湖北省教学合作2014届高三上学期10月联考理科数学试卷(解析版)
2014年高考湖北理科数学试题及答案(word解析版)
2014年普通高等学校招生全国统一测试（湖北卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2014年湖北，理1，5分】i 为虚数单位，则21i 1i -⎛⎫⎪+⎝⎭（ ）（A ）1- （B ）1 （C ）i - （D ）i 【答案】A【分析】因为21i 2i 11i 2i --⎛⎫==- ⎪+⎝⎭，故选A ． 【点评】本题考查复数的运算，容易题．（2）【2014年湖北，理2，5分】若二项式72a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中31x 的系数是84，则实数a =（ ）（A ）2 （B ）54 （C ）1 （D ）2 【答案】D【分析】因为()77727722xrrr r r r a C x C a x x ---+⎛⎫⋅⋅=⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，令723r -+=-，得2r =，22727284C a -⋅⋅=，解得2a =，故选D ．【点评】本题考查二项式定理的通项公式，容易题． （3）【2014年湖北，理3，5分】设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A C ⊆，U B C C ⊆是“A B =∅I ”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】A【分析】依题意，若A C ⊆，则U U C C C A ⊆，U B C C ⊆，可得A B =∅I ；若A B =∅I ，不能推出U B C C ⊆，故选A ．【点评】本题考查集合和集合的关系，充分条件和必要条件判断，容易题． （4）【2014年湖北，理4，5x 3 4 5 6 7 8y 4.0 2.5 -0.5 0.5 -2.0 -3.0得到的回归方程为ˆy=（A ）0a >，0b > （B ）0a >，0b < （C ）0a <，0b > （D ）0a <，0b < 【答案】B【分析】依题意，画散点图知，两个变量负相关，所以0b <，0a >，故选B ． 【点评】本题考查根据已知样本数判断线性回归方程中的b 和a 的符号，容易题． （5）【2014年湖北，理5，5分】在如图所示的空间直角坐标系O xyz -中，一个四面体的顶点坐标分别是()0,0,2，()2,2,0，()1,2,1，()2,2,2，给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）（A ）①和②（B ）③和①（C ）④和③（D ）④和② 【答案】D【分析】在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④和俯视图为②，故选D ．【点评】本题考查空间由已知条件，在空间坐标系中作出几何体的形状，再正视图和俯视图，容易题． （6）【2014年湖北，理6，5分】若函数()f x ，()g x 满足()()110f x g x dx -=⎰，则称()f x ，()g x为区间[]1,1- 上的一组正交函数，给出三组函数：①()1sin 2f x x =，()1cos 2g x x =；②()1f x x =+，()1g x x =-；③()f x x =,()2g x x =，其中为区间[]1,1-的正交函数的组数是（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】C【分析】对①1111111111sin cos sin cos 02222x x dx x dx x ---⎛⎫⎛⎫⋅=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰，则()f x ，()g x 为区间[]1,1-上的正交函数；对②()()()11231111111103x x dx x dx x x ---⎛⎫+-=-=-≠ ⎪⎝⎭⎰⎰，则()f x ，()g x 不为区间[]1,1-上的正交函数；对③134111104x dx x --⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰，则()f x ，()g x 为区间[]1,1-上的正交函数，所以满足条件的正交函数有2组，故选C ．【点评】新定义题型，本题考查微积分基本定理的运用，容易题．（7）【2014年湖北，理7，5分】由不等式0020x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪--≤⎩确定的平面区域记为1Ω，不等式12x y x y +≤⎧⎨+≥-⎩，确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为（ ）（A ）18（B ）14 （C ）34 （D ）78【答案】D【分析】依题意，不等式组表示的平面区域如图，由几何公式知，该点落在2Ω内的概率为：11221172218222P ⨯⨯-⨯⨯==⨯⨯，故选D ．【点评】本题考查不等式组表示的平面区域，面积型的几何概型，中等题． （8）【2014年湖北，理8，5分】《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 和高h ，计算其体积V 的近似公式21.36v L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3．那么近似公式2275v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ）（A ）227 （B ）258 （C ）15750 （D ）355113【答案】B【分析】设圆锥底面圆的半径为r ，高为h ，依题意，()22L r π=，()22122375r h r h ππ=，所以218375ππ=，即π的近似值为258，故选B ．【点评】本题考查《算数书》中π的近似计算，容易题．（9）【2014年湖北，理9，5分】已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）（A ）43 （B ）23 （C ）3 （D ）2【答案】B【分析】设椭圆的短半轴为a ，双曲线的实半轴为1a ()1a a >，半焦距为c ，由椭圆、双曲线的定义得122PF PF a +=，1212PF PF a -=，所以11PF a a =+，21PF a a =-，因为1260F PF ∠=︒，由余弦定理得：()()()()22211114c a a a a a a a a =++--+-，所以222143c a a =+，即22221112222142a a a a a c c c c c ⎛⎫-=+≥+ ⎪⎝⎭，22111148e e e ⎛⎫∴+≤- ⎪⎝⎭，利用基本不等式可得椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为23，故选B ． 【点评】本题椭圆、双曲线的定义和性质，余弦定理及用基本不等式求最值，难度中等． （10）【2014年湖北，理10，5分】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2221()(|||2|3)2f x x a x a a =-+--，若R x ∀∈，(1)()f x f x -≤，则实数a 的取值范围为（ ）（A ）11,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （B ）66,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （C ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （D ）33,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】B【分析】依题意，当0x ≥时，()2222223220x a x a f x a a x a x x a ⎧->⎪=-<≤⎨⎪-≤≤⎩，作图可知，()f x 的最小值为2a -，因为函数()f x 为奇函数，所以当0x <时，()f x 的最大值为2a ，因为对任意实数x 都有，()()1f x f x -≤，所以，()22421a a --≤，解得66a -≤≤，故实数a 的取值范围是66,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选B ． 【点评】本题考查函数的奇函数性质、分段函数、最值及恒成立，难度中等．二、填空题：共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．．．．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． （一）必考题（11-14题） （11）【2014年湖北，理11，5分】设向量()3,3a =r ，()1,1b =-r ，若()()a b a b λλ+⊥-r r r r ，则实数λ= ．【答案】3±【分析】因为()3,3a b λλλ+=+-r r ，()3,3a b λλλ+=++r r ，因为()()a b a b λλ+⊥-r r r r ，所以()()()()33330λλλλ+-+++=，解得3λ±．【点评】本题考查平面向量的坐标运算、数量积，容易题． （12）【2014年湖北，理12，5分】直线1:l y x a =+和2:l y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b += ． 【答案】2【分析】依题意，圆心()0,0到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的14，即22a b =，2cos 452a=︒=，所以221a b ==，故222a b +=． 【点评】本题考查直线和圆相交，点到直线的距离公式，容易题． （13）【2014年湖北，理13，5分】设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数．将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为()I a ，按从大到小排成的三位数记为()D a （例如815a =，则()158I a =，()851D a =）．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，输出的结果b = ． 【答案】495【分析】当123a =，则321123198123b =-=≠，当198a =，则981198783198b =-=≠；当783a =，则954459b a =-=，终止循环，故输出495b =．【点评】新定义题型，本题考查程序框图，当型循环结构，容易题． （14）【2014年湖北，理14，5分】设()f x 是定义在()0,+∞上的函数，且()0f x >，对任意0a >,0b >,0a >,0b >，若经过点()()af a ,()(),b f x ()()()()b f b a f a ,,,的直线和x 轴的交点为()0,c ，则称c 为a ,b 关于函数()f x的平均数，记为[],f M a b ，例如，当()1f x =())0(1>=x x f 时，可得2f a bM c +==，即(),f M a b 为,a b 的算术平均数．（1）当()f x =________（0x >）时，(),f M a b 为,a b 的几何平均数；（2）当()f x =________（0x >）时，(),f M a b 为,a b 的调和平均数2aba b+；（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）【答案】（1）x （2）x （或填（1）1k x （2）2k x ，其中12,k k 为正常数均可）【分析】设()()0f x x x =>，则经过点(),a a ，(),b b -的直线方程为y a b a x a b a ---=--，令0y =，所以2abc x a b ==+，所以当()()0f x x x =>，(),f M a b 为,a b 的调和平均数2aba b+．【点评】本题考查两个数的几何平均数和调和平均数，难度中等．（一）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分．） （15）【2014年湖北，理15，5分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，P 为O e 的两条切线，切点分别为,A B ，过PA 的中点Q 作割线交O e 于,C D 两点，若1QC =，3CD =，则PB = _______． 【答案】4【分析】由切割线定理得()21134QA QC QD =⋅=⨯+=，所以2QA =，4PB PA ==． 【点评】本题考查圆的切线长定理，切割线定理，容易题．（16）【2014年湖北，理16，5分】（选修4-4：坐标系和参数方程）已知曲线1C 的参数方程是3x tty ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2ρ=，则1C 和2C 交点的直角坐标为 ．【答案】()3,1【分析】由3x t t y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，消去t 得()2230,0x y x y =≥≥，由2ρ=得224x y +=，解方程组222243x y x y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，得1C 和2C 的交点坐标为()3,1．【点评】本题考查参数方程，极坐标方程和平面直角坐标方程的转化，曲线的交点，容易题．三、解答题：共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （17）【2014年湖北，理17，11分】某实验室一天的温度（单位：C ︒）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系；()103cossin,[0,24)1212f t t t t ππ=--∈．（1）求实验室这一天的最大温差；（2）若要求实验室温度不高于11C ︒，则在哪段时间实验室需要降温？解：（1）因为31()102(cos sin )102sin()12212123f t t t t ππππ=-+=-+，又024t ≤<，所以7,1sin()131233123t t ππππππ≤+<-≤+≤，当2t =时，sin()1123t ππ+=；当14t =时，sin()1123t ππ+=-，于是()f t 在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8，故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃． （2）依题意，当()11f t >时实验室需要降温，由（1）得()102sin()123f t t ππ=-+，故有102sin()11123t ππ-+>，即1sin()1232t ππ+<-，又024t ≤<，因此71161236t ππππ<+<，即1018t <<，在10时至18时实验室需要降温． （18）【2014年湖北，理18，12分】已知等差数列{}n a 满足：12a =，且123,,a a a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得60800n S n >+?若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，依题意，2,2,24d d ++成等比数列，故有2(2)2(24)d d +=+，化简得240d d -=， 解得0d =或4d =，当0d =时，2n a =；当4d =时，2(1)442n a n n =+-⋅=-，从而得数列{}n a 的通项 公式为2n a =或42n a n =-．（2）当2n a =时，2n S n =，显然260800n n <+，此时不存在正整数n ，使得60800S n >+成立，当42n a n =-时，2[2(42)]22n n n S n +-==，令2260800n n >+，即2304000n n -->，解得40n >或10n <-（舍去），此时存在正整数n ，使得60800n S n >+成立，n 的最小值为41综上，当2n a =时，不存在满足题意的n ；当42n a n =-时，存在满足题意的n ，其最小值为41．（19）【2014年湖北，理19，12分】如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,,,E F M N 分别是棱1111,,,AB AD A B A D 的中点，点,P Q 分别在棱1DD ，1BB 上移动，且 ()02DP BQ λλ==<<．（1）当1λ=时，证明：直线1BC 平面EFPQ ；（2）是否存在λ，使平面EFPQ 和面PQMN 所成的二面角？若存在，求出λ的值；若不存 在，说明理由．解：解法一：（1）如图1，连接1AD ，由1111ABCD A B C D =是正方体，知11//BC AD ，当1λ=时，P 是1DD 的中点，又F 是AD的中点，所以1//FP AD ，所以1//BC FP ，而FP ⊂平面EFPQ ，且1BC ⊄平面EFPQ ，故直线1//BC 平面EFPQ ． （2）如图2，连接BD ，因为E ，F 分别是AB ，AD 的中点，所以//EF BD ，且12EF BD =，又,//DP BQ DP BQ =，所以四边形PQBD 是平行四边形，故//PQ BD ，且PQ BD =，从而//EF PQ ，且12EF PQ =，在Rt EBQ ∆和Rt FDP ∆中，因为BQ DP λ==，1BE DF ==，于是21DQ FP λ==+，所以四边形EFPQ 是等腰梯形．同理可证四边形PQMN 是等腰梯形． 分别取,,EF PQ MN 的中点为,,H O G ，连接,OH OG ，则,GO PQ HO PQ ⊥⊥，而GO HO O =I ， 故GOH ∠是面EFPQ 和面PQMN 所成的二面角的平面角．若存在λ，使面EFPQ 和面PQMN 所成的二面角为直二面角，则90GOH ∠=o ，连接EM ，FN ，则 由//EF MN ，且EF MN =，知四边形EFNM 是平行四边形，连接GH ，因为H ，G 是EF ，MN 的中点，所以2GH ME ==，在GOH ∆中，22222214,1()2GH OH λλ==+-=+，2222211(2)()(2)2OG λλ=+--=-+，由222OG OH GH +=，得2211(2)422λλ-+++=，解得21λ=±，故存在21λ=±，使面EFPQ 和面PQMN 所成的二面角为直二面角．解法二：以D 为原点，射线1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴的正半轴建立如图3所示的空间直角坐标系D xyz -，由已知得(2,2,0)B ，1(0,2,2)C ，(2,1,0)E ，(1,0,0)F ，(0,0,)P λ，(2,0,2)BC -u u u r ，(1,0,)FP λ-u u u r ，(1,1,0)FE u u u r．（1）当1λ=时，(1,0,1)FP =-u u u r ，因为1(2,0,2)BC =-u u u u r ，所以12BC FP =u u u u r u u u r，即1//BC FP ，而FP ⊂平面EFPQ ，且1BC ⊄平面EFPQ ，故直线1//BC 平面EFPQ ．（2）设平面EFPQ 的一个法向量为(,,)n x y z =，则由0FE n FP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r，可得00x y x z λ+=⎧⎨-+=⎩，于是可取(,,1)n λλ=-， 同理可得平面MNPQ 的一个法向量为(2,2,1)m λλ=--，若存在λ，使面EFPQ 和面PQMN 所成的二 面角为直二面角，则(2,2,1)(,,1)0m n λλλλ⋅=--⋅-=，即(2)(2)10λλλλ---+=，解得21λ=． 故存在21λ=，使面EFPQ 和面PQMN 所成的二面角为直二面角． （20）【2014年湖北，理20，12分】计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X (年入流量：一年内上游来水和库区降水之和．单位：亿立方米）都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年．将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立． （1）求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系；若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万 元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？解：（1）依题意，110(4080)0.250p P X =<<==，235(80120)0.750p P X =≤≤==，35(120)0.150p P X =>== 由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为04134343433991(1)(1)()4()()0.9477101010p C p C p p =-+-=+⨯⨯=．（2）记水电站年总利润为Y （单位：万元）（1）安装1台发电机的情形：由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润5000,()500015000Y E Y ==⨯=．（2）安装2台发电机的情形：依题意，当4080X <<时，一台发电机运行，此时50008004200Y =-=，因此1(4200)(4080)0.2P Y P X p ==<<==；当80X ≥时，两台发电机运行，此时5000210000Y =⨯=，因此(10000)(80)0.8P Y P X p p ==≥=+=；由此得Y 的分布列如下：Y4200 10000 P0.2 0.8 所以，()E Y =（3）安装3台发电机的情形：当4080X <<时，一台发电机运行，此时500016003400Y =-=，因此1(3400)(4080)0.2P Y P X p ==<<==；当80120X ≤≤时，两台发电机运行，此时500028009200Y =⨯-=，因此2(9200)(80120)0.7P Y P X p ==≤≤==；当120X >时，三台发电机运行，5000315000Y =⨯=，因此3(15000)(120)0.1P Y P X p ==>==， 由此得Y Y3400 9200 15000 P0.2 0.7 0.1 所以，综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．（21）【2014年湖北，理21，14分】在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离多1，记点M 的轨迹为C ．（1）求轨迹为C 的方程；（2）设斜率为k 的直线l 过定点()2,1p -，求直线l 和轨迹C 好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k 的相应取值范围．解：（1）设点(,)M x y ，依题意得||||1MF x =+22(1)||1x y x -+=+，化简整理得22(||)y x x =+，年入流量X 40<X<80 40≤X ≤80X>120 发电机最多可运行台数 1 2 3故点M 的轨迹C 的方程为24,00,0x x y x ≥⎧=⎨<⎩．（2）在点M 的轨迹C 中，记212:4,:0(0)C y x C y x ==<，依题意，可设直线l 的方程为1(2)y k x -=+，由方程组21(2)4y k x y x-=+⎧⎨=⎩，可得244(21)0ky y k -++= ①（1）当0k =时，此时1y =，把1y =代入轨迹C 的方程，得14x =，故此时直线:1l y =和轨迹C 恰好有一个公共点1(,1)4（2）当0k ≠时，方程①的判别式为216(21)k k ∆=-+- ②设直线l 和x 轴的交点为0(,0)x ，则由1(2)y k x -=+，令0y =，得021k x k+=-③ （ⅰ）若000x ∆<⎧⎨<⎩由②③解得1k <-，或12k >，即当1(,1)(,)2k ∈-∞-⋃+∞时，直线l 和1C 没有公共点，和2C 有一个公共点，故此时直线l 和轨迹C 恰好有一个公共点． （ⅱ）若000x ∆=⎧⎨<⎩或000x ∆>⎧⎨≥⎩，由②③解得1{1,}2k ∈-，或102k -≤<，即当1{1,}2k ∈-时，直线l 和1C只有一个公共点，和2C 有一个公共点，当1[,0)2k ∈-时，直线l 和1C 有两个公共点，和2C 没有公共点，故当11[,0){1,}22k ∈--U 时，直线l 和轨迹C 恰好有两个公共点．（ⅲ）若000x ∆>⎧⎨<⎩由②③解得112k -<<-，或102k <<，即当11(1,)(0,)22k ∈--⋃时，直线l 和1C 有两个公共点，和2C 有一个公共点，故此时直线l 和轨迹C 恰好有三个公共点． 综合（1）（2）可知，当1(,1)(,){0}2k ∈-∞-⋃+∞⋃时，直线l 和轨迹C 恰好有一个公共点；当11[,0){1,}22k ∈--U 时，直线l 和轨迹C 恰好有两个公共点；当11(1,)(0,)22k ∈--U 时，直线l 和轨迹C 恰好有三个公共点．（22）【2014年湖北，理22，14分】π为圆周率，e =2.71828……为自然对数的底数．（1）求函数xxx f ln )(=的单调区间； （2）求33,3,,,3,e e e e ππππ这6个数中的最大数和最小数；（3）将33,3,,,3,ee e e ππππ这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．解：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，因为ln ()x f x x =，所以21ln ()xf x x -'=，当()0f x '>，即0x e <<时，函数()f x 单调递增；当()0f x '<，即x e >时，函数()f x 单调递减．故函数()f x 的单调递增区间为(0,)e ， 单调递减区间为(,)e +∞． （2）因为3e π<<，所以ln33ln ,ln ln3e e πππ<<，即ln3ln ,ln ln3e e e πππ<<，于是根据函数ln ,x y x y e ==， x y π=在定义域上单调递增，可得333,3e e e e ππππ<<<<，故这6个数的最大数在3π和3π之中，最小数在3e 和3e 之中．由3e π<<及（1）的结论，得()(3)()f f f e π<<，即ln ln3ln 3eeππ<<． 由ln ln33ππ<，得3ln ln3ππ<，所以33ππ>；由ln3ln 3e e<，得3ln3ln e e <，所以33e e >． 综上，6个数中最大数是3π，最小数是3e．（3）由（2）知，3333,3e e e e πππ<<<<，又由（2）知，ln ln eeππ<，得e e ππ<故只需比较3e 和e π和e π 和3π的大小，由（1）知，当0x e <<时，1()()f x f e e<=，即ln 1x x e<， 在上式中，令2e x π=，又2e e π<，则2ln e e ππ<，从而2ln e ππ-<，即得ln 2eππ>- ①由①得， 2.72ln (2) 2.7(2) 2.7(20.88) 3.02433.1e e e ππ>->⨯->⨯-=>，即ln 3e π>，亦即3ln ln e e π>，所以3e e π<，又由①得，33ln 66ee πππ>->->，即3ln ππ>，所以3e ππ<．综上可得，3333e e e e ππππ<<<<<，即6个数从小到大的顺序为333,,,,,3e e e e ππππ．。
