九年级数学一元二次方程-PPT课件
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苏教版九年级数学上册《一元二次方程》课件(共19张PPT)
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You made my day!
我们，还在路上……
2x22x240
x2 20
2x21x9 2 40
5x21x02.20
2x22x240
能用一个一般形式表示一元二次方程吗？
a x 2+ b x + c = 0
(a、b、c为常数且a ≠ 0)
一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以
化为 ax2bx的c形式0,我们把
ax2bxc0
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。
一次项系数
二次项系数
为什么要 限制a≠0
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
，b,c可 (a、b、c为常数且a ≠ 0)
以为零吗 a x 2 叫
？
二次项
b x叫一次项
c叫常数项
即学即用
指出下列方程的二次项、一次项和常数项及它们的系数：
x2 2
x(192x)24
整式方程， 然后整理看 是否符合另 外两个条件.
(5 ).x 2 3 ( x 1 )( x 2 )
(6 ).ax 2 b x c 0
(7 ).m x 2 0 ( m 为 不 等 于 0 的 常 数 )
把情境中的四个一元二次方程化简为右 边为0的形式
x2 20
2x21x9 2 40
5x21x02.20
解：根据勾股定理，得
x2(x1)2 52
x2 2
x(192x)24
5(1x)2 7.2
x2(x1)2 52 这四个方程是不是一元一次方程？有何特点？
?
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5x21x02.20
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能用一个一般形式表示一元二次方程吗？
a x 2+ b x + c = 0
(a、b、c为常数且a ≠ 0)
一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以
化为 ax2bx的c形式0,我们把
ax2bxc0
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。
一次项系数
二次项系数
为什么要 限制a≠0
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
，b,c可 (a、b、c为常数且a ≠ 0)
以为零吗 a x 2 叫
？
二次项
b x叫一次项
c叫常数项
即学即用
指出下列方程的二次项、一次项和常数项及它们的系数：
x2 2
x(192x)24
整式方程， 然后整理看 是否符合另 外两个条件.
(5 ).x 2 3 ( x 1 )( x 2 )
(6 ).ax 2 b x c 0
(7 ).m x 2 0 ( m 为 不 等 于 0 的 常 数 )
把情境中的四个一元二次方程化简为右 边为0的形式
x2 20
2x21x9 2 40
5x21x02.20
解：根据勾股定理，得
x2(x1)2 52
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5(1x)2 7.2
x2(x1)2 52 这四个方程是不是一元一次方程？有何特点？
?
人教版九年级初中数学上册第二十一章一元二次方程-解一元二次方程(配方法)PPT课件
2
B.x 2 6 x 8 0，x 2 6 x 9 8 9， x 3 1
2
2
2
2
7
7 7
7 7 97
C.2 x 7 x 6 0，x x 3， x 2 x 3 ， x
第二十一章 一元二次方程
21.2.1 解一元二次方程
——配方法
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前 言
学习目标
1.理解配方法的概念，并运用配方法解一元二次方程。
2.掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤。
重点难点
重点：用配方法解一元二次方程。
难点：用配方法解一元二次方程的步骤。
新知探究
尝试写出解方程x2+6x+4=0的过程？
第二十一章 一元二次方程
课 程 结 束
