形的性质等.9.已知:如图,AB是⊙O的直径,PB切⊙O于点B,PA交⊙O于点C,∠APB是平分线分别交BC,AB于点D、E,交⊙O于点F,∠A=60°,并且线段AE、BD的长是一元二次方程 x2﹣kx+23 =0的两根(k为常数).(1)求证:PA•BD=PB•AE;(2)求证:⊙O的直径长为常数k;(3)求tan∠FPA的值.【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)tan∠FPA=2﹣3 .【解析】试题分析:(1)由PB切⊙O于点B,根据弦切角定理,可得∠PBD=∠A,又由PF平分∠APB,可证得△PBD∽△PAE,然后由相似三角形的对应边成比例,证得PA•BD=PB•AE;(2)易证得BE=BD,又由线段AE、BD的长是一元二次方程 x2﹣kx+2=0的两根(k为常数),即可得AE+BD=k,继而求得AB=k,即:⊙O的直径长为常数k;(3)由∠A=60°,并且线段AE、BC的长是一元二次方程 x2﹣kx+2=0的两根(k为常数),可求得AE与BD的长,继而求得tan∠FPB的值,则可得tan∠FPA的值.试题解析:(1)证明:如图,∵PB切⊙O于点B,∴∠PBD=∠A,∵PF平分∠APB,∴∠APE=∠BPD,∴△PBD∽△PAE,∴PB:PA=BD:AE,∴PA•BD=PB•AE;(2)证明:如图,∵∠BED=∠A+∠EPA,∠BDE=∠PBD+∠BPD.又∵∠PBD=∠A,∠EPA=∠BPD,∴∠BED=∠BDE.∴BE=BD.∵线段AE、BD的长是一元二次方程 x2﹣kx+2=0的两根(k为常数),∴AE+BD=k,∴AE+BD=AE+BE=AB=k,即⊙O直径为常数k.(3)∵PB切⊙O于B点,AB为直径.∴∠PBA=90°.∵∠A=60°.∴PB=PA•sin60°=PA,又∵PA•BD=PB•AE,∴BD=AE,∵线段AE、BD的长是一元二次方程 x2﹣kx+2=0的两根(k为常数).∴AE•BD=2,即AE2=2,解得:AE=2,BD=,∴AB=k=AE+BD=2+,BE=BD=,在Rt△PBA中,PB=AB•tan60°=(2+)×=3+2.在Rt△PBE中,tan∠BPF===2﹣,∵∠FPA=∠BPF,∴tan∠FPA=2﹣.【点睛】此题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及根与系数的关系等知识.此题难度较大,注意掌握数形结合思想与方程思想的应用.10.如图,AB是⊙O的直径,弦BC=OB,点D是»AC上一动点,点E是CD中点,连接BD分别交OC,OE于点F,G.(1)求∠DGE的度数;(2)若CF OF=12,求BFGF的值;(3)记△CFB,△DGO的面积分别为S1,S2,若CFOF=k,求12SS的值.(用含k的式子表示)【答案】(1)∠DGE=60°;(2)72;(3)12SS=211k kk+++.【解析】【分析】(1)根据等边三角形的性质,同弧所对的圆心角和圆周角的关系,可以求得∠DGE的度数;(2)过点F作FH⊥AB于点H设CF=1,则OF=2,OC=OB=3,根据勾股定理求出BF的长度,再证得△FGO∽△FCB,进而求得BFGF的值;(3)根据题意,作出合适的辅助线,然后根据三角形相似、勾股定理可以用含k的式子表示出12SS的值.【详解】解:(1)∵BC=OB=OC,∴∠COB=60°,∴∠CDB=12∠COB=30°,∵OC =OD ,点E 为CD 中点,∴OE ⊥CD ,∴∠GED =90°,∴∠DGE =60°;(2)过点F 作FH ⊥AB 于点H设CF =1,则OF =2,OC =OB =3∵∠COB =60°∴OH =12OF =1, ∴HFHB =OB ﹣OH =2,在Rt △BHF 中,BF ==由OC =OB ,∠COB =60°得:∠OCB =60°,又∵∠OGB =∠DGE =60°,∴∠OGB =∠OCB ,∵∠OFG =∠CFB ,∴△FGO ∽△FCB , ∴OF GF BF CF=, ∴, ∴BF GF =72. (3)过点F 作FH ⊥AB 