2014年高考理科数学湖北卷有答案
绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）本试题卷共6页,22题,其中第15、16题为选考题.全卷满分150分.考试用时120分钟.★祝考试顺利★注意事项：1.答卷前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.用统一提供的2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑.2.选择题的作答：每小题选出答案后,用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的2B 铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答案区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.i 为虚数单位,21i ()1i-=+( ) A .1-B .1C .i -D .i 2.若二项式7(2)a x x +的展开式中31x 的系数是84,则实数a =( ) A .2BC .1D3.设U 为全集,A ,B 是集合,则“存在集合C 使得A C ⊆,U B C ⊆ð”是“A B =∅”的 ( )A .充分而不必要的条件B .必要而不充分的条件C .充要条件D .既不充分也不必要的条件 4.得到的回归方程为y bx a =+,则( )A .0a ＞,0b ＞B .0a ＞,0b ＜C .0a ＜,0b ＞D .0a ＜,0b ＜5.在如图所示的空间直角坐标系-O xyz 中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).给出编号为①、②、③、④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为( )A .①和②B .③和①C .④和③D .④和②6.若函数()f x ,()g x 满足11()()d 0f x g x x -=⎰,则称()f x ,()g x 为区间[1,1]-上的一组正交函数.给出三组函数：①1()sin 2f x x =,1()cos 2g x x =；②()1f x x =+,()1g x x =-；③()f x x =,2()g x x =.其中为区间[1,1]-上的正交函数的组数是 ( )A .0B .1C .2D .37.由不等式组0,0,20,x y y x ⎧⎪⎨⎪--⎩≤≥≤确定的平面区域记为1Ω,不等式组1,2,x y x y +⎧⎨+-⎩≤≥确定的平面区域记为2Ω.在1Ω中随机取一点,则该点恰好在2Ω内的概率为( )A .18B .14C .34 D .788.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术：置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ,计算其体积V 的近似公式2136V L h ≈.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么,近似公式2275V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A .227B .258C .15750D .3551139.已知1F ,2F 是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且12π3F PF ∠=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )A B C .3D .210.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x ≥时,2221()(|||2|3)2f x x a x a a =-+--.若x ∀∈R,(1)()f x f x -≤,则实数a 的取值范围为( )A .11[,]66-B .[C .11[,]33-D .[二、填空题：本大题共6小题,考生共需作答5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答．题卡对应题号．．．．．．的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.（一）必考题（11—14题）11.设向量(3,3)=a ,(1,1)=-b .若()()λλ+-a b a b ⊥,则实数λ= .12.直线1l :y x a =+和2l :y x b =+将单位圆C :221x y +=分成长度相等的四段弧,则--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------姓名________________ 准考证号_____________22a b += .13.设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数.将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为()I a ,按从大到小排成的三位数记为()D a （例如815a =,则()158I a =,()851D a =).阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,任意输入一个a ,输出的结果b = .14.设()f x 是定义在(0,)+∞上的函数,且()0f x ＞.对任意0a ＞,0b ＞,若经过点(,())a f a ,(,())b f b -的直线与x 轴的交点为(,0)c ,则称c 为a ,b 关于函数()f x 的平均数,记为(,)f M a b .例如,当()1(0)f x x =＞时,可得(,)2f a bM a b c +==,即(,)f M a b 为a ,b 的算术平均数. （Ⅰ）当()f x = (0)x ＞时,(,)f M a b 为a ,b 的几何平均数；（Ⅱ）当()f x = (0)x ＞时,(,)f M a b 为a ,b 的调和平均数2aba b +.（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）（二）选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑.如果全选,则按第15题作答结果计分.) 15.（选修4—1：几何证明选讲）如图,P 为O 外一点,过P 点作O 的两条切线,切点分别为A ,B .过PA 的中点Q 作割线交O 于C ,D 两点,若1QC =,3CD =,则PB = .16.（选修4—4：坐标系与参数方程）已知曲线1C的参数方程是x y ⎧=⎪⎨⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程是=2ρ.则1C 与2C 交点的直角坐标为 .三、解答题：本大题共5小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分11分）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系：ππ()10sin ,[0,24).1212f t t t t =-∈（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；（Ⅱ）若要求实验室温度不高于11℃,则在哪段时间实验室需要降温？18.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足：12a =,且1a ,2a ,5a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记n S 为数列{}n a 的前n 项和,是否存在正整数n ,使得60800n S n +＞？若存在,求n 的最小值；若不存在,说明理由.19.（本小题满分12分）如图,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,E ,F ,M ,N 分别是棱AB ,AD ,11A B ,11A D 的中点,点P ,Q 分别在棱1DD ,1BB 上移动,且(02)DP BQ λλ==＜＜.（Ⅰ）当1λ=时,证明：直线1BC ∥平面EFPQ ；（Ⅱ）是否存在λ,使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在,求出λ的值；若不存在,说明理由.20.（本小题满分12分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示,水库年．入流量．．．X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立.（Ⅰ）求未来4年中,至多．．有1年的年入流量超过120的概率； （Ⅱ）水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量若某台发电机运行,则该台年利润为5 000 万元；若某台发电机未运行,则该台年亏损800 万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台？21.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中,点M 到点(1,0)F 的距离比它到y 轴的距离多1.记点M 的轨迹为C .（Ⅰ）求轨迹C 的方程；（Ⅱ）设斜率为k 的直线l 过定点(2,1)P -.求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围.22.（本小题满分14分）π为圆周率,e 2.71828=为自然对数的底数.（Ⅰ）求函数ln ()xf x x=的单调区间； （Ⅱ）求3e ,e 3,πe ,e π,π3,3π这6个数中的最大数与最小数；（Ⅲ）将3e ,e 3,πe ,e π,π3,3π这6个数按从小到大的顺序排列,并证明你的结论.A B=∅，由韦恩图知，一定C使得A⊆A B=∅”的充要条件【提示】通过集合的包含关系，以及充分条件和必要条件的判断，推出结果【考点】充要条件，集合的包含关系判断及应用【解析】作出散点图如下：424xx x dx=上的正交函数的组数是111117因此，根据奇函数的图象关于原点对称作出函数2x a ≥在R 上的大致图象如下，3±【解析】因为=(3+,3a b λλ+，(3,3+a b λλ-=()()a b a b λλ+⊥-. ()()a b a b λλ+-(3+)(3)(3)(3+)0λλλλ--==+，解得【提示】给出a ，b 的坐标，求解含λ的两向量垂直时λ的值1(1QC QD =⨯(2,1,0)E .所以(2,0,2)BC =-，(1,0,FP =-，(1,1,0)FE =1=时，(1,0,1)FP =-因为1(2,0,2)BC =-，所以12BC FP =，即BC （Ⅱ）设平面EFPQ 的一个法向量(,,)n x y z =00FE n FP n ⎧=⎪⎨=⎪⎩可得，于是取(,,1)n λλ=-同理可得平面MNPQ 的一个法向量为(2,2m λ=-存在λ，使(2,2,1)(,,1)0m n λλλλ=---=，2)(2)10λλλ---+=，解得1λ=±2求出2BC FP =，可得11),2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1,02⎡⎫⎫-⎬⎪⎢⎭⎭⎣时，故此时直线10,2⎫⎛⎫⎪⎪⎭⎝⎭时，故此时直线0① 的方程得1x =， 1)②1③11),2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭与轨迹C 恰有一个公共点0∆>⎧1,02⎡⎫⎫-⎬⎪⎢⎭⎭⎣时，故此时直线，由②③解得10,2⎫⎛⎫⎪⎪⎭⎝⎭时，直恰有三个公共点11),2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1,02⎡⎫⎫-⎬⎪⎢⎭⎭⎣时，故此时直线10,2⎫⎛⎫⎪⎪⎭⎝⎭时，故此时直线设出M 点的坐标，（Ⅱ）设出直线l 的方程为单调增、减区间. （Ⅱ）由e 3π<<，得e l n 3e l n π<，πlne<πln3，即e e <ln3ln π，ππ<lne ln3.再根据函数ln y x =、e x y =、x y =π在定义域上单调递增，可得e e 33<π<π，3e e 3ππ<<，从而六个数的最大数在3π与π3之中，最小数在e 3与3e 之中.由e 3<<π及（Ⅰ）的结论得()(3)(e)f f f π<<，即ln ln3ln eπ<<，由此进而得到结论.。
2014年高考数学湖北卷试题及解析
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.为虚数单位，则=+-2)11(ii （ ） A. 1- B. C. i - D. i【答案】C【解析】试题分析：因为122)11(2-=-=+-iii i ，故选C 。
【点评】本题考查复数的运算，容易题。
2. 若二项式7)2(x a x +的展开式中31x的系数是84，则实数=a （ ） A.2 B. 54 C. 1 D.42答案】D【解析】试题分析：因为r r r r rrr x a C xax C 2777772)()2(+---⋅⋅⋅=⋅⋅，令327-=+-r ，得2=r ，所以84227227=⋅⋅-a C ，解得42=a ，故选D 。
【点评】本题考查二项式定理的通项公式，容易题。
3. 设U 为全集，B A ,是集合，则“存在集合C 使得C C B C A U ⊆⊆,是“∅=B A ”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】试题分析：依题意，若C A ⊆，则A C C C U U ⊆，当C C B U ⊆，可得∅=B A ；若∅=B A ，不能推出C C B U ⊆，故选A 。
【点评】本题考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件判断，容易题。
得到的回归方程为a bx y+=ˆ，则（ ） A.0,0>>b a B.0,0<>b a C.0,0><b a D.0.0<<b a 【答案】B【解析】试题分析：依题意，画散点图知，两个变量负相关，所以0<b ，0>a .选B 。
【点评】本题考查根据已知样本数判断线性回归方程中的b 与a 的符号，容易题。
5.在如图所示的空间直角坐标系xyz O -中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）A. ①和②B.③和①C. ④和③D.④和② 【答案】D【解析】试题分析：在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④与俯视图为②，故选D 。
湖北省教学合作2014届高三10月月联考数学(理)试题-推荐下载
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对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技写5卷术、重保交电要护底气设装。设备置管备高4动线调、中作敷试电资，设高气料并技中课试3且术资件、卷拒中料管试绝包试调路验动含卷试敷方作线技设案，槽术技以来、术及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
2014年湖北省高三数学十月联考试卷(理科含答案)
2014年湖北省高三数学十月联考试卷(理科含答案)2014年湖北省高三数学十月联考试卷(理科含答案) 考生注意： 1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟 2、请将各题答案填在卷后面的答案卡上． 3、本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语、函数与导数（60%）；三角函数与平面向量（40%）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、已知集合，则等于 A． B． C． D． 2、的值为 A． B． C． D． 3、已知为常数，则使得成立的一个充分而不必要条件是（） A． B． C． D． 4、已知为第三象限角，且，则的值为 A． B． C． D． 5、在中，角角的对边分别为，若且，则等于 A． B． C． D． 6、已知定义在R上的奇函数满足，且当时，，则等于 A． B． C．1 D．2 7、给出下列命题，其中错误的是 A．在中，若，则 B．在锐角中， C．把函数的图象沿x 轴向左平移个单位，可以得到函数的图象 D．函数最小正周期为的充要条件是 8、已知幂函数的图象如图所示，则在的切线与两坐标轴围成的面积为 A． B． C． D．4 9、已知，函数在处于直线相切，设，若在区间上，不等式恒成立，则实数 A．有最小值B．有最小值 C．有最大值 D．有最大值 10、对于函数，若，为某一三角形的三边长，则称为“可构造三角形函数”，已知函数是“可构造三角形函数”，则实数的取值范围是 A． B． C． D．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答案卡中的横线上 11、已知，则 12、化简的结果为 13、已知关于的方程有两个不等的负实数根；关于的方程的两个实数根，分别在区间与内（1）若是真命题，则实数的取值范围为（2）若是真命题，则实数的取值范围为 14、在中，角的对边分别为，且，若的面积为，则的最小值为 15、已知函数，，给出下列结论：①函数的值域为；②函数在上是增函数；③对任意，方程在内恒有解；④若存在，使得，则实数的取值范围是．其中所有正确的结论的序号是三、解答题：本大题共5小题，满分65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16、（本小题满分11分）已知函数的部分图象如图所示．（1）试确定函数的解析式；（2）若，求的值．17、（本小题满分12分） 2014世界园艺博览会在青岛举行，某展销商在此期间销售一种商品，根据市场调查，当每套商品售价为x元时，销售量可达到万套，供货商把该产品的供货价格分为来那个部分，其中固定价格为每套30元，浮动价格与销量（单位：万套）成反比，比例系数为，假设不计其它成本，即每套产品销售利润=售价-供货价格（1）若售价为50元时，展销商的总利润为180元，求售价100元时的销售总利润；（2）若，求销售这套商品总利润的函数，并求的最大值． 18、（本小题满分12分）如图，在直角坐标系中，角的顶点是原点，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且，将角的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B，记．（1）若，求；（2）分别过作x轴的垂线，垂足一次为C、D，记的面积为，的面积为，若，求角的值．19、（本小题满分12分）已知函数是定义在R上的奇函数．（1）若，求在上递增的充要条件；（2）若对任意的实数和正实数恒成立，求实数的取值范围．20、（本小题满分14分）已知（1）求的单调区间与极值；（2）若，试分析方程在上是否有实根，若有实数根，求出的取值范围；否则，请说明理由．21、（本小题满分14分）已知为常数，在处的切线方程为．（1）求的单调区间；（2）若任意实数，使得对任意的上恒有成立，求实数的取值范围；（3）求证：对任意正整数，有．。
2014年高考数学湖北卷试题及解析
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.为虚数单位，则=+-2)11(ii （ ） A. 1- B. C. i - D. i【答案】C【解析】试题分析：因为122)11(2-=-=+-iii i ，故选C 。
【点评】本题考查复数的运算，容易题。
2. 若二项式7)2(xax +的展开式中31x 的系数是84，则实数=a （ ） A.2 B. 54 C. 1 D.42 答案】D【解析】试题分析：因为r r r r r r r x a C xa x C 2777772)()2(+---⋅⋅⋅=⋅⋅，令327-=+-r ，得2=r ，所以84227227=⋅⋅-a C ，解得42=a ，故选D 。
【点评】本题考查二项式定理的通项公式，容易题。
3. 设U 为全集，B A ,是集合，则“存在集合C 使得C C B C A U ⊆⊆,是“∅=B A I ”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】试题分析：依题意，若C A ⊆，则A C C C U U ⊆，当C C B U ⊆，可得∅=B A I ；若∅=B A I ，不能推出C C B U ⊆，故选A 。
【点评】本题考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件判断，容易题。
4.根据如下样本数据得到的回归方程为a bx y+=ˆ，则（ ） A.0,0>>b a B.0,0<>b a C.0,0><b a D.0.0<<b a【答案】B【解析】试题分析：依题意，画散点图知，两个变量负相关，所以0<b ，0>a .选B 。
【点评】本题考查根据已知样本数判断线性回归方程中的b 与a 的符号，容易题。
湖北省教学合作2014届高三10月月联考数学(理)试题
高三年级十月联考理科数学试题参考答案1～10 DADBA BDCBC11.π 12．]32,1(- 13．12- 14．1.415．（1）f(1)=1；（2）f(2n )=121-n1.D[解析] A ＝{x||x|≤2，x ∈Z}＝{－2，－1,0,1,2}，B ＝{x|x>－1}，所以A∩B ＝{0,1,2}，答案选D. 2. A [解析])6cos(π+x 3cos()sin()2335x x πππ=--=-=（），选A 。