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
C.大于等于1
的值（ C ）
D.不大于1
【思路点拨】将二次三项式配方，然后根据平方大于等于0，求出最值。
【解题过程】 解：∵ 2 x 2 4 x 3
2 x 2 2 x 1 2 1 3
2 x 1 1。
2
2 x 1 0，
2
原式 1。
方”)
新知探究
通过配方法解一元二次方程的步骤
用配方法解一元二次方程
ax 2 bx c 0 a 0 的一般步骤：
（1）移项：将含有x的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；
（2）二次项系数化为1：两边同除以二次项的系数；
（3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；
B.x 2 6 x 8 0，x 2 6 x 9 8 9， x 3 1
2
2
2
2
7
7 7
7 7 97
C.2 x 7 x 6 0，x x 3， x 2 x 3 ， x
第二十一章 一元二次方程
21.2.1 解一元二次方程
——配方法
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前 言
学习目标
1.理解配方法的概念，并运用配方法解一元二次方程。
2.掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤。
重点难点
重点：用配方法解一元二次方程。
难点：用配方法解一元二次方程的步骤。
新知探究
尝试写出解方程x2+6x+4=0的过程？
第二十一章 一元二次方程
课 程 结 束
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
C.大于等于1
的值（ C ）
D.不大于1
【思路点拨】将二次三项式配方，然后根据平方大于等于0，求出最值。
【解题过程】 解：∵ 2 x 2 4 x 3
2 x 2 2 x 1 2 1 3
2 x 1 1。
2
2 x 1 0，
2
原式 1。
方”)
新知探究
通过配方法解一元二次方程的步骤
用配方法解一元二次方程
ax 2 bx c 0 a 0 的一般步骤：
（1）移项：将含有x的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；
（2）二次项系数化为1：两边同除以二次项的系数；
（3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；
华师大版九年级数学上册《一元二次方程》课件(14张PPT)
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20．根据问题，列出关于x的方程：在圣诞节到来之际，九(3)班所 有的同学准备送贺卡相互祝贺，所有同学送完后共送了1 640张， 求九(3)班有多少同学？ 解：设九(3)班有x名同学，根据题意，得x(x－1)＝1640
21．k为何值时，关于x的方程(k＋3)(k－1)x2＋(k－1)x＋5＝0. (1)是一元一次方程？ 解：∵(k＋3)(k－1)＝0且k－1≠0，∴k＝－3.即当k＝－3时， 原方程是一元一次方程 (2)是一元二次方程？ 解：∵(k＋3)(k－1)≠0，∴k≠－3且k≠1.即当k≠－3且k≠1时， 原方程是一元二次方程
22．1 一元二次方程
1．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是__2__的整式 方程，叫做一元二次方程．
2．判断一个方程是否是一元二次方程，必须满足下列条件：(1) 是___整__式___方程；(2)只含有一个未知数；(3)未知数的最高次数 是__2__；(4)二次项系数不能为__0__．
3．关于 x 的一元二次方程的一般形式是 ax2＋bx＋c＝0(a，b， c 是已知数，a≠0)，其中___a_是二次项系数，__b__是一次项系 数；__c__是常数项．注意：“a≠0”是一元二次方程一般形式 的一个重要组成部分．
A．x(3x－4)＝0
B．5x2＝x(1－2x)源自C．(2x＋1)(1－x)＝0 D．x(1－x)＝x
知识点3：一元二次方程的根
7．已知x＝2是一元二次方程x2＋mx＋2＝0的一个解，则m的值
是(A )
A．－3
B．3
C．0
D．0或3
8．(1)(2014·哈尔滨)若x＝－1是关于x的一元二次方程x2＋3x＋
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20．根据问题，列出关于x的方程：在圣诞节到来之际，九(3)班所 有的同学准备送贺卡相互祝贺，所有同学送完后共送了1 640张， 求九(3)班有多少同学？ 解：设九(3)班有x名同学，根据题意，得x(x－1)＝1640