于点H ,设OF =1,则CF =k ,OB =OC =k+1,∵∠COB =60°,∴OH =12OF=12,∴HF=,HB =OB ﹣OH =k+12, 在Rt △BHF 中,BF =由(2)得:△FGO ∽△FCB , ∴GO OFCB BF=,即1GO k =+, ∴GO=过点C 作CP ⊥BD 于点P∵∠CDB =30°∴PC=12CD,∵点E是CD中点,∴DE=12CD,∴PC=DE,∵DE⊥OE,∴12SS=BFGO=2211k kk k++++=211k kk+++【点睛】圆的综合题,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用三角形相似和勾股定理、数形结合的思想解答.11.在Oe中,AB为直径,C为Oe上一点.(Ⅰ)如图①,过点C作Oe的切线,与AB的延长线相交于点P,若28CAB∠=︒,求P∠的大小;(Ⅱ)如图②,D为弧AC的中点,连接OD交AC于点E,连接DC并延长,与AB的延长线相交于点P,若12CAB∠=︒,求P∠的大小.【答案】(1)∠P=34°;(2)∠P=27°【解析】【分析】(1)首先连接OC,由OA=OC,即可求得∠A的度数,然后由圆周角定理,求得∠POC的度数,继而求得答案;(2)因为D为弧AC的中点,OD为半径,所以OD⊥AC,继而求得答案.【详解】(1)连接OC,∵OA=OC,∴∠A=∠OCA=28°,∴∠POC=56°,∵CP是⊙O的切线,∴∠OCP=90°,∴∠P=34°;(2)∵D为弧AC的中点,OD为半径,∴OD⊥AC,∵∠CAB=12°,∴∠AOE=78°,∴∠DCA=39°,∵∠P=∠DCA﹣∠CAB,∴∠P=27°.【点睛】本题考查切线的性质以及等腰三角形的性质.注意准确作出辅助线是解此题的关键.12.如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC上一点,点F在射线CM上,∠AEF=90°,AE=EF,过点F作射线BC的垂线,垂足为H,连接AC.(1) 试判断BE与FH的数量关系,并说明理由;(2) 求证:∠ACF=90°;(3) 连接AF,过A,E,F三点作圆,如图2. 若EC=4,∠CEF=15°,求的长.图1 图2【答案】(1)BE="FH" ;理由见解析(2)证明见解析(3)=2π【解析】试题分析:(1)由△ABE≌△EHF(SAS)即可得到BE=FH(2)由(1)可知AB=EH,而BC=AB,FH=EB,从而可知△FHC是等腰直角三角形,∠FCH 为45°,而∠ACB也为45°,从而可证明(3)由已知可知∠EAC=30°,AF是直径,设圆心为O,连接EO,过点E作EN⊥AC于点N,则可得△ECN为等腰直角三角形,从而可得EN的长,进而可得AE的长,得到半径,得到所对圆心角的度数,从而求得弧长试题解析:(1)BE=FH.理由如下:∵四边形ABCD是正方形∴∠B=90°,∵FH⊥BC ∴∠FHE=90°又∵∠AEF=90°∴∠AEB+∠HEF="90°" 且∠BAE+∠AEB=90°∴∠HEF=∠BAE ∴∠AEB=∠EFH 又∵AE=EF∴△ABE≌△EHF(SAS)∴BE=FH(2)∵△ABE≌△EHF∴BC=EH,BE=FH 又∵BE+EC=EC+CH ∴BE="CH"∴CH=FH∴∠FCH=45°,∴∠FCM=45°∵AC是正方形对角线,∴∠ACD=45°∴∠ACF=∠FCM +∠ACD =90°(3)∵AE=EF,∴△AEF是等腰直角三角形△AEF外接圆的圆心在斜边AF的中点上.设该中点为O.连结EO得∠AOE=90°过E作EN⊥AC于点NRt△ENC中,EC=4,∠ECA=45°,∴EN=NC=Rt△ENA中,EN =又∵∠EAF=45°∠CAF=∠CEF=15°(等弧对等角)∴∠EAC=30°∴AE=Rt△AFE中,AE== EF,∴AF=8AE所在的圆O半径为4,其所对的圆心角为∠AOE=90°=2π·4·(90°÷360°)=2π考点:1、正方形;2、等腰直角三角形;3、圆周角定理;4、三角函数13.