3. D[解析]本题考查命题的相关概念. 选项A ，“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2≠1，则x≠1”；x=－1可以推出x2―5x―6=0，反之不成立，故“x=－1”是“x2―5x―6=0”的充分不必要条件，故选项B 错；命题“存在x ∈R ，使得x2+x+1<0”的否定应为：“对任意x ∈R ，均有x2+x+1≥0”，故选项C 错，正确答案为D.4. B[解析]把函数y=sinx(x ∈R)的图象上所有的点向左平移6π个单位长度，得到y=sin(x+6π)，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sin(x 21+6π)，x ∈R ，选择B. 5. A[解析]f(x)的零点为a,b ，由图可知0<a<1,b<－1，则g(x)是一个减函数，可排除C ，D ，再根据g(0)=1+b<0，可排除B ，故正确选项为A.6. B[解析] ∵x ∈(e －1,1)，∴lnx ∈(－1,0) ∴a ∈(－1,0)，b ∈(1,2)，c ∈(e －1,1) ∴b>c>a. 选B. 7. D[解析]解法一：A 时，成本为8×13+42×8=440万元，利润为8×2+42×1.5=79万元； B 时，成本为9×13+41×8=445万元，利润为9×2+41×1.5=79.5万元；C 时，成本为11×13+39×8=455万元，利润为11×2+39×1.5=80.5万元； 而11×13+39×8=455>450，选D. 解法二：设购买A 型出租车x 辆，购买B 型出租车y 辆，第一年纯利润为z ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∈≤+≤+++,,,450813,50N y N x y x y x z=2x+1.5y ，作出可行域，由⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=+=+,40,10,450813,50y x ，y x y x 解得此时z 取得最大值，选D.8. A[解析]本题考查二次函数与导数的内容，0)0(,2)(>='∴+='b f b ax x f ，因为f(x)与x 轴恰有一个交点，所以b 2－4a=0，bb b b b b b b a f f 1421141141)0()1(2⋅≥++=++=++='+1=2，故选A. 9. B[解析]由a x =b y =2得x=log a 2，y=log b 2，∴2log 12log 111b a y x +=+=log 2a+log 2b=lob 2(ab)，又a>1，b>1，∴8=2a+b≥2ab 2，即ab≤8，当且仅当2a=b ，即a=2,b=4时取等号，所以yx 11+=log 2(ab)≤log 28=3. 故(yx 11+)max=3.10. C[解析] ①d(p,q)=|1－sin 2x |+|3－cos 2x |=（1－sin 2x ）+（3－cos 2x ）=4-1=3；②∵|PQ|2=|x 1－x 2|2+|y 1－y 2|2≧12（|x 1－x 2|+|y 1－y 2|）=d(P,Q)11.π[解析]根据积分的几何意义，由图可得⎰=-224πdx x ，故填π.12.]32,1(- [解析]解分式不等式和绝对值不等式。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学试题 (理科)解析版
绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（理工类）本试题卷共5页，22题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用统一提供的2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．[2014·湖北卷] i 为虚数单位，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝( )A ．－1B ．1C ．－iD ．i1．A [解析] ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝－2i 2i ＝－1.故选A.2．[2014·湖北卷] 若二项式⎝⎛⎭⎫2x ＋a x 7的展开式中1x 3的系数是84，则实数a ＝( )A ．2 B.54 C ．1 D.242．C [解析] 展开式中含1x 3的项是T 6＝C 57(2x )2⎝⎛⎭⎫a x 5＝C 5722a 5x －3，故含1x 3的项的系数是C 5722a 5＝84，解得a ＝1.故选C. 3． [2014·湖北卷] U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．C [解析] 若存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ，则可以推出A ∩B ＝∅；若A ∩B ＝∅，由维思图可知，一定存在C ＝A ，满足A ⊆C ，B ⊆∁U C ，故“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的充要条件．故选C.4．[2014·得到的回归方程为y ＝bx ＋a ，则( )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <0 4．B [解析]观察图象可知，回归直线y ＝bx ＋a 的斜率b <0，截距a >0.故a >0，b <0.故选B.5．[2014·湖北卷] 在如图1-1所示的空间直角坐标系O xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)．给出编号为①，②，③，④的四个图，A ．①和②B 5．D [解析] 由三视图及空间直角坐标系可知，该几何体的正视图显然是一个直角三角形且内有一条虚线(一锐角顶点与其所对直角边中点的连线)，故正视图是④；俯视图是一个钝角三角形，故俯视图是②. 故选D.6．[2014·湖北卷] 若函数f (x )，g (x )满足⎠⎛－11f(x)g(x)d x ＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f(x)＝sin 12x ，g(x)＝cos 12x ；②f(x)＝x ＋1，g(x)＝x －1；③f(x)＝x ，g(x)＝x 2.其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．36．C [解析] 由题意，要满足f(x)，g(x)是区间[－1，1]上的正交函数，即需满足⎠⎛－11f(x)g(x)d x ＝0.①⎠⎛－11f(x)g(x)d x ＝⎠⎛－11sin 12x cos 12x d x ＝12⎠⎛－11sin x d x ＝⎝⎛⎭⎫－12cos x 1－1＝0，故第①组是区间[－1，1]上的正交函数； ②⎠⎛－11f(x)g(x)d x ＝⎠⎛－11(x ＋1)(x －1)d x ＝⎝⎛⎭⎫x 33－x 1－1＝－43≠0，故第②组不是区间[－1，1]上的正交函数；③⎠⎛－11f(x)g(x)d x ＝⎠⎛－11x ·x 2d x ＝x 441－1＝0，故第③组是区间[－1，1]上的正交函数． 综上，是区间[－1，1]上的正交函数的组数是2. 故选C .7．[2014·湖北卷] 由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( )A.18B.14C.34D.787．D [解析] 作出Ω1，Ω2S Ω1＝S △AOB ＝12×2×2＝2，S △BCE ＝12×1×12＝14，则S 四边形AOEC ＝S Ω1－S △BCE ＝2－14＝74.故由几何概型得，所求的概率P ＝S 四边形AOEC S Ω1＝742＝78.故选D.8．[2014·湖北卷] 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈275L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A.227 B .258 C.15750 D.3551138．B [解析] 设圆锥的底面圆半径为r ，底面积为S ，则L ＝2πr ，由题意得136L 2h ≈13Sh ，代入S ＝πr 2化简得π≈3；类比推理，若V ＝275L 2h ，则π≈258.故选B.9．、[2014·湖北卷] 已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )A .433 B.233C ．3D ．29．A [解析] 设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，r 1>r 2，椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，椭圆、双曲线的离心率分别为e 1，e 2.则由椭圆、双曲线的定义，得r 1＋r 2＝2a 1，r 1－r 2＝2a 2，平方得4a 21＝r 21＋r 22＋2r 1r 2，4a 22＝r 21－2r 1r 2＋r 22.又由余弦定理得4c 2＝r 21＋r 22－r 1r 2，消去r 1r 2，得a 21＋3a 22＝4c 2，即1e 21＋3e 22＝4.所以由柯西不等式得⎝⎛⎭⎫1e 1＋1e 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 1＋13×3e 22≤⎝⎛⎭⎫1e 21＋3e 22⎝⎛⎭⎫1＋13＝163.所以1e 1＋1e 2≤433.故选A.10．[2014·湖北卷] 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝12(|x －a 2|＋|x－2a 2|－3a 2)．若∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤－16，16B.⎣⎡⎦⎤－66，66C.⎣⎡⎦⎤－13，13D.⎣⎡⎦⎤－33，33 10．B [解析] 因为当x ≥0时，f (x )＝12()||x －a 2＋||x －2a 2－3a 2，所以当0≤x ≤a 2时，f (x )＝12()a 2－x ＋2a 2－x －3a 2＝－x ； 当a 2<x <2a 2时，f (x )＝12()x －a 2＋2a 2－x －3a 2＝－a 2；当x ≥2a 2时，f (x )＝12()x －a 2＋x －2a 2－3a 2＝x －3a 2.综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，0≤x ≤a 2，－a 2，a 2<x <2a 2，x －3a 2，x ≥2a 2.观察图象可知，要使∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则需满足2a 2－(－4a 2)≤1，解得－66≤a ≤66.故选B.11．[2014·湖北卷] 设向量a ＝(3，3)，b ＝(1，－1)．若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝________． 11．±3 [解析] 因为a ＋λb ＝(3＋λ，3－λ)，a －λb ＝(3－λ，3＋λ)，又(a ＋λb )⊥(a －λb )，所以(a ＋λb )·(a －λb )＝(3＋λ)(3－λ)＋(3－λ)(3＋λ)＝0，解得λ＝±3.12．[2014·湖北卷] 直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝________.12．2 [解析] 依题意得，圆心O 到两直线l 1：y ＝x ＋a ，l 2：y ＝x ＋b 的距离相等，且每段弧长等于圆周的14，即|a |2＝|b |2＝1×sin 45°，得 |a |＝|b |＝1.故a 2＋b 2＝2.13．[2014·湖北卷] 设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数．将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为I (a )，按从大到小排成的三位数记为D (a )(例如a ＝815，则I (a )＝158，D (a )＝851)．阅读如图1-2所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，输出的结果b ＝________．13．495 [解析] 取a 1＝815⇒b 1＝851－158＝693≠815⇒a 2＝693； 由a 2＝693⇒b 2＝963－369＝594≠693⇒a 3＝594； 由a 3＝594⇒b 3＝954－459＝495≠594⇒a 4＝495； 由a 4＝495⇒b 4＝954－459＝495＝a 4⇒b ＝495. 14．、[2014·湖北卷] 设f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数，且f (x )>0，对任意a >0，b >0，若经过点(a ，f (a ))，(b ，－f (b ))的直线与x 轴的交点为(c ，0)，则称c 为a ，b 关于函数f (x )的平均数，记为M f (a ，b )，例如，当f (x )＝1(x >0)时，可得M f (a ，b )＝c ＝a ＋b2，即M f (a ，b )为a ，b的算术平均数．(1)当f (x )＝________(x >0)时，M f (a ，b )为a ，b 的几何平均数；(2)当f (x )＝________(x >0)时，M f (a ，b )为a ，b 的调和平均数2aba ＋b.(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)14．(1)x (2)x (或填(1)k 1x ；(2)k 2x ，其中k 1，k 2为正常数) [解析] 设A (a ，f (a ))，B (b ，－f (b ))，C (c ，0)，则此三点共线：(1)依题意，c ＝ab ，则0－f （a ）c －a ＝0＋f （b ）c －b，即0－f （a ）ab －a ＝0＋f （b ）ab －b.因为a >0，b >0，所以化简得 f （a ）a ＝f （b ）b，故可以选择f (x )＝x (x >0)；(2)依题意，c ＝2aba ＋b，则0－f （a ）2ab a ＋b －a ＝0＋f （b ）2ab a ＋b－b ，因为a >0，b >0，所以化简得 f （a ）a ＝f （b ）b ，故可以选择f (x )＝x (x >0)．15．[2014·湖北卷] (选修4-1：几何证明选讲) 如图1-3，P 为⊙O 外一点，过P 点作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ，过P A 的中点Q 作割线交⊙O 于C ，D 两点，若．15．4 [解析] 由切线长定理得QA 2＝QC ·QD ＝1×(1＋3)＝4，解得QA ＝2.故PB ＝P A ＝2QA ＝4.16．[2014·湖北卷] (选修4-4：坐标系与参数方程)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝3t 3(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，则C 1与C 2交点的直角坐标为________． 16.()3，1 [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝3t 3，消去t 得y ＝33x (x ≥0)，即曲线C 1的普通方程是y ＝33x (x ≥0)；由ρ＝2，得ρ2＝4，得x 2＋y 2＝4，即曲线C 2的直角坐标方程是x 2＋y 2＝4.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x （x ≥0），x 2＋y 2＝4，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1.故曲线C 1与C 2的交点坐标为()3，1. 17．、、、[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天的最大温差．(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？17．解：(1)因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0，24)上取得的最大值是12，最小值是8.故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. (2)依题意，当f (t )>11时，实验室需要降温．由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，故有10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3>11，即sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3<－12.又0≤t <24，因此7π6<π12t ＋π3<11π6，即10<t <18.故在10时至18时实验室需要降温． 18．、、[2014·湖北卷] 已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式．(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n >60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．18．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，依题意得，2，2＋d ，2＋4d 成等比数列， 故有(2＋d )2＝2(2＋4d )，化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2.从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2. (2)当a n ＝2时，S n ＝2n ，显然2n <60n ＋800， 此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立．当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋（4n －2）]2＝2n 2.令2n 2>60n ＋800，即n 2－30n －400>0， 解得n >40或n <－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的正整数n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的正整数n ，其最小值为41. 19．、、、[2014·湖北卷] 如图1-4，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0<λ<2)．(1)当λ＝1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ .(2)是否存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．19．解：方法一(几何方法)：(1)证明：如图①，连接AD 1，由ABCD A 1B 1C 1D 1是正方体，知BC 1∥AD 1.当λ＝1时，P 是DD 1的中点，又F 是AD 的中点，所以FP ∥AD 1，所以BC 1∥FP . 而FP ⊂平面EFPQ .(2)如图②，连接BD .因为E ，F 分别是AB ，AD 的中点，所以EF ∥BD ，且EF ＝12BD .又DP ＝BQ ，DP ∥BQ ，所以四边形PQBD 是平行四边形，故PQ ∥BD ，且PQ ＝BD ，从而EF ∥PQ ，且EF ＝12PQ .在Rt △EBQ 和Rt △FDP 中，因为BQ ＝DP ＝λ，BE ＝DF ＝1， 于是EQ ＝FP ＝1＋λ2，所以四边形EFPQ 也是等腰梯形． 同理可证四边形PQMN 也是等腰梯形．分别取EF ，PQ ，MN 的中点为H ，O ，G ，连接OH ，OG ， 则GO ⊥PQ ，HO ⊥PQ ，而GO ∩HO ＝O ，故∠GOH 是面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角的平面角．若存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角，则∠GOH ＝90°. 连接EM ，FN ，则由EF ∥MN ，且EF ＝MN 知四边形EFNM 是平行四边形． 连接GH ，因为H ，G 是EF ，MN 的中点， 所以GH ＝ME ＝2.在△GOH 中，GH 2＝4，OH 2＝1＋λ2－⎝⎛⎭⎫222＝λ2＋12，OG 2＝1＋(2－λ)2－⎝⎛⎭⎫222＝(2－λ)2＋12，由OG 2＋OH 2＝GH 2，得(2－λ)2＋12＋λ2＋12＝4，解得λ＝1±22，故存在λ＝1±22，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角．方法二(向量方法)：以D 为原点，射线DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴的正半轴建立如图③所示的空间直角坐标系．由已知得B (2，2，0)，C 1(0，2，2)，E (2，1，0)，F (1，0，0)，P (0，0，λ)．BC 1→＝(－2，0，2)，FP ＝(－1，0，λ)，FE ＝(1，1，0)． (1)证明：当λ＝1时，FP ＝(－1，0，1)，因为BC 1→＝(－2，0，2)，所以BC 1→＝2FP →，即BC 1∥FP .而FP ⊂平面EFPQ ，且BC 1⊄平面EFPQ ，故直线BC 1∥平面EFPQ .(2)设平面EFPQ 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧FE →·n ＝0，FP →·n ＝0可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－x ＋λz ＝0.于是可取n ＝(λ，－λ，1)．同理可得平面MNPQ 的一个法向量为m ＝(λ－2，2－λ，1)． 若存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角， 则m ·n ＝(λ－2，2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0，即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝1±22.故存在λ＝1±22，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角．20．[2014·湖北卷] 计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水年入流量．．．．X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．(1)求未来4年中，至多．．有1年的年入流量超过120的概率． (2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？20．解：(1)依题意，p 1＝P (40<X <80)＝1050＝0.2，p 2＝P (80≤X ≤120)＝3550＝0.7，p 3＝P (X >120)＝550＝0.1.由二项分布得，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为p ＝C 04(1－p 3)4＋C 14(1－p 3)3p 3＝0.94＋4×0.93×0.1＝0.947 7. (2)记水电站年总利润为Y (单位：万元)． ①安装1台发电机的情形． 由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y ＝5000，E (Y )＝5000×1＝5000.②安装2台发电机的情形．依题意，当40<X <80时，一台发电机运行，此时Y ＝5000－800＝4200，因此P (Y ＝4200)＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；当X ≥80时，两台发电机运行，此时Y ＝5000×2＝10 000，因此P (Y ＝10 000)＝P (X ≥80)＝ p 2＋p 3＝所以，E (Y )＝4200×0.2＋③安装3台发电机的情形．依题意，当40<X <80时，一台发电机运行，此时Y ＝5000－1600＝3400，因此P (Y ＝3400)＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；当80≤X ≤120时，两台发电机运行，此时Y ＝5000×2－800＝9200，因此P (Y ＝9200)＝P (80≤X ≤120)＝p 2＝0.7；当X >120时，三台发电机运行，此时Y ＝5000×3＝15 000，因此P (Y ＝15 000)＝P (X >120)＝p 3＝0.1.