21．k为何值时，关于x的方程(k＋3)(k－1)x2＋(k－1)x＋5＝0. (1)是一元一次方程？ 解：∵(k＋3)(k－1)＝0且k－1≠0，∴k＝－3.即当k＝－3时， 原方程是一元一次方程 (2)是一元二次方程？ 解：∵(k＋3)(k－1)≠0，∴k≠－3且k≠1.即当k≠－3且k≠1时， 原方程是一元二次方程
22．1 一元二次方程
1．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是__2__的整式 方程，叫做一元二次方程．
2．判断一个方程是否是一元二次方程，必须满足下列条件：(1) 是___整__式___方程；(2)只含有一个未知数；(3)未知数的最高次数 是__2__；(4)二次项系数不能为__0__．
3．关于 x 的一元二次方程的一般形式是 ax2＋bx＋c＝0(a，b， c 是已知数，a≠0)，其中___a_是二次项系数，__b__是一次项系 数；__c__是常数项．注意：“a≠0”是一元二次方程一般形式 的一个重要组成部分．
A．x(3x－4)＝0
B．5x2＝x(1－2x)源自C．(2x＋1)(1－x)＝0 D．x(1－x)＝x
知识点3：一元二次方程的根
7．已知x＝2是一元二次方程x2＋mx＋2＝0的一个解，则m的值
是(A )
A．－3
B．3
C．0
D．0或3
8．(1)(2014·哈尔滨)若x＝－1是关于x的一元二次方程x2＋3x＋
初三数学中考专题复习 一元二次方程 课件(共22张PPT)
• 8、若9am2-4m+4与5a9是同类项，则m= ___
• 9、某商场将进货价为30元的台灯以40元售 出，平均每月能售出600个，调查表明：， 这种台灯的售价每上涨1元，其月销售量就 将减少10个，若销售利润率不得高于100% ，为了实现平均每月10000元的销售利润， 这种台灯的售价应定为多少？这时应进台 灯多少个？
• 5、 若x，y为矩形的边长，且(x＋y＋4)(x ＋y＋5)＝42， 则矩形的周长为___．
• 6、如果正整数a是一元二次方程x2－3x＋ m＝0的一 个根，－a是一元二次方程
• x2＋3x－m＝0的一个 根，则a＝____．
• 7、一元二次方程ax2+bx+c=0，若x=1是它 的一个根，则 a+b+c= ___,若a-b+c=0， 则方程必有一根为___
运动与方程
如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，
AC=6m，BC=8m，点P、Q同时由A、
B速两点出发分别沿AC，BC方向 A
向点C匀运动，它们的速度都是 P 1m/s，几秒后四边形APQB的面积
为Rt△ACB面积的1\3？
C
QB
几何与方程
1.将一块正方形的铁皮四角剪去一个边长为4cm的小正 方形,做成一个无盖的盒子.已知盒子的容积是400cm3, 求原铁皮的边长.
适应于左边能分解为两个一次因式的积右边是00的方程一一元二次方程的定义1判断下面方程是不是一元二次方程14xx2023x2y103ax?bxc04853xx13????122方程m2xm3mx40是关于x的一元二次方程则m3方程m21x2m1x2m10当m时是一元二次方程
第二章 一元二次方程 复习
把握住：一个未知数，最高次数是2，
• 9、某商场将进货价为30元的台灯以40元售 出，平均每月能售出600个，调查表明：， 这种台灯的售价每上涨1元，其月销售量就 将减少10个，若销售利润率不得高于100% ，为了实现平均每月10000元的销售利润， 这种台灯的售价应定为多少？这时应进台 灯多少个？
• 5、 若x，y为矩形的边长，且(x＋y＋4)(x ＋y＋5)＝42， 则矩形的周长为___．
• 6、如果正整数a是一元二次方程x2－3x＋ m＝0的一 个根，－a是一元二次方程
• x2＋3x－m＝0的一个 根，则a＝____．
• 7、一元二次方程ax2+bx+c=0，若x=1是它 的一个根，则 a+b+c= ___,若a-b+c=0， 则方程必有一根为___
运动与方程
如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，
AC=6m，BC=8m，点P、Q同时由A、
B速两点出发分别沿AC，BC方向 A
向点C匀运动，它们的速度都是 P 1m/s，几秒后四边形APQB的面积
为Rt△ACB面积的1\3？
C
QB
几何与方程
1.将一块正方形的铁皮四角剪去一个边长为4cm的小正 方形,做成一个无盖的盒子.已知盒子的容积是400cm3, 求原铁皮的边长.