如图,已知AB 是⊙O 的直径,P 是BA 延长线上一点,PC 切⊙O 于点C ,CD ⊥AB ,垂足为D .(1)求证:∠PCA =∠ABC ;(2)过点A 作AE ∥PC 交⊙O 于点E ,交CD 于点F ,交BC 于点M ,若∠CAB =2∠B ,CF =3,求阴影部分的面积.【答案】(1)详见解析;(2)6334π-. 【解析】【分析】(1)如图,连接OC ,利用圆的切线的性质和直径对应的圆周角是直角可得∠PCA=∠OCB ,利用等量代换可得∠PCA=∠ABC.(2)先求出△OCA 是等边三角形,在利用三角形的等边对等角定理求出FA=FC 和CF=FM,然后分别求出AM 、AC 、MO 、CD 的值,分别求出0A E S ∆、BOE S 扇形 、ABM S ∆ 的值,利用0A E ABM BOE S S S S ∆∆=+-阴影部分扇形,然后通过计算即可解答.【详解】解:(1)证明:连接OC ,如图,∵PC 切⊙O 于点C ,∴OC ⊥PC,∴∠PCA+∠ACO=90º,∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB=∠ACO+OCB=90º∴∠PCA=∠OCB,∵OC=OB,∴∠OBC=∠OCB,∴∠PCA=∠ABC ;(2)连接OE ,如图,∵△ACB 中,∠ACB =90º,∠CAB =2∠B,∴∠B =30º,∠CAB =60º,∴△OCA 是等边三角形,∵CD ⊥AB,∴∠ACD+∠CAD =∠CAD +∠ABC =90º,∴∠ACD =∠B =30º,∵PC ∥AE,∴∠PCA =∠CAE =30º,∴FC=FA,同理,CF =FM,∴AM =2CF=23,Rt △ACM 中,易得AC=23×3=3=OC, ∵∠B =∠CAE =30º,∴∠AOC=∠COE=60º,∴∠EOB=60º,∴∠EAB=∠ABC=30º,∴MA=MB,连接OM,EG ⊥AB 交AB 于G 点,如图所示,∵OA=OB,∴MO ⊥AB,∴MO =3∵△CDO ≌△EDO(AAS),∴332 ∴1332ABM S AB MO ∆=⨯= 同样,易求93AOE S ∆=, 260333602BOE S ππ⨯==扇形 ∴0A E ABM BOE S S S S ∆∆=+-阴影部分扇形933633332ππ-+-=. 【点睛】本题考查了切线的性质、解直角三角形、扇形面积和识图的能力,综合性较强,有一定难度,熟练掌握定理并准确识图是解题的关键.14.如图,在矩形ABCD 中,点O 在对角线AC 上,以OA 的长为半径的⊙O 与AD 、AC 分别交于点E、F,且∠ACB=∠DCE.(1)判断直线CE与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若AB=2,BC=2,求⊙O的半径.6【答案】(1)直线CE与⊙O相切,理由见解析;(2)⊙O【解析】【分析】(1)首先连接OE,由OE=OA与四边形ABCD是矩形,易求得∠DEC+∠OEA=90°,即OE⊥EC,即可证得直线CE与⊙O的位置关系是相切;(2)首先易证得△CDE∽△CBA,然后根据相似三角形的对应边成比例,即可求得DE的长,又由勾股定理即可求得AC的长,然后设OA为x,即可得方程222-=,解此方程即可求得⊙O的半径.3)6)x x【详解】解:(1)直线CE与⊙O相切.…理由:连接OE,∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=∠D=∠BAD=90°,BC∥AD,CD=AB,∴∠DCE+∠DEC=90°,∠ACB=∠DAC,又∠DCE=∠ACB,∴∠DEC+∠DAC=90°,∵OE=OA,∴∠OEA=∠DAC,∴∠DEC+∠OEA=90°,∴∠OEC=90°,∴OE⊥EC,∵OE为圆O半径,∴直线CE与⊙O相切;…(2)∵∠B=∠D,∠DCE=∠ACB,∴△CDE∽△CBA,∴BC AB=,DC DE又CD=AB2BC=2,∴DE =1根据勾股定理得EC =3, 又226AC AB BC =+=,…设OA 为x ,则222(3)(6)x x +=-,解得64x =, ∴⊙O 的半径为64.