由此得Y 的分布列如下：所以，E (Y )＝3400×0.2综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．21．[2014·湖北卷] 在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点F (1，0)的距离比它到y 轴的距离多1.记点M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的方程；(2)设斜率为k 的直线l 过定点P (－2，1)，求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围．21．解：(1)设点M (x ，y )，依题意得|MF |＝|x |＋1，即（x －1）2＋y 2＝|x |＋1， 化简整理得y 2＝2(|x |＋x )．故点M 的轨迹C 的方程为y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥0，0，x <0.(2)在点M 的轨迹C 中，记C 1：y 2＝4x ，C 2：y ＝0(x <0)． 依题意，可设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k （x ＋2），y 2＝4x ，可得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0.①当k ＝0时，y ＝1.把y ＝1代入轨迹C 的方程，得x ＝14.故此时直线l ：y ＝1与轨迹C 恰好有一个公共点⎝⎛⎭⎫14，1. 当k ≠0时，方程①的判别式Δ＝－16(2k 2＋k －1)．②设直线l 与x 轴的交点为(x 0，0)，则由y －1＝k (x ＋2)，令y ＝0，得x 0＝－2k ＋1k.③(i)若⎩⎪⎨⎪⎧Δ<0，x 0<0，由②③解得k <－1或k >12.即当k ∈(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，直线l 与C 1没有公共点，与C 2有一个公共点．故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点．(ii)若⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝0，x 0<0，或⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 0≥0，由②③解得k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12或－12≤k <0.即当k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与C 1只有一个公共点．当k ∈⎣⎡⎭⎫－12，0时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2没有公共点． 故当k ∈⎣⎡⎭⎫－12，0∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点． (iii)若⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 0<0，由②③解得－1<k <－12或0<k <12.即当k ∈⎝⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫0，12时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2有一个公共点， 故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．综上可知，当k ∈()－∞，－1∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞∪{0}时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点；当k ∈⎣⎡⎭⎫－12，0∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；当k ∈⎝⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫0，12时，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．22．[2014·湖北卷] π为圆周率，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)求函数f (x )＝ln x x的单调区间； (2)求e 3，3e ，e π，πe ，，3π，π3这6个数中的最大数与最小数；(3)将e 3，3e ，e π，πe ，3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．22．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．因为f (x )＝ln x x ，所以f ′(x )＝1－ln x x 2. 当f ′(x )>0，即0<x <e 时，函数f (x )单调递增；当f ′(x )<0，即x >e 时，函数f (x )单调递减．故函数f (x )的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e ，＋∞)．(2)因为e<3<π，所以eln 3<eln π，πln e<πln 3，即ln 3e <ln πe ，ln e π<ln 3π.于是根据函数y ＝ln x ，y ＝e x ，y ＝πx 在定义域上单调递增，可得3e <πe <π3，e 3<e π<3π.故这6个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e 与e 3之中．由e<3<π及(1)的结论，得f (π)<f (3)<f (e)，即ln ππ<ln 33<ln e e . 由ln ππ<ln 33，得ln π3<ln3π，所以3π>π3； 由ln 33<ln e e，得ln 3e <ln e 3，所以3e <e 3. 综上，6个数中的最大数是3π，最小数是3e .(3)由(2)知，3e <πe <π3<3π，3e <e 3.又由(2)知，ln ππ<ln e e ，得πe <e π. 故只需比较e 3与πe 和e π与π3的大小．由(1)知，当0<x <e 时，f (x )<f (e)＝1e， 即ln x x <1e. 在上式中，令x ＝e 2π，又e 2π<e ，则ln e 2π<e π，从而2－ln π<e π，即得ln π>2－e π.① 由①得，eln π>e ⎝⎛⎭⎫2－e π>2.7×⎝⎛⎭⎫2－2.723.1>2.7×(2－0.88)＝3.024>3， 即eln π>3，亦即ln πe >ln e 3，所以e 3<πe .又由①得，3ln π>6－3e π>6－e>π，即3ln π>π， 所以e π<π3.综上可得，3e <e 3<πe <e π<π3<3π，即这6个数从小到大的顺序为3e ，e 3，πe ，e π，π3，3π.。
2014学年高考理科数学年湖北卷答案
34i，即求出值【解析】作出可行域，如图：【解析】由弦切角定理得FBD EACBAE ，又AF BD AB BF =，排除A 、C. DBC ，排除B 、故选D.本题利用角与弧的关系，得到角相等，，所以||||cos1202AB AD AB AD =︒=-，所以AE AB AD λ=+，AF AB AD μ=+.因为1AE AF =，所以()()1AB AD AB AD λμ++=，即2λ2-②，①+②得5λμ+=，故选C. 【提示】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义求得2120ππ4π2233+=m 【考点】空间立体图形三视图、体积.结合图象可知01a <<或9a >.][),4∞+，所以][)9,∞+.结合图象可得01a <<或9a >.1sin 2x x ⎛+ ⎝3cos 2x x -43π3x 的范围，再利用正弦函数的性质求出再已【考点】三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法1203373734960C C C C +=. 3463k k C C -(k =3463k kC C -(k =(0,0,2)P.由E为棱PC的中点，得(1,1,1)E.证明：向量(0,1,1)BE=，(2,0,0)DC=，故0BE DC=.所以，）向量(1,2,0)BD=-，(1,0,PB=设(,,)n x y z=0,0,n BDn PB⎧=⎪⎨=⎪⎩即-⎧，可得(2,1,1)n=为平面的一个法向量,||||6n BEn BEn BE==⨯与平面PBD3）向量(1,2,0)BC=，(2,CP=-，(2,2,0)AC=，(1,0,0)AB=由点F在棱PC上，设CF CPλ=，0≤故()1,2BF BC CF BC CPλλλ=+=+=-.，得0BF AC=，因此，2(1即12BF⎛=-设(1,n x y=为平面FAB的法向量，则110,0,n ABn BF⎧=⎪⎨=⎪⎩即，可得1(0,n=-FAB的一个法向量的法向量1(0,1,0)n=121212,||||10n nn nn n-==31010.【提示】（1）以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出BE ，DC 的方向向量，根据0BE DC =，可得BE DC ⊥；（2）求出平面PBD 的一个法向量，代入向量夹角公式，可得直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值； （3）根据BFAC ，求出向量BF 的坐标，进而求出平面F AB 和平面ABP 的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角F ABP 的余弦值2，有10(F P x =+，1(,)F B c c =由已知，有110F P F B =，即1.②由①和②可得234x cx +可得1F P ，1F B .利用圆的性质可得11F B F P ⊥，于是110F B F P =，得到040cx =，解得1n n a q -++1n n b q -++1,2,,n 及n a (1n a -++-()1q ++-q。
2014年湖北省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析
2014年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2014•湖北）i为虚数单位，（）2=（）A．﹣1 B．1C．﹣i D．i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题；数系的扩充和复数．分析：可先计算出的值，再计算平方的值．解答：解：由于，所以，（）2=（﹣i）2=﹣1故选A．点评：本题考查复数代数形式的计算，属于容易题2．（5分）（2014•湖北）若二项式（2x+）7的展开式中的系数是84，则实数a=（）A．2B．C．1D．考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：利用二项式定理的展开式的通项公式，通过x幂指数为﹣3，求出a即可．解答：解：二项式（2x+）7的展开式即（+2x）7的展开式中x﹣3项的系数为84，所以T r+1==，令﹣7+2r=﹣3，解得r=2，代入得：，解得a=1，故选：C．点评：本题考查二项式定理的应用，特定项的求法，基本知识的考查．3．（5分）（2014•湖北）设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B=∅”的（）A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：充要条件；集合的包含关系判断及应用．专题：集合；简易逻辑．分析：通过集合的包含关系，以及充分条件和必要条件的判断，推出结果．解答：解：由题意A⊆C，则∁U C⊆∁U A，当B⊆∁U C，可得“A∩B=∅”；若“A∩B=∅”能推出存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C，∴U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B=∅”的充分必要的条件．故选：C．点评：本题考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件的判断，是基础题．4．（5分）（2014•湖北）根据如下样本数据，得到回归方程=bx+a，则（）x 3 4 5 6 7 8y 4.0 2.5 ﹣0.5 0.5 ﹣2.0 ﹣3.0A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0考点：线性回归方程．专题：概率与统计．分析：通过样本数据表，容易判断回归方程中，b、a的符号．解答：解：由题意可知：回归方程经过的样本数据对应的点附近，是减函数，所以b＜0，且回归方程经过（3，4）与（4，3.5）附近，所以a＞0．故选：B．点评：本题考查回归方程的应用，基本知识的考查．5．（5分）（2014•湖北）在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出的编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②考点：简单空间图形的三视图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得结论．解答：解：在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得三棱锥的正视图和俯视图分别为④②，故选：D．点评：本题考查三视图的画法，做到心中有图形，考查空间想象能力，是基础题．6．（5分）（2014•湖北）若函数f（x），g（x）满足f（x）g（x）dx=0，则f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f（x）=sin x，g（x）=cos x；②f（x）=x+1，g（x）=x﹣1；③f（x）=x，g（x）=x2，其中为区间[﹣1，1]上的正交函数的组数是（）A．0B．1C．2D．3考点：微积分基本定理．专题：综合题；导数的综合应用．分析：利用新定义，对每组函数求积分，即可得出结论．解答：解：对于①：[sin x•cos x]dx=（sinx）dx=cosx=0，∴f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数；对于②：（x+1）（x﹣1）dx=（x2﹣1）dx=（）≠0，∴f（x），g（x）不为区间[﹣1，1]上的一组正交函数；对于③：x3dx=（）=0，∴f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，∴正交函数有2组，故选：C．点评：本题考查新定义，考查微积分基本定理的运用，属于基础题．7．（5分）（2014•湖北）由不等式组确定的平面区域记为Ω1，不等式组确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为（）A．B．C．D．考点：几何概型；简单线性规划．专题：概率与统计．分析：作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何槪型的概率公式即可得到结论．解答：解：平面区域Ω1，为三角形AOB，面积为，平面区域Ω2，为四边形BDCO，其中C（0，1），由，解得，即D（，），则三角形ACD的面积S==，则四边形BDCO的面积S=，则在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为，故选：D．点评：本题主要考查几何槪型的概率计算，利用线性规划的知识求出对应的区域和面积是解决本题的关键．8．（5分）（2014•湖北）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A．B．C．D．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据近似公式V≈L2h，建立方程，即可求得结论．解答：解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则L=（2πr）2，∴=（2πr）2h，∴π=．故选：B．点评：本题考查圆锥体积公式，考查学生的阅读理解能力，属于基础题．9．（5分）（2014•湖北）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点．且∠F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A．B．C．3D．2考点：椭圆的简单性质；余弦定理；双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论．解答：解：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分布为e1，e2∵∠F1PF2=，∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①在椭圆中，①化简为即4c2=4a12+3r1r2，即，②在双曲线中，①化简为即4c2=4a22+r1r2，即，③联立②③得，=4，由柯西不等式得（1+）（）≥（1×+）2，即（）=即，d当且仅当时取等号，故选：A点评：本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．难度较大．10．（5分）（2014•湖北）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2），若∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围为（）A．[﹣，]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]考点：函数恒成立问题；函数奇偶性的判断；函数最值的应用．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：把x≥0时的f（x）改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得x＜0时的函数的最大值，由对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），可得2a2﹣（﹣4a2）≤1，求解该不等式得答案．解答：解：当x≥0时，f（x）=，由f（x）=x﹣3a2，x＞2a2，得f（x）＞﹣a2；当a2＜x＜2a2时，f（x）=﹣a2；由f（x）=﹣x，0≤x≤a2，得f（x）≥﹣a2．∴当x＞0时，．∵函数f（x）为奇函数，∴当x＜0时，．∵对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），∴2a2﹣（﹣4a2）≤1，解得：．故实数a的取值范围是．故选：B．点评：本题考查了恒成立问题，考查了函数奇偶性的性质，运用了数学转化思想方法，解答此题的关键是由对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x）得到不等式2a2﹣（﹣4a2）≤1，是中档题．二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．11．（5分）（2014•湖北）设向量=（3，3），=（1，﹣1），若（+λ）⊥（﹣λ），则实数λ=±3．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：根据向量垂直与向量坐标之间的关系建立方程关系，即可得到结论．解答：解：∵向量=（3，3），=（1，﹣1），∴向量||=3，||=，向量•=3﹣3=0，若（+λ）⊥（（﹣λ）），则（+λ）•（（﹣λ）=，即18﹣2λ2=0，则λ2=9，解得λ=±3，故答案为：±3，点评：本题主要考查向量垂直的坐标公式的应用，比较基础．12．（5分）（2014•湖北）直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将单位圆C：x2+y2=1分成长度相等四段弧，则a2+b2= 2．考点：直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的，即==cos45°，由此求得a2+b2的值．解答：解：由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的，∴==cos45°=，∴a2+b2=2，故答案为：2．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，得到∴==cos45°=，是解题的关键，属于基础题．13．（5分）（2014•湖北）设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字三位数，将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I（a），按从大到小排成的三位数记为D（a）（例如a=815，则I（a）=158，D（a）=851），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b=495．考点：程序框图．专题：计算题；算法和程序框图．分析：给出一个三位数的a值，实验模拟运行程序，直到满足条件，确定输出的a值，可得答案．解答：解：由程序框图知：例当a=123，第一次循环a=123，b=321﹣123=198；第二次循环a=198，b=981﹣189=792；第三次循环a=792，b=972﹣279=693；第四次循环a=693，b=963﹣369=594；第五次循环a=594，b=954﹣459=495；第六次循环a=495，b=954﹣459=495，满足条件a=b，跳出循环体，输出b=495．故答案为：495．点评：本题通过新定义题型考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．三、解答题14．（2014•湖北）设f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，且f（x）＞0，对任意a＞0，b＞0，若经过点（a，f（a）），（b，﹣f（b））的直线与x轴的交点为（c，0），则称c为关于函数f（x）的平均数，记为M f（a，b），例如，当f（x）=1（x＞0）时，可得M f（a，b）=c=，即M f（a，b）为a，b的算术平均数．（1）当f（x）=（x＞0）时，M f（a，b）为a，b的几何平均数；（2）当f（x）=x（x＞0）时，M f（a，b）为a，b的调和平均数；（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）考点：平均值不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）设f（x）=，（x＞0），在经过点（a，）、（b，﹣）的直线方程中，令y=0，求得x=c=，从而得出结论．（2）设f（x）=x，（x＞0），在经过点（a，a）、（b，﹣b）的直线方程中，令y=0，求得x=c=，从而得出结论．解答：解：（1）设f（x）=，（x＞0），则经过点（a，）、（b，﹣）的直线方程为=，令y=0，求得x=c=，∴当f（x）=，（x＞0）时，M f（a，b）为a，b的几何平均数，故答案为：．（2）设f（x）=x，（x＞0），则经过点（a，a）、（b，﹣b）的直线方程为=，令y=0，求得x=c=，∴当f（x）=x（x＞0）时，M f（a，b）为a，b的调和平均数，故答案为：x．点评：本题主要考查新定义，用两点式求直线的方程，属于中档题．15．（2014•湖北）如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点，若QC=1，CD=3，则PB=4．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；几何证明．分析：利用切割线定理可得QA2=QC•QD，可求QA，可得PA，利用圆的切线长定理，可得PB．解答：解：∵QA是⊙O的切线，∴QA2=QC•QD，∵QC=1，CD=3，∴QA2=4，∴QA=2，∴PA=4，∵PA，PB是⊙O的切线，∴PB=PA=4．故答案为：4．点评：本题考查圆的切线长定理，考查切割线定理，考查学生的计算能力，属于基础题．16．（2014•湖北）已知曲线C1的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2，则C1与C2交点的直角坐标为（，1）．