适应于左边能分解为两个一次因式的积右边是00的方程一一元二次方程的定义1判断下面方程是不是一元二次方程14xx2023x2y103ax?bxc04853xx13????122方程m2xm3mx40是关于x的一元二次方程则m3方程m21x2m1x2m10当m时是一元二次方程
第二章 一元二次方程 复习
把握住：一个未知数，最高次数是2，
人教版数学九年级上册21.1 一元二次方程课件(共24张PPT)
解：设小道的宽度为x米，得(20－2x)(10－x)＝120整理得x2-要建造一个长10m，宽5m玻璃顶观景亭，如图所示在它的四角建造四个截面为正方形的承重柱. 已知需要用到玻璃的面积为45m2，那么承重柱的宽度多少？
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
人教版数学九年级上册22.2 二次函数和一元二次方程课件(共55张PPT)
当已知二次函数 y 值，求自变量 x值时，可以看作是解对应的一 元二次方程.相反地，由解一元二次方程，又可看作是二次函数值 为0时，求自变量x的值
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O
解一元二次方程ppt课件
21.2 解一元二次方程
重
难 ■题型二 利用根的判别式判断三角形的形状
题 型
例 2 已知△ABC 中，a，b，c 分别是∠A，∠B，∠C 的对边，且关于 x
突 的一元二次方程 b（x2-1）-2ax+c（x2+1）=0 有两个相等的实数根．判断
破 △ABC 的形状.
［解析］ 根据已知条件得出 Δ=0，将等式变形，利用勾股定理的逆定理
B． 只有一个实数根
读
C． 有两个不相等的实数根
D． 没有实数根
［解题思路］
原方程
x（x-2）=1
化为一般形式
x2-2x-1=0
确定 a，b，c 的值
a=1，b=-2，c=-1
代入判别式 Δ
b2-4ac=8＞0
判断根的情况
［答案］ C
有两个不相等的实数根
方法点拨 应用根的判别式时要准确确定 a，b，c 的值，代入时要注意不 要丢掉各项系数的符号.
清 单
（1）x2-4x-3=0； （2）2x2-6x=1； （3）（t+3）（t-1）=12．
解
［解题思路］ 按照下面的顺序进行求解.
读
［答案］ 解：（1）移项，得 x2-4x=3，配方，得 x2-4x+4=3+4，即（x-
2）2=7，开方，得 x-2=±
，所以 x1=2+
，x2=2-
；
（2）二次项系数化为 1，得 x2-3x= ，配方，得 x2-3x+
21.2 解一元二次方程
考
点
21.2.1 配 方 法
清
单 ■考点一 直接开平方法
解
读
原理 根据平方根的意义进行“降次”，转化为一元一次方程求解
人教版初中数学九年级上册一元二次方程课件PPT
18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？
8m
18m2
5mቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解:设所求的宽度为xm,则中间地毯的宽表示为_(_5_-_2_x_)_m___,长表示为__(_8_-_2_x_)m_, 则方程列为_(_8_-_2_x_)_(_5_-_2_x_)=__1_8 ，整理得__4_x_2_-_2_6_x_+_2_2__＝__0__.
★ 知识拓展
1)若a b c 0,则一元二次方程ax2 bx c 0必有一解为 1.
2)若a b c 0,则一元二次方程ax2 bx c 0必有一解为-1. 3)若4a 2b c 0,则一元二次方程ax2 bx c 0必有一解为 2.
随堂训练
例5 已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根为1, 求a+b+c的值.
(2)由∣a ∣+1 =2，且a-1 ≠0知，当a=-1时，原方程是一元二次方程.
总结：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次 数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的 值．
知识讲解
例3 将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指出它们的二次项、 一次项和常数项及它们的系数.
新课导入
变式：
桌上有一张矩形纸片，长25cm，宽15cm，在它的四角各剪去一个同样的
正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制
作的无盖方盒的底面积为300cm2，那么纸片各角应剪去的正方形边长为多
少厘米？
设剪去的正方形边长为x cm，则无盖方盒的底面的长为（25-2x） cm ， 宽为（ 15-2x ） cm ，根据题意，可列方程为
8m
18m2
5mቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解:设所求的宽度为xm,则中间地毯的宽表示为_(_5_-_2_x_)_m___,长表示为__(_8_-_2_x_)m_, 则方程列为_(_8_-_2_x_)_(_5_-_2_x_)=__1_8 ，整理得__4_x_2_-_2_6_x_+_2_2__＝__0__.