【点睛】此题考查了切线的判定与性质,矩形的性质,相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识.此题综合性较强,难度适中,解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用,注意辅助线的作法.15.如图,在ABC △中,10AC BC ==,3cos 5C =,点P 是BC 边上一动点(不与点,A C 重合),以PA 长为半径的P e 与边AB 的另一个交点为D ,过点D 作DE CB ⊥于点E .()1当P e 与边BC 相切时,求P e 的半径;()2联结BP 交DE 于点F ,设AP 的长为x ,PF 的长为y ,求y 关于x 的函数解析式,并直接写出x 的取值范围;()3在()2的条件下,当以PE 长为直径的Q e 与P e 相交于AC 边上的点G 时,求相交所得的公共弦的长.【答案】(1)409;(2))25880010320x x y x x -+=<<+;(3)105- 【解析】【分析】(1)设⊙P与边BC相切的切点为H,圆的半径为R,连接HP,则HP⊥BC,cosC=35,则sinC=45,sinC=HPCP=R10R-=45,即可求解;(2)PD∥BE,则EBPD=BFPF,即:2248805x x x yx y--+-=,即可求解;(3)证明四边形PDBE为平行四边形,则AG=GP=BD,即:AB=DB+AD=AG+AD=45,即可求解.【详解】(1)设⊙P与边BC相切的切点为H,圆的半径为R,连接HP,则HP⊥BC,cosC=35,则sinC=35,sinC=HPCP=R10R-=45,解得:R=409;(2)在△ABC中,AC=BC=10,cosC=35,设AP=PD=x,∠A=∠ABC=β,过点B作BH⊥AC,则BH=ACsinC=8,同理可得:CH=6,HA=4,5tan∠()2284x+-2880x x-+DA=255x,则BD=45-255x,如下图所示,PA=PD,∴∠PAD=∠CAB=∠CBA=β,tanβ=2,则cosβ=5,sinβ=5,EB=BDcosβ=(45-255x)×5=4-25x,∴PD∥BE,∴EBPD=BFPF,即:2248805x x x yx--+-=,整理得:y=()25x x8x800x10-+<<;(3)以EP为直径作圆Q如下图所示,两个圆交于点G,则PG=PQ,即两个圆的半径相等,则两圆另外一个交点为D,GD为相交所得的公共弦,∵点Q时弧GD的中点,∴DG⊥EP,∵AG是圆P的直径,∴∠GDA=90°,∴EP∥BD,由(2)知,PD∥BC,∴四边形PDBE为平行四边形,∴AG=EP=BD,∴设圆的半径为r,在△ADG中,AG=2r,,则:相交所得的公共弦的长为【点睛】本题考查的是圆知识的综合运用,涉及到解直角三角形、勾股定理等知识,其中(3),要关键是根据题意正确画图,此题用大量的解直角三角形的内容,综合难度很大.。
人教版九年级数学:圆经典复习题(含答案)
练习:在直角坐标平面内,圆O 的半径为5,圆心O 的坐标为(14)--,.试判断点(31)P -,与圆O 的位置关系.知识点三、圆的基本性质1圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线。
2、垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧。
垂径定理的推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦对的弧。
3、圆具有旋转对称性,特别的圆是中心对称图形,对称中心是圆心。
圆心角定理:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
4、圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
圆周角定理推论1:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等。