考点：点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程．专题：直线与圆．分析：把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程，再把两曲线的方程联立方程组求得C1与C2交点的直角坐标．解答：解：把曲线C1的参数方程是（t为参数），消去参数化为直角坐标方程为x2=3y2（x≥0，y≥0）．曲线C2的极坐标方程是ρ=2，化为直角坐标方程为x2+y2=4．解方程组，求得，∴C1与C2交点的直角坐标为（，1），故答案为：（，1）．点评：本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，求两条曲线的交点，属于基础题．17．（11分）（2014•湖北）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：f（t）=10﹣，t∈[0，24）（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；（Ⅱ）若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式化简函数解析式为f（t）10﹣2sin（t+），t∈[0，24），利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的最大值及最小值，可得实验室这一天的最大温差．（Ⅱ）由题意可得，当f（t）＞11时，需要降温，由f（t）＞11，求得sin（t+）＜﹣，即≤t+＜，解得t的范围，可得结论．解答：解：（Ⅰ）∵f（t）=10﹣=10﹣2sin（t+），t∈[0，24），∴≤t+＜，故当t+=时，函数取得最大值为10+2=12，当t+=时，函数取得最小值为10﹣2=8，故实验室这一天的最大温差为12﹣8=4℃．（Ⅱ）由题意可得，当f（t）＞11时，需要降温，由（Ⅰ）可得f（t）=10﹣2sin（t+），由10﹣2sin（t+）＞11，求得sin（t+）＜﹣，即≤t+＜，解得10＜t＜18，即在10时到18时，需要降温．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象特征，两角和差的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，三角不等式的解法，属于中档题．18．（12分）（2014•湖北）已知等差数列{a n}满足：a1=2，且a1，a2，a5成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记S n为数列{a n}的前n项和，是否存在正整数n，使得S n＞60n+800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．考点：等差数列的性质；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设出数列的公差，利用等比中项的性质建立等式求得d，则数列的通项公式可得．（Ⅱ）利用（Ⅰ）中数列的通项公式，表示出S n根据S n＞60n+800，解不等式根据不等式的解集来判断．解答：解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，依题意，2，2+d，2+4d成比数列，故有（2+d）2=2（2+4d），化简得d2﹣4d=0，解得d=0或4，当d=0时，a n=2，当d=4时，a n=2+（n﹣1）•4=4n﹣2．（Ⅱ）当a n=2时，S n=2n，显然2n＜60n+800，此时不存在正整数n，使得S n＞60n+800成立，当a n=4n﹣2时，S n==2n2，令2n2＞60n+800，即n2﹣30n﹣400＞0，解得n＞40，或n＜﹣10（舍去），此时存在正整数n，使得S n＞60n+800成立，n的最小值为41，综上，当a n=2时，不存在满足题意的正整数n，当a n=4n﹣2时，存在满足题意的正整数n，最小值为41点评：本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．要求学生对等差数列和等比数列的通项公式，求和公式熟练记忆．19．（12分）（2014•湖北）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP=BQ=λ（0＜λ＜2）（Ⅰ）当λ=1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；（Ⅱ）是否存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）建立坐标系，求出=2，可得BC1∥FP，利用线面平行的判定定理，可以证明直线BC1∥平面EFPQ；（Ⅱ）求出平面EFPQ的一个法向量、平面MNPQ的一个法向量，利用面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，建立方程，即可得出结论．解答：（Ⅰ）证明：以D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴的正半轴，建立坐标系，则B（2，2，0），C1（0，2，2），E（2，1，0），F（1，0，0），P（0，0，λ），∴=（﹣2，0，2），=（﹣1，0，λ），=（1，1，0）λ=1时，=（﹣2，0，2），=（﹣1，0，1），∴=2，∴BC1∥FP，∵FP⊂平面EFPQ，BC1⊄平面EFPQ，∴直线BC1∥平面EFPQ；（Ⅱ）设平面EFPQ的一个法向量为=（x，y，z），则，∴取=（λ，﹣λ，1）．同理可得平面MNPQ的一个法向量为=（λ﹣2，2﹣λ，1），若存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，则•=λ（λ﹣2）﹣λ（2﹣λ）+1=0，∴λ=1±．∴存在λ=1±，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角．点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查存在性问题，解题时要合理地化空间问题为平面问题，注意向量法的合理运用．20．（12分）（2014•湖北）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，假设各年的年入流量相互独立．（Ⅰ）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；（Ⅱ）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：年入流量X 40＜X＜80 80≤X≤120 X＞120发电机最多可运行台数1 2 3若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元，若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）先求出年入流量X的概率，根据二项分布，求出未来4年中，至少有1年的年入流量超过120的概率；（Ⅱ）分三种情况进行讨论，分别求出一台，两台，三台的数学期望，比较即可得到．解答：解：（Ⅰ）依题意，p1=P（40＜X＜80）=，，，由二项分布，未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率为=（Ⅱ）记水电站的总利润为Y（单位，万元）（1）安装1台发电机的情形，由于水库年入流总量大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y=5000，E（Y）=5000×1=5000，（2）安装2台发电机的情形，依题意，当40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y=5000﹣800=4200，因此P（Y=4200）=P（40＜X＜80）=p1=，当X≥80时，两台发电机运行，此时Y=5000×2=10000，因此，P（Y=10000）=P（X≥80）=P2+P3=0.8，由此得Y的分布列如下Y 4200 10000P 0.2 0.8所以E（Y）=4200×0.2+10000×0.8=8840．（2）安装3台发电机的情形，依题意，当40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y=5000﹣1600=3400，因此P（Y=3400）=P（40＜X＜80）=p1=0.2，当80≤X≤120时，两台发电机运行，此时Y=5000×2﹣800=9200，因此，P（Y=9200）=P（80≤X≤120）=p2=0.7，当X＞120时，三台发电机运行，此时Y=5000×3=15000，因此，P（Y=15000）=P（X＞120）=p3=0.1，由此得Y的分布列如下Y 3400 9200 15000P 0.2 0.7 0.1所以E（Y）=3400×0.2+9200×0.7+15000×0.1=8620．综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．点评：本题主要考查了数学期望和二项分布，再求最大利润时，需要分类讨论，属于中档题．21．（14分）（2014•湖北）在平面直角坐标系xOy中，点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离多1，记点M的轨迹为C．（Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）设斜率为k的直线l过定点P（﹣2，1），求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．考点：轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设出M点的坐标，直接由题意列等式，整理后即可得到M的轨迹C的方程；（Ⅱ）设出直线l的方程为y﹣1=k（x+2），和（Ⅰ）中的轨迹方程联立化为关于y的一元二次方程，求出判别式，再在直线y﹣1=k（x+2）中取y=0得到．然后分判别式小于0、等于0、大于0结合x0＜0求解使直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．解答：解：（Ⅰ）设M（x，y），依题意得：|MF|=|x|+1，即，化简得，y2=2|x|+2x．∴点M的轨迹C的方程为；（Ⅱ）在点M的轨迹C中，记C1：y2=4x（x≥0），C2：y=0（x＜0）．依题意，可设直线l的方程为y﹣1=k（x+2）．由方程组，可得ky2﹣4y+4（2k+1）=0．①当k=0时，此时y=1，把y=1代入轨迹C的方程，得．故此时直线l：y=1与轨迹C恰好有一个公共点（）．②当k≠0时，方程ky2﹣4y+4（2k+1）=0的判别式为△=﹣16（2k2+k﹣1）．设直线l与x轴的交点为（x0，0），则由y﹣1=k（x+2），取y=0得．若，解得k＜﹣1或k＞．即当k∈时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点．若或，解得k=﹣1或k=或．即当k=﹣1或k=时，直线l与C1只有一个公共点，与C2有一个公共点．当时，直线l与C1有两个公共点，与C2无公共点．故当k=﹣1或k=或时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点．若，解得﹣1＜k＜﹣或0＜k＜．即当﹣1＜k＜﹣或0＜k＜时，直线l与C1有两个公共点，与C2有一个公共点．此时直线l与C恰有三个公共点．综上，当k∈∪{0}时，直线l与C恰有一个公共点；当k∪{﹣1，}时，直线l与C恰有两个公共点；当k∈时，直线l与轨迹C恰有三个公共点．点评：本题考查轨迹方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，体现了分类讨论的数学思想方法，重点是做到正确分类，是中档题．22．（14分）（2014•湖北）π为圆周率，e=2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数f（x）=的单调区间；（Ⅱ）求e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数中的最大数和最小数；（Ⅲ）将e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）先求函数定义域，然后在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可得到单调增、减区间；（Ⅱ）由e＜3＜π，得eln3＜elnπ，πlne＜πln3，即ln3e＜lnπe，lneπ＜ln3π．再根据函数y=lnx，y=e x，y=πx在定义域上单调递增，可得3e＜πe＜π3，e3＜eπ＜3π，从而六个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e与e3之中．由e＜3＜π及（Ⅰ）的结论，得f（π）＜f（3）＜f（e），即，由此进而得到结论；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，3e＜πe＜π3＜3π，3e＜e3，又由（Ⅱ）知，，得πe＜eπ，故只需比较e3与πe和eπ与π3的大小．由（Ⅰ）可得0＜x＜e时，．，令x=，有ln＜，从而2﹣lnπ，即得lnπ．①，由①还可得lnπe＞lne3，3lnπ＞π，由此易得结论；解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），∵f（x）=，∴f′（x）=，当f′（x）＞0，即0＜x＜e时，函数f（x）单调递增；当f′（x）＜0，即x＞e时，函数f（x）单调递减．故函数f（x）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞）．（Ⅱ）∵e＜3＜π，∴eln3＜elnπ，πlne＜πln3，即ln3e＜lnπe，lneπ＜ln3π．于是根据函数y=lnx，y=e x，y=πx在定义域上单调递增，可得3e＜πe＜π3，e3＜eπ＜3π，故这六个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e与e3之中．由e＜3＜π及（Ⅰ）的结论，得f（π）＜f（3）＜f（e），即，由，得lnπ3＜ln3π，∴3π＞π3；由，得ln3e＜lne3，∴3e＜e3．综上，6个数中的最大数是3π，最小数是3e．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，3e＜πe＜π3＜3π，3e＜e3，又由（Ⅱ）知，，得πe＜eπ，故只需比较e3与πe和eπ与π3的大小．由（Ⅰ）知，当0＜x＜e时，f（x）＜f（e）=，即．在上式中，令x=，又，则ln＜，从而2﹣lnπ，即得lnπ．①由①得，elnπ＞e（2﹣）＞2.7×（2﹣）＞2.7×（2﹣0.88）=3.024＞3，即elnπ＞3，亦即lnπe ＞lne3，∴e3＜πe．又由①得，3lnπ＞6﹣＞6﹣e＞π，即3lnπ＞π，∴eπ＜π3．综上可得，3e＜e3＜πe＜eπ＜π3＜3π，即6个数从小到大顺序为3e，e3，πe，eπ，π3，3π．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性及其应用、数值的大小比较，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，难度较大．。
2014年高考真题——理科数学(湖北卷)解析版2Word版含解析
2014年高考真题——理科数学（湖北卷）解析版2 Word版含解析绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）本试题卷共5页，22题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用统一提供的2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．[2014?湖北卷] i为虚数单位，＝()A．－1 B．1 C．－i D．i1．A[解析] ＝＝－1.故选A.2．[2014?湖北卷] 若二项式的展开式中的系数是84，则实数a＝()A．2 B. C．1 D.2．C[解析] 展开式中含的项是T6＝C(2x)2＝C22a5x－3，故含的项的系数是C22a5＝84，解得a＝1.故选C.3．[2014?湖北卷] U为全集，A，B是集合，则"存在集合C使得A?C，B??UC"是"A∩B ＝?"的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．C[解析] 若存在集合C使得A?C，B??UC，则可以推出A∩B＝?；若A∩B＝?，由维思图可知，一定存在C＝A，满足A?C，B??UC，故"存在集合C使得A?C，B??UC"是"A∩B ＝?"的充要条件．故选C.4．[2014?湖北卷] 根据如下样本数据：x345678y4.02.5－0.50.5－2.0－3.0得到的回归方程为\s\up6(^(^)＝bx＋a，则()A．a>0，b>0 B．a>0，b C．a0 D．a4．B[解析] 作出散点图如下：观察图象可知，回归直线\s\up6(^(^)＝bx＋a的斜率b0.故a>0，b5．[2014?湖北卷] 在如图1-1所示的空间直角坐标系O - xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)．给出编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为()图1-1A．①和②B．①和③C．③和②D．④和②5．D[解析] 由三视图及空间直角坐标系可知，该几何体的正视图显然是一个直角三角形且内有一条虚线(一锐角顶点与其所对直角边中点的连线)，故正视图是④；俯视图是一个钝角三角形，故俯视图是②. 故选D.6．[2014?湖北卷] 若函数f(x)，g(x)满足f(x)g(x)dx＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f(x)＝sx，g(x)＝cosx；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g(x)＝x2.其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是()A．0 B．1 C．2 D．36．C[解析] 由题意，要满足f(x)，g(x)是区间[－1，1]上的正交函数，即需满足f(x)g(x)dx ＝0.①f(x)g(x)dx＝sxcosxdx＝sxdx＝＝0，故第①组是区间[－1，1]上的正交函数；②f(x)g(x)dx＝(x＋1)(x－1)dx＝＝－≠0，故第②组不是区间[－1，1]上的正交函数；③f(x)g(x)dx＝x?x2dx＝＝0，故第③组是区间[－1，1]上的正交函数．综上，是区间[－1，1]上的正交函数的组数是2. 故选C.7．[2014?湖北卷] 由不等式组确定的平面区域记为Ω1，不等式组确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为()A. B. C. D.7．D[解析] 作出Ω1，Ω2表示的平面区域如图所示，SΩ1＝S△AOB＝×2×2＝2，S△BCE＝×1×＝，则S四边形AOEC＝SΩ1－S△BCE＝2－＝.故由几何概型得，所求的概率P＝＝＝.故选D.8．[2014?湖北卷] 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求"锔"的术："置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．"该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为()A. B. C. D.8．B[解析] 设圆锥的底面圆半径为r，底面积为S，则L＝2πr，由题意得L2h≈Sh，代入S＝πr2化简得π≈3；类比推理，若V＝L2h，则π≈.故选B.9．、[2014?湖北卷] 已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()A. B. C．3 D．29．A[解析] 设|P＝r1，|P＝r2，r1>r2，椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，椭圆、双曲线的离心率分别为e1，e2.则由椭圆、双曲线的定义，得r1＋r2＝2a1，r1－r2＝2a2，平方得4a＝r＋r＋2r1r2，4a＝r－2r1r2＋r.又由余弦定理得4c2＝r＋r－r1r2，消去r1r2，得a＋3a＝4c2，即＋＝4.所以由柯西不等式得＝≤＝.所以＋≤.故选A.10．[2014?湖北卷] 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝(|x－＋|x －－3a2)．若?x∈R，f(x－1)≤f(x)，则实数a的取值范围为()A. B.C. D.10．B[解析] 因为当x≥0时，f(x)＝，所以当0≤x≤a2时，f(x)＝＝－x；当a2f(x)＝＝－a2；当x≥2a2时，f(x)＝＝x－3a2.综上，f(x)＝因此，根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f(x)在R上的大致图象如下，观察图象可知，要使?x∈R，f(x－1)≤f(x)，则需满足2a2－(－4a2)≤1，解得－≤a≤.故选B.11．[2014?湖北卷] 设向量a＝(3，3)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________．11．±3[解析] 因为a＋λb＝(3＋λ，3－λ)，a－λb＝(3－λ，3＋λ)，又(a＋λb)⊥(a－λb)，所以(a＋λb)?(a－λb)＝(3＋λ)(3－λ)＋(3－λ)(3＋λ)＝0，解得λ＝±3.12．[2014?湖北卷] 直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝________.12．2[解析] 依题意得，圆心O到两直线l1：y＝x＋a，l2：y＝x＋b的距离相等，且每段弧长等于圆周的，即＝＝1×s 45°，得＝＝1.故a2＋b2＝2.图1-213．[2014?湖北卷] 设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数．将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为I(a)，按从大到小排成的三位数记为D(a)(例如a＝815，则I(a)＝158，D(a)＝851)．阅读如图1-2所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b＝________．13．495[解析] 取a1＝815?b1＝851－158＝693≠815?a2＝693；由a2＝693?b2＝963－369＝594≠693?a3＝594；由a3＝594?b3＝954－459＝495≠594?a4＝495；由a4＝495?b4＝954－459＝495＝a4?b＝495.14．、[2014?湖北卷] 设f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数，且f(x)>0，对任意a>0，b>0，若经过点(a，f(a))，(b，－f(b))的直线与x轴的交点为(c，0)，则称c为a，b关于函数f(x)的平均数，记为Mf(a，b)，例如，当f(x)＝1(x>0)时，可得Mf(a，b)＝c＝，即Mf(a，b)为a，b 的算术平均数．(1)当f(x)＝________(x>0)时，Mf(a，b)为a，b的几何平均数；(2)当f(x)＝________(x>0)时，Mf(a，b)为a，b的调和平均数.(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)14．(1)(2)x(或填(1)k1；(2)k2x，其中k1，k2为正常数)[解析] 设A(a，f(a))，B(b，－f(b))，C(c，0)，则此三点共线：(1)依题意，c＝，则＝，即＝.因为a>0，b>0，所以化简得＝，故可以选择f(x)＝(x>0)；(2)依题意，c＝，则＝，因为a>0，b>0，所以化简得＝，故可以选择f(x)＝x(x>0)．15．[2014?湖北卷] (选修4-1：几何证明选讲)如图1-3，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点，若QC＝1，CD＝3，则PB＝________．图1-315．4[解析] 由切线长定理得QA2＝QC?QD＝1×(1＋3)＝4，解得QA＝2.故PB＝PA＝2QA＝4.16．[2014?湖北卷] (选修4-4：坐标系与参数方程)已知曲线C1的参数方程是(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，则C1与C2交点的直角坐标为________．