★ 知识拓展
1)若a b c 0,则一元二次方程ax2 bx c 0必有一解为 1.
2)若a b c 0,则一元二次方程ax2 bx c 0必有一解为-1. 3)若4a 2b c 0,则一元二次方程ax2 bx c 0必有一解为 2.
随堂训练
例5 已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根为1, 求a+b+c的值.
(2)由∣a ∣+1 =2，且a-1 ≠0知，当a=-1时，原方程是一元二次方程.
总结：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次 数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的 值．
知识讲解
例3 将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指出它们的二次项、 一次项和常数项及它们的系数.
新课导入
变式：
桌上有一张矩形纸片，长25cm，宽15cm，在它的四角各剪去一个同样的
正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制
作的无盖方盒的底面积为300cm2，那么纸片各角应剪去的正方形边长为多
少厘米？
设剪去的正方形边长为x cm，则无盖方盒的底面的长为（25-2x） cm ， 宽为（ 15-2x ） cm ，根据题意，可列方程为
一元二次方程课件ppt
• 问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼 房之间，开辟面积为900平方米的一块长方 形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长 和宽各为多少？
（x＋10）
x
问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间， 开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且 长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？
例1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次 方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次
项系数及常数项．
• 分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此， 方程（8-2x） （•5-2x）=18必须运用整式运算进行整理，包括 去括号、移项等．
• 解：去括号，得： • 40-16x-10x+4x2=18 • 移项，得：4x2-26x+22=0 • 其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22．
3
你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?
观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算 相应的y值,完成下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
描点,连线 y 10
y=x2
8
6
4
2
?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2
二次函数 y=x2的图象 形如物体抛 射时所经过 的路线,我们 把它叫做抛 物线
方程
二次项 一次项 常数 系数 系数 项
2x2 x 3 0 2
1
－3
3x2 5 0
3
0
－5
x2 3x 0 1
－3
0
2、将下列一元二次方程化为一般形式，并分别 指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
人教版九年级上册 第二十一章 21.1 一元二次方程 课件(共25张PPT)
m_≠__±__1__时，它是一元二次方程;当m_=_1____时，它是 一元一次方程。
例题讲解
3、已知m, n都是方程x2 2006x 2008 0 的根,试求(m2 2006m 2007)(n2 2006n 2007)的值.
解 :∵m, n是方程x2 2006x 2008 0 的根,由根的定义知: m2 2006m 2008 0 n2 2006n 2008 0 即: m2 2006m 2008 n2 2006n 2008
解：设应邀请x 个队参赛，每个队要与其它（x－1）个队各赛1场，
由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以
1
列全方部程比赛12共x(2x
x(x
1)
1) 场． 28 整理，得
1 x2 2
1 2
x
28
化简，得 x2 x 56 ③ 由方程③可以得出参赛队数．
同学们认真看问题1、2、3，整理得方程：
x2 － 75x ＋ 350＝0
（1）
x2 +2x-4＝0
（2）
x2 x 56
（3）
特征：（1） 都是整式方程 （2） 只含有一个未知数 （3） 未知数的最高次数是2
2、新课讲授 （1）只含有一个未知数，并且未知数的最高次数 是2的整式方程叫做一元二次方程。
（2）一元二次方程通常可写成如下的一般形式：
ax2+bx+c=0（a≠0)
（3）条件：①当a≠0时，是一元二次方程。
②当a=0并且b≠0 时 ，是一元一次方程。
注意：其中c是常数项。一般方程的左边按x的降幂排列， 右边＝0，当然也可以没有一次项、常数项。
一元二次方程的项和各项系数
二次项 系数
一次项 系数
例题讲解
3、已知m, n都是方程x2 2006x 2008 0 的根,试求(m2 2006m 2007)(n2 2006n 2007)的值.