圆周角定理推论2:直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径。
例1 如图,在半径为5cm 的⊙O 中,圆心O 到弦AB 的距离为3cm ,则弦AB 的长是( ) A .4cm B .6cm C .8cm D .10cm例2、如图,A 、B 、C 、D 是⊙O 上的三点,∠BAC=30°,则∠BOC 的大小是( ) A 、60° B 、45° C 、30° D 、15°例3、如图1和图2,MN 是⊙O 的直径,弦AB 、CD•相交于MN•上的一点P ,•∠APM=∠CPM . (1)由以上条件,你认为AB 和CD 大小关系是什么,请说明理由.(2)若交点P 在⊙O 的外部,上述结论是否成立?若成立,加以证明;若不成立,请说明理由.BA CEDP ONM FBA CE DPNMF(1) (2)知识点四、圆与三角形的关系1、不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
2、三角形的外接圆:经过三角形三个顶点的圆。
3、三角形的外心:三角形三边垂直平分线的交点,即三角形外接圆的圆心。
4、三角形的内切圆:与三角形的三边都相切的圆。
5、三角形的内心:三角形三条角平分线的交点,即三角形内切圆的圆心。
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圆的复习与综合题训练知识精要1、圆的有关概念①圆是到定点的距离等于定长的点的集合,经过圆心的弦叫做直径,直径是圆中最大的弦。
②圆既是轴对称图形又是中心对称图形③圆心相等、半径不同的两个圆是同心圆,半径相同、圆心不同的两个圆是等圆。
2、圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小,不在同一直线上的三点确定一个圆。
3、垂径定理以及它的推论垂径定理:垂直于弦的直径平行这条弦,并且平分弦所对的弧。
(推论略)4、在同圆或等圆中,如果圆心角、弧、弦、弦心距四组量中有一组量相等,那么它所对应的其余的量也相等。
5、直线与圆的位置关系;圆与圆的位置关系6、正多边形和圆的关系①各边、各角都相等的多边形叫做正多边形。
②任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,且它们同心圆。
360③正多边形的中心角的度数=n热身练习一、判断下列命题的真假1.······平分弦的直径一定垂直于这条弦 ·········································· ( × )2.······在同一平面内,三点确定一个圆 ·········································· ( × )3.······如果弧相等,那么它所对应的圆心角也相等 ··························· ( × )4.······同圆中两条等弧所对的弦一定相等 ·······································( √ )5.······各个角都相等的多边形是正多边形 ······································· ( × )6.······半径的2倍长等于直径······················································· ( × )7. 正十边形的中心角是36° ························································( √ )二、选择题1. 下列命题中,不正确的命题是( A ).A、平分弦的直径垂直于弦B、垂直平分弦的直线必经过圆心C、垂直于弦的直径平分弦所对的弧D、平分弧的直径垂直平分弧所对的弦2. 下列命题中,正确的是( D )A、内错角相等B、平行四边形不是中心对称图形C、相等的圆心角所对的弧相等D、圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的对称轴3. 