16.[解析] 由消去t得y＝x(x≥0)，即曲线C1的普通方程是y＝x(x≥0)；由ρ＝2，得ρ2＝4，得x2＋y2＝4，即曲线C2的直角坐标方程是x2＋y2＝4.联立解得故曲线C1与C2的交点坐标为.17．、、、[2014?湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－cost－st，t∈[0，24)．(1)求实验室这一天的最大温差．(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？17．解：(1)因为f(t)＝10－2＝10－2s，又0≤t当t＝2时，s＝1；当t＝14时，s＝－1.于是f(t)在[0，24)上取得的最大值是12，最小值是8.故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.(2)依题意，当f(t)>11时，实验室需要降温．由(1)得f(t)＝10－2s，故有10－2s>11，即s又0≤t即10故在10时至18时实验室需要降温．18．、、[2014?湖北卷] 已知等差数列{}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．(1)求数列{}的通项公式．(2)记Sn为数列{}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn>＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．18．解：(1)设数列{}的公差为d，依题意得，2，2＋d，2＋4d成等比数列，故有(2＋d)2＝2(2＋4d)，化简得d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4.当d＝0时，＝2；当d＝4时，＝2＋(n－1)?4＝－2.从而得数列{}的通项公式为＝2或＝－2.(2)当＝2时，Sn＝，显然此时不存在正整数n，使得Sn>＋800成立．当＝－2时，Sn＝＝2.令2>＋800，即n2－－400>0，解得n>40或n此时存在正整数n，使得Sn>＋800成立，n的最小值为41.综上，当＝2时，不存在满足题意的正整数n；当＝－2时，存在满足题意的正整数n，其最小值为41.19．、、、[2014?湖北卷] 如图1-4，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP＝BQ ＝λ(0(1)当λ＝1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ.(2)是否存在λ，使面EFPQ与面PQ所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．图1-419．解：方法一(几何方法)：(1)证明：如图①，连接AD1，由ABCD-A1B1C1D1是正方体，知BC1∥AD1.当λ＝1时，P是DD1的中点，又F是AD的中点，所以FP∥AD1，所以BC1∥FP.而FP?平面EFPQ，且BC1?平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.图①图②(2)如图②，连接BD.因为E，F分别是AB，AD的中点，所以EF∥BD，且EF＝BD.又DP＝BQ，DP∥BQ，所以四边形PQBD是平行四边形，故PQ∥BD，且PQ＝BD，从而EF∥PQ，且EF＝PQ.在Rt△EBQ和Rt△FDP中，因为BQ＝DP＝λ，BE＝DF＝1，于是EQ＝FP＝，所以四边形EFPQ也是等腰梯形．同理可证四边形PQ也是等腰梯形．分别取EF，PQ，的中点为H，O，G，连接OH，OG，则GO⊥PQ，HO⊥PQ，而GO∩HO＝O，故∠GOH是面EFPQ与面PQ所成的二面角的平面角．若存在λ，使面EFPQ与面PQ所成的二面角为直二面角，则∠GOH＝90°.连接，，则由EF∥，且EF＝知四边形M是平行四边形．连接GH，因为H，G是EF，的中点，所以GH＝ME＝2.在△GOH中，GH2＝4，OH2＝1＋λ2－＝λ2＋，OG2＝1＋(2－λ)2－＝(2－λ)2＋，由OG2＋OH2＝GH2，得(2－λ)2＋＋λ2＋＝4，解得λ＝1±，故存在λ＝1±，使面EFPQ与面PQ所成的二面角为直二面角．方法二(向量方法)：以D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴的正半轴建立如图③所示的空间直角坐标系．由已知得B(2，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，1，0)，F(1，0，0)，P(0，0，λ)．图③\s\up6(→(→)＝(－2，0，2)，FP＝(－1，0，λ)，FE＝(1，1，0)．(1)证明：当λ＝1时，FP＝(－1，0，1)，因为\s\up6(→(→)＝(－2，0，2)，所以\s\up6(→(→)＝2\s\up6(→(→)，即BC1∥FP.而FP?平面EFPQ，且BC1?平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.(2)设平面EFPQ的一个法向量为n＝(x，y，z)，则由\s\up6(→(\o(FE,\s\up6(→)可得于是可取n＝(λ，－λ，1)．同理可得平面PQ的一个法向量为m＝(λ－2，2－λ，1)．若存在λ，使面EFPQ与面PQ所成的二面角为直二面角，则m?n＝(λ－2，2－λ，1)?(λ，－λ，1)＝0，即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝1±.故存在λ＝1±，使面EFPQ与面PQ所成的二面角为直二面角．20．[2014?湖北卷] 计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率．(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：年入流量X40120发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？20．解：(1)依题意，p1＝P(40p2＝P(80≤X≤120)＝＝0.7，p3＝P(X>120)＝＝0.1.由二项分布得，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为p＝C(1－p3)4＋C(1－p3)3p3＝0.94＋4×0.93×0.1＝0.947 7.(2)记水电站年总利润为Y(单位：万元)．①安装1台发电机的情形．由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y＝5000，E(Y)＝5000×1＝5000.②安装2台发电机的情形．依题意，当40Y420010 000P0.20.8所以，E(Y)＝4200×0.2＋10 000×0.8＝8840.③安装3台发电机的情形．依题意，当40120时，三台发电机运行，此时Y＝5000×3＝15 000，因此P(Y＝15 000)＝P(X>120)＝p3＝0.1.由此得Y的分布列如下：Y3400920015 000P0.20.70.1所以，E(Y)＝3400×0.2＋9200×0.7＋15 000×0.1＝8620.综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．21．[2014?湖北卷] 在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1，0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)设斜率为k的直线l过定点P(－2，1)，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．21．解：(1)设点M(x，y)，依题意得＝|x|＋1，即＝|x|＋1，化简整理得y2＝2(|x|＋x)．故点M的轨迹C的方程为y2＝(2)在点M的轨迹C中，记C1：y2＝4x，C2：y＝0(x依题意，可设直线l的方程为y －1＝k(x＋2)．由方程组可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0.①当k＝0时，y＝1.把y＝1代入轨迹C的方程，得x＝.故此时直线l：y＝1与轨迹C恰好有一个公共点.当k≠0时，方程①的判别式Δ＝－16(2k2＋k－1)．②设直线l与x轴的交点为(x0，0)，则由y－1＝k(x＋2)，令y＝0，得x0＝－.③(i)若由②③解得k.即当k∈(－∞，－1)∪时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点．故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点．(ii)若或由②③解得k∈或－≤k即当k∈时，直线l与C1只有一个公共点．当k∈时，直线l与C1有两个公共点，与C2没有公共点．故当k∈∪时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点．(iii)若由②③解得－1即当k∈∪时，直线l与C1有两个公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点．综上可知，当k∈∪∪{0}时，直线l与轨迹C恰好有一个公共点；当k∈∪时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点；当k∈∪时，直线l与轨迹C恰好有三个公共点．22．[2014?湖北卷] π为圆周率，e＝2.718 28...为自然对数的底数．(1)求函数f(x)＝的单调区间；(2)求e3，3e，eπ，πe，，3π，π3这6个数中的最大数与最小数；(3)将e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．22．解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．因为f(x)＝，所以f′(x)＝.当f′(x)>0，即0当f′(x)e时，函数f(x)单调递减．故函数f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，＋∞)．(2)因为e于是根据函数y＝x，y＝ex，y＝πx在定义域上单调递增，可得3e故这6个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e与e3之中．由e由π3；由综上，6个数中的最大数是3π，最小数是3e.(3)由(2)知，3e又由(2)知，故只需比较e3与πe和eπ与π3的大小．由(1)知，当0即在上式中，令x＝，又2－.①由①得，π>e>2.7×>2.7×(2－0.88)＝3.024>3，即π>3，亦即πe> e3，所以e3又由①得，π>6－>6－e>π，即π>π，所以eπ综上可得，3e即这6个数从小到大的顺序为3e，e3，πe，eπ，π3，3π.。
2014年湖北省高考数学理科试题及解析(全部题目)
2014年湖北省高考数学理科试题及解析1. i 为虚数单位，=+-2)11(ii A. －1 B.1 C. －i D. i 【解题提示】利用复数的运算法则进行计算 【解析】选A . 122)1)(1()1)(1()11(2-=-=++--=+-iii i i i i i 2.假设二项式7)2(x a x +的展开式中31x 的系数是84，则实数a ＝ A. 2 B.34 C.1 D.42【解题提示】 考查二项式定理的通项公式【解析】选C . 因为1r T += rr r r r r r x a C xax C 2777772)()2(+---⋅⋅⋅=⋅⋅，令327-=+-r ，得2=r ，所以84227227=⋅⋅-a C ，解得a ＝1.3.设U 为全集，B A ,是集合，则“存在集合C 使得,UA CB C⊆⊆”是“∅=B A ”的A. 充分而不必要的条件B. 必要而不充分的条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要的条件【解题提示】考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件的判断 【解析】选C . 依题意，假设C A ⊆，则UUC A ⊆，当UB C ⊆，可得∅=B A ；假设∅=B A ，不妨另C A = ，显然满足,UA CBC ⊆⊆，故满足条件的集合C 是存在的.4.得到的回归方程为a bx y +=ˆ，则A.0,0>>b aB.0,0<>b aC.0,0><b aD.0.0<<b a【解题提示】 考查根据已知样本数判绘制散点图，由散点图判断线性回归方程中的b 与a 的符号问题【解析】选B .画出散点图如下图，y 的值大致随x 的增加而减小，因而两个变量呈负相关，所以0<b ，0>a 5..在如下图的空间直角坐标系xyz O -中，一个四面体的顶点坐标分别是〔0,0,2〕，〔2,2,0〕，〔1,2，1〕，〔2,2,2〕，给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为A.①和②B.③和①C. ④和③D.④和②【解题提示】 考查由已知条件，在空间坐标系中作出几何体的大致形状，进一步得到正视图与俯视图 【解析】选D . 在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④与俯视图为②，故选D . 6.假设函数f(x)，()g x 满足11()g()d 0f x x x -=⎰，则称f(x)，()g x 为区间[-1,1] 上的一组正交函数，给出三组函数：①11()sin ,()cos 22f x x g x x ==；②()1,g()1f x x x x =+=-；③2(),g()f x x x x ==其中为区间]1,1[-的正交函数的组数是〔 〕 A.0 B.1 C.2 D.3【解题提示】 考查微积分基本定理的运用 【解析】选C . 对①，1111111111(sin cos )(sin )cos |02222x x dx x dx x ---⋅==-=⎰⎰，则)(x f 、)(x g 为区间]1,1[-上的正交函数；对②，1123111114(1)(1)(1)()|033x x dx x dx x x ---+-=-=-=-≠⎰⎰，则)(x f 、)(x g 不为区间]1,1[-上的正交函数； 对③，1341111()|04x dx x --==⎰，则)(x f 、)(x g 为区间]1,1[-上的正交函数. 所以满足条件的正交函数有2组.7.由不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥≤0200x y y x 确定的平面区域记为1Ω，不等式⎩⎨⎧-≥+≤+21y x y x ，确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为〔 〕 A.81 B.41 C. 43 D.87 【解题提示】 首先根据给出的不等式组表示出平面区域，然后利用面积型的几何概型公式求解【解析】选D. 依题意，不等式组表示的平面区域如图，由几何概型概率公式知，该点落在2Ω内的概率为111221722218222BDFCEFBDFSSP S⨯⨯-⨯⨯-===⨯⨯. 8.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，另相乘也。
2014年高考数学湖北卷(理科)答案word版
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）理科数学试题答案与解析1. 解析 因为()221i 1i 2i i 1i 1i 2---===-+-，所以()221i i 11i -⎛⎫=-=- ⎪+⎝⎭，故选A . 2. 解析 ()77177271C 22C rrrr r rr r a T x a x x --+-⎛⎫=⋅⋅=⋅ ⎪⎝⎭.令273r -=，则5r =. 由25572C 84a ⋅=得1a =，故选C .3. 解析 由韦恩图易知充分性成立.反之，AB =∅时，不妨取UC B=ð，此时A C ⊆.必要性成立. 故选C .4. 解析 把样本数据中的x ，y 分别当作点的横、纵坐标，在平面直角坐标系xOy 中作出散点图，由图可知0b <，0a >. 故选B .5. 解析 设()002A，，，()220B ，，，()121C ，，，()222D ，，，因为B ，C ，D 在平面yOz 上的投影的坐标分别为()020，，，()021，，，()022，，，点()002A ，，在平面yOz 上，又点C 的横坐标小于点B 和D 的横坐标，所以该几何体的正视图为图④.因为点A ，C ，D 在平面xOy 上的投影坐标分别为()000，，，()120，，，()220，，，点()220B ，，在平面xOy 上，所以该几何体的俯视图为图②. 故选D .评注 本题考查了空间直角坐标系和三视图，考查了空间想象能力.本题也可以根据该四面体各项点的坐标画出几何体的直观图再求解.6. 解析 由①得()()111sin cos sin 222f xg x x x x ==，是奇函数，所以()()11d 0f x g x x -=⎰，所以①为区间[]1,1-上正交函数；由②得()()21f x g x x =-，所以()()()31121114d 1d 133x f x g x x x x x --⎛⎫=-=-=- ⎪-⎝⎭⎰⎰，所以②不是区间[]1,1-上的正交函数；由③得()()3f x g x x =，是奇函数，所以()()11d 0f x g x x -=⎰，所以①为区间[]1,1-上的正交函数. 故选C .7. 解析 区域1Ω为直角AOB △及其内部，其面积12222AOB S =⨯⨯=△.区域2Ω是直线1x y +=和2x y +=-夹成的条形区域.由题意得所求概率127428AODC AOB S P S -===四边形△.故选D .评注 本题考查了可行域和概率的基础知识.正确理解可行域的概念和掌握概率的求法是求解的关键.8. 解析 圆锥的体积22211ππ332π12πL L h V r h h ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，由题意得7512π2≈，π近似取为258，故选B .9. 解析 解法一: 设椭圆方程为()2211221110x y a b a b +=>>，离心率为1e ，双曲线的方程为()2222222210,0x y a b a b -=>>，离心率为2e ，它们的焦距为2c ，不妨设P 为两曲线在第一象限的交点，12,F F 分别为左，右焦点，则易知1211222,2,PF PF a PF PF a ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩解得112212,.PF a a PF a a ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩在12F PF △中，由余弦定理得()()()()222121212122cos 604a a a a a a a a c ++--+⋅-=，整理得2221234a a c +=，所以22122234a a c c +=，即2212134e e +=.设121,e e ⎛= ⎝⎭a，1,3⎛= ⎝⎭b ，所以1211e e +=⋅⋅==…a b a b ，故1211e e +的最大值是13，故选A. 解法二：不妨设P 在第一象限，1PF m =，2PF n =.在12F PF △中，由余弦定理得2224m n mn c +-=.设椭圆的长轴长为12a ，离心率为1e ，双曲线的实轴长为22a ，离心率为2e ，它们的焦距为2c ，则12121122m n m na a m e e c c c+-+++===. 所以22222221211441m m e e c m n mn n n m m⎛⎫+=== ⎪+-⎛⎫⎝⎭-+ ⎪⎝⎭，易知21n n m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的最小值为34.故12max11e e ⎛⎫+=⎪⎝⎭故选A. 评注 本题考查了椭圆、双曲线的定义、方程和性质；考查了利用不等式和函数求最值的基本方法.本题对运算能力的要求较高.10. 解析 当0x …时，()2222223, 2,, 2,, 0,x a x a f x a a x a x x a ⎧-⎪=-<<⎨⎪-⎩…剟画出图像，再根据()f x 是奇函数补全图像.因为满足x ∀∈R ，()()1f x f x -…，所以261a …，即66a -剟.故选B.11. 解析=ab =()31310⋅⨯+⨯-=a b =.因为()()b b λλ+⊥-a a ，所以()()22221820b b b λλλλ+⋅-=-=-=a a a .故3λ=±.x-1()评注 本题考查了直线和圆的位置关系，考查了直线的斜率和截距，考查了数形结合的思想方法.正确画出图形求出和的值时解题的关键.12. 解析 由题意知直线1l 和2l 与单位圆C 所在的位置如图.因此11a b =⎧⎨=-⎩或11a b =-⎧⎨=⎩故22112a b +=+=.评注 本题考查了直线和圆的位置关系，考查了直线的斜率和截距，考查了数形结合的思想方法.正确画出图形求出a 和b 的值是解题的关键.13. 解析 设组成数a 的三个数字是m ，n ，p ，其中19m n p <<剟，所以()()b Da I a =-=()100101001099p n m m n p p m ++---=-=()()()()10010019010p m p m p m p m ---=--++-+，即数b 的十位数字一定是9.由题意可知，程序循环到最后一次，a 的十位数字是9，设a 的另两个数字是x ，y ， 其中18y x<剟，此时()90010Da x y =++，()100109I a y x =++， 89199b y =-，若8919910090y x y -=++，则()801100x y =+，无解.若8919910090y y x -=++，则801199y x =+，解得5x =，4y =.所以495b =.14. 解析 （I ）若(),f M a b 是a ，b 的几何平均数，则c 由题意知，()(),a f a)，()(),b f b -0f a f b -+=f a f b，所以可取()f x .（II ）若(),f M a b 是a ，b 的调和平均数，则2ab c a b =+，由题意知()(),a f a ，2,0ab a b ⎛⎫⎪+⎝⎭，()(),b f b -共线，所以()()22f x f b ab ab a ba b a b=--++，化简得()()f a f b a b =，所以可取()f xx =.15. 解析 由切割线定理得()21134QAQC QD =⋅=⨯+=，所以2QA =，因为Q 为PA 的中点，所以24PA QA ==.故4PB PA ==. 16. 解析 曲线1C为射线y x =()0x ….曲线2C为圆224x y +=.设P 为1C 与2C 的交点，如图，作PQ 垂直x 轴于点Q ，因为tan POQ ∠=，所以30POQ ∠=，又因为2OP =，所以1C 与2C 的交点P的直角坐标为).评注 本题考查了参数方程和极坐标方程.容易忽视0x …，误认为1C为直线y x =. 17. 解析 （I ）因为()π1πππ102sin 102sin 12212123f t t t t ⎫⎛⎫=-+=-+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，又024t <…，所以πππ7π31233t +<…，ππ1sin 1123t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭剟. 当2t =时，ππsin 1123t ⎛⎫+=⎪⎝⎭；当14t =时，ππsin 1123t ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. 于是()f t 在[)0,24上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12C ，最低温度为8C ，最大温差为4C . （II ）依题意，当()11f t …时实验室需要降温.由（I ）得()ππ102sin 123f t t ⎛⎫=-+⎪⎝⎭， 故有ππ102sin 11123t ⎛⎫-+>⎪⎝⎭，即ππ1s i n 1232t ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭.又024t <…，因此7πππ11π61236t <+<，即1018t <<.在10时至18时实验室需要降温.评注 本题考查了正弦函数的性质，考查了运算求解能力.正确利用正弦函数的单调性是解题的关键.计算失误是造成失分的重要原因之一，应充分重视.18. 解析 （I ）设数列{}n a 的公差为d ，依题意2，2d +，24d +，成等比数列，故有()()22224d d d +=+，化简得240d d -=，解得0d =或4d =.