解 :∵m, n是方程x2 2006x 2008 0 的根,由根的定义知: m2 2006m 2008 0 n2 2006n 2008 0 即: m2 2006m 2008 n2 2006n 2008
解：设应邀请x 个队参赛，每个队要与其它（x－1）个队各赛1场，
由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以
1
列全方部程比赛12共x(2x
x(x
1)
1) 场． 28 整理，得
1 x2 2
1 2
x
28
化简，得 x2 x 56 ③ 由方程③可以得出参赛队数．
同学们认真看问题1、2、3，整理得方程：
x2 － 75x ＋ 350＝0
（1）
x2 +2x-4＝0
（2）
x2 x 56
（3）
特征：（1） 都是整式方程 （2） 只含有一个未知数 （3） 未知数的最高次数是2
2、新课讲授 （1）只含有一个未知数，并且未知数的最高次数 是2的整式方程叫做一元二次方程。
（2）一元二次方程通常可写成如下的一般形式：
ax2+bx+c=0（a≠0)
（3）条件：①当a≠0时，是一元二次方程。
②当a=0并且b≠0 时 ，是一元一次方程。
注意：其中c是常数项。一般方程的左边按x的降幂排列， 右边＝0，当然也可以没有一次项、常数项。
一元二次方程的项和各项系数
二次项 系数
一次项 系数
一元二次方程ppt课件
定义
一元二次方程是一个整式方程， 其一般形式为ax^2 + bx + c = 0 ，其中a、b、c是常数，且a≠0。
解释
一元二次方程只含有一个未知数， 并且未知数的最高次数是2。
举例
如2x^2 + 3x - 4 = 0，3x^2 - 5x + 2 = 0等。
一元二次方程的一般形式
形式
ax^2 + bx + c = 0，其中a、b 、c是常数，且a≠0。
判断下列哪个方程有两个不相 等的实数根，并说明理由： x^2 + 2x + 1 = 0
综合练习题
对于任何一个一元二次方程，如 何判断它的根的情况？
根据一元二次方程的特点，如何 利用配方法求解其根？
对于一个一元二次方程，如果它 的根的判别式小于0，那么这个
方程有什么特点？
CHAPTER 07
总结与回顾
• 如果Δ>0，方程有两个不同的实数解；
根的判别式的性质
• 如果Δ=0，方程有两个相同的实 数解；
• 如果Δ<0，方程没有实数解。
根的判别式的应用
通过根的判别式，我们可以快速判断一元二次方程的实数解的情况，不 需要求解方程。
在数学、物理、工程等领域中，根的判别式被广泛应用于解决涉及二次 方程的问题。
加强对一元二次方程的应用，结合实际 生活和相关学科，拓展应用领域。
进一步学习其他数学知识和方法，为后 培养自主学习和终身学习的意识，不断
续学习和工作打下坚实的基础。
学习和进步。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
公式法
通过配方法或公式法求解。
求根公式法
当Δ=b^2-4ac≥0时，方程有 实数解。此时，x=(b±√Δ)/(2a)。
一元二次方程是一个整式方程， 其一般形式为ax^2 + bx + c = 0 ，其中a、b、c是常数，且a≠0。
解释
一元二次方程只含有一个未知数， 并且未知数的最高次数是2。
举例
如2x^2 + 3x - 4 = 0，3x^2 - 5x + 2 = 0等。
一元二次方程的一般形式
形式
ax^2 + bx + c = 0，其中a、b 、c是常数，且a≠0。
判断下列哪个方程有两个不相 等的实数根，并说明理由： x^2 + 2x + 1 = 0
综合练习题
对于任何一个一元二次方程，如 何判断它的根的情况？
根据一元二次方程的特点，如何 利用配方法求解其根？
对于一个一元二次方程，如果它 的根的判别式小于0，那么这个
方程有什么特点？
CHAPTER 07
总结与回顾
• 如果Δ>0，方程有两个不同的实数解；
根的判别式的性质
• 如果Δ=0，方程有两个相同的实 数解；
• 如果Δ<0，方程没有实数解。
根的判别式的应用
通过根的判别式，我们可以快速判断一元二次方程的实数解的情况，不 需要求解方程。
在数学、物理、工程等领域中，根的判别式被广泛应用于解决涉及二次 方程的问题。
加强对一元二次方程的应用，结合实际 生活和相关学科，拓展应用领域。
进一步学习其他数学知识和方法，为后 培养自主学习和终身学习的意识，不断
续学习和工作打下坚实的基础。