下列命题中假命题的是( C )A、三角形三条中线的交点到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍B、平行于梯形一底并和两腰相交的直线,分两腰所成的线段对应成比例C、一个点到圆心的距离不小于这个圆的半径,这个点在圆内D、垂直于弦的直径平分弦4. 如图,圆O的半径是2.4cm,OB⊥AC,垂足是D,AC=2.4cm,那么∠AOB 的度数及CD的长分别是( A )A、∠AOB=30°,CD=1.2cmB、∠AOB=45°,CD=1.2cmC、∠AOB=30°,CD=2.4cmD、∠AOB=45°,CD=2.4cm5. 在△ABC中,∠C=90°,O是BC上的一点,以OB为半径作圆O交AB于点D,交BC于E,∠A=30°,BD=6,则圆O的直径是(A)A、12B、9C、6D、36. 如图所示,在圆O内有折线OABC,其中OA=8,AB=12,∠A=∠B=60°,则BC的长为(D)A、19B、16C、18D、20第4题图第6题图AB精解名题例1. 圆内接△ABC 中,AB=AC ,底边BC=8cm ,圆的半径为5cm ,求腰AB 的长。
例2. 如图,AB 是圆O 的直径,C 是»BD 的中点,CE ⊥AB 于E ,BD 交CE 于点F.(1)求证:CF=BF ;(2)若CD=6,AC=8,求圆O 的半径及CE 的长。
解:①圆心在△ABC 内,AB=②圆心在△ABC 外,AB= 解:(1)连OC ,则OC ⊥BD ,再证∠OCE=∠OBF ,∠OCB=∠OBC 得∠FCB=∠FBC 所以CF=BF(2)由AB 是直径,得∠ACB=90° AC=8,BC=CD=6,∴AB=10 面积法得CE=4.8例3. 直线l 的解析式为3=-34y x ,与x 轴y 轴分别交于点A 、B(1)求A 、B 两点坐标;(2)一个圆心在坐标原点,半径为1的圆,以0.4个单位/秒的速度向x 轴正方形运动,问在什么时刻该圆与直线l 相切;(3)在题(2)中,若在圆开始运动的同时,一动点P 从B 点出发,沿BA 方向以0.5个单位/秒的速度运动,则在整个运动过程中,点P 在动圆的圆面上(圆上和圆的内部)一共运动了多长时间?解:(1)A (4,0)B (0,-3) (2)作OQ ⊥AB ,三角比求得: 185=6t235=6t(3)①0<10t 时,P 在A 点下方AP= 15-2tP 23(t,t-3)510,O 2(t,0)5P 在圆上时,OP=1,得20t=3②t>10时,P 在A 点上方AP= 1-52t ,同理得40t=3∴运动时间为203秒例4. 如图,直角坐标系内的矩形ABCD 中顶点A 的坐标为(0,3),BC=2AB ,P 为AD 边上一动点(与点A 、D 不重合),以点P 为圆心作圆P ,与对角线AC 相切于点F ,过P 、F 作直线l ,交BC 边上于点E 。
当点P 运动到点P 1位置时,直线l 恰好经过点B ,此时直线的解析式是=2+1y x(1)求BC 、A P 1的长;(2)设AP=m ,梯形PECD 的面积为S ,求S 关于m 的函数关系式,并写出自变量m 的取值范围;(3)以点E 为圆心作圆E ,与x 轴相切。
试探究并猜想圆P 和圆E 有哪几种不同的位置关系,并求出AP 相应的取值范围。
解:(1)BC=4,A P 1=1(2)S=9-2m (1<4m ≤)(3) =p r PF,=1E rPE= 第一种:外离:1m ≤第二种:外切:第三种:相交:<4m巩固练习1、在⊙O中,已知M是弦AB上的一点,AM=4,BM=6,OM=5,求⊙O的半径。
作OC⊥AB交AB于点C,MC=错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。
,错误!未找到引用源。
答:⊙O的半径为72、圆内接等腰三角形ABC中,圆心到BC的距离为3 cm,圆的半径为7cm,求腰长AB。
①当BC为底时错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。