当0d =时，2n a =；当4d =时，()21442n a n n =+-⋅=-，从而得数列{}n a 的通项公式为2n a =或42n a n =-.（II ）当2n a =时，2n S n =.显然260800n n <+，此时不存在正整数n ，使得60800n S n >+成立.当42n a n =-时，()224222n n n S n ⎡+-⎤⎣⎦==.令2260800n n >+，即2304000n n -->，解得40n >或10n <-（舍去），此时存在正整数n ，使得60800n S n >+成立，n 的最小值为41. 综上，当2n a =时，不存在满足题意的n ；当42n a n =-时，存在满足题意的n ，其最小值为41.评注 本题考查了数列的通项公式和求和公式，考查了分类讨论的方法. 19. 解析 解法一：（几何方法）（I ）证明：如图1，连接1AD ，由1111ABCD A B C D -是正方体，知1//BC AD .当1λ=时，P 是1DD 的中点，又F 是AD 的中点，所以1//FP AD .所以1//BC FP .而FP ⊂平面EFPQ ，且1BC ⊄平面EFPQ ，故直线1//BC 平面EFPQ .（II ）如图2，连接BD .因为E ，F 分别是AB ，AD 的中点，所以//EF BD ，且12E F B D=.又DP BQ =，//DP BQ ，所以四边形PQBD 是平行四边形，故//PQ BD ，且PQ BD =，从而//EF PQ ，且12EF PQ =.在Rt EBQ △和Rt FDP △中，因为BQ =DP =λ，1BE=DF=，于是EQ=，所以四边形EFPQ 是等腰梯形.同理可证四边形PQMN 是等腰梯形. 分别取EF ，PQ ，MN 的中点为H ，O ，G ，连接OH ，OG ，则G O P Q ⊥，HO PQ ⊥，而GOHO O =，故GOH ∠是面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角的平面角.若存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角，则90GOH ∠=.连接EM ，FN ，则由//EF MN ，且E F M N =，知四边形EFNM 是平行四边形.连接GH ，因为H ，G 是EF ，MN 的中点，所以2GH ME ==.在GOH △中，24GH =，2222112OH λλ=+-=+⎝⎭，()()222211222OG λλ=+--=-+⎝⎭， 由222OG OH GH +=，得()22112422λλ-+++=，解得1λ=±， 图1N QPF E M D 1C 1B 1A 1DCB故存在1λ=，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角.解法二：（向量方法）以D 为原点，射线DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴的正半轴建立如图3所示的空间直角坐标系D xyz -. 由已知得()2,2,0B，()10,2,2C ，()2,1,0E ，()1,0,0F ，()0,0,P λ.()12,0,2BC =-，()1,0,FP λ=-，()1,1,0FE =.GO H图2E FM PQ N D 1C 1B 1A 1DCB A（I ）证明：当1λ=时，()1,0,1FP =-，因为()12,0,2BC =-，所以12BC FP =，即1//BC FP .而FP ⊂平面EFPQ ，且1BC ⊄平面EFPQ ，故直线1//BC 平面EFPQ .（II ）设平面EFPQ 的一个法向量为(),,x y z =n ，则由0,0,FE FP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 可得0,0.x y x z λ+=⎧⎨-+=⎩于是可取(),,1λλ=-n .同理可得平面MNPQ 的一个法向量为()2,2,1λλ=--m .若存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角，则()()2,2,1,,10λλλλ⋅--⋅-=m n =，即()()2210λλλλ---+=，解得1λ=±.故存在1λ=±，使使面EFPQ 与面P Q M N 所成的二面角为直二面角.评注 本题考查了线面平行的证明方法和二面角的计算.体现了利用平面的法向量解决二面角中有关求值问题的优势.充分利用方程的思想方法是解题的关键.20. 解析 （I ）依题意，()11040800.250p P X =<<==，()235801200.750p P X ===剟，()351200.150p P X =>==.由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为()()43430143433991C 1C 140.9477101010p p p p ⎛⎫⎛⎫=-+-=+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（II ）记水电站年总利润为Y （单位：万元）（1）安装1台发电机的情形.由于水库年人流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应得年利润5000Y =，()500015000EY =⨯=.（2）安装2台发电机的情形.依题意，当4080X <<时，一台发电机运行， 此时50008004200Y =-=，因此()()1420040800.2PY P X p ==<<==；当80X …时，两台发电机运行，此时5000210000Y =⨯=，因此()()2310000800.8P Y P X p p ===+=…；由此得Y所以，()42000.2100000.88840EY =⨯+⨯=.（3）安装3台发电机的情形.依题意，当4080X <<时，一台发电机运行，此时500016003400Y =-=，因此()()1340040800.2P Y P X p ==<<==；当80120X 剟时，两台发电机运行，此时500028009200Y =⨯-=， 因此()()29200801200.7P Y P X p ====剟；当120X >时，三台发电机运行，此时5000315000Y =⨯=，因此()()3150001200.1P Y P X p ==>==，由此得Y 的分部列如下：所以，()34000.292000.7150000.18620EY =⨯+⨯+⨯=.综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台.评注 本题考查了概率和离散型随机变量的分布列.考查了分类讨论方法和运算求解能力.21.解析 （I ）设点(),Mx y ，依题意得1MFx =+1x =+，化简整理得()221y x =+.故点M 的轨迹C 的方程为24, 0,0, 0.x x y x ⎧=⎨<⎩…（II ）在点M 的轨迹C 中，记1C ：24yx =，2C ：()00y x =<，依题意，可设直线l 的方程为()12y k x -=+.由方程组()2124y k x y x-=+⎧⎪⎨=⎪⎩可得()244210ky y k -++=.①（1）当0k =时，此时1y =.把1y =代入轨迹C 的方程，得14x =. 故此时直线l ：1y =与轨迹C 恰好有一个公共点1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）当0k ≠时，方程①的判别式为()21621k k ∆=-+-.② 设直线l 与x 轴的交点为()0,0x ，则由()12y k x -=+，令0y =，得021k xk+=-.③ （i ）若000x ∆<⎧⎨<⎩由②③解得1k <-或12k >.即当()1,1,2k ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭时，直线l 与1C 没有公共点，与2C 有一个公共点， 故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点.(ii)若000x ∆=⎧⎨<⎩或000x ∆>⎧⎨⎩…则由②③解得11,2k ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭或102k -<….即当11,2k ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭时，直线l 与1C 只有一个公共点，与2C 有一个公共点.当1,02k ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 没有公共点. 故当11,01,22k ⎡⎫⎧⎫∈--⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点. （iii ）若000x ∆>⎧⎨<⎩<则由②③解得112k -<<-或102k <<. 即当111,0,22k ⎛⎫⎛⎫∈--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 有一个公共点， 故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点.综合（1）（2）可知，当(){}1,1,02k ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点；当11,01,22k ⎡⎫⎧⎫∈--⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点； 当111,0,22k ⎛⎫⎛⎫∈--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点. 评注 本题考查了直线和抛物线的位置关系，考查了数形结合的方法，灵活地利用判别式时求解的关键.盲目利用抛物线的定义而漏掉射线()00y x =<就会造成错解二失分.22.解析 （I ）函数()f x 的定义域为()0,+∞.因为()ln x f x x =，所以()21ln xf x x -'=. 当()0f x '>，即0e x <<时，函数()f x 单调递增； 当()0f x '<，即e x >时，函数()f x 单调递减.故函数()f x 的单调递增区间为()0,e ，单调递减区间为()e,+∞.（II ）因为e 3π<<，所以e ln 3e ln π<，πln e πln 3<，即e e ln 3ln π<，ππln e ln 3<. 于是根据函数ln y x =，e xy =，πxy =在定义域上单调递增， 可得e e 33ππ<<，3ππe e 3<<.故这6个数的最大数在3π与π3之中，最小数在e 3与3e 之中. 由e 3π<<及（I ）的结论，得()()()π3e f f f <<，即ln πln 3ln e π3e<<.由ln πln 3π3<，得3πln πln 3<，所以π33π>；由l n 3l n e3e <，得e 3ln 3ln e <，所以e 33e <. 综上，6个数中的最大数是π3，最小数是e 3.(III)由（II ）知，e e 3π3ππ3<<<，e 33e <.又由（II ）知，ln πln eπe<，得e ππe <. 故只需比较3e 与e π和πe 与3π的大小.由（I ）知，当0e x <<时，()()1e e f x f <=，即l n 1e x x <.在上式中，令2e πx =，又2e e π<，则2e eln ππ<，从而e 2ln ππ-<，即得e ln π2π>-.①由①得，()e 2.72eln πe 2 2.72 2.720.88 3.0243π 3.1⎛⎫⎛⎫>->⨯->⨯-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即e l n π3>，亦即e 3ln πln e >，所以3e e π<.又由①得，3e3ln π>66e ππ->->，即3ln ππ>， 所以π3e π<.综上可得，e 3e π3π3e πe <π3<<<<，即6个数从小到大的顺序为e 3，3e ，e π，πe ，3π，π3.评注 本题考查了函数和导数的综合应用；考查了不等式求解的能力，考查了分析问题、解决问题的综合能力.充分考查了考生的综合素质.在平时的学习过程中应充分培养综合解决问题的能力.。
湖北省部分重点中学高三数学10月联考试题 理 新人教A
湖北省部分重点中学2014-2015学年度第一学期十月联考高三数学（理科）试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}1,A x x x R=≤∈，{}2,B y y x x R==∈，则A B=I( )A. {}|11x x-≤≤B.{}|01x x≤≤C.{}|0x x≥D. ∅2.在复平面内，复数511ii++对应的点位于( )A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限3．已知二项式2(2nx（*n N∈）展开式中，前三项的二项式系数和是56，则展开式中的常数项为( )A．180 B．360 C．1152 D．23044.三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形，其正视图(如图所示)的面积为8，则侧视图的面积为( )A. 8B. 4C.5.两个正数,a b的等差中项是92，一个等比中项是且a b>，则抛物线2bx ya=-的焦点坐标是( )A．2(0,)5-B．2(,0)5-C．1(0,)5-D．1(,0)5-6．函数25()2sin log8f x x xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭的零点个数为( )A.1B. 2C.3D.47.十一黄金周期间，5位同学各自随机从“三峡明珠，山水宜昌”、“千古帝乡，智慧襄阳”、“养生山水，长寿钟祥”三个城市中选择一个旅游，则三个城市都有人选的概率是( )A.5081 B.2081 C.81125 D.271258．已知直线x y k--=(0)k>与圆224x y+=交于不同的两点A、B，O是坐标原点，正视且有||3|OA OB AB +u u u r u u u r u u u r≥，那么k 的取值范围是( )A. 6,)+∞B. 6,22)C. )2,⎡+∞⎣ D. 2,2)9.对于函数3()3f x x x a =++，在曲线221xy x =+上存在点(,)s t ，使得(())f f t t =，则a的取值范围是( ) A.(3,0)- B.[]3,0- C.(3,3)- D.[]3,3-10.记{}max ,a b 为两数,a b 的最大值，当正数,x y 变化时，2212max ,,4t x y x y ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭的最小值为( )A.1B.2C.3D.4二、填空题: 本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡相应题号后的横线上.答错位置、书写不清、模棱两可均不得分.11.执行如右图所示的程序框图，若输出的b 的值为127，则图中判断框内①处应填的整数为 ．12.ABC ∆中sin :sin :sin 5316A B C =,则ABC ∆最大角与最小角的和是____．13．已知曲线1()()n f x x n N +*=∈与直线1x =交于点P ，若设曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为nx ，则201512015220152014log log log x x x +++L 的值为_______．14.在平面直角坐标系xOy 中，若动点(,)P a b 到两直线1:l y x=和2:2l y x =-+的距离之222a b +的最大值为__________．15.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，在正方体的表面上与点A 距离为33的点的集合形成一条曲线，则该曲线的长度为___________．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本题满分12分）设函数2()cos cos f x x x x a =++. (I) 求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间；(II) 当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的最大值与最小值的和为32，求()f x 的解析式； (III) 将满足（Ⅱ）的函数()f x 的图像向右平移12π个单位，纵坐标不变,横坐标伸长为原来的2倍，再向下平移12个单位，得到函数()g x ，求()g x 图像与x 轴的正半轴、直线x π=所围成图形的面积.17．（本题满分12分）已知公比不为1的等比数列{}n a 的首项112a =，前n 项和为n S ，且445566,,a S a S a S +++成等差数列.(I)求等比数列{}n a 的通项公式；(II)对*n N ∈,在na 与1n a +之间插入3n 个数，使这32n +个数成等差数列，记插入的这3n个数的和为nb ，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．（本题满分12分）低碳生活，从“衣食住行”开始．在国内一些网站中出现了“碳足迹”的应用，人们可以由此计算出自己每天的碳排放量，如家居用电的二氧化碳排放量（千克）＝耗电度数0.785⨯，家用天然气的二氧化碳排放量（千克）＝天然气使用立方数0.19⨯等．某校开展“节能减排，保护环境，从我做起！”的活动，该校高一、六班同学利用假期在东城、西城两个小区进行了逐户的关于“生活习惯是否符合低碳排放标准”的调查．生活习惯符合低碳观念的称为“低碳家庭”，否则称为“非低碳家庭”．经统计，这两类家庭占各自小区总户数的比例P 数据如下：东城小区 低碳家庭 非低碳家庭 西城小区 低碳家庭 非低碳家庭 比例P1212比例P4515（I ）如果在东城、西城两个小区内各随机选择2个家庭，求这4个家庭中恰好有两个家庭是“低碳家庭”的概率；（II ）该班同学在东城小区经过大力宣传节能减排的重要意义，每周“非低碳家庭”中有20%的家庭能加入到“低碳家庭”的行列中．宣传两周后随机地从东城小区中任选5个家庭，记ξ表示5个家庭中“低碳家庭”的个数，求E ξ和D ξ．19．（本题满分12分）如图，已知长方形ABCD 中，1,2==AD AB ,M 为DC 的中点. 将ADM ∆ 沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM .（I ）求证：BM AD ⊥ ；（II ）若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角D AM E --的余弦值为55．A20．（本题满分13分）如图，椭圆22221x y ab +=(0)a b >>的左焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于,A B 两点.AF的最大值是M ，BF的最小值是m ，满足234M m a ⋅=.(I) 求该椭圆的离心率；(II) 设线段AB 的中点为G ，AB 的垂直平分线与x 轴和y 轴分别交于,D E 两点，O 是坐标原点. 记GFD ∆的面积为1S ，OED ∆的面积为2S ，求1222122S S S S +的取值范围.21．（本题满分14（Ⅰ）求过原点且与函数)(x f 的图象相切的直线方程；（Ⅱ）设m x x f x g -=ln )()(，讨论函数)(x g 在区间 （Ⅲ）…*∈+N n x F n ),(.若对任意正整数p ，对任意D x ∈恒成立，则称)(x S n 在D x ∈上是“高效”的.试判断)(x S n 是否是[]2,e e x ∈上是“高效”的？若是，请给出证明，若不是，请说明理由.湖北省部分重点中学2014-2015学年度第一学期十月联考高三数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 1.B;2.D;3.A;4.C;5.C;6.C;7.A;8.B;9.D;10.B二、填空题: 本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.8; 12. 23π; 13. 1-; 14.8; 15. 6三、解答题：本大题共6小题，共75分.16． 解：（Ⅰ）cos 211()2sin(2)262x f x x a x a π+=++=+++，…………2分∴()f x 的最小正周期为π……………………………………………………………………3分由3222262k x k πππππ+≤+≤+，得263k x k ππππ+≤≤+()k Z ∈ 故函数()f x 的单调递减区间是2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ ……………………………4分注：上面函数()f x 的单调递减区间写成开区间或半开半闭区间也正确.. (II) Q,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,512,,sin(2),166662x x ππππ⎡⎤⎡⎤∴+∈-∴+∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ∴当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的最大值与最小值的和为322a +……………………6分 由题意，33222a +=，0a ∴=………………………………………………………………7分故1()sin(2)62f x x π=++……………………………………………………………………8分 (III) 函数1()sin(2)62f x x π=++的图像向右平移12π个单位，纵坐标不变,横坐标伸长为原来的2倍，再向下平移12个单位，得到函数()sin g x x =……………………………10分∴()g x 图像与x 轴的正半轴、直线x π=所围成图形的面积为22002sin 2cos 2xdx x ππ=-=⎰…………………………………………………………………………………………………12分 17．解：（I ）因为445566,,a S a S a S +++成等差数列，所以55446655a S a S a S a S +--=+--，…………………………………………………2分即654230a a a -+=，所以22210q q -+=，因为1q ≠，所以12q =，………………4分所以等比数列{}n a 的通项公式为12n n a =…………………………………………………6分（II ）1333()242n nn n n a a b ++=⋅=，……………………………………………… 9分133()39322[()1]344212n n n T +-==--…………………………………………………… 12分18．解（I ）设事件“4个家庭中恰好有两个家庭是‘低碳家庭’”为A ， ………1分 则有以下三种情况：“低碳家庭”均来自东城小区，“低碳家庭”分别来自东城、西城两个小区，“低碳家庭”均来自西城小区．6分（II ）因为东城小区每周有20%的人加入“低碳家庭”行列，经过两周后，两类家庭占东城小区总家庭数的比例如下：………8分 周后东城小区5个家庭中的“低由题意，两碳家庭”的个数ξ服从二项分布，即17~(5,)25B ξ ………………………………………………………………………10分，…………………………………………………………………11分12分19. 解：因为平面ADM ⊥平面ABCM ，1,2==AD AB ，M 为DC 的中点，AD DM ∴=，取AM 的中点O ，连结OD ，则DO ⊥平面ABCM ，取AB 的中点N ，连结ON ，则ON AM ⊥，以O 为原点，,,OA ON OD u u u r u u u r u u u r的正方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立如图空间直角坐标系…………………………………………………………2分2222(,0,0),(,2,0),(,0,0),(0,0,)2222A B M D --,则22(,0,),(0,2,0)22AD BM =-=u u u r u u u u r ,所以0,AD BM AD BM =∴⊥u u u r u u u u rg ……………6分（Ⅱ）设DE DB λ=u u u r u u u r ,因为平面AMD 的一个法向量=010n r（，，） 22222(,,)22222ME MD DB λλλλ=+=--u u u r u u u u r u u u r ,(2,0,0)AM =-u u u ur设平面AME 的一个法向量为(,,)m x y z =u r ,2022(1)02x y z λλ⎧=⎪⎨+-=⎪⎩取1y =,得20,1,1x y z λλ===-,所以2(0,1,)1m λλ=-u r ,………………………………8分 因为5cos ,5m n m n m n⋅==⋅u r ru r r u r 求得12λ=，…………………………………………… 10分 所以E 为BD 的中点…………………………………………………………………………12分20.