学习和进步。
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公式法
通过配方法或公式法求解。
求根公式法
当Δ=b^2-4ac≥0时，方程有 实数解。此时，x=(b±√Δ)/(2a)。
认识一元二次方程PPT课件
感悟新知
1 方程x2+x－12＝0的两个根为( ) A．x1＝－2，x2＝6 B．x1＝－6，x2＝2 C．x1＝－3，x2＝4 D．x1＝－4，x2＝3
知3－练
感悟新知
知3－练
2 若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有 一个根为1，则下列结论正确的是( ) A．a＋b＋c＝1 B．a－b＋c＝0 C．a＋b＋c＝0 D．a－b＋c＝1
答：小青蛙比大青蛙少吃了__2_6__只虫子。
算一算，说一说。
54
61
36
70
2．用小棒摆一摆，算一算。
98
35
摆一摆略。
归纳总结：
计算两位数加、减整十数，先把两位数拆分成整十数和 一位数，再把整十数相加、减，最后和一位数相加。
（讲解源于《典中点》）
一共吃了多少只虫子？
易错辨析（选题源于《典中点》）
知2－讲
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经 过整理，都能化成如下形式：ax²+bx+c=0 (a≠0)这 种形式叫做一元二次方程的一般形式 . 特别提醒： a ≠ 0是方程ax2+bx+c=0 是关于x 的一元二次方程的 前提；反之，如果方程ax2+bx+c=0 是关于x 的一元 二次方程，则必隐含a≠0这一条件.
4．
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作业 请完成《典中点》的“应用提升练”和“思 维拓展练”习题，具体内容见习题课件。
感悟新知
知1－讲
如图，一个长为10 m的梯子斜靠 在墙上，梯子 的顶端A处到地面的距离为8 m. 如果梯子的顶端沿 墙面下滑1 m，那么梯子的底端B在地面上滑动的距 离是多少米？
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A．x2＋x12＝0
B．ax2＋bx＋c＝0
C．(x－1)(x＋2)＝1 D．3x2－2xy－5y2＝0
(2)(2011·武汉)若Ex1v，ax2l是ua一t元io二n次o方n程lyx.2＋4x＋3＝0 的两个根，
ted 则wxit1xh2的A值s是p(ose).Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2
A．4
B．3
C．－4
D．－3
Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd.
(3)(2011·潍坊)关于 x 的方程 x2＋2kx＋k－1＝0 的根的情况描述正
确的是( )
A．k 为任何实数，方程都没有实数根
B．k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根
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中考典例精析
解C法二o：pya＝ri1g，hb＝t －240，1c9＝-1.2019 Aspose Pty Ltd.
b2－4ac＝(－4)2－4×1×1＝12＞0.
x＝4±2 12＝2± 3，
x1＝2＋ 3，x2＝2－ 3.
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中考典例精析
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方法总结：
解一元二次方程有以下几种方法：(1)直接开平方法；(2)配方法；
(3)公式法；(4)因式分解法.
解一元二次方程时，要注意根据方程的特点，选择适当的方法求解.
一般地，若方程左边是一E个v完a全lu平a方t式io，n右o边n是ly一. 个非负数或完全平方式 ted，w应i采th用A直s接p开o平s方e法.S；l若id能e因s式fo分r解.就N用E因T式3分.5解法C；li当e两nt种P方r法o都fi行le 5.2
考C点o五py列ri一g元h二t 2次0方1程9解-应2用01题9 Aspose Pty Ltd.
列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程(组)解应用题步
骤一样，即审、找、设、列、解、答六步．
温馨提示：
在应用根与系数的关系时，一定要保证一元二次方程有实数根.
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中考典例精析
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(1)(2011·兰州)下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是( )
数根，即 x1＝x2＝－2ba；
(3)b2－4ac＜0⇔一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根．
温馨提示：
只有一元二次方程，E才v具a有lu根a的ti判on别式o.n因ly此.在逆用判别式时，一定 ted要w保it证h二A次s项p系o数s不e.等S于li零d.es for .NET 3.5 Client Profile 5.2
(C1)bo2－p4yacr＞ig0h⇔t一2元0二1次9方-2程0a1x2＋9bAx＋scp＝o0(sae≠0P)有ty两个L不td相. 等的
实数根，则
x1,2＝－b±
b2－4ac
2a
；
(2)b2－4ac＝0⇔一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实
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考点知识精讲
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x1＝－p2＋
－q＋p22，x2＝－p2－
－q＋p22.
3 ． 公 式 法 ： 如 果 方 程 ax2 ＋ bx ＋ c ＝0 且 b2 － 4ac≥0 ， 则 x ＝
－b± b2－4ac
2a
.
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4．因式分解法：若 ax2＋bx＋c＝(ex＋f)(mx＋n)，则 ax2＋bx＋c＝0
ted次w方i程th．Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 (2)CB o由p一yr元ig二h次t方2程0根1与9系-2数0的1关9系A知sxp1xo2＝scae＝P3.ty Ltd.
(3)B ∵Δ＝(2k)2－4(k－1)＝4k2－4k＋4＝4(k－12)2＋3 ∴无论 k 取何值，均有 Δ≥3，方程都有两个不相等的实数根．
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考点一 一元二次方程的定义
在整式方程中，只含有__一___个未知数，并且含未知数项的最高次数
是__2__，这样的整式方程叫一元二次方程，一元二次方程的标准形式是
___a_x_2_＋__b_x_＋__c_＝__0_(_a_≠_0_)___.
考点二 一元二次方E程v的a常lu用a解ti法on only.
Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd. 一元二次方程根与系数之间的关系
1．若关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两根分别为 x1、
x2，则 x1＋x2＝－ba，x1·x2＝ca.
2．(简易形式)若关E于vxa的lu一a元t二io次n方o程nxl2＋y.px＋q＝0 有两个根分别 ted w为ixt1h、xA2，s则pox1＋sex2＝.S－lpid，ex1s·xf2o＝ 3.5 Client Profile 5.2
的根为 x1＝－fe，x2＝－nm.
考点三一元二次方程根的判别式
关于 x 的一元二次E方v程aalux2＋atbixo＋nc＝o0n(al≠y.0)的根的判别式为 b2－
ted w4acit，h一A般s用p符o号seΔ.表S示lid．es for .NET 3.5 Client Profile 5.2
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C．k为任何实数，方程都有两个相等的实数根
D．根据k的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等
的实数根和有两个相等的实数根三种
【点拨】本组题考查一元二次方程的相关概念和解法．
Evaluation only.
【解答】(1)C 把(x－1)(x＋2)＝1 整理得 x2＋x－3＝0，是一元二
ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 1.直接开平方法:如果 x2=a(a≥0),则 x=± a，则 x1= a,x2=－ a. 2．C配o方p法y：r如ig果hxt2＋2p0x＋1q9＝-02且0p12－94qA≥0s，p则oxs＋ep22P＝－tyq＋Lp2td2..
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中考典例精析
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(2019·南京)解方程x2－4x＋1＝0.
【点拨】本题考查一元二次方程的解法．
【解答】解法一：移项，得 x2－4x＝－1.
配方，得 x2－4x＋4＝－1＋4，(x－2)2＝3.
由此可得 x－2＝± 3E. valuation only. ted witxh1＝A2＋sp3，osx2＝e2.S－li3d.es for .NET 3.5 Client Profile 5.2