解：(I) 设(,0)(0)F c c ->，则根据椭圆性质得,,M a c m a c =+=-而234M m a ⋅=，所以有22234a c a -=，即224a c =，2a c =，因此椭圆的离心率为12c e a ==…………………………4分.xyA O BG EF D(II) 由(I)可知2a c =，b ，椭圆的方程为2222143x y c c +=.根据条件直线AB 的斜率一定存在且不为零，设直线AB 的方程为()y k x c =+，并设1122(,),(,)A x y B x y 则由2222()143y k x c x y c c =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得222222(43)84120k x ck x k c c +++-=…………………………………………5分从而有21212122286,(2)4343ck ckx x y y k x x c k k +=-+=++=++，………………6分 所以22243(,)4343ck ck G k k -++.因为DG AB ⊥，所以2223431443Dckk k ck x k +⋅=---+，2243D ck x k =-+.由Rt FGD ∆与Rt EOD ∆相似，所以22222222122222243()()943434399()43ck ck ck S GD k k k ck S OD k k -+++++===+>-+. …………………10分令12S t S =，则9t >，从而1222122229114199S S S S t t =<=+++，即1222122S S S S +的取值范围是9(0,)41.………………………………………………………………………………………13分21．解：（I ）函数ln ()x f x x =的定义域为(0,)+∞，21ln '()xf x x -=…………………1分设切点为00(,)x y ，则切线的斜率为0201ln x x -，所以切线方程为00021ln ()x y y x x x --=-……………………………………………………………………2分，又因为原点在切线上，所以000201ln x y x x -=，即000200ln 1ln x x x x x -=，解得0x …3分故所求的直线方程为2xy e =………………………………………………………………4分（II ）令()0g x =，得()ln m f x x =，令()()ln x f x x ϕ=，则222ln ln '()x xx x ϕ-=，由'()0x ϕ=，得1x =或2x e =………………………………………………………………5分又因为在区间1(,1)e 上'()0x ϕ<，在区间2(1,)e 上'()0x ϕ>，在区间2(,)e +∞上'()0x ϕ<……………………………………………………………………………………6分所以函数()x ϕ在区间1(,1)e 上递减，在区间2(1,)e 上递增，在区间2(,)e +∞上递减且2214(1)0,()()e e ee ϕϕϕ==>=…………………………………………………………7分故当0m <或m e >时，函数()g x 没有零点；当0m =或24m e e <≤时，函数()g x 有一个零点；当240m e <≤时，函数()g x 有两个零点.………………………………………9分（III ）由（II ）知当1x >时，22ln 4x x e ≤恒成立，即224ln x x e ≤对任意1x >恒成立，又*,n p N ∈，所以当1x >时，[]224ln ()()n p x n p x e +≤+成立…………………………10分又当2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，24()4()n p x n p e +≤+故当2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，[]2ln ()4()n p x n p +≤+…11分11 而对[]23ln (1)()()(1)n p n n x S x S x n ++-=++[]23ln (2)(2)n x n ++++L []23ln ()()n p x n p ++ 34(1)(1)n n +≤+34(2)(2)n n ++++L 34()()n p n p +++3331114(1)(2)()n n n p ⎡⎤=++⎢⎥+++⎣⎦L 11111444()(1)(1)(2)(1)()n n n n n p n p n n p n ⎡⎤<+++=-<⎢⎥++++-++⎣⎦L …………13分综上，()n S x 在区间2,e e ⎡⎤⎣⎦上是“高效”的.……………………………………………14分。
湖北省重点中学2014届高三10月统一阶段性考试 数学试题(理) 含解析
第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U R =，设集合(){}ln 31A x y x ==-，集合(){}sin 2B y y x ==+,则()UA B为（ )A.1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B 。
10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C 。
11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D 。
∅2。
.已知函数()()()()cos 0260x x f x f x x ππ⎧⎛⎫+≥⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-<⎩，则()2013f -等于（ ）A 。
12B 。
12- C.32D 。
3考点:1。
分段函数；2.诱导公式3.若函数()tan y x N ωω*=∈的一个对称中心是,06π⎛⎫⎪⎝⎭，则ω的最小值为 ( )A 。
2 B.3 C.6 D 。
9考点:三角函数的对称性4.已知命题:p x R∃∈，2lg x x->，命题:q x R∀∈,sin x x<，则 （ ） A。
命题p q∨是假命题B 。
命题p q ∧是真命题C.命题()p q ⌝∧是真命题D 。
命题()p q ⌝∨是假命题 【答案】C5。
若()tan lg 10a α=,1tan lgaβ=,且4παβ+=,则实数a的值为（ ）A.1 B 。
110C 。
1或110D.1或10【答案】C6。
,42ππα⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，()log cos sin x παα=，()log sin cos y παα=，则x 与y 的大小关系为（ )A 。
x y >B 。
x y <C 。
x y = D.不确定7。
在ABC ∆中，“()()sin cos cos sin 1A B B A B B -+-≥”是 “ABC ∆是直角三角形”的（ ） A 。
充分不必要条件 B 。
必要不充分条件C。
充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】A件，故选A.考点：1。
两角和的正弦公式；2。
湖北省教学合作高三数学10月联考试题 理(含解析)
湖北省教学合作2014届高三数学10月联考试题 理（含解析）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合={x||x|2,x Z}A ≤∈，1={x|>0,x R}1B x ∈+，则A B 是（ ） A ．(1,2]- B ．[0,2]C ．{1,0,1,2}-D ．{0,1,2}2. 已知3sin()35x π-=，则cos()6x π+=（ ） A ．35 B ．45 C ．35- D ．45-3. 下列给出的四个命题中，说法正确的是（ ）A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题是“若21x =，则1x ≠”； B ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件；C ．命题“存在x R ∈，使得210x x ++<”的否定是“对任意x R ∈，均有210x x ++<”； D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真. 【答案】D 【解析】试题分析：本题考查命题的相关概念. 选项A ，“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x ≠，则1x ≠”； 1x =-可以推出2560x x --=，反之不成立，故“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件，故选项B 错；命题“存在x R ∈，使得210x x ++<”的否定应为：“对任意x R ∈，均有210x x ++≥”，故选项C 错，正确答案为D . 考点：1.四种命题及其关系；2.充分与必要条件；3.全程量词与存在量词.4. 把函数sin ()y x x R =∈的图像上所有的点向左平移6π个单位长度，再把图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到的图像所表示的函数为（ ）A ．sin(2),3y x x R π=-∈ B ．1sin(),26y x x R π=+∈ C ．sin(2),3y x x R π=+∈ D ．1sin(),26y x x R π=-∈5. 已知()()()()f x x a x b a b =-->的图像如图所示，则函数()xg x a b =+的图像是（ ）6. 已知1(,1)x e -∈，ln a x =，ln 1()2xb =，ln xc e=，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．b a c >>7. 某出租车公司计划用450万元购买A 型和B 型两款汽车投入营运，购买总量不超过50辆，其中购买A 型汽车需要13万元/辆，购买B 型汽车需要8万元/辆，假设公司第一年A 型汽车的纯利润为5万元/辆，B 型汽车的纯利润为1.5万元/辆，为使该公司第一年纯利润最大，则需安排购买（ ）A ．8辆A 型汽车，42辆B 型汽车 B ．9辆A 型汽车，41辆B 型汽车C ．11辆A 型汽车，39辆B 型汽车D ．10辆A 型汽车，40辆B 型汽车 【答案】D 【解析】试题分析：解法一：A 时，成本为813428440⨯+⨯=万元，利润为8242 1.579⨯+⨯=万元；B 时，成本为913418445⨯+⨯=万元，利润为9241 1.579.5⨯+⨯=万元；C 时，成本为1113398455⨯+⨯=万元，利润为11239 1.580.5⨯+⨯=万元；而1113398455450⨯+⨯=>，选D .解法二：设购买A 型出租车x 辆，购买B 型出租车y 辆，第一年纯利润为z ，则50138450x y x y x N y N +++≤⎧⎪+≤⎪⎨∈⎪⎪∈⎩2 1.5z x y =+，作出可行域，由50138450x y x y +=⎧⎨+=⎩解得1040x y =⎧⎨=⎩,此时z 取得最大值，选D .考点:线性规划问题.8. 已知二次函数2()1f x ax bx =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，()f x 与x 轴恰有一个交点，则'(1)(0)f f 的最小值为（ ） A ．3 B ．52 C ．2 D ．329. 设,,1,1x y R a b ∈>>，若2,28xya b a b ==+=，则11x y+的最大值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．2log 3 【答案】B 【解析】试题分析：由2xya b ==得log 2a x =，log 2b y =，∴2221111log log log ()log 2log 2a b a b ab x y +=+=+=,又1,1a b >>，∴2s a b =+≥8ab ≤，当且仅当2a b =，即2,4a b ==时取等号， 所以2211log ()log 83ab x y +=≤=. 故max 11()3x y+=. 考点：基本不等式.10. 在直角坐标系中，定义两点1122(,),(,)P x y Q x y 之间的“直角距离”为1212(,)||||d P Q x x y y =-+-，现给出四个命题：①已知22(1,3),(sin ,cos ),()P Q x x x R ∈，则(,)d P Q 为定值；②用||PQ 表示,P Q 两点间的“直线距离”，那么||(,)2PQ d P Q ≥；③已知P 为直线2y x =+上任一点，O 为坐标原点，则(,)d P Q ④已知,,P Q R 三点不共线，则必有(,)(,)(,)d P Q d Q R d P Q +>. A ．②③ B ．①④ C ．①② D ．①②④第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.=⎰.【答案】π【解析】试题分析：根据积分的几何意义，由图可得⎰=-224πdx x ，故填π.考点：1.积分的几何意义；2.积分的计算.12. 不等式组|21|32113x x x-<⎧⎪+⎨≤⎪-⎩的解集为 .【答案】]32,1(-14. 若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程32220x x x +--=的一个近似根（精确到0.1）为15. 定义在N +上的函数()f x ，满足1(),(1)22(),nf n f n f n n ⎧⎪+=⎨⎪⎩为偶数为奇数， （1）若1(11)4f =，则(1)f = . （2）若(1)1f =，则(2)n f = （用含n 的式子表示）.三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16. (本小题满分12分) 函数()sin()(,0)22f x x ππωϕϕω=+-<<>的最小正周期为π，其图像经过点(,1)12π（1）求()f x 的解析式；（2）若24()()325f a f a π+-=且a 为锐角，求sin cos αα+的值.【答案】（1）()sin(2)3f x x π=+；（2）7sin cos 5αα+=.【解析】试题分析：本题考查三角函数的性质,主要考查三角函数的周期、两角和与差的三角函数、倍角公式等基础知识，考查运算能力，考查数型结合思想.第一问，先利用周期求出ω，再利用点的坐标求出ϕ，注意已知条件中ϕ的取值范围；第二问，先利用两角和与差的三角函数公式展开化简表达式，得到24sin 225α=，然后求sin cos αα+，但是注意sin cos αα+的正负符号.试题解析： （1）∵()f x 的最小正周期为π，0ω>，∴2ππω=，2ω=，又()y f x =的图象经过点(,1)12π∴22122k ππϕπ⨯+=+，即2,3k k Z πϕπ=+∈，又||2πϕ<∴3πϕ=∴()sin(2)3f x x π=+（2）24()()325f f παα+-=，∴24sin(2)sin(2)3325ππαα++-=整理得24sin 225α=即249sin cos 25αα+=（），又α为锐角，sin cos 0αα+>∴7sin cos 5αα+=.考点：1.三角函数的周期；2.三角函数的对称轴；3.三角函数值.17.(本小题满分12分)已知函数()f x =（1）计算53115(),(),(),()4242f f f f 的值，据此提出一个猜想，并予以证明；（2）证明：除点（2,2）外，函数()f x 2y =的下方.试题解析： （1）∵()f x =∴5111()()442f f ==；35()()222f f == 猜想：()f x 的图象关于2x =对称，下面证明猜想的正确性；∵(4)()f x f x -= ∴()f x 的图象关于2x =对称 （2）∵()f x =[1,3]，由（1）知()f x 的图象关于2x =对称设1212x x ≤<≤∴12()()f x f x -==12(x x =-∵12x x < ∴120x x ->0+>∴12()()f x f x <∴()f x 为[1,2]上的增函数，由对称性知()f x 在[2,3]上为减函数， ∴()(2)2f x f ≤=∴()y f x =的图象除点(2,2)外均在直线2y =的下方. 考点：1.证明函数的对称性；2.函数单调性的定义.18. (本小题满分12分)已知角A B C 、、是ABC ∆的内角，,,a b c 分别是其对边长，且3A π=.（1）若2,cos a B ==b 的长； （2）设A ∠的对边1a =，求ABC ∆面积的最大值. 【答案】（1）3；（2）4.19. (本小题满分12分)已知二次函数2()f x ax bx k =++满足,()(0)x R f x f ∀∈≥且()y f x =的图像在(1,(1))f 处的切线垂直于直线210x y ++=. （1）求,a b 的值；（2）若方程()2|()(1)|f x x f x f =--有实数解，求k 的取值范围.考点：1.用导数求切线方程；2.求分段函数值域.20. （本小题满分13分）某校内有一块以O 为圆心，R （R 为常数，单位为米）为半径的半圆形（如图）荒地，该校总务处计划对其开发利用，其中弓形BCDB 区域（阴影部分）用于种植学校观赏植物，OBD ∆区域用于种植花卉出售，其余区域用于种植草皮出售.已知种植学校观赏植物的成本是每平方米20元，种植花卉的利润是每平方米80元，种植草皮的利润是每平方米30元.（1）设BOD θ∠=（单位：弧度），用θ表示弓形BCDB 的面积()S f θ=弓；（2）如果该校总务处邀请你规划这块土地，如何设计BOD ∠的大小才能使总利润最大？并求出该最大值. （参考公式：扇形面积公式21122S R Rl θ==，l 表示扇形的弧长）【答案】（1）21(sin )2S R θθ=-弓；（2）当园林公司把扇形的圆心角设计成3π时，总利润取最大值245(3R π-.（2）设总利润为y 元，种植草皮利润为1y 元，种植花卉利润为2y ，种植学校观赏植物成本为3y2211130()22y R R πθ=-，221sin 802y R θ=⋅，231(sin )202y R θθ=-⋅, 2222123111130()sin 80(sin )202222y y y y R R R R πθθθθ∴=+-=-+⋅--⋅ . 25[3(510sin )]R πθθ=--设()510sin g θθθ=- (0,)θπ∈. '()510cos g θθ=-'1()0,cos ,()2g g πθθθθ<>∈在（0, ）3上为减函数； '1()0,cos ,()2g g πθθθθπ><∈在（，）3上为增函数. 当3πθ=时，()g θ取到最小值,此时总利润最大：225[3(510sin )]=5-y R R ππθθ=--4（3.答：所以当园林公司把扇形的圆心角设计成3π时，总利润取最大值25-R π4（3。
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湖北省教学合作2014届高三上学期10月联考理科数学试卷
（解析版）
一、选择题
1
）
A 【答案】D 【解析】
试题分析：,，，所以
{0,1,2}B =
考点：1.绝对值不等式的解法；2.分式不等式的解法；3.集合的交集运算.
2．已知sin(
π
）
A 【答案】A 【解析】
考点：诱导公式.
3．下列给出的四个命题中，说法正确的是（ ）
A ；
B ．
C ．命题的否定是；
D . 【答案】D 【解析】
试题分析：本题考查命题的相关概念.
的充分不必要条件，故选；命题“存使得
考点：1.四种命题及其关系；2.充分与必要条件；3.全程量词与存在量词.
4
的横坐标伸长到原的2倍（纵坐标不变）得到的图像所表示的函数为（）
A
C
【答案】B
【解析】
2倍（纵坐标不变），得到
考点：三角函数图像的变换.
5
（）
【答案】A 【解析】
试题分析：
()
f x
的零点为
,a b
，由图可知01
a
<<,1
b<-，则()
g x
是一个减函数，可
考点：函数图像.
6）
A
【答案】B
【解析】
试题分析：∵，∴∴，，
考点：利用函数图像比较大小.
7．某出租车公司计划用450万元购买A型和B型两款汽车投入营运，购买总量不超过50辆，其中购买A型汽车需要13万元/辆，购买B型汽车需要8万元/辆，假设公司第一年A 型汽车的纯利润为5万元/辆，B型汽车的纯利润为1.5万元/辆，为使该公司第一年纯利润最大，则需安排购买（）
A．8辆A型汽车，42辆B型汽车 B．9辆A型汽车，41辆B型汽车
C．11辆A型汽车，39辆B型汽车 D．10辆A型汽车，40辆B型汽车
【答案】D
【解析】
试题分析：
元；
x
作出可行域，
此时z取得最大值，
考点线性规划问题.
8
）
A．3 B．2 D
【答案】A
【解析】
试题分析：
与
轴恰有一个交点，所以，
考点：1.二次函数的性质；2.导数的应用
.
9
）A．2 B．3 C．4 D
【答案】B
【解析】
取等号，
考点：基本不等式.
10．在直角坐标系中，定义
两点之间的“直角距离”为
现给出四个命题：
A ．②③
B ．①④
C ．①②
D ．①②④ 【答案】C 【解析】
考点：1.基本不等式；2.三角函数的性质.
二、填空题 11
【解析】
考点：1.积分的几何意义；2.积分的计算.
12的解集为 .
【解析】
考点：1.绝对值不等式的解法；2.分式不等式的解法；3.集合的交集运算.
13．在极坐标系中，设
是直线
上任一点，
是圆
3
的最小值为 .
【解析】
，则圆心到直线的距离
为
，所以考点：1.
极坐标与直角坐标的互化；2.点到直线的距离公式.
14
据如下：
那么方程32220
x x x
+--=的一个近似根（精确到0.1）为
【答案】
1.4
【解析】
0，由二分法可知其根近似于1.4.
考点：1.零点问题；2.二分法
.
15
（1
（2
.
【答案】（1（2
【解析】
试题分析：（1）
（2）
=
1
2n-
.
考点：函数值.
三、解答题
16
（1
（2.
【答案】（1（2
【解析】
试题分析：本题考查三角函数的性质,主要考查三角函数的周期、两角和与差的三角函数、
倍角公式等基础知识，考查运算能力，考查数型结合思想.
函数公式展开化简表达式，得然后但是注意
.
试题解析：（1
（2
整理得即，又为锐角，
考点：1.三角函数的周期；2.三角函数的对称轴；3.三角函数值.
17
（1
（2）证明：除点（2,2.
【答案】（1（2）
证明过程详见解析.
【解析】
试题分析：本题考查求函数值和函数最值、函数的对称性等基础知识，考查学生的转化能力、
分析问题解决问题的能力和计算能力.2组数的规律得到猜想，利用对称关系证明结论；第二问，先求出函数的定义域，利用单调性的定义判断函数的单调性，求最值，将原结论转化为求最值问题.
试题解析：（1
（21
.
考点：1.证明函数的对称性；2.函数单调性的定义.
18
（1
（2
.
【答案】（1
（2
【解析】
试题分析：本题考查解三角形中的正弦定理和余弦定理的运用以及求三角形面积的最值，考
查基本的运算能力.第一问，利用正弦定理求边长，先利用同角三角函数的平方关系求出
.
试题解析：（1
（2
.
考点：1.同角三角函数的平方关系；2.正弦定理；3.余弦定理；4.三角函数面积公式；5.基本不等式
.
19
（1
（2
.
【答案】（
1（2
【解析】
试题分析：本题考查导数的应用、分段函数值域以及函数图像等基础知识，考查转化的思想方法，考查综合运用数学知识分析问题解决问题的能力.第一问，考查求切线方程的解题过
将方程根的问题转化成求函数最值问题，再利用数
形结合法解题.
试题解析：（1
（2
考点：1.用导数求切线方程；2.求分段函数值域.
20
（阴影部分）用于种植学校观赏植物，
其余区域用于种植草皮出售.已知种植学校观赏植物的成本是每平方米20元，种植花卉的利润是每平方米80元，种植草皮的利润是每平方米30元.
（1）设BOD
θ
∠=（单位：弧度）
（2）如果该校总务处邀请你规划这块土地，如何设计
并求出该最大值.
（
2
【解析】
试题分析：本题考查函数与导数及运用导数求单调区间、最值等数学知识和方法，考查思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力.
.
试题解析：（
1
（2
考点：1.扇形面积；2.弓形面积；3.三角形面积；4.利用导数求最值.
21
（1
（2
（3()
n
【答案】（1）0；（2（3）证明过程详见解析.
【解析】
试题分析：本题主要考查导数的应用、不等式、数列等基础知识，考查思维能力、创新意识，考查分类讨论思想、转化思想.第一问，是导数的应用，利用导数判断函数的单调区间求函
讨论确定每段区间上函数的单调性和最值；第三问，先通过观察凑出所要证明的表达式的形式，再利用等比数列的前n项和公式求和，最后通过放缩法得到结论.
试题解析：（1
（2
由（1.
（3）由（1
考点：1.利用导数求最值；2.恒成立问题；3.等比数列的前n项和公式；4.放缩法.。